BÀI 1 lũy THỪA hàm số lũy THỪA

BÀI LŨY THỪA - HÀM SỐ LŨY THỪA Biết khái niệm tính chất luỹ thừa với số mũ nguyên, luỹ thừa với số mũ hữu tỉ không nguyên luỹ thừa với số mũ thực Biết khái niệm tính chất bậc n Biết khái niệm tính chất hàm số luỹ thừa Biết cơng thức tính đạo hàm hàm số luỹ thừa Biết dạng đồ thị hàm số luỹ thừa Biết dùng tính chất luỹ thừa để rút gọn biểu thức, So sánh biểu thức có chứa luỹ thừa Biết khảo sát hàm số luỹ thừa Tính đạo hàm hàm số luỹ thừa I LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM LŨY THỪA Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n số nguyên dương a.a  a • Với a tuỳ ý: a n  n thoa se • Với a  : a  1; a  n  n (a: số, n: số mũ) a Chú ý: 00 ,0 n nghĩa Lũy thừa với số mũ nguyên có tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương Trang Phương trình xn  b(*) • Với n lẻ: Phương trình (*) ln có nghiệm • Với n chẵn + Nếu b > 0: phương trình (+) có hai nghiệm trái dấu + Nếu b = 0: phương trình (*) có nghiệm x = + Nếu b < 0: phương trình (*) vô nghiệm Căn bậc n Khái niệm Cho b  , n  * (n  2) số a gọi bậc n b a n  b • Với n lẻ b  , phương trình x n  b có bậc n b, kí hiệu •Với n chẵn: b < 0: Khơng có bậc n b b = 0: Có bậc n b > 0: Có hai trái dấu, kí hiệu giá trị dương n n b b , giá trị âm  n b Tinh chất Với a, b  0, m, n  ; p  • n ab  n a n b ; • n a na  , b  0; b nb • n a p  ( n a ) p ,(a  0); • n m ta có: a  n.m a ;  a n lé an    a n chan Lũy thừa với số mũ hữu tỉ • n Trang Cho số thực a dương số hữu tỉ r  m , , m  , n  n * Lũy thừa a với số mũ r xác m định sau: a r  a n  n a m n a a ; a a Ví dụ: n Lũy thừa với số mũ vô tỉ Cho a  0,  số vơ tỉ Ta thừa nhận ln có dãy số hữu tỉ  rn  mà   lim rn dãy số tương ứng  a rn  có giới hạn khơng phụ thuộc vào việc chọn dãy số  r  n  n Khi ta kí hiệu a  lim a rn lũy thừa a với số mũ  n  Lũy thừa với số mũ thực Tính chất Với a,b số thực dương;  ,  số thực tùy ý, ta có: • a a  a  ; • a  a   ;  a   • a   a  ; • (a.b)  a b ;  a a •    b b So sánh hai lũy thừa • So sánh số - Nếu số a      a  a  - Nếu số  a      a  a  • So sánh số mũ - Nếu số mũ   a  b   a  b - Nếu số mũ   a  b   a  b Ví dụ: 2,5  1,  ( ) 2,5  ( )1,2 0,5  1,1  (0,3) 0,5  (0,3) 1,1 Ví dụ: 3    4 0,8 3    4 0,8 2   3 0,8 2   3 0,8 HÀM SỐ LŨY THỪA Khái niệm hàm số lũy thừa Hàm số y  x , với   gọi hàm số luỹ thừa Chú ý: Tập xác định hàm số y  x xứ tuỳ thuộc vào giá trị  Cụ thể: Trang •  nguyên dương: D  ; •  nguyên âm 0: D  \{0}; •  khơng ngun: D  (0; ) Ví dụ: Tập xác định hàm số y  x5 D  ; y  x 5 D  \{0}; y  x , y  x la D  (0; ) Đạo hàm hàm số lũy thừa Hàm số lũy thừa y  x ,   có đạo hàm với x >0 và:   x • u   u   1    1 • x ; u với u biểu thức chứa x Ví dụ: Đạo hàm hàm số y  x 5 y  '  5.x 6 ; y  sin x y   2sin x.(sin x)  2sin x.cos x Khảo sát hàm số lũy thừa y  x y  x ,  y  x ,  a Tập khảo sát: (0; ) a Tập khảo sát: (0; ) b Sự biến thiên: b Sự biến thiên:  1 • y   x  0, x  Hàm số đồng biến • Giới hạn đặc biệt:  lim x  0, lim x   x 0 x  • Tiệm cận: Khơng có c Bảng biến thiên: • y   x 1  0, x  Hàm số ln nghịch biến • Giới hạn đặc biệt: lim x  , lim x a  x 0 x  • Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Trục Oy tiệm cận đứng c Bảng biến thiên: Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: Khảo sát hàm số y  x3 tập xác định tập xác định D  d Đồ thị: , khảo sát hàm số y  x 2 \{0} Trang Nhận xét: Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I(1;1) SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA LŨY THỪA Trang HÀM SỐ LŨY THỪA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Lũy thừa Bài toán Viết lũy thừa với dạng số mũ hữu tỷ Bài toán 1.1 Thu gọn biểu thức chứa thức Phương pháp giải Tính chất bậc n  n a n b Khi n le • ab   ;  n a | n b | Khi n chãn n • n n a  n Khi n le (b  0) a  b  ; b  n a Khi n chan (b  0) n b  • n a p  ( n a ) p ,(a  0); • n m • n a  n.m a ; a n lé an   | a | n chan Công thức lũy thừa với số mũ thực   • am n  amn ; • am an  amn ; am  a mn ; an • am bm  (a.b)m ; • Trang m • am  a    bm  b  Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho x số thực dương Biểu thức 12 7 12 x x viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ A x B x C x D x Hướng dẫn giải Ta có: x2  4 x  x x  x   x   x 12   Chọn A Điều kiện x số thực dương làm cho biểu thức dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ xác định Ví dụ 2: Cho hai số thực dương a b Biểu thức a3b a viết dạng lũy thừa với số mũ b a b hữu tỉ 31  a  30 A   b 31  a  30 B   b  a  30 C   b  a 6 D   b Hướng dẫn giải 1 Ta có: 1 a b a a  a   a 2 a  a          b a b b b b b b 1 5 a  a   a 6  a 6  a 6            bb b b b Chọn D Bài toán 1.2 Thu gọn biểu thức chứa lũy thừa Phương pháp giải Các đẳng thức đáng nhớ: (a  b)  a  2ab  b (a  b)3  a  3a 2b  3ab  b3 a  b  (a  b)(a  b)   (a  b)  a a  b3  (a  b) a  ab  b a  b3  ab  b   Ví dụ mẫu 1    y y Ví du 1: Cho P   x  y  1    Biểu thức rút gọn P  x x     A x B 2x C x  Hướng dẫn giải D x  1  x  xy  y  x Ta có: P  ( x  y )   ( x  y )2  x    x ( x  y )   Chọn A Trang  a 0.5  a 0.5   a 0.5   Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức    0.5 (với  a  ) ta 0.5  a  2a  a   a a2 a 1 2 A B C D 1 a a 1 Hướng dẫn giải  a 0,5  a 0,5   a 0,5   Ta có:    0,5 0,5  a  2a  a   a  0,5 a 2 a 0,5     a 0,5  a 0,5  a 0,5         0,5   a 1  a 0,5   a 0,5  a 0,5     0,5  0,5   0,5  a 1 a 1  a a  a 0,5   a  a 0,5  2   0,5  a 1 a a 1 Chọn D       x xx Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức   (với x  0, x  1) ta 4    x  x     x    x   x   x      2 A x B  x C  x3 D x3       x xx Ta có:    x3     x 1  x    x   x   x        x xx   4 4  ( x  x   x )( x  x   x )  3    x( x  1)  x xx     x     ( x  1)(1  x )    x  Chọn C Bài tốn Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải Công thức đặc biệt ax f ( x)  x thi f ( x)  f (1  x)  a  a Thật vậy, ta có: Trang a f (1  x)  aa x a  a ax  a a  a a x a a  a Nên: f ( x)  f (1  x)  Ví dụ mẫu  f (1  x)  x 2018x Tính giá trị biểu thức sau ta 2018x  2018      2018  S f  f    f    2019   2019   2019  Ví dụ 1: Cho f ( x)  A S = 2018 Hướng dẫn giải B S =2019 2018  f ( x)  f (1  x)  2018  2018      2018    Suy S  f   f    f   f    2019   2019   2019   2019  Ta có: f (1  x)  D S  2018 C S = 1009 x   f    2019   2017  f    2019   1009  f   2019   2018  f   2019   1010  f   1009  2019  Chọn C  3x  3 x ta  3x  3 x C D  2 Ví dụ 2: Cho 9x  9 x  23 Tính giá trị biểu thức P  A 2 B Hướng dẫn giải Ta có:  x x  x  23   Từ đó, vào P    3 x  3x  3 x x x 3  3x  3 x   25   x  x 3   5 10 i)    55    1 Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu : Khẳng định sau đúng? m A a  n xác định với a  \{0}; n  B a n  n a m ; a  m C a0  1; a  Câu : Rút gọn biểu thức A D a2 a 2  b2 b B 2a  n a m  a n ; a  ; m, n   (với a  0, b  a  b ) ) kết 2a C a b a b D a 2 b Trang Câu : Cho số thực dương a Rút gọn P  a a a a ta 25 13 37 13 A a 53 36 B a 43 60 C a D a Câu : Viết biểu thức P  a a a (a  0) dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ ta 5 A P  a 11 B P  a C P  a D P  a m Câu : Viết biểu thức A 15 b3a a , (a, b  0) dạng lũy thừa   ta m a b b 2 B C D 15 15 Câu : Rút gọn biểu thức Q  b : b với b  ta  B Q  b A Q  b2 Câu : Giả sử a số thực dương, khác A   11 4 C Q  b D Q  b a a viết dạng a Giá trị  B   C   D   Câu : Rút gọn biểu thức P  x x với x > ta B P  x A P  x Câu : Cho a, b số thực dương Viết biểu thức D P  x a 3b dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ ta 1 C a b Câu 10 : Cho a số dương, viết a 3 D a b a dạng luỹ thừa với số mũ hữu tỉ ta a A Câu 11 : Cho a  Đẳng thức sau đúng? a a  a A 12 1 B a b A a b C P  x B a3 B a3 a D a C a  a6   C a2  a6 D 7 a5  a a  Câu 12 : Cho biểu thức P  1 a A P  a 3 1 a 4 , với a  Mệnh đề đúng? B P  a C P  a D P  a Câu 13 : Cho hàm số f (a )  a ( a 2  a ) a ( b a  a 1 ) A M  20172018  B M  20171009 với a  0, a  Giá trị M  f  2017 2018  C M  20171009  D M  20171009 1 Câu 14 : Giá trị biểu thức P  (7  3)2017 (7  3)2016 A B  C  D (7  3)2016 Trang 10 Câu 15 : Giá trị biểu thức P  (9  5)2017 (9  5)2016 B  A C  Câu 16 : Cho 4x  4 x  14 Giá trị biểu thức P  B P  A P  D (9  5)2017 10  x  2 x  x  2 x C P  D P   5x  5 x  5x  5 x C P  Câu 17 : Cho 25x  25 x  Giá trị biểu thức P  A P  12 B P  121 Câu 18 : Cho hàm số f ( x)  9x ;x 9x  a, b thỏa a  b  Giá trị f (a)  f (b) 1 A B C D 4x     Tổng P  f   f   x 2  100   100  301 101 B C Câu 19 : Cho hàm số f ( x)  A 99 D P   98  f   100   99  f   100  149 D 4x Giá trị biểu thức sau 4x         2013   2014  S f  f   f    f   f    2015   2015   2015   2015   2015  A 2014 B 2015 C 1008 Câu 20 : Cho hàm số f ( x)  1-B 2-A 3-A 4-C ĐÁP ÁN 5-A 6-B 11-D 12-D 13-C 14-D 15-C 7-A D 1007 8-A 9-D 10-D Dạng Hàm số lũy thừa Bài toán Tìm tập xác định hàm số lũy thừa Phương pháp giải Ta tìm điều kiện xác định hàm số y  [ f ( x)] dựa vào số mũ  sau: • Nếu  số ngun dương khơng có điều kiện xác định f  x  • Nếu  số nguyên âm điều kiện xác định f ( x)  • Nếu  số khơng ngun điều kiện xác định f ( x)  Trang 11  Ví dụ: Tập xác định hàm số y  x2  x  A B  3 C 1,  \{1;5} D (,1)  (5; ) Hướng dẫn giải x  Số mũ –3 số nguyên âm Do đó, điều kiện xác định hàm số là: x  x     x  Vậy tập xác định hàm số cho \{1;5} Chọn B Ví dụ mẫu  Ví dụ 1: Tập xác định hàm số y   x  x  A \{2;3}   B (;2)  (3; ) C  2,3 D (3; ) Hướng dẫn giải Số mũ  khơng phải số ngun Do đó, điều kiện xác định hàm số là:  x2  5x    x  (2;3) Vậy tập xác định hàm số cho (2;3) Chọn C Ví dụ 2: Tập xác định hàm số y  xsin(2018 ) A Hướng dẫn giải Ta có y  xsin(2018 )  x0 nên tập xác định B (0; ) C C D [0; ) \{0} D [0; ) \{0} Chọn C Ví dụ 3: Tập xác định hàm số y  (1  x )2019 Hướng dẫn giải A B (0; ) \{0} Vì số mũ -2019 số nguyên âm nên điều kiện xác định hàm số  x  , hàm số chứa thức bậc hai nên x  1  x  (luôn dúng x  0)  Hàm số xác định    x   x  Vậy D = [0; ) Chọn D   Ví dụ 4: Có giá trị nguyên m (2018;2018) để hàm số y  x  x  m  định ? A 4036 Hướng dẫn giải Vì số mũ B 2018 C 2017 có tập xác D Vô số số nguyên nên hàm số xác định với x   x  x  m   0, x     a  (luôn dúng vi a   0)    (m  1)   m  Trang 12 m  (2018; 2018)  m  {1, 2,3, , 2017} Mà  m  Vậy có 2017 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn u cầu Chọn C Bài tốn Tính đạo hàm hàm số lũy thừa Phương pháp giải Công thức tính đạo hàm   x • u   u   1 ( x  0,   );    1 u • x Ví dụ: (2 x  5)3   6(2 x  5) [(2x + 5) °] = 6(2x+5) do-g' với biểu thức chứa x Ví dụ mẫu  Ví dụ 1: Tìm đạo hàm hàm số y   x     A y    x C y  x  x 2 Hướng dẫn giải  Ta có: y    1  x2   5    B y   x  x   D y  x  x   1         x2    1  x2   (2 x)   x  x2   Chọn D Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số y  (2  3cos 2x)4 A y  24(2  3cos 2x)3 sin x B y  12(2  3cos 2x)3 sin x C y  24(2  3cos x)3 sin x D y  12(2  3cos x)3 sin x Hướng dẫn giải Ta có: y  4(2  3cos x)3 (2  3cos x)  4(2  3cos x)3 (6sin x)  24(2  3cos x)3 sin x Chọn A Ví dụ 3: Đạo hàm hàm số y  ( x sin x) 1  A y  ( x sin x)  B y  ( x sin x) (sin x  x cos x) sin x  x cos x C y   3 x sin x  D y  ( x sin x) cos x   Hướng dẫn giải 1  2  Ta có: y  ( x sin x) ( x sin x)  ( x sin x) (sin x  x cos x) 3 Chọn B  Trang 13 Ví dụ 4: Đạo hàm hàm số y  (1  x ) A y   C y  1  (3x  x ) (1  x ) 1  B y   (1  x )  x ( x  x ) (1  x )  D y   (1  x ) Hướng dẫn giải  1  2 Ta có: y   (1  x ) (1  x )   (1  x )  3 x  1 1   (1  x )   x (3x  x ) (1  x )2 Chọn A Bài toán Khảo sát biến thiên nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa Phương pháp giải Đồ thị hàm số lũy thừa y  x (0; ) : Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập a>1 a=1/ xác định Chẳng hạn: Khảo sát hàm số y  x3 tập xác định , khảo sát hàm số y  x 2 tập xác định D  \{0} Nhận xét: Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I (1;1) Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hỏi f  x  hàm số bốn hàm số đây? f ( x)  x A B f ( x)  x  C f ( x)  x D f ( x)  x Trang 14 Hướng dẫn giải Hàm số có tập xác định D  (0; ), loại đáp án B, D Hàm số đồng biến D, loại C Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x )  x  có đồ thị (C) Mệnh đề sau đúng? A Hàm số tăng (0; ) B Đồ thị (C) khơng có tiệm cận C Tập xác định hàm số Hướng dẫn giải Hàm số có tập xác định D  (0; ) Ta có: y    x  1 D Hàm số khơng có cực trị  0, x  D Hàm số nghịch biến D  Hàm số khơng có cực trị Chọn D Bài tập tự luyện dạng Câu : Tập xác định D hàm số y   x  3x   A D  2 \{1;4} B D  (; 1] [4; ) C D  D D  (; 1)  (4; ) Câu : Trong hàm số sau đây, hàm số có tập xác định D  ?   y  (2  x ) A   B y     x   C y   x2 C D  D D  (;0)  (3; ) B (;0)  (4; ) C (0;4)    D y  (2  x)  Câu : Tập xác định D hàm số y  x  3x A  0;3 B D   4 \{0;3}  Câu : Tập xác định hàm số y  x  x  2019 2020 (;0]  [4; ) A D \{0; 4} Câu : Tập xác định hàm số y  (3  x)0  (;3) A B  (;3] C  C  (1; ) D \{3} D  Câu : Tập xác định A C    x3  hàm số y     x2  sin  \{2;3} \{3} Câu : Tập xác định B D   (1;1) A  hàm số y  xe  x2    (, 2)  [3, )  (, 2)  (3, ) B  \{1;1}    Câu : Có giá trị nguyên tham số m (50;50) để hàm số y  x  x  m  xác định A 99  ? B 49 C 50 D 100 Trang 15 có tập Câu : Biết tham số m  (a; b), với a < b hàm số y   x  x  m2  5m  5 Giá trị tổng a  b A 5 B 3 2 C có tập xác định D 3  Câu 10 : Tất giá trị thực m để hàm số y  x  x  m m  A xác định R B m   Câu 11 : Tất giá trị thực m để hàm số y  x  x  m m  A  2019 2020 C m  D m   2020 xác định R B m  1 C m  D m  1   Câu 12 : Tất giá trị thực tham số m cho hàm số y  x  mx  có tập xác định A 2  m  B m  2  m  2 C 1  m   x  2mx  m   Câu 13 : Tất giá trị thực m để hàm số y    x2    A B 1  m  1  m  1  m  sin  D 2  m   xác định C 2  m  D  Câu 14 : Phương trình tiếp tuyến (C ) : y  x điểm M0 có hồnh độ x0  A y   x  B y   x  Câu 15 : Trên đồ thị hàm số y  x  1  C y   x    D y    x   lấy điểm M0 có hoành độ x0   Tiếp tuyến (C) điểm M0 có hệ số góc A B 2 C 2  D      Câu 16 : Cho hàm số lũy thừa y  x , y  x , y  x có đồ thị hình vẽ Khẳng định sau đúng?      A B      C      D      Câu 17 : Cho  ,  số thực Đồ thị hàm số y  x , y  x  khoảng (0; ) cho hình vẽ bên Khẳng định đúng? Trang 16 D      A      B      C      Câu 18 (37547): Bảng biến thiên hàm số nào? C y  x2 B y  log3 x y  x3 A D y  3x Câu 19 : Cho hàm số y  x4 Mệnh đề sau sai? B Đồ thị hàm số qua điểm 1;1 A Hàm số có trục đối xứng C Đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận D Đồ thị hàm số có tâm đối xứng Câu 20 : Trong phương trình sau đây, phương trình có nghiệm? x   A B x    x  ( x  1)  C D x   1-B 2-D 3-D 4-C ĐÁP ÁN 5-A 6-B 11-C 12-D 13-C 14-B 15-A 16-A 7-D 8-B 9-D 10-A 17-B 18-C 19-C 20-A Trang 17 ... xét: Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I (1; 1) SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA LŨY THỪA Trang HÀM SỐ LŨY THỪA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Lũy thừa Bài toán Viết lũy thừa với dạng số mũ hữu tỷ Bài toán 1. 1 Thu gọn... 2 019   2 019   2 019   2 019  Ta có: f (1  x)  D S  2 018 C S = 10 09 x   f    2 019   2 017  f    2 019   10 09  f   2 019   2 018  f   2 019   10 10  f   10 09... 2 013   2 014  S f  f   f    f   f    2 015   2 015   2 015   2 015   2 015  A 2 014 B 2 015 C 10 08 Câu 20 : Cho hàm số f ( x)  1- B 2-A 3-A 4-C ĐÁP ÁN 5-A 6-B 11 -D 12 -D 13 -C