1.2.1 .Khái niệm tư duy
2.3. Giới thiệu một số bài tập có nội dung hình học rèn luyện tư duy sáng tạo
2.3.1.1. Dạng X1: Bài tập có nhiều cách giải
Cấu tạo: Loại bài này có nhiều đối tượng, quan hệ có thể khai thác theo nhiều khía cạnh khác nhau. Trên cơ sở đó người giải có thể đưa ra nhiều giải pháp khác nhau để giải quyết yêu cầu của bài toán.
Tác dụng: Bồi dưỡng cho học sinh năng lực xem xét một đối tượng hay một quan hệ toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Đồng thời qua việc giải bài tập loại này cũng hình thành cho các em quan điểm biện chứng khi xem xét, phân tích một sự vật, hiện tượng, một đối tượng toán học.
Ví dụ 2.9. Cho hình bình hành ABCD có AB = 4cm, AD = 3cm. Người ta chia cạnh dài thành 4 phần bằng nhau và cạnh ngắn thành 3 phần bằng nhau rồi nối các điểm như (hình 2.20) 1 11 3 12 2 K 9 4 10 L I Q A D C B P H E M N F Hình 2.20 Bài giải:
Cách 1: Ta đếm các hình bình hành được tạo bởi hai đoạn thẳng AB và EF: - Có 4 hình chung cạnh AE: AEIP, AEKQ, AELH, AEFB.
- Có 3 hình chung cạnh PI: PIKQ, PILH, PIFB. - Có 2 hình chung cạnh QK: QKLH, QKFB. - Có 1 hình chứa cạnh HL: HLFB.
Vậy số hình bình hành tạo bởi hai đoạn thẳng AB và EF là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (hình )
Làm tương tự ta tính được số hình bình hành được tạo thành do mỗi cặp đoạn thẳng EF và MN; MN và CD; AB và MN; AB và CD, EF và CD đều bằng 10 hình. Vì vậy số hình bình hành đếm được trên hình 2.14 là:
10 x 6 = 60 ( hình ) Cách 2: Đánh số các hình bình hành như hình 2.20 Ta nhận xét: - Có 12 hình bình hành đơn là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. - Có 17 hình bình hành ghép đôi là:(1 + 2), (2 + 3), (3 + 4), (5 + 6), (6 + 7), (7 + 8), (9 + 10), (10 + 11), (11 + 12), (1 + 5),(5 + 9), (2 + 6), (6 + 10), (3 + 7), (7 + 11), (4 + 8), (8 + 12).
- Có 10 hình bình hành ghép 3 là: (1 + 2 + 3), (2 + 3 + 4), (5 + 6 + 7), (6 + 7 + 8), (9 + 10 + 11), (10 + 11 + 12), (1 + 5 + 9), (2 + 6 + 10), (3 + 7 + 11), (4 + 8 + 12). - Có 9 hình bình hành ghép 4 là: (1+ 2 + 3 + 4), (5+ 6 + 7 + 8), (9+ 10 + 11 + 12), (1+ 2 + 5 + 6), (5+ 6 + 9 + 10), (2+ 3 + 6 + 7), (3+ 4 + 7 + 8), (6+ 7 + 10 + 11), (7+ 8 + 11 + 12). - Có 7 hình bình hành ghép 6 là: (1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7), (2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8), (5 + 6 + 7 + 9 + 10 + 11), (6 + 7 + 8 + 10 + 11 + 12), (1 + 5 + 9 + 2 + 6 + 10), (2 + 6 + 10 + 3 + 7 + 11), (3 + 7 + 11 + 4 + 8 + 12). - Có 2 hình bình hành ghép 8 là: (1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8), (2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 10 + 11 + 12). - Có 2 hình bình hành ghép 9 là: (1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 9 + 10 +11), (2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 10 + 11 +12). - Có 1 hình bình hành ghép 12 là hình ABCD. Vậy số hình bình hành đếm được trên hình 2.20 là:
12 + 17 + 10 + 9 + 7 + 2 + 2 + 1 = 60 (hình)
Cách 3:
Cứ mỗi cặp đường thẳng nằm ngang thì tạo thành với một cặp đường thẳng đứng cho ta 1 hình bình hành.
4 đường thẳng nằm ngang tạo thành:
(4 x (4 – 1)) : 2 = 6 (cặp đường thẳng ngang) 5 đường thẳng đứng tạo thành: (5 x (5 – 1)) : 2 = 10 (cặp đường thẳng đứng) Vậy có tất cả: 6 x 10 = 60 (hình) Cách 4:
Mỗi giao điểm trên hình vẽ là đỉnh của: (4 – 1) x (5 – 1) = 12 (hình bình hành) Số giao điểm trên hình vẽ là:
20 giao điểm là đỉnh của:
20 x 12 = 240 (hình bình hành)
Cách 5:
Vẽ riêng hàng thứ nhất của hình 2.20 ta được hình 2.21
Hình 2.21 Trên hình có:
(5 x (5 – 1)) : 2 = 10 (hình bình hành)
Từ ghép 1 cặp đường thẳng nằm ngang với 5 đường thẳng đứng thì lại được một hình giống như hình 2.21có chứa 10 hình bình hành.
Số cặp đường thẳng nằm ngang là: (4 x (4 – 1)) : 2 = 6 (cặp)
Vậy có tất cả 6 hình giống như hình 2.15. Vì mỗi hình có 10 hình bình hành nên có tất cả:
6 x 10 = 60 (hình bình hành)
Nhận xét: Với mỗi học sinh khác nhau, có trình độ tư duy khác nhau sẽ tìm ra được các cách giải khác nhau. Số lượng cách giải sẽ phụ thuộc vào trình độ của mỗi người. Đối với học sinh có kiến thức tương đối tốt sẽ có thể nghĩ ra cả 5 cách giải trên, còn đối với học sinh bình thường hoặc khá hơn chỉ có thể nghĩ ra được số cách ít hơn. Vì vậy trong dạy học giáo viên cần phải có những phương pháp dạy học thích hợp để kích thích các em, giúp các em phát huy được năng lực vốn có của bản thân.
Tương tự ta có các bài tập sau:
Bài 2.1. Cho một mảnh bìa hình chữ nhật. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 4 mảnh bìa hình chữ nhật có diện tích bằng nhau.
Bài 2.2. Trên một mảnh đất hình vuông, người ta thu hẹp ở bên phải 10m và mở rộng xuống phía dưới 30m thì được một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 160m. Tính diện tích của mảnh đất hình vuông.
Bài 2.3. Một ngôi nhà hình chữ nhật có chiều 25m, chiều rộng 8m. Xung quanh ngôi nhà người ta xây tường rào cũng hình chữ nhật để bao quanh ngôi nhà đó. Khoảng cách từ mỗi bức tường nhà đến tường rào này đều bằng 3m. Tính diện tích của phần đất bao quanh ngôi nhà đó.
Bài 2.4. Cho một mảnh bìa hình chữ nhật. Hãy cắt mảnh bìa đó thành ba mảnh nhỏ có diện tích bằng nhau.
Bài 2.5. Bằng 4 nhát cắt hãy chia một mảnh bìa hình vuông thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được 3 hình vuông, trong đó có hai hình vuông có diện tích bằng nhau.