Chủ đề 1 khảo sát hàm số và câu hỏi phụ

Chủ đề I A/SƠ ĐỒ CHUNG KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊNVÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ: y= I / Hàm số : 1) Tập xác định : +/ D = R \{ 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = • ad − bc (cx + d ) d c ax + b cx + d } ∀x ∈ y’ > ( y’ < ) , D +/ Hàm số đồng biến ( Nghịch biến ) khoảng (….) (… ) +/ Cực trị : Hàm số khơng có cực trị + / Tiệm cận Giới hạn : a a a lim y = lim y = c c c x → −∞ x → +∞ => tiệm cận ngang : y = lim y = lim y = −d −d −d x→ x→ c c c ? ? => tiệm cận đứng : x = +/ Bảng biến thiên : −d x -∞ +∞ c • − + y’ ? ? y ? ? 3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = => y = b d −b a *Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = => x = , Y −d a c c *Đồ thị nhận giao điểm I( ; ) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng O X II / Hàm số y = ax4 + bx2 + c ( a ≠ 0) 1) Tập xác định : +/ D = R 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : • y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b )  x =  f (0) = c    x = ? ⇒  f ( x) = x = ?  f ( x) =   y’ = Xét dấu y’: +/ khoảng (….) (… ) : y’ > , : Hàm số đồng biến Trên khoảng (….) : y’ < , : Hàm số Nghịch biến • • +/ Cực trị : Kết luận cực trị hàm số Hàm số đạt cực tiểu x = …., yCT = … Hàm số đạt cực đại x = …., yCĐ = … + / Giới hạn Vô cực : lim y = x → −∞ ? ; +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? ? y lim y = x → +∞ ? ? ? ? ? ? ? +∞ 3) Đồ thị : Y • Hàm số cho hàm số chẵn, đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng • Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = => x = ? Các điểm khác … Đồ thị : O X III / Hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d ( a ≠ 0) 1) Tập xác định : +/ D = R 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : • y’ = 3ax2 + 2bx + c • y’ = xi = ? ; f(xi) = ? • Xét dấu y’: +/ khoảng (….) (… ) : y’ > , : Hàm số đồng biến Trên khoảng (….) : y’ < , : Hàm số Nghịch biến +/ Cực trị : Kết luận cực trị hàm số Hàm số đạt cực tiểu x = …., yCT = … Hàm số đạt cực Đại x = …., yCĐ = … + / Giới hạn Vô cực : lim y = x → −∞ lim y = ? x →+∞ ; +/ Bảng biến thiên : x -∞ ? y’ ? y ? ? ? ? ? ? ? ? +∞ 3) Đồ thị : + ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = => y = d +) Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = => x = ? , Các điểm khác : … +) Đồ thị : Y O X Bài tập mẫu dạng 1: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y= a) − 2x x−2 b)y = − 2x y= x−2 x+3 x −1 y= c) 2x +1 1− x d)y = x +1 x−2 Cách giải: a) 1) Tập xác định : +/ D = R \{ … } 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : y’ = • − ( x + ) ∀x ∈ y’ … , D +/ Hàm số đồng biến khoảng (….) (… ) +/ Hàm số nghịch biến khoảng (….) (… ) +/ Cực trị : Hàm số khơng có cực trị + / Tiệm cận Giới hạn : • lim y = x →−∞ lim y = x → lim y = x →+∞ lim y = +/ Bảng biến thiên : x => tiệm cận ngang : y =… -∞ x → => tiệm cận đứng : x =… +∞ … y’ … y … Y … … 3) Đồ thị : * Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = => y = … *Giao điểm đồ thị với trục Ox : Oy = => x =… X *Đồ thị nhận giao điểm I(… ;… ) hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng Bài tập mẫu dạng 2: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y= a) x − 3x + 2 y= b) y = –x4 + 2x² + x − 3x + 2 Cách giải: a) 1) Tập xác định : +/ D = … 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : • y’ = … x3 + … x = 2x(… x2 + … ) x =  f (0) = c    x = ⇒  f ( x) =  x =  f ( x) =   y’ = Xét dấu y’: +/ khoảng (….) (… ) : y’ > , : Hàm số đồng biến Trên khoảng (….) : y’ < , : Hàm số Nghịch biến +/ Cực trị : Kết luận cực trị hàm số Hàm số đạt cực tiểu x = …., yCT = … Hàm số đạt cực đại x = …., yCĐ = … + / Giới hạn Vô cực : • • lim y = x → −∞ … ; +/ Bảng biến thiên : x -∞ … y’ … … lim y = x → +∞ … … … … … … … +∞ … … y … … 3) Đồ thị : • Hàm số cho hàm số chẵn, đồ thị nhận trục 0y làm trục đối xứng • Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = => x = … Các điểm khác … Đồ thị : Y O X Bài tập mẫu dạng 3: Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y= x + x2 + a) y = f(x) = –x³ + 3x + b)y = x³ – 2x² + x – c) Cách giải: a) y = f(x) = –x³ + 3x + 1) Tập xác định : +/ D = … 2) Sự biến thiên : +/ Chiều biến thiên : • y’ = … x2 + … x + … • y’ = xi = … ; f(xi) = … • Xét dấu y’: +/ khoảng (….) (… ) : y’ > , : Hàm số đồng biến Trên khoảng (….) : y’ < , : Hàm số Nghịch biến +/ Cực trị : Kết luận cực trị hàm số Hàm số đạt cực tiểu x = …., yCT = … Hàm số đạt cực Đại x = …., yCĐ = … + / Giới hạn Vô cực : lim y = x → −∞ lim y = x →+∞ … ; +/ Bảng biến thiên : x -∞ … … y’ … … … … … y … … 3) Đồ thị : + ) Giao điểm đồ thị với trục Oy : x = => y = +∞ +) Giao điểm đồ thị với trục Ox : y = => x = ., Các điểm khác : … +) Đồ thị : Y O X B/ CÁC BƯỚC GIẢI BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 1/ y = ax3 + bx2 + cx + d ( C ) 2/ y = ax4 + bx2 + c (C) y= ax + b cx + d 3/ (C) Bài : Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) : 1/ Tại điểm M0 (x0 ; y0 ) Xác định: Viết phương trình: y= + 2/ Có hệ số góc cho trước ( song song với đường thẳng y = kx + p ) • Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) ⇔ • k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào ( C ) tìm y0 Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm 3/ Vng góc với đường thẳng y = k’x + p • Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) • • Trong k.k’ = -1 ⇔ ⇔ k= −1 k' k = f’(x0 ) giải phương trình tìm x0 ; x0 vừa tìm vào ( C ) tìm y0 Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm 4/ Các dạng khác : cho biết x0 y0 tìm yếu tố cịn lại suy có (*) 5/ Đi qua điểm M1 (x1 ; y1 ) € ( C ) : Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x1 ) + y1 (*) k = f’(x1) ; k , x1 , y1 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm Bài : Biện luận theo m số nghiệm phương trình: a’x3 + b’x2 + c’x + n = (2) • ⇔ ⇔ (2) ax3 + bx2 + cx + d = k.m ; ( ax4 + bx2 + c = k.m ) Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = k.m (vẽ d) • Nhận xét số giao điểm d: với ( C ) , theo yCT yCĐ ( C ) Bài : Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) t đểm phân biệt ? Hướng dẫn : Số giao điểm f(x) = f(x;m ) với ( C ) , số nghiệm phương trình : f( x ) = f ( x ; m ) Từ ta tìm điều kiện m cần tìm • • Bài tập mẫu dạng 1: y = x3 − x + Bài 1: Cho hàm số (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): a) Tại điểm A (-1; 7) b)Tại điểm có hồnh độ x = c)Tại điểm có tung độ y =5 Cách giải: a/ Ta có : y’(x)=… Tại điểm … (… ; … ) Xác định: Viết phương trình: y= +… Bài 2: Cho đồ thị (C) hàm số a) b) c) y = x3 − x + x − Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục hồnh Viết phương trình tiếp tuyến với (C) giao điểm (C) với trục tung Viết phương trình tiếp tuyến với (C) điểm x0 thỏa mãn y”(x0) = y= Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): y = 3x − đường thẳng (d): x+2 x −1 giao điểm (C) với - y = x3 − 3x + Bài tập mẫu dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (C) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + Cách giải: • Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) ⇒ k = y’(x0 ) Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 9x + => k = … Với y’= … ⇔ • giải phương trình …………………………………………… => x0 = ……; x0 vừa tìm vào ( C ) => y0 = Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm y =…… y = x3 − 3x Bài tập mẫu dạng 2: Cho hàm số (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k = -3 (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị - Bài tập mẫu dạng 3: Cho hàm số y = x3 − 3x + (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) y= −1 x biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng Cách giải: • Phương trình tiếp tuyến đồ thị ( C ) điểm M0 (x0 ; y0 ) có dạng : y = k(x – x0 ) + y0 (*) y= Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng => k … = -1 Với y’= … ⇔ −1 x => k’=… k =… ⇔ • giải phương trình …………………………………………… => x0 = ……; x0 vừa tìm vào ( C ) => y0 = Thế k , x0 , y0 vào ( * ) ta có phương trình tiếp tuyến cần tìm y =…… y= Bài tập mẫu dạng 3: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số: biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): x + y − 2016 = x + x2 Bài tập mẫu dạng Biện luận theo m số nghiệm phương trình y= x − 3x + 2 Cho hàm số: có đồ thị (C) a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm: x − 6x + + m = ⇔ x − 6x + + m = Cách giải: b) (2) …x4 - … x2 + …=… Số nghiệm phương trình (2) số giao điểm đồ thị ( C) với đường thẳng d: y = …… TH1: phương trình vơ nghiệm : ……… TH2: phương trình có nghiệm : ……… TH3: phương trình có nghiệm : ……… TH4: phương trình có nghiệm : ……… Bài tập mẫu dạng Tìm m để y = f(x ; m ) cắt đồ thị ( C ) t đểm phân biệt ? 10 , y = 2+ x −1 Cho hàm số a Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số b Tìm m để đường thẳng d: y = –x + m cắt (C) hai điểm phân biệt Cách giải: b) y = 2+ Số giao điểm 2+ x −1 x +1 với đường thẳng d: y = –x + m , số nghiệm phương trình : x +1 = –x + m = –x + m ……………….= (-x+m)(………) …………………………=0 ……………………… Từ điều kiện m là:……………………… Bài 1: Tìm m để hàm số: Bài 2:Cho hàm số y = x + ( m − m + ) x + ( 3m + 1) x + m − 1 y = mx3 − ( m − 1) x + ( m − ) x + 3 Tìm m đạt cực tiểu x = −2 để hàm số đạt cực đại x=0 Bài Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ hàm số Bài tốn 1: Tìm GTLN,GTNN hàm số đoạn ? Phương pháp: • Tính • Giải phương trình , để tìm nghiệm • Tính giá trị • GTLN số lớn giá trị vừa tìm • GTNN số bé giá trị vừa tìm Bài tốn 2: Tìm giá trị lớn , nhỏ hàm số miền định hay khoảng 11 Phương pháp: • Tìm tập xác định • Tính • Giải phương trình (các điểm tới hạn ) tính giá trị điểm tới hạn • Lập bảng biến thiên , bảng biến thiên GTLN,GTNN -Bài tập mẫu dạng 1Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số: đoạn Cách giải : • • • • Ta có Kết luận: , , -Bài tập tương tự dạng Bài 1: Tìm GTLN,GTNN hàm số a) đoạn c) đoạn b) đoạn Bài 2: Tìm GTLN,GTNN hàm số a) đoạn b) c) đoạn d) Bài tập mẫu dạng Tìm giá trị lớn , giá trị nhỏ hàm số: Hướng dẩn giải: • Tập xác định : D=[0;2] • • • Bảng biến thiên: 12 đoạn x y’ y • … … … … … … … … … Kết luận: Bài tập tương tự dạng Bài 3: Tìm GTLN,GTNN hàm số a) b) c) Bài tốn 3: Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) đoạn [a; b] số cho trước Phương pháp giải: 13 Giả sử tốn u cầu: Tìm giá trị tham số để hàm số có giá trị lớn (giá trị nhỏ ) đoạn (là m), ta tiến hành theo tring cách sau Chú ý: Hàm số liên tục Cách 1: • • • • • • Tính đạo hàm Gải phương trình để tìm nghiệm Tính giá trị Từ kết trên, xác định GTLN (GTNN) hàm số , giả sử Giải phương trình để tìm nghiệm Nêu kết luận cho tốn để hồn tất tốn Cách 2: • • • • • • Xác định điều kiện để bất phương trình : thỏa mãn Giải điều kiện vừa tìm để xác định giá trị thỏa điều kiện vừa nêu Xác định điều kiện để phương trình: có nghiệm Giải điều kiện vừa tìm để xác định giá trị thỏa điều kiện So sánh giá trị m tìm ở bước để chọn giá trị m thỏa toán Nêu kết luận cho tốn để hồn tất tốn Cách 3: • • • • Tính đạo hàm Giải phương trình để tìm nghiệm Tính giá trị Lần lượt giải phương trình: để tìm nghiệm • • chúng Thay vào hàm số kiểm tra trực tiếp xem giá trị nhận loại giá trị Nêu kết luận cho tốn để hồn tất toán thực thỏa toán để Bài tập 1: Xét hàm số: hàm số giá trịlớn Xác định giá trị tham số $latex m$ cho Hướng dẩn giải: • • • • • Ta có đạo hàm : , Nhận xét : , Do hàm số đạt giá trị lớn (1) (2) x=m 14 , suy • • Do Do Với , nên từ (1) suy , nên từ (2) suy , thay vào hàm số ta được: Bảng biến thiên: (các em tự lập) Vậy giá trị lớn hàm số Suy Với , suy loại , thay vào hàm số ta : Bảng biến thiên: (các em tự lập) Vậy giá trị lớn hàm số Suy giá trị • thỏa mãn tốn Kết luận: Giá trị cần tìm : 15 khơng thỏa tốn