Chương 3 Các Mô Hình Lọc Khuếch Tán
3.1 Lọc khuếch tán liên tục
3.1.2 Tensor cấu trúc
Để xác định các đặc điểm như các góc hay để đo tính tương quan cục bộ của các cấu trúc, chúng ta cần các phương pháp tính toán hướng tới những thay đổi gradient (được làm trơn) trong vùng lân cận của bất cứ điểm khảo sát nào.
Tensor cấu trúc – cũng được gọi là toán tử interest, ma trận tán xạ hay tensor mômen – là một đại diện quan trọng của lớp này. Các ma trận của nó hữu ích cho nhiều tác vụ khác nhau, ví dụ để phân tích các kết cấu, các góc và tiếp giáp chữ T, cá tín hiệu khối, và chuỗi ảnh không gian-thời gian. Chúng ta sẽ tập trung vào một vài khía cạnh quan trọng trong trường hợp này. Để nghiên cứu các phương hướng thay vì các chiều hướng, chúng ta phải xác định các gradient chỉ khác nhau bởi dấu của chúng: chúng có cùng phương nhưng ngược chiều nhau. Chúng ta xem xét lại giá trị vector mô tả cấu trúc ∇𝑢𝜎 trong một ma trận. Ma trận J0 kết quả từ tích tensor
𝐽0(∇𝑢𝜎) ≔ ∇𝑢𝜎 ⨂ ∇𝑢𝜎 ≔ ∇𝑢𝜎∇𝑢𝜎𝑇 (3.5) Có một cơ sở trực giao của các vector đặc trưng v1, v2 với v1 || ∇𝑢𝜎 và v2 ⊥ ∇𝑢𝜎. Tương ứng với các giá trị riêng |∇𝑢𝜎|2 và 0 chỉ sự tương phản theo các hướng riêng. Có thể tính trung bình thông tin về phương bằng cách chập 𝐽0(∇𝑢𝜎) với một Gauss
𝐾𝜌. Điều này cho ta tensor cấu trúc
𝐽𝜌(∇𝑢𝜎) ≔ 𝐾𝜌∗ (∇𝑢𝜎 ⨂ ∇𝑢𝜎) (𝜌 ≥ 0) (3.6) Không khó để chứng minh rằng ma trận đối xứng 𝐽𝜌 = (𝑗11 𝑗12𝑗12 𝑗22) bán xác định dương và có các vector riêng trực giao v1, v2 với
𝑣1|| (𝑗22− 𝑗11+ √(𝑗11− 𝑗22)2+ 4𝑗122 ) (3.7)
Tương ứng với các giá trị riêng 𝜇1 và 𝜇2 được xác định bởi
𝜇1,2 =1
2(𝑗11+ 𝑗22± √(𝑗11− 𝑗22)2+ 4𝑗122 ) (3.8)
Trong đó dấu + là của 𝜇1. Khi chúng nhân với biến của các giá trị màu xám trong một lân cận của kích thước O(𝜌), chúng mô tả độ tương phản trung bình theo các hướng riêng. Do đó, quy mô tích 𝜌 phải phản ánh đặc trưng kích thước cửa sổ trên phương
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 56 được phân tích. Việc làm trơn trước để có được ∇𝑢𝜎 làm cho tensor cấu trúc nhạy cảm với các chi tiết không liên quan và nhiễu của các quy mô nhỏ hơn O(𝜎). Tham số 𝜎 được gọi là quy mô cục bộ hay quy mô nhiễu.
Theo tính chất 𝜇1 ≥ 𝜇2 ≥ 0, chúng ta thấy rằng v1 là phương với các biến thiên giá trị màu xám cao nhất, và v2 cho phương cục bộ được ưu tiên, chiều liên kết. Hơn nữa, 𝜇1 và 𝜇2 có thể được dùng như các bộ mô tả cấu trúc cục bộ: các vùng liên tục được đặc trưng bởi 𝜇1 = 𝜇2 = 0, các biên thẳng cho 𝜇1 ≫ 𝜇2 = 0, có thể xác định các góc bởi 𝜇1 > 𝜇2 ≫ 0, và biểu thức
(𝜇1− 𝜇2)2 = (𝑗11− 𝑗22)2+ 4𝑗122 (3.9)
Trở nên rộng hơn cho các cấu trúc không đẳng hướng. Đó là một biện pháp cho sự liên kết cục bộ.
3.1.3 Kết quả lý thuyết
Để thảo luận các kết quả bài toán giả định đúng, đầu tiên chúng ta nhắc lại một số lưu ý. Cho 𝐻1𝛺 là không gian Sobolev của hàm 𝑢(𝑥) ∈ 𝐿2(𝛺) với tất cả các đạo hàm mở rộng của bậc thứ nhất trong 𝐿2(𝛺). Chúng ta kết hợp 𝐻1(𝛺) với
||𝑢||𝐻1(𝛺) ≔ (||𝑢||𝐿2(𝛺) 2 + ∑ ||𝜕𝑥𝑖𝑢||𝐿2(𝛺) 2 2 𝑖=1 ) 1/2 (3.10) Và xác định nó với không gian kép của nó. Cho 𝐿2(0, 𝑇; 𝐻1(𝛺)) là không gian của hàm u, biện pháp ổn định trên đoạn [0, T] với phạm vi trong 𝐻1(𝛺) như vậy
||𝑢||𝐿2(0,𝑇;𝐻1(𝛺)) ≔ (∫||𝑢(𝑡)|| 𝐻1(𝛺) 2 𝑑𝑡 𝑇 0 ) 1 2 < ∞ (3.11)
Theo một cách tương tự, người ta định nghĩa 𝐶([0, 𝑇]; 𝐿2(𝛺)) như không gian của hàm liên tục u: [0, T] → 𝐿2(𝛺) được bổ sung theo chuẩn
||𝑢||𝐶([0,𝑇];𝐿2(𝛺)) ≔ max
[0,𝑇] ||𝑢(𝑡)||𝐿2(𝛺) (3.12) Như thường lệ, chúng ta ký hiệu 𝐶𝑝(𝑋, 𝑌) là tập ánh xạ 𝐶𝑝 từ X đến Y.
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 57 Bây giờ chúng ta có thể đưa ra một công thức chính xác cho vấn đề chúng ta quan tâm. Chúng ta cần các điều kiện tiên quyết sau đây (Pc):
Giả thiết rằng 𝑓 ∈ 𝐿∞(𝛺), 𝜌 > 0, và 𝜎, 𝑇 > 0.
𝑐ℎ𝑜 𝑎 ≔ ess inf
𝛺 𝑓 , 𝑏 ≔ ess sup 𝛺
𝑓, và xem xét bài toán
𝜕𝑡𝑢 = 𝑑𝑖𝑣(𝐷(𝐽𝜌(∇𝑢𝜎))∇𝑢) trên Ω × (0, T],
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) trên Ω,
〈𝐷 (𝐽𝜌(∇𝑢𝜎)) ∇𝑢, 𝑛〉 = 0 trên Γ × (0, T] ,
Trong đó tensor khuếch tán 𝐷 = (𝑑𝑖𝑗) thỏa mãn các tính chất sau:
(TC1) Độ trơn:
𝐷 ∈ 𝐶∞(ℝ2×2, ℝ2×2)
(TC2) Tính đối xứng:
𝑑12(𝐽) = 𝑑21(𝐽) đối với tất cả các ma trận đối xưng 𝐽 ∈ ℝ2×2
(TC3) Tính xác định dương phân bố đều:
Đối với tất cả 𝑤 ∈ 𝐿∞(𝛺, ℝ2) với |𝑤(𝑥)| ≤ 𝐾 trên 𝛺̅, tồn tại một cận dưới dương 𝑣(𝐾) cho các giá trị riêng của 𝐷(𝐽𝜌(𝑤)).
Theo những giả thiết này định lý sau sẽ tổng quát hóa và mở rộng những kết quả được chứng minh.
Định lý 1 (giả định đúng, tính quy luật, nguyên lý cực trị)
Bài toán đặt ra ở trên (Pc) có một cách giải duy nhất u(x, t) theo tính phân bố thỏa mãn
𝑢 ∈ 𝐶([0, 𝑇]; 𝐿2(𝛺)) ∩ 𝐿2(0, 𝑇; 𝐻1(𝛺)) (3.13)
𝜕𝑡𝑢 ∈ 𝐿2(0, 𝑇; 𝐻1(𝛺)) (3.14) Hơn nữa, 𝑢 ∈ 𝐶∞(𝛺̅ × (0, 𝑇]). Cách giải này phụ thuộc vào tính liên tục của f với
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 58
𝑎 ≤ 𝑢(𝑥, 𝑡) ≤ 𝑏 𝑡𝑟ê𝑛 𝛺 × (0, 𝑇] (3.15)
3.1.4 Đặc điểm quy mô không gian
3.1.4.1 Tính bất biến
Cho u(x, t) là giải pháp duy nhất của (Pc) và định nghĩa toán tử quy mô không gian Tt bởi
𝑇𝑡𝑓 ≔ 𝑢(𝑡), 𝑡 ≥ 0 (3.16) Trong đó 𝑢(𝑡) ≔ 𝑢(. , 𝑡)
Các đặc điểm chúng ta thảo luận ở đây sẽ minh họa tính bất biến của Tt liên quan tới một vài biến đổi ảnh P đặc trưng bởi phép giao hoán Tt và P.
Tính bất biến thay đổi mức xám
Khi tensor khuếch tán chỉ là một hàm của 𝐽𝜌(∇𝑢𝜎), nhưng không phải của u, chúng ta có thể thay đổi dải mức xám bởi một hằng số C tùy ý, và ảnh được lọc cũng sẽ thay đổi theo cùng hằng số. Hơn nữa, lọc khuếch tán không ảnh hưởng tới hàm liên tục. Vì vậy, chúng ta có
𝑇𝑡(0) = 0 (3.17)
𝑇𝑡(𝑓 + 𝐶) = 𝑇𝑡(𝑓) + 𝐶 ∀𝑡 ≥ 0 (3.18)
Tính bất biến tương phản nghịch đảo
Từ 𝐷 (𝐽𝜌(−∇𝑢𝜎)) = 𝐷(𝐽𝜌(∇𝑢𝜎)), suy ra rằng
𝑇𝑡(−𝑓) = −𝑇𝑡(𝑓) ∀𝑡 ≥ 0 (3.19) Các phương trình quy mô không gian hình thái học cổ điển thực hiện tính chất này như sự giãn nở và ăn mòn. Khi nghịch đảo độ tương phản, có sự trao đổi vai trò cũng như sự giãn nở và ăn mòn.
Tính bất biến mức xám trung bình
Tính bất biến mức xám trung bình là một tính chất sâu hơn trong các quy mô không gian khuếch tán khác với các quy mô không gian hình thái. Nói chung, phép
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 59 khai triển PDEs sau này không thuộc dạng thức phân kỳ và không bảo toàn giá trị màu xám trung bình. Người ta thiết lập một giá trị màu xám trung bình không đổi cho quy mô không gian dựa trên các thuật toán phân đoạn như hyperstack. Điều đó cũng cho thấy chất lượng mong muốn trong các ứng dụng ảnh y tế trong đó giá trị màu xám đo chất lượng vật lý của các đối tượng được mô tả, ví dụ như mật độ proton trong các ảnh MR.
Mệnh đề 1 (Bảo toàn giá trị màu xám trung bình)
Giá trị màu xám trung bình
𝜇 ≔ 1
|𝛺|∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑍
𝛺
(3.20)
không bị ảnh hưởng bởi lọc khuếch tán phi tuyến:
1 |𝛺|∫ 𝑇𝑡𝑓𝑑𝑥 𝑍 𝛺 = 𝜇 ∀𝑡 > 0 (3.21) Tính bất biến tịnh tiến
Định nghĩa một phép tịnh tiến (𝜏ℎ𝑓)(𝑥) ≔ 𝑓(𝑥 + ℎ). Sau đó thực hiện lọc khuếch tán
𝑇𝑡(𝜏ℎ𝑓) = 𝜏ℎ(𝑇𝑡𝑓) ∀𝑡 ≥ 0 (3.22) Đây là một hệ quả của tensor khuếch tán phụ thuộc vào 𝐽𝜌(∇𝑢𝜎), nhưng không thể hiện rõ trên x.
Tính bất biến đẳng tích
Cho R ∈ℝ2×2 là một phép tịnh tiến trực giao. Nếu chúng ta áp dụng R cho f bằng cách định nghĩa 𝑅𝑓(𝑥) ≔ 𝑓(𝑅𝑥), sau đó thay đổi các giá trị riêng của tensor khuếch tán và tịnh tiến bất cứ vector riêng 𝑣 nào vào trong 𝑅𝑣. Vì vậy, nó khiến cho việc áp dụng tịnh tiến trực giao trước hay sau lọc khuếch tán không có sự khác biệt:
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 60
3.1.4.2 Tính chất giảm lược thông tin
Tính chất không tăng cường cực trị cục bộ
Koenderink đã đưa ra yêu cầu một phép khai triển quy mô không gian không tạo ra các đặc tuyến mới khi tăng tham số quy mô. Nếu điều này thỏa mãn, mật độ đẳng hướng có thể liên kết thông qua quy mô và một cấu trúc trên một quy mô sơ bộ (theo nguyên lý) được truy hồi tới ảnh gốc (quan hệ nhân quả). Vì lý do này, ông đã áp dụng trên đường cực trị không gian với các thành phần không triệt tiêu của các đường đẳng phốt Hessian theo quy mô không gian hướng lên mặt lồi. Ông đã chỉ ra rằng điều kiện này viết như sau
𝑠𝑔𝑛(𝜕𝑡𝑢) = 𝑠𝑔𝑛(∆𝑢) (3.24) Một điều kiện đủ để phương trình (3.24) đảm bảo được yêu cầu đường cực trị cục bộ với các thành phần Hessian xác định dương hoặc âm không được tăng cường: một cực trị theo ξ tại thời điểm θ thỏa mãn 𝜕𝑡𝑢 > 0 nếu ξ là một cực tiểu, và 𝜕𝑡𝑢 < 0 nếu ξ là một cực đại. Điều này có thể dễ dàng thấy được: trong trường hợp đầu tiên, ví dụ, các giá trị riêng η1, η2 của Hessian Hess(u) là dương. Vì vậy,
∆𝑢 = 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝐻𝑒𝑠𝑠(𝑢)) = 𝜂1+ 𝜂2 > 0 (3.25) cho ta yêu cầu quan hệ nhân quả (3.24) ngay lập tức.
Babaud đã lần đầu tiên sử dụng tính chất không tăng cường của cực trị cục bộ trong trường hợp lọc khuếch tán tuyến tính. Tuy nhiên, nó cũng thỏa mãn các quy mô không gian khuếch tán phi tuyến, chúng ta sẽ xem xét định lý để thấy rõ hơn.
Định lý 2 (Tính chất không tăng cường cực trị cục bộ)
Cho u là giải pháp duy nhất của (Pc) và xem xét một số θ > 0. Giả thiết 𝜉 ∈ 𝛺 là một cực trị cục bộ của u(., θ) với Hessian không triệt tiêu. Vì vậy ta có
𝜕𝑡𝑢(𝜉, 𝜃) < 0, 𝑛ế𝑢 𝜉 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐ự𝑐 đạ𝑖 (3.26)
𝜕𝑡𝑢(𝜉, 𝜃) > 0, 𝑛ế𝑢 𝜉 𝑙à 𝑚ộ𝑡 𝑐ự𝑐 𝑡𝑖ể𝑢 (3.27)
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 61 Vì các quy mô không gian nhằm mục đích đơn giản hóa một bức ảnh thành các tập con, với 𝑡 → ∞, chúng ta thu được biểu diễn ảnh đơn giản nhất có thể, gọi là ảnh liên tục với cùng giá trị xám như ảnh ban đầu. Các điều kiện định lý tiếp theo mà lọc khuếch tán không đẳng hướng luôn dẫn đến một trạng thái ổn định không đổi. Điều này là do lớp hàm Lyapunov được kết hợp với quá trình khuếch tán.
Định lý 3 (Các hàm Lyapunov với 𝒕 → ∞)
Giả thiết rằng u là giải pháp của (Pc) và cho a, b, μ và M định nghĩa trong (Pc), (3.20) và (3.22). Vì vậy theo các tính chất sau đây:
1) (Các hàm Lyapunov)
Với mọi 𝑟 ∈ 𝐶2[𝑎, 𝑏] với 𝑟′′ > 0 trên [a, b], hàm
𝑉(𝑡) ≔ 𝛷(𝑢(𝑡)) ≔ ∫ 𝑟(𝑢(𝑥, 𝑡))𝑑𝑥 𝑍 𝛺 (3.28) Là một hàm Lyapunov: i. 𝛷(𝑢(𝑡)) ≥ 𝛷(𝑀𝑓) với mọi 𝑡 ≥ 0.
ii. 𝑉 ∈ [0, ∞) ∩ 𝐶1(0, ∞) 𝑣à 𝑉′(𝑡) ≤ 0 với mọi t > 0.
Hơn nữa, nếu 𝑟′′ > 0 𝑡𝑟ê𝑛 [𝑎, 𝑏], 𝑡ℎì 𝑉(𝑡) = 𝛷(𝑢(𝑡)) là một hàm Lyapunov:
iii. 𝛷(𝑢(𝑡)) = 𝛷(𝑀𝑓) ⇔ {𝑢(𝑡) = 𝑀𝑓 𝑡𝑟ê𝑛 𝛺̅ (𝑛ế𝑢 𝑡 > 0) 𝑢(𝑡) = 𝑀𝑓 𝑡𝑟ê𝑛 𝛺 (𝑛ế𝑢 𝑡 = 0)
iv. Nếu t > 0, thì 𝑉′(𝑡) = 0 nếu và chỉ nếu 𝑢(𝑡) = 𝑀𝑓 𝑡𝑟ê𝑛 𝛺̅.
v. 𝑉(0) = 𝑉(𝑇) 𝑣ớ𝑖 𝑇 > 0 ⇔ {𝑓 = 𝑀𝑓 𝑡𝑟ê𝑛 𝛺 𝑣à 𝑢(𝑡) = 𝑀𝑓 𝑡𝑟ê𝑛 𝛺̅ × (0, 𝑇] 2) (Tính hội tụ) lim 𝑡→∞‖𝑢(𝑡) − 𝑀𝑓‖𝐿𝑝(𝛺) 𝑣ớ𝑖 𝑝 ∈ [1, ∞) (a) 𝑇𝑟𝑜𝑛𝑔 𝑡𝑟ườ𝑛𝑔 ℎợ𝑝 1𝐷, 𝑠ự ℎộ𝑖 𝑡ụ lim 𝑡→∞𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢 𝑙à đơ𝑛 đ𝑖ệ𝑢 𝑡𝑟ê𝑛 𝛺̅ (b)
Vì lớp (Pc) không ảnh hưởng tới nâng cao độ tương phản nó cho phép quá trình khuếch tán thuận cạnh tranh với khuếch tán nghịch. Định lý 3 cho thấy tầm quan
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 62 trọng của nó khi chuẩn hóa bằng cách chập với 𝐾𝜎 kiểm soát khuếch tán nghịch theo cách như vậy khuếch tán thuận chiếm ưu thế trong thời gian dài. Hơn nữa, sự tranh chấp phát triển theo một hướng nhất định trong hầu hết thời gian: mặc dù khuếch tán nghịch có thể ưu thế cục bộ, nhưng kết quả toàn cục-được biểu thị bởi hàm Lyapunov- trở nên tốt hơn cho khuếch tán thuận về lâu dài.
Hệ quả 1 (Các hàm Lyapunov đặc biệt)
Cho u là giải pháp của (Pc) và a và 𝜇 được định nghĩa như trong (Pc) và (3.20). Các hàm sau là nghịch biến với 𝑡 ∈ [0, ∞):
(a)‖𝑢(𝑡)‖𝐿𝑝(𝛺) với mọi 𝑝 ≥ 2. (b) 𝑀2𝑛[𝑢(𝑡)] ≔ 1
|𝛺|∫ (𝑢(𝑥, 𝑡) − 𝜇)𝛺𝑍 2𝑛𝑑𝑥 với mọi 𝑛 ∈ℕ. (c) 𝐻[𝑢(𝑡)] ≔ ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)ln (𝑢(𝑥, 𝑡))𝛺𝑍 𝑑𝑥 nếu a > 0.
Hệ quả 1 đưa ra nhiều khả năng để giải thích lọc khuếch tán không đẳng hướng phi tuyến như một biến đổi làm trơn.
Theo trường hợp (a) nó cho thấy năng lượng ‖𝑢(𝑡)‖𝐿2(𝛺)
2 bị suy giảm bởi khuếch tán.
Phần (b) đưa ra một giải thích về mặt xác suất về lọc khuếch tán không đẳng hướng. Xem xét cường độ trong một ảnh f như một biến ngẫu nhiên 𝑍𝑓 với phân bố
𝐹𝑓(𝑧)-xác suất để một giá trị xám tùy ý 𝑍𝑓 của f không vượt quá z. Bởi tính bất biến mức xám trung bình, 𝜇 bằng giá trị dự kiến
𝐸𝑍𝑢(𝑡) ≔ ∫ 𝑧𝑑𝐹𝑢(𝑡)(𝑧) 𝑍
𝐼𝑅
(3.29) Và nó cho thấy rằng 𝑀2𝑛[𝑢(𝑡)] chỉ là mô men trung tâm
∫(𝑧 − 𝐸𝑍𝑢(𝑡))2𝑛𝑑𝐹𝑢(𝑡) 𝑍
𝐼𝑅
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 63 Mô men trung tâm thứ hai (biến) biểu thị sự mở rộng cường độ trung bình của nó. Nó là một công cụ phổ biến cho các trường cấu trúc liên quan đến tính làm trơn của sự phân bố cường độ. Thường sử dụng mô men thứ tư để mô tả mối quan hệ với tính làm phẳng của phân bố giá trị xám. Các mô men cao hơn thì phức tạp hơn, mặc dù chúng cung cấp các thông tin quan trọng cho các tác vụ như phân biệt các cấu trúc. Tất cả sự suy giảm thậm chí các mô men đều chứng minh rằng ảnh trở nên trơn hơn khi lọc khuếch tán. Vì vậy, các tác động cục bộ như tăng cường biên làm tăng mô men trung tâm được bù bởi việc làm trơn trong các vùng khác.
Nếu chúng ta chọn một mô hình xác suất khác của các ảnh, thì phần (c) biểu thị thông tin lý thuyết của quy mô không gian. Cho ảnh ban đầu f là xác định dương trên Ω, chúng ta có thể coi như nó cũng là một mật độ hai chiều. Thì,
𝑆[𝑢(𝑡)] ≔ − ∫ 𝑢(𝑥, 𝑡)ln (𝑢(𝑥, 𝑡))𝑑𝑥 𝑍
𝛺
(3.31) Được gọi là entropy của 𝑢(𝑡), một biện pháp không ổn định và thiếu thông tin. Vì các bộ lọc khuếch tán không đẳng hướng tăng entropy tương ứng với quy mô không gian chứa ảnh f thực trong một họ các tập của nó bao gồm các tập thiếu thông tin. Hơn nữa, với 𝑡 → ∞, quá trình đạt đến trạng thái với những thông tin có thể thấp nhất, cụ thể là ảnh liên tục. Sự giảm lược thông tin này cho thấy khuếch tán không đẳng hướng có thể hữu ích trong trường hợp nén ảnh. Đặc biệt, nó giúp giải thích về sự thành công của lọc khuếch tán phi tuyến như là một bước tiền xử lý cho việc lấy mẫu con được khảo sát.
Tuy nhiên, trong trường hợp khuếch tán phi tuyến thì nó phức tạp hơn. Vì việc làm trơn là không thống nhất, người ta chỉ có thể xác định biện pháp trung bình cho biểu diễn toàn cục. Có thể đạt được điều này bằng cách thực hiện một số hàm Lyapunov 𝛷(𝑢(𝑡)) và khảo sát biểu thức
𝛹(𝑢(𝑡)) ≔𝛷(𝑓) − 𝛷(𝑢(𝑡))
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 64 Chúng ta thấy rằng 𝛹(𝑡) đồng biến từ 0 đến 1. Nó cho biết tính toàn cục trung bình của u(t) và có thể dùng giá trị của nó để đo khoảng cách của u(t) từ trạng thái f ban đầu và trạng thái Mf cuối cùng. Việc quy định một giá trị xác định cho Ψ cung cấp cho chúng ta một tiêu chí cho một nghiệm về sau cho thời gian dừng của quá trình khuếch tán phi tuyến.