Tất cả các bộ lọc khuếch tán phi tuyến mà chúng ta đã khảo sát cho tới lúc này đều sử dụng một khuếch tán vô hướng có giá trị g được điều chỉnh cho phù hợp với cấu trúc ảnh cơ bản. Vì vậy, chúng là đẳng hướng và thông lượng 𝑗 = −𝑔∇𝑢 luôn song song với ∇𝑢. Tuy nhiên trong một số ứng dụng nhất định nó là điều mong muốn để đặc tuyến thông lượng hướng tới các đặc tính đang quan tâm. Những yêu cầu này không thể được thỏa mãn bởi một khuếch tán vô hướng nữa, một tensor khuếch tán dẫn đến các bộ lọc khuếch tán không đẳng hướng phải được đưa vào ứng dụng. Ý tưởng không đẳng hướng đầu tiên trong xử lý ảnh là của Graham vào năm 1962, sau đó là Newman và Dirilten, Lev, Zucker và Rosenfeld, và Nagao và Matsuyama. Họ đã sử dụng các mặt nạ chập mà phụ thuộc vào cấu trúc ảnh cơ bản. Liên quan đến phương pháp tiếp cận thống kê đã được đề xuất bởi knutsson, Wilson và Granlund. Những ý tưởng này đã tiếp tục được phát triển bởi Nitzberg và Shiota, Lindeberg và Garding, và Yang. Họ đề nghị sử dụng các dạng mặt nạ Gauss phù hợp. Các bộ lọc khuếch tán không đẳng hướng thường áp dụng các chiến lược qui chuẩn không gian. Một nghiên cứu lý thuyết tổng quan cho các bộ lọc khuếch tán không đẳng hướng được qui chuẩn không gian sẽ được trình bày ở các phần tiếp theo.
Dưới đây là hai nghiên cứu đại diện về quá trình khuếch tán không đẳng hướng. Nghiên cứu đầu tiên cho thấy các ưu điểm với các cạnh nhiễu, trong khi nghiên cứu thứ hai là sự thích nghi tốt với việc xử lý các đặc tính một chiều. Chúng được gọi tương ứng là khuếch tán không đẳng hướng tăng cường biên và khuếch tán không đẳng hướng thích nghi.
a) Qui chuẩn không đẳng hướng của quá trình Perona-Malik
Theo bản chất của một phương trình khuếch tán đẳng hướng phi tuyến phân đoạn (2.37) hoạt động giống như bộ lọc khuếch tán tuyến tính (2.9), nhưng tại các biên sự khuếch tán bị hạn chế. Vì vậy, nhiễu ở các biên không thể loại bỏ được bởi quá trình này. Để khắc phục vấn đề này, một giải pháp mong đợi hơn là khuếch tán dọc theo các biên để khuếch tán vuông góc với chúng. Các mô hình không đẳng hướng không chỉ tính đến các mô đun của bộ dò biên ∇𝑢𝜎
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 36 mà còn cả hướng của nó. Chúng ta sẽ xây dựng hệ trực giao của các vetor đặc trưng 𝑣1 , 𝑣2 của tensor khuếch tán D phản ánh cấu trúc biên được ước lượng:
𝑣1||∇𝑢𝜎, 𝑣2 ⊥ ∇𝑢𝜎 (2.42) Để làm trơn dọc theo biên hơn là làm trơn ngang qua nó, Weickert đã đề xuất để lựa chọn các giá trị riêng tương ứng 𝜆1 và 𝜆2 khi
𝜆1(∇𝑢𝜎) ≔ 𝑔(|∇𝑢𝜎|2) (2.43)
𝜆2(∇𝑢𝜎) ≔ 1 (2.44) Một cách tổng quan, ∇𝑢 không trùng với các vector riêng của D khi σ > 0. Do đó, mô hình này hoạt động không đẳng hướng thực sự. Nếu chúng ta cho tham số qui chuẩn σ tiến dần về 0, chúng ta kết thúc với quá trình Perona-Malik đẳng hướng.
b) Các mô hình không đẳng hướng trong việc làm trơn các đối tượng một chiều
Lý do thứ hai cho việc đưa không đẳng hướng vào quá trình khuếch tán xuất phát từ mong muốn xử lý các đặc tính một chiều như các cấu trúc cạnh. Cottet và Germain đã xây dựng một tensor khuếch tán với các vector riêng như trong (2.42) và các giá trị riêng tương ứng
𝜆1(∇𝑢𝜎) ≔ 0 (2.45) 𝜆2(∇𝑢𝜎) ≔ 𝜂|∇𝑢𝜎| 2 1 + (|∇𝑢𝜎| 𝜎 ) 2 (𝜂 > 0) (2.46)
Đây là một quá trình khuếch tán cơ bản trực giao với ∇𝑢𝜎. Với 𝜎 → 0, chúng ta thấy rằng ∇𝑢 trở thành một vector riêng của D với giá trị riêng tương ứng 0. Vì vậy, quá trình dừng lại hoàn toàn. Theo hướng này, nó sẽ không đi tới một qui chuẩn không đẳng hướng của phương trình Perona-Malik. Các kết quả giả định đúng cho bộ lọc Cottet-Germain bao gồm một thử một cho các giải pháp không ổn định. Khi mô hình Cottet-Germain khuếch tán chỉ theo một hướng, nó xóa kết quả mà phụ thuộc rất nhiều vào hướng làm trơn. Với việc tăng cường các cấu trúc cạnh song song, người ta có thể chứng minh mô hình này khi thay thế ∇𝑢𝜎⊥ bằng một bộ mô tả mạnh hơn sự định hướng cục bộ, tensor cấu trúc. Điều này dẫn đến khuếch tán không đẳng hướng thích nghi.
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 37