Rèn luyện cho học sinh thao tác so sánh – tương tự

1.2.1 .Khái niệm tư duy

2.2. Một số biện pháp rèn luyện tư duy sáng tạo

2.2.4.2. Rèn luyện cho học sinh thao tác so sánh – tương tự

Khi HS giải một bài toán thuộc dạng toán nhất định là khi các em đang tiến hành các thao tác trí tuệ mà trong đó so sánh - tương tự được xem như thao tác cơ bản trong hoạt động TD. Thao tác so sánh là nhân tố tích cực thúc đẩy quá trình nhận thức, được thực hiện trong tất cả các khâu của QTDH. Trong DH, so sánh - tương tự được vận dụng trong tìm sự khác nhau và giống nhau trong phương pháp giải, phân biệt các mẫu bài toán,... so sánh các yếu tố cho trong các bài toán, tìm sự giống nhau, …

Ví dụ 2.7. Tính diện tích miếng bìa có các kích thước theo hình 2.16 sau bằng ít nhất hai cách:

4cm 6cm

5cm

15 cm

Cách 1: Cắt hình đã cho thành các hình chữ nhật bằng cách kéo dài một cạnh như (hình 2.17) dưới đây:

3 cm (1) (2) 2 cm 15 m (3)

Diện tích miếng bìa bằng tổng các diện tích của ba hình chữ nhật (Hình vẽ trên) và là: 3 46321560(cm2) 3cm 4cm 6 cm Hình 2.16 Hình 2.17

Cách 2: Cắt hình đã cho thành các hình chữ nhật bằng cách kéo dài một cạnh như (hình 2.18) dưới đây: Ta cũng tính được tổng diện tích của ba hình chữ nhất là: 5 4256560(cm2) 4 cm 6 cm 5cm 3 cm 15cm

Cách 3: Diện tích hình chữ nhật chính là diện tích hình chữ nhật lớn bớt đi diện tích hình chữ nhật có các kích thước là 5cm và 3cm do đó diện tích của mảnh bìa là: 1553560(cm2)

4 cm 6 cm 5 cm

5 cm

2222 3 cm

Sau khi hướng dẫn học sinh giải theo các cách trên để rèn luyện thao tác so sánh – tương tự. Có thể cho học sinh so sánh các cách giải: Cách 1, Cách 2 tương tự nhau cắt ghép thành 3 hình chữ nhật. Tính tổng diện tích 3 hình chữ nhật. Cách 3 khác hai cách trên tính diện hình chữ nhật lớn, sau đó trừ đi diện tích hình chữ nhật nhỏ. Với 3 cách đều sử dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật.

2.2.4.3. Rèn luyện cho học sinh thao tác trừu tượng hoá - khái quát hoá

Nếu như không có trừu tượng hoá thì sẽ rất khó khăn để nắm bản chất vấn đề của một đối tượng cụ thể. Trừu tượng hoá giúp ta nhìn thấu vấn đề, không bị gây nhiễu bởi những yếu tố không bản chất, không cơ bản. Trừu tượng hoá - khái quát hoá là hai thao tác của một quá trình TD thống nhất. Một đằng là dùng trí óc

15 cm Hình 2.19

để gạt bỏ những mặt, những thuộc tính, không cần thiết cho TD, một đằng là dùng trí óc để hợp nhất nhiều đối tượng khác nhau thành một nhóm, một loại theo những thuộc tính, những liên hệ nhất định. Những thuộc tính chung này bao gồm hai loại: những thuộc tính chung giống nhau và những thuộc tính chung bản chất. Muốn vạch ra được những dấu hiệu bản chất phải có phân tích tổng hợp sâu sắc sự vật hiện tượng định khái quát. Trừu tượng hoá - khái quát hoá có quan hệ qua lại với nhau như quan hệ giữa phân tích và tổng hợp, nhưng ở mức độ cao hơn.

Một số kĩ thuật, cách thức để rèn thao tác trừu tượng hoá - khái quát hoá: Trong quá trình TD, thao tác trừu tượng hoá - khái quát hoá giúp gạt bỏ được sự trừu tượng trong ngôn từ, thuật ngữ, cách hỏi nhờ việc viết lại, đặt lại câu hỏi, bài toán,...Vì vậy, trong DH, hãy dùng câu tường minh để đặt lại đề bài khi cách hỏi trừu tượng, loại trừ những dấu hiệu riêng lẻ của các thuật ngữ làm cho vấn đề trở nên dễ hiểu hơn.

Tính trừu tượng của của đối tượng nhận thức (khái niệm, thuật ngữ, công thức, quy tắc, đề toán, các sự vật hiện tượng,...) thể hiện trong các tình huống đa dạng với tầng bậc các mối quan hệ. Điều này chứng tỏ mối liên hệ giữa tính trừu tượng và tính thực tiễn. Khi tính trừu tượng cao nó lại càng mang tính thực tiễn.

Vì vậy, trong dạy học GV cần giúp HS gạt bỏ tính trừu tượng: Tóm tắt bài toán bằng sơ đồ hoặc mô hình được xem là biện pháp tốt nhất gạt bỏ được tính trừu tượng cùng các yếu tố không bản chất của bài toán. Trong thực tế, việc tóm tắt bài toán bằng sơ đồ đối với nhiều bài toán được xem như là kết quả của cả một quá trình tư duy tổng hợp (vừa phân tích, trừu tượng hoá vừa tổng hợp, khái quát hoá,...) vì việc sơ đồ hoá chính là việc biểu diễn lại bài toán dựa trên cơ sở đã thông hiểu bài toán. Nhìn vào sơ đồ đó, người ta có thể viết lại bài toán bằng ngôn từ.

Ví dụ 2.8. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Khi nối chúng lại ta được bao nhiêu đoạn thẳng?

Bài giải:

Ta có nhận xét:

1 = 0 + 1 = 0 + 2 – 1

- Nếu có 3 điểm thì khi nối chúng lại ta được 3 đoạn thẳng. Ta có: 3 = 0 + 1 + 2

- Nếu có 4 điểm thì khi nối chúng lại ta được 6 đoạn thẳng. Ta có: 6 = 0 + 1 +2 +3

Nhận xét: 0 + 1 = 0 + (2 – 1)

0 + 1 + 2 = 0 + 1 +(3 – 1),.... Từ các trường hợp cụ thể bằng khát quát hướng dẫn học sinh rút ra quy luật: Nếu có n điểm thì khi nối chúng lại ta được:

0 + 1 +2 +3 + ... + (n – 1 ) = ( 1) 2

n n

( đoạn thẳng)

Vận dụng:Với 5 điểm (n = 5), nối chúng lại có số đoạn thẳng là: 5 (5 1)

2 

= 10 (đoạn thẳng).

2.3. Giới thiệu một số bài tập có nội dung hình học rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 4 cho học sinh lớp 4

2.3.1. Bài tập rèn luyện tính mềm dẻo

Các bài tập chủ yếu nhằm rèn luyện tính mềm dẻo của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác; suy nghĩ không rập khuôn; khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc; khả năng nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết. Các bài tập này được kí hiệu từ dạng X1 đến dạng X6.

2.3.1.1. Dạng X1: Bài tập có nhiều cách giải

Cấu tạo: Loại bài này có nhiều đối tượng, quan hệ có thể khai thác theo nhiều khía cạnh khác nhau. Trên cơ sở đó người giải có thể đưa ra nhiều giải pháp khác nhau để giải quyết yêu cầu của bài toán.

Tác dụng: Bồi dưỡng cho học sinh năng lực xem xét một đối tượng hay một quan hệ toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Đồng thời qua việc giải bài tập loại này cũng hình thành cho các em quan điểm biện chứng khi xem xét, phân tích một sự vật, hiện tượng, một đối tượng toán học.

Ví dụ 2.9. Cho hình bình hành ABCD có AB = 4cm, AD = 3cm. Người ta chia cạnh dài thành 4 phần bằng nhau và cạnh ngắn thành 3 phần bằng nhau rồi nối các điểm như (hình 2.20) 1 11 3 12 2 K 9 4 10 L I Q A D C B P H E M N F Hình 2.20 Bài giải:

Cách 1: Ta đếm các hình bình hành được tạo bởi hai đoạn thẳng AB và EF: - Có 4 hình chung cạnh AE: AEIP, AEKQ, AELH, AEFB.

- Có 3 hình chung cạnh PI: PIKQ, PILH, PIFB. - Có 2 hình chung cạnh QK: QKLH, QKFB. - Có 1 hình chứa cạnh HL: HLFB.

Vậy số hình bình hành tạo bởi hai đoạn thẳng AB và EF là: 4 + 3 + 2 + 1 = 10 (hình )

Làm tương tự ta tính được số hình bình hành được tạo thành do mỗi cặp đoạn thẳng EF và MN; MN và CD; AB và MN; AB và CD, EF và CD đều bằng 10 hình. Vì vậy số hình bình hành đếm được trên hình 2.14 là:

10 x 6 = 60 ( hình ) Cách 2: Đánh số các hình bình hành như hình 2.20 Ta nhận xét: - Có 12 hình bình hành đơn là: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. - Có 17 hình bình hành ghép đôi là:(1 + 2), (2 + 3), (3 + 4), (5 + 6), (6 + 7), (7 + 8), (9 + 10), (10 + 11), (11 + 12), (1 + 5),(5 + 9), (2 + 6), (6 + 10), (3 + 7), (7 + 11), (4 + 8), (8 + 12).

- Có 10 hình bình hành ghép 3 là: (1 + 2 + 3), (2 + 3 + 4), (5 + 6 + 7), (6 + 7 + 8), (9 + 10 + 11), (10 + 11 + 12), (1 + 5 + 9), (2 + 6 + 10), (3 + 7 + 11), (4 + 8 + 12). - Có 9 hình bình hành ghép 4 là: (1+ 2 + 3 + 4), (5+ 6 + 7 + 8), (9+ 10 + 11 + 12), (1+ 2 + 5 + 6), (5+ 6 + 9 + 10), (2+ 3 + 6 + 7), (3+ 4 + 7 + 8), (6+ 7 + 10 + 11), (7+ 8 + 11 + 12). - Có 7 hình bình hành ghép 6 là: (1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7), (2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8), (5 + 6 + 7 + 9 + 10 + 11), (6 + 7 + 8 + 10 + 11 + 12), (1 + 5 + 9 + 2 + 6 + 10), (2 + 6 + 10 + 3 + 7 + 11), (3 + 7 + 11 + 4 + 8 + 12). - Có 2 hình bình hành ghép 8 là: (1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 8), (2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 10 + 11 + 12). - Có 2 hình bình hành ghép 9 là: (1 + 2 + 3 + 5 + 6 + 7 + 9 + 10 +11), (2 + 3 + 4 + 6 + 7 + 8 + 10 + 11 +12). - Có 1 hình bình hành ghép 12 là hình ABCD. Vậy số hình bình hành đếm được trên hình 2.20 là:

12 + 17 + 10 + 9 + 7 + 2 + 2 + 1 = 60 (hình)

Cách 3:

Cứ mỗi cặp đường thẳng nằm ngang thì tạo thành với một cặp đường thẳng đứng cho ta 1 hình bình hành.

4 đường thẳng nằm ngang tạo thành:

(4 x (4 – 1)) : 2 = 6 (cặp đường thẳng ngang) 5 đường thẳng đứng tạo thành: (5 x (5 – 1)) : 2 = 10 (cặp đường thẳng đứng) Vậy có tất cả: 6 x 10 = 60 (hình) Cách 4:

Mỗi giao điểm trên hình vẽ là đỉnh của: (4 – 1) x (5 – 1) = 12 (hình bình hành) Số giao điểm trên hình vẽ là:

20 giao điểm là đỉnh của:

20 x 12 = 240 (hình bình hành)

Cách 5:

Vẽ riêng hàng thứ nhất của hình 2.20 ta được hình 2.21

Hình 2.21 Trên hình có:

(5 x (5 – 1)) : 2 = 10 (hình bình hành)

Từ ghép 1 cặp đường thẳng nằm ngang với 5 đường thẳng đứng thì lại được một hình giống như hình 2.21có chứa 10 hình bình hành.

Số cặp đường thẳng nằm ngang là: (4 x (4 – 1)) : 2 = 6 (cặp)

Vậy có tất cả 6 hình giống như hình 2.15. Vì mỗi hình có 10 hình bình hành nên có tất cả:

6 x 10 = 60 (hình bình hành)

Nhận xét: Với mỗi học sinh khác nhau, có trình độ tư duy khác nhau sẽ tìm ra được các cách giải khác nhau. Số lượng cách giải sẽ phụ thuộc vào trình độ của mỗi người. Đối với học sinh có kiến thức tương đối tốt sẽ có thể nghĩ ra cả 5 cách giải trên, còn đối với học sinh bình thường hoặc khá hơn chỉ có thể nghĩ ra được số cách ít hơn. Vì vậy trong dạy học giáo viên cần phải có những phương pháp dạy học thích hợp để kích thích các em, giúp các em phát huy được năng lực vốn có của bản thân.

Tương tự ta có các bài tập sau:

Bài 2.1. Cho một mảnh bìa hình chữ nhật. Hãy cắt mảnh bìa đó thành 4 mảnh bìa hình chữ nhật có diện tích bằng nhau.

Bài 2.2. Trên một mảnh đất hình vuông, người ta thu hẹp ở bên phải 10m và mở rộng xuống phía dưới 30m thì được một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 160m. Tính diện tích của mảnh đất hình vuông.

Bài 2.3. Một ngôi nhà hình chữ nhật có chiều 25m, chiều rộng 8m. Xung quanh ngôi nhà người ta xây tường rào cũng hình chữ nhật để bao quanh ngôi nhà đó. Khoảng cách từ mỗi bức tường nhà đến tường rào này đều bằng 3m. Tính diện tích của phần đất bao quanh ngôi nhà đó.

Bài 2.4. Cho một mảnh bìa hình chữ nhật. Hãy cắt mảnh bìa đó thành ba mảnh nhỏ có diện tích bằng nhau.

Bài 2.5. Bằng 4 nhát cắt hãy chia một mảnh bìa hình vuông thành các mảnh nhỏ để ghép lại ta được 3 hình vuông, trong đó có hai hình vuông có diện tích bằng nhau.

2.3.1.2. Dạng X2: Dạng bài tập có nội dung biến đổi

Cấu tạo: Bài tập này gồm hai phần. Phần a) là một bài tập hoàn chỉnh.

Phần b) chính là bài toán ở phần a) nhưng đã biến đổi một vài yếu tố của nó (nhìn bề ngoài hình như ít quan trọng) do đó nội dung và cách biến đổi hẳn đi.

Tác dụng: Rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác chống “tính ỳ” của tư duy.

Ví dụ 2.10. Cắt hình thoi thành 4 phần theo hình 2.23 Hãy ghép các phần vừa nhận được để tạo thành: a. Một hình chữ nhật

b. Một hình bình hành

Bài giải:

Đánh số các mảnh cắt của hình thoi. Giữ nguyên mảnh 1, 2; dịch chuyển mảnh 3, 4 để ghép nên hình chữ nhật, hình bình hành như hình 2.24a và hình 2.24b

4 3 2 1 4 3 2 1 n 3 4 2 1

Nhận xét: Với những dạng bài tập này hai phần có mối liên hệ khá chặt chẽ, tuy nhiên cách giải không hoàn toàn giống nhau nhưng chúng lại hỗ trợ cho nhau chỉ trên cơ sở phần trước đó để giải phần sau. Đối với học sinh khá, giỏi khi làm được một phần thì phần sau trở nên khá dễ dàng. Đối với những học sinh học chưa tốt môn toán các em đều cảm thấy khó khăn khi giải toán kể cả khi giải được một một phần thì chưa chắc các em có thể vận dụng nó để giải phần sau đó. Vì vậy trách nhiệm của giáo viên là phải hướng dẫn giúp các em hiểu để có thể giải các bài toán tương tự.

Tương tự ta có các bài tập sau:

Bài 2.6. Cắt hình vuông thành 8 (như hình 2.25) rồi ghép lại để tạo thành:

a. Hình chữ nhật b. Hình bình hành Hình 2.23 Hình 2.24 Hình 2.24b Hình 2.24a

c. Hình thoi

Bài 2.7.

a. Từ 13 que tính hãy xếp thành 1 hình gồm đúng 3 hình vuông và 2 hình chữ nhật

b. Tìm cách chuyển vị trí của 3 que tính trong hình xếp được ở câu a. để được một hình gồm 4 hình vuông và 3 hình chữ nhật.

Bài 2.8.

a. Xếp 18 que tính thành 6 hình hình vuông bằng nhau

b. Hãy bỏ bớt 2 que tính trên hình đó để còn 4 hình vuông bằng nhau.

Bài 2.9.

Có 10 que tính được xếp thành đúng hai hình vuông (hình 2.26)

a. Hãy đổi chỗ một que tính để được 1 hình có đúng 1 hình vuông và 2 hình chữ nhật.

b. Hãy đổi chỗ 2 que tính để được 1 hình có đúng 3 hình vuông và 2 hình chữ nhật.

2.3.1.3. Dạng X3. Loạt bài tập khác kiểu

Cấu tạo: Bài tập này gồm ít nhất là ba bài trong đó có hai bài cùng kiểu còn một bài khác kiểu.

Tác dụng: Rèn luyện khả năng dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, chống máy móc dập khuôn.

Ví dụ 2.11

a) Hãy xem hình 2.27 có mấy hình tam giác? b) Hãy xem hình 2.28 có mấy hình tam giác?

c) Xác định số hình tam giác tạo thành bằng cách vẽ 100 đường thẳng cùng đi qua đỉnh A và cắt cạnh đáy BC của hình tam giác?

Hình 2.25

Bài giải:

Đánh số thứ tự các hình tam giác nhỏ như hình

a. Hình 2.27 đã cho có 3 hình tam giác là: H1, H2, H(1 + 2)

b. Hình 2.28 đã cho có 6 hình tam giác là:

H1, H2, H3, H(1 + 2), H(2 + 3), H(1 + 2 + 3).

c. - Nếu có 1 đường thẳng đi qua A cắt cạnh đáy thì số hình tam giác đếm được là 3 = 1 + 2

- Nếu có 2 đường thẳng đi qua A cắt cạnh đáy thì số hình tam giác đếm được là 6 = 1 + 2 + 3

- Nếu có 3 đường thẳng đi qua A cắt cạnh đáy thì số hình tam giác đếm được là 10 = 1 + 2 + 3 +4

Quy luật ở đây là: Nếu có n đường thẳng đi qua đỉnh A và cắt cạnh đáy thì sẽ có (1 + 2 + 3 + 4 + … + n) = n x (n +1) : 2 (hình tam giác)

Như vậy nếu có 100 đường thẳng cùng đi qua đỉnh A và cắt cạnh đáy BC của hình tam giác thì có số hình tam giác đếm được là:

1 + 2 + 3 + 4 + … + 99 + 100 = 100 x ( 100 + 1) : 2 = 5050 (hình tam giác) Hình 2.27 Hình 2.28 Hình 2.27a Hình 2.28b 2 1 2 3

Nhận xét: Trong bài tập này câu a) và câu b) là các trường hợp riêng lẻ với các cấp độ khác nhau. Để tìm ra đáp số ở câu c) đòi hỏi các em phải tính toán, đối chiếu để các em rút ra quy luật vẽ hình trong trường hợp tổng quát thì từ đó mới tìm được số hình tam giác khi có 100 đường thẳng cùng đi qua đỉnh A. Như vậy khi tìm được công thức tổng quát thì các em sẽ tìm được tất cả các hình tam giác khi biết số đường thẳng cùng đi qua điểm cho trước mà không cần phải vẽ hình.