Các phương trình như (2.73) có thể phát triển các hình dạng dị thường và tương giao thậm chí cho dữ liệu làm trơn ban đầu. Do đó, các khái niệm về các điều kiện bước nhảy, các giải pháp entropy phải được áp dụng cho sự phát triển khuôn mẫu này.
Một nghiên cứu phù hợp cho phương trình phát triển ảnh (2.71) được đưa ra bởi lý thuyết về các giải pháp tính ổn định. Ưu điểm của phân tích này là nó cho phép chúng ta điều chỉnh các khuôn mẫu với các hình dạng dị thường như các góc, ở đó khái niệm giải pháp cổ điển không áp dụng, nhưng một giải pháp không ổn định duy nhất trong thử nghiệm tính ổn định vẫn tồn tại. Nó có thể được biểu diễn cho một giá trị ban đầu
𝑓 ∈ 𝐵𝑈𝐶(ℝ2) ≔ {𝜑 ∈ 𝐿∞(ℝ2)|𝜑 𝑙𝑖ê𝑛 𝑡ụ𝑐 đề𝑢 𝑡𝑟ê𝑛 ℝ2 } (2.74) Phương trình (2.64), (2.65) có một giải pháp ổn định cục bộ duy nhất u(x, t) thực hiện nguyên lý max-min
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 44
inf
ℝ2𝑓 ≤ 𝑢(𝑥, 𝑡) ≤ sup ℝ2
𝑓 𝑡𝑟ê𝑛 ℝ2⨯ [0, ∞) (2.75) Hơn nữa, nó là 𝐿∞- ổn định: cho hai ảnh ban đầu khác nhau f, g tương ứng với các giải pháp u(t), v(t) thỏa mãn
||𝑢(𝑡) − 𝑣(𝑡)||𝐿∞(ℝ2) ≤ ||𝐹 − 𝐺||𝐿∞(ℝ2) (2.76)
2.5.5 Đặc điểm quy mô không gian
Brockett và Maragos đã chỉ ra rằng mặt lồi của B là đủ để đảm bảo tính chất nửa nhóm của sự giãn nở và sự ăn mòn tương ứng. Điều này tạo ra một đặc điểm quy mô không gian kiến trúc quan trọng. Các kết quả tương tự được tìm thấy bởi van den Boomgaard và Smeulders. Hơn nữa, họ giả định một tính chất nhân quả ở nơi mà các hình dạng dị thường đóng một vai trò tương tự cho các điểm về không trong quy mô không gian Gauss.
Một sự giải thích quy mô không gian một cách đầy đủ thuộc về Alvarez, Guichard, Lions và Morel: họ chứng minh điều đó theo ba giả thuyết kiến trúc (tính chất nửa nhóm, tính cục bộ, và tính quy luật), một trong những tiên đề làm trơn (nguyên lý so sánh) và bổ sung các điều kiện bất biến (bất biến chuyển vị thang màu xám, bất biến theo phép quay và tịnh tiến, bất biến hình thái), một phương trình quy mô không gian hai chiều có dạng như sau:
𝜕𝑡𝑢 = |∇𝑢|𝐹(𝑡, 𝑐𝑢𝑟𝑣(𝑢)) (2.77) Có thể thấy một cách rõ ràng, sự giãn nở và ăn mòn thuộc về lớp (2.77), do đó nó là phương trình phù hợp cho quy mô không gian hình thái. Thực vậy, trong [12] nó cho thấy rằng định lý đảo là đúng: tất cả các định lý đó dẫn tới (2.77) là phù hợp.