Sự chuyển động
Mặc dù các phương pháp làm trơn bất biến Euclide là đủ trong nhiều ứng dụng, nhưng vẫn tồn tại một số vấn đề yêu cầu bất biến đối với các biến đổi afin. Một biến đổi afin là một ánh xạ
𝑥 → 𝐴𝑥 + 𝑏 (2.90)
Trong đó 𝑏 ∈ ℝ2 biểu thị một vector chuyển đổi và ma trận 𝐴 ∈ ℝ2⨯2 khả nghịch. Các biến đổi afin phát sinh như các méo dạng của đối tượng phẳng được quan sát từ một khoảng cách lớn theo nhiều góc độ khác nhau.
Khuếch tán trong bất biến afin
Tương tự với dòng nhiệt bất biến Euclide, Sapiro và Tannenbaum đã xây dựng một dòng bất biến afin bằng cách thay thế độ dài cung Euclide 𝑣(𝑝, 𝑡) trong (2.89) bởi một độ dài cung s(p, t) bất biến đối với các biến đổi afin với det(A)=1. Một độ dài cung afin như vậy đã được đề nghị bởi Blaschke năm 1923. Nó được đặc trưng bởi det(𝐶𝑠, 𝐶𝑠𝑠) = 1, và nó có thể được tính toán như sau:
𝑠(𝑝, 𝑡) ≔ ∫(det (𝐶𝜌(𝜌, 𝑡), 𝐶𝜌𝜌(𝜌, 𝑡)))13 𝑃 0 𝑑𝜌 (2.91) Nhờ có 𝜕𝑠𝑠𝐶(𝑝, 𝑡) = (𝐾(𝑝, 𝑡)) 1 3. 𝑛(𝑝, 𝑡) (2.92)
Chúng ta thu được dòng nhiệt bất biến afin
𝜕𝑡𝐶(𝑝, 𝑡) = (𝐾(𝑝, 𝑡)) 1
3. 𝑛(𝑝, 𝑡), (2.93) 𝐶(𝑝, 0) = 𝐶0(𝑝) (2.94)
Phát triển ảnh bất biến afin
Khi đề cập tới các đặc tuyến C(p, t) như một đường mức của một ảnh u(x, t), chúng ta kết thúc với việc giải phương trình
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 49 𝜕𝑡𝑢 = |∇𝑢|(𝑐𝑢𝑟𝑣(𝑢)) 1 3 (2.95) = (𝑢𝑥22𝑢𝑥1𝑥1− 2𝑢𝑥1𝑢𝑥2𝑢𝑥1𝑥2 + 𝑢𝑥21𝑢𝑥2𝑥2) 1 3 (2.96) = |∇𝑢|23𝑢𝜉𝜉 1 3 (2.97)
Trong đó ξ là hướng vuông góc với ∇𝑢. Sự khai triển thời gian của ảnh theo một khai triển như vậy tương tự với dạng đặc tuyến trung bình. Bên cạnh cái tên dòng nhiệt bất biến afin, phương trình này cũng được gọi là dòng rút ngắn thời gian afin,quy mô không gian hình thái afin (AMSS), và phương trình cơ bản trong xử lý ảnh. Phương trình phát triển ảnh này được phát hiện một cách độc lập và đồng thời với phương pháp tiếp cận phát triển đặc tuyến của Sapiro và Tannenbaum bởi Alvarez, Guichard, Lions và Morel qua một phương pháp tiếp cận quy mô không gian tiên đề.
Các kết quả lý thuyết
Các đặc tính phát triển đặc tuyến của dòng nhiệt bất biến afin có thể được biểu diễn tương tự như trong trường hợp bất biến Euclide, với ba ngoại lệ:
1) Đường cong khép kín thu nhỏ đến các điểm với một elip khi hạn chế hình dạng (các điểm elip).
2) Cái tên dòng rút ngắn thời gian afin phản ánh thực tế rằng, theo tất cả các dòng
𝐶𝑡 = 𝐶𝑞𝑞, tham số độ dài cung afin 𝑞(𝑝) ≔ 𝑠(𝑝) là cách nhanh nhất để thu nhỏ chu vi afin
𝐿(𝑡) ≔ ∮(det(𝐶𝑝(𝑝, 𝑡), 𝐶𝑝𝑝(𝑝, 𝑡))) 1
3𝑑𝑝 (2.98)
3) Thời gian cho việc thu nhỏ một đường tròn bán kính σ thành một điểm là
𝑇 =3 4𝜎
4
3 (2.99)
Đối với phương trình phát triển ảnh (2.96) chúng ta có các kết quả tương tự như đối với MCM và giãn nở/ăn mòn liên quan đến giả định đúng của một giải pháp ổn định thỏa mãn nguyên lý max-min.
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 50
Đặc điểm quy mô không gian
Alvarez, Guichard, Lions và Morel đã chứng minh rằng (2.96) là duy nhất khi áp dụng trên các tiên đề quy mô không gian cho (2.77) một tiên đề bất biến afin bổ sung: Đối với mọi ma trận khả nghịch 𝐴 ∈ ℝ2⨯2 và với tất cả 𝑡 ≥ 0, tồn tại một thời gian điều chỉnh lại 𝑡′(𝑡, 𝐴) ≥ 0, như vậy ta có
𝑇𝑡(𝐴𝑓) = 𝐴(𝑇𝑡′𝑓) ∀𝑓 ∈ 𝐵𝑈𝐶(𝐼𝑅2) (2.100) Vì lý do này nó được gọi là phương trình AMSS – phương trình cơ bản trong phân tích ảnh.