Chúng ta sẽ xem xét một nhân tố cấu trúc lồi tB với môt tham số quy mô t > 0. Sau đó, tính toán 𝑢(𝑡) = 𝑓 ⊕ 𝑡𝐵 và 𝑢(𝑡) = 𝑓 ⊝ 𝑡𝐵, tương ứng có thể được biểu diễn thành phương trình để giải
𝜕𝑡𝑢(𝑥, 𝑡) = sup 𝑦∈𝐵
〈𝑦, ∇𝑢(𝑥, 𝑡)〉 (2.64)
𝜕𝑡𝑢(𝑥, 𝑡) = inf
𝑦∈𝐵〈𝑦, ∇𝑢(𝑥, 𝑡)〉 (2.65) Với f là điều kiện ban đầu.
Bằng cách chọn ví dụ 𝐵 ≔ {𝑦 ∈ ℝ2, |𝑦| ≤ 1} chúng ta được
𝜕𝑡𝑢 = |∇𝑢|, (2.66)
𝜕𝑡𝑢 = −|∇𝑢. | (2.67) Giải pháp u(t) là sự giãn nở (tương ứng với sự ăn mòn) của f với một đĩa bán kính t và tâm 0 như nhân tố cấu trúc.
Liên hệ với sự phát triển đặc tuyến, các PDE hình thái như (2.66) hay (2.67) liên quan chặt chẽ với khuôn mẫu và sự phát triển đặc tuyến. Điều này có thể được minh họa bằng cách xem xét một đặc tuyến làm trơn Jordan 𝐶: [0, 2𝜋] ⨯ [0, ∞) → ℝ2,
𝐶(𝑝, 𝑡) = (𝑥1(𝑝, 𝑡) 𝑥2(𝑝, 𝑡))
(2.68)
Trong đó p là một sự tham số hóa và t là tham số khai triển. Chúng ta giả sử C phát triển theo hướng bình thường bên ngoài n với tốc độ β, có thể là một hàm đặc tuyến của nó 𝐾 ≔ det (𝐶𝑝,𝐶𝑝𝑝)
|𝐶𝑃|3 :
𝜕𝑡𝐶 = 𝛽(𝐾). 𝑛, (2.69)
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 43 Người ta có thể áp dụng đặc tuyến C(p, t) vào trong một ảnh u(x, t) theo cách mà C chỉ là một mức đặc tuyến của u. Sự khai triển tương ứng cho u được cho bởi
𝜕𝑡𝑢 = 𝛽(𝑐𝑢𝑟𝑣(𝑢)). |∇𝑢| (2.71) Trong đó đặc tuyến của u là
𝑐𝑢𝑟𝑣(𝑢) ≔ 𝑑𝑖𝑣 ( ∇𝑢
|∇𝑢|) (2.72)
Đôi khi phát triển ảnh (2.71) được gọi là công thức Euler của sự phát triển đặc tuyến (2.69), bởi vì nó được viết theo thuật ngữ của một hệ tọa độ cố định. Chúng ta thấy rằng (2.66) và (2.67) tương ứng với các trường hợp 𝛽 = ±1. Do đó, chúng mô tả các phát triển đặc tuyến
𝜕𝑡𝐶 = ±𝑛 (2.73)
Phương trình này dịch chuyển các tập mức theo hướng thông thường với tốc độ không đổi. Một quá trình như vậy cũng được đặt tên là grassfire hay prairie.