khứ và hàm sản xuất
Theo phương pháp này, các hàm chi phắ này ựược ước lượng từ hàm sản xuất của Doanh nghiệp.
Hàm chi phắ của một hãng với giá ựầu vào r, w >0 và sản lượng Q ựược ựịnh nghĩa như hàm giá trị của bài toán cực tiểu chi phắ:
Hàm sản xuất và chi phắ Cobb-Douglas
Hàm sản xuất Cobb Douglas có dạng; Q = aKα Lβ
Trong ựó:
Q: sản lượng ựầu ra K: số lượng vốn sử dụng L: số lượng lao ựộng sử dụng
để tìm lượng tư bản và lao ựộng mà hãng phải sử dụng nhằm tối thiểu hoá chi phắ khi sản xuất sản lượng Q*, hàm Lagrange ựược thiết lập như sau:
L =wL + rK - λ(- Q*) (3.2)
Lấy ựạo hàm theo L,K và ộ , và ựặt các ựạo hàm ựó bằng 0, chúng ta ựược:
∂L /∂L = w - λ(βaKα Lβ-1 ) = 0 (3.3)
∂L /∂K = r - λ(αaKα-1 Lβ ) = 0 (3.4)
∂L /∂λ = aKα Lβ - Q*= 0 (3.5)
Từ phương trình (2.2) ta có:
λ= w/aβKαLβ-1 (3.6)
Thay giá trị này vào phương trình (3.4), ta ựược
raβKαLβ-1 = waαKα-1Lβ (3.7)
hay
L = βrK/αw (3.8)
Bây giờ dùng phương trình (3.8) ựể khử L ở phương trình (3.4), ta có:
aKαββrβKβ / αβwβ = Q* (3.9)
Viết lại phương trình này dưới dạng:
hay:
K = [(αw / βr)β/(α + β)] ( Q*/a)1 /(α + β) (3.11)
Từ việc xác ựịnh ựược lượng tư bản ựể tối thiểu hoá chi phắ cần xác ựịnh lượng lao ựộng tối thiểu hoá chi phắ bằng cách thay phương trình (3.11) vào phương trình (3.8):
L = [(βr/ αw)α/(α + β)] (Q*/a)1 /(α + β) (3.12) Trên ựây là cách sử dụng bài toán tối thiểu hoá chi phắ với ựiều kiện ràng buộc về sản lượng ựể xác ựịnh phương án kết hợp tối ưu tư bản và lao ựộng của hãng. Từ ựó, hàm chi phắ của hãng sẽ ựược xác ựịnh như saụ
Tổng chi phắ ựể sản xuất sản lượng Q bất kỳ có thể tắnh ựược bằng cách thay các phương trình (3.11) cho K và (3.12) cho L trong phương trình C = wL + rK. Sau một vài phép biến ựổi số học thu ựược phương trình sau:
C=wβ/(α + β) rα/(α + β)[(α/β)β/(α + β) +(α/β)-α/(α + β)] (Q/a)1/(α + β) (3.13)
Hàm sản xuất và chi phắ CES
Giả sử hàm CES có dạng ựơn giản sau; Q = (Kρ + Lρ)1/ρ
Vậy bài toán cực tiểu chi phắ sẽ là; Min C = rK + wL
Sao cho Q = (Kρ + Lρ)1/ρ
để tìm lượng tư bản và lao ựộng mà hãng phải sử dụng nhằm tối thiểu hoá chi phắ khi sản xuất sản lượng Q*, hàm Lagrange ựược thiết lập như sau:
L =wL + rK - λ {(Kρ + Lρ)1/ρ - Q*} (3.14)
Lấy ựạo hàm theo L,K và ộ , và ựặt các ựạo hàm ựó bằng 0, ta có:
∂L /∂K = w - λρKρ-1 = 0 (3.16)
∂L /∂λ = (Kρ + Lρ)- Q*= 0 (3.17)
Giải hệ thống phương trình này với K và L ta có
Kρ = rρ/ρ-1 (λρ)(-ρ/ρ-1) (3.18)
Lρ = wρ/ρ-1 (λρ)(-ρ/ρ-1) (3.19)
Bây giờ thay (3.18) và (3.19) vào hàm sản xuất ta có:
(λρ)(-ρ/ρ-1) { rρ/ρ-1 + wρ/ρ-1} = Q* (3.20) Giải ra theo (λρ)(-ρ/ρ-1) và thế vào (3.18) và (3.19). điều này cho ta hàm cầu có ựiều kiện nhân tố:
K = r(1/ρ-1) {r(ρ/ρ-1) + w(ρ/ρ-1)}1/ρ Q* (3.21) L = w(1/ρ-1) {r(ρ/ρ-1) + w(ρ/ρ-1)}1/ρ Q* (3.22) Thế (3.21) và (3.22) vào hàm chi phắ ta có: C = Q* { r(ρ/ρ-1) + w(ρ/ρ-1)}{r(ρ/ρ-1) + w(ρ/ρ-1)}1/ρ (3.23) = {r(ρ/ρ-1) + w(ρ/ρ-1)}ρ-1/ρ đặt m = ρ/ρ-1 ta có: C = Q* (rm + wm )1/m (3.24) Hàm chi phắ này như vậy có cùng dạng hàm với hàm CES gốc.
Trong trường hợp tổng quát: Q(K,L) = {(aK)ρ + (bL)ρ }1/ρ Tắnh toán tương tự ta có:
C = Q*{(r/a)n + (w/b)n}1/n (3.25)
Hàm chi phắ này cho biết tổng chi phắ sản xuất tăng lên như thế nào khi mức
sản lượng tăng, và chi phắ thay ựổi ra sao khi giá ựầu vào thay ựổị
Nhược ựiểm của phương pháp này là phải dựa trên giả ựịnh các doanh nghiệp ựang sản xuất ở mức sản lượng tối thiểu hóa chi phắ. Tuy nhiên, mục
tiêu nghiên cứu của luận án không muốn ựề cập ựến bài toán này mà muốn xét ựến cả những trường hợp các doanh nghiệp trong ngành không sản xuất với mức chi phắ tối thiểụ