Như đã đề cập ở trên, các nghiên cứu về mặt số có thể cung cấp các chuẩn ngầm định làm ổn định quá trình Perona-Malik. Do đó, nó đã được đề xuất để đưa sự chuẩn hóa một cách trực tiếp vào phương trình liên tục làm cho nó trở nên độc lập hơn để thực thi về mặt số. Khi tính linh hoạt của giải pháp có thể phụ thuộc vào các loại chuẩn hóa một cách giới hạn, người ta phải điều chỉnh sự chuẩn hóa để đạt được mục tiêu của phương trình nhiệt thuận nghịch. Người ta có thể áp dụng sự chuẩn hóa về không gian-thời gian (và đương nhiên là có cả sự kết hợp của cả hai). Dưới đây chúng ta sẽ thảo luận về ba ví dụ minh họa sự đa dạng của các khả năng và sự điều chỉnh của họ đối với một nhiệm vụ cụ thể.
1. Nỗ lực chuẩn hóa không gian đầu tiên có lẽ là của Posmentier-người đã xem xét nhiều hiệu ứng ổn định trung bình gradient trong khuếch tán [333]. Một công thức toán học của ý tưởng này được đưa ra bởi Catte, Lions, Morel và Coll. Bằng cách thay thế khuếch tán 𝑔(|∇𝑢|2) của mô hình Perona-Malik bởi một tập được làm trơn Gauss 𝑔(|∇𝑢|2) với 𝑢𝜎 ≔ 𝐾𝜎 ∗ 𝑢 và họ đưa ra phương trình
𝜕𝑡𝑢 = 𝑑𝑖𝑣(𝑔(|∇𝑢𝜎|2)∇𝑢) (2.38) Tồn tại tính quy luật và tính duy nhất của nghiệm với 𝜎 > 0 đã cho. Quá trình đã được phân tích và sửa đổi nhiều lần theo nhiều cách: Whitaker và Pizer đã đề xuất rằng tham số chuẩn hóa 𝜎 phải là một hàm suy giảm theo thời gian t, và về sau Li và Chen đã đề xuất tham số tương phản suy giảm λ. Một nghiên cứu chi tiết về sự ảnh hưởng của các tham số trong một mô hình Perona-Malik chuẩn hóa được thực hiện bởi Benhamouda. Kacur và Mikula đã khảo sát một sửa đổi cho phép khuếch tán khác nhau theo các dải giá trị xám khác nhau. Các chuẩn hóa không gian của quá trình Perona-Malik dẫn đến các phương trình khuếch tán không đẳng hướng được đề xuất bởi Weickert [413, 415].
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 34 Torkamani-Azar và Tait đề nghị thay thế tích chập Gauss bằng bộ lọc hàm số mũ của Shen và Castan.
Từ một quan điểm thực tế, các chuẩn không gian cung cấp các lợi thế rằng chúng làm cho các bộ lọc không nhạy cảm với nhiễu ở các quy mô nhỏ hơn σ. Vì vậy, khi coi như một phương trình khôi phục ảnh, nó cho thấy bên cạnh tham số tương phản λ còn thêm vào một quy mô nhiễu σ. Điều này nhằm tránh một thiếu sót của quá trình Perona-Malik mà giải thích sai các dao động mạnh do nhiễu khi các cạnh cần được duy trì hay thậm chí tăng cường.
2. P.-L. Lions đã chứng minh rằng quá trình mang tính một chiều
𝜕𝑡𝑢 = 𝜕𝑥(𝑔(𝑣)𝜕𝑥𝑢), (2.39)
𝜕𝑡𝑣 =1
𝜏(|𝜕𝑥𝑢|
2− 𝑣) (2.40)
dẫn đến một bộ lọc giả định đúng. Chúng ta xem xét v là thời gian trễ của
|𝜕𝑥𝑢|2 trong đó tham số 𝜏 > 0 xác định trễ. Các phương trình này là một trường hợp đặc biệt của qui chuẩn không gian-thời gian của Nitzberg và Shiota khi bỏ qua qui chuẩn không gian bất kỳ. Mumford phỏng đoán rằng mô hình này cho các trạng thái ổn định liên tục theo từng mảng. Trong trường hợp này, giải pháp trạng thái ổn định sẽ giải quyết vấn đề phân đoạn.
3. Trong trường hợp dòng chảy trượt, Barenblatt đã chuẩn hóa phương trình nhiệt thuận nghịch một chiều bằng cách xét phương trình bậc ba
𝜕𝑡𝑢 = 𝜕𝑥(𝛷(𝑢𝑥)) + 𝜏𝜕𝑥𝑡(𝛹(𝑢𝑥)) (2.41) Trong đó Ψ là hàm đồng biến và bị chặn đều trong ℝ, và |𝛷′(𝑠)| = 𝑂(𝜓′(𝑠))
khi 𝑠 → ±∞. Qui chuẩn này đã được biểu diễn vật lý bằng cách đưa vào khuếch tán một thời gian nghỉ 𝜏 . Đối với vấn đề giá trị biên ban đầu tương ứng với điều kiện biên Neumann đồng nhất họ đã chứng minh sự tồn tại của một giải pháp chuẩn duy nhất. Họ cũng chỉ ra rằng các giải pháp làm trơn có thể trở thành không liên tục trong thời gian hữu hạn, trước khi họ kết luận về một trạng thái ổn định liên tục theo từng mảng.
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 35