Mumford và Shah đã đề xuất để có được một ảnh được phân đoạn u từ f bằng cách tối thiểu hàm
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 39 𝐸𝑓(𝑢, 𝐾) = 𝛽 ∫(𝑢 − 𝑓)2𝑑𝑥 + ∫ |∇𝑢|2𝑑𝑥 + 𝛼|𝐾| 𝑍 𝛺/𝐾 𝑍 𝛺 (2.53)
Với các tham số không âm α và β. Tập gián đoạn K bao gồm các biên, và số đo Hausdoroff một chiều |K| của nó cho tổng chiều dài biên. Giống như hàm Nordstrom (2.47), biểu thức này bao gồm ba số hạng: số hạng đầu tiên là giá trị sai số, số hạng thứ hai là giá trị ổn định, và số hạng thứ ba là giá trị biên. Hàm Mumford-Shah có thể được coi là một biến thể liên tục của phương thức trường ngẫu nhiên Markov của Gtôian và mô hình màng tế bào không ổn định của Blake và Zisserman. Các phương pháp tiếp cận liên quan cũng được sử dụng với hai trạng thái và một bề mặt thoáng. Thực tế là (2.53) dẫn đến vấn đề gián đoạn tự do gây ra nhiều câu hỏi lý thuyết đầy thách thức. Trong cuốn sách của Morel và Solimini [292] bao gồm một phân tích rất chi tiết về hàm này. Mặc dù tồn tại một bộ tối thiểu toàn cục với một tập biên K khép kín được thiết lập, tính duy nhất nói chung là không đúng. Các kết quả đều cho K theo các số hạng về các cung tròn mới thu được.
Khái niệm về các hàm năng lượng cho việc phân đoạn các ảnh cho thấy các ưu điểm thực tế rằng nó cung cấp một nghiên cứu cho việc so sánh chất lượng của hai phân đoạn. Mặt khác, (2.53) hiện vẫn còn hạn chế, ví dụ như các vấn đề về các biên đường sigma tạo ra nhiều biên phân đoạn (trên phân đoạn, hiệu ứng bậc thang). Một hạn chế khác là các kết quả từ thực tế mà hàm Mumford-Shah chỉ cho phép các điểm bất thường tiêu biểu cho các bề mặt tối thiểu: các góc hay các tiếp giáp chữ T thì không thể và các phân đoạn gặp nhau tại ba điểm với góc 120𝑜. Để tránh các vấn đề như vậy, các điều chỉnh về hàm Mumford-Shah đã được đề xuất bởi Shah. Một afin bất biến toàn cục của (2.53) được khảo sát trong [31, 32] và được áp dụng cho afin bất biến phân đoạn cấu trúc.
Một lớp quan trọng khác của các phương pháp số dựa trên ý tưởng lấy gần đúng tập gián đoạn K bằng một hàm làm trơn w, mà tiến dần đến 0 gần các biên của u và xấp xỉ 1 ở các biên khác. Chúng ta có thể nghiên cứu hàm ví dụ sau
Tác giả: Nguyễn Xuân Việt 40 𝐹𝑓(𝑢, 𝑤) ≔ ∫(𝛽(𝑢 − 𝑓)2+ 𝑤2|∇𝑢|2+ 𝛼(𝑐|∇𝑤|2+(1 − 𝑤) 2 4𝑐 )) 𝑍 𝛺 𝑑𝑥 (2.54)
Với một tham số dương c quy định cụ thể “chiều rộng biên”. Ambrosio và Tortorelli đã chứng minh rằng hàm này hội tụ với hàm Mumford-Shah với 𝑐 → 0. Tối thiểu 𝐹𝑓 tương ứng với các phương trình gradient gốc
𝜕𝑡𝑢 = 𝑑𝑖𝑣(𝑤2∇𝑢) + 𝛽(𝑓 − 𝑢),