64 bài tập KHẢO sát hàm số và câu hỏi PHỤ có lời GIẢI

M x y ,0 0la ømột điểm bất kỳ thuộc C .Tiếp tuyến của C tại M cắt tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang củaC theo thứ tự tại A và B .Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của C .Chứn

CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ

C©u 1 Cho hàm số 1

1

x y x





 (1) ,có đồ thị là (C)

1 Khảo sát hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C),biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1)

3 M x y( ,0 0)la ømột điểm bất kỳ thuộc (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự tại A và B Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

C©u 2: (2 điểm) Cho hàm số: 2

1

x y x





1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Cho điểm A(0;a) Xác định a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox

x

 



2) Gọi M  ( )C có hoành độx M m Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của( )C không phụ thuộc vào m

C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số:

2

1

x mx y

x



 với m là tham số

1) Xác định m để tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và đường tiệm cận xiên của hàm số trên có diện tích bằng 4

2) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m= -3

C©u 5: (2 điểm) Cho hàm số: 4 2 2

y x  m  x 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m=0

2.Chứng minh rằng với mọi m 0,đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3,3) và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3,3)

C©u 6: (2 điểm) Cho hàm số y f x( )x3 (m3)x2 3x4 (m là tham số)

1.Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị này

2.Tìm m để f x( )  3x với mọi x 1

C©u i 7: (2 điểm) Cho hàm số 2 6 9

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b) Tìm tất cả các điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được tiếp tuyến với đồ thị,song song với đường thẳng 3

4

y  x

C©u 8: (2 điểm) Cho hàm số 3 2

y x  m x  m m x (1) a) Khảo sát hàm số (1) khi m=1

b) Chứng minh rằng,m hàm số(1) luôn đạt cực trị tại x1,x2 với x1 x2 không phụ thuộc

5 6

y x  x và 2

5 11

y x  xViết phương trình tiếp tuyến chung của 2 parabol trên

Bµi 10: (2 điểm)

a Khảo sát,vẽ đồ thị (C) của hàm số y x3 3x2

b Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến của đồ

thị (C) ,trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau

y  x  m x  mx  m có đồ thị(C m)

1 Khảo sát hàm số trên khi m= -1

2 Tìm giá trị âm của tham số m để đồ thị và đường thẳng( ) :  y 1 có ba giao điểm phân biệt

C©u 12: (2 điểm)

Cho hàm số: 3 2

y x  x  m x m (C m)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C1) của hàm số khi m=1

7 3

y x mx  x (1)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m= 5

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu đó

C©u 14: (2 điểm) Cho hàm số 4 2

2

y x  x

1a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

1b Dựa vào đồ thị (C) ,hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình :

C©u 16:

1 khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C) hàm số: y = -(x + 1)2(x+4)

2 Dùng đồ thị (C) để biện luận theo số nghiệm của phương trình : (x + 1)2(x+4) = (m+1)2(m+4)

C©u 17: ( 3 điểm) Cho hàmsố 2





 (1) ,có đồ thị là (C)

1 Khảo sát hàm số (1)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C),biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1)

3 M x y( ,0 0)la ømột điểm bất kỳ thuộc (C) Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự tại A và B Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C) Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí của điểm M

C©u 19: ( 2 điểm) Cho hàn số y= f(x) = 3

2( 1) 3

m

x  m x ( m là tham số )

a Khảo sát hàm số khi m= 1

b Tìm tất cả giá trị m sao cho hàm số có cực đại ,cực tiểu và tung độ điểm cực đạiy CD, tung độ điểm cực tiểuyCT thỏa: 2 2 3

9

CD CT

y  y  m C©u 20: ( 2 điểm)

1 Khảo sát hàm số 1

1

y x

x

 

 Gọi (C) là đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) kẻ từ điểm A=(0;3)

CÂU 21: ( 4 điểm) Cho hàm số 3 2

y  f x  x  x  x

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C) của hàm số trên

b Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (D1) : y=kx+2

c Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) ,trục hoành và đường thẳng(D2) : y =

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C) của hàm số

2 Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

CÂU 23:( 2 điểm) Cho hàm số

2.Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến (C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

CA U 24:(3 điểm)

Cho hàm số 4 2

yx  x  m (có đồ thị là (C m)), m là tham số

1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m= 0

2 Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị (C m) chỉ có hai điểm chung với trục Ox

3 Chứng minh rằng với mọi giá trị của m tam giác có 3 đỉnh là ba điểm cực trị của đồ thị (C m) là một tam giác vuông cân

y x a Khi đó hãy tìm tọa độ của tất cả các tiếp điểm

CÂU 26: Cho hàm sốyx3(2m1)x2(m23m2)x4

1.Khảo sát hàm số khi m=1

2 Trong trường hợp tổng quát ,hãy xác định tất cả các tham số m để đồ thị của hàm số đã cho có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung

CÂU 27:

1 Khảo sát hàm số:

2

3 61

x x y

x x y

x

 



 3.Từ góc toạ độ có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến của hàm số (1) ? Tìm toạ độ các tiếp điểm (nếu có)

CÂU 28: Cho hàm số : 1 3

3

y x  x m (1) , m là tham số

1 Khảo sát hàm số (1) khi 2

x x y

x





 (C)

1 Khảo sát hàm số (C)

2 Đường thẳng( )  đi qua điểm B(0,b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại điểm O(0,0) Xác định b để đường thẳng ( )  cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N Chứng minh trung điểm I của MN nằm trên một đường thẳng cố định khi b thay đổi

CÂU 30: Cho hàm số :

2

1

x mx y

x



 , (m là tham số )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1

2 Tìm giá trị của m để đường thẳng hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x+y+2=0 bằng nhau

Câu 31: Cho hàm số : 3 2

y x  x  x

1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2.a) Từ đồ thị của hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số :

3 2

y x  x  x b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

3 2

x  x  x  m

Câu 32 :( 2,5 điểm) 1 Cho hàm số

211

x x y

x

 





a Khảo sát hàm số đã cho

b Xác định điểmA x y( ; )1 1 ( vớix 1 1 ) thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thị là nhỏ nhất

2 Tìm tập giá trị của hàm số

2

31

x y x





 và các tiệm cận của đồ thị của hàm số đó

Câu 33:

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2

2 21

x mx y

x



 Tìm các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số đã cho cắt trục toạ độ tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18

Câu 35 : Cho hàm số 3 2

3( 1) 3(2 1) 4

y x  m x  m x ( m là tham số )

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1

2 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và hai điểm đó đối xứng qua điểm I(0,4)

Câu 36: Cho hàm số

1 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

2 Khảo sát hàm số khi m=1 (C)

3 Chứng minh rằng tại mọi điểm của đồ thị (C) tiếp tuyến luôn luôn cắt hai tiệm cận một tam giác có diện tích không đổi

Câu 37:

1 Cho hàm số 3 2

3( 1) 3 ( 2) 1

yx  a x  a a x trong đó a là tham số

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a= 0

b Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho:1 x 2

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số 2

3 m 3

x

    có ba điểm cực trị Khi đó chứng minh rằng cả 3 điểm cực trị này đều nằm trên đường





 với trục hoành ,biết rằng các tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng y=x+2001

Câu 39: Cho hàm số :

 (C m) trong đó m là tham số

1 Khảo sát hàm số đã cho với m= 0

2 Xác định tất cả các giá trị của m sao cho hàm số (C m) luôn luôn nghịch biến trên các khoảng xác định của nó

Câu 40:

1 Khảo sát hàm số :

252

x x y

1 Khảo sát ( xét sự biến thiên vẽ đồ thị ) hàm số ứng với m= 0

2 Tìm tất cả giá trị của tham số m để hàm số có cực đại , cực tiểu và các điểm cực đại , cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng với nhau qua đường thẳng 1 5

1 Khảo sát hàm số (1)

2 Chứng minh rằng khi m thay đổi ,đường thẳng cho bởi phương trình

y=m(x+1)+2 luôn cắt đồ thị (1) tại một điểm A cố định

Hãy xác định các gía trị của m để đường thẳng cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A,B,C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B vàC vuông góc với nhau

Câu 43:

Cho hàm số :

22

1 Tìm giá trị của m sao cho y 2 với mọi x  2

2 Khảo sát hàm số với m=1

Câu 44 :

Cho hàm số :

288( )

x x y

x m





 (1) ,trong đó m là tham số

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m=1

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số (1) đồng biến trên [1,  )

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : 3 1

3

x y x

CÂU 47 : Cho hàm số :y x44x2m (C)

1 Khảo sát hàm số với m = 3

2 Giả sử đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt Hãy xác định m sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (c) và trục hoành có diện tích phần phía trên và phần phía dưới trục hoành bằng nhau

Câu 48: Cho hàm số : 1 3 2

1 3

y x mx  x m

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m= 0

2 Trong tất cả các tiếp tuyến với đồ thị của hàm số đã khảo sát , hãy tìm tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất

3 Chứng minh rằng với mọi m , hàm số đã cho luôn luôn có cực đại và cực tiểu Hãy xác định m sao cho khoảng cách giữa các điểm cực đại và cực tiểu là nhỏ nhất

Câu 49: Cho hàm số :yx36x29x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 a Từ đồ thị của hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số 3 2

y m x  x mx (m là tham số )

1 Với giá trị nào của m thì hàm số có cực đại và cực tiểu

2 Khảo sát hàm số (C) ứng với m= 0

3 Chứng minh rằng từ điểm A(1;-4) có 3 tiếp tuyến với đồ thị (C)

Câu 51:

1 Cho hàm số :yx33(a1)x23 (a a2)x1 trong đó a là tham số

a.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a= 0

b.Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao cho :1 x 2

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số : 2

3 m 3

x

    có ba điểm cực trị Khi đó chứng minh rằng cả ba điểm cực trị này đều nằm trên đường

x x y

x

 





1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Gọi đồ thị đó là (C)

2 Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên (C) tới hai

tiệm cận của nó là một số không đổi

Câu 53: Cho hàm số : 3 2

y x  x  x (1)

1 Khảo sát hàm số (1)

2 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số (1 ) sao cho tiếp tuyến của (C) tại hai điểm đi qua gốc toạ độ

Câu 54: Cho hàm số :

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2

2 Tìm m để trên đồ thị có hai điểm phân biệt A,B sao cho :

1 Khảo sát hàm số đã cho

2 Tìm diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị vừa vẽ và đường thẳng y= 4x

Câu 56: Cho hàm số:

2

2 1

x x m y

2 Khảo sát hàm số khi m = 1

Câu 57 : Cho hàm số : 3 2

ymx  mx  m x ,trong đó m là tham số thực

1 Tìm những điểm cố định mà mọi đường cong của họ trên đều đi qua

2 Chứng tỏ rằng những điểm cố định đó thẳng hàng và từ đó suy ra họ đường cong có chung một tâm đối xứng

3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với giá trị m=1

4 Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị tại điểm uốn và chứng tỏ rằng trong các tiếp tuyến của đồ thị thì tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất

5 Tìm diện tích phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số ( ứng với m = 1) ; tiếp tuyến tại điểm uốn và trục Oy

Câu 58: Cho hàm số : 3 2 2

yx  mx  m  x

1 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m= 1

2 Tìm giá trị tham số m để đồ thị hàm số đã cho các điểm cực đại ,cực tiểu ,đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục tung

CÂU 59: Cho hàm số

231

x y x





 (1)

1 Khảo sát hàm số (1)

2 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm 2,2

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m đề hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm cực đại ,cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng 1 5

x x y

x

  



 Gọi đồ thị là (C)

2 Chứng minh rằng với mọi gía trị của m ,đường thẳng y=m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A ,B Xác định giá trị của m để độ dài đoạn AB ngắn nhất

CÂU 62:

1.Khảo sát (xét sự biến thiên ,vẽ đồ thị) hàm số :

21

x y x



 Gọi đồ thị là (C) 2.Tìm trên đường thẳng y=4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới đồ thị (C) hai tiếp tuyến lập với nhau một góc45

CÂU 63: Cho hàm số 3 2

2) Tìm m để hàm số có hai cực trị Gọi M1 và M2 là các điểm cực trị ,tìm

m để các điểmM1, M2và B(0,-1) thẳng hàng

Câu 64: Cho hàm số : 1 3 2

y x  x (1)

a Khảo sát sự biến thiên và cẽ đồ thị (C) của hàm số (1)

b Tìm trên đồ thị (C) điểm mà tại đó tiếp tuyến của đồ thị (C) vuông góc với đường thẳng : 1 2

(1  x x ) dx



x y

x (C) TXĐ: D = R \ (1) 2

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):

Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k:y = k( x-3) + 1

-2 = k (2) (x-1)

Thay vào (2) k 2 Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7

3)M x y0( , ) ( )0 0  C Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc M

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y f x'( )(0 x x 0)y0

)

-3(( -1)

y

C©u 2: (2 điểm)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 2

1

x y x

 

 TCN: y=1 vì lim y 1

x



 BBT:

0

x y x



Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M:

x =1 không là nghiệm)

Điều kiện để có 2 tiếp tuyến kẻ từ A là: 1 0 1





 Điều kiện 2 tiếp điểm nằm về 2 phía

Ox

 



TXĐ: D = R\{-1}

1

y x

2) Gọi M  (C) có XM = m Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách

từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) không phụ thuộc m

C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số:

2

1

x mx y

x



1) Tìm m để diện tích tam giác tạo bởi TCX và 2 trục tọa độ bằng 4

1

m x x





 Giao điểm TCX và Ox: y = 0 

A

m x

Giao điểm TXC và oy: x 0  ym  2 B(0,m 2)

1

(

54

 

TCX: y = 2x - 1 (theo câu 1)

BBT:

Đồ thị: x  0 y 2,x 2 y 0

C©u 5: (2 điểm) Cho: y = x4 – (m2 + 10)x2 + 9 (Cm)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số với m = 0 y = x4 – 10x2 + 9

2) Chứng minh rằng với  m 0, (Cm) luôn luôn cắt Ox

tại 4 điểm phân biệt trong đó có hai điểm nằm (-3,3)

và 2 điểm nằm ngoài (-3,3)

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và Ox

S

P

m m

, 0 10

0 9

, 0 36 ) 10 (

2

2 2

 0 < t1 < t2  (1) có 4 nghiệm phân biệt

    Đặt f(t) =t2 (m2 10)t 9 Ta có: af(9)=81 9  m2 90 9    9m2 0, m 0

x x

Vậy (Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt trong đó 2 điểm  ( 3, 3)và 2 điểm   ( 3, 3)

C©u 6: (2 điểm) Cho hàm số 3 2

y f x x  m x  x (m là tham số) 1) Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và cực tiểu Khi đó viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị này

2 ( 2)

2

x x

 

 BBT:

Đồ thị:

Cho x = 0 9

2

y

 

b) Tìm M Oy sao cho tiếp tuyến kẻ từ M đến (C)

song song với đường thẳng y= 3

1 62

b) Chứng minh rằng m hàm số (1) luôn đạt cực trị

tại x1, x2 với x1 - x2 không phụ thuộc m

- Gọi   : y= ax + b là tiếp tuyến chung của (P1) và (P2)

-   tiếp xúc với (P1) và (P2)

y  x y''0  x  1 y2  Điểm uốn I(-1, 2)

b) Tìm điểm M trên Ox sao cho từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau

Gọi M(a, 0) Ox  , đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc K là:

+) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

 (3) có 2 nghiệm phân biệt , 0

3

1 2 2

x + x =

a a

1 27

M Ox thoả điều kiện bài toán

C©u 11: (2 điểm) Cho hàm số: y 3x4 4 1 m x 3 6mx2 1 m (C )

I   tiếp tuyến tại I song song Ox

2) Tìm m để (C m) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt

có hoành độ âm.Phương trình hoành độ giao điểm của (C m) và Ox

2(1)

C©u 13: (2 ®iĨm) Choyx3mx27x3 (1)

1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 5 3 2

y x  x  xTXĐ : y’= 3x2 +10x + 7

2 Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu

Lập phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và cực tiểu

Dựa vào đồ thị (C) ta kết luận :

m< -1: vô nghiệm ; m= -1: 2 nghiệm

-1< m < 0: 4 nghiệm ; m= 0: 3 nghiệm ; m> 0: 2 nghiệm

C©u 15: (2 điểm)

a.Khảo sát hàm số :

2

4 82

x

 Tiệm cận đứng: x = -2 vì

2

4 lim

4 8 2

- Nếu x< -2 thì lấy phần đối xứng của (C) qua Ox ta được ( )C1

c Xác định tập hợp những điểm mà không có đồ thị nào trong họ (C m)ï đi qua:

M miền (I) giới hạn bởi (C) với x > -2

M miền (III) giới hạn bởi (C) với x< -2

Vậy những điểm M thoả điều kiện bài toán là những điểm thuộc mặt phẳng toạ độ

Oxy, không nằm trên miền (I), miền (III) và không nằm trên (C)

(C)

(C1)

(I)

X Y

(III) -4

O

4 2 (C1)

-2 -4

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C)

và đường thẳng (d) có phương trình : y (m1) (2 m4)

- Số giao điểm là số nghiệm của phương trình

Điểm đặc biệt :

2) Tìm m để đồ thị (1) tiếp xúc trục hoành

Xác định toạ độ tiếp điểm



 



có nghiệm

x y

x (C) TXĐ: D = R \ (1) 2

2) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm P(3, 1):

Đường thẳng (d) qua P có hệ số góc k: y = k( x-3) + 1

-2 = k (2) (x-1)

x2  1 2(x3) ( x1)2 4x 8 x2

A

B M

y

Thay vào (2) k 2

Vậy phương trình tiếp tuyến đi qua P là: y= -2x + 7

3)M x y0( , ) ( )0 0  C Tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 đường tiệm cận tạo thành một tam giác có diện tích không phụ thuộc M

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M: y f x'( )(0 x x 0)y0

x

S

Vậy: SIABkhông phụ thuộc vào vị trí điểm M

C©u ( 2 điểm) Cho  ( ) 32( 1)

b)Tìm m để đồ thị hàm số có cực đại,

cực tiểu sao cho:

x

y’

y

+ +

+ 16

3

Khi đó (1) có 2 nghiệm x x x1, (2 1 x2)  yCĐ  f x ( )1 và yCT  f x ( )2

Để tìmyCĐ vàyCT ta chia f(x) cho f’(x) thì được:  

2) Viết phương trình các tiếp tuyến của (C) kẻ từ A(0, 3)

- Đường thẳng (D) qua A và có hệ số góc k: y = kx +3

1

1 k (2) ( 1)

x x x

có nghiệm

- Thay (2) vào (1) :

X O

Y

2 -1 1 3

b) Biện luận theo k số giao điểm của (C) và (D1): y = kx + 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D1):

x x



BBT:

Đồ thị:

Cho y = 0  x2 – 3x +2 = 0 1

2

x x





  



2)Tìm M trên đường thẳng x = 1 sao cho từ M kẻ được

đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc nhau

Gọi M(1, b) nằm trên đường thẳng x = 1

Đường thẳng (d) qua M và M có hệ số góc k: y= k(x - 1) + b

(d) tiếp xúc với (C)

2

2 2

3 2 2

k(x - 2) + b (1)

k (2)

x x x

Từ M kẻ 2 tiếp tuyến đến (C) và vuông góc với nhau

 (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  0 sao cho k1, k2 = -1

6 2 0 3 7 (nhận)

b b

x x



BBT:

Đồ thị: Cho y = 0  x2 – 3x +2 = 0 1

2

x x





  



2)Tìm M trên đường thẳng x = 1 sao cho từ M kẻ được

đến (C) 2 tiếp tuyến vuông góc nhau

Gọi M(1, b) nằm trên đường thẳng x = 1

Đường thẳng (d) qua M và M có hệ số góc k: y= k(x - 1) + b

(d) tiếp xúc với (C)

2

2 2

3 2 2

k(x - 2) + b (1)

k (2)

x x x

 (2) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2  0 sao cho k1, k2 = -1

00

6 2 0 3 7 (nhận)

b b

1

x y

 



 



2) Tìm m để (Cm) chỉ có hai giao điểm chung với trục Ox

Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và trục Ox:

x4- 2x2+ 2-m = 0 (1)

Đặt t = x2 (t≥0)

Phương trình trở thành:

t2- 2t + 2 – m = 0 (2)

(1) chỉ có 2 nghiệm  (2) có nghiệm trái dấu hoặc (1)

có nghiệm kép dương

P

m m

m m

Vậy (Cm) cắt Ox tại 2 điểm khi: m = 1 hay m > 2

3) Chứng minh rằng m tam giác có 3 đỉnh là 3 điểm cực trị của (Cm) là một tam giác vuông cân:

Ta có: y = x4- 2x2+ 2 - my’= 4x3- 4x

20

' 0

11

x y

Vậy  ABC là tam giác vuông cân tại A, m

Vậy a = 4, a = -55 Tiếp điểm 0, 4  3, 2  3, 2 

Câu 26: Cho hàm số: y = x3-(2m + 1)x2+ (m2 - 3m + 2)x + 4

a) Khảo sát hàm số khi m = 1: y=x3 - 3x2 + 4 TXD: D = R

y' = 3x2 - 6x ; ' 0 0

2

x y

BBT:

Đồ thị:

x = 3, y = 4

x = -1, y = 0

b) Xác định m để đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ở về

2 phía trục tung Ta có: y = x3- (2m +1)x2+ (m2- 3m + 2)x + 4

y’= 3x2- 2(2m + 1)x + m2- 3m + 2

Đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu ở về 2 phía của trục Oy

 y = 0 có 2 nghiệm x1, x2 trái dấu  P< 0

x

x x

Suy ra cách vẽ (C1) như sau:

- Phần của đồ thị (1) ứng với x > 1 trùng với (C1)

- Bỏ phần của (1) ứng với x < 1 và lấy phần đối xứng

của phần này qua trục Ox ta được (C1)

c) Từ gốc O có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Tìm tọa độ tiếp điểm (nếu có)

- Đường thẳng (d) qua 0 và có hệ số góc k là: y=kx

- Hoành độ tiếp điểm là nghiệm của hệ:

2 3

(2)1

kx x

k x

 

2 2

Vậy có 2 tiếp tuyến kẻ từ 0 đến đồ thị (1)

Tọa độ tiếp điểm là:

2) Tìm m để đồ thị (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt:

Đồ thị (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

3 3

Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng (d)

Phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt  (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt:

4 2'

2) Xác định b để ( )  cắt (C) tại 2 điểm phân biệt

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại O

1 '( ).

2

y f O x  y  x

( )  qua B(0, b) và song song (d) có dạng :

1 ( ) :

2'

( 1)

y x







0' 0

2

x y

 Đồ thị:

X

Y

O (C)

2 Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và khoảng cách từ điểm cực đại và điểm cực tiểu đến đường thẳng: x + y + 2 = 0 bằng nhau

" 6 12

x y

Y

2 4

(C)

2) a) Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị ( )C1 của hàm số:

Do đó đồ thị ( )C1 suy từ (C) như sau:

- Phần của (C) bên phải trục Oy giữ nguyên

- Bỏ phần của (C) bên trái Oy và lấy phần đối xứng của phần bên phải của (C) qua trục Oy

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2'

( 1)

0' 0

2

y x x y

1

x x  



(C)

1 I-1 3

b) Xác định A x y( , ) ( )1 1  C với x 1 1 sao cho khoảng cách từ A đến giao điểm hai đường tiệm cận nhỏ nhất

Gọi I là giao điểm 2 đường tiệm cận:

211

x y x





 và các tiệm cận của đồ thị hàm số đó:

 Miền xác định R



1 3'

x y

 Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta kết luận:

 Miền giá trị của hàm số :( 1, 10}

 Đồ thị có 2 đường tiệm cận ngang:y   1 y1

2( 1)

0' 0

2

y x

x y

y = x + 3 vì lim 1 0

1

x x