Sự giãn nở và ăn mòn với các hàm cấu trúc bậc hai có thể phân chia và do đó chúng có thể được thực hiện rất hiệu quả bằng cách áp dụng các hoạt động một-chiều. Một thuật toán nhanh được mô tả bởi van den Boomgaard [51]. Đối với các hoạt động hình thái với các nhân tố cấu trúc phẳng, việc xử lý trở nên phức tạp hơn. Các nghiên cứu về sự giãn nở và ăn mòn dựa trên phát triển đặc tuyến cho thấy khó khăn để xử
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 45 lý: chúng không cho phép các bước thời gian nhỏ, và bị các vấn đề hạn chế với các điểm kỳ dị và các thay đổi topo.
Vì lý do này nó rất hữu ích cho việc rời rạc hóa các phương trình phát triển ảnh tương ứng. Các nghiên cứu của Osher-Sthian được sử dụng phổ biến dựa trên ý tưởng xuất phát từ các phương pháp số cho các phương trình như vậy từ các kỹ thuật cho các định luật bảo toàn hypebol. Để minh họa ý tưởng cơ bản với một ví dụ đơn giản, chúng ta chỉ xét phương trình giãn nở một-chiều 𝜕𝑡𝑢 = |𝜕𝑥𝑢|. Một định hướng đầu tiên trong nghiên cứu của Osher-Sethian cho quá trình này được biểu diễn bởi phương trình sau: 𝑢𝑖𝑛+1− 𝑢𝑖𝑛 𝜏 = √(𝑚𝑖𝑛 ( 𝑢𝑖𝑛− 𝑢𝑖−1𝑛 ℎ , 0)) 2 + (𝑚𝑖𝑛 (𝑢𝑖+1 𝑛 − 𝑢𝑖𝑛 ℎ , 0)) 2 , (2.78)
Trong đó h là kích thước pixel, 𝜏 là kích thước bước nhảy thời gian, và 𝑢𝑖𝑛 chỉ thị một phép lấy xấp xỉ rời rạc của u(ih, n𝜏). Các phương pháp thiết lập mức có hai ưu điểm hơn hẳn so với các nghiên cứu lý thuyết tập hợp cho giãn nở/ăn mòn:
1) Chúng cho các kết quả tốt đối với các nhân tố cấu trúc có thể mở rộng phi số có các khuôn mẫu không thể biểu diễn được một cách chính xác trên một lưới rời rạc, ví dụ các dạng đĩa hoặc elip.
2) Thời gian t đóng vai trò là một tham số quy mô liên tục. Do đó, kích thước của một nhân tố cấu trúc không cần phải là bội số của kích thước pixel, và nó có thể nhận được các kết quả với độ chính xác phân điểm ảnh.
Tuy nhiên, chúng cũng cho thấy hai nhược điểm:
1) Chúng chậm hơn các nghiên cứu hình thái lý thuyết tập hợp. 2) Tác động khuyết tán như làm mờ không liên tục xảy ra.
Để giải quyết vấn đề đầu tiên, các kỹ thuật thúc đẩy sự phát triển các khuôn mẫu được đề xuất mà chỉ sử dụng các điểm gần với đặc tuyến tại mỗi bước nhảy thời gian. Việc làm mờ không liên tục có thể được tối thiểu hóa bằng cách áp dụng kỹ thuật bắt xung như các nghiên cứu ENO bậc cao.
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 46