Để bắt đầu đi vào thảo luận PDE hình thái dựa trên đặc tuyến, chúng ta nhớ lại phương trình khuếch tán tuyến tính (2.9) có thể được viết lại như sau:
𝜕𝑡𝑢 = 𝜕𝜂𝜂𝑢 + 𝜕𝜉𝜉𝑢 (2.79) Trong đó các vector đơn vị η và ξ thì tương ứng song song và vuông góc với ∇𝑢. Số hạng đầu tiên bên phải của (2.79) mô tả việc làm trơn dọc theo các cạnh, trong khi số hạng thứ hai làm trơn dọc theo các đường đẳng phốt. Khi chúng ta muốn làm trơn ảnh không đẳng hướng dọc theo đường đẳng phốt của nó, chúng ta có thể bỏ qua số hạng đầu tiên và kết thúc với bài toán:
𝜕𝑡𝑢 = 𝜕𝜉𝜉𝑢 (2.80)
𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥) (2.81) Theo các tính toán đơn giản người ta xác minh rằng (2.79) cũng có thể được viết như sau: 𝜕𝑡𝑢 = 𝑢𝑥22 𝑢𝑥1𝑥1−2𝑢𝑥1𝑢𝑥2𝑢𝑥1𝑥2+𝑢𝑥12 𝑢𝑥2𝑥2 𝑢𝑥12 +𝑢𝑥22 (2.82) = ∆𝑢 − 1 |∇𝑢|2〈∇𝑢, 𝐻𝑒𝑠𝑠(𝑢)∇𝑢〉 (2.83) = |∇𝑢|𝑐𝑢𝑟𝑣(𝑢) (2.84) Khi 𝑐𝑢𝑟𝑣(𝑢) = 𝑑𝑖𝑣 (∇𝑢
|∇𝑢|) thì đặc tuyến của u (đặc tuyến trung bình đối với các chiều ≥ 3), phương trình (2.94) được đặt tên là dạng đặc tuyến trung bình (MCM). Tương ứng với giải pháp đặc tuyến
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 47
𝜕𝑡𝐶(𝑝, 𝑡) = 𝐾(𝑝, 𝑡). 𝑛(𝑝, 𝑡) (2.85) chỉ ra rằng (2.80) truyền đường đẳng phốt vào bên trong theo hường bình thường với một vận tốc được cho bởi đặc tuyến 𝐾 =det (𝐶𝑝,𝐶𝑝𝑝)
|𝐶𝑝|3 .
Các quá trình của loại bộ lọc này được nghiên cứu đầu tiên bởi Brakke năm 1978. Tầm quan trọng của MCM trong xử lý ảnh chỉ trở nên rõ ràng trong thời gian gần đây: theo như sự giải thích một cách dễ hiểu trên một tờ báo bởi Guichard và Morel, dạng đặc tuyến trung bình có thể được coi là quá trình giới hạn khi các hoạt động hình thái cổ điển như bộ lọc trung vị được áp dụng nhiều lần.
Bản chất dòng nhiệt
Có tồn tại thêm một liên hệ giữa khuếch tán tuyến tính và chuyển động bởi đặc tuyến. Cho 𝑣(𝑝, 𝑡) biểu thị độ dài đặc tuyến Euclide của 𝐶(𝑝, 𝑡) tức là:
𝑣(𝑝, 𝑡) ≔ ∫ |𝐶𝑝(𝜌, 𝑡)|𝑑𝜌 𝑝
0
(2.86)
Trong đó 𝐶𝜌 ≔ 𝜕𝜌𝐶. Độ dài đặc tuyến Euclide được xác định bởi |𝐶𝑣| = 1. Nó bất biến theo biến đổi Euclide, tức là ánh xạ
𝑥 → 𝑅𝑥 + 𝑏 (2.87)
Trong đó 𝑅 ∈ ℝ2⨯2 biểu thị một ma trận luân phiên và 𝑏 ∈ ℝ2 là một vector chuyển đổi. Khi nó được biết đến từ hình học vi phân rằng:
𝐾(𝑝, 𝑡). 𝑛(𝑝, 𝑡) = 𝜕𝑣𝑣𝐶(𝑝, 𝑡) (2.88) Chúng ta thấy rằng đặc tuyến động có thể được coi như khuếch tán bất biến Euclide của các đường đẳng phốt:
𝜕𝑡𝐶(𝑝, 𝑡) = 𝜕𝑣𝑣𝐶(𝑝, 𝑡) (2.89) Đây là phương trình về bản chất nhiệt hình học, khi nó không phụ thuộc vào các tham số đặc tuyến. Tuy nhiên, trên thực tế - mặc dù phương trình này trông giống như một phương trình nhiệt một-chiều tuyến tính, nhưng nó phi tuyến khi độ dài đặc tuyến v lại là một hàm của đặc tuyến.
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 48