Chương 3 Các Mô Hình Lọc Khuếch Tán
3.2 Lọc khuếch tán bán rời rạc
Mục tiêu của phần này là nghiên cứu trường hợp bán rời rạc cho các quy mô không gian khuếch tán, ở đó ảnh được lấy mẫu trên một lưới xác định và tham số quy mô là liên tục. Điều này dẫn đến một hệ phương trình vi phân phi tuyến (ODEs). Chúng ta sẽ thấy rằng tồn tại một ngưỡng hữu hạn trên một phép xấp xỉ vi phân của các dẫn xuất không gian phù hợp với quy mô không gian bán rời rạc.
3.2.1 Mô hình tổng quan
Có thể coi một ảnh rời rạc là một vector 𝑓 ∈ℝN, 𝑁 ≥ 2, và các thành phần của nó 𝑓𝑗, j = 1,...,N biểu diễn các giá trị xám tại mỗi pixel. Chúng ta ký hiệu tập
{1, … . , 𝑁} là J. Để xác định các yêu cầu cho lớp bộ lọc bán rời rạc chúng ta nhắc lại một định nghĩa về các ma trận bất khả quy.
Định nghĩa 1 (Tính bất khả quy). Một ma trận 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) ∈ ℝ𝑁×𝑁 được gọi là bất khả quy nếu với bất kỳ i, j ∈ J nào tồn tại 𝑘0, … , 𝑘𝑟 ∈ J với 𝑘0 = 𝑖 và 𝑘𝑟 = 𝑗 như vậy
𝑎𝑘𝑝𝑘𝑝+1 ≠ 0 với p = 0,...,r – 1.
Bài toán bán rời rạc (Ps) liên quan đến một bài toán được định nghĩa theo cách sau đây:
Cho 𝑓 ∈ ℝ𝑁. Tìm một hàm 𝑢 ∈ 𝐶1([0, ∞), ℝ𝑁) thỏa mãn bài toán giá trị ban đầu như sau 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 𝐴(𝑢)𝑢, 𝑢(0) = 𝑓 Trong đó 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) có các tính chất sau:
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 65
(S1) Tính liên tục-Lipschitz của 𝐴 ∈ 𝐶(ℝ𝑁, ℝ𝑁×𝑁) với mọi tập con bị chặn của ℝ𝑁,
(S2) Tính đối xứng: 𝑎𝑖𝑗(𝑢) = 𝑎𝑗𝑖(𝑢) ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑢 ∈ ℝ𝑁
(S3) Triệt tiêu các tổng hàng: ∑ 𝑎𝑖𝑗(𝑢) = 0 ∀𝑖 ∈ 𝐽, ∀𝑢 ∈ ℝ𝑁
𝑗∈𝐽
(S4) Tính không âm ngoài đường chéo: 𝑎𝑖𝑗(𝑢) ≥ 0 ∀𝑖 ≠ 𝑗, ∀𝑢 ∈ ℝ𝑁
(S5) Tính bất khả quy với mọi 𝑢 ∈ ℝ𝑁.
Không phải tất cả những yêu cầu này là cần thiết cho mọi kết quả lý thuyết dưới đây. (S1) là cần thiết cho bài toán giả định đúng, phần chứng minh của nguyên lý max-min bao hàm cả (S3) và (S4), trong khi tính bất biến giá trị xám trung bình sử dụng (S2) và (S3). Sự tồn tại của các hàm Lyapunov có thể thiết lập bằng cách (S2) – (S4), và các hàm Lyapunov chặt và hội tụ đến một trạng thái ổn định yêu cầu (S5) bổ sung vào (S2) – (S4).
Điều này chứng tỏ rằng các tính chất này cho thấy một vài ưu điểm đồng thời với các biểu thức liên tục từ Phần 3.1: trong cả hai trường hợp chúng ta cần các giả thiết làm trơn để đảm bảo bài toán giả định đúng; (S2) và (S3) tương ứng với cấu trúc xác định của biểu thức div với một tensor khuếch tán đối xứng D, trong khi (S4) và (S5) đóng một vai trò tương tự như tính không âm của các giá trị riêng của D và tính xác định dương đơn điệu tương ứng của nó.
3.2.2 Kết quả lý thuyết
Định lý 4 (Bài toán giả định đúng, nguyên lý cực trị).
Với mọi T > 0 bài toán (Ps) có một cách giải duy nhất 𝑢(𝑡) ∈ 𝐶1([0, 𝑇), ℝ𝑁). Cách giải này phụ thuộc một cách liên tục vào giá trị ban đầu và vế phải của hệ ODE, và nó thỏa mãn nguyên lý cực trị
𝑎 ≤ 𝑢𝑖(𝑡) ≤ 𝑏 ∀𝑖 ∈ 𝐽, ∀𝑡 ∈ [0, 𝑇] (3.33) Trong đó
𝑎 ≔ min
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 66
𝑏 ≔ max
𝑗∈𝐽 𝑓𝑗 (3.35)
3.2.3 Đặc điểm quy mô không gian
Rõ ràng rằng các tính chất như tính bất biến thay đổi màu xám hay tính bất biến tương phản nghịch tự thỏa mãn theo sự xấp xỉ bán rời rạc ổn định của lớp bộ lọc liên tục (Pc). Nói cách khác, tính bất biến chuyển đổi chỉ tạo chiều cho biến đổi theo hướng lưới với các phép nhân của kích thước lưới, và tính bất biến đẳng tích được thỏa mãn cho các nghiên cứu tính phi mâu thuẫn cho tới lỗi rời rạc hóa. Bây giờ chúng ta sẽ tập trung vào tính bất biến mức xám trung bình.
Mệnh đề 2 (Sự bảo toàn giá trị mức xám trung bình)
Mức xám trung bình
𝜇 ≔ 1 𝑁∑ 𝑓𝑗
𝑗∈𝐽 (3.36)
không bị ảnh hưởng bởi bộ lọc khuếch tán bán rời rạc:
1
𝑁∑ 𝑢𝑗(𝑡) = 𝜇 ∀𝑡 ≥ 0
𝑗∈𝐽 (3.37)
Tính chất này thì hoàn toàn phù hợp với kết quả cho lớp bộ lọc liên tục. Tương tự như biểu thức liên tục, cũng có thể tìm thấy một lớp lớn các hàm Lyapunov mà thiết lập các tính chất quy mô không gian làm trơn với cùng mức xám trung bình như ảnh ban đầu.
Định lý 5 (Các hàm Lyapunov và hoạt động với 𝒕 → ∞)
Cho u(t) là giải pháp của (Ps), cho a, b, và 𝜇 được định nghĩa như trong (3.33), (3.34), và (3.36), và cho 𝑐 ≔ (𝜇, 𝜇 … , 𝜇)⊤∈ 𝐼𝑅𝑁.
Thì các tính chất sau đấy là đúng: (a)Các hàm Lyapunov
Với mọi 𝑟 ∈ 𝐶1[𝑎, 𝑏] với việc tăng 𝑟′ trên [𝑎, 𝑏], hàm sau là một hàm Lyapunov:
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 67
𝑉(𝑡) ≔ 𝛷(𝑢(𝑡)) ≔ ∑ 𝑟(𝑢𝑖(𝑡) 𝑖∈𝐽
(1)𝛷(𝑢) ≥ 𝛷(𝑐) 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑡 ≥ 0.
(2) 𝑉 ∈ 𝐶1[0, ∞) 𝑣à 𝑉′(𝑡) ≤ 0 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑡 ≥ 0
Hơn nữa, nếu 𝑟′ là đồng biến chặt trên [𝑎, 𝑏], thì 𝑉(𝑡) = 𝛷(𝑢(𝑡)) là một hàm Lyapunov chặt: (3)𝛷(𝑢) = 𝛷(𝑐) ⇔ 𝑢 = 𝑐 (4)𝑉′(𝑡) = 0 ⇔ 𝑢 = 𝑐 (b)Sự hội tụ lim 𝑡→∞𝑢(𝑡) = 𝑐
Hệ quả 2 (Các hàm Lyapunov đặc biệt)
Cho u là giải pháp của (Ps) và a và μ được định nghĩa như trong (3.34) và (3.36). Vì các hàm sau đây là nghịch biến với 𝑡 ∈ [0, ∞):
(a)‖𝑢(𝑡)‖𝑝 với mọi 𝑝 ≥ 2. (b)𝑀2𝑛[𝑢(𝑡)] ≔ 1
𝑁∑𝑁 (𝑢𝑗(𝑡) − 𝜇)2𝑛
𝑗=1 𝑣ớ𝑖 𝑚ọ𝑖 𝑛 ∈ 𝐼𝑁. (c) 𝐻[𝑢(𝑡)] ≔ ∑𝑁 𝑢𝑗(𝑡) ln (𝑢𝑗(𝑡)) , 𝑛ế𝑢 𝑎 > 0
𝑗=1 .
Vì tất cả p-mức (𝑝 ≥ 2) và tất cả mômen trung tâm đều nghịch biến, trong khi entropy rời rạc
𝑆[𝑢(𝑡)] ≔ − ∑ 𝑢𝑗(𝑡)𝑙𝑛 (𝑢𝑗(𝑡)) 𝑁
𝑗=1 (3.38)
thì đồng biến tương ứng với t, chúng ta thấy rằng biểu thức bán rời rạc bộc lộ các tính chất quy mô không gian làm trơn có quan hệ chặt chẽ với trường hợp liên tục.3.2.4 Mối quan hệ với mô hình liên tục
3.2.4.1 Trường hợp đẳng hướng
Cho một mẫu chữ nhật 𝛺 = (0, 𝑎1) × (0, 𝑎2) được rời rạc bởi một lưới 𝑁 = 𝑛1∙ 𝑛2 pixels như vậy một pixel (i, j) với 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛1 và 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛2 biểu diễn vùng (𝑥𝑖, 𝑦𝑗) trong đó
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 68
𝑥𝑖 ≔ (𝑖 −1
2) ℎ1 (3.39)
𝑦𝑗 ≔ (𝑗 −1
2) ℎ2 (3.40)
và kích thước lưới ℎ1, ℎ2 được định nghĩa theo ℎ1 ≔ 𝑎1/𝑛1 và ℎ2 ≔ 𝑎2/𝑛2.
Những pixel này có thể được đánh số theo trung bình của một song ánh tùy ý bất kỳ
𝑝: {1, … , 𝑛1} × {1, … , 𝑛2} → {1, … , 𝑁} (3.41) Vì vậy, pixel (i, j) được biểu diễn bởi một hệ số duy nhất 𝑝(𝑖, 𝑗).
Bây giờ chúng ta kiểm chứng rằng sự rời rạc hóa không gian FD của một biến đẳng hướng của (Pc) dẫn đến một bộ lọc bán rời rạc thỏa mãn các yêu cầu (S1)-(S5). Để kết luận, chúng ta có thể thay thế tensor khuếch tán 𝐷(𝐽𝜌(∇𝑢𝜎)) bằng một số hàm giá trị vô hướng 𝑔(𝐽𝜌(∇𝑢𝜎)). Tensor cấu trúc yêu cầu việc tính toán các phép nhân chập với ∇𝐾𝜎 và 𝐾𝜌 tương ứng. Trong trường hợp rời rạc không gian điều này dẫn đến các phép nhân vector-ma trận xác định. Vì lý do này, chúng ta có thể lấy xấp xỉ tensor cấu trúc bởi một số ma trận 𝐻(𝑢) = (ℎ𝑖𝑗(𝑢)) trong đó 𝐻 ∈ 𝐶∞(ℝ𝑁, ℝ2×2). Tiếp theo, chúng ta xem xét một số pixel 𝑘 = 𝑝(𝑖, 𝑗). Thì một sự rời rạc hóa không gian phi mâu thuẫn của phương trình khuếch tán đẳng hướng với các điều kiện biên Neumann đồng nhất có thể viết sau như sau
𝑑𝑢𝑘 𝑑𝑡 = ∑ ∑ 𝑔𝑙 + 𝑔𝑘 2ℎ𝑙2 (𝑢𝑙− 𝑢𝑘) 𝑙∈𝑁𝑛(𝑘) 2 𝑛=1 (3.42)
Trong đó 𝑁𝑛(𝑘) bao gồm một hoặc hai lân cận của pixel k dọc theo trục tọa độ n-th (các pixel ở biên chỉ có một lận cận) và 𝑔𝑘 ≔ 𝑔((𝐻(𝑢))𝑘).
Trong biểu thức vector-ma trận (3.42) trở thành
𝑑𝑢
𝑑𝑡 = 𝐴(𝑢)𝑢
(3.43)
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 69 𝑎𝑘𝑙 ≔ { 𝑔𝑙+ 𝑔𝑘 2ℎ𝑛2 (𝑙 ∈ 𝑁𝑛(𝑘)) − ∑ ∑ 𝑔𝑙 + 𝑔𝑘 2ℎ𝑛2 𝑙∈𝑁𝑛(𝑘) 2 𝑛=1 (𝑙 = 𝑘) 0 (𝑐ò𝑛 𝑙ạ𝑖) (3.44)
Bây giờ chúng ta chứng minh rằng (S1) – (S5) thực thi được
Vì 𝐻 ∈ 𝐶∞(ℝ𝑁, ℝ2×2) và 𝑔 ∈ 𝐶∞(ℝ2×2), chúng ta có 𝐴 ∈ 𝐶∞(ℝ𝑁, ℝ𝑁×𝑁). Điều này chứng minh cho (S1).
Tính đối xứng của A suy ra trực tiếp từ (3.43) và tính đối xứng của lân cận liên quan:
𝑙 ∈ 𝑁𝑛(𝑘) ⇔ 𝑘 ∈ 𝑁𝑛(𝑙)
Theo cấu trúc của A nó cũng thể hiện rằng tất cả các hàng có tổng bằng 0, chứng tỏ (S3) được thỏa mãn. Hơn nữa, vì g là dương, suy ra 𝑎𝑘𝑙 ≥ 0 với mọi 𝑘 ≠ 𝑙 và vì vậy (S4) cố định.
Để chỉ ra rằng A là bất khả quy, chúng ta xem xét hai pixel k và l bất kỳ. Thì chúng ta có thể thấy 𝑘0, … , 𝑘𝑟 ∈ 𝐽 với 𝑘0 = 𝑘 và 𝑘𝑟 = 𝑙 như vậy 𝑎𝑘𝑞𝑘𝑞+1 ≠ 0 với
𝑞 = 0, … , 𝑟 − 1. Nếu 𝑘 = 𝑙, chúng ta có từ (3.65) rằng 𝑎𝑘𝑘 < 0. Trong trường hợp này chúng ta có 𝑘 = 𝑘0 = 𝑘𝑟 = 𝑙. Với 𝑘 ≠ 𝑙, chúng ta có thể chọn bất kỳ 𝑘0, … , 𝑘𝑟, như vậy 𝑘𝑞 và 𝑘𝑞+1 là các lân cận với 𝑞 = 0, … , 𝑟 − 1. Ta có,
𝑎𝑘𝑞𝑘𝑞+1 =𝑔𝑘𝑞 + 𝑔𝑘𝑞+1 2ℎ𝑛2 > 0
Với một số 𝑛 ∈ {1,2}. Điều này chứng minh cho (S5).
3.2.4.2 Trường hợp không đẳng hướng
Định lý 6 (Sự tồn tại của một sự rời rạc hóa không âm).
Cho 𝐷 ∈ ℝ2×2 là đối xứng dương với một số điều kiện thế k. Thì tồn tại một số
𝑚(𝑘) ∈ 𝐼𝑁 như vậy 𝑑𝑖𝑣(𝐷∇𝑢) cho thấy một rời rạc hóa FD không âm bậc hai trên một khuôn mẫu (2𝑚 + 1) × (2𝑚 + 1).
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 70
Kết luận:
Chúng ta thấy rằng việc chứng minh tồn tại trước đó là sự suy luận. Hơn nữa, chỉ ba chiều là đủ để đảm bảo cho việc phân chia có hướng không âm. Vì vậy, trừ khi m là rất nhỏ, hầu hết các hệ số chiều có thể thiết lập bằng không.
Đặc biệt với m rất lớn, một mẫu (2𝑚 + 1) × (2𝑚 + 1) cho thấy nhiều hướng hơn những mẫu 4m bao gồm các pixel biên 8m. Vì vậy, thậm chí nếu chúng ta chỉ sử dụng 3 chiều, chúng ta có thể tìm thấy những ước lượng chặt chẽ hơn trong chứng minh. Có thể chứng minh những ước lượng này bằng cách cho vào nhiều hơn 3 chiều.
Với một hàm tensor khuếch tán D xác định có thể có những tiên đoán cho kích thước mẫu được yêu cầu: bằng việc sử dụng nguyên lý cực trị không khó để chỉ ra rằng
|∇𝑢𝜎(𝑥, 𝑡)| = |(∇𝐾𝜎 ∗ 𝑢)(𝑥, 𝑡)| ≤4‖𝑓‖𝐿∞(𝛺)
√2𝜋𝜎 𝑡𝑟ê𝑛 𝛺̅ × (0, ∞)
Theo sự hội tụ dương của D tồn tại một giới hạn trên với một số điều kiện thế của Đ. Điều kiện giới hạn này có thể sử dụng để điều chỉnh kích thước mẫu.
Sự tồn tại của một phân cấp chiều không âm phân biệt lớp bộ lọc (Pc) với các phương trình không đẳng hướng hình thái như chuyển động đặc tuyến trung bình. Trong trường hợp này có thể chứng minh rằng có thể tìm thấy phân cấp có hướng không âm trên một mẫu hữu hạn.
Sau đây là một ví dụ thực tế minh họa ý tưởng chứng minh Định lý 6. Chúng ta muốn tìm sự rời rạc hóa không gian không âm của 𝑑𝑖𝑣(𝐷∇𝑢) trên một mẫu (3x3), trong đó
𝐷 = (𝑎 𝑏 𝑏 𝑐)
và a, b, và c có thể là hàm của 𝐽𝜌(∇𝑢𝜎).
Khi m=1 chúng ta có một phân đoạn của (−𝜋 2,𝜋
2] vào trong các khoảng con 4m – 2 = 2:
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 71 (−𝜋 2, 𝜋 2] = (−π 2, 0] ∪ (0, π 2] = : 𝐼−1∪ 𝐼1
𝐼−1 và 𝐼1 phụ thuộc vào các góc lưới
𝛽−1 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (−ℎ2 ℎ1) 𝛽1 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (ℎ2
ℎ1) =: 𝛽
Đầu tiên chúng ta tập trung vào trướng hợp 𝜓 ∈ 𝐼1 trong đó (𝑐𝑜𝑠𝜓, 𝑠𝑖𝑛𝜓) chỉ thị vector riêng cho giá trị riêng 𝜆1 của D. Với các biểu diễn từ chứng minh của Định lý 6 chúng ta có 𝜃1 =𝜋 2 𝜌1 =𝜃1+ 𝛽1 2 = 𝜋 4+ 𝛽 2 𝜂1 =𝛽 2 Vì vậy, chúng ta có 𝑐𝑜𝑡(𝜌1− 𝛽1)𝑡𝑎𝑛𝜌1 = 𝑐𝑜𝑡 (𝜋 4− 𝛽 2) 𝑡𝑎𝑛 (𝜋 4+ 𝛽 2) = 1 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 1 − 𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑐𝑜𝑡(𝛽1− 𝜂1)𝑐𝑜𝑡 𝜂1 = 𝑐𝑜𝑡2(𝛽 2) = 1 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛽
Điều này hạn chế số điều kiện trên cho sự rời rạc hóa không âm với 𝜓 ∈ 𝐼1 để
𝐾1,1 ≔ 𝑚𝑖𝑛 (1 + 𝑠𝑖𝑛𝛽 1 − 𝑠𝑖𝑛𝛽,
1 + 𝑐𝑜𝑠𝛽 1 − 𝑐𝑜𝑠𝛽)
(3.45)
Theo tính đối xứng chúng ta thu được cùng điều kiện giới hạn với 𝜓 ∈ 𝐼−1. Theo điều kiện các biên đạt được giá trị cực đại của chúng với ℎ1 = ℎ2. Trong trường hợp này
𝛽 = 𝜋
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 72 𝐾1,1 = 𝐾−1,1 =1 + 1 2 √2 1 −12 √2 = 3 + 2√2 ≈ 5.8284 (3.46)
Chúng ta có các biểu thức cho các khuếch tán có hướng
𝛼−1 = (|𝑏| − 𝑏) ∙ℎ2 2+ ℎ22 2ℎ1ℎ2 𝛼0 = 𝑎 − |𝑏| ∙ℎ1 ℎ2 𝛼1 = (|𝑏| + 𝑏) ∙ℎ2 2+ ℎ22 2ℎ1ℎ2 𝛼2 = 𝑐 −ℎ2 ℎ1 3.3 Lọc khuếch tán rời rạc
Phần này giới thiệu một lớp rời rạc của các quá trình khuếch tán với các nội dung tương tự như trong trường hợp bán rời rạc liên quan đến sự tồn tại, tính duy nhất, sự phụ thuộc liên tục của giải pháp trên ảnh ban đầu, nguyên lý max-min, tính bất biến mức xám trung bình, các chuỗi Lyapunov và tính hội tụ tới một trạng thái ổn định không đổi.
3.3.1 Mô hình tổng quan
Như trong Phần 3.2 chúng ta coi ảnh ban đầu như một vector 𝑓 ∈ ℝ𝑁, 𝑁 ≥ 2, và biểu diễn hệ số tập {1, … , 𝑁} bằng J. Chúng ta xem xét lớp bộ lọc rời rạc (Pd) sau đây:
Cho 𝑓 ∈ ℝ𝑁. Tính toán một chuỗi (𝑢(𝑘))
𝑘∈𝐼𝑁0 của các tập được xử lý của f bởi
𝑢(0) = 𝑓
𝑢(𝑘+1) = 𝑄(𝑢(𝑘))𝑢(𝑘), ∀𝑘 ∈ ℕ0
Trong đó 𝑄 = (𝑞𝑖𝑗) có các tính chất sau:
(D1) tính liên tục trong đối số của nó: 𝑄 ∈ 𝐶(ℝ𝑁, ℝ𝑁×𝑁), (D2) tính đối xứng: 𝑞𝑖𝑗(𝑣) = 𝑞𝑗𝑖(𝑣) ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑣 ∈ ℝ𝑁,
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 73 (D3) tổng hàng là đơn vị: ∑𝑗∈𝐽𝑞𝑖𝑗(𝑣) = 1 ∀𝑖 ∈ 𝐽, ∀𝑣 ∈ ℝ𝑁,
(D4) tính không âm: 𝑞𝑖𝑗(𝑣) ≥ 0 ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐽, ∀𝑣 ∈ ℝ𝑁, (D5) tính bất khả quy với mọi 𝑣 ∈ ℝ𝑁,
(D6) đường chéo dương: 𝑞𝑖𝑖(𝑣) > 0 ∀𝑖 ∈ 𝐽, ∀𝑣 ∈ ℝ𝑁.
3.3.2 Kết quả lý thuyết
Mệnh đề 3 (Nguyên lý cực trị)
Cho 𝑓 ∈ ℝ𝑁 và cho (𝑢(𝑘))
𝑘∈ℕ0 là chuỗi của các ảnh được lọc theo (Pd). Thì ,
𝑎 ≤ 𝑢𝑖(𝑘)≤ 𝑏 ∀𝑖 ∈ 𝐽, ∀𝑘 ∈ ℕ0 (3.47) Trong đó 𝑎 ≔ min 𝑗∈𝐽 𝑓𝑗 (3.48) 𝑏 ≔ max 𝑗∈𝐽 𝑓𝑗 (3.49)
3.3.3 Đặc điểm quy mô không gian
Mệnh đề 4 (Sự bảo toàn giá trị xám trung bình)
Giá trị xám trung bình
𝜇 ≔ 1 𝑁∑ 𝑓𝑗
𝑗∈𝐽 (3.50)
không bị ảnh hưởng bởi bộ lọc khuếch tán rời rạc
1
𝑁∑ 𝑢𝑗(𝑘) = 𝜇 𝑗∈𝐽
∀𝑘 ∈ ℕ0
(3.51) Lớp (Pd) cho phép thực thi như một biến đổi làm trơn trong các số hạng của các chuỗi Lyapunov. Các hàm này đảm bảo rằng 𝑢(𝑘) hội tụ đến một ảnh liên tục khi 𝑘 → ∞. Tuy nhiên, chúng ta cần ít tính liên tục hơn trong trường hợp bán rời rạc: hàm lồi r tạo ra các chuỗi Lyapunov chỉ cần liên tục, nhưng không khả vi hơn.
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 74 Giả thiết rằng (𝑢(𝑘))
𝑘∈ℕ0 thỏa mãn các yêu cầu của (Pd), cho a, b, và μ được định nghĩa như trong (3.49), (3.50), và (3.51) tương ứng, và 𝑐 ≔ (𝜇, 𝜇, … , 𝜇)⊤ ∈ ℝ𝑁. Thì các tính chất sau là đầy đủ:
(a)(Các chuỗi Lyapunov)
Với mọi đường lồi 𝑟 ∈ 𝐶[𝑎, 𝑏] chuỗi
𝑉(𝑘) ≔ 𝛷(𝑢(𝑘)) ≔ ∑ 𝑟(𝑢𝑖(𝑘)), 𝑘 ∈ ℕ0 𝑖∈𝐽
là một chuỗi Lyapunov:
(i) 𝛷(𝑢(𝑘)) ≥ 𝛷(𝑐) ∀𝑘 ∈ ℕ0
(ii) 𝑉(𝑘+1)− 𝑉(𝑘)≤ 0 ∀𝑘 ∈ ℕ0
Hơn nữa, nếu r là lồi chặt, thì 𝑉(𝑘) = 𝛷(𝑐) là chuỗi Lyapunov chặt: (iii) 𝛷(𝑢(𝑘)) = 𝛷(𝑐) ⇔ 𝑢(𝑘) = 𝑐
(iv) 𝑉(𝑘+1) − 𝑉(𝑘) = 0 ⇔ 𝑢(𝑘) = 𝑐
(b)(Tính hội tụ)
lim
𝑘→∞𝑢(𝑘) = 𝑐
Theo một cách tương tự như trường hợp bán rời rạc định lý trước đó bao gồm nhiều hàm Lyapunov chứng minh được chất lượng giảm lược thông tin của lớp bộ lọc của chúng ta. Việc lựa chọn các hàm lồi 𝑟(𝑠) ≔ |𝑠|𝑝, 𝑟(𝑠) ≔ (𝑠 − 𝜇)2𝑛 và
𝑟(𝑠) ≔ 𝑠. 𝑙𝑛𝑠, chúng ta thu được hệ quả sau.
Hệ quả 3 (Các chuỗi Lyapunov đặc biệt)
Cho (𝑢(𝑘))
𝑘∈ℕ0 là một chuỗi khuếch tán theo (Pd), và cho a và μ được định nghĩa như trong (3.49) và (3.51). Thì các hàm sau là đồng biến theo k:
(1) |𝑢(𝑘)| 𝑝 ∀𝑝 ≥ 1 (2) 𝑀2𝑛[𝑢(𝑘)] ≔ 1 𝑁∑(𝑢𝑗(𝑘)− 𝜇)2𝑛 𝑁 𝑗=1 ∀𝑛 ∈ ℕ
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 75 (3) 𝐻[𝑢(𝑘)] ≔ ∑ 𝑢𝑗(𝑘)𝑙𝑛(𝑢𝑗(𝑘)), 𝑛ế𝑢 𝑎 > 0
𝑁 𝑗=1
3.4 Lọc khuếch tán kết hợp biến đổi curvelet
3.4.1 Giới thiệu
Khử nhiễu ảnh là một hoạt động quan trọng trong xử lý ảnh. Các công cụ liên quan đến vấn đề này xuất phát từ rất nhiều lĩnh vực khác nhau như Phân tích tính toán sóng hài (CHA) và các phương trình vi phân từng phần (PDEs). Chúng thỏa mãn cùng mục đích khử nhiễu; khử nhiễu từ tín hiệu được khảo sát không làm mất các cấu trúc gián đoạn quan trọng như các biên. Một cách tổng quan, các công cụ xuất phát từ CHA như wavelet có nhiều tính chất hứa hẹn cho việc phân tích các điểm kỳ dị và tính toán phức hiệu quả, nhưng bị ảnh hưởng từ các thành phần lạ pseudo-Gibbs và biến phân dịch/quay. Các phương pháp tiếp cận mới như wavelet phức và curvelet đã cố gắng khắc phục những vấn đề này một cách độc lập.
Ứng dụng của PDE như khuếch tán phi tuyến, các phương pháp biến phân và các tập mức thì hầu như thoát ra khỏi những hạn chế của CHA ở trên, nhưng phải trả giá đắt cho việc tính toán đó là nó không phù hợp cho các ứng dụng thời gian quan trọng. Hai hướng bị phản đối trong thời gian dài, nhưng nghiên cứu gần đây đang ngày càng tập trung vào việc kết hợp cả hai. Regularization biến phân toàn phần (TV) được kết hợp với wavelet để giảm các thành phần lạ pseudo-Gibbs dẫn đến wavelet shrinkage. Mối quan hệ giữa wavelet shrinkage, khuếch tán phi tuyến, và regularization đã được nghiên cứu [9,11]. Mối quan hệ này cung cấp sự trao đổi hiệu quả của các ý tưởng giữa hai hướng. Gần đây, khuếch tán tập trung vào wavelet shrinkage với bất biến quay được cải thiện được khảo sát [8]. Nói cách khác, một wavelet mới tập trung vào nghiên cứu tường minh cho phép các bước thời gian lớn hơn trong khi vẫn bảo toàn sự hội tụ đã được đề xuất cho khuếch tán phi tuyến [10].