Chuyên đề lũy thừa, mũ và lôgarit ôn thi THPT 2021 - Nguyễn Bảo Vương - TOANMATH.com

THPT Thái Phiên - Hải Phòng - 2018 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình?. Bảng biến thiênA[r]

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 LŨY THỪA - HÀM SỐ LŨY THỪA Chuyên đề 16 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Rút gọn, biến đổi, tính toán biểu thức lũy thừa Công thức lũy thừa Cho các số dương a , b và m, n   Ta có: * n  a  a. a  a với n   a   a  n  n thừ a số (a m )n  a mn  (a n )m a m a n  a m  n a nbn  (ab)n an  a   n    b b an am  n  a m  n a Câu n m a n  a n m  a  a2  3a a (m, n  * ) (Nhân Chính Hà Nội 2019) Cho a  0, m, n   Khẳng định nào sau đây đúng? A a m  a n  a m n B a m a n  a m n C (a m ) n  (a n ) m D am  a nm an Câu (THPT Minh Khai - 2019) Với a  , b  ,  ,  là các số thực bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?   a a  a         A   a B a a  a C     D a b   ab  a b b Câu (Sở Quảng Trị 2019) Cho x, y  và  ,    Tìm đẳng thức sai đây  Câu D x x  x  (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Cho các số thực a, b, m, n  a, b   Khẳng định nào sau đây là đúng? am A n  n a m a Câu   B x  y   x  y  C  x   x A  xy   x y    B a m n  a m n m C  a  b   a m  bm D am an  amn (Cụm Trường Chuyên 2019) Với  là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai? A 10    10       100 C 10 B 10  10 2 D 10   10  Câu (Mã 105 2017) Rút gọn biểu thức Q  b : b với b  A Q  b  4 B Q  b C Q  b D Q  b Câu (Mã 110 2017) Rút gọn biểu thức P  x x với x  A P  x B P  x C P  x D P  x Câu (SGD Nam Định 2019) Cho a là số thực dương Giá trị rút gọn biểu thức P  a a A a Câu 11 B a (Mã 102 2017) Cho biểu thức P  C a 10 D a x x x3 , với x  Mệnh đề nào đây đúng? Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A P  x Câu 10 B P  x C P  x 13 24 D P  x (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho biểu thức P  x x x với x  Mệnh đề nào đây đúng? A P  x 11 B P  x C P  x D P  x Câu 11 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Rút gọn biểu thức P  x  x với x  A P  x B P  x D P  x C P  x Câu 12 (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho a là số thực dương Viết và rút gọn biểu thức a dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ Tìm số mũ biểu thức rút gọn đó 3 A B C D 1009 1009 1009 20182 Câu 13 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Rút gọn biểu thức P  A P  a B P  a a  a 1 .a 2 2  C P  a 2 2018 2018 a với a  D P  a Câu 14 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình 2019) Biểu thức P  x x x  x (với x  ), giá trị  là A B C D 2 2 Câu 15 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Cho a là số thực dương khác Khi đó A Câu 16 a2 C a D (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Rút gọn biểu thức P  a 1 .a 2 a  2 Câu 17 B P  a Câu 18  B P  x  2 2 a với a  x5 , x  Khẳng định nào sau đây là D P  x2 a  a 1 .a 2 2  C a B a D P  a C P  x (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho biểu thức P  A a Câu 19 C P  a (THPT Lương Tài Số 2019) Cho biểu thức P  x đúng? A P  x 2 a3 B a A P  a 2 Rút gọn P kết quả: D a (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho biểu thức P  x x3 x , với x  Mệnh đề nào đây đúng? A P  x B P  x 12 C P  x D P  x 24 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 20 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hai số thực dương a, b Rút gọn biểu thức 1 a3 b  b3 a ta thu A  a m b n Tích m.n là A a6b 1 A B C 21 D 18 11 Câu 21 (Sở Quảng Ninh 2019) Rút gọn biểu thức A  a a a a 5 với a  ta kết A  a m n m là phân số tối giản Khẳng định nào sau đây đúng? n A m2  n2  312 B m2  n2  543 C m2  n2  312 D m2  n2  409 đó m, n  N * và Câu 22  1 2  a a  a    (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho a là số thực dương Đơn giản biểu thức P  1     4 a a  a    A P  a  a  1 B P  a  C P  a Câu 23 Cho a, b là các số thực dương Rút gọn P  A P  ab B P  a  b D P  a  a b  ab ta a3b C P  a 4b  ab D P  ab a  b m Câu 24 (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ 2019) Cho biểu thức  n , đó giản Gọi P  m2  n2 Khẳng định nào sau đây đúng? A P  330;340  B P  350;360  C P   260;370  Câu 25 (Sở Bắc T  a  b Ninh 1 A Câu 26 Cho a  0, b  0, giá biểu thức 2017   trị D (Đề Tham Khảo 2017) Tính giá trị biểu thức P    D P  340;350  2  1 a b    ab       a    4 b   B C A P   Câu 27 2019) m là phân số tối n  4 37  2016 2016 C P   B P  (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho biểu thức P  D P   23 2 Mệnh đề nào các 3 mệnh đề sau là đúng?  8 A P     3 18 2 B P    3  18 C P    3  2 D P     3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a Câu 28 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số f  a   a    a  a4 a  a 1  với a  0, a  Tính  giá trị M  f  2017 2016  A M  20171008  Câu 29 B M  20171008  C M  2017 2016  23.21  53.54 (THPT Trần Phú 2019) Giá trị biểu thức P  A 9 B 10 103 :102   0,1 C 10 a3 Câu 30 D M   2017 2016 (THPT Ngô Quyền – 2017) Cho hàm số f  a   a8 là D  a  a  với a  0, a  Tính giá trị a a  2 3 1 M  f  2017 2018  A 20172018  B 20171009  C 20171009 D 20171009  Câu 31 Cho biểu thức f  x   x x 12 x5 Khi đó, giá trị f  2,  B 27 A 0, 027 C 2, 4  3 1 3 Tính giá trị biểu thức P  1 3 2018 Câu 32 Câu 33 2017 2019 A P  22017 D 0, 27 C 22019 B  D 22018 2018  (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Giá trị biểu thức  2 A   2019 1 B   2017 1 C      2019 1 2019 1 D   2017 1 22  b   1   a    Câu 34 Cho a  0, b  giá trị biểu thức T  a  b ab 1   a     b   A B C D 3 2 Dạng So sánh các biểu thức chứa lũy thừa  Nếu a  thì a  a      ;  Nếu  a  thì a  a       Với  a  b , ta có: a m  bm  m  am  bm  m  Câu (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho A m  n Câu   m 1  B m  n  n 1 Khi đó C m  n D m  n Cho a  Mệnh đề nào sau đây là đúng? A a  Câu   a B a  a C a2  a D a 2016  a 2017 (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A C Câu    2018 1   2017 1    2017 1   B  2 D      2018 1 3   1 2018  2       2018     1   3 C  1 D   4 1   5 50 100   2  2017 B   1 D 2017 1 2017 1 0,3 3,2 A  0,  C 0,3 3,2   0,    0,  0,3 0,3 và   2018 1 21 a5  a ? C a  B  a  So sánh ba số:  0,  ,  0,   2 (THPT Tiên Lãng 2018) Tìm tập tất các giá trị a để A a  Câu 2018 (Nam Định - 2018) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? C Câu  2       D (  2)2018  (  2)2019 1 B   2 5   8  2 A      Câu 2019 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Khẳng định nào đây là đúng? 3 A   7 Câu 2 (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Khẳng định nào sau đây đúng? A (  2)2017  (  2)2018 B (  2)2018  (  2)2019 C (  2)2018  (  2)2019 Câu 1 D a 21 0,3 0,3 B  0,   3,2   0,  0,3 D  0,  0,3   0,7   3 3,2 0,3 0,3  3,2   0,  (THPT Cộng Hiền 2019) Cho a, b  thỏa mãn a  a , b  b Khi đó khẳng định nào đúng? A  a  1,  b  B  a  1, b  C a  1,  b  D a  1, b  64 Câu 10 So sánh ba số a  10001001 , b  22 và c  11  22  33   10001000 ? A c  a  b B b  a  c C c  b  a D a  c  b Dạng Tìm tập xác định hàm số lũy thừa y  x Dạng: với u là đa thức đại số y  u Tập xác định: ÑK Nếu      u        ÑK   u  Nếu    ÑK u  Nếu     Câu (Mã 123 2017) Tập xác định D hàm số y   x  1 là: A D   1;   Câu B D   C D  \1  (Mã 104 2017) Tìm tập xác định D hàm số y  x  x  D D   ;1  3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 B D   \ 1; 2 A D   ;  1   2;    C D   D D   0;    Câu (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập xác định hàm số y   x  1 là B  \ 1 A 1;  Câu C 1;  D  0;  4 Tìm tập xác định D hàm số y   x  x  B D   \ 0;3 A  0;3 C D   ;0    3;   D D  R Câu (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tìm tập xác định hàm số: y  4  x 3 là B D  R \ 2; 2 A D   2;  Câu D D  2;   C D  R (Thpt Lương Tài Số 2019) Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định D   ?       A y   x B y     C y    x  D y    x  x     Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm tập xác định D hàm số y   x  1  A D   ;    C D   \   Câu    ;    3     3 B D       D D   ;    ;    3    (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Hàm số nào đây đồng biến trên tập xác định nó? x x x x 1 2 A y    B y    C y  D y   0,5 π 3   Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tập xác định D hàm số y   x  x  3 A D   B D   ; 3  1;   C D   0;   D D   \ 3;1 Câu 10 (Chuyên KHTN 2019) Tập xác định hàm số y   x  1 là A  0;    B 1;    C 1;    D   ;    2019 Câu 11 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tập xác định hàm số y   x  x  2020 là A (  ;0]  [4 ;  ) Câu 12 B   ;  C  4;   B  ;    5;   C  là D D   (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Tìm tập xác định hàm số y   x  x  10  A  \ 2;5 Câu 14 D  \ 0;4 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tập xác định hàm số y  (  x  x  8) A D  (2;4) Câu 13 B (  ;0)  (4 ;  ) C  0;4  3 D  2;5    (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Tìm tập xác định D hàm số y  x   1 A D   \  ;   2 1     B D    ;    ;     2   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C D   Câu 15  1 D D    ;   2 (Hsg Tỉnh Bắc Ninh 2019) Tập xác định hàm số y    x  x  A  \ 4;1 B  2019 C   4;1 là D   4;1 1 Câu 16 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tìm tập xác định y   x  3x   A  ;1   2;   Câu 17 C y   2x  x   ln D   (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Tập xác định hàm số y  x  3x  A 1;2  Câu 18 B  \ 1; 2 B  ;1   2;   C  \ 1;2  B D   ; 1   4;   C D   D D   ; 1   4;   là D  ;1   2;   (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm tập xác định D hàm số y  x  3x  A D   \ 1; 4   2   Câu 19 (Gia Lai 2019) Tìm tập xác định D hàm số y   x  x  9 A D   \ 0 B D  3;  C D   \ 3 D D   Câu 20 (chuyên Hà Tĩnh 2019)Tìm tập xác định hàm số y   x  x   là A  \ 1; 2 B   ;1   2;    C 1;  D   Câu 21 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Tập xác định D hàm số y   x  27  là A D   3;   B D  3;   C D   \ 3 Câu 22 (Bắc Ninh 2019) Tập xác định hàm số y   x  3x     x  3 A D   ;   \ 3 D D   2 là B D   ;1   2;   \ 3 C D   ;   \ 1;  D D   ;1   2;   Dạng Đạo hàm hàm số lũy thừa Đạo hàm: y  x   y   x 1  y  u   y   u 1 u Câu (Sở Quảng Trị 2019) Tìm đạo hàm hàm số: y  ( x  1) A (2 x) 2 B  14 x C x( x  1) D ( x  1) 2 Câu (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Đạo hàm hàm số y    x  x  là A B  23 3 C  D lựa chọn sai Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Lý Nhân Tông – 2017) Hàm số y  4x A y   Câu x  1 B y  x x  x 2  1 có đạo hàm là C y  x x2   (THPT Nguyễn Đăng Đạo – 2017) Đạo hàm hàm số y  2 x  1  A  2 x 1 D y    x  1 trên tập xác định là  D  2 x 1 B 2 x  1 ln 2 x  1 C  x  1 ln  x  1 Câu (Chuyên Vinh 2018) Đạo hàm hàm số y   x  x  1 là A y  Câu  x  x  1 B y  2x  x2  x  2x 1 .C y  3  x  x  1 D y  2  x  x  1 (THPT Chuyen LHP Nam Dinh – 2017) Tính đạo hàm hàm số y  1 cos3 x A y '  6sin 3x 1 cos3x  B y '  6sin 3x cos3x 1 C y '  18sin3x cos3x 1 D y '  18sin 3x 1 cos3x  5 5 e Câu (THPT Chuyên LHP – 2017) Tìm đạo hàm hàm số y   x  1 trên  e 1 A y  x  x2  1 C y   Câu B y   ex e 1 e 2 x    x  1 e e     D y  x  ln x  (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương - 2018) Cho hàm số y  e e e e x ,  x   Đạo hàm y là: 15 A y  e16 x  31 32 B y  e e e e 32 32 x 31 15 31 D y  C y  e16 x 32 Câu (Xuân Trường - Nam Định - 2018) Tính đạo hàm hàm số y  sin x  3x A y  cos x  x3x 1 B y   cos x  3x C y  2 cos x  3x ln D y  cos x  3x ln Câu 10 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - 2018) Đạo hàm hàm số y   x  1 là: e e e e x   x  1 C y   x  1 A y  Câu 11 B y   x  1  ln x  D y  2   x  1 (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Đạo hàm hàm số y  x.2 x là A y  1  x ln  x B y  1  x ln  x C y  1  x  x D y  x  x 2 x 1 Dạng Khảo sát hàm số lũy thừa Khảo sát hàm số lũy thừa y  x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Tập xác định hàm số lũy thừa y  x luôn chứa khoảng  0;   với    Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y  x trên khoảng này y  x ,   y  x ,   Tập xác định:  0;   Tập xác định:  0;   Sự biến thiên y '   x 1  x  Giới hạn đặc biệt: lim x  0, lim x   Sự biến thiên y '   x 1  x  Giới hạn đặc biệt: lim x   , lim x  Tiệm cận: không có Bảng biến thiên Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang Oy là tiệm cận đứng Bảng biến thiên x  x 0 x  x0 Đồ thị hàm số Câu (THPT Phan Chu Trinh - Đắc Lắc - 2018) Hàm số nào sau đây nghịch biến trên  ? x x A y  Câu x C y    D y  e x Cho các hàm số lũy thừa y  x , y  x  , y  x có đồ thị hình vẽ Mệnh đề đúng là A      Câu 1 B y    3 B      C      D      Đường cong hình vẽ đây là đồ thị hàm số nào đây? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 x A y  Câu Câu B y  x  C y  x 1 D y  log2  2x  (THPT Quốc Oai - Hà Nội - 2017) Cho hàm số y  x  khẳng định nào sau đây đúng? A Đồ thị hàm số cắt trục Ox B Đồ thị hàm số không có tiệm cận C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang   (Chuyên Vinh 2017) Cho là các số  ,  là các số thực Đồ thị các hàm số y  x , y  x trên khoảng  0; +  cho hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là đúng? A      Câu Câu Câu B      C      (THPT – THD Nam Dinh- 2017) Cho hàm số y  x D      Mệnh đề nào sau đây là sai? A Hàm số có tập xác định là  0;    B Đồ thị hàm số không có tiệm cận C Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;    D Đồ thị hàm số không cắt trục hoành (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Số cực trị hàm số y  x  x là A B C D (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Cho a , b , c là ba số dương khác Đồ thị các hàm số y  log a x , y  log b x , y  log c x cho hình vẽ bên Mệnh đề nào đây là mệnh đề đúng? A a  b  c B c  a  b C c  b  a D b  c  a Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Câu 10 (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Cho ba số thực dương a , b , c khác Đồ thị các hàm số y  a x , y  b x , y  c x cho hình vẽ đây Mệnh đề nào đây đúng? B a   c  b C a   b  c D  a  b  c A  a  c  b (THPT Yên Lạc - 2018) Hàm số y  x e x nghịch biến trên khoảng nào? B  2;0  C 1;   D  1;0  A  ;0  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 LŨY THỪA - HÀM SỐ LŨY THỪA Chuyên đề 16 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Rút gọn, biến đổi, tính toán biểu thức lũy thừa Công thức lũy thừa Cho các số dương a , b và m, n   Ta có: * n a  a. a  a với n      a0  n thừ a số  (a m )n  a mn  (a n )m  a m a n  a m  n  a nbn  (ab)n an  a   n   b b an  an   am  a mn n a n  m an  a n m  a  a2  3a a (m, n  * ) Câu (Nhân Chính Hà Nội 2019) Cho a  0, m, n   Khẳng định nào sau đây đúng? am  a n m m n n m m n mn m n m n n ( a )  ( a ) a  a  a a a  a A B C D a Lời giải Chọn C Tính chất lũy thừa Câu (THPT Minh Khai - 2019) Với a  , b  ,  ,  là các số thực bất kì, đẳng thức nào sau đây sai?   a a  a   A   a   B a a   a   C     D a b   ab  a b b   Lời giải Chọn C Câu (Sở Quảng Trị 2019) Cho x, y  và  ,    Tìm đẳng thức sai đây    B x  y   x  y  C  x   x A  xy   x y  D x x  x  Lời giải Chọn B  Theo tính chất lũy thừa thì đẳng thức x  y   x  y  Sai Câu (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Cho các số thực a, b, m, n  a, b   Khẳng định nào sau đây là đúng? am n m A n  a a   B a m n  a m n m C  a  b   a m  bm D am an  amn Lời giải Chọn D am Ta có: n  a m n  Loại A a m n a  1  1  a m.n  Loại B  12  12  Loại C am a n  a mn  Chọn D Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Cụm Trường Chuyên 2019) Với  là số thực bất kì, mệnh đề nào sau đây sai? A 10    10       100 C 10 B 10  10 2 D 10   10  Lời giải Theo định nghĩa và các tính chất lũy thừa, ta thấy A, B, C là các mệnh đề đúng 12 Xét mệnh đề D: với   , ta có: 101   100  10   10 nên mệnh đề D sai Câu (Mã 105 2017) Rút gọn biểu thức Q  b : b với b  A Q  b  4 B Q  b C Q  b Lời giải D Q  b Chọn B 5 Q  b3 : b  b3 : b3  b3 Câu (Mã 110 2017) Rút gọn biểu thức P  x x với x  A P  x B P  x C P  x Lời giải D P  x Chọn A 1 1  Ta có: P  x x  x x  x  x2  x Câu (SGD Nam Định 2019) Cho a là số thực dương Giá trị rút gọn biểu thức P  a a A a 11 B a 10 C a Lời giải D a Chọn C 4  Ta có: P  a a  a a  a Câu 11  a6 (Mã 102 2017) Cho biểu thức P  A P  x B P  x x x x3 , với x  Mệnh đề nào đây đúng? C P  x Lời giải 13 24 D P  x Chọn C 3 7 4 13 13 Ta có, với x  : P  x x x  x x x  x x  x.x  x  x 24 Câu 10 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho biểu thức P  x x x với x  Mệnh đề nào đây đúng? A P  x 11 B P  x C P  x Lời giải D P  x Chọn A 1 1   P  x x x  x x Câu 11 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Rút gọn biểu thức P  x  x với x  A P  x B P  x C P  x Lời giải D P  x Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Với x  0; P  x x  x 1  x  x Câu 12 (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Cho a là số thực dương Viết và rút gọn biểu thức a 2018 2018 a dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ Tìm số mũ biểu thức rút gọn đó 3 A B C D 1009 1009 1009 20182 Lời giải Chọn A 3 2 a 2018 2018 a  a 2018 a 2018  a 2018  a1009 Vậy số mũ biểu thức rút gọn 1009 Câu 13 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Rút gọn biểu thức P  a 1 .a 2 a  2 B P  a A P  a P a 1 .a 2 a  2 Câu 14 2  12 a a  2  2   C P  a Lời giải 2 với a  D P  a a3  a5 2 a (THPT Yên Khánh - Ninh Bình 2019) Biểu thức P  x x x  x (với x  ), giá trị  là A B C D 2 2 Lời giải P x x Câu 15 1  52   32  3 x  x x x  x  x    x   x        2 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Cho a là số thực dương khác Khi đó A a2 B a a3 C a Lời giải D a Chọn D Ta có: Câu 16 21  23  34 a   a   a  a6  a   (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Rút gọn biểu thức P  a 1 .a 2 a  2 B P  a A P  a C P  a Lời giải 2 với a  D P  a Chọn D Ta có P  a 1 .a 2 a  2 Câu 17 2  a3  a5 24 a  (THPT Lương Tài Số 2019) Cho biểu thức P  x đúng? x5 , x  Khẳng định nào sau đây là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A P  x 2 B P  x  D P  x2 C P  x Lời giải Chọn C   Câu 18 x  x x  x Ta có P  x   4  x2 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho biểu thức P  1 a .a 2 a  2 A a C a Lời giải B a 2 Rút gọn P kết quả: D a Chọn A Ta có: P  a 1 .a 2 a  2 Câu 19 2  a 1   2 a  2   a3  a5 2 a (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho biểu thức P  x x3 x , với x  Mệnh đề nào đây đúng? A P  x C P  x Lời giải B P  x 12 D P  x 24 Chọn C Ta có: P  x x Câu 20 x x (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho hai số thực dương a, b Rút gọn biểu thức 1 a3 b  b3 a ta thu A  a m b n Tích m.n là A a6b 1 1 A B C D 21 18 Lời giải Chọn C 1   1 1 1 a b  b  a  1 a b  b a a b  b a    a b  m  , n   m.n  A   1 1 3 a6b a6  b6 a6  b6 11 Câu 21 (Sở Quảng Ninh 2019) Rút gọn biểu thức A  a a a a 5 m với a  ta kết A  a n m là phân số tối giản Khẳng định nào sau đây đúng? n A m2  n2  312 B m2  n2  543 C m2  n2  312 D m2  n2  409 Lời giải đó m, n  N * và 11 Ta có: A  a a a a 5  11 a a 5  a6 23 19 a7 a a a m m Mà A  a n , m, n  N * và là phân số tối giản n  m  19, n   m  n  312 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2  1  3  a a  a    (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho a là số thực dương Đơn giản biểu thức P  1     a a  a    Câu 22 A P  a  a  1 B P  a  C P  a Lời giải D P  a   1 2  1 a a  a  a a  1   a a  a 3a a  a2 P    a 1 1   a 1 a 1  4 4  4 a a  a  a a  a a   4 a b  ab Câu 23 Cho a, b là các số thực dương Rút gọn P  ta a3b A P  ab B P  a  b C P  a 4b  ab Lời giải 1  4 1 ab a  b   a b  ab a.a b  ab.b  P    ab 1 1 a3b 3 3 a b a b D P  ab a  b m Câu 24 (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ 2019) Cho biểu thức  n , đó giản Gọi P  m2  n2 Khẳng định nào sau đây đúng? A P  330;340  B P  350;360  C P   260;370  Lời giải Chọn D 1 1   D P  340;350  11  23  25.210 230  25 10 30  215 m 11 m  11     P  m2  n2  112  152  346 n 15 n  15 Ta có Câu 25 m là phân số tối n (Sở Bắc Ninh T  a  b A 1 2019) Cho a  0, b  0, giá trị biểu thức 2  1 a b   ab  1      a    4 b   B C Lời giải D Cách 2: 2  1 a b  1  Ta có T   a  b   ab  1     a    4 b    a  b 1    a  b 2  a  b   1  ab  1       a  b   ab  1  4ab      ab   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1   a  b 2  a  b  1 1   a  b   ab    ab   2 ab  4ab   ab  2 Câu 26 2017  (Đề Tham Khảo 2017) Tính giá trị biểu thức P    A P     4 37  2016 2016 C P   B P  D P   Lời giải Chọn D 2017  P 74   4     1 Câu 27 2016 37  2016          4     2016   (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho biểu thức P  23 2 Mệnh đề nào các 3 mệnh đề sau là đúng? 18  8 A P     3 2 B P    3 1  18 C P    3 Lời giải  2 D P     3 Cách 1: 31 1  2 2  2  2  2 Ta có: P  3 3 3  3       3 3 3 3 3 a Câu 28 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số f  a   a    a  a4 a  a 1  với a  0, a  Tính  giá trị M  f  2017 2016  A M  20171008  B M  20171008  C M  2017 2016  Lời giải D M   2017 2016 Chọn B a f a  a    a  a4 a  a 1    a  1   a 1 a nên M  f  2017 2016   1  2017 2016  1  20171008 Câu 29 (THPT Trần Phú 2019) Giá trị biểu thức P  A 9 B 10 23.21  53.54 103 :102   0,1 C 10 Lời giải là D Chọn B Ta có P  23.21  53.54 103 :102   0,1  231  53 45  1   10 3  10  10  1  10 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a Câu 30 (THPT Ngô Quyền – 2017) Cho hàm số f  a   a8  a  a  với a  0, a  Tính giá trị a a  2 3 1 M  f  2017 2018  A 20172018  B 20171009  C 20171009 Lời giải D 20171009  Chọn B  2  a3  a  a3  1 a     1  a Ta có f  a      a8  a8  a  a 1   Do đó M  f  2017 2018   1   2017 2018   1  20171009 Câu 31 Cho biểu thức f  x   x x 12 x5 Khi đó, giá trị f  2,  B 27 A 0, 027 Chọn C 2, Lời giải D 0, 27 C f  x  2,7   2, 2, 7.12 2, 75  2, 4  3 1 3 Tính giá trị biểu thức P  1 3 2018 Câu 32 2017 2019 A P  22017 C 22019 Lời giải B  D 22018 Chọn A 1 3 1 3 Ta có: P  1  3 2.2018 2017  2019 Câu 33      1    2017  2 2017 2018  (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Giá trị biểu thức  2 A   2019 1  B  2017 1 C      2019 1 2019 1 D   2017 1 Lời giải Chọn D 2018 2019   2018    1 2018  2 1   2018  2018     1   1   1   1 =     1  Ta có  2 2019   1 1 2017 .    1  1   2019 2017 22  b   1   a    Câu 34 Cho a  0, b  giá trị biểu thức T  a  b ab 1   a     b   A B C D 3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn A Ta có   a   b 1      a  b1 ab2 T  a  b ab2 1    a     b   1 a b 2 1  a  b ab      a  b ab2  4b 4a  1  a b  1     2   b a  1 a  b   a  b  2ab     a  b1 ab2  1   4ab   2 ab Dạng So sánh các biểu thức chứa lũy thừa  Nếu a  thì a  a      ;  Nếu  a  thì a  a       Với  a  b , ta có: a m  bm  m  am  bm  m  Câu (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho A m  n     m n 1  B m  n 1 Khi đó D m  n C m  n Lời giải Chọn C Do  1  nên Câu    m 1   n 1  m  n Cho a  Mệnh đề nào sau đây là đúng? A a   a B a  a a2  a C D a 2016  a 2017 Lời giải Chọn A Vì a  1;     a  Câu 3  a  a  a (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào SAI? A C    2018 1   2017  2018 1   2017 1   1   1  2018 B 2 1 2  2 D      Lời giải 2019  2       2018 Chọn A A  1  2017 Cùng số,    , hàm nghịch biến, số mũ lớn nên bé Sai B 2 1  Cùng số,  1, hàm đồng biến, số mũ   2 1   2   3  nên lớn Đúng C   1 2017    2018 1 Cùng số,    , hàm nghịch biến, số mũ bé nên lớn Đúng 2019   2 2 D            bé Đúng 2018 Cùng số,    , hàm nghịch biến, số mũ lớn nên Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Khẳng định nào sau đây đúng? A (  2)2017  (  2)2018 B (  2)2018  (  2)2019 C (  2)2018  (  2)2019 D (  2)2018  (  2)2019 Lời giải Chọn C 0     (  2)2018  (  2)2019  C đúng  2018  2019      (  2)2017  (  2)2018  A sai  2017  2018     (  2)2018  (  2)2019  B sai  2018  2019 0     (  2) 2018  (  2) 2019  D sai  2018  2019 Câu (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Khẳng định nào đây là đúng? 3 A   7 3 1 B   2 5   8   1 C 3   3 Lời giải 2 1   5 1 D   4 50 100   2 Ta có:  3 5  3     7 8 7 1 1    2  3 5    (vì 8  ) Phương án A Sai  1    (vì   ) Phương án B Đúng 3   3 1   4 Câu  5 50 100   2  3    22 1    (vì   ) Phương án C Sai 5 50 100   2  2100  2100 ( Mệnh đề sai ) Phương án D Sai (Nam Định - 2018) Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?  2 A      C   1 2018  2       2018    1 2017 B  2017 D  2017 1 1    1 2018 2 Hướng dẫn giải Chọn C 0     +)   2017  2018   1 2017    1 2018 nên A đúng 2018 2017 0     1  1 +)  nên B sai  2018  2017   +)   2 1  nên C đúng    2018 2017   2 2 1  0   +)     nên D đúng      2     2018  2017      Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Tiên Lãng 2018) Tìm tập tất các giá trị a để A a  21 a5  a ? C a  B  a  D a 21 Lời giải Chọn B a  21 a Ta có Câu 21 a  a  21 a  21 a mà   a  0,3 3,2 So sánh ba số:  0,  ,  0,  A  0,  C 0,3 3,2   0,    0,  0,3 0,3 và 0,3 0,3 B  0,   3,2   0,  0,3 D  0,  0,3   0,7   0,3 3,2 0,3  3,2   0,  Lời giải Chọn D Ta có 0,    0,  Câu 0,3  0,3 nên loại đáp án 3 (THPT Cộng Hiền 2019) Cho a, b  thỏa mãn a  a , b  b Khi đó khẳng định nào đúng? A  a  1,  b  B  a  1, b  C a  1,  b  D a  1, b  Lời giải Chọn C Ta có 1 1 a  a  ln a  ln a  ln a   a  3 b  b  ln b  ln b   ln b   b  12 Lưu ý: Ta có thể sử dụng máy tính Casio để thử các đáp án cách cho a , b các giá trị cụ thể 64 Câu 10 So sánh ba số a  10001001 , b  22 và c  11  22  33   10001000 ? A c  a  b B b  a  c C c  b  a Lời giải Chọn A D a  c  b Ta có: 11  10001000 ; 22  10001000 999999  10001000  c  11  22  33   10001000  1000.10001000  c  a Mặt khác: 210  1000 64 24 10 ln 210  10006.ln1000  1001.ln1000  22  10001001  a  b 10 Vậy c  a  b  264.ln    Dạng Tìm tập xác định hàm số lũy thừa y  x  Dạng: với u là đa thức đại số y  u  Tập xác định: ÑK Nếu      u        ÑK   u  Nếu    Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ÑK u  Nếu     Câu (Mã 123 2017) Tập xác định D hàm số y   x  1 là: A D   1;   C D  \1 B D   D D   ;1 Lời giải Chọn A Hàm số xác định x    x  Vậy D   1;   Câu  (Mã 104 2017) Tìm tập xác định D hàm số y  x  x  3 B D   \ 1; 2 A D   ;  1   2;    C D    D D   0;    Lời giải Chọn B Vì 3  nên hàm số xác định x  x    x  1; x  Vậy D   \ 1; 2 Câu (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập xác định hàm số y   x  1 là B  \ 1 A 1;  C 1;  D  0;  Lời giải Chọn C Vì   nên hàm số xác định và x    x  Vậy tập xác định hàm số D  1;   Câu 4 Tìm tập xác định D hàm số y   x  3x  B D   \ 0;3 A  0;3 C D   ;0    3;   D D  R Lời giải Chọn B x  xác định x  x    x  Vậy tập xác định hàm số là D   \ 0;3 Hàm số y   x  x  2 Câu (KSCL THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tìm tập xác định hàm số: y  4  x 3 là A D  2; 2 B D  R \ 2; 2 C D  R Lời giải D D  2;   Chọn A Điều kiện:  x   x   2; 2 Vậy TXĐ: D   2;  Câu (Thpt Lương Tài Số 2019) Trong các hàm số sau đây, hàm số nào có tập xác định D   ?       A y   x B y     C y    x  D y    x  x   Lời giải Chọn C Đáp án A: Điều kiện x  Tập xác định D   0;     Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đáp án B: Điều kiện x  Tập xác định D   \ 0 Đáp án C: Điều kiện  x  (luôn đúng) Tập xác định D   Đáp án D: Điều kiện  x   x  2 Tập xác định D   2;   Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm tập xác định D hàm số y   x  1  A D   ;    C D   \      ;    3     3 B D       D D   ;    ;    3    Lời giải Chọn A  x   Điều kiện xác định: x       x      Tập xác định D   ;  ;    3    Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Hàm số nào đây đồng biến trên tập xác định nó? x x x x 1 2 A y    B y    C y  D y   0,5 π 3 Lời giải Chọn C Hàm số y  a x đồng biến trên  và a  Thấy các số ; ; 0,5 nhỏ , còn lớn nên chọn C π   Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tập xác định D hàm số y   x  x  3 A D   B D   ; 3  1;   C D   0;   D D   \ 3;1 Lời giải Chọn B x 1 Hàm số xác định x  x      x  3 Vậy D   ; 3  1;   Câu 10 (Chuyên KHTN 2019) Tập xác định hàm số y   x  1 là A  0;    B 1;    C 1;    Lời giải D   ;    Điều kiện để hàm số xác định: x    x  Tập xác định: D  1;    2019 Câu 11 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Tập xác định hàm số y   x  x  2020 là A (  ;0]  [4 ;  ) B (  ;0)  (4 ;  ) C  0;4  D  \ 0;4 Lời giải x  Điều kiện x  x    x  Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 12 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tập xác định hàm số y  (  x  x  8) B  ;  A D  (2;4) C  4;   Lời giải là D D   Hàm số xác định và khi:  x  x     x  Vậy tập xác định hàm số là D   2;  Câu 13 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Tìm tập xác định hàm số y   x  x  10  B  ;    5;   C  Lời giải A  \ 2;5 3 D  2;5  Chọn A x  ĐKXĐ: x  x  10    x  Vậy TXĐ: D   \ 2;5 Câu 14   (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Tìm tập xác định D hàm số y  x  3  1 A D   \  ;   2 1     B D    ;    ;     2    1 C D   D D    ;   2 Lời giải Điều kiện xác định hàm số là x    x   Câu 15 (Hsg Tỉnh Bắc Ninh 2019) Tập xác định hàm số y    x  x  B  A  \ 4;1 Vì y    x  x  2019 C   4;1 Lờigiải 2019 là D   4;1 là hàm số lũy thừa có số mũ nguyên âm nên điều kiện xác định là x   3x  x     x  4 Vậy tập xác định hàm số là D   \ 4;1 1 Câu 16 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tìm tập xác định y   x  3x   B  \ 1; 2 A  ;1   2;   C y   2x  x   ln D  Lời giải Vì  Câu 17 1 không nguyên nên y   x  3x   xác định x  3x    x   ;1   2;    (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Tập xác định hàm số y  x  3x  A 1;2  B  ;1   2;   C  \ 1;2   là D  ;1   2;   Lời giải Chọn B  x  Hàm số y  x  3x  xác định  x  x     x    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tập xác định D   ;1   2;   Câu 18  (Sở Bắc Ninh 2019) Tìm tập xác định D hàm số y  x  3x  A D   \ 1; 4 2  B D   ; 1   4;   C D   D D   ; 1   4;   Lời giải x    Hàm số xác định x  3x     x4 Vậy tập xác định D hàm số là: D   ; 1   4;    Câu 19 (Gia Lai 2019) Tìm tập xác định D hàm số y   x  x  9 A D   \ 0 B D  3;  C D   \ 3 D D   Lời giải Chọn C Do    nên ta có điều kiện: x  x     x  3   x  2 Vậy tập xác định hàm số là D   \ 3 Câu 20 (chuyên Hà Tĩnh 2019)Tìm tập xác định hàm số y   x  x   là A  \ 1;2 B   ;1   2;    C 1;  D  Lời giải Chọn B Điều kiện xác định là x  3x    x    ;1   2;    Vậy tập xác định hàm số là D    ;1   2;     Câu 21 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Tập xác định D hàm số y   x  27  là A D   3;   B D  3;   C D   \ 3 D D   Lời giải Chọn A Điều kiện xác định hàm số: x  27   x  Do đó tập xác định hàm số là D   3;   Câu 22  (Bắc Ninh 2019) Tập xác định hàm số y  x  3x  A D   ;   \ 3    x  3 2 là B D   ;1   2;   \ 3 C D   ;   \ 1;  D D   ;1   2;   Lời giải Chọn B  x   x  3x       x  Hàm số đã cho xác định  x   x   Vậy tập xác định hàm số là D   ;1   2;   \ 3 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng Đạo hàm hàm số lũy thừa  Đạo hàm: y  x   y   x 1  y  u   y   u 1 u Câu (Sở Quảng Trị 2019) Tìm đạo hàm hàm số: y  ( x  1) A (2 x) 2 B  14 x C x( x  1) D ( x  1) 2 Lời giải Chọn C Áp dụng công thức đạo hàm hợp hàm số lũy thừa :  ' u ( x)    u  1 ' u ( x )  ' 1   Ta có : y '   ( x  1)   x ( x  1)  x ( x  1)   2 Câu (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Đạo hàm hàm số y    x  x  là A B  23 3 C  D lựa chọn sai Lời giải Chọn B  Ta có y   x  1    2 4 x  x    x     x   2 x    x2    3 3 4  4 2 y 1    3  y  Vậy y 1  Câu 2 (THPT Lý Nhân Tông – 2017) Hàm số y  4x A y   5 x  1 B y  x x2  x 2  1 có đạo hàm là C y  x x2  D y  x  1 Lời giải Chọn A Vì Áp dụng công thức u n   n.u n 1.u   Câu  (THPT Nguyễn Đăng Đạo – 2017) Đạo hàm hàm số y  2 x  1  A  2 x 1 3 trên tập xác định là  B 2 x  1 ln 2 x  1   C 2 x  1 ln 2 x  1 D  2 x 1 Lời giải Chọn D  1 2    1   Ta có: y   x  1    x  1  x  1   x  1 3   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Vinh 2018) Đạo hàm hàm số y   x  x  1 là A y  x  x  1  B y  2x  x2  x  2x 1 .C y  3  x  x  1 D y  2 x  x  1  Lời giải Chọn C Ta có y  Câu 1 2x 1 x  x  1  x  x  1   3  x  x  1 (THPT Chuyen LHP Nam Dinh – 2017) Tính đạo hàm hàm số y  1 cos3 x A y '  6sin 3x 1 cos3x  B y '  6sin 3x cos3x 1 C y '  18sin3x cos3x 1 D y '  18sin 3x 1 cos3x  Lời giải 5 5 Chọn D Ta có y  1  cos x   y  1  cos x  1  cos x  ' 5  1  cos x  3sin x  18sin x 1  cos x  e Câu (THPT Chuyên LHP – 2017) Tìm đạo hàm hàm số y   x  1 trên    A y  x x2  C y   e 1 e 1 e 2 x    B y   ex x  1 e e D y   x  1 ln  x  1 Lời giải Chọn B e  e e 1 1   e Ta có: y    x  1   x  x  1  ex  x  1  ex   Câu x  1 e (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương - 2018) Cho hàm số y  e e e e x ,  x   Đạo hàm y là: 15 A y  e16 x  31 32 B y  e e e e 32.32 x31 15 31 C y  e16 x 32 D y  e e e e x Lời giải Ta có: y  e e e e x 32  y   Câu e e e e 32.32 x 31 31 1  1 e e e e x 32  e e e e x 32 32 32 (Xuân Trường - Nam Định - 2018) Tính đạo hàm hàm số y  sin x  3x A y  cos x  x3x 1 B y   cos x  3x C y  2 cos x  3x ln D y  cos x  3x ln Lời giải x Hàm số y  sin x  có tập xác định D   và có đạo hàm: y  cos x  3x ln Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 10 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh - 2018) Đạo hàm hàm số y   x  1 là:   x  1 C y   x  1 B y   x  1  ln x  A y  2   x  1 Lời giải 2   Ta có: y   x  1   x  1   x  1 3 Câu 11 D y  (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Đạo hàm hàm số y  x.2 x là A y  1  x ln  x B y  1  x ln  x C y  1  x  x D y  x  x 2 x1 Lời giải y  x  x.2 x.ln  1  x ln  x Dạng Khảo sát hàm số lũy thừa Khảo sát hàm số lũy thừa y  x Tập xác định hàm số lũy thừa y  x luôn chứa khoảng  0;   với    Trong trường hợp tổng quát, ta khảo sát hàm số y  x trên khoảng này y  x ,   y  x ,   Tập xác định:  0;   Tập xác định:  0;   Sự biến thiên y '   x 1  x  Giới hạn đặc biệt: lim x  0, lim x   Sự biến thiên y '   x 1  x  Giới hạn đặc biệt: lim x   , lim x  Tiệm cận: không có Bảng biến thiên Tiệm cận: Ox là tiệm cận ngang Oy là tiệm cận đứng Bảng biến thiên x 0 x  x0 x  Đồ thị hàm số Câu (THPT Phan Chu Trinh - Đắc Lắc - 2018) Hàm số nào sau đây nghịch biến trên  ? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x 1 B y    3 x A y  x C y    D y  e x Lời giải Hàm số y  a nghịch biến trên  và  a  x Câu Cho các hàm số lũy thừa y  x , y  x  , y  x có đồ thị hình vẽ Mệnh đề đúng là A      B      C      Lời giải D      Chọn C Dựa vào đồ thị ta có   ,   ;    Vậy      Câu Đường cong hình vẽ đây là đồ thị hàm số nào đây? A y  21 x B y  x  C y  x 1 Lời giải Chọn B Dựa vào đồ thị ta thấy TXĐ hàm số là D=  0;   loại A, D y  log2  2x  C Hàm số nghịch biến trên TXĐ nó mà hàm số y  log  x  đồng biến trên TXĐ nó nên ta loại đáp án D  chọn B Câu (THPT Quốc Oai - Hà Nội - 2017) Cho hàm số y  x  khẳng định nào sau đây đúng? A Đồ thị hàm số cắt trục Ox B Đồ thị hàm số không có tiệm cận C Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và không có tiệm cận ngang D Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang Lời giải Chọn D * TXĐ: D   0;   * Đồ thị hàm số: Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Từ đồ thị hàm số ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là trục Oy và tiệm cận ngang là trục Ox Đáp án đúng là D Câu   (Chuyên Vinh 2017) Cho là các số  ,  là các số thực Đồ thị các hàm số y  x , y  x trên khoảng  0; +  cho hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là đúng? A      B      C      Lời giải D      Chọn C Với x0  ta có: x0     0; x0     x0  x0     Câu (THPT – THD Nam Dinh- 2017) Cho hàm số y  x  A Hàm số có tập xác định là  0;    Mệnh đề nào sau đây là sai? B Đồ thị hàm số không có tiệm cận C Hàm số nghịch biến trên khoảng  0;    D Đồ thị hàm số không cắt trục hoành Lời giải Chọn B Tập xác định: D   0;    , suy C đúng Do x  nên x  Ta có: y   2.x  1 Ta có lim x   , suy A đúng  0; x  , suy B đúng   nên đồ thị hàm số nhận Oy làm tiệm cận đứng, đáp án D đúng x 0 Câu (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Số cực trị hàm số y  x  x là A B C Lời giải Chọn B Tập xác định:  Xét y  1 5 x3 D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 y   x    ; y  không xác định x  5 Ta có bảng biến thiên: 2 y  đổi dấu qua x  và x    nên hàm số có cực trị 5 Câu (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Cho a , b , c là ba số dương khác Đồ thị các hàm số y  log a x , y  log b x , y  log c x cho hình vẽ bên Mệnh đề nào đây là mệnh đề đúng? A a  b  c B c  a  b C c  b  a D b  c  a Lời giải * Đồ thị các hàm số y  log a x , y  log b x , y  log c x qua các điểm A  a;1 , B  b;1 , C  c;1 * Từ hình vẽ ta có: c  a  b Câu (THPT Nghen - Hà Tĩnh - 2018) Cho ba số thực dương a , b , c khác Đồ thị các hàm số y  a x , y  b x , y  c x cho hình vẽ đây Mệnh đề nào đây đúng? A  a  c  b B a   c  b C a   b  c D  a  b  c Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Đồ thị hàm số y  a x có hướng xuống nên a  Đồ thị các hàm số y  b x và y  c x có hướng lên nên b  và c  Hơn đồ thị hàm số y  b x phía trên đồ thị hàm số y  c x nên b  c Vậy a   c  b Câu 10 (THPT Yên Lạc - 2018) Hàm số y  x e x nghịch biến trên khoảng nào? B  2;0  C 1;   D  1;0  A  ;0  Lời giải x  Ta có y  xe2 x  x  1 ; giải phương trình y     x  1 Do y  với x   1;0  nên hàm số nghịc biến trên khoảng  1;0  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 CÔNG THỨC, BIẾN ĐỔI LOGARIT Chuyên đề 17 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Câu hỏi lý thuyết Công thức logarit: Cho các số a, b  0, a  và m, n   Ta có: log a b    a  b lg b  log b  log10 b ln b  loge b loga  loga a  log a a n  n log a b n  n log a b log am bn  b log a    log a b  log a c c log b  a a  b  log c log a  a b  c b log c  a  logb c ,  b  1 log a b log a b  log am b  loga b m loga (bc)  loga b  loga c   loga b.logb c  loga c ,  b  1 n log a b m ,  b  1 logb a Câu (Đề Minh Họa 2017) Cho hai số thực a và b , với  a  b Khẳng định nào đây là khẳng định đúng? A log b a   log a b B  log a b  log b a C log b a  log a b  D log a b   log b a Câu (Mã 110 2017) Cho a là số thực dương khác Mệnh đề nào đây đúng với số dương x, y ? Câu A log a x  log a x  log a y y B log a x  log a  x  y  y C log a x  log a x  log a y y D log a x log a x  y log a y (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Với số thực dương a, b, x, y và a, b  , mệnh đề nào sau đây sai? 1 A log a  x log a x B log a  xy   log a x  log a y x  log a x  log a y y (Chuyên Hạ Long 2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? C log b a.log a x  log b x Câu D log a A loga b   loga b với số a, b dương và a  B log a b  với số a, b dương và a  logb a C log a b  log a c  log a bc với số a, b dương và a  D log a b  Câu log c a với số a, b, c dương và a  log c b (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho a , b là hai số thực dương tùy ý và b  1.Tìm kết luận đúng Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A ln a  ln b  ln  a  b  C ln a  ln b  ln  a  b  D log b a  B ln  a  b   ln a.ln b ln a ln b (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Cho hai số dương a, b  a  1 Mệnh đề nào đây Câu SAI? Câu log b A loga a  2a B loga a    C log a  D a a  b (Sở Thanh Hóa 2019) Với các số thực dương a , b bất kì Mệnh đề nào đây đúng? A log  ab   log a.log b B log a log a  b log b a  logb loga b (VTED 03 2019) Với các số thực dương a , b bất kì Mệnh đề nào đây đúng? C log  ab   log a  log b Câu D log  a  ln a a B ln    C ln  ab   ln a.ln b D ln    ln b  ln a  b  ln b b (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Với các số thực dương a , b bất kì Mệnh đề nào sau đây đúng? a A log  ab   log a.log b B log  log b  log a b a log a C log  D log  ab   log a  log b b log b A ln  ab   ln a  ln b Câu Câu 10 Cho a, b, c  , a  và số    , mệnh đề nào đây sai? A log a a c  c  B log a a  C log a b   log a b D log a b  c  log a b  log a c Dạng Tính, rút gọn biểu thức chứa logarit Công thức logarit: Cho các số a, b  0, a  và m, n   Ta có: log a b    a  b lg b  log b  log10 b ln b  loge b log a  loga a  log a a n  n log a bn  n log a b log am bn  b log a    log a b  log a c c log b  a a  b  log c log a  a b  c b log c  a  logb c ,  b  1 log a b log a b  log am b  log a b m loga (bc)  loga b  loga c   loga b.logb c  loga c ,  b  1 Câu 11 n log a b m ,  b  1 logb a [THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho a , b, c là các số dương  a, b  1 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?  b  A log a    log a b a  B a logb a  b Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C log a b   log a b    Câu 12 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Với a, b là các số thực dương tùy ý và a  , loga5 b bằng: 1  log a b C  log a b D log a b 5 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Với a , b là các số thực dương tùy ý và a  , log a2 b A 5log a b Câu 13 D log a c  log b c.log a b B 1  log a b B log a b C  log a b D log a b 2 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Với a,b là các số thực dương tùy ý và a  , log a3 b A Câu 14 Câu 15 Câu 16 1  log a b D log a b 3 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Với a là số thực dương tùy ý, log  5a  A  log a b B 3log a b C A  log a B  log5 a C  log a (Mã 103 - 2020 Lần 2) Với a là số thực dương tùy ý, log 2a A  log a Câu 17 B  log a C  log a 1  log a C log a D log a 2 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Với a là hai số thực dương tùy ý, log  a  B log a B log a C  log a (Mã 103 2019) Với a là số thực dương tùy ý, log a A Câu 19 log a (Mã 102 2019) Với a là số thực dương tùy ý, log a A  log a Câu 20 D  log2 a (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Với a là số thực dương tùy ý, log a bằng: A  log a Câu 18 D  log5 a B 3log a C D log a D  log a 1 log5 a B  log a C  log5 a D 3log5 a 3 Câu 21 (Mã 104 2017) Cho a là số thực dương tùy ý khác Mệnh đề nào đây đúng? 1 A log a  log a B log a  C log a  D log a   log a log a log a A Câu 22 (Mã 104 2019) Với a là số thực dương tùy ý, log a bằng: A Câu 23 log a B  log a C 2log a D  log a (Đề Tham Khảo 2019) Với a , b là hai số dương tùy ý, log  ab  B log a  log b C log a  log b D log a  log b (Đề Tham Khảo 2017) Cho a là số thực dương a  và log a a Mệnh đề nào sau đây đúng? A  log a  log b  Câu 24 B P  C P  (Mã 101 2019) Với a là số thực dương tùy ý, log a A P  Câu 25 A log a B  log a C  log a D P  D log a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 26 (Mã 103 2018) Với a là số thực dương tùy ý, ln  7a   ln  3a  A Câu 27 ln ln C ln  4a  D ln  a  ln  3a  (Mã 101 2018) Với a là số thực dương tùy ý, ln  5a   ln  3a  bằng: A ln Câu 28 B ln B ln ln C ln  5a  ln  3a  D ln  2a  (Mã 102 2018) Với a là số thực dương tùy ý, log3  3a  bằng: A  log3 a B 3log a C  log a D  log a Câu 29 Với các số thực dương a , b bất kì Mệnh đề nào đây đúng A ln  ab   ln a  ln b B ln  ab   ln a.ln b a ln a a D ln  ln b  ln a  b ln b b (Mã 123 2017) Cho a là số thực dương khác Tính I  log a a C ln Câu 30 A I  2 Câu 31 B I  C I  3 (Mã 104 2018) Với a là số thực dương tùy ý, log   bằng: a A  log3 a B  log a C log a D I  D  log a Câu 32 Với các số thực dương a , b bất kì Mệnh đề nào đây đúng? Câu 33  2a  A log     3log a  log b  b   2a  B log     log a  log b  b   2a  C log     3log a  log b  b   2a  D log     log a  log b  b  (Mã 110 2017) Cho log a b  và log a c  Tính P  log a  b c  A P  13 Câu 34 B P  31 B C D 32 (Đề Tham Khảo 2017) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  , a  b và log a b  Tính P  log b a A P  5  3 Câu 36 D P  108 (Mã 102 2019) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a3b2  32 Giá trị 3log a  2log b A Câu 35 C P  30 b a B P  1  C P  1  D P  5  3 (Mã 103 2019) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a2b3  16 Giá trị 2log a  3log b A B C 16 D Câu 37 (Mã 104 2017) Với các số thực dương x , y tùy ý, đặt log x   , log y   Mệnh đề nào đây đúng? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 3  x   x   A log 27      B log 27        2   y   y   x   x   C log 27      D log 27        2   y   y  Câu 38 (Mã 101 2019) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a 4b  16 Giá trị 4log a  log b A B C 16 D Câu 39 (Dề Minh Họa 2017) Cho các số thực dương a , b với a  Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 1 A log a2  ab   log a b B log a2  ab    log a b 2 C log a2  ab   log a b D log a2  ab    2log a b Câu 40 (Mã 123 2017) Với a , b là các số thực dương tùy ý và a khác , đặt P  log a b  log a2 b6 Mệnh đề nào đây đúng? A P  log a b B P  27 log a b C P  15 log a b D P  log a b (Đề Tham Khảo 2018) Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào đây đúng? 1 A log  3a   log a B log  3a   3log a C log a  log a D log a3  3log a 3 Câu 42 (Mã 105 2017) Cho log a  và log b  Tính I  log  log  3a    log b Câu 41 A I  B I  C I  D I   a2  (Mã 105 2017) Cho a là số thực dương khác Tính I  log a   4  1 A I  B I   C I  2 D I  2 Câu 44 (Mã 104 2017) Với a , b , x là các số thực dương thoả mãn log x  5log a  3log b Câu 43 Mệnh đề nào đây đúng? A x  5a  3b B x  a  b Câu 45 C x  a 5b D x  3a  5b (Mã 104 2019) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn ab3  Giá trị log a  3log b A C B (Mã 105 2017) Với số thực dương a và đúng? A log  a  b    log a  log b  C log  a  b     log a  log b  Câu 47 (Mã 123 2017) Cho log a x  3,log b x  với Câu 46 A P  12 B P  12 D b thỏa mãn a2  b2  ab , mệnh đề nào đây B log  a  b    log a  log b D log  a  b    log a  log b a , b là các số thực lớn Tính P  log ab x C P  12 D P  12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 48 (Mã 110 2017) Cho x, y là các số thực lớn thoả mãn x  y  xy Tính M  log12 x  log12 y 2log12  x  y  1 B M  C M  D M  (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Xét tất các số dương a và b thỏa mãn log a  log8 (ab) Mệnh A M  Câu 49 đề nào đây đúng? A a  b2 Câu 50 B a3  b C a  b D a  b (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét số thực a và b thỏa mãn log  3a.9b   log Mệnh đề nào đây đúng A a  2b  Câu 51 B 4a  2b  C 4ab  D 2a  4b  log ( ab )  3a Giá trị (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn ab A B C D 12 log3 ( ab ) (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn  4a Giá trị ab2 A B C D Câu 53 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log a  2log b  , mệnh Câu 52 đề nào đây đúng? A a  9b2 B a  9b C a  6b D a  9b2 Câu 54 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log3 a  2log9 b  , mệnh đề nào đây đúng? A a  27b B a  9b C a  27b D a  27b Câu 55 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log a  2log b  , mệnh đề nào đây đúng? A a  16b B a  8b C a  16b D a  16b Câu 56 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ln a  x;ln b  y Tính ln  a3b2  A P  x y Câu 57 C P  3x  y D P  x  y (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Giá trị biểu thức M  log 2  log  log   log 256 A 48 Câu 58 B P  xy B 56 C 36 D 8log 256 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho log8 c  m và log c3  n Khẳng định đúng là 1 A mn  log c B mn  C mn  log c D mn  9 Câu 59 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho a  0, a  và log a x  1,log a y  Tính P  log a  x y  A P  18 Câu 60 B P  C P  14 D P  10 (Sở Bình Phước 2019) Với a và b là hai số thực dương tùy ý; log  a b  A 1 log a  log b B 3log a  4log b C  log a  log4 b  D 4log a  3log b Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 61 (Chuyên Hạ Long -2019) Cho P  20 27 243 Tính log P ? A Câu 62 45 28 B 112 C 45 56 D Đáp án khác (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho các số dương a , b , c , d Biểu thức S  ln a b c d  ln  ln  ln b c d a a b c d  C ln      D ln  abcd  b c d a Câu 63 Cho x , y là các số thực dương tùy ý, đặt log3 x  a , log3 y  b Chọn mệnh đề đúng A B  x   x  A log    a  b B log    a  b y  y  27  27   x   x  1 C log     a  b D log     a  b 3 27  y  27  y  Câu 64 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P  log a b3  loga2 b6 Mệnh đề nào đây đúng? A P  27 log a b Câu 65 B P  15log a b C P  9log a b D P  6log a b (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Với các số thực dương a , b a  Mệnh đề nào đây đúng? A log a a b a   log a b B log a a   log a b b 1 a D  log b log   log a b a a b b2 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho các số thực dương a , b, c với a và b khác C log a Câu 66  Khẳng định nào sau đây là đúng? Câu 67 B log a b log b c  C log a b2 log b c  log a c D log a b2 log b c  log a c (Chuyên Bắc Giang -2019) Giả sử a , b là các số thực dương Mệnh đề nào sau đây sai? A log 10ab    log  ab  2 C log 10ab    2log  ab  Câu 68 B log 10ab   1  log a  log b  2 D log 10ab   1  log a  log b    (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho log a b  3,log a c  2 Khi đó log a a 3b c bao nhiêu? A 13 Câu 69 log a c A log a b log b c  log a c B C (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Rút gọn biểu thức M  3log D 10 x  log  x   log A M   log  3x  Câu 70  x B M   log   3  x C M   log   3 x D M   log3 x (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho log8 x  log y  và log8 y  log x  Tìm giá trị biểu thức P  x  y A P  56 B P  16 C P  D P  64 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 71 (Hsg Bắc Ninh 2019) Cho hai số thực dương a , b Nếu viết 64 a 3b   x log a  y log b ( x, y  ) thì biểu thức P  xy có giá trị bao nhiêu? ab 1 A P  B P  C P   D P  3 12 12 b Câu 72 Cho log 700 490  a  với a, b, c là các số nguyên Tính tổng T  a  b  c c  log log A T  B T  C T  D T  2 Câu 73 Cho a , b là hai số thưc dương thỏa mãn a  b  14ab Khẳng định nào sau đây sai? A 2log  a  b    log a  log b B ln a  b ln a  ln b  ab D 2log  a  b    log a  log b  log a  log b Câu 74 Cho x, y là các số thực dương tùy ý, đặt log x  a , log y  b Chọn mệnh đề đúng C log  A log  27   C log  27  Câu 75  x  x   a  b B log    a  b  y  3 27  y  x    a b  y  (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho   log a x ,   log b x Khi đó log ab2 x αβ α+β (THPT A Câu 76  x  D log     a  b 27  y  2αβ 2α+β Đằng Quảng B Bạch P  log a2  a10b   log a C Ninh 2α+β 2019)  α+β  α+2β giá trị biểu D Tính thức  a  2    log b  b   b (với  a  1;  b  ) A Câu 77 B C D (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Đặt M  log 56, N  a  log  b với a, b, c  R Bộ số a, b, c log  c nào đây để có M  N ? A a  3, b  3, c  C a  1, b  2, c  B a  3, b  2, c  D a  1, b  3, c  2 98 99 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tính T  log  log  log   log  log 99 100 1 A B 2 C D 10 100 a  2b Câu 79 Cho a , b, x  0; a  b và b, x  thỏa mãn log x  log x a  log b x Câu 78 Khi đó biểu thức P  A P  2a  3ab  b có giá trị bằng: ( a  2b) B P  C P  16 15 D P  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 CÔNG THỨC, BIẾN ĐỔI LOGARIT Chuyên đề 17 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Công thức logarit: Cho các số a, b  0, a  và m, n   Ta có: log a b    a  b lg b  log b  log10 b ln b  loge b loga  loga a  log a a n  n log a b n  n log a b log am bn  b log a    log a b  log a c c a loga b  b  log c log a a b  c b log c  a  logb c ,  b  1 log a b log a b  log am b  loga b m loga (bc)  loga b  loga c   loga b.logb c  loga c ,  b  1 n log a b m ,  b  1 logb a Dạng Biểu diễn biểu thức logarit này theo logarit khác Câu (Đề Tham Khảo 2019) Đặt log  a đó log16 27 3a 4a B C D 4a 3a (Đề Minh Họa 2017) Đặt a  log 3, b  log Hãy biểu diễn log 45 theo a và b A Câu A log 45  Câu 3a - a- B 3a + a+ C 4a - a- D 4a + a+ B P  2a  b  c C P  2a  b  c D P  a  2b  c (Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Với log 27  a , log3  b và log  c , giá trị log6 35  3a  b  c A 1 c Câu 2a  2ab a  2ab D log 45  ab ab  b  90  (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Cho log  a, log  b, log 22  c Tính P  log    11  theo a, b, c ? A P  2a  b  c Câu C log 45  (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Đặt a= log3 , đó log6 48 A Câu 2a  2ab a  2ab B log 45  ab  b ab B  3a  b  c 1 b C  3a  b  c 1 a D  3b  a  c 1 c (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Đặt a  log ; b  log Nếu biểu diễn log 45  a  m  nb  b a  p thì m  n  p Câu A B C D 3 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho các số thực dương a , b thỏa mãn log a  x , log b  y Tính P  log  3a 4b5  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A P  x y Câu B P   x  y D P   x  y (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Biết log  a, log  b Tính log theo a , b b b B a 1 a Cho log12  a Tính log 24 18 theo a A Câu C P  60 xy C b 1 a D b a 1 3a  3a  3a  3a  B C D 3a 3a 3 a 3 a (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Đặt a  log và b  log Hãy biểu diễn log 45 theo a A Câu 10 và b a  2ab a  2ab a  ab a  ab B log 45  C log 45  D log 45  ab ab  b ab ab  b Bắc Ninh 2019) Đặt hãy biểu diễn a  ln , b  ln , A log 45  Câu 11 (HSG 98 99 theo a và b I  ln  ln  ln   ln  ln 99 100 A 2  a  b  B 2  a  b  C  a  b  Câu 12 D  a  b  (Chuyên Bắc Ninh 2019) Đặt a  log 3; b  log Biểu diễn đúng log 20 12 theo a, b là ab  ab a 1 a2 B C D b2 b2 b2 ab  (Sở Bình Phước 2019) Cho log  a, log  b , đó log15 A Câu 13 A Câu 14 ab B 3(a  b) C 3(a  b) D ab (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Giả sử log 27  a; log  b; log  c Hãy biểu diễn log12 35 theo a, b, c ? 3b  3ac 3b  3ac 3b  2ac 3b  2ac B C D c2 c 1 c3 c2 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho log3  a , log3  b , log3 22  c Tính A Câu 15  90  P  log   theo a , b , c  11  A P  2a  b  c B P  a  2b  c C P  2a  b  c D P  2a  b  c Câu 16 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Đặt a  log 3; b  log3 Biểu diễn log20 12 theo a, b a b ab  a 1 B log 20 12  C log 20 12  b2 b2 b2 (Sở Hà Nội 2019) Nếu log  a thì log 72 108 A log 20 12  Câu 17 A Câu 18 2a 3 a B  3a  2a (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho  2a  3a log 30  a;log 30  b C D log 20 12  a2 ab  2  3a  2a Tính log 30 1350 theo a, b ; D log 30 1350 A 2a  b B 2a  b  C 2a  b  D 2a  b  Câu 19 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Đặt m  log và n  log Hãy biểu diễn log 6125 theo m và n  6m  5n A B (6  6n  5m) 2 C 5m  6n  D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  5n  6m TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 20 ( Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho log 27  a , log  b , log  c Tính log 35 theo a , b và c 3a  b c 3a  b c 3a  b c 3b  a  c A B C D 1 c 1 b 1 a 1 c Câu 21 (Sở Thanh Hóa 2019) Cho a  log m và A  log m 16m , với  m  Mệnh đề nào sau đây đúng? 4a 4a B A  C A  (4  a )a D A  (4  a)a a a (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Biết log315  a , tính P  log 25 81 theo a ta A A  Câu 22 A P   a  1 Câu 23 B P  2( a  1) C P  a 1 D a 1 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Cho log  a , log  b , log 22  c Tính P  log 90 theo 11 a , b, c A P  2a  b  c B P  a  2b  c C P  2a  b  c Câu 24 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Nếu log  a thì log 45 75 D P  2a  b  c 2a 1 a  2a  2a B C D  2a 2a 2a 1 a (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho log  a, log  b, log3 22  c Tính A Câu 25  90  P  log3   theo a, b, c  11  A P  a  b  c B P  a  b  c C P  a  b  c D P  a  b  c Câu 26 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho log12  a Tính log 24 18 theo a A Câu 27 3a  3 a B 3a  3 a C 3a  3 a D 3a  3a   (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Đặt log a b  m,log b c  n Khi đó log a ab c A  6mn B  2m  3n C 6mn D  2m  3mn Câu 28 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Đặt a  log2 và b  log5 Hãy biểu diễn log6 45 theo a và b 2a  2ab 2a  2ab a  2ab a  2ab B log 45  C log 45  D log 45  ab ab  b ab  b ab Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho log9  a; log  b; log  c Biết A log 45  Câu 29 (THPT mb  nac Tính A  m  n  p  4q pc  q A 27 B 25 C 23 D 29 2 Câu 30 (Chuyên KHTN 2019) Với các số a, b  thỏa mãn a  b  6ab , biểu thức log  a  b  log 24 175    log a  log b  C   log a  log b  A 1  log a  log b  D   log a  log b  B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 CÔNG THỨC, BIẾN ĐỔI LOGARIT Chuyên đề 17 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Một số bài toán KHÓ Công thức logarit: Cho các số a, b  0, a  và m, n   Ta có: log a b    a  b lg b  log b  log10 b ln b  loge b loga  loga a  log a a n  n log a b n  n log a b log am bn  b log a    log a b  log a c c  a loga b  b  log c log a  a b  c b log c  a  logb c ,  b  1 log a b log a b  log am b  loga b m loga (bc)  loga b  loga c   loga b.logb c  loga c ,  b  1 Câu Câu n log a b m ,  b  1 logb a (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho các số thực a , b thỏa mãn 1 1   2020 Giá trị biểu thức P   logb a log a b log ab b log ab a B n  2019 C n  2020    17  Cho hàm số f ( x)  log  x   x  x   Tính T  f     2019  4  A T  Câu và A 2014 B 2016 C 2018 D 2020 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ 2019) Tìm số nguyên dương n cho log 2018 2019  2 log 2018 2019  32 log 2018 2019   n log n 2018 2019  10102.20212 log 2018 2019 A n  2021 Câu a  b 1 2019 B T  2019 C T  2018 D n  2018   f      2019   2018  f    2019  D T  1009 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Gọi a là giá trị nhỏ f  n   log 2.log 3.log log n 9n với n   và n  Hỏi có bao nhiêu giá trị n để f  n   a Câu A B C D vô số (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho x , y và z là các số thực lớn và gọi w là số thực dương cho log x w  24 , log y w  40 và log xyz w  12 Tính log z w A 52 Câu B 60 C 60 D 52 Cho f 1  , f m  n  f m  f n  mn với m, n   Tính giá trị biểu thức *  f 96 f 69  241  T  log      A T  B T  C T  10 D T  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Lê Quý Dôn Quảng Trị 2019) Cho các số thực dương x, y , z thỏa mãn đồng thời 1 1    và log ( xyz )  2020 Tính log  xyz  x  y  z   xy  yz  zx  1 log x log y log z 2020 Câu A 4040 B 1010 C 2020 D 2020 (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho ba số thực dương x, y , z theo thứ tự lập thành cấp số nhân, đồng thời với số thực dương a ( a  1) thì log a x, log thành cấp số cộng Tính giá trị biểu thức P  y, log a z theo thứ tự lập 1959 x 2019 y 60 z   y z x 2019  2x  (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hàm số f  x   log   và hai số thực  1 x  A 60 Câu a B 2019 C 4038 D m , n thuộc khoảng  0;1 cho m  n  Tính f  m   f  n  A Câu 10 B nguyên dương C D (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Gọi n là số cho 1 1 190 đúng với x dương, x  Tìm giá trị biểu      log x log 32 x log 33 x log 3n x log x thức P  2n  A P  32 B P  23 C P  43 D P  41 Câu 11 Cho x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân; log a x , log a y , log a z lập thành cấp số cộng, với a là số thực dương khác Giá trị p  x y 3z là   y z x A 13 B C 12 D 10 Câu 12 (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho f (1)  1; f (m  n)  f ( m)  f ( n)  mn với m, n  N * Tính giá trị biểu thức  f  2019   f  2009   145  T  log     A B C D 10 Câu 13 Có bao nhiêu số nguyên dương n để log n 256 là số nguyên dương? A B C D Câu 14 Cho tam giác ABC có BC  a , CA  b , AB  c Nếu a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì Câu 15 A ln sin A.ln sin C   ln sin B  B ln sin A.ln sin C  2ln sin B C ln sin A  ln sin C  2ln sin B D ln sin A  ln sin C  ln  sin B  (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên 1 1 A     log 22018 x log 32018 x log 20172018 x log 20182018 x - 2018) Cho x  2018! Tính 1 B A  2018 C A  D A  2017 2017 2018 Câu 16 ( Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2018) Tìm ba số nguyên dương (a ; b; c) thỏa mãn A A  log1  log(1  3)  log(1   5)   log(1     19)  log 5040  a  b log  c log Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A (2;6; 4) Câu 17 C (2; 4;4) D (2; 4;3) 2 (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Tổng S   log đây A 10082.20182 Câu 18 B (1;3; 2) B 10092.20192 2  log 2   20182 log 2018 2 C 10092.20182 (ChuyêN KHTN - 2018) Số 2017201820162017 có bao nhiêu chữ số? B 147278480 C 147347190 A 147278481 D 20192 D 147347191 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 CÔNG THỨC, BIẾN ĐỔI LOGARIT Chuyên đề 17 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Câu hỏi lý thuyết Công thức logarit: Cho các số a, b  0, a  và m, n   Ta có:  log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  loge b  loga   loga a   log a a n  n  log a b n  n log a b  log am bn  b  log a    log a b  log a c c log b  a a  b   log c log a  a b  c b  log am b  loga b m  loga (bc)  loga b  loga c  loga b.logb c  loga c ,  b  1 Câu  log a c  logb c ,  b  1 log a b  log a b  n log a b m ,  b  1 logb a (Đề Minh Họa 2017) Cho hai số thực a và b , với  a  b Khẳng định nào đây là khẳng định đúng? A log b a   log a b B  log a b  log b a C log b a  log a b  D log a b   log b a Lời giải Chọn A log a b  log a a log a b    logb a   log a b Cách 1- Tự luận: Vì b  a    logb b  log b a 1  log b a Cách 2- Casio: Chọn a  2;b   log   log  Đáp án D Câu (Mã 110 2017) Cho a là số thực dương khác Mệnh đề nào đây đúng với số dương x, y ? A log a x  log a x  log a y y B log a x  log a  x  y  y C log a x  log a x  log a y y D log a x log a x  y log a y Lời giải Chọn A Theo tính chất logarit Câu (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Với số thực dương a, b, x, y và a, b  , mệnh đề nào sau đây sai? 1 A log a  x log a x B log a  xy   log a x  log a y Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 C log b a.log a x  log b x D log a x  log a x  log a y y Lời giải Với số thực dương a, b, x, y và a, b  Ta có: log a 1 Vậy A sai  log a x 1  x log a x Theo các tính chất logarit thì các phương án B, C và D đúng Câu (Chuyên Hạ Long 2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A loga b   loga b với số a , b dương và a  B log a b  với số a, b dương và a  logb a C log a b  log a c  log a bc với số a, b dương và a  D log a b  log c a với số a , b, c dương và a  log c b Lời giải Chọn Câu A (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho a , b là hai số thực dương tùy ý và b  1.Tìm kết luận đúng A ln a  ln b  ln  a  b  B ln  a  b   ln a.ln b C ln a  ln b  ln  a  b  D log b a  ln a ln b Lời giải Theo tính chất làm Mũ-Log Câu (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Cho hai số dương a, b  a  1 Mệnh đề nào đây SAI? A loga a  2a B loga a   C log a  Lời giải D a loga b b Chọn A Câu (Sở Thanh Hóa 2019) Với các số thực dương a , b bất kì Mệnh đề nào đây đúng? A log  ab   log a.log b B log a log a  b log b C log  ab   log a  log b D log a  logb loga b Lời giải Ta có log  ab   log a  log b Câu (VTED 03 2019) Với các số thực dương a , b bất kì Mệnh đề nào đây đúng? A ln  ab   ln a  ln b  a  ln a B ln     b  ln b C ln  ab   ln a.ln b a D ln    ln b  ln a b Lời giải Chọn Câu A (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Với các số thực dương a , b bất kì Mệnh đề nào sau đây đúng? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a B log  log b  log a b A log  ab   log a.log b a log a C log  b log b D log  ab   log a  log b Lời giải Với các số thực dương a , b bất kì ta có: a  ) log  log a  log b nên B, C sai b ) log  ab   log a  log b nên A sai, D đúng Vậy chọn D Câu 10 Cho a, b, c  , a  và số    , mệnh đề nào đây sai? A log a a c  c B log a a   C log a b   log a b D log a b  c  log a b  log a c Lời giải Chọn D Theo tính chất logarit, mệnh đề sai là log a b  c  log a b  log a c [THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho a , b, c là các số dương  a, b  1 Trong các mệnh đề sau, Câu 11 mệnh đề nào là mệnh đề đúng?  b  A log a    log a b B a logb a  b a  C log a b   log a b    D log a c  log b c.log a b Lời giải Dạng Tính, rút gọn biểu thức chứa logarit Công thức logarit: Cho các số a, b  0, a  và m, n   Ta có:  log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  loge b  log a   loga a   log a a n  n  log a b n  n log a b  log am b n  b  log a    log a b  log a c c  a log a b  b   log c log a  a b  c b  log am b  loga b m  loga (bc)  loga b  loga c  loga b.logb c  loga c ,  b  1 Câu 12  log a c  logb c ,  b  1 log a b  log a b  n log a b m ,  b  1 logb a (Mã 101 - 2020 Lần 1) Với a, b là các số thực dương tùy ý và a  , log a5 b bằng: A 5log a b B  log a b C  log a b D log a b Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 13 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Với a , b là các số thực dương tùy ý và a  , log a2 b A  log a b B log a b C  log a b D log a b Lời giải Chọn B Ta có log a2 b  log a b Câu 14 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Với a,b là các số thực dương tùy ý và a  , log a3 b A  log a b B 3log a b C  log a b D log a b Lời giải Chọn D Ta có: log a3 b  log a b Câu 15 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Với a là số thực dương tùy ý, log  5a  A  log a B  log5 a C  log a D  log5 a Lời giải Chọn C Ta có: log  5a   log5  log5 a   log5 a Câu 16 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Với a là số thực dương tùy ý, log 2a A  log a B  log a C  log a D  log2 a Lời giải Chọn A log2 2a  log 2  log a   log a Câu 17 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Với a là số thực dương tùy ý, log a bằng: A  log a B  log a C log a D log a Lời giải Chọn C Với a  0; b  0; a  Với  Ta có công thức: log a b   log a b Vậy: log a  log a Câu 18 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Với a là hai số thực dương tùy ý, log  a  A log a B log a C  log a D log a Lời giải Chọn D Ta có: log  a   log a Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 19 (Mã 103 2019) Với a là số thực dương tùy ý, log a A  log a log a Lời giải B 3log a C D  log a Chọn B Ta có log a  3log a Câu 20 (Mã 102 2019) Với a là số thực dương tùy ý, log a A log5 a B  log a C  log5 a D 3log5 a Lời giải Chọn D log a  log a Câu 21 (Mã 104 2017) Cho a là số thực dương tùy ý khác Mệnh đề nào đây đúng? 1 A log a  log a B log a  C log a  D log a   log a log a log a Lời giải Chọn C Áp dụng công thức đổi số Câu 22 (Mã 104 2019) Với a là số thực dương tùy ý, log2 a bằng: A log a B  log a C 2log a D  log a Lời giải Chọn C Vì a là số thực dương tùy ý nên log2 a  2log2 a Câu 23 (Đề Tham Khảo 2019) Với a , b là hai số dương tùy ý, log  ab  A  log a  log b  B log a  log b C log a  log b D log a  log b Lời giải Chọn D Có log  ab   log a  log b  log a  log b Câu 24 (Đề Tham Khảo 2017) Cho a là số thực dương a  và log a a Mệnh đề nào sau đây đúng? A P  B P  C P  D P  Lời giải Chọn D log a a3  log a3  a3 Câu 25 (Mã 101 2019) Với a là số thực dương tùy ý, log a A log a B  log a  log a Lời giải C D log a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D Vì a là số thực dương nên ta có log a  log a Câu 26 (Mã 103 2018) Với a là số thực dương tùy ý, ln  7a   ln  3a  A ln ln B ln C ln  4a  D ln  a  ln  3a  Lời giải Chọn B  7a  ln  7a   ln  3a   ln    ln  3a  Câu 27 (Mã 101 2018) Với a là số thực dương tùy ý, ln  5a   ln  3a  bằng: A ln B ln ln C ln  5a  ln  3a  D ln  2a  Lời giải Chọn A ln  5a   ln  3a   ln Câu 28 (Mã 102 2018) Với a là số thực dương tùy ý, log3  3a  bằng: A  log3 a B 3log a C  log a D  log a Lời giải Chọn D Câu 29 Với các số thực dương a , b bất kì Mệnh đề nào đây đúng A ln  ab   ln a  ln b B ln  ab   ln a.ln b C ln a ln a  b ln b D ln a  ln b  ln a b Lời giải Chọn A Theo tính chất lôgarit: a  0, b  : ln  ab   ln a  ln b Câu 30 (Mã 123 2017) Cho a là số thực dương khác Tính I  log a a A I  2 B I  C I  D I  Lời giải Chọn B Với a là số thực dương khác ta được: I  log a a  log a  log a a  a2 Câu 31 3 (Mã 104 2018) Với a là số thực dương tùy ý, log   bằng: a A  log3 a B  log a C log a D  log a Lời giải Chọn A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 Ta có log    log 3  log a   log a a Câu 32 Với các số thực dương a , b bất kì Mệnh đề nào đây đúng?  2a  A log     3log a  log b  b   2a  B log     log a  log b  b   2a  C log     3log a  log b  b   2a  D log     log a  log b  b  Lời giải Chọn A  2a  3 Ta có: log    log  2a   log  b   log 2  log a  log b   3log a  log b b   Câu 33 (Mã 110 2017) Cho log a b  và log a c  Tính P  log a  b c  A P  13 B P  31 C P  30 Lời giải D P  108 Chọn A Ta có: log a  b c   log a b  3log a c  2.2  3.3  13 Câu 34 (Mã 102 2019) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a3b2  32 Giá trị 3log a  2log b B A C Lời giải D 32 Chọn B Ta có: log a 3b  log 32  3log a  log b  Câu 35 (Đề Tham Khảo 2017) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a  , a  b và log a b  Tính P  log b a A P  5  3 b a B P  1  C P  1  Lời giải D P  5  3 Chọn C Cách 1: Phương pháp tự luận b 1 log a b  1 1  1 a 2  1  P   b log a b   log a b  log a a Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm  log a  Chọn a  , b  Bấm máy tính ta P  1  Câu 36 (Mã 103 2019) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a2b3  16 Giá trị 2log a  3log b A B C 16 Lời giải D Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có log a  3log b  log  a 2b3   log 16  Câu 37 (Mã 104 2017) Với các số thực dương x , y tùy ý, đặt log x   , log y   Mệnh đề nào đây đúng? 3 3  x   x   A log 27      B log 27        2   y   y   x   x   C log 27      D log 27        2   y   y  Lời giải Chọn D  x  log 27    log27 x  3log27 y  log3 x  log3 y    2  y  Câu 38 (Mã 101 2019) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn a 4b  16 Giá trị 4log a  log b A C 16 Lời giải B D Chọn A   log a  log b  log a  log b  log a 4b  log 16  log 2  Câu 39 (Dề Minh Họa 2017) Cho các số thực dương a , b với a  Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? 1 A log a2  ab   log a b B log a  ab    log a b 2 C log a2  ab   log a b D log a2  ab    2log a b Lời giải Chọn B 1 1 Ta có: log a2  ab   log a2 a  log a2 b  log a a  log a b   log a b 2 2 Câu 40 (Mã 123 2017) Với a , b là các số thực dương tùy ý và a khác , đặt P  log a b  log a2 b6 Mệnh đề nào đây đúng? A P  log a b B P  27 log a b C P  15 log a b D P  log a b Lời giải Chọn A P  log a b3  log a2 b6  log a b  log a b  log a b Câu 41 (Đề Tham Khảo 2018) Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào đây đúng? 1 A log  3a   log a B log  3a   3log a C log a  log a D log a3  3log a 3 Lời giải Chọn D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 42 (Mã 105 2017) Cho log a  và log b  Tính I  log  log  3a    log b A I  B I  C I  D I  Lời giải Chọn D I  log  log  3a    log b  log  log 3  log a   log 22 b   Câu 43  2  a2  (Mã 105 2017) Cho a là số thực dương khác Tính I  log a   4  1 A I  B I   C I  2 D I  2 Lời giải Chọn A  a2  a I  log a    log a    4 2   Câu 44 (Mã 104 2017) Với a , b , x là các số thực dương thoả mãn log x  5log a  3log b Mệnh đề nào đây đúng? A x  5a  3b B x  a  b C x  a 5b Lời giải D x  3a  5b Chọn C Có log x  log a  log b  log a  log b  log a 5b  x  a 5b Câu 45 (Mã 104 2019) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn ab3  Giá trị log a  3log b A C Lời giải B D Chọn C Ta có log a  3log b  log a  log b  log  ab   log  Câu 46 (Mã 105 2017) Với số thực dương a và b thỏa mãn a2  b2  ab , mệnh đề nào đây đúng? 1 A log  a  b    log a  log b  B log  a  b    log a  log b 2 C log  a  b     log a  log b  D log  a  b    log a  log b Lời giải: Chọn C Ta có a  b2  ab   a  b   10 ab Lấy log số 10 hai vế ta được: log  a  b   log  10ab   log  a  b   log 10  log a  log b Hay log  a  b   1  log a  log b  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 47 (Mã 123 2017) Cho log a x  3,log b x  với a , b là các số thực lớn Tính P  log ab x A P  12 B P  12 C P  12 D P  12 Lời giải Chọn B P  log ab x  Câu 48 1 12    log x ab log x a  log x b 1  (Mã 110 2017) Cho x , y là các số thực lớn thoả mãn x2  y  xy Tính M  log12 x  log12 y 2log12  x  y  A M  B M  C M  D M  Lời giải Chọn D Ta có x  y  xy   x  y    x  y log12  36 y  log12 12 xy   log12 x  log12 y Khi đó M    1 2 log12  x  y  log12  36 y  log12  x  y  Câu 49 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Xét tất các số dương a và b thỏa mãn log a  log (ab) Mệnh đề nào đây đúng? A a  b2 B a  b C a  b Lời giải D a  b Chọn D Theo đề ta có: log a  log8 (ab)  log a  log (ab)  3log a  log (ab) 3  log a  log (ab)  a  ab  a  b Câu 50 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét số thực a và b thỏa mãn log  3a.9b   log Mệnh đề nào đây đúng A a  2b  B 4a  2b  C 4ab  Lời giải D 2a  4b  Chọn D Ta có: log  3a.9b   log  log  3a.32b   log 32  log 3a  2b  log 3  a  2b  Câu 51  2a  4b  log (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn ( ab ) ab A B C Lời giải D 12 Chọn A Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  3a Giá trị TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Từ giả thiết ta có : log ( ab )  3a  log ( ab).log  log (3a )  2(log a  log b)  log a  log  log a  2log b  log  log (ab )  log  ab  Câu 52 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn 9log3 ( ab )  4a Giá trị ab2 A B C D Lời giải Chọn D Ta có : 9log3 ab  4a  log ab  log 4a   log3 a 2b2   log3 4a  a2b2  4a  ab2  Câu 53 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log a  2log b  , mệnh đề nào đây đúng? A a  9b2 B a  9b C a  6b Lời giải D a  9b2 Chọn B a Ta có: log a  2log b   log a  log b   log     a  9b b Câu 54 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Với a, b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log3 a  2log9 b  , mệnh đề nào đây đúng? A a  27b B a  9b C a  27b Lời giải D a  27b Chọn A Ta có: log3 a  log b   log a  log3 b   log Câu 55 a a    27  a  27b b b (Mã 104 - 2020 Lần 2) Với a,b là các số thực dương tùy ý thỏa mãn log a  2log b  , mệnh đề nào đây đúng? A a  16b B a  8b C a  16b Lời giải D a  16b Chọn C Ta có log a  2log b  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  log a  2log 22 b   log a  log b   log a  log b   log a 4 b a  24 b  a  16b  Câu 56 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho các số thực dương a, b thỏa mãn ln a  x;ln b  y Tính ln  a3b2  A P  x y B P  xy C P  3x  y D P  x  y Lời giải Chọn C   Ta có ln a3b2  ln a3  ln b2  3ln a  2ln b  3x  y Câu 57 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Giá trị biểu thức M  log 2  log  log   log 256 A 48 B 56 C 36 D 8log 256 Lời giải Chọn C Ta có M  log 2  log  log   log 256  log  2.4.8 256   log  21.22.23 28   log  2123 8   1      log 2       36 Câu 58 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho log8 c  m và log c3  n Khẳng định đúng là A mn  log c B mn  C mn  log c D mn  Lời giải 1  1  mn  log c.log c3   log c   log c   3  3  Câu 59 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho a  0, a  và log a x  1,log a y  Tính P  log a  x y  A P  18 C P  14 D P  10 Lời giải 3 Ta có log a  x y   log a x  log a y  2log a x  3log a y  2.( 1)  3.4  10 Câu 60 B P  (Sở Bình Phước 2019) Với a và b là hai số thực dương tùy ý; log  a 3b  A 1 log a  log b B 3log a  log b C  log2 a  log b  D log a  3log b Lời giải Chọn B Ta có: log  a 3b   log a  log b  3log a  log b nên B đúng Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 61 (Chuyên Hạ Long -2019) Cho P  20 27 243 Tính log P ? A 45 28 B 112 45 56 Lời giải D Đáp án khác C 1 1 11 9 Ta có: P  20 27 243  P  320.27 20 24320  3112  log P  log 3112  Câu 62 (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho các số dương a , b , c , d Biểu thức S  ln 112 a b c d  ln  ln  ln b c d a A B a b c d  C ln      D ln  abcd  b c d a Lời giải Cách 1: Ta có S  ln a b c d a b c d   ln  ln  ln  ln       ln1  b c d a b c d a Cách 2: Ta có: S  ln a b c d  ln  ln  ln  ln a  ln b  ln b  ln c  ln c  ln d  ln d  ln a  b c d a Câu 63 Cho x , y là các số thực dương tùy ý, đặt log3 x  a , log3 y  b Chọn mệnh đề đúng  x   x  A log    a  b B log    a  b 3 27  y  27  y   x  C log     a  b 27  y   x  D log     a  b 27  y  Lời giải Do x , y là các số thực dương nên ta có:  x   x  1 log     log      log x  log y     log3 x  3log3 y  3 y  27  y  1   log x  log y   a  b 3 Câu 64 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Với a, b là các số thực dương tùy ý và a khác 1, đặt P  log a b3  loga2 b6 Mệnh đề nào đây đúng? A P  27 log a b B P  15log a b C P  9log a b D P  6log a b Lời giải Ta có P  loga b  loga2 b  3log a b  loga b  6log a b Câu 65 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Với các số thực dương a , b a  Mệnh đề nào đây đúng? A log a b a   log a b 3 B log a a   log a b b Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 C log a b a  1  log a b D log a a b2   log a b Lời giải Ta có: log a a b2  log a a  log a b = log a a  log a b 1 =  log a a  log a b   log a b 3 Câu 66 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho các số thực dương a , b, c với a và b khác Khẳng định nào sau đây là đúng? A log a b log b c  log a c B log a b log b c  log a c 2 C log a b log b c  log a c D log a b log b c  log a c Lời giải Chọn C Ta có: loga b2 log b c  2loga b.log c  log a b.2 log b c  log a b.log b c  log a c b2 Câu 67 (Chuyên Bắc Giang -2019) Giả sử a , b là các số thực dương Mệnh đề nào sau đây sai? A log 10ab    log  ab  2 B log 10ab   1  log a  log b  2 C log 10ab    2log  ab  D log 10ab   1  log a  log b  Lời giải Chọn B 2 log 10ab   log102  log  ab    log  ab   A đúng 2  log a  log b  log 10ab   1  log a  log b   log 10ab   log 10ab   B sai 2 2 log 10ab   log102  log  ab    2log  ab   C đúng log 10ab   log102  log  ab    2log  ab   1  log a  log b   D đúng Câu 68   (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho log a b  3,log a c  2 Khi đó log a a 3b c bao nhiêu? A 13 B C Lời giải D 10 Chọn C 1 Ta có log a a 3b c  log a a  log a b2  log a c   log a b  log a c   2.3   2  Câu 69  (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Rút gọn biểu thức M  3log x  log  x   log A M   log  3x   x B M   log   3  x C M   log   3 D M   log x Lời giải Chọn A Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ĐK: x  M  3log3 x  1  log3 x   log x   1  log3 x   1  log3 x    log3  3x  Câu 70 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho log8 x  log y  và log8 y  log x  Tìm giá trị biểu thức P  x  y A P  56 B P  16 C P  Lời giải D P  64 Điều kiên: x, y  Cộng vế với vế hai phương trình, ta được: log8 xy  log x y  12  log xy   xy  512 (1) Trừ vế với vế hai phương trình, ta được: x y2 x x  log  2  log 3   x  y (2) y y y x log Từ (1) và (2) suy y   x  64  P  56 Câu 71 (Hsg Bắc Ninh 2019) Cho hai số thực dương a , b Nếu viết 64 a 3b   x log a  y log b ( x, y  ) thì biểu thức P  xy có giá trị bao nhiêu? ab 1 A P  B P  C P   D P  3 12 12 Lời giải log 64 a 3b 1  log 64  log a  log b  log a  log b ab 4   log a  log b Khi đó x   ; y    P  xy  3 Ta có log Câu 72 Cho log 700 490  a  b với a, b, c là các số nguyên Tính tổng T  a  b  c c  log B T  A T  C T  D T  Lời giải Ta có: log 700 490  log 490 log10  log 49  log  log  3     2 log 700 log100  log  log  log  log Suy a  2, b  3, c  Vậy T  Câu 73 Cho a , b là hai số thưc dương thỏa mãn a  b  14ab Khẳng định nào sau đây sai? A 2log  a  b    log a  log b C log ab  log a  log b B ln a  b ln a  ln b  D 2log  a  b    log a  log b Lời giải Ta có a  b  14ab   a  b   16 ab Suy log  a  b   log 16 ab   log  a  b    log a  log b Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 74 Cho x, y là các số thực dương tùy ý, đặt log x  a , log y  b Chọn mệnh đề đúng  A log  27   C log  27   x  x   a  b B log    a  b  y  3 27  y  x     a b y3   x  D log     a  b y  27  Lời giải  x   x   x  1 1 log    log 33     log      log x  log y    log x  log y   a  b 3 3 y  y  27  y  Câu 75 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho   log a x ,   log b x Khi đó log ab2 x A αβ α+β Ta có : log ab2 x  2log ab2   Câu 76  2 2α+β Lời giải x    log x ab log x a  log x b B  2αβ 2α+β C D  α+β  α+2β 1  log a x log b x 2   2  (THPT Bạch Đằng P  log a2  a10b   log a Quảng Ninh 2019) Tính giá trị biểu thức  a  2    log b  b   b (với  a  1;  b  ) A B C D Lời giải  a  2 Ta có: P  log a2  a10b   log a    log b  b    log a b   log a b   b   Câu 77 (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Đặt M  log 56, N  a  log  b với a, b, c  R Bộ số a, b, c log  c nào đây để có M  N ? A a  3, b  3, c  C a  1, b  2, c  B a  3, b  2, c  D a  1, b  3, c  Lời giải Ta có: M  log 56  log 56 log 23.7 3log  log 31  log 2  log  log      3 log  log  log  log log  a     Vậy M  N  b      c  Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 98 99 Câu 78 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Tính T  log  log  log   log  log 99 100 1 A B 2 C D 10 100 Lời giải 98 99 1  98 99  T  log  log  log   log  log  log   log102  2   log 99 100 100  99 100  Câu 79 Cho a , b, x  0; a  b và b, x  thỏa mãn log x Khi đó biểu thức P  A P  log x a  2b  log x a  2b  log x a  log b x 2a  3ab  b có giá trị bằng: ( a  2b) B P  C P  16 15 D P  Lời giải a  2b  log x  log x a  log x b a log b x  a  2b  ab  a  5ab  4b   a  ba  4b   a  4b (do a  b ) P 2a  3ab  b 32b  12b  b   (a  2b) 36b Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 CÔNG THỨC, BIẾN ĐỔI LOGARIT Chuyên đề 17 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Công thức logarit: Cho các số a, b  0, a  và m, n   Ta có:  log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  loge b  loga   loga a   log a a n  n  log a b n  n log a b  log am bn  b  log a    log a b  log a c c  a loga b  b   log c log a  a b  c b  log am b  loga b m  loga (bc)  loga b  loga c  loga b.logb c  loga c ,   b  1 log a c  logb c ,  b  1 log a b  log a b  n log a b m ,  b  1 logb a Dạng Biểu diễn biểu thức logarit này theo logarit khác Câu (Đề Tham Khảo 2019) Đặt log  a đó log16 27 A 3a B 4a 3a lời giải C D 4a Chọn B Ta có log16 27  Câu 3 log   4.log 4a (Đề Minh Họa 2017) Đặt a  log 3, b  log Hãy biểu diễn log 45 theo a và b A log 45  C log 45  2a  2ab a  2ab B log 45  ab  b ab 2a  2ab a  2ab D log 45  ab ab  b Lời giải Chọn B log   log 45  log  2.3  log  log 2a  log 3.log    log 1 a log a 2a  log b  a  2ab  1 a 1 a ab  b 2a  CASIO: Sto\Gán A  log 3, B  log cách: Nhập log \shift\Sto\ A tương tự B A  AB  log 45  1, 34 ( Loại) AB A  AB Thử đáp án C:  log 45  ( chọn ) AB Thử đáp án A: Câu (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Đặt a= log3 , đó log6 48 A 3a - a- B 3a + a+ C 4a - a- D 4a + a+ Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn D Cách 1: Giải trực tiếp log 48 = log 6.8 = log 6 + log = 1+ 1 = 1+ = 1+ log8 log 23 2.3 (1+ log 3) 1+ log + + a 4a + Chọn đáp án D = = = (1+ log 3) 1+ a + a Cách 2: Dùng máy tính Casio Ta có log6 48 = 2.1605584217 Thay a= log3 = 0.63092975375 vào đáp án thì ta chọn đáp án D vì Câu 4a + = 2.1605584217 a+  90  (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Cho log  a, log  b, log 22  c Tính P  log    11  theo a, b, c ? A P  2a  b  c B P  2a  b  c C P  2a  b  c Lời giải Ta có log  b  log   b  log  b  , D P  a  2b  c log 22  c  log  log 11  c  log 11  c  log  c  b   90  Khi đó P  log    log 90  log 11   log  log  log 11  2b  a  c  11  Câu (Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Với log 27  a , log3  b và log  c , giá trị log6 35  3a  b  c A 1 c B  3a  b  c 1 b C  3a  b  c 1 a D Lời giải Chọn A 1 Ta có: log 27  a  a  log  3a  log  log  3a 1 log  b  log  ; bc  log 3.log  log  log  ; b bc 3ac  log 5.log  log  log  3ac 1 1 log 35  log  log     log log log  log log  log  1  3ac 3a  1  b bc   3a  b  c c 1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  3b  a  c 1 c TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Đặt a  log ; b  log Nếu biểu diễn log 45  a  m  nb  ba  p thì m  n  p A C Lời giải B D 3 Chọn B 2 a  2b  1 log 45 log  log b log 45     log log  log 3  b 1  a  a Suy m  1, n  2, p   m  n  p  Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho các số thực dương a , b thỏa mãn log a  x , log b  y Tính P  log  3a 4b5  A P  x y B P   x  y C P  60 xy Lời giải D P   x  y Chọn D P  log  3a 4b   log 3  log a  log b   log a  log b   x  y Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Biết log  a, log  b Tính log theo a , b A b a B b 1 a b 1 a Lời giải C D b a 1 D 3a  3 a Chọn A log  a   6a , log  b   6b  log  log 6a 6b  Câu b a Cho log12  a Tính log 24 18 theo a A 3a  3 a B 3a  3a 3a  3 a Lời giải C Chọn B Ta có: a  log12  log log log log 2a  log     2 log 12 log  3 log    log  log 1 a 2a  log 18 log  2.3   log  a  3a  Ta có: log 24 18     2a 3 a log 24 log  3  log 3 1 a 3a  Vậy log 24 18  3 a Câu 10 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Đặt và b a  log và b  log Hãy biểu diễn log 45 theo a a  2ab a  ab B log 45  ab ab a  2ab a  ab C log 45  D log 45  ab  b ab  b A log 45  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải log 45 log 3 log 3  log log 45    log log 2.3 log  log 3 1  2b   2 2   log b   b    2b  1 a  a  ab   1 a 1 b  a  1 b  ab 1    log a a   Câu 11 (HSG Bắc 2 Ninh 2019) Đặt a  ln , b  ln , 98 99 theo a và b I  ln  ln  ln   ln  ln 99 100 A 2  a  b  B 2  a  b  C  a  b  hãy biểu diễn D  a  b  Lời giải 98 99 I  ln  ln  ln   ln  ln 99 100  98 99   ln   ln102   ln 100  99 100   2 ln10  2  ln  ln   2  a  b  Câu 12 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Đặt a  log 3; b  log Biểu diễn đúng log 20 12 theo a, b là a 1 a2 D b2 ab  Lời giải 2 a2  Ta có log 20 12  log 20  log 20     log3  log3 log  2  b ab  ab  a A Câu 13 ab  b2 B ab b2 C (Sở Bình Phước 2019) Cho log  a, log  b , đó log15 A ab B 3(a  b) C 3(a  b) D ab Lời giải Chọn D log15  3log15  Câu 14 3   log 15 log  log a  b (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Giả sử log 27  a; log  b; log  c Hãy biểu diễn log12 35 theo a, b, c ? A 3b  3ac c2 B 3b  3ac c 1 3b  2ac c3 Lời giải C D log log 27  a  log  a   3a  log  3ac log log8  b  log  b  log  3b Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3b  2ac c2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 log 35 log  5.7  log  log 3ac  3b Xét log12 35     log 12 log  3.2  log  c2 Câu 15 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho log3  a , log3  b , log3 22  c Tính  90  P  log   theo a , b , c  11  A P  2a  b  c B P  a  2b  c C P  2a  b  c Lời giải D P  2a  b  c Ta có:  90   180  P  log    log    log3 180  log3 22  log3  36.5  log3 22  log3 36  log3  log3 22  11   22   log    log  log 22  2log3  log3  log3 22  a  2b  c Vậy P  a  2b  c Câu 16 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Đặt a  log 3; b  log3 Biểu diễn log20 12 theo a, b ab  a 1 a2 C log 20 12  D log 20 12  b2 b2 ab  Lời giải log 12 log 4.3  log  log a2 Ta có log 20 12      log 20 log 4.5  log  log 3.log ab  A log 20 12  Câu 17 a b b2 B log 20 12  (Sở Hà Nội 2019) Nếu log  a thì log 72 108 A 2a 3 a  3a  2a B  2a  3a Lời giải C D  3a  2a log 108 log    3log  3a Ta có log 72 108     log 72 log  23.32   log 3  2a Câu 18 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho log 30  a;log 30  b Tính log 30 1350 theo a, b ; log 30 1350 A 2a  b B 2a  b  C 2a  b  Lời giải D 2a  b  Ta có 1350  30.45  30.9.5  30.32.5 Nên log30 1350  log30 30.32.5  log 30 30  log 30 32  log 30   log 30  log 30   2a  b Câu 19 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Đặt m  log và n  log Hãy biểu diễn log 6125 theo m và n  6m  5n A B (6  6n  5m) 2 C 5m  6n  D  5n  6m Lời giải 5 10 Ta có log 6125  log 537  3log  log  3log  log 2 5  5n  6m  3(l log 2)  log  1  m   n  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy log 6125  Câu 20  5n  6m ( Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho b và c 3a  b c 3a  b  c A B 1 c 1 b log 27  a log  b log  c log 35 , , Tính theo a , C 3a  b  c 1 a D 3b  a  c 1 c Lời giải Chọn D Theo giả thiết, ta có log 27  a  log3  a  log3  3a Ta có log  log  log  3ac và log  log 3 log  bc Vậy log 35  Câu 21 log 35 log  log 3ac  bc 3a  b c    log log 2  log 1 c 1 c (Sở Thanh Hóa 2019) Cho a  log m và A  log m 16m , với  m  Mệnh đề nào sau đây đúng? A A  4a a B A  4a a C A  (4  a ) a D A  (4  a)a Lời giải log 16m log 16  log m  a Ta có A  log m 16m    log m log m a Câu 22 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Biết log 315  a , tính P  log 25 81 theo a ta 2 A P   a  1 B P  2( a  1) C P  D a 1 a 1 Lời giải Chọn D Ta có log 315  a   log  a  log3  a  P = log 25 81  Câu 23 log3 81 4    log3 25 log3  a  1 a  90 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Cho log  a , log  b , log 22  c Tính P  log theo 11 a , b, c A P  2a  b  c B P  a  2b  c C P  2a  b  c Lời giải Ta có: P  log 90  log 11  log 90  log  log 11  log D P  2a  b  c  log3 180  log  log  5.36   log  log3  2log3  log3  a  b  2c Câu 24 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Nếu 2a 1 a A B  2a 2a log3  a thì log 45 75  2a C 2a Lời giải D  2a 1 a Ta có log 45 75  2.log 45  log 45 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 a 1 Và log 45     ; log 45    log5 45 log  log 45  log3 a  1 a  a 2a 1  2a Do đó log 45 75    a2 a2 2a Câu 25 (Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho log  a , log  b, log 22  c Tính  90  P  log3   theo a, b, c  11  A P  a  b  c B P  a  b  c C P  a  b  c D P  a  b  c Lời giải  5.62   90   180   log Ta có P  log    log  3    log  log  log 22  a  2b  c  11   22   22  Câu 26 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho log12  a Tính log 24 18 theo a 3a  3 a 3a  3 a Lời giải 1 2a   log  Ta có a  log12  log312  2log3 1 a A B 3a  3 a C D 3a  3a 2a   log  a   3a Khi đó: log 24 18    2a 3a log  3  log 3 1- a log  32.2  Câu 27   (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Đặt log a b  m,log b c  n Khi đó log a ab c B  2m  3n A  6mn D  2m  3mn C 6mn Lời giải log a  ab c   log a a  log a b  3log a c   2m  Câu 28 log b c   2m  3log a b.log b c   2m  3mn log b a (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Đặt a  log2 và b  log5 Hãy biểu diễn log6 45 theo a và b A log 45  a  2ab ab  b B log 45  a  2ab ab C log 45  2a  2ab 2a  2ab D log 45  ab ab  b Lời giải Chọn A a 2a  log  log 3.log3 2ab  a b log 45     log  2.3  log 1 a ab  b log  32.5  Câu 29 (THPT Thiệu log 24 175  A 27 Hóa – Thanh Hóa 2019) mb  nac Tính A  m  n  p  4q pc  q B 25 C 23 Cho log9  a; log  b; log  c Biết D 29 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn B Ta có log 24 175  log 24 7.52  log 24  log 24 52    log  log log  log 23   log 24 log5 24   3   log log log log 2     3 3     log 7.log3 log log log 3.log 2b 2b 2a c.2a c 2b 4ac 2b  4ac     c c c c c    3   2b 2b 2ac 2ac A  m  n  p  4q     12  25 Câu 30 (Chuyên KHTN 2019) Với các số a, b  thỏa mãn a  b  6ab , biểu thức log  a  b  1 B 1  log a  log b    log a  log b  2 1 C   log a  log b  D   log a  log b  2 Lời giải A Ta có: a  b  6ab  a  b  2ab  6ab  ab   a  b   8ab * ab  , lấy logarit số hai vế * ta được: Do a, b    a  b  log  a  b   log  8ab   log  a  b    log a  log b  log  a  b     log a  log b  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 CÔNG THỨC, BIẾN ĐỔI LOGARIT Chuyên đề 17 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Một số bài toán KHÓ Công thức logarit: Cho các số a, b  0, a  và m, n   Ta có:  log a b    a  b  lg b  log b  log10 b  ln b  loge b  loga   loga a   log a a n  n  log a b n  n log a b  log am bn  b  log a    log a b  log a c c  a loga b  b   log c log a  a b  c b  log am b  loga b m  loga (bc)  loga b  loga c  loga b.logb c  loga c ,  b  1 Câu  log a c  logb c ,  b  1 log a b  log a b  n log a b m ,  b  1 logb a (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho các số thực a , b thỏa mãn 1 1   2020 Giá trị biểu thức P   logb a log a b log ab b log ab a 2014 A 2016 B C 2018 Lời giải D a  b 1 và 2020 Chọn B Do a  b  nên log a b  , log b a  và log b a  log a b 1   2020 Ta có: logb a log a b  logb a  log a b  2020  log b2 a  log a2 b   2020  logb2 a  log a2 b  2018 (*) Khi đó, P  log b ab  log a ab  log b a  log b b  log a a  log a b  log b a  log a b Suy ra: P   log b a  log a b   log b2 a  log a2 b   2018   2016  P  2016 Câu (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ 2019) Tìm số nguyên dương n cho log 2018 2019  2 log 2018 2019  32 log 2018 2019   n log n 2018 2019  10102.20212 log 2018 2019 A n  2021 B n  2019 C n  2020 D n  2018 Lời giải 2 log 2018 2019  log 2018 2019  log 2018 2019   n log n 2018 2019  10102.20212 log 2018 2019  log 2018 2019  23 log 2018 2019  33 log 2018 2019   n3 log 2018 2019  10102.20212 log2018 2019     23  33   n3 log 2018 2019  10102.20212 log 2018 2019   23  33   n3  10102.20212 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  1    n   10102.20212  n  n  1  2    1010 2021   n  n  1   1010.2021  n2  n  2020.2021   n  2020   n  2021    Câu    17  Cho hàm số f ( x)  log  x   x  x   Tính T  f    2019    4 A T  2019 B T  2019 C T  2018   f     2019   2018  f   2019  D T  1009 Lời giải   17  17   Ta có: f (1 x)  log 1 x   1 x  1 x    log  x  x    x          17  17   f  x   f 1 x   log  x   x  x    log  x  x    x         17  17    log  x   x  x   x  x    x    log            2018   T  f   f    f   2019   2019   2019     f    2019   2018  f    2019    f    2019   2017  f     2019   1009  f    2019   1010  f   2019   1009.2  2018 Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Gọi a là giá trị nhỏ f  n   log 2.log 3.log log n 9n với n   và n  Hỏi có bao nhiêu giá trị n để f  n   a A B C Lời giải D vô số Chọn A f n  log 2.log 3.log log n  log 39 2.log 39 3.log 39 log 39 n 9n Ta có: - Nếu  n  38   log 39 k   f  n   log 39 2.log 39 3.log 39 log 39 n  f  38  - Nếu n  39  f  39   f  38  log 39 39  f  38  - Nếu n  39  log 39 n   f  n   f  39  log 39  39  1 log 39 n  f  39  Từ đó suy Min f  n   f  39   f  38  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho x , y và z là các số thực lớn và gọi w là số thực dương cho log x w  24 , log y w  40 và log xyz w  12 Tính log z w A 52 B 60 C 60 Lời giải D 52 Chọn C 24 log y w  40  log w y  40 Lại 1  12   12   12 log xyz w  12  log w  xyz  log w x  log w y  log w z log w x  log w y  log w z log x w  24  log w x   Câu 1  log z w  60  12  log w z  1 60   log w z 24 40 Cho f 1  , f m  n  f m  f n  mn với m, n  * Tính giá trị biểu thức  f 96  f 69  241  T  log      A T  B T  C T  10 Lời giải D T  Chọn B Có f 1  , f m  n  f m  f n  mn  f 96  f 95 1  f 95  f 1  95  f 95  96  f 94  95  96   f 1    95  96 96.97  4656 69.70 Tương tự f 69     68  69   2415  f 96  f 69 241     log  4656  2415  241  log1000  Vậy T  log       2    f 96     95  96  Câu (Chuyên Lê Quý Dôn Quảng Trị 2019) Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn đồng thời 1 1    và log ( xyz )  2020 Tính log  xyz  x  y  z   xy  yz  zx  1 log x log y log z 2020 A 4040 B 1010 C 2020 Lời giải D 2020 Chọn A Đặt a  log x; b  log y; c  log z 1 1 và a  b  c  2020    a b c 2020  1 1      a  b  c     a  b  c  ab  ac  bc   abc a b c Ta có  a 2b  ab2  abc  abc  b 2c  bc  a c  ac    a  b  b  c  c  a   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vì vai trò a , b, c nên giả sử a  b   c  2020  z  2020 và xy  log  xyz  x  y  z   xy  yz  zx  1  log  z ( x  y  z )   yz  zx  1  log  z   log z  4040 Câu (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho ba số thực dương x, y , z theo thứ tự lập thành cấp số nhân, đồng thời với số thực dương a ( a  1) thì log a x, log thành cấp số cộng Tính giá trị biểu thức P  A 60 B 2019 a y, log a z theo thứ tự lập 1959 x 2019 y 60 z   y z x C 4038 D 2019 Lời giải Chọn C Ta có: x, y , z là ba số thực dường, theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì y  x.z (1) Với số thực a ( a  1), log a x, log log a a y, log a z theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì y  log a x  log a z  4log a y  log a x  3log a z (2) Thay (1) vào (2) ta log a x.z  log a x  3log a z  log a x  log a z  x  z Từ (1) ta suy y  x  z Thay vào giả thiết thì P  1959  2019  60  4038 Câu  2x  (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hàm số f  x   log   và hai số thực  1 x  m , n thuộc khoảng  0;1 cho m  n  Tính f  m   f  n  A B C D Lời giải Chọn C  2m   2n  f  m   f  n   log    log   1 m  1 n   1  2m   2n   log    log    2  1 m    n   2m 2n   log   1 m 1 n  4mn    log   , vì m  n    m  n  mn  1  4mn   log    log   2  mn  Câu 10 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Gọi n là số nguyên dương cho 1 1 190 đúng với x dương, x  Tìm giá trị biểu      log x log 32 x log 33 x log 3n x log x thức P  2n  A P  32 B P  23 C P  43 Lời giải D P  41 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn D 1 1 190      log x log32 x log 33 x log3n x log x  log x  log x  3log x   n log x  190 log x  log x 1     n   190 log x      n  190  n  n  1  190  n2  n  380   n  19   n  19 (do n nguyên dương)  P  2n   41  n  20 Câu 11 Cho x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân; log a x , log số cộng, với a là số thực dương khác Giá trị p  A 13 B a y , log a z lập thành cấp x y 3z là   y z x C 12 Lời giải D 10 Chọn A x , y , z là ba số thực dương lập thành cấp số nhân nên ta có xz  y (1) log a x , log a y , log a z lập thành cấp số cộng nên: log a x  log a z  2log a y  log a x  3log a z  log a y  xz  y (2) Từ (1) và (2) ta suy x  y  z Vậy p  Câu 12 x y 3z       13 y z x (Chuyên Nguyễn Huệ 2019) Cho f (1)  1; f (m  n)  f ( m )  f ( n)  mn với m, n  N * Tính giá trị biểu thức  f  2019   f  2009   145  T  log     A B C Lời giải D 10 Chọn B Ta có f (2019)  f (2009  10)  f (2009)  f (10)  20090 Do đó f (2019)  f (2009)  145  f (10)  20090  145 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 f (10)  f (9)  f (1)  f (9)  f (8)  f (1)  f (3)  f (2)  f (1)  f (2)  f (1)  f (1)  Từ đó cộng vế với vế ta được: f (10)  10 f (1)       55 f (2019)  f (2009)  145  20090  145  55 Vậy log   log  log10000   2   Câu 13 Có bao nhiêu số nguyên dương n để log n 256 là số nguyên dương? A B C Lời giải D Chọn C log n 256  8.log n  là số nguyên dương log n  log n  1; 2; 4;8  n  2; 4;16; 256 Vậy có số nguyên dương Câu 14 Cho tam giác ABC có BC  a , CA  b , AB  c Nếu a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số nhân thì A ln sin A.ln sin C   ln sin B  B ln sin A.ln sin C  2ln sin B C ln sin A  ln sin C  2ln sin B D ln sin A  ln sin C  ln  sin B  Lời giải Chọn C  a  R sin A  Theo định lý sin tam giác ABC ta có: b  R sin B , với R là bán kính đường tròn ngoại c  R sin C  tiếp tam giác ABC Vì a , b , c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có: 2 a.c  b   R sin A   R sin C    R sin B   sin A.sin C   sin B  Do 0  sin A , sin B , sin C  180 nên sin A , sin B , sin C  Vì ta có thể suy ln  sin A.sin C   ln  sin B    ln sin A  ln sin C  2ln sin B   Câu 15 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên 1 1 A     log 22018 x log 32018 x log 20172018 x log 20182018 x A A  2017 B A  2018 C A  - 2018 2018) Cho x  2018! D A  2017 Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Tính TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A log 22018 x  log 32018 x 2018   log 20172018 x 2018  log 20182018 x 2018  log x  log x   log x 2017  log x 20182018  2018.log x  2018.log x   2018.log x 2017  2018.log x 2018  2018  log x  log x   log x 2017  log x 2018   2018.log x  2.3 2017.2018  Câu 16 ( Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2018) Tìm ba số nguyên dương (a ; b; c) thỏa mãn log1  log(1  3)  log(1   5)   log(1     19)  2log 5040  a  b log  c log A (2;6; 4) B (1;3; 2) C (2; 4;4) D (2; 4;3) Lời giải Ta có log1  log(1  3)  log(1   5)   log(1     19)  2log 5040  a  b log  c log  log1  log 22  log 32   log102  log 5040  a  b log  c log  log 1.22.32.102   log 5040  a  b log  c log  log 1.2.3.10   log 5040  a  b log  c log  log 1.2.3.10   log 5040  a  b log  c log   log10! log 7!  a  b log  c log  log  8.9.10   a  b log  c log   6log  4log  a  b log  c log Vậy a  , b  , c  Câu 17 (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Tổng S   22 log đây A 10082.20182 3 B 10092.20192 Ta có     n  n  n  1   2  32 log 2   20182 log 2018 2 D 20192 C 10092.20182 Lời giải Mặt khác S   22 log 2  32 log 2   20182 log 2018 2   22 log  32 log   20182 log 22 23  2018  2018  1    log 2  log 2   2018 log 2      2018      2  1009 2019 Câu 18 3 3 2 2018 (ChuyêN KHTN - 2018) Số 2017201820162017 có bao nhiêu chữ số? A 147278481 B 147278480 C 147347190 D 147347191 Lời giải Số chữ số số tự nhiên x là:  log x   (  log x  là phần nguyên log x ) Vậy số chữ số số 2017201820162017 là log 2017201820162017    20162017 log  20172018    147278481 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT Chuyên đề 18 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Tìm tập xác định Hàm số mũ Dạng: y  ax ya u a  với  a  Tập xác định: D   Hàm số logarit y  log a x a  với  y  log a u a   y  ln x ; a  10   y  log x  lg x Đặc biệt: a  e  Điều kiện xác định: u  Dạng: Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập xác định hàm số y  log x là A  0;   Câu Câu Câu 10 B  0;   C  ;0  D  ;   B (0; ) C (; ) D [0;  ) B  0;   C  0;   D  ;   B  0;   C  \ 0 D  0;    (Mã 103 - 2020 Lần 2) Tập xác định hàm số y  x là A  Câu D   ;    (Mã 102 - 2020 Lần 2) Tập xác định hàm số y  5x là A  Câu C  0;    (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x là A ( ;0) Câu B   ;0 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x là A (;0) Câu D  2;   (Mã 102 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x là A  0;   Câu C  0;   (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x là A  0;    Câu B  ;   B  0;   C  0;   A D  (  ; 2)  (3;  ) x3 x2 B D  ( 2; 3) C D  (  ; 2)  [3;  ) D D   \{2} D  \ 0 (Mã 123 2017) Tìm tập xác định D hàm số y  log (Đề Minh Họa 2017) Tìm tập xác định D hàm số y  log  x  x  3 A D   ; 1  3;   B D   1;3 C D   ; 1   3;   D D   1;3 (Mã 104 2017) Tìm tập xác định D hàm số y  log  x  x  3 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A D  1;3  B D   ;1   3;       C D  ;    2;  Câu 11  B D   0;    D D   0; 3 C  ; 2  3;    D  ;    3;    (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Tìm tập xác định hàm số y  log C  0;  B  6 x D  6;   (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tập xác định hàm số y  log2  2x  x là A D  (1;1) Câu 15 C D   ;    3;    B  2; 3 A  ;6 Câu 14  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập xác định y  ln   x  x   là A  2; 3 Câu 13  (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm tập xác định hàm số y  log 2018 3x  x A D   Câu 12   D D   2;1  3;2  B D  (1; 3) C D  (3;1) D D  (0;1) (Sở Vĩnh Phúc 2019) Tập xác định hàm số y  log  x  x  3 là B  1;3 A  1;3  C   ;  1   3;    D   ;  1  3;    Câu 16 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm tập xác định hàm số: y  A  0;   Câu 17 B  0;3  log   x  D 0;3  (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Tập xác định hàm số y   ln  x    là A  Câu 18 C  ;3 x B  3;   C  0;   D  2;     (THPT Ba Đình 2019) Tìm tập xác định D hàm số y  log 2019  x   2x  3 3 3   A D   2;    ; 2 2 2   3  C D   ;  D D   2;  2  A D   2;3 B 3 3   B D   2;    ;  2 2    x    log   x2  là D   3;3 \ 2 C D   3;   Câu 19 Tìm tập xác định hàm số y  D D   3;3 Dạng Tìm đạo hàm Đạo hàm hàm số mũ y  a x   y  a x ln a y  a u   y  au ln a u Đặc biệt: (e x )  e x (eu )  eu u 2019 với e  2,71828 Đạo hàm hàm số logarit Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y  log a x   y  x ln a u y  log a u   y  u ln a x u (ln u )  u (ln x )  Đặc biệt: Câu (Đề Tham Khảo 2017) Tìm đạo hàm hàm số y  log x A y  Câu ln10 x (Mã 103 - 2019) Hàm số y  x C ( x  x).2 x C y '   x 1 x D (2 x  1).2 x x  x có đạo hàm là  B x  x 3x 13x ln13  x 1 2 C  x  1 3x  x.ln D 3x  x.ln B y  x.13x 1  x  1 ln   x  1 ln 2x   x  1 ln C y  13x ln13 D y  13x  x  1 ln B y  C y  2x 1 D y  2x 1 x 1 4x   x  1 ln B y '  22 x   x  1 ln D y '  2 2x 2x (Đề Tham Khảo 2019) Hàm số f  x   log  x  2x  có đạo hàm A f '  x   C f '  x   ln x  2x  2x   ln 2 x  2x B f '  x    x  2x  ln D f '  x   2x   x  2x  ln (Mã 101 - 2019) Hàm số y  x C  x   x 2 3 x 2 có đạo hàm là 3 x ln B x 3 x D  x  x  x A  x   x Câu có đạo hàm là (Đề Minh Họa 2017) Tính đạo hàm hàm số y  A y '  Câu x (Mã 110 2017) Tính đạo hàm hàm số y  log2  2x  1 A y  Câu D y  (Đề Minh Họa 2017) Tính đạo hàm hàm số y  13x A y  Câu x (Mã 104 - 2019) Hàm số y  A  x  1 3x Câu x 10ln x B (2 x  1).2 x  x.ln A x  x.ln Câu C y  2 Câu x ln10 B y  3 x (Mã 102 - 2019) Hàm số y  3x A  x   3x 3 x B 3x 2 ln 3 x  x 1 có đạo hàm là 3 x .ln Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   C x  x 3x 3 x 1 D  x   3x 3 x .ln   Câu 10 Tính đạo hàm hàm số y = ln 1+ x +1 A y   x 1 1 x 1   x 1 1 x 1 Câu 11 B y  2e12 x  x  1 ln x  x 1 Câu 17  B y '  2x 1 2x 1 C y '  x  x 1  x  x  1 ln B  x  1 e x C  x  1 e2 x 1 x  x  x  1 ln D y '  x D  x  x  e x 1 B f  1  ln C f  1  D f  1  ln (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Tìm đạo hàm hàm số y  ln 1  e2 x  2e x e 2x  1 B y  e2 x e2 x  C y  2x e 1 D y  (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tính đạo hàm hàm số y  A y   2 x 2x B y  C y   x2 2x D y   ln  x  1  x 2  2e2 x e2 x  1 x 2x ln  x  1  2x (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tính đạo hàm hàm số y  log9  x  1 A y  Câu 18 D y  e12 x (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hàm số f  x   log  x  1 , tính f  1 A y  Câu 16 e12 x (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Tính đạo hàm hàm số y  e x A f  1  Câu 15 C y    A  x  1 e x Câu 14  1 x 1 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Đạo hàm hàm số y  log x  x  là: A y '  Câu 13 D y    (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đạo hàm hàm số y  e12 x là A y  2e12 x Câu 12  x 1 1 x 1 C y  B y   x  1 ln B y  x  x  1 ln C y  x ln x2  D y   ln x2  (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Tính đạo hàm hàm số y  e x sin x A e x  sin x  cos x  B e x cos x C e x  sin x  cos x  D e x  sin x  cos x  Câu 19 A Câu 20 x 1 là 4x   x  1 ln   x  1 ln B C 2x 2x (VTED 2019) Đạo hàm hàm số y    x  1 ln 22 x (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hàm số y  D   x  1 ln 2x y' với x  Khi đó  y x   ln x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x A x 1 Câu 21 x C  x  ln x x 1  x  ln x (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tính đạo hàm hàm số y  x ln x  x e B  x D  x1 A y     ln  ln x    x B y  x ln   e x x x  e 1 C y  2x ln  x D y  x ln   e x x e x Câu 22 (VTED 2019) Đạo hàm hàm số f ( x )  log x  x là A Câu 23  2x  x  x ln 2 B   x  x ln  C (2 x  2) ln x2  2x D 2x  x  x ln 2 (Chuyên KHTN 2019) Đạo hàm hàm số f (x)  ln(lnx) là: A f ( x)  C f ( x)  x ln x ln  ln x  B f ( x)  x lnx ln  ln x  D f ( x)  ln  ln x  lnx ln  ln x  Dạng Khảo sát hàm số mũ, logarit Sự biến thiên hàm số mũ: y  a x Nếu a  thì hàm đồng biến trên  Nếu  a  thì hàm nghịch biến trên  Sự biến thiên hàm số logarit: y  log a x Nếu a  : hàm đồng biến trên (0; ) Nếu  a  : hàm nghịch biến trên (0;  ) ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ Đồ thị hàm số mũ và logarit ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT Ta thấy: a x   a  1; b x   b  Ta thấy: c x  c  1; d x  d  So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a  b So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c  d Vậy  b  a   d  c Ta thấy: log a x   a  1; logb x   b  Ta thấy: log c x  c  1; log d x  d  So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logb x trước: b  a So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d  c Vậy  a  b   c  d Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số f  x   x ln x Một bốn đồ thị cho bốn phương án A, B, C, D đây là đồ thị hàm số y  f   x  Tìm đồ thị đó? Câu A Hình B Hình C Hình D Hình x x Cho ba số thực dương a , b, c khác Đồ thị các hàm số y  a , y  b , y  c x cho hình vẽ bên Mệnh đề nào đây đúng? A b  c  a B c  a  b Câu C a  b  c x D a  c  b x (Mã 105 2017) Cho hàm số y  a , y  b với a, b là hai số thực dương khác 1, có đồ thị là  C1  và  C2  hình bên Mệnh đề nào đây đúng ? Câu A  b   a B  a  b  C  b  a  D  a   b (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên  ? A log3 x Câu   B y  log x e C y    4 x 2 D y    5 Mệnh đề nào các mệnh đề đây sai?  2018  A Hàm số y       x 1 đồng biến trên  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B Hàm số y  log x đồng biến trên  0;   C Hàm số y  ln   x  nghịch biến trên khoảng  ;0  D Hàm số y  x đồng biến trên  Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Hàm số nào đây đồng biến trên tập xác định nó? x Câu x x x 1 2 A y    B y    C y  D y   0,5  π 3 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số y  log x Mệnh đề nào đây sai?   x ln B Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng A Đạo hàm hàm số là y   C Tập xác định hàm số là  ;   D Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên ? x x Câu Câu 10    2015  A y   B y   C y  (0,1) x    2016   2016   Đường cong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào đây? D y  (2016) x A y  e x D y  e x B y  ln x C y  ln x (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Tìm hàm số đồng biến trên  x   C f  x    D f  x   x   3 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  log x Mệnh đề nào đây là mệnh đề sai? A f  x   3x Câu 11 B f  x   3 x A Hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định B Hàm số đã cho có tập xác định D   \ 0 C Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là trục tung D Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang Câu 12 Cho đồ thị hàm số y  a x và y  logb x hình vẽ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khẳng định nào sau đây đúng? 1 b B  a   b C  b   a D  a  ,  b  2 Câu 13 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến? A y  ln x B y  log 2018 x C y  log  x D y  log  x A  a  1 Câu 14 (Sở Hà Nội 2019) Đồ thị hàm số y  ln x qua điểm  A  1;  Câu 15 2019  B 2; e C  2e;  D  0;1 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong các hàm số sau,hàm số nào luôn nghịch biến trên tập xác định nó? x 1 2 A y    B y  log x C y  2x D y    2 3 Câu 16 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Chọn khẳng định sai các khẳng định sau: A Hàm số y  log x đồng biến trên  B Hàm số y  log x nghịch biến trên tập xác định nó x C Hàm số y  đồng biến trên  D Hàm số y  x Câu 17 có tập xác định là  0;   (KTNL GV Bắc Giang 2019) Hàm số nào đây đồng biến trên khoảng (0;   ) ? A y  log x B y  log  x Câu 18 C y  log e x D y  log x (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Đồ thị hàm số y  x và y  log x đối xứng với qua đường thẳng y   x B Đồ thị hai hàm số y  e x và y  ln x đối xứng với qua đường thẳng y  x đối xứng với qua trục hoành 2x D Đồ thị hai hàm số y  log x và y  log đối xứng với qua trục tung x Câu 19 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Hàm số nào sau đây có đồ thị hình bên? C Đồ thị hai hàm số y  x và hàm số y  A y  log x B y  log x  C y  log  x  1 D y  log3  x  1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 20 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Trong các hàm số đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R x x   2 A y    B y  log  x  C y    D y  log x 3 e Câu 21 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Hàm số nào đây nghịch biến trên tập xác định nó?  A y  log x B y  log    C y  log  x x 1   D y     3 x x Câu 22 (Chuyên Bắc Giang -2019 Cho hàm số y  A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0  C Hàm số đạt cực trị x  Câu 23  x  17 Mệnh đề nào sau đây sai? ln B Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   D Hàm số có giá trị cực tiểu là y  1 ln (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên -2019) Đồ thị  L  hàm số f  x   ln x cắt trục hoành điểm A , tiếp tuyến  L  A có phương trình là: A y  x  Câu 24 C y  x D y  x  (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hàm số y  xe 3x đạt cực đại A x  Câu 25 B y  x  1 3e B x  C x  e  D x   (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Hàm số y  log3 x  x nghịch biến trên khoảng nào? A  2;    B   ;0  C 1;    D  0;1 Câu 26 Cho đồ thị hàm số y  a x và y  log b x hình vẽ Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng A  a  1,  b  B a  1, b  C  b   a D  a   b Câu 27 Hình vẽ bên thể đồ thị ba bốn hàm số y  6x , y  8x , y  1 và y  x x Hỏi (C2) là đồ thị hàm số nào? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A y  6x B y  Câu 28 x C y  5x D y  8x (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Giá trị nhỏ hàm số y  ln x trên đoạn x  2;3 A Câu 29 ln B ln C e2 D e (Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số f  x   ln x  x Khẳng định nào đây đúng? A Hàm số đồng biến trên khoảng  0;1 B Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  C Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0  và 1;  D Hàm số đồng biến trên khoảng 1;  Câu 30   (HSG Bắc Ninh 2019) Giá trị nhỏ hàm số f  x   x  e2 x trên đoạn  1; 2 bằng: A 2e4 B e2 C 2e D 2e2 Câu 31 Giá trị nhỏ hàm số y  x 1   x trên  1;0 A B C 2 D Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 18 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Tìm tập xác định hàm số mũ - logarit Hàm số mũ Dạng: x a  với  ya a  ya u Tập xác định: D   Hàm số logarit Dạng: y  log a x a  với  y  log a u a   y  ln x ; a  10   y  log x  lg x Đặc biệt: a  e  Điều kiện xác định: u  Câu  tập xác định là  A m  Câu  (Mã 105 2017) Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  log x  x  m  có B m  C m  D m    (Mã 104 2017) Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  ln x  x  m  có tập xác định là  A  m  C m  B m  1 m  D m  Câu Hàm số y  ln  x  mx  1 xác định với giá trị x Câu  m  2 A  B m  C 2  m  D m  m  (THPT Cẩm Giàng 2019) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số xác định trên khoảng  0;   y m log x  log x  m  A m   ; 4   1;   C m   4;1 Câu Câu Câu B m  1;   D m  1;   Tìm tất các giá trị m để hàm số y  ln   x  mx  2m  1 xác định với x  1;  3 A m   B m  C m  D m   4 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên -2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  log( x  x  m  1) có tập xác định là  A m  4 B m  C m  4 D m  3 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m trên  2018; 2018 để hàm số y  ln  x  x  m  1 có tập xác định là  ? Câu A 2019 B 2017 C 2018 D 1009 (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  log  x  2mx   có tập xác định là  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 2  m  m  C   m  2 B m  D 2  m  1  Số các giá trị nguyên tham số m để hàm số y  log  mx  m   xác định trên  ;   là 2  A B C Vô số D Câu Câu 10   x2 (Gia Bình 2019) Tìm tất các giá trị m để hàm số y  log 2018  2018 x  x   m  xác   định với giá trị x thuộc 0;   A m  B m   x x C  m  D m   Câu 11 Hàm số y  log   m có tập xác định là  thì 1 B m  C m  D m  4 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tập hợp tất các giá trị tham số m để hàm số 3x  xác định với x   là y log 2018  x  x  m  4m   A m  Câu 12 A  ;1   3;   B (1;3) \ 2 C  ;1 D 1;3 \ 2   x2 Câu 13 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y  log 2018  2017 x  x   m  1 xác   định với x thuộc  0;    ? A B C 2018 D Vô số Câu 14 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y  log x  m xác định trên khoảng  2;3 ? 2m   x A B C D Câu 15 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số y  log 2020  mx  m   xác định trên 1;    A m  Câu 16 (Chuyên Lương B m  Thế Vinh  Đồng C m  1 Nai 2019) Tập D m  1 xác định  y  log 2020 log 2019  log 2018  log 2017 x   là D   a ;   Giá trị a 2019 A 2018 2020 B 2019 2018 C 2017 D Dạng Tính đạo hàm mũ – logarit Đạo hàm hàm số mũ x x y  a   y  a ln a y  au   y  au ln a u Đặc biệt: (e x )  e x (eu )  eu u với e  2,71828 Đạo hàm hàm số logarit Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ hàm số TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y  log a x   y  x ln a u y  log a u   y  u ln a x u (ln u )  u (ln x )  Đặc biệt: Câu Câu ln x , mệnh đề nào đây đúng? x 1 1 A y  xy   B y  xy  C y  xy   D y  xy  x x x x  x  (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số f  x   ln 2018  ln    x 1  (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số y  Tính S  f ' 1  f '    f '  3    f '  2017  A S  Câu 4035 2018 (Sở Vĩnh B S  Phúc 2017 2018 2019) C S  Cho hàm 2016 2017 D S  2017 f  x   ln số 2018 x x 1 Tính tổng S  f  1  f      f   2018  A ln 2018 Câu Câu D 2018 2019 Cho hàm y  x cos  ln x   s in  ln x   Khẳng định nào sau đây đúng? A x y  xy   y   B x y  xy  xy  C x y  xy  y   D x y  xy  y  (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tính đạo hàm hàm số y  log 2019 x , x  A y   Câu C 2018 B 1 x ln 2019 B y   x C y   x ln 2019 D y   x ln 2019 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số f  x   e x  x Biết phương trình f   x   có hai nghiệm x1 , x2 Tính x1.x2 A x1.x2   Câu (Sở Bắc C x1.x2  B x1.x2  Ninh - 2020) Cho hàm D x1 x2  số  x  f  x   ln    x2 Tổng f ' 1  f '    f '     f '  2021 4035 2021 2022 B C 2021 D 2021 2022 2023 (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Phương trình f   x   A Câu 1  f  x   ln  x  x  x   có bao nhiêu nghiệm? 2  A nghiệm B nghiệm C nghiệm với D nghiệm Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu Cho hàm số f  x   ln x 1 x4 Tính giá trị biểu thức P  f     f   3  f      f   2019  2024 2022 2020 B C D 2023 2023 2023 Câu 10 (THPT Minh Khai - 2019) Cho hàm số y  f  x    2m  1 e x  Giá trị m để A f '   ln 3  A m  là B m  C m  3 D m   Dạng Khảo sát hàm số mũ, logarit Sự biến thiên hàm số mũ: y  a x Nếu a  thì hàm đồng biến trên  Nếu  a  thì hàm nghịch biến trên  Sự biến thiên hàm số logarit: y  log a x Nếu a  : hàm đồng biến trên (0;  ) Nếu  a  : hàm nghịch biến trên (0;  ) Đồ thị hàm số mũ và logarit ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT Ta thấy: log a x   a  1; log b x   b  Ta thấy: a x   a  1; b x   b  Ta thấy: log c x  c  1; log d x  d  Ta thấy: c x  c  1; d x  d  So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logb x trước: b  a So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a  b So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c  d Vậy  b  a   d  c Câu So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d  c Vậy  a  b   c  d (Mã 103 - 2020 Lần 2) Hàm số y  log a x và y  logb x có đồ thị hình bên y y  log b x y  log a x x O x1 x2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đường thẳng y  cắt hai đồ thị các điểm có hoành độ là x1; x2 Biết x1  x2 Giá trị a b A Câu B C D Tìm tập hợp tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  ln  x  1  mx  đồng biến trên khoảng  ;   A 1;   Câu B  ; 1 C  1;1 D  ; 1 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Trong hình đây, điểm B là trung điểm đoạn thẳng AC Khẳng định nào sau đây là đúng? B ac  b C ac  2b D ac  b Cho các số thực a , b cho  a , b  , biết đồ thị các hàm số y  a x và y  log b x cắt A a  c  2b Câu điểm M A a  1, b  Câu Câu  2018; 20191 Mệnh đề nào đây đúng? B a  1,  b  C  a  1, b  D  a  1,  b  (Sở Hà Nội 2019) Tập tất các giá trị tham số m để hàm số y  ln  x  1  mx  đồng biến trên  là A  1;1 Câu  B  ; 1 C  1;1 D  ; 1 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Trong hình vẽ bên có đồ thị các hàm số y  a x , y  b x , y  log c x Hãy chọn mệnh đề đúng các mệnh đề sau đây? A a  c  b B c  a  b C a  b  c D b  c  a x (Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho đồ thị ba hàm số y  a , y  b x , y  c x hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu A b  a  c B a  c  b C c  a  b D c  b  a (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ 2019) Cho a, b, c là các số thực dương khác Hình vẽ bên là đồ thị ba hàm số y  log a x, y  logb x, y  logc x Câu Khẳng định nào sau đây là đúng? A a  c  b B a  b  c C c  b  a D c  a  b (Chuyên Thái Bình 2019) Cho a , b, c là các số thực dương khác Hình vẽ bên là đồ thị hàm số y  log a x, y  y  log b x, y  log c x Khẳng định nào sau đây là đúng? A a  b  c Câu 10 B a  c  b C b  a  c D b  a  c ln x  (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y  với m là tham số Gọi S là tập hợp ln x  2m các giá trị nguyên dương m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; e  Tìm số phần tử S A B C D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 m log x  Câu 11 Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  nghịch biến trên  4;  log x  m  A m  2 m  B m  2 m  C m  2 m  D m  2 Câu 12 1 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  log 2018   có đồ thị  C1  và hàm số y  f  x  có đồ thị  x  C2  Biết  C1  và  C2  đối xứng nhanh qua gốc tọa độ Hỏi hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng nào đây? A  0;1 B  1;0  C  ; 1 D 1;   (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số ln x  m   2019; 2019 để hàm số y  đồng biến trên khoảng 1;e6  ? ln x  3m A 2020 B 2021 C 2018 D 2019 Câu 14 (Chuyên Hưng Yên 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn Câu 13  2018;2018 để hàm số A 2016 Câu 15 y  f  x    x  1 ln x    m  x đồng biến trên khoảng  0;e  B 2022 C 2014 D 2023   (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho f  x   a ln x  x   b sin x  với a, b   Biết f  log  log e    Tính giá trị f  log  ln10   A 10 B C D Câu 16 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho a, b, c dương và khác Các hàm số y  log a x , y  log b x , y  log c x có đồ thị hình vẽ Khẳng định nào đây đúng? A a  c  b B a  b  c C c  b  a D b  c  a Câu 17 Đồ thị hàm số y  f  x  đối xứng với đồ thị hàm số y  a x  a  0, a  1 qua điểm I 1;1 Giá trị   biểu thức f   log a  2018   A 2016 B 2016 C 2020 D 2020 Câu 18 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Trong hình vẽ bên các đường cong  C1  : y  a x ,  C2  : y  b x ,  C3  : y  c x và đường thẳng y  4; y  tạo thành hình vuông MNPQ có cạnh Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x x tối giản, giá trị x  y y B C 43 Biết abc  y với x; y    và A 34 Câu 19 D 19 ( Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho hàm số y  f  x Hàm số y  f ' x có đồ thị hình vẽ Hàm số y  f 2  e x  nghịch biến trên khoảng A 1; 3 B 2; 1 C ; 0 D 0; + Câu 20 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m   2019; 2019 để hàm số y  ln x  đồng biến ln x  3m trên khoảng 1; e  ? A 2020 Câu 21 B 2021 C 2018 D 2019 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên 1 Hàm số g  x     2 A  ;0  Câu 22 f 1 x  nghịch biến trên khoảng nào các khoảng sau? B  0;1 C  1;0  D 1;   (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Xét hàm số f  x    cosx  sin x Mệnh đề nào sau đây là đúng?   A Hàm số f tăng trên khoảng  0;   2    C Hàm số f giảm trên khoảng   ;   2    B Hàm số f tăng trên khoảng   ;    D lựa chọn sai Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 23 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m đoạn  2019; 2019 để hàm số y  ln  x    mx  đồng biến trên  A 2019 B 2020 C 4038 D 1009 Câu 24 Gọi  C  là đồ thị hàm số y  log 2018 x và  C  là đồ thị hàm số y  f  x  ,  C  là đối xứng với  C  qua trục tung Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào sau đây? A  0;1 B  ; 1 Câu 25 Có bao nhiêu giá trị thực m để hàm số g  x   A Duy B Không tồn C  1;0  D 1;   2019 x 6x m   x  x đồng biến trên  ln 2019 ln C 2019 D Vô số Câu 26 Tập các giá trị tham số m để hàm số y  ln  3x  1  m  đồng biến trên khoảng  ;   x 2  là       2  A  ;   B   ;   C   ;   D   ;   9        Câu 27 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho các hàm số y  log a x và y  log b x có đồ thị hình vẽ bên Đường thẳng x  cắt trục hoành, đồ thị hàm số y  log a x và y  log b x A, B và C Nếu AC  AB log thì A b  a B b  a C log3 b  log a D log b  log3 a Câu 28 Trong hình đây, điểm B là trung điểm đoạn thẳng AC Khẳng định nào sau đây là đúng? A a  c  2b B ac  b2 C ac  2b2 D ac  b x Câu 29 Đồ thị hàm số y  f  x  đối xứng với đồ thị hàm số y  a  a  0, a  1 qua điểm I 1;1  Giá trị biểu thức f   log a  2018   A 2016 B 2020 C 2016 D 2020 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 30 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho số thực dương a khác Biết đường thẳng nào song song với trục Ox mà cắt các đường y  4x , y  a x , trục tung M , N và A thì AN  AM ( hình vẽ bên) Giá trị a Câu 31 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Đồ thị hàm số y  f  x  đối xứng với đồ thị A B C D hàm số y  loga x ,   a  1 qua điểm I  2;1 Giá trị biểu thức f   a 2019  A 2023 B 2023 C 2017 D 2017 Câu 32 Cho các hàm số y  log a x và y  logb x có đồ thị hình vẽ bên Đường thẳng x  cắt trục hoành, đồ thị hàm số y  log a x và y  logb x A, B và C Biết CB  AB Mệnh đề nào sau đây là đúng? A a  5b Câu 33 B a  b2 C a  b3 (THPT Đông Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số f  x   D a3  b 4x Tính giá trị biểu thức 4x       100  A f   f     f  ?  100   100   100  149 301 D Câu 34 Tìm tập hợp tất các giá trị tham số thực m đề hàm số y  ln  x 1 mx  đồng biến A 50 B 49 C trên  A 1; 1 B 1; 1 C ; 1 D ; 1 Câu 35 Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc khoảng  2019; 2019  để hàm số sau có tập xác định là D? Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  y  x  m  x   m  1 x  m  2m   log x  m  x   A 2020 B 2021 C 2018 D 2019 Câu 36 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Tập tất các giá trị tham số m để hàm số m ln x  2 nghịch biến trên  e ;   là: ln x  m   m  2  m  2  m  2 A  B  C  m  m  m  y Câu 37 D m  2 (Chuyên Bắc Giang 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc khoảng  2019; 2019  để hàm số y  2019 x  x nghịch biến trên  1; 2  mx 1 A 2020 B 2019 C 2010 D 2011 Câu 38 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Cho a , b là các số thực dương khác 1, đồ thị hàm số y  log a x và y  log b x là  C1  ,  C2  hình vẽ Khẳng định nào sau đây là đúng A b.ea  a.eb B b.ea  a.eb C b.ea  a.eb D a.ea  b.eb Dạng Bài toán thực tế Công thức tính lãi đơn BÀI TOÁN NGÂN HÀNG Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức tiền lãi tính dựa vào tiền gốc ban đầu (tức là tiền lãi kỳ hạn trước không gộp vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn kế tiếp), đây gọi là hình thức lãi đơn Ta có: T  A(1  nr ) với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau kỳ hạn n Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức: hàng tháng tiền lãi phát sinh cộng vào Công thức lãi kép tiền gốc cũ để tạo tiền gốc và tính tiếp thế, đây gọi là hình thức lãi kép Ta có: T  A(1  r )n với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau Mỗi tháng gởi đúng số tiền giống theo hình thức lãi kép kỳ hạn n Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A Nếu đầu tháng khách hàng luôn gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % /tháng thì số tiền họ nhận vốn lẫn lãi sau n tháng là: T A n  r   1 1  r    r Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gởi tiền vào ngân Nếu khách hàng gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng Vào ngày hàng rút hàng ngân hàng tính lãi tháng thì rút X đồng Số tiền thu sau n tháng là: n tháng số tiền cố  r  1  n T  A 1  r   X định r Vay vốn và trả góp (tương tự bài toán 4) Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu Nếu khách hàng vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng Sau đúng tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách đúng tháng, lần hoàn nợ đúng số tiền X đồng Số tiền khách hàng còn nợ sau n tháng là: T  A 1  r  n 1  r  X n 1 r (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong năm 2019, diện tích rừng trồng tỉnh A là 600 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm nào đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đó đạt trên 1000 ? A Năm 2028 B Năm 2047 C Năm 2027 D Năm 2046 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong năm 2019, diện tích rừng trồng tỉnh A là 1000 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm nào đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đó đạt trên 1400 A 2043 B 2025 C 2024 D 2042 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong năm 2019 , diện tích rừng trồng tỉnh A là 900 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm nào đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đó đạt trên 1700 ha? A Năm 2029 B Năm 2051 C Năm 2030 D Năm 2050 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong năm 2019 , diện tích rừng trồng tỉnh A là 800ha Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019 , năm nào đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đó đạt trên 1400ha ? A Năm 2029 B Năm 2028 C Năm 2048 D Năm 2049 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Năm 2020 hãng xe niêm yết giá bán loại xe X là 750.000.000 đồng và dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm 2% giá bán so với giá bán năm liền trước Theo dự định đó năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu ( kết làm tròn đến hàng nghìn )? A 677.941.000 đồng B 675.000.000 đồng C 664.382.000 đồng D 691.776.000 đồng (Mã 103 - 2020 Lần 2) Năm 2020, hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là 800.000.000 đồng và dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm 2% giá bán so với giá bán năm liền trước Theo dự định đó, năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng nghìn)? A 708.674.000 đồng B 737.895.000 đồng C 723.137.000 đồng D 720.000.000 đồng (Đề Tham Khảo 2018) Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0, 4% / tháng Biết không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì sau tháng, số tiền lãi lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau tháng, người đó lĩnh số tiền ( vốn ban đầu và lãi) gần với số tiền nào đây, khoảng thời gian này người đó không rút tiền và lãi xuất không thay đổi? Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Câu Câu 10 A 102.16.000 đồng B 102.017.000 đồng C 102.424.000 đồng D 102.423.000 đồng (Mã 104 2018) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,1% / năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau ít bao nhiêu năm người đó thu (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra? A 11 năm B 12 năm C 13 năm D 10 năm Anh An gửi số tiền 58 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép và ổn định tháng thì lĩnh 61758000đ Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết lãi suất không thay đổi thời gian gửi A 0,8 % B 0,6 % C 0,7 % D 0,5 % (Chuyên Bắc Giang 2019) Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0, 6% /tháng Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau tháng, số tiền lãi nhập làm vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau ít bao nhiêu tháng, người đó lĩnh số tiền không ít 110 triệu đồng (cả vốn ban đầu và lãi), biết suốt thời gian gửi tiền người đó không rút tiền và lãi suất không thay đổi? A 18 tháng B 16 tháng C 17 tháng D 15 tháng Câu 11 Một người lần kỳ trước ầu gửi vào ngân hàng 100 triệu ồng theo thể thức lãi kép (tức là tiền lãi ược cộng vào vốn kỳ kế tiếp) với kì hạn tháng, lãi suất 2% quý Sau úng tháng, người số tiền người ó gửi thêm 100 triệu ó nhận ồng với kỳ hạn và lãi suất trước ó Tổng ược sau năm gửi tiền vào ngân hàng gần với kết nào sau ây? Biết suốt thời gian gửi tiền lãi suất ngân hàng không thay ổi và người ó không rút tiền B 216 triệu C 210 triệu ồng ồng D 220 triệu ồng 212 triệu ồng Câu 12 (KTNL Gia Bình 2019) Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với kỳ hạn tháng, lãi suất 8, 4% năm theo hình thức lãi kép Ông gửi đúng kỳ hạn thì ngân hàng thay A đổi lãi suất, ông gửi tiếp 12 tháng với kỳ hạn cũ và lãi suất thời gian này là 12% năm thì ông rút tiền Số tiền ông An nhận gốc lẫn lãi là: (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) A 62255910 đồng B 59895767 đồng C 59993756 đồng C 63545193 đồng Lời giải Chọn B Đợt I, ông An gửi số tiền P0  50 triệu, lãi suất 8, 4% năm tức là 2,1% kỳ hạn Số tiền gốc và lãi ông thu sau kỳ hạn là: P3  50000000 1.021 Đợt II, ông không rút nên số tiền P3 xem là số tiền gửi ban đầu đợt II, lãi suất đợt II là 3% kỳ hạn Ông gửi tiếp 12 tháng kỳ hạn nên số tiền thu cuối cùng là: 4 P  P3 1.03  50000000 1.021 1.03  59895767 đồng Câu 13 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Ngày 01 tháng 01năm 2017, ông An đem 800 triệu đồng gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,5% tháng Từ đó, tròn tháng, ông đến ngân hàng rút triệu để chi tiêu cho gia đình Hỏi đến ngày 01tháng 01 năm 2018, sau rút tiền, số tiền tiết kiệm ông An còn lại là bao nhiêu? Biết lãi suất suốt thời gian ông An gửi không thay đổi A 800.(1, 005)11  72 (triệu đồng) B 1200  400.(1, 005)12 (triệu đồng) C 800.(1, 005)12  72 (triệu đồng) D 1200  400.(1, 005)11 (triệu đồng) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Ông An gửi 100 triệu vào tiết kiệm ngân hàng theo thể thức lãi kép thời gian khá lâu mà không rút với lãi suất ổn định chục năm qua là 10% / năm Tết năm ông kẹt tiền nên rút hết để gia đình đón Tết Sau rút vốn lẫn lãi, ông trích gần 10 triệu để sắm sửa đồ Tết nhà thì ông còn 250 triệu Hỏi ông đã gửi tiết kiệm bao nhiêu lâu? A 10 năm B 17 năm C 15 năm D 20 năm Câu 15 Một học sinh A 15 tuổi hưởng tài sản thừa kế 200 000 000 VNĐ Số tiền này bảo Câu 14 quản ngân hàng B với kì hạn toán năm và học sinh A nhận số tiền này 18 tuổi Biết 18 tuổi, số tiền mà học sinh A nhận là 231 525 000 VNĐ Vậy lãi suất kì hạn năm ngân hàng B là bao nhiêu? A 8% / năm B 7% / năm C 6% / năm D 5% / năm Câu 16 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Ông Anh gửi vào ngân hàng 60 triệu đồng theo hình thức lãi kép Lãi suất ngân hàng là 8% trên năm Sau năm ông An tiếp tục gửi thêm 60 triệu đồng Hỏi sau 10 năm kể từ lần gửi đầu tiên ông An đến rút toàn tiền gốc và tiền lãi là bao nhiêu? (Biết lãi suất không thay dổi qua các năm ông gửi tiền) A 231,815 (triệu đồng) B 197, 201 (triệu đồng) C 217,695 (triệu đồng) D 190, 271 (triệu đồng) Câu 17 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Một người tháng đặn gửi vào ngân hàng khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% tháng Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số tiền nào các số sau A 613.000 đồng B 645.000 đồng C 635.000 đồng D 535.000 đồng Câu 18 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Anh Nam gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn là quý với lãi suất 3% quý Sau đúng tháng anh Nam gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất trước đó.Hỏi sau năm số tiền (cả vốn lẫn lãi) anh Nam nhận là bao nhiêu? ( Giả sử lãi suất không thay đổi) A 218, 64 triệu đồng B 208, 25 triệu đồng C 210, 45 triệu đồng D 209, 25 triệu đồng (Chuyên Sơn La 2019) Ông A gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0, 5% / tháng Hỏi sau ít bao nhiêu tháng thì ông A có số tiền gốc lẫn lãi nhiều 60 triệu đồng? Biết suốt thời gian gửi, lãi suất ngân hàng không đổi và ông A không rút tiền A 36 tháng B 38 tháng C 37 tháng D 40 tháng Câu 20 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Một người gửi 300 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% / năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau năm số tiền lãi Câu 19 nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau ít bao nhiêu năm, người đó nhận số tiền nhiều 600 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền A năm B 10 năm C 11 năm D 12 năm Câu 21 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Anh Bảo gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn là quý, với lãi suất 1,85% quý Hỏi thời gian tối thiểu bao nhiêu để anh Bảo có ít 36 triệu đồng tính vỗn lẫn lãi? A 16 quý B 20 quý C 19 quý D 15 quý Câu 22 (Sở Bắc Giang 2019) Ông An gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,8%/ tháng Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau tháng số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho tháng và từ tháng thứ hai trở đi, tháng ông gửi them vào tài khoản với số tiền triệu đồng Hỏi sau đúng năm số tiền ông An nhận gốc lẫn lãi là bao Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 nhiêu? Biết suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông An không rút tiền (kết làm tròn đến hàng nghìn) A 169.871.000 đồng B 171.761.000 đồng C 173.807.000 đồng D 169.675.000 đồng Câu 23 Năm 2020, hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là 900.000.000 đồng và dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm 2% giá bán so với giá bán năm trước Theo dự định đó, năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bảo nhiêu ( kết làm tròn đến hàng nghìn)? A 810.000.000 B 813.529.000 C 797.258.000 D 830.131.000 Câu 24 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Năm 2020 , hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là 850.000.000 đồng và dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm 2% giá bán năm liền trước Theo dự định đó, năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán xe X là bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng nghìn)? A 768.333.000 đồng B 765.000.000 đồng C 752.966.000 đồng D 784.013.000 đồng Câu 25 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Một ngân hàng X , quy định số tiền nhận khách hàng sau n năm gửi tiền vào ngân hàng tuân theo công thức P ( n)  A(1  8%) , đó A là số tiền gửi ban đầu khách hàng Hỏi số tiền ít mà khách hàng B phải gửi vào ngân hàng X là bao nhiêu để sau ba năm khách hàng đó rút lớn 850 triệu đồng (Kết làm tròn đến hàng triệu)? A 675 triệu đồng B 676 triệu đồng C 677 triệu đồng D 674 triệu đồng Câu 26 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Ông tuấn gửi 100 triệu vào ngân hàng với hình thức lãi kép, kỳ hạn năm với lãi suất 8% Sau năm ông rút toàn tiền và dùng để sửa nhà, số tiền còn lại ông tiếp tục gửi ngân hàng với lãi suất lần trước Số tiền lãi ông tuấn nhận sau 10 năm gửi gần với giá trị nào đây? A 46,933 triệu B 34, 480 triệu C 81, 413 triệu D 107, 946 triệu Câu 27 ni , (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Dân số giới ước tính theo công thức S  Ae đó A là dân số năm lấy mốc, S là dân số sau n năm, i là tỷ lệ tăng dân số hàng năm Biết năm 2005 dân số thành phố Tuy Hòa là khoảng 202.300 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47% Hỏi với mức tăng dân số không đổi thì đến năm bao nhiêu dân số thành phố Tuy Hòa đạt 255.000 người? A 2020 B 2021 C 2023 D 2022 Câu 28 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Số ca nhiễm Covid – 19 cộng đồng tỉnh vào ngày thứ x giai đoạn ước tính theo công thức f  x   A.e rx đó A là số ca nhiễm ngày đầu giai đoạn, r là tỷ lệ gia tăng số ca nhiễm hàng ngày giai đoạn đó và cùng giai đoạn thì r không đổi Giai đoạn thứ tính từ ngày tỉnh đó có ca bệnh đầu tiên và không dùng biện pháp phòng chống lây nhiễm nào thì đến ngày thứ số ca bệnh tỉnh là 180 ca Giai đoạn thứ hai (kể từ ngày thứ trở đi) tỉnh đó áp dụng các biện pháp phòng chống lây nhiễm nên tỷ lệ gia tăng số ca nhiễm hàng ngày giảm 10 lần so với giai đoạn trước Đến ngày thứ giai đoạn hai thì số ca mắc bệnh tỉnh đó gần với số nào sau đây? A 242 B 16 C 90 D 422 Câu 29 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Anh Việt vay tiền ngân hàng 500 triệu đồng mua nhà và trả góp hàng tháng Cuối tháng tháng thứ anh trả 10 triệu đồng và chịu lãi suất là 0, 9% / tháng cho số tiền chưa trả Với hình thức hoàn nợ thì sau bao lâu anh Việt trả hết số nợ ngân hàng? A 65 tháng Câu 30 B 66 tháng C 67 tháng D 68 tháng (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Dân số giới ước tính theo công thức S  A.eni , đó A là dân số năm lấy làm mốc, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 năm Dân số Việt Nam năm 2019 là 95,5 triệu người, tỉ lệ tăng dân số năm từ 2009 đến là 1,14% Hỏi dân số Việt Nam năm 2009 gần với số nào các số sau? A 94, triệu người B 85, triệu người C 86, triệu người D 83,9 triệu người (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Ông An dự định gửi vào ngân hàng số tiền với lãi suất không đổi là 7% năm Biết sau năm số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, x   ) ông An gửi vào ngân hàng để sau năm số tiền lãi đủ mua xe gắn máy giá trị 45 triệu đồng A 200 B 190 C 250 D 150 Câu 32 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Để dự báo dân số quốc gia, người ta sử dụng công thức S  Ae nr ; đó A là dân số năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng Câu 31 dân số hàng năm Năm 2017, dân số Việt nam là 93.671.600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất Thống kê, Tr 79) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là 0,81%, dự báo dân số Việt nam năm 2035 là bao nhiêu người (kết làm tròn đến chữ số hàng trăm)? A 109.256.100 B 108.374.700 C 107.500.500 D 108.311.100 Câu 33 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Để quảng bá cho sản phẩm A, công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình Nghiên cứu công ty cho thấy: sau n lần quảng cáo phát thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức P  n  Hỏi cần phát ít bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản  49e0,015n phẩm đạt trên 30%? A 202 B 203 C 206 D 207 Câu 34 (Sở Hà Nội 2019) Cường độ ánh sáng qua môi trường nước biển giảm dần theo công thức I  I 0e  x , với I0 là cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu vào môi trường nước biển và x là độ dày môi trường đó ( x tính theo đơn vị mét) Biết môi trường nước biển có số hấp thụ là   1,4 Hỏi độ sâu 30 mét thì cường độ ánh sáng giảm bao nhiêu lần so với cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu vào nước biển? B e42 lần C e21 lần D e42 lần A e21 lần Câu 35 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Một người thả lá bèo vào chậu nước Sau 12 giờ, bèo sinh sôi phủ kín mặt nước chậu Biết sau lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi Hỏi sau thì bèo phủ kín mặt nước chậu (kết làm tròn đến chữ số phần thập phân) A 9,1 B 9,7 C 10,9 D 11,3 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT Chuyên đề 18 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Tính toán liên quan đến logarit dùng đẳng thức  Định nghĩa logarit: Cho hai số thực dương a , b với a  1, α  log a b  a α  b :  Các tính chất logarit: Cho ba số thực dương a, b, c với  a, b, c  log a b  log c b log a b ; log a b  log a c  log a bc; log a b  log a c  ; log a a log a c log a b.log b c  log a c 0  a  1; b  0  Phương trình mũ a x  b  x  log a b  Cách giải phương trình mũ có dạng α1a x  α2 ab  α3b x  đó αi i  1, 2,3 là hệ số, x số  a , b  2x x a a B1: Biến đổi phương trình dạng: 2α1    α2    α3  *  b   b  x a B2: Đặt ẩn phụ    t , t  , phương trình * trở thành α1t  α2t  α3   b  B3: Giải tìm t thỏa mãn t  x a B4: Giải phương trình mũ    t Tìm x  b  Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho log x  log y  log  x  y  Giá trị y là các số thực dương thỏa mãn x y 3 C log   D log 2 2 (Chuyên Lào Cai - 2020) các số thực a , b , c thỏa mãn (a  2)  (b  2)  (c  2)  và A Câu x, B 2 a  3b   c Khi đó a  b  c A Câu B C 2 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho x  4 x  Khi đó biểu thức P  a là phân số tối giản và a, b   Tích a.b có giá trị b A 10 B 8 C Câu D  x  2 x a  với x x b  4.2  4.2 D 10 (Sở Ninh Bình 2019) Cho a , b , c là các số thực khác thỏa mãn 4a  9b  6c Khi đó A B C c c  a b D Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu Biết a  log 30 10 , b  log 30 150 và log 2000 15000  nguyên, tính S  x1a  y1b  z1 với x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y ; z là các số x2 a  y2b  z2 x1 x2 D S  log x y  log y x Câu Cho các số thực dương x, y khác và thỏa mãn  log x  x  y   log y  x  y   Giá trị x  xy  y A S  A Câu B S  C S  B C Cho các số thực dương a , b thỏa mãn D log a  log b  log a  log b  100 và log a , log b , log a , log b là các số nguyên dương Tính P  ab A 10164 Câu Câu C 10 200 D 10144 mb  nac Cho log  a; log  b; log  c Biết log 24 175  Tính A  m  2n  p  4q pc  q A 27 B 25 C 23 D 29  log12 x  log12 y Cho x , y là các số thực lớn thoả mãn x  y  xy Tính M  log12  x  y  A M  Câu 10 Cho B 10100 B M    f  x   a ln x  x   b sin x  C M  với D M  a , b   Biết f log log e  Tính f log ln10 A B 10 x C D -x a 6+3(3 +3 ) a = với là phân số tối giản Tính P  a.b x+1 1-x b 2-3 -3 b A P  10 B P  45 C P  10 D P  45 a Câu 12 Cho hai số thực dương a, b thỏa log a  log b  log9  a  b  Tính b Câu 11 Cho x + 9-x = 14 và 1  x Câu 13 Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log x  log y  log  x  y  Tính tỉ số ? y x x x x A  B  C  D  y y y y 1 1 A B 1 C Câu 14 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log 25 1  D x x y x a  b  log15 y  log9 và  , với a , y b là các số nguyên dương, tính a  b A a  b  14 B a  b  C a  b  21 D a  b  34 * Câu 15 Cho dãy số  un  thỏa mãn log3  2u5  63  2log  un  8n  8 , n   Đặt S n  u1  u2   un Tìm số nguyên dương lớn n thỏa mãn un S2 n 148  u2n Sn 75 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 18 B 17 D 19 C 16 Dạng Bài toán tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ mũ – loagrit (sử dụng phương pháp bất đẳng thức – biến đổi)  Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)  a, b  0, thì a  b  ab Dấu "  " xảy khi: a  b  a, b, c  0, thì a  b  c  3 abc Dấu "  " xảy a  b  c  ab  abc Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.b    và a.b.c          Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki) a b  a, b, x, y, thì: (a.x  b y )  (a  b )( x  y ) Dấu "  "   x y  a, b, c, x, y, z thì: (a.x  b y  c.z )  (a  b  c )( x  y  z ) Dấu "  " xảy và khi: a b c    x y z Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x  b y  (a  b )(x  y ) Hệ Nếu a, b, c là các số thực và x, y, z là các số dương thì: a b (a  b) a b2 c (a  b  c)      và : bất đẳng thức cộng mẫu số x y x y x y z x y z Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét các số thực dương a, b, x, y thoả mãn a  1, b  và ax  by  ab Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y thuộc tập hợp nào đây? A 1;2 Câu  5 B  2;   2 C 3;  5  D  ;3  2  (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có bao nhiêu số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log ( x  y )  log  x  y  ? A Câu B C D Vô số (Mã 103 2018) Cho a  0, b  thỏa mãn log a 5b 1 16a  b2  1  log8ab 1  4a  5b  1  Giá trị a  2b A Câu B 27 C 20 D (Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A Câu 33 B 65 Xét các số thực x, y thỏa mãn x P C  y 1 49 D 57   x  y  x   x Giá trị nhỏ biểu thức 4y gần với số nào đây? 2x  y 1 A 2 B 3 C 5 D 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu Cho các số thực x , y thỏa mãn bất đẳng thức log x2 9 y2  x  y   Giá trị lớn biểu thức P  x  y là A Câu B  10 C  10 D  10 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho các số thực a, b thay đổi, thỏa mãn a  , b  Khi biểu thức P  log 3a b  log b  a  9a  81 đạt giá trị nhỏ thì tổng a  b A  Câu (Chuyên B  Trần Phú Hải C  Phòng 2019) Cho D  các số thực a, b, c  b  1;  c  Gọi là giá trị nhỏ M 8 b  c  P  log a     logb     log c a Khẳng định nào sau đây đúng? 16  16   16   a  1; A Câu  M  B M  C M  thỏa mãn biểu thức D M  Cho các số thực a, b, m, n cho 2m  n  và thoả mãn điều kiện: log  a  b     log  3a  2b   4  9 m.3 n.3 m  n  ln  2m  n    1  81    Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  A  2  a  m  b  n B C 2 D  b  1;  c  Gọi M là giá trị nhỏ 8 b  c  biểu thức P  log a     logb     log c a Khẳng định nào sau đây đúng? 16  16   16  Câu 10 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn  a  1; A Câu 11  M  B M  C M  D M  (Chuyên Lam Sơn - 2020) Xét các số thực dương a , b, c lớn ( với a  b ) thỏa mãn  log a c  logb c   25log ab c Giá trị nhỏ biểu thức log b a  log a c  log c b A B C 17 D Câu 12 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Xét các số thực dương a , b , x , y thỏa mãn a  1, b  và a x  b 3y  a b Biết giá trị nhỏ biểu thức P  xy  x  y có dạng m  n 165 (với m, n là các số tự nhiên), tính S  m  n A 58 Câu 13 B 54 C 56 D 60 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x, y thỏa mãn log  x  1  log  y  1  Khi biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ thì 3x  y  a  b với a, b  Tính T  ab ? A T  B T  C T  D T  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Cho 2020) a  0, b  thỏa mãn log a 5b 1 16a  b  1  log8ab 1  4a  5b  1  Giá trị a  2b A Câu 15 27 B 20 D (Chuyên Sơn La - 2020) Cho a, b, c là các số thực lớn Giá trị nhỏ biểu thức P 4040 1010 8080   log bc a log ac b 3log ab c A 2020 Câu 16 C B 16160 C 20200 D 13130 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho a, b, c là các số thực dương khác thỏa mãn c c  log b  Gọi M , m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ b b P  log a b  logb c Giá trị biểu thức S  3m  M log 2a b  log b2 c  log a A 16 Câu 17 y2 4 đạt giá trị nhỏ x  x0 , y  y0 Đặt T  x0  y0 mệnh đề nào sau đây đúng A T  131 B T  132 C T  129 D T  130 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn abc  10 Biết giá trị lớn biểu thức F  log a.log b  log b.log c  log c.log a giản Tổng m  n A 13 B 16 Câu 19 D (Sở Hưng Yên - 2020) Cho các số thực x, y  và thỏa mãn điều kiện xy  Biểu thức P  log x x  log y Câu 18 C 6 B (Lê Lai - m m với m , n nguyên dương và tối n n C Thanh Hóa - 2020) D 10 Cho a  0, b  thỏa mãn log10 a 3b 1  25a  b  1  log10 ab 1 10a  3b  1  Giá trị biểu thức a  2b bằng? A Câu 20 B 11 C D 22 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho các số thực dương a; b; c khác thỏa mãn c c  log a Gọi M , m là giá trị lớn và giá trị nhỏ b ab P  log a ab  log b bc Tính giá trị biểu thức S  2m2  9M log 2a b  log b2 c  logb A S  28 Câu 21 (Lý B S  25 Nhân Tông - Bắc C S  26 Ninh - 2020) D S  27 Cho a  0, b  thỏa mãn log a5 b1 (16a  b  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  Giá trị a  2b A Câu 22 B C 27 D 20 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Xét các số thực a, b, x, y thỏa mãn a  1, b  và ax  by  a Giá trị lớn biểu thức P  x  y thuộc tập nào đây? b Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  1 A  0;   2 Câu 23 1  B  1;   2   3 C 1;   2 3  D  ;  2  (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho biểu thức P  y  x 3 (1  x  y 1 )  2 x  y 1 và biểu thức Q  log y 3 x y Giá trị nhỏ y để tồn x đồng thời thỏa mãn P  và Q  là số y0 Khẳng định nào sau đây là đúng ? A y0  là số hữu tỷ B y0 là số vô tỷ C y0 là số nguyên dương Câu 24 D y0  là số tự nhiên chẵn (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho dãy số  un  có số hạng đầu u1  thỏa mãn log 22  5u1   log 22  7u1   log 22  log 22 và un 1  7un với n  Giá trị nhỏ n để un  1111111 bằng: B A 11 Câu 25 C D 10 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x, y thỏa mãn log  x  1  log  y  1  Khi biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ thì 3x  y  a  b với a, b   Tính T  ab A T  B T  C T  D T  Câu 26 Xét các số thực a , b , c  thỏa mãn 3a  5b  15 c Giá trị nhỏ biểu thức P  a  b2  c2  4(a  b  c) thuộc tập hợp nào đây? A  1;  C  2;  B  5; 1 D  4;6  Câu 27 Xét các số thực dương a , b , c , x , y , z thỏa mãn a  , b  , c  và a x  b y  c z  abc Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z  A 10;13 B  7;10  thuộc tập hợp nào đây? C 3;5  D 5;7  2 Câu 28 Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a  1, b  và a x  b y  a.b Giá trị nhỏ biểu thức P  x y là A P  B P  C P  Câu 29 Xét các số thực dương a , b, x, y thỏa mãn a  1, b  và a D P  x2 y b y2 x  ab Giá trị nhỏ biểu thức P  x y là A P  B P  C P  D P  Câu 30 Xét các số thực dương a , b, c, x , y , z thỏa mãn a  1, b  1, c  1, y  và a x 1  b y   c z 1  abc Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z là A P  13 B P  C P  D P  Dạng Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải các bài toán logarit Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên  a; b  thì * u; v   a; b  : f  u   f  v   u  v Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 * Phương trình f  x   k  k  const  có nhiều nghiệm trên khoảng  a; b  Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên  a; b  , đồng thời lim f  x  lim f ( x)  thì phương trình f  x   k  k  const  có nghiệm trên  a; b  xa x b Tính chất logarit: 1.1 So sánh hai logarit số: Cho số dương a  và các số dương b, c 1.2 Hệ quả: Cho số dương a  và các số dương b, c  Khi a  thì log a b  loga c  b  c  Khi a  thì log a b   b   Khi  a  thì log a b  loga c  b  c  Khi  a  thì log a b   b   log a b  loga c  b  c Logarit tích: Cho số dương a, b1 , b2 với a  , ta Logarit thương: Cho số dương a, b1 , b2 với a  , ta có log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2 có log a b1  log a b1  log a b2 b2 Đặc biệt: với a, b  0, a  log a Logarit lũy thừa: Cho a, b  0, a  , với  , ta có Công thức đổi số: Cho số dương a, b, c với a  1, c  , ta có log a b   log a b Đặc biệt: log a n b    log a b b log a b  log a b ( n nguyên dương) n Đặc biệt: log a c  log c b log c a 1 và log a b  log a b với  log c a   Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 55 Câu C 29 B 28 D 56 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 728 số   nguyên y thỏa mãn log x  y  log3 ( x  y ) ? A 59 Câu B 58 C 116 D 115 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 89 Câu B 46 C 45 D 90 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A Câu 65 B 33 C 49 D 57 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 và log 3 x  3  x  y  y ? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 2019 Câu B D C 2020 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A Câu 33 B C 21 D 41 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 80 Câu B 79 C 157 D 158 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y 33 21 41 B C D 8 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  m, n  cho m  n  16 và ứng với A Câu   cặp  m, n  tồn đúng số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? A 16 Câu 10 C 15 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Xét các số thực thỏa mãn biểu thức P  A Câu 11 B 14 D 13 x  y 1   x  y  x   x Giá trị lớn 2 8x  gần với giá trị nào sau đây nhất? 2x  y  B C D (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  m; n  cho m  n  10 và ứng với   cặp  m; n  tồn đúng số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? A Câu 12 B C 10 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x , y thỏa mãn x biểu thức P  A D  y 1   x  y  x   x Giá trị nhỏ 8x  gần với số nào đây 2x  y  B C D Câu 13 Có bao nhiêu cắp số nguyên dương  m, n  cho m  n  14 và ứng với cặp  m, n  tồn   đúng ba số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? A 14 Câu 14 B 12 C 11 D 13 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m, n) cho m  n  12 và ứng với cặp (m, n) tồn đúng số thực a  (1,1) thỏa mãn a m  n ln( a  a  1) ? A 12 Câu 15 B 10 C 11 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x và y thỏa mãn x lớn biểu thức P  A D  y 1   x  y  x   x Giá trị 4y gần với số nào đây? 2x  y 1 B C D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 16  xy (Mã 123 2017) Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log  xy  x  y  Tìm giá trị x  2y nhỏ Pmin P  x  y Câu 17 A Pmin  11  3 B Pmin  11  19 C Pmin  18 11  29 21 D Pmin  11  19 (Mã 110 2017) Xét các số thực dương a, b thỏa mãn log  ab  2ab  a  b  Tìm giá trị ab nhỏ Pmin P  a  2b A Pmin  Câu 18 10  B Pmin  10  C Pmin  10  2 10  D Pmin  (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn  x y  ln     ln  x  y  .5  2ln Tìm giá trị lớn biểu thức P  ( x  1) ln x  ( y  1) ln y A Pmax  10 Câu 19 C Pmax  x y   x  1 y  1   Tìm giá trị nhỏ P  x  y  xy A B C a  log a đạt giá trị lớn b  a k Khẳng định nào sau đây là sai log ab a b A k   2;3 B k   0;1 C k  0;1 Câu 21 Cho hai số thực a, b thỏa mãn log a  4b 1  2a  8b   Tính P  đạt giá trị lớn A B 13 C 13  3 D k   0;   2 a biểu thức S  4a  6b  b D (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho a , b là các số dương thỏa mãn b  và a nhỏ biểu thức P  log a a  log b   b b A B C Câu 23 D (Chuyên Hạ Long 2019) Cho các số thực a, b thỏa mãn a  b  Biết biểu thức P Câu 22 D Pmax  ln (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho các số thực x, y thỏa mãn  x, y  và log Câu 20 B Pmax  17 44 a  b  a Tìm giá trị D (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn  4a  2b   2 log5    a  3b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a  b  ab  A B C D 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 24 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Với hai số thực a, b bất kì, ta kí hiệu f  a ,b   x   x  a  x  b  x   x  Biết luôn tồn số thực x0 để f  a ,b   x   f  a ,b   x0  với số thực a, b thỏa mãn ab  ba và  a  b Số x0 xR B 2,5 A 2e  Câu 25 C e D 2e (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số thực a  1, b  Biết phương trình a xbx 1  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức  xx  S      x1  x2   x1  x2  A 3 Câu 26 C 3 B D   (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho x , y là các số thực lớn cho y x e x ey ex  x y ey  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  log x xy  log y x 2 A B 2 C Câu 27 Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log3 1 2 D 1 2 1 y  3xy  x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin x  3xy P  x  y Câu 28 A Pmin  34 (Chuyên Vĩnh B Pmin  Phúc 34 2019) Xét C Pmin  các số 34 thực 34 D Pmin  dương x, y thỏa mãn thỏa mãn log x  log y  log  x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P  x  y 2 A Pmin  Câu 29 (Chuyên C Pmin  B Pmin  Vĩnh Phúc 2019) Cho x, y là 25 các D Pmin  số thực 17 dương log 2019 x  log 2019 y  log 2019  x  y  Gọi Tmin là giá trị nhỏ biểu thức T  x  y Mệnh đề nào đây đúng? A Tmin   7;8 Câu 30 B Tmin   6;7  (Mã 105 2017) Xét hàm số f  t   C Tmin   5;  D Tmin   8;9  9t với m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất các 9t  m2 giá trị m cho f  x   f  y   với số thực x , y thỏa mãn e x y  e  x  y  Tìm số phần tử S A Câu 31 B Vô số C D (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  , có bảng biến thiên hình vẽ và có đạo hàm cấp hai f   x   0,  x   Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Gọi a, b, c, n là các số thực và biểu thức: P   e f a e f b e f c    abc    f    1 Khẳng 2    định đúng với a, b, c, n   là B  3e  P  A  P  Câu 32 C P  D P   3e x x (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f ( x)   Gọi m0 là số lớn các số 12 nguyên m thỏa mãn f (m)  f (2m  )  Mệnh đề nào sau đây đúng? A m0  1513; 2019  Câu 33 B m0  1009;1513 C m0  505;1009  D m0  1;505  (Việt Đức Hà Nội 2019) Tìm tất các giá trị tham số m đề đồ thị hàm số y  m log22 x  2log x  2m  cắt trục hoành điểm có hoành độ thuộc khoảng 1;   Câu 34  1   A m   ;       2    1  B m    ;0       2  1   C m   ;      2 2    1  D m   ;0      2 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho x; y là hai số thực dương thỏa mãn x  y và y x x2  y2  x   y  Giá trị nhỏ biểu thức P  2  x   2  y  xy  y 2     A Câu 35 13 B C  D (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 x 2 x  y   log      xy   Khi x  y đạt giá trị nhỏ nhất, y x y 1 A B C D  Câu 36  (Chuyên Hưng Yên - 2020) Biết phương trình x  ax  bx  cx   có nghiệm Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a2  b2  c2 A Tmin  B Tmin  C Tmin  D Tmin  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 37 (Chuyên KHTN - Cho 2020) x, y là các 3x  y    x  y  1 x  y  1   xy  1 Giá x2  y2 5x  y  P 2x  y 1 A B C log Câu 38 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho các số thực số trị thực lớn dương thỏa mãn biểu thức D x, y thỏa  x, y  mãn và  x y  log3    x  y    Tìm giá trị nhỏ P với P  2x  y   xy  A B C D  Câu 39   (Chuyên Chu Văn An - 2020) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  A Câu 40 B x  4y  x  y  x y x y  xy  y x( x  y)2 C D (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Xét các số thực dương a , b, x, y thỏa mãn a  1, b  2 và a x  b y   ab  Giá trị nhỏ biểu thức P  2 x  y thuộc tập hợp nào đây? A 10;15  Câu 41 B  6;10  D  4;6  C 1;  (Chuyên Lào Cai - 2020) Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log  x  log  y  log   x  y  Biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ bằng: B Pmin  A Pmin  16 Câu 42 33 C Pmin  11 D Pmin  31 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x, y thỏa mãn log  x  1  log  y  1  Khi biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ thì 3x  y  a  b với a, b  Tính T  ab ? A T  Câu 43 B T  C T  D T  (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn log a b2   4a  6b    và 27c.81d  6c  8d  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 P   a  c  b  d  A Câu 44 49 25 (Chuyên B Thái Bình 64 25 - C 2020) Cho hai D số thực dương x, y log x  x  x  y   log   y   x Giá trị nhỏ biểu thức T  x  y là A 16 B 18 C 12 D 20 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 45 (Chuyên log Thái Nguyên Xét B Pmin   các số thực dương a, b thoả mãn C Pmin  1  D Pmin   2 x  (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho các số thực x, y thỏa mãn log    log y  x  y  xy   x Hỏi giá trị nhỏ P  x  y  xy là bao nhiêu? A 30  20 Câu 47 2020)  ab  2ab  a  b  Tìm giá trị nhỏ Pmin P  a  b ab A Pmin  1  Câu 46 - (Sở B 33  22 Bình Phước - Cho 2020) C 24  16 x, y là các D 36  24 số thực dương thỏa mãn log x  log y   log  x  y  Giá trị nhỏ biểu thức x  y A 2  Câu 48 B  D C  (Sở Yên Bái - 2020) Cho các số thực x, y thuộc đoạn  0;1 thỏa mãn 20201 x  y  x  2021 y  y  2022 Gọi M , m là giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức x3  y  x  xy Tính M m A  Câu 49 (Bỉm B 5 Sơn - Thanh Hóa C - 2020) Xét các D 3 số thực dương x y thỏa mãn log x  log y  log  x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P  x  y 2 A Pmin  Câu 50 17 B Pmin  C Pmin  D Pmin  25 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn x  y  xy  và hàm số f  t   2t  3t  Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn và giá trị nhỏ  5x  y   Q f   Tổng M  m  x y4  A 4  Câu 51 B 4  D 4  (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hai số thực a, b lớn Tìm giá trị nhỏ biểu   thức S  log a  a  4b    A Câu 52 C 4  2 4  B log ab b 11 C D (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Với các số thực dương x, y , z thay đổi cho  x  y  2z  log   x  x    y  y    z  z    , gọi giá trị lớn và giá trị nhỏ 2  x y z  biểu thức T  A  x  y  z  x  y  11z  thứ tự là M và m Khi đó M  m bằng: x  y  86 B C  D  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 53 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho các số thực x, y thỏa mãn ln y  ln( x  2)  ln Tìm giá trị nhỏ biểu thức H  e y  x A Câu 54  x2  x2  y2  x ( y  1)  y B C e e D (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 22 xy x y   xy x y Khi P  xy  xy đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức x  y A Câu 55 C B (Tiên Lãng - Hải Phòng - Cho 2020) D x, y là các số log  x  y   log  x   log  y  Khi đó, giá trị nhỏ biểu thức P  31 A Câu 56 B C 29 D dương thỏa mãn x2 y2  là: 1 2y 1 x 32 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho các số thực x, y thay đổi, thỏa mãn x  y  và ln  x  y   ln  xy   ln  x  y  Giá trị nhỏ M  x  y là A 2 Câu 57 B C D 16 (Sở Hà Nội - Lần - 2020) Xét x, y, z là các số thực lớn thỏa mãn điều kiện xyz  Giá trị nhỏ biểu thức S  log32 x  log 32 y  log32 z 1 A B 32 C 16 D Câu 58 Có bao nhiêu số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log3 ( x  y )  log  x  y  ? B A C  x; y  Câu 59 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương D Vô số thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:  x  10 và log 10 x  20 x  20   10 y  y  x  x  ? A Câu 60 Có bao y C B 2  x 2 nhiêu y   5x số nguyên  x 1   x  1 ? A 10 y  10 cho D tồn số nguyên x thỏa mãn C B D Vô số Câu 61 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  x ; y  thoả mãn  x  2020 và y  y  x  log  x  y 1  A 2021 Câu 62 Có bao B 10 nhiêu số  x nguyên  log  x  y   log   log A C 2020 B 3 x cho tồn D 11 số thực  y  1 C D Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ y thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  2x 1  x Câu 63 Có bao nhiêu cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  y  2020 và log    y 1 ?  y  B 11 C 2020 D A 2019 Câu 64 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Xét các số thực a, b, x thoả mãn a logb x  b loga ( x ) a  1, b  1,  x  và Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ln a  ln b  ln(ab) A 1 3 B e C D  3 2 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT Chuyên đề 18 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Tìm tập xác định Hàm số mũ  Dạng: y  ax ya u a  với  a   Tập xác định: D   Hàm số logarit y  log a x a  với  y  log a u a   y  ln x ; a  10   y  log x  lg x  Đặc biệt: a  e   Điều kiện xác định: u   Dạng: Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập xác định hàm số y  log x là A  0;   B  ;   C  0;   D  2;   Lời giải Chọn C Điều kiện xác định hàm số y  log x là x  Vậy tập xác định hàm số y  log x là D   0;   Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x là A  0;    B   ;0 C  0;    D   ;    Lời giải Chọn C Điều kiện: x  Tập xác định: D   0;    Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x là A  0;   B  0;   C  ;0  D  ;   Lời giải Chọn B Điều kiện: x  Vậy tập xác định hàm số đã cho là D   0;   Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x là A (;0) B (0; ) C (; ) D [0;  ) Lời giải Chọn B Điều kiện xác định: x  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tập xác định hàm số y  log x là B  0;   A ( ;0) D  ;   C  0;   Lời giải Chọn C Điều kiện x  Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Tập xác định hàm số y  x là A  C  \ 0 B  0;   D  0;    Lời giải Chọn A Tập xác định hàm số y  x là  Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Tập xác định hàm số y  x là A  D  \ 0 C  0;   B  0;   Lời giải Chọn A Hàm số mũ y  x xác định với x   nên tập xác định là D   Câu A D  (  ; 2)  (3;  ) x3 x2 B D  ( 2; 3) C D  (  ; 2)  [3;  ) D D   \{ 2} (Mã 123 2017) Tìm tập xác định D hàm số y  log Lời giải Chọn A Tập xác định là tập các số x để x  x3    x   x      x2  x  2 Suy D   ; 2    3;   Câu (Đề Minh Họa 2017) Tìm tập xác định D hàm số y  log  x  x  3 A D   ; 1  3;   B D   1;3 C D   ; 1   3;   D D   1;3 Lời giải Chọn C y  log  x  x  3 Hàm số xác định x  x    x  1 x  Vậy tập xác định: D   ; 1   3;   Câu 10 (Mã 104 2017) Tìm tập xác định D hàm số y  log  x  x   A D  1;3  B D   ;1   3;      C D  ;    2;     D D   2;1  3;2  Lời giải Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x  Điều kiện x  x     x  Câu 11   (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tìm tập xác định hàm số y  log 2018 3x  x A D   B D   0;    C D   ;    3;    D D   0; 3 Lời giải Chọn D Hàm số xác định khi: 3x  x   x   0; 3 Vậy D   0; 3 Câu 12 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập xác định y  ln   x  x   là A  2; 3 C  ; 2  3;    B  2; 3 D  ;    3;    Lời giải Chọn B Hàm số xác định và  x  x     x  Vậy tập xác định hàm số là D   2;3 Câu 13 6 x D  6;  (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Tìm tập xác định hàm số y  log A  ;6 C  0;  B  Lời giải Chọn A Điều kiện: Câu 14    x   x  Do đó tập xác định hàm số là  ;6 6 x   (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tập xác định hàm số y  log2  2x  x là A D  (1;1) B D  (1; 3) C D  (3;1) D D  (0;1) Lời giải  Hàm số y  log2  2x  x  xác định khi:  2x  x   3  x  Vậy tập xác định hàm số đã cho là: D   3;1 Câu 15 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Tập xác định hàm số y  log  x  x  3 là A  1;3  B  1;3 C   ;  1   3;    D   ;  1  3;    Lời giải  x  1 Hàm số xác định x  x     x  Vậy D    ;  1   3;    Câu 16 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tìm tập xác định hàm số: y  A  0;   B  0;3 C  ;3 x  log   x  D  0;3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D Điều kiện xác định: x  x    D   0;3  3  x  x  Câu 17  (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Tập xác định hàm số y   ln  x    là A  B  3;   C  0;   D  2;   Lời giải ln  x    x     x  1 x  ĐKXĐ:  x    x   TXĐ: D   3;   Câu 18   (THPT Ba Đình 2019) Tìm tập xác định D hàm số y  log 2019  x   2x  3 3 3   A D   2;    ; 2 2 2   3  C D   ;  D D   2;  2  2019 3 3   B D   2;    ;  2 2   Lời giải 2  x  4  x   Điều kiện có nghĩa hàm số là   2x    x  3 3   Vậy tập xác định hàm số là D   2;    ;  2 2   A D   2;3 B  x    log   x2  là D   3;3 \ 2 C D   3;   Câu 19 Tìm tập xác định hàm số y  D D   3;3 Lời giải x   x   + Điều kiện xác định:  3  x  9  x  + Vậy tập xác định hàm số là: D   3;3 \ 2 Dạng Tìm đạo hàm  Đạo hàm hàm số mũ y  a x   y  a x ln a y  a u   y  au ln a u Đặc biệt: (e x )  e x (eu )  eu u với e  2,71828  Đạo hàm hàm số logarit Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y  log a x   y  x ln a u y  log a u   y  u ln a x u (ln u )  u (ln x )  Đặc biệt: Câu (Đề Tham Khảo 2017) Tìm đạo hàm hàm số y  log x A y  ln10 x x ln10 B y  C y  10ln x D y  x Lời giải Chọn B Áp dụng công thức  log a x   Câu 1 , ta y  xln10 x ln a (Mã 103 - 2019) Hàm số y  x x có đạo hàm là 2 B (2 x  1).2 x  x.ln A x  x.ln C ( x  x).2 x  x 1 D (2 x  1).2 x x Lời giải Chọn B 2 Ta có y '  ( x  x) '.2 x  x.ln  (2 x  1).2 x  x.ln Câu x (Mã 104 - 2019) Hàm số y  A  x  1 3x x  x có đạo hàm là  B x  x 3x  x 1 2 C  x  1 3x  x.ln D 3x  x.ln Lời giải Chọn C 2 Ta có: a u   u.a u ln a nên 3x  x '   x  1 3x  x.ln    Câu  (Đề Minh Họa 2017) Tính đạo hàm hàm số y  13x A y  13x ln13 B y  x.13x 1 C y  13x ln13 D y  13x Lời giải Chọn C Ta có: y  13x ln13 Câu (Mã 110 2017) Tính đạo hàm hàm số y  log2  2x  1 A y   x  1 ln B y   x  1 ln C y  2x 1 D y  2x 1 Lời giải Chọn A Ta có y   log  x  1    x  1   x  1 ln  x  1 ln Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Đề Minh Họa 2017) Tính đạo hàm hàm số y  A y '  C y '    x  1 ln 2   x  1 ln 2x   x  1 ln B y '  2x 22 x   x  1 ln D y '  x 1 4x 2x Lời giải Chọn A  x  1 4x   x  1  x  Ta có: y '   Câu 4  x x 1  x.ln  ln  4  x   x   x  1 x.ln 4  x  x.2 ln  ln   x  1 ln  4x 22 x (Đề Tham Khảo 2019) Hàm số f  x   log  x  2x  có đạo hàm ln x  2x A f '  x   C f '  x    2x  2 ln 2 x  2x B f '  x    x  2x  ln D f '  x   2x   x  2x  ln 2 Lời giải Chọn D f ' x  Câu x x  2x  '  2x  ln  2x   x  2x  ln 2 (Mã 101 - 2019) Hàm số y  x 3 x có đạo hàm là 3 x ln B x 3 x D  x  x  x A  x   x C  x   x 2 3 x ln  x 1 Lời giải Chọn A  y '  2x Câu 3 x  '   x  3 x 3 x ln (Mã 102 - 2019) Hàm số y  3x A  x   3x   3 x C x  x 3x B 3x 3 x 1 2 3 x có đạo hàm là 3 x .ln D  x   3x 3 x .ln Lời giải Chọn D  Ta có: y   3x 3 x    x  3 x2 3 x  .ln  Câu 10 Tính đạo hàm hàm số y = ln 1+ x +1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A y   x 1 1 x 1 B y    x 1 1 x 1  x 1 1 x 1 C y  D y     1 x 1 Lời giải Chọn C Ta có:   y  ln  x  Câu 11   1   x 1   1 x 1  x 1 1 x 1  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Đạo hàm hàm số y  e12 x là A y  2e12 x B y  2e12 x C y   e12 x D y  e12 x Lời giải Chọn B y '  e12 x 1  x  '  2.e12 x Câu 12   (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Đạo hàm hàm số y  log x  x  là: A y '   x  1 ln B y '  x  x 1 2x 1 2x 1 C y '  x  x 1  x  x  1 ln D y '   x  x  1 ln Lời giải Chọn B y' Câu 13 x x 2  x  1 '  x  1 ln  2x 1  x  x  1 ln (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Tính đạo hàm hàm số y  e x A  x  1 e x B  x  1 e x x C  x  1 e2 x 1 x D  x  x  e x 1 Lời giải Chọn B '  e   e  x x2  x Câu 14 x2  x  '  x   x  1 e x x (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hàm số f  x   log  x  1 , tính f  1 A f  1  B f  1  ln C f  1  D f  1  ln Lời giải TXĐ: D   2x f  x   f  1  ln  x  1 ln Câu 15 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Tìm đạo hàm hàm số y  ln 1  e2 x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A y  2e x e 2x  1 B y  e2 x e2 x  C y  2x e 1 D y  2e2 x e2 x  Lời giải  e x   2e x   Ta có: y  ln 1  e     e2 x  e2 x 2x Câu 16 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tính đạo hàm hàm số y  A y   2 x 2x B y  C y   x2 2x D y   Ta có y  Câu 17 ln  x  1  x 2  1 x 2x ln  x  1  2x Lời giải 1  x  x   x  1  x  x 2   1.2 x  x.ln 1  x  x 2   ln  x  1  2x (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Tính đạo hàm hàm số y  log9  x  1 A y   x  1 ln B y  x  x  1 ln C y  x ln x2  D y   ln x2  Lời giải Ta có y  Câu 18 x x 2  1  1 ln  2x 2x x    x  1 ln  x  1 ln  x  1 ln (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Tính đạo hàm hàm số y  e x sin x A e x  sin x  cos x  B e x cos x C e x  sin x  cos x  D e x  sin x  cos x  Lời giải Chọn D y '   e x sin x    e x  sin x  e x  sin x   e x sin x  2e x cos x  e x  sin x  cos x  Câu 19 x 1 là 4x   x  1 ln   x  1 ln B C 2x 2x Lời giải (VTED 2019) Đạo hàm hàm số y  A   x  1 ln 22 x D   x  1 ln 2x Chọn A y  Câu 20  x  1 x   x  1  x  x 4     x  1 ln 22 x (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hàm số y  y' với x  Khi đó  y x   ln x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x A x 1 D x 1  x  ln x   1 y   x   ln x      x   ln x      x   ln x y y x  y y Câu 21 x C  x  ln x Lời giải B  x (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tính đạo hàm hàm số y  x ln x  ex  x1 A y     ln  ln x    x B y  x ln   e x x x  e 1 C y  x ln  x D y  x ln   ex x e x Lời giải 2x    x     ln  ln x    x x e x  e x Ta có y   ln  ln x   Câu 22 (VTED 2019) Đạo hàm hàm số f ( x )  log x  x là A  2x  x  x ln 2 B   x  x ln C  (2 x  2) ln x2  2x D 2x  x  x ln 2 Lời giải Ta có f  ( x)  Câu 23 x x  2x     x ln   2x  x  x ln 2  (Chuyên KHTN 2019) Đạo hàm hàm số f (x)  ln(lnx) là: A f ( x)  C f ( x)  x ln x ln  ln x  B f ( x )  x lnx ln  ln x  D f ( x)  u Áp dụng các công thức  ln u   và ln u ln  ln x  lnx ln  ln x  Lời giải u  ta có f ( x)  u  x ln x ln(ln x) u   Dạng Khảo sát hàm số mũ, logarit  Sự biến thiên hàm số mũ: y  a x Nếu a  thì hàm đồng biến trên  Nếu  a  thì hàm nghịch biến trên   Sự biến thiên hàm số logarit: y  log a x Nếu a  : hàm đồng biến trên (0;  ) Nếu  a  : hàm nghịch biến trên (0;  ) ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ Đồ thị hàm số mũ và logarit ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Ta thấy: log a x   a  1; log b x   b   Ta thấy: a x   a  1; b x   b   Ta thấy: log c x  c  1; log d x  d   So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logb x trước: b  a  So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d  c  Vậy  a  b   c  d  Ta thấy: c x  c  1; d x  d   So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a  b  So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c  d  Vậy  b  a   d  c Câu (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số f  x   x ln x Một bốn đồ thị cho bốn phương án A, B, C, D đây là đồ thị hàm số y  f   x  Tìm đồ thị đó? A Hình B Hình C Hình Lời giải D Hình Chọn B Tập xác định D   0;   Ta có f  x   x ln x  f   x   g  x   ln x  Ta có g 1  nên đồ thị hàm số qua điểm 1;1 Loại hai đáp án B và D  Và lim  g  x    lim ln  x   1 Đặt t  Khi x  thì t   x 0 x 0 x  1  Do đó lim  g  x    lim ln    1   lim ln  t   1   nên loại đáp án A t  t  x 0  t  Câu Cho ba số thực dương a , b, c khác Đồ thị các hàm số y  a x , y  b x , y  c x cho hình vẽ bên Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mệnh đề nào đây đúng? A b  c  a B c  a  b C a  b  c Lời giải D a  c  b Chọn D Đường thẳng x  đồ thị các hàm số y  a x , y  b x , y  c x các điểm có tung độ là y  a , y  b, y  c hình vẽ: Từ đồ thị kết luận a  c  b Câu (Mã 105 2017) Cho hàm số y  a x , y  b x với a, b là hai số thực dương khác 1, có đồ thị là  C1  và  C2  hình bên Mệnh đề nào đây đúng ? A  b   a B  a  b  C  b  a  Lời giải D  a   b Chọn A Theo hình ta thấy hàm y  a x là hàm đồng biến nên a  , còn hàm y  b x là hàm nghịch biến nên  b  Suy  b   a Câu (Chuyên Bắc Giang 2019) Trong các hàm số sau hàm số nào nghịch biến trên  ? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A log3 x e C y    4 Lời giải   B y  log x x 2 D y    5 x Chọn C Hàm số mũ y  a x với  a  nghịch biến trên  x Ta có  Câu e e  nên hàm số y    nghịch biến trên  4 Mệnh đề nào các mệnh đề đây sai?  2018  A Hàm số y       x2 1 đồng biến trên  B Hàm số y  log x đồng biến trên  0;   C Hàm số y  ln   x  nghịch biến trên khoảng  ;0  D Hàm số y  x đồng biến trên  Lời giải Chọn C Hàm số y  ln(  x ) TXĐ D   ;0  Cơ số a  e  đó hàm số đồng biết trên  ;0  Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Hàm số nào đây đồng biến trên tập xác định nó? 1 A y    π x 2 B y    3 x C y   3 x D y   0,5  x Lời giải Chọn C Hàm số y  a x đồng biến trên  và a  Thấy các số Câu ; ; 0,5 nhỏ , còn π 3 lớn nên chọn C (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số y  log x Mệnh đề nào đây sai? x ln B Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận đứng A Đạo hàm hàm số là y   C Tập xác định hàm số là  ;   D Hàm số đồng biến trên khoảng  0;   Lời giải Chọn C Hàm số y  log x có tập xác định là D =  0;   Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Trong các hàm số sau, hàm số nào luôn đồng biến trên ?  2015  A y     2016  x x   2x B y    C y  (0,1)  2016   Lời giải D y  (2016) x Chọn D Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y  (0,1) 2x x   0, 01 , y  (2016) Ta có các số 2015 ; 2016 2x  4064256 x ; 0, 01 nhỏ nên các hàm số A, B, C nghịch biến 2016  trên  Cơ số 4064256  nên hàm số y  (2016) x đồng biến trên  Câu Đường cong hình vẽ bên là đồ thị hàm số nào đây? A y  e x B y  ln x D y  e x C y  ln x Lời giải Đồ thị hàm số qua điểm  e ; 1 và nằm trên và trục hoành nên có hàm số y  ln x thoả mãn Câu 10 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Tìm hàm số đồng biến trên  x   A f  x   B f  x   C f  x    D f  x   x   3 Lời giải x Hàm số f  x   a đồng biến trên  a  và nghịch biến trên   a  x x Vậy hàm số f  x   3x là hàm số đồng biến trên  Câu 11 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  log x Mệnh đề nào đây là mệnh đề sai? A Hàm số đã cho đồng biến trên tập xác định B Hàm số đã cho có tập xác định D   \ 0 C Đồ thị hàm số đã cho có tiệm cận đứng là trục tung D Đồ thị hàm số đã cho không có tiệm cận ngang Lời giải Ta có tập xác định hàm số y  log x là D   0;  Do đó đáp án B sai Câu 12 Cho đồ thị hàm số y  a x và y  logb x hình vẽ Khẳng định nào sau đây đúng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A  a  b B  a   b C  b   a D  a  ,  b  Lời giải Chọn B Xét hàm số y  a x qua  0;1 suy đồ thị hàm số 1 là đồ thị hàm nghịch biến nên  a  Xét đồ thị hàm số y  logb x qua 1;0  suy đồ thị hàm số   là đồ thị hàm đồng biến suy b  Vậy  a   b Câu 13 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến? A y  ln x B y  log 2018 x C y  log  x D y  log  x 1 2019 Lời giải +) y  ln x ; TXĐ: D   0;   e  suy hàm số y  ln x đồng biến trên D +) y  log 2018 2019 1 0 x ; TXĐ: D   0;   2018 2018    1  suy hàm số y  log 1 2019 2019 2018 2019 x là hàm nghịch biến D +) y  log  x ; TXĐ: D   0;     suy hàm số y  log  x đồng biến trên D +) y  log  x ; TXĐ: D   0;     suy hàm số y  log  Câu 14 x đồng biến trên D (Sở Hà Nội 2019) Đồ thị hàm số y  ln x qua điểm  A  1;   B 2; e C  2e ;  D  0;1 Lời giải Với x   y  ln x  ln1  Với x   y  ln x  ln Với x  2e  y  ln x  ln 2e  ln  Với x  , hàm số không xác định Câu 15 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Trong các hàm số sau,hàm số nào luôn nghịch biến trên tập xác định nó? x 1 A y    2 B y  log x C y  2x 2 D y    3 Lời giải x 2 Ta thấy hàm số y    là hàm số mũ có có tập xác định là  số a   nên nghịch biến 3 trên tập xác định nó Ngoài ta có thể loại các đáp án khác cách giải thích cụ thể đặc điểm các hàm đó sau: Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Đáp án A loại vì: Hàm số y    là hàm nên không nghịch biến củng không đồng biến 2 Đáp án B loại vì: Hàm số y  log x là hàm số logarit có tập xác định là D  (0;  ) có số a  10  nên luôn đồng biến trên tập xác định nó Đáp án C loại vì: hàm số y  2x là hàm số mũ có tập xác định là  có số a   Câu 16 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Chọn khẳng định sai các khẳng định sau: A Hàm số y  log x đồng biến trên  B Hàm số y  log x nghịch biến trên tập xác định nó x C Hàm số y  đồng biến trên  D Hàm số y  x có tập xác định là  0;   Lời giải Hàm số y  log x đồng biến trên khoảng  0;   Câu 17 (KTNL GV Bắc Giang 2019) Hàm số nào đây đồng biến trên khoảng (0;   ) ? A y  log x B y  log  x C y  log e x D y  log x Lời giải Chọn A Hàm số y  log a x đồng biến trên khoảng (0;   ) ⇔ a  ⇒ Chọn A Câu 18 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Đồ thị hàm số y  x và y  log x đối xứng với qua đường thẳng y   x B Đồ thị hai hàm số y  e x và y  ln x đối xứng với qua đường thẳng y  x đối xứng với qua trục hoành 2x D Đồ thị hai hàm số y  log x và y  log đối xứng với qua trục tung x Lời giải Chọn B C Đồ thị hai hàm số y  x và hàm số y  Đồ thị hàm số y  a x và đồ thị hàm số y  log a x đối xứng với qua đường phân giác góc phần tư thứ ( y  x ), suy chọn Câu 19 B (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Hàm số nào sau đây có đồ thị hình bên? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A y  log x C y  log  x  1 B y  log x  D y  log3  x  1 Lời giải Đồ thị hàm số qua điểm  0;0  nên loại đáp án A và B Đồ thị hàm số qua điểm 1;1 nên loại D Vậy đáp án C thỏa mãn Câu 20 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Trong các hàm số đây, hàm số nào nghịch biến trên tập số thực R   A y    3 x B y  log   2 x  C y    e Lời giải x  D y  log x x  2 Vì  nên y    nghịch biến trên R e e Câu 21 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Hàm số nào đây nghịch biến trên tập xác định nó? A y  log B y  log x   x 1 C y  log  x   D y    3 x Lời giải Xét hàm số y  log  x có tập xác định: D   0;   Nhận thấy số   nên y  log x nghịch biến trên tập xác định 3x  x  17 Mệnh đề nào sau đây sai? Câu 22 (Chuyên Bắc Giang -2019 Cho hàm số y  ln A Hàm số nghịch biến trên khoảng  ;0  B Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  C Hàm số đạt cực trị x  D Hàm số có giá trị cực tiểu là y  Lời giải Chọn B 3x ln   3x  Ta có: y '  ln x y'    x  Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1 ln TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 23 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên -2019) Đồ thị  L  hàm số f  x   ln x cắt trục hoành điểm A , tiếp tuyến  L  A có phương trình là: A y  x  B y  x  C y  x Lời giải D y  x  Chọn B x Xét phương trình hoành độ giao điểm: ln x   x   A 1;0  TXĐ D   0;   f   x   Vậy phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số  L  điểm A là: y  f (1)  x  1   x  , chọn B Câu 24 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Hàm số y  xe 3x đạt cực đại A x  3e B x  C x  e Lời giải D x  Tập xác định là  y  e3 x 1  3x  Vì e 3 x  0, x   nên dấu y là dấu nhị thức  3x , suy y đổi dấu từ dương sang âm x qua Do đó, x  Câu 25 là điểm cực đại hàm số   (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Hàm số y  log3 x  x nghịch biến trên khoảng nào? A  2;    B   ;0  C 1;    D  0;1 Lời giải Hàm số y  log  x  x  có tập xác định D    ;0    2;    Ta có y  2x  Khi đó y    x   x  x  ln Bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dựa vào bảng biến thiên ta có hàm số y nghịch biến trên   ;0  Câu 26 Cho đồ thị hàm số y  a x và y  log b x hình vẽ Trong các khẳng định sau, đâu là khẳng định đúng A  a  1,  b  B a  1, b  C  b   a D  a   b Lời giải Dựa vào đồ thị ta thấy x    y  đó đồ thị hàm số y  a x có a  Nên ta loại đáp án A và D Ở đồ thị hàm số y  log b x  x  b y ta thấy x    y   đó ta có  b  Câu 27 Hình vẽ bên thể đồ thị ba bốn hàm số y  6x , y  8x , y  Hỏi (C2) là đồ thị hàm số nào? A y  6x B y  x C y  5x 1 và y  x x D y  8x Lời giải Hàm số có đồ thị (C2) là hàm số nghịch biến, đó loại đáp án A,D Cho x  suy Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do đó đồ thị hàm số (C2) là y  x Câu 28 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Giá trị nhỏ hàm số y  ln x trên đoạn x  2;3 A ln B ln 3 e2 Lời giải C D e Chọn A Xét y  f  x   y/  ln x Hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  2;3 x  ln x  ln x ; y/     x  e  2;3 x x2 ln ln  0,3466 ; f  e    0,3679 ; f  3   0,366 , e ln Suy Min f  x   x2;3 ln x ln Vậy giá trị nhỏ hàm số y  trên đoạn  2;3 x Có f    Câu 29 (Sở Ninh Bình 2019) Cho hàm số f  x   ln x  x Khẳng định nào đây đúng? A Hàm số đồng biến trên khoảng  0;1 B Hàm số đồng biến trên khoảng  0;  C Hàm số đồng biến trên các khoảng  ;0 và 1;   D Hàm số đồng biến trên khoảng 1;   Lời giải Tập xác định hàm số f  x  : D   0;   Ta có f   x   1 x 1  x x f  x   x  Bảng xét dấu f   x  : Câu 30   (HSG Bắc Ninh 2019) Giá trị nhỏ hàm số f  x   x  e2 x trên đoạn  1; 2 bằng: A 2e4 B e2   C 2e2 Lời giải  D 2e2  Ta có: f   x   x  e2 x  xe2 x  x  x  e2 x  x    1; 2 f  x     x  2   1; 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Và f  1  e 2 ; f    2e ; f 1  e   Giá trị nhỏ hàm số f  x   x  e2 x trên đoạn  1; 2 e2 x  Câu 31 Giá trị nhỏ hàm số y  x 1   8x trên  1;0 A B 2 Lời giải C D Chọn D  2x   x 1 y   x 1 ln   x ln   x        x  2   x  1/  2 Xét y(-1)=5/6 ; y(-1/2)=0,9428 ; y(0)=2/3 Ta có: ymin  x Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT Chuyên đề 18 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Tìm tập xác định hàm số mũ - logarit Hàm số mũ Dạng: x a  với  ya a  ya u Tập xác định: D   Hàm số logarit Dạng: y  log a x a  với  y  log a u a   y  ln x ; a  10   y  log x  lg x Đặc biệt: a  e  Điều kiện xác định: u  Câu   (Mã 105 2017) Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  log x  x  m  có tập xác định là  A m  B m  C m  Lời giải D m  Chọn D Để hàm số có tâp xác định  và x  x  m   0, x        1   m  1   m  Câu  tập xác định là  A  m  C m  Chọn C Hàm B m  1 m  D m  Lời giải tâp xác định  a   0(ld ) x  x  m   0, x        1  m    m  Câu  (Mã 104 2017) Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  ln x  x  m  có số có và Hàm số y  ln  x  mx  1 xác định với giá trị x  m  2 A  m  B m  C 2  m  D m  Lời giải Chọn C Yêu cầu bài toán  x  mx   , x    m    2  m  Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số xác định trên khoảng  0;   y m log x  log x  m  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A m   ; 4   1;   C m   4;1 B m  1;   D m  1;   Lời giải Cách Điều kiện: x  Hàm số xác định khi:   m log 32 x  log x  m    m log3 x   4log3 x   m  Để hàm số xác định trên  0;   thì phương trình m  Xét hàm số y  log x  , x   0;   log 32 x  log x  vô nghiệm x   0;   log 32 x  log x  log 32 x   1 4t  t 4t  6t     y 0   Đặt log x  t đó ta có y  , y  2  t 1 t  1 t   Ta có BBT:  t   y 0  y 0 4 Để hàm số xác định trên  0;   thì m   ; 4   1;   Cách 2: Đề hàm số xác định trên khoảng  0;   thi phương trình m.log 32 x  log x  m   vô nghiệm TH1: m  thì PT trở thành 4 log x    log x  3  x  34 Vậy m  không thỏa mãn TH2: m  thì để PT vô nghiệm    4   4m  m  3   m  4  4m  12m  16    m  Để hàm số xác định trên  0;   thì m   ; 4   1;   Câu Tìm tất các giá trị m để hàm số y  ln   x  mx  2m  1 xác định với x  1;  A m   3 C m  D m   Lời giải Hàm số xác định với x  1;   x  mx  m   0, x  1;  B m   f  x   x  mx  m   0, x  1;   f  x   có nghiệm thỏa mãn x1    x2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  f 1  3m    m 4m    f    Câu (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên -2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  log( x  x  m  1) có tập xác định là  A m  4 C m  4 D m  3 Lời giải Hàm số y  log( x  x  m  1) có tập xác định là  và x  x  m   x   Câu B m  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m trên  2018; 2018 để hàm số y  ln  x  x  m  1 có tập xác định là  ? A 2019 Lời giải B 2017 C 2018 D 1009 Hàm số y  ln  x  x  m  1 có tập xác định là  và khi: x  x  m   x     '    m    m  Kết hợp với điều kiện m nguyên thuộc  2018; 2018 ta có 2018 giá trị m Câu (THPT Nghĩa Hưng Nđ- 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  log  x  2mx   có tập xác định là  A 2  m  B m  m  C   m  2 Lời giải D 2  m  y  log  x  2mx   Điều kiện xác định hàm số trên: x2  2mx   1  0, m a  Để tập xác định hàm số là  thì    2  m     m   Vậy đáp án đúng là đáp án Câu D 1  Số các giá trị nguyên tham số m để hàm số y  log  mx  m   xác định trên  ;   là 2  A B C Vô số D Lời giải Chọn A Điều kiện xác định mx  m    mx  m  (1) Trường hợp m  1   1  (luôn đúng với x   ;   )   Trường hợp m  1  x  m2 m 1  Để hàm số y  log  mx  m   xác định trên  ;   thì   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 m2    m  m Vì m   nên m  1;2;3 Trường hợp m  1  x  m2 m m2  Suy tập xác định hàm số y  log  mx  m   là D   ;  m   1  Do đó  ;    D suy không có giá trị m  nào thỏa yêu cầu bài toán 2  Từ trường hợp trên ta m  0;1; 2;3 Câu 10   x2 (Gia Bình 2019) Tìm tất các giá trị m để hàm số y  log 2018  2018 x  x   m  xác   định với giá trị x thuộc 0;   A m  B m  C  m  Lời giải D m  Chọn B Hàm số đã cho xác định x  0;    2018 x  x  x2  m  0, x  0;   x2  m, x  0;   YCBT  m  f  x   2018 x  x  x0;   x2 , x   0;    f   x   2018 x ln  2018    x Đặt f  x   2018 x  x   f   x   2018x  ln 2018    0, x  0;   Khi đó f   x  đồng biến trên x 0;   và f     ln  2018    Suy f  x  đồng biến trên x 0;   và f    Vậy m  thì thỏa YCBT   Câu 11 Hàm số y  log x  x  m có tập xác định là  thì A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn D Điều kiện xác định: x  x  m  Hàm số đã cho có tập xác định là   x  x  m  0, x    m  4 x  x , x   (*) Đặt t  x ,  t   Khi đó (*) trở thành m  t  t , t   m  max f (t ) với f (t )  t  t , t   0;  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: f '  t   2t  , f '  t    t  2 Bảng biến thiên hàm số f (t )  t  t , t  : t 0 + f 't  - f t    1 đạt t  Vậy m  max f  t   m   0;   Từ BBT ta thấy max f (t )   0;  Câu 12 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tập hợp tất các giá trị tham số m để hàm số 3x  xác định với x   là y log 2018  x  x  m  4m   A  ;1   3;   C  ;1 B (1;3) \ 2 D 1;3 \ 2 Lời giải Xét hàm số y  3x  log 2018  x  x  m  4m    x  x  m  4m    x  x  m2  4m    ĐKXĐ:   2 2 log 2018  x  x  m  4m  5   x  x  m  4m    x  x  m  4m   Nên điều kiện để hàm số xác định với x   là  với x    x  x  m  4m   Điều này xảy và : 1    m  4m    m   m  4m       m  4m       m  4m   m  2    m  4m    Vậy m   ;1   3;     x2 Câu 13 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để hàm số y  log 2018  2017 x  x   m  1 xác   định với x thuộc  0;    ? A B C 2018 Lời giải D Vô số Chọn D Điều kiện 2017 x  x  x2 x2  m   0, x   0;    2017 x  x   m  1, x   0;   2 Xét hàm số f  x   2017 x  x  x2 , x   0;   liên tục có f   x   2017 x ln 2017   x, x   0;   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 f   x   2017 x ln 2017   0, x   0;   Vậy hàm số f   x  đồng biến trên  0;   suy f   x   f     ln 2017   0, x   0;   Vậy hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   suy f  x   f    0;  Mặt khác m   f  x   f     m  0;  Vậy có vô số giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 14 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để hàm số y  log x  m xác định trên khoảng  2;3 ? 2m   x A B C D Lời giải  2m   x   x  2m  Hàm số xác định     D   m; 2m  1 x  m  x  m Hàm số đã cho xác định trên khoảng  2;3 nên  2;3  D   m; 2m  1  m    2m  m   1 m  2m   Vì m nguyên dương nên m  1; 2 Câu 15 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Tìm tất các giá trị tham số m để hàm số y  log 2020  mx  m   xác định trên 1;    A m  B m  C m  1 Lời giải D m  1 Chọn B Cách 1: Điều kiện: mx  m    mx  m  1  Trường hợp 1: m   1 trở thành  1 (luôn thỏa mãn)  Trường hợp 2: m   1  x  m2 m2   Tập xác định hàm số là D   ;  m m   m2   m   m  2  (luôn thỏa mãn) m m2 m2   Trường hợp 3: m   1  x   Tập xác định hàm số là D    ;  Do m m   Khi đó, yêu cầu bài toán trở thành đó không tồn m thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy tất các giá trị cần tìm là m  Cách 2: Điều kiện: mx  m   , x  1;     m  x  1  2 , x  1;    1  Với x  , ta 0m  2 , đúng với m 2  Với x  , ta 1  m  , x  1;      x 1 2 Xét hàm số g  x   với x  , ta có: g   x    , x  x 1  x  1 Bảng biến thiên: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Từ bảng biến thiên, ta    m  Vậy, tất các giá trị cần tìm m là m  Câu 16 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai  Tập 2019) xác định hàm số  y  log 2020 log 2019  log 2018  log 2017 x   là D   a ;   Giá trị a 2019 A 2018 2020 B 2019 2018 C 2017 Lời giải D Điều kiện xác định hàm số đã cho là: x  x  x  log log   2017 x   2017 x    log 2017 x  log  log x  2017   2018 log 2018  log 2017 x   log 2018  log 2017 x    log  log  log  x  log log x      2019 2018 2017 2018 2017   x  x  x    log 2017 x     x  2017 2018 2018 log x  2018 x  2017  2017  log  2017 x  2018 Dạng Tính đạo hàm mũ – logarit Đạo hàm hàm số mũ x x y  a   y  a ln a y  a u   y  au ln a u Đặc biệt: (e x )  e x (eu )  eu u với e  2,71828 Đạo hàm hàm số logarit x ln a u y  log a u   y  u ln a y  log a x   y  x u (ln u )   u (ln x )   Đặc biệt: Câu ln x , mệnh đề nào đây đúng? x 1 B y  xy  C y  xy   D y  xy  x x x Lời giải (Đề Tham Khảo 2017) Cho hàm số y  A y  xy   x2 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  ln x  ln x x  Cách 2 x x x2 1  ln x  x   x  1  ln x   x x  x 1  ln x   y  x4 x4  x  x 1  ln x   1  ln x   2ln x    x x x3  ln x  ln x  ln x   ln x Suy ra: y  xy  x   x x x x Cách Ta có xy  ln x , lấy đạo hàm hai vế, ta y  xy  x  ln x  x  x.ln x  y  Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế biểu thức trên, ta y   y  xy    Câu (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hàm số C S  2016 2017 1 , hay y  xy   x x  x  f  x   ln 2018  ln    x 1  Tính S  f ' 1  f '    f '  3    f '  2017  A S  4035 2018 B S  2017 2018 D S  2017 Lời giải Chọn B 1  x  Ta có f  x   ln 2018  ln      f  x  x  x  1 x x   x 1  1 1 1 2017   1  Do đó S       2 2017 2018 2018 2018 Câu (Sở Vĩnh Phúc 2019) Cho hàm số f  x   ln 2018 x x 1 S  f  1  f      f   2018  A ln 2018 B C 2018 D 2018 2019 Lời giải x  2018  2018 x   2018 x  Ta có: f   x    ln      2018 x  x 1  x  x  1   x   2018 x  x  1 x 1 Vậy S  f  1  f      f   2018  1 1 1 1           1.2 2.3 2018.2019 2 2018 2019 2018  1  2019 2019  Câu Cho hàm y  x cos  ln x   s in  ln x   Khẳng định nào sau đây đúng? A x y   xy  y   B x y  xy  xy  C x y  xy  y   D x2 y  xy  y  Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Tính tổng TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn D Ta có y  x cos  ln x   s in  ln x   y   cos  ln x   s in  ln x   s in  ln x   cos  ln x   cos  ln x  y   sin  ln x  x Từ đó kiểm tra thấy đáp án D đúng vì : x y  xy  y  y  2 x sin  ln x   x cos  ln x   x cos  ln x   sin  ln x    Câu (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tính đạo hàm hàm số y  log 2019 x , x  A y   x ln 2019 x B y   C y   x ln 2019 D y   x ln 2019 Lời giải log 2019 x , x   y  log 2019 x      log 2019 x  , x     , x    x ln 2019   y  y   1  x ln 2019  , x     x  ln 2019 Câu (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho hàm số f  x   e x  x Biết phương trình f   x   có hai nghiệm x1 , x2 Tính x1.x2 A x1.x2   C x1.x2  B x1.x2  D x1 x2  Lời giải Chọn A Ta có: f   x   1  x  e x  x 2 f   x   2e x  x  1  x 1  x  e x  x   1  x  x  e x  x 2 f   x     1  x  x  e x  x   1  x  x  đó x1 x2  Câu (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho hàm số c  a  x  f  x   ln    x2 Tổng f ' 1  f '    f '     f '  2021 A 4035 2021 B 2021 2022 C 2021 D 2022 2023 Lời giải Chọn D 1  x  ' Ta có f  x   ln      f  x  x  x  2 x x   x2 Vậy Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 1 1 f ' 1  f '  3  f '     f '  2021        3 2021 2023 2022  1  2023 2023 Câu f  x  (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Phương trình 1  f  x   ln  x  x  x   có bao nhiêu nghiệm? 2  A nghiệm B nghiệm C nghiệm Lời giải Chọn B Điều kiện: x  x3  x  với D nghiệm 0 x  x  12 x  x Ta có: f   x    f   x    x  12 x  x    x  x  4x  4x   x  2 Đối chiếu điều kiện ta x  Vậy phương trình f   x   có nghiệm Câu Cho hàm f  x   ln số x 1 x4 Tính giá trị biểu thức P  f     f   3  f      f   2019  A B 2024 2023 2022 2023 Lời giải C D 2020 2023 Chọn C Với x [0 ; +) ta có x   và x   nên f  x   ln Từ đó f   x   x 1  ln  x  1  ln  x   x4 1  x 1 x  Do đó P  f     f   3  f      f   2019   2022  1 1 1 1    1                  1 2023 2023      10   2020 2023  Câu 10 (THPT Minh Khai - 2019) Cho hàm số y  f  x    2m  1 e x  Giá trị m để f '   ln   A m  là B m  C m  D m   Lời giải Chọn C f '  x    2m  1 e x Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  f '   ln 3   2m  1 e f '   ln 3   ln 2m  2m   ln  e 2m     m  3 3 Dạng Khảo sát hàm số mũ, logarit Sự biến thiên hàm số mũ: y  a x Nếu a  thì hàm đồng biến trên  Nếu  a  thì hàm nghịch biến trên  Sự biến thiên hàm số logarit: y  log a x Nếu a  : hàm đồng biến trên (0; ) Nếu  a  : hàm nghịch biến trên (0;  ) Đồ thị hàm số mũ và logarit ĐỒ THỊ HÀM SỐ MŨ ĐỒ THỊ HÀM SỐ LOGARIT Ta thấy: log a x   a  1; logb x   b  Ta thấy: a x   a  1; b x   b  Ta thấy: log c x  c  1; log d x  d  Ta thấy: c x  c  1; d x  d  So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng logb x trước: b  a So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a x trước nên a  b So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c x trước nên c  d Vậy  b  a   d  c Câu So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log d x trước: d  c Vậy  a  b   c  d (Mã 103 - 2020 Lần 2) Hàm số y  log a x và y  logb x có đồ thị hình bên y y  log b x y  log a x x O x1 x2 Đường thẳng y  cắt hai đồ thị các điểm có hoành độ là x1; x2 Biết x1  x2 Giá trị a b A B C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn D Xét phương trình hoành độ giao điểm log a x   x1  a3 , và log b x   x2  b3 a a Ta có x1  x2  a  2b       b b Câu Tìm tập hợp tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  ln  x  1  mx  đồng biến trên khoảng  ;   A 1;   C  1;1 B  ; 1 D  ; 1 Lời giải Chọn D Ta có: y  2x m x 1 Hàm số y  ln  x  1  mx  đồng biến trên khoảng  ;    y  0, x   ;    g ( x)  2x 2 x   m ,  x   ;   Ta có   g ( x )    x  1 x2   x  1 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có: g ( x)  Câu 2x  m, x   ;   m  1 x 1 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Trong hình đây, điểm B là trung điểm đoạn thẳng AC Khẳng định nào sau đây là đúng? B ac  b A a  c  2b C ac  2b Lời giải D ac  b Ta có A  0;ln a  , B  0;ln b  , C  0;ln c  và B là trung điểm AC nên ln a  ln c  2ln b  ln  ac   ln b2  ac  b2 Vậy ac  b Câu Cho các số thực a , b cho  a, b  , biết đồ thị các hàm số y  a x và y  log b x cắt điểm M A a  1, b    2018; 20191 Mệnh đề nào đây đúng? B a  1,  b  C  a  1, b  D  a  1,  b  Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn C M a M  2018   2018; 20191 thuộc đồ thị hàm số y  a x nên ta có:  20191    a0   a  2019  2018; 20191 thuộc đồ thị hàm số y  log b x nên ta có: log b 2018  20191  b 2019  2018   b  b  Vậy  a  1, b  Câu (Sở Hà Nội 2019) Tập tất các giá trị tham số m để hàm số y  ln  x  1  mx  đồng biến trên  là A  1;1 B  ; 1 C  1;1 D  ; 1 Lời giải Tập xác định: D   Ta có: y  2x mx  x  m  m  x2  x2  Để hàm số đồng biến trên  điều kiện là Câu m  y  0; x    mx  x  m  0; x      m   ; 1     m  (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Trong hình vẽ bên có đồ thị các hàm số y  a x , y  b x , y  log c x Hãy chọn mệnh đề đúng các mệnh đề sau đây? A a  c  b B c  a  b C a  b  c D b  c  a Lời giải x x Dựa vào đồ thị các hàm số y  a , y  b , y  log c x ,ta có: Hàm số y  a x nghịch biến trên  nên ta có:  a  (1) b  Các hàm số y  b x , y  log c x đồng biến trên tập xác định nó nên ta có:  (2) c  a  b Từ (1),(2)   Do đó loại hai phương án B, D a  c Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Nếu b  c thì ta có đồ thị hai hàm số y  b x , y  logb x đối xứng qua đường thẳng y  x Tuy nhiên nhìn hình dáng hai đồ thị hàm số y  b x , y  log b x không có tính chất đối xứng qua đường thẳng y  x Do đó phương án đúng là A Cách khác: Hàm số y  a x nghịch biến trên  nên ta có:  a  b  Các hàm số y  b x , y  log c x đồng biến biến trên tập xác định nó nên ta có:  c  Xét đồ thị hàm số y  log c x , ta có: log c   c  Xét đồ thị hàm số y  b x , ta có: b1   b  Do đó:  a  c  b Câu (Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho đồ thị ba hàm số y  a x , y  b x , y  c x hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây đúng? A b  a  c B a  c  b C c  a  b Lời giải D c  b  a Chọn C Xét hàm số y  b x : Dựa vào hình dáng đồ thị ta thấy lim b x  , đó  b  x  x Xét hàm số y  a : Dựa vào hình dáng đồ thị ta thấy lim a x   , đó a  x  Từ đó suy ra: a  b Loại đáp án A, D x Xét x  đồ thị hàm số y  c có tung độ lớn tung độ đồ thị hàm số y  a x nên c  a Vậy c  a   b Câu (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ 2019) Cho a, b, c là các số thực dương khác Hình vẽ bên là đồ thị ba hàm số y  log a x, y  logb x, y  logc x Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khẳng định nào sau đây là đúng? A a  c  b B a  b  c C c  b  a Lời giải D c  a  b Chọn D  a, b  Theo hình dạng đồ thị ta có  0  c  Vẽ đường thẳng y  cắt đồ thị hai hàm số y  log a x, y  logb x điểm M (a;1), N (b;1) Ta thấy điểm N bên phải điểm M nên b  a Vậy c  a  b Câu (Chuyên Thái Bình 2019) Cho a , b, c là các số thực dương khác Hình vẽ bên là đồ thị hàm số y  log a x, y  y  log b x, y  log c x Khẳng định nào sau đây là đúng? A a  b  c B a  c  b C b  a  c Lời giải Do y  log b x và y  log c x là hai hàm đồng biến nên b, c  D b  a  c Do y  log a x nghịch biến nên  a  Vậy a bé bm  x1 log b x1  m  m Mặt khác: Lấy y  m , đó tồn x1 , x2  để  log c x2  m c  x2 Dễ thấy x1  x2  bm  cm  b  c Vậy a  b  c Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 10 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y  ln x  với m là tham số Gọi S là tập hợp ln x  2m các giá trị nguyên dương m để hàm số đồng biến trên khoảng 1; e  Tìm số phần tử S A B C Lời giải D Chọn C Điều kiện: ln x  m  x  e m Có y    2m x  ln x  2m  Hàm số đồng biến trên 1; e   y  x  1; e    2m x  ln x  2m   x  1; e  m    2m  m   6  2m    m0   2m    e m      1   m   e  1; e   2m m  2 e  e   Do m nguyên dương nên m 1; 2 Vậy tập S có phần tử Câu 11 Tìm tất các giá trị thực tham số m để hàm số y  m log x  nghịch biến trên  4;  log x  m  A m  2 m  B m  2 m  C m  2 m  D m  2 Lời giải Chọn D Đặt t  log x Ta có x   4;    t   2;   Hàm số viết lại y  mt  (1) t  m 1 Vì t  log x đồng biến trên  0;   nên yêu cầu bài toán  (1) nghịch biến trên  2;    m  2  m  m  1         m   m  2 m   m   Câu 12 1 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hàm số y  log 2018   có đồ thị  C1  và hàm số y  f  x  có đồ thị x  C2  Biết  C1  và  C2  đối xứng nhanh qua gốc tọa độ Hỏi hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng nào đây? A  0;1 B  1;0  C  ; 1 D 1;   Lời giải 1 1 Ta có y  log 2018   thì y    hàm số nghịch biến ta vẽ đồ thị hàm số x x ln 2018 x  C1  hình Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do  C2  đối xứng với  C1  qua O nên có dạng hình Từ đó đồ thị hàm số y  f  x  là Dựa vào đồ thị trên ta có hàm số y  f  x  nghịch biến trên khoảng  ; 1 Câu 13 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số ln x  m   2019; 2019 để hàm số y  đồng biến trên khoảng 1;e6  ? ln x  3m A 2020 B 2021 C 2018 D 2019 Lời giải Đặt t  ln x Khi đó hàm số y  ln x  t 6 đồng biến trên khoảng 1;e6 thì hàm số y  t   đồng biến ln x  3m t  3m   trên khoảng  0;  Ta có y  t   3m   t  3m  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Để hàm số y  t  đồng biến trên khoảng  0;6  thì m  3m    m    m   m    m  2019; 2018;  1; 0  m 2019;2019 3m   0;6  m   Vậy có tất cả: 2020 số nguyên m thoả mãn yêu cầu bài toán Câu 14 (Chuyên Hưng Yên 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số thực m thuộc đoạn y  f  x    x  1 ln x    m x đồng biến trên khoảng  0;e   2018;2018 để hàm số A 2016 B 2022 C 2014 Lời giải D 2023 x 1 2m x 1 Yêu cầu bài toán  f   x   ln x    m   ln x    m ; x   0; e2  x x Xét hàm số: g  x   ln x   với x   0; e2  x 1 Ta có: g '  x      x  x x Bảng biến thiên: Ta có: y '  f '  x   ln x  Dựa vào bảng biến thiên suy g  x   với x   0; e2  Từ đó suy 2018  m  Vậy có 2023 giá trị m thỏa mãn Câu 15   (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho f  x   a ln x  x   b sin x  với a, b   Biết f  log  log e    Tính giá trị f  log  ln10   A 10 B C Lời giải D Ta có log  log e   log  ln10   log1      Mặt khác f  x   f   x   a ln x  x   b sin x   a ln  x  x   b sin   x     a ln x   x2   x   x   b sin x  b sin x  12  a ln112  12  x   Khi đó suy f  log  log e    f  log  ln10    12  f  log  ln10    10 Câu 16 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho a, b, c dương và khác Các hàm số y  log a x , y  log b x , y  log c x có đồ thị hình vẽ Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khẳng định nào đây đúng? A a  c  b B a  b  c C c  b  a Lời giải D b  c  a Kẻ đường thẳng (d ) : y  Hoành độ giao điểm (d ) với các đồ thị hàm số y  log a x , y  log b x , y  log c x là a, b, c Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy a  c  b Câu 17 Đồ thị hàm số y  f  x  đối xứng với đồ thị hàm số y  a x  a  0, a  1 qua điểm I 1;1 Giá trị   biểu thức f   log a  2018   A 2016 B 2016 C 2020 Lờigiải D 2020 Chọn B Gọi  C  là đồ thị hàm số y  a x ;  C1  là đồ thị hàm số y  f  x   M   log a ; yM 2018        C1   yM  f   log a  2018      ;  yM  Gọi N đối xứng với M qua I 1;1  N   log a 2018    ;  yM Do đồ thị  C1  đối xứng  C  qua I 1;1 nên N   log a 2018  N   C    yM  a  log a 2018    C     yM  a log a 2018   yM  2018  yM  2016   Vậy f   log a   2016 2018   Câu 18 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Trong hình vẽ bên các đường cong  C1  : y  a x ,  C2  : y  b x ,  C3  : y  c x và đường thẳng y  4; y  tạo thành hình vuông MNPQ có cạnh Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x x tối giản, giá trị x  y y B C 43 Lời giải Biết abc  y với x; y    và A 34 D 19 Chọn C Giả sử hoành độ điểm M là m , ta suy M  m;  ; N  m;8  ; P  m  4;8  ; Q  m  4;  m 8 b m  b m   Từ giả thiết ta có M , P thuộc đường cong y  b x nên  m    b  b  b   8   a  a  a       12  N , Q thuộc đường cong y  a x ; y  c x nên  12 c  c  c   1 1   Khi đó abc  8.2 4.2  Câu 19 19  24 Vậy x  19; y  24  x  y  43 ( Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho hàm số y  f  x Hàm số y  f ' x có đồ thị hình vẽ Hàm số y  f 2  e x  nghịch biến trên khoảng A 1; 3 B 2; 1 C ; 0 D 0; + Lời giải Chọn C Ta có y '  e x f '2  e x  Hàm số y  f   e x  nghịch biến và y '   e x f '2  e x    f '  e x     e x   e x   x  Câu 20 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m   2019; 2019 để hàm số y  ln x  đồng biến ln x  3m trên khoảng 1; e  ? A 2020 B 2021 C 2018 Lời giải D 2019 Chọn A Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đặt t  ln x ln x  t 6 đồng biến trên khoảng 1; e  thì hàm số y  t   đồng biến ln x  3m t  3m Khi đó hàm số y  trên khoảng  0;6 Ta có y  t   Để hàm số 3m   t  3m  y  t  đồng biến trên khoảng  0;6  thì m  3m    m    m   m    m  2019; 2018;  1;0  m 2019;2019 3m   0;6  m   Vậy có tất cả: 2020 số nguyên m thoả mãn yêu cầu bài toán Câu 21 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên 1 Hàm số g  x     2 f 1 x  nghịch biến trên khoảng nào các khoảng sau? A  ;0  B  0;1 C  1;0  D 1;   Lời giải Chọn D  x  1 Dựa vào đồ thị, suy f   x     1  x  1 Ta có g   x     2 f 1 x  f  1  x  (2).ln x  1  x  1  Xét g   x    f  1  x       x    x      Vậy g  x  nghịch biến trên các khoảng   ;0  và 1;     Câu 22 (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Xét hàm số f  x    cosx  sin x Mệnh đề nào sau đây là đúng?   A Hàm số f tăng trên khoảng  0;   2    C Hàm số f giảm trên khoảng   ;   2    B Hàm số f tăng trên khoảng   ;0    D lựa chọn sai Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489     cosx  Nhận xét: x    ;     2   f  x   Ta có: f  x    cosx  sin x  ln f  x   ln  cosx  sin x  sin x.ln  cosx    ln f  x    sin x.ln  cosx   f   x  cos x.ln cosx  sin x  cos x.ln cosx  sin x      f  x    f  x f  x cosx cosx       Do x    ;   cosx   0;1 Mặt khác e   ln cos x   2      cos x.ln cosx  sin x  0, x    ;   2  cos x.ln cosx  sin x       f  x    f  x   0, x    ;  (Dấu “=” xảy x  ) cosx  2        y  f  x  giảm trên   ;   2  Câu 23 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m đoạn  2019; 2019 để hàm số y  ln  x    mx  đồng biến trên  A 2019 B 2020 C 4038 Lời giải D 1009 Chọn A Ta có y  2x m x 2 2x  m  với x   x 2 2x 2x  x2 m với x   Xét h  x   với x   Có h  x   x 2 x 2  x2  2 Hàm số đã cho đồng biến trên   Bảng biến thiên: Suy m   , m là số nguyên đoạn  2019; 2019 nên có 2019 số Câu 24 Gọi  C  là đồ thị hàm số y  log 2018 x và  C   là đồ thị hàm số y  f  x  ,  C   là đối xứng với  C  qua trục tung Hàm số y  f  x  đồng biến trên khoảng nào sau đây? A  0;1 B  ; 1 C  1;0  D 1;   Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn C C  x O 1  C Ta có hàm số y  log 2018 x có tập xác định D   0;   là hàm số đồng biến trên  0;   Vì  C đối xứng với  C  qua trục tung nên hàm số y  f  x  là hàm số nghịch biến trên  ;0   f  x  Ta có f  x     f  x  f  x   f  x   nên suy đồ thị hàm số y  f  x  : Dựa vào đồ thị y  f  x  ta suy hàm số y  f  x  đồng biến trên  1;0  Câu 25 Có bao nhiêu giá trị thực m để hàm số g  x   A Duy B Không tồn 2019 x 6x m   x  x đồng biến trên  ln 2019 ln C 2019 D Vô số Lời giải Chọn A Ta có g   x   2019 x  x  mx  Hàm số g  x  đồng biến trên  và g   x   0, x   Ta có g     0, m  g   x    2019 x  x    mx  0, x   Nếu m    x x  g   x    2019     mx  0, x  Suy hàm số đồng biến trên khoảng  0;     m  (loại) Nếu m  Xét g   x   2019 x ln 2019  x ln  m là hàm số đồng biến trên  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 lim  2019 x ln 2019  6x ln    phương trình g   x   có nghiệm x  x0 x m  và g   x  đạt GTNN điểm cực tiểu x  x0 Do đó, để g   x   0, x   thì g   x0   Mà g      x0   m  20190 ln 2019  60 ln hay m   ln 2019  ln Do đó có giá trị thực m thỏa mãn Câu 26 Tập các giá trị tham số m để hàm số y  ln  3x  1  m  đồng biến trên khoảng x 1   ;     là 2  A  ;   9    B   ;       C   ;     Lời giải   D   ;     Chọn B m m   y'   x 3x  x 1  Để hàm số đồng biến trên khoảng  ;   2  y  ln  3x  1  m 1  1   y '  0,  x   ;      0,  x   ;   3x  x 2  2  3x 1  m  g  x  ,  x   ;    3x 2  Xét g  x   3x x  x2 1  ,  x   ;    g '  x    g ' x   x   x   3x 2  1  3x  Bảng biến thiên Vậy m   Câu 27    m    ;     (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Cho các hàm số y  log a x và y  log b x có đồ thị hình vẽ bên Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đường thẳng x  cắt trục hoành, đồ thị hàm số y  log a x và y  log b x A, B và C Nếu AC  AB log thì A b  a B b  a C log3 b  log a D log b  log3 a Lời giải Chọn D Từ các đồ thị hàm số đã cho trên hình ta có A  6;0  , B  6;log a  , C  6;logb  , AC  yC  y A  log b , AB  yB  y A  log a Vậy AC  AB log  log b  log a 6.log  log log log 1     log b  log3 a log b log a log log b log a Câu 28 Trong hình đây, điểm B là trung điểm đoạn thẳng AC Khẳng định nào sau đây là đúng? A a  c  2b B ac  b2 C ac  2b2 D ac  b Lời giải Chọn B Từ đồ thị ta thấy tọa độ điểm A  0;ln a  , B  0;lnb  , C  0;lnc  Theo bài B là trung điểm đoạn thẳng AC nên ta có: x A  xB 00    xB   xB    xB     2 yB  ln ac  ln b  y  y A  yB  y  ln a  ln c  ln b B B   2 (1) (2) Từ (2)  ac  b Vậy chọn B Câu 29 Đồ thị hàm số y  f  x  đối xứng với đồ thị hàm số y  a x  a  0, a  1 qua điểm I 1;1  Giá trị biểu thức f   log a  2018   A 2016 B 2020 C 2016 D 2020 Lời giải Chọn A  1   Xét M   log a ; f   log a  thuộc đồ thị hàm số y  f  x  2018  2018    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Điểm N   log a ;2 2018    f   log a  đối xứng với M qua I 1;1 thuộc đồ thị hàm số 2018    y  a x nên ta có:  loga     loga 2018 2018  f   log a  a  f  log   a   2018   2016 a    2018  2018    Câu 30 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho số thực dương a khác Biết đường thẳng nào song song với trục Ox mà cắt các đường y  4x , y  a x , trục tung M , N và A thì AN  AM ( hình vẽ bên) Giá trị a A B C D Lời giải Chọn D Dựa vào ĐTHS ta thấy hàm số y  a x nghịch biến nên  a  Mọi đường thẳng y  m (m  0) cắt các đường y  x , y  a x , trục tung M log m; m , N log a m; m và A  (0 ; m) , theo bài AN  AM  log a m  log m  log a m  log m  log m a  log m a  log a m  log m      1 log a m   log m  log a  log a  m   m  2  Vậy a  Câu 31 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Đồ thị hàm số y  f  x  đối xứng với đồ thị hàm số y  loga x ,   a  1 qua điểm I  2;1 Giá trị biểu thức f   a 2019  A 2023 B 2023 C 2017 D 2017 Lời giải Chọn D   Lấy điểm A  a 2019 ; f  a 2019   thuộc đồ thị hàm số y  f  x  và điểm B  x;log a x  thuộc đồ thị hàm số y  loga x Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Hai điểm A và B đối xứng qua điểm I và 4  a 2019  x  2.2  x  a 2019   f   a 2019   2017  2019 2019 2019 2  f   a   log a x  2.1  f   a   log a a Câu 32 Cho các hàm số y  log a x và y  logb x có đồ thị hình vẽ bên Đường thẳng x  cắt trục hoành, đồ thị hàm số y  log a x và y  logb x A, B và C Biết CB  AB Mệnh đề nào sau đây là đúng? B a  b2 A a  5b C a  b3 D a3  b Lời giải Chọn C Dễ thấy A  5;0  , B  5;log a 5 , C  5;log b 5 và logb  log a  Do CB  AB nên ta có logb  log a   log a    logb  3log a   log b log a  log5 a  3log5 b  log5 a  log b3  a  b3 Câu 33 (THPT Đông Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hàm số f  x   4x Tính giá trị biểu thức 4x       100  A f   f     f  ?  100   100   100  A 50 149 Lời giải B 49 C D 301 Chọn D Xét hai số dương a và b cho a  b  , ta có f  a   f b       a  b  a  4b ab  a   a 4b   b a  4a 4b   a  4b  a  4b  b   2 4 4   24    a  4b a 4 b    1  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do đó      49   99       98   Af   f     f   f       f    100     100   100     100    100  301 301 1  49  f    f 1  49    Vậy A  6 2  51   f    100    50  f   100   100  f   100  Câu 34 Tìm tập hợp tất các giá trị tham số thực m đề hàm số y  ln  x 1 mx  đồng biến trên  A 1; 1 B 1; 1 C ; 1 D ; 1 Lời giải Chọn C TXÐ: D  R Ta có y '  2x  m x 1 Hàm số y  ln  x 1 mx  đồng biến trên R y '   x  R  Xét hàm f  x   f ' x    2x 2x  m  x  R   m x  R x 1 x 1 2 x  2x Ta có f ' x    x2   x 1 2 x   x 1   x 1 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiến suy 1  f ( x )  x  R Từ đó suy m  1 Câu 35 Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc khoảng  2019; 2019  để hàm số sau có tập xác định là D?  y  x  m  x   m  1 x  m  2m   log x  m  x  A 2020 B 2021 C 2018 Lời giải  D 2019 Chọn D  x   m  1 x  m2  2m   Hàm số xác định với x   thì  luôn đúng với x    x  m  x   +) Ta có: x   m  1 x  m  2m    x   m  1    , x   +) x  m  x   , x    x  x   m, x   Xét hàm số f  x   x  x  với x   Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 f  x  1 2x 2x2  1 f  x   x  Từ bảng biến thiên ta thấy để x  x   m, x     m  m   Kết hợp điều kiện   m  {  2018,  2017 ,  2016, ,  1, 0}  m   2019; 2019  Kết luận: có 2019 giá trị m thỏa mãn bài toán Câu 36 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Tập tất các giá trị tham số m để hàm số m ln x  2 nghịch biến trên  e ;   là: ln x  m   m  2  m  2  m  2 A  B  C  m  m  m  y D m  2 Lời giải Chọn D x  Điều kiện xác định:  x  e m 1 m  ln x  m  1   m ln x   m2  m  x  Ta có: y '  x 2 x  ln x  m  1  ln x  m  1   m  2  m  m    Hàm số nghịch biến trên e ;  và  m1    m   m  2 e  e  m    Câu 37  (Chuyên Bắc Giang 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc khoảng  2019; 2019  để hàm số y  2019 x  x A 2020  mx 1 nghịch biến trên  1; 2 B 2019 C 2010 Lời giải D 2011 Chọn D y '   3x  x  m  2019 x  x  mx 1 .ln 2019 Hàm số nghịch biến trên  1;   y '  x   1; 2  3x  x  m  x   1; 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  3x  x  m x   1; 2 Đặt f ( x)  3x  x ; f '( x )  x  Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy f ( x)  x   1;2 Do đó ycbt  m  Vì m nguyên thuộc khoảng  2019; 2019  nên có 2011 giá trị m thỏa mãn Câu 38 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Cho a , b là các số thực dương khác 1, đồ thị hàm số y  log a x và y  log b x là  C1  ,  C2  hình vẽ Khẳng định nào sau đây là đúng A b.ea  a.eb B b.ea  a.eb C b.ea  a.eb D a.ea  b.eb Lời giải Chọn D Ta có log a x   x  a và log b x   x  b Nên kẻ đường thẳng y  cắt đồ thị  C1  ,  C2  các điểm có tọa độ  a ;1 và  b ;1 Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Nhìn vào đồ thị ta suy a  b Do a , b , e a , eb là các số dương và e  nên từ a  b ta suy ea  eb a.ea  a.eb  b  a.ea  b.eb  b b b a e  b.e a.e  b.e Dạng Bài toán thực tế BÀI TOÁN NGÂN HÀNG Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức tiền lãi tính dựa vào tiền gốc ban đầu (tức là tiền lãi kỳ hạn trước không gộp vào vốn để tính lãi cho kỳ hạn kế Công thức tính lãi đơn tiếp), đây gọi là hình thức lãi đơn Ta có: T  A(1  nr ) với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau kỳ hạn n Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A Nếu ta gởi tiền vào ngân hàng theo hình thức: hàng tháng tiền lãi phát sinh cộng vào Công thức lãi kép tiền gốc cũ để tạo tiền gốc và tính tiếp thế, đây gọi là hình thức lãi kép Mỗi tháng gởi đúng số tiền giống theo hình thức lãi kép Ta có: T  A(1  r )n với A: tiền gởi ban đầu; r: lãi suất; n: kỳ hạn gởi; T: tổng số tiền nhận sau kỳ hạn n Lưu ý: r và n phải khớp đơn vị; T bao gồm A, muốn tính số tiền lời ta lấy T – A Nếu đầu tháng khách hàng luôn gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi kép r % /tháng thì số tiền họ nhận vốn lẫn lãi sau n tháng là: T A n 1  r   1 1  r   r Gởi tiền vào ngân Nếu khách hàng gởi vào ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r % /tháng Vào ngày hàng rút hàng ngân hàng tính lãi tháng thì rút X đồng Số tiền thu sau n tháng là: n tháng số tiền cố  r  1  n T  A 1  r   X định r Vay vốn và trả góp (tương tự bài toán 4) Nếu khách hàng vay ngân hàng số tiền A đồng với lãi suất r%/tháng Sau đúng tháng kể từ ngày vay bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ cách đúng tháng, lần hoàn nợ đúng số tiền X đồng Số tiền khách hàng còn nợ sau n tháng là: T  A 1  r  n 1  r  X n 1 r Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Trong năm 2019, diện tích rừng trồng tỉnh A là 600 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm nào đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đó đạt trên 1000 ? A Năm 2028 B Năm 2047 C Năm 2027 D Năm 2046 Lời giải Chọn A Diện tích rừng trồng năm 2019  là 600 1  6% Diện tích rừng trồng năm 2019  là 600 1  6%  n Diện tích rừng trồng năm 2019  n là 600 1  6%  5  n  log16%  8, 76 3 Như kể từ năm 2019 thì năm 2028 là năm đầu tiên diện tích rừng trồng đạt trên 1000 n n Ta có 600 1  6%   1000  1  6%   Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Trong năm 2019, diện tích rừng trồng tỉnh A là 1000 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm nào đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đó đạt trên 1400 A 2043 B 2025 C 2024 D 2042 Lời giải Chọn B Ta có sau n năm thì diện tích rừng trồng tỉnh A là: 1000 1  0.06  n n Khi đó, 1000 1  0.06   1400  1.06 n  1.4  n  5.774 Vậy vào năm 2025 thì diện tích rừng trong năm đó đạt trên 1400 Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Trong năm 2019 , diện tích rừng trồng tỉnh A là 900 Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019, năm nào đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đó đạt trên 1700 ha? A Năm 2029 B Năm 2051 C Năm 2030 D Năm 2050 Lời giải Chọn C Trong năm 2019, diện tích rừng trồng tỉnh A là A  900 Trong năm 2020, diện tích rừng trồng tỉnh A là A1  A  6% A  A 1  6%  Trong năm 2021, diện tích rừng trồng tỉnh A là A2  A1  6% A1  A1 1  6%   A 1  6% 1  6%   A 1  6%  Trong năm 2022, diện tích rừng trồng tỉnh A là A3  A2  6% A2  A2 1  6%   A 1  6%  1  6%   A 1  6%  … n Trong năm 2019  n, diện tích rừng trồng tỉnh A là An  A 1  6%  Khi đó, diện tích rừng trồng đạt trên 1700 Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 An  1700  A 1  6%   n  log1,06 n 17  1700  900.1, 06  1700  1,06  n n 17  10,9  nmin  11 Vậy năm 2030 là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đó đạt trên 1700 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Trong năm 2019 , diện tích rừng trồng tỉnh A là 800ha Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước Kể từ sau năm 2019 , năm nào đây là năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đó đạt trên 1400ha ? A Năm 2029 B Năm 2028 C Năm 2048 D Năm 2049 Lời giải Chọn A Trong năm 2019 , diện tích rừng trồng tỉnh A là 800ha Giả sử diện tích rừng trồng tỉnh A năm tăng 6% so với diện tích rừng trồng năm liền trước nên n sau n (năm) diện tích rừng trồng tỉnh A là 800 1  6%  với n   7  n  log1,06  9, 60402 4 Vì n   nên giá trị nhỏ thỏa mãn là n  10 Vậy: kể từ sau năm 2019 , năm đầu tiên tỉnh A có diện tích rừng trồng năm đó đạt trên 1400ha là năm 2029 n Ta có 800 1  6%   1400  1, 06n  Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Năm 2020 hãng xe niêm yết giá bán loại xe X là 750.000.000 đồng và dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm 2% giá bán so với giá bán năm liền trước Theo dự định đó năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu ( kết làm tròn đến hàng nghìn )? A 677.941.000 đồng B 675.000.000 đồng C 664.382.000 đồng D 691.776.000 đồng Lời giải Chọn A Giá xe năm 2020 là A Giá xe năm 2021 là A1  A  A.r  A 1  r  Giá xe năm 2022 là A2  A1  A1 r  A 1  r  Giá xe năm 2023 là A3  A2  A2 r  A 1  r  Giá xe năm 2024 là A4  A3  A3 r  A 1  r  Giá xe năm 2025 là A5  A4  A4 r  A 1  r  Câu    750.000.000 1    677.941.000 đồng  100  (Mã 103 - 2020 Lần 2) Năm 2020, hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là 800.000.000 đồng và dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm 2% giá bán so với giá bán năm liền trước Theo dự định đó, năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng nghìn)? A 708.674.000 đồng B 737.895.000 đồng C 723.137.000 đồng D 720.000.000 đồng Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Giá bán loại xe X năm 2021 là: 800.000.000  800.000.000  2%  800.000.000  1  2%  Giá bán loại xe X năm 2022 là: 800.000.000  1  2%   800.000.000  1  2%   2%  800.000.000  1  2%  Tương tự ta có: giá bán loại xe X năm 2025 là: 800.000.000  1  2%   723.137.000 đồng Câu (Đề Tham Khảo 2018) Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0, 4% / tháng Biết không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì sau tháng, số tiền lãi lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau tháng, người đó lĩnh số tiền ( vốn ban đầu và lãi) gần với số tiền nào đây, khoảng thời gian này người đó không rút tiền và lãi xuất không thay đổi? A 102.16.000 đồng B 102.017.000 đồng C 102.424.000 đồng D 102.423.000 đồng Lời giải Chọn C Ta có An  A0 1  r  Câu n  0,   100.000.000 1    102.424.128  100  (Mã 104 2018) Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,1% / năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau năm số tiền lãi nhập vào vốn để tính lãi cho năm Hỏi sau ít bao nhiêu năm người đó thu (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ra? A 11 năm B 12 năm C 13 năm D 10 năm Lời giải Chọn B Gọi x số tiền gửi ban đầu N 6,1  6,1    Theo giả thiết x  x 1     1    100   100  N N 6,1     1    N  log1,061  11,7  100  Vậy sau ít 12 năm người đó thu số tiền thỏa yêu cầu Câu Anh An gửi số tiền 58 triệu đồng vào ngân hàng theo hình thức lãi kép và ổn định tháng thì lĩnh 61758000đ Hỏi lãi suất ngân hàng hàng tháng là bao nhiêu? Biết lãi suất không thay đổi thời gian gửi A 0,8 % B 0,6 % C 0,7 % D 0,5 % Lời giải Chọn C n Áp dụng công thức An  A0 1  r  với n là số kỳ hạn, A0 là số tiền ban đầu, An là số tiền có sau n kỳ hạn, r là lãi suất Suy A9  A0 1  r   r  Câu 10 A9   0, 7% A0 (Chuyên Bắc Giang 2019) Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0, 6% /tháng Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau tháng, số tiền lãi nhập làm vốn ban đầu để tính lãi cho tháng Hỏi sau ít bao nhiêu tháng, người Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 đó lĩnh số tiền không ít 110 triệu đồng (cả vốn ban đầu và lãi), biết suốt thời gian gửi tiền người đó không rút tiền và lãi suất không thay đổi? A 18 tháng B 16 tháng C 17 tháng D 15 tháng Lời giải Chọn B n Sau n tháng, người đó lĩnh số tiền là: 100 1  0,6%  (triệu đồng) Sau n tháng, người đó lĩnh số tiền không ít 110 triệu đồng (cả vốn ban đầu và lãi) 11 n  100 1  0, 6%   110  n  log1 0,6%  15,9 10 Câu 11 Một người lần kỳ trước ầu gửi vào ngân hàng 100 triệu ồng theo thể thức lãi kép (tức là tiền lãi ược cộng vào vốn kỳ kế tiếp) với kì hạn tháng, lãi suất 2% quý Sau úng tháng, người số tiền người ó gửi thêm 100 triệu ó nhận ồng với kỳ hạn và lãi suất trước ó Tổng ược sau năm gửi tiền vào ngân hàng gần với kết nào sau ây? Biết suốt thời gian gửi tiền lãi suất ngân hàng không thay ổi và người ó không rút tiền A 212 triệu ồng B 216 triệu ồng 210 triệu Lời giải ồng C D 220 triệu ồng Chọn A Ta có: r  2%  0, 02  Số tiền 100 triệu ồng gửi lần T1  100 1  0,02   108, 24 triệu  Số tiền 100 triệu ầu thì sau năm (4 quý) nhận ồng ồng gửi lần thứ hai thì sau tháng (2 quý) nhận T2  100 1  0, 02   104, 04 triệu ược vốn lẫn lãi là: ồng Vậy tổng số tiền nhận là: T  T1  T2  212, 28 triệu Câu 12 ược vốn lẫn lãi là: ồng (KTNL Gia Bình 2019) Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với kỳ hạn tháng, lãi suất 8, 4% năm theo hình thức lãi kép Ông gửi đúng kỳ hạn thì ngân hàng thay đổi lãi suất, ông gửi tiếp 12 tháng với kỳ hạn cũ và lãi suất thời gian này là 12% năm thì ông rút tiền Số tiền ông An nhận gốc lẫn lãi là: (làm tròn đến chữ số hàng đơn vị) A 62255910 đồng B 59895767 đồng C 59993756 đồng C 63545193 đồng Lời giải Chọn B Đợt I, ông An gửi số tiền P0  50 triệu, lãi suất 8, 4% năm tức là 2,1% kỳ hạn Số tiền gốc và lãi ông thu sau kỳ hạn là: P3  50000000 1.021 Đợt II, ông không rút nên số tiền P3 xem là số tiền gửi ban đầu đợt II, lãi suất đợt II là 3% kỳ hạn Ông gửi tiếp 12 tháng kỳ hạn nên số tiền thu cuối cùng là: 4 P  P3 1.03  50000000 1.021 1.03  59895767 đồng Câu 13 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Ngày 01 tháng 01năm 2017, ông An đem 800 triệu đồng gửi vào ngân hàng với lãi suất 0,5% tháng Từ đó, tròn tháng, ông đến ngân hàng rút triệu để chi tiêu cho gia đình Hỏi đến ngày 01tháng 01 năm 2018, sau rút tiền, số tiền tiết Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 kiệm ông An còn lại là bao nhiêu? Biết lãi suất suốt thời gian ông An gửi không thay đổi A 800.(1, 005)11  72 (triệu đồng) B 1200  400.(1, 005)12 (triệu đồng) C 800.(1, 005)12  72 (triệu đồng) D 1200  400.(1, 005)11 (triệu đồng) Lời giải Chọn B Gửi ngân hàng số tiền là A đồng với lãi suất r % /tháng Mỗi tháng vào ngày ngân hàng tính lãi, rút số tiền là X đồng Sô tiền còn lại sau n tháng đươc tính theo công thức: S n  A 1  r  Câu 14 n 1  r  X r n 1 12 12  800 1, 005  1, 005  1 0,5%  775.3288753  1200  400.(1, 005)12 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Ông An gửi 100 triệu vào tiết kiệm ngân hàng theo thể thức lãi kép thời gian khá lâu mà không rút với lãi suất ổn định chục năm qua là 10% / năm Tết năm ông kẹt tiền nên rút hết để gia đình đón Tết Sau rút vốn lẫn lãi, ông trích gần 10 triệu để sắm sửa đồ Tết nhà thì ông còn 250 triệu Hỏi ông đã gửi tiết kiệm bao nhiêu lâu? A 10 năm B 17 năm C 15 năm D 20 năm Lời giải Chọn A Số tiền ông An tích lũy gồm vốn và lãi là 260 triệu Công thức tính lãi kép An  A 1  r   260.106  100.106 1  10%  n n  n  10 Câu 15 Một học sinh A 15 tuổi hưởng tài sản thừa kế 200 000 000 VNĐ Số tiền này bảo quản ngân hàng B với kì hạn toán năm và học sinh A nhận số tiền này 18 tuổi Biết 18 tuổi, số tiền mà học sinh A nhận là 231 525 000 VNĐ Vậy lãi suất kì hạn năm ngân hàng B là bao nhiêu? A 8% / năm B 7% / năm C 6% / năm D 5% / năm Lời giải Ta có: số tiền nhận gốc và lãi là: 200 000 000 1  r   231 525 000  r  5% /năm Câu 16 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Ông Anh gửi vào ngân hàng 60 triệu đồng theo hình thức lãi kép Lãi suất ngân hàng là 8% trên năm Sau năm ông An tiếp tục gửi thêm 60 triệu đồng Hỏi sau 10 năm kể từ lần gửi đầu tiên ông An đến rút toàn tiền gốc và tiền lãi là bao nhiêu? (Biết lãi suất không thay dổi qua các năm ông gửi tiền) A 231,815 (triệu đồng) B 197, 201 (triệu đồng) C 217,695 (triệu đồng) D 190, 271 (triệu đồng) Lời giải Số tiền ông An nhận sau năm đầu là: 60 1  8%   88,160 (triệu đồng) Số tiền ông An nhận (toàn tiền gốc và tiền lãi) sau 10 năm là: Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  88,16  60 1  8%  Câu 17  217,695 (triệu đồng) (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Một người tháng đặn gửi vào ngân hàng khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% tháng Biết sau 15 tháng người đó có số tiền là 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số tiền nào các số sau A 613.000 đồng B 645.000 đồng C 635.000 đồng D 535.000 đồng Lời giải T 15 Ta có: Số tiền lãi lẫn gốc sau 15 tháng gửi: S15  1  r  1  r  1   r T 15 1  0, 006 1  0, 006 1  T  635.301 0, 006 Vậy: 10.000.000  Câu 18 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Anh Nam gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn là quý với lãi suất 3% quý Sau đúng tháng anh Nam gửi thêm 100 triệu đồng với kì hạn và lãi suất trước đó.Hỏi sau năm số tiền (cả vốn lẫn lãi) anh Nam nhận là bao nhiêu? ( Giả sử lãi suất không thay đổi) A 218, 64 triệu đồng B 208, 25 triệu đồng C 210, 45 triệu đồng D 209, 25 triệu đồng Lời giải • Số tiền anh Nam nhận sau tháng (tức quý) là:  T1  100  30 /   106, 09 triệu đồng • Số tiền anh Nam nhận sau năm (tức quý còn lại năm) là:  T2  106,09  100   30 / Câu 19   218, 64 triệu đồng (Chuyên Sơn La 2019) Ông A gửi vào ngân hàng 50 triệu đồng với lãi suất 0, 5% / tháng Hỏi sau ít bao nhiêu tháng thì ông A có số tiền gốc lẫn lãi nhiều 60 triệu đồng? Biết suốt thời gian gửi, lãi suất ngân hàng không đổi và ông A không rút tiền A 36 tháng B 38 tháng C 37 tháng D 40 tháng Lời giải Gọi A là số tiền gửi vào ngân hàng, tháng Ta có T  A 1  r n n r là lãi suất, T là số tiền gốc lẫn lãi thu sau Theo đề T  50 1, 005   60  n  log1,005 n  36, Vậy sau ít 37 tháng thì ông A thu số tiền gốc lẫn lãi 60 triệu Câu 20 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Một người gửi 300 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% / năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau ít bao nhiêu năm, người đó nhận số tiền nhiều 600 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? Giả định suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền A năm B 10 năm C 11 năm D 12 năm Lời giải Kí hiệu số tiền gửi ban đầu là A , lãi suất kì hạn là m thì số tiền gốc và lãi có sau n n kì hạn là A 1  m  Do đó, số tiền gốc và lãi người đó nhận sau n năm là 300.1, 07 n triệu đồng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Số tiền gốc và lãi nhận nhiều 600 triệu đồng  300.1, 07 n  600  n  log1,07  10, 245 Vậy sau ít 11 năm thì người đó nhận số tiền nhiều 600 triệu đồng bao gồm gốc và lãi Câu 21 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Anh Bảo gửi 27 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kỳ hạn là quý, với lãi suất 1,85% quý Hỏi thời gian tối thiểu bao nhiêu để anh Bảo có ít 36 triệu đồng tính vỗn lẫn lãi? A 16 quý B 20 quý C 19 quý D 15 quý Lời giải Bài toán lãi kép: Kí hiệu số tiền gửi ban đầu là A , lãi suất kì hạn là r % thì số tiền gốc và lãi có sau n n kì hạn là Sn  A 1  r %  Anh Bảo nhận số tiền ít 36 triệu đồng tính vốn và lãi nên ta có: n 27 1  1,85%   36  n  15.693 Vậy thời gian tối thiểu để anh Bảo nhận ít 36 triệu đồng tính vốn lẫn lãi là 16 quý Câu 22 (Sở Bắc Giang 2019) Ông An gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,8%/ tháng Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau tháng số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho tháng và từ tháng thứ hai trở đi, tháng ông gửi them vào tài khoản với số tiền triệu đồng Hỏi sau đúng năm số tiền ông An nhận gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Biết suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông An không rút tiền (kết làm tròn đến hàng nghìn) A 169.871.000 đồng B 171.761.000 đồng C 173.807.000 đồng D 169.675.000 đồng Lời giải Với 100 triệu ban đầu số tiền lãi và gốc thu sau hai năm là 24 T1  100.1  0,8% 106  121074524 Mỗi tháng gửi triệu thì tổng số tiền lãi và gốc là  23 T2  1  0,008  1 1  0,008106  50686310  0,008  Vậy tổng số tiền là T  T1  T2  171.761.000 Câu 23 Năm 2020, hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là 900.000.000 đồng và dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm 2% giá bán so với giá bán năm trước Theo dự định đó, năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là bảo nhiêu ( kết làm tròn đến hàng nghìn)? A 810.000.000 B 813.529.000 C 797.258.000 D 830.131.000 Lời giải Chọn B Ta có: A  900.000.000, r  100 Năm 2021 giá xe niêm yết là: T1  A  Ar Năm 2022 giá xe niêm yết là T2  A  Ar   A  Ar  r  A 1  r  Năm 2025 giá xe niêm yết là: T5  T4  T4 r  A 1  r  5   T5  900.000.000     813.529.000  100  Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 24 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Năm 2020 , hãng xe ô tô niêm yết giá bán loại xe X là 850.000.000 đồng và dự định 10 năm tiếp theo, năm giảm 2% giá bán năm liền trước Theo dự định đó, năm 2025 hãng xe ô tô niêm yết giá bán xe X là bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng nghìn)? A 768.333.000 đồng B 765.000.000 đồng C 752.966.000 đồng D 784.013.000 đồng Lời giải Chọn A Giá bán xe năm đầu tiên: A1  850.000.000 đồng Giá bán xe năm thứ hai: A2  A1  A1.r  A1 1  r  đồng, với r  2% Giá bán xe năm thứ ba: A3  A2  A2 r  A2 1  r   A1 1  r  đồng … Giá bán xe năm thứ n : An  A1 1  r  n 1 đồng 5 Vậy giá bán xe năm thứ là A6  A1 1  r   850.000.000 1  2%   768.333.000 đồng Câu 25 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Một ngân hàng X , quy định số tiền nhận khách hàng sau n năm gửi tiền vào ngân hàng tuân theo công thức P ( n)  A(1  8%) , đó A là số tiền gửi ban đầu khách hàng Hỏi số tiền ít mà khách hàng B phải gửi vào ngân hàng X là bao nhiêu để sau ba năm khách hàng đó rút lớn 850 triệu đồng (Kết làm tròn đến hàng triệu)? A 675 triệu đồng B 676 triệu đồng C 677 triệu đồng D 674 triệu đồng Lời giải Chọn A Ta có P( n)  A(1  8%) n Sau năm số tiền khách hàng rút lớn 850 triệu đồng là: 850 850  A(1  8%)3  A   674,8 (1  8%)3 Vậy số tiền ít mà khách hàng B phải gửi vào ngân hàng X là 675 triệu đồng Câu 26 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Ông tuấn gửi 100 triệu vào ngân hàng với hình thức lãi kép, kỳ hạn năm với lãi suất 8% Sau năm ông rút toàn tiền và dùng để sửa nhà, số tiền còn lại ông tiếp tục gửi ngân hàng với lãi suất lần trước Số tiền lãi ông tuấn nhận sau 10 năm gửi gần với giá trị nào đây? A 46,933 triệu B 34, 480 triệu C 81, 413 triệu D 107, 946 triệu Lời giải Chọn C Năm năm đầu ông Tuấn có số tiền gốc và lãi là T1  100 1  0.08   146,933 Sau sửa nhà số tiền còn lại gửi vào ngân hàng năm thì số tiền gốc và lãi là 146,932 T2  1  0.08  107,946 Số tiền lãi 10 năm là L  146,933  100   107,946  73, 466   81, 413 Câu 27 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Dân số giới ước tính theo công thức S  A.eni , đó A là dân số năm lấy mốc, S là dân số sau n năm, i là tỷ lệ tăng dân số hàng năm Biết năm 2005 dân số thành phố Tuy Hòa là khoảng 202.300 người và tỉ lệ tăng dân số là 1,47% Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hỏi với mức tăng dân số không đổi thì đến năm bao nhiêu dân số thành phố Tuy Hòa đạt 255.000 người? A 2020 B 2021 C 2023 D 2022 Lời giải Chọn B Lấy năm 2005 làm mốc, đó A  202.300 Giả sử sau n năm thì dân số thành phố Tuy Hòa đạt 255.000 người, tức là ta có 1,47 n 255000  15, 75 năm 202300 Vậy đến năm 2021 thì dân số thành phố Tuy Hòa đạt 255.000 người 255.000  202.300  e 100  n  100  ln Câu 28 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Số ca nhiễm Covid – 19 cộng đồng tỉnh vào ngày thứ x giai đoạn ước tính theo công thức f  x   A.e rx đó A là số ca nhiễm ngày đầu giai đoạn, r là tỷ lệ gia tăng số ca nhiễm hàng ngày giai đoạn đó và cùng giai đoạn thì r không đổi Giai đoạn thứ tính từ ngày tỉnh đó có ca bệnh đầu tiên và không dùng biện pháp phòng chống lây nhiễm nào thì đến ngày thứ số ca bệnh tỉnh là 180 ca Giai đoạn thứ hai (kể từ ngày thứ trở đi) tỉnh đó áp dụng các biện pháp phòng chống lây nhiễm nên tỷ lệ gia tăng số ca nhiễm hàng ngày giảm 10 lần so với giai đoạn trước Đến ngày thứ giai đoạn hai thì số ca mắc bệnh tỉnh đó gần với số nào sau đây? A 242 B 16 C 90 D 422 Lời giải Chọn A * Giai đoạn 1: Ta có: 180  9.e r  r  ln 20 * Giai đoạn 2: r .6 Đến ngày thứ số ca mắc bệnh tỉnh là f ( x)  180.e10  242 Câu 29 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Anh Việt vay tiền ngân hàng 500 triệu đồng mua nhà và trả góp hàng tháng Cuối tháng tháng thứ anh trả 10 triệu đồng và chịu lãi suất là 0, 9% / tháng cho số tiền chưa trả Với hình thức hoàn nợ thì sau bao lâu anh Việt trả hết số nợ ngân hàng? A 65 tháng B 66 tháng C 67 tháng Lời giải D 68 tháng Chọn C Gọi A là số tiền vay ngân hàng; r là lãi suất hàng tháng cho số tiền còn nợ; m là số tiền trả nợ hàng tháng; n là thời gian trả hết nợ m n n Để trả hết nợ thì A 1  r   1  r   1    r 10  n n  500 1  0, 9%   1  0,9%   1   0, 9% 20 n  1  0,9%   11 20  n  log 1 0,9%   66, 72 11 Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy sau 67 tháng anh Việt trả hết nợ Câu 30 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Dân số giới ước tính theo công thức S  A.eni , đó A là dân số năm lấy làm mốc, S là dân số sau n năm, i là tỉ lệ tăng dân số năm Dân số Việt Nam năm 2019 là 95,5 triệu người, tỉ lệ tăng dân số năm từ 2009 đến là 1,14% Hỏi dân số Việt Nam năm 2009 gần với số nào các số sau? A 94, triệu người B 85, triệu người C 86, triệu người D 83,9 triệu người Lời giải Chọn B Áp dụng công thức S  A.eni đó: S  95,5 triệu người, n  10 năm, i  1,14% Ta có số dân Việt Nam năm 2009 là: A  Câu 31 S 95,5  10.1,14%  85, triệu người ni e e (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Ông An dự định gửi vào ngân hàng số tiền với lãi suất không đổi là 7% năm Biết sau năm số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu để tính lãi cho năm Tính số tiền tối thiểu x (triệu đồng, x   ) ông An gửi vào ngân hàng để sau năm số tiền lãi đủ mua xe gắn máy giá trị 45 triệu đồng A 200 B 190 C 250 D 150 Lời giải Chọn A n Áp dụng công thức P  Po 1  r  Số tiền ông An có sau năm là: P  x 1  0, 07   3  Tiền lãi ông An có sau năm là: P  x  x 1  0, 07   x  x 1  0, 07     Số tiền lãi trên là 45 triệu đồng nên: x 1  0,07    45  x  199,96 Câu 32 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Để dự báo dân số quốc gia, người ta sử dụng công thức S  Aenr ; đó A là dân số năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm Năm 2017, dân số Việt nam là 93.671.600 người (Tổng cục Thống kê, Niên giám thống kê 2017, Nhà xuất Thống kê, Tr 79) Giả sử tỉ lệ tăng dân số hàng năm không đổi là 0,81%, dự báo dân số Việt nam năm 2035 là bao nhiêu người (kết làm tròn đến chữ số hàng trăm)? A 109.256.100 B 108.374.700 C 107.500.500 Lời giải D 108.311.100 Chọn B Lấy năm 2017 làm mốc, ta có A  93.671.600; n  2035  2017  18 18  Dân số Việt Nam vào năm 2035 là S  93.671.600.e Câu 33 0, 81 100  108.374.700 (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Để quảng bá cho sản phẩm A, công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình Nghiên cứu công ty cho thấy: sau n lần quảng cáo phát thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức P  n  Hỏi cần phát ít bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản  49e0,015n phẩm đạt trên 30%? A 202 B 203 C 206 D 207 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn B  0,3  49e0,015 n 10  Theo bài ta có   49e0,015n  e0,015 n  147 147 n ln  202,97 0, 015 147 Vậy ít 203 lần quảng cáo  0, 015n  ln Câu 34 (Sở Hà Nội 2019) Cường độ ánh sáng qua môi trường nước biển giảm dần theo công thức I  I 0e  x , với I0 là cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu vào môi trường nước biển và x là độ dày môi trường đó ( x tính theo đơn vị mét) Biết môi trường nước biển có số hấp thụ là   1,4 Hỏi độ sâu 30 mét thì cường độ ánh sáng giảm bao nhiêu lần so với cường độ ánh sáng lúc ánh sáng bắt đầu vào nước biển? A e21 lần B e42 lần C e21 lần Lời giải: D e42 lần Khi bắt đầu vào môi trường nước biển thì x   I1  I o eo Ở độ sâu 30 mét thì I  I o e  30 I I o e   30 Vậy ta có:   I  e 42 I1 , I tăng e42 lần so với I1 , nói cách khác, I giảm o I1 I o e e42 lần so với I1 Câu 35 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Một người thả lá bèo vào chậu nước Sau 12 giờ, bèo sinh sôi phủ kín mặt nước chậu Biết sau lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi Hỏi sau thì bèo phủ kín mặt nước chậu (kết làm tròn đến chữ số phần thập phân) A 9,1 B 9,7 C 10,9 D 11,3 Lời giải Gọi S là diện tích lá bèo thả ban đầu Vì sau giờ, lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó nên sau 12 giờ, tổng diện tích các lá bèo chậu là 1012 S Theo đề bài: Sau 12 giờ, bèo phủ kín mặt nước chậu nên diện tích mặt nước chậu là 1012 S Giả sử sau x thì bèo phủ kín mặt nước chậu Ta có: 10 x S  1012 S  1012 x   x  12  log  11,3 Vậy sau 11,3 thì bèo phủ kín mặt nước chậu Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 36 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Cho biết tăng dân số ước tính theo công thức S  A.e Nr (trong đó A là dân số năm lấy làm mốc tính, S là dân số sau N năm, r là tỉ lệ tăng dân số năm) Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh là 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh là 1.153.600 người Hỏi tỉ lệ tăng dân số năm giữ nguyên thì đầu năm 2020 dân số tỉnh nằm khoảng nào? A 1.281.600;1.281.700  B 1.281.700;1.281.800  C 1.281.800;1.281.900  D 1.281.900;1.282.000  Lời giải Chọn B Áp dụng công thức S  A.e Nr từ đầu năm 2010 đến đầu năm 2015 ta có: 1153600 1153600  1038229.e5r  r  ln 1038229 1153600 10 ln 1038229 Đầu năm 2020 dân số tỉnh Bắc Ninh là S  1038229.e Vậy Chọn B Câu 37  1281792 người (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Anh Dũng đem gửi tiết kiệm số tiền là 400 triệu đồng hai loại kỳ hạn khác Anh gửi 250 triệu đồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất x% quý Số tiền còn lại anh gửi theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0, 25% tháng Biết không rút lãi thì số lãi nhập vào số gốc để tính lãi cho kỳ hạn Sau năm số tiền gốc và lãi anh là 416.780.000 đồng Tính x A 1, B 0,8 C 0,9 D 1,5 Lời giải Chọn A + Xét bài toán ông B gửi tiết kiệm số tiền A đồng với lãi suất r cho kỳ hạn Biết không rút lãi thì số lãi nhập vào số gốc để tính lãi cho kỳ hạn Hỏi sau n kỳ hạn số tiền gốc và lãi ông B là bao nhiêu thời gian gửi lãi suất không thay đổi? - Sau kì hạn số tiền gốc và lãi mà ông B có là T1  A  A.r  A 1  r  - Sau kì hạn số tiền gốc và lãi mà ông B có là T2  T1  T1.r  T1 1  r   A 1  r  - Tổng quát ông B có số tiền gốc và lãi sau n kì hạn là Tn  A 1  r  n 1 + Áp dụng công thức 1 cho bài toán đề cho, gọi S là số tiền gốc và lãi anh Dũng có sau năm gửi, ta có : S  250 1  x %   150 1  0, 25%  (triệu đồng) 12 S  416, 78 (triệu đồng)  250 1  x %   150 1  0, 25%   416, 78  x  1, 12 Vậy x  1, Câu 38 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Một người thả lá bèo vào chậu nước Sau 12 bèo sinh sôi phủ kín mặt nước chậu Biết sau lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước đó và tốc độ tăng không đổi Hỏi sau thì bèo phủ kín chậu (kết làm tròn đến chữ số phần thập phân)? A 9,1 B 9,7 C 10,9 Lời giải Chọn D mặt nước D 11,3 n Sau giờ, lượng lá bèo phủ trên mặt nước là: 10 1  n  12  Lượng lá bèo phủ kín mặt nước chậu (sau 12 giờ) là: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1013 1 1013  1 Do đó, lượng lá bèo cần để phủ mặt nước chậu là 45 S   10  102   1012  Giả sử sau t giờ, lá bèo phủ kín mặt nước chậu, ta có 10t 1 1 1013 1 110 10  10   45 t 1013  10   t  11,3 t 1 Câu 39 (Bình Giang-Hải Dương 2019) Một công ty vừa tung thị trường sản phẩm và họ tổ chức quảng cáo trên truyền hình ngày Một nghiên cứu thị trường cho thấy, sau x lần quảng 100 , x  Hãy tính số lần cáo phát thì số % người xem mua sản phẩm là P  x    49e0.015 x quảng cáo phát tối thiểu để số % người xem mua sản phẩm đạt 75% A 323 B 343 C 330 D 333 Lời giải Chọn D Theo yêu cầu bài toán ta có: 100 P  x   75   49e0.015 x   e0.015 x  0.015 x  49e 147   ln      147   332.7  0.015 x  ln   x   0.015  147  Vậy số lần quảng cáo tối tiểu là 333 lần Câu 40 Áp suất không khí P (đo milimet thủy ngân, kí hiệu là mmHg) suy giảm mũ so với độ cao x (so với mặt nước biển)(đo mét) theo công thức P  P0 e xi , đó P0  760mmHg là áp suất mực nước biển  x   , i là hệ số suy giảm Biết độ cao 1000 m thì áp suất không khí là 672, 71mmHg Hỏi áp suất không khí độ cao 3343 m là bao nhiêu (làm tròn đến hàng phần trăm)? A 505, 45 mmHg B 530, 23 mmHg C 485, 36 mmHg D 495, 34 mmHg Lời giải Chọn A Ở độ cao x1  1000 m thì áp suất không khí P1  672,71mmHg Suy P1  P0 e x i P ln   P P  x1i  ln    i     1, 22.104 x1  P0  Áp suất không khí P2 độ cao x2  3343m là: P2  P0 e x i  760.e3343.( 1.22.10 4 )  505, 46 mmHg Câu 41 Số lượng loại vi khuẩn A phòng thí nghiệm tính theo công thức s(t )  s(0).2t , đó s(0) là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s(t ) là số lượng vi khuẩn A có sau t phút Biết sau phút thì số vi khuẩn A là 625 nghìn Hỏi sau bao lâu kể từ lúc ban đầu, số lượng loại vi khuẩn A là 20 triệu Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A phút B 12 phút C 48 phút Lời giải D phút Chọn D Theo giả thiết ta có: s(3)  625000  s(0).23  625000  s(0)  78125 Số lượng loại vi khuẩn A là 20 triệu s(t )  20000000  s(0).2t  20000000  2t  20000000 20000000   256  t  s(0) 78125 Vậy, sau phút thì số lượng vi khuẩn A là 20 triệu NHỮNG CÂU HỎI KHÓ HƠN VỀ BÀI TOÁN THỰC TẾ Câu (Đề Minh Họa 2017) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách đúng tháng, số tiền hoàn nợ lần là và trả hết tiền nợ sau đúng tháng kể từ ngày vay Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ông A hoàn nợ A m  120.(1,12)3 (triệu đồng) (1,12)3  B m  100.(1, 01)3 (triệu đồng) C m  (1, 01)3 (triệu đồng) (1, 01)3  D m  100.1, 03 (triệu đồng) Lời giải Chọn C Theo đề ta có: ông A trả hết tiền sau tháng ông A hoàn nợ lần Với lãi suất 12%/năm suy lãi suất tháng là 1% Hoàn nợ lần 1: -Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100.0, 01  100  100.1, 01 (triệu đồng) - Số tiền dư : 100.1, 01  m (triệu đồng) Hoàn nợ lần 2: - Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100.1,01  m  0, 01  100.1, 01  m   100.1, 01  m  1, 01  100 1,01  1, 01.m (triệu đồng) - Số tiền dư: 100 1, 01  1,01.m  m (triệu đồng) Hoàn nợ lần 3: - Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100 1, 012  1, 01.m  m  1, 01  100 1, 013  1, 01 m  1, 01m (triệu đồng)   - Số tiền dư: 100 1,01  1, 01 m  1, 01m  m (triệu đồng)  100 1, 01  1, 01 m  1, 01m  m   m  m 100 1,01 1, 01  1 100 1, 01 1, 01  1, 01  1,01 (triệu đồng) 1,012  1, 01  1 1, 01  1 1, 013     Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Đề Tham Khảo 2019) Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách đúng tháng, số tiền hoàn nợ tháng là và ông A trả hết nợ sau đúng năm năm kể từ ngày vay Biết tháng ngâng hàng tính lãi trên số dư nợ thực tế tháng đó Hỏi số tiền tháng ông ta cần trả cho ngâng hàng gần với số tiền nào đây? A 2, 20 triệu đồng B 2, 22 triệu đồng C 3, 03 triệu đồng D 2, 25 triệu đồng Lời giải Chọn B Ta xây dựng bài toán tổng quát sau Gọi số tiền người đó vay ngâng hàng là V0 triệu đồng Số tiền hàng tháng người đó phải trả là a triệu đồng Lãi suất là r %/ tháng Vậy số tiền nợ ngân hàng sau tháng thứ là V0 1  0, 0r  Số tiền người đó còn nợ ngân hàng sau trả tiền tháng là T1  V0 1  0, 0r   a Số tiền người đó còn nợ ngân hàng sau trả tiền tháng là T2  T1 1  0,0r   a  Vo 1  0,0r   a  1  0, 0r   a  Vo 1  0, 0r   a 1  0,0r   a Số tiền người đó còn nợ ngâng hàng sau tháng thứ n là n Tn  Vo 1  0, r   a 1  0, r  n 1   a 1  0, r   a Vì sau n tháng thì trả hết tiền nên ta có n Tn   Vo 1  0, 0r   a 1  0, 0r  n 1 n  Vo 1  0, 0r   a 1  0, 0r     a 1  0, 0r   a  n 1   1  0, 0r   1  n 1  0, 0r    Vo 1  0, 0r   a 1  0, 0r   n V 0, 0r 1  0, 0r  a o n 1  0, 0r   n Áp dụng a Câu 100.0, 011, 0160  1, 0160   2, 224444768 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Đầu tháng anh A gửi vào ngân hàng triệu đồng với lãi suất kép là 0,6% tháng Hỏi sau ít bao nhiêu tháng (khi ngân hàng đã tính lãi) thì anh A có số tiền lãi và gốc nhiều 100 triệu, biết lãi suất không đổi qua trình gửi A 31 tháng B 40 tháng C 35 tháng D 30 tháng Lời giải Chọn A + Đặt a   r và M Trong đó M là số tiền góp vào hàng tháng, r là lãi suất hàng tháng Tiền gốc và lãi anh A nhận tháng thứ là: T1  M  M r  M a Tiền gốc và lãi anh A nhận tháng thứ hai là: T2  M a  M   M a  M  r  Ma  Ma Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 … Tương tự tiền gốc và lãi anh A nhận tháng thứ n là: an 1 M n  1  r  1  r   1 a 1 r + Sau tháng thứ n anh A gửi vào ngân hàng triệu đồng với lãi suất kép là 0,6% tháng và Tn  Ma n  Ma n 1   Ma  Ma  a n 1  a n    1  Ma nhận số tiền nhiều 100 triệu, đó ta có:  n  0, 6%   1 1  0, 6%   100  n  30,3   0, 6%  Vậy sau ít 31 tháng thì anh A có số tiền nhiều 100 triệu Câu (Sở Hà Tĩnh - 2020) Một người vay tiền ngân hàng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0, 7% / tháng với tổng số tiền vay là tỉ đồng Mỗi tháng người đó trả cho ngân hàng số tiền để trừ vào tiền gốc và lãi Biết đúng 25 tháng thì người đó trả hết gốc và lãi cho ngân hàng Hỏi số tiền người đó trả cho ngân hàng tháng gần với số nào sau đây? A 43.730.000 đồng B 43.720.000 đồng C 43.750.000 đồng D 43.740.000 đồng Lời giải Chọn D Gọi M là số tiền vay ban đầu Gọi A là số tiền mà hàng tháng người đó trả cho ngân hàng Sau tháng dư nợ còn lại là: M 1, 007  A Sau tháng dư nợ còn lại là:  M 1,007  A 1, 007  A  M 1, 007  A.1,007  A Sau tháng dư nợ còn lại là:  M 1, 007 2  A.1, 007  A 1, 007  A  M 1, 0073  A 1, 007   1, 007  1    Sau tháng thứ n dư nợ còn lại là: M 1, 007 n  A 1, 007   Vì đúng 25 tháng thì trả hết nợ nên: n 1  1, 007 n 2   1, 007  1  24 1.1, 007 25  A 1, 007   1, 00723   1, 007  1    1, 007 25  24  1, 007 25  A 1,007   1, 007 23   1, 007  1  1, 007 25  A   0, 007  A Câu 1, 00725.0, 007  0, 04374151341 tỉ đồng  43.741.513 đồng  43.740.000 đồng 1, 007 25  (Sở Bình Phước - 2020) Một sinh viên trường làm ngày 1/1/2020 với mức lương khởi điểm là a đồng tháng và sau năm lại tăng thêm 10% và chi tiêu hàng tháng là 40% lương Anh ta dự định mua hộ chung cư giá rẻ có giá trị thời điểm 1/1/2020 là tỷ đồng và sau năm thì giá trị hộ tăng thêm 5% Với a bao nhiêu thì sau đúng 10 năm mua hộ đó, biết mức lương và mức tăng giá trị ngôi nhà là không đổi ( kết quy tròn đến hàng nghìn đồng) A 11.487.000 đồng B 14.517.000 đồng C 55.033.000 đồng D 21.776.000 đồng Lời giải Chọn B n Áp dụng công thức P  Po 1  r  5 Ta giá trị ngôi nhà sau 10 năm là: P  109 1  0, 05   109 1, 05  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Sau chi tiêu hàng tháng thì số tiền Người sinh viên còn lại tháng là 60% lương Trong hai năm 2020 - 2021, Người sinh viên có số tiền là: 24  0, 6a Trong hai năm 2022 - 2023, anh sinh viên có số tiền là: 24  0, 6a 1  0,1 Trong hai năm 2024 - 2025, anh sinh viên có số tiền là: 24  0, 6a 1  0,1 Trong hai năm 2026 - 2027, anh sinh viên có số tiền là: 24  0, 6a 1  0,1 Trong hai năm 2028 - 2029, anh sinh viên có số tiền là: 24  0, 6a 1  0,1 Tổng số tiền anh sinh viên có sau 10 năm là: 24  0, 6a  24  0, 6a 1  0,1  24  0, 6a 1  0,1  24  0, 6a 1  0,1  24  0, 6a 1  0,1 4  24  0, 6a 1  1  0,1  1  0,1  1  0,1  1  0,1     1  0,1 0, 61051  24  0, 6a   24  0, 6a  87, 91344  a  1  0,1 0,1 Số tiền trên giá trị ngôi nhà sau 10 năm: 109 1, 05   87, 91344  a  a  14.517.000 Câu (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0, 7% / tháng theo thỏa thuận tháng người đó trả cho ngân hàng triệu đồng và trả hàng tháng hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả triệu) Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng? A 21 B 22 C 23 D 24 Lời giải Chọn B Gọi số tháng là n ( n   * ) Đặt a  , q  1, 007 Đến lần nộp tiền thứ n : Khoản tiền a đầu tiên trở thành a q n1 Khoản tiền a thứ hai trở thành a q n2 … Giả sử khoản tiền cuối cùng là a thì tổng số tiền đã trả vốn lẫn lãi là a qn  1, 007 n   q 1 0, 007 Số tiền 100 triệu đồng với lãi suất là 0, 7% / tháng, sau n tháng, trở thành 100 1, 007 n Ta có phương trình 1, 007 n   100.1, 007 n  n  21, 0, 007 Theo đề bài, tháng cuối cùng có thể trả triệu đồng nên số tháng phải làm tròn là 22 tháng Câu (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) COVID19 là loại bệnh viêm đường hô hấp cấp chủng virus corona (nCoV) bắt nguồn từ Trung Quốc (đầu tháng 12/2019) gây với tốc độ truyền bệnh nhanh (tính đến 7/4/2020 đã có 360 039 người nhiễm bệnh) Giả sử ban đầu có người bị nhiễm bệnh và sau ngày lây sang người khác Tất người nhiễm bệnh lại tiếp tục lây sang người khác với tốc độ trên (1 người lây người) Hỏi sau ngày có tổng cộng bao nhiêu người nhiễm bệnh? (Biết người nhiễm bệnh không phát thân bị bệnh và không phòng tránh cách li, thời gian ủ bệnh lây bệnh sang người khác) A 77760 người B 16384 người C 62500 người D 78125 người Lời giải Chọn D Sau ngày, tổng số người nhiễm bệnh là   người Sau ngày, tổng số người nhiễm bệnh là 1    1    1   người Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Sau ngày, tổng số người nhiễm bệnh là 1    1    1   người  Sau ngày, tổng số người nhiễm bệnh là 1  7  78125 người Ngoài chúng ta có thể áp dụng công thức lãi kép để tính nhanh: n S n  A 1  r   1    78125 , với A  , r  , n  Câu (Liên trường Nghệ An - 2020) Ông A có số tiền 100000000 đồng gửi tiết kiệm theo thể thức lãi kép, có hai loại kì hạn: loại kì hạn 12 tháng với lãi suất 12% /năm và loại kì hạn tháng với lãi suất 1% /tháng Ông A muốn gửi 10 năm Theo anh chị, kết luận nào sau đây đúng (làm tròn đến hàng nghìn)? A Gửi theo kì hạn tháng có kết nhiều kì hạn năm là 16186000 đồng sau 10 năm B Cả hai loại kì hạn có cùng số tiền sau 10 năm C Gửi theo kì hạn tháng có kết nhiều kì hạn năm là 19454000 đồng sau 10 năm D Gửi theo kì hạn tháng có kết nhiều kì hạn năm là 15584000 đồng sau 10 năm Lời giải Chọn C Tổng số tiền ông A nhận sau 10 năm gửi theo kì hạn 12 tháng là: n1 T1  T0 1  r1   108.1,1210  310585000 (đồng) Tổng số tiền ông A nhận sau 10 năm gửi theo kì hạn tháng là n2 T2  T0 1  r2   108.1,01120  330039000 (đồng) Như vậy, sau 10 năm, gửi theo kì hạn tháng có kết nhiều kì hạn năm là: T  T2  T1  330039000  310585000  19454000 (đồng) Câu (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Một người vay vốn ngân hàng với số tiền 50 triệu đồng, thời hạn 50 tháng với lãi suất 1,15% trên tháng, tính theo dư nợ trả đúng ngày quy định Hỏi hàng tháng người đó phải trả đặn vào ngân hàng khoản tiền là bao nhiêu để đến cuối tháng thứ 50 thì người đó trả hết gốc lẫn lãi cho ngân hàng (làm tròn đến trăm đồng) ? A 1.018.500 đồng B 1.320.800 đồng C 1.320.500 đồng D 1.771.300 đồng Lời giải Chọn C Gọi N là số tiền vay ban đầu, r là lãi suất theo tháng, A là số tiền phải trả hàng tháng, ta có: + Số dư nợ sau tháng là: N  Nr  A  N 1  r   A + Số dư nợ sau tháng là: N 1  r   A   N 1  r   A r  A  N 1  r   + Số dư nợ sau tháng là: N 1  r   A 1  r   1  r A  r   1   r … n + Số dư nợ sau n tháng là: N 1  r   A n 1  r   1  r n Giả sử sau n tháng thì dư nợ 0, ta có N 1  r  n N 1  r  r A n  1  r   1   A  n   r 1  r   Áp dụng với N  50.000.000 đồng, r  1,15% và n  50 tháng ta có: A  1.320.500 đồng Câu 10 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo phương thức trả góp với lãi suất 0,85% /tháng Nếu sau tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10 triệu đồng bao gồm tiền lãi vay và tiền gốc Biết Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 phương thức trả lãi và gốc không thay đổi suốt quá trình anh An trả nợ Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh trả hết nợ ngân hàng? (Tháng cuối có thể trả 10 triệu đồng) A 68 B 66 C 65 D 67 Lời giải Chọn B Giả sử anh An vay số tiền là A với lãi suất r trên tháng và trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là x Anh An sau các tháng còn nợ ngân hàng với số tiền là: Tháng thứ 1: A 1  r   x Tháng thứ 2:  A 1  r   x  1  r   x  A 1  r   1  1  r   x  A 1  r  1  r  Tháng thứ : A 1  r   x 1  r   x 1 r 1 r … Tháng thứ n : A 1  r  n 1  r   x n 1 r Áp dụng công thức ta có: A  500; r  0, 0085; x  10 và sau n tháng trả hết nợ ta có: 500 1  0, 0085  n n 1  0, 0085  10  50 1, 0085   Câu 11 n 1 0, 0085 1, 0085 n 0, 0085 1 0 n  1, 0085   40 40  n  log1,0085  65, 23 23 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Ông Chính gửi 200 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm và từ năm thứ trở đi, năm ông gửi thêm vào tài khoản với số tiền 20 triệu đồng Hỏi sau 18 năm số tiền ông Chính nhận gốc lẫn lãi là bao nhiêu? Giả định suốt thời gian gửi lãi suất không thay đổi và ông Chính không rút tiền (kết làm tròn đến hàng nghìn) A 1.686.898.000 VNĐ B 743.585.000 VNĐ C 739.163.000 VNĐ D 1.335.967.000 VNĐ Lời giải Gọi a  200 triệu; b  20 triệu;   7% Số tiền sau năm: a 1    Số tiền sau năm: a 1     b 1    Số tiền sau năm: a 1     b 1     b 1    …………………… 18 17 16 Số tiền sau 18 năm: a 1     b 1     1      1       18  a 1    17      1   b 1        Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy số tiền ông Chính nhận sau 18 năm là: 1.335.967.000 VNĐ Câu 12 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Một người gửi tiết kiệm số tiền 80000000 đồng với lãi suất 6,9% / năm Biết tiền lãi hàng năm nhập vào tiền gốc, hỏi sau đúng năm người đó rút tiền gốc lẫn tiền lãi gần với số nào sau đây? A 105370000 đồng B 111680000 đồng C 107667000 đồng D 116570000 đồng Lời giải Gọi P0 là số tiền gửi ban đầu, r là lãi suất / năm Số tiền gốc và lãi sau năm thứ nhất: P1  P0  P0 r  P0 1  r  Số tiền gốc và lãi sau năm thứ hai: P2  P1  P1.r  P0 1  r  … Số tiền gốc và lãi người đó rút sau năm là 5 P5  P0 1  r   80000 000 1  6,9%   111680 799 (đồng) Câu 13 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Một người tháng đặn gửi vào ngân hàng khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0,6% tháng Biết sau 15 tháng, người đó có số tiền là 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số tiền nào các số sau A 613.000 đồng B 645.000 đồng C 635.000 đồng D 535.000 đồng Lời giải Chọn C Số tiền nhận gửi khoản tiền T tháng đầu tiên là T (1  0,006)15  T 1,00615 Số tiền nhận gửi khoản tiền T tháng thứ là T (1  0, 006)14  T 1,00614 Cứ vậy, số tiền nhận gửi khoản tiền T tháng thứ 14 là T (1  0,006)  T 1,006 Vậy tổng số tiền nhận sau 15 tháng là: T (1,00615  1,00614   1,0062  1,006)  T 1,006 Theo giả thiết có: 10000000  T 1,006 1,00615  0, 006 1,00615   T  635301, 46 0, 006 Câu 14 Một người muốn có tỉ tiền tiết kiệm sau năm gửi ngân hàng cách ngày 01/01/2019 đến 31/12/2024, vào ngày 01/01 hàng năm người đó gửi vào ngân hàng số tiền với lãi suất ngân hàng là 7% / năm (tính từ ngày 01/01 đến ngày 31/12) và lãi suất hàng năm nhập vào vốn Hỏi số tiền mà người đó phải gửi vào ngân hàng hàng năm là bao nhiêu (với giả thiết lãi suất không thay đổi và số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)? A 130 650 280 (đồng) B 130 650 000 (đồng) C 139 795 799 (đồng) D 139 795 800 (đồng) Lời giải Chọn A Gọi T0 là số tiền người đó gửi vào ngân hàng vào ngày 01/01 hàng năm, Tn là tổng số tiền vốn lẫn lãi người đó có cuối năm thứ n , với n  * , r là lãi suất ngân hàng năm Ta có: T1  T0  rT0  T0 1  r  Đầu năm thứ , người đó có tổng số tiền là: T0 1  r 2  1  T0 1  r 2  1 T0 1  r   T0  T0 1  r   1   r   1  r   1  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do đó: T2  T0  T T 2 1  r   1  1  r   1 r  1  r   1 1  r      r r r …… Ta có: Tn  T0  n 1  r   1 1  r   r  Áp dụng vào bài toán, ta có: 10  Câu 15 T0  1  0, 07   1 1  0, 07   T0  130 650 280 đồng   0, 07 (THPT Ba Đình 2019) Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0, 7% /tháng theo thỏa thuận tháng người đó trả cho ngân hàng triệu đồng và trả hàng tháng hết nợ (tháng cuối cùng có thể trả triệu) Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả hết nợ ngân hàng A 22 B 23 C 24 D 21 Lời giải Gọi số tiền vay ban đầu là M , số tiền hoàn nợ tháng là m , lãi suất tháng là r Hết tháng thứ nhất, số tiền vốn lẫn nợ ngân hàng là M  Mr  M 1  r  (triệu đồng) Sau hoàn nợ lần thứ nhất, số tiền còn nợ là M 1  r   m (triệu đồng) Sau hoàn nợ lần thứ hai, số tiền còn nợ là M 1  r   m   M 1  r   m  r  m  M 1  r   m 1  r   m (triệu đồng) Sau hoàn nợ lần thứ ba, số tiền còn nợ là 2 M 1  r   m 1  r   m   M 1  r   m 1  r   m  r  m    M 1  r   m 1  r   m 1  r   m (triệu đồng) Lập luận tương tự, sau hoàn nợ lần thứ n , số tiền còn nợ là n M 1  r   m 1  r  n 1  m 1  r  n2   m 1  r   m  M 1  r  n m 1  r    r n 1  1  Sau tháng thứ n trả hết nợ thì ta có M 1  r  n m 1  r    r n 1 n  1    m  Mr 1  r  n 1  r   m  m   n  log 1 r    m  Mr  m  Mr  Thay số với M  100.000.000 , r  0, 7% , m  5.000.000 ta tính n  21,62 (tháng) n n  m   m  Mr 1  r   1  r   Vậy sau 22 tháng người đó trả hết nợ ngân hàng Câu 16 (HSG Bắc Ninh 2019) Vào ngày 15 hàng tháng ông An đến gửi tiết kiệm ngân hàng SHB số tiền triệu đồng theo hình thức lãi kép với kì hạn tháng, lãi suất tiết kiệm không đổi suốt quá trình gửi là 7,2% / năm Hỏi sau đúng năm kể từ ngày bắt đầu gửi ông An thu số tiền gốc và lãi là bao nhiêu (làm tròn đến nghìn đồng)? A 195251000 (đồng) B 201453000 (đồng) C 195252000 (đồng) D 201452000 (đồng) Lời giải Gọi Tn là số tiền gốc lẫn lãi sau n tháng, a là số tiền gốc, r là lãi xuất, ta có: Cuối tháng thứ ông An có số tiền là: T1  a 1  r  Đầu tháng thứ ông An có số tiền là: T2  a 1  r   a Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Cuối tháng thứ ông An có số tiền là: T2  a 1  r   a   a 1  r   a  r  a 1  r   a 1  r  …………………………………………………………… Cuối tháng thứ n ông An có số tiền là:: Tn  a 1  r   a 1  r    a 1  r    a 1  r   1  r    1  r  n   a 1  r   1  r  n n   a 1  r  1  r  1 1 1 n  r 1 r Với kì hạn tháng, suy năm có 36 kỳ Lãi xuất năm là 7,2% , suy lãi xuất 7,2 %  0.6% Áp dụng 1 ta có: a  5000000; r  0.6%  0.072; n  36 tháng là: 12  T36  Câu 17  36   201453000 5000000 1  0.6%  1  0.6%   0.6% (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Anh Bình gửi 200 triệu vào ngân hàng VB với kì hạn cố định 12 tháng và hưởng lãi suất 0, 65% / tháng Tuy nhiên sau gửi tròn tháng anh phải dùng đến 200 triệu trên Anh đến ngân hàng định rút tiền thì nhân viên ngân hàng tư vấn: “Nếu rút tiền trước kì hạn, toàn số tiền anh gửi có lãi suất không kỳ hạn là 0, 02% / thángAnh nên chấp sổ tiết kiệm đó ngân hàng để vay ngân hàng 200 triệu với lãi suất 0, 7% / tháng Khi sổ anh đến kì hạn, anh có thể rút tiền để trả nợ ngân hàng” Nếu làm theo tư vấn nhân viên ngân hàng anh Bình đỡ thiệt số tiền gần với số nào đây (biết ngân hàng tính lãi theo thể thức lãi kép) A 10,85 triệu đồng B 10,51 triệu đồng C 10,03 triệu đồng D 10,19 triệu đồng Lời giải Số tiền trả cho ngân hàng vay 200 triệu tháng N  200 1  0, 7%   200  5, 65907 Tổng số tiền lãi anh Bình gửi đúng kì hạn là 12 L1  200 1  0, 65%   200  16,16996 Số tiền lãi anh Bình làm theo tư vấn nhân viên ngân hàng L  16,16996  5, 65907  10,51089 Số tiền lãi gửi tháng theo hình thức lãi suất không kì hạn L2  200 1  0, 02%   200  0,32022 Số tiền anh Bình đỡ thiệt làm theo tư vấn nhân viên ngân hàng 16,16996  5, 65907  0,32022  10,19067 Câu 18 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Một thầy giáo đầu tháng lại gửi ngân hàng 000 000 VNĐ với lãi suất 0,5% / tháng Hỏi sau bao nhiêu tháng thầy giáo có thể tiết kiệm tiền để mua xe ô tô trị giá 400 000 000 VNĐ? A 60 B 50 C 55 Lời giải D 45 Đặt T  000 000 Số tiền thầy giáo thu sau tháng thứ nhất, thứ 2, thứ 3,., thứ n là T1 , T2 , T3 , , Tn Ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 T1  T 1  r  T2  T1  T  1  r   T 1  r   T 1  r  T3  T2  T  1  r   T 1  r   T 1  r   T 1  r  n Tn  T 1  r   T 1  r  n 1   T 1  r   T 1  r   Theo bài ta có Tn  400 000 000  T 1  r   n  1  r   1  r  n 1 r 1  r  n 1 r  400 000 000 251 251  n  log1.005  44,54 201 201 Vậy sau 45 tháng thầy giáo mua xe ô tô trị giá 400 000 000 VNĐ Câu 19 (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Một người vay ngân hàng số tiền 400 triệu đồng, tháng trả góp 10 triệu đồng và lãi suất cho số tiền chưa trả là 1% tháng Kỳ trả đầu tiên là cuối tháng thứ Biết lãi suất không đổi suốt quá trình gửi, hỏi số tiền còn phải trả kỳ cuối là bao nhiêu để người này hết nợ ngân hàng? (làm tròn đến hàng nghìn) A 2.921.000 B 3.387.000 C 2.944.000 D 7.084.000 Lời giải Cuối tháng thứ nhất, tiền gốc và lãi là 400 1, 01 triệu đồng Sau trả 10 triệu thì số tiền người đó còn nợ ngân hàng là  400 1, 01  10  triệu đồng Cuối tháng thứ hai, tiền gốc và lãi là:  400 1, 012  10 1, 01 triệu đồng Sau trả 10 triệu thì số tiền người đó còn nợ ngân hàng là  400 1, 012  10 1, 01  10  triệu đồng Như cuối tháng thứ n  n  1 người đó còn nợ thì số tiền nợ là:  400 1,01 n  10 1, 01n1  10 1,01n     10  triệu đồng Xét 400 1,01n 10 1,01n1 10 1,01n2   10   400 1, 01n  10  1, 01n  n   600 1,01  1000  n  log1,01  51,33 0, 01 Do kỳ cuối cùng người đó phải trả tiền là tháng thứ 52 Cuối tháng thứ 51 , số tiền còn nợ lại 1, 0151   3, 3531596 triệu đồng 0, 01 Vậy kỳ cuối người đó phải trả số tiền là 3,3531596 1, 01  3,386647 triệu đồng  3387000 đồng là 400 1, 0151  10  Câu 20 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,5% / tháng và ông ta rút đặn tháng triệu đồng kể từ sau ngày gửi tháng hết tiền ( tháng cuối cùng có thể không còn đủ triệu đồng) Hỏi ông ta rút hết tiền sau bao nhiêu tháng? A 139 B 140 C 100 D 138 Lời giải Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi số tiền lúc đầu người đó gửi là A (triệu đồng), lãi suất gửi ngân hàng tháng là r , Sn là số tiền còn lại sau n tháng Sau tháng kể từ ngày gửi tiền, số tiền còn lại người đó là: S1  A 1  r   Sau tháng kể từ ngày gửi tiền, số tiền còn lại người đó là: S   A 1  r   1 1  r    A 1  r   1  r   … Sau n tháng kể từ ngày gửi tiền, số tiền còn lại người đó là: n Sn  A 1  r   1  r  n 1  1  r  n2 n    1  r    A 1  r   1  r  n 1 r Giả sử sau n tháng người đó rút hết tiền Khi đó ta có S n   A 1  r   n  log1 r  Câu 21 n 1  r   n 1 r   1  r  n  Ar  1    n   log1 r  1  Ar   Ar (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Một bà mẹ Việt Nam anh hùng hưởng số tiền là triệu đồng trên tháng (chuyển vào tài khoản ngân hàng mẹ ngân hàng vào đầu tháng) Từ tháng năm 2019 mẹ không rút tiền mà để lại ngân hàng và tính lãi 1% trên tháng Đến đầu tháng 12 năm 2019 mẹ rút toàn số tiền ( gồm số tiền tháng 12 và số tiền gửi từ tháng ) Hỏi đó mẹ lĩnh bao nhiêu tiền? (kết làm tròn theo đơn vị nghìn đồng) A 50970000 đồng B 50560000 đồng C 50670000 đồng D 50730000 đồng Lời giải Gọi sô tiền mẹ gửi vào ngân hàng vào đầu tháng hàng tháng là A đồng Số tiền mẹ lĩnh vào đầu tháng 12 là T đồng Lãi suất hàng tháng mẹ gửi ngân hàng là r % Vì mẹ rút tiền vào đầu tháng 12 năm 2019 nên thời gian tính lãi suất là 11 tháng Ta có: +) Đầu tháng mẹ gửi vào A đồng  cuối tháng số tiền mẹ là: A  Ar  A 1  r  đồng +) Đầu tháng số tiền mẹ gửi vào là: A  A 1  r  đồng  cuối tháng số tiền mẹ là:  A + A 1  r   1  r   A 1  r   A 1  r  đồng +) Đầu tháng số tiền mẹ gửi vào là: A  A 1  r   A 1  r   cuối tháng số tiền mẹ 2 là:  A  A 1  r   A 1  r   1  r   A 1  r   A 1  r   A 1  r    Cứ đến cuối tháng thứ 11 số tiền mẹ là: 11 11 A 1  r   A 1  r    A 1  r   A 1  r   1  r    1  r    T1   11 Ta thấy 1  r   1  r    1  r   là tổng cấp số nhân với u1   r , n  11, q   r    T1  A u1 1  q11  1 q Ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A  4000000 r  1%  0.01  T1  46730000 đồng Vì mẹ rút tiền vào đầu tháng 12 năm 2019  T  T1  4000000  50730000 đồng Câu 22 (Sở Thanh Hóa 2019) Bạn H trúng tuyển vào trường Đại học Ngoại Thương vì không đủ tiền nộp học phí nên H định vay ngân hàng bốn năm năm triệu đồng để nộp học phí với lãi suất ưu đãi 3%/năm (theo thể thức lãi suất kép) biết tiền vay năm H nhận từ ngày đầu tiên năm học và suốt bốn năm học H không trả tiền cho ngân hàng Ngay sau tốt nghiệp Đại học (tròn năm kể từ bạn H bắt đầu vay ngân hàng) bạn H thực trả góp hàng tháng cho ngân hàng số tiền (không đổi và tiền trả vào ngày cuối tháng) với lãi suất theo cách tính là 0,25%/tháng và lãi suất tính theo dư nợ thực tế, bạn H trả đúng năm thì hết nợ Tính số tiền hàng tháng mà bạn H phải trả cho ngân hàng (kết làm tròn đến hàng đơn vị) A 323.582 (đồng) B 398.402 (đồng) C 309.718 (đồng D 312.518 (đồng) Lời giải Xét bài toán 1: Vay nhận vốn định kì lãi suất kép Gọi A là số tiền năm bạn H vay ngân hàng, r1 là lãi suất theo năm Cuối năm thứ nhất, H nợ ngân hàng với số tiền là A 1  r1  Đầu năm thứ hai, H nợ ngân hàng với số tiền là A  A 1  r1  Cuối năm thứ hai, H nợ ngân hàng với số tiền là A  A 1  r1    A  A 1  r1   r1  A 1  r1   A 1  r1  Tiếp tục vậy, cuối năm thứ n số tiền mà H nợ ngân hàng là: B  A 1  r1   A 1  r1    A 1  r1  n n A 1  r1  1  r1   1    r1 Xét bài toán 2: Vay trả góp, lãi suất dư nợ thực tế Gọi a là số tiền mà bạn H phải trả hàng tháng sau trường, r2 là lãi suất tháng, số tiền H nợ ngân hàng là B Cuối tháng thứ bạn H còn nợ ngân hàng số tiền là: B  B.r2  a  B 1  r2   a Cuối tháng thứ hai bạn H còn nợ ngân hàng số tiền là: B 1  r2   a   B 1  r2   a  r2  a = B 1  r2   a  a 1  r2   Cứ tiếp tục ta có công thức tổng quát Cuối tháng thứ m bạn H còn nợ ngân hàng số tiền là m B 1  r2   a  1  r2  a  1  r2  a   1  r2   = B 1  r2  m 1  r2  a r2 m 1 m1 a  Áp dụng bài toán trên vào câu 42, ta có phương trình Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 4.1, 03 1, 034  1 0, 03 60 1, 002560  a 1, 0025    a  0,309718 (triệu đồng) 0, 0025 Vậy số tiền mà H cần phải trả hàng tháng là 309.718 triệu đồng Câu 23 (Sở Phú Thọ 2019) Ông A muốn mua ôtô trị giá tỉ đồng vì chưa đủ tiền nên chọn mua hình thức trả góp hàng tháng (số tiền trả góp tháng nhau) với lãi suất 12% /năm và trả trước 500 triệu đồng Hỏi tháng ông phải trả số tiền gần với số tiền nào đây để sau đúng năm, kể từ ngày mua xe, ông trả hết nợ, biết kì trả nợ đầu tiên sau ngày mua ôtô đúng tháng và tính lãi hàng tháng trên số dư nợ thực tế tháng đó? A 23 537 000 đồng B 24 443 000 đồng C 22 703 000 đồng D 23 573 000 đồng Lời giải Chọn A Gọi a là số tiền trả hàng tháng Sau tháng thứ 1, số tiền còn lại: P1  500 1  r   a Sau tháng thứ 2, số tiền còn lại: P2  P1 1  r   a  500 1  r   a 1  r   a n Sau tháng thứ n , số tiền còn lại: Pn  500 1  r   a 1  r  Vậy sau 24 tháng: 500 1  r  24 1  r  a 24 1 r n 1   a 1  r   a 24 0a 500 1  r  r 1  r  24 1 24 a Câu 24 500 1  1%  1% 1  1%  24  23,537 triệu đồng 1 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Một người vay ngân hàng 50 triệu đồng, tháng trả ngân hàng triệu đồng và phải trả lãi suất cho số tiền còn nợ là 1,1% tháng theo hình thức lãi kép Giả sử sau n tháng người đó trả hết nợ Khi đó n gần với số nào sau? A 14 B 13 C 16 D 15 Lời giải M Phương pháp:Sử dụng công thức trả góp P(1  r )n  (1  r )n  1 , đó:  r  P : là số tiền phải trả sau n tháng r : Lãi suất/ tháng M : số tiền phải trả tháng Áp dụng công thức ta có: M P(1  r )n  (1  r )n  1  r    50(1  1,1%)n  (1  1,1%)n  1  1,1%   50(1  1,1%)n   4 (1  1,1%)n  1,1% 1,1% 3450  (1  1,1%)n 1,1% 11  (1  1,1%)n  80 80  n  log 11,8  13, 52 69 69 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 25 Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1% /tháng Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ liên tiếp cách đúng tháng, số tiền hoàn nợ tháng là và sau đúng năm kể từ ngày vay ông A còn nợ ngân hàng tổng số tiền 50 triệu đồng Biết tháng ngân hàng tính lãi trên số dư nợ thực tế tháng đó Hỏi số tiền tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần với số tiền nào đây? A 4,95 triệu đồng B 4, 42 triệu đồng C 4,5 triệu đồng D 4,94 triệu đồng Lời giải Gọi X là số tiền tháng ông A trả cho ngân hàng Số tiền còn nợ sau n kì hạn là Tn  T 1  r  n 1  r   X n 1 r (triệu đồng), đó T  100 (triệu đồng) là số tiền mà ông A vay Sau đúng năm, số tiền ông còn nợ là 50 triệu đồng nên ta có 12 12 50  100 1  0, 01 1  0, 01  X 1 100.1, 01 X 12  50  0, 01  4, 94 (triệu đồng) 0, 01 1, 01  Vậy tháng ông ta cần trả cho ngân hàng gần với số tiền 4,94 triệu đồng Câu 26 12 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Một người nhận hợp đồng dài hạn làm việc cho công ty với mức lương khởi điểm tháng ba năm đầu tiên là triệu đồng/ tháng Tính từ ngày đầu làm việc, sau đúng ba năm liên tiếp thì tăng lương 10% so với mức lương tháng người đó hưởng Nếu tính theo hợp đồng thì tháng đầu tiên năm thứ 16 người đó nhận mức lương là bao nhiêu? A 6.1,14 (triệu đồng) B 6.1,16 (triệu đồng) C 6.1,15 (triệu đồng) D 6.1,116 (triệu đồng) Lời giải Sau năm, tháng đầu tiên năm thứ số tiền lương người đó nhận sau tháng là  6.10%  6.1,1 (triệu đồng) Sau năm ( 2.3 năm), tháng đầu tiên năm thứ số tiền lương người đó nhận sau tháng là 6.1,1  6.1,1.10%  6.1,1 1  10%   6.1,12 (triệu đồng) Tương tự sau 15 năm ( 5.3 năm), tháng đầu tiên năm thứ 16 số tiền người đó nhận sau tháng là 6.1,15 (triệu đồng) Vậy tháng đầu tiên năm thứ 16 , người đó nhận mức lương là 6.1,1 (triệu đồng) Câu 27 (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Một người gửi 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 6% / năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng thì sau năm số tiền lãi nhập vào gốc để tính lãi cho năm Hỏi sau ít bao nhiêu năm người đó nhận số tiền nhiều 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi? A 11 năm B 12 năm C 13 năm D 14 năm Lời giải Dạng toán lãi kép: Bài toán tổng quát: gửi a đồng vào ngân hàng với lãi suất r % (sau kì hạn không rút tiền lãi ra) Gọi An là số tiền có sau n năm Sau năm: A1  a  r % a  a 1  r %  Sau năm: A2  a 1  r %   a 1  r %  r %  a 1  r %  Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Sau năm: A3  a 1  r %   a 1  r %  r %  a 1  r %  n Sau n năm: An  a 1  r %  Người đó nhận số tiền 100 triệu Suy ra: n 50 1  6%   100  50.1, 06n  100  1, 06n   n  log1,06  11,9 Vậy n  12 Câu 28 (THPT Nghĩa Hưng NĐ 2019) Anh C làm với mức lương khởi điểm là x (triệu đồng)/ tháng, và số tiền lương này nhận vào ngày đầu tháng Vì làm việc chăm và có trách nhiệm nên sau 36 tháng kể từ ngày làm, anh C tăng lương thêm 10% Mỗi tháng, giữ lại 20% số tiền lương để gửi tiết kiệm ngân hàng với kì hạn tháng và lãi suất là 0,5% /tháng, theo hình thức lãi kép (tức tiền lãi tháng này nhập vào vốn để tính lãi cho tháng tiếp theo) Sau 48 tháng kể từ ngày làm, anh C nhận số tiền gốc và lãi là 100 triệu đồng Hỏi mức lương khởi điểm người đó là bao nhiêu? A 8.991.504 đồng B 9.991.504 đồng C 8.981.504 đồng D 9.881.505 đồng Lời giải Gọi số tiền tháng anh gửi tiết kiệm ngân hàng 36 tháng đầu là A ; số tiền tháng anh gửi tiết kiệm sau tháng thứ 36 là B Đặt q   0,5%  1, 005 Gọi S n là số tiền sau tháng thứ n ta có S1  A  A.0,5%  A.q S   S1  A    S1  A  0,5%   S1  A  q  Aq  Aq … S36   S35  A    S35  A  0, 5%   S35  A  q  Aq 36  Aq 35    Aq  Aq q 36  q 1 S37   S36  B    S36  B  0,5%   S36  B  q  S36 q  B.q S38   S37  B    S37  B  0,5%   S37  B  q  S36 q  Bq  Bq … S 48  S36 q12  Bq12  Bq11   Bq  Aq13 q 36  q12   Bq q 1 q 1 Theo giả thiết ta có A  20% x  0, x ; B  20%  x  10% x   0, 22 x ; S 48  108 Vậy 0, xq13  q 36  q12   q 36  q12   0, 22.q  0, 22 x.q  108  x  108 :  0, 2q13   x  8991504 q 1 q 1  q 1 q 1  đồng Câu 29 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Bạn Nam vừa trúng tuyển đại học, vì hoàn cảnh gia đình khó khăn nên ngân hàng cho vay vốn năm học đại học, năm 10 triệu đồng vào đầu năm học để nạp học phí với lãi suất 7,8% /năm (mỗi lần vay cách đúng năm) Sau tốt nghiệp đại học đúng tháng, hàng tháng Nam phải trả góp cho ngân hàng số Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 tiền là m đồng/tháng với lãi suất 0,7% /tháng vòng năm Số tiền m tháng Nam cần trả cho ngân hàng gần với số nào sau đây (ngân hàng tính lãi trên số dư nợ thực tế) A 1.468.000 (đồng) B 1.398.000 (đồng) C 1.191.000 (đồng) D 1.027.000 (đồng) Lời giải Bài toán chia làm hai giai đoạn 7, * Giai đoạn 1: vay vốn để học đại học năm Đặt r   0, 078 100 Ở năm thứ nhất: M1  10(1  r )4 (triệu đồng) Ở năm thứ hai: M  10(1  r )3 (triệu đồng) Ở năm thứ ba: M  10(1  r )2 (triệu đồng) Ở năm thứ tư: M  10(1  r )1 (triệu đồng) Như tổng số tiền mà Nam đã vay năm là M   M i  48, 4324 (triệu đồng) i 1 * Giai đoạn 2: trả góp cho ngân hàng số tiền đã vay hàng tháng  0,7  0,7 Sau tháng thứ nhất, người đó còn số nợ là: P1  M o 1    m Đặt y   100  100  Sau tháng thứ hai người đó còn nợ: P2  P1 y  m   Mo y  m y  m  M o y  m( y  1)  M a y  m y2 1 y 1 Sau tháng thứ ba người đó còn nợ: P3  P2 y  m  M o y  m  y  y  1  M o y  m y3 1 y 1 Bằng phương pháp quy nạp, sau n tháng số tiền trả hết là M o y   m M y n ( y  1) yn  0m o n y 1 y 1 Đồng thời ta có: n  48 tháng và y   Câu 30 0,7  1,007 suy m  1, 914 (triệu đồng) 100 (Chuyên Phan Bội Châu -2019) Một anh sinh viên nhập học đại học vào tháng năm 2014 Bắt đầu từ tháng năm 2014 , vào ngày mồng hàng tháng anh vay ngân hàng triệu đồng với lãi suất cố định 0,8% /tháng Lãi tháng trước cộng vào số nợ để tiếp tục tính lãi cho tháng (lãi kép) Vào ngày mồng hàng tháng kể từ tháng / 2016 sau anh không vay ngân hàng và anh còn trả cho ngân hàng triệu đồng việc làm thêm Hỏi sau kết thức ngày anh trường  30 / / 2018  anh còn nợ ngân hàng bao nhiêu tiền (làm tròn đến hàng nghìn đồng)? A 49.024.000 đồng B 47.401.000 đồng C 47.024.000 đồng D 45.401.000 đồng Lời giải Chọn Anh sinh viên vay hàng tháng a  triệu đồng từ / 2014 đến / 2016 , tổng cộng 24 tháng Cuối tháng thứ 1: T1  a  ar  a 1  r  Cuối tháng thứ 2: T2  T1  a  T1  a  r  a 1  r   a 1  r  … Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 n Cuối tháng n: Tn  a 1  r   a 1  r  Suy Tn  a 1  r  1  r  n n 1   a 1  r  1 r Vậy tổng số tiền vay đến cuối tháng 8/2016 là T24  1  0,8%  1  0,8%  24 1 0,8%  79, 662 triệu Tính từ cuối tháng 8/2016 Anh sinh viên thiếu ngân hàng A  79, 662 và bắt đầu trả đầu hàng tháng m  triệu từ / 2016 đến / 2018 , tổng cộng 22 tháng Đầu tháng / 2016 : còn nợ A  m  79, 662   77, 662 triệu Cuối tháng / 2016 : tiền nợ có lãi đến cuối tháng: T1  77, 662  r  1 Đầu tháng 10 / 2016 sau trả nợ m thì còn nợ 77, 662  r  1  m Cuối tháng 10 / 2016 : còn nợ T2   77, 662  r  1  m  1  r   77, 662 1  r   m 1  r  Cuối tháng 11 / 2016 : còn nợ T3  77, 662 1  r   m 1  r   m 1  r  … Cuối tháng / 2018 còn nợ 22 21 20 T22  77, 662 1  r   m 1  r   m 1  r    m 1  r  22  77, 662 1  r   m 1  r  22 1  r  21 1 r  77, 662 1  0,8%   1  0,8%  1  0,8%  0,8% 21 1  46, 64 triệu đồng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 HÀM SỐ MŨ - HÀM SỐ LOGARIT Chuyên đề 18 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Tính toán liên quan đến logarit dùng đẳng thức  Định nghĩa logarit: Cho hai số thực dương a , b với a  1, α  log a b  a α  b :  Các tính chất logarit: Cho ba số thực dương a, b, c với  a, b, c  log a b  log c b log a b ; log a b  log a c  log a bc; log a b  log a c  ; log a a log a c log a b.log b c  log a c 0  a  1; b  0  Phương trình mũ a x  b  x  log a b  Cách giải phương trình mũ có dạng α1a x  α2 ab  α3b x  đó αi i  1, 2,3 là hệ số, x số  a , b  2x x a a B1: Biến đổi phương trình dạng: 2α1    α2    α3  *  b   b  x a B2: Đặt ẩn phụ    t , t  , phương trình * trở thành α1t  α2t  α3   b  B3: Giải tìm t thỏa mãn t  x a B4: Giải phương trình mũ    t Tìm x  b  Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho log x  log y  log  x  y  Giá trị A B x, y là các số thực dương thỏa mãn x y 3 C log   2 Lời giải D log Chọn B  x  9t   2.9t  6t  4t Đặt t  log x  log y  log  x  y  Khi đó  y  6t  x  y  4t   t    1 t t t 2 9 3 3               t 4 2 2        t Do đó: t x 9 3      y 6 2 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Lào Cai - 2020) các số thực a , b , c thỏa mãn (a  2)2  (b  2)2  (c  2)2  và a  3b   c Khi đó a  b  c A B D C 2 Lời giải Chọn A Ta có a  c log và b  c log3 Suy 1 1 1    Hay    a b c a b c Hay ab  bc  ca  Suy a  b2  c2  (a  b  c)2 nên (a  b  c)2  4(a  b  c)   Vậy abc  Câu (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho x  4 x  Khi đó biểu thức P  a là phân số tối giản và a, b   Tích a.b có giá trị b A 10 B 8 C Lời giải Chọn A 2  x  2 x a  với x x b  4.2  4.2 D 10 Ta có x  4 x    x   2.2 x 2 x   2 x      x  2 x    x  2 x    x  2 x   x  2 x 53     Do đó P  x x x x  4.2  4.2      4.3 20 10 Suy a  1, b  10 Vậy a.b  10 Câu (Sở Ninh Bình 2019) Cho a , b , c là các số thực khác thỏa mãn 4a  9b  6c Khi đó A B 6 C c c  a b D Lời giải Chọn D a  log4 t  Đặt t     b  log9 t c  log t  c c log6 t log6 t   log6 t.logt  log6 t.logt  log6 t  logt  logt 9 Khi đó   a b log t log9 t a b c  log6 t.logt 36  log6 36  log6 62  Câu Biết a  log 30 10 , b  log 30 150 và log 2000 15000  nguyên, tính S  A S  x1a  y1b  z1 với x1 ; y1 ; z1 ; x2 ; y ; z là các số x2 a  y2b  z2 x1 x2 B S  C S  D S  Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn A Ta có log 2000 15000  log 30 15000 log 30 150  log 30 10  1 log30 2000 log 30  3log 30 10 Ta có a  log 30 10  log 30  log 30  log 30  a  log 30 2 b  log 30 150   log 30  log 30  b 1 thay vào 2 ta log 30  a  b  b  2a 2a  b  a  b   3a 4a  b  x Suy S    x2 Ta có log 2000 1500  log x y  log y x Cho các số thực dương x, y khác và thỏa mãn  log x  x  y   log y  x  y   2 Giá trị x  xy  y Câu A B C Lời giải D Chọn D ĐK: x  y     y      log x y  log y x x log x y  log y Ta có      x x  y log x  x  y   log y  x  y   log  x  y   log  x  y      x y      log x  x  y   log x1  x  y      y  xy  y  x   x      x  xy  y     2    x  y    log x  x  y   log x  x  y   log x  x  y   Câu Cho các số thực dương a , b thỏa mãn log a  log b  log a  log b  100 và log a , log b , log a , log b là các số nguyên dương Tính P  ab A 10164 B 10100 C 10 200 Lời giải D 10144 Chọn A Ta có: log a  log b  log a  log b  100  log a  log b  log a  log b  200   log a  1   log b 1  202  81  121 * Mà log a ,       *           log b , log a , log b là các số nguyên dương nên a  1064  log a  64     b  10100 log b   11  log b  100       100   log a   11 log a  100 a  10   64     log b  64 log b   b  10 log a   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy: P  ab  1064.10100  10164 Câu mb  nac Tính A  m  2n  p  4q pc  q C 23 D 29 Lời giải Cho log  a; log  b; log  c Biết log 24 175  A 27 B 25 Chọn B Ta có log 24 175  log 24 7.52  log 24  log 24    log  log log5  log 23 1  log 7.log3 log    log 24 log 24 1  log3 log 2  log3 log  2b 2b c 2b 4ac 2b  4ac     c c c  c  c    2b 2b 2ac 2ac A  m  2n  p  q     12  25 Câu  log3 log 3.log3      2a c.2a Cho x , y là các số thực lớn thoả mãn x  y  xy Tính M  A M  B M  C M    log12 x  log12 y log12  x  y  D M  Lời giải Chọn B Ta có x  y  xy  x  xy  y  * Do x , y là các số thực dương lớn nên ta chia vế * cho y ta  x    y  x  3  x  y n y x  6      x y   2  x  2 y l   y Vậy x  y (1) Mặt khác M   log12 x  log12 y log12 12 xy (2)  2 log12  x  y  log12  x  y  Thay (1) vào (2) ta có M  Câu 10 Cho log12 36 y 1 log12 36 y   f  x  a ln x  x   b sin x  với a , b   Biết f log log e  Tính f log ln10 A B 10 C D Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B Đặt x0  log log e   Có: f  x0   a ln x0  x02   b sin x0        f  log log e  f x0  Ta có f log ln10  f log       log e  f  x0   a ln     x02   x0  b sin  x0    a ln x0  x02   b sin x0         a ln x0  x02 1  b sin x0  6  12   f  x0   12  10   Câu 11 Cho x + 9-x = 14 và A P  10 a 6+3(3x +3-x ) a là phân số tối giản Tính P  a.b = với x+1 1-x b 2-3 -3 b B P  45 C P  10 D P  45 Lời giải Chọn B Ta có x  9 x  14  32 x  2.32 x.32 x  32 x  16  3x  3 x   16  3x  3 x   3(3x  3 x )  3(3x  3 x )  3(3x  3 x )    3x1  31x  3.3x  3.3 x  3.3x  3 x    3.4 18 a       ab  45  3.4 10 b Câu 12 Cho hai số thực dương a, b thỏa log a  log b  log9  a  b  Tính A B 1 1  Lờigiải C a b D 1  Chọn D Đặt t  log a  log6 b  log9  a  b     t 1  a  4t    2t t   3 2  2 t t t t  b           1    t  3  3     a  b  9t    ( L)    t a t   1      b 6t   Câu 13 Cho các số thực dương x, y thỏa mãn log x  log y  log  x  y  Tính tỉ số x ? y Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A x  y B x  y 1 C x  y 1 D x  y Lờigiải Chọn B  x  6t  Giả sử log x  log y  log  x  y   t Ta có:  y  9t  x  y  4t  (1) (2) (3) t x 6t        y 9t   Lấy (1), (2) thay vào (3) ta có Khi đó   t (thoûa)      2t t 1 3 2 2   t t t  2.6  2.9            t 3 3       (loại)   Câu 14 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log 25 b là các số nguyên dương, tính a  b A a  b  14 B a  b  x x y x a  b  log15 y  log9 và  , với a , y 2 C a  b  21 Lờigiải D a  b  34 Chọn D x log 25  y  15  x x y x Ta có log 25  log15 y  log  log 25 log x  15  log x 25  2t Đặt t  log 25 t x 5  x  2.25t , ta 2.25t  15t  4.9t        3 3 t  t  log 1  33 x 2.25t   1  33       t y 15 3 Do đó a  , b  33 nên a  b  34 Câu 15 Cho dãy số  un  thỏa mãn log3  2u5  63  2log  un  8n  8 , n   * Đặt S n  u1  u2   un Tìm số nguyên dương lớn n thỏa mãn A 18 B 17 C 16 Lờigiải un S2 n 148  u2n Sn 75 D 19 Chọn A Ta có n   * , log3  2u5  63  2log  un  8n  8  log  2u5  63  log  un  8n    2u  63  3t  2u5  63  3t Đặt t  log  2u5  63   ( với n  )   t t un  8n   u5  32    3t  2.2t  t   un  8n  Khi đó u5  36 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Với un  8n  và u5  36 , ta có: log  2u5  63  log  un  8n    log  2.36  63  log  8n   8n    log  log 4   đúng n   * Ta có: un 1  un   n  1    8n    Vậy  un  là cấp số cộng có số hạng đầu u1  , công sai d   S n  u1  u2   u n   u1  un  n  4n 2 Do đó un S n  8n   16n 148  n  19   u2 n S n 16n   4n 75 Dạng Bài toán tìm giá trị lớn – giá trị nhỏ mũ – loagrit (sử dụng phương pháp bất đẳng thức – biến đổi)  Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM)  a, b  0, thì a  b  ab Dấu "  " xảy khi: a  b  a, b, c  0, thì a  b  c  3 abc Dấu "  " xảy a  b  c  ab  abc Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.b    và a.b.c          Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki) a b  a, b, x, y, thì: (a.x  b y )  (a  b )( x  y ) Dấu "  "   x y  a, b, c, x, y, z thì: (a.x  b y  c.z )  (a  b  c )( x  y  z ) Dấu "  " xảy và khi: a b c    x y z Nhiều trường hợp đánh giá dạng: a.x  b y  (a  b )(x  y ) Hệ Nếu a, b, c là các số thực và x, y, z là các số dương thì: a b (a  b) a b2 c (a  b  c) và : bất đẳng thức cộng mẫu số      x y x y x y z x y z Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Xét các số thực dương a, b, x, y thoả mãn a  1, b  và ax  by  A 1;2 ab Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y thuộc tập hợp nào đây?  5 B  2;   2 C 3;  5  D  ;3  2  Lời giải Chọn D Đặt t  log a b Vì a, b  nên t  1 1  log a b   1  t  2 1  1 b y  ab  y  logb ab  1  log b a   1   2 t  1 t Vậy P  x  y  1  t         t 2 t Ta có: a x  ab  x  log a ab  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 t  ba 2 t 5  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  thuộc nửa khoảng  ;3  2  Dấu đẳng thức xảy và Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có bao nhiêu số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log ( x  y )  log  x  y  ? A B C Lời giải D Vô số Chọn B Cách 1:  x  y  3t Đặt t  log ( x  y )  log  x  y    1 t  x  y  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 9t   x  y    x  y   4t  9t   t  log 4t Như vậy, x  y  t  x  4t  log  1,89  x  1; 0;1 t t   y   Trường hợp 1: x     t y 1  y  t t   y    Trường hợp 2: x     t  y    y  t t   y    Trường hợp 3: x  1     x  y  mâu thuẫn với t t y     y     x2  y  log suy loại x  1 Vậy có hai giá trị x  0;1 Cách 2:  x  y  3t Đặt t  log ( x  y )  log  x  y    1 t  x  y  Suy x, y là tọa độ điểm M với M thuộc đường thẳng d : x  y  3t và đường tròn  C  : x2  y  4t Để tồn y tức tồn M nên d ,  C  có điểm chung, suy d  O, d   R đó t O  0;0  , R  nên 3t  2t  t  log  0  x  y  Khi đó 1   log  x  y  32  log 2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Minh họa quỹ tích điểm M hình vẽ sau Ta thấy có giá trị x   có thể thỏa mãn là x  1; x  0; x  Thử lại:  y  3t t   Trường hợp 1: x     t  y  y 1 t t   y    Trường hợp 2: x     t  y    y  t t   y    Trường hợp 3: x  1     x  y  mâu thuẫn với t t y    y      x2  y  Câu log 2 suy loại x  1 (Mã 103 2018) Cho a  0, b  thỏa mãn log a 5b1 16a  b  1  log8ab 1  4a  5b  1  Giá trị a  2b A B 27 20 Lời giải C D Chọn B Từ giả thiết suy log a 5b 1 16a  b  1  và log 8ab 1  4a  5b  1  Áp dụng BĐT Côsi ta có log a 5b 1 16a  b  1  log8ab 1  4a  5b  1  log a 5b1 16a  b  1 log8ab1  4a  5b  1  2log 8ab1 16a  b2  1 Mặt khác 16a  b    4a  b   8ab   8ab  1 a, b   , suy log ab1 16a  b  1  Khi đó log a 5b 1 16a  b  1  log8ab 1  4a  5b  1  log 8ab  1  log8ab1  4a  5b  1   a 5b 1 b  4a  log 24 a 1  32a  1  32a  24a a     b  4a b  4a b  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy a  2b  Câu 27 6  4 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 33 B 65 49 Lời giải C D 57 Chọn B Cách 1: Nhận xét: Giá trị x, y thỏa mãn phương trình x  y  x  y 1  1 làm cho biểu thức P nhỏ Đặt a  x  y , từ 1 ta phương trình 4a 1  a    y y Nhận thấy y  4a 1  a   là hàm số đồng biến theo biến a , nên phương trình trên có y y nghiệm a  3  x y  2 65  65  Ta viết lại biểu thức P   x  y    x  y    y     Vậy Pmin  4 8  Cách 2: Với x, y không âm ta có x  y.4 x  y 1   x  y.4 x y    x y   3    x  y    y   1  (1) 2     x y   3   thì  x  y    y   1   y  40  1  (vô lí) 2    Vậy x  y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta Nếu x  y  2 P  x2  y  x  y   x  3   y    13 13 65    x  y    13      13  22   y   x  y    Đẳng thức xảy   x   y  x   65 Vậy P  Câu Xét các số thực x, y thỏa mãn x  y 1   x  y  x   x Giá trị nhỏ biểu thức 4y gần với số nào đây? 2x  y 1 A 2 B 3 C 5 Lời giải P D 4 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B Ta có x  2  y 1 x 1  y   x2  y2  x  2 4x  2x  y 1 x  x2  y2  2x  2   x  1  y  Đặt t   x  1  y  t   , ta BPT: 2t  t  Đồ thị hàm số y  2t và đồ thị hàm số y  t  sau: Từ đồ thị suy 2t  t    t    x  1  y  Do đó tập hợp các cặp số  x; y  thỏa mãn thuộc hình tròn  C  tâm I 1;0  , R  Ta có P  4y  Px   P   y  P  là phương trình đường thẳng d 2x  y 1 Do d và  C  có điểm chung  d  I ,  d    R  3P 4P   P  4   P  P  16   1   P  1  , suy giá trị nhỏ P gần với 3 Câu Cho các số thực x , y thỏa mãn bất đẳng thức log x2 9 y2  x  y   Giá trị lớn biểu thức P  x  y là A B  10  10 Lời giải C D  10 Điều kiện x  y  Trường hợp 1: x  y  1 2 x  2  x  y    P  1 Ta có  x    y     2 3 y  Trường hợp 2: x  y  2 1  1  Khi đó log x2 9 y2  x  y    x  y  x  y   x     y    2  2  1 1  1 P  x  3y   2x     3y    2 2  2 Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta được: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 1  1       1  1    x     y         x     y                 1 1   3  10 Suy P   x     y      2 2 2  2 4   1   10 x 2  x    y   x  y      20 Dấu xẩy và   Từ    x  12 y   10  10   y   10  x  y  30  1 Câu và   suy giá trị lớn P là  10 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho các số thực a, b thay đổi, thỏa mãn a  , b  Khi biểu thức P  log 3a b  log b  a  9a  81 đạt giá trị nhỏ thì tổng a  b A  B  C  Lời giải D  Chọn A Do a  9a  81  9a   a    đúng a  ; Dấu xảy a  3 Suy P  log3a b  log b  3a   log3a b  logb 3a  2  a  a   Dấu xảy và  b  log 3a b  logb 3a Vậy, P đạt giá trị nhỏ thì a  b   Câu (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho các số thực a, b, c  b  1;  c  Gọi M là giá trị nhỏ 8 b  c  P  log a     logb     log c a Khẳng định nào sau đây đúng? 16  16   16   a  1; A  M  B M  C M  D M  Lời giải Ta có: b 8b  1 8b   2b      b2    16 16 4   c 8c  1 8c   4c      c4    16 16 2 2  4 b  c  Suy P  log a     log b     log c a 16  16   16   1 log a b  log b c  log a c  3  16 16 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ thỏa mãn biểu thức TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy Pmin Câu   b  8b        8c    c  2 3   log a b  log b c  log c a  8 a   Cho các số thực a, b, m, n cho 2m  n  và thoả mãn điều kiện: log  a  b     log  3a  2b   4  9  m.3 n.3 m  n  ln  2m  n    1  81     a  m  b  n Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  B A  2 C  Lời giải D  log  a  b     log  3a  2b   a  b2   6a  4b  a  b2  6a  4b   1 Gọi A  a; b  Từ 1 ta suy điểm A thuộc điểm đường tròn  C  có tâm I  3;  , bán kính R  4  m n  2  9 m.3 n.32 m n  ln  2m  n    1  81  ln  2m  n    1  81      4 m n   4  m n   4 4 m n  81    2m  n   3 2m  n 2m  n 4  2m  n  2 ) (Đẳng thức xảy khi:   2m  n   2m  n Theo bất đẳng thức Cô-si:   2m  n   2 Từ    ln  2m  n    1    2m  n       2m  n       2m  n     Gọi B  m; n  Từ   ta suy điểm B thuộc đường thẳng  : x  y   Ta có: P   a  m  b  n   AB  P  AB  d  I ;    R  3.2   22  12    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  b  1;  c  Gọi M là giá trị nhỏ 8 b  c  biểu thức P  log a     logb     log c a Khẳng định nào sau đây đúng? 16  16   16  Câu 10 Cho các số thực a, b, c thỏa mãn  a  1; A  M  B M  C M  D M  Lời giải Chọn C b 8b  1 8b   2b      b2  Ta có:   16 16 4   c 8c  1 8c   4c      c4    16 16 2 2  4 b  c  Suy P  log a     logb     log c a 16  16   16   1 log a b  log b c  log a c  3  16 16 Vậy Pmin Câu 11   b  8b       c    8c   2 3   log a b  log b c  log c a  8 a   (Chuyên Lam Sơn - 2020) Xét các số thực dương a , b, c lớn ( với a  b ) thỏa mãn  log a c  logb c   25log ab c Giá trị nhỏ biểu thức log b a  log a c  log c b A 17 Lời giải B C D Chọn A Đặt log c a  x, log c b  y Vì a, b, c  và a  b nên suy log c a  log c b hay x  y   1  4 25  Từ giả thiết suy ra:       25 log c ab x y x y  log c a log c b  x y 4 x  y  25 x y 17         x  y ( vì x  y ) y x xy x y   Ta có: log b a  log a c  log c b   x log c a   log c b    y log c b log c a y x x 1   y  42 y  y 4y 4y và x  , tức là a  c ; c  b 2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức đã cho Dấu xảy và y  Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Cách khác Từ giả thiết suy ra:  log a b.log b c  log b c   25.log ab b.log b c  log b c  log b c  log b c  log a b  1  25   25   log a b  1  log b ab log b a   Do a, b, c  nên log b c  ; suy 1  log a b 1  log b a   25  log a b  Khi đó: log b a  log a c  log c b   log a c.log c b   log a b  Vậy giá trị nhỏ biểu thức đạt và a  b , a  c , c  b Câu 12 (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Xét các số thực dương a , b , x , y thỏa mãn a  , b  và a x  b 3y  a b Biết giá trị nhỏ biểu thức P  xy  x  y có dạng m  n 165 (với m, n là các số tự nhiên), tính S  m  n A 58 B 54 C 56 Lời giải D 60 Chọn C Theo bài ta có: a 2x b 3y     2x  log a a b a 2x  a b  2x   6log a b    a b   3y  6 6  b  a b 3y   6log b a 3y  log b a b 6  x  1  log a b    y  1  log b a  Vì a , b  nên log a b  log a  Do đó: P  xy  x  y  24(1  log a b)(1  log b a )   log a b   log b a  52  30 log a b  22 log b a  52  30 log a b.22 log b a  52  165 11 ba Vậy P đạt giá trị nhỏ là m  n 165 30 log a b  22 logb a  log a b  15 m  52  m  n  56 Ta có:  n  Câu 13 11 15 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x, y thỏa mãn log  x  1  log  y  1  Khi biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ thì 3x  y  a  b với a, b  Tính T  ab ? A T  B T  C T  D T  Lời giải Chọn C x 1  x  Điều kiện:    y 1  y 1 Khi đó: log  x  1  log  y  1    x  1 y  1   y   2  y 1 x 1 x 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 6    x  1  5 x 1 x 1 Cách 1: Dùng bất đẳng thức Suy ra: P  x  y  x  Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:  x  1    x  1    P  5 x 1 Dấu “=” xảy   x  1  y 6  2  x  1 x 1 x 1 x  1  N    x  1   x     x 1  x    L  2 3 1  3  3 5  a  1; b   T  ab  Do đó: 3x  y        3   Cách 2: Dùng bảng biến thiên 6 3  P'  2 Ta có: P  x  x 1  x  1   x  1  N  P'     x    L  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Pmin    x    y  3  3 5  a  1; b   T  ab  Do đó: 3x  y        3    Câu 14 (Chuyên Phan  Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho a  0, b  log a 5b 1 16a  b  1  log8ab 1  4a  5b  1  Giá trị a  2b A 27 B 20 Lời giải C D Chọn A Ta có: a  0, b  Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   2 4a  5b   log 4a 5b1 16a  b   Nên   8ab   log8ab1  4a  5b  1  P  log a 5b 1 16a  b  1  log ab 1  4a  5b  1  log a 5b 1 16a  b  1 log ab 1  4a  5b  1  P  log ab 1 16a  b  1 Mặt khác: 16a  b   16a 2b   8ab   P  log ab 1  8ab  1   16a  b  4a  b a      Dấu xảy và khi:  8ab   4a  5b   2b   6b  b   Do đó a  2b  Câu 15 27 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho a, b, c là các số thực lớn Giá trị nhỏ biểu thức P 4040 1010 8080   log bc a log ac b 3log ab c A 2020 B 16160 C 20200 Lời giải D 13130 Chọn C 4040 1010 8080 4040 1010 8080      1 log bc a log ac b 3log ab c log bc a log ac b log ab c  2020 log a bc  2020 log b ac  8080 log c ab Ta có P   2020  log a b  log a c   2020  log b a  log b c   8080  log c a  log c b   2020 log a b  2020 log b a  2020 log a c  8080 log c a  2020 log b c  8080 log c b Vì a, b, c  nên các số log a b, log b a, log a c, log c a, log b c, log c b  Khi đó ta có 2020 log a b  2020 log b a  20202 log a b log b a  4040 2020 log a c  8080 log c a  40402 log a c log c a  8080 2020 log b c  8080 log c b  4040 log b c log c b  8080 Suy P  4040  8080  8080  20200 Câu 16 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho a, b, c là các số thực dương khác thỏa mãn c c  log b  Gọi M , m là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ b b P  log a b  log b c Giá trị biểu thức S  3m  M log 2a b  log b2 c  log a A 16 B C 6 Lời giải D Chọn C Biến đổi đẳng thức đề bài ta c c log 2a b  log b2 c  log a  logb   log 2a b  logb2 c  log a c  log a b  logb c  b b  log 2a b  logb2 c  log a b.logb c  log a b  logb c  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đặt u  log a b; v  log b c ta có phương trình u  v  uv  u  2v   u  2uv  v  u  2u   v  4v    (u  v)2  (u  1)2  (v  2)2  (*) Ta có bất đẳng thức quen thuộc x  y  ( x  y ) dấu xảy x   y , áp dụng bất đẳng thức này ta có 1 (u  1)  (v  2)  (u   v  2)2  (u  1)  (v  2)2  (u  v  1)2 (**) 2 Từ (*) và (**) ta có  (u  v )2  (u  v  1) hay  P  ( P  1)2  3P  P    1  P  Vậy m  1, M  suy S  m  3M  6 Câu 17 (Sở Hưng Yên - 2020) Cho các số thực x, y  và thỏa mãn điều kiện xy  Biểu thức P  log x x  log y sau đây đúng A T  131 y2 4 đạt giá trị nhỏ x  x0 , y  y0 Đặt T  x0  y0 mệnh đề nào B T  132 C T  129 Lời giải D T  130 Chọn D Ta có P  log x x  log y y2 y log x log 2  log x 2log y      2  log x 2log y  log x log 2 y  a 2b  1     a 2b   a 2b  Vì xy  suy log x  log y   a  b    a   b Đặt log x  a , log y  b ( a, b  ), ta P  2     a 2b   b 2b  1 Xét hàm f (b)  trên  0; 2 ,ta có:   b 2b  1 f (b)   2   b   2b  1 Suy P  f   b     2b  1  4(4  b)   b  Ta có: f    9 7 , f  2  , f    10   1    log x  4  x  x     Suy trên đoạn  0; 2 ta có: P       7  y  24  y  24 log y     Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021     Vậy T  x04  y04        130  Câu 18    (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho các số thực dương a , b , c thỏa mãn abc  10 Biết giá trị lớn m m với m , n nguyên dương và tối n n biểu thức F  log a.log b  log b.log c  log c.log a giản Tổng m  n A 13 B 16 C Lời giải D 10 Chọn C x log a  x a  10   Đặt log b  y  b  10 y , mà abc  10  10 x.10 y.10 z  10  x  y  z  * log c  z  z  c  10 Ta có F  5log a.log b  log b.log c  log c.log a  xy  yz  zx Từ *  y   x  z , thay vào biểu thức F , ta được: F  x 1  x  z   1  x  z  z  xz  2 z  x  xz  z  x 1 x   xz  z  3x  x  x   2 2    2  z  x   3xz  z  x    x  x    4  2   2 z  1 5   2  z  x     x     2 2   x  y  z  y     Vậy max F  và  z  x     x  2    x   z    Vậy m  5, n   m  n    Câu 19 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho a  0, b  thỏa mãn log10 a 3b 1  25a  b  1  log10 ab 1 10a  3b  1  Giá trị biểu thức a  2b bằng? A B 11 Lời giải C D 22 Chọn B Với a  0, b  ta có 25a  b   10ab  , dấu “=” xảy và b  5a Suy log10 a 3b 1  25a  b  1  log10 a 3b 1 10ab  1 , dấu “=” xảy và b  5a Mặt khác, ta lại có với a  0, b  thì log10 a 3b1 10ab  1  0,log10 ab1 10a  3b  1  Do đó: log10 a 3b 1  25a  b  1  log10 ab 1 10a  3b  1  log10 a 3b 1 10ab  1  log10 ab 1 10a  3b  1  log10 a 3b1 10ab  1 log10 ab1 10a  3b  1  Dấu “=” xảy và Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  b  b  5a b  a      log10 a 3b 1 10ab  1  log10 ab 1 10a  3b  1 10a  3b   10ab  a   11  a  2b  Câu 20 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho các số thực dương a; b; c khác thỏa mãn c c  log a Gọi M , m là giá trị lớn và giá trị nhỏ b ab P  log a ab  log b bc Tính giá trị biểu thức S  2m2  9M log 2a b  log b2 c  log b A S  28 B S  25 C S  26 Lời giải D S  27 Chọn D Đặt x  loga b; y  logb c,  x; y  0  loga c  xy  P  loga ab  logb bc  x  y  x  P  y log 2a b  logb2 c  2logb c c  log a  x  y  y   xy   x b ab Khi đó ta có  P  y   y  y    P  y  y    P  y   y   P  3 y  P  P   Phương trình có nghiệm    3P  P    1  P  5  m  1; M   S  27 3 1    log x  4  x  x     Nên giá trị nhỏ P là      T  x0  y0  130  7 log y    y  24 y    Câu 21 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Cho a  0, b  thỏa log a5b1 (16a2  b2  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  Giá trị a  2b A B 27 Lời giải C D 20 Chọn C Theo bất đẳng thức Côsi với a  0, b  ta có: 16a2  b2   16a2 b2   8ab   16a2  b2   8ab  (*) Do 4a  5b   nên từ (*) có: log a5 b1 (16a2  b2  1)  log8 ab1 (4a  5b  1)  log a5b1 (8ab  1)  log8 ab1 (4a  5b  1)  log a5b1 (16a2  b2  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  log4 a5b1 (8ab  1)  Mặt khác 4a  5b   và 8ab   nên: log a5b1 (8ab  1)  log a5 b1 (8ab  1) 2 log4 a5 b1 (8ab  1) Suy log a5b1 (16a2  b2  1)  log8ab1 (4a  5b  1)  Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 16a2  b2 b  4a  a    Đẳng thức xảy 4a  5b   8ab   2b  6b       a, b  a, b  b  Vậy a  2b  Câu 22 27 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Xét các số thực a , b, x, y thỏa mãn a  1, b  và ax  by  a Giá trị lớn biểu thức P  x  y thuộc tập nào đây? b  1 A  0;   2 1  B  1;   2   3 C 1;   2 Lời giải 3  D  ;  2  Chọn A  x   a a a   x  log a  x  1  log a b  b b    Từ giả thiết ta có:      b y  a  y  log a  y    1 b     log a b  b b Đặt t  log a b Vì a  1, b  , nên t  Khi đó: P  1 t t t 32 1  t     1             t 2 t 2 t 2 t     Dấu xảy và Câu 23 3 2 t  1  0, 086   0;    t   t   Pmax  2 t  2 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho biểu thức P  y  x 3 (1  x  y 1 )  2 x  y 1 và biểu thức Q  log y 3 x y Giá trị nhỏ y để tồn x đồng thời thỏa mãn P  và Q  là số y0 Khẳng định nào sau đây là đúng ? A y0  là số hữu tỷ B y0 là số vô tỷ C y0 là số nguyên dương D y0  là số tự nhiên chẵn Lời giải Chọn A  y  2x   Điều kiện  y  P  y  x 1.(1  42 x  y 1 )  22 x  y 1  y  x 1.(1  Đặt t  y  x  ta có P  3t (1  Cho P   3t (1  x  y 1 ) y  x 1 1 ) t t 1 )  t   12t  3t  4t  2t (1) t * Với t  thỏa mãn (1) * Với t  ta có 12t  4t  t t t t   12     (1) thỏa mãn t t   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 12t  4t  t t t t * Với t  ta có   12     (1) không thỏa mãn t t   Vậy (1)  t  hay y  x   (a) y  2x 1   Vì Q  log y  x 1 y y  2x    nên   y  y  x   x  y  (b)  y  2x 1   Từ (a), (b) và điều kiện ta có  x  y  y   Cặp số ( x; y) thỏa mãn hệ biểu diễn miền không bị gạch hình bên Điểm A thuộc miền không bị gạch và có ymin  11 Vậy y0  Do đó y0     3 Câu 24 (Trường VINSCHOOL - 2020) Cho dãy số  un  có số hạng đầu u1  thỏa mãn log 22  5u1   log 22  7u1   log 22  log 22 và un 1  7un với n  Giá trị nhỏ n để un  1111111 bằng: A 11 B C Lời giải D 10 Chọn D Ta có un 1  7un , n    un  là cấp số nhân với số hạng đầu là u1 , công bội q  2 log 22  5u1   log 22  7u1    log  log u1    log  log u1   log 22  2.log 5.log u1  log 22 u1  log 22  2.log 7.log u1  log 22 u1  2log 22 u1   log  log  log u1  log 22  log 22  log 22 u1  2.log 35.log u1  log 22  log 22  log 22  log 22  2log 22 u1  2.log 35.log u1   2log u1  log u1  log 35  u1   loai  log u1     u1   nhan  35 log u1  log 35  log u1   log 35 Số hạng tổng quát dãy số là un  u1.q n 1  n 1 n 1 n    35 5.7 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 un  1111111  n   1111111  n   5555555  n   log 5555555  n  log 5555555  Vì n    nên giá trị nhỏ n 10 Câu 25 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x, y thỏa mãn log  x  1  log  y  1  Khi biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ thì 3x  y  a  b với a, b   Tính T  ab B T  A T  C T  D T  Lời giải Chọn C  x, y  x    Ta có log  x  1  log  y  1      y   y     x 1 x 1    1   x  1    12  , dấu xảy và Khi đó P  x  y  x   x 1  x 1   x  x 1         1 2  x  1   3x  y    1   x 1 3    y  1   y    x 1 5 Vậy a  1, b  nên T  3   Câu 26 Xét các số thực a , b , c  thỏa mãn 3a  5b  15 c Giá trị nhỏ biểu thức P  a  b2  c2  4(a  b  c) thuộc tập hợp nào đây? A  1;  C  2;  B  5; 1 D  4;6  Lời giải Chọn B a b Đặt   15 c  a  log t   t   b  log t Khi đó  c   log t 15  P  log32 t  log52 t  log15 t  4(log3 t  log5 t  log15 t )    log 32 t  log 52  log15  log t 1  log5  log15 3    X  log 52  log15  X 1  log  log15 3 , (với X  log3 t )  1  log5  log15 3  Pmin  P    4 , 2   log5  log15  log3 t  1  log5  log15 3  log52  log15 t 21log5 3log15 3 1log52 3log15 3 Suy Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a 1  log5  log15 3  log52  log15 b  log5 21log5 3log15 3 1log52 3log15 c   log15 21log5 3log15 3 1log52 3log15 Câu 27 Xét các số thực dương a , b , c , x , y , z thỏa mãn a  , b  , c  và a x  b y  c z  abc Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z  A 10;13 B  7;10  thuộc tập hợp nào đây? C 3;5  D 5;7  Lời giải Chọn D Từ giả thiết ta có 1 x  1  log a b  loga c  , y  1  log b a  log b c  , z  1  logc b  logc a  Khi đó ta có 2 2 P   log a b  log b a  log a c  log c a  log b c  log c b Vì a  , b  , c  nên log a b  , log b c  , log c a  , log b a  , log c b  , log a c  Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta loga b  logb a  loga b.logb a hay log a b  log b a  Tương tự log a c  logc a  và log b c  logc b  Do đó 2P  10 hay P  Dấu "  " xảy và a  b  c Vậy giá trị nhỏ Pmin  2 Câu 28 Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a  1, b  và a x  b y  a.b Giá trị nhỏ biểu thức P  x y là A P  B P  C P  D P  Lời giải Chọn B  x  log a b    2 a x  b y  a.b    y  log a  b  2 2  1 1 1 1 +)  xy    log a b    log b a       log a b  log b a     2 4 4 2  ( a, b   log a b  0,logb a  ) Vì x  0, y   xy  Dấu xảy và a  b Câu 29 Xét các số thực dương a , b, x, y thỏa mãn a  1, b  và a x2 y y2  b x  ab Giá trị nhỏ biểu thức P  x y là Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A P  C P  B P  D P  Lời giải Chọn B x y2 a y b x  x2  y   log a b   ab   y    log a b  x Ta có xy  x2 y  1  log a b 1  log a b  y x    log a b  log b a  ( a, b   log a b  0, logb a  ) Dấu xảy và a  b Câu 30 Xét các số thực dương a , b, c , x, y , z thỏa mãn a  1, b  1, c  1, y  và a x 1  b y   c z 1  abc Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  z là A P  13 B P  C P  D P  Lời giải Chọn C a x 1 b y 2 c z 1  x    log a b  log a c   abc   y    log b a  log b c   z    log c b  log c a Ta có: x   y   z    log a b  log a c  logb c  logb a  log c b  log c a  x  y  z  3  P  ( a, b, c   log a b  0,log a c  0,logb a  0,logb c  0,logc a  0,logc b  ) Dấu xảy và a  b  c Dạng Sử dụng phương pháp hàm số (hàm đặc trưng) giải các bài toán logarit Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên  a; b  thì * u; v   a; b  : f  u   f  v   u  v * Phương trình f  x   k  k  const  có nhiều nghiệm trên khoảng  a; b  Định lý: Nếu hàm số y  f  x  đồng biến (hoặc nghịch biến) và liên tục trên  a; b  , đồng thời lim f  x  lim f ( x)  thì phương trình f  x   k  k  const  có nghiệm trên  a; b  xa x b Tính chất logarit: 1.1 So sánh hai logarit số: Cho số dương a  và các số dương b, c 1.2 Hệ quả: Cho số dương a  và các số dương b, c  Khi a  thì log a b  loga c  b  c  Khi a  thì log a b   b   Khi  a  thì log a b  loga c  b  c  Khi  a  thì log a b   b   log a b  loga c  b  c Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Logarit tích: Cho số dương a, b1 , b2 với a  , ta Logarit thương: Cho số dương a, b1 , b2 với a  , ta có log a (b1.b2 )  log a b1  log a b2 có log a b1  log a b1  log a b2 b2 Đặc biệt: với a, b  0, a  log a Logarit lũy thừa: Cho a, b  0, a  1, với  , ta có Công thức đổi số: Cho số dương a, b, c với a  1, c  , ta có log a b   log a b Đặc biệt: log a n b    log a b b log a b  log a b ( n nguyên dương) n Đặc biệt: log a c  log c b log c a 1 và log a b  log a b với log c a   0 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 55 C 29 Lời giải B 28 D 56 Chọn D  x2  y  Điều kiện:  x  y   x  x  4t  3t  x  y  4t Đặt log  x  y   t , ta có   t t  x  y   y   x  * Nhận xét hàm số f  t   4t  3t đồng biến trên khoảng  0;   và f  t   với t  Gọi n   thỏa 4n  3n  x  x , đó *  t  n Từ đó, ta có  x  y  3t  x  3n  x Mặt khác, vì có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn đề bài nên 3n  242  n  log 242 Từ đó, suy x  x  4log3 242  242  27,  x  28, Mà x   nên x  27,  26, , 27, 28 Vậy có 56 giá trị nguyên x thỏa yêu cầu đề bài Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 728 số   nguyên y thỏa mãn log x  y  log3 ( x  y ) ? A 59 Chọn B 58 C 116 Lời giải D 115 C Với x   ta có x2  x Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   Xét hàm số f ( y)  log3 ( x  y)  log x  y Tập xác định D  ( x; ) (do y   x  y   x ) f '( y )  1   0, x  D (do x  y  x  y  , ln  ln ) ( x  y ) ln  x  y  ln  f tăng trên D   Ta có f ( x  1)  log3 ( x  x  1)  log x  x   Có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn f  y    f ( x  729)   log3 729  log  x  x  729    x2  x  729  46   x2  x  3367   57,5  x  58,5 Mà x   nên x  57,  56, , 58 Vậy có 58  (57)   116 số nguyên x thỏa Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 89 B 46 C 45 Lời giải D 90 Chọn D Ta có log  x  y   log  x  y 1 Đặt t  x  y   * (do x, y  , x  y  ) (1)  log  x  x  t   log t  g (t )  log t  log  x  x  t     Đạo hàm g (t )  1   với y Do đó g  t  đồng biến trên 1;  t ln  x  x  t  ln Vì x nguyên có không quá 127 giá trị t   * nên ta có g (128)   log 128  log  x  x  128    x  x  128  37  44,8  x  45,8 Như có 90 giá trị thỏa yêu cầu bài toán Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 65 B 33 49 Lời giải C D 57 Chọn A Ta có x  y.4 x  y 1   y.22 x  y    x  y.2 y    x  23 x * Hàm số f  t   t.2t đồng biến trên  , nên từ * ta suy y   x  x  y   1 Ta thấy 1 bất phương trình bậc có miền nghiệm là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d : x  y   (phần không chứa gốc tọa độ O ), kể các điểm thuộc đường thẳng d Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 Xét biểu thức P  x  y  x  y   x  3   y    P  13  2 Để P tồn thì ta phải có P  13   P  13 Trường hợp 1: Nếu P  13 thì x  3; y  2 không thỏa 1 Do đó, trường hợp này không thể xảy Trường hợp 2: Với P  13 , ta thấy   là đường tròn  C  có tâm I  3; 2  và bán kính R  P  13 Để d và  C  có điểm chung thì d  I ; d   R  Vậy P  Câu 13 65  P  13  P  2 65 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 và log 3 x  3  x  y  y ? A 2019 B C 2020 Lời giải D Chọn D Cách 1: Ta có: log 3 x  3  x  y  y  log  x  1  x   y  32 y 1 Đặt log  x  1  t  x   3t Phương trình 1 trở thành: t  3t  y  32 y 2 Xét hàm số f u   u  3u trên  f  u    3u ln  , u   nên hàm số f u  đồng biến trên  Do đó 2  f t   f 2 y   t  y  log  x  1  y  x   y  x  y  Vì  x  2020   y   2020   y  2021   y  log 2021 log 2021  3, 464 Do y    y  0;1; 2;3 , có giá trị y nên có giá trị x Vậy có cặp số nguyên  x ; y  Cách 2: Ta có: log 3 x  3  x  y  y  log  x  1  x   y  32 y Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Xét hàm số f  x  log  x  1  x  với x   0; 2020  Ta có f   x  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   0, x  x  0;2020  Hàm số f  x  đồng biến trên đoạn  x  1 ln 0 ; 2020  Suy f 0  f  x   log  x  1  x   f 2020   f  x  log 2021  2021   y  y  log 2021  2021  2028 Nếu y   y  y  y  90   y  Khi đó y    2 y  y     y  y  2027  y  2027  y  2027  y  log 2027  3, 465  y    y   y  0;1; 2;3 Do f  x  là hàm số luôn đồng biến nên với giá trị y cho giá trị x +) y   log  x  1  x    x  +) y   log  x  1  x   11  log  x  1  x  10  x  +) y   log  x  1  x   85  log  x  1  x  84  x  80 +) y   log  x  1  x   735  log  x  1  x  734  x  729 Vậy có cặp số nguyên  x ; y  Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 33 B C 21 D 41 Lời giải Chọn D Ta có x  y.4 x  y 1    x  3 4 x  y.4 y 1   y.22 y    x  232 x (1)  21 x  2 Xét TH:  x   x  (1) đúng với giá trị  (2)  P  x  y  2x  y   y  Xét TH:  x    x  t Xét hàm số f  t   t.2 với t   f   t   2t  t.2t.ln  với t  (1)  f  y   f   x   y   x  y   x Khi đó: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 33  41 41 3   P  x  y  2x  y  x    x   2x  3  2x   2x2  5x   2 x     (3) 4 8 2   41 So sánh (2) và (3) ta thấy GTNN P là x  , y  4 Câu 2 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 80 B 79 C 157 Lời giải D 158 Chọn D Ta có: log  x  y   log  x  y   x  y  3log  x  y   x  y   x  y  log 1 Đk: x  y  ( x, y   , x  y  ) Đặt t  x  y  , nên từ 1  x  x  t log  t   Để 1 không có quá 255 nghiệm nguyên y và bất phương trình   có không quá 255 nghiệm nguyên dương t Đặt M  f  255  với f  t   t log  t Vì f là hàm đồng biến trên 1,   nên     t  f 1  x  x  x  x  Vậy   có không quá 255 nghiệm nguyên  f 1  x  x   255  x  x  255  78  x  79  x   Vậy có 158 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 33 B C 21 D 41 Lời giải Chọn D Ta có x  y.4 x  y 1    x  3 4 x  y.4 y 1   y.22 y    x  23 x (1) Xét TH  x   x  (1) đúng với giá trị  33 x  2 (2)  P  x  y  4x  y    y  Xét hàm số f  t   t 2t với t  Xét TH  x    x   f   t   2t  t.2t.ln  với t  (1)  f  y   f   x   y   2x  y x 2 21 3   P  x2  y  x  y  x2    x   x  3  x   2x2  x  2  Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  41 41  (3)  P  2 x     4 8  So sánh (2) và (3) ta thấy GTNN P là Câu 41 x  , y  4 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  m, n  cho m  n  16 và ứng với   cặp  m, n  tồn đúng số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? A 16 B 14 C 15 D 13 Lời giải Chọn D   Đặt f  a   2a m  n ln a  a  , ta có f   a   2ma m 1  f   a    2ma m 1  n a2 1   a m 1 a   n a2 1 n phải có nghiệm a0  2m n n    suy a0 là nghiệm 2m m Ta có bảng biến thiên Suy Ta thấy là nghiệm phương trình f  a   n   n  (loại) 2m Nếu m lẻ và m  thì ta có a là nghiệm thì a là nghiệm, đó có đủ nghiệm Nếu m chẵn thì phương trình có tối da nghiệm (vì không có nghiệm âm) Suy m lẻ Để có nghiệm dương thì theo BBT ta có f 1    n ln   n   2, ln  Nếu m  suy để có nghiệm thì     Suy n  1; 2 suy m  3;5;;15 Suy có 13 cặp  m, n  (do 15   17  16 ) Câu 10 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Xét các số thực thỏa mãn x biểu thức P  A  y 1   x  y  x   x Giá trị lớn 8x  gần với giá trị nào sau đây nhất? 2x  y 1 B C Lời giải D Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2x  y 1 2x  y  x 1 2 x 1   x  y  x   x  y2  x2  y  x  2   x  1  y    1   Đặt t   x  1  y 1  2t  t     t    x  1  y2  8x    P   x  P y   P    2x  y 1 Yêu cầu bài toán tương đương: 2P   P    3P  12   P    P    P    P  8  P P Câu 11 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  m; n  cho m  n  10 và ứng với   cặp  m; n  tồn đúng số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? A B C 10 Lời giải D Chọn D 2a m  ln a  a  n Xét hai hàm số f  x   ln x  x  và g  x   x m trên  1;1 n f  x  0 f  x Ta có nên luôn x2       Ta có 2a m  n ln a  a    đồng biến và   f   x   ln  x  x   ln     ln x  x    f  x  nên f  x  là hàm số lẻ  x  x 1      + Nếu m chẵn thì g  x  là hàm số chẵn và có bảng biến thiên dạng Suy phương trình có nhiều nghiệm, đó m lẻ + Nếu m lẻ thì hàm số g  x  là hàm số lẻ và luôn đồng biến Ta thấy phương trình luôn có nghiệm x  Dựa vào tính chất đối xứng đồ thị hàm số lẻ, suy phương trình đã cho có đúng nghiệm trên  1;1 có nghiệm trên  0;1 , hay   f 1  g 1  ln   2 n  2,26  n  1;2 n ln    Đối chiếu điều kiện, với n  suy m  1;3;5;7;9 , có cặp số thỏa mãn Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Với n  thì m  1;3;5;7 có cặp số thỏa mãn Vậy có cặp số thỏa mãn bài toán Câu 12 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x , y thỏa mãn x biểu thức P  A  y 1   x  y  x   x Giá trị nhỏ 8x  gần với số nào đây 2x  y 1 B C Lời giải D Chọn C Nhận xét x  y  x   0x; y Bất 2x  y 1 phương   x  y  x   x  2 x  y 1 2x   x  y  x    2x trình  y  x 1   x2  y2  2x  2 Đặt t  x  y  x  Bất phương trình  2t  t   2t  t   Đặt f  t   2t  t  Ta thấy f    f 1  Ta có f   t   2t ln    f   t    2t ln   t  log    0,52  ln  Quan sats BBT ta thấy f  t     t   x2  y  x     x  1  y  1 Xét P  8x   Px  Py  P  x  2x  y 1  P     P  x  Py  P   P     P  x  P   Py  3P  12    P  x  1  Py 2 2   3P  12     P  x  1  Py     P   P   x  1  y     2 Thế 1 vào ta có  3P  12     2P   P   P  40 P  80     P     Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   x    2  2     P x  2 x 1  y y x 1  y         y  Dấu “=” xảy  P      2 y    x  12  y  y    x           y   Vậy giá trị nhỏ P là   2, 76 gần giá trị Câu 13 Có bao nhiêu cắp số nguyên dương  m, n  cho m  n  14 và ứng với cặp  m, n  tồn   đúng ba số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? B 12 A 14 C 11 D 13 Lời giải Chọn C Xét f  x   x m  ln x  x  trên  1;1 n   Đạo hàm f   x   2m m1 x  0 n x2  Theo đề bài f  x   có ba nghiệm nên Xét đồ thị hàm y  x m 1; y  x2  2m m1 x  n x2  có ít hai nghiệm , suy m  chẵn và m   x  Suy m3;5;7;9;11;13 Khi đó f   x   có nghiệm   x2   f 1  Phương trình có nghiệm    f  1  2  n  ln    n   n  1; 2   ln   n     n1;2 và m3;5;7;9;11;13 , m  n  14 nên ta có 11 cặp  m ; n  thỏa yêu cầu bài toán Câu 14 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m, n) cho m  n  12 và ứng với cặp (m, n) tồn đúng số thực a  (1,1) thỏa mãn a m  n ln( a  a  1) ? A 12 B 10 C 11 Lời giải D Chọn D Ta có 2a m  n ln( a  a  1)  m a  ln( a  a  1) (*) n Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét hàm f (a )  ln( a  a  1) trên ( 1,1) (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến trên R ), có BBT: Xét hàm g (a )  a m trên ( 1,1) n Với m chẵn, g (a ) là hàm chẵn và g ( a )  0, a  R , đó (*) không thể có nghiệm Với m lẻ, g (a ) là hàm lẻ, đồng biến trên R và tiếp tuyến đồ thị điểm a  là đường thẳng y  Dễ thấy (*) có nghiệm a   ( 1;1) Để (*) có đúng nghiệm tức là còn có nghiệm là  a0 với  a0  2 Muốn vậy, thì g (1)  1m   f (1)  ln(1  2)  n   2, 26  n  1; n  n n ln(1  2) Cụ thể: + m 3;5;7;9 thì n  1;2 : Có cặp (m, n) + m  11 thì n  1 : Có cặp (m, n) + m  : Đồ thị hàm số g ( a ) là đường thẳng ( g (a )  a; g (a )  a ) không thể cắt đồ thị hàm số f (a ) giao điểm a0  vì tiếp tuyến hàm số f (a ) điểm có hoành độ a  là đường thẳng y  a Vậy có thảy cặp ( m, n) Câu 15 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x và y thỏa mãn x lớn biểu thức P   y 1   x  y  x   x Giá trị 4y gần với số nào đây? 2x  y  B A C Lời giải D Chọn A Ta có: x  y 1   x2  y2  x  2 4x  2x  x 1 y   x  x  1  y  Đặt t  x  x   y  t  Khi đó ta có 2t  t  , t  Đặt f  t   2t  t  1, t  , ta có: f   t   2t ln  , cho f   t   Ta nhận thấy phương trình f   t   có nghiệm nên phương trình f  t   có tối đa hai nghiệm Mặt khác ta có f    f 1  Suy phương trình f  t   có hai nghiệm t  và t  Khi đó ta có bảng xét dấu hàm số f  t  sau: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khi đó f  t    t   0;1 Suy x  x   y    x  1  y  Khi đó tập hợp các điểm M  x; y  là hình tròn  S  tâm I 1;0  , bán kính R  Ta có: P  4y  Px   P   y  P  2x  y  Khi đó ta có tập hợp các điểm M  x; y  là đường thẳng  : Px   P   y  P  Để  và  S  có điểm chung, ta suy d  I ,    2P  P  2P    P  4   P  5P  P  16  P  P  16   1   P  1  Ta suy Pmax Câu 16   x   1  Dấu "  " xảy  y    (Mã 123 2017) Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log  xy  xy  x  y  Tìm giá trị x  2y nhỏ Pmin P  x  y A Pmin  11  3 B Pmin  C Pmin  18 11  29 21 D Pmin  11  19 9 11  19 Lời giải Chọn A Với x , y dương và kết hợp với điều kiện biểu thức log  xy  xy  x  y  ta x  2y  xy  Biến đổi log  xy  xy  x  y  x  2y  log   xy   log  x  y   3   xy    x  y   log 3  log   xy   log 3    xy   log  x  y    x  y   log    xy      xy   log  x  y    x  y  1 Xét hàm số f  t   log t  t trên D   0;     với x  D nên hàm số f  t   log t  t đồng biến trên D   0;   t.ln 3  2y Từ đó suy  1    xy   x  y   y  x   y   x  (do y  )  3y f ' t   Theo giả thiết ta có x  0, y  nên từ x  P  xy   2y ta  y   3y  2y 3y2  y  y  3y 3y  Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3y  y  3 Xét hàm số g  y   với  y  3y  g ' y  y  y  10  y  1  ta y  1  11  1  11  11  Từ đó suy P  g     3   Câu 17 (Mã 110 2017) Xét các số thực dương a, b thỏa mãn log  ab  2ab  a  b  Tìm giá trị a b nhỏ Pmin P  a  2b A Pmin  10  B Pmin  10  C Pmin  10  D Pmin  10  Lời giải Chọn C Điều kiện: ab   ab  2ab  a  b   log  1  ab    1  ab   log  a  b    a  b  * Ta có log ab Xét hàm số y  f  t   log2 t  t trên khoảng  0;   0, t  Suy hàm số f  t  đồng biến trên khoảng  0;  t.ln b  Do đó *  f  1  ab    f  a  b   1  ab   a  b  a  2b  1   b  a  2b  b   0 0 b  Do a  0, b  nên 2b  b  b   2b Xét hàm số g (b)   2b trên khoảng  0;2 Khi đó: P  a  2b  2b  2b  Ta có f   t    2  10   0;2  b  5 g b      2b  1    2   2b  1 2  10   0;  b   Lập bảng biến thiên  10   10  Vậy Pmin  g      Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 18 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn  x y  ln     ln  x  y  .5  2ln Tìm giá trị lớn biểu thức P  ( x  1) ln x  ( y  1) ln y A Pmax  10 B Pmax  C Pmax  D Pmax  ln Lời giải  x y  ln     .5ln( x  y )  2ln  2ln( x  y )  ln 2.5ln( x  y )  2ln  2ln( x  y ).5ln( x  y )  2ln 5.2ln  10ln( x  y )  2ln10  ln( x  y )  log  2ln10   ln( x  y )  ln10.log  eln( x  y )  eln10.log  x  y  10log  x  y  Do đó P   x  1 ln x    x  ln   x  Xét hàm số f ( x)  ( x  1) ln x  (3  x) ln(2  x) f ( x )  ln x  f   x    x 1 3 x x  2x  ln(2  x )   ln  x 2 x  x x (2  x ) 2  x 2  x x2  x    0, x   0;2  x 2x  x2  Do đó f   x   có nhiều nghiệm trên  0;2  Mà x  là nghiệm pt f   x   nên phương trình f   x   có nghiệm là x 1 Lập bảng biến thiên ta max f  x   f 1  Câu 19 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Cho các số thực x, y thỏa mãn  x, y  và log x y   x  1 y  1   Tìm giá trị nhỏ P  x  y  xy D Lời giải Với điều kiện biểu thức đề bài có nghĩa, ta có x y log   x  1 y  1    log  x  y   log 1  xy   xy  x  y    xy  log  x  y    x  y   log 1  xy   1  xy * A B C Xét hàm số f  x   log t  t trên  0;2  f   t   ln   0, t   0;2  nên hàm số f  t  đồng biến trên  0;2  t 1 x Do đó từ * ta có x  y   xy  y 1  x    x  y  1 x 1 x P  2x  y  2x  1 x P  x     0, x  0;1 1  x  Suy P  P    đạt x  0, y  Câu 20 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho các số thực a, b thỏa mãn a  b  Biết biểu thức P a  log a đạt giá trị lớn b  a k Khẳng định nào sau đây là sai log ab a b Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A k   2;3 C k  0;1 B k   0;1  3 D k   0;   2 Lời giải Ta có a  b   log a b  P a  log a  loga ab  log a a  loga b   loga b   log a b log ab a b Đặt t   log a b  t    log a b   t Ta có: P  t  t  trên 0;   Bảng biến thiên t   P Hàm số đạt giá trị lớn t  Với t  1 3    log a b  log a b   b  a  k  2 4 Câu 21 Cho hai số thực a, b thỏa mãn log a  4b 1  2a  8b   Tính P  đạt giá trị lớn A B 13 13 Lời giải C a biểu thức S  4a  6b  b D 17 44 Chọn B log a  4b2 1  2a  8b    2a  8b  a  4b  Ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2a  8b  a  4b  2a  8b  a  4b     S  6b   S  4a  6b  a     S  6b    S  6b   2  b        4b    4     S  b   a  8S  48b  40  128b  S  36b  25  12 Sb  10 S  60b  64b  16   S  6b  a   100b  2(58  S )b  S   S    S  6b  a     (58  S )2  100.(1  S )2   64 S  896 S  3264   17  S  13  a  Giá trị lớn S là:   b  2  a 13 Suy  b Câu 22 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho a , b là các số dương thỏa mãn b  và a nhỏ biểu thức P  log a a  2log b   b b A B C a  b  a Tìm giá trị D Lời giải Chọn D Ta có: P  1  4. logb a  1    logb a  1 1  log a b 1 logb a Đặt t  log b a Vì P 1 1 t a  b  a  logb   t  1  Xét hàm số f (t )   a    log a  2t   t   t  b t   t  1 với t  1;2  t 1 t   t  1 với t  1;2  t 1  t   tm  1  f (t )   4, f ( t )   t        t  1 t   l   Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bảng biến thiên t -∞ f '(t) 2 - +∞ + +∞ f (t) 3 Từ bảng biến thiên suy ra: minf  t   f    1;2   2 Vậy giá trị nhỏ biểu thức P Câu 23 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn  4a  2b   2 log5    a  3b  Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a  b a  b   A Lời giải B C D  4a  2b   log5    a  3b   log5  4a  2b  5  log5  a  b   a  3b   ab   log5  4a  2b  5   4a  2b  5  log5 5  a  b     a  b  (*) Xét hàm f  x   log x  x, x    0, x  Suy hàm số f  x  đồng biến trên  0;  x.ln Phương trình (*) viết lại: Đạo hàm f   x   f  4a  2b  5  f   a  b    4a  2b    a  b   a  3b  Mặt khác: 52   a  3b   12  32   a  b2   T  a  b2  Dấu "  " xảy  Câu 24 a b   a  ;b  2 (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Với hai số thực a, b bất kì, ta kí hiệu f  a ,b   x   x  a  x  b  x   x  Biết luôn tồn số thực x0 để f  a ,b   x   f a ,b   x0  với số thực a, b thỏa mãn ab  ba và  a  b Số x0 xR A 2e  B 2,5 C e D 2e Lời giải Ta có a b  b a  b ln a  a ln b  Xét hàm số y  ln a ln b   * a b lnx , trên tập xác định D   0;   x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  ln x , y   x  e x2 Bảng biến thiên y  a x y/ b e + +∞ _ y e -∞ 0  a  b Có   f  a   f  b  Kết hợp với bảng biến thiên suy a  e  b 1 Ta lại có f a,b   x   x  a  b  x  x    x  x  a  b  x  x    x  b  a  a  x  b Suy f a,b   x   b  a    2 x 2  x  Từ 1 và   suy số thực thỏa mãn yêu cầu bài toán là x  e Thử lại: x  e thì f  e   b  a  Vậy f  a ,b   x   f  a ,b   x0   f a ,b   e  xR Câu 25 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho hai số thực a  1, b  Biết phương trình a xb x 1  có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức  xx  S      x1  x2   x1  x2  A 3 B C 3 Lời giải D Chọn A Ta có a x b x 1   x   x  1 log a b    log a b  x  x  log a b  1    log b a  x1  x2  log a b Do phương trình có hai nghiệm x1 , x2 nên theo định lý Viet ta có:   x x  1  Khi đó S   log b a log b2 a Đặt t  logb a , a  1, b   t  Khi đó S  Đẳng thức xảy Câu 26 1  4t   2t  2t  3 t t 1  2t  t  Vậy S  3 t   (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Cho x , y là các số thực lớn cho y x e x Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  log x xy  log y x Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ey ex  x y ey  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 2 1 2 Lời giải B 2 C D 1 2 Cách Ta có: y x y x e e e e y x  e x   x y  e y   ln  y x  e x    ln  x y  e y       x y x  x ln y  xe y  y ln x  ye x   (*) (vì y  e  ln x có x ln x  e ln y  e y  0; x  nên y  y 1  e  ) x t ln t  et   tet Xét hàm số: f  t   trên 1;  ta có f '  t   Với hàm số t ln t  e  ln t  et  y '  ex  g  t   ln t  et   tet có g '  t    ln t  et   tet  '   tet  0, t  t Nên g  t   g 1  1  f '  t   0; t   y  f  t  là hàm nghịch biến trên 1;   nên với (*) f  x   f  y   y  x  Khi đó P  log x xy  log y x  Dấu “=” xảy khi: Vậy: Pmin  1 1 1 1 2  log x y    log x y  2 log x y 2 log x y 1 log x y    log x y    y  x log x y 1 2 Cách 2: Với x, y  thì log x y;log y x là các số dương, ta có: P  log x xy  log y x  Dấu “=” xảy khi:  y  x Thay   x  Vậy Pmin  1 1 1 1 2  log x y   2 log x y  2 log x y 2 log x y 1 log x y    log x y    y  x , log x y vào điều kiện thấy thỏa mãn điều kiện ban đầu 1 2 Câu 27 Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log3 1 y  3xy  x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin x  3xy P  x  y A Pmin  34 B Pmin  34 C Pmin  34 D Pmin  34 Lời giải Để 1 y  mà từ giả thiết x, y  suy  y   y  Vậy ĐKXĐ: x  0;0  y  x  3xy Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: log3  1  y  x  3xy 31  y  xy  x 3 y 3 1 y 1 y 3  3xy  x  y    33 xy  x 3 y   x  3xy x  3xy x  3xy  33 xy  x    y  333 y   xy  x  33 xy  x (*) 333 y Xét f  t   t.3t với t  Ta có f   t   3t  t.3t.ln  với t  , suy f  t  đồng biến trên khoảng  0;   Từ (*)  y  3xy  x  y  3 x 3( x  1) Ta có P  x  y  x  P   x  1  Vậy Pmin Câu 28 f   y   f  xy  x  ta có 4  2  x  1 Vĩnh  y  0,3xy  x   x  1 4 34    x  1 3 Phúc Xét 2019) các 3 1 số thực dương x, y log x  log y  log  x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P  x  y 2 2 A Pmin  C Pmin  B Pmin  25 D Pmin  Lời giải Ta có: log x  log y  log  x  y   log  xy   log  x  y   xy  x  y 2 2 2 y  x   x  y  1  y   y  ( Vì x; y  ) y 1  Ta có: P  x  y  nên  3 x 3 x 1   x  1       x  1   x  1    x    x  1   x   34 3 x    y  3 x     y   x  0;0  y     (Chuyên với y2  3y  y 1 y 1 y 1 Xét hàm số: f  y   y   Đạo hàm: f /  y    ; y  y 1  y  1  y   n  f /  y     y  l   Bảng biến thiên Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 17 thỏa mãn TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 29 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) x, y Cho là các số thực dương thỏa mãn log 2019 x  log 2019 y  log 2019  x  y  Gọi Tmin là giá trị nhỏ biểu thức T  x  y Mệnh đề nào đây đúng? A Tmin   7;8 B Tmin   6;  C Tmin   5;  D Tmin   8;9  Lời giải Ta có: log 2019 x  log 2019 y  log 2019  x  y   log 2019 xy  log 2019  x  y   xy  x  y  x2 y    y  x  1  x   x 1 x   x2  3x   Ta có: T  x  y  x  x 1 x 1 ; x 1 Xét hàm số: f  x   3x   x 1 Đạo hàm: f /  x     x  1 f /  x   x  1 (do x  1) Bảng biến thiên Do đó: Tmin   Câu 30 (Mã 105 2017) Xét hàm số f  t   9t với m là tham số thực Gọi S là tập hợp tất các 9t  m2 giá trị m cho f  x   f  y   với số thực x , y thỏa mãn e x y  e  x  y  Tìm số phần tử S A B Vô số C Lời giải D Chọn D Ta có f  x   f  y    x  y  m4  x  y  log m4  log m2 Đặt x  y  t , t  Vì e x  y  e  x  y   e t  et  t   ln t   ln t  t  0, t  (1) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 t 0t0 Xét hàm f  t   ln t   t với t  f   t     t t Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta có f  t   f  1 , t    ln t  t  0, t  (2) Từ  1 và   ta có t   log m2   m2   m   Câu 31 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  , có bảng biến thiên hình vẽ và có đạo hàm cấp hai f   x   0,  x    Gọi a, b, c, n là các số thực và biểu thức: P   e f a e f b  e f c   3  f 2  abc     1 Khẳng    định đúng với a, b, c, n   là C P  B  3e  P  A  P  D P   3e Lời giải Ta có e f  a   e f b   e f  c   3 e f  a   f  b   f  c  Mặt khác f   x   0,  x   nên f  x  là hàm lồi, áp dụng bất đẳng thức lồi ta có  abc f  a   f b   f c   f     Do đó e f  a e f b  e f c  a b  c  f    3 e  a b c  3f     3e  a b  c  f     abc  abc   ,t  n     1 Đặt t  f  3      Ta có P  g  t  với g  t   3et   t  1 Suy P  3e 3  f 2 g   t   3et   t  1 ; g "  t   3et   3  et  1  0, t  Nên g   t  là hàm nghịch biến trên 0;    g '(t )  g (0)  0, t   0;    g (t )  g (0) Do đó P  g    3   3e Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 32 x x (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Cho hàm số f ( x)   Gọi m0 là số lớn các số 12 nguyên m thỏa mãn f (m)  f (2m  )  Mệnh đề nào sau đây đúng? A m0  1513; 2019  B m0  1009;1513 C m0  505;1009  D m0  1;505  Lời giải Chọn B Hàm số f ( x)  2x  2 x xác định x   Khi đó  x   , ta có f ( x)  2 x  2x  (2x  2 x )   f ( x) Suy f ( x) là hàm số lẻ 1 x x Mặt khác f ( x)  (2  )ln  , x   Do đó hàm số f ( x) đồng biến trên    Ta có f (m)  f (2m  212 )   f (2m  212 )   f (m) Theo 1 suy f (2m  212 )  f (m) Theo   ta 2m  212  m  3m  212  m  212 Vì m   nên m  1365  m0  1365 Vậy m0  1009;1513 Câu 33 (Việt Đức Hà Nội 2019) Tìm tất các giá trị tham số m đề đồ thị hàm số y  m log 22 x  2log x  2m  cắt trục hoành điểm có hoành độ thuộc khoảng 1;    1   A m   ;       2    1  B m    ;0       2  1   C m   ;      2 2    1  D m    ;0      2  Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm m log 22 x  2log x  2m   Ycbt  Phương trình có nghiệm thuộc khoảng 1;   Đặt t  log2 x  x  1;   2t  t2  Ycbt  Phương trình có nghiệm t   0;   Phương trình  mt  2t  2m    m  Xét hàm số f  t   Ta có f   t   2t  trên  0;   t2  2  t    2t  2t  1 t  1  2t  2t  t  1 t  1   0;   f   t    2t  2t     t    0;   Bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   1  Từ bảng biến thiên ta suy ra: ycbt  m    ;0      2 Câu 34 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho x; y là hai số thực dương thỏa mãn x  y và y x x2  y  x   y  P  Giá trị nhỏ biểu thức        xy  y 2x   2y   A 13 B C  D Lời giải Chọn D y x y x     Ta có  x  x    y  y    x  1   y  1      y ln   1  x ln   1  x y Xét hàm số f  t   ln  4t  1 t ln  x  1 x  ln  y  1 y (vì x, y  ) trên khoảng  0;    4t.ln t  ln  4t  1 4t ln 4t   4t  1 ln  4t  1 t Ta có f   t      0, t  t  4t  1 t  f  t  luôn nghịch biến trên khoảng  0;    Lại có f  x   f  y   x  y Đặt t  x t2  , đó t  1;    P  y t 1 Cách 1: Xét P  t  1 t2  t  2t  với t  1;   , ta có P  ; P    t 1  t  1 t  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên, suy giá trị nhỏ P t  hay x  y Cách 2: Ta có P  t2   t 1      (AM – GM) t 1 t 1 Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy ra, giá trị nhỏ P t  hay x  y Câu 35 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Xét các số thực dương x, y thỏa mãn 2 2 x x  y   log      xy   Khi x  y đạt giá trị nhỏ nhất, y x y 1 A B C D Lời giải Chọn A 2 2 Ta có: x  y   log      xy   x y       x  y   xy    log  x  y   log  xy    xy   xy  2  xy   xy    x  y   log  x  y      log       1 Xét hàm số f  t   2t  log t , với t   0;     0, t  , suy hàm số f  t  đồng biến trên khoảng t.ln xy 1  f  x  y   f     x  y   xy   2y Ta có:  x  y   xy  x( y  2)  y  x  ;y  y2 f   t   4t  P  x  4y  Câu 36 Từ 2y 4  y  10   y     10   y    18 y2 y2 y2  Pmin  18  y    y 3 x   0;     y  1  y  y2 2y x    y2 y (Chuyên Hưng Yên - 2020) Biết phương trình x  ax  bx  cx   có nghiệm Tìm giá trị nhỏ biểu thức T  a2  b2  c2 A Tmin  B Tmin  D Tmin  C Tmin  Lời giải Chọn A Ta có x  ax  bx  cx   Vì x  không là nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x ta 2 c 1 c   c  x  ax  b     x    ax  b    x      ax  b   x x x x  x   x 2 c    Ta có   ax  b     a  b  c   x    (theo BĐT Cauchy - Schwarz) x x    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   x   x      2 Khi đó  x     a  b  c   x   1  a  b  c   (1) x  x       x   1 x   Đặt t  x   (theo BĐT Cô Si) x2 t  2t t2 Khảo sát hàm số f  t   , t   2;   có f ' t   0, t  2;  t 1 t 1    4    Do đó f t  f   a  b  c  2;  3 Dấu "  "  a  b  c  Phương trình có nghiệm thi T  f  t  2;    x4  Câu 37 2 x  x  x   có nghiệm x  1  t  thỏa mãn 3 Vậy Tmin  (Chuyên KHTN log các 3x  y    x  y  1 x  y  1   xy  1 x2  y2 Giá 5x  y  2x  y 1 A Cho x, y là - 2020) số trị thực lớn dương P B C Lời giải D Chọn C 3x  y   Ta có: log   x  y  1 x  y  1   xy  1 x2  y2  log 3x  y   x  y  3x  y  x2  y2 2 2 3x  y  22 x  y   x 3 y 3   x  y   23 x 3 y 3   x  y  22 x  y 2 x y   x  y   23 x 3 y 3   x  y  22 x   x  y   23 x 3 y    x  y  22 x 2  y2 2 y2 1  Đặt f  t   t.2t  t   Ta xét: f   t   2t  t.2t.ln  0, t  Suy hàm số f  t  đồng biến trên  0;   Lúc đó; 1 có dạng: f  3x  y    f  x  y   x  y   x  y  x  xy  y   x  y     x  xy  y 2   x  y   3 x  y      x  y  Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ thỏa mãn biểu thức TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   x  y    x  y     1  x  y   x  y    Khi đó: P  5x  y  x y4  2  2  2x  y 1 2x  y 1 x  y    Vậy P đạt giá trị lớn là , đạt 3 x  y   x  y  x  y  x  y   Câu 38 (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho các số thực x, y thỏa mãn  x, y  và  x y  log3    x  y    Tìm giá trị nhỏ P với P  2x  y   xy  A B C D Lời giải Chọn B     x y   x y  Ta có log     x  1 y  1    log    xy  x  y     xy    xy   log3  x  y   x  y  log3 1  xy    xy Xét hàm số đặc trưng f  t   log3 t  t với t  Ta có f '  t     0, t  t ln Hàm số f  t  đồng biến với t  Có f  x  y   f 1  xy   x  y   xy  x  y  1   y  x  Ta có P  x  y  1 y y 1  2y 4  y  3   y   3   y  1  y 1 y 1 y 1 Vậy giá trị nhỏ P Câu 39 (Chuyên Chu Văn An - 2020) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  A B x  4y  x  y  x y x y  xy  y x( x  y )2 Lời giải C D Chọn D Ta có log x  4y  x  y   log ( x  y )  (x  y)  log 3( x  y )  3( x  y ) (1) x y Xét hàm số f (t )  log t  t trên khoảng (0; )   0, t  Suy hàm số f (t ) đồng biến trên khoảng (0; ) t ln Từ (1) suy f ( x  y)  f (3( x  y)) và ( x  y)  0;3( x  y)  Ta có f '(t )  Do đó, (1)  x  y  3( x  y)  y  x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 P 3x y  xy  y x5  12 x  12     6x    9 x x( x  y ) x3 1 6  x     9 x x Dấu "  " xảy  x  Vậy PMin  Câu 40 (Chuyên Hùng Vương - Gia Lai - 2020) Xét các số thực dương a, b, x, y thỏa mãn a  1, b  2 và a x  b y   ab  Giá trị nhỏ biểu thức P  2 x  y thuộc tập hợp nào đây? A 10;15 B  6;10  D  4;  C 1;  Lời giải Chọn B 2 Ta có: a x   ab   x  log a  ab   1  log a b   x   log a b 2 b y   ab   y  log b  ab   1  log b a   y   log b a P  2 x  y   log a b   log b a Đặt t  log a b  t   ta được: P   t   , với t   0;   t Xét hàm số f  t    t   f  t   1 t  t2  t t ; f  t    1 t  t2  t   2t 2   1 t t 2   4t      t  8t  8t  t    t  t  Bảng biến thiên hàm số f  t   log a b  a  b2   Từ bảng biến thiên suy MinP  f  t     6;10   x   x   0;    y   y   Câu 41 (Chuyên Lào Cai - 2020) Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log x  log  y  log   x  y  Biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ bằng: A Pmin  16 B Pmin  33 C Pmin  11 D Pmin  Lời giải Chọn A Từ đề bài xy  x  y Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 31 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y2  x    x  y  1  y   y  ( Vì x; y  ) y 1  Ta có: P  x  y  y2  8y  y 1 y 1 y 1 Xét hàm số: f  y   y   Đạo hàm: f /  y     y  / f  y    y   ; y  y 1  y  1 l  4 Bảng biến thiên, ta thấy giá trị nhỏ f ( y ) là f    16 3 16 Vậy Pmin  16 x  Câu 42 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Xét các số thực x, y thỏa mãn log  x  1  log  y  1  Khi biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ thì 3x  y  a  b với a, b  Tính T  ab ? A T  B T  C T  D T  Lời giải Chọn C x 1  x  Điều kiện:    y 1  y 1 Khi đó: log  x  1  log  y  1    x  1 y  1   y   2  y 1 x 1 x 1 6    x  1  5 x 1 x 1 Cách 1: Dùng bất đẳng thức Suy ra: P  x  y  x  Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:  x  1    x  1    P  5 x 1 Dấu “=” xảy   x  1  y 6  2  x  1 x 1 x 1 x  1  N    x  1   x     x 1  x    L  2 3 1  3  3 5  a  1; b   T  ab  Do đó: 3x  y        3   Cách 2: Dùng bảng biến thiên   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: P  x  6 3  P'  2 x 1  x  1 x  1  N  P'     x    L  Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên, ta có: Pmin    x    y  3  3 5  a  1; b   T  ab  Do đó: 3x  y        3    Câu 43  (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho các số thực a, b, c, d thỏa mãn log a b2   4a  6b    và 27c.81d  6c  8d  Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 P   a  c  b  d  A 49 25 B 64 25 C D Lời giải Chọn A 2 Ta có log a2 b2   4a  6b     a  b2   4a  6b    a     b  3  Lại có 27 c.81d  6c  8d   33c  d   3c  4d   1  2 Xét hàm số f  t   3t  2t  trên  Khi đó f  t  là hàm số có đạo hàm liên tục trên  và f   t   3t.ln     Vì phương trình f   t   có đúng nghiệm  t0  log    nên phương trình f  t   có  ln    tối đa nghiệm Mặt khác, f    f 1  nên S  0;1 là tập nghiệm phương trình f t   Do đó,   tương đương với 3c  4d  3c  4d   3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , gọi điểm M có tọa độ  a, b  và điểm N có tọa độ  c, d  Khi đó, từ 1 suy M thuộc đường tròn tâm I  2;3 , bán kính r  và từ  3 suy N thuộc đường thẳng 1 : x  y   : 3x  y   Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Ta cần tìm giá trị nhỏ biểu thức P   a  c    b  d   MN Gọi H , K là hình chiếu vuông góc I lên các đường thẳng 1 và  Nếu N di chuyển trên đường thẳng 1 thì MN  IN  IM  IH  r nên MN  Dấu đẳng thức xảy N  H và M là giao điểm đoạn thẳng IH với đường tròn Nếu N di chuyển trên đường thẳng  thì MN  IN  IM  IK  r nên MN  Dấu đẳng thức xảy N  K và M là giao điểm đoạn thẳng IK với đường tròn Từ hai trường hợp trên, ta có giá trị nhỏ MN 49 25 thức P Câu 44 (Chuyên Từ đó, giá trị nhỏ biểu Thái Bình - 2020) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn log x  x  x  y   log   y   x Giá trị nhỏ biểu thức T  x  y là A 16 B 18 C 12 Lời giải D 20 Chọn A Điều kiện: x  ,  y  Ta có log x  x  x  y   log   y   x  log x  x  log   y   x  xy  log x  log x  x  log   y   log x  x  xy  log  x   x  log  x   y    x   y  * Xét hàm số f  t   log t  t trên  0;  Ta có f   t     0, t   0;   nên hàm số f  t  đồng biến trên  0;  t.ln Khi đó *  f  x   f  x   y    x  x   y   x   y  y   x  T  x3    x   x3  3x  18  g  x  Xét hàm số g  x   x3  3x  18 trên  0;   x  1   0;   Ta có g   x   3x  ; g   x      x    0;   Bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  Từ bảng biến thiên suy T  g  x   g 1  16 Dấu “=” xảy và  y   x  Câu 45 (Chuyên log Thái Nguyên - 2020) Xét các số thực dương thoả a, b mãn  ab  2ab  a  b  Tìm giá trị nhỏ Pmin P  a  b ab A Pmin  1  B Pmin   C Pmin  1  D Pmin   Lời giải Chọn C Điều kiện  ab   ab   ab Ta có log  2ab  a  b   log 1  ab   log  a  b    a  b   1  ab   ab  log 1  ab    1  ab   log  a  b    a  b   log 2 1  ab   1  ab   log  a  b    a  b  f  t   log t  t Xét hàm số với t  có 1 f  t     0, t  t.ln nên hàm số f  t   log t  t đồng biến trên khoảng  0;  Ta có 1  f  1  ab    f  a  b   1  ab   a  b   a  b  2a  1  b  Do a, b   2a    a  2a  Khi đó P  a  b  a  Xét hàm g  a    a 2a   2a  2a  2a  4a  a  1   g a   g a   a  2 2a   2a  1 Bảng biến thiên Vậy Pmin  1  Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2a 2a  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 46  2 x  (ĐHQG Hà Nội - 2020) Cho các số thực x, y thỏa mãn log    log y  x  y  xy   2 x  Hỏi giá trị nhỏ P  x  y  xy là bao nhiêu? A 30  20 B 33  22 C 24  16 D 36  24 Lời giải Chọn D 2  x x2 0 0  2  x    Điều kiện xác định:   x  x2   y0  y   y  Theo bài ta có:  2 x  log    log y  x  y  xy   2 x  log (2  x)  log ( x  2)  log y  2( x  2)  y ( x  2)   log (2  x)   (2 x  4)  log  ( x  2) y   y ( x  2)  log (4  x)  (4  x)  log  y ( x  2)  y ( x  2) Xét hàm số f (t )  log t  t (t  0) :   0t  t.ln Suy ra: f (t ) là hàm đồng biến trên khoàng (0; ) f '(t )  Mà f (4  x)  f  y ( x  2)  nên  x  y ( x  2)  y   2x x2 Vì P  x  y  xy  ( x  y ) Thay vào P ta có: 3  2x   x2   P  x     4 x2  4 x2  x2  trên khoảng ( 2; 2) : x2 x ( x  2)  ( x  4) x  x  y'  ( x  2) ( x  2) Xét hàm số y   x  2  2 y '   x2  x      x  2  2(l ) (Vì x  ( 2; 2) ) Lập bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên, ta có ymin  4  Vậy Pmin  4  4    36  24 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 47 (Sở Bình Phước - Cho 2020) x, y là các số thực dương thỏa mãn log x  log y   log  x  y  Giá trị nhỏ biểu thức x  y A 2  B  C  Lời giải D Chọn A Với x  0; y  Ta có: log x  log y   log  x  y   xy  x  y  y  x  1  x  x 1  1  2 x2 0 2y  x  Đặt m  x  y ta có:    x  m  x   x2  x  m  m  x  1  x  x m x2  x x 1 Xét hàm số g  x   2x2  x với x  x 1 Ta tìm thấy g  x    2 x  1;   2  2 x   Vậy m   2 , dấu xảy  (thỏa mãn điều kiện bài toán)  y   Vậy GTNN x  y là  2 Câu 48 (Sở Yên Bái - 2020) Cho các số thực x, y thuộc đoạn  0;1 thỏa mãn 20201 x  y  x  2021 y  y  2022 Gọi M , m là giá trị lớn và giá trị nhỏ biểu thức x3  y  x  xy Tính M m A  B 5 C D 3 Lời giải Chọn D Ta có 20201 x  y  x  2021  20201 x  y y  y  2022  x2  2021 y  y  2022    20201 y 1  y   2021  2020 x  x  2021   Ta có f  t   2020t  t  2021 với t   0;1 có f  t   2020t.ln 2020. t  2021  2.2020t.t    Do f  t   2020t t  2021 đồng biến trên khoảng t   0;1 Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy f 1  y   f  x   x   y  y   x Do x3  y  3x  xy  x3  1  x   3x2  x 1  x   x3   18 x  18 x  x3  3x  x  x  4 x3  30 x  27 x  Xét f  x   4 x  30 x  27 x  với x   0;1  x  Mà f  x   4 x  30 x  27 x  nên f   x   12 x  60 x  27     x  (loai)  1 1 Mặt khác f    6, f 1  5, f     Do M  và m   2 2 Vậy nên M m  3 Câu 49 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Xét các số thực dương x y thỏa mãn log x  log y  log  x  y  Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P  x  y A Pmin  2 17 B Pmin  C Pmin  D Pmin  25 Lời giải Chọn C Ta có log x  log y  log  x  y   log  xy   log  x  y   xy  x  y 2 2 2   y  1 x  y Do y   y    y  1 x  y  Mà x  nên y   , hay y  Khi đó ta có x  y2 y2 Suy P  x  y   3y y 1 y 1 Xét hàm số f  y   Ta có f   y   y2  y trên 1;  y 1 y2  y  y  1 3  y2  8y   y  1   y   1;   ; f  y      y   1;    Bảng biến thiên: 3 Từ bảng biến thiên suy f  y   f    Vậy P  f  y   2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   y  Dấu "  " xảy và  x   Câu 50 y2  y 1 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho các số thực x , y thay đổi thỏa mãn x  y  xy  và hàm số f  t   2t  3t  Gọi M và m tương ứng là giá trị lớn và giá trị nhỏ  5x  y   Q f   Tổng M  m  x y4  A 4  B 4  C 4  2 D 4  Lời giải Chọn D y  3y2   Ta có x  y  xy    x    2  Đặt t  5x  y   t  x  y    x  y    t  5 x   t  1 y  4t   x y4 y 3y    t  5  x    3t    4t 2  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có    4t    y    t    x    2      4t    t  5   2   3t   3y      t       2  y  y2  3t    x       2    3t    12t  24t     t    Xét hàm số f  t   2t  3t  với   t  Ta có f   t   6t  6t  6t  t  1 t  Khi đó f   t     t      Ta có f   5  , f    1 , f 1  , f   5    Do đó M  f    , m  f   5  Vậy M  m  4  Câu 51 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hai số thực a, b lớn Tìm giá trị nhỏ biểu  a  4b  thức S  log a  A    log ab b 11 B C D Lời giải Chọn C Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2  a2  4b2  a  4b a   2b  4ab    ab  log Theo bất đẳng thức Côsi ta có   loga ab a 4   Do a, b 1loga b  loga  Ta có  a  4b S  log a     loga b   1   log b ab  log a ab  log b ab  1   logb a  1  loga b  4loga b  4t Xét hàm số f  t   t   với t  4t Đặt t  loga b , ta có S t 4t 1  4t 4t 4t 1 1    4t 1   t   t  Khi đó f  t    4t Ta có f   t   1 Bảng biến thiên t  Vậy giá trị nhỏ S  t  log a b   b  Suy f  t   t 0;   Câu 52 a (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Với các số thực dương x, y, z thay đổi cho  x  y  2z  log   x  x    y  y    z  z    , gọi giá trị lớn và giá trị nhỏ 2  x y z  biểu thức T  A  x  y  z  x  y  11z  thứ tự là M và m Khi đó M  m bằng: x  y  86 B C  D  2 Lời giải Chọn D  x  y  2z  +) Ta có log   x  x    y  y    z  z  8  2  x y z   log  x  y  z   log  x  y  z   x  y  z  4( x  y  z )  log  x  y  z   4( x  y  z )  log  x  y  z   x  y  z (1) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 +) Xét hàm đặc trưng f  t   log t  t , t  có f   t    t  0, t  t ln +) Ta có (1)  f   x  y  z    f  x  y  z   x  y  z  x  y  z 2   x     y     z    36 +) Thay vào biểu thức , ta T   x  y  z   x  y  11z   x  y  86 y  3z  x  y  86  T  x  y  86   y  3z   6Tx   5T  1 y  3z   86T  6T  x     5T  1 y     z     86T  12T   5T  1  12  6T  x     5T  1 y     z    54T +) Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có 6T  x     5T  1 y     z     2 2  6T    5T  1  32 36    54T   36  6T    5T  1  32  720T  360T  360   1  T  Suy M  m   Câu 53 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho các số thực x, y thỏa mãn ln y  ln( x  2)  ln Tìm giá trị nhỏ biểu thức H  e y  x A B  x2  x2  y2  x ( y  1)  y C e D e Lời giải Chọn A Do ln y  ln  x    ln  x   y  y  x  x   y  x H e yx   y  x Đặt t  y  x  t  g  x    y  x  2 x3  x3  3x  x  g  x  với x  2 3 3x  , g   x    x  1  g  x   g 1  , suy t  Xét hàm số f  t   et  t  t2 với t  f   t   et   t f   t   et  f   t    e  Ta có bảng biến thiên sau Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy H  f   Vậy H  Câu 54 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 22 xy  x y   xy x y Khi P  xy  xy đạt giá trị lớn nhất, giá trị biểu thức 3x  y A C Lời giải B D Chọn C Ta có 22 xy  x y   xy  xy  x  y  log   xy   log  x  y  x y  log 2 1  xy   1  xy   log  x  y    x  y  Xét hàm số f  t   log t  t là hàm số đồng biến trên  0;   Do đó từ * ta có 1  xy   x  y  x  2 y 2y 1 Suy P  xy  xy   y  y  Pmin  y   x  Do đó 3x  y  Câu 55 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho x, y là các số log  x  y   log  x   log  y  Khi đó, giá trị nhỏ biểu thức P  A 31 29 Lời giải B C D dương thỏa mãn x2 y2  là: 1 2y 1 x 32 Chọn D Ta có: log  x  y   log  x   log  y   log  x  y   log  xy   x  y  xy Mặt khác: xy  x  y  2 xy   xy    xy    xy  2  x  y   xy  x2 y2    Áp dụng bất đẳng thức cauchy- Swat ta có: P   y  x  x  y xy  Đặt xy  t suy P  Xét hàm số f  t    xy  xy   t2 t2 t2 , với t  8;    t2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 63 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 f  t   t  4t t  2  0, t  , suy hàm số f  t  đồng biến trên khoảng  8;   32 32  P  f t   5 x  y x  32    MinP   xy  y   f  t   f 8  Câu 56 (Chuyên Sư Phạm Hà Nội - 2020) Cho các số thực x, y thay đổi, thỏa mãn x  y  và ln  x  y   ln  xy   ln  x  y  Giá trị nhỏ M  x  y là A 2 B C Lời giải D 16 Chọn C Với x  y 0, ta có 1 x y ln  x  y   ln  xy   ln  x  y   ln  xy   ln  x  y   ln  x  y   ln  xy   2ln 2 x y 2  x y  x y 2  ln  xy   ln    xy      x  y  xy   x  y  (*)  x y x y u  x  y  Đặt  v  xy  4v  f  v  , (v  1) Ta có (*)   u  4v  v  u   v  1 u  4v  u  v 1 8v  v  1  4v 4v  v    f v   , f   v    v  v  2 v  v      2 2 Bảng biến thiên : x  y   x     Vậy min( x  y)  u    xy   y   x  y   Câu 57 (Sở Hà Nội - Lần - 2020) Xét x, y, z là các số thực lớn thỏa mãn điều kiện xyz  Giá trị nhỏ biểu thức S  log32 x  log 32 y  log32 z 1 A B 32 C 16 D Lời giải Chọn C Trang 64 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có log  xyz    log x  log y  log z  Đặt a  log x, b  log y, c  log z Khi đó ta có a, b, c  và a  b  c  1 1 S  log32 x  log 32 y  log 32 z  a3  b3  c3   a  b   3ab(a  b)  c 4  a  b 3 1 (a  b)  c3   3c  3c  1 với  c  4 Đặt f (c)  3c  3c  , f (c)   6c    c  Ta có bảng biến thiên   a  b a  b  c   ab   1    Từ đây ta suy S  , dấu xảy c  16  c   a  b  Khi đó x  y  2, z  Câu 58 Có bao nhiêu số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log3 ( x  y)  log  x2  y  ? A B C Phân tích Lời giải D Vô số Chọn C Điều kiện: x  y  Đặt log3 ( x  y )  log  x  y 2   x  3t  y  x  y  3t  t , suy   t 2 t t  x  y    y   y  1 Phương trình 1  y  2.3t y  9t  4t  Phương trình phải có nghiệm nên: 2t 3   9t   9t  4t        t  2 2 0  x  y  Do đó:   x   x  0; 1 ( vì x   )  x  y  Thử lại: t  log t  y   Với x     t log 2 y   y   1  y  3t t  Với x      t 1  y  y  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 65 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  y  3t  Với x  1    2.9t  4.3t   4t  t 2 y    2 Khi t   9t  4t nên   vô nghiệm, t   4t    4t  nên   vô nghiệm Vậy x  0;1  x; y  Câu 59 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:  x  10 và log 10 x  20 x  20   10 y  y  x  x  ? A C Lời giải B D Chọn D Điều kiện: 10 x2  20x  20  , đúng x   Ta y2 có log 10 x  20 x  20   10  y  x  x    x  x  1  log 10  x  x     10  y 2 2 y2 2   x  x  1  log10  log  x  x    10 y  y 2   x  x    log  x  x    10 y  y  10  log x  x    log x  x   10 y  y (*)   Xét hàm f  t   10t  t trên  Ta có f   t   10t.ln10   ,  t   Do đó f  t  đồng biến trên  Khi đó (*)  f  log  x  x     f  y   log  x  x    y  x  x   10 2 y2   x  1   10 y 2 Vì  x  10 nên   x  1   10 y  10  1    y  log 106  1  1   Vì y    nên y 1;2;3  x  2 (ktm) 2 + Với y   x  2x   10  x  2x      x  (tm) + Với y   x2  2x   104  x2  2x  9998  (không có giá trị x nguyên nào thỏa mãn) + Với y   x  2x   10  x  2x  999999998  (không có giá trị x nguyên nào thỏa mãn) Vậy có cặp nguyên dương  x; y    4;1 thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 60 Có bao y  x 2 A 10 nhiêu y   5x số nguyên  x 1   x  1 ? y  10 cho tồn số nguyên x thỏa mãn B C Phân tích D Vô số Phương trình dạng f  u   f  v  Phương pháp: Chứng minh y  f  t  đơn điệu trên  a; b  Từ phương trình suy u  v Từ đó tìm liên hệ biến x, y và chọn x, y thích hợp Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn C y Ta có:  x 2 y   5x 2  x 1   x  1  y  x 2 y   x   5x  x 1  x2  x Xét: f  t   5t 1  t đồng biến trên  Do đó từ phương trình trên suy ra: y y y y  x   x  x   x  1   2  x   2 y Do x nguyên nên ta có 2   và y  10 nên y  0; 2; 4; 6;8 Câu 61 Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  x ; y  thoả mãn  x  2020 và y  y  x  log  x  y 1  A 2021 B 10 C 2020 Lời giải D 11 Chọn D Theo đề bài, y  y  x  log  x  y 1   2y   y  log  y   x  log  x      2x  2y   y  y  log  y   x  y  log      2x  y   y   log  y        2x  y   log   1 2    Xét hàm số f  t   2t  log t , t  Vì f   t     t   f  t  đồng biến trên  0;    t ln  2x  2y nên 1  f  y   f    2x  2y y    2.2 y  x  y  x  y  x  y 1   Do  x  2020 nên  y   log 2020   y  11,98 Do y * nên y   1; 2;3; ;11 , với giá trị y cho ta giá trị x thoả đề Vậy có 11 cặp số nguyên  x ; y  thoả mãn đề bài Câu 62 Có bao nhiêu số   log  x  y   log   log A x nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn  y  1 B C Lời giải D Chọn C   Đặt: t  log  x  y   log   log x   y  1  t   x  y 2  2t  log2 1    x  y    Suy ra:   t t  x  y    x  y   Ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 67 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x  y   x2  y2     1      2t   t  t  1 t t t     1            t t 1  3 Xét f  t        nghịch biến trên  nên     t t     1  f  t   f 1  t            t  log 1   0  x  y   log  Do đó   x  0; 1 ( vì x   ) t  2 x  y  1  1 Thử lại: Với x  :    y   2t     y2  3t       t  2t  1         t    2t   2t       t  Ta có: g  x    2t   2t   liên tục trên  0;1 thỏa mãn g   g 1  nên phương trình có nghiệm t   0;1   Do đó với x  thì tồn số thực y thỏa mãn log  x  y   log   log Với x  1 :  y   2t     y2  3t       t  2t  1         t    2t   2t       t  Ta có:  2t   2t    0, t  nên phương trình vô nghiệm Do đó với x  1 thì không tồn số thực y thỏa mãn   log  x  y   log   log x  y  1 Với x  : Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x  y  1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021    y   2t   t  y   t    1      Ta có: h  x   1      2t   t t t  liên tục trên  1;0 thỏa mãn h  1 h    nên phương trình t có nghiệm t   1;0    Do đó với x  thì tồn số thực y thỏa mãn log  x  y   log   log x  y  1 Vậy x 0;1  2x 1  x Câu 63 Có bao nhiêu cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  y  2020 và log    y 1 ? y   A 2019 B 11 C 2020 D Lời giải Chọn B y   x  1   2x   x  Từ giả thiết ta có:  y   y  Ta có: PT  log  x  1  x   log y  y (*) Xét hàm số f  t   log t  t trên  0;   Khi đó f   t     đó hàm số f  t   log t  t đồng biến trên  0;   t ln (*) có dạng f  x  1  f  y   y  x  Vì  y  2020   x   2020   x  2021   x  log  2021 0  x  log  2021  x  0;1; 2;3; 4;5;6;7;8;9;10 Vậy có 11 cặp  x; y  thỏa mãn   x   Câu 64 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Xét các số thực a, b, x thoả mãn a logb x  b loga ( x ) a  1, b  1,  x  và Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  ln a  ln b  ln(ab) A 1 3 B e Lời giải C D  3 2 12 Chọn D    Ta có a logb x  bloga ( x )  ln a logb x  ln bloga ( x  log b a.ln a  ln b  )   log b x.ln a  2.log a x.ln b ln a ln a  ln b  ln a  ln b  ln a  ln b (vì a  1, b  ) ln b Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 69 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Thay ln a  ln b vào biểu thức P ta P  ln a  ln b  ln(ab)  3ln b  Đặt f (t )  3t      ln b  3t    t Ta có f '(t )  6t       t (với t  ln b  ) 1   t  1  (0;  ) BBT: Dựa vào BBT, suy f (t )   3 2 12 Vậy giá trị nhỏ P  3 2 12  0;   Trang 70 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 19 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Phương trình logarit Phương trình logarit + Nếu a  0, a  1: log a x  b  x  ab + Nếu a  0, a  1: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  + Nếu a  0, a  1: log a f  x   g  x   f  x   a g x (mũ hóa) Dạng 1.1 Phương trình Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình log3  x 1  là: Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình log  x  1  là Câu A x  B x  C x  (Mã 102 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình log  x  1  là Câu A x  10 B x  C x  D x  (Mã 103 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình log  x    là: D x  10 Câu A x  B x  C x  11 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình log  x    là A x  11 D A x  B x  B x  10 C x  C x  D x  D x  10 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình log  x    là Câu A x  41 B x  23 C x  D x  16 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình log  x    là: A x  B x  19 C x  38 D x  26 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình log  x    là Câu A x  18 B x  25 C x  39 D x  (Mã 101 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình log ( x  8)  A x  17 Câu 10 B x  24 B 0;1 B x  80 C x  82 D x  63 B x  3 C x  4 D x  (Mã 102 2018) Tập nghiệm phương trình log  x  1  là  A  10; 10 Câu 14 D 1 (Mã 110 2017) Tìm nghiệm phương trình log2 1  x   A x  Câu 13 C 1; 0 (Đề Minh Họa 2017) Giải phương trình log ( x  1)  A x  65 Câu 12 D x  40 (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm phương trình log  x  x    là : A 0 Câu 11 C x   B 3;3 C 3 D 3 (Mã 104 2017) Tìm nghiệm phương trình log  x    A x  11 B x  13 C x  21 D x  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 (Mã 103 2018) Tập nghiệm phương trình log ( x  7)  là A 4 Câu 16 B 4 (Mã 105 2017) Tìm nghiệm phương trình log 25  x  1  A x  Câu 18 25 C x  B 0;1 25  D 0 C 0 C x  B 87 D 1 29 D x  11   (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tập nghiệm phương trình log x  x   là B {  2;4} C {4} D {  2} (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho phương trình log (2 x  1)  log ( x  2) Số C D (Chuyên Sơn La 2019) Tập nghiệm phương trình log3  x  x   là B 1; 3 C 0 D 3 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Tập hợp các số thực m để phương trình log x  m có nghiệm thực là A  0;   Câu 25 11 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Phương trình log 3 x  2  có nghiệm là: A 1; 3 Câu 24 D x  C 1;0 nghiệm thực phương trình là: A B Câu 23 29 (THPT Cù Huy Cận 2019) Tập nghiệm phương trình log3  x  x  3  là: A  Câu 22 B x  87 B 0;1 A x  Câu 21 C x   A 1;0 Câu 20 B x  (THPT Ba Đình 2019) Tập nghiệm phương trình log3 x  x   là A 1 Câu 19 23 D x  6 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Phương trình log  x    có nghiệm là A x  Câu 17 D {4;4} C { 15; 15} (Chuyên Bắc C  B  ;0  Giang 2019) Tổng bình D  0;   phương các nghiệm phương trình log  x  x    2 A B C 13 D Câu 26 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Tổng các nghiệm phương trình log x  log  là A Câu 27 D B 1;  4   2  2  C  ;    D 1; 4   (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Nghiệm nhỏ phương trình log5 x2  3x   là A  Câu 29 C (THPT-Thang-Long-Ha-Noi 2019) Tập nghiệm phương trình log 0,25  x  3x   1 là: A 4 Câu 28 B B a C D (Sở Hà Nội 2019) Số nghiệm dương phương trình ln x   là Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B C D Câu 30 (Chuyên Hạ Long 2019) Số nghiệm phương trình ( x  3) log (5  x )  Câu 31 A B C D (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Tổng tất các nghiệm phương trình  2x  x   log x  x    2  17 19 B C D 2 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Tập hợp các số thực m để phương trình log x  m có nghiệm A Câu 32 thực là A  0;   B  0;   C  ;0  D  Dạng 1.2 Biến đổi đưa phương trình Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Hàm số y  log a x và y  logb x có đồ thị hình bên y y  log b x y  log a x x O x1 x2 Đường thẳng y  cắt hai đồ thị các điểm có hoành độ là x1; x2 Biết x1  x2 Giá trị a b A B C D (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình log  x  1  log  x  1  Câu  A S  3 Câu B S   10; 10 B x  D S  4 C x  1 D x  (Mã 105 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình log  x  1  log  x  1  A S  3 Câu C S  3;3 (Mã 103 - 2019) Nghiệm phương trình log  x  1   log  x  1 là A x  Câu  B S  4 C S  1 D S  2 (Mã 101 - 2019) Nghiệm phương trình log  x  1   log  x  1 A x  B x  C x  D x  3 Câu (Mã 104 - 2019) Nghiệm phương trình log3  2x  1   log3  x 1 là Câu A x  B x  2 C x  D x  (Mã 102 -2019) Nghiệm phương trình log  x  1   log  x  1 là Câu A x  (THPT Lê Quy B x  Đôn Điện C x  Biên 2019) Số D x  2 nghiệm phương trình ln  x  1  ln  x  3  ln  x   là Câu A B C Tìm số nghiệm phương trình log x  log ( x  1)  D A D B C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 10 (HSG Bắc Ninh 2019) Số nghiệm phương trình log   x   log x   A B C D Câu 11 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Tìm tập nghiệm S phương trình: log  x  1  log  x  1  A S  3 Câu 12 B S  1 D S  4 (Sở Bắc Giang 2019) Phương trình log x  log  x  1  có tập nghiệm là A S  1;3 Câu 13 C S  2 B S  1;3 C S  2 (THPT Gang Thép Thái Nguyên log ( x  1)  log ( x  2)  log5 125 là 2019) Tổng D S  1 các nghiệm phương trình  33  33 B C D 33 2 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm phương trình log x  log ( x  3)  là A Câu 14 A S  4 Câu 15 B S  1, 4 D S  4,5 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Số nghiệm phương trình log x  log  x    log là A Câu 16 C S  1 B C D   x   0;  , biết log  sin x   log  cos x   2 và  2 (Chuyên Sơn La 2019) Cho  log n  1 Giá trị n A B C 2 Câu 17 (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình log log  sin x  cos x    x  1  log  x  1  D  A S  3 B S   5;   C S   Câu 18 (THPT    13  D S       Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Số nghiệm phương trình log  x  x   log  x  3  là A Câu 19 (Đề Tham B Khảo 2018) Tổng log x.log x.log 27 x.log 81 x  80 A B Câu 20 giá C trị tất các D nghiệm C D phương trình 82 (VTED 2019) Nghiệm phương trình log x  log x  log là A x  Câu 21 (THPT Lê trình log A 2 B x  3 Quý Dôn  x  1  log  x Dà Gọi S Nẵng -2019) nghiệm D x  C x  là tập    Số phần tử tập S là B C D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ phương TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 22 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa Số 2019) nghiệm thục phương trình 3log  x  1  log  x    là A B C D Câu 23 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tổng các nghiệm phương trình log  x    log3  x    là S  a  b (với a , b là các số nguyên) Giá trị biểu thức Q  a.b A B C D Dạng Phương trình mũ Phương pháp đưa cùng số Phương trình mũ + Nếu a  0, a  thì a + Nếu a chứa ẩn thì a + a f  x b g x f  x f  x  log a a a a f  x g x g x  f  x  g  x a    a  1  f  x   g  x       f  x  g  x  log a b g x  f  x   log a b.g  x  (logarit hóa) Dạng 2.1 Phương trình Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình 3x1  27 là A x  B x  C x  D x  Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình 3x1  là: A x  2 B x  C x  Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình  là A x  3 B x  C x  D x  4 x1 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình  là A x  B x  C x  2 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình 3x2  27 là A x  2 B x  1 C x  x 4 x2 D x  1 D x  x  là (Mã 102 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình A x  16 B x   16 C x  4 (Mã 101 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình 2 x 3  x là A x  B x  8 C x  D x  D x  3 x (Mã 104 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình  là A x  2 B x  C x  4 D x  x1  27 là (Mã 101 - 2019) Nghiệm phương trình: A x  B x  C x  D x  x1 (Mã 102 - 2019) Nghiệm phương trình  27 là A B C x1 Câu 11 Tìm nghiệm phương trình  27 A x  10 B x  C x  x1 Câu 12 (Mã 104 2018) Phương trình  125 có nghiệm là A x  B x  C x  Câu 10 D x  3 x D D x  D x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 13 Câu 14 (Mã 101 2018) Phương trình 22 x1  32 có nghiệm là A x  B x  C x  2 D x  (Mã 104 - 2019) Nghiệm phương trình 22 x1  32 là 17 A x  B x  C x  2 D x  (Mã 103 - 2019) Nghiệm phương trình 22 x1  là A x  B x  C x  D x  2 x Câu 16 (Mã 104 2017) Tìm tất các giá trị thực m để phương trình  m có nghiệm thực A m  B m  C m  D m  Câu 15 Câu 17 Câu 18 2x x  (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tập nghiệm S phương trình  1  1 A S   B S  0;  C S  0;2 D S  1;    2  2 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tập nghiệm S phương trình x1  A S  4 Câu 19 B S  1 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Phương trình nghiệm? A Câu 20 C S  3 B D S  2   x  x 6  log2 128 có bao nhiêu D C (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tập nghiệm S phương trình 3x A S  1;3 B S  3;1 C S  3; 1 2 x  27 D S  1;3 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Số nghiệm thực phân biệt phương trình e x  là: A B C D x Câu 22 (Sở Ninh Bình 2019) Phương trình   có tập nghiệm là Câu 21 A S  3 B S  2 C S  0 D S  2 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Họ nghiệm phương trình 4cos x   là     A k ; k  B   k ; k    C k 2 ; k  D   k ; k        x Câu 24 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho biết  12  , tính giá trị biểu thức Câu 23 P 3 x 1 A 31  8.9 x 1  19 B 23 D 15 C 22 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tính tổng tất các nghiệm phương trình 22 x 5 x   5 A  B 1 C D 2 x 1 Câu 26 Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình  2m  m   có nghiệm 3  1   3 A m   1;  B m   ;    C m   0;    D m   1;  2  2   2 Câu 25   Câu 27 Cho a, b là hai số thực khác 0, biết:    125  a  ab   625  3a 8 ab Tỉ số a là: b Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 8 A B C D 4 21 Câu 28 Tổng các nghiệm phương trình x 2 x1  A B  C Câu 29 Câu 30 Câu 31 Câu D (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Phương trình 22 x nghiệm A B C 1 2x (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Phương trình A B C 1 2 5 x  5 x   có tổng tất các D   25 có tổng tất các nghiệm D  2 (Sở Bắc Ninh 2019) Phương trình x 5 x   49 có tổng tất các nghiệm 5 A  B C 1 D 2 Dạng 2.2 Biến đổi đưa phương trình Tập nghiệm phương trình: x1  x1  272 là A 3; 2 B 2 C 3 D 3;5 Câu 1 (HKI-NK HCM-2019) Phương trình 27 x 3     3 A 1;7 Câu B 1; 7 x 2 có tập nghiệm là C 1;7 D 1; 7 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Phương trình 3x.2x1  72 có nghiệm là A x  B x  C x  D x  2 x  x 3 Câu 1 (Chuyên Bắc Giang 2019) Nghiệm phương trình   5 A x  1; x  B x  1; x  2 C x  1; x   x 1 là D Vô nghiệm Câu 1 Tập nghiệm phương trình   7 A 1 Câu Câu x  x 3  x 1 là B 1; 2 Tổng các nghiệm phương trình x A 6 B 5 C 1; 4 2 x D 2  82  x C D (SGD Điện Biên - 2019) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình x 1 1   7 x  x 3 Khi đó x12  x22 bằng: A 17 Câu Câu B C 1 Tổng bình phương các nghiệm phương trình 53 x 2    5 A B C Nghiệm phương trình 27 x1  x 1 là A x  B x  3 C x  2 D x D D x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 Câu 10 (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Giải phương trình  2,5    5 A x  B x  C x  D x  x 1 x 7 Câu 11 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Phương trình x 4 1   9 x 1 có hai nghiệm x1 , x2 Tính x1x2 A 6 Câu 12 B 5 D 2 C (Sở Quảng Nam - 2018) Tổng các nghiệm phương trình B 5 C A x2  x 8 2 x D 6 x Câu 13 Câu 14 1 (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Tập nghiệm phương trình x  x    là 2  2  1  3 B 0;  C 0; 2 D 0;  A 0;   3  2  2  (THPT Hải An - Hải Phòng - 2018) Tìm nghiệm phương trình  A x  B x  1  log   x1  2 2  3 25  15 3 C x   D x  Câu 15 (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Tính tổng S  x1  x2 biết x1 , x2 là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức x  x 1 1   4 x 3 A S  5 B S  C S  D S  Câu 16 (Chuyên Hùng Vương - Bình Dương - 2018) Tập nghiệm S phương trình x 4 7     7 4 x1  16  là 49 1    A S    Câu 17 B S  2  1   2   ; C S   1  ;2    D S   (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Nội - 2018) Tích các nghiệm phương trình  52  x 1   52  x 1 x 1 là A 2 B 4 C D Câu 18 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Giải phương trình 42 x 3  84 x B x  C x  D x  A x  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 19 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ + GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM DẠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1.1 Phương pháp đưa cùng số + Nếu a  0, a  1: log a x  b  x  a b 1 + Nếu a  0, a  1: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x   2 + Nếu a  0, a  1: log a f  x   g  x   f  x   a g  x  (mũ hóa)  3  Các bước giải phương trình & bất phương trình mũ – logarit Bước Đặt điều kiện (điều kiện đại số  điều kiện loga), ta cần chú ý: log  f  x   0  a   a  log a b   và  b  log a  f  x   ĐK  f  x  mũ lẻ ĐK Câu ĐK  f  x  mũ chẵn Bước Dùng các công thức và biến đổi đưa các trên, giải Bước So với điều kiện và kết luận nghiệm (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình log  x  1  log  x  1   A S  3 B S   5;   C S   Câu (THPT    13  D S       Hàm Rồng Thanh Hóa Số 2019) nghiệm phương trình log3  x  x   log  x  3  là Câu A (Đề Tham B Khảo 2018) Tổng log x.log x.log 27 x.log 81 x  80 A B giá C trị tất các D nghiệm C Câu Nghiệm phương trình log x  log x  log là Câu A x  (THPT Lê D phương trình 82 trình log Câu A (Chuyên B x  3 Quý Dôn  x  1  log  x Dà Nẵng 2019) nghiệm D x  S Gọi là tập phương    Số phần tử tập S là B Sơn Thanh Lam C x  Hóa C 2019) Số nghiệm D thục phương trình 3log  x  1  log  x    là A B C D Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tổng các nghiệm phương trình log  x    log3  x    là S  a  b (với a , b là các số nguyên) Giá trị biểu thức Q  a.b Câu A B C D (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Tổng tất các nghiệm phương trình log  x  1  log x  là A Câu B 1 C Tổng tất các nghiệm thực phương trình A B D 2 log  x  x  1  log x  log x C D Câu 10 Gọi S là tập nghiệm phương trình log  x    log  x    trên  Tổng các phần tử S B  C Định 2019) Tổng tất x  x   log x   log  x  3 81 A  Câu 11 (SGD Nam log A 10 Câu 12 B 10 các D  nghiệm phương C trình D (SGD Gia Lai 2019) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log  x  y    log xy Mệnh đề nào đây đúng? A x  y B x  y C x  y D x  y Câu 13 Biết phương trình log  x  x  1  log có hai nghiệm thực x1 , x2 Tích x1.x2 bằng: A 8 Câu 14 B x  C x  D x  16 (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Số nghiệm phương trình log3  x  1  log là A Câu 16 D C (Chuyên Long An-2019) Tìm nghiệm phương trình 2log x  log  x  3  A x  Câu 15 B 2 B C  x  1  D   (Sở Quảng Trị 2019) Số nghiệm phương trình log3 x  x  log  x  3  là A B C Câu 17 Biết nghiệm lớn phương trình log D x  log  x  1  là x  a  b ( a, b là hai số nguyên ) Giá trị a  2b A B C Câu 18 Tính tổng tất các nghiệm thực phương trình log A  B A S  10 B S  15 D  x    log3  x    C  D Câu 19 Gọi S là tổng tất các nghiệm phương trình log x  log  x  10    log Tính S ? C S  10  2 Câu 20 Cho phương trình log  x  1   log D S    x  log8   x  Tổng các nghiệm phương trình trên là Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B 4 A  C  D  Câu 21 Cho log x  log y  và log8 y  log x  Tìm giá trị biểu thức P  x  y A P  56 B P  16 C P  D P  64 a  2b Câu 22 Cho a , b, x  0; a  b và b, x  thỏa mãn log x  log x a  log b x Khi đó biểu thức P  A P  2a  3ab  b có giá trị bằng: (a  2b) 2 16 B P  C P  15 D P    Câu 23 Cho x   0;  , biết log2  sin x   log2  cos x   2 và log  sin x  cos x    log n  1  2 Giá trị n B C D A 2 Câu 24 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Biết phương trình ln  x    ln  ln x  ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  Tính x1 x2 D 64 Câu 25 (THPT Lê Xoay - 2018) Phương trình log 49 x  log  x  1  log log 3 có bao nhiêu nghiệm? B C D A A P B 64 C  Câu 26 (THPT Lương Văn log  x  1   log Câu 27 Tụy - Ninh Bình - 2018)  Phương trình  x  log   x  có bao nhiêu nghiệm? A Vô nghiệm B Một nghiệm C Hai nghiệm D Ba nghiệm (SGD&ĐT BRVT - 2018) Tổng giá trị tất các nghiệm phương trình log  x    log  x    log  A Câu 28 (Xuân  B Nam Trường    C Định - 2018) D 12 Cho phương trình log x  x  log3 x  x   log x  x  Biết phương trình có nghiệm là và nghiệm còn lại có dạng x  logb c a  a  logb c (với a , c là các số nguyên tố và a  c ) Khi  đó giá trị a  2b  3c bằng: B A Dạng 1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ  C D PP  Loại P  log a f  x      đặt t  log a f  x   Loại Sử dụng công thức a logb c  clogb a để đặt t  a logb x  t  x logb a Câu 29 Phương trình log x  log x  có hai nghiệm x1 , x2  x1  x2  Khi đó tổng x 21  x2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 9 B C D 2 (SGD Gia Lai 2019) Số nghiệm phương trình log x  8log x   là: A Câu 30 A B D C Câu 31 Tích tất các nghiệm phương trình log x  2log3 x   là A B 7 C D Câu 32 (Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Tổng các nghiệm phương trình log 22 x  log 9.log x  là 17 C D 2 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Biết phương trình log 22  x   5log x  có hai nghiệm A Câu 33 B phân biệt x1 và x2 Tính x1 x2 A B C D Câu 34 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Biết phương trình log 22 x  log x   có nghiệm x1 , x2 Giá trị x1 x2 A 128 B 64 C D 512 Câu 35 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho phương trình log  x   log  x   Nghiệm nhỏ phương trình thuộc khoảng A  0;1 B  3;5 C  5;9  D 1;3 Câu 36 Gọi T là tổng các nghiệm phương trình log 21 x  log x   Tính T A L  B T  5 C T  84 D T  Câu 37 (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Phương trình log x  log x   có hai nghiệm x1 , x2 Tính tích x1 x2 A 32 B 36 C D 16 Câu 38 (Chuyên ĐH Vinh 2019) Cho các số thực a, b thỏa mã  a  b và log a b  log b a  Tính giá a2  b B trị biểu thức T  log ab A C D Câu 39 Biết phương trình log 22 x  log  2018 x   2019  có hai nghiệm thực x1 , x2 Tích x1.x2 A log 2018 B 0,5 C D Câu 40 Cho phương trình log 32  3x   log32 x   Biết phương trình có nghiệm, tính tích P hai nghiệm đó A P  Câu 41 B P  C P  (THPT Ba Đình 2019) Biết phương trình log 32 x  log D P  x4 có hai nghiệm a và b Khi đó ab A B 81 C D 64 Câu 42 (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Gọi T là tổng các nghiệm phương trình log 21 x  5log3 x   Tính T Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A T  B T  4 C T  84 Câu 43 (Cụm Trường Chuyên 2019) Cho phương trình log 22  x   log D T   x   Nghiệm nhỏ phương trình thuộc khoảng nào sau đây? A 1; 3 Câu 44 Câu 45 B  ;  D  ; 5 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tích tất các nghiệm phương trình log32 x  2log x   là A B 7 C D (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho số thực dương a và b log a  log b  và log a  log 3 b  Giá trị biểu thức P  ab  A 82 Câu 46 C  ;1 B 27 thỏa mãn D 244 C 243 2 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Biết phương trình log x  log x   có hai nghiệm x1 , x2 Giá trị x1 x2 A 128 Câu 47 B 64 C D 512 (Mã 104 2017) Xét các số nguyên dương a , b cho phương trình a ln x  b ln x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình 5log x  b log x  a  có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2  x3 x4 Tính giá trị nhỏ S S  2a  3b A S  17 B S  30 C S  25 Câu 48 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên log x 125 x  log 225 x  B A 630 125 Câu 49 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 25 log x 125 x  log x  A 630 Câu 50 2019) Tích 630 625 2019) Tích D S  33 các nghiệm phương C 125 nghiệm trình D các phương trình B 125 C 630 625 D 125 (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Xét phương trình  log x  1 log3 x    Mệnh đề nào sau đây đúng? A Phương trình trên vô nghiệm B Phương trình trên có nghiệm bé C Phương trình trên có nghiệm lớn và nghiệm bé D Phương trình trên có nghiệm Câu 51 (Tham khảo 2018) Cho dãy số  un  thỏa mãn log u1   log u1  log u10  log u10 và un1  2un với n  Giá trị nhỏ n để u n  5100 A 247 B 248 C 229 D 290 5b  a a Tính giá trị Câu 52 Cho a , b là các số dương thỏa mãn log a  log16 b  log12 b a 3 a 3 a a B   C   D   b b 4 b b (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hai số thực dương m, n thỏa mãn A Câu 53 m m log    log n  log9  m  n  Tính giá trị biểu thức P  n 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Giả sử p, q là các số thực dương thỏa mãn A P  Câu 54 B P  C P  D P  p q A B C  D 1  5 Câu 55 (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Tích các nghiệm phương trình log x 125 x  log 225 x  log16 p  log 20 q  log 25  p  q  Tính giá trị     630 A B C D 630 25 625 125 Câu 56 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018) Tích tất các nghiệm phương trình log 22 x  log x   A Câu 57 1 B C 1 D (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi x , y các số thực dương thỏa mãn điều kiện log x  log y  log  x  y  và x a  b , với a, b là hai số nguyên dương Tính  y T  a  b2 A T  26 B T  29 C T  20 D T  25 Câu 58 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho các số thực dương a , b log a  log b  log 4a  5b1 Đặt T  A  T  B thỏa mãn b Khẳng định nào sau đây đúng? a T  C 2  T  D  T  Dạng 1.3 Phương pháp mũ hóa g x + Nếu a  0, a  1: log a f  x   g  x   f  x   a   (mũ hóa) Câu 59 (Cần Thơ 2019) Tích tất các nghiệm phương trình log 12  x    x A B 32 Câu 60 Phương trình log  3.2 A 1;  x C   x  có nghiệm là x B  2;   D thì nghiệm x0 thuộc khoảng nào sau đây C   2;1 D  4;     x Câu 61 Phương trình log4 3.2 1  x 1 có hai nghiệm x1 ; x2 Tính giá trị P  x1  x2 Câu 62 (Sở Bạc   B 12 A  Liêu - 2018) Gọi  x1 , x2 (với x1  x2 ) log 32 x 1  3x 1   x đó giá trị biểu thức A  Câu 63  C log  B  là D nghiệm 3x1  3x2 là: C  (Chuyên Thái Bình - 2018) Số nghiệm phương trình A B C D  log  x    x là: D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ phương trình TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 64 (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Phương trình log   x    x có hai ngiệm x1 , x2 Tính P  x1  x2  x1 x2 A 11 Câu 65 D C B (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho phương trình log  3.2  1  x  có hai nghiệm x1 , x2 x Tổng x1  x2 là:   A log  D  C B Dạng 1.4 Phương pháp hàm số, đánh giá Thông thường ta vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau:  Nếu hàm số y  f  x  đơn điệu chiều trên D thì phương trình f  x   không quá nghiệm trên D  Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm nghiệm x  xo phương trình, rõ hàm  đơn điệu chiều trên D (luôn đồng biến luôn nghịch biến trên D) và kết luận x  xo là nghiệm  Hàm số f  t  đơn điệu chiều trên khoảng  a; b  và tồn u; v   a; b  thì f  u   f  v   u  v "   Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f  t  Câu 66 (Đề tham khảo 2017) Hỏi phương trình x  x  ln  x  1   có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A Câu 67 C B D (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018) Số nghiệm phương trình ln  x  1  là: x2 A B C D Nguyễn Trãi Đà Nẵng 2018) Giải phương Câu 68 (THPT log x.log x  x.log x   log x  3log x  x Ta có tổng tất các nghiệm A 35 B A S  B S  trình C 10 D Câu 69 Tính tổng tất các nghiệm phương trình log  x  3  log  x  1  x  x   x  Câu 70 Biết phương trình log  x 1  log   x C S  1 D S   x   có nghiệm dạng x  a  b đó  2 x  a , b là các số nguyên Tính 2a  b A B Câu 71 Số nghiệm thực phương trình A D C x 1   log x  x   x log  3x  B C D Câu 72 2x 1   (Bắc Ninh - 2018) Cho phương trình log  x    x   log  1    x  , gọi x  x S là tổng tất các nghiệm nó Khi đó, giá trị S là A S  2 B S   13 C S  D S   13 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 73 x1 , (Toán Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Biết x2 là hai nghiệm phương trình  4x2  x   log    x   x và x 1 x2  a  b với a , b là hai số nguyên dương Tính 2x   a  b B a  b  11 C a  b  14 D a  b  13 A a  b  16 Câu 74 (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2018) Số nghiệm phương trình   x2  x  ln  x    2018 là A B C D Câu 75 (THPT Lê Xoay - 2018) Số nghiệm phương trình sin x  cos x   log  sin x  trên khoảng    0;  là:  2 A Câu 76 (THPT Nguyễn B Thị Minh Khai C - Hà Tĩnh - D 2018) Phương trình log3  x  x  3  x  x   log3  x  1 có số nghiệm là T và tổng các nghiệm là S Khi đó 2 T  S A Câu 77 B D C (THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Biết x1 , x2  x1  x2  là hai nghiệm phương  x2  x   trình log    x   x và x1  3x2  a  b 2x   dương Tính a  b A a  b  14 B a  b  16 C a  b  17  Câu 78 (THPT Lương Văn Can - 2018) Cho biết phương trình log5  với a , b là các số nguyên D a  b  15  x x 1   log3    có x x   nghiệm x  a  b Hỏi m thuộc khoảng nào đây để hàm số y  mx  a  có xm giá trị lớn trên đoạn 1; 2 2 A m   7;  B m   6;  C m   2;  D m   4;  DẠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 2.1 Phương pháp đưa cùng số + Nếu a  0, a  thì a f  x   a g  x   f  x   g  x  + Nếu a chứa ẩn thì a f  x a   a g  x    a  1  f  x   g  x       f  x  g  x + a f  x   b g  x   log a a f  x   log a b g  x   f  x   log a b.g  x  (logarit hóa) x  x 3 Câu 1 (Chuyên Bắc Giang 2019) Nghiệm phương trình    x 1 là 5 B x  1; x  2 C x  1; x  D Vô nghiệm A x  1; x  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 1 Tập nghiệm phương trình   7 A 1 Câu Câu x  x 3  x 1 là B 1; 2 Tổng các nghiệm phương trình x A 6 B 5 C 1; 4 2 x D 2  82 x C D (SGD Điện Biên - 2019) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình x 1 1   7 x  x 3 Khi đó x12  x22 bằng: B A 17 Câu Câu Câu 1 Tổng bình phương các nghiệm phương trình 53 x 2    5 A B C x 1 x 1 8 Nghiệm phương trình B x  3 A x  D  x2 D là C x  2 D x  (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Giải phương trình  2,5  A x  Câu C B x  C x  (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Phương trình 3x 2   5 D x  x 1 x7 4 1   9 x 1 có hai nghiệm x1 , x2 Tính x1x2 A 6 Câu B 5 D 2 C (Sở Quảng Nam - 2018) Tổng các nghiệm phương trình x A B 5 C 2 x  82  x D 6 x Câu 10 Câu 11 1 (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Tập nghiệm phương trình x  x    là 2  2  1  3 B 0;  C 0; 2 D 0;  A 0;   3  2  2 (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Tính tổng S  x1  x2 biết x1 , x2 là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức x  x 1 1   4 x 3 B S  C S  D S  A S  5 Câu 12 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Nội - 2018) Tích các nghiệm phương trình  52  x 1   52  x 1 x 1 là B 4 C D A 2 Câu 13 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Giải phương trình 42 x 3  84 x A x  B x  C x  D x  28 Câu 14 x4  16 x (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho phương trình A Nghiệm phương trình là các số vô tỷ B Tổng các nghiệm phương trình là số nguyên 1 Khẳng định nào sau đây là đúng: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 C Tích các nghiệm phương trình là số âm D Phương trình vô nghiệm Dạng 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ   f x PP  Loại P a f  x     đặt t  a   , t  a PP  λ.b f  x     Chia hai vế cho b f  x  , đặt t    b (chia cho số lớn nhỏ nhất) PP  Loại a f  x   b f  x   c với a.b    đặt t  a f  x   b f  x   t f x  Loại  a      a.b  f  x f  x 0  a f  x  a g  x  u  a f  x   f x g x PP  đặt   Loại  a     a f  x    a    b   g x v  a    a g  x  Câu 15 (Mã 123 2017) Cho phương trình x  x 1   Khi đặt t  x ta phương trình nào sau đây A 2t  3t  Câu 16 (THPT Hoàng 2 B 4t   Hoa Thám Hưng 5x 4 x 3  5x 7 x 6  52 x A 1; 1;3 C t  t   Yên 2019) Tập D t  2t   nghiệm phương trình 3 x 9  là B 1;1;3;6 C 6; 1;1;3 D 1;3 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Phương trình x  x  2 x1 có bao nhiêu nghiệm âm? A B C D Câu 18 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Tổng các nghiệm phương trình x  6.2 x   A B C D x 1 Câu 19 (Cụm Trường Chuyên 2019) Tổng các nghiệm phương trình  31 x  10 là A B C  D Câu 17  Câu 20 Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình  x   2  3 x  Khi đó x12  x22 A B C D Câu 21 (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Tổng tất các nghiệm phương trình 2.4 x  9.2 x   A B 1 C D Câu 22 (THPT Nghĩa Hưng NĐ 2019) Phương trình 62 x1  5.6x1   có hai nghiệm x1 , x2 Khi đó tổng hai nghiệm x1  x2 là A B C D x x1 x Câu 23 Cho phương trình 25  20.5   Khi đặt t  , ta phương trình nào sau đây 20 A t   B t  4t   C t  20t   D t    t x x Câu 24 (Sở Bình Phước -2019) Tập nghiệm phương trình  4.3   là A 0;1 Câu 25 B 1 C 0 D 1;3 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Số nghiệm thực phương trình x 1  x 3   là: A B C D Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 26 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm phương trình 32 x  32 x  30 là B S  1 C S  1;  1 D S  3;1 A S  3;   3 Câu 27 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số f  x   x.5x Tổng các nghiệm phương trình 25x  f '  x   x.5x.ln   là B A 2 C 1 D (Chuyên KHTN 2019) Tổng tất các nghiệm phương trình  2.3x2  27  A B 18 C D 27 x x1 x có bao nhiêu nghiệm âm? Câu 29 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Phương trình   A B C D 2x Câu 28 Câu 30 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Phương trình các nghiệm là? A Câu 31 B  x    1  C 1 x   2  có tích D (Chuyên Bắc Giang 2019) Gọi x1 ; x2 là nghiệm phương trình x x  2x  x 1  Tính x1  x2 A Câu 32 B C 1 x 1 x (HSG Bắc Ninh 2019) Giải phương trình: 4 D  2 2 x 2 2 x 8 Câu 33 Tính tổng tất các nghiệm phương trình 32 x8  4.3x5  27  ? B 5 C A 27 Câu 34 Tổng tất các nghiệm phương trình 32 x  2.3x2  27  A B 18 C D  27 D 27 Câu 35 (Hội trường chuyên ĐBSH 2019) Tổng các nghiệm phương trình 3x1  31 x  10 là B C 1 D A (SGD Điện Biên - 2019) Tích tất các nghiệm phương trình 3x  34 x  30 B C D 27 A Câu 37 (Thi thử hội trường chuyên 2019) Kí hiệu x1 , x2 là hai nghiệm thực phương trình Câu 36 4x x  2x  x 1  Giá trị x1  x2 A Câu 38 B C (Đại học Hồng Đức 2019) Cho phương trình  D sin x 74    74  sin x  Tổng các nghiệm phương trình  2 ; 2  3  B C D  2 Câu 39 (Xuân Trường - Nam Định - 2018) Gọi a là nghiệm phương trình 4.22log x  6log x  18.32log x  Khẳng định nào sau đây đúng đánh giá a ? A A  a  10   2 B a là nghiệm phương trình   3 log x  C a  a   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 D a  102 Câu 40 (THPT Lục Ngạn - 2018) Nghiệm phương trình 25x    x  5x  x   nằm khoảng nào sau đây? A  5;10  Câu 41 B  0;  C 1;3 D  0;1 (THPT Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Số nghiệm nguyên không âm bất phương trình 15.2 x 1   x   x 1 bao nhiêu? A Câu 42 B C (Toán Học Tuổi Trẻ Số 6) Cho phương trình x 1 D 3x  8. 0,5  3.2 x 3 x  125  24  0,5 Khi đặt , phương trình đã cho trở thành phương trình nào đây? 2x A 8t  3t  12  B 8t  3t  t  10  C 8t  125  D 8t  t  36  Câu 43 (THPT Bình Giang - Hải Dương - 2018) Gọi S là tập nghiệm của phương trình: t  2x  x 3x   x A 1; 2  6x 5  42x  3x   Khi đó S là B 1; 2; 1 C 1; 2; 1; 5 D  Dạng 2.3 Phương pháp logarit hóa Dạng 1: Phương trình: a f  x 0  a  1, b  b  f  x   log a b Dạng 2: Phương trình: a f  x   b g  x   log a a f  x   log a b f  x   f  x   g  x  log a b log b a f  x   log b b g  x   f  x  log b a  g  x  Câu 44 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh 2019) Số giao điểm các đồ thị hàm số y  3x 1 và y  là A Câu 45 C B D (Sở GD Nam Định - 2019) Tính tích các nghiệm thực phương trình x A 3log B  log 54 C 1 1  32 x3 D 1 log2 Câu 46 Cho hai số thực a  1, b  Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình a x b x 1  Trong trường  x x  hợp biểu thức S     x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là đúng?  x1  x2  A a  b B a.b  C a.b  D a  b Câu 47 (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn x  y  6 z Giá trị biểu thức M  xy  yz  xz là: A B C D Câu 48 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi x , y các số thực dương thỏa mãn điều kiện log x  log y  log  x  y  và T  a  b2 A T  26 B T  29 x a  b  , với a, b là hai số nguyên dương Tính y C T  20 D T  25 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 49 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho các số thực dương log a  log b  log9 4a  5b 1 Đặt T  A  T  Câu 50 B T  a, b thỏa mãn b Khẳng định nào sau đây đúng? a C 2  T  (THPT Cao Bá Quát - 2018) Phương trình 3x x 1  D  T   có hai nghiệm x1 , x2 Tính 3x T  x1.x2  x1  x2 A T   log B T  log C T  1 D T  Dạng 2.4 Phương pháp hàm số, đánh giá Thông thường ta vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau:  Nếu hàm số y  f  x  đơn điệu chiều trên D thì phương trình f  x   không quá nghiệm trên D   Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm nghiệm x  xo phương trình, rõ hàm đơn điệu chiều trên D (luôn đồng biến luôn nghịch biến trên D) và kết luận x  xo là nghiệm  Hàm số f  t  đơn điệu chiều trên khoảng  a; b  và tồn u; v   a; b  thì f  u   f  v   u  v "  Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f  t   Câu 51 (SGD Nam Định 2019) Tổng tất các nghiệm thực phương trình 15 x.5x  5x 1  27 x  23 B C D A 1 Câu 52 Cho số thực  cho phương trình x  2 x  2cos  x có đúng 2019 nghiệm thực Số nghiệm phương trình x  2 x   2cos  x là A 2019 B 2018 C 4037 D 4038  x  x 1  x 1  x log     2x  Câu 53 Biết x1 , x2 là hai  nghiệm phương trình  a  b với a , b là hai số nguyên dương Tính a  b A a  b  13 B a  b  11 C a  b  16 x1  x2  Câu 54 Phương trình x  A Câu 55 x 1  4  x 1 B D a  b  14  x có tổng các nghiệm C D (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Tìm số nghiệm phương trình  x  1 e A và B C x 1  log  D   11 ; 2019  Câu 56 Tính số nghiệm phương trình cot x  x khoảng   12  A 2019 B 2018 C D 2020 x x x x Câu 57 Hỏi phương trình 3.2  4.3  5.4  6.5 có tất bao nhiêu nghiệm thực ? A B C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 58 (SP Đồng Nai - 2019) Phương trình 2019sin x  sin x   cos2 x có bao nhiêu nghiệm thực trên  5 ; 2019  ? A 2025 Câu 59 B 2017 C 2022 D Vô nghiệm log7  x  4 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Số nghiệm phương trình A B C  x là D Câu 60 Cho các số thực x , y với x  thỏa mãn e x 3 y  e xy 1  x  y  1   e  xy 1  e x 3 y  y Gọi m là giá trị nhỏ biểu thức T  x  y  Mệnh đề nào sau đây là đúng? A m   2;3 Câu 61 (Chuyên B m   1;  Vĩnh Phúc x  x    x  x  3 Câu 62 x 5 Số 2018)   x   x 8 x  D m  1;  nghiệm phương trình là B C D A (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Tích tất các giá trị x thỏa mãn phương trình 3 x 2  3   x     3x  x   B A Câu 63 - C m   0;1 C D (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Phương trình e x  e khoảng nào?  5  3 3  A  2;  B  ;  C 1;   2 2   2 x 1   x  2 x  có nghiệm 1  D  ;1 2  DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP CỦA MŨ VÀ LOGARIT Câu (Tham khảo 2019) Tổng tất các nghiệm phương trình log   3x    x A Câu C B  Tích các nghiệm phương trình log x 1 D  36   2 x A B log C D Câu Tổng các nghiệm phương trình log  – x    x Câu A B C D x (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Số nghiệm phương trình log (4  4)  x  log (2 x 1  3) B A Câu  B C Tổng tất các nghiệm phương trình log   A Câu  Gọi S là tập hợp tất các nghiệm nguyên dương phương trình log  102 x  x Số tập S A Câu D C B x   1 x C D D (Chuyên Thái Bình - 2018) Tính tích tất các nghiệm thực phương trình    x    x  x  log   2  2x  A B C D Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Thi thử hội trường chuyên 2019) Phương trình log  5.2 x    x có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? A Câu B D C (SP Đồng Nai - 2019) Phương trình log   x  2x có hai nghiệm thực x1 , x2 Tính P  x1  x2  x1 x2 B A C D 11 Câu 10 Phương trình  x    log x    có hai nghiệm x1 , x2 (với x1  x2 ) Tính giá trị biểu thức K  x1  x2 A K  32  log B K  18  log Câu 11 Cho biết phương trình log (3 x 1 C K  24  log D K  32  log 1)  x  log có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tính tổng S  27  27 A S  252 B S  45 C S  D S  180 Câu 12 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Tính tích tất các nghiệm thực phương trình x1 x2  x   x  21x 5 log  2  2x  A B Câu 13 Số nghiệm phương trình log A C D 2x   x3 x  12 B D C  x2   Câu 14 Tính tích tất các nghiệm thực phương trình log  2  2x  A B C  Câu 15 Tổng tất các nghiệm phương trình log 10 A log 2019 16 Câu 16 B 2log 2019 16    x   2x   D 2019  x x x   2019 x  C log2019 10 (THPT Hòa Vang - Đà Nẵng - 2018) Biết  D 2log2019 10  log 14   y   y   với x  Tính giá trị biểu thức P  x  y  xy  A Câu 17 B (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Phương trình  x  1  B  ;8 2  (THPT Yên Lạc- 2018) Tính tổng A 2;8 Câu 18 C  x  3x  x 1 x ln     5.3  30 x  10   6x   B S  A S  log8 x x D log8  x   có tập nghiệm là 1 1 C  ;  D 2 8 S tất các nghiệm C S  1  1 2;   8 phương trình: D S  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 19 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 9-10 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Tìm m để f  x, m   có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D ? — Bước Tách m khỏi biến số và đưa dạng f  x   A  m  — Bước Khảo sát biến thiên hàm số f  x  trên D — Bước Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A  m  để đường thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  — Bước Kết luận các giá trị cần tìm A  m  để phương trình f  x   A  m  có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D  Lưu ý — Nếu hàm số y  f  x  có giá trị lớn và giá trị nhỏ trên D thì giá trị A  m  cần tìm là m thỏa mãn: f  x   A  m   max f  x  xD xD — Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  k điểm phân biệt Câu Dạng Phương trình logarit chứa tham số (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho phương trình log 22  x    m   log x  m   ( m là tham số thực) Tập hợp tất các giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 là A 1;  Câu B 1;  C 1;  D  2;   (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) hàm số Cho 2 3log 27  x   m  3 x   m   log  x  x   3m   Số các giá trị nguyên m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  15 là: Câu A 14 B 11 C 12 D 13 (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Gọi S là tập tất các giá trị nguyên tham số m với m  64 để phương trình log  x  m   log5   x   có nghiệm Tính tổng tất các phần tử Câu S A 2018 B 2016 C 2015 (Mã 102 2019) Cho phương trình log x  log  x  1   log m ( m bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm? A B C (Mã 103 2019) Cho phương trình log x  log  x  1   log m ( m Câu bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm? B C Vô số A D (Mã 101 - 2019) Cho phương trình log9 x  log3  3x  1   log3 m ( m là tham số thực) Có Câu Câu D 2013 là tham số thực) Có tất D Vô số là tham số thực) Có tất tất bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình đã cho có nghiệm? A B C D Vô số (Mã 104 2019) Cho phương trình log9 x  4log3  4x 1   log3 m ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm? Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu D C Vô số B (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) trình Cho phương log mx 5  x  x  12   log mx 5 x  , gọi S là tập hợp tất các giá trị tham số m   để phương trình đã cho có nghiệm Tìm số phần tử S A B C Câu Cho phương trình log 2  2x  x  4m2  2m   log 2 D x  mx  2m  Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x12  x22  ? A B C D Câu 10 (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất các giá trị tham số thực m để phương trình  log x   log x  m  có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  0;1 m0 m Đông Sơn Hóa Tìm Câu 11 (THPT để   trình :  m  1 log 21  x     m  5 log  4m   có nghiệm trên  ,  x  2   2 7 B 3  m  C m   D 3  m  A m   3 A  m  Thanh B  m  C m  2019) D  phương (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm m để phương trình log 2 x  log x   m có nghiệm x  [1;8] B  m  C  m  D  m  A  m  Câu 13 (HSG Bắc Ninh-2019) Cho phương trình log x  2log x  m  log x  m * Có bao nhiêu Câu 12 giá trị nguyên tham số m   2019; 2019 để phương trình (*) có nghiệm? A 2021 B 2019 C 4038 D 2020 Câu 14 (Đề Tham Khảo 2017) Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên  2017; 2017 để phương trình log  mx   log  x  1 có nghiệm nhất? B 2018 C 4015 D 2017 A 4014 Câu 15 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tập hợp tất các giá trị thực tham số m để phương trình mx  ln x  có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  2;3 ln   ln  ln ln    A  B  ; ; ;            ln   ln  C  D  ;  ;   e  e Câu 16 (THPT Dông Sơn Thanh Hóa 2019) Tổng tất các giá trị tham số m cho phương trình: 2 x 1 log x  x     x m .log  x  m   có đúng ba nghiệm phân biệt là: C D Câu 17 Tìm tất các giá trị m để phương trình ln  m  ln  m  sin x    sin x có nghiệm A B 1 B  m  e C  m   D  m  e   m  e e e Câu 18 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Số các giá trị nguyên tham số m để phương trình log ( x  1)  log (mx  8) có hai nghiệm phân biệt là A Câu 19 A B Vô số C D (THPT Trần Phú - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để phương trình  x 1  m ln    2  m ln x  có nghiệm thuộc vào đoạn  ;1 ?  e   e  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B C D Câu 20 (THPT Trần Phú - 2019) Có bao nhiêu giá trị tham số m để phương trình x log 36 x  m log   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1.x2  72 x1.x2  1296  A B C D Câu 21 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tập hợp các giá trị thực tham số m để phương trình log 2019   x   log  x  m  1  có hai nghiệm thực phân biệt là T   a; b  Tính 2019 S  2a  b A 18 Câu 22 Câu 23 B C 20 D 16 (THPT Cẩm Bình 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên m log  x  3  m log x 3  16 có hai nghiệm thỏa mãn 2  x1  x2 để phương trình A 17 B 16 C 14 D 15 (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2019) Tập hợp các số thực m để phương trình ln  x  mx  1  ln   x  x  3 có nghiệm là nửa khoảng  a; b  Tổng a  b 10 22 B C D 3 (Cần Thơ 2019) Cho phương trình log 22 x  log x   log x  m , với m là tham số thực A Câu 24 Số các giá trị nguyên thuộc đoạn  2019; 2019 m để phương trình đã cho có nghiệm là A 2021 B 2024 C 2023 D 2020 Câu 25 (Nam Định - 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình 2m x log3  x  1  log9 9  x  1  có hai nghiệm phân biệt   B m   2;  C m   1;    D m  1;0  A m   1;  Câu 26 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho a , b là các số thực dương lớn 1, thay đổi thỏa mãn a  b  2019 để phương trình 5log a x.logb x  4log a x  3logb x  2019  luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Biết giá trị lớn ln  x1.x2  các số nguyên dương Tính S  m  2n A 22209 B 20190 C 2019 m n ln    ln   ; với m , n là   7 D 14133 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Xét các số nguyên dương a , b cho phương trình a ln x  b ln x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình log x  b log x  a  có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2  x3 x4 Tìm giá trị nhỏ S  2a  3b A S  33 B S  30 C S  17 D S  25 Câu 28 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để  x  mx   phương trình log    x  mx   x  có hai nghiệm phân biệt?   x    A B C D Câu 29 (Chuyên Bắc Giang 2019) Số các giá trị nguyên nhỏ 2018 tham số m để phương trình log  2018 x  m   log 1009 x  có nghiệm là Câu 27 A 2018 B 2017 C 2020 D 2019 Câu 30 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log3 3x  2m  log5 3x  m2 có nghiệm?     A B C D Câu 31 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình log x  log x   2m   có ít nghiệm thực đoạn 1;27  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A m   0;2  B m   0;2 C m   2;4 D m   0;4  Câu 32 (Chuyên KHTN - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình log32 x  m log9 x   m  có nghiệm x  1;9  A B C D Câu 33 (Chuyên KHTN - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình log  mx   log  x  1 vô nghiệm? Câu 34 B C D A (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Số các giá trị nguyên nhỏ 2020 tham số m để phương trình log  2020 x  m   log 1010 x  có nghiệm là A 2020 B 2021 C 2019 D 2022 Câu 35 (Chuyên Quang Trung - 2020) Xét các số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x  b ln x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình 5log x  b log x  a  có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 cho x1 x2  x3 x4 Tìm giá trị nhỏ S  2a  3b B 25 C 33 D 17 A 30 Câu 36 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho phương trình log x  5 m  1 log x  m  m  Biết phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1  x2  165 Giá trị x1  x2 A 16 Câu 37 C 120 B 119 D 159 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi m0 là giá trị thực nhỏ tham số m cho phương trình  m  1 log 21  x  3   m   log  x  3  m   có nghiệm thuộc  3;6  Khẳng định nào 3 sau đây là đúng? 4 5    10   B m0   1;  C m0   2;  D m0   5;   3   3  (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho phương trình m ln  x  1  x   Biết tập hợp tất A Không tồn m0 Câu 38 các giá trị tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  x1    x2 là khoảng  a;   Khi đó a thuộc khoảng nào đây? A  3, 7;3,8  Câu 39 B  3, 6;3,  C  3,8;3,9  D  3,5;3,  (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Tìm tất các giá trị tham số a để phương trình log x  a log3 x3  a   có nghiệm A Không tồn a B a  1 a   10 C a  D a  Câu 40 (Sở Ninh Bình 2020) Gọi m0 là giá trị nhỏ tham số thực m cho phương trình  m  1 log 21  x     m   log  x    m   nào đây đúng? 4  A m0   1;  3  Câu 41 có nghiệm thuộc khoảng  2;  Khẳng định  10  B m0   2;   3  16  C m0   4;   3 5   D m0   5;    (Sở Yên Bái - 2020) Giả sử phương trình log x  (m  2)log x  2m  có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Giá trị biểu thức x1  x2 là Câu 42 A B C D (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Tìm tất các giá trị m để phương trình log 22 x  log x   m có nghiệm x  1;8 A  m  B  m  C  m  D  m  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 43 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Tìm các giá trị thực tham số m để phương trình log32 x  3log3 x  2m   có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn  x1  3 x2  3  72 61 D m  A m  B m  C Không tồn 2 Câu 44 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Số các giá trị nguyên nhỏ 2020 tham số m để phương trình log  2020 x  m   log 1010 x  có nghiệm là A 2022 B 2020 C 2019 D 2021 Lộc Thanh Hóa 2020) phương trình Câu 45 (Hậu Cho x me  10 x  m log  mx   2log  x  1   ( m là tham số ) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệt? C 11 D A Vô số B 10  Câu 46  (Liên  xm log trường Nghệ An 2020) Cho phương trình x  x2 log  x  m    với m là tham số Tổng tất các giá trị x  x  3  2  tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là A B C D Câu 47 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho phương trình log  x    m   log x  3m  10  (với m là tham số thực) Số giá trị nguyên tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;81 là A B C D Câu 48 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x  y  Tổng tất giá trị nguyên tham số m để phương trình log3 nghiệm là A 10 B x2  y  m  x  3x  y  m   có x y C D (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Biết điều kiện cần và đủ tham số m để phương trình a log m  m  x  x có nghiệm là m   với a , b là hai số nguyên dương và b  Hỏi b a  b  b bao nhiêu? A 31 B 32 C 21 D 23 Câu 50 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình log 22 (4 x )  m log x  2m   có nghiệm thuộc đoạn 1;8 ? Câu 49   A B C D Câu 51 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên tham log 32  f  x   1  log 2  f  x   1   2m   log số m   5;5 cho phương trình f  x    2m  có nghiệm x   1;1 ? A B C D vô số Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng Phương trình mũ chứa tham số Câu Câu Câu Câu Câu Câu Câu (Mã 101 2018) Gọi S là tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình 16 x  m.4 x 1  5m  45  có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử? B C 13 D A (Mã 104 2017) Tìm giá trị thực tham số m để phương trình x  2.3x 1  m  có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  B m  C m  D m  3 A m  (Mã 102 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên tham số m cho phương trình 25 x  m.5 x 1  m   có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử B C D A (Mã 103 2018) Gọi S là tất các giá trị nguyên tham số m cho phương trình x  m.2 x1  2m   có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử A B C D (Mã 110 2017) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình x  x 1  m  có hai nghiệm thực phân biệt B m  ;1 C m  0;1 D m  0;1 A m  0;   (Mã 104 2018) Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên tham số m cho phương trình x  m.3x 1  3m  75  có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử? B C D 19 A x (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho phương trình  (2m  3).3x  81  ( m là tham số thực) Giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  10 thuộc khoảng nào sau đây A 5;10 B 0;5 Câu D 15; C 10;15 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho phương trình m.16   m   x  m   1 Tập x hợp tất các giá trị dương m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là khoảng  a; b  Tổng T  a  2b bằng: Câu A 14 B 10 C 11 D x x 1 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Phương trình  3.2  m  có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  1 Giá trị m thuộc khoảng nào sau đây? A  5;0 Câu 10 B  7; 5 C  0;1 D  5;7  (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Với giá trị nào tham số m để phương trình x  m x 1  m   có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  13 A m  B m  C m  D m  2 x x 1 Câu 11 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Phương trình  m  2m  có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn x1  x  A m  B m  C m  D m  Câu 12 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình 2 4.4 x  x   2m   x  x 1   6m  3 32 x  x   có hai nghiệm thực phân biệt A   m   B m   m   1 1 C m  1 m  D 1  m  2 Câu 13 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Biết tập các giá trị tham số m để phương trình  m  3 9x   m  1 3x  m   có hai nghiệm phân biệt là khoảng  a; b  Tính tích a.b A B 3 C D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 Có tất bao nhiêu số nguyên m để phương trình x  m.2 x  2m  2019  có hai nghiệm trái dấu? A 1008 B 1007 C 2018 D 2017  Câu 15 Cho phương trình  15  x    2m  1  15  x   Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Ta có m thuộc khoảng nào? A  3;5  Câu 16 (Liên 2   B  1;1 Trường x Thpt   1  a    x C 1;3 D  ; 1 An 2019) Phương trình   có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  log 2 3 Tp Vinh Nghệ Khi đó a thuộc khoảng 3    3  A   ;   B  0;    C  ;    D   ;    2 2     Câu 17 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Biết tập các giá trị tham số m để phương trình m  3 x  m 1 3x  m 1  có hai nghiệm phân biệt là khoảng a; b Tính tích a b A B  C D Câu 18 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Tìm tất các giá trị mm để phương trình x  m.3 x  m   có hai nghiệm phân biệt A 2  m  B m  C m  2 D m  x x Câu 19 Xác định các giá trị tham số m để phương trình   m     m  m   x  có hai nghiệm phân biệt? B m  3 C m  1 D m  2 A m  2 m  m Câu 20 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Biết là giá trị tham số m cho phương x   m  1 x   m  1  trình có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn  x1   x2    12 Khi đó m0 thuộc khoảng nào sau đây B  9; +  C 1;  D  -2;  Câu 21 (Sở Phú Thọ 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình 16 x   m  1 x  3m   có hai nghiệm trái dấu? A (3;9) A B C D Câu 22 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Gọi S là tập hợp các giá trị thực tham số m để phương trình x  m.2 x  2m   có nghiệm Tập  \ S có bao nhiêu giá trị nguyên? A B C D x Câu 23 (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Cho phương trình   2m  1 3x   4m  1  có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn  x1   x2    12 Giá trị m thuộc khoảng A  9;    B  3;9  C  2;  D 1;3 (Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để phương trình 16 x  2.12 x  (m  2).9 x  có nghiệm dương? B C D A Câu 25 (THPT Ba Đình -2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình Câu 24 2 x  x  4.3 x  x  m   có nghiệm? A 27 B 25 C 23 D 24 Câu 26 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Gọi  a ; b  là tập các giá trị tham số m để phương trình 2e x  8e x  m  có đúng hai nghiệm thuộc khoảng  0; ln  Tổng a  b là D 14 A B C 6 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 27 (Sở Bắc Giang 2019) Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên tham số m để phương trình  Câu 28  x 1  m   x 1  có hai nghiệm dương phân biệt Số phần tử S A B C 10 D (Chuyên Thái Bình 2019) Tìm số giá trị nguyên tham số m   10;10  để phương trình   10  x2 m   10  x2  2.3x 1 có đúng hai nghiệm phân biệt? B 15 A 14 C 13 x D 16 x 1 1 (Việt Đức Hà Nội 2019) Phương trình    m    2m   có nghiệm m nhận giá trị: 9 3 1 A m   B   m   C m   D m    m   2 Câu 30 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Số các giá trị nguyên tham số m để phương trình:  m  1 16 x   m  3 x  6m   có hai nghiệm trái dấu là Câu 29 A B C D x x Câu 31 Phương trình   m.cos( x) có nghiệm Số giá trị tham số m thỏa mãn là A Vô số B C D Câu 32 (Sở Hà Nội 2019) Cho phương trình x  m.2 x.cos  x   , với m là tham số Gọi m0 là giá trị m cho phương trình trên có đúng nghiệm thực Khẳng định nào sau đây là đúng? A m0   5; 1 B m0  5 C m0  1;0 D m0  Câu 33 (HSG Bắc Ninh 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình 8x  3x.4 x  3x  x  m3  x3   m  1 x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc  0;10   Câu 34    A 101 B 100 C 102 D 103 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình    e3m  e m  x   x  x  x có nghiệm      1 1  A  0; ln  B  ; ln  C  0;  D  ln 2;   2 e         Câu 35 (SP Đồng Nai - 2019) Gọi A là tập tất các giá trị thực tham số m cho tập nghiệm phương trình x.2 x  x  x  m  1  m  x  1 có hai phần tử Số phần tử A A B C D Vô số x x 1 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Giá trị m để phương trình   m  có nghiệm là: A m  B m  C m  D m  1 Câu 37 (THPT Thăng Long 2019) Gọi a; b là tập hợp tất các giá trị thực tham số m để phương Câu 36 trình 2e x  8e x  m  có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 0; ln 5 Giá trị tổng a  b là A Câu 38 B C 6 D 14 (Chuyên Long An-2019) Giá trị tham số m thuộc khoảng nào sau đây để phương trình x  m.2 x 1  2m  có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1  x2  9  A m   ;5  B m   2; 1 C m  1;3 D m   3;5  2  Câu 39 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên tham số m cho phương trình 16 x  m.4 x 1  5m  44  có hai nghiệm đối Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A B C D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên tham số m để phương trình x  2m.2 x  m   có hai nghiệm thực x1 , x2 cho x1  x2  Tập hợp S có bao nhiêu phần tử? A Vô số B C D Câu 41 (THPT Minh Khai - 2019) Giá trị thực tham số m để phương trình x   2m  3 x  64  có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn  x1   x2    24 thuộc khoảng Câu 40 nào sau đây?  3    21 29   11 19  A  0;  B   ;0  C  ;  D  ;   2    2  2 2 Câu 42 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình   e3 m  e m  x   x  x  x  có nghiệm  1     1  B  0; ln  C  ; ln  D  ln 2;   A  0;   e     2  Câu 43 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình x  m 1.2 x   có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1  x2  A m  R B m   2; m  1 2 D m   2 C m   2 Câu 44 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có đồ thị hình vẽ   Tập hợp tất các giá trị thực m để phương trình f e x  m có đúng nghiệm thực là A  0; 4 Câu 45 C 0  4;  D  4; (Chuyên Thái Bình - 2019) Tìm số giá trị nguyên tham số m   10;10  để phương trình  Câu 46 B 0; 4  10  x2 m   10  x2  2.3x 1 có đúng hai nghiệm phân biệt A 14 B 15 C 13 D 16 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Tổng tất các giá trị nguyên m để phương trình 3x3 m3 x   x3  x2  24 x  m 3x3  3x  có nghiệm phân biệt B 27 C 38 D 45 A 34 Câu 47 (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Cho số thực m và hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ đây Phương trình f  x  2 x   m có nhiều bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1; 2 ? A B C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 48 Câu 49 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh 2019) Gọi S là tổng các giá trị nguyên tham số m để phương trình x   x 3  m  6m có nghiệm x  1;3 Chọn đáp án đúng A S  35 (Chuyên Bắc 1 1 x2 B S  20 Giang 2019) 1 1 x   m  2 9 2   Tập D S  21 m để phương trình  2m   có nghiệm là  9   A   ;  C S  25 các giá trị C   ;4 B 4;  D  4;      Câu 50 Cho hàm số f  x   3x 4   x  1 27  x – x  , phương trình f  x  x  3m   có số nghiệm nhiều thì giá trị nhỏ tham số m có dạng phân số tối giản) Tính T  a  b A T  B T  11 a a (trong đó a , b   và là b b C T  D T  13 1 1 x Câu 51 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình có nghiệm thực? A B phần tử? A B   m  3 31 1 x  2m   C Vô số D x y y   2   x  y Câu 52 (THPT Thăng Long 2019) Cho hệ phương trình  x 1 , m là tham    m  2.2 y 1 y    số Gọi S là tập các giá trị m nguyên để hệ 1 có nghiệm Tập S có bao nhiêu C D Câu 53 Cho a, b là các số thực thỏa mãn a  và a  , biết phương trình a x  x  cos  bx  có a 2x x nghiệm phân biệt Tìm số nghiệm thực phân biệt phương trình a  2a  cos bx     A 28 B 14 C Câu 54 Cho hàm số bậc ba y  f ( x ) có bảng biến thiên sau Giá trị lớn m để phương trình e A e Câu 55 (Hoàng 4  15 B e3 Thám Hoa  x    2m  1  15  x 13 f ( x ) f ( x ) 7 f ( x )  2 D  m có nghiệm trên đoạn 0;2 là 15 13 - C e Hưng Yên 2019) D e5 Cho phương trình   ( m là tham số ) Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Khi đó m thuộc khoảng nào sau đây? A  3;5 Câu 56 B  1;1 C 1;3 D  ; 1 (THPT Minh Khai 2019) Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên tham số m để phương trình 5x  10  m 25x  có nghiệm Số tập S là A B C 16 D 15 Câu 57 (Sở Quảng Trị 2019) Tìm tập hợp tất các giá trị tham số m để phương trình 4x  x 1  m.2 x 2 x  3m   có nghiệm phân biệt Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 1;   D  2;   B  ;1   2;   C  2;   2 Câu 58 Cho phương trình: x  x  x  m  x  x  x  x  m  Tập các giá trị để bất phương trình có ba nghiệm phân biệt có dạng  a ; b  Tổng a  2b bằng: A Câu 59 (Chuyên  2x ĐH B Vinh- 2019)  Có C  bao nhiêu số D nguyên m để phương trình x 9.3  m x  x   3m  3   có đúng nghiệm thực phân biệt? A Vô số B C Câu 60 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số D m  2019;2019 để phương trình x 1 mx  2m 1   có đúng nghiệm thực phân biệt? x 1 x2 A 4038 B 2019 C 2017 D 4039 Câu 61 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Gọi S là tập hợp các giá trị tham số m cho hai phương trình x   3m và m  3x  x  x  có nghiệm chung Tính tổng các phần tử S 2019 x  CÂU 62 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Giá trị tham số m để phương trình x  m.2 x 1  2m  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  là A m  B m  C m  D m  A B C D (Chuyên Chu Văn An - 2020) Tìm m để phương trình x  x 1  m  có hai nghiệm trái dấu A m  B m  C 1  m  D  m  Câu 64 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để phương trình x  2.6 x 1   m  3 x  có hai nghiệm phân biệt? Câu 63 A 35 B 38 C 34 D 33 Câu 65 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Gọi S là tập hợp các số nguyên m cho phương trình 4x  m.2x 1  3m  500  có nghiệm phân biệt Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử A B C D Câu 66 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Tìm điều kiện tham số a để phương trình sau có nghiệm: 91 1 x   a   31 1 x  2a   Hãy chọn đáp án đúng nhất? 64 64 50 B  a  C  a  Câu 67 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Điều kiện m 72 x  x 1  2 x 1  2020 x  2020 có nghiệm là :   x   m   x  2m   A m  3 B 2  m  C 1  m  A  a  D  a  để hệ bất 50 phương trình D m  2 Câu 68 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho phương trình 16  2.4  10  m ( m là tham số) Số giá trị nguyên tham m   10;10 để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt là x2 A Câu 69 B x 1 C (Sở Hà Tĩnh - 2020) Gọi S là tập nghiệm phương trình  x  x  D  3 2x  m  (với m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên m   2020; 2020 để tập hợp S có hai phần tử? A 2094 B 2092 C 2093 D 2095 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 70 (Sở Ninh Bình 2020) Cho hai số thực a  , b  Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình  xx  a b  Trong trường hợp biểu thức S     x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất, khẳng định  x1  x2  nào đây đúng? x x 1 3 3 3 A a  b B a  b C a  b D a  b (Sở Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập tất các giá trị m để phương trình 16 x  6.8x  8.4 x  m.2 x1  m2  có đúng hai nghiệm phân biệt Khi đó S có A tập B Vô số tập C tập D 16 tập Câu 72 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Tìm tập hợp các giá trị tham số thực m để phương trình x    m  x  m  có nghiệm thuộc khoảng  0;1 Câu 71 A 3; 4 Câu 73 B  2;  C  2;  D  3;  (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên m   2019; 2020  cho hệ phương trình sau có nghiệm  A 2017 Câu 74  4  9.3x2  y   x  y y  x   ?  2 x   y  x  m B 2021 C 2019 D 2020 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Tính tổng tất các nghiệm phương trình e thuộc đoạn  0;50   sin( x  )  tan x 2671 1853 2475 2653 B C D 2 2 (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Tìm tập hợp các giá trị tham số m để phương trình (ẩn A Câu 75 x ): 3log2 x   m  3 3log2 x  m2   có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 x2  A  1;   \ 0 C  \  1;1 B  0;   D  1;   Dạng Phương trình kết hợp mũ và logarit chứa tham số Câu (Mã 103 -2019) Cho phương trình  log32 x  log x  1 x  m  ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên dương m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt? A Vô số B 124 C 123 D 125 Câu  (Mã 102 - 2019) Cho phương trình log 22 x  3log x   3x  m  ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên dương m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt? A vô số B 81 C 79 D 80 Câu (Mã 104 2019) Cho phương trình  log 32 x  log x  1 x  m  ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên dương m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt? A 64 B Vô số C 62 D 63   x  m  ( m là tham số thực) Có tất Câu (Mã 101 2019) Cho phương trình log 22 x  log x  Câu bao nhiêu giá trị nguyên dương m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt? A 49 B 47 C Vô số D 48 x (Mã 102 2018) Cho phương trình  m  log ( x  m ) với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên m   15;15  để phương trình đã cho có nghiệm? A 15 B 16 C D 14 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Mã 101 2018) Cho phương trình 5x  m  log  x  m  với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên m   20; 20  để phương trình đã cho có nghiệm? Câu A 19 B C 21 D 20 x (Mã 103 -2018) Cho phương trình  m  log  x  m  với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên m   25; 25 để phương trình đã cho có nghiệm? Câu A B 25 C 24 D 26 x Cho phương trình  m  log  x  m   với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m   20; 20  để phương trình đã cho có nghiệm thực? Câu A 20 B 21 C 18 D 19 (Mã 104 2018) Cho phương trình x  m  log  x  m  với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên m   18;18  để phương trình đã cho có nghiệm? A B 19 C 17 D 18 x Câu 10 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho phương trình  m  log  x  m  Có bao nhiêu giá trị m nguyên khoảng  20; 20  để phương trình trên có nghiệm? A 15 B 19 C 14 Câu 11 Tổng tất các giá trị tham số m để phương trình D 17 x2  x  5 m2  log x2 4 x 6  m  1 có đúng nghiệm là A 2 B D C Câu 12 Tổng tất các giá trị tham số m để phương trình x  x 1 x  m  log x2 2 x 3  x  m   có đúng ba nghiệm phân biệt là: A B C D Câu 13 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số a trên đoạn  10;10 để phương trình e x  a  e x  ln 1  x  a   ln 1  x  có nghiệm Câu 14 A B 10 C D 20 (Chuyên Sơn La - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m thuộc  2020; 2020  để phương trình e x  ln  x  2m   2m có nghiệm? A 2019 Câu B 2020 C 2021 D 4039 Dạng Phương trình mũ – logarit chứa nhiều ẩn (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 và log 3 x  3  x  y  y ? Câu A 2019 B C 2020 D (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có bao nhiêu số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log ( x  y )  log  x  y  ? Câu A B C D Vô số (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  m; n  cho m  n  10 và ứng với   cặp  m; n  tồn đúng số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? Câu A B C 10 D (Mã 101 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cắp số nguyên dương  m, n  cho m  n  14 và ứng với   cặp  m, n  tồn đúng ba số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? A 14 B 12 C 11 D 13 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m, n) cho m  n  12 và ứng với Câu cặp (m, n) tồn đúng số thực a  (1,1) thỏa mãn a m  n ln( a  a  1) ? A 12 B 10 C 11 D (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Có tất bao nhiêu giá trị thực tham số m   1;1 cho phương trình log m 1  x  y   log  x  y   có nghiệm nguyên  x; y  nhất? Câu A B C D (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Có bao nhiêu số nguyên y để tồn số thực   2 x thỏa mãn log11  3x  y   log x  y ? Câu A B C D vô số (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Có bao nhiêu cặp số thực  x; y  thỏa mãn đồng thời các điều kiện Câu x  x 3  log3  y   5 A B (Chuyên Bến Tre - 2020) Giả sử và y  y    y  3  ? C  x0 ; y0  D là nghiệm phương trình x 1  x sin  x 1  y  1   x  sin  x 1  y  1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A x0  Câu 10 B 2  x0  C  x0  D 5  x0  2  x; y  (Chuyên Lào Cai - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên thỏa mãn  x  4000 và 5  25 y  y   x  log5  x  1  ? A B C D Câu 11 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có bao nhiêu ( x; y ) với x , y nguyên và  2y   2x 1   x, y  2020 thỏa mãn  xy  x  y   log     x  y  xy   log  ?  x3   y2 A 2017 B 4034 C D 2017.2020 Câu 12 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho x là số thực dương và y là số thực thỏa mãn x x  log 14  ( y  2) y   Giá trị biểu thức P  x  y  xy  2020 A 2022 B 2020 C 2021 D 2019 y2 Câu 13 (Sở Hưng Yên - 2020) Cho phương trình log3 3x  x    y  x  x  Hỏi có bao   nhiêu cặp số  x; y  và  x  2020 ; y   thỏa mãn phương trình đã cho? A B C Câu 14 (Sở Phú Thọ - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên  D x ; y   thỏa mãn  x  2021 và  y  log x  y 1  x  y ? A 2020 B C 2019 D 10 Câu 15 (Sở Bắc Ninh - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  x; y  x y thảo mãn  x   1   x  1  x , với x  2020 ? x y A 13 B 15 C D 3 Câu 16 (Sở Bình Phước - 2020) Biết a, b là các số thực cho x  y  a.103 z  b.10 z , đồng thời x , y, z là các số các số thực dương thỏa mãn log  x  y   z và log  x  y   z  Giá trị 1  thuộc khoảng a b A (1;2) B (2;3) Câu 17 C (3; 4) D (4;5) (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  y  2020 và 3x  3x   y  log y Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 2020 B C D Câu 18 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Giả sử a, b là các số thực cho x  y  a.103 z  b.10 z đúng với các số thực dương Câu 19 Câu 20 Câu 21 Câu 22 x, y, z thỏa mãn log( x  y )  z và log( x  y )  z  Giá trị a  b 25 31 31 29 D B  C A  2 2 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số hữu tỉ a thuộc đoạn  1;1 cho tồn số thực b thỏa mãn 4a 1 2a log 1  a  b2  2b   a  a  a  a 1 1  B C D Vô số A (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên  x ; y  thoả mãn x  y  0;  20  x  20 và log  x  y   x  y  xy  x  y  ? A 19 B C 10 D 41 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho các số thực x , y thỏa mãn x  , y  và log x log y  log x log y   log xy   Giá trị biểu thức P  x  y gần với số nào các số sau B C 10 D A (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  x; y  với x  2020 thỏa mãn  x  y   1  y   log  x  1 A 1010 B 2020 C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 19 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Phương trình logarit Phương trình logarit + Nếu a  0, a  1: log a x  b  x  ab + Nếu a  0, a  1: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  + Nếu a  0, a  1: log a f  x   g  x   f  x   a g x (mũ hóa) Dạng 1.1 Phương trình Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình log3  x 1  là: A x  B x  C x  D x  Lời giải Chọn B Điều kiện: x    x    x  x   Ta có log3  x  1     x  2 x   32  x   Vậy phương trình có nghiệm x  Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình log  x  1  là A x  B x  C x  Lời giải D x  10 Chọn D TXĐ: D  1;   log  x  1   x   32  x  10 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình log  x  1  là A x  10 B x  C x  Lời giải D x  Chọn C  x 1  x    x9 Ta có log  x  1     x   x 1  Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình log  x    là: A x  B x  C x  11 Lời giải D x  10 Chọn D Điều kiện: x    x  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 log  x     x    x  10 (thỏa) Vậy phương trình có nghiệm x  10 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình log  x    là A x  11 B x  10 C x  D Lời giải Chọn A Điều kiện: x  Phương trình tương đương với x   32  x  11 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình log  x    là A x  41 B x  23 C x  Lời giải D x  16 Chọn B ĐK: x  9 Ta có: log  x     x   25  x  23 Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình log  x    là: A x  B x  19 C x  38 Lời giải D x  26 Chọn D Điều kiện x    x  6 Ta có: log  x     log  x    log 25   x    32  x  32   x  26 TM  Vậy nghiệm phương trình: x  26 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình log  x    là A x  18 B x  25 C x  39 Lời giải D x  Chọn B log  x     x   25  x  25 Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình log ( x  8)  A x  17 B x  24 C x  Lời giải D x  40 Chọn B Ta có log ( x  8)   x   25  x  24 Câu 10 (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm phương trình log  x  x    là : A 0 B 0;1 C 1;0 D 1 Lời giải Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 log Câu 11  x  x2  x    x2  x     x   (Đề Minh Họa 2017) Giải phương trình log ( x  1)  A x  65 B x  80 C x  82 Lời giải D x  63 Chọn A ĐK:  x    x  Phương trình log  x  1   x   43  x  65 Câu 12 (Mã 110 2017) Tìm nghiệm phương trình log2 1  x   A x  B x  3 C x  4 Lời giải D x  Chọn B Ta có log2 1  x     x   x  3 Câu 13 (Mã 102 2018) Tập nghiệm phương trình log  x  1  là  A  10; 10  B 3;3 C 3 D 3 Lời giải Chọn B log  x  1   x    x   x  3 Câu 14 (Mã 104 2017) Tìm nghiệm phương trình log  x    A x  11 B x  13 C x  21 Lời giải D x  Chọn C ĐK: x    x  Khi đó log  x     x   16  x  21 Câu 15 (Mã 103 2018) Tập nghiệm phương trình log ( x  7)  là A 4 B 4 C { 15; 15} D {4;4} Lời giải Chọn D x  log ( x  7)   x      x  4 Câu 16 (Mã 105 2017) Tìm nghiệm phương trình log 25  x  1  A x  B x  C x  23 D x  6 Lời giải Chọn B Điều kiện: x  1  log  x  1   x    x  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Phương trình log  x    có nghiệm là Xét phương trình log 25  x  1  Câu 17 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A x  25 B x  87 C x  29 D x  11 Lời giải Chọn C Ta có: log3  3x     3x   33  3x  29  x  Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x  Câu 18 29 29   (THPT Ba Đình 2019) Tập nghiệm phương trình log3 x  x   là A 1 B 0;1 C 1;0 D 0 Lời giải ĐKXĐ: x  x    x   x  Ta có: log  x  x  3   x  x      x 1 Vậy tập nghiệm phương trình là S  0;1 Câu 19 (THPT Cù Huy Cận 2019) Tập nghiệm phương trình log3  x  x  3  là: A 1;0 B 0;1 C 0 D 1 Lời giải x  log  x  x  3   x  x    x  x     x  1 Câu 20 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Phương trình log 3 x  2  có nghiệm là: A x  25 C x  B 87 29 D x  11 Lời giải Điều kiện: x  Phương trình tương đương 3x  33  x  29 (nhận)  29    Vậy S     3    Câu 21   (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tập nghiệm phương trình log x  x   là B {  2;4} A  C {4} D {  2} Lời giải  x  2 Ta có log x  x    x  x   10  x  x     x   Câu 22  (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Cho phương trình log (2 x  1)  log ( x  2) Số nghiệm thực phương trình là: A B C Lời giải D Điều kiện: x  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Phương trình đã cho tương đương với: 2log (2 x  1)  2log2 ( x  2)  x   x   x  1 Nghiệm này không thỏa mãn điều kiện phương trình nên phương trình đã cho vô nghiệm Câu 23 (Chuyên Sơn La 2019) Tập nghiệm phương trình log3  x  x   là A 1; 3 B 1;3 C 0 D 3 Lời giải x 1 Phương trình log  x  x    x  x  31  x  x      x  3 Tập nghiệm phương trình là 1; 3 Câu 24 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Tập hợp các số thực m để phương trình log x  m có nghiệm thực là A  0;   C  B  ;0  D  0;   Lời giải Tập giá trị hàm số y  log x là  nên để phương trình có nghiệm thực thì m   Câu 25 (Chuyên Bắc Giang Tổng 2019) bình phương các nghiệm phương trình log  x  x    2 A B C 13 Lời giải D Chọn C log  x  x     x  x    x  x    x1   x2   x12  x22  13 Câu 26 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Tổng các nghiệm phương trình log x  log  là A C Lời giải B D Điều kiện x  Có log x  log   log x   log  log x  2.log  x  62 Dó đó, tổng các nghiệm Câu 27 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi 2019) Tập nghiệm phương trình log 0,25  x  3x   1 là: A 4 B 1;  4   2  2  C  ;    D 1; 4 Lời giải  x   x    x  x    x  Ta có: log 0,25  x  x   1     x   1   x   n   x  x   0, 25   x  3x     x  1  n    Vậy tập nghiệm phương trình là S  1; 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 28   (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019) Nghiệm nhỏ phương trình log5 x  3x   là A  B a C D Lời giải x  Vậy nghiệm nhỏ phương log  x  x     x  x    x  x    x    trình log5 x  3x   là Câu 29 (Sở Hà Nội 2019) Số nghiệm dương phương trình ln x   là A B C Lời giải D x   x  1 x 2 Có ln x    x       x    x     x  2 Vậy phương trình có nghiệm dương là x  , x  Câu 30 (Chuyên Hạ Long 2019) Số nghiệm phương trình ( x  3) log (5  x )  A B C Lời giải D Điều kiện:  x     x  x30  x  3   x  3 Phương trình ( x  3) log (5  x )      2  log (5  x )    x   x  2 Đối chiếu điều kiện ta có x   thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy phương trình có nghiệm Câu 31 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Tổng tất các nghiệm phương trình  2x A  x   log x  x    2  17 B C D 19 Lời giải 0  x   Điều kiện    x  1*  x  2 x2  5x   Phương trình  x  x   log x  x    2    log x  x     x  + Phương trình x  x     Kết hợp với điều kiện  *  x  x   2 x  + Phương trình log x  x      x   x  x  x     Kết hợp với x  điều kiện  *  x  Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x  2; x  suy tổng các nghiệm Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 32 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Tập hợp các số thực m để phương trình log x  m có nghiệm thực là A  0;   B  0;   C  ;0  D  Lời giải Điều kiện để phương trình đã cho có nghĩa là x  Dễ thấy m   thì đường thẳng y  m luôn cắt đồ thị hàm số y  log x đúng điểm Vậy tập hợp các số thực m để phương trình log x  m có nghiệm thực là m   Dạng 1.2 Biến đổi đưa phương trình Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Hàm số y  log a x và y  logb x có đồ thị hình bên y y  log b x y  log a x x O x2 x1 Đường thẳng y  cắt hai đồ thị các điểm có hoành độ là x1; x2 Biết x1  x2 Giá trị a b A B C D Lời giải Chọn D Xét phương trình hoành độ giao điểm log a x   x1  a3 , và logb x   x2  b3 a a Ta có x1  x2  a  2b       b b Câu (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình log  x  1  log  x  1  A S  3  B S   10; 10  C S  3;3 D S  4 Lời giải Chọn A   Điều kiện x  Phương trình đã cho trở thành log x    x2    x  3 Đối chiếu điều kiện, ta nghiệm phương trình là x   S  3 Câu (Mã 103 - 2019) Nghiệm phương trình log  x  1   log  x  1 là A x  B x  C x  1 Lời giải D x  Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Điều kiện phương trình: x  log  x  1   log  3x  1  log  x  1   log  3x  1   x  1  3x   x  Ta có x  ( Thỏa mãn điều kiện phương trình) Vậy nghiệm phương trình là x  Câu (Mã 105 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình log  x  1  log  x  1  A S  3 B S  4 C S  1 D S  2 Lời giải Chọn B  1 2 x   x  ĐK:    x  x    x  2x  2x  1   x  (thỏa) x 1 x 1 (Mã 101 - 2019) Nghiệm phương trình log  x  1   log  x  1 Ta có log  x  1  log  x  1   log Câu A x  B x  C x  Lời giải D x  3 Chọn B Điều kiện: x   Ta có: log  x  1   log  x  1 1  1  x  x     x  3  x  1  x   x   Vậy: Nghiệm phương trình là x  Câu (Mã 104 - 2019) Nghiệm phương trình log3  2x  1   log3  x 1 là A x  B x  2 C x  Lời giải D x  Chọn A 2 x   Điều kiện:   x 1  x 1  Ta có: log3  2x  1   log3  x 1  log  x  1  log 3   x  1   x   3x   x  (nhận) Câu (Mã 102 -2019) Nghiệm phương trình log  x  1   log  x  1 là A x  B x  C x  Lời giải D x  2 Chọn A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x  1 Điều kiện:   x  x  Phương trình đã cho tương đương với log  x  1   log  x  1  log  x  1  log 2  x  1  x   x   x  (Thỏa mãn) Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện ln  x  1  ln  x  3  ln  x   là A Biên B 2019) Số C Lời giải nghiệm phương trình D Chọn A Điều kiện: x  1 PT  ln  x  1 x  3   ln  x     x  1 x  3  x   x2  3x    x  (n)   x  4 () Câu Tìm số nghiệm phương trình log x  log ( x  1)  A B C Lời giải D Chọn B Điều kiện: x  Ta có: log x  log ( x  1)  2  log [ x ( x  1)]   x ( x  1)   x  x     17 x     17  x  Đối chiếu với điều kiện ta nghiệm phương trình là x  Câu 10  17 (HSG Bắc Ninh 2019) Số nghiệm phương trình log   x   log x   A B C Lời giải D +) Điều kiện x  +) Phương trình  log   x   log x   log x   x    x  x  27  x    x  Vậy phương trình có nghiệm  x  9( L) Vậy số nghiệm phương trình là Câu 11 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương - 2019) Tìm tập nghiệm S phương trình: log  x  1  log  x  1  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A S  3 B S  1 C S  2 D S  4 Lời giải 2 x   Điều kiện:   x   x 1  Với điều kiện trên, log  x  1  log  x  1   log  x  1  log  x  1  log 3  log  x  1  log  x  3  x   x   x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm S  4 Câu 12 (Sở Bắc Giang 2019) Phương trình log x  log  x  1  có tập nghiệm là A S  1;3 B S  1;3 C S  2 D S  1 Lời giải Điều kiện: x   x  1 Với điều kiện trên, ta có: log x  log  x  1   log  x  x  1    x  x     x  Kết hợp với điều kiện ta được: x  Vậy tập nghiệm phương trình là S  2 Câu 13 (THPT Gang Thép Thái Nguyên log ( x  1)  log ( x  2)  log5 125 là A  33 B  33 2019) Tổng C các nghiệm D 33 phương trình Lời giải Điều kiện: x  log2 ( x  1)  log2 ( x  2)  log5 125  log2  x  3x      33 x   x  3x       33 x   Đối chiếu điều kiện ta thấy nghiệm x   33 thỏa mãn Vậy tổng các nghiệm phương trình là Câu 14  33 (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm phương trình log x  log ( x  3)  là A S  4 B S  1, 4 C S  1 D S  4,5 Lời giải Chọn A Điều kiện: x  x  PT  log  x  x  3    x  3x      x  1 So sánh điều kiện ta x  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy tập nghiệm phương trình là S  4 Câu 15 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Số nghiệm phương trình log x  log  x    log là A B C Lời giải D Đk: x   x  1 Ta có: log x  log  x    log  log  x  x     log  x  x     x  So với điều kiên phuiwng trình có nghiệm x  Câu 16 (Chuyên Sơn La 2019) Cho log  sin x  cos x   A   x   0;  , biết log  sin x   log  cos x   2 và  2  log n  1 Giá trị n B C 2 D Lời giải   Vì x   0;  nên sin x  và cos x   2 Ta có: log  sin x   log  cos x   2  log  sin x.cos x   2  sin x.cos x    sin x  cos x    2sin x.cos x  Suy ra: log  sin x  cos x     sin x  cos x   2n  Câu 17 2  log n  1  log  sin x  cos x   log  2n  3  2n  n  (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình log  x  1  log  x  1   A S  3  B S   5;  C S       13  D S      Lời giải Chọn C  x 1  Điều kiện   x  (*) x 1  Phương trình  2log2  x 1  log2  x  1   2log2  x 1  log2  x  1  log2 2  log  x  1  log   x  1   x2  2x   x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x    L Vậy tập nghiệm phương trình S    x2  x 1     x    Câu 18 (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa Số 2019) nghiệm  phương trình log  x  x   log  x  3  là A B C Lời giải D Viết lại phương trình ta  x  x      x  log3 x  x  log3  x  3    x  x  4x  2x      x  3  Câu 19  2018) Tổng log x.log x.log 27 x.log 81 x  80 A B (Đề Tham Khảo giá trị tất các nghiệm C D phương trình 82 Lời giải Chọn D Điều kiện x  Phương trình đã cho tương đương với x   log x  1 log log x log x log x   (log x)  16    x  log x   2   Câu 20 (VTED 2019) Nghiệm phương trình log x  log x  log là A x  B x  3 C x  D x  Lời giải Điều kiện: x  1 Ta có: log x  log x  log  log x  log x   log 2  2log x  log x  log   3log x  log   log x3  log   log  3x3    3x3   x  So với điều kiện, nghiệm phương trình là x  Câu 21 (THPT trình log A Lê Quý Dôn Dà Nẵng 3 3 -2019) Gọi S là tập nghiệm  x  1  log  x    Số phần tử tập S là B C Lời giải D Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ phương TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ĐK: x  1  x  1  log  x2      x  1 log   x  0(TM ) x2    x  4( L) Vậy tập nghiệm có phần tử Câu 22 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số nghiệm thục phương trình 3log  x  1  log  x    là B A C Lời giải D Chọn B Điều kiện: x  3log  x  1  log  x     3log3  x  1  3log3  x  5  3  log3  x  1  log  x  5   log3  x  1 x  5     x  1 x     x2  6x    x   Đối chiếu điều kiện suy phương trình có nghiệm x   Câu 23 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tổng các nghiệm phương trình log  x    log3  x    là S  a  b (với a , b là các số nguyên) Giá trị biểu thức Q  a.b A B C Lời giải D Chọn D Điều kiện:  x  Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương log  x    2log x    log3  x   x     x   x    x   x     x2  x   x      x   x   x    1  x  x   So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm x1   2; x2  Ta được: S  x1  x2    a  6; b  Vậy Q  a.b  Dạng Phương trình mũ Phương pháp đưa cùng số Phương trình mũ + Nếu a  0, a  thì a f  x   a g  x   f  x   g  x  + Nếu a chứa ẩn thì a f  x a   a g  x    a  1  f  x   g  x       f  x  g  x + a f  x   b g  x   log a a f  x   log a b g  x   f  x   log a b.g  x  (logarit hóa) Dạng 2.1 Phương trình Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình 3x1  27 là A x  B x  C x  D x  Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn A Ta có: 3x1  27  3x1  33  x    x  Vậy nghiệm phương trình là x  Câu Câu Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình 3x1  là: A x  2 B x  C x  Lời giải Chọn B x 1   x   log  x    x  (Mã 102 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình 3x2  là A x  3 B x  C x  Lời giải Chọn C Ta có 3x2   x    x  (Mã 103 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình 3x1  là A x  B x  C x  2 D x  3 D x  4 D x  1 Lời giải Chọn A Ta có: 3x 1   3x 1  32  x    x  Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Nghiệm phương trình 3x2  27 là A x  2 B x  1 C x  D x  Lời giải Chọn D Ta có 3x2  27  3x2  33  x    x  Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình 22 x 4  2x là A x  16 B x   16 C x  4 Lời giải Chọn D D x  Ta có: 22 x4  2x  x   x  x  Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình 22 x 3  x là A x  B x  8 C x  D x  3 Lời giải Chọn C Ta có 2 x   x  x   x  x  Vậy phương trình đã cho có nghiệm x  Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Nghiệm phương trình 22 x   x là A x  2 B x  C x  4 Lời giải Chọn B 22 x   x  x   x  x  Câu D x  x1  27 là (Mã 101 - 2019) Nghiệm phương trình: A x  B x  C x  Lời giải D x  Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B x1 Ta có: Câu 10  27  32 x1  33  x    x  (Mã 102 - 2019) Nghiệm phương trình 32 x1  27 là A B C Lời giải Chọn D Ta có: x    x  Câu 11 Tìm nghiệm phương trình x1  27 A x  10 B x  C x  Lời giải D D x  Chọn D x1  33  x    x  Câu 12 Câu 13 (Mã 104 2018) Phương trình x1  125 có nghiệm là A x  B x  C x  Lời giải Chọn B Ta có: x1  125  52 x1  53  x    x  (Mã 101 2018) Phương trình 22 x1  32 có nghiệm là A x  B x  C x  2 Lời giải Chọn C D x  D x  Ta có 22 x1  32  22 x1  25  x    x  Câu 14 (Mã 104 - 2019) Nghiệm phương trình 22 x1  32 là 17 A x  B x  C x  2 Lời giải Chọn D D x  22 x 1  32  22 x 1  25  x    x  Câu 15 (Mã 103 - 2019) Nghiệm phương trình 22 x1  là A x  B x  C x  Lời giải Chọn A D x  Ta có: 22 x1   x    x  Câu 16 (Mã 104 2017) Tìm tất các giá trị thực m để phương trình x  m có nghiệm thực A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn C Để phương trình x  m có nghiệm thực thì m  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 17 Câu 18 2x x  (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tập nghiệm S phương trình  1  1 A S  B S  0;  C S  0;2 D S  1;    2  2 Lời giải Chọn D x 1 52 x  x   x  x   x  x     x    (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tập nghiệm S phương trình x1  A S  4 B S  1 C S  3 D S  2 Lời giải Ta có: x 1   x 1  23  x    x  Vậy tập nghiệm phương trình đã cho là S  2 Câu 19 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Phương trình nghiệm? A   x  x 6  log2 128 có bao nhiêu B C D Lời giải Phương trình đã cho tương đương với: x  x   log  x  x   log  Sử dụng máy tính bỏ túi ta thấy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt Câu 20 (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tập nghiệm S phương trình 3x A S  1;3 B S  3;1 C S  3; 1 2 x  27 D S  1;3 Lời giải Ta có: 3x 2 x  x  1  27  x  x    x  Vậy tập nghiệm S phương trình 3x Câu 21 2 x  27 là S  1;3 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Số nghiệm thực phân biệt phương trình e x  là: A B C D Lời giải Ta có e x   x  ln  x   ln Vậy phương trình có nghiệm thực phân biệt Câu 22 (Sở Ninh Bình 2019) Phương trình x    có tập nghiệm là A S  3 B S  2 C S  0 D S  2 Lời giải Ta có x2 1   x2   x    x  2 Vậy S  2 Câu 23 (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Họ nghiệm phương trình 4cos x   là Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   B   k ; k    C k 2 ; k  2  Lời giải A k ; k   Ta có: 4cos x    4cos x   cos x   x  Vậy họ nghiệm phương trình là: Câu 24  2   D   k ; k    3   k , k   k ; k   (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho biết x  12  , tính giá trị biểu thức P  8.9 3 x 1 A 31 x 1  19 B 23 D 15 C 22 Lời giải Ta có x  12   x  12 P  3x 1  8.3x 1  19  3.3x  Câu 25 3x 12  19  3.12   19  23 3 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tính tổng tất các nghiệm phương trình 22 x 5 x 4  5 A  B 1 C D 2 Lời giải  x   x2  5x      x    Vậy tổng hai nghiệm  22 x 5 x  Câu 26 Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình 32 x 1  m  m   có nghiệm 3  1   3 A m   1;  B m   ;    C m   0;    D m   1;  2  2   2 Lời giải Chọn A 32 x 1  2m  m    32 x 1   m  2m Phương trình có nghiệm  m  2m   1  m  3  Vậy m   1;  2    Câu 27 Cho a, b là hai số thực khác 0, biết:    125  8 A B 7   Ta có :    125  a  ab   625  3  a  4ab    a 8 ab 5 a  ab    625  3a 8 ab Tỉ số Lời giải 3 a  ab C   3a a là: b D 8 ab 4 21  a 3a  8ab   21a  4ab     b 21 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 28 Tổng các nghiệm phương trình x 2 x1  A B  C Lời giải D  x  1 2 Ta có: x 2 x1   x 2 x1  23  x  x    x  x      x   Như phương trình đã cho có hai nghiệm: 1 ;  Tổng hai nghiệm là: 1    1    Câu 29 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Phương trình 22 x nghiệm A B C 1 Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có: 2 x2 5 x  4 2 x2 5 x  5 x   có tổng tất các D   x  2   2x  5x    2x  5x     x    2 2 Tổng tất các nghiệm phương trình đã cho là: 2        2 Cách 2: 2 Ta có: 22 x 5 x    22 x 5 x 4  22  x  x    x  x   (1) Xét phương trình (1):     Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Theo định lý Viet ta có: x1  x2   Tổng tất các nghiệm phương trình đã cho là:  Câu 30 2x (THPT Ngô Sĩ Liên Bắc Giang 2019) Phương trình A B C 1 Lời giải Chọn D 52 x 2 5 x   25 có tổng tất các nghiệm D  5 x   52  x  x    x  x   Tổng các nghiệm là  Câu 31 (Sở Bắc Ninh 2019) Phương trình x A  B 2 5 x   49 có tổng tất các nghiệm C 1 D Lờigiải Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x  2  49    2x  5x    2x  5x     x    Vậy tổng tất các nghiệm phương trình bằng: 2  (  )   2 Dạng 2.2 Biến đổi đưa phương trình x2 5 x  Câu x2 5 x  2 Tập nghiệm phương trình: x 1  x1  272 là A 3; 2 B 2 C 3 D 3;5 Lời giải Chọn C 4x   272  4.4   272  x  64  x  Vậy phương trình có tập nghiệm S  3 x 1 Câu x1 x (HKI-NK HCM-2019) Phương trình 27 A 1;7 x 3 1    3 B 1; 7 x2  có tập nghiệm là C 1; 7 D 1; 7 Lời giải Chọn D Ta có: 27 x 3 1    3 x2   36 x 9  3 x 2 x 1  x    x2   x2  x      x  7 Vậy tập nghiệm phương trình là 1; 7 Câu (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Phương trình 3x.2x1  72 có nghiệm là A x  B x  C x  D x  2 Lời giải Chọn B 3x.2x 1  72  3x.2x.2  72  6x  36  x  x  x 3 Câu 1 (Chuyên Bắc Giang 2019) Nghiệm phương trình   5 A x  1; x  B x  1; x  2 C x  1; x   x 1 là D Vô nghiệm Lời giải Chọn A Ta có: x2  x 3  x  1  x 1   x  x   x    x  x      x2 Vậy nghiệm phương trình là x  1; x  1   5  x 1  5 ( x  x 3) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 1 Tập nghiệm phương trình   7 A 1 B 1; 2 x  x 3  x 1 là C 1; 4 D 2 Lời giải Chọn B 1 Ta có:   7 x2  x 3  x 1  7 x  x 3  x 1   x  x   x   x  1  x2  x     x  Câu Tổng các nghiệm phương trình x A 6 B 5 2 x  82 x C D Lời giải Chọn B Ta có: x 2 x  82 x  x 2 x  26 3 x  x  x     x   x  6 Vậy tổng hai nghiệm phương trình 5 Câu (SGD Điện Biên - 2019) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình x 1 1   7 x  x 3 x12  x22 bằng: B A 17 C Lời giải D Chọn C x 1 1   7 x  x 3  x 1    x  x 3   x  1  x    x2  x   x2  x      x2  Vậy x12  x22  Câu x2 Tổng bình phương các nghiệm phương trình A B 1   5  x2 C Lời giải D Chọn B x2 Ta có 1   5  x2 x   53 x   x  x  x     x  x2 Vậy tổng bình phương các nghiệm phương trình Câu Nghiệm phương trình 27 x 1  82 x1 là A x  B x  3 1   5 C x  2  x2 D x  Lời giải Chọn C Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Khi đó TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x 1 8 x 1 2 x 1 2 3.(2 x 1) 2 x 1 2 x  x   x   x  2 2 Câu 10 (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Giải phương trình  2,5    5 A x  B x  C x  D x  Lời giải x 1 x7 Ta có  2,5  Câu 11 x 7 2   5 x 1 5   2 x 7 5    2  x 1  5x    x   x  (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Phương trình x 4 1   9 x 1 có hai nghiệm x1 , x2 Tính x1x2 A 6 B 5 Ta có x 4 1   9 D 2 C Lời giải x 1  x2    x  x2  x   Áp dụng Vi-ét suy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thì x1x2  6 Câu 12 (Sở Quảng Nam - 2018) Tổng các nghiệm phương trình x A B 5 C Lời giải 2 2 x  82  x D 6  23 2 x   x  x   x  x  x   b Do đó tổng các nghiệm phương trình là: S    5 a Phương trình đã cho tương đương: x 2 x x Câu 13 (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Tập nghiệm phương trình  2 A 0;   3  1 B 0;   2 x  x2 1    là 2  3 D 0;   2 C 0; 2 Lời giải Ta có Câu 14 x  x2 x  x 1 x  x2 x 2   2 x  x   x  2 x  x      2 x  2   (THPT Hải An - Hải Phòng - 2018) Tìm nghiệm phương trình  A x  B x  1  log  C x   D x   x1  2 2  3 25  15 Lời giải Ta có 7  3 x1   2  22  x   2  1  x   1  x  3  x   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Tính tổng S  x1  x2 biết x1 , x2 là các giá trị thực thỏa mãn đẳng thức x  x 1 1   4 x 3 A S  5 Ta có x  x 1 B S  1   4 C S  Lời giải D S  x 3  2x  x 1   2 2  x    x  x   2 x   x  1  x2  x      S  x1  x2   x2  Câu 16 (Chuyên Hùng Vương - Bình Dương - 2018) Tập nghiệm S phương trình x 4 7     7 4 x1  16  là 49 1    A S     1   2  C S    ; B S  2 1  ;2   D S    Lời giải Ta có       x x1       x1 x       x x1       x1 16       49    16 0 49 2 7      Câu 17 16       49   16   1      x 1  2  x   49   (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Nội - 2018) Tích các nghiệm phương trình  52  x 1   52  x 1 x 1 là B 4 A 2 C D Lời giải Chọn A ĐKXĐ : x  1 Vì  52     nên    2  Khi đó phương trình đã cho tương đương  x 1  52   1 52  x 1   52   x 1 x 1 x  x 1 x  (thỏa điều kiện)   x  2 Suy tích hai nghiệm là 2 Câu 18 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Giải phương trình 42 x 3  84 x A x  B x  C x  D x  Lời giải Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x 3 8 4 x 2 x 6 12  x 2  x   12  x  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 19 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ + GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM DẠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Dạng 1.1 Phương pháp đưa cùng số + Nếu a  0, a  1: log a x  b  x  a b 1 + Nếu a  0, a  1: log a f  x   log a g  x   f  x   g  x   2 g x + Nếu a  0, a  1: log a f  x   g  x   f  x   a   (mũ hóa)  3  Các bước giải phương trình & bất phương trình mũ – logarit Bước Đặt điều kiện (điều kiện đại số  điều kiện loga), ta cần chú ý: log  f  x   0  a   a  log a b   và  b   log a  f  x   ĐK  f  x  mũ lẻ ĐK Câu ĐK  f  x  mũ chẵn Bước Dùng các công thức và biến đổi đưa các trên, giải Bước So với điều kiện và kết luận nghiệm (Mã 110 2017) Tìm tập nghiệm S phương trình log  x  1  log  x  1   A S  3  B S   5;  C S      13  D S       Lời giải Chọn C  x 1  Điều kiện   x  (*) x 1  Phương trình  2log2  x 1  log2  x  1   2log2  x 1  log2  x  1  log2 2  log  x  1  log   x  1   x2  2x   x   x    L  x2  4x 1    Vậy tập nghiệm phương trình S    x    Câu (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Số nghiệm  phương trình log3  x  x   log  x  3  là A B C Lời giải D Viết lại phương trình ta Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x  2 x    log3  x  x   log3  x  3     x  x 1  x  4x  2x     x  3 Câu (Đề Tham Khảo 2018) Tổng giá trị tất các nghiệm phương trình log x.log x.log 27 x.log 81 x  80 82 A B C D 9 Lời giải Chọn D Điều kiện x  Phương trình đã cho tương đương với x   log x  1 log log x log x log x   (log x)  16    x   log x  2  Câu Nghiệm phương trình log x  log x  log là A x  B x  3 C x  D x  Lời giải Điều kiện: x  1 Ta có: log x  log x  log  log x  log x   log 2  2log x  log x  log   3log x  log   log x3  log   log  3x3    3x3   x  So với điều kiện, nghiệm phương trình là x  Câu (THPT Lê trình log  x  1  log  x Quý Dôn A 2 Dà Nẵng 3 3 2019) Gọi S là tập nghiệm phương    Số phần tử tập S là B C Lời giải D ĐK: x  1 log  x  1  log  x2      x  1   x  0(TM ) x2    x  4( L) Vậy tập nghiệm có phần tử Câu (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số nghiệm thục 3log  x  1  log  x    là A B C D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ phương trình TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B Điều kiện: x  3log  x  1  log  x     3log3  x  1  3log3  x  5  3  log3  x  1  log  x  5   log3  x  1 x  5     x  1 x     x2  6x    x   Đối chiếu điều kiện suy phương trình có nghiệm x   Câu (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tổng các nghiệm phương trình log  x    log3  x   thức Q  a.b A  là S  a  b (với a , b là các số nguyên) Giá trị biểu B C Lời giải D Chọn D Điều kiện:  x  Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương log  x    2log x    log3  x   x     x   x    x   x     x2  x   x       x   x    1  x  x   x  So lại điều kiện, ta nhận hai nghiệm x1   2; x2  Ta được: S  x1  x2    a  6; b  Vậy Q  a.b  Câu (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Tổng tất các nghiệm phương trình log  x  1  log x  là A B 1 C Lời giải D 2 Chọn A Điều kiện: x   x  1(N) Phương trình tương đương log  x  1 x     x  1 x   x  x      x  2(L) Vậy tổng các nghiệm phương trình Câu log  x  x  1  log x  log x C D Lời giải Tổng tất các nghiệm thực phương trình A B Chọn C log  x  x  1  log x  log x điều kiện x    8x   log  x  x  1  log    4x  Phương trình  log  x  x  1  log  2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x2  4x 1   x  1  x  Nghiệm x  1 loại, x  thỏa mãn Suy tổng các nghiệm là Câu 10 Gọi S là tập nghiệm phương trình log  x    log  x    trên  Tổng các phần tử S A  C B  D  Lời giải Chọn D x  Điều kiện:  x  2 2 log  x    log  x     log  x    log  x    2  log  x   x  3     x  x    22  x  x   1 2 x2  8x     x  x    x  x        x   +) 1    x   (l ) +)    x     S  2;  Vậy tổng các nghiệm S là:     Câu 11 (SGD Nam Định 2019) log x  x   log x2  A 10 Tổng tất các nghiệm phương trình log  x  3 81 B 10 C Lời giải D Chọn A Điều kiện: x  log x  x   log x2   log  x  3 81 1 log3  x  x    log  x     log3  x  3 2  log3  x  x    log3  x    log3  x  3   log3  x     x    x  10 (do điều kiện) Câu 12 (SGD Gia Lai 2019) Cho hai số thực dương x , y thỏa mãn log  x  y    log xy Mệnh đề nào đây đúng? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A x  y B x  y C x  y D x  y Lời giải Chọn A Với x , y  ta có: log  x  y    log xy  log  x  y   log 2 xy  x  y  xy  x y Câu 13 Biết phương trình log  x  x  1  log có hai nghiệm thực x1 , x2 Tích x1.x2 bằng: A 8 B 2 D C Lời giải Chọn B Ta có: log  x  x  1  log  log  x  x  1  log  x  x     x     x  x    * Phương trình * có a.c  2  nên luôn có nghiệm phân biệt Vậy x1.x2  2 Câu 14 (Chuyên Long An-2019) Tìm nghiệm phương trình 2log x  log  x  3  A x  B x  C x  Lời giải D x  16 Chọn A Điều kiện: x  log x  log  x  3   log x  log  x  3   log x  x  3   x  3x    x4   x  1 Kết hợp điều kiện, nghiệm phương trình là: x  Câu 15 (Chuyên - KHTN log3  x  1  log A - Hà Nội - 2019) Số nghiệm phương trình  x  1  là B C Lời giải D Chọn B Ta có log3  x  1  log  x  1  , điều kiện x  , x  2  log  x  1  log  x  1  log Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  log  x  1 x  1   log   x  3x  1   x  x   3  2 x  3x    x    x   Thử lại ta có nghiệm x  thỏa mãn Câu 16 (Sở Quảng Trị 2019) Số nghiệm phương trình log  x  x   log  x  3  là B A C D Lời giải Chọn D   x  4  x  x    x    x0 Điều kiện:  2 x     x   Ta có log  x  x   log  x  3   log  x  x   log3  x  3  x   log  x  x   log  x  3  x  x      x   x  3(l ) Câu 17 Biết nghiệm lớn phương trình log x  log  x  1  là x  a  b ( a, b là hai số nguyên ) Giá trị a  2b A B C D Lời giải Chọn A Điều kiện x  log x  log  x  1   2log x  log  x  1   log 2 x2   x2  x   2x 1 Nghiệm lớn phương trình là x    a  2, b   a  2b  Câu 18 Tính tổng tất các nghiệm thực phương trình log A  B  x    log3  x  4 C  Lời giải D Chọn A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x  Điều kiện:  x  Ta có: log  x    log3  x   2    x   x      x    nhan    x   x     x  6x       x    loai    x   x    1  x  x    x   nhan  Vậy tổng tất các nghiệm thực phương trình log Câu 19 Gọi S là tổng tất các nghiệm phương trình A S  10  x    log3  x     log x  log  x  10    log Tính S ? C S  10  B S  15 D S   Lời giải Chọn C x  Điều kiện phương trình:   x  10 log x  log  x  10    log  log x  log  x  10   log  2 Phương trình:  log  x  x  10     x  x  10   100  x  x  10   25   + Khi 10  x  : Phương trình     x  x  10   25  x  10 x  25   x  5  t/m  + Khi x  :  x  5   t/m  Phương trình    x  x  10   25  x  10 x  25     x  5   l    Vậy S  5  5   10  Câu 20 Cho phương trình log  x  1   log  x  log8   x  Tổng các nghiệm phương trình trên là B 4 A  C  Lời giải D  Chọn C  x  12    x  1 Điều kiện: 4  x      x   4  x   log  x  1   log  x  log8   x   log x   log  log   x   log   x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  log x   log 16  x   x   16  x   x  1  16  x  x  x  12     2   x  1   16  x   x  x  20  x   x  6   x  22   x   So với điều kiện phương trình trình có nghiệp x  2; x   Vậy tổng các nghiệm là  2 Câu 21 Cho log x  log y  và log8 y  log x  Tìm giá trị biểu thức P  x  y A P  56 B P  16 C P  Lời giải D P  64 Chọn A Ta có: 1 log8 x  log y   log x  log y   log x  log y   3 x y  25  x y   25   215 1 Tương tự: log y  log x   y x  21   Lấy 1 nhân   x4 y  236  x2 y  218  3 Lấy 1 chia  2 y2   x  26 y   x Thay  4 vào  3 26 y  218  y  212   23   y  23  Thay y  vào   x  26.64   26   x  26  64 Do đó P  x  y  56 Câu 22 Cho a , b, x  0; a  b và b, x  thỏa mãn log x Khi đó biểu thức P  A P  a  2b  log x a  log b x 2a  3ab  b có giá trị bằng: (a  2b) B P  C P  16 15 D P  Lời giải Chọn A log x a  2b a  2b  log x a   log x  log x a  log x b log b x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  a  2b  ab  a  5ab  4b   a  ba  4b   a  4b (do a  b ) P 2a  3ab  b 32b  12b  b2   (a  2b)2 36b   Câu 23 Cho x   0;  , biết log2  sin x   log2  cos x   2 và log  sin x  cos x    log n  1  2 Giá trị n A B C D 2 Lời giải Chọn D   Ta có sin x  ; cos x  , x   0;   2 Theo bài log2  sin x   log2  cos x   2  log  sin x.cos x   2  sin x.cos x  Do đó log  sin x  cos x    log n  1 2  log  sin x  cos x   log n   log n   log  sin x  sin x.cos x  cos x   log n   log  log n  log n Câu 24 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Biết phương trình ln  x    ln  ln x  ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x2  x1  x2  Tính P  A B 64 x1 x2 C 64 D Lời giải x   Điều kiện   x   * x  2 Phương trình  ln  x    ln  ln x  ln 34  ln   x     ln  x.34      x  16  x.34  x  x1     thỏa mãn *   P  x  x2 64 4  x    81x    x2  16 Câu 25 (THPT Lê Xoay - 2018) Phương trình log 49 x  log  x  1  log7 log 3 có bao nhiêu nghiệm? A B C D Lời giải   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  Điều kiện  x  1 log 49 x  log  x  1  log log 3  log x  log x   log 2  x  x  1   x2  x   x   log x  x  1  log      x  x  1  2  x  1 x  x    Câu 26 (THPT Lương Văn log  x  1   log  Tụy - Ninh Bình - Phương 2018) trình A Vô nghiệm  x  log   x  có bao nhiêu nghiệm? B Một nghiệm C Hai nghiệm Lời giải D Ba nghiệm Điều kiện: 4  x  và x  1 Ta có log  x  1   log  x  log   x   log  x    log   x   x   x   x  6   x  1  16  x  x  x  12    x   16  x     x   x  x  20    x  1  x  16    x   Đối chiếu điều kiện, phương trình đã cho có hai nghiệm x  và x   Câu 27 (SGD&ĐT BRVT - 2018) Tổng giá trị tất các nghiệm phương trình log  x    log  x    log  A B C D 12 Lời giải  x  2 Điều kiện   * x  Ta có log  x    log x   log   log  x   x    log   x   x   x   x      x  2 x      thỏa mãn *  x   17   x       x    x     17  17   2 Định 2018) Cho Vậy tổng các nghiệm phương trình là  Câu 28 (Xuân  Trường  -  Nam phương trình  log x  x  log3 x  x   log x  x  Biết phương trình có nghiệm là 1 logb c a  a  logb c (với a , c là các số nguyên tố và a  c ) 2 Khi đó giá trị a  2b  3c bằng: A B C D và nghiệm còn lại có dạng x    Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải 1  x  Điều kiện   *  x  x       log x  x  log3 x  x   log x  x     log x  x  log x  x 1      log x  x        log x  x  log 6.log x  x   log x  x        log x  x   log 6.log x  x   1      log x  x     log 6.log x  x        2  x  x2    x2 1  x 1   2  x   x    x  1 1  x     log  x   x  x 1  x 1    x  log3  1  log x  x   log log  x  2log6  log6 x  x     x log6  2 log6   log6  log6 3 (thỏa mãn * )   Như phương trình đã cho có các nghiệm là x  , x  log6  log6 3   Khi đó a  , b  , c  Vậy a  2b  3c  Dạng 1.2 Phương pháp đặt ẩn phụ PP  đặt t  log a f  x   Loại P  log a f  x      Loại Sử dụng công thức a logb c  clogb a để đặt t  a logb x  t  xlogb a có hai nghiệm x1 , x2  x1  x2  Khi đó tổng x 21  x2 B C D Lời giải Câu 29 Phương trình log x  log x  A Chọn C Điều kiện phương trình: x  0, x   log x  x  5   log x    log x   log x       log x  log x 2 x   Suy x1  2, x2  log x  log x  Suy x 21  x2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 30 (SGD Gia Lai 2019) Số nghiệm phương trình log 22 x  8log x   là: A B C Lời giải D Chọn D Điều kiện: x  log 22 x  8log x    log 22 x  8log x    log x  1  x  TM  Câu 31 Tích tất các nghiệm phương trình log32 x  2log3 x   là B 7 A C Lời giải D Chọn A Điều kiện: x  Đặt t  log x , phương trình trở thành: t  2t   1 Do a.c  7  nên phương trình 1 có nghiệm t1; t2 phân biệt thỏa mãn t1  t2  Khi đó, các nghiệm phương trình ban đầu là: x1  3t1 ; x2  3t2  x1.x2  3t1.3t2  3t1 t2  32  Câu 32 (Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Tổng các nghiệm phương trình log 22 x  log 9.log x  là A B 17 C D 2 Lời giải Chọn B  log x  1  x   Ta có log x  log 9.log3 x   log x  log x       log x  x 8 17 Vậy S    2 2 Câu 33 2 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Biết phương trình log 22  x   5log x  có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 Tính x1 x2 A B C Lời giải D Chọn A Điều kiện x  Biến đổi phương trình đã cho phương trình sau: log 22 x  3log x   Do log x1 và log x2 là hai nghiệm phương trình t  3t   nên Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 log x1  log x2  , mà log x1  log x2  log  x1 x2  Suy log  x1.x2   nên x1 x2  Câu 34 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Biết phương trình log 22 x  log x   có nghiệm x1 , x2 Giá trị x1 x2 A 128 B 64 C Lời giải D 512 Chọn A + Điều kiện x    13  13   log x  x  2 + log 22 x  log x     (thỏa mãn điều kiện x  )   13   13   log x  x   Vậy x1 x2  Câu 35  13 .2  13  128 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho phương trình log 22  x   log  x   Nghiệm nhỏ phương trình thuộc khoảng A  0;1 B  3;5 C  5;9  D 1;3 Lời giải Chọn A Điều kiện: x  log 22  x   log  x    1  log  x    log  x    x  log  x    log 22  x      x  log  x   2  Nghiệm nhỏ là x    0;1 Câu 36 Gọi T là tổng các nghiệm phương trình log 21 x  5log x   Tính T A L  B T  5 C T  84 D T  Lời giải Chọn C Điều kiện: x  log 21 x  log x    log 32 x  5log x   x  log3 x    ( thỏa mãn) log3 x   x   81 Vậy T   81  84 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 37 (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Phương trình log 22 x  log x   có hai nghiệm x1 , x2 Tính tích x1 x2 B 36 A 32 C Lời giải D 16 Chọn A log x  x  log 22 x  5log x      Vậy tích x1.x2  32 log x   x2  16 Câu 38 (Chuyên ĐH Vinh 2019) Cho các số thực a, b thỏa mã  a  b và log a b  log b a  Tính giá trị biểu thức T  log ab A B a2  b C D Lời giải Chọn D Ta có log a b  log b a    log b a   log b a  log b a  a  b log 2b a  3log b a       log b a  a  b Vậy T  log ab ( L) (N )  b  a2 a2  b  log a3 a  nên đáp án D đúng Câu 39 Biết phương trình log 22 x  log  2018 x   2019  có hai nghiệm thực x1 , x2 Tích x1.x2 B 0,5 A log 2018 C D Lời giải Chọn D ĐKXĐ: x  log 22 x  log  2018 x   2019   log 22 x  log x  log 2018  2019  Đặt t  log x  x  2t , ta có t  t  log 2018  2019  * Gọi t1 , t2 là hai nghiệm * , ta có x1.x2  2t1 t2  21  Câu 40 Cho phương trình log 32  3x   log 32 x   Biết phương trình có nghiệm, tính tích P hai nghiệm đó B P  A P  C P  D P  Lời giải Chọn C Ta có log32  3x   log 32 x   ( điều kiện x  ) 2  1  log3 x    2log3 x    Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  t 2 Đặt log x  t ta có phương trình 1  t    2t     3t  2t     t  Với t   log x   x  Với t    2  log3 x    x  3  3 Vậy P   Câu 41 (THPT Ba Đình 2019) Biết phương trình log 32 x  log đó ab A B 81 x4 có hai nghiệm a và b Khi C Lời giải D 64 Đ/K: x  Phương trinh log 32 x  log x4  log 32 x  4.log x     x  32  Khi đó a.b  32  3.32    2  x  Câu 42  log x     log x    81 (Chuyên Quốc Học Huế -2019) Gọi T log 21 x  5log3 x   Tính T là tổng các nghiệm phương trình A T  B T  4 C T  84 Lời giải D T  ĐKXĐ: x  Ta có: log 21 x  5log3 x     log3 x  5log3 x    log x   x   log x   x  34   log32 x  5log3 x     Vậy T    84 Câu 43 (Cụm Trường Chuyên 2019) Cho phương trình log 22  x   log 2x  Nghiệm nhỏ phương trình thuộc khoảng nào sau đây? A 1; 3 B  ;  C  ;1 D  ; 5 Lời giải log 22  x   log  2x    1  log  x    2log  x    log 22  x   x  2 x   log  x       x   x   log  x   2   Vậy nghiệm nhỏ phương trình thuộc khoảng  ;1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 44 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tích tất các nghiệm phương trình log32 x  2log x   là A B 7 C D Lời giải Dễ thấy phương trình bậc hai: log3 x  2log3 x   luôn có nghiệm phân biệt Khi đó theo Vi-et, log x1  log x2   Câu 45 2  log ( x1.x2 )   x1.x2  (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho số thực dương a và b thỏa mãn log a  log b  và log a  log 3 b  Giá trị biểu thức P  ab  A 82 B 27 C 243 D 244 Lời giải 2 log a  log b  log a  a  27 log a  log3 b  Ta có:     b  log a  3log b  log b  log a  log 3 b  Nên P  ab   244 Câu 46 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Biết phương trình log 22 x  log x   có hai nghiệm x1 , x2 Giá trị x1.x2 A 128 B 64 C Lời giải D 512 Chọn A   13  13  log x  x   Đk: x  ; log 22 x  log x       13   13 x  2 log x    Vậy x1.x2  Câu 47  13 .2  13  27  128 (Mã 104 2017) Xét các số nguyên dương a , b cho phương trình a ln x  b ln x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình 5log x  b log x  a  có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2  x3 x4 Tính giá trị nhỏ S S  2a  3b A S  17 B S  30 C S  25 D S  33 Lời giải Chọn B Điều kiện x  , điều kiện phương trình có nghiệm phân biệt là b  20a Đặt t  ln x, u  log x đó ta at  bt   1 , 5t  bt  a    Ta thấy với nghiệm t thì có nghiệm x , u thì có x  b  b Ta có x1.x2  et1 et2  et1 t2  e a , x3 x4  10u1 u2  10 , lại có x1 x2  x3 x4  e  b a  10  b b b   ln10  a   a  ( a, b nguyên dương), suy b  60  b  a ln10 Vậy S  2a  3b  2.3  3.8  30 , suy S  30 đạt a  3, b   Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 48 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tích các nghiệm phương trình log x 125 x  log 225 x  630 A 630 B C D 125 625 125 Lời giải Điều kiện x  0; x  1  Ta có log x 125 x  log 225 x    log x 125  log x x   log x     3.log x  1 log 52 x  2  Đặt log5 x  t phương trình tương đương:  x5  log x   t 1 3  2    1 t   t  3t    t  4   log x  4   x t    625  Vậy tích các nghiệm phương trình là Câu 49 125 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tích các nghiệm phương trình log x 125 x  log 225 x  630 A 630 B C D 125 625 125 Lời giải Chọn B Điều kiện x  0; x  1  Ta có log x 125 x  log 225 x    log x 125  log x x   log x     3.log x  1 log 52 x  2  Đặt log5 x  t phương trình tương đương:  x5  log x   t 1 3  2    1 t   t  3t    t  4  log x  4   x t    625  Vậy tích các nghiệm phương trình là Câu 50 125 (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Xét phương trình  log x  1 log3 x    Mệnh đề nào sau đây đúng? A Phương trình trên vô nghiệm B Phương trình trên có nghiệm bé C Phương trình trên có nghiệm lớn và nghiệm bé D Phương trình trên có nghiệm Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  log x  1 log3 x  2  , điều kiện x0   log x  1 log 2.log x      log  log x     log  log x   1 Đặt t  log x Phương trình 1 trở thành:  log  t    log  t     Phương trình   có ac  nên luôn có hai nghiệm t1   t2 t t Suy x1   20  và x2  2   Vậy phương trình 1 có nghiệm lớn và nghiệm bé Câu 51 (Tham khảo 2018) Cho dãy số  un  thỏa mãn log u1   log u1  log u10  log u10 và un1  2un với n  Giá trị nhỏ n để u n  5100 A 247 B 248 C 229 Lời giải D 290 Chọn B Có u n1  2un  n u1 Xét log u1   log u1  log u10  log u10 (*) Đặt t  log u1  2log u10 , điều kiện t  2 Pt (*) trở thành t   t  t    t  1 t  t   Với t  1  log u1  log u10  1 (với log u10  log  29.u1   log  log u1 )  log u1   18log  u1  10118log Mặt khác u n  n1 u1  n1.10118log  n.5.10 18 log  5100  n  log  599.1018log   247,87 Vậy giá trị nhỏ n là 248 Câu 52 Cho a , b là các số dương thỏa mãn log a  log16 b  log12 A a 3  b B a  72 b C 5b  a a Tính giá trị b a 72 b D a 3  b Lời giải Chọn B + Đặt log a  log16 b  log12 5b  a t     a  9t   5.16t  9t t   12t  9t  2.12t  5.16t   b  16   5b  a  t   12    Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  t    1  2t t           2.      t          1 l     3 a 9t  t     1  b 16   2t + Câu 53    72 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hai số thực dương m, n thỏa mãn m m log    log n  log9  m  n  Tính giá trị biểu thức P  n 2 A P  B P  C P  D P  Lời giải Chọn B m t t  2 4 m      m Đặt t  log    log n  log  m  n   n  6t   n  6t 2   t t m  n  m  n     t    1VN  2t t t 3 2  2 2 t t t  2.4                  t  log t  3  3 3      t t log t m m  2.4 4  2 2 32   P             t n 6  3 3 n  Chọn Câu 54 B (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Giả sử p, q là các số thực dương thỏa mãn p q C  Lời giải log16 p  log 20 q  log 25  p  q  Tính giá trị A 1    B   D Chọn A  p  16t log16 p  t   log16 p  log 20 q  log 25  p  q   log 20 q  t  16t  20t  25t  q  20t log p  q  t  p  q  25t   25   t    1       t t 5  16           1    t 1   25         Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 t p   1  Suy     q 5 Câu 55 (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Tích các nghiệm phương trình log x 125 x  log 225 x  A 25 B 630 625 125 Lời giải D 630 C Điều kiện:  x  , ta có: log x 125 x  log 225 x   log 225 x  log 225 x.log x 125   log 225 x  log 25 x    x  log x     25   x  12 25  log 25 x  2 Vậy tích các nghiệm phương trình là: Câu 56 125 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2018) Tích tất các nghiệm phương trình log 22 x  log x   A 1 1 B C D Lời giải x  x    Điều kiện  x log x    x  Đặt t log x   t ,  t    log x  t  ta có phương trình  1  t   t  2t  t   t  t  2t  1   t  t  1  t  2t  1  t   t / m   t   t / m     t  1   t / m    t  1   loai   Với t  thì log x  1  x  21 Với t  thì log x   x  20 Với t  1 1  1 thì log x   x2 2 Vậy tích các nghiệm phương trình là 1 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 57 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi x , y các số thực dương thỏa mãn điều kiện x a  b  , với a, b là hai số nguyên dương Tính y log x  log y  log  x  y  và T  a2  b2 A T  26 B T  29 C T  20 Lời giải D T  25 Chọn A  x  9t  t  9t  6t  4t Đặt t  log x  log y  log  x  y  , ta có  y    x  y  4t   t 1    ( loai ) 2t t       t    1        1    t            1         x     1  Suy        y     t Mà t x a  b 1     a  1; b  y 2 Vậy T  a  b2  12  52  26 Câu 58 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho các số thực dương log a  log b  log9 4a  5b1 Đặt T  A  T  B a, b thỏa mãn b Khẳng định nào sau đây đúng? a C 2  T  T  Lời giải D  T  Chọn D a  4t  Giả sử: log a  log b  log  4a  5b    t  b  6t 4a  5b  9t 1  t t 2t t 4 6 2 2 Khi đó 4.4t  5.6t  9.9t                9 9 3 3   t     3   t    1   VN  t Vậy T  9  t  log    t  2 4 2 b 6 3  1          0;  a 4 2  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng 1.3 Phương pháp mũ hóa + Nếu a  0, a  1: log a f  x   g  x   f  x   a g  x  (mũ hóa) Câu 59 (Cần Thơ 2019) Tích tất các nghiệm phương trình log 12  x    x A B 32 C Lời giải D Chọn C Điều kiện 12  x  (*) 2 x  x  Khi đó log 12     x  12     12.2  32    x  x  2  Ta thấy hai nghiệm thoả mãn điều kiện (*) , và tích 2.3  x x 5 x 2x x Câu 60 Phương trình log  3.2 x   x  có nghiệm là x0 thì nghiệm x0 thuộc khoảng nào sau đây A 1;  B  2;  C  2;1 D  4;    Lời giải Chọn B Ta có log  3.2 x   x   3.2x  4x1  4x 12.2x   x  0,    x  log 12   2;   x   12   x Câu 61 Phương trình log4 3.2 1  x 1 có hai nghiệm x1 ; x2 Tính giá trị P  x1  x2  B 12 A   C log  D Lời giải Chọn D Điều kiện: 3.2 x    x  * log4  3.2x 1  x 1  3.2x 1  4x1  x 2   3.2x 1         log       log 2x    t/m *   x  log2    x  x  log  2    t/m *       Khi đó P  log   log  Câu 62 (Sở Bạc Liêu - 2018) Gọi   x1 , x2 (với  B   x1  x2 ) là nghiệm phương trình log3 32 x 1  3x 1   x đó giá trị biểu thức A  3x1  3x2 là: C  Lời giải D   log 32 x 1  3x 1   x  32 x1  3x1   3x  32 x  4.3x   Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x   3x   x  1 x  Do x1  x2 nên x1  0, x2  Ta đáp án A là đúng Câu 63 (Chuyên Thái Bình - 2018) Số nghiệm phương trình log5  x 3  x là: A B C D Lời giải Đk: x  3 Đặt t  log  x  3  x  5t  , phương trình đã cho trở thành t t  2 1             (1) 5 5 t t t t t t 2 1 Dễ thấy hàm số f  t        nghịch biến trên  và f 1  nên phương trình (1) có 5 5 nghiệm t  Với t  , ta có log  x  3   x  Vậy phương trình có nghiệm x  Câu 64 (Hồng Bàng - Hải Phòng - 2018) Phương trình log   x    x có hai ngiệm x1 , x2 Tính P  x1  x2  x1 x2 A 11 C Lời giải B D Điều kiện: x  log   x    x   x  22 x   x  2x  x     x x x  2   P  x1  x2  x1 x2  Câu 65 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho phương trình log  3.2 x  1  x  có hai nghiệm x1 , x2 Tổng x1  x2 là:   A log  C B D  Lời giải Chọn B log  3.2 x  1  x   3.2 x   x 1  Đặt t  x  t   PT  2  4x  3.2 x   1 t  3t     Giả sử nghiệm PT   là t1 , t2  t1 t2   x1 x2   x1  x2   x1  x2  Dạng 1.4 Phương pháp hàm số, đánh giá Thông thường ta vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau:  Nếu hàm số y  f  x  đơn điệu chiều trên D thì phương trình f  x   không quá nghiệm trên D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm nghiệm x  xo phương trình, rõ hàm đơn điệu chiều trên D (luôn đồng biến luôn nghịch biến trên D) và kết luận x  xo là nghiệm  Hàm số f  t  đơn điệu chiều trên khoảng  a; b  và tồn u; v   a; b  thì f  u   f  v   u  v "   Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f  t  Câu 66 (Đề tham khảo 2017) Hỏi phương trình x  x  ln  x  1   có bao nhiêu nghiệm phân biệt? A C Lời giải B D Chọn C Điều kiện: x  1 Phương trình đã cho tương đương với 3x  x  3ln  x  1   Xét hàm số y  3x  x  3ln  x  1  liên tục trên khoảng  1;   y   x  1  6x2   x 1 x 1 y   x    x   (thỏa điều kiện)   2 2 Vì f   y   nên đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm   , f    và xlim      phân biệt Câu 67 (Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa - 2018) Số nghiệm phương trình ln  x  1  A B C Lời giải Hàm số f  x   ln  x  1 luôn đồng biến trên khoảng 1;   D Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ là: x2 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Hàm số g  x   1 có g   x     , x  nên g  x  luôn nghịch biến trên x2  x  2 khoảng 1;  và  2;    Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm Câu 68 (THPT Nguyễn Trãi Đà Nẵng 2018) Giải phương log x.log x  x.log x   log x  3log x  x Ta có tổng tất các nghiệm A 35 B C 10 Lời giải trình D Điều kiện x  log x.log x  x.log x   log x  3log x  x   log x  x  3 log x  1  x    log x  x   Ta có hàm số f  x   log x  x liên tục và đồng biến trên  0;   và f    nên phương trình log x  x   có nghiệm x  Vậy tổng tất các nghiệm Câu 69 Tính tổng tất các nghiệm phương trình A S  log  x  3  log  x  1  x  x   x  B S  C S  1 D S   Lời giải Chọn B Điều kiện: x  1 Ta có: log  x  3  log  x  1  x  x   x   log x     x    log  x  1  x 2 Xét hàm số f  t   log t   t  1 trên khoảng  0;    1 ln  t     ln  ln t  t    2 f  t     t  1   t  t ln t ln t ln 2   Vậy hàm số f  t  đồng biến trên khoảng  0;   Suy  *  f   x   f  x  1  x   x   x  1  x  1     x   x  x  x     x  2  Vậy tổng các nghiệm phương trình Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 * NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 70 Biết phương trình log  x x 1   có nghiệm dạng x  a  b  log    x x  đó a , b là các số nguyên Tính 2a  b A B D C Lời giải Chọn B Điều kiện:  x0   x       x   x     x     x x   Ta có: log  x 1 x 1  log    log x   log x  log  x 1  log x  x  x         log x   log x  log x  log  x 1  * Xét hàm số: f t   log5 t 1  2log t  trên 2; Ta có: f 't     với t  2;  t 1 ln t.ln Suy f t  đồng biến trên 2;  x  1 Từ đó ta có *  f x  f  x 1  x  x 1  x  x 1     x   Vậy x    x   2  a  3, b    Câu 71 Số nghiệm thực phương trình A x2 1   log x  x   x log  3x  B C Lời giải D Chọn B Đk: x  Ta có x  x   1, x  đó x 1    log x  x2   0, x   2 x2 1 log x  x    Với  x  thì  , đó phương trình đã cho vô nghiệm 4 x log  3x   Với x  x2 1   log x  x   x log  3x   x  x2 1   log x  x2   23 x log  3x  (*) Xét hàm số f  t   2t log t , với t    Có f   t   2t   ln log t   f   t   , t  1;    t ln   Suy hàm số đồng biến trên khoảng 1;   Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   Do đó (*)  f x  x   f  x   x  x   3x  x  1   ;  3   Vậy phương trình đã cho có nghiệm thực Câu 72 2x 1   log  x    x   log  1    x  , x  x gọi S là tổng tất các nghiệm nó Khi đó, giá trị S là (Bắc Ninh - 2018) Cho phương trình B S  A S  2  13 D S  C S   13 Lời giải  2  x    Điều kiện  x  Xét hàm số f  t   log t   t  1 , t  ln 2.t  ln 2.t    t  1   , t  , đó hàm số f  t  đồng biến t ln t.ln trên khoảng  0;   Ta có f   t   Mặt khác ta có: 2x 1   log  x    x   log  1    x  2 x  x  log x      1   x    log         1 x   x    2 1  x  f 2  x   x2  2 x  x  2x  4x 1   f     x  1   13   x    x   13   x  1  13 Kết hợp với điều kiện ta  Vậy S   x   13  Câu 73 (Toán Học Và Tuổi Trẻ - 2018) Biết x1 , x2 là hai nghiệm phương trình  x2  4x   log    x   x và x 1 x2  a  b với a , b là hai số nguyên dương 2x   Tính a  b A a  b  16 B a  b  11 C a  b  14 D a  b  13   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải x   Điều kiện   x    x  1   x2  x   Ta có log    4x2  4x   2x   x   x  log   x x     2  log  x  1   x  1  log x  x 1 Xét hàm số f  t   log t  t  f   t     với t  t ln Vậy hàm số đồng biến Câu 74  3 x   f  x    x  1  x    3 x   Phương trình 1 trở thành f  x 1  9   Vậy x1  x2   9     a  9; b   a  b    14 l   tm  (Chuyên Hoàng Văn Thụ - Hòa Bình - 2018) Số nghiệm phương trình x2  x  ln  x    2018 là A B C Lời giải D x2  x  ln  x   với x  ;   2;  2x x2  Ta có f   x   x   ; f   x     0, x  ;   x 2  x2  2  Xét hàm số f  x         2;  2x đồng biến trên khoảng ;  và 2;  x 2  1   và f   3 f   2     nên f   x  có đúng Nên suy hàm số f   x   x        nghiệm a   ;   và đúng nghiệm b   Mặ khác f    f      2;  Ta có bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên suy phương trình f  x   2018 có bốn nghiệm phân biệt Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 75 (THPT Lê Xoay - 2018) Số nghiệm phương trình sin x  cos x   log  sin x  trên   khoảng  0;  là:  2 A C B D Lời giải   Vì sin x  và cos x  , x   0;  nên phương trình đã cho tương đương  2 sin x  cos x  log  cos x    log  sin x   log  cos x   log  cos x   cos x  log  sin x   sin x  * Xét hàm số f  t   log t  t , với t   0;1 ta có f   t     0, t   0;1 t ln Do đó, hàm số f  t  đồng biến trên khoảng  0;1 Từ phương trình * , ta có f  cos x   f  sin x   cos x  sin x  sin x  Câu 76 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018)  hay x  Phương trình log3  x  x  3  x  x   log  x  1 có số nghiệm là T và tổng các nghiệm là S Khi đó T  S A 2 B D C Lời giải  x2  x    x  * Điều kiện  x 1  * Ta có x  là nghiệm phương trình  x2  2x   * Khi x  , phương trình đã cho viết lại log     x  x   *  x 1  * Phương trình * có vế trái là hàm đồng biến và vế phải là hàm nghịch biến x  suy x  là nghiệm phương trình đã cho * Vậy T  S  Câu 77 (THPT Nguyễn Tất Thành - Yên Bái - 2018) Biết x1 , x2  x1  x2  là hai nghiệm phương  x2  x   trình log    x   x và x1  3x2  a  b 2x   dương Tính a  b A a  b  14 B a  b  16 C a  b  17   với a , b là các số nguyên D a  b  15 Lời giải  x  1  x2  x  x  0 0  2x 2x  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x2  x   2 log    x   x  log  x  1   x  1  log x  x 2x   Xét hàm f  t   log t  t  t   Ta có f   t     0t  , f  t   log t  t  t   là hàm đồng biến suy t ln 2 log  x  1   x  1  log x  x   x  1  x  x  x    x  x    3  x2    3  x1   x1  3x2  Câu 78 12    (THPT Lương Văn Can - 2018) Cho biết phương trình log5  x x 1   log    có x  2 x nghiệm x  a  b Hỏi m thuộc khoảng nào đây để hàm số y  mx  a  có xm giá trị lớn trên đoạn 1; 2 2 A m   7;  B m   6;  C m   2;  D m   4;  Lời giải + Điều kiện: x  Ta có: log5  x x 1  x 1 x 1  log  log     log x x x  2 x   log   x  1  log  x    log x   log x  log  x  1  log x  2  log  x   log  x  1 (*) Xét hàm số f  t   log t  log3  t  1 , với t  có f   t     0, t  t.ln  t  1 ln nên f  t  đồng biến đó (*)  x  x   x   (vì x  )  x   2 Vậy a  + Với a  , ta xét hàm số y  mx  xm TXĐ: D   \ m y' m   x  m  đó hàm số luôn nghịch biến m  1; 2 Khi đó hàm số có giá trị lớn trên đoạn 1; 2 2    y 1  2 Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 m  1; 2    m 1  m   2  1  m DẠNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 2.1 Phương pháp đưa cùng số + Nếu a  0, a  thì a f  x   a g  x   f  x   g  x  + Nếu a chứa ẩn thì a f  x a   a g  x    a  1  f  x   g  x       f  x  g  x + a f  x   b g  x   log a a f  x   log a b g  x   f  x   log a b.g  x  (logarit hóa) x  x 3 Câu 1 (Chuyên Bắc Giang 2019) Nghiệm phương trình    x 1 là 5 A x  1; x  B x  1; x  2 C x  1; x  D Vô nghiệm Lời giải Chọn A Ta có: x2  x 3  x  1  x 1   x  x   x    x  x      x2 Vậy nghiệm phương trình là x  1; x  1   5  x 1  5 ( x  x 3) x  x 3 Câu 1 Tập nghiệm phương trình   7 A 1 B 1; 2  x 1 là C 1; 4 D 2 Lời giải Chọn B 1 Ta có:   7 x  x 3  x 1   x  x 3  x 1   x  x   x   x  1  x2  x     x  Câu Tổng các nghiệm phương trình x A 6 B 5 2 x  82 x C D Lời giải Chọn B Ta có: x 2 x  82 x  x 2 x  26 3 x  x  x     x   x  6 Vậy tổng hai nghiệm phương trình 5 Câu (SGD Điện Biên - 2019) Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình x 1 1   7 x  x 3 Khi đó x12  x22 bằng: A 17 B C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn C x 1 1   7 x  x 3  x 1    x  x 3   x  1  x   x2  2x   x2  x      x2  Vậy x12  x22  Câu 1   5 x2 Tổng bình phương các nghiệm phương trình A B  x2 C Lời giải D Chọn B x2 Ta có 1   5  x2 x   53 x   x  x  x     x  x2 Vậy tổng bình phương các nghiệm phương trình Câu Nghiệm phương trình 27 x 1  82 x1 là A x  B x  3 1   5  x2 C x  2 D x  Lời giải Chọn C 27 x 1  82 x 1  27 x 1  3.(2 x1)  27 x 1  26 x  x   x   x  2 Câu 2 (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Giải phương trình  2,5    5 A x  B x  C x  D x  Lời giải Ta có  2,5  Câu x 7 2   5 x 1 5   2 x 7 5    2  5x    x   x  (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Phương trình A 6 Ta có B 5 x 4 1   9  x 1 x 4 1   9 nghiệm x1 , x2 Tính x1x2 D 2 C Lời giải x 1  x2    x  x2  x   Áp dụng Vi-ét suy phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thì x1x2  6 Câu x 1 x7 (Sở Quảng Nam - 2018) Tổng các nghiệm phương trình x A B 5 C Lời giải 2 x  82  x D 6 Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x 1 có hai TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  23 2 x   x  x   x  x  x   b Do đó tổng các nghiệm phương trình là: S    5 a Phương trình đã cho tương đương: x 2 x x 1 Câu 10 (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Tập nghiệm phương trình    là 2  2  1  3 A 0;  B 0;  C 0; 2 D 0;   3  2  2 x  x2 Lời giải Ta có Câu 11 x  x 1 x  x2 x 2   2 x  x   x  2 x  x      2 x  2  x  x2 (THPT Kim Liên - Hà Nội - 2018) Tính tổng S  x1  x2 biết x1 , x2 là các giá trị thực thỏa x 3 mãn đẳng thức x  x 1 A S  5 Ta có x  x 1 1   4 1   4 B S  C S  Lời giải D S  x 3  2x  x 1   2 2  x    x  x   2 x   x  1  x2  x      S  x1  x2   x2  Câu 12 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Nội - 2018) Tích các nghiệm phương trình  52  x 1   52  x 1 x 1 là B 4 A 2 C D Lời giải Chọn A ĐKXĐ : x  1 Vì  52     nên    2  Khi đó phương trình đã cho tương đương  x 1  52   1 52  x 1   52   x 1 x 1 x  x 1 x   (thỏa điều kiện)  x  2 Suy tích hai nghiệm là 2 Câu 13 (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Giải phương trình 42 x 3  84 x A x  B x  C x  D x  Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 42 x 3  84 x  24 x 6  2123 x  x   12  x  x  28 Câu 14 x4 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho phương trình  16 x đúng: A Nghiệm phương trình là các số vô tỷ B Tổng các nghiệm phương trình là số nguyên C Tích các nghiệm phương trình là số âm D Phương trình vô nghiệm Lời giải Chọn C 28 x4  16 x 1 2 28 x4  24 x 4 1 Khẳng định nào sau đây là 28 x   x  1   x  TM  28 28 2 TH1: Nếu x   PT 1 : x   4x   4x  x 8    x    L 3   x   L 28 28 2 TH1: Nếu x   PT 1 :  x   x   x  x0  x   TM  3    Phương trình có tập nghiệm S    ;3   Dạng 2.2 Phương pháp đặt ẩn phụ   PP  Loại P a f  x     đặt t  a  Loại  a f  x     a.b  f  x  λ.b f  x f  x  , t 0 PP   Chia hai vế cho b f  x  a , đặt t    b f  x 0 (chia cho số lớn nhỏ nhất) PP  đặt t  a f  x  b f  x    Loại a f  x   b f  x   c với a.b   t  a f  x  a g  x  u  a f  x   f x g x PP  đặt   Loại  a     a f  x    a    b   g x v  a    a g  x  Câu 15 (Mã 123 2017) Cho phương trình x  x 1   Khi đặt t  x ta phương trình nào sau đây A 2t  3t  B 4t   C t  t   Lời giải D t  2t   Chọn D Phương trình  x  2.2 x   Câu 16 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Tập nghiệm phương trình 2 5x 4 x 3  5x 7 x 6  52 x A 1; 1;3 3 x 9  là B 1;1;3;6 C 6; 1;1;3 D 1;3 Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải 5x  x 3  5x 7 x 6  52 x 3 x 9   5x 4 x3  5x 7 x x 5   x 3  x  x     a  x  x  Đặt  , ta phương trình: b  x  x  a b 5 5 ab 5a  a       5   1  1      b b  5  a b a b a b x 1 x  x  4x   Khi đó    x   x  x      x  6 Tập nghiệm phương trình là 6; 1;1;3 Câu 17 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Phương trình x  x  2 x1 có bao nhiêu nghiệm âm? A B C D Lời giải 2x x 3 Phương trình x  x  2 x 1  x  x  2.4 x          2 2 x t  1 (L)  3 Đặt    t với t  , phương trình  trở thành t  t     2 t  x 3 Với t       x  log  2 Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm Câu 18 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Tổng các nghiệm phương trình x  6.2 x   A B C D Lời giải  x  log  2x   x x x x  6.2       6.2      x  x  log          Vậy tổng hai nghiệm phương trình        là log   log   log      log 2    Câu 19 (Cụm Trường Chuyên 2019) Tổng các nghiệm phương trình x 1  31 x  10 là A B C  D Lời giải Ta có: x 1  31 x  10  3.3 x  x  10 t  3 Đặt t  x  t   , phương trình trở thành: 3t   10  3t  10t     t  t  x Với t  ta có   x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 ta có x   3x  31  x  1 3 Vậy tổng các nghiệm phương trình là:   Với t  x  Câu 20 Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình  B A x    Ta có:    x   2  3 x  Khi đó x12  x22 C Lời giải   x D   Đặt t   , t     x  t Phương trình trở thành: t    t  4t    t   t    2  3 x Với t     Với t      x  x  x  2  2   2  3 1  x  1 Vậy x12  x22  Câu 21 (Đề Thi Công Bằng KHTN 2019) Tổng tất các nghiệm phương trình 2.4 x  9.2 x   A B 1 C D Lời giải Phương trình: 2.4 x  9.2 x   (1) có TXĐ: D   Đặt t  x ( t  0) Khi đó pt( 1) trở thành: t  4(tm) 2t  9t    (t  4)(2t  1)    t  (tm)  x x Với t       x  1 Với t   x   x  21  x  1 2 Phương trình có tập nghiệm là: S  {2; 1} Vậy tổng tất các nghiệm pt (1) là Câu 22 (THPT Nghĩa Hưng NĐ 2019) Phương trình 62 x1  5.6x1   có hai nghiệm x1 , x2 Khi đó tổng hai nghiệm x1  x2 là A x 1 B  5.6 x 1 C Lời giải D x 6 x1  62 x 5.6 2x x 1        5.6     x 6 6   x1.6 x2  3.2  x1  x2   x1  x2  Câu 23 Cho phương trình 25 x  20.5 x1   Khi đặt t  x , ta phương trình nào sau đây 20 A t   B t  4t   C t  20t   D t    t Lời giải Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: 25 x  20.5 x1     x   20 5x     x   4.5 x   Đặt t  x , t  Khi đó phương trình trở thành: t  4t   Câu 24 (Sở Bình Phước -2019) Tập nghiệm phương trình x  4.3 x   là A 0;1 B 1 C 0 D 1;3 Lời giải Chọn A  3x  3x  30 x  Ta có: x  4.3 x     x   x x   3  3  Câu 25 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Số nghiệm thực phương trình x 1  x    là: A B C D Lời giải pt  Câu 26  16.2 x 1  x 1  8  17 4 0    x   log 8  x 1   8  17   (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm phương trình 32 x  32 x  30 là A S  3;  B S  1 C S  1;  1 D S  3;1  3 Lời giải Chọn C 2 x Câu 27 x 1 2 x 3 3 x   30  3.3  10.3     x  x  1 3   2x x (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hàm số f  x   x.5x Tổng các nghiệm phương trình 25x  f '  x   x.5x.ln   là A 2 B C 1 lời giải: D Chọn B Ta có f  x   x.5x  f '  x   5x  x.5x.ln Nên 25x  f '  x   x.5x.ln    25x  5x   Đặt t  5x  t   t  Ta phương trình t  t      5x   x  t   l    Câu 28 (Chuyên KHTN 2019) Tổng tất các nghiệm phương trình 32 x  2.3x2  27  A B 18 C D 27 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489     3x    x1  log3  32 x  2.3x   27    3x   18.3x  27     x 3    x2  log   Vậy tổng tất các nghiệm phương trình đã cho là: x1  x2  log   log   log      log 27     Câu 29       (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Phương trình x  x  2 x1 có bao nhiêu nghiệm âm? A B C D Lời giải Ta có: x  x  2 x1   x    1 L  2x x 2 3 3 x x x    2.4            x 2 2       x  log Vậy phương trình đã cho không có nghiệm âm Câu 30 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Phương trình tích các nghiệm là? A Đặt t    B x 1 (t > 0)   C 1 Lời giải  x 1   x   1   x   2  có D 1 t Phương trình đã cho trở thành t  2 0 t  t2  2 t 1  t    t  1  Với t     Với t  1    x     x  1   x   1   x  Vậy tích nghiệm phương trình đã cho là  Câu 31 (Chuyên Bắc Giang 2019) Gọi x1 ; x2 là nghiệm phương trình x x x1  x2 A B C D Lờigiải Chọn D Đặt x x  t (t  0) Phương trình tương đương với t  t  2t     t  3 Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  2x  x 1  Tính TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x   x1  x2  Vì t   t   x  x    x 1 Câu 32 (HSG Bắc Ninh 2019) Giải phương trình: 41 x  41 x   2 x  2 x   Lời giải 1 x 1 x 4  22 2 x 2 2 x 8  1 x 1 x 4   21 x  21 x   Đặt t  21 x  21 x  t  41 x  41 x  Phương trình trở thành: 1  x   x x   21 x  21 x   21 x  21 x  x t   t  4t     1 x 1 x   2x    ( VN )   x    2.2    x  log  t    2x     Câu 33 Tính tổng tất các nghiệm phương trình 32 x8  4.3x5  27  ? A B 5 C 27 Lời giải Chọn B Ta có: 32 x8  4.3x 5  27    x  4 D  27  12.3x 4  27  t  Đặt t  3x 4  t   ta phương trình t  12t  27    t  3x    x  3 từ đó ta có  x    x  2 3  Vậy tổng các nghiệm phương trình đã cho là -5 Câu 34 Tổng tất các nghiệm phương trình 32 x  2.3 x2  27  A B 18 C Lời giải Chọn C Ta có:  2.3 2x x  27   3  x D 27    x  log   3x     18.3  27     x  x  log  3    x   Vậy tổng các nghiệm là        log   log   log    log 27  Câu 35 (Hội trường chuyên ĐBSH 2019) Tổng các nghiệm phương trình 3x1  31 x  10 là A B C 1 D Lời giải Chọn D Cách 1: Ta có 3x 1  31 x  10  3.3x   10 3x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39  NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 t  Đặt t  3x , t  phương trình trở thành 3t  10t     t   Với t  ta có 3x   x  Với t  Câu 36 1 ta có 3x   x  1 3 (SGD Điện Biên - 2019) Tích tất các nghiệm phương trình 3x  34 x  30 A B C D 27 Lời giải Chọn A 3x  34 x  30  3x  81  30 3x Đặt t  3x  t   , phương trình đã cho trở thành: 81  30  t  30t  81  t t  27  3x  27  x   x t     x  t Vậy tích tất các nghiệm phương trình là 1.3  Câu 37 (Thi thử hội trường chuyên 2019) Kí hiệu x1 , x2 là hai nghiệm thực phương trình 4x x  2x  x 1  Giá trị x1  x2 A B C Lời giải D Chọn D Ta có x Đặt x 2 x x  2x  x 1    2x x   2.2 x x 3  t  3  t  ta được: t  2t     t  x Vì t  nên nhận t  Suy x x  x 1 1  x2  x     x1   x1  Như    x2   x2  Vậy x1  x2  Câu 38 (Đại học Hồng Đức 2019) Cho phương trình  sin x 74    74  sin x nghiệm phương trình  2 ; 2  A 3 B  C D  Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  Tổng các TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn C  sin x 74    Đặt t    74  sin x    2  sin x   2  sin x  sin x , t  Khi đó phương trình đã cho trở thành t   t    t  4t     t t   Với t    sin x   x    3  k  k 2   x   ; x 2 ;2   2 Với t    sin x  1  x         3  k  k 2   x   ;  x 2 ;2   2 Vậy tổng các nghiệm Câu 39 (Xuân Trường - Nam Định - 2018) Gọi a là nghiệm phương trình 4.22log x  6log x  18.32log x  Khẳng định nào sau đây đúng đánh giá a ? A  a  10   2 B a là nghiệm phương trình   3 log x  C a  a   D a  102 Lời giải Điều kiện x  2log x Chia hai vế phương trình cho 3 Đặt t    2  3 ta    2 2log x 3   2 log x  18  log x , t   t Ta có 4t  t  18     t   L    Với t  3   2 log x   log x   x  100 Vậy a  100  102 Câu 40 (THPT Lục Ngạn - 2018) Nghiệm phương trình 25x    x  5x  x   nằm khoảng nào sau đây? A  5;10  B  0;  C 1;3 D  0;1 Lời giải x Đặt t  , t  t  1 L  Phương trình trở thành: t    x  t  x     t  2 x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Với t  2 x  ta có : 5x  2 x   x  x   Phương trình có nghiệm x  Với x  : x  x      5x  x    phương trình vô nghiệm Với x  : 5x  x      x  x    phương trình vô nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x    0;  Câu 41 (THPT Chu Văn An -Thái Nguyên - 2018) Số nghiệm nguyên không âm bất phương trình 15.2 x 1   x   x 1 bao nhiêu? A B C D Lời giải Với x  thì 15.2 x 1   x   x 1  30.2 x   3.2 x  (1) Đặt t  x  thì 1  30t   3t   30t    3t  1  9t  36t    t    x   x  0;1; 2 Câu 42 3x x (Toán Học Tuổi Trẻ Số 6) Cho phương trình 8x 1   0,5  3.2 x 3  125  24  0,5  Khi , phương trình đã cho trở thành phương trình nào đây? 2x A 8t  3t  12  B 8t  3t  t  10  C 8t  125  D 8t  t  36  Lời giải 1 3x x Ta có 8x 1   0,5   3.2 x 3  125  24  0,5   8.23 x  x  24.2 x  24 x  125  2       23 x  x   24  x  x   125      1 Đặt t  x  x  t   Khi đó ta có 23 x  x  t  3t 2 đặt t  x  Phương trình trở thành  t  3t   24t  125   8t  125  Câu 43 (THPT Bình Giang - Hải Dương - 2018) Gọi S là tập nghiệm của phương trình: 4x 3x   4x  6x 5  42x A 1; 2  3x   Khi đó S là C 1; 2; 1; 5 B 1; 2; 1 D  Lời giải Nhận xét: Ta có ( x  3x  2)  ( x +6x  5)  x +3x  đó x +3x   4x 2  6x  )  (1  4x .4 x  3x  2 +6x  Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau: (4 x 3x   42 x  3x  )  (1  4x  6x  )   4x  3x  (1  4x  6x  )  (1  4x  6x  )(4x 3x   x 6x 5   x  6x    1)      x 3x    x  3x   Vậy S  1; 2; 1; 5 Dạng 2.3 Phương pháp logarit hóa Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng 1: Phương trình: a f  x 0  a  1, b  b  f  x   log a b Dạng 2: Phương trình: a f  x   b g  x   log a a f  x   log a b f  x   f  x   g  x  log a b log b a f  x   log b b g  x   f  x  log b a  g  x  Câu 44 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh 2019) Số giao điểm các đồ thị hàm số y  3x 1 và y  là C Lời giải B A D Chọn C Số giao điểm hai đồ thị hàm số y  3x 3x 1 +) 1 và y  số nghiệm phương trình 5 x2 1   x2   log3  x2  log3   x   log3  +) Vậy số giao điểm hai đồ thị hàm số y  3x Câu 45 1 và y  (Sở GD Nam Định - 2019) Tính tích các nghiệm thực phương trình x A 3log B  log2 54 C 1 1  32 x3 D 1 log2 Lời giải Chọn B PT  log 2 x 1  log 32 x 3  x    x  3 log  x  x.log   3log  Do  1  3log 3  nên phương trình luôn có nghiệm thực phân biệt x1 , x2 Theo Vi-ét ta có x1 x2  1  3log   log 2  log 27   log 54 Câu 46 Cho hai số thực a  1, b  Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình a x b x 1  Trong  x x  trường hợp biểu thức S     x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất, mệnh đề nào sau đây là  x1  x2  đúng? A a  b B a.b  C a.b  D a  b Lời giải Chọn D Ta có: a x b x 1   x  x logb a   Nhận thấy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu Theo Vi-et: x1  x2   logb a ; x1.x2  1  x x  Khi đó: S     x1  x2  log 2a b  log a b  x1  x2  4 2t  Đặt log a b  t , t  ( Vì a  1, b  ), S  t  ; S   2t   ; S   t  t t t2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy biểu thức S đạt giá trị nhỏ t  hay log a b    a  b Câu 47 (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Cho x , y , z là các số thực thỏa mãn x  y  6 z Giá trị biểu thức M  xy  yz  xz là: A B C Lời giải D Đặt x  y  6 z  t với t  2 x  t  x  log t  y   3  t   y  log t 6 z  t  z   log t   Mặt khác: log t  1   logt logt  log t 1  log3 t log t  log t.log t log3 t  log t M  xy  yz  xz  log t.log t  log t.log t  log t.log t  log t.log t   log t  log t  log t  log t.log t   log3 t  log t  Câu 48 log3 t.log t  log3 t  log t (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Gọi x , y các số thực dương thỏa mãn điều kiện log x  log y  log  x  y  và T  a2  b2 A T  26 x a  b  , với a, b là hai số nguyên dương Tính y B T  29 C T  20 Lời giải D T  25 Chọn A  x  9t  t  9t  6t  4t Đặt t  log x  log y  log  x  y  , ta có  y    x  y  4t  t   1    ( loai ) 2t t       t    1        1    t            1         x     1  Suy        y     t Mà t x a  b 1     a  1; b  y 2 Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy T  a  b2  12  52  26 Câu 49 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho các số thực dương log a  log b  log9 4a  5b1 Đặt T  A  T  B a, b thỏa mãn b Khẳng định nào sau đây đúng? a C 2  T  T  Lời giải D  T  Chọn D a  4t  Giả sử: log a  log b  log  4a  5b    t  b  6t 4a  5b  9t 1  t t 2t t 4 6 2 2 Khi đó 4.4  5.6  9.9                9 9  3 3 t t   t     3   t    1   t VN  t Vậy T  Câu 50 9  t  log    t  2 4 2 b 6 3  1          0;  a 4 2  2 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Phương trình 3x x 1   có hai nghiệm x1 , x2 Tính 3x T  x1.x2  x1  x2 A T   log B T  log C T  1 D T  Lời giải Ta có 3x x 1  0 3x  3x x 1.4 x 1   x x 1   log  .4 x 1   log   log x 1  x x 1  x  x  1 log   x  1 log    x  1 x log  log    x  1   x   log Do đó T  x1.x2  x1  x2  log  1  log3   1 Dạng 2.4 Phương pháp hàm số, đánh giá Thông thường ta vận dụng nội dung các định lý (và các kết quả) sau:  Nếu hàm số y  f  x  đơn điệu chiều trên D thì phương trình f  x   không quá nghiệm trên D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Để vận dụng định lý này, ta cần nhẩm nghiệm x  xo phương trình, rõ hàm đơn điệu chiều trên D (luôn đồng biến luôn nghịch biến trên D) và kết luận x  xo là nghiệm  Hàm số f  t  đơn điệu chiều trên khoảng  a; b  và tồn u; v   a; b  thì f  u   f  v   u  v "   Để áp dụng định lý này, ta cần xây dựng hàm đặc trưng f  t  Câu 51 (SGD Nam Định 2019) 15 x.5 x  5x 1  27 x  23 A 1 B Tổng tất các nghiệm C Lời giải thực phương trình D Chọn D x Ta có 15 x.5  5x 1  27 x  23  x 1  x  1  27 x  23 (1) không thỏa mãn phương trình trên nên ta có 27 x  23 (2) x 1  3x  1  27 x  23  x 1  3x  Hàm số y  f  x   x 1  5.5 x đồng biến trên  Dễ thấy x  Hàm số y  g  x   27 x  23 96  , nên nghịch biến trên , có đạo hàm g   x    3x   3x  1 1  1  khoảng  ;  và  ;   3     1  1  Do đó trên khoảng  ;  và  ;   , phương trình (2) có nhiều nghiệm 3  3  1  1  Ta thấy x  1 và x  là các nghiệm thuộc các khoảng  ;  và  ;   3  3  Do đó (2) và (1) có hai nghiệm x  1 và x  Tổng hai nghiệm này Câu 52 Cho số thực  cho phương trình x  2 x  2cos  x có đúng 2019 nghiệm thực Số nghiệm phương trình x  2 x   2cos  x là A 2019 B 2018 C 4037 Lời giải D 4038 Chọn D x  x      cos  x  2  2   2.2 cos     x Ta có:  x x    x  x     2  2  cos  x  (1)      x x  2  2  2 cos  x  (2)     Ta thấy, phương trình x  2 x  2cos  x có 2019 nghiệm thực thì phương trình (1) có 2019 nghiệm thực Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Nhận xét: + x0 là nghiệm phương trình (1)  x0 là nghiệm phương trình (2) + x0  không là nghiệm hai phương trình 1 ,  2 Do đó, tổng số nghiệm hai phương trình 1 ,  2 là 4038 Vậy phương trình x  2 x   2cos  x có 4038 nghiệm thực x1 , x2 Câu 53 Biết là hai nghiệm phương trình   x  x 1  log  x 1  x    2x  và  a  b với a , b là hai số nguyên dương Tính a  b A a  b  13 B a  b  11 C a  b  16 D a  b  14 Lời giải Chọn C Điều kiện: x  0, x   x  x  1  x   x  log 4 x  x  1  x  x   log 2 x  x Ta có: log     2x  x1  x2  Xét hàm số f t   log t  t có f  t     t  nên là hàm số đồng biến trên t ln 0; Do đó ta có x  x   x  x  x    x  3 Khi đó x1  x2  Vậy x1  3 3 3 3 2   x1  x2  2  9 4 4 4     3 3 Do đó a  9; b  và a  b    14 ; x2  4 Câu 54 Phương trình x  x 1    x 1  x có tổng các nghiệm B A Chọn C Lời giải: D A x 2 x 1    x 1  x  x.2 x 1  4.2 x 1  x  x  Ta có  x1 ( x  4)  x( x  4)   ( x  4)(2 x1  x)  x   x   x () Giải phương trình (*): Xét hàm số f ( x)  x  x có f '( x)  x ln  2; f ''( x)  x ln 2  Suy phương trình f '( x)  có nghiệm, suy phương trình f ( x )  có nhiều là hai nghiệm Mà ta thấy f (1)  f (2)  nên phương trình (*) có nghiệm x  1; x  Vậy tổng các nghiệm phương trình là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 55 (Chuyên Ngữ Hà Nội 2019) Tìm số nghiệm phương trình  x  1 e A C B x 1  log  D Lời giải Chọn A Tập xác định: D   x  t 1 Đặt t  x   1 Với t  1  x  t     x  t  Khi đó phương trình trở thành t 2et  log  1 Số nghiệm phương trình 1 là số điểm chung đồ thị hàm số y  f  t   t et  log và đường thẳng y  t  (TM ) Ta có: f   t   et t  2t  f   t     t  2 ( L)   Bảng biến thiên Ta có  log    log , dựa vào bảng biên thiên ta phương trình 1 có nghiệm phân biệt e t1 , t2 thỏa mãn 1  t1  t2 hay phương trình đã cho có nghiệm x phân biệt  11  ; 2019  Câu 56 Tính số nghiệm phương trình cot x  x khoảng   12  A 2019 B 2018 C D 2020 Lời giải Chọn B Xét phương trình cot x  x 1 Điều kiện: sin x   x  k , k    11  ; 2019  \ k  , với k   Xét hàm số f  x   2x  cot x, x    12   11   f   x   x.ln   cot x  x   ; 2019  \ k  , với k    12  Suy hàm số f  x liên tục và đồng biến trên  11  ;   ;  ;2  ; ;  2018 ;2019    12  Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ khoảng TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  11  ;   ta có bảng biến thiên +) Trên khoảng   12  11  11   11  12 Ta có f     cot    11, 0925  Do đó phương trình f  x   vô nghiệm trên  12   12   11  ;  khoảng   12  +) Trên khoảng  k ;  k  1   , k  1; 2; ; 2018 ta có bảng biến thiên Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy khoảng  k ;  k  1   , k 1; 2; ;2018 phương trình f  x   có đúng nghiệm Mà có 2018 khoảng nên phương trình f  x   có đúng 2018 nghiệm Vậy phương trình f  x   có 2018 nghiệm Câu 57 Hỏi phương trình 3.2 x  4.3x  5.4 x  6.5 x có tất bao nhiêu nghiệm thực ? A B C D Lời giải Chọn B x x x 2 3 4 Ta có : 3.2  4.3  5.4  6.5            5 5 5 x x x x x x x 2 3 4 Xét hàm số f  x            , x   5 5 5 x x x 2 3 4 Có f   x     ln    ln    ln  , x   nên hàm số f  x  nghịch biến 5 5 5 5 trên  suy phương trình f  x   có nhiều nghiệm 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  22  176 Mặt khác f 1 f          nên phương trình có ít nghiệm thuộc  25  125 khoảng 1;   2 Từ 1 và   suy phương trình đã cho có nghiệm Câu 58 (SP Đồng Nai - 2019) Phương trình 2019sin x  sin x   cos2 x có bao nhiêu nghiệm thực trên  5 ; 2019  ? A 2025 B 2017 C 2022 D Vô nghiệm Lời giải Chọn A Xét: 2019sin x  sin x   cos2 x  2019sin x  sin x   sin x 1 Đặt: t  sin x, t   1;1   Khi đó 1 trở thành 2019t  t   t  2019t t   t  1  2 Xét hàm số: t  f  t   2019 t   t  , t 1;1  f  t     2019t t   t (  t ln 2019  1) 1 t2 t   t  Cho f   t     vô nghiệm  f   t   0, t   1;1   t ln 2019      có nghiệm t   s inx   x  k , k  Z mà x   5 ; 2019   5  k  2019  5  k  2019  k   5; 2019 Kết luận: Có 2025 nghiệm thực trên  5 ; 2019  Câu 59 log7  x   (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Số nghiệm phương trình A B C  x là D Lời giải Chọn A Điều kiện phương trình: x  4 Với x  phương trình đã cho tương đương với phương trình log  x    log3 x Đặt log  x    log x  t t t t 3 1  x   t t t t Ta có  suy              1 t 7 7  x  t t 3 1 Xét hàm số f  t         1, t   7 7 t t 3 3 1 1 Ta có f '  t     ln      ln    0,  t   7 7 7 7 Nên f  t  nghịch biến trên tập  Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mà f 1  nên phương trình có nghiệm t   x  Câu 60 Cho các số thực x , y với x  thỏa mãn e x 3 y  e xy 1  x  y  1   e xy 1  e m là giá trị nhỏ biểu thức T  x  y  Mệnh đề nào sau đây là đúng? A m   2;3 B m   1;  C m   0;1 x 3 y  y Gọi D m  1;  Lời giải Chọn C x 3 y  e xy 1  x  y  1   e xy 1  Từ giả thiết e  e x 3 y  e x 3 y   x  y   e xy 1  Xét hàm số f  t  = et  e  xy 1 e x 3 y  3y    xy  1 (1) 1  t với t   ta có f '  t  = et  t   0, t    f  t  là hàm số t e e đồng biến trên  Phương trình (1) có dạng f  x  y   f   xy  1  x  y   xy   y  Khi đó T  x  y   x   Tmin   Câu 61 (Chuyên 2x  x2  x  1  T '  1   0, x  2 x3  x  3  x  3 2.0  1   m 03 Vĩnh Phúc - x  x    x  x  3 A  x 1 ( x  0) x3 x 5 Số 2018)   x   x 8 x  nghiệm phương trình là C Lời giải Đặt u  x  x  , v  x  , phương trình đã cho viết lại là B D u  v  u.8v  v.8u  u 1  8v   v  8u  1 * Ta thấy u  v  thỏa mãn phương trình *  8v 8u   Với u  và v  ta có *  v u Ta thấy: ** 8u  8u   và u  thì  Do đó VP **  0, u  Nếu u  thì u u  8v  8v  và v  thì  Do đó VT  **  0, v  v v Từ đó suy ** vô nghiệm Nếu v  thì Như vậy, phương trình đã cho tương đương với Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   x   13  x2  8x    u    x   13 v     3 x    x   Vậy, phương trình đã cho có nghiệm Câu 62 (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Tích tất các giá trị x thỏa mãn phương trình 3 x 2  3   x     3x  x   B A C Lời giải Phương trình   3x  x   3x  x  1   3x  x    2.4 x    3x  x   2.4 x      x x 3    Xét phương trình 1 : 1  x   x  D 1  2 Xét phương trình   : Xét hàm f  x   3x  x  trên  Hàm f  x  liên tục và f   x   3x.ln  x.ln  x   nên f  x  là hàm đồng biến trên  Khi đó,    f  x   f 1  x  Vậy tích các nghiệm phương trình Câu 63 (THPT Chu Văn An - Hà Nội - 2018) Phương trình e x  e khoảng nào?  5 3   3 A  2;  B  ;  C 1;   2 2   2 Lời giải x 1   x  2 x  có nghiệm 1  D  ;1 2  Chọn A ĐK: x   ex  e   x2  2 x  x 1  ex  e x 1    x  1   e x   x  1  e x 1     2x 1 1  2x 1 1 * Xét hàm số f  t   et   t  1 với t   f '  t   et   t  1  với t   2   Suy hàm số đồng biến trên   ;     Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  *  f  x   f   2x 1  x  2x 1 x   x  x      x    x  1 x  2x 1 x  2x 1     x   DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP CỦA MŨ VÀ LOGARIT Câu (Tham khảo 2019) Tổng tất các nghiệm phương trình log   3x    x A C Lời giải B D Chọn A Điều kiện xác định phương trình là  3x   3x   x  log3 log   3x    x   3x  32 x   3x  3x Đặt t  x , với  t  , suy x  log t Ta có phương trình t  7t   có hai nghiệm t1   13  13 và t2  2 Vậy có hai nghiệm x1 , x2 tương ứng Ta có x1  x2  log t1  log t2  log t1 t2 Theo định lý Vi-ét ta có t t2  , nên x1  x2  log  Câu   Tích các nghiệm phương trình log x1  36 x  2 A C B log D Lời giải Chọn A       Ta có: log x 1  36 x  2  2log5 x 1  36 x  2  log5 x 1  36 x  6 x  x   x 1  36 x   62 x  6.6 x     x   x  log 6  Vậy tích các nghiệm phương trình bằng: 0.log  Câu Tổng các nghiệm phương trình log  – x    x A B C Lời giải D Chọn C Điều kiện:  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 log   x    x   x  22  x   x   22 x  5.2 x   2x 2x  x   x   tmdk  x  2    Vậy tổng các nghiệm phương trình đã cho là Câu (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Số nghiệm phương trình log (4 x  4)  x  log (2 x 1  3) B A D C Lời giải Chọn B Ta có: log (4 x  4)  x  log (2 x 1  3)  log (4 x  4)  log 2 x  log (2 x 1  3) Điều kiện: x 1    x  x x  log (4  4)  log 2 (2 x1  3)  x   x (2 x1  3)  (2 x )2  3.2 x    x  1(k t/m))  x  x    4(t/m) Đối chiếu điều kiện ta thấy x  thõa mãn Vậy phương trình đã cho có nghiệm Câu   Gọi S là tập hợp tất các nghiệm nguyên dương phương trình log  102 x  x Số tập S A B C Lời giải D Chọn C   Xét phương trình log  102 x  x , điều kiện  102 x   x  log  x  log 10 x  2  x  log1  Ta có log  102 x  x   102 x  10 x  102 x  10 x     x 10     (Vì 10 x  2  vô nghiệm) Vậy phương trình có nghiệm x  thỏa mãn điều kiện loại  Số tập S là 21  Câu Tổng tất các nghiệm phương trình log   x    x A B C Lời giải D Chọn A Điều kiện xác định  x   x   x  log Ta có: Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 log   x    x   x  21 x   x  c   x1  x2  a Hơn x1  x2  x1.2 x2  Câu  22 x  6.2 x   2x (Chuyên Thái Bình - 2018) Tính tích tất các nghiệm thực phương trình    x    x  x  log   2  2x  B A C D Lời giải Điều kiện: x   x 1   x   x    PT:  log  2  2x  Đặt t  1 5 x2  1  x  x  2x 2x 2x PT trở thành log t  2t  (2)   Xét hàm f  t   log t  2t t  là hàm đồng biến nên:    f  t   f  2  t  (t/m) Với t  thì Câu 2x2  1   x  x   (t/m) Vậy x1 x2  (theo Viet ) 2x (Thi thử hội trường chuyên 2019) Phương trình log  5.2 x    x có bao nhiêu nghiệm nguyên dương? A B C Lời giải D Chọn D 2 x  x   Phương trình log 5.2 x   x  22 x  5.2 x     x x 1 2  Vậy phương trình có nghiệm nguyên dương  Câu  (SP Đồng Nai - 2019) Phương trình log   x    x có hai nghiệm thực x1 , x2 Tính P  x1  x2  x1 x2 A B C D 11 Lời giải Chọn A Điều kiện:  x    x   x  log  x   x  ( n) Phương trình log   x    x   x  22  x  22 x  5.2 x     x    x  ( n) Khi đó P  x1  x2  x1 x2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 10 Phương trình  x    log x    có hai nghiệm x1 , x2 (với x1  x2 ) Tính giá trị biểu thức K  x1  x2 A K  32  log B K  18  log C K  24  log D K  32  log Lời giải Chọn C Điều kiện: x  2x   2x    log x   x 3  Vậy K  x1  x2  log  3.8  24  log 2 x  5log x  3   log  x  log  x1  log  x   x2   Câu 11 Cho biết phương trình log (3x 1 1)  x  log có hai nghiệm x1 , x2 Hãy tính tổng S  27  27 A S  252 x1 x2 B S  45 C S  Lời giải D S  180 Chọn D Ta có log (3 x1 1)  x  log  log 2(3x 1 1)  x  2.3 x1   32 x   6.3   2x x Đặt 3x  t , t  0 , phương trình trở thành t  6.t   Phương trình luôn có hai nghiệm dương phân biệt Đặt x1  t1 , x2  t2 , t1  t2  6, t1.t2  Ta có S  (t13  t23 )  (t1  t )3  3t1.t (t1  t )  216  3.2.6  180 Câu 12 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Tính tích tất các nghiệm thực phương trình  x   x  21x log  5 2  2x  A B C D Lời giải Chọn C 2 x    x  Điều kiện:  x  0   2x x  x   x  21x  x  21x    2x    log x     log x    Khi đó, log   2 2   2x  2x     2x  Đặt t  x  1  x  , phương trình trở thành: log t   2t , t  2x 2x Xét f  t   log t , t  Ta có: f   t    , t  nên f  t  đồng biến trên t.ln   2;   Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét g  t    2t , t  Ta có: g   t   2t.ln  , t  nên g  t  nghịch biến trên   2;   Từ đó phương trình f  t   g  t  có nhiều nghiệm t  Ta nhận thấy t  là  nghiệm, và đây là nghiệm phương trình log t   2t trên  2;   2 x  Cả hai giá trị này thỏa mãn điều kiện Suy x    x2  x     2x  2 x   x  , nên là nghiệm phương trình đã cho Tích hai nghiệm là: 2 2  2 Câu 13 Số nghiệm phương trình log A 2x   x3 x  12 B D C Lời giải Chọn B Phương trình log  2 x  2x  2x  2x x x 3 x  x         12  x  12 x  12 23 2x   4.   32    x   8 x + Với x   x  + Với x  8 phương trình vô nghiệm Vậy phương trình đã cho có nghiệm    x    x  x   Câu 14 Tính tích tất các nghiệm thực phương trình log  2  2x  A B C D Lời giải Chọn D    x    x  x  2x2  log    0 x0 Điều kiện  2x  2x  x  2 x   Ta có 2x 2x Xét hàm số f  t   log t  2t  f '  t    2t ln  0, t  t ln Phương trình f  t   log t  2t   f  t   f    t  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489    x    x  x  2x2  Vậy log       2x2  4x    x x   Ta có phương trình x  x   có hai nghiệm dương phân biệt có tích  Câu 15 Tổng tất các nghiệm phương trình log 10 A log 2019 16 B 2log 2019 16  2019  x   2019 x  C log2019 10 D 2log2019 10 Lời giải Chọn B  Ta có log 10  2019  x   2019 x   10  2019  x  2019 x  16 (1) x t  Đặt t  2019  t   ta có PT (1) trở thành 10t  t  16  t  10t  16    t  x Với t  ta có 2019   x  log 2019  x  log 2019 2 x x  log 2019  x  log 2019 Do đó tổng tất các nghiệm 2 log 2019 2 log 2019   log 2019  log 2019    log 2019 2.8   log 2019 16 Với t  ta có 2019   Câu 16 (THPT Hòa Vang - Đà Nẵng - 2018) Biết x x  log 14   y   y   với x  Tính giá trị biểu thức P  x  y  xy  B A C D Lời giải Do x  nên x  x 1  x   x  22  , dấu xảy x  x x  y2  Xét hàm f  y     y   y  1, y  1 , ta có f   y     y    y     2y   y       y  Lập bảng biến thiên, suy max f  y   16 y   y   1;    Suy log 14   y   y    log 16  Do đó Câu 17 x x x   log 14   y   y     Vậy P  x  y  xy   y  (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Phương trình  x  A 2;8 1  B  ;8 2  log8 x x log8  x  1 1 C  ;  2 8 Lời giải  có tập nghiệm là  1 D 2;   8 Điều kiện: x  Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  4x log8 x x   4x log8 x   4x  log8 x log8  x  4   4x log8 x 4 2  log x log8  x   log 2   log8 x   log8 x   3  Đặt t  log x  t 2  Phương trình trở thành: t   t    t  t      3 3   t  1 1 t   log8 x   x  (nhận) 3 t  1  log x  1  x  (nhận)  1 Vậy tập nghiệm là 2;   8 Câu 18 (THPT Yên Lạc- 2018) Tính tổng x x 5 3 ln   6x  A S   x 1 x    5.3  30 x  10   B S  S tất các nghiệm phương trình: C S  1 Lời giải D S  Điều kiện x   Phương trình tương đương ln  5x  3x   ln  x     5x  3x    x     ln  5x  3x    5x  3x   ln  x     x   (1) Xét hàm sô f  t   ln t  5t , t  Có f '  t     ,  t  nên f  t  đồng biến Từ 1 t suy f  5x  3x   f  x    5x  3x  x   5x  3x  x   Xét g  x   x  3x  x  , g '  x   x ln  3x ln  2 g ''  x   5x  ln   3x  ln 3  x   Nên g '  x   có không quá nghiệm suy g  x   có không quá nghiệm trên     ;     Mà g    g 1  Vậy phương trình có nghiệm 0,1 Do đó S  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 19 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – XUẤT SẮC MỨC 9-10 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Tìm m để f  x, m   có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D ? — Bước Tách m khỏi biến số và đưa dạng f  x   A  m  — Bước Khảo sát biến thiên hàm số f  x  trên D — Bước Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị tham số A  m  để đường thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  — Bước Kết luận các giá trị cần tìm A  m  để phương trình f  x   A  m  có nghiệm (hoặc có k nghiệm) trên D  Lưu ý — Nếu hàm số y  f  x  có giá trị lớn và giá trị nhỏ trên D thì giá trị A  m  cần tìm là m thỏa mãn: f  x   A  m   max f  x  xD xD — Nếu bài toán yêu cầu tìm tham số để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta cần dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng y  A  m  nằm ngang cắt đồ thị hàm số y  f  x  k điểm phân biệt Dạng Phương trình logarit chứa tham số Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho phương trình log 22  x    m   log x  m   ( m là tham số thực) Tập hợp tất các giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn 1; 2 là B 1;  A 1;  C 1;  D  2;   Lời giải Chọn C log 22  x    m   log x  m    1  log  x     m   log x  m   * Đặt t  log x  g  x    t  và giá trị x cho giá trị t * trở thành 1  t    m   t  m    t  2t   mt  2t  m    t   m  t  1   t  1 t   m   t  m  1   2 t  Với t  thì phương trình có nghiệm x  Vậy để phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt thì phương trình 1 phải có nghiệm t 1  m 1    m  Vậy m  1;  để thoả mãn yêu cầu bài toán Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho hàm số 2   3log 27  x   m  3 x   m   log  x  x   3m   Số các giá trị nguyên m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  15 là: A 14 B 11 C 12 Lời giải D 13 Chọn D Ta có: 3log 27  x   m  3 x   m   log  x  x   3m    2  log3  x   m  3 x   m   log3 x  x   3m   x  x   3m   2 2 x   m  3 x   m  x  x   3m  x  x   3m  *  x  x   3m  *     x  m  x   m   x  2m  1   x  Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và phương trình (1) có hai nghiệm phân m2  m   3m   m  4m     m  2 biệt thỏa mãn (*)  22    3m    4  3m  m   Theo giả thiết x1  x2  15   x1  x2   x1 x2  225  m  4m  221   13  m  17 Do đó 13  m   Vậy số các giá trị nguyên m thỏa mãn là 13 Câu (THPT Yên Phong Số Bắc Ninh 2019) Gọi S là tập tất các giá trị nguyên tham số m với m  64 để phương trình log  x  m   log   x   có nghiệm Tính tổng tất các phần tử S A 2018 B 2016 C 2015 Lời giải D 2013 Chọn C x   Ta có: log  x  m   log5   x    log  x  m   log   x    2m  x  2m Vì x  nên   m  2 Kết hợp với m  64 Khi đó 2  m  64 Vì m   nên m  1; 0;1 63 có 65 giá trị Vậy tổng S các giá trị m để phương trình có nghiệm là: S  Câu  1  63 65  2015 (Mã 102 2019) Cho phương trình log x  log  x  1   log m ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm? A B C Lời giải Chọn C Xét phương trình log x  log  x  1   log m D Vô số Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x  Điều kiện:  m  Khi đó log x  log  x  1   log m  log x  log m  log  x  1  mx  x   x   m   1 +) Với m  , phương trình (1) trở thành  (vô lý) +) Với m  , phương trình (1) có nghiệm x  6m 1 1 m     0     m  6m 6m 6m Vậy  m  Mà m    m  1; 2;3; 4;5 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu (Mã 103 2019) Cho phương trình log x  log  x  1   log m ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm? A B C Vô số D Lời giải Chọn A  x  Điều kiện:  m  Xét phương trình: log x  log  x  1   log m 1 Cách 1  log x  log  x  1   log m  log 5x  5x  1  log m   m  5  m x x x  2 1  trên khoảng  ;    x 5  1 1   Có f   x    0, x   ;    và lim f  x   lim     x  x  x x 5   Ta có bảng biến thiên hàm số f  x  : Xét f  x    Phương trình 1 có nghiệm và phương trình   có nghiệm x  Từ bảng biến thiên suy phương trình 1 có nghiệm và  m  Mà m   và m  nên m  1;2;3;4 Vậy có giá trị nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm Cách Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x  Với  , ta có: m  5x  5x   log m   m  5  m  x  x x Với m  , phương trình   thành 0.x  (vô nghiệm) 1  log x  log  x  1   log m  log  2 5m m 1 0  0 m5 Xét x     5.  m  5m Với m  ,    x  Mà m   và m  nên m  1;2;3;4 Vậy có giá trị nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm Câu (Mã 101 - 2019) Cho phương trình log9 x  log3  3x  1   log3 m ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình đã cho có nghiệm? A B C D Vô số Lời giải Chọn A Điều kiện: x  và m  Phương trình đã cho tương đương: log x  log  x  1  log3 x   m 3x  m x với x  3x  1  0, x  Có f   x     3x  1 Xét hàm số f  x   Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm Do m    m  1,2 Câu 1  0m3 m (Mã 104 2019) Cho phương trình log9 x  4log3  4x 1   log3 m ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm? A B C Vô số D Lời giải Chọn C Điều kiện: x  Phương trình đã cho  log3 x  4log3  4x 1   log3 m 4  x  1  f x x 1  log  log  m   log x  log  x  1  log   m x m  x  1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét hàm số f  x   x  1  x 16 x  x  1   x  1  x  1 12 x  1  0, x  có f   x    x x2 Suy bảng biến thiên: Do đó phương trình có nghiệm m  Vậy có vô số giá trị nguyên m Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho phương trình log mx 5  x  x  12   log mx5 x  , gọi S là tập hợp tất các giá trị tham số m   để phương trình đã cho có nghiệm Tìm số phần tử S A B C Lời giải x    x  2 + Điều kiện   0  mx   5  mx  Với điều kiện trên, phương trình log mx 5  x  x  12   log mx 5 D x2  *  log mx5  x  x  12   log mx 5  x   x   x  x  12  x    x  m   m  , vì m  Z   m  Z m  x  là nghiệm phương trình  *  5m    m  , vì m  Z   m  Z x  là nghiệm phương trình *  2m   + Phương trình log mx 5  x  x  12   log Thử lại m  : log x 5  x  x  12   log mx  x  có nghiệm m  m  x 5 x   log x 5  x  x  12   log x 5  x   x 5 x   log3 x 5  x  x  12   log x 5  x    x  x  12  x    x    x 5 0  x      m  : log x 5 x  x  12  log  x  x  12  x    x    x 5 0  x    Vậy có hai giá trị m  Z thỏa mãn ycbt Câu Cho phương trình log 2  2x  x  4m2  2m   log 2 x  mx  2m2  Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x12  x22  ? A B C D Lời giải Chọn B Phương trình đã cho tương đương với phương trình: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x  x  4m  2m   log  x  mx  2m    log  x  x  4m  2m   log  x  mx  2m   log 2 2 5 2 2 2 2  x  2mx  2m   x  2mx  2m     2 2  x   m  1 x  2m  2m  2 x  x  2m  4m  x  mx  2m  x  mx  2m2      x1  2m  x   m  Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa x12  x22   2m 2  m  2m   2m  4m      1  m   m 1  m   2m   2m  m     2 5m  2m    2m   1  m    m   1  11   1  m  m    11  11 ;m  m  5  Vậy không có giá trị nguyên nào m thỏa yêu cầu đề bài Câu 10 (HSG Bắc Ninh 2019) Tìm tất các giá trị tham số thực m để phương trình  log x   log x  m  có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  0;1 A  m  B  m  C m  D  m0 Lời giải Ta có:  log x    log x  m   log x  2  log x  m    log x   log x  m 1 Đặt t  log x với t   ;  1  t  t  m Xét f  t   t  t f '  t   2t  f ' t    t   Bảng biến thiên Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Dựa vào bảng biến thiên    m    m  4 m Tìm để 5  trình :  m  1 log 21  x     m   log  4m   có nghiệm trên  ,  2  2 x2 7 A m   B 3  m  C m   D 3  m  3 Lời giải Điều kiện: x  Phương trình đã cho Câu 11 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) phương  2   m  1 log  x      m  5 log  x    4m       m  1  2 log  x      m   log  x    4m     m  1 log 22  x     m  5 log  x    4m     m  1 log 22  x  2   m  5 log  x  2  m   (1) 5  Đặt t  log  x   Vì x   ;   t   1;1 2  Phương trình (1) trở thành  m  1 t   m  5 t  m   , t  1;1 (2) t  5t   f  t  , t   1;1 t2  t 1 t  4t  Ta có f '  t   0 2 t    t  t    m Bảng biến thiên 5  Phương trình đã cho có nghiệm x   ;  phương trình (2) có nghiệm t   1;1 2  Từ bảng biến thiên suy 3  m  Câu 12 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm m để phương trình log 2 x  log x   m có nghiệm x  [1;8] A  m  B  m  C  m  D  m  Lời giải Chọn C log 2 x  log x   m (1)  Điều kiện: x  (*) pt (1)   log x   log x   m Cách 1: (Tự luận)  Đặt t  log x , với x  [1;8] thì t  [0;3] Phương trình trở thành: t  2t   m (2)  Để phương trình (1) có nghiệm x  [1;8] Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  phương trình (2) có nghiệm t  [0;3]  f (t )  m  max f (t ) , đó f (t )  t  2t  [0;3] [0;3]   m  (bấm máy tính) Câu 13 (HSG Bắc Ninh-2019) Cho phương trình log 2 x  log x  m  log x  m * Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m   2019; 2019 để phương trình (*) có nghiệm? A 2021 B 2019 C 4038 Lời giải D 2020 x  Điều kiện:  m  log x  log 2 x  2log x  m  log x  m  4log 2 x  8log x  m  log x  4m  4log 2 x  4log x   m  log x   m  log x    m  log x   log x  2   log x  1  m  log x     m  log x   2 log x   m  log x  log x    m  log x   log x log x  0  x  * TH1 : m  log x   log x     2 m  log x  log x log x  log x  m  1 Đặt: t  log x  t   , phương trình (1) trở thành: t  t  m   t  t  m     Đặt: g (t )  t  t (t   ;0 Bài toán trở thành: Tìm giá trị tham số m để phương trình   có ít nghiệm t  Ta có: g (t )  t  t  g (t )  2t   0t  Ta có BBT: Dựa vào BBT, suy ra: để phương trình   có ít nghiệm t  thì m  (*) log x  m  log x  log x    m  log x  log x  log x  log x   log x  3log x   m   3 Đặt: t  log x  t  1 , phương trình (1) trở thành: t  3t   m   m  t  3t  1  * TH : Đặt: g (t )  t  t  1, t  1;   Ta có: g (t )  t  3t   g (t )  2t  3 g (t )   2t    t   1;   Bài toán trở thành: Tìm giá trị tham số m để phương trình   có ít nghiệm t  Ta có BBT: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dựa vào BBT, suy ra: để phương trình   có ít nghiệm t  thì m   (**) Kết hợp (*) và (**), m   2019; 2019  m  1;0;1; 2; ; 2019 Vậy có tất 2021 giá trị m thỏa mãn ycbt Câu 14 (Đề Tham Khảo 2017) Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên  2017; 2017  để phương trình log  mx   log  x  1 có nghiệm nhất? A 4014 B 2018 C 4015 Lời giải D 2017 Chọn B Điều kiện x  1, mx  log  mx   log  x  1  mx   x  1 Xét hàm f  x    x  1 x  x  1 m x  x  1, x   ; f  x  x 1 x2 1 0 x  x  1  l  Lập bảng biến thiên m  Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm và   m  Vì m   2017; 2017 và m   nên có 2018 giá trị m nguyên thỏa yêu cầu là m  2017; 2016; ; 1; 4 Chú ý: Trong lời giải, ta đã có thể bỏ qua điều kiện mx  vì với phương trình log a f  x   log a g  x  với  a  ta cần điều kiện f  x   Câu 15 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tập hợp tất các giá trị thực tham số m để phương trình mx  ln x  có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  2;3  ln ln  A  ;     ln  C  ;   e ln   ln   B  ; ;         ln  D  ;   e Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn D mx  ln x   m  ln x , x   2;3 x ln x , x   2;3 x  ln x ; f  x   x  e f  x  x2 BBT Đặt f  x    ln  ;  Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m    e Câu 16 (THPT Dông Sơn Thanh Hóa 2019) Tổng tất các giá trị tham số m cho phương trình: 2 x 1 log x  x     A B xm .log  x  m   có đúng ba nghiệm phân biệt là: C D Lời giải Tập xác định D   2 x 1  2   .log x  x   x 1   xm .log  x  m   .log ( x  1)   2 xm .log  x  m   (*) Đặt f (t )  2t log (t  2), t  ; f '(t )  2t ln 2.log (t  2)  2t  0, t  (t  2) ln Vậy hàm số f (t )  2t log (t  2) đồng biến trên (0;  )  2( x  m)  ( x  1)2 Từ (*) ta có f ( x  1)2   f  x  m   ( x  1)2  x  m    2( x  m)  ( x  1)  g ( x)  x  x   2m  ( a )   x  2m  (b) Do các phương trình ( a ) và (b ) là phương trình bậc hai nên để phương trình ban đầu có nghiệm phân biệt ta có các trường hợp sau: TH1: m  , (b) có nghiệm kép và (a) có nghiệm phân biệt khác (thỏa mãn) TH2: m  , (b) có nghiệm phân biệt x   2m  và (a) có nghiệm phân biệt đó có nghiệm  2m    '   '  m        m  (thỏa mãn)  g ( 2m  1)   g ( 2m  1)  m  + TH3: m  , (b) có nghiệm phân biệt x   2m  và (a) có nghiệm kép khác  2m  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021    '  m      m  (thỏa mãn)  g (  2m  1)  m  Vậy tổng các giá trị m là    2 Câu 17 Tìm tất các giá trị m để phương trình ln  m  ln  m  sin x    sin x có nghiệm C  m   D  m  e e Lời giải u u  ln  m  sin x  e  m  sin x Đặt u  ln  m  sin x  ta hệ phương trình:    sin x e  m  u ln  m  u   sin x A   m  e e B  m  e Từ hệ phương trình ta suy ra: eu  u  esin x  sin x  * Xét hàm số f  t   et  t có f '  t   et   0, t   Hàm số f  t  đồng biến trên  *  f  u   f  sin x   u  sin x Khi đó ta được: ln  m  sin x   sin x  esin x  sin x  m ** Đặt z  sin x, z   1;1 Phương trình ** trở thành: e z  z  m ** Xét hàm số: g  z   e z  z trên  1;1 Hàm số g  z   e z  z liên tục trên  1;1 và có max g  z   g 1  e  1, g  z   g     1;1  1;1 Hệ phương trình ban đầu có nghiệm  phương trình ** có nghiệm   m  e  Câu 18 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang 2019) Số các giá trị nguyên tham số m để phương trình log ( x  1)  log (mx  8) có hai nghiệm phân biệt là A C Lời giải B Vô số D Chọn D Điều kiện: x  Ta có: log ( x  1)  log ( mx  8)  log ( x  1)  log ( mx  8)  ( x  1)  mx   x  x   mx Do x  nên suy Xét hàm số f ( x)  x2  x   m x x2  x  trên khoảng (1; ) x x2  , f ' ( x )   x  3 x Bảng biến thiên f ' ( x)  x   '  f ( x)   f ( x) Nhìn vào BBT ta thấy yêu cầu bài toán là  m  Do m nguyên nên m  5;6;7 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 19 (THPT Trần Phú - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để phương trình  x 1  m ln    2  m ln x  có nghiệm thuộc vào đoạn  ;1 ?  e   e  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A B C Lời giải D Chọn A  x Có m ln    2  m ln x   m2 ln x 1  2  m ln x    m  m  2 ln x  m  1  e  • Với m  m    m  m  0 , 1  0ln x  3 (Vô nghiệm)  Loại m  m2 • Với m  , 1  ln x  2 m 1 1  + Hàm số y  ln x đồng biến trên  ;1  ln x  1;0  e  1  + Phương trình 2 có nghiệm thuộc đoạn  ;1  e    m   m      m2 m 1     m   m  1  0    m     m 1  m     m 1 1  m   Vậy có giá trị nguyên dương tham số m thỏa yêu cầu bài toán Câu 20 (THPT Trần Phú - 2019) Có bao nhiêu giá trị tham số m để phương trình x log 36 x  m log   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1.x2  72 x1.x2  1296  A B C D Lời giải Chọn A x log 36 x  m log   (Điều kiện x  )  log 62 x  m log x  m   m  2 Phương trình có hai nghiệm phân biệt   m  m  2     m   x1.x2  72 x1.x2  1296   x1.x2  36  x1.x2  1296  log  x1.x2    log x1  log x2   m  (không thỏa điều kiện m ) Câu 21 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Tập hợp các giá trị thực tham số m để phương trình log 2019   x   log  x  m  1  có hai nghiệm thực phân biệt là T   a; b  Tính 2019 S  2a  b A 18 B C 20 Lời giải D 16 Chọn D 1 m  Tập xác định D   2;    ;     Khi đó, phương trình đã cho trở thành  x2 log 2019    x  x  m   x  x  m   (*) 2x  m 1 Phương trình (*) có nghiệm phân biệt    12  1.(m  5)   m   m  (1) Khi đó phương trình (1) có nghiệm là x1  1   m ; x2  1   m Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 m TH1:  2  m  (2)  D   2;   1   m    m  Phương trình (1) có nghiệm x1 , x2  D     m  (3) 1   m  2   m  Từ (1), (2) và (3) suy  m  1 m TH2: 2    3  m  (4)  1 m   D ;2   Phương trình (1) có nghiệm  m  3  1   m   6m 3    x1 , x2  D   1 m   m     m  3  m  (5) 1   m   6m   m     Từ (4) và (5) suy m  Vậy  m  Suy a  5, b   2a  b  16 Câu 22 (THPT Cẩm Bình 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên m log  x  3  m log x3  16 có hai nghiệm thỏa mãn 2  x1  x2 A 17 B 16 C 14 Lời giải để phương trình D 15 Chọn D Điều kiện xác định: x  3 và x  2 Biến đổi phương trình đã cho phương trình sau: log3  x  3  4m log  x 3  16   log32  x  3  16log3  x  3  4m  (1) Đặt log3  x  3  t phương trình 1 trở thành: t  16t  4m    Ta có: log  x  3  t  x  3t  Theo điều kiện đề bài thì x  2 nên 3t   2  t  Vậy để phương trình log  x  3  m log x3  16 có hai nghiệm thỏa mãn 2  x1  x2 thì phương trình   phải có hai nghiệm t dương phân biệt    64  4m    t1  t2  16      m  16 Vậy có 15 giá trị nguyên m thỏa mãn  4m   t1 t2  4m  Câu 23 (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2019) Tập hợp các số thực m để phương trình ln  x  mx  1  ln   x  x  3 có nghiệm là nửa khoảng  a; b  Tổng a  b A 10 B 22 Lời giải C D Chọn D Ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 ln  3x  mx  1  ln   x  x  3 (1) 1  x   x  x     2 3 x  mx    x  x   x  x   mx 1  x  1  x  1  x      x  x4  x  x4  m m    x  x   m (2) x x   4 Xét hàm số: f ( x)  x   1; x  1;3 có f '( x)   x x  x   1;3  f (2)  f '( x)      x  x  2  1;3 Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta có: Phương trình (1) có nghiệm  Phương trình (2) có nghiệm thuộc khoảng 1;3   m   m   3;  a  Suy   a b  3  b  Câu 24 (Cần Thơ 2019) Cho phương trình log 22 x  log x   log x  m , với m là tham số thực Số các giá trị nguyên thuộc đoạn  2019; 2019 m để phương trình đã cho có nghiệm là A 2021 B 2024 C 2023 Lời giải D 2020 Chọn B Điều kiện xác định:  log x   log x    x  Với điều kiện trên thì phương trình tương đương với 1  log x    log x   m 1 Đặt t   log x , vì x   0; 2 nên t  Khi đó, 1 trở thành t  4t   m   Để 1 có nghiệm x   0; 2 thì   có nghiệm t  Xét hàm số f  t   t  4t  , t   0;    Ta có f   t   4t  Cho f   t    t  1  0;    Ta bảng biến thiên f  t  sau: Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Theo BBT, để   có nghiệm t  thì m  4 , mà m  2019; 2019   nên tập hợp các giá trị m cần tìm là 4; 3; 2; 1;0;1;;2019 Vậy có tất 2024 giá trị nguyên m thuộc đoạn  2019; 2019 để phương trình đã cho có nghiệm Câu 25 (Nam Định - 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình 2m x log3  x  1  log9 9  x  1  có hai nghiệm phân biệt   A m   1;  B m   2;  C m  1;    D m  1;0  Lời giải Chọn C Cách Điều kiện: x  1 2m Ta có pt: x log3  x  1  log9 9  x  1   x log  x  1   m log3  x  1     x  m  log  x  1  (1) Đặt: log  x  1  t  x  3t  1 Ta có, Pt (1)   3t  m  1 t   f  t   3t    m , với t  t Đặt: f  t   3t   , với t  t  f '  t   3t.ln   , t    ;0  ,  0;    t Suy ra, f  t   3t   là hàm số đồng biến trên   ;0 và  0;   t Ta xét các giới sau:     lim  3t   1  1 , lim  3t   1   t  t  t  t        lim  3t   1    , lim  3t   1    t 0  t 0  t  t  Ta có bảng biến thiên hàm số f  t   3t   , với t    ;0  ,  0;    t Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có, số nghiệm Pt (1) chính là số nghiệm đồ thị hàm số (C) f  t   3t   t và đồ thị hàm số y  m (song song trùng với trục hoành) 2m Dựa, vào đồ thị hình vẽ trên, để phương trình x log  x  1  log9 9  x  1  có ba nghiệm   m  1;    Cách Điều kiện: x  1 2m Ta có: x log  x  1  log 9  x  1  (1)   Nhận thấy x  không là nghiệm phương trình trên  m Pt (1)   x  m  log3  x  1   x  log3  x  1 Đặt: f  x   x  1  f ' x  1  0, x   1;    log  x  1  x  1 ln  log  x  1  Suy f  x   x  là hàm số đồng biến x   1;    log3  x  1 Ta có BBT hàm số f  x   x  log3  x  1 2m Dựa, vào BBT hình vẽ trên, để phương trình x log  x  1  log 9  x  1  có ba nghiệm   m  1;    Câu 26 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho a , b là các số thực dương lớn 1, thay đổi thỏa mãn a  b  2019 để phương trình 5log a x.log b x  4log a x  3log b x  2019  luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 Biết giá trị lớn ln  x1.x2  m n ln    ln   ; với m , n là   7 các số nguyên dương Tính S  m  2n Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 22209 B 20190 C 2019 Lời giải D 14133 Chọn A Theo bài ta có 5log a x.log b x  log a x  3log b x  2019   5log a x  log b a.log a x   log a x   log b a.log a x   2019   5log b a  log a x     3log b a  log a x  2019  * Vì a, b   logb a  2019    * luôn có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 Theo Viet ta có:  3log b a log a x1  log a x2   log a  x1.x2   5log b a ln a ln b ln a ln b  ln  x1.x2  ln b  3ln a   ln  x1.x2    ln  2019  a   3ln a  ln a 5ln a Xét f  a    4ln  2019  a   3ln a  với a  1;2019  6057  4 3   ; f 'a   a  Ta có f '  a     2019  a a  Bảng biến thiên  8076 6057 6057  ln Từ bảng biến thiên ta giá trị lớn ln  x1.x2   ln a  7 Từ đó suy m  6057 ; n  8076  S  m  2n  6057  2.8076  22209 Câu 27 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Xét các số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x  b ln x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình log x  b log x  a  có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x1 x2  x3 x4 Tìm giá trị nhỏ S  2a  3b A S  33 B S  30 C S  17 D S  25 Lời giải Chọn B Điều kiện để hai phương trình a ln x  b ln x   và log x  b log x  a  có hai nghiệm phân biệt là: b  20a  b b b     a ln x1  ln x2   a ln  x1 x2    a x x  e  Theo giả thiết ta có    b log x  log x   b log  x x    b  x x  10 4    Mà x1 x2  x3 x4  e   b a  10  b b b   ln10 a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  a  ln10 Theo điều kiện có b  20a   b  20a  60  b  a  Từ và suy S  2a  3b  30  S  30   b  a Câu 28 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để  x  mx   phương trình log    x  mx   x  có hai nghiệm phân biệt?   x    A B C D Lời giải Chọn C 2 x  mx   Điều kiện:  x    x  mx   log    x  mx   x    x2    log 2 x  mx   x  mx   x   log  x   Xét hàm số f  t   log t  t trên khoảng  0;   ,   0, t   0;    hàm số f  t  đồng biến trên  0;   t ln  x  2 Mà f x  mx   f  x    x  mx   x     x   m   x   Do f  x   x   m   x  là tam thức bậc hai nên có bảng biến thiên có f   t     4-m x -∞ f'(x) +∞ - + +∞ f(x) +∞ f( 4-m ) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và phương trình f  x   x   m   x   có hai nghiệm phân biệt lớn 2  m  4m       9 suy ra:   m  m 2   f   m     2m   m       3    Do m   *  m  1; 2;3; 4 Vậy có giá trị m Câu 29 (Chuyên Bắc Giang 2019) Số các giá trị nguyên nhỏ 2018 tham số m để phương trình log  2018 x  m   log 1009 x  có nghiệm là A 2018 B 2017 C 2020 Lời giải D 2019 Chọn C Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đặt log 1009 x   t  1009 x  4t   Phương trình đã cho có dạng log 2.4t  m  t  2.4t  m  6t  m  6t  2.4t Số nghiệm phương trình số giao điểm đồ thị hàm số f  t   6t  2.4t với đường thẳng y  m   Xét hàm số: f  t   6t  2.4t f   t   6t ln  2.4t ln  2t 3t ln  2.2t ln t 3 f   t    6t ln  2.4t ln     log  t  log  log  2 t  2  +) lim f  t   lim  6t  2.4t   lim 6t 1        t  t  t      +) lim f  t   lim  6t  2.4t   t  t  Ta có bảng biến thiên:   Với f  log  log    2, 0136     Từ bảng biến thiên, để phương trình có nghiệm thì m  f  log  log    2, 0136   Vậy 2  m  2018 Có 2020 số nguyên m Câu 30 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình log3 3x  2m  log5 3x  m2 có nghiệm?     B A C Lời giải D Chọn A x t 3  2m  Đặt log3   2m   log5   m   t   x t 3  m  x x  2m  m2  3t  5t  m2  2m   3t  5t  (*) t t Xét hàm số f  t     với t   t t Ta có: f   t   ln  ln t   ln t t  t  log  log3 5  t0 Khi đó f   t    ln  ln        ln Bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Phương trình (*) có nghiệm   m  1  f  t0    f  t0    m  f  t0    2,068  m  0,068 Do m    m 2;  1;0 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 31 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình log x  log x   2m   có ít nghiệm thực đoạn 1;27  B m   0;2 A m   0;2  C m   2;4 D m   0;4  Lời giải Chọn B Đặt t  log x  Với x  1;27  thì t  1;2 Phương trình đã cho trở thành t  t  2m    m   t  t * Xét hàm số f  t   t  t trên đoạn 1; 2 Ta có f   t   2t   0, t  1;2 nên hàm số f  t   t  t đồng biến trên 1;2 Bảng biến thiên: Để phương trình đã cho có ít nghiệm thực đoạn 1;27  thì phương trình * phải có ít nghiệm thực đoạn 1;2  Câu 32 Từ bảng biến thiên, suy  2m     m  (Chuyên KHTN - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình log 32 x  m log x   m  có nghiệm x  1;9 A B D C Lời giải Chọn A Điều kiện: x  Ta có: log32 x  m log x   m   log32 x  m log3 x   m  Đặt t  log x , với x  1;9  t   0; 2 Phương trình đã cho trở thành: t  mt   m   m  t2  1 (Do t  1, t  0; 2 ) t 1 t2  Xét hàm số f  t   với t   0; 2 ta có: t 1 f  t   t  2t   t  1 t  1    0; 2 , f   t    t  2t     t  1    0; 2 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bảng biến thiên: t 1   f (t )  2 f (t ) 2  Khi đó: phương trình đã cho có nghiệm x  1;9   Phương trình 1 có nghiệm t   0; 2  2   m  Mặt khác, m   nên m  Vậy có giá trị nguyên tham số m thỏa yêu cầu bài toán Câu 33 (Chuyên KHTN - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên log  mx   log  x  1 vô nghiệm? A B C Lời giải m để phương trình D Chọn A mx  mx  Điều kiện   x 1   x  1 Ta có log  mx   log  x  1  log  mx   log  x  1  x    x  1  log  mx   log  x  1     mx   x  1 mx   x  1 1 Nhận xét với x  không là nghiệm phương trình (1) Với x  thì 1  x  1 m Xét hàm số f  x   x  x  1 x với x   1;   \ 0 x2 1  f   x    x  1 x2 Bảng biến thiên có f   x   Phương trình đã cho vô nghiệm và  m  Do m   nên m  0;1; 2;3 Vậy có giá trị nguyên tham số m để phương trình log  mx   log  x  1 vô nghiệm Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 34 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Số các giá trị nguyên nhỏ 2020 tham số m để phương trình log  2020 x  m   log 1010 x  có nghiệm là A 2020 B 2021 C 2019 D 2022 Lời giải Chọn D 2020 x  m  Điều kiện xác định:  (*) 1010 x  Đặt log  2020 x  m   log 1010 x   t  2020 x  m  6t Suy  1 t 1010 x  Từ đó m  6t  2.4t  2 4t0 là nghiệm hệ phương trình 1 đồng 2010 thời x0 thỏa mãn điều kiện * Do đó x0 là nghiệm phương trình đã cho Từ đó, điều kiện Với nghiệm t0 phương trình  2 thì x0  cần và đủ để phương trình đã cho có nghiệm là phương trình  2 có nghiệm Xét hàm số f  t   6t  2.4t trên  Ta có f   t   6t.ln  2.4t.ln và f   t    t  log  log 16  :  Bảng biến thiên hàm số f  t  sau: Dựa vào bảng biến thiên, ta có phương trình   có nghiệm và m  2  m    Vậy tất các giá trị nguyên tham số m thỏa yêu cầu bài toán là các số nguyên thuộc tập hợp 2  1, 0,1, 2, , 2019 , có tất 2022 giá trị Câu 35 (Chuyên Quang Trung - 2020) Xét các số nguyên dương a, b cho phương trình a ln x  b ln x   có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và phương trình 5log x  b log x  a  có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 cho x1 x2  x3 x4 Tìm giá trị nhỏ S  2a  3b A 30 B 25 C 33 D 17 Lời giải Chọn A a ln x  b ln x   1 log x  b log x  a    Điều kiện để 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và   có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 là: b  20a   b  20a Nhận xét: x1 , x2 , x3 , x4  Do đó: x1 x2  x3 x4  ln  x1 x2   ln  x3 x4   ln  x1 x2   log  x3 x4  log e   ln x1  ln x2  log e  log x3  log x4 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 b b Mà ln x1  ln x2   ; log x3  log x4   và a, b nguyên dương a b b Nên  log e    a  5log e a Vì a là số nguyên dương và 5log e  2,17 nên a   20a  60  b  60  b  60 (b  0) Vì b là số nguyên dương và 60  7, 75 nên b  Do đó: S  2a  3b  30  Giá trị nhỏ S là 30 a  3; b  Câu 36 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho phương trình log 22 x  5 m  1 log x  m  m  Biết phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa x1  x2  165 Giá trị x1  x2 A 16 C 120 Lời giải B 119 D 159 Chọn D log 22 x 5m  1 log x  m2  m  log x  m  log x  m   Để phương trình có nghiệm phân biệt m  4m   m  1 Khi đó phương trình có nghiệm x1  m  0, x2  m1  2.2 m   Vì x1  x2  165  m  2. m   165 *  Xét hàm số f t   2.t  t  f  t   8t   t  Mà 2m  là nghiệm *  nên là nghiệm Suy x1  3, x2  2.34  162 Suy x1  x2  159 Câu 37 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Gọi m0 là giá trị thực nhỏ tham số m cho phương trình  m  1 log 21  x  3   m   log  x  3  m   có nghiệm thuộc  3;6  Khẳng định nào 3 sau đây là đúng? A Không tồn m0 4  B m0   1;  3   10  C m0   2;   3 Lời giải 5   D m0   5;    Chọn D Đặt t  log  x  3 Vì x   3;   t  1 Phương trình trở thành:  m  1 t   m   t  m   (*)  mt  mt  m  t  5t  t  5t  m t  t 1 t  5t  Xét hàm số f  t   t  t 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 f t    2t  5  t  t  1   2t  1  t  5t  1 t  t  1  4t  t  t  1 f   t    t  1 Bảng biến thiên: Để phương trình đã cho có nghiệm x   3;6  thì phương trình * có nghiệm t  1  m  3 5   Vậy giá trị nhỏ m thỏa mãn yêu cầu bài toán là m0  3   5;    Câu 38 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho phương trình m ln  x  1  x   Biết tập hợp tất các giá trị tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn  x1    x2 là khoảng  a;   Khi đó a thuộc khoảng nào đây? A  3, 7;3,8 B  3, 6;3,  C  3,8;3,9  D  3,5;3,6  Lời giải Chọn A Xét trên khoảng  0;  phương trình: m ln  x  1  x    m  Đặt f  x   x2 ln  x  1 x2 , x   1;   \ 0 ln  x  1 Với yêu cầu đề bài ta xét f  x  trên khoảng  0;  và  4;   ln  x  1   x   f  x  x 1 ln  x  1 Đặt g  x   ln  x  1   x   g x  , x   0;    4;   x 1 1   0, x   0;    4;   x   x  1   g  x   g    ln   0, x   0;   f   x   0, x   0;  Suy   g  x   g    ln   0, x   4;    f   x   0, x   4;    Từ đó ta có bảng biến thiên Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình đề bài có nghiệm phân biệt thỏa  x1    x2 m   3, 728  ln Câu 39 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Tìm tất các giá trị tham số a để phương trình log3 x  a log3 x3  a   có nghiệm A Không tồn a C a  B a  1 a   10 D a  Lời giải Chọn B x  x    x  Điều kiện:  log3 x   x  Khi đó phương trình log3 x  a log3 x3  a    2log3 x  a 3log3 x  a     3log x   3a 3log x  3a   1 Đặt 3log x  t , t  thì 1 trở thành: 2t  3at  3a   Do đó, yêu cầu bài toán trở thành: Tìm tất các giá trị tham số a để phương trình 2t  3at  3a   có nghiệm thuộc nửa khoảng  0;   Ta có: 2t  3at  3a    3a  2t  ,t  t 1 2t  trên nửa khoảng  0;   Ta có: t 1  2  10 t  2t  4t  2  10 2   +) f  t   f  t    2t  4t     t 2  2  10  t  1 t   +) lim f  t    Xét hàm số: f  t   t  +) Bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy phương trình có nghiệm 3a  3  a  1    a  4  10  a  4  10 Đáp số: a  1 a  4  10 Câu 40 (Sở Ninh Bình 2020) Gọi m là giá trị nhỏ tham số thực m cho phương trình  m  1 log 21  x     m   log  x    m   nào đây đúng? 4  A m0   1;  3  có nghiệm thuộc khoảng  2;  Khẳng định  10  B m0   2;   3  16  C m0   4;   3 Lời giải 5   D m0   5;    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D Điều kiện: x  Đặt t  log  x   , với x   2;   t   1;   Phương trình đã cho trở thành:  m  1 t   m  5 t  m   t  5t   mt  mt  m  t  5t   m  t  t  1 t  5t    m 1 ,  t  t   0, t  t  t 1 Phương trình đã cho có nghiệm  1 có nghiệm t  1 Xét hàm số f  t   t  5t  ,  t  1 t  t 1  x   f 1  3  f   t    4t     Ta có: f   t    x  1  f  1    t  t  1  Bảng biên thiên hàm số f  t  : 4t  Vậy giá trị nhỏ tham số thực m để phương trình đã cho có nghiệm là 5   m0  3   5;    Dựa vào bảng biến thiên, phương trình f  t   m có nghiệm t  1 và 3  m  Câu 41 (Sở Yên Bái - 2020) Giả sử phương trình log x  (m  2)log x  2m  có hai nghiệm thực phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Giá trị biểu thức x1  x2 là A B C Lời giải D Chọn D Điều kiện x  Phương trình đã cho tương đương log 22 x  m log x  2log x  2m  log x  m  x  2m  (log x  m)(log x  2)     log x  x  m Theo giả thiết x1  x2      m   x   x1  x2  Câu 42 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2020) Tìm tất các giá trị m để phương trình log 22 x  log x   m có nghiệm x  1;8 A  m  B  m  C  m  Lời giải D  m  Chọn A Đặt t  log x Khi x  1;8 thì t   0;3 Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình t  2t   m có nghiệm t   0;3 Xét hàm số f  t   t  2t  với t   0;3 , ta có: Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 f   t   2t    t  ; f  t   f 1  ; max f  t   f  3  t0;3 t0;3 Đồ thị hàm số y  f  t   t  2t  và đường thẳng y  m cắt điểm có hoành độ t   0;3 f  t   m  max f  t    m  t0;3 Câu 43 t 0;3 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Tìm các giá trị thực tham số m để phương trình log32 x  3log3 x  2m   có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn  x1  3 x2  3  72 A m  B m  C Không tồn D m  61 Lời giải Chọn A Đặt t  log x Phương trình đã cho trở thành t  3t  2m   * Ứng với nghiệm t phương trình * có nghiệm x Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt phương trình * có hai nghiệm phân biệt      3   2m      8m  28   m  37 Gọi t1 , t2 là hai nghiệm phương trình * Theo định lý Viét ta có: t1  t2   log3 x1  log x2   log3  x1.x2    x1.x2  27 Theo đề bài  x1  3 x2  3  72  x1.x2   x1  x2    72  x1  x2  12  x  x  12  x  t1     t1.t2  Vậy ta có   x1.x2  27  x2  t2  Theo định lý Viét ta có t1.t2    2m   m  (thỏa mãn) Kết luận: m  thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 44 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Số các giá trị nguyên nhỏ 2020 tham số m để phương trình log  2020 x  m   log 1010 x  có nghiệm là A 2022 B 2020 C 2019 Lời giải D 2021 Chọn A Ta đặt log  2020 x  m   log 1010 x   t Khi đó 2020 x  m  6t và 1010x  4t Ta suy  4t  m  6t  m  6t   4t Đặt f  t   2.4t  6t f   t   6t ln  2.4t.ln t   ln f  t        log 16  t  log  log 16  ln 2 Bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Phương trình f  t   m có nghiệm và m  f  log  log 16    2, 01    m  2020 2  m  2019 Hơn nữa,  nên suy  m   m   Vậy ta có 2022 giá trị m thỏa mãn Câu 45 (Hậu Lộc Thanh Hóa 2020) Cho phương trình x me  10 x  m  log  mx   log  x  1   ( m là tham số ) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên   m để phương trình đã cho có ba nghiệm thực phân biệt? A Vô số B 10 C 11 Lời giải Chọn D me x  10 x  m  log  mx   log  x  1    D     mx  1   x 1   2  x   me  10 x  m   3    4   mx   x  1 * m  thì pt vô nghiệm  * x     m  10 x ex 1 * m  thì hệ *        m   x  1 x   x x (Vì e   e   e   )  x  1  x   10 x +Xét f  x   x và g  x   x x e 1 10  e x  1  e x 10 x 10e x 1  x   10  + f  x  2 x x e  e      x x x x Xét u  x   10e 1  x   10  u  x   10e  10e 1  x   10 xe  x   0;   Suy ra: Hàm số u  x  nghịch biến khoảng  0;    u  x   u     f   x   x   0;    f  x  nghịch biến khoảng  0;   lim f  x   10, lim f  x   x 0 x  Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 + g  x   x 1 x2 1  0 x x  x  1 Suy phương trình có ba nghiệm thực phân biệt   m  10 Vì m    m  5;6;7;8;9 1  x   * m  thì hệ *    m  f  x  m  g x     Tương tự ta có f   x   x   1;  , lim f  x   x 1 g  x   1 10 10e 10e   , lim f  x   10 1 e  1  e e  x  0 x  1 x2 1  0 x x  x  1 Suy phương trình có nhiều nghiệm thực phân biệt, không thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy có giá trị m Câu 46 (Liên  xm log trường Nghệ An 2020) Cho phương trình 2 x  x2 x  x  3  log  x  m    với m là tham số Tổng tất các giá trị  tham số m để phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt là A B C Lời giải Chọn D D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Có  xm .log x  x  3  2 x .log  x  m    2 x 1 x  m 2 1 x 1 .log  x  1      .log  x  m    2 21 x 1   log  x  m   log  x  12     1 x  m Xét hàm số f  t   21t có f   t   log  t   21t.ln  t    21t  t   ln log  t     0, t  2 2 Phương trình đã cho  f  x  1   f  x  m    x  1  x  m     x  x   m  x   2m   1  x 1  m  x  x  2m      x2  x   m  x   2m   2 1  2 Khi đó ycbt  phương trình 1 và  2 có tổng cộng nghiệm thực phân biệt Vẽ đồ thị hàm số f  x   1 x  và g  x    x  x  trên cùng hệ trục tọa độ (tham 2 2 khảo hình vẽ) Đồ thị hàm số f  x  và g  x  tiếp xúc với điểm có hoành độ x  1 Dựa vào đồ thị ta có m  , m  1, m  thì phương trình đã cho có nghiệm thực phân biệt 2 Vậy tổng các giá trị thực m thỏa ycbt là    2 Câu 47 (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho phương trình log 32  x    m   log x  3m  10  (với m là tham số thực) Số giá trị nguyên tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;81 là A B C Lời giải D Chọn C Ta có log 32  x    m   log x  3m  10   log 32  x    m  1 log x  3m   0, 1 Đặt t  log x , x  1;81 thì t   0;4  t 3 Khi đó ta có phương trình t   m  1 t  3m     t  m  Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;81  phương trình 1 có hai nghiệm  m2 3  m5 phân biệt t   0; 4    0  m   2  m  Suy có giá trị nguyên tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;81 Chọn đáp án Câu 48 C (THPT Nguyễn Viết Xuân - 2020) Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x  y  Tổng tất giá trị nguyên tham số m để phương trình log3 nghiệm là A 10 B x2  y  m  x  3x  y  m   có x y C Lời giải D Chọn B log x2  y  m  x  3x  y  m   x y  log  x  y  m   x  y  m  log 3  x  y    x  y  1 Vì x, y  nên x  y  Xét hàm số f  t   log3 t  t là hàm số đồng biến trên  0;   Khi đó 1  x  y  m  3x  y  x  3x  y  m  * Kết hợp với điều kiện x  y   y   x Vì x, y    x   4 Ta có *  x  x  m    m   x  x  4, x   0;   5 44  4 Hàm số y   x  x  nghịch biến trên  0;  (do 1  ) nên  x2  2x   25   Do m 2;3 là các giá trị cần tìm Vậy tổng tất các giá trị m thỏa ycbt là Câu 49 (Hải Hậu - Nam Định - 2020) Biết điều kiện cần và đủ tham số m để phương trình a log m  m  x  x có nghiệm là m   với a , b là hai số nguyên dương và b  Hỏi b a  b  b bao nhiêu? A 31 B 32 C 21 D 23 Lời giải Chọn C m  x  x log m  m   x   x 2x m  m   *      *   m  x   m  x   x   x Xét hàm số f  t   t  t  t   Ta có f   t   2t   với t  , suy hàm số luôn đồng biến với t   *  f   m  x  f  x   m  x  x   x   x  m ** Đặt t  x  t   , đó phương trình ** trở thành t  t  m *** Xét hàm g  t   t  t  t   , ta có g   t   2t   g   t    t  Bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 t g  –   g  Vậy để  *** có nghiệm t  thì m   Câu 50 a  1   a  b  b  21 b  (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình log 22 (4 x)  m log x  2m   có nghiệm thuộc đoạn 1;8 ? A C Lời giải B Chọn D ĐK: x  log 22  x   m log D x  2m      log x   2m log x  2m    log 22 x  log x  2m  log x  11 log x  t ; x  1;8  t   0;3 t  4t  2m t 1 t  4t f t   ; t   0;3 t 1 t  2t  f  t    0, t   0;3  t  1  1   f    2m  f   0m Câu 51 21 , m    m  0,1, 2 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hàm số bậc ba y  f  x  có đồ thị hình vẽ Có bao nhiêu giá trị nguyên số m   5;5 tham log 32  f  x   1  log 2  f  x   1   2m   log cho f  x    2m  có nghiệm x   1;1 ? A B phương C Lời giải D vô số Chọn A Với x   1;1  1  f  x     f  x    Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ trình TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đặt t  log  f  x   1  t   ;  , x   1;1 Khi đó phương trình đã cho trở thành: t  4t   m   t  2m  t    ;    t    t  2t  m      t  2t  m   t  2t  m * t  2t  m  Để phương trình đã cho có x   1;1  phương trình * có nghiệm t   ;2  Xét hàm số f  t   t  2t trên  ;  có f   t   2t    t  1  ;  Ta có bảng biến thiên hàm số f  t   t  2t  t f  t     f t  1 Từ bảng biến thiên suy phương trình * có nghiệm t   ;2  và m  1  m   5;5 Mà   m  1; 0;1; 2;3; 4;5 Vậy có giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán  m   Dạng Phương trình mũ chứa tham số Câu (Mã 101 2018) Gọi S là tập hợp tất giá trị nguyên tham số m cho phương trình 16 x  m.4 x 1  5m  45  có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A B C 13 D Lời giải Chọn D Đặt t  x ,  t   Phương trình trở thành: t  4mt  5m  45  (1) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt t  m  45  3  m   '       P   5m  45   m  3  m    m   4m  S  m     Vì m nguyên nên m  4;5;6 Vậy S có phần tử Câu (Mã 104 2017) Tìm giá trị thực tham số m để phương trình x  2.3x 1  m  có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  A m  B m  C m  Lời giải D m  3 Chọn A Ta có 9x  2.3x1  m   32 x  6.3x  m     m   x x Phương trình có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1  x2   3     m  3x1  x2   m  Câu (Mã 102 2018) Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên tham số m cho phương trình 25 x  m.5 x 1  m   có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử A B C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn C Xét phương trình 25x  m.5x 1  7m2   1 Đặt t  5x  t   Phương trình trở thành t  5mt  7m2     YCBT  Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt  Phương trình  2 có hai nghiệm phân biệt t1 , t2  25m   m       21    S   5m  1 m  P  7 m     Mà m    m  2;3 Vậy có giá trị nguyên tham số m Câu (Mã 103 2018) Gọi S là tất các giá trị nguyên tham số m cho phương trình x  m.2 x1  2m   có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử A B C D Lời giải Chọn B Ta có: x  m.2 x1  2m    x  2m.2 x  2m   (1) Đặt t  x , t  Phương trình (1) thành: t  2m.t  2m   (2) Yêu cầu bài toán  (2) có nghiệm dương phânbiệt    m  m  2m    '       S   2m   m  P  2m       m   hoac m   Do m nguyên nên m  Vậy S có phần tử Câu  10  m  5 (Mã 110 2017) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình x  x 1  m  có hai nghiệm thực phân biệt A m  0;   B m  ;1 C m  0;1 D m  0;1 Lời giải Chọn D   Phương trình x  x 1  m   x  2.2x  m  , 1 Đặt t  x  Phương trình 1 trở thành: t  2t  m  ,  2 Phương trình 1 có hai nghiệm thực phân biệt  phương trình  2 có hai nghiệm thực phân biệt và lớn  1  m        2    m    S    P    m   Câu (Mã 104 2018) Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên tham số m cho phương trình x  m.3x 1  3m  75  có hai nghiệm phân biệt Hỏi S có bao nhiêu phần tử? A B C D 19 Lời giải Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn C   x  m.3 x 1  3m  75  1  3x  3m.3x  3m  75  Đặt t  x ,  t   Phương trình trở thành: t  3mt  3m  75    1 có hai ngiệm phân biệt và   có hai nghiệm dương phân biệt     300  3m  10  m  10    3m   m    m  10 3m2  75   m  5     m  Do m nguyên nên m  6; 7;8;9 Câu (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho phương trình x  (2m  3).3 x  81  ( m là tham số thực) Giá trị m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12  x22  10 thuộc khoảng nào sau đây A 5;10 B 0;5 C 10;15 Lời giải D 15; Chọn C x  (2m  3).3x  81     3x 1  (2m  3).3 x  81  Đặt t  3x  t   Phương trình trở thành: t  (2m  3)t  81   2    2m  3  4.81   2m  3  324 Để phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt thì phương trình   có hai nghiệm phân biệt dương: Điều kiện:  15  m   2m   18     2m   18    m   m   324   m           15 2    2m   18     m  S    2m    m   21 P  81    2m   18 m           m     m     t1  t2  2m  Áp dụng hệ thức Vi-ét:  t1.t2  81 Vì t1.t2  81  3x1.3x2  34  x1  x2  2 2 Do đó: x1  x2  10   x1  x2   x1.x2  10   x1.x2  10  x1.x2   x1.x2  x  t   1  t1  t2  30 Xét hệ phương trình   x1  x2   x2  t2  27 27 Nên 2m   30  m  TM  Vậy chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho phương trình m.16x   m   x  m   1 Tập hợp tất các giá trị dương m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là khoảng  a; b  Tổng T  a  2b bằng: A 14 B 10 D C 11 Lời giải Chọn C +) Đặt: x  t (t  0)  1  m.t   m   t  m     +) Để 1 có nghiệm phân biệt thì  2 phải có hai nghiệm dương phân biệt m  m   m   m        m    m  m      m  3  m     Điều kiện:   m     0  m  0(l ) S   m  m  P   m   m  3 m     m  a  +) Vậy  m     a  2b  11 b  Câu (THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Phương trình x  3.2 x 1  m  có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  1 Giá trị m thuộc khoảng nào sau đây? A  5;0 B  7; 5 C  0;1 D  5;7  Lời giải Đặt t  x Ta có phương trình t  6t  m  Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  1  pt có hai nghiệm dương t1 , t2 thỏa mãn t1.t2  x1  x2 Câu 10      9  m    1 1  6  m    s  2   1 p   m    (THPT Lê Xoay Vĩnh Phúc 2019) Với giá trị nào tham số m để phương trình x  m x 1  m   có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  A m  B m  C m  D m  13 Lời giải Phương trình đã cho tương đương  2m.2 x  2m   (1) 2x Đặt t  x  t   , đó phương trình (1) trở thành: t  2m t  2m   1   Phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình   có hai nghiệm t1 ; t2 dương  m  2m          S    2m   m  Theo định lý Viet ta có P   2m     t1  t2  2m  t1 t2  2m  t  x1 13 Với t  2x ta có:   t1 t2  x1.2 x2  2m   x1  x2  16  2m   m  (thỏa mãn) x2 t2  Câu 11 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Phương trình x  m x 1  2m  có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn x1  x  A m  B m  C m  D m  Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Đặt t  x , t  Phương trình viết thành t  2mt  2m  1 Ta có x1  x2   x1  x2  23  x1.2 x2  Ycbt tương đương phương trình 1 có hai nghiệm dương t1 , t2 thỏa mãn t1.t2  Câu 12   m  2m    t1  t2  2m   m  t t  2m  1 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm tất các giá trị tham số m để phương trình 2 4.4 x  x   2m   x  x 1   6m  3 32 x  x   có hai nghiệm thực phân biệt A   m   1 1 C m  1 m  D 1  m  2 B m   m   Lời giải Chọn D 2 4.4 x  x   2m   x  x 1   6m  3 32 x  x   (1)  4x  x 1   2m   x  x 1 4   9 x  x 1   6m   x  x 1 0 2   2m     3 2  Đặt t    3 x  x 1 x  x 1 ( x 1)   6m  3  (2) 2  2       Suy  t  3  3 Pt (2) trở thành: t  (2m  2)t  6m   (3) t  (loai )  t  2m   Để phương trình (1) có nghiệm x phân biệt  Phương trình t  (2m  2)t  6m   có đúng nghiệm t thuộc khoảng  0;1   2m   1  1  m  2 Chú ý: Nếu t  thì phương trình   3 Câu 13 ( x1)  có nghiệm là x   (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Biết tập các giá trị tham số m để phương trình  m  3 9x   m  1 3x  m   có hai nghiệm phân biệt là khoảng  a; b  Tính tích a.b A B 3 C Lời giải D Chọn D Đặt: 3x  t ,(t  0) Khi đó phương trình trở thành (m  3)t  2(m  1)t  m   0(*) Phương trình có hai nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt  (m  1)(2m  2)       m  1  m    m 1   S    0    m   a.b   1  m  P   m 3   m   m   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 14 Có tất bao nhiêu số nguyên m để phương trình x  m.2 x  2m  2019  có hai nghiệm trái dấu? A 1008 B 1007 C 2018 D 2017 Lời giải x x  m.2  2m  2019  (1 ) Đặt t  x  t   Phương trình (1 ) trở thành t  mt  2m  2019  ( 2) Phương trình ( 1) có hai nghiệm x1; x2 thỏa x1   x2 và phương trình ( 2) có hai nghiệm t1; t2 thỏa  t1   t2 m   2m  2019        S  t  t  m  m0      P  t t  2m  2019   2019   m   t1  1 t2  1  t1t2   t1  t2       2m  2019  m   m  8m  8076   m   m  2019    m  2018 Do m   nên 1010  m  2017 2019 m    m  2018 Số giá trị nguyên m thỏa đề là 1008  Câu 15 Cho phương trình  15  x    2m  1  15  x   Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Ta có m thuộc khoảng nào? A  3;5  B  1;1 C 1;3 D  ; 1 Lời giải Đặt t   x t   15 , t  Khi đó phương trình ban đầu trở thành:  2m  1    t  6t  2m   0, t  (*) t Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  và phương trình (*)   (*) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 thỏa mãn t1   t2    S     m  P    t  t  t1  t2    Theo Viet, ta có: t1 t2  2m   t2  2m    2 t1   t2  t1  2m    2m   2m    2m    m    3;5   Câu 16  (Liên 2    Trường x Thpt   1  a    x Tp Vinh Nghệ An 2019) Phương trình   có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  log 2 3 Khi đó a thuộc khoảng 3  A   ;   B  0;    2  3  C  ;    2  Lời giải   D   ;      Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   x Đặt t   , t  Phương trình trở thành t   2a    t  4t   a  (1) t  GT: Phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  log 2 3    x1  x2 3 Khi đó t1  3t2 YCBT phương trình (1) có nghiệm dương phân biệt thỏa mãn t1  3t2    3  2a     t1  0; t2   t1  a    t1  t2      a  1 t  t t   a   a  1 1 t1t2   a  t1  3t2 Câu 17 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Biết tập các giá trị tham số m để phương trình m  3 x  m 1 3x  m 1  có hai nghiệm phân biệt là khoảng a; b Tính tích a b A B  C D Lời giải Đặt 3x  t , (t  0), phương trình đã cho trở thành (m  3)t  2(m 1)t  m 1  (*) Để phương trình đã cho có nghiệm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt   m  2m       '       m 1  0  1 m  S      m      P  m 1   m  Khi đó a; b  1;3 Tích a.b  Câu 18 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Tìm tất các giá trị mm để phương trình x  m.3 x  m   có hai nghiệm phân biệt A 2  m  B m  C m  2 D m  Lời giải Đặt t  3x  x    t   0;   và x cho ta giá trị t tương ứng Khi đó phương trình trở thành t  2mt  m   *  Để pt đã cho có nghiệm phân biệt, tương đương phương trình *  có hai nghiệm dương phân m  m       biệt   S   2 m  m2 P  m     Câu 19 Xác định các giá trị tham số m để phương trình x   m   x   m  m   x  có hai nghiệm phân biệt? A m  2 B m  3 C m  1 Lời giải Xét phương trình: x   m   x   m  m   x  D m  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2x x 3 3 Chia hai vế phương trình cho x ta     m      m  4m   2 2 x 3 Đặt t    , t   đó phương trình trở thành: t   m   t  m2  4m   2 Phương trình có nghiệm phân biệt và phương trình có nghiệm dương phân biệt  m    m  4m   1         t1  t2   2  m     m  2  m  1 t t   m  ; 3  1;      1  m  4m   Câu 20 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Biết m  m0 là giá trị tham số m cho x1 , x2 thỏa phương trình x   m  1 x   m  1  có hai nghiệm thực mãn  x1   x2    12 Khi đó m0 thuộc khoảng nào sau đây A (3;9) B  9; +  C 1;  Lời giải D  -2;  Chọn C x   m  1 x   m  1  (1) t  Đặt t  3x , t  Pt(1) trở thành: t   2m  1 t   4m  1    t  4m  1 Để pt(1) có nghiệm thì điều kiện cần và đủ là 4m    m  Khi đó pt (1) có hai nghiệm x1  và x2  log  m  1 Từ giả thiết  x1   x2    12   log3  4m -1    12  log  m  1   m   32  1  Vậy m  1;3 Câu 21 (Sở Phú Thọ 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình 16 x   m  1 x  3m   có hai nghiệm trái dấu? A B C Lởi giải D Chọn A Đặt t  x , t  Phương trình đã cho trở thành t   m  1 t  3m   * Yêu cầu bài toán  pt * có hai nghiệm t1 , t2 thỏa  t1   t2    m2  m   t  t   1 m      m9 t t  12 3m    t1  1 t2  1  m    Vậy m có giá trị nguyên Câu 22 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Gọi S là tập hợp các giá trị thực tham số m để phương trình x  m.2 x  2m   có nghiệm Tập  \ S có bao nhiêu giá trị nguyên? A B C D Lời giải Đặt t  x  t   , đó phương tình có dạng t  mt  m     Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm dương Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TH 1: Pt(2) có nghiệm trái dấu  2m    m      m  8m   TH 2: pt(2) có nghiệm dương   m   m   20 2m    1    Nên S   ;      20;    \ S    ;  20  Vậy các số nguyên thỏa mãn là  2     0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 hay đáp án C  Câu 23 (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Cho phương trình x   2m  1 3x   4m  1  có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn  x1   x2    12 Giá trị m thuộc khoảng A  9;    B  3;9  C  2;  D 1;3 Lời giải Đặt t  , t  Phương trình đã cho trở thành: t   2m  1 t   4m  1  (1) x Phương trình đã cho có hai nghiệm thực x1 , x2 và phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt  m  4m  8m      m         S   2  2m  1   m     P    m   3  4m  1   m  Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm là t  4m  và t  Với t  4m  thì 3x1  4m   x1  log  4m  1 Với t  thì 3x2   x2  Ta có  x1   x2    12  x1   log3  4m  1   m  Vậy giá trị m cần tìm là m  Câu 24 (thỏa điều kiện) nên m thuộc khoảng 1;3 (Đề Tham Khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để phương trình 16 x  2.12 x  (m  2).9 x  có nghiệm dương? A B C D Lời giải Chọn A Phương trình 16 x  2.12 x  (m  2).9 x  có nghiệm x   0;  2x x 4 Phương trình tương đương       ( m  2)  có nghiệm x   0;   3 3 x 4 Đặt t    , t  1;   3  t  2.t  (m  2)  0, t  1;    t  2.t   m, t  1;   Xét y  t  2.t Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Phương trình có nghiệm t  1;   m    m  Câu 25 (THPT Ba Đình -2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình x  x  4.3 A 27 x  x2  2m   có nghiệm? B 25 C 23 Lời giải D 24 ĐKXĐ: x   0; 4 Đặt t  x  x với x   0; 4 thì t   0; 2 Đặt u  3t với t   0; 2 thì u  1;9 Khi đó, tìm m đề phương trình u  4u  2m   có nghiệm thuộc đoạn 1;9  2m  u  4u  , với u  1;9 Xét hàm số f  u   u  4u  f   u   2u    u  Ta có, f 1  , f    , f    44 Do đó, phương trình có nghiệm và 44  2m   22  m  Vậy có 25 số nguyên tham số m Câu 26 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Gọi  a; b  là tập các giá trị tham số m để phương trình 2e x  8e x  m  có đúng hai nghiệm thuộc khoảng  0; ln  Tổng a  b là A B C 6 D 14 Lời giải Đặt t  e x ; x   0; ln  tương ứng t  1;5  Phương trình thành 2t  8t  m Xét hàm số f  t   2t  8t với t  1;  có f   t   4t  Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thuộc khoảng  0; ln  phương trình f  t   m có hai nghiệm t  1;   8  m  6 Câu 27 (Sở Bắc Giang 2019) Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên tham số m để phương trình   x 1  m A   x 1  có hai nghiệm dương phân biệt Số phần tử S B C 10 Lời giải D Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đặt   x   t , t  Vì x     1 x   nên  x 1  t  Phương trình đã cho trở thành t m   t  8t  m (*) t Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt và (*) có hai nghiệm phân biệt lớn Xét f  t   t  8t , trên 1;  Ta có f   t   2t  f  t    t  Bảng biến thiên hàm f  t  Từ bảng biến thiên ta có (*) có hai nghiệm phân biệt lớn và 16  m  7 Vậy số phần tử S là Câu 28 (Chuyên Thái Bình 2019) Tìm số giá trị nguyên tham số m    10;10  để phương trình   10  x2 m   10   2.3x 1 có đúng hai nghiệm phân biệt? B 15 A 14  x2  10  x2 m   10  x2 x2 C 13 Lời giải x2 D 16 x2  10    10    2.3x 1     m   (1)     x2  10    10   Đặt t    , t 0   t     (1)  t  m   t  6t  m  (2) t Để (1) có đúng hai nghiệm phân biệt và (2) có nghiệm lớn (2)  m  t  6t Xét hàm số f (t )  t  6t trên khoảng (1;  ) , ta có: f   t   2t  6; f   t    t  Bảng biến thiên: Dựa vào bảng biến thiên ta thấy m  m  là giá trị thỏa mãn yêu cầu bài toán Do m   10;10  nên m  9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2; 1; 0;1; 2; 3; 4; 9 Suy có 15 giá trị m cần tìm x Câu 29 x 1 1 (Việt Đức Hà Nội 2019) Phương trình    m    2m   có nghiệm m nhận giá trị: 9 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A m   B   m   C m   Lời giải x D m    m   x 1 1 Ta có phương trình:    m    2m   9 3 x 1 Đặt t    ,  t   phương trình trở thành: t  m.t  2m    3 Phương trình có nghiệm  phương trình có nghiệm dương t2 1 t  không là nghiệm phương trình nên  m   f (t ) t 2 t   ( L ) t  4t  t  4t  f '(t )  , f '( t )     t  t     (t  2)2 (t  2) t   ( N ) Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình có nghiệm m    m   Câu 30 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Số các giá trị nguyên tham số m để phương trình:  m  1 16 x   m  3 x  6m   có hai nghiệm trái dấu là A B C Lời giải D Cách Đặt t  x , t  , phương trình đã cho trở thành: t  6t  (*)  m  1 t   m   t  m    m   t  4t  Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu phương trình (*) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  t1   t2 Đặt f  t     561 t  6t  10t 2t  56 ' Suy f '  t    x   f t    2 10 t  4t   t  4t   Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên, ta có phương trình (*) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  t1   t2 4  m   Vậy có hai giá trị nguyên tham số m thỏa mãn bài toán là m   và m   Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Cách 2: Đặt t  x , t  , phương trình đã cho trở thành:  m  1 t   m  3 t  6m   (*) Đặt f  x    m  1 t   m  3 t  m  Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 trái dấu phương trình (*) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa mãn:  t1   t2  4  m     m  1 f 1   m  1 3m  12     m  1      4 m 1 Điều đó xảy khi:  m    m  1 f     m  1 6m  5    Vậy có hai giá trị nguyên tham số m thỏa mãn bài toán là m   và m   Câu 31 Phương trình 4x   2x.m.cos( x) có nghiệm Số giá trị tham số m thỏa mãn là A Vô số B C D Lời giải Chọn B Ta có x   x m cos  x   x   x  m cos  x  Ta thấy x  x0 là nghiệm phương trình thì x   x0 là nghiệm phương trình nên để phương trình có nghiệm thì x0  Với x0  là nghiệm phương trình thì m  Thử lại: Với m  ta phương trình x  2  cos  x   * 2 x  2   x  thỏa mãn Vậy m  VT  2; VP  nên  *  2 cos  x   Câu 32 (Sở Hà Nội 2019) Cho phương trình x  m.2 x.cos  x   , với m là tham số Gọi m0 là giá trị m cho phương trình trên có đúng nghiệm thực Khẳng định nào sau đây là đúng? A m0   5; 1 B m0  5 C m0   1; 0 D m0  Lời giải Phương trình x  m.2x.cos  x    2x  22x  m.cos  x  Điều kiện cần: x0 là nghiệm phương trình thì  x0 là nghiệm Vì phương trình có nghiệm nên x0  Thay vào phương trình ta có: m   Điều kiện đủ: Với m  4 ta có x  4.2x cos  x      x  2cos  x    sin  x    x  2 cos  x    2 cos  x   x       cos  x      x  cos  x       sin  x       cos  x   1 x Vậy m  4 thỏa mãn Câu 33 (HSG Bắc Ninh 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình 8x  3x.4 x  3x  x  m3  x3   m  1 x có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc  0;10   A 101   B 100  C 102 Lời giải D 103 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x  x.4 x   x  1 x   m3  1 x3   m  1 x (1) 3   x  x    x  x    mx   mx Xét hàm số f  t   t  t 1  x  1024   x  x  1034   t  1034 0  x  10 x Ta có t   x mà  x  10   Xét hàm số f  t   t  t , t  1;1034  f   t   3t   0, t  1;1034  hay f  t   t  t đồng biến trên 1;1034  x Suy     x  mx  2x  x m x 2x  1, t   0;10  Xét hàm số g  x   x x x.2 x ln  x  x.ln  1  g  x    x2 x2 g  x    x   log e ln BBT ycbt  e.ln   m  104, mà m  Z nên m  3,104 Có tất 102 số nguyên m thoả mãn Câu 34 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình    e3m  e m  x   x  x  x có nghiệm   A  0; ln     1 C  0;   e Lời giải t 1 Đặt t  x   x  t   x  x  x  x  Ta có t '    B  ; ln     x2  x 1 x ,t '   x  1  D  ln 2;   2  Vậy t   1;  Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  t 1  3m m m Phương trình trở thành e3m  e m  2t 1    e  e  t  t  e  t (sử dụng hàm đặc   trưng) Phương trình có nghiệm và chi 1  e m   m  ln  m  (; ln 2] Câu 35 (SP Đồng Nai - 2019) Gọi A là tập tất các giá trị thực tham số m cho tập nghiệm phương trình x.2 x  x  x  m  1  m  x  1 có hai phần tử Số phần tử A A B C Lời giải D Vô số Chọn A Phương trình: x.2 x  x  x  m  1  m  x  1 (1)  x  x  m    x  m  x  1   x  m   x  x  1  x  m  x   x   (2) Xét phương trình (2) :2 x  x   Đặt f ( x)  x  x   f '( x)  x ln     f '( x)   x  log    ln  Bảng biến thiên hàm số f ( x ) : Dựa vào bảng biến thiên ta có phương trình f ( x )  (2) có nhiều nghiệm Mà f (0)  f (1)   phương trình (2) có đúng nghiệm x  0; x   phương trình (1) có các nghiệm là x  0; x  1; x  m m  Để tập nghiệm phương trình (1) có hai phần tử    Số phần tử A m  x x 1 Câu 36 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Giá trị m để phương trình   m  có nghiệm là: A m  B m  C m  D m  1 Lời giải Chọn D x x 1   m  1 x Đặt t  , t  Phương trình 1 trở thành: t  2t  m   m  t  2t   Nhận xét: với t  ta có nghiệm x tương ứng; với t  ta có nghiệm x tương ứng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Phương trình 1 có nghiệm  Phương trình   có nghiệm t1  và nghiệm còn lại t2  t1  là nghiệm phương trình    1  m   m  1 Khi đó phương trình   trở thành: t  2t    t  (thỏa điều kiện trên) Vậy phương trình đã cho có nghiệm và m  1 Câu 37 (THPT Thăng Long 2019) Gọi a; b là tập hợp tất các giá trị thực tham số m để phương trình 2e x  8e x  m  có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 0; ln 5 Giá trị tổng a  b là A B C 6 D 14 Lời giải Chọn D Đặt t  e x Khi đó x  0;ln 5  t  e ;e ln  hay là t  1;5 Phương trình đã cho trở thành 2t  8t  m , với t  1;5 Vì với giá trị t  1;5 ta có và giá trị tương ứng x  0;ln 5 Do đó, yêu cầu bài toán xảy và phương trình 2t  8t  m có hai nghiệm t phân biệt thuộc khoảng 1;5 Xét bảng biến thiên hàm số f t   2t  8t có f  t   4t  trên đoạn 1;5 : Dựa vào bảng trên ta thấy, phương trình 2t  8t  m có hai nghiệm t phân biệt thuộc khoảng 1;5 và 8  m 6 Vậy phương trình 2e x  8e x  m  có đúng hai nghiệm thuộc khoảng 0;ln 5 và m  8; 6 Suy a  8 và b  6 , đó a  b  14 Câu 38 (Chuyên Long An-2019) Giá trị tham số m thuộc khoảng nào sau đây để phương trình x  m.2 x 1  2m  có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1  x2  9  A m   ;5  2  B m   2; 1 C m  1;3 D m   3;5  Lời giải Chọn D x  m.2 x 1  2m    Đặt t  x    t  2mt  2m    Giả sử phương trình   có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn kiện đề bài thì phương trình ** có hai nghiệm t1; t2 thỏa: t1.t2   x1.2 x2   x1  x2   2m   m  Thử lại phương trình   ta có m  thỏa mãn điều kiện Câu 39 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên tham số m cho phương trình 16 x  m.4 x 1  5m  44  có hai nghiệm đối Hỏi S có bao nhiêu phần tử? Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B A D C Lời giải Chọn B m x  5m  44  1 Đặt t  x  t   , phương trình có hai nghiệm x1 , x2 đối  t1t2  x1.4 x2  x1  x2  40  Ta có 16 x  m.4 x 1  5m  44    x   Do đó 1  t  m t  5m  44  phải có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 thỏa t1t2   m2  16 29 16 29  16   5m  44    m      29 29   m  S      m   m P  m  3 4  5m  44      Vậy tập S không có phần tử Câu 40 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên tham số m để phương trình x  2m.2 x  m   có hai nghiệm thực x1 , x2 cho x1  x2  Tập hợp S có bao nhiêu phần tử? A Vô số B C D Lời giải Chọn C Đặt t  x , t  ta phương trình t  2mt  m    t2   m 1 2t  Ta có x1  x2   x1  x2  23  Phương trình 1 có hai nghiệm thỏa mãn  t1  t2  Đặt f  t   t  t  6 t  t2   f  t   0 2t   2t  1 t  3 Bảng biến thiên f  t  trên  0;8 : Từ bảng biến thiên ta thấy 1 có hai nghiệm  t1  t2   m  Câu 41 70 17 Suy có hai giá trị nguyên m là m  và m  (THPT Minh Khai - 2019) Giá trị thực tham số m để phương trình x   2m  3 x  64  có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn  x1   x2    24 thuộc khoảng nào sau đây?  3 A  0;   2   B   ;0     21 29  C  ;   2  Lời giải  11 19  D  ;  2 2 Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đặt t  x , điều kiện t  Phương trình ban đầu trở thành t   2m  3 t  64  * Để phương trình ban đầu có hai nghiệm thực x1 và x2 thì phương trình * phải có hai nghiệm t1 ,  19 m      4m  12m  247  13   13 t2 dương   S     m  m 2  2m   P      m    x1 x2 x1  x2 Theo định lý Vi-ét, ta có t1.t2  64  2  64   64  x1  x2  Ta có  x1   x2    24  x1.x2   x1  x2    24  x1.x2    x1    x1  x2   x2  Từ    x   x1.x2     x2  Khi đó, ta có t1  t2  x1  x2  20  2m   m  Câu 42 17 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình    e3m  e m  x   x  x  x có nghiệm  1 A  0;   e   B  0; ln      C  ; ln    Lời giải 1  D  ln 2;   2  Chọn C Điều kiện: x   1;1 Đặt x   x  t Vì x   1;1  t   1;   Ta có: t  x   x    x  x2  x  x2  t 1 Phương trình đã cho trở thành: e3m  em  t  t Xét hàm số f  u   u  u , f   u   3u   u đó hàm số f đồng biến trên  Phương trình e3m  e m  t  t  f  e m   f  t   e m  t Phương trình có nghiệm và 1  em    em  ( em  )    m  ln  m   ; ln    Câu 43 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để phương trình x m 1.2 x   có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn x1  x2  A m  R B m   2; m   2 C m   2 D m   2 Lời giải Chọn D Đặt t  x , t  Ta có phương trình t m 1t   (1) Phương trình đã cho có hai nghiệm x1 , x2 phương trình (1) có hai nghiệm t1 , t2  Khi đó x1  x2  log t1  log t2  log t1.t2  Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bài toán trở thành tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt t1 , t2 thoả mãn     m 1     log t1.t2    m 1   m  1 2    log t t      12 Câu 44 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Cho hàm số y  f  x liên tục trên  và có đồ thị hình vẽ   Tập hợp tất các giá trị thực m để phương trình f e x  m có đúng nghiệm thực là A  0; 4 B 0; 4 C 0  4;  D  4; Lời giải Chọn C Đặt t  e x Ta có x   t  , t  thì x  và t  thì x   ln t   Phương trình f e x  m 1 trở thành phương trình f t   m 2 Sử dụng các nhận xét trên và đồ thị hàm số y  f  x ta có 1 có đúng nghiệm  2 có đúng nghiệm thuộc 1; và nghiệm này lớn m    m  Vậy tập hợp các giá trị nguyên m thỏa yêu cầu bài toán là 0   4;  Câu 45 (Chuyên Thái Bình - 2019) Tìm số giá trị nguyên tham số m   10;10  để phương trình   10  x2 m   10  A 14 x2  2.3x 1 có đúng hai nghiệm phân biệt B 15 C 13 Lời giải D 16 Chọn B Ta có:   x2 10  m   10  x2 x2 x2  10    10    2.3x 1     m    (1)     x2  10   m Đặt t    , t  Phương trình (1) trở thành: t    t  6t  m (2) t   Phương trình (1) có nghiệm phân biệt  phương trình (2) có đúng nghiệm lớn Xét hàm số: g  t   t  6t trên khoảng 1;    Ta có: g   t   2t   g   t    t  Bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Nhìn vào bảng biến thiên ta có: phương trình (2) có đúng nghiệm lớn  m  Kết hợp điều kiện m nguyên và m   10;10   m   10;5    Có 15 giá trị m thỏa yêu cầu Câu 46 đề (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Tổng tất các giá trị nguyên m để phương trình 3x3 m3 x   x3  9x2  24 x  m 3x3  3x  có nghiệm phân biệt A 34 B 27 C 38 Lời giải D 45 Chọn B x  3 m 3 x  x  3 3 3   x  x  24 x  m  3x 3  3x  m 3 x m 3 x   x  3  27  m  3x  3x 3  3x      x  3  m  3x  27  33  33 x 1 a   x; b  m  3x 1  3b  27  b3  a3  27  3a  3b  b3  3a  a3 Xét f  t   3t  t  f '  t   3t ln  3t  0t  R  f  a   f  b   a  b   x  m  3x  m    x   x   x  x  24 x  27 f  x    x  x  24 x  27  f '  x   3 x  18 x  24 f ' x   x   x  Dựa vào đồ thị:  m  11  m  8,9,10 Câu 47 (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Cho số thực m và hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ đây Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Phương trình f  x  2 x   m có nhiều bao nhiêu nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1; 2 ? A B C Lời giải D Chọn B Đặt t  t  x   x  2 x , với x   1; 2 Hàm số t  t  x  liên tục trên  1; 2 và t '  x   x.ln  2 x.ln 2, t '  x    x  Bảng biến thiên:  17  Vậy với x   1; 2  t   2;   4  5 Với t   2;  có giá trị x thỏa mãn t  x  2 x  2  17  Với t  2   ;  có giá trị x thỏa mãn t  x   x 2   17  Xét phương trình f  t   m với t   2;   4 Từ đồ thị trên ta thấy phương trình f  x  2 x   m có số nghiệm nhiều và  5  17  phương trình f  t   m có nghiệm t1 , t2 , đó có t1   2;  , t2   ;  Do đó phương  2 2  trình f  x  2 x   m có nhiều nghiệm phân biệt thuộc đoạn  1;2 Câu 48 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh 2019) Gọi S là tổng các giá trị nguyên tham số m để phương trình x   x3  m  6m có nghiệm x  1;3 Chọn đáp án đúng A S  35 B S  20 C S  25 Lời giải D S  21 Chọn D Đặt t  x thì phương trình đã cho trở thành t  8t   m  6m với  t  (vì  x  ) Khi đó phương trình x   x3  m  6m có nghiệm x  1; 3  f  t   m2  6m có nghiệm t   2;  , với f  t   t  8t  Ta có f   t   2t  ; f   t    t    2; 8 Bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dựa vào bảng biến thiên ta có: 9  m  6m  m2  6m   m     7  m   m  6m   7  m  Vì m nguyên nên m  6; 5; 4; 3; 2; 1;0 Suy S            21 Câu 49 (Chuyên 1 1 x2 Bắc Giang 1 1 x   m  2   9 2 2019) Tập các trị m để phương trình  2m   có nghiệm là  9   A   ;  giá C   ;4 B 4;  D  4;    Lời giải Chọn D Điều kiện: 1  x  Đặt t  21 1 x ; 1  x    t  t  2t  Phương trình trở thành: t  (m  2)t  2m     m (*) t 2 t  2t  t  4t  Đặt f (t )   f '(t )  t2 t  2 Phương trình có nghiệm  (*) có nghiệm t   2;4  m    Câu 50 Cho hàm số f  x   3x 4   x  1 27  x – x  , phương trình f  x  x  3m   có số nghiệm nhiều thì giá trị nhỏ tham số m có dạng phân số tối giản) Tính T  a  b A T  B T  11 Chọn C T  Lời giải a a (trong đó a , b   và là b b D T  13 C Đặt t   x  x     3x  1  3;7  Khi đó f  t    3m Xét hàm số f  t   3t 4   t  1 27 t  6t  trên đoạn 3;7  Ta có f   t   3t 4 ln  27t   t  1 27 t ln  6; f   t   3t   ln 3  27 t ln  27 t ln   t  1 27 t  ln  2  3t   ln 3   2   t  1 ln 2 27 t ln    0,t3;7  Suy hàm số f   t  đồng biến trên  3;7  Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  f   3  Lại có   f   x   có nghiệm t0 thuộc  3;7   f     Dựa vào BBT, ta thấy phương trình f  t    3m có số nghiệm nhiều  f  t0  m 3 a  5 Suy giá trị nhỏ m là  nên a  b   b   f  t0    3m  4  Câu 51 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để phương trình 91 có nghiệm thực? A B 1 x   m  3 31 1 x  2m   D C Vô số Lời giải Chọn B Ta có   x      x    31 1 1 x Đặt t  1 x 9 phương trình trở thành t   m  3 t  2m   Phương trình 91 1 x   m  3 31 1 x 1  2m   có nghiệm thực  phương trình 1 có nghiệm t  3;9 t  3t  1  m  t 1  vì t   1  m  t2 t2 Xét liên tục trên đoạn f t   t 1  3;9 có t 2 55 f  t     t  3;9  f  t  đồng biến trên đoạn 3;9 Có f    1; f    t  2 Vậy phương trình 91 1 x   m  3 31 1 x  55   2m   có nghiệm thực  m  1;   7 m    Có giá trị nguyên x y y   2   x  y Câu 52 (THPT Thăng Long 2019) Cho hệ phương trình  x 1 , m là tham    m  2.2 y 1 y    số Gọi S là tập các giá trị m nguyên để hệ 1 có nghiệm Tập S có bao nhiêu phần tử? A B C Lời giải D Chọn B Điều kiện y   y  1;1 Từ phương trình thứ hệ 1 ta có x y   x  y   y  y 2 Xét hàm số y  f t   2t  t với t   Dễ thấy y   2t.ln 1  với t   nên hàm số y  f t  đồng biến trên  Do đó phương trình  2 tương đương với x  y  y  x  y Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Thay x  y vào phương trình thứ hai hệ 1 ta y   m  2.2 y 1 y 3 Để hệ đã cho có nghiệm thì phương trình 3 phải có nghiệm y  1;1 Giả sử y0  1;1 là nghiệm 3 thì y0   m  2.2 y0 1 y02 Khi đó 4 y0 1  m2  2.2 y0 1 y0   y0 1  m2  2.2 y0 1 y02 nên  y0 là nghiệm 3 Suy y0   y0  y0  Thay y  vào 3 ta m  Thử lại: với m  thì 3 viết thành y   2.2 y 1 y  y    y  4 y  y  ; VP 4  , dấu y  2y Suy phương trình 4 có nghiệm là y  Vậy m  thỏa mãn Ta có VT 4  , dấu y   cos  bx  có ax nghiệm phân biệt Tìm số nghiệm thực phân biệt phương trình a x  2a x  cos bx     Câu 53 Cho a, b là các số thực thỏa mãn a  và a  , biết phương trình a x  A 28 B 14 C Lời giải D Chọn B Ta có   cos bx  1 ax  2x  2x bx  x a   cos 1   a  x  cos b   x 2  x   2   bx a a   a  x   cos  x   x   bx  x   a  a  a2    2 cos  cos b     x x     2 a a   bx bx Nếu phương trình 1 và phương trình   có nghiệm chung là x0 thì cos  2 cos 2 x0 bx bx  cos   a  x0   x0   cos  (Vô lí) 2 a2 Do đó phương trình 1 và phương trình   không có nghiệm chung a x  2a x  cos bx      a x   Mặt khác theo giả thiết phương trình 1 và phương trình   có nghiệm phân biệt Vậy phương trình đã cho có 14 nghiệm phân biệt Câu 54 Cho hàm số bậc ba y  f ( x ) có bảng biến thiên sau Giá trị lớn m để phương trình e A e B e3 13 f ( x ) f ( x ) 7 f ( x )  2 15 13 C e Lời giải  m có nghiệm trên đoạn 0;2 là D e5 Chọn A Giả sử f '( x)  a ( x  1)( x  3)  a ( x  x  3)(a  0) Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x3 f ( x)   f '( x)dx   a ( x  x  3)dx  a (  x  x)  C 3   a  C  a    15 26 Do f (1)  1, f (3)  nên ta có hệ      15 15 13  C   C    13 13 15 Khi đó hàm số f ( x)   x  x  x  26 13 26 13 Xét hàm số f ( x ) trên đoạn 0;2  x 1 3 ( x  x  3), f '( x)     x   0; 2 26  15 14 15 Ta có: f (0)  , f (1)  1, f (2)  nên  f ( x)  13 13 13 Đặt f ( x )  t  15  13 Xét hàm số g (t )  2t  t  7t  trên đoạn 1;   13  2  t 1  g '(t )  6t 13t  7, g '(t )      t   1; 15    13   15 8778 Ta có: g (1)  4, g ( )  13 2197  15  Suy GTLN g ( x ) trên đoạn 1;  Theo yêu cầu bài toán thì m  e  13  f '( x)  Câu 55 (Hoàng 4  15 Hoa  x Thám    2m  1  15 -  x Hưng Yên 2019) Cho phương trình   ( m là tham số ) Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  Khi đó m thuộc khoảng nào sau đây? A  3;5  B  1;1 C 1;3 D  ; 1 Lời giải Chọn A  Đặt  15  x   t  t     15 Phương trình trở thành: t   x1  x2    15   x  t 2m     t  6t  2m   t x1  x2   15  1   15  * x1 x2 1 t1  t22 Do đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  và phương trình * có hai nghiệm phân biệt dương t1 , t2 thỏa mãn t1  t22    S   Tức là:  P  t1  t22 1       2m   m  +) +) S   luôn đúng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 +) P  2m    m   t1  t2  +) Theo Vi-ét:  t1 t2  2m   2  3 Từ 1 và  3 suy ra: t23  2m   t2  2m   t1  Thay vào   ta    2m    2m   m  tm   2m   m        2m   3  m  14  ktm    Vậy m    3;5 Câu 56 (THPT Minh Khai 2019) Gọi S là tập hợp tất các giá trị nguyên tham số m để phương trình 5x  10  m 25x  có nghiệm Số tập S là A B C 16 Lời giải Chọn C x  10 x  10  m 25x    m 1 25 x  TH 1: m  Phương trình 1 vô nghiệm 5 TH 2: m  (1)  x  10  D 15  m2 25x  t  10   x Đặt t  , t  Ta có:  m2 (2) t 4 t  10   Xét hàm số f  t   trên khoảng  0;   t 4 t  10(l ) 20t  192t  80 f  t   f (t )    2 t  (tm) t  4  Bảng biến thiên: Đề phương trình 1 có đúng nghiệm  Phương trình   có đúng nghiệm t   m2  26  Do điều kiện 1  m  25 m   m  2,3, 4, 5  m   Vậy S  2,3, 4,5 , đó số tập S là  16 Câu 57 (Sở Quảng Trị 2019) Tìm tập hợp tất các giá trị tham số m để phương trình x  x 1  m.2 x A 1;   2 x  3m   có nghiệm phân biệt B  ;1   2;   C  2;  D  2;   Lời giải Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn C 2 Xét phương trình: x  x 1  m.2 x  x   3m   Đặt t  x  x 1  2 x 1 1 Do đó, ta có  x  1  log t Điều kiện  t  1 Ta có phương trình: (1) trở thành: t  2mt  3m     Ta nhận thấy giá trị t  cho hai giá trị x tương ứng Như phương trình (1) có nghiệm phân biệt và phương trình (2) có nghiệm thỏa:  t1  t2     2t  3 m  t  , không là nghiệm phương trình t2  t2  3 Xét t  ,    m  Xét hàm g  t   trên 1;   \   2t  2t  2 t  2t  6t  g 't   ; g ' t      2t  3 t  Nhận xét: t  Dựa vào bảng biến thiên, ta cần m  2 Câu 58 Cho phương trình: x  x  x  m  x  x  x3  x  m  Tập các giá trị để bất phương trình có ba nghiệm phân biệt có dạng  a ; b  Tổng a  2b bằng: A B C  Lời giải D Chọn B 2 2 Ta có: x  x  x  m  x  x  x  x  m   x  x  x  m  x  x  x  m  x  x  x  x * Xét hàm số f  t   2t  t trên  Ta có: f   t   2t ln   0, t    Hàm số f  t  đồng biến trên  Mà *  f  x  x  x  m   f  x  x   x  x  x  m  x  x  x3  3x  m   m   x3  3x ** Xét hàm số g  x    x3  x trên  Ta có: g   x   3 x  g   x    x  1 Bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Phương trình x  x 2 x m  2x x  x  x  m  có nghiệm phân biệt  phương trình (**) có a  2  a  2b  nghiệm phân biệt  2  m    b  Câu 59 (Chuyên ĐH Vinh- 2019) Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình   9.32 x  m 4 x  x   3m  3x   có đúng nghiệm thực phân biệt? C Lời giải B A Vô số D Chọn C     Ta có: 9.32 x  m 4 x  x   3m  3x    32 x 1  m x   3m  3x   1  m x   3m  x 1 3 1 Đặt x   t thì PT trở thành 3t  t  m t  3m  * 3 Vậy bài toán trở thành tìm m để phương trình * có đúng nghiệm thực phân biệt  3x 1      Nhận thấy, to là nghiệm * thì to là nghiệm * Suy ra, điều kiện cần để phương trình * có đúng nghiệm thực phân biệt là * có nghiệm t   m  2    m  3m  3  m2  m     m  Thử lại: 2 t 3  Với m  2 thì * trở thành 3t  t  3 Cauchy 2 Nhận thấy, VT  3t  t  , VP   3   PT có nghiệm t  nên m  2 3 không thỏa mãn 1  Với m  thì * trở thành 3t  t  t   3t  t  t   ** 3 3 t Xét hàm số f  t    t  t  với t  3 ln ln  với t  Ta có, f   t   3t.ln  t  ; f   t   3t ln  t  3 t t3  f   t  đồng biến trên  0;    f   t   có nhiều nghiệm t           f  t   có nhiều nghiệm t  Lại có, f 1  và f     Phương trình ** có nghiệm là t  , t  1 Vậy m  thỏa mãn Câu 60 Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m  2019;2019 để phương trình x 1 mx  2m 1   có đúng nghiệm thực phân biệt? x 1 x2 A 4038 B 2019 C 2017 D 4039 Lời giải Chọn C x  mx  2m  x  m( x  2)  Ta có phương trình 2019 x     2019 x   0 x 1 x2 x 1 x2 2x 1 1 2x 1  2019 x  m 0m  2019 x  x 1 x2 x2 x 1 2019 x  Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét hàm số 2x 1 y  2019 x   y'    2019 x ln(2019)   0; x   \ 1;2 x 2 x 1 ( x  2) ( x  1)2 Ta có bảng biến thiên Vậy để phương trình có nghiệm phân biệt thì m  ; 2 mà m  2019; 2019; m   Vậy ta có 2017 số nguyên m cần tìm Câu 61 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Gọi S là tập hợp các giá trị tham số m cho hai phương trình x   3m và m  3x  x  x  có nghiệm chung Tính tổng các phần tử S A B C D Lời giải Chọn B Vì hai phương trình đã cho có nghiệm chung nên hệ sau có nghiệm 2 m  x    m  log3 x    log3 x   3x  x  x   x m   x  x  m  3x  x  x      log3 x   x   3x  x        log x   3x  x  3 log3 x 1 Xét hàm số f  t   3t  t xác định trên   f '  t   3t.ln   suy hàm f  t   3t  t đồng   biến trên  suy log3 x   x  x   x Xét hàm số g  x   x   xác định và liên tục trên  x Ta có g '  x   x  3x ln  g ''  x    3x ln  g '''  x   3x ln 3  Suy hàm số g ''  x  nghịch biến trên  Do đó g  x   có nhiều là nghiệm  x  m    Ta lại có g    g 1  g    Suy phương trình x     x    m   x  m    x Vậy S  Câu 62 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Giá trị tham số m để phương trình x  m.2 x 1  2m  có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1  x2  là A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn C Đặt t  x , t  Phương trình trở thành t  mt  2m  (*) Để phương trình ban đầu có nghiệm thì phương trình (*) phải có nghiệm dương m  2m         S    2m   m  P   2m    Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có x1  x2   x1  x2  23  x1.2 x2   t1.t2   2m   m  Kết luận m  Câu 63 (Chuyên Chu Văn An - 2020) Tìm m để phương trình x  x 1  m  có hai nghiệm trái dấu A m  B m  C 1  m  D  m  Lời giải Chọn D Đặt t  x , điều kiện: t  Phương trình trở thành: t  2t  m  (*) Phương trình x  x 1  m  có nghiệm phân biệt trái dấu  t  2t  m  có nghiệm dương phân biệt t1 , t2 thỏa mãn: t1   t2     m    m  Phương trình (*) có nghiệm dương phân biệt   t1.t2  m  Phương trình có nghiệm lớn và nghiệm nhỏ và  t1  1 t2  1   t1t2   t1  t2     m  1   m 1 Kết hợp các điều kiện thì ta  m  thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 64 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để phương trình x  2.6 x 1   m  3 x  có hai nghiệm phân biệt? A 35 B 38 C 34 Lời giải D 33 Chọn A 2x x 3 Phương trình tương đương    12     m      2 x 3 Đặt t    , t  2 Phương trình trở thành t  12.t   m  3  , t  (*) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt dương  '  39  m  m  39    P    m       m  39 m   S   12     Câu 65 Vậy có 35 giá trị nguyên dương tham số m (ĐHQG Hà Nội - 2020) Gọi S là tập hợp các số nguyên m cho phương trình 4x  m.2x 1  3m  500  có nghiệm phân biệt Hỏi tập S có bao nhiêu phần tử A B C D Lời giải Chọn C Đặt t  2x t  0 đó phương trình 4x  m.2x 1  3m  500  1 trở thành: t  2m.t  3m  500  2 Để 1 có nghiệm phân biệt và 2  m  3m  500   0    có nghiệm dương phân biệt hay  P   3m  500     S   2m     Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   5 10  m  10     10 15 10 15 10 15   m  m    m  10  3   m0      Vậy tập hợp các số nguyên m là S  13;14;15 Câu 66 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Tìm điều kiện tham số a để phương trình sau có nghiệm: 91 1 x   a   31 A  a  1 x  2a   Hãy chọn đáp án đúng nhất? 64 B  a  64 C  a  50 D  a  50 Lời giải Chọn A Đặt t  31 1 x vì   x    t  Khi đó bài toán trở thành tìm điều kiện tham số a để phương trình t   a   t  2a   * có nghiệm trên đoạn  3;9 Ta có *  t  2t   a  t   t  2t  a t 2 t  1 3;9 t  2t  t  4t  ' Xét f  t    f ' t   ; f t     t2 t2 t   3;9 64 64 4a Ta có f  3  4; f    thì phương trình bài có nghiệm 7 Câu 67 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Điều kiện m để hệ bất phương 72 x  x 1  2 x 1  2020 x  2020 có nghiệm là :   x   m   x  2m   A m  3 B 2  m  C 1  m  D m  2 Lời giải Chọn D Vì t  không phải nghiệm phương trình nên *  72 x x 1  2 x 1  2020 x  2020  x  x 1    1010 x  x   2 x 1   1010  x  trình   * Hàm số f (t )  7t  1010.t đồng biến trên ℝ *     f 2x  x 1  f  x 1  Suy : x  x    x   1  x  x   1;1 : x   m   x  2m    m  Ycbt  x   1;1 : m  x2  x  x2 Từ bảng biến thiên ta có, **  m  2 x2  x  x2 ** Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 63 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 68 2 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho phương trình 16 x  2.4 x 1  10  m ( m là tham số) Số giá trị nguyên tham m  10;10 để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phân biệt là A B D C Lời giải Chọn C Đặt t  x , t  Khi đó phương trình đã cho trở thành t  8t  10  m (1) Nghiệm t  cho nghiệm x  Mỗi nghiệm t  cho hai nghiệm x đối Do phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt và phương trình (1) có đúng nghiệm t  1, nghiệm còn lại (nếu có) phải nhỏ Xét hàm số f  t   t  8t  10 Bảng biến thiên m  Từ bảng biến thiên ta có phương trình (1) có nghiệm lớn   m  6 Suy số giá trị nguyên m   10;10 là Câu 69 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Gọi S là tập nghiệm phương trình  x  x   3 2x  m  (với m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên m   2020;2020 để tập hợp S có hai phần tử? A 2094 B 2092 C 2093 Lời giải D 2095 Chọn A Gọi D là tập xác định phương trình đã cho x Nếu m  thì 32  m  0x   nên D   Nếu m  thì D  log  log m  ;   2 x  2x  3 2x  x  x  1  m    2x  3  m    Xét hàm số f  x   x  x có f   x   x ln  2; f   x    x  đó phương trình ln f  x   có không quá nghiệm x  Mặt khác f 1  0; f    nên 1   x  Lại có với m  ,    x  log  log m  Trang 64 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Nếu m  thì S  1; 2 (thỏa mãn yêu cầu bài toán) Nếu m  thì S có hai phần tử và  log  log3 m     m  81 m  Vậy S có hai phần tử và  * Số các giá trị nguyên m  2020; 2020 9  m  81 thỏa mãn * là  2020   81   2094 Câu 70 (Sở Ninh Bình 2020) Cho hai số thực a  , b  Gọi x1 , x2 là hai nghiệm phương trình  xx  a b  Trong trường hợp biểu thức S     x1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất, khẳng định  x1  x2  nào đây đúng? x x 1 3 A a  b B a  b C a  b Lời giải 3 D a  b Chọn C 2 a xb x 1   a xb x  b  ln a x b x  ln b Ta có a b b x x2  ln a  ln b  ln b  x2 ln b  x ln a  ln b  ln b  b  Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt  2   ln a  4ln b  a  1, b   x 1 x  Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x1 , x2 ln a   x1  x2   ln b   logb a Theo định lý Viét ta có   x x   ln b  1  ln b 2  1   xx   log b a Khi đó ta có S     x1  x2     log b a  log b2 a  x1  x2    log b a  Do a  , b   logb a  logb  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có 1 S  6logb a   3logb a  3logb a  3 3logb a.3logb a  3 2 logb a logb a logb a 1 3  3log a  log a   log a   a  b Dấu “=” xảy và b b b logb2 a 3 Vậy khẳng định đúng là a  b Câu 71 (Sở Bắc Ninh - 2020) Gọi S là tập tất các giá trị m để phương trình 16 x  6.8x  8.4 x  m.2 x 1  m2  có đúng hai nghiệm phân biệt Khi đó S có A tập B Vô số tập C tập D 16 tập Lời giải Chọn D Đặt t  x ,  t   , phương trình đã cho trở thành t  6t  8t  2mt  m2  * , t  Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt và phương trình * có đúng hai nghiệm dương phân biệt  m  t  4t 1 *   t  6t  9t    t  2mt  m      m  t  2t   2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 65 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét hai hàm số f  t   t  4t; g  t   t  2t trên khoảng  0;   có đồ thị sau Dựa vào đồ thị hai hàm số này ta suy phương trình * có đúng hai nghiệm dương phân biệt và m  0;1; 3; 4 hay S có phần tử Vậy S có 24  16 tập Câu 72 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Tìm tập hợp các giá trị tham số thực m để phương trình x    m  x  m  có nghiệm thuộc khoảng  0;1 A 3; 4 B  2;  C  2;  Lời giải D  3;  Chọn C Phương trình x    m  x  m   m  x  3.2 x  2x x  3.2 x liên tục trên  0;1  2x 12 x ln  x ln  3.2 x ln x  3.2 x Ta có f '  x    0, x   0;1 Suy hàm số f  x   đồng  2x 1  x  Xét hàm số f  x   biến trên  0;1 Do đó phương trình x    m  x  m  có nghiệm thuộc khoảng  0;1 và f    m  f 1 , tức là  m  Câu 73 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên m   2019; 2020  cho hệ phương trình sau có nghiệm   4  9.3x2  y   x2  y y  x2   ?  2 x   y  x  m B 2021 C 2019 Lời giải A 2017 D 2020 Chọn A Xét phương trình:  9.3x 2 y    9x 2 y  y  x2  Đặt t  x  y , phương trình trở thành:  9.3t    9t  t  4.7t  9.3t 7t  4.49  49.32 t  7t   3t 3t  t 32      * t 3 3 Giả sử 3t  7t 32         t  7 7 Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VT *  Nếu t     * vô nghiệm VP *  VT *  Nếu t     * vô nghiệm VP *  Nếu t   VT *  VP *  * có nghiệm t   x  y   y  x  3 x  x   m 1  Ta được: x   x  x   m   x   1   Xét hàm số f  x   3x  x  , với x   ;     f   x   x   0, x  , suy hàm số 2  1    11 1  f  x  đồng biến trên khoảng  ;     f  x   f     1 có nghiệm x   ;    2  2 2  11 11  m   m   ; 2020  Vì m nguyên nên m  3; 4;5; ; 2019 4  Vậy có 2017 giá trị m Câu 74 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Tính tổng tất các nghiệm phương trình e thuộc đoạn  0;50  A 2671 B 1853 2475 Lời giải C D  sin( x  )  tan x 2653 Chọn C Điều kiện: cos x  Nhận thấy e  sin( x )  x  R  tan x  sin x Ta có: e  sin( x )  tan x  e (sin xcos x ) sin x cos x sin x e sin x e e   cos x    (*) cos x cos x sin x cos x e t Xét hàm số f (t )  e t , t  (1; 0)  (0;1) có: t e ( 2t  2)  0, t  (1; 0)  (0;1) 2t  f (t) nghịch biến trên khoảng (1; 0) và (0;1) f '(t )  Bảng biến thiên:  Từ bảng biến thiên ta thấy: f (1)  e  0, f (1)  e 0 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 67 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   k , k  Z  199 Theo giả thiết x   0;50     k  50    k  (**) 4 Do đó từ (*) ta có: f (sin x )  f (cos x )  sin x  cos x  x  Do k  Z nên từ (**) suy k  0;1; ; 49 , có 50 giá trị k thỏa mãn Vậy tổng tất các nghiệm phương trình trên đoạn  0;50  là: 49  2475 S   (  k)  k 0 Câu 75 (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Tìm tập hợp các giá trị tham số m để phương trình (ẩn x ): 3log2 x   m  3 3log2 x  m2   có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 x2  A  1;   \ 0 B  0;   C  \  1;1 Lời giải D  1;   Chọn A Điều kiện xác định: x  Ta có: 3log2 x   m  3 3log2 x  m2   1   3log x    m  3 3log2 x  m2   Đặt: t  3log2 x  t    log x  log3 t  x  2log t Khi đó: t   m  3 t  m     Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt  Phương trình   có hai nghiệm phân biệt dương t1 ; t2  m  3   m  3       m  1   S   2  m  3     m  1  m  3  P   m   t1  t2   m  3 Theo hệ thức Vi-et, ta có:  t1.t2  m  Ta có: x1.x2   2log t 2log t   2log  t t   log m  2   2 3 2  log  m2  3   m2    m2   m0  m  1 Vậy  m  Dạng Phương trình kết hợp mũ và logarit chứa tham số Câu (Mã 103 -2019) Cho phương trình  log32 x  log x  1 x  m  ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên dương m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt? Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Vô số B 124 C 123 Lời giải D 125 Chọn C  x  x  Điều kiện:  x   x  log m 5  m   m    log x  log x  1 x  m  (1)  x  3, x   log32 x  log3 x     x  5  m  x  f  x    m Xét f  x   5x hàm số đồng biến trên  Dựa vào bảng biến thiên, để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m  0  m   , m     5  m  125 3  m  124  Nên có 123 giá trị m thoả mãn Câu  (Mã 102 - 2019) Cho phương trình log 22 x  3log x   3x  m  ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên dương m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt? A vô số B 81 C 79 D 80 Lời giải Chọn C  x   x  Điều kiện  x (*)  x 3  m   m  Ta có  log 22 x  3log x    log 22 x  3log x    m  1    3x  m   x  2  3 x   log x   Trong đó    (4)  x   log x     x Với m  thì  m  log3 m  x Do đó, phương trình (1) có đúng hai nghiệm phân biệt và xảy các trường hợp sau: TH1: (3) có nghiệm x  log3 m    m  Kết hợp điều kiện (*) và (4) ta m  thì (1) có hai nghiệm phân biệt x  và x  TH2: m  , đó (*)  x  log3 m  1 nên (1) có hai nghiệm phân biệt và  log3 m    m  34 2 Mà m nguyên dương nên ta có m  3, 4, ,80 , có 78 giá trị m Vậy có 79 giá trị nguyên dương m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt Và  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 69 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 104 2019) Cho phương trình  log 32 x  log x  1 x  m  ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên dương m để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt? A 64 B Vô số C 62 D 63 Lời giải Chọn C x  Ta có điều kiện  (*) (với m nguyên dương)  x  log m Phương trình  log32 x  log x  1 x  m  1  log 32 x  log x      x   m  3 x   log x  Phương trình      x   log x     Phương trình  3  x  log m Do m nguyên dương nên ta có các trường hợp sau: TH 1: m  thì log m  Do đó (*) là x  Khi đó nghiệm phương trình (3) bị loại và nhận nghiệm phương trình   Do đó nhận giá trị m  ) Để phương trình 1 có đúng hai nghiệm phân biệt TH 2: m  thì (*) là x  log m (vì log m    log m  3   m  43 Suy m  3; 4;5; ;63 Vậy từ trường hợp ta có: 63     62 giá trị nguyên dương m Câu  (Mã 101 2019) Cho phương trình log 22 x  log x   x  m  ( m là tham số thực) Có tất bao nhiêu giá trị nguyên dương m để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt? A 49 B 47 C Vô số D 48 Lời giải Chọn B x  x   x Điều kiện:  x 7  m  7  m  * Trường hợp m  thì log 22 x  log x   x  m   log 22 x  log x    log x  x     log x  1 log x  5      log x    x  2   Trường hợp này không thỏa điều kiện m nguyên dương x  * Trường hợp m  , ta có  x  x  log m m  và x   m  7  m Trang 70 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x    log x  log x    x  Khi đó log x  log x   m     x2   x  m   x  log m  + Xét  m  thì nghiệm x  log m  nên trường hợp này phương trình đã cho có đúng  2   nghiệm x  2; x  thỏa mãn điều kiện + Xét m  , đó điều kiện phương trình là x  log m Vì    nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt và  log m   5  72  m  Trường hợp này m  3; 4;5; ; 48 , có 46 giá trị nguyên dương m Tóm lại có 47 giá trị nguyên dương m thỏa mãn Chọn phương án B Câu (Mã 102 2018) Cho phương trình x  m  log ( x  m ) với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên m   15;15  để phương trình đã cho có nghiệm? B 16 A 15 D 14 C Lời giải Chọn D Ta có: x  m  log  x  m   x  x  log ( x  m )  x  m (*) Xét hàm số f (t )   t , với t   Có f' (t )  ln   0, t   nên hàm số f  t  đồng biến t t trên tập xác định Mặt khác phương trình (*) có dạng: f ( x )  f  log ( x  m )  Do đó ta có f ( x )  f  log ( x  m )   x  log ( x  m)  3x  x  m  3x  x   m   Xét hàm số g  x   3x  x , với x   Có g' ( x)  3x ln  , g' ( x)   x  log    ln  Bảng biến thiên Câu Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị tham số để phương trình có nghiệm là:      m    ;  g  log     Vậy số giá trị nguyên m   15;15  để phương trình đã cho có  ln      nghiệm là: 14 (Mã 101 2018) Cho phương trình 5x  m  log5  x  m  với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên m   20; 20  để phương trình đã cho có nghiệm? A 19 B C 21 Lời giải D 20 Chọn A Điều kiện: x  m Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 71 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x  m  5t Đặt: t  log  x  m    x  5x  x  5t  t 1 5  m  t u Xét hàm số f  u    u  f   u   5u ln   0, u   Do đó: 1  x  t  x  5x  m  m  x  5x Xét hàm số f  x   x  5x , x  m Do: x   m  x , suy phương trình có nghiệm luôn thỏa điều kiện   f   x    5x ln , f   x     x ln   x  log    ln  Bảng biến thiên: x ∞ ≈ 0,295 + y' +∞ ≈ 0,917 y ∞ ∞    m  19;  18; ;  1 Dựa vào bảng biến thiên  m  0,917  Vậy có 19 giá trị nguyên m thỏa ycbt (Mã 103 -2018) Cho phương trình x  m  log  x  m  với m là tham số Có bao nhiêu giá trị m 20;20 Câu nguyên m   25; 25  để phương trình đã cho có nghiệm? A B 25 C 24 Lời giải D 26 Chọn C ĐK: x  m x 7  m  t Đặt t  log  x  m  ta có  t  x  x  7t  t 1  m  x  u Do hàm số f  u    u đồng biến trên  , nên ta có 1  t  x Khi đó: 7x  m  x  m  x  7x Xét hàm số g  x   x  x  g   x    x ln   x   log  ln  Bảng biến thiên: Từ đó phương trình đã cho có nghiệm và m  g   log  ln    0,856 (cácnghiệm này thỏa mãn điều kiện vì x  m  x  ) Do m nguyên thuộc khoảng  25; 25  , nên m  24; 16; ; 1 Câu Cho phương trình x  m  log  x  m   với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m   20; 20  để phương trình đã cho có nghiệm thực? Trang 72 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 20 C 18 Lời giải Ta có: x  m  log  x  m    x  log  x  m   m  1 B 21 D 19 ĐKXĐ: x  m Đặt t  log5  x  m  , ta có x  m  5t t t  x  m   x  m   * Khi đó ta có hệ phương trình   x x t t  m  5  x   t   Xét hàm số f  u   5u  u , u   + f   u   5u ln   0, u suy hàm số f  u   5u  u đồng biến trên  Do đó    f  x   f  t   x  t Thay vào phương trình * ta có m  x  x  3 Ta có x  m  x  , đó phương trình 1 có nghiệm  phương trình  3 có nghiệm x     Xét hàm số g  x   x  5x , x   , có g   x    x ln 5, g   x    x  log    ln  + lim  x  x   ; lim  x  x    x  x  BBT x  g  x   g  x    log    ln    log    e ln       Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm  m  log    0, 91  e ln  Vì m   20; 20  và là số nguyên, suy m 20; 19; ; 1 Vậy có 19 giá trị m Câu (Mã 104 2018) Cho phương trình x  m  log  x  m  với m là tham số Có bao nhiêu giá trị nguyên m   18;18  để phương trình đã cho có nghiệm? A B 19 C 17 Lời giải D 18 Chọn C ĐK: x  m  x  m  t  x  x  2t  t 1 Đặt t  log  x  m  ta có  t   m  x u Do hàm số f  u    u đồng biến trên  , nên ta có 1  t  x Khi đó: 2x  m  x  m  x  2x Xét hàm số g  x   x  x  g   x    x ln   x   log  ln  Bảng biến thiên: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 73 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Từ đó phương trình đã cho có nghiệm và m  g   log  ln    0,914 (các nghiệm này thỏa mãn điều kiện vì x  m  x  ) Do m nguyên thuộc khoảng  18;18 , nên m  17; 16; ; 1 Câu 10 (Chuyên Nguyễn Du-ĐăkLăk 2019) Cho phương trình 5x  m  log  x  m  Có bao nhiêu giá trị m nguyên khoảng  20; 20  để phương trình trên có nghiệm? A 15 B 19 C 14 Lời giải D 17 Chọn B Ta có phương trình 5x  m  log5  x  m  (1) với điều kiện x  m  Đặt log5  x  m   t  x  m  5t (*) thay vào phương trình (1) ta có 5x  m  t  t  m  5x (**) Từ (*)  x  m  5t và (**) ta có hệ phương trình  Từ hệ phương trình ta suy x  t  5t  5x x t  m   x  5x  t  5t Xét hàm số f  x   x  5x trên  , ta có f   x    x.ln  x   nên hàm số f  x   x  5x luôn đồng biến trên  , đó ta có x  5x  t  5t  f  x   f  t   x  t thay vào phương trình (**) ta có x  m  5x  x  5x  m Đặt g  x   x  5x ta có g   x    5x.ln Ta có g   x     5x.ln   x     x  log   ln  ln        Ta có BBT với g  log5     log5    ln    ln  ln    Từ bảng biến thiên ta thấy phương trình x  5x  m có nghiệm m   hay m  log  Ta suy   ln  ln có 19 giá trị nguyên m thỏa mãn Câu 11 Tổng tất các giá trị tham số m để phương trình x  x 5 m2  log x2  x 6  m  1 có đúng nghiệm là A 2 B C D Trang 74 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn D Đặt t  x  x  , đó t  Thế vào phương trình đã cho ta phương trình sau 2 t ln  t  1  m ln  m  1  t  m  x  x   m (Do hàm đặc trưng f  u   2u ln  u  1 có f  u   Vậy x 2u  2u ln  u  1 ln  0, u   f  u  đồng biến trên  0;   ) u 1  x 5 m2  log x2  x 6  m2  1 có đúng nghiệm  x  x   m  có đúng nghiệm    m    m  1  Tổng tất các giá trị m Câu 12 Tổng tất các giá trị tham số m để phương trình đúng ba nghiệm phân biệt là: A B x  x 1 x  m C Lời giải  log x2 2 x 3  x  m   có D Chọn B Phương trình tương đương 3x  3x 2  x  3 (2 x  m  2)  ln  x  m   ln  x  x  3 .ln  x  x  3  32 x m  2.ln  x  m   (*)  x 3 Xét hàm đặc trưng f  t   3t.ln t , t  là hàm số đồng biến nên từ phương trình (*) suy  x2  2x   x  m   g  x   x2  x  x  m    x  x  2m  x  m 2 x  x  m  g ' x   Có g  x    x  m x  m 2 x  x  2m   x  x  m và g '  x      x  x  m Xét các trường hợp sau: TH1: m  ta có bảng biến thiên g  x  sau: Phương trình có tối đa nghiệm nên không có m thoả mãn TH2: m  tương tự TH3:  m  , bảng biến thiên g  x  sau: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 75 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  m   m  1    Phương trình có nghiệm  2m    2m    m    2m    2m    m   Cả giá trị trên thoả mãn, nên tổng chúng Câu 13 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số a trên đoạn  10;10 để phương trình e x  a  e x  ln 1  x  a   ln 1  x  có nghiệm B 10 A C Lời giải D 20 Chọn D x 1 a  Điều kiện xác định  (*)  x 1  Phương trình tương đương với e x  a  e x   ln 1  x  a   ln 1  x    Đặt f  x   e x  a  e x , g  x   ln 1  x  a   ln 1  x  , Q  x   f  x   g  x  Phương trình đã cho viết lại thành Q  x   +) Với a  thì Q  x   (luôn đúng với x thoả mãn (*)) +) Với a  có (*) tương đương với x  1 , f  x  đồng biến và g  x  nghịch biến với x  1 Khi đó, Q  x  đồng biến với x  1 (1)   1 x  a  a    Q  x   lim   e x  a  e x  ln  lim  e x  a  e x  ln 1   x lim       x  1   x  x 1    x    1 Ta có  (2)  lim Q x  lim e x e a   ln 1  a        x    x    x   Kết hợp (1), (2) thì phương trình Q  x   có nghiệm   +) Với a  có (*) tương đương với x  1  a , g  x  đồng biến và f  x  nghịch biến với x  1  a Khi đó, Q  x  nghịch biến với x  1  a (3) Ta có:   1 x  a  a    Q  x   lim   e x  a  e x  ln  lim  e x  a  e x  ln 1   x lim       x  1 a    x  x 1a     x    1a  (4)   lim Q x  lim e x e a   ln 1  a        x    x    x   Kết hợp (3), (4) suy Q  x   có nghiệm   Do a là số nguyên trên đoạn  10;10 nên kết hợp trường hợp trên thấy có 20 giá trị a thoả mãn điều kiện bài Câu 14 (Chuyên Sơn La - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m thuộc  2020; 2020  để phương trình e x  ln  x  2m   2m có nghiệm? A 2019 B 2020 C 2021 Lời giải D 4039 Chọn A Trang 76 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ln x  m   ln  x  2m  (*) Ta có e x  ln  x  2m   2m  e x  x  ln  x  2m   x  2m  e x  x  e  Xét hàm số f  t   et  t với t    f   t   et   0, t Suy hàm số f  t  đồng biến trên  Do đó *  f  x   f  ln  x  2m    x  ln  x  2m   x  2m  e x  2m  e x  x Xét hàm số g  x   e x  x  g   x   e x   g   x    x  Bảng biên thiên Từ bảng biên thiên suy phương trình có nghiệm và 2m   m  Mà m  , m   2020; 2020  nên m1;2;3; ;2019 Vậy có 2019 giá trị nguyên tham số m thuộc  2020; 2020  để phương trình x e  ln  x  2m   2m có nghiệm Dạng Phương trình mũ – logarit chứa nhiều ẩn Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Có bao nhiêu cặp số nguyên  x ; y  thỏa mãn  x  2020 và log 3 x  3  x  y  y ? A 2019 B C 2020 Lời giải D Chọn D Cách 1: Ta có: log 3 x  3  x  y  y  log  x  1  x   y  32 y 1 Đặt log  x  1  t  x   3t Phương trình 1 trở thành: t  3t  y  32 y 2 Xét hàm số f u   u  3u trên  f  u    3u ln  , u   nên hàm số f u  đồng biến trên  Do đó 2  f t   f 2 y   t  y  log  x  1  y  x   y  x  y  Vì  x  2020   y   2020   y  2021   y  log 2021 log 2021  3, 464 Do y    y  0;1; 2;3 , có giá trị y nên có giá trị x Vậy có cặp số nguyên  x ; y  Cách 2: Ta có: log 3 x  3  x  y  y  log  x  1  x   y  32 y Xét hàm số f  x   log  x  1  x  với x  0; 2020   0, x  x  0;2020  Hàm số f  x đồng biến trên đoạn Ta có f   x   x  1 ln 0; 2020 Suy f 0  f  x  log  x  1  x   f  2020   f  x  log 2021  2021   y  y  log 2021  2021  2028 Nếu y   y  y  y  90   y  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 77 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khi đó y    2 y  y     y  y  2027  y  2027  y  2027  y  log 2027  3, 465  y    y   y  0;1; 2;3 Do f  x  là hàm số luôn đồng biến nên với giá trị y cho giá trị x +) y   log  x  1  x    x  +) y   log  x  1  x   11  log  x  1  x  10  x  +) y   log  x  1  x   85  log  x  1  x  84  x  80 +) y   log  x  1  x   735  log  x  1  x  734  x  729 Câu Vậy có cặp số nguyên  x ; y  (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Có bao nhiêu số nguyên x cho tồn số thực y thỏa mãn log ( x  y )  log  x  y  ? A B C Lời giải D Vô số Chọn B Cách 1:  x  y  3t Đặt t  log ( x  y )  log  x  y    1 t  x  y  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 9t 9t   x  y    x  y   4t  t   t  log Như vậy, x  y  t  x  4t  log  1,89  x  1; 0;1 t t   y   Trường hợp 1: x     t y 1  y   y  3t  t   Trường hợp 2: x      t  y    y  t t   y    Trường hợp 3: x  1     x  y  mâu thuẫn với  t t  y     y    log x  y  suy loại x  1 Vậy có hai giá trị x  0;1 Cách 2:  x  y  3t Đặt t  log ( x  y )  log  x  y    1 t  x  y  Suy x, y là tọa độ điểm M với M thuộc đường thẳng d : x  y  3t và đường tròn  C  : x2  y  4t Để tồn y tức tồn M nên d ,  C  có điểm chung, suy d  O, d   R đó t O  0;0  , R  nên 3t  2t  t  log Trang 78 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 log  0  x  y  Khi đó 1   log  x  y  32  Minh họa quỹ tích điểm M hình vẽ sau Ta thấy có giá trị x   có thể thỏa mãn là x  1; x  0; x  Thử lại:  y  3t t   Trường hợp 1: x      t  y  y 1 t t   y    Trường hợp 2: x     t  y    y  t t   y    Trường hợp 3: x  1     x  y  mâu thuẫn với t t y     y     log Câu x  y  suy loại x  1 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  m; n  cho m  n  10 và ứng với   cặp  m; n  tồn đúng số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? A B C 10 Lời giải D Chọn D 2a m  ln a  a  n 2 Xét hai hàm số f  x   ln x  x  và g  x   x m trên  1;1 n f  x  0 Ta có nên luôn đồng biến và f  x x2    f   x   ln  x  x   ln     ln x  x    f  x  nên f  x  là hàm số lẻ  x  x 1  + Nếu m chẵn thì g  x  là hàm số chẵn và có bảng biến thiên dạng        Ta có 2a m  n ln a  a      Suy phương trình có nhiều nghiệm, đó m lẻ + Nếu m lẻ thì hàm số g  x  là hàm số lẻ và luôn đồng biến Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 79 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta thấy phương trình luôn có nghiệm x  Dựa vào tính chất đối xứng đồ thị hàm số lẻ, suy phương trình đã cho có đúng nghiệm trên  1;1 có nghiệm trên  0;1 , hay   f 1  g 1  ln   2 n  2,26  n  1;2 n ln    Đối chiếu điều kiện, với n  suy m  1;3;5;7;9 , có cặp số thỏa mãn Với n  thì m  1;3;5;7 có cặp số thỏa mãn Vậy có cặp số thỏa mãn bài toán Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cắp số nguyên dương  m, n  cho m  n  14 và ứng với   cặp  m, n  tồn đúng ba số thực a   1;1 thỏa mãn 2a m  n ln a  a  ? B 12 A 14 C 11 Lời giải D 13 Chọn C Xét f  x   x m  ln x  x  trên  1;1 n 2m m1 x  0 Đạo hàm f   x   n x2    Theo đề bài f  x   có ba nghiệm nên Xét đồ thị hàm y  x m 1; y  x2  2m m1 x  n x2  có ít hai nghiệm , suy m  chẵn và m   x  Suy m3;5;7;9;11;13 Khi đó f   x   có nghiệm   x2   f 1  Phương trình có nghiệm    f  1  2  n  ln    n   n  1; 2   ln   n n1; 2 và m3;5;7;9;11;13 , m  n  14 nên ta có 11 cặp  m ; n  thỏa yêu cầu bài     toán Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương (m, n) cho m  n  12 và ứng với cặp (m, n) tồn đúng số thực a  (1,1) thỏa mãn a m  n ln( a  a  1) ? A 12 B 10 C 11 D Lời giải Chọn D Ta có 2a m  n ln( a  a  1)  a m  ln( a  a  1) (*) n Xét hàm f ( a )  ln( a  a  1) trên (1,1) (dễ thấy hàm f lẻ, đồng biến trên R ), có BBT: Trang 80 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét hàm g ( a)  a m trên (1,1) n Với m chẵn, g (a ) là hàm chẵn và g ( a )  0, a  R , đó (*) không thể có nghiệm Với m lẻ, g (a ) là hàm lẻ, đồng biến trên R và tiếp tuyến đồ thị điểm a  là đường thẳng y  Dễ thấy (*) có nghiệm a   ( 1;1) Để (*) có đúng nghiệm tức là còn có nghiệm là  a0 với  a0  2  2, 26  n  1; n  Muốn vậy, thì g (1)  1m   f (1)  ln(1  2)  n  n n ln(1  2) Cụ thể: + m  3;5;7;9 thì n  1; 2 : Có cặp (m, n) + m  11 thì n  1 : Có cặp (m, n) + m  : Đồ thị hàm số g ( a ) là đường thẳng ( g ( a )  a; g (a )  2a ) không thể cắt đồ thị hàm số f (a ) giao điểm a0  vì tiếp tuyến hàm số f (a ) điểm có hoành độ a  là đường thẳng y  a Vậy có thảy cặp ( m, n ) Câu (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Có tất bao nhiêu giá trị thực tham số m   1;1 cho phương trình log m 1  x  y   log  x  y   có nghiệm nguyên  x; y  nhất? A B D C Lời giải Chọn B  x2  y2  Điều kiện:  x  y 1  Nhận xét: Vì x, y có vai trò nên phương trình có nghiệm  x0 ; y0  thì  y0 ; x0  là nghiệm phương trình *) Điều kiện cần: Phương trình đã cho có nghiệm  x0  y0 Thay vào phương trình ta log m 1  x02   log  x0   Vì x0    x0   Lại có x02  x0   log  x0    log m 1  x02   log m 1  x0    log x0  2  log x0   m  1  log x0   m  1  log x0  2  m    m  mà m   1;1  m  1 *) Điều kiện đủ: Với m  1 thì phương trình đã cho trở thành 2 x  y 1 2 log  x  y   log  x  y    x  y  x  y    x  1   y  1    Suy phương trình đã cho có nghiệm 1;1 Vậy có hai giá trị m cần tìm là m  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 81 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Lương Văn Tỵ - Ninh Bình - 2020) Có bao nhiêu số nguyên y để tồn số thực  x thỏa mãn log11  3x  y   log x  y A ? B D vô số C Lời giải Chọn B 3x  y  11t Đặt log11  3x  y   log  x  y   t   (*) t  x  y  Hệ có nghiệm  đường thẳng  : 3x  y  11t và đường tròn  C  : x  y  4t có điểm chung 2 t 11t  11   d  O,    R   2t      t  log11 2 2 log11 t t Do x  y  nên y   2  1.9239767 Vì y   nên y 1;0;1 Thử lại: 3x   11t  11t   t t t t  - Với y  1 , hệ (*) trở thành       121  8.11  25  9.4 (**) t  x      11t   Nếu t  thì      1   121t  4t Nếu t     121t  4t  11t  4t  25  t t 8.11  8.4 Vậy (**) vô nghiệm t t   log 11 3x  11t 121t 11 t - Với y  thì hệ (*) trở thành     t  log  x  11 t  x  2 3x   11t  11t   t t t t  - Với y  thì hệ (*) trở thành       121  8.11  25  9.4 t  x     1  1 Xét hàm số f (t )  121t  8.11t  25  9.4t , liên tục trên  ;1 có f   f 1  nên phương 2  2 1  trình f (t )  luôn có nghiệm thuộc đoạn  ;1 Khi đó hiển nhiên tồn x thỏa mãn 2  Vậy có giá trị nguyên y thỏa mãn là y  0, y  Câu (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2020) Có bao nhiêu cặp số thực  x; y  thỏa mãn đồng thời các điều kiện x  x 3  log3 B A  5 y  4 và y  y    y  3  ? C D Lời giải Chọn D Ta có: Vì x  x 3 log3 x  x 3 5  30   y  4  y 3  y  3 5 3 x  x 3 (*)   y    y  3 2 Với y  3 ta có: y  y    y  3   4 y   y  1   y  3   y  y   3  y  Kết hợp với y  3 suy y  3 Trang 82 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Thế y  3 vào (*) ta được: x2  x 3  x  1   x2  x     x  Vậy các cặp số thực  x; y  thỏa mãn là  1; 3 ;  3; 3 Câu (Chuyên Bến Tre - 2020) Giả sử  x0 ; y0  là nghiệm phương trình x 1  x sin  x 1  y  1   x  sin  x 1  y  1 Mệnh đề nào sau đây đúng? A x0  B 2  x0  C  x0  Lời giải D 5  x0  2 Chọn B Ta có x 1  x sin  x 1  y  1   x  sin  x 1  y  1  x  4.2 x   x   sin  x 1  y  1      x     x   sin  x 1  y  1  sin  x 1  y  1  cos  x 1  y  1   2   x     x   2sin  x 1  y  1   2sin  x 1  y  1   cos  x 1  y  1    x    2sin  x 1  y  1   cos  x 1  y  1   x   2sin  x 1  y  1    cos  x 1  y  1   Vì cos  x 1  y  1   sin  x 1  y  1  1 sin  x 1  y  1   x  (vô nghiệm) sin  x 1  y  1  1  x   x  x0    2;  Câu 10 (Chuyên Lào Cai - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên  x; y  thỏa mãn  x  4000 và 5  25 y  y   x  log5  x  1  ? A B C Lời giải D Chọn A Đặt log  x  1  t  x  5t  Phương trình trở thành:  52 y  y   5t   5t   52 y  y  5t 1   t  1 Xét hàm số f  u   5u  u  f   u   5u.ln   nên hàm số luôn đồng biến Vậy để f  y   f  t  1  y  t   y   t  log  x  1   y   log 4001   y    y  0;1; 2 Với nghiệm y ta tìm nghiệm x tương ứng Câu 11 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có bao nhiêu ( x; y ) với x , y nguyên và  2y   2x 1   x, y  2020 thỏa mãn  xy  x  y   log     x  y  xy   log  ?  x 3   y2 A 2017 B 4034 C D 2017.2020 Lời giải Chọn B Từ giả thiết kết hợp ĐKXĐ bất phương trình ta có:  y  2020;  x  2020; x, y  Z ,(1) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 83 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  2y   2x 1  Ta có:  xy  x  y   log     x  y  xy   log    x 3   y2  2y   2x 1    x   (y  2) log     x   (y  2) log    (*)  x3   y2   2x 1   Xét f ( x)  log    log     0, x   4; 2020 (2) x 3  x 3   + Với y  thay vào (*) ta được: 2  2x   3( x  4) log    ( x  3) log    ( luôn đúng  x   4; 2020  (1) và (2) ) 3  x3  Suy có 2017 ( x; y ) + Với y  thay vào (*) ta thấy luôn đúng  x   4; 2020  Suy có 2017 ( x; y ) + Với  y  2020  y    2y   y y  y2 Xét g(y)  log    log    log    0, y  (3)  y2  y2  y2 Suy (*) vô nghiệm ( Do (2) và (3) ) Vậy có 4034 ( x; y ) Câu 12 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho x là số thực dương và y là số thực thỏa mãn x x  log 14  ( y  2) y   Giá trị biểu thức P  x  y  xy  2020 A 2022 B 2020 C 2021 Lời giải D 2019 Chọn C x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có x   x  2, x   x  x x Đặt y   t , t  thu 14  ( y  2) y   14  (t  3)t  t  3t  14  16  (t  1) (t  2)  16, t  Dẫn đến log 14  ( y  2) y    log 16    Như hai vế dấu đẳng thức xảy tức là t    2  x   x  1; y   P  x  y  xy  2020  2021 x   x  Câu 13   (Sở Hưng Yên - 2020) Cho phương trình log3 3x  x   y  y  x  x  Hỏi có bao nhiêu cặp số  x; y  và  x  2020 ; y   thỏa mãn phương trình đã cho? A B C Lời giải D Chọn D 2 log3 3x  x   y  y  x  x   log3 x  x   y  y  x  x        log3  x  x    y  y  x  x   log3  x  x     x  x    y  y (1) Đặt log  x  x    z  x  x   3z thì (1) trở thành: Trang 84 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y2 z   z   y (2) Xét hàm số f  t   3t  t  f   t   3t ln   0, t   Suy hàm số f  t  đồng biến trên  (2)  f  z   f  y   z  y   Thay trở lại cách đặt ta có: log3 x  x   y  x  x   y Xét hàm số: g  x   x  x  2, x   0; 2020   g   x   x  g  x   x  Bảng biến thiên: Suy ra:   g  x   4076362   y  4076362   y  log 4076362 Do y     y  log 4076362  3,  y  0;1; 2;3 g  x   g  x   g x      g  x   39  Dựa vào bảng biến thiên hàm số g  x  ta thấy phương trình trên có nghiệm  x  2020 Vậy có cặp số  x; y  thỏa mãn đề bài Câu 14 (Sở Phú Thọ - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên   x; y  thỏa mãn  x  2021 và  y  log x  y 1  x  y ? A 2020 B C 2019 Lời giải D 10 Chọn D Đặt log  x  y 1   t Suy x  y 1  2t , x  2t  y 1 Phương trình đã cho trở thành: y  t   2t  y 1   y  2.2 y  y  2.2t  t Xét hàm số g  x   2.2 x  x có g   x   2.2 x ln   0, x nên hàm số y  g  x  luôn đồng biến Khi đó 2.2 y  y  2.2t  t  y  t hay y  log  x  y 1  Suy x  y 1  y  x  y  y 1  y 1 Mà  x  2021 nên  y 1  2021   y   log 2021 hay  y   log 2021  Lại có y là số nguyên nên y  2,3, ,11 tức 10 giá trị thỏa mãn Xét biểu thức x  y 1 , giá trị nguyên y cho tương ứng giá trị nguyên x nên có 10 cặp số nguyên  x, y  thỏa mãn yêu cầu đề bài Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 85 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 (Sở Bắc Ninh - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  x; y  thảo mãn x  y  x  3x  1   x  1 y  x , với x  2020 ? A 13 B 15 C D Lời giải Chọn D Ta có 3x  y  x  3x  1   x  1 y  x  y  3x  x  1  x  3x  x  1   3x  x  1 y  x   Ta thấy x  x   0, x    x  x  1 y  x    y  x  y  log x  x  3k Vì x  2020  3k  2020  3k  36  k  0;1; 2;3; 4;5;6 Câu 16 (Sở Bình Phước - 2020) Biết a, b là các số thực cho x  y  a.103 z  b.10 z , đồng thời x , y, z là các số các số thực dương thỏa mãn log  x  y   z và log  x  y   z  Giá trị 1  thuộc khoảng a b A (1;2) B (2;3) C (3; 4) Lời giải D (4;5) Chọn D     x  y  10 z log  x  y   z Ta có:    x  y  10  x  y   2 2 z 1 z   log  x  y   z   x  y  10  10.10   Khi đó x  y  a.10 z  b.10 z   x  y  x  xy  y   a.10 z   b.10 z    x  y  x  xy  y   a. x  y   b. x  y   x  xy  y  a. x  y   b. x  y  2  b b x  y   x  y  xy  a   x  y   2a.xy   10  10  b   a  1  a  1  Đồng hệ số ta   4,008  4;5  10   4   a b 225  b  15 a      x  xy  y  a. x  xy  y   Câu 17 (Đặng Thúc Hứa - Nghệ An - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên x  x; y  thỏa mãn  y  2020 và  3x   y  log y A 2020 B C Lời giải D Chọn C Ta có: 3x  3x   y  log y  3x   x    y  3log y  3x   x    32 log3 y  3log y * Xét hàm số: f  t   3t   t   Ta có: f   t   3t.ln   0, t   Suy hàm số y  f  t  đồng biến trên  Khi đó: *  f  x   f   log y   x   log y  y  3x   y  2020 Do và x2 nên:   2020   x   log 2020  x  2;3; 4;5;6;7;8 x, y nguyên Ứng với giá trị x có giá trị y nên có cặp số  x; y  nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 18 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Giả sử a, b là các số thực cho x3  y  a.103 z  b.102 z đúng với các số thực dương x, y, z thỏa mãn log( x  y )  z và log( x  y )  z  Giá trị a  b Trang 86 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 25 A  31 B  31 C Lời giải D 29 Chọn D  x  y  10 z  x  y  10 z  log( x  y )  z      2 2 z 1 z log( x  y )  z   x  y  10 ( x  y )  xy  10.10  x  y  10 z  x  y  10 z    2z  102 z  10.10 z z 10  xy  10.10 xy      102 z  10.10 z  z Khi đó x3  y  ( x  y )3  xy ( x  y )  103 z    10   1   2.103 z  3.103 z  30.102 z    103 z  30.102 z    103 z  15.102 z 2 3 3z 2z Lại có x  y  a.10  b.10  29 a   Suy   ab   b  15 Câu 19 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Có bao nhiêu số hữu tỉ a thuộc đoạn  1;1 cho tồn số thực b thỏa mãn 2a 4a 1   a  a a a 1 1  C D Vô số Lời giải log 1  a  b2  2b   A B Chọn C Ta có:  2x 8x  1 2x 4x  2x  1      x  x 1  x  x  2x 2x 4x   x 2x 4x     2  x   4x  2x x  4.2 x  2x 4x  Áp dụng bất đẳng thức Cô si: x  1  4.2 x    1 3 x  3 x 1   3 x Lại có   x      x       0 4  4  4 2x  Từ 1 ;   suy  2 2x 4x 1   x  1 x x x 1 1  2  log 1  a  b  2b     a  b  2b   a  b  2b    a   b  1  a   b  a  0 1;1 nên chọn phương án C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 87 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 20 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên x  y  0;  20  x  20 và 2 log  x  y   x  y  xy  x  y  ? A 19 B C 10 D 41 Lờigiải Chọn C + Điều kiện: x  y  + Ta có: x  y  nên log  x  y   x  y  xy  x  y   log  x ; y  thoả mãn  x  y  x  y   x  y  3xy  x  y  x y  log  x  y  3xy   log  x  y   x  y  xy  x  y   log  x  y  3xy   x  y  xy  log  x  y   x  y Xét hàm số: f  t   log t  t , ta có: f 't   (1)   t  0;  nên hàm số f  t  đồng t ln biến trên  ;    Do đó: 1  f  x  y  xy   f  x  y   x  y  xy  x  y   x  y  x  y  1   x   y vì x  y  nên x  y  1 y  19  y 1 + Do y   nên y  9; 8; ; 1;0 , với giá trị y cho ta giá trị x thoả mãn YCBT + Do 20  x  20 suy  Vậy có 10 cặp số nguyên  x ; y  thoả mãn YCBT Câu 21 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho các số thực x , y thỏa mãn x  , y  và log x log y  log x log y   log xy   Giá trị biểu thức P  x  y gần với số nào các số sau A B C 10 D Lời giải Chọn B Đặt a  log x , b  log y Do x  , y  nên a  , b  log 9 Theo giả thiết ta có: a  b  1  2ab   a  b    2a 2b  a  2b  7b  1   1 2 Coi 1 là phương trình bậc hai ẩn a , b là tham số Để phương trình 1 có nghiệm a     2b  7b  12  36b  4b  28b3  45b2  22b      thì:  2b2  7b   2b  7b   2b  7b     2b  b   b  12  4b  20b  1      4b  20b    2b  7b   2b  7b    Với b   2a  6a    a  Khi đó P  x  y    8,1 2 4b  20b   Với  : hệ vô nghiệm b  log 2b  7b   Trang 88 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy giá trị biểu thức P  x  y gần với Câu 22 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Có bao nhiêu cặp số nguyên dương  x; y  với x  2020 thỏa mãn  x  y   1  y   log  x  1 A 1010 B 2020 C Lời giải D Chọn C Đặt log3  x  1  t  x  3t  1, ta  3t  1  y  1  32 y   t  3.3t  t  3.32 y  y (*) Xét hàm số f  u   3.3u  u  f   u   3.3u ln   0, u    f  u  đồng biến trên  Do đó (*)  t  y , nên x  32 y   y  x  Vì x  2020  y  4039  y  log 4039 Vì y nguyên dương nên y  1; 2;3 Ta thấy với giá trị nguyên y thì tìm giá trị nguyên x Vậy có cặp  x; y  thỏa mãn Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 89 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 20 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Bất phương trình logarit + Nếu a  thì log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  (cùng chiều) + Nếu  a  thì log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  (ngược chiều)  log a B    a  1 B  1   + Nếu a chứa ẩn thì  log a A    A  1 B  1   log a B Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình log x  là A 10; Câu B  0; B  2;  D  0;3 C  3;3 D   ;  3  3;    C  ; 2   2;   D  0; 2 (Đề Minh Họa 2017) Giải bất phương trình log  3x  1  B  x3 C x  D x  10 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tìm tập nghiệm S bất phương trình ln x  A S   1;1 Câu C  3;3 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình log3  31  x   là A x  Câu B  ;3 B  0;3 A  ; 2 Câu D  2; 2 (Mã 101 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình log3 18  x   là A   ;3 Câu C  0; 2 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình log  36  x   là A  ; 3  3;   Câu D  ;10 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình log 13  x   là A  ; 2   :   B  ; 2 Câu C 10; B S   1;0  C S   1;1 \ 0 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tập nghiệm D S   0;1 S bất phương trình log  x  1  log  x  1 2 A S   2;   Câu C S   ;  1  D S   ;  2  (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tập nghiệm S bất phương trình log2  x  3  là A S   ; 1 Câu 10 B S   1;  B S   1;   C S   ; 1 D S   ;0 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Tập nghiệm bất phương trình log 0.3   x   log 10 là   5 2 A  0;  Câu 11 B   ;  2   5 2 C  2;  D  2;    (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Tập nghiệm bất phương trình log 0,5  x  1  là Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3   3 3   3 A  ;  B  1;  C  ;   D 1;  2   2 2   2 Câu 12 (HSG Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  ( x  1)  log  (2 x  5) là 5  B  ;6  C  6;   2  (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tập nghiệm A  1;6  Câu 13 D  ;6  S bất phương trình log3  x  3  log3 1  x    A   ;      2 B   ;    3   C   ;1   2  D  ;   3    (THPT Cẩm Giàng 2019) Tập nghiệm bất phương trình log3  log x   là   1  1  1  A  0;1 B  ;3  C  ;1 D  ;   8  8  8  Câu 15 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Số nghiệm nguyên bất phương trình log 0,8 15 x    log 0,8 13x  8 là Câu 14 A Vô số Câu 16 D  ;   1 B   ;   3   C   ;1   D  ;1 B  ; 3  3;   C  ; 2   2;   D  3;3 B S  1;   1  C S   ;     D S   ;1 (Sở Bắc Giang 2019) Tập nghiệm bất phương trình log 0,5  x  14   log 0,5  x  x   là   C  \   ;0  D  3;2   (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Bất phương trình log (3x  2)  log (6  x) có tập A  2; 2 Câu 21 C  ; 2 (Sở Bắc Giang 2019) Tập nghiệm S bất phương trình log 0,8  x  1  là 1  A S   ;  2  Câu 20 B  2;  (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  là? A  2;2 Câu 19 D (Sở Bình Phước 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  3x  1  là   A   ;1   Câu 18 C (Sở Vĩnh Phúc 2019) Tập xác định hàm số y  log   x   là A  ;  Câu 17 B B  ; 2 nghiệm là A  0;   Câu 22  6 D  1;   5 B S   ;  C S   ;  D S   1;  (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm tập nghiệm S bất phương trình ln x  ln  x   A S   2;   Câu 24 C (3;1) (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Tập hợp nghiệm bất phương trình log  x  1  là: A S   1;  Câu 23 1  B  ;3  2  B S  1;   C S  R \ 2 D S  1;   \ 2 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  là: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A  2;2 B  ; 3  3;   C  ; 2   2;   D  3;3  log x  Câu 25 (Chuyên KHTN 2019) Tập nghiệm bất phương trình A  4;  3 Câu 26 B  4 ;     là: log   x  C  3;  D  (Chuyên Thái Bình 2019) Có tất bao nhiêu giá trị tham số m để bất phương trình log  x  mx  m    log2  x   nghiệm đúng x   ? A B C D Câu 27 (Việt Đức Hà Nội 2019) Giải bất phương trình log  x    log   x  tập nghiệm là  a; b  Hãy tính tổng S  a  b 26 11 28 B S  C S  D S  5 15 (Sở Ninh Bình 2019) Bất phương trình log  x  x   có tập nghiệm là A S  Câu 28 A S   ; 1   3;   B S   1;3 C S   3;   D S   ; 1 Câu 29 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa 2019) Tập nghiệm bất phương trình ln x  ln  x   là: A  0;6  Câu 30 D   ;6  B S  1;10  C S   ;9  D S   ;10  (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An -2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  là? A  2;2 Câu 32 C  6;    (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Tập nghiệm S bất phương trình log  x  1  là A S  1;9  Câu 31 B  0;6  B  ; 3  3;   C  ; 2   2;   D  3;3 (Bắc Ninh 2019) Bất phương trình log (3 x  2)  log (6  x) có tập nghiệm là ( a ; b) Tổng a  b 28 26 11 A B C D 15 5 Câu 33 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Có tất bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình log  log   x    ? A Vô số B C Câu 34 (THPT Cẩm Bình 2019) Nghiệm bất phương trình log  D  x  5  log 2 3  x  1 là 5  x  B  x  C  x  D x  2 (THPT Hàm Rồng 2019) Bất phương trình log  x    log  x  1 có bao nhiêu nghiệm A Câu 35 nguyên A Câu 36 B C D (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  x  1  là  3 A  1;   2 3  1  B  ;1   ;   C  ;0    ;   D 2      1  0;   2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 37 (Bình Phước - 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  3x  1  là   A   ;1   Câu 38  1 B   ;   3   C   ;1   D  ;1 (Ngô Quyền - Hải Phòng -2019) Số nghiệm nguyên bất phương trình log  x  x    4 là A B Vô số C D Câu 39 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm S bất phương trình log x  log  x   là A S   ; 2    3;   C S   3;  \ 0 Câu 40 B S   2;3  D S   2;3 \ 0 (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Bất phương trình log  x    có bao nhiêu nghiệm nguyên? A B C D Câu 41 (Cần Thơ 2019) Tập nghiệm bất phương trình log 0,2  x     là A  4;   Câu 42 B  4;9  (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh trình log 7  x  log  x 1  là C  ;9  2019) D  9;   Tập nghiệm bất phương A S  1; 4 Câu 43 B S   ; 4 C S   4;   D S   4; 7 (NK HCM-2019) Bất phương trình  log  x    log  x  x   có các nghiệm là A S   3;    B S  1;3 C S   2;    D S   2;3 Dạng Bất phương trình mũ + Nếu a  thì a f  x + Nếu  a  thì a a f  x g x  f  x  g  x (cùng chiều) a g x (ngược chiều)  f  x  g  x f x g x + Nếu a chứa ẩn thì a    a     a  1  f  x   g  x    Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Tập nghiệm bất phương trình 5x 1  5x  x 9 là A  2;  B  4;  C  ; 2    4;   D  ; 4   2;   Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình x  2.3x   là A  0;   Câu Câu B  ;5  13  27 là C   ;4  (Mã 102 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm bất phương trình 3x A  5;5  Câu B  4;4 D 1;  C 1;  (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm bất phương trình 3x A  4;    Câu B  0;   D  0;4   23  là C  5;   D  0;5 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm bất phương trình x A ( 3;3) B (0;3) C ( ;3) (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm bất phương trình x 7  là D (3;  ) 1  là Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A  0;  Câu Câu Câu 10 Câu 11 C  2;  D  2;   (Đề Tham Khảo 2018) Tập nghiệm bất phương trình 22 x  2x6 là: A  ;  Câu B  ;  B 0; 64 C 6;   (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm bất phương trình 3x A  3;   B  1;3 C  ; 1   3;   D  ; 1 D 0; 6 2 x  27 là (Dề Minh Họa 2017) Cho hàm số f ( x)  x.7 x Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A f ( x )   x  x log  B f ( x)   x ln  x ln  C f ( x )   x log  x  D f ( x)    x log  (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tập nghiệm S bất phương trình 5x1   A S   ;  B S  1;   C S   1;   D S   2;   (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số y  e x phương trình y  là: A   ;  1  x 3 B   ;    1;    C  3;1  Tập nghiệm bất D  1;    x 1 Câu 12 (Thpt Hùng Vương Bình Phước 2019) Tập nghiệm bất phương trình    trên tập số  3 thực là A  2;   B   ;   C   ;  D   2;   Câu 13 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tập nghiệm bất phương trình x 1  x  là A 8;  B  D  ;8 C  0;8 Câu 14 (THPT Cù Huy Cận 2019) Tập nghiệm bất phương trình x A  ;  3 B  3;1 C  3;1 2 x  là D  3;1 x Câu 15 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm S bất phương trình A S  ;2 B S  ;1 C S  1;  x 2 1     25  là D S  2;  Câu 16 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tập nghiệm bất phương trình x 3 x  16 là A  ; 1 B  4;   C  1;4  D  ; 1   4;   Câu 17 Câu 18 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tập nghiệm bất phương trình: x  là A   ;3 B 3;    C  3;    D   ;3 1 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm tập nghiệm S bất phương trình   2 A S  1;2 Câu 19 C S  1;2 (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm bất phương trình 3x A  ; 1 Câu 20 B S    ;1 B  3;   C  1;3  x 3 x  D S   2;    2 x  27 là D  ; 1   3;   (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho f  x   x.e3 x Tập nghiệm bất phương trình f   x   là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1  A  ;  3   1 B  0;   3 1  C  ;   3  D  0;1 x 3 x  1  32 x 21 là Câu 21 (THPT Ba Đình 2019) Số nghiệm nguyên bất phương trình     A B C vô số D Câu 22 1 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tập nghiệm bất phương trình 23 x    2 A  0;6  Câu 23 Câu 25 B  ; 1 là D  6;  x2 2 x  có tập nghiệm là C  1;3 D  1;3 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019 Nghiệm nguyên lớn bất phương trình x là A B 1 C D 3 (Sở Hà Nội 2019) Tập nghiệm bất phương trình   4 A  ; 2  Câu 26 C  0;64  1 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Bất phương trình   2 A 3;   Câu 24 B  ;6  2 x   x2  A   ;  1 B  1;3 C  3;   D   ;  1   3;    2 x  64 81 là 256 B  ; 2    2;   C  (Chuyên Sơn La 2019) Tập nghiệm bất phương trình x D  2;2  2 x  là x Câu 27 e (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Tập nghiệm bất phương trình    là   A  Câu 28 B   ;0  C  0;    D  0;    (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số nghiệm nguyên bất phương trình x nào sau đây ? A B C D 3 x  16 là số x 1 Câu 29 Câu 30   (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm bất phương trình   1 a  a  ) là: 1  A  ;0  B  ;   C  0;    D 2  B S   ;    C S   D S    ;  (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Bất phương trình x1  có tập nghiệm là: A 1:   Câu 32    ;    (Cụm Trường Chuyên 2019) Tập nghiệm S bất phương trình x  e x là: A S   \ 0 Câu 31  (với a là tham số, B    ;1 C 1:   D    ;1 (THPT Minh Khai - 2019) Tìm tập nghiệm S bất phương trình 3x  A S   ;2 B S   2;   C S   ;  D S  2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x   Câu 33 (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Tập nghiệm bất phương trình     là:  3  3  1 A  0;   2 Câu 34 1  B  ;    2   1 C  0;   2 ( Đồng Nai - 2019) Tập nghiệm bất phương trình 3x  A  4;   B  ;4  1  D   ;  2  là D  0;   C  ;0  1 Câu 35 (Chuyên Long An-2019) Tìm nghiệm bất phương trình   2 A x  B x  C x  x1  D  x  x 1   Câu 36 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Tập nghiệm bất phương trình   (với a là tham   1 a  số, a  ) là 1    A  ;   B  0;   C  ;0  D   ;   2    Câu 37 Câu 38 (Chuyên Lam Sơn-2019) Số nghiệm nguyên bất phương trình x 3 x  16 là A B C D 1 (chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Bất phương trình   2 A 3;   Câu 39 B  ; 1 x2  x  có tập nghiệm là C  1;3 D  1;3  2 (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2019)Cho bất phương trình    3 x  x 1 2   3 x 1 có tập nghiệm S   a; b  Giá trị b  a A B C D 2 Câu 40 (SGD Hưng Yên 2019) Tập nghiệm bất phương trình   3 A ( ; 0) B (0;  ) C  ;   2  Câu 41 (SGD Điện Biên - 2019) Tập nghiệm bất phương trình A  0; 1 B  ; 1 C  x1 x  là D   ;      là D  1;    x2  x 1  là Câu 42 (Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Tập nghiệm S bất phương trình   2 A S    ;3  B S  1;    C S    ;1   3;    D S  1;3 (Cần Thơ - 2019) Nghiệm bất phương trình x  x  là A 1  x  B x  C x  D 2  x  Câu 44 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tìm tập nghiệm bất phương trình x  x 1  3x  3x 1 Câu 43 A  2; B  ;2  C  ;2 D  2;   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 45 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho bất phương trình x  5.2 x1  16  có tập nghiệm là đoạn  a; b Tính log  a  b  A B C D 10 Câu 46  2 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho bất phương trình    3 x  x 1  2    3 x 1 có tập nghiệm S   a ; b  Giá trị b  a A 2 Câu 47 B 1 C D 1 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Xác định tập nghiệm S bất phương trình   3 A S   ;1 B S  1;   C S  1;   (Sở Hà Nam - 2019) Tập nghiệm bất phương trình   A   ;1   2;    B  2;   1   5 C   ;1 x 1 Câu 49 4 x2     (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Bất phương trình      2 2 A x  4 B x  4 C x  4  D S   ;1 Câu 48 x3 x 6 x là D 1;2 x 3 có nghiệm là D x  4 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 20 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ-GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Câu Sử dụng các phương pháp giải phương trình logarit đã đưa Chuyên đề 19 Phương trình mũ – logarit để giải (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm bất phương trình 2log  x  1  log   x   là A 3;5 Câu B 1;3 C 1;3 D 1;5 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Tìm tập nghiệm bất phương trình S 2log  x  3  log 18 x  27    A S    ;3   Câu 3  B S   ;3 4  D S  3;    (THPT Yên Khánh - Ninh Bình -2019) Tập nghiệm bất phương trình log 22  x   log chứa tập hợp nào sau đây? 3  A  ;6  B  0;3 2  Câu 3  C S   ;    4  x 9 1  D  ;  2  C 1;5 (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  log 11  x   là: A  ; 4 Câu B 1; 4  11  D 4;   2 C 1;  (Sở Phú Thọ 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  log 11  x   là A  ; 4 Câu B 1; 4  11  D  4;   2 C 1;  (Sở Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  log 11  x   là:  11  D S   3;   2 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tổng tất các nghiệm nguyên bất phương trình A S    ;4 Câu B S  1;  C S  1; 4 log x    log  x   Câu A 12 B C D (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình log  x  3  log  x  mx  1 có tập nghiệm là  A 2  m  Câu B m  2 C 2  m  2 D m  (Mã 123 2017) Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 22 x  5log x   A S  (  ;1]  [4 ;  ) B S  [2 ; 16] C S  (0 ; 2]  [16 ; ) D (  ; 2]  [16 ;  ) Câu 10 (Mã 105 2017) Tìm tất các giá trị thực tham số m để bất phương trình log 22 x  log x  3m   có nghiệm thực Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A m  Câu 11 (THPT B m  Đoàn Thượng - C m  Hải Dương D m  Biết 2019) bất phương trình log  5x    2.log 5x  2  có tập nghiệm là S   log a b;   , với a , b là các số nguyên   dương nhỏ và a  Tính P  2a  3b A P  B P  11 C P  18 D P  16 2 Câu 12 Tập nghiệm S bất phương trình log x  5log x   là Câu 13 1  A S   ;64     1 B S   0;   2 C S   64;    1 D S   0;    64;    2 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Kí hiệu max a; b là số lớn hai số a , b Tìm tập nghiệm S   bất phương trình max log x; log x     1   1 A S   ;2  B S   0;2  C S   0;  3   3 Câu 14 D S   2;     (Sở Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm bất phương trình log x x    x  x  x    là  a ;  b  Khi đó a.b 15 A 16 Câu 15 B 12 C 16 15 D 12 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Bất phương trình  x  x  ln  x    có bao nhiêu nghiệm nguyên? A Câu 16 (THPT Đoàn B Thượng – Hải C Dương 2019) D Vô số bất phương Biết trình log  5x    2.log 5x  2  có tập nghiệm là S   log a b;   , với a , b là các số nguyên   dương nhỏ và a  Tính P  2a  3b A P  B P  11 C P  18 D P  16 Câu 17 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Tính tổng tất các nghiệm nguyên bất phương trình log  x  3  log x  x  x   A B C D Câu 18  x  x 1  (HKI-NK HCM-2019) Biết bất phương trình log    16 x     x   x  có tập nghiệm là S   a; b  Hãy tính tổng T  20a  10b A T  45 10 Câu 19 B T  46 10 C T  46 11 D T  47 11 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Tập nghiệm bất phương trình log 10  3x 1   1 x chứa số nguyên A B C D Vô số Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 20 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2018) Số nghiệm nguyên bất phương trình log x  log x   log x.log x là A Câu 21 B C D Vô số  3x   (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Bất phương trình log  log   có tập nghiệm  x3  là  a; b  Tính giá trị P  3a  b A P  B P  C P  10 D P  Câu 22 (THPT Ngô Quyền - Hải Phòng - 2018) Tập nghiệm bất phương trình log   log x   là 1  C  ;4  D 4  Câu 23 (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Tổng các nghiệm nguyên log x  25 log x  75  là A  0;5 B 1;2   1  0;   2 bất phương trình A 70 B 64 C 62 D 66 Câu 24 (THPT Lương Văn Can - 2018) Cho bất phương trình  log x  1  log x   Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn bất phương trình trên A 10000 B 10001 C 9998 D 9999 DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ đã đưa Chuyên đề 19 Phương trình mũ – logarit để giải Câu (THPT Trần Phú - 2019) Tập nghiệm bất phương trình: 3x  24 x 1  82 x1   Câu    1 A  ;  B ;   C ; 4 D  4;      (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Bất phương trình 32 x 1  7.3 x   có tập nghiệm là Câu Câu Câu A   ; 1   log 3;   B   ; 2    log 3;   C   ; 1   log 2;   D   ; 2    log3 2;   (Chuyên ĐH Vinh -2019) Biết tập nghiệm bất phương trình x   a  b A B C D x 1 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm bất phương trình   3x 1  9.32 x  là A  ;1 B  3;    C 1;    D  ;3 (THPT Đông Sơn - Thanh Hóa - 2019) Bất phương trình 6.4 x  13.6 x  6.9 x  có tập nghiệm là? A S   ; 1  1;   B S   ; 2   1;   C S   ; 1  1;   Câu là  a ; b  Giá trị 2x D S   ; 2   2;   (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho bất phương trình: 2.5 x   5.2 x   133 10 x  có tập nghiệm là: S   a; b  Biểu thức A  1000b  5a có giá trị A 2021 B 2020 C 2019 D 2018 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Toán Học Tuổi Trẻ 17 12 2  3  8 Câu Năm 2019) Số nghiệm nguyên bất phương trình: x2 x là: A B C D (Chuyên Lê Quý Dôn Diện Biên 2019) Tìm tập nghiệm bất phương trình x  x 1  3x  3x 1 A  2;  B  ;  C  ; 2 D  2;   1  x  x Câu (Chuyên Hưng Yên 2019) Cho bất phương trình       12 có tập nghiệm S   a ; b  3  3 Giá trị biểu thức P  3a  10b là A B 3 C 4 D Câu 10 (Chuyên Hạ Long 2019) Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên dương x  4.3x   A Câu 11 Câu 12 B C D x x (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Bất phương trình 6.4  13.6  6.9 x  có tập nghiệm là? A S   ; 1  1;   B S   ; 2   1;   C S   ; 1  1;   D S   ; 2   2;   (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Tập nghiệm bất phương trình  2  x  x 14   là: A  6; 2 B    6   2;   C  6;  D  ; 6    2;   Câu 13 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình x   x 1  2.3x A B C D Câu 14 (Chuyên Thái Bình 2019) Tập nghiệm bất phương trình 3x  a ; b  Tính A Câu 15 ( 9   x   x 1  là khoảng ba B Bắc Hsg  32 x Ninh C 2019) Bất D phương trình 34 x   34 x  32 x   có bao nhiêu nghiệm? 32 x  32 x   32 x  34 x   32 x A Vô số B C D Câu 16 (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ 2019) Số nghiệm nguyên thuộc đoạn  20; 20 bất phương  trình: 2 x 1  9.2 x  x  x   là A 38 B 36 C 37 D 19 Câu 17 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Tập hợp tất các số thực x không thỏa mãn bất phương trình 9x 4   x   2019 x2  là khoảng  a; b  Tính b  a A Câu 18 B C 5 D 1 (THPT Chuyên Thái Bình - 2019) Tập nghiệm bất phương trình 3x 9   x   5x 1  là khoảng  a; b  Tính b  a A Câu 19 B C D (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên x đoạn  0; 2020 thỏa mãn bất phương trình sau Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 16 x  25x  36 x  20 x  24 x  30 x A B 2000 Câu 20 (Hải Hậu - Nam Định (32 x  9)(3x  B trình C D (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Tập nghiệm bất phương trình x   x   3x   x  1  là A  0;1   2;    Câu 22 nghiệm D 1000 bất phương ) 3x1   chứa bao nhiêu số nguyên ? 27 A Câu 21 - C 2020) Tập B  ;1   2;    C 1; 2 D  ;0   2;    (Toán Học Tuổi Trẻ Số 6) Tập nghiệm bất phương trình 2.7 x   7.2 x   351 14 x có dạng là đoạn S   a; b  Giá trị b  a thuộc khoảng nào đây?   A 3; 10 Câu 23 C   49  D  ;  9   7; 10 (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho f  x   52 x1 ; g  x   x  x.ln Tập nghiệm bất phương trình f   x   g   x  là A x  Câu 24 B   4;  B x  C  x  D x  (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018) Bất phương trình 2.5 x 2  5.2 x 2  133 10 x có tập nghiệm là S   a; b thì biểu thức A  1000b  4a  có giá trị A 3992 B 4008 C 1004 Câu 25 Số nghiệm nguyên thuộc khoảng  0;12  bất phương trình A B C D 2017 x  1 x 2 3 11 x  log 2 x  11 là: x2  x  D 11 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 20 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ Câu (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho a là số thực dương, a  Biết bất phương trình log a x  x  nghiệm đúng với x  Số a thuộc tập hợp nào sau đây? B  3;5 A  7;8 Câu  a là số nguyên dương lớn thỏa mãn a Giá trị log  2017a  xấp xỉ bằng:  A 19 B 26 B  m  B S  D S  35 C D (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để bất phương trình log  x 1  log  x3  x  m có nghiệm B m   D Không tồn m A m  C m  (THPT Chuyên Thái Bình - 2019) Có tất bao nhiêu giá trị tham số m để bất phương trình log x2  mx  m   log x  nghiệm đúng với x     A   B C D (Chuyên Vĩnh Phúc - 2019) Tìm tập S tất các giá trị thực số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn log x2  y  x  y   m2  và x  y  x  y    Câu C S  12 B Câu D m  (Chuyên Bắc Giang 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để bất phương trình log  x    log  mx  x  m  nghiệm đúng với x A Câu C m  (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Gọi S là tổng tất các giá trị nguyên m để bất phương trình ln  x    ln  mx  x  m  nghiệm đúng với x thuộc  Tính S A S  14 Câu D 23  A m  Câu C 25 (Chuyên Hưng Yên 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để bất phương trình log 0,02 log  3x  1  log 0,02 m có nghiệm với x   ;0   Câu D  8;   (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho 3log3  a  a  2log Câu C  2;3  A S  5; 1;1;5 B S  1;1 C S  5;5 D S  7  5; 1;1;5;7 (Bình Giang-Hải Dương 2019) Xét bất phương trình log 22  x    m  1 log x   Tìm tất các giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng A m    ;    B m   0;   C m   ;    2; D m    ;     Câu 10 Gọi S là tập hợp tất các giá trị tham số m để bất phương trình m2 x5  x  m x  x3  x  ln x   thỏa mãn với x  Tính tổng các giá trị     tập hợp S Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu 11 C B D 2 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho bất phương trình log  x  x     log  x  x   m  Có tất bao nhiêu giá trị nguyên m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ? A 36 Câu 12 B 34 D Vô số (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Gọi m0 là giá trị nhỏ để bất phương trình x   log   x   2log  m    đúng các khẳng định sau A m0   9;10  Câu 13 C 35    x  x     log  x  1 có nghiệm Chọn đáp án   C m0   10;   B m0  8;9  D m0   9;  8 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Gọi S là tập hợp tất các điểm M  x; y  đó x, y là các số nguyên thoả mãn điều kiện log x2  y 1  x  y  m   1, với m là tham số Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  2020; 2019  để tập S có không quá phần tử? A Câu 14 B 2020 C 2021 D 2019 (Chuyên Thái Bình Lần 2020) Cho bất phương trình 2 log x  x    log x  x   m Có tất bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để     bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ? A 36 Câu 15 B 35 C 34 D Vô số (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Xét bất phương trình log 22 x   m  1 log x   Tìm tất các giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng   B m    ;0    A m   0;   Câu 16  2;   D m   ;0  (Chuyên Vinh - 2018) Gọi a là số thực lớn để bất phương x  x   a ln  x  x  1  nghiệm đúng với x   Mệnh đề nào sau đây đúng? A a   2;3 Câu 17   C m    ;      B a   8;    C a   6;  trình D a   6;  5 (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử S   a, b  là tập nghiệm bất phương trình x  x  x  x log x   x  x  log x    x  x Khi đó b  a A Câu 18 B C D (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Cho bất phương trình log  x  x     log  x  x   m  Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng 1;3 ? A 35 Câu 19 B 36 C 34 D 33 (Sở Quảng Nam 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng  9;9  tham số m để bất   phương trình 3log x  log m x  x  1  x   x có nghiệm thực? A Câu 20 B C 10 (Yên Phong - 2018) Có bao nhiêu số nguyên m    D 11 cho bất phương trình  ln  ln x   ln mx  x  m có tập nghiệm là  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B C D DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ Câu (VTED 2019) Cho a  Biết a  a0 thì bất phương trình x a  a x đúng với x  1;   Mệnh đề nào đây đúng? A  a0  B e  a0  e Câu D e  a0  e3 C  a0  (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm m để hàm số sau xác định trên  : y  x   m  1 x  m A Đáp án khác B m  1 C m  D 3  2  m  3  2 Câu x x 1 Bất phương trình  (m  1)2  m  nghiệm đúng với x  Tập tất các giá trị m là A  ;12  B  ; 1 C  ; 0 D  1;16  Câu (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Tìm tất các giá trị tham số m để bất phương trình x 1  m  x  1  nghiệm đúng với x   B m    ;  A m    ;0   1;    C m   0;    Câu D m   0;1 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Bất phương trình x   m  1 x 1  m  nghiệm đúng với x  Tập tất các giá trị m là A  ;12  B  ; 1 C  ;0 Câu D  1;16 (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m   10;10 để  bất phương trình sau nghiệm đúng với x   :  A 10 B  x     m  C 12  x   m  1 x  D 11 Câu (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tìm m để bất phương trình x  x  x  x   mx có tập nghiệm là  A ln120 B ln10 C ln 30 D ln14 Câu (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f '  x  có bảng biến thiên sau: Bất phương trình f  x   e x  m đúng với x   1;1 và A m  f  1  e B m  f  1  e C m  f 1  e D m  f 1  e Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Sơn La 2019) Cho hàm số y  f   x  liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm sau Bất phương trình f  x   e x  m đúng với x   1;1 và A m  f    Câu 10 B m  f  1  e C m  f    D m  f  1  e (Phú Thọ 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị hình vẽ Tổng tất các giá trị nguyên tham số m để bất phương trình 9.6 f  x     f  x   f  x     m  5m  f  x  đúng x   là A 10 Câu 11 B C D (VTED 2019) Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên sau: Bất phương trình f  x   3.e x   m có nghiệm x   2;  và khi: A m  f  2   Câu 12 B m  f     3e C m  f    3e D m  f  2   (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ bên Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bất phương trình f  e x   m  3e x  2019  có nghiệm x   0;1 và A m   Câu 13 1011 B m   3e  2019 C m   1011 D m  f e 3e  2019 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  1;9 và có đồ thị là đường cong hình vẽ đây Có 16.3 bao f  x   f nhiêu giá trị  x   f  x   8 nguyên f  x B 31 A 32 tham   m  3m  f  x số m để bất phương trình nghiệm đúng với giá trị thuộc  1;9 ? C D Câu 14 (Sở Cần Thơ - 2019) Tất giá trị tham số thực m cho bất phương trình x   m  1 3x   2m  có nghiệm đúng với số thực x là 3 A m   B m  C m   D m  2 Câu 15 (Sở Nam Định - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để tập nghiệm bất phương trình  3x     x  m   chứa không quá số nguyên? A 3281 Câu 16 B 3283 D 3279 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Có giá trị nguyên dương m để bất phương trình 2 9m x  4m x  m.5m x có nghiệm? A 10 B Vô số Câu 17 C 3280 C D x x 1 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Bất phương trình   m  1  m  nghiệm đúng với x  Tập tất cá giá trị m là A  ;12  B  ; 1 C  ;0 D  1;16 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 18 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Cho hàm số f  x   cos x Bất phương trình   3  f  2019  x   m đúng với x   ;  và  12  A m  22018 B m  22018 C m  22019 Câu 19 D m  22019 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x có bảng biến thiên sau: x Bất phương trình f  x    m đúng với x  1;1 và khi: A m  f 1  Câu 20 x 3 x  m   x  32 x 3 có nghiệm là B D C (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Gọi S là tập hợp tất các giá trị tham số m để bất phương trình m2 x4  x3  m x3  x2  x  e x 1  đúng với x   Số tập S là    A Câu 22 D m  f  1  (Bình Giang-Hải Dương 2019) Số giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình x 3 xm  2.3 A Câu 21 C m  f  1  B m  f 1   B (Lý Nhân Tông  m.3x 1   3m    C - Bắc x   4   x Ninh D 2019) Cho bất phương trình  , với m là tham số thực Tìm tất các giá trị thực tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x  (; 0] A m   Câu 23 22 B m  22 C m  22 D m  22 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để tập nghiệm   bất phương trình 3x    3x  2m   chứa không quá số nguyên? A 1094 CÂU 24 B 3281 Câu 26 D 3280 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Có bao nhiêu m nguyên dương để bất phương trình 32 x   3x  3m   1  3m  có không quá 30 nghiệm nguyên? A 28 Câu 25 C 1093 B 29 C 30 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Điều kiện m 7 x  x 1  72 x1  2020 x  2020 có nghiệm là :   x   m   x  2m   A m  3 B 2  m  C 1  m  D 31 để hệ bất phương trình D m  2 (Sở Hà Nội - Lần - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để bất phương trình 3 x2  x    x  m  có nghiệm nguyên? A 65021 B 65024 C 65022 D 65023 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 27 (Cụm Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho bất phương trình m.3x 1  (3m  2)(4  7) x  (4  7) x  , với m là tham số Tìm tất các giá trị tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x   ;0  A m  Câu 28 22 B m  C m  22 D m   22 (THPT Thái Phiên - Hải Phòng - 2018) Tìm tất các giá trị thực tham số m để bất phương trình x    x  m nghiệm đúng với x    ;log  A m  Câu 29 22 B m  2 C m  D m  2 (THPT Ngô Quyền - Hải Phòng - 2018) Tìm tất các giá trị m để bất phương trình 2 1  m.4 x  x 1  1  2m  10 x  x 1  m.25 x  x 1  nghiệm đúng với x   ;  2  100 100 A m  B m  C m  D m  841 841 DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn log x  y  log3 ( x  y) ?  A 59 Câu B 58 B 28 B 46 A B 79 D 90 C 157 D 158  y 1 (Mã 103 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x , y thỏa mãn x A biểu thức P   y 1 D   x  y  x   x Giá trị nhỏ 8x  gần với số nào đây 2x  y  B C (Mã 101 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x, y thỏa mãn x A 2   x  y  x   x Giá trị lớn 8x  gần với giá trị nào sau đây nhất? 2x  y  B C biểu thức P  Câu D 56 C 45 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Xét các số thực thỏa mãn x biểu thức P  Câu C 29 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 80 Câu D 115 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 89 Câu C 116 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 55 Câu   y 1 D   x  y  x   x Giá trị nhỏ 4y gần với số nào đây? 2x  y 1 B 3 C 5 D 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x và y thỏa mãn x  y 1   x  y  x   x Giá trị 4y gần với số nào đây? 2x  y 1 B C lớn biểu thức P  A D Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y 33 65 49 57 A B C D 8 Câu 10 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y 49 65 33 57 A B C D 8 Câu 11 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y 33 21 41 A B C D 8 Câu 12 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y 33 21 41 A B C D 8 Câu 13 (Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Trong các nghiệm  x; y  thỏa mãn bất phương trình log x2  y  x  y   Giá trị lớn biểu thức T  x  y bằng: A Câu 14 B C (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có bao nhiêu D  x; y  với x, y nguyên và  2y   2x 1   x, y  2020 thỏa mãn  xy  x  y   log     x  y  xy   log  ?  x3   y2 A 2017 B 4034 C D 2017  2020 Câu 15 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hai số thực log  a  1  log  b  1  Giá trị nhỏ biểu thức a  b là A 12 B 14 C 16 Câu 16 a, b  thỏa mãn D (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong các nghiệm  x ; y  thỏa mãn bất phương trình log x  y  x  y   Khi đó giá trị lớn biểu thức T  x  y là A Câu 17 B C D (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm tập S tất các giá trị thực tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn log x2  y2 2  x  y   m2   và x  y  x  y   A S  1;1 B S  5;  1;1;5 C S  5;5 D S    7;  5;  1;1;5;7 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 18 Tìm tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau log 2019  x  y   và x  y  xy  m  1 A m   B m  C m  D m   Câu 19 Trong tất các cặp  x ; y  thỏa mãn log x2  y   x  y    Tìm m để tồn cặp  x; y cho x  y  x  y   m  A m    10  B m  10  C m  10  D m    10  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 20 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Dạng Bất phương trình logarit + Nếu a  thì log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  (cùng chiều) + Nếu  a  thì log a f  x   log a g  x   f  x   g  x  (ngược chiều)  log a B    a  1 B  1   + Nếu a chứa ẩn thì  log a A    A  1 B  1   log a B Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình log x  là A 10; B  0; C 10; D  ;10 Lời giải Chọn C log x    x0  x  10 x  10 Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là 10;  Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình log 13  x   là A  ; 2   :   B  ; 2 C  0; 2 D  2;2 Lời giải Chọn D 13  x   x  13  Bất phương trình log 13  x       2 13  x  x 4   13  x  13   2  x   2  x  Vậy, tập nghiệm bất phương trình log 13  x   là  2; 2 Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình log  36  x   là A  ; 3  3;   B  ;3 C  3;3 D  0;3 Lời giải Chọn C Ta có: log  36  x    36  x  27   x   3  x  Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình log3 18  x   là A   ;3 B  0;3 C  3;3 D   ;  3  3;    Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Điều kiện: 18  x   x  3 ;3 (*) Khi đó ta có: log3 18  x    18  x   3  x  Kết hợp với điều kiện (*) ta tập ngiệm bất phương trình đã cho là  3;3 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình log3  31  x   là A  ; 2 B  2; 2 C  ; 2   2;   D  0;  Lời giải Chọn B log3  31  x    31  x  27  x    x   2; 2 Câu (Đề Minh Họa 2017) Giải bất phương trình log  3x  1  A x  B x3 C x  D x  10 Lời giải Chọn A Bất phương trình  x   23  x   x  (t/m đk) Vậy bpt có nghiệm x  Đkxđ: x    x  Câu (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tìm tập nghiệm S bất phương trình ln x  A S   1;1 B S   1;0  C S   1;1 \ 0 D S   0;1 Lời giải x  Ta có: ln x    x    Vậy S   1;1 \ 0  1  x  Câu (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Tìm tập nghiệm S bất phương trình log  x  1  log  x  1 A S   2;   B S   1;  C S   ;  1  D S   ;  2  Lời giải x   2x 1   x  Ta có log  x  1  log  x  1   2 x   2 Câu (THPT - Yên Định Thanh Hóa 2019) Tập nghiệm S bất phương trình log2  x  3  là A S   ; 1 B S   1;   C S   ; 1 D S   ;0 Lời giải Ta có log  x  3   x    x  1 Vậy tập nghiệm bất phương trình S   1;   Câu 10 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Tập nghiệm bất phương trình log 0.3   x   log 10 là Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  5 A  0;   2 5  C  2;  2  B   ;  2 D  2;    Lời giải  5  x   x  log 0.3   x   log     2  x  5  x  10  x  2   5 2 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S   2;  Câu 11 (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Tập nghiệm bất phương trình log 0,5  x  1  là 3  A  ;  2   3 C  ;     Lời giải Bất phương trình   x   0,5   x   3 Vậy tập nghiệm bất phương trình đã cho là: S   1;   2 Câu 12  3 B  1;   2  3 D 1;   2 (HSG Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  ( x  1)  log  (2 x  5) là 4 A  1;6  5  B  ;6  2  C  6;   D  ;6  Lời giải x 1   Do  nên log  ( x  1)  log  (2 x  5)    x 6  x  x   4 Câu 13 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Tìm tập nghiệm S bất phương trình log3  x  3  log3 1  x    A   ;      2 B   ;    3   C   ;1   Lời giải 2  D  ;   3  Chọn B 2 x   Điều kiện :     x  1  x  log3  x  3  log3 1  x   x    x  x    2 So với điều kiện, ta tập nghiệm bất phương trình là S    ;    3 Câu 14   (THPT Cẩm Giàng 2019) Tập nghiệm bất phương trình log3  log x   là   1  1  1  A  0;1 B  ;3  C  ;1 D  ;   8  8  8  Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  1 1 x     log x  31     x      x  2 2  1  Vậy tập nghiệm bất phương trình là S   ;1 8   Ta có log3  log  Câu 15 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Số nghiệm nguyên bất phương trình log 0,8 15 x    log 0,8 13x  8 là B A Vô số Điều kiện x   C Lời giải D 15 Khi đó, log 0,8 15 x    log 0,8 13x  8  15 x   13x   x   x    Tập nghiệm bất phương trình là: T    ;3   x  0;1; 2  15  Câu 16 (Sở Vĩnh Phúc 2019) Tập xác định hàm số y  log   x   là A  ;  B  2;  C  ; 2 D  ;  Lời giải x  log   x     x  Hàm số xác định  log   x         x  4  x  x    x  Vậy tập xác định hàm số là: D   ; 2 Câu 17 (Sở Bình Phước 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  3x  1  là   A   ;1    1 B   ;   3   C   ;1   Lời giải D  ;1 Chọn C log  3x  1   3x    x  ĐK: x   Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình là   x    Vậy tập nghiệm bất phương trình   ;1   Câu 18 (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  là? A  2;2 B  ; 3  3;   C  ; 2   2;   D  3;3 Lời giải x  log  x  1   x    x     x  3 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 19 (Sở Bắc Giang 2019) Tập nghiệm S bất phương trình log 0,8  x  1  là 1  A S   ;  2  B S  1;   1  C S   ;   2  Lời giải D S   ;1 Bất phương trình log 0,8  x  1   x    0,8   x   x  Tập nghiệm S bất phương trình log 0,8  x  1  là S  1;   Câu 20 (Sở Bắc Giang 2019) Tập nghiệm bất phương trình log 0,5  x  14   log 0,5  x  x   là A  2; 2   C  \   ;    Lời giải B  ; 2 5 x  14   x  2 Điều kiện:  x  6x   D  3;2 * Ta có: log 0,5  x  14   log 0,5  x  x    x  14  x  x   3  x  Kết hợp với điều kiện * ta 2  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là  2; 2 Câu 21 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Bất phương trình log (3x  2)  log (6  x) có tập nghiệm là A  0;   1  B  ;3  2  C (3;1)  6 D  1;   5 Lời giải Vì  nên x  3 x    x   log (3x  2)  log (6  x)  1 x  6  x   x  Câu 22 (KTNL GV THPT Lý Thái Tổ 2019) Tập hợp nghiệm bất phương trình log  x  1  là: A S   1;  B S   ;  C S   ;  D S   1;  Lời giải Chọn D x 1   x  1 Ta có: log2  x  1      x   1  x   x 1  Vậy tập nghiệm bất phương trình là S   1;  Câu 23 (Sở Thanh Hóa 2019) Tìm tập nghiệm S bất phương trình ln x  ln  x   A S   2;   B S  1;   C S  R \ 2 D S  1;   \ 2 Lời giải x2  4x  ln x  ln  x     4 x   x2  4x    x    x  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy tập nghiệm bất phương trình là S  1;   \ 2 Câu 24 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  là: A  2;2 B  ; 3  3;   C  ; 2   2;   D  3;3 Lời giải Ta có log  x  1   x    x   ; 3  3;   2  log x  Câu 25 (Chuyên KHTN 2019) Tập nghiệm bất phương trình A  4;  3 B  4 ;     là: log   x  C  3;  D  Lời giải  x2    x   x  3    x  3 ĐK:   x    x3  3 x 1  x2   Với x  3 suy log(3  x)  nên bất phương trình đã cho tương đương với   log x   log   x   x  x  12   x   4;3 Kết hợp điều kiện suy tập nghiệm bất phương trình là  4; 3 Câu 26 (Chuyên Thái Bình 2019) Có tất bao nhiêu giá trị tham số m để bất phương trình log  x  mx  m    log  x   nghiệm đúng x   ? A B D C Lời giải Ta có : log2 ( x  mx  m  2)  log2 ( x  2) nghiệm đúng x    x  mx  m   x  2, x    mx  m  0, x    m  Suy có giá trị m thỏa mãn Câu 27 (Việt Đức Hà Nội 2019) Giải bất phương trình log  x    log   x  tập nghiệm là  a; b  Hãy tính tổng A S  26 S  a b B S  11 C S  28 15 D S  Lời giải  x   x     x  Điều kiện  6  x   x   Ta có log  x    log   x   3x    x  x   x  Kết hợp với điều kiện, ta  x  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  6 Vậy, tập nghiệm bất phương trình là 1;   5 11 Từ đó, S  a  b    5 Lời giải ngắn gọn sau: x  3x    x  log  3x    log   x     1 x   x    x  Câu 28 (Sở Ninh Bình 2019) Bất phương trình log  x  x   có tập nghiệm là A S   ; 1   3;   C S   3;   B S   1;3 D S   ; 1 Lời giải x  log  x  x    x  x   x  x      x  1 Vậy tập nghiệm bất phương trình S   ; 1   3;   Câu 29 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa 2019) Tập nghiệm bất phương trình ln x  ln  x   là: A  0;6  B  0;6  C  6;    D   ;6  Lời giải Chọn B 3 x   0 x  Bất phương trình ln x  ln  x     3 x  x  Câu 30 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Tập nghiệm S bất phương trình log  x  1  là A S  1;9  B S  1;10  C S   ;9  D S   ;10  Lời giải Chọn A log  x  1    x   23   x  Câu 31 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An -2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  là? A  2;2 B  ; 3  3;   C  ; 2   2;   D  3;3 Lời giải Chọn B x  log  x  1   x    x     x  3 Câu 32 (Bắc Ninh 2019) Bất phương trình log (3 x  2)  log (6  x) có tập nghiệm là ( a ; b) Tổng a  b A B 28 15 26 Lời giải C D 11 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D x  3 x    x  Ta có: log (3 x  2)  log (6  x)    1 x  6  x   x  Tập nghiệm bất phương trình là (1; ) 11 Vậy a  b    5 Câu 33 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Có tất bao nhiêu số nguyên x thỏa mãn bất phương trình log  log   x    ? A Vô số B C D Lời giải Chọn C log  log   x      log   x      x2  2 x    x   x      2  x   1  x    x  Kết hợp với giả thiết x là số nguyên ta thấy không có số nguyên x nào thỏa mãn bất phương trình log  log   x    Câu 34 (THPT Cẩm Bình 2019) Nghiệm bất phương trình log  A  x  B  x  C  x   x    log 2  x  1 là D x  Lời giải Chọn A log 2 x  2 x   x    2 x    x   x  5  log 2  x  1   Vậy nghiệm bất phương trình là Câu 35  x  (THPT Hàm Rồng 2019) Bất phương trình log  x    log  x  1 có bao nhiêu nghiệm nguyên A B C Lời giải D Chọn D x    x  7 Điều kiện xác định bất phương trình là    x  1 x 1   x  1 Ta có log  x    log  x  1  log  x    log  x  1  log  x    log  x  1 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x  x    3  x  Kết hợp điều kiện ta 1  x  Vì x   nên tìm x  0, x  Câu 36 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  x  1  là  3 A  1;   2 3  B  ;1   ;   2    1 1 C  ;0    ;   D  0;  2   2 Lời giải Chọn C Ta có: x  x   , x   x  Do đó log  x  x  1   x  x    x  x    x   2 1  Vậy tập nghiệm bất phương trình là S   ;0    :   2  Câu 37 (Bình Phước - 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  3x  1  là   A  ;1    1 B   ;   3   C   ;1   Lời giải D  ;1 Chọn C log  3x  1   3x    x  ĐK: x   Kết hợp với điều kiện ta nghiệm bất phương trình là   x    Vậy tập nghiệm bất phương trình   ;1   Câu 38 (Ngô Quyền - Hải Phòng -2019) Số nghiệm nguyên bất phương trình log  x  x  8  4 là A B Vô số C Lời giải D Chọn C Ta có x2  x    x    4 log  x  x    4       x  4 x  x      2   x  x  24  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x   6  x  4     x  4    x   6  x   Do đó các nghiệm nguyên bất phương trình đã cho là 6;  5;3; Câu 39 (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm S bất phương trình log x  log  x   là A S   ; 2    3;   C S   3;  \ 0 B S   2;3 D S   2;3 \ 0 Lời giải Chọn D x  Điều kiện:   x  6 log x  log  x    x  x   x  x    2  x  Kết hợp với điều kiện, suy tập nghiệm S   2;3 \ 0 Câu 40 (Nho Quan A - Ninh Bình - 2019) Bất phương trình log  x    có bao nhiêu nghiệm nguyên? A B C Lời giải D Chọn D x   x  log  x         x  x   x  Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm nguyên Câu 41 (Cần Thơ 2019) Tập nghiệm bất phương trình log 0,2  x     là A  4;   B  4;9  C  ;9  D  9;   Lời giải Chọn B 1 Ta có log 0,2  x      log 0,2  x    1  log 0,2  x    log 0,2  0,     x   x    x   x  Vậy bất phương trình có tập nghiệm là  4;9  Câu 42 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh trình log 7  x   log  x 1  là 2019) Tập nghiệm bất A S  1; 4 B S   ; 4 C S   4;   D S   4; 7 Lời giải Chọn D Điều kiện:  x  Ta có: Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ phương TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 log 7  x   log  x 1   log 7  x   log  x 1   log  x 1 7 x 7 x 2 x  0  1  0   x  x 1 x 1 x 1 Kết hợp với điều kiện ta có tập nghiệm là  4;7 Câu 43 (NK HCM-2019) Bất phương trình  log  x    log  x  x   có các nghiệm là A S   3;    B S  1;3 C S   2;    D S   2;3 Lời giải Chọn D Điều kiện: x   log  x    log  x  x    log  x  x    log  x     log  x  1   x  Đối chiếu điều kiện, ta có tập nghiệm là S   2;3 Dạng Bất phương trình mũ + Nếu a  thì a f  x   a g  x   f  x   g  x  + Nếu  a  thì a f  x + Nếu a chứa ẩn thì a Câu f  x a g  x a (cùng chiều)  f  x  g  x g x (ngược chiều)   a  1  f  x   g  x    (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Tập nghiệm bất phương trình 5x 1  5x B  4;  A  2;   x 9 là C  ; 2   4;   D  ; 4   2;   Lời giải Chọn A 5x 1  5x  x 9  x   x  x   x  x    2  x  Vậy Tập nghiệm bất phương trình là  2;  Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Tập nghiệm bất phương trình x  2.3x   là A  0;   B  0;   D 1;   C 1;   Lời giải Chọn B x  2.3x     x  1 x  3   3x  (vì x  0, x   )  x  Vậy tập nghiệm bất phương trình đã cho là  0;   Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm bất phương trình 3x A  4;   B  4;  C   ;4  13  27 là D  0;  Lời giải Chọn B Ta có: 3x 13  27  3x 13  33  x  13   x  16  x   4  x  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy tập nghiệm bất phương trình đã cho là S   4;  Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm bất phương trình 3x A  5;5  B  ;5  23  là C  5;  D  0;5 Lời giải Chọn A Ta có 3x  23   x  23   x2  25  5  x  Vậy nghiệm bất phương trình 3x Câu  23  là  5;5  (Mã 103 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm bất phương trình x B (0;3) C ( ;3) A ( 3;3) 7  là D (3; ) Lời giải Chọn A Ta có : x 7   x 7  22  x    x2   x  3;3 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Tập nghiệm bất phương trình x A  0;  B  ;  C  2;  1  là D  2;   Lời giải Chọn C Từ phương trình ta có x    2  x  Câu (Đề Tham Khảo 2018) Tập nghiệm bất phương trình 22 x  x6 là: A  ; 6 B 0; 64 C 6;   D 0; 6 Lời giải: Chọn A Cách 1: 2 x  x6  x  x   x  Cách 2: Đặt t  x , t  Bất phương trình trở thành: t  64t    t  64   x  64  x  Câu (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm bất phương trình 3x A  3;   B  1;3 C  ; 1   3;   D  ; 1 2 x  27 là Lời giải Chọn B Ta có 3x Câu 2 x  27  x  x   x  x    1  x  (Dề Minh Họa 2017) Cho hàm số f ( x)  x.7 x Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A f ( x )   x  x log  B f ( x)   x ln  x ln  C f ( x )   x log  x  D f ( x)    x log  Lời giải Chọn D   Đáp án A đúng vì f  x    log f  x   log  log 2 x.7 x   log 2 x  log x  Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  x  x log    Đáp án B đúng vì f  x    ln f  x   ln1  ln x.7 x   ln x  ln x   x.ln  x ln    Đáp án C đúng vì f  x    log f  x   log  log x.7 x   log x  log 7 x   x.log  x    Vậy D sai vì f  x    log f  x   log  log 2 x.7 x   log 2 x  log x   x  x log  Câu 10 (Đề Tham Khảo 2017) Tìm tập nghiệm S bất phương trình 5x1   A S   ;  B S  1;   Bất phương trình tương đương x 1 C S   1;   D S   2;   Lời giải   x   1  x  2 1 Vậy tập nghiệm bất phương trình là S   2;   Câu 11 (THPT Hoàng Hoa Thám Hưng Yên 2019) Cho hàm số y  e x phương trình y  là: A   ;  1 B   ;    1;    C  3;1 D  1;     x 3  Tập nghiệm bất Lời giải Ta có y    x   e x y    x   e x 2  x 3  x 3   x    x  1 Vậy tập nghiệm bất phương trình y  là  1;    x Câu 12 1 (Thpt Hùng Vương Bình Phước 2019) Tập nghiệm bất phương trình    trên tập số  3 thực là A  2;   B   ;   C   ;  D   2;   Lời giải x 1 x        x   x  2  3 Vậy tập nghiệm là: S    ;   Câu 13 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Tập nghiệm bất phương trình x 1  x  là A 8;  Ta có: x 1 B  8 x2 2 x2 2 x 6 D  ;8 C  0;8 Lời giải  x   3x   x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là S  8;   Câu 14 (THPT Cù Huy Cận 2019) Tập nghiệm bất phương trình x A  ;  3 B  3;1 C  3;1 2 x  là D  3;1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải x2  x Ta có : 8 x2  x   x  x    3  x  x Câu 15 1 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm S bất phương trình x 2     25  A S  ;2 B S  ;1 C S  1;  là D S  2;  Lời giải x 1 x 2     25   x  52 x  x   x  x  2 Câu 16 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tập nghiệm bất phương trình x 3 x  16 là A  ; 1 B  4;   C  1;4  D  ; 1   4;   Lời giải Câu 17 x 3 x  16  x 3 x   x  x   1  x  (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Tập nghiệm bất phương trình: x  là A   ;3 B 3;    C  3;    D   ;3 Lời giải x x Ta có:     x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là  3;    Câu 18 1 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tìm tập nghiệm S bất phương trình   2 A S  1;2 B S    ;1 C S  1;2  x 3 x  D S   2;    Lời giải 1    2  x2 3 x  1   2  x2 3 x 1      x  3x   x  3x     x  2 Vậy tập nghiệm bất phương trìnhđã cho là S  1;2 Câu 19 (Đề Tham Khảo 2019) Tập nghiệm bất phương trình 3x A  ; 1 B  3;   2 x C  1;3  27 là D  ; 1   3;   Lời giải Chọn C Ta có 3x Câu 20 2 x  27  x  x   x  x    1  x  (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho f  x   x.e3 x Tập nghiệm bất phương trình f   x   là 1  A  ;  3   1 B  0;   3  1 C  ;     Lời giải D  0;1 Chọn A Ta có: f   x   e3 x  3x.e3 x  e3 x 1  3x  f   x    e 3 x 1  x     x   x  Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x 3 x  1  32 x 21 là Câu 21 (THPT Ba Đình 2019) Số nghiệm nguyên bất phương trình   3 A B C vô số D Lời giải 1 Ta có    3 x 3 x    x 3 x   32 x 21    32 x 21    x  x    x  21  2 x  x   x  21  2 x  x  28     x4 Do x   nên x  3;  2;  1;0;1; 2;3 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm nguyên Câu 22 1 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Tập nghiệm bất phương trình    2 2 x  3x A  0;6  B  ;6  C  0;64  là D  6;  Lời giải 1 Ta có 23 x    2 2 x   23 x  2 x   x  x   x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là S   ;6  Câu 23 1 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Bất phương trình   2 A 3;   B  ; 1 x2 2 x  có tập nghiệm là C  1;3 D  1;3 Lời giải Bất phương trình đã cho tương đương với 1    2 x2 2 x 1     x  x   x  x    1  x   2 Vậy, tập nghiệm bất phương trình đã cho là: S   1;3 Câu 24 (THPT Yên Phong Bắc Ninh 2019 Nghiệm nguyên lớn bất phương trình x là A B 1 C D Lời giải Ta có x x  Câu 25 2 x  64  x 2 x 2 x  64  43  x  x    1  x  Vậy nghiệm nguyên lớn là 3 (Sở Hà Nội 2019) Tập nghiệm bất phương trình   4 A  ; 2  B  ; 2    2;   C   x2  81 là 256 D  2;2  Lời giải  3 Ta có:    4  x2 81  3    256  4  x2 3      x2    x2    x  R 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 26 (Chuyên Sơn La 2019) Tập nghiệm bất phương trình x A   ;  1 B  1;3 C  3;   D   ;  1   3;    2 x  là Lời giải Bất phương trình x 2 x   2x 2 x x   23  x  x   x  x      x  1 Vậy tập nghiệm bất phương trình là S    ;  1   3;    x Câu 27 e (Chuyên ĐHSP Hà Nội 2019) Tập nghiệm bất phương trình    là   A  B   ;0  C  0;    D  0;    Lời giải Vì x x e e  nên     log e    log e  x         e Vậy tập nghiệm bất phương trình là S    ;0  Câu 28 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Số nghiệm nguyên bất phương trình x nào sau đây ? A B C D Lời giải 2x 3x  16  x 3x 3 x  16 là số   x  x   x    4;  Các nghiệm nguyên bất phương trình là : 4; 3; 2; 1;0;1 x 1 Câu 29   (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm bất phương trình   1 a  a  ) là: 1  A  ;0  B  ;   C  0;    D 2  Lời giải   Ta có:   1 a  x 1   1    1 a  Nhận thấy  a  1, a  nên: x 1     1 a   (với a là tham số,    ;    1  1  a2 Khi đó bất phương trình 1 tương đương x    x   1  Vậy tập nghiệm bất phương trình đã cho : S   ;   2  Câu 30 (Cụm Trường Chuyên 2019) Tập nghiệm S bất phương trình x  e x là: A S   \ 0 B S   ;    C S   D S    ;  Lời giải Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x 3 x  e x      x  Tập nghiệm bất phương trình là S    ;  e Câu 31 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Bất phương trình x1  có tập nghiệm là: A 1:   B    ;1 D    ;1 C 1:   Lời giải Chọn D Ta có x 1   x    x  Tập nghiệm bất phương trình là    ;1 Câu 32 (THPT Minh Khai - 2019) Tìm tập nghiệm S bất phương trình x  A S   ; 2 B S   2;   C S   ;2  D S  2 Lời giải Chọn C x   x  32  x  Tập nghiệm bất phương trình là: S   ;2   x   Câu 33 (Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Tập nghiệm bất phương trình     là:  3  3  1 A  0;   2  1 B  ;       1 C  0;   2 Lời giải 1  D   ;  2  Chọn C 1  2x  x   Cơ số a   nên bất phương trình:      x   x  00  x   3  3 Câu 34 ( Đồng Nai - 2019) Tập nghiệm bất phương trình 3x  A  4;   B  ;  là D  0;   C  ;0  Lời giải Chọn A Bất phương trình 3x   x  32  x   2  x  4 1 Câu 35 (Chuyên Long An-2019) Tìm nghiệm bất phương trình   2 A x  B x  C x  x1  D  x  Lời giải Chọn A 1   2 x 1 1    2 x 1 1     x 1   x  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x 1 Câu 36   (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Tập nghiệm bất phương trình   (với a là tham  1 a  số, a  ) là 1    A  ;   B  0;   C  ;0  D   ;   2    Lời giải Chọn A Ta có  Câu 37  1, a  ,  a2     1 a  x 1   2x 1   x   1   x   ;   2  (Chuyên Lam Sơn-2019) Số nghiệm nguyên bất phương trình x 3 x  16 là B C D A Lời giải Chọn B 2 Ta có x 3 x  16  x 3 x  24  x  x   x  x    4  x  Do đó số nghiệm nguyên bất phương trình đã cho là Câu 38 1 (chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Bất phương trình   2 A 3;   B  ; 1 x2 2 x  C  1;3 có tập nghiệm là D  1;3 Lời giải Chọn C Bất phương trình đã cho tương đương với 1    2 x2 2 x 1     x  x   x  x    1  x   2 Vậy, tập nghiệm bất phương trình đã cho là: S   1;3 Câu 39  2 (Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2019)Cho bất phương trình    3 x  x 1 2   3 nghiệm S   a; b  Giá trị b  a B A C D Lời giải Chọn A 2 Ta có:    3 x  x 1 2   3 x 1  x  x   x   x  3x    x  Vậy tập nghiệm S   0;3 , suy b  a    2 Câu 40 (SGD Hưng Yên 2019) Tập nghiệm bất phương trình   3 A ( ; 0) B (0;  ) C  ;   2  Lời giải Chọn C x1  là D   ;     Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ x 1 có tập TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  2  3 x 1 Ta có     2x 1   x   1  Vây: Tập nghiệm bất phương trình là  ;   2  Câu 41 (SGD Điện Biên - 2019) Tập nghiệm bất phương trình A  0; 1 B  ;  C  x  là D  1;    Lời giải Chọn A x  x  x    x  0;1 2  x  x  x2  x 1  là Câu 42 (Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Tập nghiệm S bất phương trình   2 A S    ;3  B S  1;    C S    ;1   3;    D S  1;3 Lời giải Chọn C 1 Bất phương trình   2 x2  x 1 8  2 x2 4 x 1 Nên tập nghiệm bất phương trình   2 Câu 43 x2  x  là S    ;1   3;    (Cần Thơ - 2019) Nghiệm bất phương trình x  x  là B x  C x  A 1  x  Lời giải Chọn A 2x Câu 44 3 x  1     x  x  3  x  x     2 x  x   2x x D 2  x   2  x  x    1  x  (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tìm tập nghiệm bất phương trình x  x 1  3x  3x 1 A  2; B  ;2  C  ;2 D  2;   Lời giải Chọn D Ta có x  x 1  3x  x 1  3.2 x  4.3x 1  x   3x   2    3 Câu 45 x2 1 x    x  (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Cho bất phương trình x  5.2 x1  16  có tập nghiệm là đoạn  a; b Tính log  a  b  A B C Lời giải D 10 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn B Đặt t  x , t   * Khi đó bất phương trình đã cho trở thành: t  10t  16    t  (thỏa mãn (*)) a    x  23   x     log  a  b    b   2 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho bất phương trình    3 Câu 46 x  x 1  2    3 x 1 có tập nghiệm S   a ; b  Giá trị b  a A 2 B 1 C Lời giải D Chọn C x  x 1 x 1  2  2    x  x   x   x  3x     x   S  1;    3     Vậy a  1; b   b  a  1 (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Xác định tập nghiệm S bất phương trình   3 Câu 47 A S   ;1 C S  1;   B S  1;   Chọn A x 3   33 x  31   x   x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là S   ;1 Câu 48 (Sở Hà Nam - 2019) Tập nghiệm bất phương trình   A   ;1   2;    B  2;   4 x2 1   5 C   ;1 x2 6 x là D 1;2 Lời giải Chọn D Ta có:   4 x2 1   5 x2 6 x  54  x  5 x 6 x  x2  6x   x2  2x2  6x   1 x  x 1     Câu 49 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Bất phương trình      2 2 A x  4 B x  4 C x  4 Lời giải Chọn D Ta có:  D S   ;1 Lời giải 1 Ta có   3 x3 x 3 có nghiệm là D x  4 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   x 1   x 3     2 2   x   2x  (vì  )  x  4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 20 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ-GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT Sử dụng các phương pháp giải phương trình logarit đã đưa Chuyên đề 19 Phương trình mũ – logarit để giải Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tập nghiệm bất phương trình 2log  x  1  log   x   là A 3;5 B 1;3 C 1;3 D 1;5 Lời giải Chọn B Điều kiện:  x  2 Ta có 2log  x  1  log   x    log  x  1  log    x     x  1  10  x  x    3  x  Vậy tập nghiệm bpt là S  1;3 Câu (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Tìm tập nghiệm S bất phương trình 2log  x  3  log 18 x  27    A S    ;3   3  B S   ;3 4  3  C S   ;      Lời giải D S  3;    2log  x  3  log 18 x  27 * 4 x   x Điều kiện:  18 x  27  Với điều kiện trên, *  log  x  3  log 18 x  27    x  3  18 x  27    x  3  Kết hợp điều kiện ta S   ;3 4  Câu (THPT Yên Khánh - Ninh Bình -2019) Tập nghiệm bất phương trình log 22  x   log chứa tập hợp nào sau đây? 3  B  0;3 A  ;6  2  C 1;5 x 9 1  D  ;  2  Lời giải + Điều kiện: x  + Ta có: Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x   1  log x   log x    log 22 x  3log x  10   5  log x    x  log 22  x   log   Vậy x   ;  chứa tập 2  Câu 1   ;2 2  (Chuyên Đại Học Vinh 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  log 11  x   là: A  ; 4 B 1; 4  11  D  4;   2 C 1;4  Lời giải Chọn D x   x 1    11  ĐK:   11  x   1;   2 11  x   x  Ta có log  x  1  log 11  x    log 3 11  x 11  x  11  0   x  1;  x 1 x 1  2  11   11   11  Kết luận: x  1;  Vì x   4;   1;  Ta chọn đáp án D  2  2  2 Câu (Sở Phú Thọ 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  log 11  x   là A  ; 4 B 1; 4  11  D  4;   2 C 1;  Lời giải Chọn B Điều kiện xác định:  x  11 Khi đó ta có: log  x  1  log 11  x    log3 11  x   log  x  1  11  x  x   x    x  1; 4 x  Câu (Sở Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm bất phương trình log  x  1  log 11  x   là: A S    ;4 B S  1;  C S  1; 4  11  D S   3;   2 Lời giải log  x  1  log 11  x    log3 11  x   log  x  1  11  x  x   log 11  x   log3  x  1   1 x  x 1  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy tập nghiệm bất phương trình là S  1; 4 Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Tổng tất các nghiệm nguyên bất phương trình log x    log  x   A 12 B C Lời giải D Chọn D x 1   x  1  x2 Điều kiện   x   x  2 log x    log  x    log  x  1  log  4  x 1   x  2  x  2 x2  x   x2  x  0   x   ; 2   2;3 x2 x2 Suy nghiệm bất phương trình là: x   2;3 Nghiệm nguyên là: x  Vậy tổng tất các nghiệm nguyên là Câu (Chuyên Bắc Ninh 2019) Tìm tất giá trị tham số m để bất phương trình log  x  3  log  x  mx  1 có tập nghiệm là  A 2  m  B m  2 C 2  m  2 D m  Lời giải Ta có log  x  3  log  x  mx  1  x  mx    x  mx        2  x  mx   2 x   x  mx  Để bất phương trình log  x    log  x  mx  1 có tập nghiệm là  thì hệ   có tập nghiệm là  1  m2     2  m  2  m   Câu (Mã 123 2017) Tìm tập nghiệm S bất phương trình log 22 x  5log x   A S  (  ;1]  [4 ;  ) B S  [2 ; 16] C S  (0 ; 2]  [16 ;  ) D (  ; 2]  [16 ;  ) Lời giải Chọn C Điều kiện x  log x   x  16  Bpt   x  log x  Kết hợp điều kiện ta có S   0;   16;   Câu 10 (Mã 105 2017) Tìm tất các giá trị thực tham số m để bất phương trình log 22 x  log x  3m   có nghiệm thực Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A m  B m  C m  D m  Lời giải Chọn.A Đặt t  log x  x   , ta có bất phương trình : t  2t  3m   Để BPT luôn có nghiệm thực thì    3m   m  Câu 11 (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Biết bất phương trình log  5x    2.log 5x  2  có tập nghiệm là S   log a b;   , với a , b là các số nguyên   dương nhỏ và a  Tính P  2a  3b A P  B P  11 C P  18 Lời giải D P  16 Đặt log (5x  2)  t Do x   với x nên log (5x  2)  log 2  hay t  Bất phương trình đã cho trở thành: t  t 1   t  3t   (do t  )   t t  Đối chiếu với t  ta lấy t  Khi đó log (5x  2)   5x   x  log5 Vậy bất phương trình có nghiệm là S  (log5 2; ) , ta có a  5, b   2a  3b  16 Câu 12 Tập nghiệm S bất phương trình log 22 x  5log x   là 1  A S   ;64  2   1 B S   0;   2 C S   64;    1 D S   0;    64;    2 Lời giải log 22 x  5log x   1 ĐK: x  * Đặt t  log x    2 1 thành t  5t    1  t     log x   So với * : 1   x  64  x  64 1  Vậy S   ; 64 2  Câu 13 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Kí hiệu max a; b là số lớn hai số a , b Tìm tập nghiệm S   bất phương trình max log x; log x     1   1 A S   ;2  B S   0;2  C S   0;  3   3 D S   2;   Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn A y  log x  log x  log x  log x y'  1   0, x  nên phương trình y  có nghiệm x ln x ln Mà phương trình y  có nghiệm x  đó TH1: x  1: log x  log x   Ta có max log x; log x    log x   x  3   Do đó  x 1 TH2: x  1: log x  log x   Ta có max log x; log x    log x   x    Do đó  x  1  Vậy S   ;  3  1  S   ;  3  Câu 14   (Sở Bắc Ninh 2019) Tập nghiệm bất phương trình log x x    x  x  x    là  a ;  b  Khi đó a.b 15 A 16 Ta có: x x   x  x B 12  x2   x    16 15 Lời giải 2x x 2x C D   Ta có: log x x    x  x  x    log x 12   x2   x   x  x2     3x  x    2x  log     x  x    log  x  x   1, 1 2 x 2x  x 2x  Ta có x   x  , x   x    x   , * Điều kiện: 3x  x    x   3x    x    x   x  2 Với điều kiện * , ta có 1  log  x   x   x  x   log   x   x  x   x,   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét hàm số f  t   log t  t với t  Có f   t     , t   0;   t.ln   Hàm số f  t   log t  t đồng biến trên  0;   , x  x    0;   và   x   x   0;      Nên    f x  x   f x2   x  2 x  x    x  3x  x   x   x  x   2 x   x   4x 3x   2 16 Kết hợp với ĐK ta có tập nghiệm bất phương trình là   ;   hay a.b  15 3  C Chọn đáp án Câu 15 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Bất phương trình  x  x  ln  x    có bao nhiêu nghiệm nguyên? A B C Lời giải D Vô số Chọn C Điều kiện: x  5  x  3 x   x  9x   Cho  x  x  ln  x      x  ln  x      x  4 Bảng xét dấu:  4  x  3 Dựa vào bảng xét dấu ta thấy f  x     0  x  Vì x    x  4;  3;0;1;2;3 Vậy có giá trị nguyên x thỏa bài toán Câu 16 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương 2019) Biết bất phương trình log     2.log 5x  2  có tập nghiệm là S   log a b;   , với a , b là các số nguyên x   dương nhỏ và a  Tính P  a  3b A P  B P  11 C P  18 Lời giải Chọn D D P  16 Đặt log (5x  2)  t Do x   với x nên log2 (5x  2)  log2  hay t  Bất phương trình đã cho trở thành: t  t 1   t  3t   (do t  )   t t  Đối chiếu với t  ta lấy t  Khi đó log (5x  2)   5x   x  log5 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy bất phương trình có nghiệm là S  (log5 2; ) , ta có a  5, b   2a  3b  16 Câu 17 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Tính tổng tất các nghiệm nguyên bất phương trình log  x  3  log x  x  x   A B C Lời giải D Chọn B Điều kiện: x  Ta có log  x2  3  log x  x  x    log  x  3  x   log x  x * Xét hàm số f  t   log t  t trên D   0;    Ta có f t     t  D  hàm số f đồng biến trên D t ln Suy *  f  x2  3  f  x   x2   x   x  Vậy tập hợp các nghiệm nguyên bất phương trình là 1; 2; 3 Nhận xét: Với cách hỏi và đáp án câu này ta cần mở MODE máy tính cầm tay, nhập vế trái bất phương trình và cho biến chạy từ đến là tìm đáp án Câu 18  x2  x   (HKI-NK HCM-2019) Biết bất phương trình log    16 x     x   x  có tập nghiệm là S   a; b  Hãy tính tổng T  20a  10b A T  45 10 B T  46 10 C T  46  11 D T  47  11 Lời giải: Chọn A Điều kiện: x   x2  x   log    16 x     x   x   log  x  x  1  log 16 x  3  x  x    1 3  1 3   log   x        x      log  x   2 4 2 4      3 3     2 x   4 4  3 2t   3 Xét hàm số f  t   log  t     t   với t  có f   t     , t  4  3   4  t   ln 4  nên f  t  đồng biến trên khoảng  0;   x  1 3 32 3 2    x Suy  x     x   x  x    2 4 2   x  3x   a 3 2 3 2 ;b   T  20a  10b  45  10 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 19 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Tập nghiệm bất phương trình log 10  3x 1   1 x chứa số nguyên A B C Lời giải D Vô số Chọn A Ta có log3 10  3x1   1 x  10  3x1  31 x  3.3x  Giải (*) ta có 10  (*) 3x  3x   1  x  Vậy có số nguyên thuộc tập nghiệm bất phương trình Câu 20 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2018) Số nghiệm nguyên bất phương trình log x  log x   log x.log x là A C B D Vô số Lời giải Điều kiện xác định: x  Ta có: log x  log x   log x.log x   log x  1 log x  1   log x    0  x    log x   x    2 x 3   log x    x  2    log x    0  x  Do đó có nghiệm nguyên thỏa mãn Câu 21  3x   (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Bất phương trình log  log   có tập nghiệm  x3  là  a; b  Tính giá trị P  3a  b A P  B P  C P  10 Lời giải D P   3x   3x   0  x3   3x  x   3x      x3    3x   3x   3x   x3   log  log 1    0     log x  3  x3   x3  3x      x3 0  3x    x  3   x  3 3x   1  x3 log   x   7   x   ;  3   ;       7    x   ;3  x   x  3;3 3        x  3 Suy a  Câu 22 7 ; b  Vậy P  3a  b    3 (THPT Ngô Quyền - Hải Phòng - 2018) Tập nghiệm bất phương trình log   log x   là Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1  C  ;4  4  B 1;2  A  0;5  1 D  0;   2 Lời giải x  x     x 1 Điều kiện xác định:   log x   x  log   log x     log x   log x  1  x   1 So sánh điều kiện, suy S   0;   2 Câu 23 (THPT Nam Trực - Nam Định - 2018) Tổng các nghiệm nguyên bất phương trình log x  25 log x  75  là A 70 B 64 C 62 Lời giải D 66 Điều kiện x  log x  25 log 5  x  125 Nghiệm nguyên bất phương trình là: 0;1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9;10;11 S     11  Câu 24 x  75   log52 x  log5 x      log5 x   2 11 11  1  66 (THPT Lương Văn Can - 2018) Cho bất phương trình  log x  1  log x   Có bao nhiêu số nguyên x thoả mãn bất phương trình trên A 10000 B 10001 C 9998 D 9999 Lời giải  log x  1  log x   1 Điều kiện: x   x  10000 Vì x   nên x  1; 2;3; ;9999 10 Vậy có tất 9999 số nguyên x thoả mãn bất phương trình trên Khi 1  1  log x   BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Sử dụng các phương pháp giải phương trình mũ đã đưa Chuyên đề 19 Phương trình mũ – logarit để giải Câu (THPT Trần Phú - 2019) Tập nghiệm bất phương trình: 3x  24 x 1  82 x1     A  ;     1 B ;     C ; 4 D  4; Lời giải Chọn A 3x  24 x1  82 x1    x1  82 x1   4.22 x  8.22 x    2.22 x   22 x  0(*) 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489    t   Đặt 2 x  t , t  , suy bpt (*) trở thành: 2.t  t     t   Giao với Đk t  ta được: t   2 1  22 x   22 x  2  x    x   2   Vậy tập nghiệm BPT đã cho là T   ;    Câu (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Bất phương trình 32 x 1  7.3 x   có tập nghiệm là A   ; 1   log 3;   B   ; 2    log 3;   C   ; 1   log3 2;   D   ; 2    log3 2;   Lời giải Chọn C Ta có 32 x 1  7.3 x     3x   7.3x    t  0t   Đặt  t  ta    3t  7t   t   0  3x  31  3x   x  1  Suy     x  log log x  x  3   3  x Vậy bất phương trình có tập nghiệm là   ; 1   log 2;   Câu (Chuyên ĐH Vinh -2019) Biết tập nghiệm bất phương trình x   a  b A B C là  a ; b  Giá trị 2x D Lời giải Chọn D Ta có: x   2   x    x      x    x  x Tập nghiệm bất phương trình là: S   0;1 Suy a  và b  nên a  b  Câu (Chuyên Bắc Giang 2019) Tập nghiệm bất phương trình 33 x 1   3x 1  9.32 x  là A  ;1 B  3;    C 1;    D  ;3 Lời giải Chọn C Ta có 33 x 1   x 1  9.32 x   3.33 x   3.3 x  9.32 x  Đặt 3x  t  t   Ta có bất phương trình 3t   3t  9t   3t  9t  3t   Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  3t  t  3   t  3    3t  3  t  3   t 3 t 3 Khi đó ta có x   x  Vậy tập nghiệm bất phương trình là S  1;    Câu (THPT Đông Sơn - Thanh Hóa - 2019) Bất phương trình 6.4 x  13.6 x  6.9 x  có tập nghiệm là? A S   ; 1  1;   B S   ; 2   1;   C S   ; 1  1;   D S   ; 2   2;   Lời giải Chọn C   x    x 2x  x  1 2 2 3   x x x Ta có 6.4  13.6  6.9      13        x  3 3 x 1 2        Vậy tập nghiệm bất phương trình là S   ;  1  1;   Câu (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho bất phương trình: 2.5 x   5.2 x   133 10 x  có tập nghiệm là: S   a; b  Biểu thức A  1000b  5a có giá trị A 2021 B 2020 C 2019 Lời giải D 2018 Chọn B Ta có: 2.5 x2  5.2 x2 x x  x  x  133 10   50    133.5 2  20  2       x x x x x x 2   x  x    x    2.5  5.2   25.5  4.2     2.5  5.2   2         x  1      x    x x x   2x  1 1       x  2.5  5.2   5  2       x    x 2 x x x  x   2          2 2  25.5  4.2   5     x  4          x x x  x  1 1   2x   2x 1   x   2     2.5  5.2             x  4 x x x   x 2    2    x  25.5  4.2   5  2    x   2   2            4  x  Suy S   4; 2 Vậy A  1000b  5a  1000.2   4   2020 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Toán Học Tuổi Trẻ 17 12 2  3  8 Năm Số 2019)    x Ta có: 17 12     3  nguyên bất phương trình: là: B A x 2 x nghiệm x2 x C Lời giải  x2   3  2x D   3  x2   x  x   x  2;0 Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm nguyên Câu (Chuyên Lê Quý Dôn Diện Biên 2019) Tìm tập nghiệm bất phương trình x  x 1  3x  3x 1 A  2;  x Ta có  2   3 C  ; 2 B  ;  x 1 x 3 3 x 1 x  3.2  4.3 x 1 Lời giải  x   3x  x2 1 x    x  2 Câu D  2;   1  x  x (Chuyên Hưng Yên 2019) Cho bất phương trình       12 có tập nghiệm S   a ; b  3  3 Giá trị biểu thức P  3a  10b là A B 3 C 4 D Lời giải  x Đặt t     t   Khi đó bất phương trình đã cho trở thành 3 t  t  12   t  3 t     t  (vì t  ) 1  x Từ đó suy ra:      1  1  x  Tập nghiệm bất phương trình là  1;0  x  3 Vậy a  1 và b  Suy P  3a  10b  3 Câu 10 (Chuyên Hạ Long 2019) Bất phương trình sau có bao nhiêu nghiệm nguyên dương x  4.3x   A B C Lời giải D Đặt t  3x  Bất phương trình đã cho trở thành t  4.t     t    3x    x  Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S   0,1 nên nó không có nghiệm nguyên dương Câu 11 (THPT Đông Sơn Thanh Hóa 2019) Bất phương trình 6.4 x  13.6 x  6.9 x  có tập nghiệm là? A S   ; 1  1;   B S   ; 2   1;   C S   ; 1  1;   D S   ; 2   2;   Lời giải Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có 6.4 x  13.6 x  6.9 x     3 2x 2  13   3 x   x     x  1   6     x x 1  2        Vậy tập nghiệm bất phương trình là S   ; 1  1;   Câu 12 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Tập nghiệm bất phương trình 2  3 x  x 14   là: A  6; 2 B    6   2;   C  6;  D  ; 6    2;   Lời giải       Ta có    ,    và    2  3 x  x 14   74  2  x  x 14   2   1   74  2  2 2  x  x  14  2  x  x  12   6  x  Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm  6; 2 Câu 13 (Chuyên Bắc Giang 2019) Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình x   x 1  2.3x A B C D Lời giải Chọn C x   x 1  2.3 x  x   2.2 x  2.3x   x  3x      3x     3x   x     x   log3 2;1 Câu 14 (Chuyên Thái Bình 2019) Tập nghiệm bất phương trình 3x  a ; b  Tính 9 9   x   x 1  là khoảng ba A 3x B C Lời giải D   x   x 1  1 Có x 1  x Xét x   , VT 1  30   (loại) Xét x    Xét x       VT 1  (loại)  x   5x 1   3x 9  30     VT 1  luôn đúng  x   5x 1   3x 9  30  Có x    x   3;3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Tập nghiệm bất phương trình là:  3;3  b  a  Câu 15 ( Hsg Bắc  32 x Ninh Bất 2019) phương trình 34 x   34 x  32 x   có bao nhiêu nghiệm? 32 x  34 x   32 x  32 x   32 x C D A Vô số B Lời giải 2x Đặt t   , bất phương trình đã cho trở thành  t2   t2  t 2 2t   1 t 2t  2t  t2   t Điều kiện:  t  1  2t  2t  2t 2t t   t2  t2  t  t2   t  t 2 t   t  2t  12  t    t   t t   t  2t  12     2t 2t 2t  4t  t2   t   t   t  2t  12    t   t  4  t  2t  10    t    t  Với t   32 x   x  Vậy bất phương trình có nghiệm  Câu 16  (KTNL GV Thpt Lý Thái Tổ 2019) Số nghiệm nguyên thuộc đoạn  20; 20 bất phương trình: 2 x 1  9.2 x  x  x   là A 38 B 36 C 37 Lời giải D 19 Chọn B Điều kiện: x  x    x  3 x  * Vì x là số nguyên thuộc đoạn  20; 20 nên ta xét các trường hợp sau: Trường hợp  x  20 , đó dễ thấy 2 x 1  9.2 x  x  x 1    nên 2 x 1  9.2 x  x  x   , đó trên 3; 20 bất phương trình có 18 nghiệm nguyên Trường hợp x  thay trực tiếp vào bất phương trình ta có:   (đúng) Do đó x  thỏa mãn yêu cầu bài toán Trường hợp x  thay trực tiếp vào bất phương trình ta có: 10  (sai) Do đó x  không thỏa mãn yêu cầu bài toán Trường hợp 20  x  4 Khi đó, xét hàm số: f  x   x  x  , dễ thấy f  x   f  4   nên x  x   5, x   20; 4   a   20;4 Mặt khác, đặt t  x , đó 22 x 1  9.2 x  2t  9t , 20  x  4  220  t  24 Khi đó xét hàm số g  t   2t  9t với 20  t  24 , dễ thấy g  t   g  4     220 ; 4    71  b 128 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 71  Do đó 128 bất phương trình đã cho nghiệm đúng với 20  x  4 , nên trên đoạn  20; 4 bất phương  Từ  a  ,  b  suy h  x    20;4 x 1 x   9.2  x  x   h  4    trình có 17 nghiệm nguyên Trường hợp x  3 thay trực tiếp vào bất phương trình ta thấy không thỏa mãn Vậy số nghiệm nguyên bất phương trình là: 36 Câu 17 (Chuyên Thái Nguyên 2019) Tập hợp tất các số thực x không thỏa mãn bất phương trình 9x 4   x   2019 x 2  là khoảng  a; b  Tính b  a A C 5 Lời giải B D 1 Xét hai trường hợp: x   và x   x  đó ta có: TH1: x       x  2  9 x2 4    x 4   x  4 2019 x2   x    x    2019  2019   x   Dấu "  " xảy    x2   x   TH2: x2    2  x  , đó ta có: 9 x2 4      x 4   x  4 2019 x2   x2   x    2019  2019   bất phương trình vô nghiệm Vậy tập hợp tất các số thực x không thỏa mãn bất phương trình là (2; 2)  a  2; b   b  a  Câu 18 (THPT Chuyên Thái Bình - 2019) Tập nghiệm bất phương trình 3x 9   x   5x 1  là khoảng  a; b  Tính b  a A B C Lời giải D Chọn A  x  3 , ta có Với x     x  2 x 9 3   nên 3x 9   x   5x1   x 1  x     không thỏa mãn bất phương trình đã cho, đó bất phương trình vô nghiệm 3x 9  30  2 Với x    3  x  3, ta có  nên 3x 9   x   5x 1  x 1  x     Bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S   3;3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khi đó, a  3; b  nên b  a  Câu 19 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên x đoạn  0; 2020 thỏa mãn bất phương trình sau 16 x  25x  36 x  20 x  24 x  30 x A B 2000 C Lời giải D 1000 Chọn C Ta có 16 x  25x  36 x  20x  24 x  30 x  42 x  52 x  62 x  x.5x  x.6x  5x.6 x 2   x    x    x     2.4 x.5 x  2.4 x.6 x  2.5 x.6 x      45  x   x  5x   x 2    x  x    x  x    x  x    4 x  x    46    x    0; 2020 5x  x   x     Vậy có giá trị nguyên x đoạn  0; 2020 thỏa mãn bất phương trình Câu 20 (Hải Hậu (32 x  9)(3x  - Nam Định - 2020) Tập nghiệm bất phương trình ) 3x1   chứa bao nhiêu số nguyên ? 27 A B C Lời giải D Chọn B Điều kiện 3x 1    3x 1   x  1 Ta có x  1 là nghiệm bất phương trình Với x  1 , bất phương trình tương đương với (32 x  9)(3x  )  27  t  3 1 Đặt t   , ta có (t  9)(t  )   (t  3)(t  3)(t  )    Kết hợp  t 3 27 27  27 1 điều kiện t  3x  ta nghiệm t 3   3x   3  x  Kết hợp điều 27 27 kiện x  1 ta 1  x  suy trường hợp này bất phương trình có nghiệm nguyên x Vậy bất phương trình đã cho có tất nghiệm nguyên Câu 21 (THPT Lương Văn Tụy - Ninh Bình - 2018) Tập nghiệm bất phương trình x   x   3x   x  1  là A  0;1   2;    B  ;1   2;    C 1; 2 D  ;0   2;    Lời giải x Đặt  t , t  Xét phương trình: t   x   t   x  1  1 2 Ta có    x     x  1  x  x  16   x   nên phương trình 1 luôn có nghiệm Nếu x     thì phương trình 1 có nghiệm kép t  x  Do đó bất phương trình đã cho trở thành 3x  x  (luôn đúng x  ) Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 t  x  Nếu x     thì phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt  t  Xét các phương trình 3x   x  1 và 3x  x   3x  x     Đặt f  x   3x  x  ; ta có f   x   3x ln  là hàm số đồng biến trên  Lại có f    f 1  và f     , f  1  nên f   x  đổi dấu lần khoảng  0;1 Vậy phương trình   có đúng hai nghiệm x  , x  Lập bảng xét dấu cho 1 và   ta tập nghiệm bất phương trình là: S   0;1   2;    Câu 22 (Toán Học Tuổi Trẻ Số 6) Tập nghiệm bất phương trình 2.7 x   7.2 x   351 14 x có dạng là đoạn S   a; b  Giá trị b  a thuộc khoảng nào đây?   B   4;  A 3; 10 C   7; 10  49  D  ;  9  Lời giải 2.7 x   7.2 x   351 14 x  49.7 x  28.2 x  351 14 x  49  49 72 x 22 x  28  351 14 x 14 x 28 7x 7x 2x  28  351 Đặt t  , t  thì bpt trở thành 49t   351 x x x t 2 7 7x    4  x  , đó S   4; 2 t    49 49 2x Giá trị b  2a  10  Câu 23   7; 10 (Chuyên ĐHSPHN - 2018) Cho f  x   52 x1 ; g  x   x  x.ln Tập nghiệm bất phương trình f   x   g   x  là A x  B x  C  x  Lời giải D x  Ta có: f   x   52 x1  x  1 ln  52 x1.ln Và: g   x   5x.ln  ln   5x   ln Do đó: f   x   g   x   52 x 1.ln   5x   ln  52 x1  5x   5.52 x  5x    x   VN    5x   x    x 5  Vậy nghiệm bất phương trình đã cho là x  Câu 24 (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018) Bất phương trình 2.5x 2  5.2 x 2  133 10 x có tập nghiệm là S   a; b thì biểu thức A  1000b  4a  có giá trị A 3992 B 4008 C 1004 D 2017 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: x 2.5 x 2  5.2 x  2  5  133 10  50.5  20.2  133 10  50    20    133   2  5 x 2 x x x x x  5 , t  , ta bất phương trình: 50t  133t  20   Đặt t   t    25   x  5 5 x  Với    t  , ta có:    2    4  x   25   25 2 Tập nghiệm bất phương trình là S   4; 2  a  4 , b   A  1000b  4a   1000.2   4    2017 Câu 25 Số nghiệm nguyên thuộc khoảng  0;12  bất phương trình A B x  1 x C 2 3 11 x  log 2 x  11 là: x2  x  D 11 Lời giải Chọn C Điều kiện x   Khi đó 3 x  1 x x  1 x 3 2 3 11 và x  11 x 2 11 x  log 11 2 x  1 x  11  x  11  x x  log     2 x  x 1  x  x 1 11    2 x  x  1 1  211   11   log   x  log  x     x  log     x x 2    x 1   x  1 Xét hàm số f  t   3t  log t với t  Khi đó f   t   3t ln   0, t  nên hàm số đã 2t ln cho đồng biến trên  0;  Do đó 11 1 x  3x  10   11   11    x    ; 2    0;5 f  x 1    f     x 1     x x x x x     Vậy trên khoảng  0;12  có nghiệm nguyên thỏa yêu cầu bài toán Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LOGARIT Chuyên đề 20 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI – MỨC 9-10 ĐIỂM DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ Câu (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho a là số thực dương, a  Biết bất phương trình log a x  x  nghiệm đúng với x  Số a thuộc tập hợp nào sau đây? B  3;5 A  7;8 C  2;3 D  8;   Lời giải Chọn A Ta có: với x  thì log a    Ta tìm a để đường thẳng y  x  nhận làm tiếp tuyến đồ thị hàm số y  log a x điểm x 1 Có y  2  y 1  x lna ln a  x  1 ln a Vậy để đường thẳng y  x  nhận làm tiếp tuyến đồ thị hàm số y  log a x thì Phương trình tiếp tuyến y    ln a   a  e ln a Thử lại a  e ta chứng minh log e2 x  x   ln x  x   f  x   ln x  x   x  1 x 1   f  x   x  x x Bảng biến thiên Có f   x   Từ bảng biến thiên suy f  x    ln x  x  x  Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho  a là số nguyên dương lớn thỏa mãn  3log3  a  a  2log a Giá trị log  2017a  xấp xỉ bằng: A 19 B 26  C 25 Lời giải D 23  Từ giả thiết 3log3  a  a  2log a Đặt log a  3x  a  64 x Ta bất phương trình: 3log 1  x  x   x   8x  x  x Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 x x x 1 8 4           9 9 9 x x x 1 8 4 Đặt f  x           9 9 9 x x x 1 1 8 8 4 4  f   x     ln      ln      ln    ,  x   9 9 9 9 9 9 Vậy f  x  là hàm số nghịch biến trên  Và ta lại có f    x x x 1 8  4 Từ           f  x   f    x  9 9 9 Suy a  642  4096 mà a là số nguyên dương lớn thỏa mãn suy a  4095 Vậy log  2017a   log  2017  4095  22.97764311  23 Câu (Chuyên Hưng Yên 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để bất phương trình   log 0,02 log  3x  1  log 0,02 m có nghiệm với x   ;0 A m  B  m  C m  Lời giải D m  Đk: x   ; m    Ta có: log 0,02 log  3x  1  log 0,02 m , x   ;0   log  x  1  m , x    ;   3x   2m , x    ;0  Xét hàm f  x   3x  trên   ;0  Ta có f   x   3x.ln  0, x    ;0  Bảng biến thiên: x ∞ y' + y Để phương trình có nghiệm với x   ;0  ta phải có 2m   m  Câu (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Gọi S là tổng tất các giá trị nguyên m để bất phương trình ln  x    ln  mx  x  m  nghiệm đúng với x thuộc  Tính S A S  14 B S  C S  12 Lời giải D S  35 Chọn C Ta có:     2 7 x   mx  x  m   m  x  x   m  1   2 mx  x  m  mx  x  m    ln x   ln mx  x  m   Bất phương trình đã cho đúng với x   và các bất phương trình 1 ,  2 đúng với x Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Xét   m  x  x   m  1 + Khi m  ta có 1 trở thành 4 x   x  Do đó m  không thỏa mãn + Khi m  ta có 1 đúng với x   m  7  m  m   m        '  m   m  4    m   Xét mx  x  m   2 + Khi m  ta có  2 trở thành 4 x   x  Do đó m  không thỏa mãn + Khi m  ta có   đúng với x   m  m  m      m     '  4  m  m  2  m  Từ    và   ta có  m  Do m  Z nên m  3; 4;5 Từ đó S     12 Câu (Chuyên Bắc Giang 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương m để bất phương trình log  x    log  mx  x  m  nghiệm đúng với x A B C Lời giải D Chọn D Cách 1: 2 7 x   mx  x  m Bpt: log  x    log  mx  x  m    mx  x  m   f  x    m   x  x  m     g  x   mx  x  m   f  x   , x   Bpt đã cho nghiệm đúng với x      g  x   , x    Trường hợp 1: m   f  x   4 x    7 x  x    g  x   Vậy m  không thỏa yêu cầu bài toán  Trường hợp 2: m   7 x  x    f  x     4 x   g  x   Vậy m  không thỏa yêu cầu bài toán  Trường hợp 3: m  0; m  a f  m   m    m   m    f  x   0, x    f  4   m       2m5 Khi đó:    g  x   0, x   ag  m  m      m  2  m  4  m   g Do m   nên m  3; 4;5 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Cách 2: 7 x   mx  x  m log  x    log  mx  x  m     mx  x  m  7 x  x   m  x  1  m   x  x  m      mx  x  m  m  x  1  4 x 4 x 4 x  x2  x     x   m 7  x   m m   x     (*) m  4 x m  4 x m  4 x 2 x 1 x 1   x 1  4 x Xét hàm số g ( x)  trên  x 1 4( x  1)  x( x  1) x  g '( x)   ( x  1) ( x  1)  x  1 g '( x)    x 1 Bảng biến thiên  m   2 Vậy đk (*)    2m5 m  Do m  nên m  3; 4;5 Câu (Chuyên Quang Trung Bình Phước 2019) Tìm tất các giá trị thực tham số m để bất phương trình log  x 1  log  x3  x  m có nghiệm 2 B m   D Không tồn m Lời giải A m  C m  Chọn A x   Điều kiện     x  x  m  Phương trình tương đương log  x 1  log  x3  x  m  x 1  x3  x  m  x3 1  m 2 Khi đó ta có f  x   x   m,  x  1  m  f  x  1; Ta có f   x  3x   x   1;  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bảng biến thiên Câu Dựa vào bảng biến thiên và đề bài hỏi “có nghiệm” nên ta chọn m   (THPT Chuyên Thái Bình - 2019) Có tất bao nhiêu giá trị tham số m để bất phương     trình log x2  mx  m   log x  nghiệm đúng với x   A B D C Lời giải Chọn D Ta thấy x   x   Do đó bất phương trình log  x2  mx  m    log  x2    x2  mx  m   x2   mx  m      Bất phương trình log x  mx  m   log x  nghiệm đúng với x   và mx  m  x    m  Câu (Chuyên Vĩnh Phúc - 2019) Tìm tập S tất các giá trị thực số m để tồn cặp   số  x; y  thỏa mãn log x2  y  x  y   m2  và x  y  x  y   A S  5; 1;1;5 B S  1;1 C S  5;5 D S  7  5; 1;1;5;7 Lời giải Chọn A y m I -3 J O -1 x Nhận thấy x  y   với x, y  nên: log x2  y   x  y   m2    x  y   m  x  y  2  x  y  x  y   m    x     y    m (*) x  Khi m  thì (*)   Cặp  2;  không là nghiệm phương trình y  x2  y  2x  y   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khi m  , tập hợp các điểm  x; y  thỏa mãn (*) là hình tròn tâm J  2;  , bán kính là m Trường hợp này, yêu cầu bài toán trở thành tìm m để đường tròn tâm I  1;  , bán kính và hình tròn tâm J  2;  , bán kính m có đúng điểm chung (hình vẽ)  m 1  m  1 Điều này xảy   (thỏa mãn m  )  m  5  m  Vậy S  5; 1;1;5 Câu (Bình Giang-Hải Dương 2019) Xét bất phương trình log 22  x    m  1 log x   Tìm tất các giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng A m    ;    B m   0;   C m   ;    2; D m    ;     Lời giải Chọn D Bất phương trình log 22  x    m  1 log x    log 22 x  m log x   1 Đặt t  log x , vì x   1  2;   t   ;      Bất phương trình trở thành t  2mt    2mt  t   2m  Đặt f t   t 1  2 t 1  t 1 với t   ;   2  t Bất phương trình 1 có nghiệm thuộc khoảng   2; và bất phương trình 2 có 1  nghiệm thuộc khoảng  ;   2  Ta có f   t    1   t   ;   t   Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên suy bất phương trình đã cho có nghiệm thuộc khoảng   2; và 3 2m    m   Câu 10 Gọi S là tập hợp tất các giá trị tham số m để bất phương trình m  x5  x   m  x  x3   x  ln x   thỏa mãn với x  Tính tổng các giá trị tập hợp S A B C D 2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn C     Đặt f  x   m2 x5  x  m x  x3  x  ln x  Ta có f  x  liên tục, có đạo hàm trên x Bất phương trình đã cho viết thành f  x   Giả sử y  f  x  có đồ thị là (C)  0;        và f   x   m x  x3  m x  x   f  x   với x  và đồ thị (C) không nằm phía trục Ox Mặt khác (C) và Ox có điểm chung là A 1;  Nên điều kiện cần để đồ thị (C) không nằm phía trục Ox là Ox tiếp xúc với (C) A 1;0  m  m  Suy ra, f ' 1   m  m   Với m  ta có bất phương trình đã cho trở thành f  x   x  ln x   f  x   x  Bảng biến thiên hàm số f  x  Dựa vào bảng biến thiên ta có f  x   0, x  Suy m  thỏa mãn điều kiện Với m  ta có bất phương trình đã cho trở thành f  x   x  x  x  ln x  x   x5  x  3x3  x   x  1  x  x  1 f   x   x  x  3x     x x x 2 2       Ta có x  x    x  x    x          32    32  Suy f   x    x  Bảng biến thiên hàm số f  x  sau Dựa vào bảng biến thiên ta có f  x   0, x  Suy m  thỏa mãn điều kiện Vậy S  0;1 Câu 11 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho bất phương trình log  x  x     log  x  x   m  Có tất bao nhiêu giá trị nguyên m để bất phương trình có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ? A 36 B 34 C 35 Lời giải D Vô số Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: log  x  x     log  x  x   m  , x  1;3  log  x  14 x  14   log  x  x   m  , x  1;3  x  x   m  0, x  1;3  m    x  x   , x  1;3 1    x  x   m, x  1;3 6 x  x   m, x  1;3   2 Xét g  x     x  x   , x  1;3  , có g  x     x      1     12, x  1;3  Do đó 1  m  12 Xét h  x   x  x  9, x  1;3 , có h  x   6.12  8.1   23, x  1;3 Do đó    m  23 Do m  và m   12; 23 nên ta tập các giá trị m là 12; 11; 10; ; 23 Vậy có tổng cộng 36 giá trị m thỏa yêu cầu bài toán Câu 12 (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Gọi m0 là giá trị nhỏ để bất phương trình x   log   x   2log  m    đúng các khẳng định sau A m0   9;10     x  x     log  x  1 có nghiệm Chọn đáp án   C m0   10;   B m0   8;9  D m0   9;  8 Lời giải Chọn C  1  x   1  x    + Điều kiện xác định:   x x  m    x  x    m   + Với điều kiện trên bất phương trình: x    log   x   2log  m    x  x     log  x  1       x  2x   x   log    x  x  1   log  m    x    x  x    m    x  x  m     x  x     x  + Ta thấy các nghiệm 1 khoảng  + Đặt t     x  2x      2x    2x   1  1;2  luôn thỏa mãn *  x  x  ,  t   với x   1;2  Xét f  x    x  x  với x   1;2  f  x  1 2 x  2x   2  x  2x  2   x  x  2 f  x   2  x  2x   x  Bảng biến thiên: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/   * TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Suy x   1;2  thì t  + Ta có t   x  + 1 trở thành m   3;3   x  x    x    x  x    t2  t2   4t  2m  t  8t    + 1 có nghiệm x   1;2     có nghiệm t  + Xét hàm số y  g  t   t  8t  trên   3;3 3;3 Bảng biến thiên: + Do đó bất phương trình   có nghiệm t  Suy m0   Câu 13  3;3 và 2m  19  m   19 19   10; 9  (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Gọi S là tập hợp tất các điểm M  x; y  đó x, y là các số nguyên thoả mãn điều kiện log x2  y 1  x  y  m   1, với m là tham số Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  2020; 2019 để tập S có không quá phần tử? A B 2020 C 2021 Lời giải D 2019 Chọn C log x  y 1  x  y  m    x  y  m  x  y  2   x  1   y  1  m  Để bất phương trình có phần tử thì m 1   m  Vậy có 2021 số nguyên m thuộc đoạn  2020; 2019 để tập S có không quá phần tử Câu 14 (Chuyên Thái Bình - Lần - 2020) Cho bất phương trình log  x  x     log  x  x   m  Có tất bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để 2 bất phương trình trên có tập nghiệm chứa khoảng 1;3 ? A 36 B 35 C 34 Lời giải D Vô số Chọn A Điều kiện xác định x  x   m  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khi đó log  x  x     log  x  x   m   log  x  14 x  14   log  x  x   m   x  14 x  14  x  x  m   x2  8x   m  6 x  x   m  6.12    m  Khi đó ycbt    12  m  23 , x  1;3    x  x   m  1    m  Vậy có 36 giá trị nguyên m thỏa ycbt Câu 15 (Chuyên Lê Hồng Phong - 2018) Xét bất phương trình log 22 x   m  1 log x   Tìm tất các giá trị tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng   B m    ;0    A m   0;     C m    ;     Lời giải   2;   D m   ;0  Điều kiện: x  log 22 x   m  1 log x    1  log2 x    m  1 log2 x   1 Đặt t  log x Vì x  nên log x  log 2  1 1  Do đó t   ;   2   thành 1  t    m  1 t    t  2mt     1  Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc  ;   2  Xét bất phương trình (2) có:  '  m   0,  m   f  t   t  2mt   có ac  nên (2) luôn có nghiệm phân biệt t1   t2 1  t2  m  m    m   2 t 1 1  Cách 2: t  2mt    f  t   < m t   2t 2    Khảo sát hàm số f  t   0;   ta m    ;     Khi đó cần Câu 16 (Chuyên Vinh - 2018) Gọi a là số thực lớn để bất phương x  x   a ln  x  x  1  nghiệm đúng với x   Mệnh đề nào sau đây đúng? A a   2;3 B a   8;    C a   6;  D a   6;  5 Lời giải 1 3  Đặt t  x  x    x    suy t  2  Bất phương trình x  x   a ln  x  x  1   t  a ln t    a ln t  t  Trường hợp 1: t  đó a ln t  t  luôn đúng với a Trường hợp 2:  t  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ trình TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 t  3  3  , t   ;1 Ta có a ln t  t  1, t   ;1  a  ln t 4  4  ln t   t  t  0, t   ;1 đó Xét hàm số f  t    f  t      ln t ln t t  7 3  , t   ;1  a  ln t 4  ln Trường hợp 3: t  a t  , t  1;    ln t ln t   t  t , t  1;    Xét hàm số f  t    f  t    ln t ln t 1 Xét hàm số g  t   ln t    g   t     t t t Vậy g  t   có tối đa nghiệm Ta có a ln t  t  1, t  1;     a  Vì g 1  2; lim g  t    g  t   có nghiệm trên 1;    t  Do đó f   t   có nghiệm là t0 Khi đó ln t0  t0  suy f  t0   t0 t0 Bảng biến thiên t  , t  1;     a  t0 ln t 7 Vậy t0  a  ln Vậy số thực a thỏa mãn yêu cầu bài toán là: a   6;7  Vậy a  Câu 17 (THPT Lê Xoay - 2018) Giả sử S   a, b  là tập nghiệm bất phương trình x  x  x  x log x   x  x  log x    x  x Khi đó b  a A B Lời giải C D x  x  Điều kiện:    2  x  6  x  x  D   0;3 x  x  x  x log x   x  x  log x    x  x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  x  x  x  x log x  x  x  1 log x    x  x   x  1  x log x    x  x  x log x         x log x  x    x  x   5  x log x   I   x    x  x   5  x log x   II     x    x  x  Giải hệ (I) 5  x log x  1   x    x  x    Giải 1  x log x  5  Xét hàm số f  x   x   log x   xg  x  với x   0;3 x   0x   0;3 Ta có g   x     x x ln Lập bảng biến thiên 5  Vậy f  x   x   log x   0x   0;3 x  Xét bất phương trình (2): 6  x  x   x  12 2 x  3x    x  x2  x 1     x  x    x  1     x   x  2   x  5  Vậy nghiệm hệ  I  là D   ;3 2  Hệ  II  vô nghiệm 5  Vậy S   ,3 2  b  a  3  2 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 18 (Chuyên Hà Tĩnh - 2018) Cho bất phương trình log  x  x     log  x  x   m  Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng 1;3 ? A 35 B 36 C 34 Lời giải D 33  x  x   m  m   x  x   bpt   2 6 x  x   m log 7  x  x     log  x  x   m   m  max f  x  1;3   , với f  x    x  x  ; g  x   x  x  m  g x    1;3 Xét biến thiên hai hàm số f  x  và g  x   f   x   2 x   0, x  1;3  f  x  luôn nghịch biến trên khoảng 1;3  max f  x   f 1  12 1;3  g   x   12 x   0, x  1;3  g  x  luôn đồng biến trên khoảng 1;3  g  x   g 1  23 1;3 Khi đó 12  m  23 Mà m   nên m  11;  10; ; 22 Vậy có tất 34 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu 19 (Sở Quảng Nam 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên thuộc khoảng  9;9  tham số m để bất   phương trình 3log x  log m x  x  1  x   x có nghiệm thực? A B C 10 Lời giải D 11 0  x  0  x  0  x   Điều kiện    1  x   m x  1  x   m x  x  1  x   x  m  x  Bất phương trình đã cho tương đương  log x  log m x  x  1  x   x   x3  m x  x  1  x   x   2  x x  m x  x  1  x   x x x  1  x   x   x 1 x  1 x x xx Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có m   x   1 x   1 x     x   x  1 x   1 x   x  Vì m  x   x Khảo sát hàm số f  x   x   x trên  0;1 ta f  x    1, 414 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy m có thể nhận các giá trị 2,3, 4,5, 6, 7,8 Câu 20 (Yên Phong - 2018) Có bao nhiêu số nguyên    m cho bất phương trình  ln  ln x   ln mx  x  m có tập nghiệm là  A B C D Lời giải        Ta có bất phương trình ln  ln x   ln mx  x  m  ln 5x   ln mx  x  m   x2   x 2  m   f  x 2  5 x   x  m x  5 x   mx  x  m  x     2 mx  x  m  m x   4 x  m  4 x  g  x    x2      Hàm số f  x  có bảng biến thiên: Hàm số g  x  có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy để bất phương trình có tập nghiệm là   m  Vậy có giá trị nguyên m DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ CHỨA THAM SỐ Câu (VTED 2019) Cho a  Biết a  a0 thì bất phương trình x a  a x đúng với x  1;   Mệnh đề nào đây đúng? A  a0  B e  a0  e C  a0  D e  a0  e3 Lời giải Chọn C x a  a x  a.ln x  x.ln a  a x  ln a ln x x , x  1;   ln x ln x  f  x  ln x f   x    x  e Đặt f  x   Bảng biến thiên: Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bất phương trình nghiệm đúng x  1;    a  e  a  e.ln a  a  e.ln a  ln a * Xét hàm số g  x   x  e.ln x; g   x    e xe  x x Vậy a  e.ln a  Theo bảng biến thiên, ta có: a  e.ln a   a  e Vậy a  a0  e   2;3 Câu (Chuyên Hạ Long 2019) Tìm m để hàm số sau xác định trên  : y  x   m  1 x  m A Đáp án khác B m  1 C m  D 3  2  m  3  2 Lời giải Hàm số y  x   m  1 x  m xác định trên  và x   m  1 x  m  x   Đặt t  x  t   Khi đó: t   m  1 t  m  Xét hàm số: f  t   t   t2  t  m t  t 1 t2  t với t  t 1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: f '  t   t  2t   t  1 đó: f '  t    t  2t    t  1  t    Lập bảng biến thiên ta tìm f  t   f 1   3  2  0;  Để bất phương trình Câu t2  t  m t  thì m  3  2 t 1 x x 1 Bất phương trình  (m  1)2  m  nghiệm đúng với x  Tập tất các giá trị m là A  ;12  B  ; 1 C  ;0  D  1;16  Lời giải Chọn B Đặt t  x ĐK: t  BPT  t   m  1 t  m    2t  1 m  t  2t  m  Ta có g '  t   Câu 2t  2t   2t   t  2t  g  t   m  g  t  2t   0, t   Min g  t   g  1  1  m    ; 1 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Tìm tất các giá trị tham số m để bất phương trình x 1  m  x  1  nghiệm đúng với x   B m    ;  A m    ;0   1;    C m   0;    D m   0;1 Lời giải Bất phương trình x 1  m  x  1  1 Đặt t  2x , t  Bất phương trình (1) trở thành: t  m  t  1   t  4mt  m    Đặt f  t   t  4mt  4m Đồ thị hàm số y  f  t  có đồ thị là Parabol với hệ số a dương, đỉnh I  2m ;  4m  4m  Bất phương trình 1 nghiệm đúng với x    Bất phương trình   nghiệm đúng với t  hay f  t   0, t  TH1: m   f    4m   m  thỏa mãn TH2: m   4 m  m  nên m  không thỏa mãn Vậy m  Câu (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Bất phương trình x   m  1 x1  m  nghiệm đúng với x  Tập tất các giá trị m là B  ; 1 A  ;12  C  ;0 D  1;16 Lời giải x   m  1 x 1  m  0, x    x    m  1 x  m  0, x  (1) Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đặt t  x ,  t   (1) trở thành t   m  1 t  m  0, t  (2) Cách 1: t  2t , t  (3) 2t  (2)  m  t  2t Xét hàm số y  f  t   Ta có hàm số y  f  t  liên tục trên 1;  2t   2t   2t  1   t  2t  2t  2t    0, t  2  2t  1  2t  1 Suy hàm số f  t  đồng biến trên 1;   f  t   f 1  1, Do đó (3)  m  f  t   m  1 1;   f  t   t  Cách 2: t   m  1 t  m  là bất phương trình bậc hai Tam thức bậc hai vế trái luôn có   m  m   0, m nên tam thức luôn có hai nghiệm là t  m   m2  m  và t  m   m2  m  Suy bất phương trình t   m  1 t  m  có tập nghiệm là   ; m   m  m     m   m  m  1;    m   m  1 (2)  m   m2  m    m2  m   m   2 m  m   m Câu (THPT Hàm Rồng Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m   10;10 để  bất phương trình sau nghiệm đúng với x   :  A 10 B  x     m  C 12 Lời giải  x   m  1 x  D 11 Ta có: 6   x     m   x    m  1 x   x   x   2  m   x   m  1 x x   3  x  3     m     m    x  3  Đặt t   , t      Bất phương trình đã cho trở thành:   t   x t2  t  m t    m  m   t t 1 Xét hàm số f  t   t2  t  t  2t  trên khoảng  0;    , ta có f   t   t 1  t  1  t  3 f  t     Khi đó, ta có bảng biến thiên sau: t  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Từ bảng biến thiên trên ta suy để bất phương trình đã cho nghiệm đúng thì m  Suy đoạn  10;10 có tất 11 giá trị nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu (THPT Lê Quý Đôn Đà Nẵng 2019) Tìm m để bất phương trình x  x  x  x   mx có tập nghiệm là  A ln120 B ln10 C ln 30 D ln14 Lời giải  e x ln a   a x 1  lim   ln a  ln a x 0 x 0 x  x ln a  + Với a  ta có lim ax 1 xa x ln a  a x   x  , ta có f x      x x2 Xét hàm số g  x   xa x ln a  a x   g   x   a x ln a  xa x ln a  a x ln a  xa x ln a + Với a  xét hàm số f  x   Với x  ta có g   x   suy g  x   g    g  x    f   x   0, x  Với x  ta có g   x   suy g  x   g    g  x    f   x   0, x  Do đó hàm số f  x   ax 1  a  1 đồng biến trên các khoảng  ;  và  0;   x Trở lại bài toán: + Xét x  bất phương trình thỏa mãn + Xét x  ta có: x  3x  x  x   mx  m  x  3x  x  x      h  x x x x x Từ nhận xét trên ta có h  x  đồng biến trên  0;   Do đó yêu cầu bài toán tương đương với m  lim h  x   ln  ln  ln  ln  ln120 x 0 + Xét x  ta có: x  3x  x  x   mx  m  x  3x  x  x      h  x x x x x Từ nhận xét trên ta có h  x  đồng biến trên  ;0  Do đó yêu cầu bài toán tương đương với m  lim h  x   ln  ln  ln  ln  ln120 x 0 Kết hợp lại ta có m  ln120 Câu (Đề Tham Khảo 2019) Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f '  x  có bảng biến thiên sau: Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bất phương trình f  x   e x  m đúng với x   1;1 và A m  f  1  e B m  f  1  e C m  f 1  e D m  f 1  e Lời giải Chọn B Ta có f  x   e x  m  m  f  x   e x Xét hàm số g  x   f  x   e x ; g '  x   f '  x   e x  0x   1;1 Suy hàm số g  x  nghịch biến trên  1;1 Yêu cầu bài toán  m  max g  x   g  1  f  1  , chọn C e Câu (Chuyên Sơn La 2019) Cho hàm số y  f   x  liên tục trên  và có bảng xét dấu đạo hàm sau Bất phương trình f  x   e x  m đúng với x   1;1 và A m  f    B m  f  1  e C m  f    D m  f  1  e Lời giải 2 f  x   ex  m  f  x   ex  m 2 Xét hàm số: g  x   f  x   e x ; g   x   f   x   xe x  f   x   Trên khoảng  1;0  ta có   g   x   0, x   1;   2 x   f   x   Trên khoảng  0;1 ta có   g   x   0, x   0;1  2 x   f   x   Tại điểm x  ta có   g x  x2  xe   Suy bảng biến thiên g   x  : Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Từ bảng biến thiên ta có: max g  x   f     1;1 Do đó bất phương trình m  g  x  đúng với x   1;1 và m  max g  x   f     1;1 Câu 10 (Phú Thọ 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên  và có đồ thị hình vẽ Tổng tất các giá trị nguyên tham số m để bất phương trình 9.6 f  x    f  x   f  x    m  5m  A 10 f  x đúng x   là C B D Lời giải Chọn B Ta có 9.6 f  x    f  x   3    f  x .  2 f  x f  x    m  5m  3  9;   2 f  x f  x   m  5m 1 Từ đồ thị hàm số suy f  x   2, x   3 Do đó   f  x     2 f  x 3 Suy   f  x     2 3  0, x   và   2 f  x 3    2 f  x 2 3     4, x   2 f  x  4, x   Để 1 có nghiệm đúng x   thì   m  5m   m  Do m là số nguyên nên m  1, 2, 3, 4 Câu 11 (VTED 2019) Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x  có bảng biến thiên sau: Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bất phương trình f  x   3.e x   m có nghiệm x   2;  và khi: A m  f  2   B m  f     3e C m  f    3e D m  f  2   Lời giải Bất phương trình tương đương với m  g  x   f  x   3.e x  Ta có g   x   f   x   3.e x    3.e2  0, x   2;  Do đó g  x   g    f    3.e4 , x   2;2  Vậy m  f    3.e4 thì phương trình có nghiệm trên khoảng  2;2  Câu 12 (THPT-Thang-Long-Ha-Noi- 2019) Cho hàm số f  x  có đồ thị hình vẽ bên Bất phương trình f  e x   m  3e x  2019  có nghiệm x   0;1 và A m   1011 B m   C m   3e  2019 1011 Lời giải Đặt t  e x  t   Bất phương trình có dạng: f  t   m  3t  2019   D m  f e 3e  2019 f t  m 3t  2019 Ta có: x   0;1  t  e x  1; e  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét hàm g  t   f t  f   t  3t  2019   f  t  có g   t   3t  2019  3t  2019  Dựa vào đồ thị hàm số f  x  , ta thấy: f  x  đồng biến trên khoảng 1;e  và f  x    f  x   x  1; e    x  1; e   f   x    g   t   t  1; e   g  t  đồng biến trên khoảng 1;e   g 1  g  t   g  e  t  1; e  Vậy bất phương trình f  e x   m  3e x  2019  có nghiệm x   0;1  Bất phương trình  Câu 13 f t   m có nghiệm t  1; e   m  g 1    2022 1011 3t  2019 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hàm số y  f  x  liên tục trên đoạn  1;9 và có đồ thị là đường cong hình vẽ đây Có 16.3 bao f  x nhiêu   f giá trị  x   f  x   8 nguyên f  x B 31 A 32 tham   m  3m  f  x số để m bất phương nghiệm đúng với giá trị thuộc  1;9 ? C Lời giải D Dễ thấy 4  f  x   2, x   1;9 (1) nên   f  x     f  x     0, x   1;9 Do đó   f  x   f  x   8  0, x   1;9 (2) Ta có 16.3 f  x    f  x   f  x    f  x    m  3m  f  x  nghiệm đúng với x   1;9 1  16   2 f  x 2   f  x   f  x   8   3 f  x  m  3m nghiệm đúng với x   1;9 f  x    f  x        16     f  x   f  x   8     m  3m (3) x 1; 9       1 Từ (1) và (2) ta có   2 1 Suy 16   2 f  x f  x 1  2    và   f  x   f  x   8   2  3 2   f  x   f  x   8   3 trình f  x  0, x   1; 9 f  x  4, x   1; 9 Dấu “=” xảy và f  x    x  1  x  a   a  8 Do đó   và (3)   m  3m  1  m  Vì m nguyên nên m1;0;1; 2;3; 4 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 (Sở Cần Thơ - 2019) Tất giá trị tham số thực m cho bất phương trình x   m  1 3x   2m  có nghiệm đúng với số thực x là A m   C m   Lời giải B m  D m  Chọn A Ta có: x   m  1 3x   2m    3x   2.3x    3x  1 2m   3x  1 3x  3   3x  1 2m  x   2m  x   m Vậy, để x   m  1 3x   2m  0, x    2m   m   Câu 15 (Sở Nam Định - 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để tập nghiệm bất phương trình  x     3x  2m   chứa không quá số nguyên? A 3281 B 3283 C 3280 Lời giải D 3279 Chọn C Do m là số nguyên dương nên 2m >1 => log 2m  3x     3x    x   3x  2m   x  log3 2m   tập nghiệm bất phương trình này là   ;log 2m  Lập bảng biến thiên, ta kết luận:   Suy ra, log 2m   2m  38  m  Câu 16 6561  3280.5 => (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Có giá trị nguyên dương m để bất phương trình 2 9m x  4m x  m.5m x có nghiệm? A 10 B Vô số C Lời giải D Chọn B Từ giả thiết, ta xét m   m2 x Ta có: m2 x m2 x 9 Có     4 m2 x m2 x  4       m.5 m2 x 9      m2 x 9      m2 x  4     m2 x  4       m 1 m2 x  6      m2 x  6 Do đó có x0 là nghiệm bất phương trình     m Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 m2 x 9 thì x0 là nghiệm     m2 x  4      m m2 x  6 Ta xét các giá trị m   làm cho bất phương trình      m 2 có nghiệm  m2 x 6 Vì     m2 x 6  m       m , m    m m  m x  log    x  log   , với m       m 5 Vậy với m   thì bất phương trình 2 có nghiệm tương ứng là x  m log     m Suy có vô số giá trị m   làm cho bất phương trình 1 có nghiệm Câu 17 x x 1 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Bất phương trình   m  1  m  nghiệm đúng với x  Tập tất cá giá trị m là A  ;12  B  ; 1 C  ;0 D  1;16 Lời giải Chọn B x x 1 Bất phương trình   m  1  m  1  x   m  1 x  m  Đặt 2x  t bất phương trình trở thành t   m  1 t  m   2 Bất phương trình 1 nghiệm đúng với x  và bất phương trình   nghiệm đúng với t      2t  1 m  t  2t  m  Đặt f  t    f 't   t  2t (do t  ) 2t  t  2t với t  2t  2t  2t   2t  1  t  Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có f  t   m t  1;    m  1 Vậy chọn B Câu 18 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Cho hàm số f  x   cos x Bất phương trình f 2019   x  m 2018 A m    3  đúng với x   ;  và  12  2018 B m  2019 C m  Lời giải 2019 D m  Chọn B Xét hàm số f  x   cos x , TXĐ: R Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có f   x   2sin x , f   x   22 cos x , f   x   23 sin x , f    x   24 cos x Suy f  2016   x   22016 cos x  f 2017   x   22017 sin x  f  2018  x   2 2018 cos x  f 2019   x   22019 sin x  3   3   2019  Vì x   ;  x   22018 ,  x   ;  nên  sin x  hay f  12   12   3  2018 2019 Vậy f    x   m đúng với x   ;  và m  12   Câu 19    (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho hàm số y  f  x  Hàm số y  f   x có bảng biến thiên sau: x Bất phương trình f  x    m đúng với x  1;1 và khi: A m  f 1  2 C m  f  1  B m  f 1  2 D m  f  1  Lời giải Chọn B f  x   2x  m , x   1;1  f  x   2x  m  f  x  2x  m x Xét hàm số g  x   f  x   trên  1;1 x Ta có: g   x   f   x   ln Ta thấy: x   1;1 thì f   x   và x.ln  x Do đó g  x   f   x   ln  , x   1;1 Bảng biến thiên Từ bảng biến thiên ta có: m  g 1  m  f 1  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 20 (Bình Giang-Hải Dương 2019) Số giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình x 3 x m  2.3 A x 3 x  m   x  32 x3 có nghiệm là B D C Lời giải Chọn C Đặt t  x 3 x  m  x 1 với t  , bất phương trình đã cho trở thành t  t    3  t  27  x  x  m  x  2  x  x  m  x  x  x      x  3x  m    x  x  m  (I)  x  3x  m  x  x  x   m   Để bất phương trình đề bài cho có nghiệm thì hệ bất phương trình (I) có nghiệm ta đặt Do đó  t  x2 (1)    x  3x  m  (2)  x  4m (3)  Điều kiện cần: Từ (1) và (3) ta có  m   m  Do m là số nguyên dương nên m  x   Điều kiện đủ: Với m  , hệ bất phương trình (I) trở thành  x  x   x   2  x  3   3    x  Vậy hệ bất phương trình (I) có nghiệm  x x   2 Vậy m  Câu 21 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa- 2019) Gọi S là tập hợp tất các giá trị tham số m để bất phương     trình m2 x4  x3  m x3  x  x  e x 1  đúng với x   Số tập S là A B C Lời giải D Chọn B     Xét hàm số f  x   m2 x  x3  m x3  x  x  e x1 trên      Ta có f '  x   m2 x3  3x  m 3x  x   e x 1 liên tục trên  Do f 1  nên từ giả thiết ta có f  x   f 1 , x    f  x   f 1  m   f ' 1   m  m     m  Với m  ta có f  x   e x1  x  f '  x   e x1  Cho f '  x    x  Bảng biến thiên f  x  : Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Trường hợp m  , yêu cầu bài toán thỏa mãn Với m  ta có f  x   x4  x3  x3  x2  e x 1   x  1 x2  e x 1  x  , x   Trường hợp m  yêu cầu bài toán thỏa mãn Câu 22 (Lý Nhân Tông  m.3x 1   3m    - Bắc x   4   x Ninh Cho 2019) bất phương trình  , với m là tham số thực Tìm tất các giá trị thực tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x  ( ; 0] A m   22 B m  22 C m  22 D m  22 Lời giải Chọn C x Ta có m.3 x 1    3m    x   4   x x  4   4        3m      3m  3     x  4  Đặt t    Ta có x  (  ; 0]   t    Ta tìm tham số m cho t  3mt  3m   đúng với  t  m t  , t   0;1 3t  Xét hàm số f  t    t2  trên  0;1 3t  t  1  t  2t  Ta có f   t     0  t  1 t  1  Lập bảng biến thiên: Vậy m  f  t  , t   0;1  m  Câu 23 22 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương tham số m để tập nghiệm   bất phương trình 3x    3x  2m   chứa không quá số nguyên? A 1094 B 3281 C 1093 Lời giải D 3280 Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489     Đặt t  3x ,  t  0 bất phương trình 3x    3x  2m   1 trở thành 9t   t  2m     Nếu 2m  3 m  thì không có số nguyên dương m nào thỏa mãn yêu cầu bài toán 18 3 thì bất phương trình    m  t  2m 18   Khi đó tập nghiệm bất phương trình 1 là S    ;log  2m     Nếu 2m  Để S chứa không quá số nguyên thì log  2m     m  38 Vậy có 3280 số nguyên dương m thỏa mãn Câu 24 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Có bao nhiêu m nguyên dương để bất phương trình 32 x   3x  3m   1  3m  có không quá 30 nghiệm nguyên? A 28 B 29 C 30 Lời giải D 31 Chọn B 32 x   3x  3m   1  3m   9.32 x  9.3x.3m  3x  3m   9.3 x  3x  3m    3x  3m     3x  3m  9.3x  1  Ta có x  3m   x  m 9.3 x    x  2 Bảng xét dấu x  VT + 2 m   + Ta có tập nghiệm S   2 ; m  Tập hợp các nghiệm nguyên là 1; 0; 1; ; m  1 Để có không quá 30 nghiệm nguyên thì m   28  m  29 Câu 25 (ĐHQG Hà Nội - 2020) Điều kiện m để 7 7  2020 x  2020 có nghiệm là :   x   m   x  2m   A m  3 B 2  m  C 1  m  Lời giải Chọn D x  x 1 72 x x 1 hệ phương trình  72 x 1  2020 x  2020  x  x 1  D m  2   1010 x  x    x 1    f 2x  x 1  f  x 1  Suy : x  x    x   1  x  x2  x  x   1;1 : x   m   x  2m    m  x2 Ycbt  x   1;1 : m  x2  2x  x2   1010  x  Hàm số f (t )  7t  1010.t đồng biến trên ℝ  *  bất 2 x 1 ** Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  * TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 **  m  2 Từ bảng biến thiên ta có, Câu 26 (Sở Hà Nội - Lần - 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên tham số m để bất phương trình 3 x2  x    x  m  có nghiệm nguyên? A 65021 C 65022 B 65024 D 65023 Lời giải Chọn B 3 x2  x    x  m  (1) Th1: Xét 3x x Th2: Xét 3x x  x  1    x2  x    là nghiệm bất phương trình (1) x   x  1    x2  x    x  2 Khi đó, (1)  x  m  x  log m (2) Nếu m  thì (2) vô nghiệm Nếu m  thì (2)   log m  x  log m Do đó, (1) có nghiệm nguyên    ; 1   2;       log m ; log m  có giá trị log m  3;   512  m  65536 (thỏa đk m  ) Suy có 65024 giá trị m nguyên nguyên thỏa mãn Th3: Xét 3x x    x  x   1  x  Vì  1;  có hai số nguyên nên không có giá trị m nào để bất phương trình (1) có nghiệm nguyên Vậy có tất 65024 giá trị m nguyên thỏa ycbt Câu 27 (Cụm Trường Chuyên - ĐBSH - 2018) Cho bất phương trình m.3x 1  (3m  2)(4  7) x  (4  7) x  , với m là tham số Tìm tất các giá trị tham số m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với x   ;0  A m  22 B m  22 C m  22 D m   22 Lời giải m.3 x 1 x x  (3m  2).(4  7)  (4  7)  x x  4   4   3m  (3m  2)           x  4  Đặt t      Khi x  thì  t  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 BPT trở thành 3m   3m  t  , t   0;1 t 1 Xét f (t )  f t (t )  3m   t  0, t   0;1 t t  , t   0;1 t 1 t  2t    t  1 t 1 Vậy ycbt  3m  Câu 28 6 22 m 3 (THPT Thái Phiên - Hải Phòng - 2018) Tìm tất các giá trị thực tham số m để bất phương trình x    x  m nghiệm đúng với x    ;log  A m  B m  2 x x Đặt  t Vì x  log    Yêu cầu bài toán trở thành C m  log D m  2 Lời giải 0t 5 t    t  m , t   0;5  Xét hàm số f  t   t    t với t   0;5  1  t  2 5t 1    t    t  t    t  t  f  t    t 3 5t Có f   t   Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có: m  Câu 29 (THPT Ngô Quyền - Hải Phòng - 2018) Tìm tất các giá trị m để bất phương trình 2 1  m.4 x  x 1  1  2m  10 x  x 1  m.25 x  x 1  nghiệm đúng với x   ;  2  A m  B m  100 841 C m  D m  Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 100 841 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải m.4 x  x 1  1  2m  10 x 5  m  1  2m    2  x 1 x  x 1  m.25 x 5  m   2 2  x 1 x 0   x 1  1 x2  x 1 1  5 Đặt t    , Xét u  x   x  x  , x  ;  2  2 u  x  2x  ; u   x    x  1 u     ; u 1  2; u    1  u  x   2 , max u  x   1 1  1  2  ; 2  ; 2   2   t  25 1  m  1  2m  t  m.t   mt  1  2m  t  m   m  t  2t  1  t m t t  2t  Xét hàm số f  t   f  t   t  2 ,t  ;  t  2t   25  t  1 l  t  ; f   t    t      t  2t  1 t   l    10   100 ; f  f    49  25  841 100  f  t    2 841  ;   25  Vậy m  100 1  thì bất phương trình nghiệm đúng với x   ;  841 2  DẠNG BẤT PHƯƠNG TRÌNH NHIỀU ẨN Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 728 số   nguyên y thỏa mãn log x  y  log3 ( x  y) ? A 59 Chọn B 58 C 116 Lời giải D 115 C Với x   ta có x2  x   Xét hàm số f ( y)  log3 ( x  y)  log x  y Tập xác định D  ( x; ) (do y   x  y   x ) f '( y )  1   0, x  D (do x  y  x  y  , ln  ln ) ( x  y ) ln  x  y  ln  f tăng trên D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Ta có f ( x  1)  log3 ( x  x  1)  log x  x   Có không quá 728 số nguyên y thỏa mãn f  y    f ( x  729)   log3 729  log  x  x  729    x2  x  729  46   x2  x  3367   57,5  x  58,5 Mà x   nên x  57,  56, , 58 Vậy có 58  (57)   116 số nguyên x thỏa Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 55 B 28 C 29 Lời giải D 56 Chọn D  x2  y  Điều kiện:  x  y   x  x  4t  3t  x  y  4t Đặt log  x  y   t , ta có    t t  x  y   y   x  * Nhận xét hàm số f  t   4t  3t đồng biến trên khoảng  0;   và f  t   với t  Gọi n   thỏa 4n  3n  x  x , đó *  t  n Từ đó, ta có  x  y  3t  x  3n  x Mặt khác, vì có không quá 242 số nguyên y thỏa mãn đề bài nên 3n  242  n  log 242 Từ đó, suy x  x  4log3 242  242  27,  x  28, Mà x   nên x  27,  26, , 27, 28 Vậy có 56 giá trị nguyên x thỏa yêu cầu đề bài Câu (Mã 103 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 127 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 89 B 46 C 45 Lời giải D 90 Chọn D Ta có log  x  y   log  x  y 1 Đặt t  x  y   * (do x, y  , x  y  ) (1)  log  x  x  t   log t  g (t )  log t  log  x  x  t     Đạo hàm g (t )  1   với y Do đó g  t  đồng biến trên 1;  t ln  x  x  t  ln Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vì x nguyên có không quá 127 giá trị t   * nên ta có g (128)   log 128  log  x  x  128   x  x  128  37  44,8  x  45,8  Như có 90 giá trị thỏa yêu cầu bài toán Câu (Mã 104 - 2020 Lần 1) Có bao nhiêu số nguyên x cho ứng với x có không quá 255 số nguyên y thỏa mãn log  x  y   log  x  y  ? A 80 B 79 C 157 Lời giải D 158 Chọn D Ta có: log  x  y   log  x  y   x  y  3log  x  y   x  y   x  y  log 1 Đk: x  y  ( x, y   , x  y  ) Đặt t  x  y  , nên từ 1  x  x  t log2  t   Để 1 không có quá 255 nghiệm nguyên y và bất phương trình   có không quá 255 nghiệm nguyên dương t Đặt M  f  255  với f  t   t log  t Vì f là hàm đồng biến trên 1,   nên     t  f 1  x  x  x  x  Vậy   có không quá 255 nghiệm nguyên  f 1  x  x   255  x  x  255  78  x  79  x   Vậy có 158 số nguyên x thỏa mãn yêu cầu bài toán Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Xét các số thực thỏa mãn x biểu thức P  A  y 1   x  y  x   x Giá trị lớn 8x  gần với giá trị nào sau đây nhất? 2x  y  B C Lời giải D Chọn C 2x  y 1 2x  y  x 1 2 x 1   x  y  x   x  y2  x2  y2  2x  2   x  1  y    1   Đặt t   x  1  y 1  2t  t     t    x  1  y2  8x    P   x  P y   P    2x  y 1 Yêu cầu bài toán tương đương: 2P   P    3P  12   P    P    P   2  2P  8  P P Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 103 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x , y thỏa mãn x biểu thức P  A  y 1   x  y  x   x Giá trị nhỏ 8x  gần với số nào đây 2x  y  B C Lời giải D Chọn C Nhận xét x2  y  x   0x; y Bất 2x phương  y 1   x  y  x   x  2 x  y 1 2x   x  y  x    2x trình  y  x 1   x2  y  x  2 Đặt t  x  y  x  Bất phương trình  2t  t   2t  t   Đặt f  t   2t  t  Ta thấy f    f 1  Ta có f   t   2t ln    f   t    2t ln   t  log    0, 52  ln  Quan sats BBT ta thấy f  t     t   x  y  x     x  1  y  1 Xét P  8x   Px  Py  P  x  2x  y 1  P     P  x  Py  P   P     P  x  P   Py  3P  12    P  x  1  Py 2 2   3P  12     P  x  1  Py     P   P   x  1  y     2 Thế 1 vào ta có  3P  12     2P   P   P  40 P  80     P       x    2  2     P x  2 x 1  y y x 1  y         y   Dấu “=” xảy  P     2 y    x  1  y  y    x           y   Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy giá trị nhỏ P là   2, 76 gần giá trị Câu (Mã 101 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x, y thỏa mãn x biểu thức P  A 2  y 1   x  y  x   x Giá trị nhỏ 4y gần với số nào đây? 2x  y 1 B 3 C 5 Lời giải D 4 Chọn B Ta có x  2  y 1 x 1  y   x2  y2  x  2 4x  2x  y 1 x  x2  y2  2x  2   x  1  y  Đặt t   x  1  y  t   , ta BPT: 2t  t  Đồ thị hàm số y  2t và đồ thị hàm số y  t  sau: Từ đồ thị suy 2t  t    t    x  1  y  Do đó tập hợp các cặp số  x; y  thỏa mãn thuộc hình tròn  C  tâm I 1;0  , R  Ta có P  4y  Px   P   y  P  là phương trình đường thẳng d 2x  y 1 Do d và  C  có điểm chung  d  I ,  d    R  3P 4P   P  4   P  P  16   1   P  1  , suy giá trị nhỏ P gần với 3 Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Xét các số thực x và y thỏa mãn x  y 1   x  y  x   x Giá trị 4y gần với số nào đây? 2x  y  B C Lời giải lớn biểu thức P  A D Chọn A Ta có: x  y 1   x2  y2  x  2 4x  2x  x 1 y   x  x  1  y  Đặt t  x  x   y  t  Khi đó ta có 2t  t  , t  Đặt f  t   2t  t  1, t  , ta có: f   t   2t ln  , cho f   t   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta nhận thấy phương trình f   t   có nghiệm nên phương trình f  t   có tối đa hai nghiệm Mặt khác ta có f    f 1  Suy phương trình f  t   có hai nghiệm t  và t  Khi đó ta có bảng xét dấu hàm số f  t  sau: Khi đó f  t    t  0;1 Suy x  x   y    x  1  y  Khi đó tập hợp các điểm M  x; y  là hình tròn  S  tâm I 1;0  , bán kính R  Ta có: P  4y  Px   P   y  P  2x  y  Khi đó ta có tập hợp các điểm M  x; y  là đường thẳng  : Px   P   y  P  Để  và  S  có điểm chung, ta suy d  I ,    2P  P  2P    P  4   P  5P  8P  16  P  8P  16   1   P  1  Ta suy Pmax Câu   x   1  Dấu "  " xảy  y    (Mã 101 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 33 B 65 49 Lời giải C D 57 Chọn B Cách 1: Nhận xét: Giá trị x, y thỏa mãn phương trình x  y  x  y 1  1 làm cho biểu thức P nhỏ Đặt a  x  y , từ 1 ta phương trình a 1  a    y y Nhận thấy y  a 1  a   là hàm số đồng biến theo biến a , nên phương trình trên có y y nghiệm a  3  x y  2 65  65  Ta viết lại biểu thức P   x  y    x  y    y     Vậy Pmin  4 8  Cách 2: Với x, y không âm ta có Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x  y.4 x  y 1   x  y.4 x y   x y   3     x  y    y   1  (1) 2     x  y  32  3   1   y  40  1  (vô lí) Nếu x  y   thì  x  y    y  2    Vậy x  y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhyakovski ta 2 P  x  y  x  y   x  3   y    13 13 65    x  y    13      13  22   y   x  y    Đẳng thức xảy   x   y  x   65 Vậy P  Câu 10 (Mã 102 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 65 B 33 49 Lời giải C D 57 Chọn A Ta có x  y.4 x  y 1   y.22 x  y    x  y.22 y    x  23 x * Hàm số f  t   t.2t đồng biến trên  , nên từ * ta suy y   x  x  y   1 Ta thấy 1 bất phương trình bậc có miền nghiệm là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d : x  y   (phần không chứa gốc tọa độ O ), kể các điểm thuộc đường thẳng d 2 Xét biểu thức P  x  y  x  y   x  3   y    P  13  2 Để P tồn thì ta phải có P  13   P  13 Trường hợp 1: Nếu P  13 thì x  3; y  2 không thỏa 1 Do đó, trường hợp này không thể xảy Trường hợp 2: Với P  13 , ta thấy  2 là đường tròn  C  có tâm I  3; 2  và bán kính R  P  13 Để d và  C  có điểm chung thì d  I ; d   R  13 65  P  13  P  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy P  Câu 11 65 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 33 B C 21 D 41 Lời giải Chọn D Ta có x  y.4 x  y 1    x  3 4 x  y.4 y 1   y.22 y    x  232 x (1)  21 x  2 Xét TH:  x   x  (1) đúng với giá trị  (2)  P  x  y  2x  y   y  Xét TH:  x    x  t Xét hàm số f  t   t.2 với t   f   t   2t  t.2t.ln  với t  (1)  f  y   f   x   y   x  y   x Khi đó: 2 33  41 41 3   P  x2  y2  x  y  x2    x   x    x   2x2  5x   2 x     (3) 4 8 2   41 So sánh (2) và (3) ta thấy GTNN P là x  , y  4 Câu 12 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Xét các số thực không âm x và y thỏa mãn x  y.4 x  y 1  Giá trị nhỏ biểu thức P  x  y  x  y A 33 B C 21 D 41 Lời giải Chọn D Ta có x  y.4 x  y 1    x  3 4 x  y.4 y 1   y.22 y    x  23 x (1)  33 x  2 Xét TH  x   x  (1) đúng với giá trị  (2)  P  x  y  4x  y   y  Xét TH  x    x  t Xét hàm số f  t   t với t   f   t   2t  t.2t.ln  với t  (1)  f  y   f   x  Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  y   2x  y x 2 21 3   P  x2  y2  4x  y  x2    x   x    2x   x2  x  2   41 41   P  2 x     (3) 4 8  So sánh (2) và (3) ta thấy GTNN P là Câu 13 41 x  , y  4 (Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Trong các nghiệm  x; y  thỏa mãn bất phương trình log x2  y2  x  y   Giá trị lớn biểu thức T  x  y bằng: A B Trường hợp 1: x  y  Đặt Lời giải C D 2y  z Suy  x  z  1 z  x2  z2 log x2  y2  x  y    x  y  x  y  x      x  1   z    2   2 Tập hợp các điểm M  x; z  là miền  H  bao gồm miền ngoài hình tròn  C1  : x  z  và   miền hình tròn  C2  :  x  1   z    2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 z  T  x     z  Hệ  x  1   z   T  có điểm chung với   có nghiệm đường thẳng d :2 x  2   x2  z2    miền  H  Để T đạt giá trị lớn thì đường thẳng d :2 x   d I;d   z  T  tiếp xúc với đường tròn  C2    với I 1;  là tâm đường tròn  C2  2  2  T T  (l ) 9 T     T  4 2 4  2 Trường hợp 2:  x  y  log x2  y  x  y    x  y  x  y  T  x  y  (loại) Vậy giá trị lớn biểu thức T  x  y là max T  Câu 14 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Có bao nhiêu  x; y  với x, y nguyên và  2y   2x 1   x, y  2020 thỏa mãn  xy  x  y   log     x  y  xy   log  ?  x3   y2 A 2017 B 4034 C D 2017  2020 Lời giải Chọn B  x, y  * : x, y  2020    x, y  * : x, y  2020  + Điều kiện  x 1  2y    0, 0 x  3, y     x  y2  y2   x4  BPT cho có dạng  x  3 y   log   1   x   y   log   1  (*)  x3   y2   x4   1   x   log  , rõ ràng BPT này nghiệm + Xét y  thì (*) thành   x  3 log   x 3   x4   1  log   1  0,  x    0, log3  đúng với x  vì   x  3  0, log   x 3  Như trường hợp này cho ta đúng 2017  x; y    x;1 với  x  2020, x   + Xét y  thì (*) thành  x   log  , BPT này luôn đúng với x mà  x  2020, x   Trường hợp này cho ta 2017 cặp  x; y  + Với y  2, x  thì VT *  nên (*) không xảy Vậy có đúng 4034 số  x; y  thỏa mãn yêu cầu bài toán Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 15 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hai số thực a, b  thỏa mãn log  a  1  log  b  1  Giá trị nhỏ biểu thức a  b là A 12 C 16 Lời giải B 14 D Ta có log  a  1  log  b  1   log  a  1 b  1     a  1 b  1  64 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a  và b  , ta  a  1   b  1   a  1 b  1  64  16  a  b   16  a  b  14 Dấu "  " xảy a   b   a  b Vậy  a  b   14 a  b  Câu 16 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Trong các nghiệm  x ; y  thỏa mãn bất phương trình log x  y  x  y   Khi đó giá trị lớn biểu thức T  x  y là A 9 Lời giải B C D - TH1: x2  y  Bất phương trình log x2  y  x  y    2x  y  x  y  2x  y  x2  y  Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-CopSky ta có   2  2 2     x  y    2x  y         2x  y  2  2x  y  9   9   x  y   x  y     x  y   1;  2   2 Giá trị lớn T  x  y  Dấu xảy x  2; y  2  x2  y   2x  y  - TH2:  x  y  Bất phương trình log x2  y  x  y    2x  y  x  y   Vậy giá trị lớn T  x  y  Câu 17 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Tìm tập S tất các giá trị thực tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn log x2  y2 2  x  y   m   và x  y  x  y   A S  1;1 B S  5;  1;1;5 C S  5;5 D S    7;  5;  1;1;5;7 Lời giải Ta có log x2  y   x  y   m2    x  y   m  x  y   x  y  x  y   m  2   x     y    m là hình tròn  C1  tâm I  2;2  , bán kính R1  m với m  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 2 là điểm I  2;2  với m  và x  y  x  y     x  1   y    là đường tròn  C2  tâm J  1;  , bán kính R2  TH1: Với m  ta có: I  2;2    C2  suy m  không thỏa mãn điều kiện bài toán TH2: Với m  log 2  x  y   m2   Để hệ  x  y  tồn cặp số  x; y  thì hình tròn  C1  và đường 2  x  y  x  y   tròn  C2  tiếp xúc ngoài với  IJ  R1  R2  32  02  m   m   m  1 Câu 18 Tìm tham số m để tồn cặp số  x; y  thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau log 2019  x  y   và x  y  xy  m  1 A m   B m  D m   C m  Lời giải Chọn A log 2019  x  y   (1) Xét hệ bất phương trình:   x  y  xy  m  (2)  x; y  là nghiệm hệ bất phương trình thì  y; x  là nghiệm hệ bất phương trình Do đó hệ có nghiệm  x  y Khi đó: (1)   x    x  Với  x  ; (2)  x  x  m   x2  m   x  x2  m   x  x  x2  x   m Đặt f  x   x  x  1 1 f  x  nghịch biến trên  0;  nên f  x   f     x   0;   2 2  2 Do đó hệ có nghiệm  m   Câu 19 Trong tất các cặp  x ; y  thỏa mãn log x2  y   x  y    Tìm m để tồn cặp  x; y cho x  y  x  y   m  A m    10  B m  10  C m  10  D m   Lời giải Chọn D Với x, y   , ta luôn có x  y    nên BPT 2 log x2  y   x  y     x  y   x  y    x     y    1 Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  10  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BPT 1 mô tả hình tròn tâm I  2;  và bán kính R1  2 Mặt khác, phương trình x  y  x  y   m    x  1   y  1  m  2 nên để  2 có nghiệm thì m   x  1 không thỏa 1 nên loại m   TH1: m  Khi đó,     y 1  TH2: m  Khi đó,  2 là phương trình đường tròn  C2  tâm J  1;1 và bán kính R2  m Do  x     y  2  đó, yêu cầu đề bài  Hệ BPT  có nghiệm   C2  tiếp xúc với 2 x   y   m     2  C1  :  x  2   y    có tâm I  2;  và bán kính IJ  10   R1 nên  C1  tiếp xúc ngoài, tiếp xúc với  C2   TH2a:  C1  tiếp xúc ngoài với  C2   IJ  R1  R2  10   m đường tròn  m  10   m    R1  Vì 10   TH2b:  C1  tiếp xúc với  C2   IJ  R2  R1  10  m   m   10  m  Vậy m      10  2 10  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43