Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN
1.2. Giới thiệu khái niệm biến trong phân tích tổ chức toán học
1.2.6. Tổ chức hoạt động cá nhân
Trong quá trình làm việc thì tổ chức tri thức của thể chế ít khi tương ứng với tổ chức tri thức thực sự được học. Đặc biệt, tồn tại các KNV cá nhân phân biệt với các KNV của thể chế và hệ quả là các TCTH cá nhân phân biệt với các TCTH của thể chế (Chaachoua và Bessot, 2016).
Trong quá trình nghiên cứu, các tác giả cho thấy có hai khả năng xảy ra khi HSđối mặt với một KNV T như sau:
- Một là, HS thực hiện một kỹ thuật dựa vào một tổ chức toán học trong thể chế gắn với KNV T mà thể chế mong đợi.
- Hai là, HS không tuân thủ mối quan hệ cá nhân với KNV T dẫn tới việc thực hiện một kỹ thuật hoặc hợp thức về mặt khoa học nhưng không thích hợp với thể chế hoặc không hợp thức về mặt khoa học.
Trong một số trường hợp, khoảng cách giữa các kỹ thuật của HS và kỹ thuật mong đợi của thể chế có thể mô hình hóa như sau: đối mặt với một nhiệm vụ t, HS cảm nhận nó như một KNV khác với KNV của thể chế, thậm chí như không tồn tại trong thể chế (Bessot và Chaachoua, 2016).
Theo nhóm nghiên cứu một TCTH cá nhân gồm:
[KNV cá nhân, kỹ thuật cá nhân, công nghệ cá nhân, lí thuyết cá nhân]
Kiểu nhiệm vụ cá nhân là tập hợp các nhiệm vụ mà HS cảm thấy chúng tương tự nhau và ta có thể quan sát thấy điều này thông qua kỹ thuật mà HS sử dụng để giải quyết nó. Hai kiểu nhiệm vụ cá nhân gọi là phân biệt nhau nếu các kỹ thuật cá nhân tương ứng cũng phân biệt nhau. Nhóm nghiên cứu đặc trưng hóa sự phân chia các KNV cá nhân bằng các giá trị của biến và chúng có thể không thích hợp từ quan điểm thể chế.
Một kỹ thuật cá nhân cho phép giải quyết một kiểu nhiệm vụ cá nhân duy nhất: nó có thể đúng với sự mong đợi của thể chế, sai khi không được sự mong đợi trong thể chế. Theo nhóm nghiên cứu, kỹ thuật cá nhân dùng để giải quyết KNV cá nhân cần phải ổn định trong một khoảng thời gian, họ không chọn những cách giải quyết sai lầm bất chợt ở HS.
Nhóm nghiên cứu đặt giả thuyết tồn tại ngầm ẩn hay tường minh một công nghệ cá nhân. Đây là một vấn đề quan trọng vì nó không chỉ giúp nhà nghiên cứu giải thích nguồn gốc của các kỹ thuật cá nhân trong các điều kiện và ràng buộc của thể chế mà còn trong đời sống và học tập của HS. Một công nghệ cá nhân hay thể chế không chỉ giới hạn ở các định lý hay các quy tắc toán học mà có thể là một phát biểu cho phép giải thích, làm hiểu được hoặc kiểm soát được để phù hợp với một kỹ thuật. Nó có thể được tạo ra từ nhiều thành phần, có khi dựa trên toán học, các quy tắc hành động dạy học,...
Lí thuyết cá nhân giải thích cho công nghệ cá nhân. Điều này giống với mô hình TCTH của thể chế.
Ví dụ, xét một nhiệm vụ “giải phương trình 2
4 4
x x ” liên quan đến hệ sinh KNV GT = [Giải một phương trình; V1, V2, V3, V4].
Bảng 1.1. Lời giải và phân tích KNV “giải phương trình 2
4 4
x x ” Lời giải mong đợi của giáo viên Lời giải của một HS lớp 10
2 2 2 4 4 4 4 0 ( 2) 0 2 0 2 x x x x x x x
Dựa vào câu trả lời mong đợi của GV, ta có thể rút ra kỹ thuật: - Chuyển mọi hạng tử về vế trái. - Đặt nhân tử chung P2(x) bằng kỹ thuật “nhận dạng hằng đẳng thức đáng nhớ” - Giải một phương trình bậc nhất dạng Q1(x)= 0. 2 4 4 ( 4) 4 4 4 4 4 8 x x x x x x x x
Dựa vào lời giải của HS này có thể giải thích bằng một kỹ thuật gồm 4 bước sau:
-B1: Đặt nhân tử chung cho vế trái bằng kỹ thuật “đặt nhân tử đơn”
-B2: Giải một phương trình dạng
P1(x)Q1(x) = k, k ≠ 0
-B3: Giải một phương trình bậc nhất kiểu
P1(x) = k
- B4: Giải một phương trình bậc nhất bằng kiểu
Q1(x) = k. Nhận xét lời giải của HS:
Ở bước 2, HS đứng trước một KNV ngoài thể chế “giải phương trình 4
) 4 (x
x ” nhưng HS vẫn cứ giải theo cách giải phương trình P1(x)Q1(x)=0. HS đã tự mình đồng hóa một kỹ thuật đã học trong thể chế “giải phương trình bậc 1 dạng R1(x) = 0” vào KNV ngoài thể chế “P1(x)R1(x)= k, k ≠ 0”
Trong quá trình nghiên cứu, các tác giả đã tìm lý do HS giải như vậy là do sự không hoàn thiện của các TCTH được dạy.
Giải thích nguyên nhân về lời giải của HS:
Từ bước 2, giải phương trình x(x + 4) = –4, ta có thể tìm ra các giá trị của các biến đã được chọn như sau:
V1 chọn phương trình bậc 2; V2 chọn số nghiệm của phương trình là 2; V3 dạng đại số của vế trái chọn tích của hai đa thức bậc 1; V4 dạng đại số của vế phải chọn hằng
số khác 0. Chính vì sự phối hợp các giá trị của biến V3 và V4 như vậy nên đã cho phép tính đến TCTH cá nhân của KNV (Giải phương trình P1(x)Q1(x)=k, k ≠ 0).
Đây là một KNV có thể xem như đã phát sinh từ GT và được mô hình hóa bằng T0 = (Giải một phương trình; V1 = 2, V2 = 2, V3 = tích của hai đa thức bậc 1,
V4 = hằng số khác không). Với giá trị là hằng số khác 0 của biến V4, các tác giả đã đưa ra bộ tứ trong TCTH cá nhân của HSnày theo mô hình T4TEL như sau:
T = (Giải một phương trình; V1 = 2, V2 = 2, V3 = tích của hai đa thức bậc 1, V4 = hằng số khác không).
= {(Áp dụng quy tắc R); (Giải một phương trình bậc nhất)}
= (R: “Nếu P1(x)Q1(x)=k thì P1(x) = k hay Q1(x) = k ”; các yếu tố công nghệ của kỹ thuật giải phương trình bậc nhất).
Theo nhóm nghiên cứu, quy tắc R có nghĩa là quy tắc hành động của HS khi viết “P1(x) = k hay Q1(x) = k” nằm ngoài phạm vi hợp thức trường hợp P1(x)Q1(x) = 0.
(Bessot và Chaachoua, 2016)
Tóm lại
Thông qua những khái niệm và phân tích, nhóm nghiên cứu đã chứng tỏ sự hợp lý và cho thấy nhiều hữu ích khi giới thiệu khái niệm biến gắn kết với định nghĩa hệ sinh KNV nhằm thể hiện mô hình TCTH thành mô hình quản trị được trong T4TEL. Việc cấu trúc các giá trị của biến là một trong những điểm mạnh của sự thể hiện này. Hay nói cách khác, sự cấu trúc các TCTH dựa trên sự quản trị được của mô hình.
Đặc biệt, trong mô hình T4TEL, các giá trị của cùng một biến có thể giúp các nhà nghiên cứu xác định các đặc trưng của:
- Những điều kiện và ràng buộc của thể chế.
- Khả năng lựa chọn các KNV của giáo viên để thực hiện nghiên cứu. - Các TCTH cá nhân dựa trên các giá trị không phù hợp với thể chế.
Chính những đặc trưng này nên một số công trình nghiên cứu sử dụng khái niệm biến của nhóm đã xuất hiện:
+ Nghiên cứu về các TCTH cá nhân của HS trong phân môn đại số (Croset, 2009).
+ Nghiên cứu về các TCTH biểu diễn phối cảnh của hình học không gian (Tang, 2014).
+ Sử dụng khái niệm biến để tạo ra và cấu trúc một mô hình tri thức luận tham chiếu của biểu diễn phối cảnh.
+ Nathalie Brasset đã dựa vào hệ sinh KNV và khái niệm biến để soạn thảo một tiến trình học tập về phép đếm ở Trường tiểu học (Brasset 2017).