Theo Van Hiele, có thể có các cấp độ về TDHH như sau:
Cấp độ 1 (cấp độ hình ảnh - visual level): Ở cấp độ này, HS nhận thức không gian là những gì tồn tại xung quanh chúng, các hình hình học được xem như là “cái toàn bộ” hơn là các thành phần, đặc điểm cấu thành chúng (số cạnh hay chiều dài của cạnh, số đo của góc) [63, tr.67]. Hình dạng được nhận biết bằng hình ảnh của chúng, dựa vào dấu hiệu nổi bật đường bao của các hình hoặc bằng cách so sánh với những vật mẫu hoặc dựa trên kinh nghiệm của HS, chẳng hạn nó là hình chữ nhật vì nó giống với cái cửa, hình này là hình tam giác vì giống với mũ của anh hề,... HS ở cấp độ này có thể gọi tên được các đồ vật có dạng hình hình học; nhận biết các hình như hình tam giác, hình vuông, hình chữ nhật, hình tròn nhưng chúng không nhận ra được các đặc điểm về số cạnh, số góc, số đo các cạnh của hình. Chẳng hạn, HS có thể nhận biết các hình trong hình 1.8 đều là hình vuông, các hình ở hình 1.9 đều là hình chữ nhật, tuy nhiên chúng không thể nhận ra rằng các góc của các hình đó đều vuông và các cạnh đối diện thì bằng nhau. HS có thể phân biệt hình dạng của các vật thể có dạng hình vuông với dạng hình tròn ởđặc điểm không bản chất như "là hình tròn vì nó lăn được, hình kia thì không lăn được",...
HS đánh giá về các hình dựa trên tri giác các đối tượng, không bằng suy luận logic. HS đã không đồng nhất các hình hình học với các đồ vật giống chúng, biết sử dụng các hình hình học như những hình chuẩn để so sánh, lựa chọn, xác định hình dạng của mọi vật xung quanh [63, tr.69].
20
Hình 1.10 Hình 1.11
Ở cấp độ này HS chỉ ra các hình trong hình 1.10 đều là hình tam giác trong khi các hình trên hình 1.11 lại không là hình tam giác.
Cấp độ 2 (Cấp độ phân tích - analysis level): HS xuất hiện khả năng phân tích hình hình học. Thông qua kinh nghiệm trong HĐ thực tiễn và giáo dục, HS bắt đầu nhận thức các tính chất của hình hình học, các tính chất này là cơ sở để phân tách lớp các hình hình học [63, tr.78]. Hình hình học được cấu thành bởi các thành phần về cạnh, góc và được nhận biết bởi các đặc điểm đó. Như hình 1.12, HS có thể phát biểu “hình chữ nhật đó có hai cạnh ngắn có độ dài bằng nhau, hai cạnh dài có độ dài bằng nhau”. Tuy nhiên, HS không thể đưa ra được các phán đoán đúng về mối quan hệ giữa các hình hình học, chưa nhận thức được khái niệm về các hình hình học. HS nhận biết hình dạng như một lớp các thuộc tính, có thể nhận biết và phát biểu những đặc điểm của các hình hình học nhưng chúng không thể nhận ra mối quan hệ giữa các tính chất đó. Khi mô tả một hình hình học, HS có thể kể ra toàn bộ những đặc điểm mà HS biết nhưng không biết đặc điểm nào là cần và đủ của hình hình học. HS có thể nhận biết chính xác các hình hình học mà không phụ thuộc vào vị trí sắp đặt của chúng trong không gian.
Hình 1.12
Cấp độ 3 (cấp độ suy luận không tường minh - infomal level): HS có thểđưa ra các phán đoán đúng về mối quan hệ giữa các hình hình học, phát biểu các điều kiện cần và đủđể một hình là hình vuông, hình chữ nhật,… [63, tr.89]. Bằng tri giác có thể nhận biết, tuy nhiên không thể chứng minh toàn bộ một bài toán nhận dạng
21
hình, HS không hiểu logic của một bài chứng minh hình học, về giả thiết, kết luận. Hơn nữa, tất nhiên rằng HS không nhận thức được vai trò của các yếu tố đã cho. Ở cấp độ này HS có thể hiểu một hình vuông là một trường hợp riêng của hình chữ nhật nhưng chưa thể giải thích bằng logic khái niệm.
Cấp độ 4 (cấp độ suy luận logic- logic level): HS có thể xác định chính xác giá trị chân lý của một mệnh đề về mối quan hệ giữa các hình hay giữa các tính chất của một hình hình học và các mệnh đề đảo, phản, phản đảo của nó, có thể chỉ ra mối quan hệ giữa tiên đề, định nghĩa, định lý, hệ quả [63, tr.93]. HS ở cấp độ này đưa ra các phán đoán dựa trên suy luận logic hơn là từ trực giác mang lại. HS có thể suy luận ở dạng diễn dịch hay quy nạp, có thể phát biểu các mệnh đề dạng “nếu… thì…” , “từ …suy ra…”, các liên từ “và”, “hoặc”,…
Cấp độ 5(Cấp độ hình học trừu tượng- abstract level): HS có khả năng nhận thức hệ tiên đề Hình học đóng vai trò quyết định trong việc hình thành hình thức trừu tượng của phương pháp tiên đề, với sự trừu tượng hóa hoàn toàn đối với bản chất của các đối tượng và các quan hệ được nói tới trong lý thuyết tiên đề hóa [63, tr.108]. HS nhận thức được các khái niệm về tính phi mâu thuẫn, về tính đầy đủ và tính độc lập của các tiên đề. HS hiểu được các dạng hình học khác nhau: hình học metric, tôpô, hình học Phi Euclid (cấp độ này thường chỉ đạt được ở sinh viên chuyên ngành toán học).
Theo Van Hiele, ngôn ngữđóng vai trò quan trọng trong việc phát triển nhận thức về hình hình học [63, tr.116]. Hơn nữa, việc nhận thức hình hình học ở một cấp độ phụ thuộc vào việc nhận thức hình học ở cấp độ trước đó, việc hình thành biểu tượng hình hình học ở những cấp độ đầu tiên có vai trò quan trọng trong việc hình thành khái niệm sau này ở HS. Tiến trình đi từ cấp độ này lên cấp độ tiếp theo phụ thuộc vào cách quan niệm nhiều hơn là phụ thuộc vào sự phát triển theo lứa tuổi ở HS. Nếu được hướng dẫn trẻ MGL có thể đạt đến cấp độ 1, thao tác tư duy chủ yếu là so sánh sự giống nhau và khác nhau. HS lớp 5 có thể đạt cấp độ 2, thao tác tư duy chủ yếu là phân tích, tổng hợp.
22
HS ở mỗi cấp độ sử dụng ngôn ngữ và mối quan hệ không gian riêng của nó. Một quan hệ là đúng ở cấp độ này nhưng lại có thể là không phù hợp ở cấp độ tiếp theo. Ở đây HS sẽ gặp “chướng ngại” không tránh được, HS ở cấp độ 2 sẽ không chấp nhận hình vuông là hình chữ nhật, hay thậm chí là hình tứ giác. Nhưng điều này là chấp nhận được nếu HS đạt cấp độ thứ 3. Hay ban đầu HS sử dụng “hình chữ nhật thì có hai cạnh ngắn có độ dài bằng nhau, hai cạnh dài có độ dài bằng nhau” mà không sử dụng “các cặp cạnh đối diện bằng nhau”,...
Việc xác định được khả năng của HS đạt đến cấp độ nào là rất quan trọng. Nếu HS ở một cấp độ nào đó và sự hướng dẫn của GV ở cấp độ cao hơn thì không đạt được hiệu quả trong quá trình dạy biểu tượng và khái niệm các hình hình học cho HS. Cho dù GV sử dụng công cụ trực quan, mô hình, các trò chơi học tập, các HĐ cắt ghép hình, gấp hình, tô màu,… nhưng sử dụng ngôn ngữ, nội dung vượt quá sự hiểu biết của HS thì HS cũng không thể theo kịp tiến trình bài giảng của GV.