Nordstrom đã đề nghị để thiết lập lại u của một ảnh bị xuống cấp f bằng cách tối thiểu hàm năng lượng
𝐸𝑓(𝑢, 𝑤) ≔ ∫(𝛽(𝑢 − 𝑓)2) + 𝑤|∇𝑢|2+ 𝜆2(𝑤 − 𝑙𝑛𝑤) 𝑍
𝛺
𝑑𝑥 (2.47)
Tham số β và λ là các trọng số dương và 𝑤: 𝛺 → [0, 1] cho một biểu diễn biên mờ: trong một vùng, w tiến dần đến 1 trong khi ở các biên, w thì gần bằng 0. Số hạng đầu tiên của E gây ra các sai số của u từ f (giá trị sai số), số hạng thứ hai phát hiện sự không làm trơn của u trong từng vùng (giá trị ổn định), và số hạng cuối cùng đo sự phát triển biên (giá trị biên). Giá trị của ba số hạng này là điển hình cho các phương pháp phục hồi ảnh biến phân.
Các phương trình Euler tương ứng với hàm năng lượng này được viết như sau
0 = 𝛽(𝑢 − 𝑓) − 𝑑𝑖𝑣(𝑤∇𝑢) (2.48) 0 = 𝜆2(1 − 1
𝑤) + |∇𝑢|2 (2.49) Với một điều kiện biên đồng nhất cho u. Giải (2.48) cho w ta được
𝑤 = 1
1 + |∇𝑢|2/𝜆2
(2.50)
Chúng ta thấy rằng w là giống hệt nhau với khuếch tán Perona-Malik 𝑔(|∇𝑢|2)
đã được đề cập trong (2.27). Do đó, (2.48) có thể được coi như phương trình trạng thái ổn định của
𝜕𝑡𝑢 = 𝑑𝑖𝑣(𝑔(|∇𝑢|2)∇𝑢) + 𝛽(𝑓 − 𝑢). (2.51) Phương trình này cũng có thể đạt được một cách trực tiếp như phương pháp nghịch biến của hàm 𝐹𝑓(𝑢) ≔ ∫(𝛽(𝑢 − 𝑓)2+ 𝜆2ln (1 +|∇𝑢|2 𝜆2 )) 𝑍 𝛺 𝑑𝑥 (2.52)
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 38 Phương trình phản ứng khuếch tán (2.51) bao gồm quá trình Perona-Malik với một số hạng sai số 𝛽(𝑓 − 𝑢). Một trong những nguyên nhân mà Norstrom đưa số hạng này vào là để tháo gỡ khó khăn trong việc xác định thời gian dừng thích hợp cho quá trình Perona-Malik. Tuy nhiên, mô hình của Norstrom chỉ thay đổi vấn đề trong việc xác định thời gian dừng T cho vấn đề xác định β. Do vậy, nó có vẻ là vấn đề cảm tính mà công thức được ưu tiên. Những người quan tâm tới việc phục hồi ảnh thường chú ý tới một số hạng phản ứng hơn, trong khi đối với các nhà nghiên cứu quy mô không gian điều đó dễ dàng hơn để có một hằng số trạng thái ổn định như các biểu diễn ảnh đơn giản nhất.
Phương pháp của Norstrom có thể chịu ảnh hưởng từ bài toán giả định sai như phương trình Perona-Malik cơ bản, và điều đó không phải là khó để chứng minh rằng hàm năng lượng (2.52) là không lồi. Do đó, nó có thể có nhiều cực tiểu cục bộ và quá trình (2.51) với f là điều kiện ban đầu không nhất thiết phải hội tụ tới một cực tiểu toàn cục. Những khó khăn tương tự cũng có thể xảy ra trong các mô hình phản ứng khuếch tán, trong đó các kết quả hội tụ chưa được thiết lập [152, 186].
Những cách phổ biến để tránh những vấn đề giả định sai và hội tụ này là loại bỏ các khuếch tán tăng cường biên để kết thúc với (không phải là bậc hai) các hàm lồi. Trong trường hợp này các nghiên cứu về tối ưu hóa mặt lồi và các hoạt động đơn điệu được áp dụng, việc đảm bảo giả định đúng và tính ổn định của một sự xấp xỉ thành phần hữu hạn tiêu chuẩn.
Các phương pháp tiếp cận phản ứng khuếch tán đã được áp dụng để dò biên, để khôi phục ảnh tán xạ ngược, để SPECT và xây dựng lại hình ảnh mạch máu trong ảnh y tế, và các vấn đề quang học và âm thanh stereo. Chúng có thể được mở rộng với các ảnh có giá trị vector và để bảo toàn góc làm trơn của các đường cong. Phản ứng khuếch tán, các phương pháp với các khuếch tán không đổi cũng được sử dụng cho việc chuẩn hóa tương phản cục bộ trong ảnh.