Phương pháp xác suất trong tổ hợp và đồ thị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THẮNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG Tổ HỢP VÀ ĐO THỊ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Đinh 2020 NGUYỄN THẮNG PHƯƠNG PHÁP XÁC SUẤT TRONG Tổ HỢP VÀ ĐO THỊ Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN: PGS TSKH Huỳnh Văn Ngãi Muc luc KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (bản sao) 49 MỞ ĐẦU Xác suất nhánh Toán học phát triển mạnh mẽ sử dụng rộng rãi Tuy nhiên, phương pháp xác suất phát triển khoảng 50 năm trở lại đây, bắt đầu cho phương pháp nhà toán học Paul Erdos Cơ sở phương pháp mô tả sau: để chứng minh tồn cấu trúc tổ hợp thỏa tính chất đó, ta xây dựng khơng gian xác suất thích hợp phần tử với tính chất cho chọn ngẫu nhiên có xác suất dương Hiện nay, phương pháp xác suất trở thành phương pháp mạnh Lý thuyết tổ hợp đồ thị đặc biệt chứng minh toán tồn Hiện nay, tài liệu đề cập phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị cịn chưa có tài liệu trình bày đầy đủ vấn đề phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị; vấn đề liên quan đến việc ứng dụng hay toán phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị lại phức tạp Do người tiếp cận phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị khó khăn Vì vậy, tơi định chọn đề tài: “Phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị” cho luận văn thạc sĩ nhằm tìm hiểu số phương pháp xác suất lý thuyết tổ hợp đồ thị, với ứng dụng giải toán tổ hợp đồ thị Trong luận văn này, ta nghiên cứu phương pháp xác suất tổ hợp đồ thị Mục đích giúp người hiểu rõ phương pháp xác suất lý thuyết tổ hợp đồ thị, giải tốn khó lý thuyết tổ hợp đồ thị Nội dung của luận văn trình bày hai chương Chương 1: Kiến thức chuẩn bi Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm, tính chất xác suất để làm sở trình bày phương pháp xác suất mà khơng sâu vào khái niệm xác suất Các kết đồ thị trình bày chương Chương 2: Phương pháp xác suất tổ hợp đồ thi Trong chương này, chúng tơi trình bày số ý tưởng sử dụng xác suất để giải tốn tổ hợp, đồ thị Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành kính trọng sâu sắc đến PGS TSKH Huỳnh Văn Ngãi, thầy trực tiếp giảng dạy, hướng dẫn tạo điều kiện trình học tập nghiên cứu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Khoa Toán học Thống kê Trường đại học Quy Nhơn quý thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập trường Nhân đây, xin cảm ơn anh, chị học viên lớp Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 21, gia đình bạn bè giúp đỡ, động viên tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng hạn chế thời gian trình độ nên bên cạnh kết đạt được, luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn chân thành quý thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Ngày tháng năm 2020 Học viên thực Nguyễn Thắng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số khái niệm, tính chất xác suất để làm sở trình bày phương pháp xác suất mà không sâu vào khái niệm xác suất Các khái niệm số kết đồ thị, trình bày chương Các kết chương trình bày dựa vào [2], [4], [5] 1 Khái niêm vê xác suat cô điên 1.1.1 Phép thử ngẫu nhiên, biến cố, không gian mẫu Định nghĩa 1.1 Phép thử ngẫu nhiên T (gọi tắt phép thử) thí nghiệm hay hành động mà • Kết khơng dự đốn trước được; • Có thể xác định tập hợp tất kết xảy Kết đầu phép thử quy định kết đơn, không phân tách được, lần thử có kết Vì ta hay gọi chúng kết cục (hay biến cố sơ cấp), ký hiệu z hay thêm vào số z 1, z2, Định nghĩa 1.2 Tập tất kết cục có phép thử ngẫu nhiên, ký hiệu o gọi khơng gian mẫu phép thử phép thử Ví dụ 1.1.1 Gieo hai súc sắc phép thử với không gian mẫu o = {(1,1), (1,2), , (6,6)} gồm 36 phần tử Không gian mẫu có số hữu hạn đếm kết cục gọi không gian mẫu rời rạc; trái lại, không gian mẫu gọi liên tục Đinh nghĩa 1.3 Một biến cố A (hay kiện A) liên quan đến phép thử T biến cố mà việc xảy hay khơng xảy tùy thuộc vào kết T Mỗi kết phép thử T làm cho biến cố A xảy gọi kết thuận lợi A Tập hợp kết thuận lợi cho A hay ký hiệu A Trong này, để đơn giản ta dùng A để ký hiệu A, ta nói biến cố A mơ tả tập A Biến cố chắn biến cố xảy thực phép thử T Biến cố chắn mô tả tập o ký hiệu o Biến cố biến cố không xảy thực phép thử T Biến cố mô tả tập rỗng ký hiệu 1.1.2 Đinh nghĩa cổ điển xác suất Xác suất biến cố số đặc trưng cho khả xảy biến cố thực phép thử Giả sử thí nghiệm ngẫu nhiên có thảy n kết cục chúng đồng khả Hơn nữa, giả sử có nA kết cục thuận lợi cho biến cố A (nghĩa biến cố A xảy kết cục xảy ra) Xác suất biến cố A xác định P( A) = nA (1.1) n Như vậy, việc tính xác suất biến cố A quy toán tổ hợp: đếm số kết T đếm số kết thuận lợi A Một giả thiết quan trọng áp dụng định nghĩa kết phép thử T (tức phan tử O) coi có khả xảy Từ định nghĩa xác suất nêu ta suy tính chất xác suất Tính chất 1.1.1 P( A) E [0; 1] với biến cố A, P(A) = o A = 0, P(A) = o A = o 1.1.3 Định nghĩa thống kê xác suất Xét phép thử T biến cố A liên quan đến T Ta không cần giả sử kết phép thử có đồng khả Tiến hành lặp lặp lại N lần phép thử Giả sử N lần đó, biến cố A xuất k = k(N) lần Người ta chứng minh N tiến vơ tỉ số k(N) dần tới giới hạn xác định P(A) = lim N—> TO k( N) N Giới hạn gọi xác suất A, tức Trong trường hợp phép thử T có số hữu hạn kết đồng khả xác suất biến cố A theo định nghĩa thống kê trùng với xác suất biến cố A theo định nghĩa cổ điển Tỉ số k(N) gọi tần suất A N lần thực phép thử T Khi N lớn tần suất gần với xác suất Thành thử tần suất xem giá trị gần xác suất 1.1.4 Quy tắc cộng xác suất Định nghĩa 1.4 (Biến cố hợp) Cho hai biến cố A B Biến cố “A B xảy ra”, ký hiệu A u B, gọi biến cố hợp hai biến cố A B Một cách tổng quát, cho k biến cố Ai, A2, , Ak Biến cố “có biến cố Ai, A2, , Ak xảy ra”, ký hiệu Ai u A2 u • • • u Ak gọi hợp biến cố Định nghĩa 1.5 (Biến cố xung khắc) Hai biến cố A B gọi xung khắc với biến cố xảy biến cố khơng xảy Định nghĩa 1.6 (Biến cố đối) Cho A biến cố Khi biến cố “khơng xảy A” gọi biến cố đối A, ký hiệu A Rõ ràng A A hai biến cố xung khắc hợp chúng biến cố chắn o = A u A Mệnh đề 1.1 (Quy tắc cộng) • Nếu hai biến cố A B xung khắc với P (A u B) = P(A) + P(B) • Nếu Ai, A2, , Ak k biến cố đơi xung khắc với k P (Ai u A2 u u Ak) = E P (Ai) i=i 10 • P (A) = - P (A) 1.1.5 Xác suất có điều kiện Đinh nghĩa 1.7 (Biến cố giao) Cho hai biến cố A B Biến cố “cả A B xảy ra”, ký hiệu AB, gọi giao hai biến cố A B Một cách tổng quát, giao k biến cố Ai, A2, , Ak biến cố “tất biến cố Ai, A2, , Ak xảy ra”, ký hiệu Ai A2 • • • Ak Đinh nghĩa 1.8 Xác suất biến cố A tính với điều kiện biến cố B xảy gọi xác suất có điều kiện A Và kí hiệu P(A| B) Đinh lý 1.1 (Công thức nhân xác suất) Cho hai biến cố A, B Khi đó, P(AB) = P(A)P(B|A) Trong trường hợp P( A) > 0, ta có hệ sau Hệ 1.1 P (B|A) = P (AB) Công thức nhân xác suất mở rộng cho n biến cố sau Hệ 1.2 Cho n biến cố Ai, A2, , An Khi P (AiA2 An) = P(Ai)P (A21 Ai) P (A31 AiA2) • • • P (An1 AiA2 An-i) Đinh nghĩa 1.9 Hai biến cố A B gọi biến cố độc lập P(A|B) = P(A),P(B|A) = P(B) Tổng quát, k biến cố Ai, A2, , Ak gọi độc lập với việc xảy hay khơng xảy nhóm biến cố không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy biến cố lại Từ định nghĩa hai biến cố độc lập, ta có kết sau Hệ 1.3 Cho hai biến cố A, B độc lập Khi P(AB) = P(A)P(B) Hệ 1.3 mở rộng sau: Với Ai, A2, , Ak k biến cố độc lập, ta có P (Ai A2 • Ak) = P (Ai) P (A2) • • • P (Ak) Tập độc lập cực đại ứng với đồ thị G tập độc lập có nhiều đỉnh G Kết chứng minh Caro Wei cho ta mối liên hệ số phần tử tập độc lập cực đại ứng với đồ thị G bậc đỉnh G Đinh lý 2.7 (Caro Wei) Cho đồ thị G = (V, E) gồm n đỉnh Gọi d(v) bậc đỉnh V a (G) số cực đại đỉnh tập độc lập ứng với đồ thị G Khi (G) > £ VEV dv +1 Chứng minh Giả sử V = {V1, V2, , Vn} Ta chọn hốn vị n = (ni, n2, , nn) xây dựng tập S theo quy tắc: ta đặt ni vào tập S ni khơng có cạnh nối với tất đỉnh Kj, j < i Theo cách định nghĩa S tập độc lập Đặt X := | S | biến ngẫu nhiên số phần tử tậpS Khi ta có phân tích sau n X = £ Xvi, i=1 1, Vi G S, Xvi = 0, Vi / S XVi biến ngẫu nhiên báo đỉnh Vi, có nghĩa Giả sử ta có hoán vị n = (ni, n2, , nn) ta tiến hành xây dựng tập S theo quy tắc nêu phần tử Vi G S Vi nằm vị trí thứ n — dVi tất phần tử ni, n2, , nn dV, lân cận phần tử i Ta thu — E ( -Vi = p ( -Vi = = dV+1, X ) X sử dụng tính tuyến tính kì vọng ta n E (X) = £ E(X„i) £ i=1 VEV dV +1 dV +1 1Điều a (G) > £ VV £ V +1 Nhận xét 2.1 Gọi eVlàEVsốdcạnh đồ thị G Khi đó,2ếp+ dụng n Bất đẳng thức dV Jensen, ta nhận £ +1 n £ V Vn Điều có nghĩa là, ta ln tìm tập độc lập với kích thước khơng bé ——— 2e + n Một clique đơn đồ thị vô hướng G = (V, E) tập đỉnh V' (V' tập tập đỉnh V G) thoả mãn: với cặp đỉnh thuộc V' tồn cạnh G nối chúng Do đồ thị tạo từ V ' đồ thị đầy đủ Kích thước clique số đỉnh Kết cho ta chặn số cạnh đồ thị không chứa (k + 1) - clique n (k + ) -clique Khi |E| < - ỉ) T’ n Đinh lý 2.8 (Đinh lý Turan) Cho đồ thị G = (V, E) gồm n đỉnh, không chứa Trước chứng minh Đinh lý Turan, ta cần kết sau Bổ đề 2.4 Cho G đồ thị với V = {1,2, , n} Khi đó, di bậc đỉnh i, (G) kích thước clique lớn chứa G n (G) > Ẻ i=1 n - di Chứng minh Bổ đề 2.4 Ta chọn hoán vị n = (ni, n2, , nn) xây dựng tập S theo quy tắc: ta đặt ni vào tập C ni có cạnh nối với tất đỉnh Kj, j < i Theo cách định nghĩa C clique Đặt X := |C| biến ngẫu nhiên số phần tử tập C Khi ta có phân tích sau n X = E Xi, i=1 Xi biến ngẫu nhiên báo đỉnh i, có nghĩa 1, i ị C, 0, i ị C Giả sử ta có hoán vị n = (n1, n2, , nn) ta tiến hành xây dựng tập S theo quy tắc nêu phần tử Vi ị S Vi nằm vị trí thứ di + tất phần tử n1, n2, , ndị lân cận phần tử i Ta thu E (X) = p (Xi = 1) = n-d,, ■ Áp dụng tính tuyến tính kì vọng ta A E , (X) = tE (Xv) = E n±di i=1 dv +1 veV" di Điều a (G) > E veV Chứng minh Đinh lý 2.8 Sử dụng kí hiệu Bổ đề 2.4, theo giả n thiết kết bổ đề ta có (2.5) n — di' k> En n2 (A"—*) () C 399 - 800 2) - 6,25 Do X nhận giá trị nguyên, tồn A cho X (A) > Với A vậy, cần chọn đội bóng B từ nhóm đội thắng tất đội A □ 2.2.2 ứng dụng tổ hợp Ví dụ 2.2.5 (Erdos) Chứng minh từ tập điểm gồm n số nguyên dương phân biệt lấy tập có n phân tử có tính tổng tự do2: không tồn ba phần tử a, b, c cho a + b = c Chứng minh Xét số nguyên tố p = 3k + đủ lớn C := {k + 1;k + 2; ;2k + 1} Rõ ràng, tập C có tính tổng tự lấy tổng theo modulo p Giả sử tập xét A = {a1; a2; ; an} Lấy ngẫu nhiên phần tử x G {1; 2; ; p — 1} với phân phối Gọi X biến ngẫu nhiên số phần tử thuộc A cho nhân với x lấy modulo p thuộc vào C, X = |xA n CII = |{a G A : xa (mod p) G C}|| Ta tính kỳ vọng biến ngẫu nhiên X Ta biểu diễn n X=£ Ix„ i=1 (mod p)eC Do n E[X] = £ E i=1 n7 I xai (mod p)eC £ P (ixữí (mod p)eC i=1 Chú ý p số nguyên tố nên với số tập {xai : x = 1, p — 1} tạo thành hệ thặng dư thu gọn modulo p Do PI xai n (mod p)eC tử thuộc A mà nhân với x thuộc vào C Đây phần tử tạo nên tập cần tìm Thật vậy, tập khơng có tính tổng tự do, tức tồn ba phần tử a , b, c cho a + b = c, ax + bx = cx (mod p), điều mâu thuẩn với việc ba phần tử ax, bx, cx thuộc C C có tính tổng tự □ 2sum-free Các ví dụ đây, chọn từ đề thi học sinh giỏi khu vực quốc tế Ví dụ 2.2.6 (IMO Shortlist, 1987) Gọi pn (k) số hoán vị S = {1;2; ;n} có k điểm cố định Chứng minh (a) £ k • Pn(k) = n! k=0 (b) £ (k - 1)2 • Pn(k) = n! k=0 Chứng minh Chọn ngẫu nhiên hoán vị theo phân phối Gọi biến ngẫu nhiên X số điểm bất động hoán vị lấy Khi đó, ta có bảng phân phối biến ngẫu nhiên X sau (a) Theo định nghĩa kỳ vọng, ta có E[X]=£k • 2^= £*■ pu (k) n! k=0 n! k=0 Biểu diễn X thành tổng biến ngẫu nhiên báo cho biến cố phần tử i cố định, ta có n I ■X i cố định i=1 Khi đó, E[X] = £p (i “định) = £ = n • n = k=0 n! k=0 n Như n n! (b) Ta có n£ k k=0 E[X2] = n n! • Pn(k) = £ k2 • Pn(k) k=0 Lại có, khai triển X2, ta có X2 = £ n I I £ 1i cốđịnh I i=1 £ỳ i=1 I i cố định +2 £ỳ I i cố địnhIj cố định' 1