1. Trang chủ
  2. » Mẫu Slide

Chuyên đề khối đa diện và thể tích khối đa diện ôn thi THPT 2021 - Nguyễn Bảo Vương - TOANMATH.com

381 80 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 381
Dung lượng 30,87 MB

Nội dung

Một mặt phẳng đi qua trọng tâm tam giác SAB và song song với mặt đáy 4  ABCD  chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, tính thể tích V của phần chứa điểm S ... Gọi H là trung điểm AB.[r]

(1)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NHẬN DIỆN KHỐI ĐA DIỆN Chuyên đề DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Hình đa diện là hình tạo số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất:  Hai đa giác phân biệt có thể không có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung Cạnh  Mỗi cạnh đa giác nào là cạnh chung đúng hai đa giác Đỉnh Mặt Mỗi đa giác gọi là mặt hình đa diện Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện đó Khối đa diện lồi: Khối đa diện (H ) gọi là khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì (H ) luôn luôn thuộc (H ) Khối đa diện là khối đa diện lồi có tính chất sau đây:  Mỗi mặt nó là đa giác p cạnh  Mỗi đỉnh nó là đỉnh chung đúng q mặt Khối đa diện gọi là khối đa diện loại {p;q} Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó là loại {3;3}, {4;3}, {3;4}, {5; 3} và {3;5} Tứ diện đều Đa diện cạnh a Lập phương 12 mặt Bát diện Đỉnh Cạnh Mặt Thể tích V 2a 12 20 mặt BK mặt cầu ngoại tiếp R a R a R a 2 Tứ diện {3;3} Lập phương {4;3} 12 Bát diện {3; 4} 12 Mười hai mặt {5; 3} 20 30 12 V  15  a R  15 a Hai mươi mặt {3;5} 12 30 20 V  15  5 a 12 R 10  20 a V  V  a3 V  2a 3 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (2) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Phép đối xứng qua mặt phẳng  Định nghĩa  Phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) là phép biến hình, biến điểm thuộc (P ) thành chính nó và biến điểm M không thuộc (P ) thành điểm M  cho (P ) là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng MM   Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) biến hình  thành chính nó thì (P ) gọi là mặt phẳng đối xứng hình   Mặt phẳng đối xứng số hình thường gặp  Hình hộp chữ nhật có kích thức khác nhau: có mặt phẳng đối xứng  Hình lăng trụ tam giác đều: có mặt phẳng đối xứng  Hình chóp tam giác (cạnh bên và cạnh đáy không bằng): có mặt phẳng đối xứng  Tứ diện đều: có mặt phẳng đối xứng Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (3) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Hình chóp tam giác đều: có mặt phẳng đối xứng  Hình bát diện đều: có mặt phẳng đối xứng  Hình lập phương: có mặt phẳng đối xứng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (4) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng Nhận dạng khối đa diện Câu (Đề Tham Khảo 2017) Hình đa diện hình vẽ có bao nhiêu mặt? A 12 B 11 C D 10 Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Hình đa diện sau có bao nhiêu cạnh? A 15 B 12 C 20 D 16 Câu (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Hình chóp ngũ giác có bao nhiêu mặt? A Bảy B Sáu C Năm D Mười Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Trong khối đa diện, mệnh đề nào sau đây đúng? A Hai cạnh có ít điểm chung B Ba mặt bất kì có ít đỉnh chung C Hai mặt bất kì có ít điểm chung D Mỗi đỉnh là đỉnh chung ít ba mặt Câu (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Tồn hình đa diện có số đỉnh và số mặt B Số đỉnh và số mặt hình đa diện luôn C Tồn hình đa diện có số cạnh và số mặt D Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Hình nào sau đây không phải là hình đa diện? A Hình lăng trụ B Hình chóp C Hình lập phương D Hình vuông Câu (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho các mệnh đề sau: I/ Số cạnh khối đa diện lồi luôn lớn II/ Số mặt khối đa diện lồi luôn lớn III/ Số đỉnh khối đa diện lồi luôn lớn Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A II và III B I và II C Chỉ I D Chỉ II Câu (Nhân Chính Hà Nội Năm 2019) Cho khối đa diện Khẳng định nào sau đây là sai? A Số đỉnh khối lập phương B Số mặt khối tứ diện C Khối bát diện là loại 4;3 D Số cạnh khối bát diện 12 Câu (THPT Nghĩa Hưng Nam Định 2019) Có tất bao nhiêu khối đa diện A B C D Câu 10 (THPT Phan Đăng Lưu - Huế -2018) Số cạnh hình 12 mặt là: A 20 B 30 C 16 D 12 Câu 11 (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2018) Hình nào đây không phải là hình đa diện? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (5) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Hình B Hình C Hình D Hình Câu 12 (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - 2018) Khối đa diện loại 3;5 là khối A Hai mươi mặt B Tám mặt C Lập phương D Tứ diện Câu 13 (THPT Lương Thế Vinh - HN - 2018) Hình vẽ bên có bao nhiêu mặt A B C D 10 Câu 14 (THPT Chuyên LHP – 2017) Biết  H  là đa diện loại 3;5 với số đỉnh và số cạnh là a và b Tính a  b A a  b  18 B a  b  8 C a  b  18 D a  b  10 Câu 15 (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Gọi n là số hình đa diện bốn hình trên Tìm n A n  B n  C n  D n  Câu 16 (SGD Bình Dương - 2018) Khối đa diện loại 4;3 là: A Khối tứ diện B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối hộp chữ nhật Câu 17 (Chuyên Tuyên Quang – 2017) Khối đa diện nào sau đây có mặt không phải là tam giác ? A Tám mặt B Tứ diện C Mười hai mặt D Hai mươi mặt Câu 18 (THPT Đô Lương - Nghệ An – 2018) Số hình đa diện lồi các hình đây là A B C D Câu 19 (THPT Thanh Miện - Hải Dương - 2018) Cho khối đa diện loại 3; 4 Tổng các góc phẳng đỉnh khối đa diện A 324 B 360 C 180 D 240 Câu 20 (Chuyên Hưng Yên– 2017) Hình nào đây không phải là khối đa diện? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (6) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A C B D Câu 21 (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018) Hình nào đây không phải là hình đa diện? A B C D Câu 22 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh 2018) Khối đa diện 12 mặt có số đỉnh và số cạnh là A 30 và 20 B 12 và 20 C 20 và 30 D 12 và 30 Câu 23 (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018) Khối hai mươi mặt thuộc loại nào sau đây? A 3; 4 B 4;3 C 3;5 D 5;3 Câu 24 (THPT Kim Liên - HN - 2018) Khối đa diện có mười hai mặt có số đỉnh, số cạnh, số mặt là: A 30 , 20 , 12 B 20 , 12 , 30 C 12 , 30 , 20 D 20 , 30 , 12 Câu 25 (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - 2018) Trong các hình đây hình nào không phải đa diện lồi? A Hình (IV) B Hình (III) C Hình (II) D Hình (I) Câu 26 (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - 2018) Hình đa diện bên có bao nhiêu mặt? A B 11 C 12 D 10 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (7) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 27 (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất bao nhiêu cạnh? A 33 B 31 C 30 D 22 Câu 28 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Trong các hình đây, hình nào là hình đa diện? A Hình B Hình C Hình D Hình Câu 29 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho đa giác 16 đỉnh, Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông có ba đỉnh là ba đỉnh đa giác đó? A 560 B 112 C 121 D 128 Câu 30 (Đề Bộ Giáo Dục) Hình đa diện nào đây không có tâm đối xứng? A Tứ diện B Bát diện C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác Dạng Tính chất đối xứng khối đa diện Câu 31 (Mã 123 2017) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi khác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Câu 32 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Hình tứ diện có bao nhiêu trục đối xứng? A B C D Câu 33 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Câu 34 (SGD Bình Dương - 2018) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi khác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Câu 35 (Chuyên Quốc Học Huế -2018) Hình tứ diện có tất bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 36 (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Hình nào sau đây không có trục đối xứng? A Hình hộp xiên B Tam giác C Hình tròn D Đường thẳng Câu 37 (Chuyên KHTN- 2017) Biết hình đa diện H có mặt là tam giác Hãy mệnh đề nào đây là đúng? A Không tồn hình H nào có mặt phẳng đối xứng B Có tồn hình H có đúng mặt đối xứng C Không tồn hình H nào có đúng đỉnh D Có tồn hình H có hai tâm đối xứng phân biệt Câu 38 (Chuyên Thái Bình - 2018) Hình chóp tứ giác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 39 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Hình đa diện nào đây không có tâm đối xứng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (8) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Hình bát diện đều B Hình tứ diện C Hình lập phương D Hình lăng trụ tứ giác Câu 40 (Chuyên Hạ Long - QNinh - 2018) Hình nào nào đây không có trục đối xứng? A Tam giác cân B Hình thang cân C Hình elip D Hình bình hành Câu 41 (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An- 2018) Hình lăng trụ tam giác có tất các cạnh có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 42 (Vĩnh Phúc - 2018) Khối bát diện có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 43 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối lập phương ABCD ABC D phép đối xứng qua mặt phẳng  ABC D   biến khối tứ diện BCDD  thành khối tứ diện nào sau đây? A BCAD B BBAD C BBC A D BCDA Dạng Phân chia, lắp ghép khối đa diện Câu 44 (Mã 110 2017) Mặt phẳng  ABC chia khối lăng trụ ABC ABC  thành các khối đa diện nào? A Hai khối chóp tứ giác B Hai khối chóp tam giác C Một khối chóp tam giác và khối chóp ngũ giác D Một khối chóp tam giác và khối chóp tứ giác Câu 45 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cắt khối trụ ABC A ' B ' C ' các mặt phẳng  AB ' C ' và  ABC ' ta khối đa diện nào? A Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác B Ba khối tứ diện C Một khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác D Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác Câu 46 (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - 2018) Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm A và B , điểm N nằm C và D Bằng hai mặt phẳng  CDM  và  ABN  , ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện nào sau đây? A NACB , BCMN , ABND , MBND C MANC , BCMN , AMND , MBND B MANC , BCDN , AMND , ABND D ABCN , ABND , AMND , MBND Câu 47 (THPT An Lão 2017) Cắt khối trụ ABC ABC các mặt phẳng  ABC  và  ABC  ta khối đa diện nào? A Một khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác C Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác B Ba khối tứ diện D Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác Câu 48 (THPT Ngô Quyền- 2017) Cắt khối lăng trụ MNP.M N P các mặt phẳng  MN P  và  MNP ta khối đa diện nào? A Ba khối tứ diện B Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác C Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác D Một khối tứ diện và khối chóp tứ giác Câu 49 (THPT Yên Định - Thanh Hóa 2018) Có thể chia khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích mà các đỉnh tứ diện là đỉnh hình lập phương? A B C D Câu 50 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho đa giác có 2018 đỉnh Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là các đỉnh đa giác đã cho ? 4 2 A C2018 B C1009 C C2018 D C1009 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (9) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN Chuyên đề DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Câu (Đề Tham Khảo 2017) Hình đa diện hình vẽ có bao nhiêu mặt? A 12 B 11 C Lời giải D 10 Chọn B Đếm đáy hình chóp có mặt tam giác và mặt tứ giác và mặt ngũ giác Vậy có 11 mặt Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Hình đa diện sau có bao nhiêu cạnh? A 15 B 12 C 20 Lời giải D 16 Chọn D Lý thuyết Câu (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Hình chóp ngũ giác có bao nhiêu mặt? A Bảy B Sáu C Năm D Mười Lời giải Hình chóp ngũ giác có năm mặt bên và mặt đáy, nên số mặt nó là sáu mặt Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (10) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Trong khối đa diện, mệnh đề nào sau đây đúng? A Hai cạnh có ít điểm chung B Ba mặt bất kì có ít đỉnh chung C Hai mặt bất kì có ít điểm chung D Mỗi đỉnh là đỉnh chung ít ba mặt Lời giải Chọn D Theo tính chất khối đa diện sgk hình học 12 Câu (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Tồn hình đa diện có số đỉnh và số mặt B Số đỉnh và số mặt hình đa diện luôn C Tồn hình đa diện có số cạnh và số mặt D Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh Lời giải Hình tứ diện có số đỉnh số mặt và bốn Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Hình nào sau đây không phải là hình đa diện? A Hình lăng trụ B Hình chóp C Hình lập phương D Hình vuông Lời giải Chọn D Câu (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho các mệnh đề sau: I/ Số cạnh khối đa diện lồi luôn lớn II/ Số mặt khối đa diện lồi luôn lớn III/ Số đỉnh khối đa diện lồi luôn lớn Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A II và III B I và II C Chỉ I Lời giải Mệnh đề II sai vì khối tứ diện là khối đa diện lồi có số mặt nhỏ Mệnh đề III sai vì khối tứ diện là khối đa diện lồi có đỉnh D Chỉ II Câu (Nhân Chính Hà Nội Năm 2019) Cho khối đa diện Khẳng định nào sau đây là sai? A Số đỉnh khối lập phương B Số mặt khối tứ diện C Khối bát diện là loại 4;3 D Số cạnh khối bát diện 12 Lời giải Chọn C Khối bát diện là loại 3; 4 Câu (THPT Nghĩa Hưng Nam Định 2019) Có tất bao nhiêu khối đa diện A B C D Lời giải Chọn B Có tất khối đa diện là: Khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện (hay khối tám mặt đều), khối mười hai mặt và khối hai mươi mặt Câu 10 (THPT Phan Đăng Lưu - Huế -2018) Số cạnh hình 12 mặt là: A 20 B 30 C 16 D 12 Lời giải Chọn B Ta có số cạnh hình mười hai mặt là 30 Câu 11 (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2018) Hình nào đây không phải là hình đa diện? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (11) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Hình B Hình C Hình Lời giải D Hình Chọn A Có cạnh là cạnh chung mặt Câu 12 (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - 2018) Khối đa diện loại 3;5 là khối A Hai mươi mặt B Tám mặt C Lập phương D Tứ diện Lời giải Chọn A Theo SGK Hình học 12 trang 17 thì khối đa diện loại 3;5 là khối hai mươi mặt Câu 13 (THPT Lương Thế Vinh - HN - 2018) Hình vẽ bên có bao nhiêu mặt A B C Lời giải D 10 Chọn B Từ hình vẽ suy có mặt Câu 14 (THPT Chuyên LHP – 2017) Biết  H  là đa diện loại 3;5 với số đỉnh và số cạnh là a và b Tính a  b A a  b  18 B a  b  8 C a  b  18 Lời giải D a  b  10 Chọn C Đa diện loại 3;5 là khối hai mươi mặt với số đỉnh a  12 và số cạnh b  30 Do đó a  b  18 Câu 15 (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Gọi n là số hình đa diện bốn hình trên Tìm n A n  B n  C n  D n  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (12) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn A Số hình đa diện là vì hình đầu tiên không phải hình đa diện Câu 16 (SGD Bình Dương - 2018) Khối đa diện loại 4;3 là: A Khối tứ diện B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối hộp chữ nhật Lời giải Chọn B Theo định nghĩa khối đa diện loại 4;3 là khối có: Mỗi mặt là đa giác có cạnh (hình vuông), đỉnh là đỉnh chung đúng mặt Vậy nó là khối lập phương Theo bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt 3;3 Tứ diện 4 4;3 3; 4 5;3 3;5 Lập phương 12 Bát diện 12 Mười hai mặt 20 30 12 Hai mươi mặt 12 30 20 Câu 17 (Chuyên Tuyên Quang – 2017) Khối đa diện nào sau đây có mặt không phải là tam giác ? A Tám mặt B Tứ diện C Mười hai mặt D Hai mươi mặt Lời giải Chọn C Hình khối 12 mặt Câu 18 (THPT Đô Lương - Nghệ An – 2018) Số hình đa diện lồi các hình đây là A B C Lời giải D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (13) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B Quan sát bốn hình trên ta thấy có hình thứ tư từ trái qua là hình đa diện lồi vì lấy hai điểm nào thì đoạn thẳng nối hai điểm đó nằm khối đa diện Vậy có đa diện lồi Câu 19 (THPT Thanh Miện - Hải Dương - 2018) Cho khối đa diện loại 3; 4 Tổng các góc phẳng đỉnh khối đa diện A 324 B 360 C 180 Lời giải D 240 Chọn D Khối đa diện loại 3; 4 là khối bát diện đều, mặt là tam giác và đỉnh có tam giác nên tổng các góc đỉnh 240 Câu 20 (Chuyên Hưng Yên– 2017) Hình nào đây không phải là khối đa diện? A C B D Lời giải Chọn D Câu 21 (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018) Hình nào đây không phải là hình đa diện? A B C Lời giải D Chọn A Câu 22 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh 2018) Khối đa diện 12 mặt có số đỉnh và số cạnh là A 30 và 20 B 12 và 20 C 20 và 30 D 12 và 30 Lời giải Chọn C Câu 23 (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018) Khối hai mươi mặt thuộc loại nào sau đây? A 3; 4 B 4;3 C 3;5 D 5;3 Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (14) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khối hai mươi mặt có các mặt là tam giác nên thuộc loại 3;5 Câu 24 (THPT Kim Liên - HN - 2018) Khối đa diện có mười hai mặt có số đỉnh, số cạnh, số mặt là: A 30 , 20 , 12 B 20 , 12 , 30 C 12 , 30 , 20 D 20 , 30 , 12 Lời giải Chọn D Câu 25 (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - 2018) Trong các hình đây hình nào không phải đa diện lồi? A Hình (IV) B Hình (III) C Hình (II) Lời giải D Hình (I) Chọn A N M Ta có đường nối hai điểm MN không thuộc hình IV nên đây không phải là đa diện lồi Câu 26 (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - 2018) Hình đa diện bên có bao nhiêu mặt? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (15) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B 11 C 12 Lời giải D 10 Chọn D Hình đa diện bên có 10 mặt Câu 27 (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất bao nhiêu cạnh? A 33 B 31 C 30 D 22 Lời giải Chọn A Hình lăng trụ có 11 cạnh thì đáy có 11 cạnh bên Vậy hình lăng trụ có 33 cạnh Câu 28 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Trong các hình đây, hình nào là hình đa diện? A Hình B Hình C Hình D Hình Lời giải Hình 1, Hình 2, Hình không phải hình đa diện vì nó vi phạm tính chất: “ cạnh là cạnh chung đúng hai mặt” Câu 29 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho đa giác 16 đỉnh, Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông có ba đỉnh là ba đỉnh đa giác đó? A 560 B 112 C 121 D 128 Lời giải Ta có đa giác có 16 đỉnh nên có đường chéo qua tâm Ứng với đường chéo qua tâm có 14 tam giác vuông Vậy có 8.14  112 tam giác Câu 30 (Đề Bộ Giáo Dục) Hình đa diện nào đây không có tâm đối xứng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (16) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Tứ diện B Bát diện C Hình lập phương Lời giải D Lăng trụ lục giác Chọn A Dễ dàng thấy hình bát diện đều, hình lập phương và hình lăng trục lục giác có tâm đối xứng Còn tứ diện không có tâm đối xứng Dạng Tính chất đối xứng khối đa diện Câu 31 (Mã 123 2017) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi khác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Lời giải Chọn C Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có ba kích thước đôi khác Khi đó có mặt phẳng đối xứng là MNOP , QRST , UVWX Câu 32 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Hình tứ diện có bao nhiêu trục đối xứng? A B C D Lời giải Chọn C Gọi S là tập hợp các đỉnh khối tứ diện ABCD Giả sử d là trục đối xứng tứ diện đã cho, phép đối xứng trục d biến S thành chính S nên d phải là trung trực ít đoạn thẳng nối hai đỉnh tứ diện Vậy tứ diện có trục đối xứng là các đường thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (17) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 33 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Lời giải Hình hộp đứng có đáy là hình thoi có mặt phẳng đối xứng đó bao gồm mặt phẳng chứa cặp đường chéo song song mặt đáy và mặt phẳng cắt ngang trung điểm chiều cao hình hộp Cụ thể, theo hình vẽ trên là:  BDEH  ,  ACGF  ,  IJKL  Câu 34 (SGD Bình Dương - 2018) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi khác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Lời giải Chọn C Câu 35 (Chuyên Quốc Học Huế -2018) Hình tứ diện có tất bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Lời giải Chọn A Hình tứ diện có tất mặt phẳng đối xứng Câu 36 (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Hình nào sau đây không có trục đối xứng? A Hình hộp xiên B Tam giác C Hình tròn D Đường thẳng Lời giải Chọn A d2 d1 d3 d4 dn d2 d3 d  d1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (18) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  Đường tròn có vô số trục đối xứng, các trục này qua tâm đường tròn  Đường thẳng có trục đối xứng trùng với nó  Tam giác có trục đối xứng, các trục này qua trọng tâm tam giác  Hình hộp xiên không có trục đối xứng Câu 37 (Chuyên KHTN- 2017) Biết hình đa diện H có mặt là tam giác Hãy mệnh đề nào đây là đúng? A Không tồn hình H nào có mặt phẳng đối xứng B Có tồn hình H có đúng mặt đối xứng C Không tồn hình H nào có đúng đỉnh D Có tồn hình H có hai tâm đối xứng phân biệt Lời giải Chọn B Luôn tồn hình đa diện H có mặt phẳng đối xứng và có đúng đỉnh, H không có tâm đối xứng Câu 38 (Chuyên Thái Bình - 2018) Hình chóp tứ giác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Lời giải Chọn D Đó là các mặt phẳng  SAC  ,  SBD  ,  SHJ  ,  SGI  với G , H , I , J là các trung điểm các cạnh AB, CB, CD , AD (hình vẽ bên dưới) S J A G I O B H D C Câu 39 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Hình đa diện nào đây không có tâm đối xứng? A Hình bát diện B Hình tứ diện C Hình lập phương D Hình lăng trụ tứ giác Lời giải Chọn B Ta có phép đối xứng tâm I biến hình  H  thành chính nó Khi đó hình  H  có tâm đối xứng là I suy hình lăng trụ tứ giác đều, hình bát diện và hình lập phương là các hình đa diện có tâm đối xứng Câu 40 (Chuyên Hạ Long - QNinh - 2018) Hình nào nào đây không có trục đối xứng? A Tam giác cân B Hình thang cân C Hình elip D Hình bình hành Lời giải Chọn D Câu 41 (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An- 2018) Hình lăng trụ tam giác có tất các cạnh có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Lời giải Chọn A Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (19) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Có mặt phẳng đối xứng hình vẽ sau Câu 42 (Vĩnh Phúc - 2018) Khối bát diện có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Lời giải Chọn C Hình bát diện ABCDEF có mặt phẳng đối xứng: mặt phẳng  ABCD  ,  BEDF  ,  AECF  và mặt phẳng mà mặt phẳng là trung trực hai cạnh song song Câu 43 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối lập phương ABCD ABC D phép đối xứng qua mặt phẳng  ABC D   biến khối tứ diện BCDD  thành khối tứ diện nào sau đây? A BCAD B BBAD C BBC A D BCDA Lời giải Phép đối xứng qua mặt phẳng  ABC D   biến các điểm BB C  B D  A D  D Nên phép đối xứng qua mặt phẳng  ABC D   biến khối tứ diện BCDD thành khối tứ diện BBAD Dạng Phân chia, lắp ghép khối đa diện Câu 44 (Mã 110 2017) Mặt phẳng  ABC chia khối lăng trụ ABC ABC  thành các khối đa diện nào? A Hai khối chóp tứ giác B Hai khối chóp tam giác C Một khối chóp tam giác và khối chóp ngũ giác D Một khối chóp tam giác và khối chóp tứ giác Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (20) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn D Mặt phẳng  ABC chia khối lăng trụ ABC ABC  thành hai khối chóp Chóp tam giác: A ABC và chóp tứ giác: A.BB C C Câu 45 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cắt khối trụ ABC A ' B ' C ' các mặt phẳng  AB ' C ' và  ABC ' ta khối đa diện nào? A Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác B Ba khối tứ diện C Một khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác D Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác Lời giải Chọn B Ba khối tứ diện là AA’B’C’ , ABB’C’ , ABCC’ Câu 46 (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - 2018) Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm A và B , điểm N nằm C và D Bằng hai mặt phẳng  CDM  và  ABN  , ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện nào sau đây? A NACB , BCMN , ABND , MBND C MANC , BCMN , AMND , MBND B MANC , BCDN , AMND , ABND D ABCN , ABND , AMND , MBND Lời giải Chọn C A M B D N C Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (21) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bằng hai mặt phẳng  CDM  và  ABN  , ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện: MANC , BCMN , AMND , MBND Câu 47 (THPT An Lão 2017) Cắt khối trụ ABC ABC các mặt phẳng  ABC  và  ABC   ta khối đa diện nào? A Một khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác C Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác B Ba khối tứ diện D Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác Lời giải Chọn B Ta có ba khối tứ diện là A ABC; B ABC; C ABC Câu 48 (THPT Ngô Quyền- 2017) Cắt khối lăng trụ MNP.M N P các mặt phẳng  MN P và  MNP ta khối đa diện nào? A Ba khối tứ diện B Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác C Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác D Một khối tứ diện và khối chóp tứ giác Lời giải Chọn A M N P N' M' P' Cắt khối lăng trụ MNP.M N P các mặt phẳng  MN P  và  MNP  ta ba khối tứ diện là P.MNP; P.MNN ; M MNP Câu 49 (THPT Yên Định - Thanh Hóa 2018) Có thể chia khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích mà các đỉnh tứ diện là đỉnh hình lập phương? A B C D Lời giải Chọn D + Ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ đứng; + Ứng với khối lăng trụ đứng ta có thể chia thành ba khối tứ diện mà các đỉnh tứ diện là đỉnh hình lập phương Vậy có tất là khối tứ diện có thể tích Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (22) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 50 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho đa giác có 2018 đỉnh Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là các đỉnh đa giác đã cho ? 4 2 B C1009 C C2018 D C1009 A C2018 Lời giải Số đường chéo qua tâm đa giác 2018 đỉnh là : 1009 Cứ hai đường chéo qua tâm tạo thành hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật có đỉnh là các đỉnh đa giác đã cho là : C1009 HẾT Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (23) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Chuyên đề 10 DẠNG CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ 1 Thể tớch khối chúp Vchóp   Sđ áy chiều cao   Sđ á y d đỉnh; mặt phẳng đáy 3 Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô  Sđ ¸y chiÒu cao  Thể tích khối lập phương V  a  Thể tích khối hộp chữ nhật V  abc c a b Tỉ số thể tích  Cho khối chóp S ABC , trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lấy các điểm A, B , C  khác S Khi đó ta luôn có tỉ số thể tích: a S A    SA SB SC C     VS ABC SA SB SC B  Ngoài cách tính thể tích trên, ta còn phương pháp chia nhỏ C A khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính toán Sau đó cộng lại B  Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp  Đáy là đa giác (hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông)  Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  Các mặt bên là tam giác cân và  Góc các cạnh bên và mặt đáy  Góc các mặt bên và mặt đáy VS AB C  Tứ diện và bát diện đều:  Tứ diện là hình chóp có tất các mặt là tam giác  Bát diện là hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh nó là đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt là các tam giác và Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm các mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (24) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều:  Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy  Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP S a) Hình chóp có cạnh bên Ví dụ: Hình chóp S ABC có cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tức hình chóp là độ dài cạnh bên SA  (ABC ) thì chiều cao hình vuông góc với đáy chóp là SA C A B b) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc với đáy Ví dụ: Hình chóp S ABCD có bên (SAB ) vuông góc với phẳng đáy (ABCD ) thì chiều hình chóp là SH là chiều SAB mặt mặt cao cao S A D H B c) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là giao tuyến hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) thì chiều cao hình chóp là SA S D A B d) Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm đáy Đối với hình chóp đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G tam giác C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có tâm đa giác đáy là giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO S A D O B C DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC và đặt AB  c, BC  a, CA  b và a b  c : nửa chu vi Gọi R , r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p  S ABC 1  a.ha  b.hb  c.hc 2 1  ab sinC  bc sin A   2 abc   p.r 4R  p(p  a )(p  b)(p  c), A ac sin B c r b (Héron) B H a R Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C (25) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Stam gi¸c vu«ng   (tích hai cạnh góc vuông) (c¹nh huyÒn)2   Stam gi¸c vu«ng c©n  (c¹nh)2 c¹nh  Chiều cao tam giác    Stam giác  Shình chữ nhật  dài  rộng và Shình vuông  (cạnh)2 (đáy lớn  đáy bé)  (chiều cao)  TÝch hai ®­êng chÐo TÝch ®­êng chÐo S Tø gi¸c cã ®­êng chÐo vu«ng gãc   S h×nh thoi   2 S h×nh thang  HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ABC vuông A, có AH là đường cao, AM là trung tuyến Khi đó:  BC  AB  AC (Pitago), AH BC  AB.AC A  AB  BH  BC và AC  CH  CB 1   và AH  HB  HC  2 AH AB AC  BC  2AM 1  S ABC   AB  AC   AH  BC 2 M B H C Hệ thức lượng tam giác thường ABC đặt Cho và a b c (nửa chu vi) Gọi R, r là bán kính đường tròn AB  c, BC  a, CA  b, p  ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c A  Định lý hàm sin:    2R sin A sin B sin C 2    b c a 2 c b  a  b  c  2bc cos A  cos A  2bc   a  c2  b2   2  a B  Định lý hàm cos:  b  a  c  2ac cos B  cos B  C  2ac M 2    a b c   c  a  b  2ab cos C  cos C   2ab  2   AM  AB  AC  BC     BA2  BC AC 2     Công thức trung tuyến:  BN    CA2  CB AB 2    CK  A    M N  MN  BC  AM  AN  MN  k  AB AC BC   Định lý Thales:    S  AM   AMN    k  B C  S  AB   ABC  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (26) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng Cạnh bên vuông góc với đáy Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B  và chiều cao h  Thể tích khối chóp đã cho B 12 C 36 D A Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B  và chiều cao h  Thể tích khối chóp đã cho bằng: A B C D 12 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B  và chiều cao h  Thể tích khối chóp đã cho A B 12 C D (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B  6a và chiều cao h  2a Thể tích khối chóp đã cho bằng: A 2a B 4a C 6a D 12a3 Câu Câu (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a Tính thể tích V khối chóp S ABCD 2a 2a 2a A V  B V  C V  2a3 D V  Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA  , AB  , BC  10 và CA  Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V  32 B V  192 C V  40 D V  24 Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2a Tính thể tích khối chóp S ABCD 2a 2a 2a A B C 2a D Câu (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a3 a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích khối chóp đó Tính cạnh bên SA a a B C a D 2a A Câu (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Biết SA   ABC  và SA  a Tính thể tích khối chóp S ABC A Câu 10 B a3 C a3 D 3a (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng  ABC  , SC  a Thể tích khối chóp S ABC A Câu 11 a a3 3 B a3 12 C a3 D a3 12 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  biết đáy ABC là tam giác vuông B và AD  10, AB  10, BC  24 Tính thể tích tứ diện ABCD A V  1200 B V  960 C V  400 D V  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1300 (27) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 12 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABC  Biết SA  a , tam giác ABC là tam giác vuông cân A , AB  2a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 B V  A V  Câu 13 2a D V  2a3 (Chuyên KHTN 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông B , AB  a, AC  2a, SA   ABC  và SA  a Thể tích khối chóp đã cho A Câu 14 C V  a3 B a3 C a3 D 2a3 (Sở Cần Thơ 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  3a và AD  4a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SA  a Thể tích khối chóp S ABCD A 2a Câu 15 B 12 2a C 2a (Sở Cần Thơ 2019) Thể tích khối chóp có diện tích đáy A B C D 2a 3 và chiều cao là D Câu 16 (Sở Nam Định 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B , độ dài cạnh AB  BC  a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  2a Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 A V  B V  C V  a D V  Câu 17 (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC là tam giác vuông cân A , SA  AB  a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  Thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 C a3 D 3a3 Câu 18 (Nguyễn Khuyến HCM-2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đôi vuông góc và OA  OB  OC  a Khi đó thể tích tứ diện OABC là a3 a3 a3 a3 B C D A 12 Câu 19 (THPT Minh Khai - 2019) Cho hình chóp S ABC có diện tích đáy là a2 , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA  a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a a3 a3 a3 A a3 B C D Câu 20 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a Thể tích khối chóp S ABCD 2a3 2a3 2a3 A V  2a B V  C V  D V  Câu 21 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA   ABC  , SA  3a Thể tích V khối chóp S ABCD là: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (28) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A V  a3 Câu 22 C V  a3 D V  2a (THPT Hàm Rồng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SA   ABCD  và SA  a Thể tích khối chóp S.ABCD là: A Câu 23 B V  3a a3 12 B a 3 C a3 D a3 (THPT Cộng Hiền - 2019) Khẳng định nào sau đây là sai? A Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V  Bh B Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V  Bh C Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kính thước nó D Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V  3Bh Câu 24 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông B Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết SA  AB  2a , BC  3a Tính thể tích S ABC là B 4a C 2a D a A 3a Câu 25 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  4a , BC  a , cạnh bên SD  2a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S ABCD B 3a C a D a3 A 6a 3 Câu 26 (Sở Điện Biên - 2019) Tính thể tích khối chóp S ABC có SA là đường cao, đáy là tam giác BAC vuông cân A ; SA  AB  a a3 a3 a3 2a A V  B V  C V  D V  Dạng Mặt bên vuông góc với đáy Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B và AB  2a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 2a 3 A V  B V  C V  D V  12 Câu (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác SAC vuông S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  12 12 12 (SGD Nam Định 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Mặt bên  SAB  là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Thể tích Câu khối chóp S ABCD là A 4a 3 Câu B a3 C a3 D 4a 3 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SA  2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD a 15 a 15 2a B V  C V  D V  A V  a 12 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (29) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông C , tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp Biết AB  a 3; AC  a a3 a3 a3 a3 B C D 2 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD A Câu a3 B a3 A Câu Câu Câu a3 D (Chuyên ĐH Vinh 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , a , tam giác SAC vuông S và nằm mặt phẳng vuông góc với  ABCD  Tính SA  theo a thể tích V khối chóp S ABCD 6a 6a 6a 2a A V  B V  C V  D V  12   120 Tam giác SAB Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân A , AB  AC  a , BAC là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tich V khối chóp S.ABC a3 a3 A V  B V  2a3 C V  a D V  Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAB cân S và nằm 4a mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD Gọi  là góc SC và mặt đáy, tính tan  A tan   Câu 10 a3 C B tan   C tan   D tan   (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A Hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H BC , AB  a , AC  a , SB  a Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B 2 Dạng Thể tích khối chóp a3 C a3 D Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Thể tích khối chóp tứ giác có tất các cạnh a là a3 a3 a3 A B C a D Câu (Mã 104 2017) Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp S.ABC 11a 11a 13a 11a A V  B V  C V  D V  12 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (30) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 450 Thể tích khối chóp đó là a3 a3 a3 a3 A B C D 12 36 12 36 Câu (Dề Tham Khảo 2019) Cho khối chóp tứ giác có tất các cạnh 2a Thể tích khối chóp đã cho 8a 2a 2a 2a A B C D 3 3 (Mã 123 2017) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp đã cho Câu A V  Câu 2a B V  14a3 C V  2a3 D V  14a3 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy 2a cạnh bên a Thể tích khối chóp đã cho A 5a B 3a C 5a D 3a Câu (THPT Lương Tài Số 2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 600 Tính thể tích V khối chóp S.ABC? A V  9a B V  2a C V  3a D V  6a3 Câu (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , góc hợp cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp đã cho a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Câu (Chuyên Nguyễn Du ĐăkLăk) Cho hình chóp S ABCD có chiều cao a và độ dài cạnh bên a Thể tích khối chóp S ABCD bằng: A Câu 10 B 10a C 8a3 D 8a3 (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Xét khối chóp tam giác cạnh đáy a , cạnh bên lần chiều cao tam giác đáy Tính thể tích khối chóp A Câu 11 10a3 a3 B a3 18 C a3 (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối tứ diện có cạnh A B 2 C D D a3 Câu 12 Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp đã cho 14a3 14a3 2a 2a A V  B V  C V  D V  2 Câu 13 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối SBCD a3 a3 a3 a3 B C D 12 12 Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có cạnh đáy là a , các mặt bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp đó A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (31) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a3 A a3 B 12 a3 C D a3   90 , tính thể tích V Câu 15 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Biết ASC khối chóp đó A V  a3 B V  a3 C V  a3 a3 12 D V  Câu 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp S ABCD là a3 a3 a3 a3 B C D A 6 12 Câu 17 (Trường THPT Thăng Long 2019) Hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy là a và mặt bên tạo với đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 B C D A 24 12 Câu 18 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho khối chóp có đáy hình thoi cạnh a  a  0 các cạnh bên và cùng tạo với đáy góc 45 Thể tích khối chóp đã cho 3a3 3 a a B 2a3 C D A 2 Câu 19 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tính thể tích khối tứ diện có tất các cạnh a 3 A a B C D 6a a a 12 12 Câu 20 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp là a3 A a3 B a3 C a3 D Câu 21 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 2a , cạnh bên tạo với đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABC là 2a 3 a3 a3 A B C D a 3 Câu 22 (SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp đã cho A V  a B V  7a3 C V  4a D V  7a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (32) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 23 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Kim tự tháp Kê - ốp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp này là khối chóp tứ giác có chiều cao là 147 m , cạnh đáy là 230 m Thể tích nó là B 2952100 m C 2529100 m D 2591200 m A 2592100 m Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (33) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Chuyên đề 10 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ 1 Thể tớch khối chúp Vchóp   Sđ áy chiều cao   Sđ á y d đỉnh; mặt phẳng đáy 3 Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô  Sđ ¸y chiÒu cao  Thể tích khối lập phương V  a  Thể tích khối hộp chữ nhật V  abc c a a b Tỉ số thể tích  Cho khối chóp S ABC , trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lấy các điểm A, B , C  khác S Khi đó ta luôn có tỉ số thể SA SB  SC     VS ABC SA SB SC  Ngoài cách tính thể tích trên, ta còn phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính toán Sau đó cộng lại  Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp  Đáy là đa giác (hình chóp tam giác có đáy là tam giác hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông)  Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  Các mặt bên là tam giác cân và  Góc các cạnh bên và mặt đáy  Góc các mặt bên và mặt đáy tích: VS AB C  S A  C B C A B đều, Tứ diện và bát diện đều:  Tứ diện là hình chóp có tất các mặt là tam giác  Bát diện là hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh nó là đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt là các tam giác và Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm các mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (34) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều:  Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy  Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP S a) Hình chóp có cạnh Ví dụ: Hình chóp S ABC có cạnh bên bên vuông góc với đáy: SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tức Chiều cao hình chóp là SA  (ABC ) thì chiều cao hình độ dài cạnh bên vuông góc chóp là SA C A với đáy B b) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc với đáy c) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là giao tuyến hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy d) Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm đáy Đối với hình chóp đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G tam giác Ví dụ: Hình chóp S ABCD có bên (SAB ) vuông góc với phẳng đáy (ABCD ) thì chiều hình chóp là SH là chiều SAB mặt mặt cao cao S A D H B C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) thì chiều cao hình chóp là SA S D A B C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có tâm đa giác đáy là giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO S A D O B C DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC và đặt AB  c, BC  a, CA  b và a b  c : nửa chu vi Gọi R , r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p  S ABC 1  a.ha  b.hb  c.hc 2 1  ab sinC  bc sin A   2 abc   p.r 4R  p(p  a )(p  b)(p  c), A ac sin B c r b (Héron) B H a R Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C (35) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Stam gi¸c vu«ng   (tích hai cạnh góc vuông) (c¹nh huyÒn)2   Stam gi¸c vu«ng c©n  (c¹nh)2 c¹nh  Chiều cao tam giác    Stam giác  Shình chữ nhật  dài  rộng và Shình vuông  (cạnh)2 (đáy lớn  đáy bé)  (chiều cao)  TÝch hai ®­êng chÐo TÝch ®­êng chÐo S Tø gi¸c cã ®­êng chÐo vu«ng gãc   S h×nh thoi   2 S h×nh thang  HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ABC vuông A, có AH là đường cao, AM là trung tuyến Khi đó:  BC  AB  AC (Pitago), AH BC  AB.AC  AB  BH  BC và AC  CH  CB A 1   và AH  HB  HC  AH AB AC  BC  2AM 1  S ABC   AB  AC   AH  BC 2 Hệ thức lượng tam giác thường M B H C ABC đặt Cho và a b c (nửa chu vi) AB  c, BC  a, CA  b, p  Gọi R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c    2R  Định lý hàm sin: sin A sin B sin C A 2  c  a b    2  a  b  c  2bc cos A  cos A  2bc c b   a  c2  b2   2   Định lý hàm cos:  b  a  c  2ac cos B  cos B   2ac a C  a  b2  c2 B   2 M    a  b  ab cos C  cos C  c  2ab  2   AM  AB  AC  BC    2   BA BC AC    Công thức trung tuyến:  BN    CA2  CB AB 2   CK     A  AM AN MN   k  MN  BC  AB AC BC M N    Định lý Thales:     S AMN   AM   k  AB   S ABC  B C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (36) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng Cạnh bên vuông góc với đáy Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  A Câu a3 B a3 a Tính thể tích khối chóp đã cho 3a a3 C D (Mã 110 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng  SBC  tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V khối chóp S ABCD 3a3 a3 C V  a3 D V  3 (Mã 123 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng  SAB  góc 300 Tính thể tích khối chóp S ABCD A V  3a Câu A Câu 2a3 B V  B 2a3 C 6a3 D 2a (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân C , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, biết AB  4a, SB  6a Thể tích khối chóp S ABC là V Tỷ số A Câu Câu 80 40 C 20 D 80 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác vuông ACB  60 , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy góc B , AB  a ,  Tính thể tích V khối chóp S ABC 45 a3 a a3 a3 A V  B V  C V  D V  18 12 (Lương Thế Vinh Hà Nội Năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a và AD  2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABCD biết góc hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  600 A V  Câu B a3 là 3V a3 15 15 B V  a3 15 C V  4a3 15 15 D V  a3 15 (Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hình chóp S ABCD có AB  3, BC  3 , góc   BCD   90 , SA  và SA vuông góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD BAD 66 , tính cotang góc mặt phẳng  SBD  và mặt đáy Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (37) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 20 273 A 819 Câu B 273 C 20 91 9 91 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA   ABC  Mặt phẳng  SBC  cách A khoảng a và hợp với mặt phẳng  ABC  góc 300 Thể tích khối chóp S ABC 8a 8a B A Câu D C 3a3 12 D 4a Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD biết SC  a A VS ABCD  a B VS ABCD  a3 C VS ABCD  a3 D VS ABCD  a3 Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông C , AB  2a , AC  a và SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  Biết góc hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  60 Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B 12 C a3 D a3   120 , biết Câu 11 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân A với BC  2a , BAC SA  ( ABC ) và mặt ( SBC ) hợp với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S ABC A a3 B a C a3 D a3 Câu 12 (Bạc Liêu – Ninh Bình) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  a , a AD  2a ; SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến  SCD  Tính thể tích khối chóp theo a 15 15 5 B C D A a a a a 45 15 15 45 Câu 13 (Cụm liên trường Hải Phòng- 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD , góc hai mặt phẳng  SBD và ABCD 600 Gọi M , N là trung điểm SB , SC Tính thể tích khối chóp S ADNM a3 a3 3a a3 B V  C V  D V  16 24 16 Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , a Tính thể tích V SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SBD  khối chóp đã cho a3 3a a3 A V  B V  a C V  D V  A V  Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng  SAB  góc 30 Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V  3a3 B V  3a3 C V  6a3 18 D V  6a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (38) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 16 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc BAD 1200 , AB  a Hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với đáy Góc  SBC  và mặt phẳng đáy là 600 Tính thể tích V chóp S ABCD A V  2a 15 15 B V  a3 12 C V  a3 D V  a 13 12 Dạng Mặt bên vuông góc với đáy Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy; góc SC và mặt phẳng đáy 45o Tính thể tích khối chóp S ABCD bằng: a3 a3 a3 a3 A B C D 24 12 Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng  SCD  tạo với đáy góc 30 Thể tích khối chóp S ABCD là? A Câu a3 B a3 C a3 36 D 5a 3 36 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S và mặt bên  SAD  vuông góc với mặt phẳng đáy Biết a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SCD  3 B h  a C h  D h  a a thể tích khối chóp S ABCD A h  Câu 4 a (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S và mặt bên  SAD  vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD A h  a 4 a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SCD  B h  a C h  a D h  a 3 Câu (Gia Bình 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết khoảng cách hai đường thẳng SA và BD 21 Hãy cho biết cạnh đáy bao nhiêu? A 21 B 21 C D Câu (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B , BC  AD  a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, góc 15 SC và mặt phẳng  ABCD   cho tan   Tính thể tích khối chóp S ACD theo a a3 a3 a3 a3 A VS ACD  B VS ACD  C VS ACD  D VS ACD  6 Câu (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật; AB  a; AD  2a Tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (39) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 đường thẳng SC và mp  ABCD  45 Gọi M là trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến  SAC  A d  Câu a 1513 89 B d  2a 1315 89 C d  a 1315 89 D d  2a 1513 89 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A Hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H BC , AB  a , AC  a , SB  a Thể tích khối chóp S ABC A Câu a3 B a3 C a3 D a3 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông S Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD cho HA  3HD Biết SA  2a và SC tạo với đáy góc 30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD 6a 3 B V  C V  2a3 A V  6a Câu 10 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông A và D , AB  AD  a , CD  2a Hình chiếu đỉnh S lên mặt  ABCD  trùng với trung điểm BD Biết thể tích tứ diện SBCD A Câu 11 6a D V  a B a a3 Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng  SBC  là? C a D a (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng  ABCD  trùng với trung điểm cạnh AD ; gọi M là trung điểm CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABM a 15 a 15 a 15 a 15 A B C D 12 Câu 12 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S trên đáy là điểm H trên cạnh AC cho AH  AC ; mặt phẳng  SBC  tạo o với đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABC là? a3 a3 a3 a3 A B C D 12 48 36 24 Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và có AB  a , BC  a Mặt bên  SAB  là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 a3 B V  A V  12 C V  2a D V  a3 Câu 14 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và có AB  a , BC  a Mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A V  B V  12 C V  a3 D V  a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (40) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B , BC  AD  a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy; góc 15 SC và mặt phẳng  ABCD   cho tan   Tính thể tích khối chóp S.ACD theo a a3 a3 a3 a3 A VS ACD  B VS ACD  C VS ACD  D VS ACD  6 Câu 16 (Chuyên - Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cân A , AB  AC  a ,  BAC  120 Tam giác SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 A V  B V  a3 C V  D V  2a3 Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác cạnh 2a và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) Góc mặt phẳng (SBC ) và mặt phẳng ( ABCD) là 30 Thể tích khối chóp S ABCD là: A Câu 18 2a 3 B a3 C 4a 3 D 2a 3 (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên   300 , SA  2a Tính thể tích V SAB nằm mặt phẳng vuông góc với  ABCD  , SAB khối chóp S ABCD 3a A V  B V  a C V  a3 D V  a3 Câu 19 Cho hình chóp S ABC có AB  a, BC  a 3,  ABC  600 Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng  ABC  là điểm thuộc cạnh BC Góc đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  là 450 Giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 B C A 12 D a3 Dạng Thể tích khối chóp Câu (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , góc mặt bên và mặt đáy 600 Thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  2 6 Câu (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , tâm đáy là O Gọi M và N là trung điểm SA và BC Biết góc đường thẳng MN và mặt phẳng  ABCD  600 Tính thể tích khối chóp S ABCD A Câu a 10 B a 30 C a 30 D a 10 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Nếu hình chóp tứ giác có cạnh đáy và có diện tích xung quanh thì có thể tích A B C D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (41) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Cho hình chóp S ABC có SA  a Gọi D , E là trung điểm SA, SC Tính thể tích khối chóp S ABC theo a , biết BD vuông góc với AE a 21 a3 a3 a 21 B C D A 54 12 27 27 Câu Cho hình chóp S ABCD có cạnh AB  a , góc đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  Câu 45 Thể tích khối chóp S.ABCD là a3 a3 a3 a3 B C D A 6 (HKI-NK HCM-2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD độ dài cạnh đáy là a Biết mặt SB phẳng  P  qua A và vuông góc với SC , cắt cạnh SB B  với  Tính thể tích khối SB chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 A B C D Câu (Sở Quảng Trị2019) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy 2a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 45 Thể tích khối chóp đó là 4a a3 a3 A B C D a Câu (THPT Trần Phú - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , khoảng cách hai đường thẳng SA và CD 3a Thể tích khối chóp đã cho bằng: 8a 3 A a 3 B 6a 3 C 12a D (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC , cạnh AB  a và cạnh bên hợp với đáy góc 45 Thể tích V khối chóp là a3 a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  12 Câu Câu 10 Cho khối chóp tứ giác có tất các cạnh 2a Thể tích khối chóp đã cho bằng: 8a3 2a 2a 2a B C D A 3 3 Dạng Thể tích khối chóp khác Câu (Đề Minh Họa 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi vuông góc với nhau; AB  6a , AC  a và AD  4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , CD , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 A V  7a3 B V  14a3 C V  D V  a a CÂU (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB  a Gọi I là trung điểm BC , hình chiếu vuông góc đỉnh S   lên mặt phẳng  ABC  là điểm H thỏa mãn IA  2 IH , góc SC và mặt phẳng  ABC  60 Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B Câu C a 15 D a 15 12 (Sở Yên Bái - 2020) Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác cạnh 3a ,   SCB   900 , góc (SAB ) và (SCB) 600 Thể tích khối chóp S ABC SAB Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (42) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu Câu Câu 2a 24 C D 2a (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S ABC có các cạnh SA  BC  ; SB  AC  ; SC  AB  Tính thể tích khối chóp S ABC 390 B 390 390 12 C 390 D Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA  SB  a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a Thể tích khối chóp đã cho a3 B a3 C a3 D a3   60, SO  ( ABCD) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB  a, BAD và mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích khối chóp đã cho A Câu 2a   SAB   300 Tính thể tích Cho hình chóp S ABC có AB  AC  , BC  , SA  , SAC khối chóp S ABC A B C D A Câu B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Thể tích tứ diện SGCD 2 A B C D 36 36 18 A Câu 2a 3a B 3a 24 C 3a 48 3a 12 D Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , khoảng cách từ điểm A đến mặt a 15 a 15 phẳng ( SBC ) là , khoảng cách SA và BC là Biết hình chiếu S lên mặt 5 phẳng ( ABC ) nằm tam giác ABC , tính thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 C a3 D a3   60 , SO   ABCD  và Câu 10 Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB  a , BAD mặt phẳng  SCD  tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V  3a 24 B V  3a 48 C V  3a 12 D V  3a   60 , gọi I là giao điểm AC Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh x , BAD và BD Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABCD) là H cho H là trung điểm BI Góc SC và ( ABCD) 45 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V  39 x 12 B V  39 x 36 C V  39 x3 24 D V  39 x3 48   SAC   30º Tính thể tích Câu 12 Cho hình chóp S ABC có AB  AC  , BC  , SA  , SAB khối chóp S ABC A VS ABC  B VS ABC  C VS ABC  D VS ABC  12 S ABC Câu 13 Cho hình chóp có SA  a, AB  a , AC  a 0   BAC  90 , CAS  120 Thể tích khối chóp S ABC Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Góc   600 , SAB (43) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a3 A Câu 14 a3 B a3 C D a3 (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S ABC có AB  cm, BC  8cm , AC  9cm Các mặt bên tạo với đáy góc 30 Tính thể tích khối chóp S ABC Biết hình chiếu vuông góc S trên  ABC  thuộc miền tam giác ABC A 20 cm3   B 20  cm  C 63 cm3   D 72  cm  Câu 15 Cho hình chóp S ABC có các mặt bên  SAB  ,  SAC  ,  SBC  tạo với đáy các góc và 60 Biết AB  13a , AC  14 a , BC  15a , tính thể tích V khối chóp S ABC A V  28 3a B V  112 3a C V  84 3a D 84a Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  , AC  ; ABC là tam giác vuông cân B Tính thể tích V khối chóp S ABC 16 16 A V  16 B V  C V  16 D V  3 Câu 17 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC biết SA  SB  SC  a ,    60 và  ASB  120 , BSC ASC  90 Thể tích khối chóp S ABC là a a3 a3 a3 B C D A 12 Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác 15 cạnh , biết khoảng cách từ A đến  SBC  là , từ B đến  SCA là , từ C đến  SAB  là 10 30 và hình chiếu vuông góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối 20 chóp VS ABC 1 1 B C D A 36 48 12 24 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (44) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Chuyên đề 10 DẠNG CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ 1 Thể tớch khối chúp Vchóp   Sđ áy chiều cao   Sđ á y d đỉnh; mặt phẳng đáy 3 Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô  Sđ ¸y chiÒu cao  Thể tích khối lập phương V  a  Thể tích khối hộp chữ nhật V  abc c a b Tỉ số thể tích  Cho khối chóp S ABC , trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lấy các điểm A, B , C  khác S Khi đó ta luôn có tỉ số thể tích: a S A    SA SB SC C     VS ABC SA SB SC B  Ngoài cách tính thể tích trên, ta còn phương pháp chia nhỏ C A khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính toán Sau đó cộng lại B  Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp  Đáy là đa giác (hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông)  Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  Các mặt bên là tam giác cân và  Góc các cạnh bên và mặt đáy  Góc các mặt bên và mặt đáy VS AB C  Tứ diện và bát diện đều:  Tứ diện là hình chóp có tất các mặt là tam giác  Bát diện là hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh nó là đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt là các tam giác và Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm các mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (45) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều:  Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy  Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP S a) Hình chóp có cạnh bên Ví dụ: Hình chóp S ABC có cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tức hình chóp là độ dài cạnh bên SA  (ABC ) thì chiều cao hình vuông góc với đáy chóp là SA C A B b) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc với đáy Ví dụ: Hình chóp S ABCD có bên (SAB ) vuông góc với phẳng đáy (ABCD ) thì chiều hình chóp là SH là chiều SAB mặt mặt cao cao S A D H B c) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là giao tuyến hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) thì chiều cao hình chóp là SA S D A B d) Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm đáy Đối với hình chóp đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G tam giác C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có tâm đa giác đáy là giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO S A D O B C DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC và đặt AB  c, BC  a, CA  b và a b  c : nửa chu vi Gọi R , r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p  S ABC 1  a.ha  b.hb  c.hc 2 1  ab sinC  bc sin A   2 abc   p.r 4R  p(p  a )(p  b)(p  c), A ac sin B c r b (Héron) B H a R Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C (46) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Stam gi¸c vu«ng   (tích hai cạnh góc vuông) (c¹nh huyÒn)2   Stam gi¸c vu«ng c©n  (c¹nh)2 c¹nh  Chiều cao tam giác    Stam giác  Shình chữ nhật  dài  rộng và Shình vuông  (cạnh)2 (đáy lớn  đáy bé)  (chiều cao)  TÝch hai ®­êng chÐo TÝch ®­êng chÐo S Tø gi¸c cã ®­êng chÐo vu«ng gãc   S h×nh thoi   2 S h×nh thang  HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ABC vuông A, có AH là đường cao, AM là trung tuyến Khi đó:  BC  AB  AC (Pitago), AH BC  AB.AC A  AB  BH  BC và AC  CH  CB 1   và AH  HB  HC  2 AH AB AC  BC  2AM 1  S ABC   AB  AC   AH  BC 2 M B H C Hệ thức lượng tam giác thường ABC đặt Cho và a b c (nửa chu vi) Gọi R, r là bán kính đường tròn AB  c, BC  a, CA  b, p  ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c A  Định lý hàm sin:    2R sin A sin B sin C 2    b c a 2 c b  a  b  c  2bc cos A  cos A  2bc   a  c2  b2   2  a B  Định lý hàm cos:  b  a  c  2ac cos B  cos B  C  2ac M 2    a b c   c  a  b  2ab cos C  cos C   2ab  2   AM  AB  AC  BC     BA2  BC AC 2     Công thức trung tuyến:  BN    CA2  CB AB 2    CK  A    M N  MN  BC  AM  AN  MN  k  AB AC BC   Định lý Thales:    S  AM   AMN    k  B C  S  AB   ABC  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (47) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng Cạnh bên vuông góc với đáy Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B  và chiều cao h  Thể tích khối chóp đã cho A B 12 C 36 D Lời giải Chọn D 1 Ta có công thức thể tích khối chóp V  B.h  3.4  3 Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B  và chiều cao h  Thể tích khối chóp đã cho bằng: A B C D 12 Lời giải Chọn C Thể tích khối chóp V  Bh  Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B  và chiều cao h  Thể tích khối chóp đã cho A B 12 C D Lời giải Chọn C 1 Thể tích khối chóp đã cho là V  Bh  3.2  3 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B  6a và chiều cao h  2a Thể tích khối chóp đã cho bằng: A 2a B 4a C 6a D 12a3 Lời giải Chọn B 1 V  B.h  6a 2a  4a 3 Câu Câu (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a Tính thể tích V khối chóp S ABCD 2a 2a 2a A V  B V  C V  2a3 D V  Lời giải Chọn D Ta có SA   ABCD   SA là đường cao hình chóp 1 a3 Thể tích khối chóp S ABCD : V  SA.S ABCD  a 2.a  3 Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA  , AB  , BC  10 và CA  Tính thể tích V khối chóp S.ABC Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (48) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A V  32 B V  192 C V  40 Lời giải D V  24 Chọn A Ta có BC  AB2  AC suy ABC vuông A SABC  24 , V  SABC SA  32 Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  2a Tính thể tích khối chóp S ABCD 2a 2a 2a A B C 2a D Lời giải Chọn D 2a Ta có S ABCD  a VS ABCD  SA.S ABCD  3 Câu (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a3 a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích khối chóp đó Tính cạnh bên SA a a A B C a D 2a Lời giải 3V VS ABC  SABC SA  SA  S ABC S ABC a3  a a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (49) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Biết SA   ABC  và SA  a Tính thể tích khối chóp S ABC A a B a3 a3 Lời giải C D 3a Chọn C Ta có SA là đường cao hình chóp Tam giác ABC cạnh a nên S ABC  a2 a2 a3 Vậy thể tích cần tìm là: VS ABC  a  4 Câu 10 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng  ABC  , SC  a Thể tích khối chóp S ABC A a3 3 B a3 12 a3 Lời giải C D a3 12 Chọn D S ABC  Câu 11 a2 a2 a3  VS ABC  a  4 12 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng  ABC  biết đáy ABC là tam giác vuông B và AD  10, AB  10, BC  24 Tính thể tích tứ diện ABCD A V  1200 B V  960 C V  400 D V  Lời giải Chọn C Ta có VABCD  AD AB.BC  10.10.24  400 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1300 (50) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 12 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy  ABC  Biết SA  a , tam giác ABC là tam giác vuông cân A , AB  2a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC 2a a3 a3 B V  C V  D V  2a A V  Lời giải 1 Diện tích tam giác ABC vuông cân A là: S ABC  AB AC  2a.2a  2a 2 2a Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC  SA.S ABC  a.2a  3 Câu 13 (Chuyên KHTN 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông B , AB  a, AC  2a, SA   ABC  và SA  a Thể tích khối chóp đã cho A a3 B a3 a3 Lời giải C D 2a Ta có BC  AC  AB  3a  BC  a 1 1 a3 Vậy VS ABC  SABC SA  AB.BC.SA  a.a 3.a  3 6 Câu 14 (Sở Cần Thơ 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  3a và AD  4a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  và SA  a Thể tích khối chóp S.ABCD A 2a B 12 2a 2a Lời giải C D 2a Chọn A Diện tích đáy hình chữ nhật là S  AB  AD  3a  a  12 a (đvdt) 1 Thể tích hình chóp có đáy hình chữ nhật là V  Sh  12a  a  2a 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (51) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 (Sở Cần Thơ 2019) Thể tích khối chóp có diện tích đáy A B Lời giải C 3 và chiều cao là D Chọn B 1 Thể tich khối chóp là V  chiều cao diện tích đáy  3 Câu 16 (Sở Nam Định 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B , độ dài cạnh AB  BC  a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  2a Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 A V  B V  C V  a3 D V  Lời giải Chọn A 1 a3 Ta có: VS ABC  SA  S ABC   2a   a  3 Câu 17 (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC là tam giác vuông cân A , SA  AB  a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  Thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 a3 Lời giải C D Chọn B a3 Thể tích khối chóp S ABC : VS ABC  SA.S ABC  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a3 (52) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 18 (Nguyễn Khuyến HCM-2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đôi vuông góc và OA  OB  OC  a Khi đó thể tích tứ diện OABC là a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Lời giải Chọn B 1 a3 Ta có: V  SOBC OA  OB.OC.OA  3 Câu 19 (THPT Minh Khai - 2019) Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy là a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA  a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a a3 a3 a3 A a3 B C D Lời giải Chọn B a3 Áp dụng công thức V  Bh ta có V  3 Câu 20 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a Thể tích khối chóp S ABCD 2a3 2a3 2a3 A V  2a3 B V  C V  D V  Lời giải Chọn D 1 a3 VS ABCD  SA.S ABCD  a 2.a  3 Câu 21 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA   ABC  , SA  3a Thể tích V khối chóp S ABCD là: A V  a B V  3a3 C V  a3 Lời giải D V  2a Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (53) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 S 3a A a B a D C Diện tích đáy ABCD là S ABCD  a Vì SA   ABC  nên chiều cao khối chóp là SA  3a 1 Vậy thể tích khối chóp S ABCD là: V  S ABCD SA  a 3a  a 3 Câu 22 (THPT Hàm Rồng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SA   ABCD  và SA  a Thể tích khối chóp S.ABCD là: A a3 12 B a 3 a3 Lời giải C D a3 Chọn C Khối chóp S ABCD có chiều cao h  a và diện tích đáy B  a a3 Nên có thể tích V  a a  3 Câu 23 (THPT Cộng Hiền - 2019) Khẳng định nào sau đây là sai? A Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V  Bh B Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V  Bh C Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kính thước nó D Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V  3Bh Lời giải Chọn D Theo công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ và khối hộp chữ nhật ta thấy các khẳng định đúng là A, B, C; khẳng định sai là D Câu 24 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông B Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết SA  AB  2a , BC  3a Tính thể tích S ABC là B 4a C 2a D a A 3a Lời giải Chọn C Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (54) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 V  AB.BC.SA  2a Câu 25 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB  4a , BC  a , cạnh bên SD  2a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S ABCD A 6a B 3a C a D a 3 Lời giải Chọn C Theo đề, ta có thể tích hình chóp S ABCD là V  S ABCD SD ABCD là hình chữ nhật nên S ABCD  AB.BC  4a2 Vậy VS ABCD  a 2 a  a 3 Câu 26 (Sở Điện Biên - 2019) Tính thể tích khối chóp S ABC có SA là đường cao, đáy là tam giác BAC vuông cân A ; SA  AB  a a3 a3 2a a3 A V  B V  C V  D V  Lời giải Chọn B 1 1 a3 Ta có: VS ABC  SA.S ABC  SA AB.BC  a.a.a  3 6 Dạng Mặt bên vuông góc với đáy Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B và AB  2a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 2a 3 A V  B V  C V  D V  12 Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (55) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi H là trung điểm AB suy SH  a AB  2a  BC  2a  S ABC   2a   2a 2 1 2a 3 VS ABC  S ABC SH  2a a  3 Câu (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác SAC vuông S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  12 12 12 Lời giải Kẻ SH  AC , H  AC H suy SH   ABCD  AC  2a , tam giác SAC vuông S , góc SAC  60 nên SA  a, SC  a 3, SH  a a3 a  3 (SGD Nam Định 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Mặt bên  SAB  là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Thể tích Thể tích hình chóp là V  Câu a   khối chóp S ABCD là A 4a 3 B a3 a3 Lời giải C D 4a 3 Chọn D Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (56) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H là trung điểm AB , ta có SH  AB Mà  SAB    ABCD  theo giao tuyến là đường thẳng AB nên SH   ABCD  1 4a 3 2a Thể tích khối chóp S ABCD V  S ABCD SH   2a   3 Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SA  2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD a3 15 a3 15 2a A V  2a B V  C V  D V  12 Lời giải Chọn C Gọi H là trung điểm AB Theo đề, tam giác SAB cân S nên suy SH  AB Mặt khác, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy SH   ABCD Xét tam giác SHA vuông H  a 2 a 15 SH  SA  AH  2a       2 2 Diện tích hình vuông là S ABCD  a a3 15 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V  SH S ABCD  Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông C , tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp Biết AB  a 3; AC  a A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn B Trong mặt phẳng  SAB  Gọi H là trung điểm AB SAB  SH  AB Ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (57) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489    SAB    ABC   AB   SH   ABC    SAB    ABC   3a SAB AB  a  SH  SH  AB ABC là tam giác vuông cân C  AB  AC  BC  BC  3a  a  a a3 3a a 2.a  2 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy  ABCD  Tính thể tích khối chóp S ABCD VS ABC  Câu a3 A a3 B a3 C Lời giải D a3 Chọn B Hình vẽ minh họa Gọi H là trung điểm AB thì SH  AB và SH  a  SAB    ABCD   Ta có  SAB    ABCD   AB  SH   ABCD  Suy SH là đường cao hình chóp  SH  AB  Diện tích đáy S ABCD  a a a3 Vậy thể tích khối chóp S ABCD là VABCD  SH S ABCD  a  3 Câu (Chuyên ĐH Vinh 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , a , tam giác SAC vuông S và nằm mặt phẳng vuông góc với  ABCD  Tính SA  theo a thể tích V khối chóp S ABCD 6a 6a 6a 2a B V  C V  D V  A V  12 Lời giải Chọn A Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên AC Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (58) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a Ta có SO  AC  suy SAO là tam giác 2 a  SH  a a3 Vậy V  a  12 Câu   120 Tam giác SAB Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân A , AB  AC  a , BAC là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tich V khối chóp S.ABC a3 a3 A V  B V  2a3 C V  a D V  Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm AB , ta có SH  AB và SH  a  SAB    ABC   Khi đó  SAB    ABC   AB  SH   ABC   SH  AB  a3 a Thể tích khối chóp V  SH SABC  a sin120  3 2 a3 Vậy V  Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAB cân S và nằm 4a mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD Gọi  là góc SC và mặt đáy, tính tan  A tan   B tan   C tan   D tan   Lời giải Chọn D  Dựng SH  AB ,  SAB    ABCD  theo giao tuyến AB nên SH   ABCD     SCH Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (59) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 4a  SH  a Ta có VS ABCD  SH S ABCD  SH 4a  3 Do  SAB cân S nên H là trung điểm AB  HC  BH  BC  a   SH  a   tan   tan SCH HC a 5 Câu 10 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A Hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H BC , AB  a , AC  a , SB  a Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B 2 a3 C Lời giải Xét tam giác ABC vuông A có: BC  a3 D  AB  AC  a  a   2a H là trung điểm BC nên BH  a Xét tam giác SBH vuông H có: SH  SB  HB  a   a2  a 1 AB AC  a 2 1 a3 Thể tích khối chóp S ABC là: V  SH S ABC  a .a  3 Dạng Thể tích khối chóp Diện tích đáy ABC là: S ABC  Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Thể tích khối chóp tứ giác có tất các cạnh a là a3 a3 a3 A B C a D Lời giải S A B H D C Giả sử khối chóp tứ giác đã cho là S ABCD Khi đó ABCD là hình vuông cạnh a và SA  SB  SC  SD  a Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (60) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì SH   ABCD  nên SH là chiều cao khối chóp S ABCD Tính SH : Xét tam giác ABC vuông B ta có: AC  AB  BC  a  a  a a AC  Nhận thấy AC  SA2  SC nên tam giác SAC vuông S Suy SH  2 Diện tích đáy khối chóp S ABCD là S ABCD  a 2 a a3  a  Vậy thể tích khối chóp S ABCD là: V  S ABCD SH Câu (Mã 104 2017) Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp S.ABC 11a 11a 13a 11a A V  B V  C V  D V  12 12 Lời giải Chọn D Do đáy là tam giác nên gọi I là trung điểm cạnh BC , đó AI là đường cao tam giác a2 a 2a a  đáy Theo định lý Pitago ta có AI  a  , và AO  AI   3.2 Trong tam giác SOA vuông O ta có SO  4a  a2 11a  3 11a3 1 a 11a  Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V  a 2 12 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 450 Thể tích khối chóp đó là a3 a3 a3 a3 B D A C 12 36 12 36 Lời giải Chọn B   45 +  SA;  ABC    SAO Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (61) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a 3 a a a3   3 12 + SO  AO.tan 45  + V  SO.S ABC Câu Câu (Dề Tham Khảo 2019) Cho khối chóp tứ giác có tất các cạnh 2a Thể tích khối chóp đã cho 8a 2a3 2a 2a A B C D 3 3 Lời giải Chọn D Gọi hình chóp tứ giác có tất các cạnh 2a là S ABCD và I tâm đáy ta có: SA  SC  BA  BC  DA  DC  SAC  BAC  DBC  SAC; BAC; DAC vuông S , B, D 1 I là trung điểm AC suy SI  AC  2a  a 2 1 2a VS ABCD  S ABCD SI   2a  a  3 (Mã 123 2017) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp đã cho A V  2a3 B V  14a3 C V  2a3 D V  Lời giải Chọn D a 2 a 14 Chiều cao khối chóp: SI  SA  AI  a         2 1 a 14 14a3 a  Thể tích khối chóp: V  SI SABCD  3 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 14a3 (62) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy 2a cạnh bên a Thể tích khối chóp đã cho A 5a 5a Lời giải B 3a C D 3a Ta có S ABCD  4a ; SO  SB  OB  5a  2a  a Vậy VS ABCD  SO.S Câu ABCD  a 3.4a 3a  3 (THPT Lương Tài Số 2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 600 Tính thể tích V khối chóp S.ABC? B V  2a3 C V  3a3 D V  6a3 A V  9a Lời giải Chọn D  Diện tích đáy là: S ABCD  AB  a   6a    SDO   600 Góc cạnh bên SB và mặt đáy  ABCD  là SD ,  ABCD   SDO 1 BD  AB  a  a 2  Xét tam giác vuông SOD : SO  DO.tan SDO  a 3.tan 600  3a 1 Vậy VS ABCD  SO.S ABCD  3a.6a  6a3 3 ABCD là hình vuông suy DO  Câu (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , góc hợp cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp đã cho a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Lời giải Gọi H là tâm tam giác ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (63) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a    60 Theo đề bài ta có:  SB,  ABC    SBH Khi đó SH   ABC  , BH  Xét SBH vuông H Có SH  BH tan 60  a a a a3 Thể tích VS ABC  SH S ABC  a  3 12 Câu (Chuyên Nguyễn Du ĐăkLăk) Cho hình chóp S ABCD có chiều cao a và độ dài cạnh bên a Thể tích khối chóp S ABCD bằng: 10a3 A 10a B 8a3 C Lời giải 8a3 D Chọn D Gọi O  AC  BD thì SO  a Tam giác SOA vuông O và SA  a nên OA  SA2  SO2  2a  AC  BD  4a AC.BD 4a.4a 8a3  a  Thể tích khối chóp S ABCD V  SO 3 Câu 10 (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Xét khối chóp tam giác cạnh đáy a , cạnh bên lần chiều cao tam giác đáy Tính thể tích khối chóp A a3 B a3 18 a3 Lời giải C D a3 Chọn C Gọi H là trọng tâm tam giác ABC  SH   ABC  Gọi M là trung điểm cạnh BC  AM  BC , AM  a  SA  a Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (64) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Xét tam giác SAH vuông H  SH  SA  AH  a 3 2 a 3 2a     3  1 a 2a a Ta có: VS ABC  S ABC SH   3 Câu 11 (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối tứ diện có cạnh A B 2 C Lời giải D Chọn A Có BCD cạnh  BE  3  BH  ABH vuông H  AH  AB  BH  32   3  1 3 S BCD  BE.CD   2 1 9  VABCD  AH S BCD   3 4 Câu 12 Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp đã cho 14a 14a 2a 2a A V  B V  C V  D V  2 Lời giải Chọn A Gọi O là tâm hình vuông ABCD , ta có: SO   ABCD  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (65) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a 2 a 14 Trong tam giác SOC vuông O có: SO  SC  OC   2a        2 a 14 a3 14 a  Thể tích khối chóp S ABCD là: V  SO.S ABCD  3 Câu 13 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối SBCD a3 a3 a3 a3 B C D A 12 12 Lời giải Chọn B Gọi O  AC  BD Do hình chóp S.ABCD nên SO   ABCD  suy OA là hình chiếu   600 vuông góc SA trên mp  ABCD    SA,  ABCD     SA, OA  SAO a2 a a 3 ; S BCD  2 2 1 a a a Từ đó, VSBCD  SO.S BCD   3 2 12 Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có cạnh đáy là a , các mặt bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp đó a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Lời giải Chọn C Ta có SO  AO.tan 600    60 Gọi M là trung điểm BC , Góc mặt bên  SBC  và mặt phẳng  ABCD  là góc SMO Xét SOM có OM  a a 3 2 Nên VS ABCD C a   , SMO  60 thì SO  OM tan SMO a3 (đvtt) Đáp án chọn là  SO.S ABCD  Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (66) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   90 , tính thể tích V Câu 15 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Biết ASC khối chóp đó A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  a3 12 Lời giải Chọn C S D C H A B Ta có: S ABCD  a Gọi H là tâm hình vuông ABCD Tam giác ASC là tam giác vuông, H là trung điểm AC nên SH  Vậy VS ABCD  AC a  2 1 a a3 S ABCD SH  a  3 Câu 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp S ABCD là a3 a3 a3 a3 A B C D 6 12 Lời giải Chọn A   60 Gọi O là tâm đáy thì SO  ( ABCD ) Suy SDB DB a  2 a a3  Thể tích khối chóp S ABCD là V  S ABCD SO  a 3 SDB nên SO  Câu 17 (Trường THPT Thăng Long 2019) Hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy là a và mặt bên tạo với đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A B C D 24 12 Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (67) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi G là tâm tam giác ABC và M là trung điểm BC   45 Theo giả thiết góc mặt bên và đáy 45 suy SMG a a và GM  AM    SG  tan 45  SG  SG  GM  a Xét tam giác SGM có tan SMG GM GM 1 a a a  Vậy thể tích khối chóp S.ABC là VS ABC  S ABC SG  3 24 Tam giác ABC cạnh a nên AM  Câu 18 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho khối chóp có đáy hình thoi cạnh a  a  0 các cạnh bên và cùng tạo với đáy góc 45 Thể tích khối chóp đã cho 3a3 3 a a B 2a3 C D A 2 Lời giải Chọn A Ta có hình vẽ đây Xét khối chóp trên ta thấy hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm hình thoi ABCD Mặt khác SA  SB  SC  SD và góc hợp các cạnh bên 45 nên ta có các tam giác vuông cân O nhau: SOA  SOB  SOC  SOD Suy hình thoi ABCD là hình vuông diện tích đáy S ABCD  a a BD  2 a 2 a3 a  Suy thể tích khối chóp VS ABCD  SO.S ABCD  3 Câu 19 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tính thể tích khối tứ diện có tất các cạnh a Chiều cao hình chóp trên là: SO  OD  Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (68) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A a 3 B a 12 C a 12 Lời giải D 6a Chọn B a a a AH  AB  BH   BH  3 a Do đáy BCD là tam giác cạnh a  S BCD  a2 a Vậy thể tích tứ diện là VABCD   a 12 Gọi M là trung điểm CD Ta có BM  Câu 20 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp là A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn A Giả sử hình chóp tứ giác là S ABCD Gọi O là giao điểm BD và AC   60 , AC  a  OA  a Ta có SO   ABCD  , SAO 2 a S Khi đó SO  AO.tan SAO , ABCD  a a3 Thể tích khối chóp là V  SO.S ABCD  Câu 21 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 2a , cạnh bên tạo với đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABC là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (69) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 2a 3 B a3 a3 Lời giải C D a 3 Chọn A   60 □ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì SO  ( ABC ) Suy SAO 2a , SH  AO.tan 60  2a □ AO  2a  3 □ Diện tích ABC là S ABC   2a   a2 2a 3 □ Thể tích khối chóp S ABC là V  S ABC SO  3 Câu 22 (SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp đã cho A V  a B V  7a C V  4a D V  7a Lời giải Chọn D Diện tích đáy S ABCD   2a   4a S ABCD là hình chóp tứ giác nên SO   ABCD  h  SO  SA2  AO  9a  2a  a 4a Vậy VS ABCD  Sh  3 Câu 23 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Kim tự tháp Kê - ốp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp này là khối chóp tứ giác có chiều cao là 147 m , cạnh đáy là 230 m Thể tích nó là B 2952100 m C 2529100 m D 2591200 m A 2592100 m Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (70) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A Gọi khối chóp tứ giác là S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 230 m ; chiều cao SH  147 m 1 Thể tích nó là: VS ABCD  S ABCD SH  2302 147  2592100 3 Vậy thể tích Kim tự tháp là 2592100 m   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (71) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Chuyên đề 10 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ 1 Thể tớch khối chúp Vchóp   Sđ áy chiều cao   Sđ á y d đỉnh; mặt phẳng đáy 3 Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô  Sđ ¸y chiÒu cao  Thể tích khối lập phương V  a  Thể tích khối hộp chữ nhật V  abc c a a b Tỉ số thể tích  Cho khối chóp S ABC , trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lấy các điểm A, B , C  khác S Khi đó ta luôn có tỉ số thể SA SB  SC     VS ABC SA SB SC  Ngoài cách tính thể tích trên, ta còn phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính toán Sau đó cộng lại  Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp  Đáy là đa giác (hình chóp tam giác có đáy là tam giác hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông)  Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy  Các mặt bên là tam giác cân và  Góc các cạnh bên và mặt đáy  Góc các mặt bên và mặt đáy tích: VS AB C  S A  C B C A B đều, Tứ diện và bát diện đều:  Tứ diện là hình chóp có tất các mặt là tam giác  Bát diện là hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh nó là đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt là các tam giác và Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm các mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (72) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều:  Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy  Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP S a) Hình chóp có cạnh Ví dụ: Hình chóp S ABC có cạnh bên bên vuông góc với đáy: SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tức Chiều cao hình chóp là SA  (ABC ) thì chiều cao hình độ dài cạnh bên vuông góc chóp là SA C A với đáy B b) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc với đáy c) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là giao tuyến hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy d) Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm đáy Đối với hình chóp đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G tam giác Ví dụ: Hình chóp S ABCD có bên (SAB ) vuông góc với phẳng đáy (ABCD ) thì chiều hình chóp là SH là chiều SAB mặt mặt cao cao S A D H B C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) thì chiều cao hình chóp là SA S D A B C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có tâm đa giác đáy là giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO S A D O B C DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC và đặt AB  c, BC  a, CA  b và a b  c : nửa chu vi Gọi R , r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p  S ABC 1  a.ha  b.hb  c.hc 2 1  ab sinC  bc sin A   2 abc   p.r 4R  p(p  a )(p  b)(p  c), A ac sin B c r b (Héron) B H a R Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C (73) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Stam gi¸c vu«ng   (tích hai cạnh góc vuông) (c¹nh huyÒn)2   Stam gi¸c vu«ng c©n  (c¹nh)2 c¹nh  Chiều cao tam giác    Stam giác  Shình chữ nhật  dài  rộng và Shình vuông  (cạnh)2 (đáy lớn  đáy bé)  (chiều cao)  TÝch hai ®­êng chÐo TÝch ®­êng chÐo S Tø gi¸c cã ®­êng chÐo vu«ng gãc   S h×nh thoi   2 S h×nh thang  HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ABC vuông A, có AH là đường cao, AM là trung tuyến Khi đó:  BC  AB  AC (Pitago), AH BC  AB.AC  AB  BH  BC và AC  CH  CB A 1   và AH  HB  HC  AH AB AC  BC  2AM 1  S ABC   AB  AC   AH  BC 2 Hệ thức lượng tam giác thường M B H C ABC đặt Cho và a b c (nửa chu vi) AB  c, BC  a, CA  b, p  Gọi R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c    2R  Định lý hàm sin: sin A sin B sin C A 2  c  a b    2  a  b  c  2bc cos A  cos A  2bc c b   a  c2  b2   2   Định lý hàm cos:  b  a  c  2ac cos B  cos B   2ac a C  a  b2  c2 B   2 M    a  b  ab cos C  cos C  c  2ab  2   AM  AB  AC  BC    2   BA BC AC    Công thức trung tuyến:  BN    CA2  CB AB 2   CK     A  AM AN MN   k  MN  BC  AB AC BC M N    Định lý Thales:     S AMN   AM   k  AB   S ABC  B C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (74) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng Cạnh bên vuông góc với đáy Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và a Tính thể tích khối chóp đã cho 3a a3 C D Lời giải khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  A a3 B a3 Chọn A Ta có BC  AB , BC  SA  BC  AH Kẻ AH  SB  AH   SBC    Suy d A;  SBC   AH  a Tam giác SAB vuông A có: 1   SA  a  2 AH SA AB2 a3 Vậy VSABCD  SA.SABCD  3 Câu (Mã 110 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng  SBC  tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V  3a B V  3a3 C V  a a3 D V  Lời giải Chọn.C Ta có S ABCD  3a Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (75) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  SBC    ABCD   BC     SB; AB   SBA Vì  BC  SB   SBC   SBC  ,  ABCD       BC  AB   ABCD    60o Vậy SBA Xét tam giác vuông SAB có: tan 60o  SA  SA  AB.tan 60o  a AB 1 Vậy VS ABCD  S ABCD SA  a 3.a  a 3 Câu (Mã 123 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng  SAB  góc 300 Tính thể tích khối chóp S ABCD A 2a3 2a3 B C a3 2a D Lời giải Chọn B +) Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: SABCD  a2   30 +) Chứng minh BC   SAB   góc SC và (SAB) là CSB   tan 300  +) Đặt SA  x  SB  x  a2 Tam giác SBC vuông B nên tan CSA  BC SB Ta được: SB  BC  x  a  a  x  a 2a3 Vậy VSABCD  SA.SABCD  a 2.a  (Đvtt) 3 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân C , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, biết AB  4a, SB  6a Thể tích khối chóp S ABC là V Tỷ số A 80 B 40 20 Lời giải C D a3 là 3V 80 Chọn B Ta có: + ABC vuông cân C , AB  4a suy AC  BC  2a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (76) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AC BC  4a + SA   ABC   SA  AB  ABC vuông A Do đó: S ABC  SA  SB  AB  + Khối chóp S ABC 2  6a    4a   2a có SA   ABC  8a  V  S ABC SA  4a 2a  3 3 a a Vậy tỷ số:   3V 3.8a 40 Câu (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác vuông ACB  60 , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy góc B , AB  a ,  45 Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  18 12 Lời giải Chọn A ACB  60  BC  ABC là tam giác vuông B , AB  a ,  SB,  ABC     SB, AB   45  Câu AB  a tan 60 nên tam giác SAB vuông cân S  SA  AB  a a3 1 VS ABC  S ABC SA  BA.BC.SA  a.a a 3 18 (Lương Thế Vinh Hà Nội Năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB  a và AD  2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABCD biết góc hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  600 A V  a3 15 15 B V  a3 15 C V  4a3 15 15 D V  Lời giải Chọn C Kẻ AE  BD   60 SBD  ,  ABCD    SEA  Xét ABD vuông A AE  AD AB  2a 2a  a AD  AB Xét SAE vuông A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 15 (77) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2a 15 2a SA  AE.tan 600  3 5 Khi đó thể tích S ABCD 1 2a 15 4a 15 V  SA.S ABCD  2a  3 15 Câu (Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hình chóp S ABCD có AB  3, BC  3 , góc   BCD   90 , SA  và SA vuông góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD BAD 66 , tính cotang góc mặt phẳng  SBD  và mặt đáy A 20 273 819 B 91 273 20 Lời giải C D 91 1 Có: VS ABCD  SA.S ABCD  66  9.S ABCD  S ABCD  44 3 1 Suy AB AD  BC.CD  44  AD  3CD  44 (1) 2 Áp dụng định lí Pitago tam giác vuông ABD; BCD , ta có: AB  AD  BD  BC  CD  CD  AD  48 (2)  AD  Từ (1) và (2) suy   AD  47  47 44 không thỏa mãn từ (1) ta có: AD  AD   AD  Trong tam giác ABD , dựng AH  BD lại có SA  BD  BD  SH  Vậy góc  SBD  và đáy là góc SHA Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (78) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dễ tính BD  91, AH  Câu AB AD 20 273   AH  20 273 , cot SHA  BD 91 SA 819 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA   ABC  Mặt phẳng  SBC  cách A khoảng a và hợp với mặt phẳng  ABC  góc 300 Thể tích khối chóp S ABC 8a 8a B A 3a 12 Lời giải D C 4a   300 Gọi I là trung điểm sủa BC suy góc mp  SBC  và mp  ABC  là SIA H là hình chiếu vuông góc A trên SI suy d  A,  SBC    AH  a AH  2a Xét tam giác AHI vuông H suy AI  sin 300 Giả sử tam giác ABC có cạnh x , mà AI là đường cao suy 2a  x 4a x  4a  4a  Diện tích tam giác ABC là S ABC     3 2a Xét tam giác SAI vuông A suy SA  AI tan 300  Vậy VS ABC Câu 4a 2a 8a3  S ABC SA   3 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết SC  a A VS ABCD  a B VS ABCD  a3 C VS ABCD  a3 D VS ABCD  Lời giải Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 (79) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vì hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với đáy Mà  SAB    SAD   SA nên SA   ABCD  Ta có: AC  a ; SA  SC  AC  a 3  a  a 1 a3 Thể tích khối chóp S ABCD là: VS ABCD  SA.S ABCD  a.a  3 Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông C , AB  2a , AC  a và SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  Biết góc hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  60 Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B 12 a3 Lời giải C D a3 Chọn B Trong  ABC kẻ CH  AB  CH   SAB   CH  SB1 BC  AB  AC  a , BH BA  BC , a 3a , CH  BC  BH   BH  2 Trong  SAB kẻ HK  SB  CK  SB  Từ 1 ,    HK  SB   60 Góc hai mặt phẳng  SAB  và  SBC  là CKH a , BK  BH  HK  a a SA AB 2a SAB ∽ HKB  g.g  nên    SA  HK BK a 2 Trong vuông  CKH có HK  CH cot 60  a3 a 1 a 3.a  Thể tích hình chóp S ABC là V  SA.S ABC  2 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (80) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   120 , biết Câu 11 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân A với BC  2a , BAC SA  ( ABC ) và mặt ( SBC ) hợp với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn C  Gọi I là trung điểm BC + Do ABC cân A nên BC  AI + Mặt khác SA  ( ABC )  BC  SA Suy BC  SI   45 Do đó góc ( SBC ) và đáy chính là góc SIA   60 , suy IA   Xét AIB vuông I có IB  a , IAB IB a  tan 60 a  a , SIA  45 nên SAI vuông cân A , đó SA  IA  3 1 a3  Thể tích khối chóp S ABC là V  SABC SA  BC AI SA  3 SAI vuông A có IA  Câu 12 (Bạc Liêu – Ninh Bình) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB  a , a AD  2a ; SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến  SCD Tính thể tích khối chóp theo a 15 15 5 A B C D a a a a 45 15 15 45 Lời giải Chọn A Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm A trên đường thẳng SD Ta có  AH  SD  a   AH   SCD  AH  d  A,  SCD  Suy AH      AH  CD Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (81) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SAD vuông A có đường cao AH nên 2a 15 1 1 1 15  2  2    SA  2 2 15 AH SA AD SA AH AD 4a 2a 15 15 Vậy V  AB AD.SA  a.2a  a 15 45 Câu 13 (Cụm liên trường Hải Phòng- 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD , góc hai mặt phẳng  SBD và ABCD 600 Gọi M , N là trung điểm SB , SC Tính thể tích khối chóp S ADNM A V  a3 16 B V  a3 24 C V  3a 16 D V  a3 Lời giải Chọn A Gọi O  AC  BD   600 AO  BD  SO  BD Nên góc  SBD và ABCD là góc SOA 1 1 VS ADN  VS ADC  VS ABCD và VS AMN  VS ABC  VS ABCD 2  VS ADMN  VS ADN  VS AMN  VS ABCD a3   a tan 600  a  V SA  AO.tan SOA  S SA  S ABCD ABCD 2 a3 a3  VS ADMN   16 Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , a Tính thể tích V SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SBD  khối chóp đã cho a3 3a a3 B V  a C V  D V  A V  Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (82) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi O  AC  BD , gọi H là hình chiếu A lên SO Vì O là trung điểm AC nên d  C,  SBD    d  A,  SBD   Ta có: BD  AC; BD  SA  BD   SAC    SBD    SAC  ; SO   SAC    SBD  AH  SO  AH   SBD   AH  d  A,  SBD    d  C ,  SBD    Ta có: AO  a 3 a 1    SA  a AH SA2 AO a3  S ABCD SA  3 Trong tam giác SAO : VSABCD Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng  SAB  góc 30 Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V  3a3 B V  3a3 C V  6a 18 D V  6a3 Lời giải Chọn B Ta có hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh, SA vuông góc với mặt đáy nên DA  AB và   30 DA  SA Suy DA   SAB  Vậy góc SD và mặt phẳng  SAB  là DSA Ta có SA  AD.cot 30  a 1 3 V  SA.S ABCD  a 3.a  a 3 Câu 16 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc BAD 1200 , AB  a Hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với đáy Góc  SBC  và mặt phẳng đáy là 600 Tính thể tích V chóp S ABCD A V  2a 15 15 B V  a3 12 C V  a3 D V  Lời giải Chọn C Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a 13 12 (83) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vì hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với đáy nên SA  mp  ABCD  Ta có tam giác ABC cạnh a , gọi I là trung điểm BC đó: AI  a   600 Và góc  SBC  và mặt phẳng đáy là SIA SA   SA  AI tan  60   SA  3a  tan SIA AI a2 1  a a Ta có diện tích đáy ABCD là: S ABCD  2S ABC   AI BC   2 2  Xét tam giác SAI ta có:   1 3a a a 3 Thể tích chóp S ABCD là: V  SA.S ABCD   3 2 Dạng Mặt bên vuông góc với đáy Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy; góc SC và mặt phẳng đáy 45o Tính thể tích khối chóp S ABCD bằng: a3 a3 a3 a3 B C D A 12 24 Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm AB , SAB cân S  SH  AB   SAB    ABCD    SAB    ABCD   AB   SH   ABCD   SH   SAB  ; SH  AB    45o  SHC vuông cân H SC;  ABCD    SCH  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (84) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a2 a  SH  HC  BC  BH  a   ; S ABCD  AB  a 2 2 a a3  VS ABCD  S ABCD SH  a  3 Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng  SCD  tạo với đáy góc 30 Thể tích khối chóp S ABCD là? A a3 B a3 a3 36 Lời giải C D 5a 3 36 Chọn A Gọi H , K là trung điểm AB và CD   30 SCD  ,  ABCD   SKH Suy SH   ABCD  và    SH a 3a  :  tan 30 a 3a a 3  a  2 Xét SHK vuông H , có HK  Vậy VS ABCD  SH S ABCD Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S và mặt bên  SAD  vuông góc với mặt phẳng đáy Biết a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SCD  3 B h  a C h  D h  a a Lời giải thể tích khối chóp S ABCD A h  a Chọn A Gọi H là trung điểm AD Nên SH  AD  SAD    ABCD    SAD    ABCD   AD  SH   ABCD   AD  SH  Ta có: S ABCD  2a  SH  3V 4a  3  2a S ABCD 2a Gọi I là hình chiếu H lên SD d  B;  SCD    d  A;  SCD    2d  H ;  SCD    IH Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (85) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mà IH  SH HD SH HD   SD SH  HD Vậy d  B;  SCD    Câu a 2a  2a  a 2      a a (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S và mặt bên  SAD  vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD A h  a 4 a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng  SCD  B h  a C h  a D h  a 3 Lời giải Chọn C Gọi I là trung điểm AD Tam giác SAD cân S  SI  AD  SI  AD  SI   ABCD  Ta có   SAD    ABCD   SI là đường cao hình chóp Theo giả thiết VS ABCD  SI S ABCD  a3  SI 2a  SI  2a 3 Vì AB song song với  SCD   d  B,  SCD    d  A,  SCD    2d  I ,  SCD   Gọi H là hình chiếu vuông góc I lên SD  SI  DC  IH  SD  IH  DC Ta có   IH   SCD   d  I ,  SCD    IH Mặt khác   ID  DC  IH  DC 1 1 2a Xét tam giác SID vuông I :      IH  IH SI ID 4a 2a  d  B,  SCD    d  A,  SCD    2d  I ,  SCD    a Câu (Gia Bình 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết khoảng cách hai đường thẳng SA và BD 21 Hãy cho biết cạnh đáy bao nhiêu? A 21 B 21 C D Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (86) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Giả sử AB  a Gọi H là trung điểm AB  SH  AB  SH   ABCD  Ta có         SA.BD  SH  HA BA  BC  HA.BA  a       1  a 2 cos SA, BD  a  cos SA, BD   sin  SA, BD   2        1a 3 3 VSABCD  SH AB AD  a  a  VSABD  a 3 12  Câu 3 3 SA.BD.d SA,BD  sin  SA, BD   a  a.a 21  a a7 12 12 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B , BC  AD  a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, góc 15 SC và mặt phẳng  ABCD   cho tan   Tính thể tích khối chóp S ACD theo a a3 a3 a3 a3 A VS ACD  B VS ACD  C VS ACD  D VS ACD  6 Lời giải   Gọi H là trung điểm AB , từ giả thiết ta có: SH   ABCD  ,  SC ,  ABCD    SCH Đặt AB  x , ta có: HC  BH  BC  x2  a , SH  HC tan   x2 15  a2 x x2 15 x Vậy ta có:  a2   xa  AD  BC  AB  3a ; S  S  a ; V a3  SH S   ACD ABCD S ACD ACD 2 Mặt khác SH  S ABCD Câu (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật; AB  a; AD  2a Tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc đường thẳng SC và mp  ABCD  45 Gọi M là trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến  SAC  A d  a 1513 89 B d  2a 1315 89 C d  a 1315 89 D d  Lời giải Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2a 1513 89 (87) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H là trung điểm đoạn AB  SH   ABCD  Xét  BCH vuông B , có: CH  4a  a a 17  a 17 a 34 ; SC  2 17a a Xét  SAH vuông H , có: SA    a 4 Xét  SHC vuông cân H , có: SH  Xét  ABC vuông B , có: AC  a  4a  a  S SAC  89 a a 17 a 17 Ta có: VS ABCD  V  SH S ABCD  ; VS ACD  V  3 a 17 89 a 1513 VS ACM  VS ACD  a d  d  Mà VS MAC  d S SAC  12 12 89 Câu (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A Hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H BC , AB  a , AC  a , SB  a Thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 a3 Lời giải C D  Xét tam giác ABC vuông A có: BC  AB  AC  a  a  a3  2a H là trung điểm BC nên BH  a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (88) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét tam giác SBH vuông H có: SH  SB  HB  a   a2  a 1 AB AC  a 2 1 a3 Thể tích khối chóp S ABC là: V  SH S ABC  a .a  3 Diện tích đáy ABC là: S ABC  Câu (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông S Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD cho HA  3HD Biết SA  2a và SC tạo với đáy góc 30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD 6a A V  6a3 B V  C V  2a3 Lời giải D V  6a SH  HD.HA  3HD2  SH  3HD     SH   tan SDH  SA SA  DH Có:     SD   2a  DA  SD  SA2  4a  SD   SA  tan SDH   SD   DH  DA  a  Tam giác SHC có tan SCH SH SH SH  tan 30   HC   3a HC HC tan 30 Tam giác DHC có DC  DH  HC  2a 1 6a V  SH AD DC  a a 2 a  Vậy S ABCD 3 Câu 10 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông A và D , AB  AD  a , CD  2a Hình chiếu đỉnh S lên mặt  ABCD  trùng với trung điểm BD Biết thể tích tứ diện SBCD A a B a a3 Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng  SBC  là? a Lời giải C D a Chọn D Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (89) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi M là trung điểm CD thì ta có ABMD là hình vuông cạnh a đó BC  BD  a  CD  4a  BC  BD đó tam giác BCD vuông cân B Gọi H là trung điểm BD thì SH   ABCD  a3 1 a  SH BD.BC  SH  2a Khi đó VS BCD Hạ HI  SB Vì ABMD là hình vuông nên H là trung điểm AM và ta có AMCB là hình bình hành đó AH //BC  d  A;  SBC    d  H ;  SBC    HI Khi đó Câu 11 a a 1 hay d  A;  SBC          HI  2 4 HI SH HB 6a a 3a (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng  ABCD  trùng với trung điểm cạnh AD; gọi M là trung điểm CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABM a 15 a 15 a 15 a 15 A B C D 12 Lời giải Chọn D 1 S ABCD  a 2 Gọi I là hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng  ABCD  Ta có S ABM  IB  a a IA  AB     a  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (90) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có IB là hình chiếu vuông góc SB lên mp  ABCD    SB ,  ABC D     SB , IB   60  Ta có SI  IB tan 60   VS ABM  SI S ABM Câu 12 a 15 a 15 a a 15   2 12 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S trên đáy là điểm H trên cạnh AC cho AH  AC ; mặt phẳng  SBC  tạo o với đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABC là? a3 a3 a3 a3 A B C D 12 48 36 24 Lời giải Gọi M là trung điểm BC CN CH N  CM :    HN //AM Mà CM CA ABC nên AM  BC  HN  BC  BC   SHN     60o SBC  ;  ABC   SN ; HN  SNH Nên  a a  HN  AM    a sin 60o  a SHN vuông H có SH  HN sin SNH 1 a a a VS ABC  SH S ABC   3 4 48 Do ABC nên AM  Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và có AB  a , BC  a Mặt bên  SAB  là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC a3 a3 A V  B V  12 C V  2a D V  Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm cạnh AB Do SAB nên SH  AB   SAB    ABC    SAB    ABC   AB   SH   ABC   SH   SAB  , SH  AB  Vậy SH là chiều cao khối chóp S ABC ABC vuông A , ta có: AC  BC  AB  a 3  a2  a 1 a2 a , SH  AB AC  a.a  2 2 1 a 2 a a3 Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC  S ABC SH   3 2 12 S ABC  Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 (91) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và có AB  a , BC  a Mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng  ABC  Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A V  B V  12 C V  a3 D V  a3 Lời giải Chọn A S C A H B Xét tam giác ABC vuông A , ta có: AC  BC  AB  a 3  a 2 a a2 1 Diện tích tam giác ABC là: S ABC  AB AC  a.a  2 Gọi H là trung điểm đoạn AB thì SH  AB Vì  SAB   ABC  và  SAB   ABC   AB nên SH   ABC  Suy SH là chiều cao khối chóp S ABC   a.sin 60  a Tam giác SAH vuông H nên SH  SA.sin SAH 2 a a a Thể tích khối chóp S ABC là: V  S ABC SH   2 12 Câu 15 (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B , BC  AD  a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy; góc 15 SC và mặt phẳng  ABCD   cho tan   Tính thể tích khối chóp S ACD theo a a3 a3 a3 a3 A VS ACD  B VS ACD  C VS ACD  D VS ACD  6 Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (92) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đặt AB  x  , gọi M , N là trung điểm AB , AD Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên SM chính là đường cao x x x2  CM  a  hình chóp S.ABCD và BM  , SM  2 Góc SC và mặt phẳng  ABCD   cho tan   15 suy SM 15 3 3 x2    SM  CM  x   a    x  a CM 5 5  Dễ thấy ABCN là hình vuông nên CN  a  S ACD  AD.CN  a 2 1 a a a  Vậy VS ACD  SM SACD  3 Câu 16 (Chuyên - Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cân A , AB  AC  a ,  BAC  120 Tam giác SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 A V  B V  a3 C V  D V  2a3 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm đoạn AB  SH  AB ( vì tam giác SAB là tam giác đều)  SAB    ABC    SAB    ABC   AB  SH   ABC    SH   SAB  ; SH  AB Nhận thấy SAB là tam giác cạnh a  SH  S ABC  a a2 AB AC.sin120  1 a a2 a3 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: VS ABC  SH S ABC   3 Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác cạnh 2a và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) Góc mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( ABCD) là 30 Thể tích khối chóp S ABCD là: A 2a 3 B a3 4a 3 Lời giải C D 2a 3 Chọn D Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (93) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 S B A 30° I M C D + Trong tam giác SAD gọi I là trung điểm AD  SI  AD  SI  ( ABCD) + Gọi M là trung điểm BC  BC  IM (1) Mặt khác SI  ( ABCD)  BC  SI (2) Từ (1), (2) suy BC  SM   30 + Vậy, góc mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( ABCD) chính là góc SMI SI  3a (vì tam giác SAD là tam giác cạnh 2a nên + Xét tam giác vuông SIM có IM  tan 30 SI  a ) 1 Vậy, thể tích khối chóp S ABCD là V  S ABCD SI  AD.BC.SI  2a 3 3 Câu 18 (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên   300 , SA  2a Tính thể tích V SAB nằm mặt phẳng vuông góc với  ABCD  , SAB khối chóp S ABCD 3a A V  B V  a C V  a3 D V  a3 Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên cạnh AB Do  SAB    ABCD  và  SAB    ABCD   AB nên SH   ABCD   Xét tam giác SAH vuông H ta có: sin SAB SH  SH  sin 300.SA  a SA Mặt khác: S ABCD  AD  a 1 a3 V   S a   a a   Nên S ABCD ABCD 3 Câu 19 Cho hình chóp S ABC có AB  a, BC  a 3,  ABC  600 Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng  ABC  là điểm thuộc cạnh BC Góc đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  là 450 Giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (94) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A a3 B a3 a3 12 Lời giải C D a3 Chọn B +Gọi H là hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  , H  BC   450  SHA vuông cân  SH  HA SA, ( ABC )   SAH +  1  + VS ABC  S ABC SH  AH AB.BC sin ABC 3 a2  AH a a 3.sin 600  AH + Vmin  AH  AH  BC H AH a a a2 a3 + sin  ABH   AH  a.sin 60   Vmin   AB 2 Dạng Thể tích khối chóp Câu (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , góc mặt bên và mặt đáy 600 Thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  2 6 Lời giải Gọi O là tâm đáy, gọi M là trung điểm BC SO  BC   600 Ta có  nên  SOM   BC , suy  SCD  ,  ABCD     SM , OM   SMO OM  BC a a BC  , SO  OM tan 600  2 1 a a3 a  Thể tích khối chóp S ABCD là VS ABCD  SO.S ABCD  3 Có OM  Câu (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , tâm đáy là O Gọi M và N là trung điểm SA và BC Biết góc đường thẳng MN và mặt phẳng  ABCD  600 Tính thể tích khối chóp S ABCD A a 10 B a 30 a 30 Lời giải C D a 10 Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (95) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Gọi H là trung điểm AO Khi đó góc MN và  ABCD  là MNH Ta có HN  CN  CH  2CN CH cos 450  Suy MH  HN tan 600  Do đó SO  2MH  Câu a 10 a 10 a 30 3 4 a 30 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Nếu hình chóp tứ giác có cạnh đáy và có diện tích xung quanh thì có thể tích A B 4 Lời giải C D Chọn A Xét hình chóp S ABCD hình vẽ Kẻ OE  BC  E là trung điểm BC và BC   SOE  Do đó BC  SE Xét SOE vuông O , ta có SE  SO  OE  SE  SO  Mặt khác S xq  SSBC   .SE.BC   SO  1.2  SO   x   1 VS ABCD  SO.S ABCD  2.22  (đvtt) 3 Câu Cho hình chóp S ABC có SA  a Gọi D , E là trung điểm SA, SC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a , biết BD vuông góc với AE a 21 a3 a3 a 21 A B C D 54 12 27 27 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (96) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn A S F E D C A B Gọi F là trung điểm SE  BD  DF ; gọi AB  x AS  AC  SC 2a  x  a a  x Ta có BE  BD  AE    4 2 a  x a 2a   2 BS  BE  SE 2  9a  x BF   4 16 BD BF  BD  DF  BF  2 2 9a  x a  2x    9a  x  5a  10 x  4a  x  x  a 16 4 Gọi H là hình chiếu S lên  ABC  đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC 2 x 3 a  SH  SA  AH  a     3  2 x2 a2  1 a a a 21  Vậy VS ABC  SH SABC  3 54 Hoặc sử dụng công thức tính thể tích chóp tam giác ABC có cạnh bên a , cạnh đáy x Tam giác ABC có cạnh là x  SABC  VS ABC Câu 2a x 3a  x   12 2 3a  12 2a 3  a 21 54 Cho hình chóp S ABCD có cạnh AB  a , góc đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  45 Thể tích khối chóp S ABCD là a3 a3 A B a3 Lời giải C D a3 Chọn B S A 450 B H D a C Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (97) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vì S ABCD là hình chóp nên đáy ABCD là hình vuông và chân đường cao H trùng với tâm hình vuông ABCD Diện tích đáy khối chóp S.ABCD là S ABCD  a Nhận thấy HA là hình chiếu vuông góc SA trên  ABC  Vì  Suy SAH   45  SA,  ABC    SA, HA  SAH a   45 nên là tam giác vuông cân H Suy Tam giác SHA vuông H và có SAH a SH  HA  a a3 Thể tích khối chóp S ABCD là: V  S ABCD SH  a  (HKI-NK HCM-2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD độ dài cạnh đáy là a Biết mặt SB phẳng  P  qua A và vuông góc với SC , cắt cạnh SB B  với  Tính thể tích khối SB chóp S.ABCD a3 a3 a3 a3 A B C D Lời giải Chọn A Xét tam giác ABC vuông B , ta có: AC  AB  BC  a Suy HA  Câu Ta có: BD  AC    BD   SAC   BD  SC BD  SO  Mà  P   SC   P  // BD SG SB   SO SB Suy G là trọng tâm SAC  C  là trung điểm SC Nên SAC là tam giác cạnh AC  a  SO  a a 2 1 a a  VSABCD  S ABCD SO  a  3 Trong  SAC  , gọi G  AC   SO  GB  // BD  Câu (Sở Quảng Trị2019) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy 2a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 45 Thể tích khối chóp đó là 4a a3 a3 A B C D 2a Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (98) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn A Dựng hình chóp tứ giác S ABCD thỏa mãn các điều kiện đề bài với O  AC  BD   45 Theo giả thiết ta có AB  2a , SA tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 45 suy SAO ABCD là hình vuông cạnh 2a nên tính AC  2a  OA  a   45 suy SO  OA  a Tam giác SOA vuông cân O vì có SO  OA, SAO 1 4a Vậy thể tích khối chóp là V  S ABCD SO  4a a  3 Câu (THPT Trần Phú - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , khoảng cách hai đường thẳng SA và CD 3a Thể tích khối chóp đã cho bằng: 8a 3 A a 3 B 6a 3 C 12a D Lời giải Chọn C Gọi O  AC  BD  CD // AB Ta có   d CD, SA  d CD,  SAB   d  D,  SAB   d O,  SAB     AB   SAB  S  OK  AB 3a Kẻ   OH   SAB   OH  d O,  SAB     OH  SK H 1 Xét  SOK :    SO  3a OH SO OK Vậy thể tích khối chóp S ABCD : V  S ABCD SO  12 a (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Cho hình chóp tam giác S.ABC , cạnh AB  a và cạnh bên hợp với đáy góc 45 Thể tích V khối chóp là a3 a3 a3 a3 A V  B V  C V  D V  12 Lời giải Chọn A A K B O D Câu C Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì S.ABC là hình chóp tam giác nên SO   ABC  Do S ABC là hình chóp tam giác nên các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (99) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  Theo Góc cạnh SC với đáy là góc hai đường thẳng SC và OC hay chính là góc SCO   45  SOC vuông cân O bài ta có SCO a a Tam giác ABC cạnh a nên CO  SO   3 a2 Diện tích đáy: S ABC  1 a a a3 Thể tích khối chóp V  S ABC SO   3 12 Câu 10 Cho khối chóp tứ giác có tất các cạnh 2a Thể tích khối chóp đã cho bằng: 8a3 2a 2a 2a A B C D 3 3 Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình vuông ABCD , ta có SO   ABCD  Xét tam giác SOA vuông O có SA  2a, AO  Suy SO  SA2  AO   2a    a  1 AC  2a  a 2 a 1 4a 2 Vậy VS ABCD  SO.S ABCD  a  2a   3 Dạng Thể tích khối chóp khác Câu (Đề Minh Họa 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi vuông góc với nhau; AB  6a , AC  a và AD  4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , CD , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 a A V  7a3 B V  14a3 C V  D V  a 3 Lời giải Chọn A Ta có VABCD  1 AB AD AC  6a.7 a.4a  28a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 (100) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta nhận thấy SMNP  Câu 1 SMNPD  S BCD  VAMNP  VABCD  7a3 4 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB  a Gọi I là trung điểm BC , hình chiếu vuông góc đỉnh S   lên mặt phẳng  ABC  là điểm H thỏa mãn IA  2 IH , góc SC và mặt phẳng  ABC  60 Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B a 15 Lời giải C D a 15 12 Chọn C 1 AB AC  a 2.a  a 2 a BC  a, IA  a , IH  S ABC  a2 5a a  a2   HC  4   SH  SH  HC tan SCH   a  a 15 tan SCH HC 2 1 a 15 a 15 Vậy VS ABC  SH S ABC  a  3 Tam giác HIC vuông I ta có HC  HI  IC  Câu (Sở Yên Bái - 2020) Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác cạnh 3a ,    900 , góc (SAB ) và (SCB ) 600 Thể tích khối chóp S ABC SAB  SCB A 2a B 2a C 2a 24 D 2a Lời giải Chọn D Trong mặt phẳng (ABC ) lấy D nằm trên đường trung trực AC cho SD  (ABC ) và   BAD   900  SAB   SCB   900 BCD Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (101) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BC  2a  CD  a OB   Dựng AM  SB , SAB  SCB  CM  SB  ((SAB ),(SCB ))  (AM ,CM ) Gọi O  AC  BD  BD  OC   3a  BC vô lí vì tam giác MBC vuông M + Nếu AMC  600  MC  sin300   1200  MC  OC   SC  3a  SB  3a + Nếu AMC 2 sin600 SD  SB  BD  Câu a 1 9a a 9a 3  VS ABC  S ABC SD   3 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Thể tích tứ diện SGCD 2 A B C D 36 36 18 Lời giải Chọn A Gọi O là tâm hình vuông ABCD , M là trung điểm BC Vì S ABCD là hình chóp tứ giác nên SO   ABCD  VSGCD SG   suy VSGCD  VSMCD (1) VSMCD SM Mặt khác: Hình chóp S ABCD và S MCD có chung đường cao SO và S MCD  1 S BCD  S ABCD nên VSMCD  VS ABCD (2) Từ (1) và (2) suy ra: VSGCD  VS ABCD Mặt khác SO  SA  AO  Vậy VSGCD  Câu 1 2 , VS ABCD  SO.S ABCD   3 36   SAB   300 Tính thể tích Cho hình chóp S ABC có AB  AC  , BC  , SA  , SAC khối chóp S ABC A B C D Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 (102) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có:  SC  SA2  AC  SA AC.cos SAC  SC  48  16  2.4 3.4  SC   SB  SA2  AB  SA AB.cos SAB  SB  Gọi M , N là trung điểm các cạnh BC, SA Ta có: SBC cân S ,  ABC cân A  SM  BC   BC   SAM   AM  BC Kẻ SH  AM Mà BC   SAM   BC  SH Vậy, SH   ABC  Ta có, SM  SC  MC  15  AM Nên SAM cân M  MN  SA Ta có: MN  AM  AN  ; MN SA  SH AM  SH  SABC  Câu MN SA 15 ;  AM 1 15 AM BC  15 Do đó: VS ABC  SH S ABC  15  3 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S ABC có các cạnh SA  BC  ; SB  AC  ; SC  AB  Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 B 390 C 390 12 390 D Lời giải Chọn A Áp dụng công thức thể tích khối tứ diện gần đều: 390 VS ABC  a  b  c  a  b  c   a  b  c    12 Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA  SB  a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a Thể tích khối chóp đã cho A a3 B a3 C a3 D a3 Lời giải Chọn D Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (103) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi I và J là trung điểm AB và CD theo đề bài ta có: SA  SB  a nên hình chiếu H S lên đáy nằm trên đường thẳng IJ Dễ thấy CD  ( SIJ) Suy d  A, ( SCD)  d  I , ( SCD)  d  I , SJ   a Tam giác SAB vuông cân S nên SI  a suy SI  d  I , SJ   a  SI  ( SCD) a 2a   a a Trong tam giác vuông SIJ ta có: SH IJ  SI SJ  SH  SI SJ   IJ 2a 1 a 3a Thể tích khối chóp S ABCD là: V  S ABCD AH  4a  3 Câu   60, SO  ( ABCD) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB  a, BAD và mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích khối chóp đã cho A 3a B 3a 24 3a 48 Lời giải C D 3a 12 Chọn A   60 nên BD  a, AC  a Từ giả thiết hình thoi ABCD có AB  a, BAD Dựng OK  CD, ( K  CD ) Ta có SO  ( ABCD )  SO  CD và OK  CD nên CD   SOK   CD  SK   60 Do đó góc mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD ) là góc SKO   90) có Trong tam giác vuông OCD, (COD  OK  1 1 16      2 2 2 OK OC OD 3a  a      a        2 a   a tan 60  3a   90) có SO  OK tan SKO Trong tam giác vuông SOK ,( SOK 4 AC.BD a 3.a 3a   Diện tích hình thoi ABCD là: S ABCD  2 1 3a 3a 3a3 V  S SO   Vậy S ABCD ABCD 3 Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , khoảng cách từ điểm A đến mặt a 15 a 15 phẳng ( SBC ) là , khoảng cách SA và BC là Biết hình chiếu S lên mặt 5 phẳng ( ABC ) nằm tam giác ABC , tính thể tích khối chóp S.ABC A a3 B a3 C a3 D a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 (104) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn D Dựng hình bình hành ABCD Gọi O là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) Dựng đường thẳng d qua O , vuông góc với BC và cắt BC , AD H , M Khi đó AD , BC  ( SHM ) Trong SHM , dựng HK  SM ( K  SM ) và MN  SH ( N  SH ) Ta có MN  SH và MN  BC nên MN  ( SBC ) Vì MN  d ( M , ( SBC ))  d ( A, ( SBC ))  a 15 a 15 Do SHM có hai đường cao MN  HK nên cân S Suy O là trung điểm MH a a Ta có MH  d ( AD, BC )  d ( A, BC )  (do ABC đều, cạnh a ) Suy MO  Xét hai tam giác đồng dạng MKH và MOS , ta có a a 15  KH MK MO.KH a   SO    2 SO MO MK  a   a 15           Do BC / /  SAD nên d ( BC , SA)  d ( BC , ( SAD ))  d ( H , ( SAD ))  HK Suy HK  1 a a a3   Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V  SO SABC   3   60 , SO   ABCD  và Câu 10 Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB  a , BAD mặt phẳng  SCD  tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V  3a 24 B V  3a 48 C V  3a 12 D V  3a Lời giải Chọn D   60 , nên tam giác BCD cạnh a Do ABCD là hình thoi tâm O , AB  a , BAD Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (105) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có S ABCD a  AB AD.sin BAD Gọi E là trung điểm CD và I là trung điểm ED BE  OI  CD Nên góc mặt phẳng 3a SO  OI tan 60   SCD  a a , OI  BE  BE  CD nên 2 và mặt đáy là góc  , suy SIO   60 SIO 1 a 3a a 3 Vậy thể tích V khối chóp S ABCD là V  S ABCD SO   3   60 , gọi I là giao điểm AC Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh x , BAD và BD Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABCD) là H cho H là trung điểm BI Góc SC và ( ABCD) 45 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V  39 x 12 B V  39 x 36 C V  39 x 24 D V  39 x3 48 Lời giải Chọn C Tam giác ABD cạnh x  BD  x  IH  x Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC : AC  x  x  x.x.cos120  x  IC  Xét tam giác IHC vuông I : HC  IH  IC  x x 3x x 13   16 4    SC ,  ABCD  45 nên tam giác SHC vuông cân Do tam giác SHC vuông H , có SCH H Suy ra: HC  SH  x 13 1 x 13 x3 39  Vậy thể tích khối chóp S ABCD : VS ABCD  AC.BD.SH  x 3.x 24   SAC   30º Tính thể tích Câu 12 Cho hình chóp S ABC có AB  AC  , BC  , SA  , SAB khối chóp S ABC A VS ABC  B VS ABC  C VS ABC  D VS ABC  12 Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 (106) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M là trung điểm cạnh BC Vì ABC cân A (do AB  AC  ) nên AM  BC AM  AC  MC  15 ; SABC  AM BC  15 SAB  SAC c  g  c nên SB  SC Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm S trên mặt phẳng  ABC  suy H  AM Áp dụng định lí cosin cho SAB , ta có: SB  SA2  AB  SA AB.cos 30  16  SB  SMB vuông M nên SM  SB  MB  15 2   SM  AM  SA   Áp dụng định lí cosin cho SAM , ta có cos SMA 2.SM AM   1 cos SMA   sin SMA   15  15  SH  SM sin SMA 5 1 15 Vậy VS ABC  SABC SH  15  3 Cách 2: Áp dụng định lí cosin cho ABC , ta có AB  AC  BC cos A   AB AC abc Sử dụng công thức V  1 cos   cos   cos   cos  cos  cos  7 AB AC.SA V  1 cos 30 cos 30    cos 30.cos 30   8 S ABC Câu 13 Cho hình chóp có Góc SA  a, AB  a , AC  a   900 , C  BAC AS  1200 Thể tích khối chóp S.ABC a3 a3 a3 a3 A B C D 3 Lời giải Chọn B Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/   600 , SAB (107) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lấy trên cạnh AB ; AC các điểm M ; P cho AS  AM  AP  a Ta có: SM  a ; MP  a ; SP  a  SMP vuông M Do AS  AM  AP  a  Hình chiếu A trên đáy  SMP là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SMP , là H 1 a2 Ta có: SSMP  SM MP  a.a  2 2  a   SP  a a3     VASMP  SSMP AH  AH  SA     a       12 2 Ta lại có: Câu 14 VA.SBC AB AC a3 a3    VS ABC  VA.SBC  6.VA.SMP   VA.SMP AM AP 12 (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S ABC có AB  7cm, BC  8cm, AC  9cm Các mặt bên tạo với đáy góc 30 Tính thể tích khối chóp S ABC Biết hình chiếu vuông góc S trên  ABC  thuộc miền tam giác ABC A 20  cm3  B 20  cm  63  cm3  Lời giải C D 72  cm  Chọn A Ta có p  AB  BC  AC  12  cm  Diện tích tam giác ABC là S  p  p  AB  p  AC  p  BC   12  cm2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 (108) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên  ABC  Gọi K , N , M là hình chiếu vuông góc H trên AB, BC , CA   SNH   SMH   30 Theo bài ta có SKH Ta có SKH  SNH  SMH vì   SHN   SHM   90 , SHK SH chung,   SNH   SMH   30 SKH Suy KH  NH  MH Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC S Khi đó KH  NH  MH  ABC   cm  p SH  HK tan 30  15  cm  1 15 20  cm3 Thể tích khối chóp S ABC là V  SH SABC  12 3 3   Câu 15 Cho hình chóp S ABC có các mặt bên  SAB  ,  SAC  ,  SBC  tạo với đáy các góc và 60 Biết AB  13a , AC  14a , BC  15a , tính thể tích V khối chóp S ABC A V  28 3a B V  112 3a C V  84 3a Lời giải D 84a Chọn B Gọi H là hình chiếu S trên mặt phẳng  ABC  Gọi M , N , K là hình chiếu H trên các cạnh BC, AC, AB Khi đó,ta có các tam giác SHK , SHM , SHN  HM  HN  HK  r ,với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC AB  BC  CA 13  14  15   21 2 p  p  AB  p  BC  p  AC   21. 21  13 21  14  21  15  84 Ta có nửa chu vi tam giác ABC là p  Ta có: S ABC  S ABC 84    HM p 21    60  SH  r.tan 60  Ta lại có:   SBC  ,  ABC    SMH Mà S ABC  pr  r   VS ABC  84.4  112 Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA  SB  SC  , AC  ; ABC là tam giác vuông cân B Tính Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (109) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 thể tích V khối chóp S ABC 16 A V  16 B V  C V  16 D V  16 Lời giải Chọn D  Gọi H là hình chiếu S trên mặt phẳng ( ABC ) Do SA  SB  SC nên SHA  SHB  SHC (cạnh huyền-cạnh góc vuông)  HA  HB  HC  H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC vuông cân B nên H là trung điểm AC Suy HA  HC  AC   SH  SA2  HA2  2 AC 2  Ta có: BA  BC  1 16 Vậy VS ABC  S ABC SH  2 2  3    Câu 17 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC biết SA  SB  SC  a ,    60 và  ASB  120 , BSC ASC  90 Thể tích khối chóp S ABC là a a3 a3 a3 A B C D 12 Lời giải   60 suy tam giác BSC  BC  a Ta có SB  SC  a , BSC Lại có SA  SC  a ,  ASC  90 suy tam giác ASC vuông cân S  AC  a Mặt khác, SA  SB  a ,  ASB  120 , áp dụng định lí cosin cho tam giác ASB , ta được: AB  SA2  SB  2SA.SB.cos  ASB  3a  AB  a Xét tam giác ABC có BC  AC  a  2a  3a  AB suy tam giác ABC vuông C a2 Vậy diện tích tam giác ABC là: SABC  AC.BC  2 Gọi O là trung điểm cạnh AB suy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 (110) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Mà SA  SB  SC  SO   ABC   3a  a Xét tam giác vuông ASO vuông O có SO  SA  AO  a       2 a 2 a a3  Vậy thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC  SABC SO  3 2 12 Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác 15 , từ B đến  SCA là , từ C đến  SAB  là cạnh , biết khoảng cách từ A đến  SBC  là 10 30 và hình chiếu vuông góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối 20 chóp VS ABC 1 1 B C D A 36 48 12 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P là hình chiếu H lên các cạnh AC , BC , AB h  Đặt SH  h  VS ABC  h 12 2S 6VS ABC h 30  :  h 10 Ta có AP  SAB  S SAB  AB 20 d  C ;  SAB   Tương tự, tính HM  h, HN  h  PH  SP  SH  3h Ta có S ABC  S HAB  S HAC  S HBC  Vậy VS ABC  3  HP  HM  HN   3h   h  12 3  12 12 48 HẾT Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (111) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Chuyên đề 11 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM DẠNG THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô  Sđ ¸y chiÒu cao  Thể tích khối lập phương V  a  Thể tích khối hộp chữ nhật V  abc c a b a Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều:  Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy  Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác Câu (Mã 101 - 2019) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là A Bh B Bh C Bh D 3Bh 3 Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lập phương có cạnh Thể tích khối lập phương đã cho A 216 B 18 C 36 D 72 Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Thể tích khối lập phương cạnh A B C D Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp chữ nhật có kích thước 3;4;5 Thể tích khối hộp đã cho bằng? A 10 B 20 C 12 D 60 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2; 4; Thể tích khối Câu hộp đã cho A 16 B 12 C 48 D (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B  và chiều cao h  Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C D Câu Câu (Mã 103 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều khối lăng trụ đã cho 16 a A 16a3 B 4a3 C D (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều khối lăng trụ đã cho A a3 B a3 C 2a3 D 3 cao 4a Thể tích a cao 2a Thể tích 4a3 Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (112) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy a , khoảng cách hai đáy lăng trụ a Tính thể tích V khối lăng trụ A V  3a Câu 10 B V  a C V  a3 D V  3a (Mã 102 -2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy là tam giác cạnh a và AA  2a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 11 3a 3a C 3a3 D 3a (Đề Minh Họa 2017) Tính thể tích V khối lập phương ABCD ABC D , biết AC   a A V  a3 Câu 12 B B V  6a C V  3a D V  a 3 (SGD Nam Định) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có BC  3a , đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC  a Tính thể tích V khối lăng trụ đứng ABC ABC  A V  2a B V  2a3 C V  2a D V  a3 Câu 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy ABC là tam giác vuông A , biết AB  a , AC  2a và A B  3a Tính thể tích khối lăng trụ ABC AB C  A Câu 14 2a3 B 5a3 C 5a3 D 2a (Gia Lai 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D  có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a , AB   a (tham khảo hình vẽ) Tính theo a thể tích V khối lăng trụ đã cho A V  a3 B V  2a3 C V  a 10 D V  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2a (113) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 15 Lăng trụ tam giác có độ dài tất các cạnh Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: A Câu 16 27 C D 27 (Đề Tham Khảo 2019) Thể tích khối lập phương cạnh 2a A 8a3 Câu 17 B B 2a3 C a3 D 6a3 (Mã 104 2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy là tam giác cạnh a và AA '  2a (minh họa hình vẽ bên dưới) Thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 18 6a B 6a C 6a D 6a 12 (Đề Tham Khảo 2017) Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh a a3 a3 a3 a3 B V  C V  D V  12 (Mã 110 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có BB  a , đáy ABC là tam giác vuông A V  Câu 19 cân B và AC  a Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V  Câu 20 a3 B V  a3 C V  a D V  a3 (Mã 103 2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh 2a và AA '  3a (minh họa hình vẽ bên) C' A' B' C A B Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a C 3a D 3a Câu 21 (Mã 101 -2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a và AA '  3a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (114) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 C' A' B' C A B A Câu 22 a3 B a3 C 3a D 3a (THPT Việt Đức Hà Nội Năm 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C  có đáy là tam giác vuông cân B , AB  a và AB  a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C  là A a3 B a3 C a3 D a3 2 Câu 23 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , A ' B tạo với mặt phẳng đáy góc 60 o Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 3a B a3 C 3a D 3a3 Câu 24 Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' , đáy là hình thang vuông A và D , có AB  2CD, AD  CD  a 2, AA '  a Thể tích khối lăng trụ đã cho A 12a Câu 25 B 6a D 4a (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC ABC  biết AA  a; AB  3a; AC  4a và AB  AC A 12a Câu 26 C 2a B 4a C 24a D 8a (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABC D có đáy là hình thoi, biết AA  4a, AC  2a, BD  a Thể tích V khối lăng trụ là A V  8a C V  a B V  2a D V  4a3 Câu 27 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Cho hình hộp đứng có mặt là hình vuông cạnh a và mặt có diện tích là 3a Thể tích khối hộp là A a B 3a C 2a D 4a Câu 28 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho khối hộp chữ nhật ABCD AB C D , biết AB  a ; BC  a ; AC   a 21 Tính thể tích V khối hộp đó? A 4a Câu 29 B 16a C a D 8a (THPT Thăng Long 2019) Hình lập phương có độ dài đường chéo thì có thể tích là A 2 B 54 C 24 D Câu 30 Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có AA  a , AB  3a , AC  5a Thể tích khối hộp đã cho là A 5a B 4a C 12a D 15a Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (115) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 31 (HKI-NK HCM-2019) Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài 3a , đáy là hình thoi cạnh a và có góc 60 Khi đó thể tích khối hộp là 3a 3 a3 a3 3a3 B C D 2 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có BB  a , đáy ABC là tam A Câu 32 giác vuông cân B, AC  a Tính thể tích lăng trụ A Câu 33 a3 B a3 C a3 D a3 (THPT Trần Phú 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D  , có ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh AC   2a Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  A 4a B 3a C 2a D a Câu 34 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân A với BC  a và mặt bên AA ' B ' B là hình vuông Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a a 3 a a D 12 Câu 35 (Thăng Long-Hà Nội 2019) Cho khối đa diện (kích thước hình vẽ bên) tạo ba hình chữ nhật và hai tam giác A B C Tính thể tích khối đa diện đã cho A 48cm3 Câu 36 B 192cm C 32cm D 96cm3 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh a Thể tích khối lăng trụ đó A a3 B a3 C a3 D a3 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (116) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 37 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  2a, AA  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A 3a B a3 C 3a D a Câu 38 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AB  a, AA '  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ A 3a3 Câu 39 B a3 C 3a3 D a3 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lăng trụ đứng ABCD ABC D  có đáy là hình thoi cạnh a , BD  a và AA  4a (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a C 3a3 D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a3 (117) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Chuyên đề 11 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Thể tích khối lăng trụ đứng Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân A , BC  a 2, A ' B tạo với đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ 3a A Câu B 3a C 3a3 D a3 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC ABC  có đáy là tam giác vuông A Cho AC  AB  2a , góc AC  và mặt phẳng  ABC  30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A Câu 2a 3 B a3 C 5a 3 D 4a 3 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA  BC  a , biết A ' B tạo với mặt phẳng  ABC  góc 600 Thể tích khối lăng trụ đã cho A 2a Câu B a3 C a3 D a3 (SGD Nam Định) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông A ,  ACB  30 , biết góc B ' C và mặt phẳng  ACC ' A '  thỏa mãn sin   Cho khoảng cách hai đường thẳng A ' B và CC ' a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V  a Câu B V  3a C V  a 3 D V  2a 3 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB  a , góc đường thẳng A ' C và mặt phẳng  ABC  45 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A Câu a3 B a3 C a3 12 D a3 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB  4a , góc đường thẳng AC và mặt phẳng  ABC  45o Thể tích khối lăng trụ ABC ABC a3 a3 a3 D B C 16a 3 (Mã 104 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác cân với   120 Mặt phẳng ( ABC ) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V AB  AC  a , BAC khối lăng trụ đã cho 3a 9a 3a a3 B V  C V  D V  A V  8 A Câu Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (118) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) cho lăng trụ ABC ABC  Biết góc  ABC  và  ABC  là 30 , tam giác ABC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A Câu C 3 B D (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có diện tích a2 Mặt phẳng  A ' BC  hợp với mặt phẳng đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' đáy A Câu 10 3a 3 B a3 C 5a 3 12 3a D (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có cạnh đáy a và AB vuông góc với BC  Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  7a Câu 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a và  A ' BC  hợp với mặt đáy ABC góc 30 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V  a3 B V  a3 12 C V  a3 24 D V  3a3 Câu 12 Cho lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy ABC là tam giác vuông A và AB  a , AC  a , mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 30 Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  A a3 12 B a3 C 3 a3 a3 D Câu 13 Cho hình lăng trụ đứng, có đáy ABC là tam giác vuông cân A , AB  a , góc mp  AB ' C ' và mp  ABC  600 Thể tích khối lăng trụ B 3a A 3a3 C a 3a D Câu 14 Cho hình lăng trụ ABC A B C  Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC  a , góc hai mặt phẳng  ABC  và  BCC B   với cos   Tính thể tích khối lăng trụ ABC AB C  A V  Câu 15 3a B V  3a C V  a3 D V  3a (THPT Minh Khai - 2019) Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  a , đường thẳng A ' B vuông góc với đường thẳng BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a A a3 3 B a C 3a3 D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 9a (119) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 16 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy a 2a Thể tích khối lăng trụ đã cho 19 Khoảng cách từ điểm A ' đến mặt phẳng  AB ' C ' là A a3 B a3 C a3 D 3a Câu 17 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018)Cho lăng trụ đứng ABC ABC  đáy là tam giác vuông cân B , AC  a , biết góc  ABC  và đáy 60 Tính thể tích V khối lăng trụ A V  Câu 18 a3 B V  a3 C V  a3 D V  a3 (Liên Trường - Nghệ An 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có góc hai mặt phẳng  ABC  và  ABC  60 , cạnh AB  a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC  A V  Câu 19 3 a 3 a C V  3 a D V  3a (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC  có cạnh đáy là a a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  ABC  Thể tích khối lăng trụ bằng: 2a A 12 Câu 20 B V  2a B 16 3a C 16 3a3 D 48 (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương - 2018) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC là tam   120 , mặt phẳng ( ABC ) tạo với đáy góc 60 Tính thể giác cân với AB  AC  a, BAC tích khối lăng trụ đã cho 3a3 3a 3a 9a B V  C D V  8 8 (THPT Yên Lạc - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có cạnh đáy a Đường thẳng AB tạo với mặt phẳng  BCC B  góc 30 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  theo a A V  Câu 21 A 3a B a3 C a3 12 D a3 Câu 22 (THPT Xuân Hòa - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  , biết đáy ABC là tam giác a cạnh a Khoảng cách từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng  ABC  Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A Câu 23 3a B 3a 28 C 3a D 3a3 16 (THPT Hoàng Mai - Nghệ An - 2018) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có cạnh đáy a , góc AC và mặt phẳng đáy 60 Tính diện tích xung quanh S xp hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đỉnh là trọng tâm tam giác ABC  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (120) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 B' A' C' B A C A S xq   a 333 36 B S xq   a 333 C S xq   a 111 D S xq   a 111 36 Dạng Thể tích khối lăng trụ xiên Câu (Sở Bình Phước 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có tất các cạnh a , các cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A Câu a3 24 B 3a C a3 D a3 (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Cho lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác cạnh a , biết AA  AB  AC  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  ? a3 a3 3a a3 B C D 4 4 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân A Câu A, AC  2 , biết góc AC  và  ABC  600 và AC   Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC  A V  Câu B V  16 C V  3 D (Gia Bình 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , góc cạnh bên và mặt đáy 30 Hình chiếu A ' lên  ABC  là trung điểm I BC Tính thể tích khối lăng trụ A Câu a3 B a 13 12 C a3 D a3 (Nguyễn Khuyến 2019) Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác cạnh , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Khi đó thể tích khối lăng trụ là: A Câu Câu B 27 C 27 D   60 , (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hình hộp ABCD ABCD có các cạnh 2a Biết BAD  AAB   AAD  120 Tính thể tích V khối hộp ABCD.ABC D A 2a3 B 2a3 C 8a3 D 2a3 (SGD Gia Lai 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C  có đáy là tam giác cạnh Hình chiếu vuống góc A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H cạnh BC Góc tạo Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (121) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 cạnh bên A A với đáy 450 (hình vẽ bên) Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C  A V  Câu 24 B V  C V  D V  Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có đáy ABC là tam giác cạnh a , hình chiếu A xuống  ABC  là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết AA hợp với đáy  ABC  góc 60 , thể tích khối lăng trụ là A Câu a3 B 3a 3 C a3 12 D a3 36 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có đáy là tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên a Mặt phẳng  BCC B  vuông góc với đáy và  BBC  30 Thể tích khối chóp ACC B là: A Câu 10 a3 B a3 12 C a3 18 D a3 (Đề thử nghiệm 2017) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân A , cạnh AC  2 Biết AC tạo với mặt phẳng  ABC  góc 60 và AC   Tính thể tích V khối đa diện ABCB C  A V  B V  16 C V  3 D V  16 3 Câu 11 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 8a và khoảng cách từ điểm A đến các đường thẳng BB, CC  2a và a Biết góc hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ACC′A′) 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A Câu 12 16 3a3 3 B 3a C 24 3a D 16 3a (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A trên  ABC  là trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng AC và mặt phẳng đáy 600 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A 2a B 3a C 3a D 3a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (122) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 13 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho lăng trụ ABC A1 B1C1 có diện tích mặt bên  ABB1 A1  , khoảng cách cạnh CC1 đến mặt phẳng  ABB1 A1  Tính thể tích khối lăng trụ ABC A1 B1C1 A 12 Câu 14 B 18 C 24 D (chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho khối lăng trụ ABC ABC , tam giác ABC có diện tích và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  ABC  Thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 15 B C D (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 2019) Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác cạnh 3, cạnh bên và tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Khi đó thể tích khối lăng trụ là? A Câu 16 27 B C 27 D (Sở Hà Nội 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông B , đường cao BH Biết A ' H   ABC  và AB  1, AC  2, AA '  Thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 17 21 12 B C 21 D (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu A ' xuống  ABC  là trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A Câu 18 a3 B a3 C a3 24 D a3 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,  ABC  60 Chân đường cao hạ từ B trùng với tâm O đáy ABCD ; góc mặt phẳng  BBC C  với đáy 60 Thể tích lăng trụ bằng: A 3a 3 B 2a 3 C 3a D 3a Câu 19 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC A BC  có đáy là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc điểm A’ lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA’ và BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 20 a3 3 B a3 24 C a3 D a3 12 (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C  có AA  2a , tam giác ABC vuông   60 , góc cạnh bên BB  và mặt đáy  ABC  60 Hình chiếu vuông C và BAC góc B  lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối tứ diện A ABC theo a A 9a 208 B 3a 26 C 9a 26 D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 27a 208 (123) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 21 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu điểm A ' trên mặt phẳng  ABC  trùng vào trọng tâm G tam giác ABC Biết tam giác A ' BB ' có diện tích 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A Câu 22 6a B 3a C 3a D 3a 3 (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C  có đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC  2a Hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H cạnh AB và AA  a Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V  Câu 23 a3 B V  a3 C V  2a 2 D V  a3 (THPT Trần Phú 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh 2a , cạnh bên AA  2a Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm BC Thể tích khối lăng trụ đã cho là A a 3 B 2a 3 C 3a3 D 2a Câu 24 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác cạnh a , AA  3a Biết hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm cạnh BC Tính thể tích V khối lăng trụ đó theo a A V  a Câu 25 B V  2a 3 C V  3a D V  a (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB  a, AA  2a, hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H cạnh BC Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A Câu 26 B a 14 C a3 D a3 (SGD Hưng Yên) Cho lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác cạnh a , độ dài cạnh 2a bên , hình chiếu đỉnh A trên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  bằng: A Câu 27 a3 14 a3 36 B a3 C a3 12 D a3 24 (SGD Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a , 3a AA '  Biết hình chiếu vuông góc A ' lên  ABC  là trung điểm BC Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' là A a3 B 3a3 C a3 D 2a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (124) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 28 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết khoảng cách BC và AA ' A a3 36 B a3 a Thể tích khối chóp B ' ABC bằng: C a3 18 D a3 12 Câu 29 (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ACBD là hình thoi cạnh a , biết A ABC là hình chóp và AD hợp với mặt đáy góc 45 Thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D là : a3 a3 C a 3 D 12 Câu 30 (Chuyên Long An - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết A a3 B khoảng cách hai đường AA và BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC  A V  Câu 31 a3 B V  a3 24 C V  a3 12 D V  a3 (Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA và BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC  A V  Câu 32 a3 B V  a3 C V  a3 24 D V  a3 12 (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và  ABC  120 Góc cạnh bên AA và mặt đáy 60 Đỉnh A cách các điểm A , B , D Tính theo a thể tích V khối lăng trụ đã cho A V  3a B V  a3 C V  a3 D V  a3 Câu 33 (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông A , AB  a , AC  a Hình chiếu vuông góc đỉnh A lên  ABC  trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm M cho CM  2MA Biết a khoảng cách hai đường thẳng AM và BC Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V  a3 B V  a C V  3a D V  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2a 3 (125) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Chuyên đề 11 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM DẠNG THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô  Sđ ¸y chiÒu cao  Thể tích khối lập phương V  a  Thể tích khối hộp chữ nhật V  abc c b a a Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều:  Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy  Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác Câu (Mã 101 - 2019) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là A Bh B Bh C Bh D 3Bh 3 Lời giải Chọn A Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là: V  B.h Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lập phương có cạnh Thể tích khối lập phương đã cho A 216 B 18 C 36 D 72 Lời giải Chọn A Thể tích khối lập phương có cạnh là V  63  216 Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Thể tích khối lập phương cạnh A B C D Lời giải Chọn B Thể tích khối lập phương cạnh a là V  a Vậy thể tích khối lập phương cạnh là: V  23  Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp chữ nhật có kích thước 3;4;5 Thể tích khối hộp đã cho bằng? A 10 B 20 C 12 Lời giải D 60 Chọn D Thể tích khối hộp đã cho V  3.4.5  60 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2; 4; Thể tích khối hộp đã cho Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (126) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 16 Câu B 12 C 48 Lời giải D Chọn C Thể tích khối hộp đã cho 2.4.6  48 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B  và chiều cao h  Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C D Lời giải Chọn D  Thể tích khối lăng trụ là V  B.h  3.2  Câu (Mã 103 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 4a Thể tích khối lăng trụ đã cho 16 a A 16a3 B 4a3 C D a 3 Lời giải Chọn B V  Sday h  a 4a  4a Câu (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 2a Thể tích khối lăng trụ đã cho A a B a C 2a3 D 4a3 3 Lời giải Chọn C Ta có: Vlangtru  Sday h  a 2a  2a Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy a , khoảng cách hai đáy lăng trụ a Tính thể tích V khối lăng trụ A V  3a B V  a C V  a3 D V  3a Lời giải Chọn A Thể tích khối lăng trụ là V  B.h  a 3.a  3a Câu 10 (Mã 102 -2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy là tam giác cạnh a và AA  2a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a C 3a D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a (127) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A a2    Do khối lăng trụ ABC A B C là lăng trụ đứng nên đường cao lăng trụ là AA  2a Tam giác ABC cạnh a nên SABC  Thể tích khối lăng trụ là V  AA.SABC  2a Câu 11 a2 3a3  (Đề Minh Họa 2017) Tính thể tích V khối lập phương ABCD ABCD , biết AC   a A V  a B V  6a C V  3a D V  a3 Lời giải Chọn A Giả sử khối lập phương có cạnh x;  x   Xét tam giác A ' B ' C ' vuông cân B ' ta có: A ' C '2  A ' B '2  B ' C '2  x  x  x  A ' C '  x Xét tam giác A ' AC ' vuông A ' ta có AC '2  A ' A2  A ' C '2  3a  x  x  x  a Thể tích khối lập phương ABCD ABC D là V  a3 Câu 12 (SGD Nam Định) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có BC  3a , đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC  a Tính thể tích V khối lăng trụ đứng ABC ABC  A V  2a B V  2a3 C V  2a D V  a3 Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (128) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC  a  BC  AC  BBC vuông B  BB   BC  AC a  a 2  BC  9a  a  2a 1 2a V   BB  S ABC  2a   a  3 Vậy thể tích khối lăng trụ đứng ABC ABC  là V  2a Câu 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy ABC là tam giác vuông A , biết AB  a , AC  2a và A B  3a Tính thể tích khối lăng trụ ABC AB C  A 2a3 B 5a3 C 5a3 D 2a Lời giải Chọn D A' C' B' 3a 2a A C a B + Diện tích đáy là S ABC  1 AB AC  a.2a  a 2 + Tam giác ABA vuông A nên có AA  AB2  AB2  3a  a  2a + Thể tích cần tính là: V  S ABC AA  a 2a  2a Câu 14 (Gia Lai 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D  có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , AD  a , AB   a (tham khảo hình vẽ) Tính theo a thể tích V khối lăng trụ đã cho Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (129) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A V  a3 B V  2a3 C V  a 10 D V  2a Lời giải Chọn B S ABCD  AB AD  a.a  a 2 Trong tam giác ABB  , BB   AB   AB  a   a 2  2a Vậy V  BB .S ABCD  2a.a 2  2a Câu 15 Lăng trụ tam giác có độ dài tất các cạnh Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: A 27 B Lời giải C D 27 Chọn A Đáy hình lăng trụ là tam giác cạnh nên S  32  4 Chiều cao hình lăng trụ h  Thể tích V  S h  Câu 16 27  4 (Đề Tham Khảo 2019) Thể tích khối lập phương cạnh 2a A 8a3 B 2a3 C a3 Lời giải D 6a3 Chọn A Thể tích khối lập phương cạnh 2a bằng: V   2a   8a Câu 17 (Mã 104 2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy là tam giác cạnh a và AA '  2a (minh họa hình vẽ bên dưới) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (130) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Thể tích khối lăng trụ đã cho A 6a B 6a C 6a D 6a 12 Lời giải Chọn B a2 Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là Ta có: SABC  VABC ABC   SABC AA  Câu 18 a2 a3 a  4 (Đề Tham Khảo 2017) Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh a A V  a3 12 B V  a3 C V  a3 D V  a3 Lời giải Chọn C h  a a3   V  h S   a S    Câu 19 (Mã 110 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có BB  a , đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC  a Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  Lời giải Chọn B Tam giác ABC vuông cân B  AB  BC  AC  a Suy ra: S ABC  a 2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 (131) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi đó: VABC ABC  Câu 20 a3  S ABC BB  a a  2 (Mã 103 2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh 2a và AA '  3a (minh họa hình vẽ bên) C' A' B' C A B Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a C 3a Lời giải 3a D Chọn B Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác có diện tích là là lăng trụ đứng) nên có thể tích là (2a ) và chiều cao là AA '  3a (do (2a ) 3a  3a Câu 21 (Mã 101 -2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a và AA '  3a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho C' A' B' C A B A a3 B a3 3a Lời giải C D 3a Chọn C Ta có S ABC  a2 ; AA '  a Từ đó suy V  a 3.a Câu 22 3a3  4 (THPT Việt Đức Hà Nội Năm 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy là tam giác vuông cân B , AB  a và AB  a Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  là A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (132) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D C' A' B' a A C a B Ta có AA  AB  AB  a , S ABC  Thể tích khối lăng trụ là V  AA.S ABC  a2 AB  2 a3 Câu 23 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , A ' B tạo với mặt phẳng đáy góc 60 o Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 3a B a3 3a Lời giải C D 3a3 Chọn C Đáy là tam giác cạnh a , có diện tích: SABC  a2 A ' BA   A ' B,  ABC   60o , suy ra: AA '  AB tan 60o  a Vì AA '   ABC    Vậy thể tích khối lăng trụ: VABC A ' B 'C '  SABC AA '  a2 3a a  4 Câu 24 Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' , đáy là hình thang vuông A và D , có AB  2CD, AD  CD  a 2, AA '  a Thể tích khối lăng trụ đã cho A 12a B 6a C 2a Lời giải D 4a Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (133) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A' B' 2a C' D' A B a D C a Diện tích hình thang ABCD là:  AB  CD  AD   2CD  CD  AD 3CD AD 3.a 2.a   3a 2 2 Thể tích khối lăng trụ đã cho: V  S ABCD AA  3a a  6a S ABCD  Câu 25  (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC ABC  biết AA  2a; AB  3a; AC  4a và AB  AC A 12a B 4a C 24a Lời giải D 8a Chọn A 1 AB AC  3a.4a  6a 2 Vậy VABC ABC   AA.S ABC  12a3 Ta có: S ABC  Câu 26 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABC D có đáy là hình thoi, biết AA  4a, AC  2a, BD  a Thể tích V khối lăng trụ là A V  8a3 B V  2a3 C V  a3 Lời giải D V  4a Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (134) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 Thể tích V khối lăng trụ là: V  S ABCD AA  AC.BD AA  2a.a.4a  4a 2 Câu 27 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Cho hình hộp đứng có mặt là hình vuông cạnh a và mặt có diện tích là 3a Thể tích khối hộp là A a B 3a C 2a D 4a Lời giải Chọn B Giả sử mặt ABB' A' là hình vuông cạnh a , mặt ABCD có diện tích 3a Do đó chiều cao h  AA'  a , diện tích đáy là B  S ABCD  3a Suy thể tích khối hộp đó là V  3a a  3a Câu 28 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho khối hộp chữ nhật ABCD AB C D , AB  a ; BC  a ; AC   a 21 Tính thể tích V khối hộp đó? A 4a B 16a a Lời giải C D 8a Chọn D Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ biết (135) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Xét tam giác vuông ABC , ta có: AC  AB  BC  a Xét tam giác vuông ACC , ta có: CC   AC2  AC  4a Vậy thể tích khối hộp hộp chữ nhật ABCD AB C D là: V  a 2a 4a  8a3 Câu 29 (THPT Thăng Long 2019) Hình lập phương có độ dài đường chéo thì có thể tích là A 2 C 24 Lời giải B 54 D Chọn C Gọi cạnh hình lập phương là a a  0  đường chéo hình lập phương là a Theo bài ta có: a   a    Vậy thể tích khối lập phương là: V   24 Câu 30 Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có AA  a , AB  3a, AC  5a Thể tích khối hộp đã cho là A 5a B 4a C 12a D 15a Lời giải Chọn C Xét ABC vuông B , ta có: BC  AC  AB   5a    3a   4a S ABCD  AB BC  3a 4a  12a VABCD ABC D  S ABCD AA  12 a a  12a Câu 31 (HKI-NK HCM-2019) Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài 3a , đáy là hình thoi cạnh a và có góc 60 Khi đó thể tích khối hộp là A 3a 3 B a3 a3 Lời giải C D 3a3 Chọn D Ta có chiều cao h  3a Hình thoi cạnh a và có góc 60 có diện tích S  Thể tích khối hộp là V  S h  a2 a2  3a 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (136) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 32 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có BB  a , đáy ABC là tam giác vuông cân B, AC  a Tính thể tích lăng trụ A a3 B a3 C a3 D a3 Lời giải Chọn D  Trong ABC : AC  AB  BC  AB  a   AB  BC  a Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  là: VABC ABC   S ABC BB  Câu 33 a3 AB.BC.BB  2 (THPT Trần Phú 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD AB C D  , có ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh AC   2a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C  A 4a B 3a C 2a Lời giải D a Chọn A Ta có: AC   AB  AD  AA  AA  a  AA  a Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  là 1 VABC AB C   AB AD AA  2a.2a.2a  4a 2 Câu 34 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân A với BC  a và mặt bên AA ' B ' B là hình vuông Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A a B a C a D a 12 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (137) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A A B C a A' B' C' Tam giác ABC vuông cân A  AB  a2 BC a  SABC  AB2   2 Mặt bên AA ' B ' B là hình vuông  AA '  AB  Vậy VABC A ' B ' C "  AA '.SABC  Câu 35 a a a2 a3  (Thăng Long-Hà Nội 2019) Cho khối đa diện (kích thước hình vẽ bên) tạo ba hình chữ nhật và hai tam giác Tính thể tích khối đa diện đã cho A 48cm3 B 192cm C 32cm D 96cm3 Lời giải Chọn D Từ giả thiết, suy khối đa diện là khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác và các mặt bên là hình chữ nhật Thể tích khối đa diện là V  6.4.8  96  cm3  Câu 36 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh a Thể tích khối lăng trụ đó a3 A a3 B a3 C Lời giải a3 D 12 Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (138) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Diện tích đáy S  Câu 37 a2 a2 a3 a , chiều cao h  a Khi đó V  4 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  2a, AA  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A 3a B a3 3a Lời giải D a C Chọn A Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  : V  AA.S ABC  a  2a   3a Câu 38 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AB  a, AA '  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ A 3a3 B a3 3a3 Lời giải C D a3 Chọn A Lăng trụ ABC A’B’C’ là lăng trụ nên ABC là tam giác và AA '   ABC  • AA '   ABC   chiều cao lăng trụ là: h  AA '  a • ABC là tam giác có AB  2a  ABC diện tích là: Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (139) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 S ABC   AB    2a   a2 3  Thể tích khối lăng trụ là: VS ABC  h.SABC  a 3.a  3a Câu 39 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lăng trụ đứng ABCD ABC D có đáy là hình thoi cạnh a , BD  a và AA  4a (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a 3a3 Lời giải C D 3a3 Chọn A Gọi I  AC  BD Ta có: AC  BD, BI  BD a  Xét tam giác vuông BAI vuông I : 2 a 3 3a a a AI  BA  BI  a     AI   AC  a   a  4   2 2 1a a2 a  Diện tích hình bình hành ABCD : S ABCD  2SABC  BI AC  2 2 Vậy: VABCD ABCD  S ABCD AA  a2 4a  3a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (140) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Chuyên đề 11 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Thể tích khối lăng trụ đứng Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân A , BC  a 2, A ' B tạo với đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ A 3a B 3a 3a3 Lời giải C D a3 Chọn A 2 ABC là tam giác vuông cân A , BC  a  AB  AC  a  S ABC  a.a  a  ' B '  600 A ' B tạo với đáy góc 600  BA BB '  v BA ' B ' : tan BA 'B'   BB '  A ' B '  a A'B ' 3a Thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' là: VABC A ' B 'C '  BB '.SABC  a a  2 Câu (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC ABC  có đáy là tam giác vuông A Cho AC  AB  2a , góc AC  và mặt phẳng  ABC  30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A 2a 3 B a3 5a 3 Lời giải C D 4a 3 Chọn D Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (141) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Diện tích tam giác ABC : S ABC  AB AC  2a Hình chiếu vuông góc AC  lên  ABC  là AC  AC  Góc AC  và mặt phẳng  ABC  là góc tạo đường thẳng AC  và AC hay C  AC  30 Theo bài có C Xét tam giác C CA vuông C có CC   AC tan 30  2a Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  là VABC ABC   CC .S ABC  Câu 2a 4a 3 2a  3 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA  BC  a , biết A ' B tạo với mặt phẳng  ABC  góc 600 Thể tích khối lăng trụ đã cho A 2a B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn C A ' BA  60  A ' A  AB.tan 600  a Góc đường thẳng A ' B và mặt phẳng  ABC  là  Có S ABC  Câu a2 a3 BA.BC   VABC A ' B 'C '  S ABC A ' A  2 (SGD Nam Định) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông A ,  ACB  30 , biết góc B ' C và mặt phẳng  ACC ' A '   thỏa mãn sin   Cho khoảng cách hai đường thẳng A ' B và CC ' a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (142) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A V  a 3a B V  C V  a 3 D V  2a 3 Lời giải Chọn D * Ta có: CC  //AA  CC //  AABB  Mà A ' B   AA ' B ' B  , nên d  CC '; A ' B   d  CC ';  AA ' B ' B    C ' A '  a * Ta có: AC  A ' C '  a ; AB  A ' B '  a ; Diện tích đáy là B  dt  ABC   * Dễ thấy A ' B ' a2  ACC ' A '  Góc B ' C và mặt phẳng  ACC ' A ' là B ' CA '   sin   A' B '   B ' C  2a B 'C CC '  B ' C  B ' C '2  20a  4a  4a * Thể tích lăng trụ là V  B.h với h  CC ' V  Câu a2 4a  2a 3 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB  a , góc đường thẳng A ' C và mặt phẳng  ABC  45 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A a3 B a3 a3 12 Lời giải C D a3 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (143) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   Có: A 'C , ABC   A 'CA  45    Xét tam giác A ' AC vuông A, ta có: tan A 'CA  AA '  AA '  a AC Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' là: V  AA '.S ABC  a Câu a a3  4 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  4a , góc đường thẳng AC và mặt phẳng  ABC  45o Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A a3 B a3 C 16 a 3 D a3 Lời giải Chọn C A' C' B' C 45 4a 4a A 4a B ABC ABC là lăng trụ tam giác  ABC ABC là lăng trụ đứng và đáy là tam giác Ta có: AA   ABC    AC ,  ABC    ACA  45o  AAC vuông cân A  AA  AC  4a   S ABC  Câu  AB    4a   4a  VABC A ' B ' C '  AA.S ABC  4a.4a  16a 3 (Mã 104 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác cân với   120 Mặt phẳng ( ABC ) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V AB  AC  a , BAC khối lăng trụ đã cho Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (144) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3a A V  9a B V  a3 C V  Lời giải D V  3a Chọn A Gọi H là trung điểm BC , đó góc mp  ABC   và đáy là góc  AHA  60 Ta có SABC  a2 AC AB.sin120  BC   BC  AB  AC  AB AC.cos120  a  a  2.a.a  AA  AH tan 60  Vậy V  S ACB AA  Câu 2S 1 a  a  AH  ABC  BC  a 3a (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) cho lăng trụ ABC ABC  Biết góc  ABC  và  ABC  là 30 , tam giác ABC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A C 3 Lời giải B D Chọn A C' A' B' A C 30° x M B Đặt AB  x,  x   , gọi M là trung điểm BC  ABC    ABC   BC  Ta có  AM  BC   AMA  30  ABC  ,  ABC      AM  BC  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (145) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét AAM , có AM  S ABC   AM x   x cos30 AM BC   x  16  x  Suy AA  AM tan 30  16  ; S ABC   4 Vậy VABC ABC   AA.S ABC  2.4  Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có diện tích a2 Mặt phẳng  A ' BC  hợp với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' đáy A 3a 3 B a3 C 5a 3 12 D 3a Lời giải Chọn A Vì đáy ABC là tam giác có diện tích a2  cạnh đáy a  BC  AM Gọi M trung điểm BC , ta có   BC  A ' M  BC  AA '  A ' M , AM   A ' MA  600 Từ đó ta có A ' BC , ABC       Xét A ' AM ta có AA '  AM tan 600   3a Thể tích lăng trụ ABC A ' B ' C ' là VABC A ' B 'C '  AA '.S ABC  Câu 10 3a 3 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có cạnh đáy a và AB vuông góc với BC  Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 7a3 (146) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B       Đặt x  BA , y  BC , z  BB , theo giả thiết AB  BC  nên                 AB.BC    z  x y  z   z y  z  x y  x.z   z  x y        a a2  z  x y cos60o   z  2 Vậy VABC A ' B 'C '  6a AB AC.sin 60o.BB  Câu 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a và  A ' BC  hợp với mặt đáy ABC góc 30 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V  a3 B V  a3 12 C V  a3 24 D V  3a3 Lời giải Chọn A Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên BC Suy AH  BC A ' H  BC Mà  ABC    A ' BC   BC  Góc  A ' BC  và  ABC  góc  AH ; A ' H    AHA '  30 Ta có: ABC là tam giác cạnh a nên AH  a a , A ' A  AH tan 30  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (147) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' là V  A ' A SABC  a a2 a3   Câu 12 Cho lăng trụ đứng ABC AB C  có đáy ABC là tam giác vuông A và AB  a , AC  a , mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 30 Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  A a3 12 B a3 3 a3 Lời giải C D a3 Chọn D * Xác định góc mặt phẳng  ABC  và mặt phẳng đáy: Trong mặt phẳng  ABC  , dựng AH  BC với H nằm trên cạnh BC Theo định lý ba đường vuông góc, ta có: AH  BC Vậy  AHA  30  ABC  ;  ABC     * Xét tam giác ABC có: 1 1 a      AH  2 AH AB AC a 3a Diện tích B tam giác ABC là: B  AB AC a  2 * Xét tam giác AHA vuông A , ta có: AA  AH tan 30  a2 a  ABC AB C  V  B h  2 a Thể tích khối lăng trụ a3 Câu 13 Cho hình lăng trụ đứng, có đáy ABC là tam giác vuông cân A , AB  a , góc mp  AB ' C ' và mp  ABC  600 Thể tích khối lăng trụ A 3a B 3a C a Lời giải D Chọn D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a (148) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi I là trung điểm cạnh B ' C ' Ta có góc mp  AB ' C ' và mp  ABC  góc mp  AB ' C ' và mp  A ' B ' C ' Ta có B ' C '   AB ' C ' A ' B ' C ' Vì ABC là tam giác vuông cân A nên hai mặt bên ABB ' A ' và ACC ' A ' là hai hình chữ nhật nhau, đó AC '  AB '  AB ' C ' là tam giác cân A  AI  B ' C ' Vì A ' B ' C ' là tam giác vuông cân A ' nên A ' I  B ' C ' Như góc mp  AB ' C ' và mp  ABC   AIA '  600 BC  a  AA '  A ' I tan 600  a 2  VABC A ' B 'C '  AA '.S ABC  a a  a 3 Ta có A ' I    Câu 14 Cho hình lăng trụ ABC AB C  Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC  a , góc hai mặt phẳng  ABC  và  BCC B   với cos   Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C  A V  3a3 B V  3a C V  a3 D V  3a Lời giải Chọn B A' C' B' E K y α a A C M x B Gọi M , N là trung điểm AB và BC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (149) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  AB  CC    AB   MCC    ABC    MCC  Do     AB  CM Kẻ CK vuông góc với CM K thì ta CK   ABC  , đó CK  d C ;  ABC   a Đặt BC  x, CC   y,  x  0, y  0 , ta được: CM  x 1 1      1 2 CM CC  CK 3x y a    , EC  KC  Kẻ CE  BC  E , ta KEC sin  Lại có a 1 12 a 12 11 1 11  2  2 2 x y CE 12a a Thể tích khối lăng trụ ABC AB C  là: Giải 1 ,  2 ta x  2a, y  V  y Câu 15 x a a 3 2a   4 (THPT Minh Khai - 2019) Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC  có AB  a , đường thẳng A ' B vuông góc với đường thẳng BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a a3 A 3 B a 3a3 C Lời giải 9a3 D Chọn A Dựng hình hộp ABCD ABCD đó tứ giác ABCD là hình thoi Đặt AB  x  AD  x   120 áp dụng định lý côsin ta có: Tam giác ABD có góc BAD BD  AB  AD  AB AD cos BAD  x  x  x.x.cos120  3x Ta có: A ' B  a  AD  a Ta có: AD //BC  AB  AD  ABD vuông A  BD  A ' B  AD  x  12 a  x  4a  x  a Chiều cao hình trụ AA2  AB  AB  a  a  2a  AA  a Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (150) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  VABC ABC   Câu 16 1 6a AA.SABC  a .2a.2a  3 2 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy a 2a Thể tích khối lăng trụ đã cho 19 Khoảng cách từ điểm A ' đến mặt phẳng  AB ' C ' là A a3 B a3 a3 Lời giải C D 3a Chọn C Gọi M là trung điểm B ' C '  AA '  B ' C '  B ' C '   AA ' M    AB ' C '   AA ' M  theo giao tuyến AM Ta có   A ' M  B 'C ' Kẻ A ' H  AM mặt phẳng  AA ' M  , suy  A ' H   AB ' C ' 2a 19 1 1 1        A ' A  2a Ta có 2 2 2 A' H A' A A' M A' A A' H A'M 4a Vậy khoảng cách từ A ' đến mặt phẳng  AB ' C ' là A ' H  Vậy thể tích khối lăng trụ là V  AA '.S A ' B ' C '  2a a2 a3  Câu 17 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018)Cho lăng trụ đứng ABC ABC  đáy là tam giác vuông cân B , AC  a , biết góc  ABC  và đáy 60 Tính thể tích V khối lăng trụ A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  a3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (151) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tam giác ABC vuông cân B , AC  a  AB  BC  a SABC  a2 Góc  ABC  và đáy là góc  ABA  60 AA  AB.tan 60  a VABC ABC  SABC AA  Câu 18 a2 a3 a  2 (Liên Trường - Nghệ An 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC  có góc hai mặt phẳng  ABC  và  ABC  60 , cạnh AB  a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC  A V  3 a B V  3 a C V  3 a D V  3a Lời giải Gọi M là trung điểm BC suy AM  BC 1  BC  AM Ta có   BC  AM    BC  AA Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (152) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mặt khác  ABC    ABC   BC  3 ABC  ;  ABC    AMA  60 Từ 1 ,   ,  3 suy    Vì tam giác ABC nên SABC  Ta có AA  AM tan 60  Vậy VABC ABC  Câu 19 a2 a và AM  3a  AA.SABC  3a a 3a 3  (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC  có cạnh đáy là a a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  ABC  Thể tích khối lăng trụ bằng: A 2a 12 B 2a 16 3a 16 Lời giải C D 3a3 48 Gọi I là trung điểm BC và H là hình chiếu vuông góc A trên AI Khi đó ta có: a d  A,  ABC    AH  Trong tam giác vuông AAI ta có: 1 1 1 1 4      2   2 2 2 2 2 AH AA AI AA AH AI a 3a 3a a a 3     2   Suy ra: AA  a Thể tích khối lăng trụ là: V  SABC AA  Câu 20 a a 3a   4 16 (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương - 2018) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC là tam   120 , mặt phẳng ( ABC ) tạo với đáy góc 60 Tính thể giác cân với AB  AC  a, BAC tích khối lăng trụ đã cho A V  3a B V  9a C 3a3 D V  3a Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (153) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  IB  60 ABC  , ABC   B Hạ BI  AC  Khi đó ta có    a BI   AC   120  B AI  60 Do đó sin 60   BI  Vì B BA  IB  Suy tan B a 3a BB BB  BB  3  tan 60  2 BI BI a2 1 a Mặt khác SABC  AI BC  a  2 Vậy thể tích khối chóp là V  B.h  Câu 21 a a3 3a  (THPT Yên Lạc - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có cạnh đáy a Đường thẳng AB tạo với mặt phẳng  BCC B  góc 30 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  theo a A 3a B a3 a3 12 Lời giải C D a3 Gọi M là trung điểm cạnh BC Do ABC ABC  là hình lăng trụ tam giác nên ta có ABM  30 AM   BCC B    AB,  BCC B     Xét tam giác vuông ABM ta có tan 30  AM AM 3a  AB   AB  AB tan 30 Xét tam giác vuông BBM ta có BB  BM  BM  9a a  a 4 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (154) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  là VABC ABC  a3 AB AC.sin 60.BB  Câu 22 (THPT Xuân Hòa - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  , biết đáy ABC là tam giác a cạnh a Khoảng cách từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng  ABC  Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A 3a B 3a 28 3a Lời giải C D 3a3 16 a2 Chiều cao là h  d   ABC  ;  ABC     AA Diện tích đáy là B  SABC  Do tam giác ABC là tam giác nên O là trọng tâm tam giác ABC Gọi I là trung điểm BC , H là hình chiếu vuông góc A lên AI ta có AH   ABC   d  A;  ABC    AH d  O;  ABC   d  A;  ABC    d  A;  ABC   AH a IO a   d  O;  ABC       AH  3 IA Xét tam giác AAI vuông A ta có: 3a3 1 1 1 a a   VABC ABC         AA  h 16 AH AA2 AI AA2 AH AI 2 2 Câu 23 (THPT Hoàng Mai - Nghệ An - 2018) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có cạnh đáy a , góc AC và mặt phẳng đáy 60 Tính diện tích xung quanh S xp hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đỉnh là trọng tâm tam giác AB C  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (155) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 B' A' C' B A C A S xq   a 333 36 B S xq   a 333 C S xq   a 111 D S xq   a 111 36 Lời giải B' A' G' C' B A G M C Ta có  AC ;  ABC     ACA  60 suy AA  AC.tan 60  3a Có r  GM  3a 111a 1 3a  AM   a và l  GM  GG  GM  3a  36 3 Vậy S xp   rl   111  a 333 a a 6 36 Dạng Thể tích khối lăng trụ xiên Câu (Sở Bình Phước 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có tất các cạnh a , các cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A a3 24 B 3a a3 Lời giải C D a3 Chọn B Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (156) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 AAH  60 Kẻ AH    ABC    AA,  ABC     Xét AHA : sin 60  AH a  AH  AA.sin 60  AA Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  : V  S ABC AH  Câu a a 3a  (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Cho lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác cạnh a , biết AA  AB  AC  a Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  ? A 3a B a3 a3 Lời giải C D a3 Gọi H là trọng tâm tam giác ABC Theo giả thiết ta có ABC là tam giác cạnh a và AA  AB  AC  a nên A ABC là tứ diện cạnh a  AH   ABC  hay AH là đường cao khối chóp A ABC Xét tam giác vuông AHA ta có AH  AA2  AH  Diện tích tam giác ABC là S ABC  a2 a.a.sin 60  Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  là VABC ABC   Câu a a2 a a3  4 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân A, AC  2 , biết góc AC  và  ABC  600 và AC   Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (157) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A V  B V  16 C V  3 D Lời giải Gọi H là hình chiếu C  lên mặt phẳng  ABC  , đó CH là đường cao  AH  600  AC ,  ABC   C Xét tam giác vuông ACH ta có C H  C A.sin 600  Khi đó VABC ABC  Sd C H  2   Câu  (Gia Bình 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , góc cạnh bên và mặt đáy 30 Hình chiếu A ' lên  ABC  là trung điểm I BC Tính thể tích khối lăng trụ A a3 B a 13 12 a3 Lời giải C D a3 Chọn C Ta có A ' I   ABC   AI là hình chiếu vuông góc AA ' lên  ABC  AA ',  ABC    AA ', AI   A ' AI  300 Nên     Ta có AI   a a a2  A ' I  AI tan 300  , S ABC  2 Vậy VABC A' B ' C '  a a a3  Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (158) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Nguyễn Khuyến 2019) Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác cạnh , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Khi đó thể tích khối lăng trụ là: A B 27 27 Lời giải C D Chọn B Gọi H là hình chiếu A lên mặt đáy Suy góc  AAH  30 AH sin 30   AH  AA.sin 30   AA Khi đó: VABC ABC  32 Câu 27 3 4   60 , (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hình hộp ABCD.ABCD có các cạnh 2a Biết BAD  AAB   AAD  120 Tính thể tích V khối hộp ABCD ABCD A 2a3 B 2a3 C 8a3 Lời giải D 2a3 Chọn A Từ giả thuyết ta có các tam giác ABD , AAD và AAB là các tam giác  AA  AB  AD nên hình chiếu H A trên mặt phẳng  ABCD  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD 3  AH  2a  a 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (159) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  AH  AA2  AH  a 4a a.2  2a    (SGD Gia Lai 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác cạnh Hình chiếu vuống góc A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trung điểm H cạnh BC Góc tạo Thể tích khối hộp ABCD ABCD : V  AH S ABCD  Câu cạnh bên AA với đáy 450 (hình vẽ bên) Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C  24 A V  B V  C V  D V  Lời giải Chọn D Thể tích khối lăng trụ ABC A B C  : V ABC AB C   S ABC A H Ta có S ABC      AH        A H   tan 450   AH  AH   AH   Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A B C  bằng: VABC ABC   S ABC A H  3  Câu Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , hình chiếu A xuống  ABC  là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết AA hợp với đáy  ABC  góc 60 , thể tích khối lăng trụ là A a3 B 3a3 a3 12 Lời giải C D a3 36 Chọn A Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (160) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi M là trung điểm cạnh BC Khi đó AM  a a và AO  AM  3 Do AO   ABC  điểm O nên AO là hình chiếu vuông góc AA xuống  ABC  Suy góc đường thẳng AA và  ABC  là góc  AAO , suy  AAO  60 Xét AAO vuông O ta có AO  AO.tan 60  Vậy thể tích khối lăng trụ là V  AO  SABC  a  Câu a 3a a a3  4 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có đáy là tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên a Mặt phẳng  BCC B  vuông góc với đáy và  BBC  30 Thể tích khối chóp ACC B là: A a3 B a3 12 a3 18 Lời giải C D a3 A' C' B' A B H C Chọn D Ta có  BCC B    ABC  (gt) BBH  BBC  30 Hạ BH  BC  BH   ABC  và  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (161) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy chiều cao lăng trụ ABC ABC  là: h  BH  BB.sin 30 2a Diện tích đáy là Sđáy  a2 Thể tích khối lăng trụ là: VLT  Sđáy h  a2 a3 2a  a3   Thể tích khối chóp A.CC B là: V  VLT  Câu 10 (Đề thử nghiệm 2017) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân A , cạnh AC  2 Biết AC tạo với mặt phẳng  ABC  góc 60 và AC   Tính thể tích V khối đa diện ABCBC  A V  B V  16 C V  3 D V  16 3 Lời giải Chọn D 23 600 Phân tích: Tính thể tích khối đa diện ABCBC  thể tích khối lăng trụ ABC ABC  trừ thể tích khối chóp A.ABC    60 Giả sử đường cao lăng trụ là CH Khi đó góc AC mặt phẳng  ABC  là góc CAH Ta có: sin 60   C H  C H  3; S ABC  ; V ABC AB C   C H S  ABC  2  AC   8 1 8 16 VA ABC  CH SABC  VABC ABC   ; VABBCC  VABC ABC  VA ABC   3 3 Câu 11 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 8a và khoảng cách từ điểm A đến các đường thẳng BB, CC  2a và a Biết góc hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ACC′A′) 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 16 3a3 3 B 3a C 24 3a D 16 3a Lời giải Chọn D Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (162) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H , K là hình chiếu vuông góc A trên BB, CC  Ta có HA  BB , KA  CC   AA   AHK  đó AHK  60 Khi đó HK  AK  AH  AK AH cos 60  12a  AK  HK  AH Suy tam giác AH K vuông H Gọi H , K  là hình chiếu vuông góc A trên BB, CC  Ta có VA.BCKH  VA.B 'C ' K H  Khi đó VABC ABC   VAHK AH K   AA.S AHK  16 3a Câu 12 (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A trên  ABC  là trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng AC và mặt phẳng đáy 600 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A 2a B 3a 3a Lời giải C D 3a Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng  ABC  Ta có: AH   ABC   HC là hình chiếu vuông góc AC lên mặt phẳng  ABC    AC ,  ABC     AC , HC    ACH  600 CH  a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (163) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét tam giác vuông AHC , ta có: AH  CH tan 600  a 3a a2 , S ABC  3 2 Vậy thể tích khối lăng trụ ABC ABC  là: VABC ABC   S ABC AH  Câu 13 a 3a 3a  (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho lăng trụ ABC A1B1C1 có diện tích mặt bên  ABB1 A1  , khoảng cách cạnh CC1 đến mặt phẳng  ABB1 A1  Tính thể tích khối lăng trụ ABC A1B1C1 A 12 B 18 C 24 Lời giải D Chọn A 1 Ta có: VC ABB1 A1  d  C ,  ABB1 A1   S ABB1 A1  4.6  (đvtt) 3 VC ABB1 A1  VABC A1B1C1  VC C1B1 A1  VABC A1B1C1  VABC A1B1C1  VABC A1B1C1 3 3  VABC A1B1C1  VC ABB1 A1   12 (đvtt) 2 Câu 14 (chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho khối lăng trụ ABC ABC , tam giác ABC có diện tích và khoảng cách từ A đến mặt phẳng  ABC  Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C Lời giải D Chọn C Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (164) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H là hình chiếu vuông góc A' trên mp  ABC  suy A'H là chiều cao lăng trụ Xét khối chóp A.A' BC có diện tích đáy B  S A' BC  , chiều cao h  d  A, A' BC    suy thể 1 tích khối chóp A.A' BC là VA.A' BC  Bh  1.2  3  VA.A' BC  VA' ABC  S ABC A'H  Mặt khác  3  VABC A' B' C'  3VA.A' BC   VABC A' B' C'  S ABC A'H * Cách khác Ta thấy lăng trụ ABC.A' B' C' chia thành ba khối chóp có thể thích là A' ABC, A' BCB', A' B' C ' C 1 2 Mà VA' ABC  VA.A' BC  Bh  1.2  suy VABC A' B' C'  3VA.A' BC   3 3 Câu 15 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 2019) Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác cạnh 3, cạnh bên và tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Khi đó thể tích khối lăng trụ là? A 27 B 27 Lời giải C D Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc C  xuống mp  ABC  , đó góc hợp CC  và   CH Theo đề bài: C CH  60  C H  C C.sin 60  mp  ABC  là C 3 Lại có ABC cạnh nên S ABC  Do đó VABC ABC   S ABC C H  Câu 16  4 27 Chọn  4 C (Sở Hà Nội 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông B , đường cao BH Biết A ' H   ABC  và AB  1, AC  2, AA '  Thể tích khối lăng trụ đã cho A 21 12 B C 21 D Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (165) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tam giác ABC vuông B có AB  1; AC  nên BC  22   Độ dài đường cao BH : BH  AB.BC 3  : 3 Suy AH  AC 2 Khi đó độ dài đường cao A ' H hình lăng trụ : A ' H  AA '2  AH   Thể tích khối lăng trụ đã cho : V  Câu 17  1 21 AB.BC A ' H   2 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu A ' xuống  ABC  là trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A a3 B a3 a3 24 Lời giải C D a3 Chọn A Gọi H là trung điểm BC suy A ' H   ABC   ' AH  300 Ta có  A ' A,  ABC    A ' A, AH   A Ta có AH  a a2 a S  Ta có A ' H  AH tan 30  và ABC Vậy V  A ' H S ABC  a3 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (166) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 18 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a ,  ABC  60 Chân đường cao hạ từ B trùng với tâm O đáy ABCD ; góc mặt phẳng  BBC C  với đáy 60 Thể tích lăng trụ bằng: A 3a 3 B 2a 3 3a Lời giải C D 3a Chọn D ABC  60 nên ABC là tam giác OH  BC ABCD là hình thoi nên AB  BC Lại có   HO  60 Góc mặt phẳng  BBC C  với đáy đó là B a 1 1 4 16         OH  2 3a a OH OB OC 3a a 3a 4 Theo giả thiết, BO là đường cao lăng trụ ABCD ABC D Ta có a 3a  HO  BO  OH tan B tan 60  4 VABCD ABC D  Sday h  a 3a 3a 3  Câu 19 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC A BC  có đáy là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc điểm A’ lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA’ và BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho A a3 3 B a3 24 a3 Lời giải C D a3 12 Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (167) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 BC  AM    BC  AA ' BC  A 'G  Kẻ MH  AA ' H , suy MH là đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AA’ và BC Tam giác MHA vuông H có AH  AM  AH  a A ' G GA MH GA a   A'G   Tam giác A ' GA đồng dạng tam giác MHA nên MH HA HA Ta có Thể tích khối lăng trụ là V  S ABC A ' G  Câu 20 a3 12 (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho hình lăng trụ ABC AB C  có AA  2a , tam giác ABC vuông   60 , góc cạnh bên BB  và mặt đáy  ABC  60 Hình chiếu vuông C và BAC góc B  lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối tứ diện A ABC theo a A 9a 208 B 3a 26 9a 26 Lời giải C D 27a 208 Ta có a 3a BG  BB  cos 60  2a  a  BI  BG  2 B G  BB  sin 60  2a Đặt AC  x  x  0  CI  x; BC  AC tan 60  x Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (168) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi đó  3a 2 3a 13 1 3a 13 3a 13 9a x  x     x   SABC  AC.BC  .2 3   26 2 26 26 26   9a 9a a  Vậy VA ABC  26 26 Câu 21 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu điểm A ' trên mặt phẳng  ABC  trùng vào trọng tâm G tam giác ABC Biết tam giác A ' BB ' có diện tích 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 6a B 3a 3a Lời giải C D 3a 3 Chọn B  AB  CM + Ta có   AB   ACM   AB  AM  AB  AM Nên SAAB  2a2 4a AM AB   AM  3 a Do ABC cạnh a nên GM  CM  + Trong AGM vuông G ta có AG  AM  GM  Vậy VABC ABC  AG.dt  ABC   Câu 22 a 21 a 21 a 3a3  (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C  có đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC  2a Hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H cạnh AB và AA  a Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V  a3 B V  a3 C V  2a 2 D V  a3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 (169) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn B Tam giác ABC vuông cân B cạnh AC  2a nên suy AB  a , có diện tích đáy 1 SABC  AB  a  a 2 H là hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng  ABC  nên AH là chiều cao khối lăng   trụ Thể tích là V  A ' H SABC H là trung điểm cạnh AB  AH  Suy V  A ' H SABC  Câu 23 a 2a a  A H  AA  AH  2a   a a3 a  2 (THPT Trần Phú 2019) Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh 2a , cạnh bên AA  2a Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm BC Thể tích khối lăng trụ đã cho là A a 3 B 2a 3 C 3a3 Lời giải D 2a Chọn A Gọi H là hình chiếu A ' trên mặt phẳng  ABC  , suy H là trung điểm BC Tam giác ABC cạnh 2a , suy AH  a Đường cao hình lăng trụ: h  A ' H  4a  3a  a 1 Vậy thể tích lăng trụ: V  SABC h  AH BC A ' H  a 3.2a.a  a 3 2 Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (170) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 24 Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác cạnh a , AA  3a Biết hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm cạnh BC Tính thể tích V khối lăng trụ đó theo a A V  a 3 B V  2a C V  3a D V  a Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm BC Theo bài ABC là tam giác cạnh a nên: AM  a a2 ; S ABC  Hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm M cạnh BC nên có: AM   ABC  ; AM  BC Xét tam giác AMA vuông M : AM  a  3a   a  AA  AM        2     2 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  là: VABC ABC   AM S ABC  Câu 25 a a 3a  4 (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB  a, AA  2a, hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm H cạnh BC Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A a3 14 B a3 14 a3 Lời giải C D a3 Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 (171) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A' 2a B' A C a H B Tam giác ABC vuông cân A  BC  a 2; AH  a BC  2 AH   ABC   AH  AH Trong tam giác AAH vuông H ta có: AH  AA2  AH  4a  Vậy VABC ABC  AH S ABC  a Câu 26 2a 14 a 14 a3 14 a.a  2 (SGD Hưng Yên) Cho lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác cạnh a , độ dài cạnh 2a bên , hình chiếu đỉnh A trên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  bằng: A a3 36 B a3 a3 12 Lời giải C D a3 24 Chọn C Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có: 2 a a2 a  2a   a  AG  AI    AG  ; AG  AA2  AG       3     V  B.h  a2 a a3  12 Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (172) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 27 (SGD Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a , 3a AA '  Biết hình chiếu vuông góc A ' lên  ABC  là trung điểm BC Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' là A a3 B 3a3 a3 Lời giải C D 2a Chọn B a a2  SABC  Gọi H là trung điểm BC , vì tam giác ABC nên ta có AH  Theo đề: A ' H   ABC   A ' H  AH Trong tam giác vuông A ' AH có Câu 28 A ' H  A ' A2  AH  9a 3a a   4 Suy VABC A ' B 'C '  B.h  a a 3a  (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A ' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết khoảng cách BC và AA ' A a3 36 B a3 a Thể tích khối chóp B ' ABC bằng: a3 18 Lời giải C D a3 12 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 (173) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M là trung điểm BC , MH  AA ' H Ta có BC   AA ' M   BC  HM Do đó HM  d  AA ', BC  a a   HM   HAM   300 , AG   sin HAM AM 2 a a A ' G  AG.tan 300  , S ABC  AM BC  AM  a3 VB ' ABC  A ' G.S ABC  36 Câu 29 (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ACBD là hình thoi cạnh a , biết A ABC là hình chóp và AD hợp với mặt đáy góc 45 Thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D là : A a3 B a3 12 C a 3 D a3 Lời giải Ta có  AD,  ABCD     ADG  45 Ta giác ABC cạnh a nên BG  a 2a , DB  a , DG  BG  3 Tam giác ADG vuông cân G nên AG  DG  VABCD ABC D  S ABCD AG  Câu 30 2a 2a a.a  a3 (Chuyên Long An - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường AA và BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC  A V  a3 B V  a3 24 C V  a3 12 D V  Lời giải Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 (174) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Vì AG   ABC  và tam giác ABC nên AABC là hình chóp Kẻ EF  AA và BC   AAE  nên d  AA, BC   EF  a Đặt AG  h a 3 Ta có AA  h      Tam giác AAG đồng dạng với tam giác EAF nên 2 a 3 a AA AG AG a a    AG.EA  AA.FE  h  h   h  EA FA FE   a a a3     Thể tích V khối lăng trụ ABC A B C là V  AG.S ABC  12 Câu 31 (Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA và BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC  A V  a3 B V  a3 C V  a3 24 D V  a3 12 Lời giải Gọi M là trung điểm BC Vẽ MH  AA  H  BC  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 (175) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có AM  BC , AG  BC  BC   AAG   BC  MH  d  AA, BC   MH AH  AM  MH  3a 3a 3a   16 MH AG   AG  MH AG  Ta có   tan GAH AH AG AH Vậy V  S ABC AG  Câu 32 a a  a 3a a a a3  12 (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và  ABC  120 Góc cạnh bên AA và mặt đáy 60 Đỉnh A cách các điểm A , B , D Tính theo a thể tích V khối lăng trụ đã cho A V  3a B V  a3 C V  a3 D V  a 3 Lời giải   60 nên ABD là tam giác Ta có tam giác ABD cân A và BAD Gọi H là trọng tâm tam giác ABD Vì A cách A , B , D nên AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Do đó AH   ABD  Suy góc AA và đáy  ABCD  là góc  AAH  60 Ta có AH  a 3a AO  Do đó AH  AH tan 60  2 Ngoài S ABCD  2S ABD  a2 a2  Thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D là V  S ABCD AH  a 3a 3a 3  2 Câu 33 (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác vuông A , AB  a , AC  a Hình chiếu vuông góc đỉnh A lên  ABC  trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm M cho CM  2MA Biết a khoảng cách hai đường thẳng AM và BC Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (176) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A V  a 3 B V  a C V  3a D V  2a 3 Lời giải Kẻ MN // BC , N  AB HK  MN , HI  AK d  AM ; BC   d  BC;  AMN    d  H ;  AMN    HI  HI  a 2 AT 1 a Tam giác ABC vuông A      HK  AT  2 AT AB AC 3a 3 1 1  2     AH  a Tam giác AHK vuông H  2 AH HI HK a a a Kẻ AT // HK , AT  MN  P  HK  PT  a3 Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là: V  AH S ABC  a .a.a  2 HẾT Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 (177) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC  , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC  và , hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng  ABC   là trung điểm M BC  và AM  Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C D 3 Câu (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và CC ' và , hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') là trung điểm M B ' C ' và A ' M  Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C D Câu (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' là , khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' là 1; Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' là trung điểm M B ' C ' , A ' M  A Câu B 15 Thể tích khối lăng trụ đã cho 15 15 C D 3 (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC  Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC  và , hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng  ABC   là trung điểm M BC  và AM  Thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 5 B C D 15 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy là tam giác vuông   120 Gọi M là trung điểm cạnh BB  (tham   90 , BAA A , AB  , AC  Góc CAA khảo hình vẽ) Biết CM vuông góc với AB , tính thể tích khối lăng trụ đã cho   33 A V  Câu 15  B V   33   33 C V   D V   33 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân C , AB  2a và góc tạo hai mặt phẳng  ABC   và  ABC  60 Gọi M , N lần Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (178) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 lượt là trung điểm AC  và BC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ 3a 6a 6a 3a3 A B C D 24 24 Câu Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  Gọi D , E là trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD  AE 21 21 21 21 A B C D 27 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông  BC nhọn Mặt phẳng ABC  600 Biết tứ giác BCCB là hình thoi có B A , cạnh BC  2a và   BCCB vuông góc với  ABC  và mặt phẳng  ABBA tạo với  ABC  góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 7a3 B a3 C 7a3 D 7a3 21 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy là tam giác Mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 300 và tam giác ABC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A 64 B C 16 D Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông A, AB  a, BC  a Hình chiếu vuông góc đỉnh A’ lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm cạnh H cạnh AC Góc hai mặt phẳng  BCB ' C ' và  ABC  600 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: 3a3 3a3 3a3 a3 A B C D 8 16 Câu 11 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a Góc hai mặt phẳng  SBC  và  SCD   , với cos  A Câu 12 Câu 13 Thể tích khối chóp đã cho a3 B a C 2a D 2a (Sở Ninh Bình) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  , AD  , AC  và mặt phẳng  AAC C  vuông góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng  AAC C  ,  AABB  tạo với góc  ABCD ABC D là A V  12 B V  có tan   C V  Thể tích khối lăng trụ D V  10 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác vuông  BC nhọn Biết A , cạnh BC  2a và  ABC  60 Biết tứ giác BCC B là hình thoi có B  BCCB vuông góc với  ABC  và  ABBA tạo với  ABC  góc 45 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  a3 3a3 6a a3 A B C D 7 7 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (179) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc điểm A' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA' và BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ đó a3 A 12 Câu 15 a3 B a3 C a3 D 24 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực BC các góc 300 và 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: a3 a3 a3 A VS ABC  B VS ABC  C VS ABC  D VS ABC  a3 Câu 16 ABCD (Chu Văn An Hà Nội 2019) Cho tứ diện có BC  BD  AC  AD  1,  ACD    BCD  và  ABD    ABC  Thể tích tứ diện ABCD 3 2 A B C D 27 27 27 Câu 17 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA  a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) Thể tích khối chóp S ABCD 10 A 3a3 B 9a3 C 4a D 12a3 Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác 15 cạnh , biết khoảng cách từ A đến  SBC  là , từ B đến  SCA là , từ C đến  SAB  là 10 30 và hình chiếu vuông góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối 20 chóp VS ABC 1 1 A B C D 36 48 12 24 Câu 19 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a   SCB   900 Gọi M là trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  MBC  SAB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC 3a 3a 3a A V  B V  C V  12 Câu 20 D V  3a 12 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có các cạnh SA  BC  ; SB  AC  ; SC  AB  Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 12 B 390 C 390 D 390   60 ,  Câu 21 Cho hình chóp S ABC có  ASB  CSB ASC  90 , SA  SB  a , SC  3a Tính thể tích khối chóp S ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (180) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A a3 B a3 18 C a3 12 a3 D Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh 2a Gọi M là trung điểm cạnh SA ,   SCB   90 , biết khoảng cách từ A đến  MBC  6a Thể tích khối chóp SAB 21 S ABC 10a 3 8a 39 4a 13 A B C D 2a 3 3 Câu 23 (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a    90 Gọi M là trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) SAB  SCB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC 3a 3a 3a 3a A V  B V  C V  D V  12 12 Câu 24 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD  BC  , AC  BD  , AB  CD  Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C 2047 12 2470 12 D   CBD   90; AB  a; AC  a 5;  Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB ABC  135 Biết góc hai mặt phẳng  ABD  ,  BCD  30 Thể tích tứ diện ABCD là A a3 B a3 C a3 a3 D Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC AB C  Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC  a , góc hai mặt phẳng  ABC  và  BCC B   với cos   lăng trụ ABC A B C  3a A V  Câu 27 B V  3a C V  a3  CCDD  A Tính thể tích khối D V  3a  BBC C  và mặt phẳng 60 , Tính thể tích khối hộp đã cho B C D 3 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6, AD  , AC  và mặt phẳng  AAC C  vuông góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng  AAC C  ,  AABB  tạo với góc  thỏa mãn tan   ABCD ABC D bằng? A V  B V  12 Câu 29 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD ABC D có AB vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Góc AA với mặt phẳng  ABCD  45 Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và DD ' Góc mặt phẳng Câu 28 C V  10 Thể tích khối lăng trụ D V  (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy là tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a Góc mặt phẳng  AB C  và mặt phẳng  BCC B  60 Tính thể tích V khối đa diện AB CAC  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (181) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A a 3 B 3a 3 C a 3 D a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (182) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC  , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC  và , hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm M BC  và AM  Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C D 3 Lời giải Chọn A Cắt lăng trụ mặt phẳng qua A và vuông góc với AA ta thiết diện là tam giác AB1C1 có các cạnh AB1  ; AC1  ; B1C1  Suy tam giác AB1C1 vuông A và trung tuyến AH tam giác đó Gọi giao điểm AM và AH là T ; AH   MH  AM  A  60  AA  Do đó MA   A cos MA  H  30 Suy MA Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  thể tích khối lăng trụ AB1C1 AB2C2 và Ta có: AM  V  AA.S AB1C1  Câu   (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và CC ' và , hình Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (183) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') là trung điểm M B ' C ' và A ' M  Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3 B C D Lời giải Chọn D Gọi A1 , A2 là hình chiếu A trên BB ' , CC ' Theo đề AA1  1; AA2  3; A1 A2  Do AA12  AA2  A1 A2 nên tam giác AA1 A2 vuông A Gọi H là trung điểm A1 A2 thì AH  A1 A2  Lại có MH  BB '  MH  ( AA1 A2 )  MH  AH suy MH  AM  AH  nên cos(( ABC ), ( AA1 A2 ))  cos( MH , AM )  cos HMA  Suy S ABC  S AA1 A2 cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) MH  AM  Thể tích lăng trụ là V  AM  S ABC  Nhận xét Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu S '  S cos  Câu (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' là , khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' là 1; Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' là trung điểm M B ' C ' , A ' M  15 Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C 15 D Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 15 (184) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn C Kẻ AI  BB ' , AK  CC ' ( hình vẽ ) Khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' là 1;  AI  , AK  Gọi F là trung điểm BC A ' M  Ta có 15 15  AF  3 AI  BB '    BB '   AIK   BB '  IK BB '  AK  Vì CC '  BB '  d (C, BB ')  d ( K , BB ')  IK   AIK vuông A Gọi E là trung điểm IK  EF  BB '  EF   AIK   EF  AE Lại có AM   ABC  Do đó góc hai mặt phẳng  ABC  và  AIK  là góc EF và   30   AE    FAE  Ta có cos FAE AM góc  AME  FAE AF 15 Hình chiếu vuông góc tam giác ABC lên mặt phẳng  AIK  là AIK nên ta có:  1  S   S ABC S AIK  S ABC cos EAF ABC 15 AF  AM   AM  AMF  Xét AMF vuông A : tan  AM 3 Vậy VABC A ' B 'C '  2 15  3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (185) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC  Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC  và , hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng  ABC   là trung điểm M BC  và AM  Thể tích khối lăng trụ đã cho A B 15 C D 15 Lời giải Chọn D Gọi J , K là hình chiếu vuông góc A lên BB và CC  , H là hình chiếu vuông góc C lên BB Ta có AJ  BB 1  2 BB   AJK   BB  JK  JK //CH AK  CC  AK  BB Từ 1 và   suy  JK  CH  Xét AJK có JK  AJ  AK  suy AJK vuông A Gọi N là trung điểm BC , xét tam giác vuông ANF ta có: Gọi F là trung điểm JK đó ta có AF  JF  FK  AF    60 ( AN  AM  vì AN //AM và AN  AM ) cos NAF    NAF AN S 1 Vậy ta có SAJK  AJ AK  1.2   SAJK  SABC cos 60  SABC  AJK    cos 60 2 15    Xét tam giác AMA vuông M ta có MAA AMF  30 hay AM  AM tan 30  Vậy thể tích khối lăng trụ là V  AM S ABC  Câu 15 15  3 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy là tam giác vuông   120 Gọi M là trung điểm cạnh BB    90 , BAA A , AB  , AC  Góc CAA (tham khảo hình vẽ) Biết CM vuông góc với AB , tính thể tích khối lăng trụ đã cho Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (186) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   33 A V   B V    33  33 C V   D V   33 Lời giải Chọn C Do AC  AB , AC  AA nên AC   ABBA  Mà AB   ABBA  nên AC  AB Có AB  AC , AB  CM nên AB   AMC   AB  AM         Đặt AA  x  x   Ta có AB  AB  AA và AM  AB  BM  AB  AA            1 Suy AB AM  AB  AA  AB  AA   AB  AA2  AB AA 2   1   22  x  2.x.cos120   x  x   AB  AA2  AB AA.cos BAA 2 2 2    33 1 Do AB  AM nên AB AM    x  x    x  2        33    33 sin120  Lại có S ABB A  AB AA.sin BAA (đvdt) 2  33  33 1 Do AC   ABBA  nên VC ABBA  AC.S ABB A   (đvtt) 3 2 Mà VC AB C   VABC AB C   VC ABB A  VABC AB C   VC AB C   VABC AB C  3   3  33  33 Vậy VABC AB C   VC ABB A   (đvtt) 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (187) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân C , AB  2a và góc tạo hai mặt phẳng  ABC   và  ABC  60 Gọi M , N là trung điểm AC  và BC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ A 3a 24 B 6a C 6a 24 D 3a3 Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm AB , suy AB   CIC   nên góc  C AB  và IC  60  CI , C I  , suy C AB  IC   tan 60  a Tam giác C IC vuông C nên C C  CI  tan C Diện tích tam giác ABC là S ABC   AB  CI  a Thể tích khối lăng trụ là V  CC   S ABC  a  a  a 3 Trong  ACC A  , kéo dài AM cắt CC  O Suy C M là đường trung bình OAC , đó OC  2CC   2a 1 1 Thể tích khối chóp VO ACN   S ACN  OC    S ABC  2CC   V 3 1 1 Thể tích khối chóp VO.C ME   SC ME  OC    S ABC   OC   V 3 24 1 7 3a3 Do đó VC EM CAN  VO ACN  VO.C ME  V  V  V   a3  24 24 24 24 Vậy phần thể tích nhỏ là VC EM CAN  3a3 24 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/  ABC  là góc (188) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA  Gọi D , E là trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD  AE A 21 B 21 C 21 D 21 27 Lời giải Chọn D Gọi O là tâm tam giác ABC Do S ABC là hình chóp nên ta có SO   ABC            Ta có AE  SE  SA  SC  SA ; BD  SD  SB  SA  SB 2  ASC  BSC ASB   Đật            BD  AE  BD AE    SA  SB   SC  SA   2          1  SASC  SA  SB.SC  SA.SB  2  Áp dụng định lý hàm số côsin tam giác SAC , ta có:  cos    cos   cos    cos   AC  SA2  SC  2SA.SC.cos   Diện tích tam giác ABC là S ABC   AC  3 2 2 AO   ; SO  SA2  AO  3 3 1 21  Thể tích khối chóp S.ABC là V  SO.S ABC  3 3 27 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (189) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông  BC nhọn Mặt A , cạnh BC  2a và  ABC  600 Biết tứ giác BCCB là hình thoi có B phẳng  BCCB  vuông góc với  ABC  và mặt phẳng  ABBA  tạo với  ABC  góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 7a3 B 7a3 7a3 C D 7a3 21 Lời giải Chọn B B' C' A' B H C K A  BCC B    ABC  Có  Do đó  BCCB kẻ BH vuông góc với BC H  BCC B    ABC   BC thì BH   ABC  hay BH là chiều cao hình lăng trụ Trong  ABC  kẻ HK vuông góc với AB K Khi đó AB   BHK   ABBA   ABC   AB  Ta có  BHK   AB   BHK    ABBA   BK ,  BHK    ABC   KH  Góc  ABBA  và  ABC  chính là góc B K và KH   KH là góc nhọn Do đó B KH  45 BHK vuông H nên B  KH  45  BHK vuông cân H  BH  KH BHK vuông H có B Xét hai tam giác vuông B BH và BKH , ta có  BH  tan B  BH KH   sin  ABC  sin 60  BH BH BH 1 21     BH   cos B BH     sin B  1    BB  tan BBH   1  BH  BB Ta có S ABC  21 2a 21 (vì BCCB là hình thoi có cạnh BC  2a )  7 1 AB AC  BC cos 600 2  Vậy VABC ABC   BH S ABC   1 a2 BC.sin 600  2a .2a  2 2  2a 21 a 3 a  7 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (190) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy là tam giác Mặt phẳng  ABC  tạo với đáy góc 300 và tam giác ABC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A 64 B C 16 Lời giải D Chọn D Gọi I là trung điểm cạnh BC Vì ABC ABC là lăng trụ đứng có đáy là tam giác nên ABC ABC  là khối lăng trụ Do đó ta có: AB  AC Suy tam giác ABC cân A  AI  BC Mặt khác: tam giác ABC  AI  BC Suy BC   AIA  Vậy góc mặt phẳng  ABC  và mặt đáy góc  AIA  300 Ta có: tam giác ABC là hình chiếu tam giác ABC trên mặt đáy nên S ABC  S ABC cos   8.cos 300  Đặt AB  x  S ABC  x2   x  4 x   AA  AI tan  AIA  Suy ra: VABC ABC   AA.S ABC  2.4  Ta có: AI  Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông A, AB  a , BC  2a Hình chiếu vuông góc đỉnh A’ lên mặt phẳng  ABC  là trung điểm cạnh H cạnh AC Góc hai mặt phẳng  BCB ' C ' và  ABC  600 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (191) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 3a3 B 3a C 3a3 D a3 16 Lời giải Chọn C Ta có BC  a Từ H kẻ HI vuông góc với BC HI HC AB.HC a   HI   AB BC BC Gọi K là trung điểm A’C’ từ K kẻ KM vuông góc với B’C’ Ta có HIC  BAC nên Tứ giác KMIH là hình bình hành nên KM  IH  a Gọi N là điểm trên B’C’ cho M là trung điểm C’ N  A ' N  KM  a  Do A ' H   ABC  nên  A ' NIH    ABC  Mà A ' N  HI nên HIN là góc tù Suy   HIN  1200  A ' NI  600 Gọi H ’ là hình chiếu I lên A’ N suy H ’ là trung điểm A’ N 3a  A ' H  IH '  NH ' tan 60   V  A ' H S ABC  Câu 11 3a a 3 3a  (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a Góc hai mặt phẳng  SBC  và  SCD   , với cos  A a3 3 Thể tích khối chóp đã cho B a3 C 2a D 2a Lời giải Chọn A Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (192) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đặt AD  m , m  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, gốc tọa độ trùng với A , tia Ox, Oy , Oz trùng với các tia AB, AD, AS Khi đó tọa độ các điểm là: B  a;0;0  ; D  0; m;0  ; C  a; m;0  ; S  0;0; a      SB   a;0;  a  ; BC   0; m;    SB, BC    ma;0; ma      SD   0; m;  a  ; DC   a; 0;0    SD, DC    0;  a;  ma    Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng  SBC  là  SB, BC    ma; 0; ma  , mặt phẳng  SCD  là    SD, DC    0;  a ;  ma    Theo giả thiết: cos   m2 a 2  a a  m ma    3m  a  m  m  a 1 a3 Thể tích khối chóp S ABCD V  SA.S ABCD  a.a.a  3 Câu 12 (Sở Ninh Bình) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  , AD  , AC  và mặt phẳng  AAC C  vuông góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng  AAC C  ,  AABB  tạo với góc  có tan   ABCD ABC D là A V  12 B V  C V  Lời giải Thể tích khối lăng trụ D V  10 Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (193) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M là trung điểm AA Kẻ AH vuông góc với AC H , BK vuông góc với AC K , KN vuông góc với AA N Do  AAC C    ABCD  suy AH   ABCD  và BK   AAC C   BK  AA    AA   BKN   AA  NB suy  AAC C  ,  AABB   KNB   Ta có: ABCD là hình chữ nhật với AB  , AD  suy BD   AC Suy ACA cân C Suy CM  AA  KN // CM  AK AN NK   AC AM MC Xét ABC vuông B có BK là đường cao suy BK  AB  AK AC  AK  BA.BC  và AC AB 2 AC    KB   KN  Xét NKB vuông K có tan   tan KNB KN 4 Xét ANK vuông N có KN  , AK  suy AN  3  AM   AA  2     AM MC CM  2 Ta lại có: AH AC  CM AA  AH  CM AA 2.2   AC 3 Suy thể tích khối lăng trụ cần tìm là: V  AH AB AD  Câu 13  (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có đáy ABC là tam giác  BC nhọn vuông A , cạnh BC  2a và  ABC  60 Biết tứ giác BCC B là hình thoi có B Biết  BCCB vuông góc với  ABC  và  ABBA tạo với  ABC  góc 45 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A a3 B 3a3 C 6a D a3 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (194) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B  BC là góc nhọn nên H Gọi H là chân đường cao hạ từ B tam giác BBC Do góc B thuộc cạnh BC  BCCB vuông góc với  ABC  suy BH là đường cao lăng trụ ABC ABC  BCCB là hình thoi suy BB  BC  2a Tam giác ABC vuông A , cạnh BC  2a và  ABC  60 suy AB  a , AC  a Gọi K là hình chiếu H lên AB , tam giác ABC là tam giác vuông A nên BK BH   BH  BK HK //AC  BA BC Khi đó mặt phẳng  BHK  vuông góc với AB nên góc hai mặt phẳng  ABC  là góc  ABBA và   KH  45  BK  h , với BH  h KH Theo giả thiết, B B 2 Xét tam giác vuông BBH có BH  BH  BB hay h  4BK  4a 1 2 Xét tam giác vuông BBK : BK  BK  BB hay 2h  BK  4a  2 Từ 1 và   ta có h  3a Vậy thể tích khối lăng trụ ABC ABC  V  S ABC h  Câu 14 3a3 AB.BC.h  (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc điểm A' lên mặt phẳng  ABC  trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA' và BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ đó a3 A 12 a3 B a3 C a3 D 24 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (195) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 + Gọi M là trung điểm BC , H là trọng tâm tam giác ABC  A ' H   ABC  + AM  BC AH  BC  BC   AA' M  + Trong tam giác AA' M , kẻ M N  A A ' N A MN  BC M vì BC   AA' M  c a  MN là đoạn vuông góc chung AA' và BC  MN  + Tam giác AA' M có S AA ' M b a B 1  A ' H AM  MN A A ' 2 M C  A ' H AM  MN AA '  A ' H AM  MN A ' H  AH  A' H  MN A ' H  AH  AM 2 a 3 a A' H    3  a 2 a 3 A' H      2  a 3 a  A ' H  A ' H     A ' H    2 a a2 a3  12 Vậy thể tích khối lăng trụ VABC A' B 'C '  A ' H SABC  Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực BC các góc 300 và 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: A VS ABC  a3 B VS ABC  a3 C VS ABC  a3 D VS ABC  a3 Lời giải Chọn C Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (196) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 + Lấy M là trung điểm BC , tam giác ABC cân A  AM  BC SA  BC  BC   SAM  trung điểm M   SAM  là mặt phẳng trung trực cạnh BC   450 Góc SB và mặt phẳng  SAM  = góc SB và SM = BSM   300 Góc SB và mặt phẳng  ABC  = góc SB và AB = SBA BC   SAM   BC  SM  khoảng cách từ S đến cạnh BC SM  a + Tam giác vuông cân SBM có BM  a , SB  a  BC  BM  2a Tam giác vuông SAB có sin 30  SA a a ; AB   SA  a  SB 2 Tam giác vuông ABM có AM  a 6 a 2 AB  BM     a    2 1 a a a3 2a  Vậy thể tích khối chóp S ABC là VS ABC  SA.SABC  3 2 Câu 16 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho tứ diện ABCD có BC  BD  AC  AD  1,  ACD    BCD  và  ABD    ABC  Thể tích tứ diện ABCD A B 27 C 27 D 2 27 Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (197) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi H , K là trung điểm cạnh CD , AB Đặt AH  x,  x   ACD và BCD cân A và D nên AH và BH là hai đường cao tương ứng  ACD    BCD    ACD    BCD   CD  AH   BCD    ACD   AH  CD Do đó AH  BH 1 ACD  BCD  c.c.c  đó AH  BH (2 đường cao tương ứng) (2) Từ (1), (2) suy AHB vuông cân H  AB  AH  x (3) Chứng minh tương tự ta CKD vuông cân K CD 2.HD  CK    AD  AH   x 2 Mặt khác, ACD cân A có CK là đường cao nên: AB  AK  AC  CK   1  x  (4) Từ (3), (4) ta có: x   1  x   x   x  1  x2  x 3  x  0 CD  2.HD   AH  VABCD  3 1 6 3 AH S BCD   3 3 27 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (198) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 17 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA  a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) Thể tích khối chóp S ABCD 10 A 3a3 B 9a3 C 4a3 Lời giải D 12a3 Chọn C Gọi H là tâm hình vuông ABCD nên SH  ( ABCD) Đặt m  HA , n  SH Do tam giác SAH vuông H nên m2  n2  11a2 Xây dựng hệ trục tọa độ sau: H (0;0;0) , B(m ;0;0) , D(m ;0;0) , C (0; m ;0) , S (0;0; n) x y z Khi đó phương trình mặt phẳng (SBC) là:    hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng m m n  (SBC) là n1  (n; n; m) x y z    hay véctơ pháp tuyến mặt Khi đó phương trình mặt phẳng (SCD) là: m m n  phẳng (SBC) là n2  (n; n; m)   1 | n1 n2 |    hay Do cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) nên 10 10 | n1 | | n2 | m2 mà n  11a  m  2 2n  m 10 Vậy m2 m2     m  2a  m  a  SH  3a n  m 10 22a  m 10 m  HA  a nên AB  2a , Chiều cao hình chóp là SH  3a Diện tích hình vuông là S ABCD  a 1 Thể tích khối chóp S ABCD là: V  S ABCD SH  4a 3a  4a3 3 Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh , biết khoảng cách từ A đến  SBC  là 15 , từ B đến  SCA là , từ C đến  SAB  10 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (199) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 30 và hình chiếu vuông góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích 20 khối chóp VS ABC là A 36 B 48 C 12 D 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P là hình chiếu H lên các cạnh AC , BC , AB h  Đặt SH  h  VS ABC  h 12 Ta có AP  S SAB 6VS ABC h 30  S SAB   :  h 10 AB 20 d  C;  SAB   Tương tự, tính HM  2h, HN  h  PH  SP  SH  3h Ta có S ABC  S HAB  S HAC  S HBC  Vậy VS ABC  Câu 19 3  HP  HM  HN   3h   h  12 3  12 12 48 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a   SCB   900 Gọi M là trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng  MBC  SAB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  3a 12 B V  3a C V  3a 3 D V  Lời giải Chọn B Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a 12 (200) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021   SCB   900  S , A, B, C cùng thuộc mặt cầu đường kính SB Vì SAB Gọi D là trung điểm BC , I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có OI   ABC  Gọi H là điểm đối xứng với B qua O  SH   ABC  (vì OI là đường trung bình SHB ) Gọi BM  AI  J , ta có J trọng tâm SAB Trong AID , kẻ JN / / IO Khi đó, vì BC   JND  nên  JND    MBC  Kẻ NE  JD , ta có NE   MBC  Do đó d  N ;  MBC    NE d  A,  MBC   AD AD AD AD     d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD 10a Suy ra, d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 1 10 a Xét JND có nên NJ     OI  NJ  5a  SH  10a 2 NE ND NJ Ta có  1 a 3a Vậy VSABC  SH S ABC  10a  3 Câu 20 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có các cạnh SA  BC  ; SB  AC  ; SC  AB  Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 12 B 390 C 390 D 390 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (201) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 + Dựng hình chóp S A ' B ' C ' cho A là trung điểm B ' C ' , B là trung điểm A ' C ' , C là trung điểm A ' B ' + Khi đó SB  AC  BA '  BC '  nên SA ' C ' vuông S và SA '2  SC '2   2.SB   64 (1)  SA '2  SB '2  80 (2) + Tương tự SB ' C ' , SA ' B ' vuông S và   SB '  SC '  36 (3) + Từ 1 ;   ;  3 ta suy SC '  10 ; SB '  26 ; SA '  54 390 1 + Ta tính VS A ' B 'C '  SC ' .SA '.SB '  390 và VS ABC  VS A ' B 'C '  (đvtt) 4   60 ,  ASB  CSB Câu 21 Cho hình chóp S ABC có  ASC  90 , SA  SB  a , SC  3a Tính thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 18 C a3 12 D a3 Lời giải Chọn A Cách 1: Gọi M là điểm nằm trên SC cho SM  SC  a Ta có: Tam giác SAM vuông S  AM  SA2  SM  a Tam giác SBM là tam giác có độ dài cạnh SM  SB  BM  a Tam giác SAB là tam giác có độ dài cạnh SA  SB  AB  a Vậy AB  BM  AM  Tam giác ABM là tam giác vuông B Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (202) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  ABM  ASM  SI  IB  a  IB2  SI  SB2  Tam giác SIB vuông I  SI  IB   SI   ABM   SI là đường cao khối chóp SABM  SI  AM 1 a3 Thể tích khối chóp S ABM là VS ABM  SABM SI  AB.BM SI  ( đvtt ) 12 Mà VS ABM SM a3    VS ABC  3.VS ABM  VS ABC SC abc  cos   cos   cos   cos  cos  cos   ASC ;   BSC Trong đó a  SA ; b  SB ; c  SC ;    ASB ;    Cách 2: Ta có VS ABC   VS ABC  a.a.3a a3 ( đvtt )  cos 60  cos 60  cos 90  cos 60.cos 60.cos 90  Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh 2a Gọi M là trung điểm cạnh SA ,   SCB   90 , biết khoảng cách từ A đến  MBC  6a Thể tích khối chóp SAB 21 S ABC A 10a 3 B 8a 39 4a 13 C D a 3 Lời giải Chọn A S M H J E A N I C O D B   Vì SAB  SCB  90  S , A, B , C cùng thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D là trung điểm BC , I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có OI   ABC  Gọi H là điểm đối xứng với B qua O  SH   ABC  (vì OI là đường trung bình SHB ) Gọi BM  AI  J , ta có J trọng tâm SAB Trong AID , kẻ JN // IO Khi đó, vì BC   JND  nên  JND    MBC  Kẻ NE  JD , ta có NE   MBC  Do đó d  N ;  MBC    NE Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (203) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 d  A,  MBC   AD AD AD AD     d  N ,  MBC   ND AD  AN AD  AO AD  AD 10a Suy ra, d  N ,  MBC    d  A,  MBC    21 Ta có Xét JND có  1 10 a 5a 10a nên NJ     OI  NJ   SH  NE ND NJ 3 Vậy VSABC Câu 23 1 10a  2a  10 3a  SH S ABC   3 (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a    90 Gọi M là trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) SAB  SCB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  3a 12 B V  3a C V  3a D V  3a 12 Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm SB   SCB   90 nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Do SAB Gọi O là tâm đáy ABC  OI  ( ABC ) Gọi H là hình chiếu S lên mặt phẳng  ABC  Ta có AB  ( SAH )  AB  AH Tương tự, BC  CH Suy H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , có tâm là O nên O là trung điểm BH Do đó, SH  2OI Gọi N là trung điểm BC  IN // SC nên BC  IN  BC   AIN  (*) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và K là hình chiếu G lên mặt phẳng  ABC   K  AO và GK // OI  AK  AO  AN  KN  AN 9 10a  d  K , MBC   d  A,  MBC   21 (*) 10a Kẻ KE  GN  KE  BC  KE   MBC   d  K ,  MBC   KE  21 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (204) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Tam giác GKN vuông K có 1 10a    GK   SH  2OI  3GK  10a 2 KE GK KN a2 5a 3 Vậy thể tích khối chóp S ABC là V  10a  Câu 24 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD  BC  , AC  BD  , AB  CD  Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C 2047 12 D 2470 12 Lời giải Chọn D Dựng tứ diện D ABC  cho A , B , C là trung điểm BC , AC  , AB Theo cách dựng và theo bài có: AC  BC   BD Xét tam giác DAC  có: BD là đường trung tuyến và AB  BC  BD  DAC  vuông D Chứng minh tương tự ta có: DBC  , DAB vuông D Khi đó tứ diện D ABC  có các cạnh DA , DB , DC  đôi vuông góc với 1 Ta có: VABCD  VD ABC   DA.DB.DC  24  DA  38  DA2  DB2  48  DA2  38    Theo bài ta có:  DA2  DC 2  64   DB2  10   DB  10  DB2  DC 2  36  DC 2  26     DC   26 Vậy VABCD  1 2470 DA.DB.DC   38 10 26  24 24 12   CBD   90; AB  a; AC  a 5;  Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB ABC  135 Biết góc hai mặt phẳng  ABD  ,  BCD  30 Thể tích tứ diện ABCD là A a3 B a3 C a3 D a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (205) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn C Gọi H thuộc mặt phẳng  ABC  và DH   ABC   BA  DA  BC  BD  BA  AH Tương tự   BC  BH Ta có   BA  DH  BC  DH   90   ABC  135; CBH Tam giác ABH có AB  a;  ABH  45 suy ABH vuông cân A  AH  AB  a Áp dụng định lý côsin ta có BC  a 1 a2 Diện tích tam giác ABC : S ABC  BA.BC.sin  ABC  a.a  2 2 Kẻ HE , HF vuông góc với DA , DB Suy HE   ABD  , HF   BCD  nên góc hai mặt phẳng  ABD  ,  BCD  góc  EHF Tam giác EHF vuông E , ta có HE  a.DH a  DH  Mặt khác: cos EHF , HF  DH a 2a  DH HE DH  2a  DH  a   HF 2.DH  2a a3 Thể tích tứ diện ABCD là VABCD  DH SABC  Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC AB C  Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng  ABC  a , góc hai mặt phẳng  ABC  và  BCC B   với cos   Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C  A V  3a B V  3a C V  a3 D V  Lời giải Chọn B Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a (206) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A' C' B' E K y α a A C M x B Gọi M , N là trung điểm AB và BC   AB  CC   AB   MCC    ABC    MCC  Do   AB  CM   Kẻ CK vuông góc với CM K thì ta CK   ABC  , đó CK  d C ;  ABC   a Đặt BC  x, CC   y,  x  0, y  0 , ta được: CM  x 1 1      1 2 CM CC  CK 3x y a    , EC  KC  Kẻ CE  BC  E , ta KEC sin  Lại có a 1 12 a 12 11 1 11  2  2 2 x y CE 12a a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C  là: Giải 1 , 2 ta x  2a, y  V  y Câu 27 x a 4a 3 a   4 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD ABC D có AB vuông góc với mặt phẳng đáy  ABCD  Góc AA với mặt phẳng  ABCD  450 Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và DD ' Góc mặt phẳng  BBC C  và mặt phẳng  CCDD  A 60 , Tính thể tích khối hộp đã cho B C Lời giải D 3 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (207) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  BA  450 Ta có AB   ABCD    AA, ABCD    AAB  B Vì d  A, BB   d  A, BB   AH  ( H là hình chiếu A lên BB ) Suy ta có A' B '  A' H  và A ' B  A ' B ' tan  BB ' A '   sin  BB ' A Gán hệ trục tọa độ gốc A với điểm B  Oz , B   Oy và mặt phẳng  ABC D    Oxy  Ta có     tọa độ các điểm A  0, 0,  , B 0, 0, , B 0, 2,   Ta có D   Oxy  , giả sử D  a, b,  ; a   C  a , b  2,   Chọn n  BB ' C ' C    b, a, a  và n  DD' C ' C   1, 0,  Vì góc mặt phẳng  BBC C  và mặt phẳng  CC DD  60 Ta có cos  600   b b  2a b a  xa  Mặt khác ta có đường thằng DD  có phương trình  y  b  t Vì khoảng cách từ A đến  z t  đường thẳng DD  Ta có:    AD, u DD '  b  2a   d  A, DD0   d  A, DD      b  2a   b    u DD '   Trường hợp 1: D 3, 2,0  VABCD A' B 'C ' D '  A ' B.S A' B 'C ' D '   A ' B ', A ' D '      D 3,  2,0  V  A ' B S  Trường hợp ABCD A ' B ' C ' D ' A' B 'C ' D '  A ' B ', A ' D '    Câu 28   (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  6, AD  , AC  và mặt phẳng  AACC  vuông góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng  AAC C  ,  AABB  tạo với góc  thỏa mãn tan   trụ ABCD ABC D bằng? A V  B V  12 C V  10 Lời giải Thể tích khối lăng D V  Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (208) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H là hình chiếu B lên  ACCA  , BH   ACCA AC  AB  BC  ; BH  AB.BC = AC  ; HC  BC  BH  ; AH  AC  HC  Kẻ HK  AA,  K  AA  , AA  BH vì BH   ACCA  nên AA  BK  ; BKH vuông H ABBA ;  ACCA   BKH  BH  KH    ; AK  AH  AK  KH KH Gọi M là trung điểm AA Tam giác ACA cân C ' ,  AC  AC  AC  3  tan BKH  CM  AA  KH / / CM AK AC AC.KH  ACM ∽ AHK  AM    AA  ; CM  2 AH AH S ACC ' A '  CM AA  d  A; AC  AC   d  A; AC   VABCD ABCD  d  A;AC  SABCD = Câu 29  (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy là tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a Góc mặt phẳng  BCC B  A a 3  ABC  và mặt phẳng 60 Tính thể tích V khối đa diện ABCAC  B 3a 3 C a3 D a3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (209) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khối đa diện ABCAC  là hình chóp B ACC A có AB   ACC A  Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC  a ta suy AB  AC  a Gọi M là trung điểm BC , suy AM  BC và AM  a  AM  BC Ta có   AM   BCC B   AM  BC (1)  AM  BB Gọi H là hình chiếu vuông góc M lên BC , suy MH  BC (2) Từ (1) và (2) ta suy BC   AMH  Từ đó suy góc mặt phẳng  ABC  và mặt phẳng  BCC B  là góc AH và MH Mà tam giác AMH vuông H nên   AHM  60  MH  AM cot 60  a a  2 a MH    Tam giác BBC đồng dạng với tam giác MHC nên suy sin HCM MC a    tan MCH   sin MCH  1 1    tan MCH 2   a  a  BB  BC.tan MCH 1  VABCAC   VB ACC A  BA AC AA  a 3.a 3.a  a 3 3 HẾT Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (210) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TỈ SỐ THỂ TÍCH Chuyên đề 13 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcò  Vmíi B Cắt đáy Vcò Giao cò IA   Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) S Vcò  đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện tích, đó ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Công thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Công thức trên áp dụng cho hình chóp tam giác, đó nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt Nếu  A1 B1C1 D1    ABCD  và VS A1 B1C1 D1 SA1 SB1 SC1 SD1  k3     k thì SA SB SC SD VS ABCD Kết đúng trường hợp đáy là n − giác Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (211) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V  là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5  V V   Ví dụ: V A ' B ' BC  V 2V ; VA' B ' ABC  3 B Mặt phẳng cắt các cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 và V là thể tích phần trên, phần và lăng trụ Giả sử AM CN BP  m,  n, p AA ' CC ' BB ' mn p V Khi đó: V2  Khi M  A ', N  C thì AM CN  1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V là thể tích khối hộp, V  là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V  (hai đường chéo hai mặt phẳng song song)  V  (trường hợp còn lại)  V V V V , V A'C' D' D  B Mặt phẳng cắt các cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM   x xy  DD ' V   V2  BP  y  BB ' Ví dụ: VA ' C ' BD  Dạng Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P là trung điểm SA, SB, SC Tỉ số thể tích VS ABC VS MNP Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (212) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 12 Câu B C (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K là trung điểm các cạnh MN ; MP ; MQ Tỉ số thể tích A Câu B C VMNPQ D 16 B C D Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC Tính tỉ số thể tích khối chóp S MNP và S ABC A Câu VMIJK (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD Gọi A , B , C  , D theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S ABC D và S ABCD A Câu D B C 16 D (SGD Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S ABC có thể tích V Gọi B, C là trung điểm AB, AC Tính theo V thể tích khối chóp S ABC  A V B V C V 12 D V Câu (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S ABCD , gọi I , J , K , H là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 B C D Câu Cho hình chóp S ABC , trên các tia SA , SB , SC lấy các điểm A ' , B ' , C ' Gọi V1 , V2 là thể tích khối chóp S ABC và S A ' B ' C ' Khẳng định nào sau đây là đúng? A V1 SA SB ' SC V SB SC V SA SB B  C   V2 SA ' SB SC ' V2 SB ' SC ' V2 SA ' SB ' D V1 SA SB SC  V2 SA ' SB ' SC ' Câu (Gia Lai 2019) Cho khối chóp SABC có thể tích 5a Trên các cạnh SB , SC lấy các điểm M và N cho SM  3MB , SN  NC (tham khảo hình vẽ) Tính thể tích V khối chóp AMNCB 3 A V  a B V  a C V  a D V  2a3 Câu Nếu hình chóp tứ giác có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên lần thì thể tích nó tăng lên bao nhiêu lần? A lần B lần C lần D lần Câu 10 Trên ba cạnh OA, OB, OC khối chóp O ABC lấy các điểm A, B, C  cho 2OA  OA, 4OB  OB và 3OC   OC Tỉ số thể tích hai khối chóp O ABC  và O ABC là A 12 B 24 C 32 Câu 11 Cho khối chóp SAB.C , M là trung điểm SA Tỉ số thể tích A B C D 16 VM ABC VS ABC D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (213) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 12 (THPT Hoa Lư A - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB cho AE  3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V V V V V A B C D Câu 13 (Chuyên Vinh - 2018) Cho khối chóp S ABCD có thể tích V Các điểm A , B , C  tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SB , SC Thể tích khối chóp S ABC  V V V V A B C D 16 Câu 14 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Trên các cạnh AB , AC lần a 2a lượt lấy các điểm B ', C ' cho AB '  , AC '  Tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D và khối tứ diện ABCD là 1 1 A B C D Dạng Tỉ số khối lăng trụ Câu Câu (Sở Nam Định - 2019) Cho khối lăng trụ ABC.ABC có thể tích V Tính thể tích khối đa diện BAAC C 3V 2V V V A B C D 4 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho lăng trụ ABC ABC  , M là trung điểm CC Mặt phẳng  ABM  chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A B V1 V2 C D Câu Khối lăng trụ ABC ABC  có thể tích Mặt phẳng  ABC   chia khối lăng trụ thành Câu khối chóp tam giác và khối chóp tứ giác có thể tích là A và B và C và D và Cho khối lăng trụ tam giác ABC AB C  có thể tích V Gọi M là trung điểm cạnh CC  Mặt phẳng  MAB  chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k  Tìm k ? A B C D Câu (THPT Thăng Long 2019) Một khối lăng trụ tứ giác có thể tích là Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao khối lăng trụ này hai lần thì khối lăng trụ có thể tích là: A B C 16 D Câu Biết khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có thể tích V Nếu tăng cạnh hình hộp đó lên gấp hai lần thì thể tích khối hộp là: A 8V B 4V C 2V D 16V Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có M là trung điểm AA Tỉ số thể tích Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ VM ABC VABC ABC  (214) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Câu 1 1 A B C D 12 (HKI-NK HCM-2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có thể tích là V Gọi M là trung điểm cạnh AA Khi đó thể tích khối chóp M BCCB là V V V 2V B C D A (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ ABC ABC Biết diện tích mặt bên  ABBA 15, khoảng cách từ điểm C đến  ABBA Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC  A 30 Câu 10 B 45 C 60 D 90 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho khối lăng trụ ABC ABC  có thể tích V Tính thể tích khối đa diện ABCBC 3V 2V V V B C D A 4 Câu 11 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có I là giao điểm AC và BD Gọi V1 và V2 là thể tích các khối ABCD A ' B ' C ' D ' và I A ' B ' C ' Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 C V1 V2 V1  V2 D V1  V2 HẾT Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (215) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 13 TỈ SỐ THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM LÝ THUYẾT CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcò  Vmíi B Cắt đáy Vcò Giao cò IA   Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) S Vcò  đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện tích, đó ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Công thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (216) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Công thức trên áp dụng cho hình chóp tam giác, đó nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt VS A1B1C1D1 SA SB SC SD Nếu  A1 B1C1 D1    ABCD  và     k thì  k3 SA SB SC SD VS ABCD Kết đúng trường hợp đáy là n − giác Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V  là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5  V V   Ví dụ: V A ' B ' BC  V 2V ; VA' B ' ABC  3 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (217) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B Mặt phẳng cắt các cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 và V là thể tích phần trên, phần và lăng trụ Giả sử AM CN BP  m,  n, p AA ' CC ' BB ' mn p V Khi đó: V2  Khi M  A ', N  C thì AM CN  1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V là thể tích khối hộp, V  là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V  (hai đường chéo hai mặt phẳng song song)  V  (trường hợp còn lại)  V V V V , V A'C ' D' D  B Mặt phẳng cắt các cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) Ví dụ: VA ' C ' BD  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (218) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 DM   x xy  DD ' V   V2  BP  y  BB ' Dạng Tỉ số thể tích khối chóp – khối lăng trụ Câu (HSG 12-Sở Nam Định-2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M , N là trung điểm AB, CD Gọi V1 , V2 là thể tích MNBC và MNDA Tính tỉ lệ A Câu B C V1  V2 V D (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi V M và N là trung điểm các cạnh SA, SC , mặt phẳng ( BMN ) cắt cạnh SD P Tỉ số SBMPN VSABCD : V A SBMPN  VSABCD 16 B VSBMPN  VSABCD C VSBMPN  VSABCD 12 D VSBMPN  VSABCD Câu Cho tứ diện ABCD Gọi B , C  là trung điểm AB và CD Khi đó tỷ số thể tích khối đa diện ABC D và khối tứ diện ABCD 1 1 A B C D Câu Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm SA, SC Mặt phẳng ( BMN ) cắt SD P Tỉ số A Câu VS BMPN  VS ABCD 16 B VS BMPN bằng: VS ABCD VS BMPN  VS ABCD C VS BMPN  VS ABCD 12 D VS BMPN  VS ABCD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K , M là trung điểm các đoạn thẳng SA , SB , ( ) là mặt phẳng qua K song song với AC và AM Mặt phẳng ( ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A V1  V2 25 B V1  V2 11 V1 V2 C V1  V2 17 D V1  V2 23 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (219) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng  P  qua A và vuông góc với SC cắt SB , SC , SD B , C , D  Biết C  là trung điểm SC Gọi V1 , V2 là thể tích hai khối chóp S ABC D và S ABCD Tính tỷ số A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1 V2 V1  V2 Câu Cho hình chóp S ABCD Gọi A, B , C , D theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D  và S ABCD 1 1 A B C D 16 Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình SM hành, trên cạnh SA lấy điểm M và đặt  x Giá trị x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp SA đã cho thành hai phần có thể tích là: A x  Câu B x  1 C x  D x  1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng  MNI  chia khối chọp S ABCD IA lần phần còn lại Tính tỉ số k  ? 13 IS C D thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích A B   90o ,  ASC  120o Mặt phẳng Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có SA  6, SB  2, SC  4, AB  10, SBC  P qua B và trung điểm N SC đồng thời vuông góc với  SAC  cắt SA M Tính tỉ số thể tích k  A k  Câu 11 VS BMN VS ABC B k  C k  D k  (Đề tham khảo 2017) Cho khối tứ diện có thể tích V Gọi V  là thể tích khối đa diện V có các đỉnh là các trung điểm các cạnh khối tứ diện đã cho, tính tỉ số V V V V V     A B C D V V V V Câu 12 Cho tứ diện ABCD , trên các cạnh BC, BD, AC lấy các điểm M , N , P cho BN , AC  AP Mặt phẳng  MNP  chia khối tứ diện ABCD thành hai khối V đa diện có thể tích là V1 , V2 , đó khối đa diện chứa cạnh CD có thể tích là V2 Tính tỉ số V2 BC  3BM , BD  A V1 26  V2 19 B V1 26  V2 13 C V1 15  V2 19 D V1  V2 19 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (220) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 13 Cho tứ diện ABCD Xét điểm M trên cạnh AB , điểm N trên cạnh BC , điểm P trên cạnh MB NB PC  3,  4,  Gọi V1 ,V2 theo thứ tự là thể tích các khối tứ diện MA NC PD V MNBD và NPAC Tỉ số V2 CD cho A Câu 14 B D (SGD Điện Biên - 2019) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N là hai điểm SM SN nằm trên hai cạnh SC, SD cho  ,  , biết G là trọng tâm tam giác SAB Tỉ số thể SC ND V m tích G MND  , m, n là các số nguyên dương và  m, n   Giá trị m  n bằng: VS ABCD n A 17 Câu 15 C B 19 C 21 D (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm SA, SB Mặt phẳng  MNCD  chia hình chóp đã cho thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là (số bé chia số lớn) 3 A B C D Câu 16 Cho hình chóp S ABCD Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC , SD Gọi V1 , V2 là thể tích hai khối chóp S.MNPQ và S ABCD Tỉ số A Câu 17 16 B C D V1 V2 (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Cho hình chóp S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB cho MA  SM , SN  NB ,   là mặt phẳng qua MN và song song với SC Mặt phẳng   chia khối chóp S ABC thành hai khối đa diện  H1  và  H  với  H1  là khối đa diện chứa điểm S ,  H  là khối đa diện chứa điểm A Gọi V1 và V2 là thể tích  H1  và  H  Tính tỉ số A Câu 18 V1 V2 B C D (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh   60 và SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Góc hai mặt phẳng  SBD  và a , BAD  ABCD  45 Gọi M là điểm đối xứng C qua B và N là trung điểm SC Mặt phẳng  MND  chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1 , khối đa diện còn lại có thể tích V2 (tham khảo hình vẽ bên) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (221) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Tính tỉ số A Câu 19 V1 V2 V1 12  V2 B V1  V2 C V1  V2 D (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Mặt phẳng   qua A , B và trung điểm M SC Mặt phẳng   chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích là V1 , V2 với V1  V2 Tính A Câu 20 V1  V2 V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1 V2 V1  V2 (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018) Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt phẳng  P  chứa cạnh BC cắt cạnh AD E Biết góc hai mặt phẳng  P  và  BCD  có số đo là  thỏa mãn tan   Tính tỉ số A Câu 21 Gọi thể tích hai tứ diện ABCE và tứ diện BCDE là V1 và V2 V1 V2 B C D (Thpt Tứ Kỳ - Hải Dương - 2018) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng  P  chứa AM và song song BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD Tỉ số A Câu 22 V2  V1 V2 là: V1 B V2  V1 C V2  V1 D V2  V1 (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên SM SN  ,  Mặt phẳng   qua MN và cạnh SB hình chóp tam giác S ABC cho MA NB song song với SC chia khối chóp thành phần Gọi V1 là thể tích khối đa diện chứa A , V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 V1 ? V2 C V1  V2 D V1  V2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (222) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 23 (Chuyên KHTN - 2018) Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng qua trọng tâm các tam giác SAB, SAC , SAD chia khối chóp thành hai phần có thể tích là V1 và V2 V1  V2  Tính tỉ lệ V1 V2 A 27 B 16 81 C 19 16 75 D Câu 24 Cho lăng trụ ABC ABC  Trên các cạnh AA, BB lấy các điểm E, F cho AA  kAE, BB  kBF Mặt phẳng  C EF  chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối chóp C  ABFE có thể tích V1 và khối đa diện ABCEFC  có thể tích V2 Biết V1  , tìm k V2 A k  B k  C k  D k  Câu 25 Cho khối đa diện hình vẽ bên Trong đó ABC A ' B ' C ' là khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh 1, S.ABC là khối chóp tam giác có cạnh bên SA  Mặt phẳng  SA ' B ' chia khối đa diện đã cho thành hai phần Gọi V1 là thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A , V2 là thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh A Mệnh đề nào sau đây đúng? A 72V1  5V2 B 3V1  V2 C 24V1  5V2 D 4V1  5V2 Câu 26 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC Gọi M , N , P, Q là các điểm thuộc AA , AM BN CN CQ  ,  ,  ,  Gọi V1 , V2 là thể tích AA ' BB ' CC ' CB V khối tứ diện MNPQ và ABC ABC  Tính tỷ số V2 AA , BB , CC  , BC thỏa mãn A Câu 27 V1 11  V2 30 B V1 11  V2 45 C V1 19  V2 45 D V1 22  V2 45 (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Cho hình lăng trụ VABC ABC  Gọi M , N , P là các điểm thuộc các cạnh AA , BB , CC  cho AM  2MA , NB  NB , PC  PC  Gọi V1 , V2 là thể tích hai khối đa diện ABCMNP và ABC MNP Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1 V2 V1  V2 Dạng Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (223) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Đề minh họa lần 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi vuông góc với nhau; AB  6a , AC  a và AD  4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , CD , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 A V  a B V  14a3 C V  a D V  7a3 Câu (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S ABCD , gọi I , J , K , H là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 B C D Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Mặt bên tạo với đáy góc 600 Gọi K là hình chiếu vuông góc O trên SD Tính theo a thể tích khối tứ diện DKAC A V  Câu 4a 3 15 B V  4a 3 C V  2a 3 15 D V  a 3 (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho khối chóp S ABCD có thể tích 32 Gọi M , N , P , Q là trung điểm SA , SB , SC , SD Thể tích khối chóp S MNPQ A 16 B C D Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi Gọi D  là trung điểm SD , mặt phẳng chứa BD  và song song với AC cắt các cạnh SA , SC A  và C  Biết thể tích khối chóp S ABC D , tính thể tích V khối chóp S ABCD A V  B V  C V  D V  2 Câu Cho tứ diện ABCD có thể tích Gọi M , N , P là trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD Tính thể tích tứ diện AMNP A B 27 Câu C D 27 (Sở Cần Thơ - 2019) Cho khối chóp S.ABCD có thể tích 18, đáy ABCD là hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SD cho SM  2MD Mặt phẳng  ABM  cắt đường thẳng SC N Thể tích khối chóp S ABNM A B 10 C 12 D Câu Cho khối lăng trụ ABC ABC  Điểm M thuộc cạnh AB cho AB  AM Đường thẳng BM cắt đường thẳng AA F , và đường thẳng CF cắt đường thẳng AC  G , Tính tỉ số thể tích khối chóp FAMG và thể tích khối đa diện lồi GMBC CB 1 A B C D 11 27 22 28 Câu (Sở GD Nam Định 2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V , hai điểm M và P là trung điểm AB, CD ; điểm N thuộc đoạn AD cho AD  AN Tính thể tích tứ diện BMNP A V B V 12 C V D V Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (224) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 10 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình 2019)Cho hình chóp S.ABCD có thể tích 48 và ABCD là hình thoi Các điểm M , N , P , Q là các điểm trên các đoạn SA , SB , SC , SD thỏa mãn SA  2SM , SB  3SN , SC  4SP , SD  5SQ Tính thể tích khối đa diện S MNPQ A B C D 5 5 Câu 11 Cho khối chóp S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi M là trung điểm SB , N là điểm trên đoạn SC cho NS  NC Thể tích khối chóp A.BCNM A a 11 18 B a 11 24 C a 11 36 D a 11 16   60 ,  Câu 12 Cho hình chóp S ABC có SA  2a , SB  3a , SC  4a và  ASB  BSC ASC  90 Tính thể tích V khối chóp S ABC A V  Câu 13 2a B V  2a3 C V  4a D V  a3 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hình chóp S ABCD, có đáy và cạnh bên a Gọi M , N là trung điểm các cạnh SB , SD Mặt phẳng ( AMN ) chia khối chóp thành hai phần có thể tích V1 ,V2 với V1  V2 Ta có V2 A a3 18 B 5a3 C 8a3 15 D a3    Câu 14 Cho tứ diện ABCD có AB  1; AC  2; AD  và BAC  CAD  DAB  60 Tính thể tích V khối tứ diện ABCD A V  B V  C V  D V  12 Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân B , AC  a SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và SA  a Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Một mặt phẳng qua hai điểm A , G và song song với BC cắt SB , SC B  và C  Thể tích khối chóp S ABC  bằng: A 2a 27 B a3 C 4a 27 D 2a Câu 16 Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác với tất các cạnh và a Người ta cưa viên đá đó theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói trên a2 A Câu 17 a2 B a2 C D 2a (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC , AD vuông góc với đôi và AB  3a, AC  a, AD  a Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh BC , CD , BD Tính thể tích khối đa diện AMNP A 12a3 Câu 18 B 3a3 C 2a3 D a3 (HKI-Chuyên Long An-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích Gọi M , N Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (225) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SM SN   k Tìm giá trị k để thể tích khối chóp là các điểm trên cạnh SB và SD cho SB SD S AMN A k  B k  C k  D k  Câu 19 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích V Lấy điểm A trên cạnh SA cho SA '  SA Mặt phẳng qua A và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính theo V thể tích khối chóp S.A’B’C’D’? V V V V A B C D 81 27 Câu 20 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi vuông góc với Gọi G1 , G2 , G3 và G4 là trọng tâm các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD Biết AB  6a, AC  9a , AD  12 a Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 A 4a3 Câu 21 B a3 C 108a3 D 36a3 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân B , AC  a , SA   ABC  , SA  a Gọi G là trọng tâm tam giác SBC , mặt phẳng   qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần Gọi V là thể tích khối đa diện không chứa đỉnh S Tính V 4a 4a 5a 2a A B C D 27 54 Câu 22 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi E, F , G là trung điểm BC, BD, CD và M , N , P, Q là trọng tâm ABC, ABD, ACD, BCD Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo V A V B V C 2V D V 27 Câu 23 (THPT QG 2017) Cho tứ diện ABCD có thể tích 12 và G là trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp A.GBC A V  B V 4 C V  D V  Câu 24 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng ( M N E ) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, đó khối chứa điểm A có thể tích V Tính V 13 a A 216 2a3 B 216 2a3 C 18 11 a D 216 Câu 25 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V  12 Gọi M , N trung điểm SA, SB; P là điểm thuộc cạnh SC cho PS  PC Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh SD Q Tính thể tích khối chóp S.MNPQ A 18 B C D 12 25 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (226) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 26 (CHUYÊN Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2019)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Thể tích khối tứ diện SGCD A 36 B C 36 D 18 Câu 27 Cho khối chóp S ABCD có thể tích 1, đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AD và AD  3BC Gọi M là trung điểm cạnh SA, N là điểm thuộc cạnh CD cho ND  NC Mặt phẳng  BMN  cắt cạnh SD P Thể tích khối chóp A.MBNP A Câu 28 B 12 C 16 D 32 (THPT Ninh Bình-Bạc Liêu-2019) Cho hình hộp ABCD ABC D có thể tích V Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh AB , AC  , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP V V A V B C D V 48 48 Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 Trên cạnh SB , SD lấy các điểm M , N cho SM  MB , SD  3SN Mặt phẳng  AMN  cắt SC P Tính thể tích V khối tứ diện SMNP A V  Câu 30 B V  C V  D V    CBD   90 ; Ninh 2019) Cho tứ diện có ABCD DAB AB  a; AC  a 5;  ABC  135 Biết góc hai mặt phẳng  ABD  ,  BCD  30 Thể (Sở Bắc tích tứ diện ABCD là a3 A Câu 31 a3 B a3 C a3 D (Sở Hà Nam - 2019) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SB N là điểm thuộc cạnh SC cho SN  2CN , P là điểm thuộc cạnh SD cho SP  3DP Mặt phẳng  MNP  cắt SA Q Biết khối chóp SMNPQ có thể tích Khối đa diện ABCD.QMNP có thể tích A Câu 32 B 17 C D 14 (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , tam giác ABC đều, AB  a , góc SB và mặt phẳng  ABC  60 Gọi M , N là trung điểm SA , SB Tính thể tích khối chóp S MNC A a3 B a3 C a3 12 D a3 16 Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA  a , SA vuông góc với đáy, mặt phẳng  SBC  tạo với đáy góc  cho tan   Gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích khối tứ diện SOGC A a3 36 B a3 C a3 12 D a3 24 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (227) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 34 Cho khối hộp ABCD ABC D có thể tích V Lấy điểm M MA  MA Thể tích khối chóp M ABC A V B V C V 18 thuộc cạnh AA cho D V Câu 35 Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có thể tích là V Gọi M là trung điểm BB ' , điểm N thuộc cạnh CC ' cho CN  2C ' N Tính thể tích khối chóp A.BCMN theo V 7V 7V V 5V A VA.BCMN  B VA.BCMN  C VA.BCMN  D VA BCMN  12 18 18 Câu 36 (Chuyên Quang Trung - 2018)   CSA   60, Cho khối chóp S ABC có  ASB  BSC SA  a, SB  2a, SC  4a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a A Câu 37 8a 2a C 4a D a3   CSA   60 và (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Cho khối chóp S ABC có góc  ASB  BSC SA  , SB  , SC  Thể tích khối chóp S ABC A 2 Câu 38 B B C D (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 Gọi M , N , P , Q là trọng tâm các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD Tính theo V thể tích khối tứ diện MNPQ A 2017 B 4034 81 C 8068 27 D 2017 27 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  a và SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD cho SN  ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 A V  a B V  a C V  a D V  a 12 36 Câu 40 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA  2a Gọi B; D là hình chiếu vuông góc A trên Câu 39 các cạnh SB, SD Mặt phẳng  ABD  cắt cạnh SC C  Tính thể tích khối chóp S AB C D 2a a3 16a a3 B C D 45 Câu 41 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh Trên các cạnh AB và CD      lấy các điểm M và N cho MA  MB  và NC  2 ND Mặt phẳng  P  chứa A MN và song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V Tính V A V  Câu 42 18 B V  11 216 C V  216 D V  108 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy là hình bình hành có thể tích V Lấy điểm B  , D là trung điểm cạnh SB và SD Mặt phẳng qua  ABD cắt cạnh SC C  Khi đó thể tích khối chóp S ABC D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (228) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu 43 V B 2V C V3 D V (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA  a Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC B , D , C  Thể tích khối chóp S ABC D là: A V  Câu 44 2a 3 B V  2a C V  a3 D V  2a 3 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V Gọi M , N , P , Q là trung điểm AC , AD , BD , BC Thể tích khối chóp AMNPQ là V V V B C (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Cho hình đa diện hình vẽ A Câu 45 D V   CSD   DSA   BSD   60 Thể tích khối Biết SA  , SB  , SC  , SD  và  ASB  BSC đa diện S ABCD là A B C 30 D 10 Câu 46 (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  a và SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB , N thuộc cạnh SD cho SN  ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  a 36 12 Câu 47 (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có thể tích 2110 Biết AM  MA , DN  ND , CP  2C P hình vẽ Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (229) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Câu 48 5275 B 8440 C 7385 18 D 5275 12 (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích V Gọi E là điểm trên cạnh SC cho EC  ES Gọi   là mặt phẳng chứa AE và song song với BD ,   cắt SB, SD hai điểm M , N Tính theo V thể tích khối chóp S AMEN 3V V A B Câu 49 C 3V 16 D V (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có thể tích 2110 Biết AM  MA ; DN  ND ; CP  PC  Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ D A C B N P M C D A 7385 18 A 5275 B 12 B 8440 C D 5275 Câu 50 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC có thể tích 2018 Gọi M là trung điểm AA ; N , P là các điểm nằm trên các cạnh BB , CC  cho BN  2BN , CP  3C P Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP 32288 40360 4036 23207 A B C D 27 27 18 Câu 51 (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có thể tích 6a Các AM BN CP  ,   điểm M , N , P thuộc các cạnh AA , BB , CC  cho AA BB CC  Tính thể tích V  đa diện ABC.MNP 11 11 11 A V   a3 B V   a C V   a D V   a 27 16 18 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (230) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TỈ SỐ THỂ TÍCH Chuyên đề 13 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcò  Vmíi B Cắt đáy Vcò Giao cò IA   Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) S Vcò  đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện tích, đó ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Công thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Công thức trên áp dụng cho hình chóp tam giác, đó nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt Nếu  A1 B1C1 D1    ABCD  và VS A1 B1C1 D1 SA1 SB1 SC1 SD1  k3     k thì SA SB SC SD VS ABCD Kết đúng trường hợp đáy là n − giác Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (231) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V  là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5  V V   Ví dụ: V A ' B ' BC  V 2V ; VA' B ' ABC  3 B Mặt phẳng cắt các cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 và V là thể tích phần trên, phần và lăng trụ Giả sử AM CN BP  m,  n, p AA ' CC ' BB ' mn p V Khi đó: V2  Khi M  A ', N  C thì AM CN  1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V là thể tích khối hộp, V  là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V  (hai đường chéo hai mặt phẳng song song)  V  (trường hợp còn lại)  V V V V , V A'C' D' D  B Mặt phẳng cắt các cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM   x xy  DD ' V   V2  BP  y  BB ' Ví dụ: VA ' C ' BD  Dạng Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P là trung điểm SA, SB, SC Tỉ số thể tích VS ABC VS MNP Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (232) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 12 Ta có Câu B C Lời giải D VS ABC SA SB SC   2.2.2  , suy đáp án C VS MNP SM SN SP (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K là trung điểm các cạnh MN ; MP ; MQ Tỉ số thể tích A B VMIJK VMNPQ Lời giải C D Chọn D Ta có: Câu VM IJK VM NPQ  MI MJ MK 1 1   MN MP MQ 2 (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD Gọi A , B , C  , D theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.ABC D  và S ABCD A 16 B C D Lời giải Chọn C Ta có Và VS.BDC  SB SD SC  V    S BDC  VS BDC SB SD SC VS ABCD 16 Suy Câu VS ABD SA SB SD V    S ABD  VS ABD SA SB SD VS ABCD 16 VS ABD VS.BDC  V 1 1      S ABC D  VS ABCD VS ABCD 16 16 VS ABCD Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC Tính tỉ số thể tích khối chóp S MNP và S ABC A B C 16 D Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (233) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn B Ta có Câu VS MNP SM SN SP     VS ABC SA SB SC (SGD Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S ABC có thể tích V Gọi B, C là trung điểm AB, AC Tính theo V thể tích khối chóp S ABC  A V B V V 12 Lời giải C D V Chọn D Ta có tỷ số thể tích Câu VA.SBC AB AC 1 1    Do đó VA.SBC   VA.SBC hay VS ABC   V VA.SBC AB AC 2 4 (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S.ABCD , gọi I , J , K , H là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 B C D Lời giải Chọn B Ta có: VS ABC SA SB SC    VS ABC  8VS IJK VS IJK SI SJ SK VS ACD SA SC SD    VS ACD  8VS IKH VS IKH SI SK SH Do đó: VS ABCD  8VS IJKH  Câu Cho hình chóp S ABC , trên các tia SA , SB , SC lấy các điểm A ' , B ' , C ' Gọi V1 , V2 là thể tích khối chóp S ABC và S A ' B ' C ' Khẳng định nào sau đây là đúng? A V1 V SA SB ' SC SB SC B   V2 SA ' SB SC ' V2 SB ' SC ' C V1 SA SB  V2 SA ' SB ' D V1 SA SB SC  V2 SA ' SB ' SC ' Lời giải Chọn D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (234) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Theo công thức tỉ số thể tích ta có Câu V1 SA SB SC  V2 SA ' SB ' SC ' (Gia Lai 2019) Cho khối chóp SABC có thể tích 5a Trên các cạnh SB , SC lấy các điểm M và N cho SM  3MB , SN  NC (tham khảo hình vẽ) Tính thể tích V khối chóp AMNCB 3 A V  a3 B V  a C V  a3 D V  2a3 Lời giải Chọn D Gọi V1 là thể tích khối chóp SAMN và Vo là thể tích khối chóp SABC Theo công thức tỷ lệ thể tích ta có: V1 SM SN    Vo SB SC 5 V là thể tích khối chóp AMNCB ta có V  V1  V0 2 Vậy V  V0  5a  2a3 5 Câu Nếu hình chóp tứ giác có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên lần thì thể tích nó tăng lên bao nhiêu lần? A lần B lần C lần D lần Lời giải Chọn D h a Gọi h , a là chiều cao và cạnh đáy hình chóp tứ giác Thể tích khối chóp tứ giác là V  a h Khi tăng chiều cao và cạnh đáy lên lần thì ta khối chóp tứ giác có thể tích là 1 V    2a   2h    a h  8V 3 Vậy thể tích khối chóp tăng lên lần Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (235) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 10 Trên ba cạnh OA, OB, OC khối chóp O ABC lấy các điểm A, B, C  cho 2OA  OA, 4OB  OB và 3OC   OC Tỉ số thể tích hai khối chóp O ABC  và O ABC là 1 1 A B C D 12 24 32 16 Lời giải Chọn B VO A ' BC  OA OB OC  1 1    VO ABC OA OB OC 24 Câu 11 Cho khối chóp SAB.C , M là trung điểm SA Tỉ số thể tích A B C VM ABC VS ABC D Lời giải Chọn B Ta có Câu 12 VS MBC SM VM ABC     VS ABC SA VS ABC (THPT Hoa Lư A - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB cho AE  3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V V V V V A B C D Lời giải A E B D C VB ECD BE AC AD 1    VB.ECD  VE BCD  V VA BCD BA AC AD 4 Câu 13 (Chuyên Vinh - 2018) Cho khối chóp S ABCD có thể tích V Các điểm A , B , C  tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SB , SC Thể tích khối chóp S ABC  V V V V A B C D 16 Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (236) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 V SA SB SC  V     VS ABC   Ta có S ABC   VS ABC SA SB SC 8 Câu 14 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Trên các cạnh AB , AC lần a 2a lượt lấy các điểm B ', C ' cho AB '  , AC '  Tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D và khối tứ diện ABCD là 1 1 A B C D Lời giải Ta có: VAB 'C ' D AB ' AC '   VABCD AB AC A B' C' B C D Dạng Tỉ số khối lăng trụ Câu (Sở Nam Định - 2019) Cho khối lăng trụ ABC.ABC có thể tích V Tính thể tích khối đa diện BAAC C 3V 2V V V A B C D 4 Lời giải Chọn B Mặt phẳng  BAC   chia khối lăng trụ ABC.ABC thành hai khối: B AACC và B ABC  VB AACC  VABC ABC  VB ABC Khối chóp B ABC và khối lăng trụ có chung đáy và chung chiều cao  VB ABC   V 2V  VBAAC C  V  V  3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (237) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho lăng trụ ABC ABC  , M là trung điểm CC Mặt phẳng  ABM  chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A B V1 V2 Lời giải C D V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức là V1  VM ABC  S ABC MC V2 là thể tích khối đa diện còn lại  V2  VABC ABC   V1  S ABC CC   S ABC CC   S ABC CC  6 Khi đó ta có tỉ số 1 S MC S ABC CC  V1 ABC    5 V2 S ABC CC  S ABC CC  6 Câu Khối lăng trụ ABC ABC  có thể tích Mặt phẳng  ABC   chia khối lăng trụ thành khối chóp tam giác và khối chóp tứ giác có thể tích là A và B và C và D và Lời giải Chọn A +) Thể tích khôi lăng trụ là: VABC ABC   d  B,  ABC   S ABC   +) Thể tích khối chóp tam giác B ABC  là: 1 VB ABC  d  B,  ABC    S ABC   VABC ABC    3 Vậy thể tích khối chóp tứ giác B ACC A là: VB ACC A  VABC ABC   VB ABC    Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (238) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Cho khối lăng trụ tam giác ABC AB C  có thể tích V Gọi M là trung điểm cạnh CC  Mặt phẳng  MAB  chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k  Tìm k ? A B Lời giải C D Chọn C Ta có V  d  C,  ABC    S ABC 1 Khi đó VM ABC  d  M ,  ABC   S ABC  d  C ,  ABC    S ABC  V  VABM ABC   V 6 V Vậy k  M ABC  VABM ABC  Câu (THPT Thăng Long 2019) Một khối lăng trụ tứ giác có thể tích là Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao khối lăng trụ này hai lần thì khối lăng trụ có thể tích là: A B C 16 D Lời giải Chọn A Giả sử khối lăng trụ tứ giác có độ dài cạnh đáy là a và chiều cao là h Khi đó thể tích khối lăng trụ tứ giác tính công thức V  B.h  a h  Nếu gấp đôi các cạnh đáy thì diện tích đáy B '  4a2 Giảm chiều cao hai lần nên chiều cao h h h '  Vì thể tích khối lăng trụ là: V  B '.h '  4a  2a h  2 Câu Biết khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có thể tích V Nếu tăng cạnh hình hộp đó lên gấp hai lần thì thể tích khối hộp là: A 8V B 4V C 2V D 16V Lời giải Chọn A Ta có tăng cạnh khối hộp lên hai lần thì ta khối hộp đồng dạng với khối hộp cũ theo tỉ số Do đó thể tích khối hộp V  8V Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC  có M là trung điểm AA Tỉ số thể tích A B 12 Lời giải C D VM ABC VABC ABC  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (239) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A' Chọn A C' B' Ta có: VABC ABC   AA.S ABC M 1 1 AM S ABC  AA.S ABC  VABC ABC  3 V  M ABC  VABC ABC  VM ABC  A C B Câu (HKI-NK HCM-2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có thể tích là V Gọi M là trung điểm cạnh AA Khi đó thể tích khối chóp M BCCB là V 2V V V A B C D 3 Lời giải Chọn B Vì AA //  BBCC  nên d  M ,  BBC C    d  A,  BBC C   suy VM BBC C  VA.BBC C Mà VA.BBC C  VABC ABC   VAABC   V  V  V 3 Vậy VM BBC C  V Câu (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ ABC ABC Biết diện tích mặt bên  ABBA 15, khoảng cách từ điểm C đến  ABBA Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC A 30 B 45 C 60 Lời giải D 90 Chọn B 1 Ta có VC ABBA  d  C;  ABBA   S ABBA  6.15  30 3 Mà VC ABBA  VABC ABC  VABC ABC  VC ABBA  45 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (240) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 10 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho khối lăng trụ ABC ABC  có thể tích V Tính thể tích khối đa diện ABCBC V V 3V 2V A B C D 4 Lời giải Chọn D Gọi chiều cao lăng trụ là h , S ABC  S ABC   S Khi đó V  S h 1 Ta có VA ABC  S h  V  VABCBC  V 3 Câu 11 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có I là giao điểm AC và BD Gọi V1 và V là thể tích các khối ABCD A ' B ' C ' D ' và I A ' B ' C ' Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 C V1 V2 V1  V2 D V1  V2 Lời giải Chọn A C B I A D B' C' A' D' Ta có: V1  AA '.S A ' B ' C ' D ' V 1 1 V2  d  I ;  A ' B ' C '   S A ' B 'C '  d  A;  A ' B ' C '  S A ' B ' C 'D'  AA '.S A ' B 'C ' D '  V1   3 6 V2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (241) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 13 TỈ SỐ THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM LÝ THUYẾT CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcò  Vmíi B Cắt đáy Vcò Giao cò IA   Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) S Vcò  đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện tích, đó ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON  SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Công thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (242) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VS MNP SM SN SP  VS ABC SA SB SC Công thức trên áp dụng cho hình chóp tam giác, đó nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt VS A1B1C1D1 SA SB SC SD Nếu  A1 B1C1 D1    ABCD  và     k thì  k3 SA SB SC SD VS ABCD Kết đúng trường hợp đáy là n − giác Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V  là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5  V V   Ví dụ: V A ' B ' BC  V 2V ; VA' B ' ABC  3 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (243) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B Mặt phẳng cắt các cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 và V là thể tích phần trên, phần và lăng trụ Giả sử AM CN BP  m,  n, p AA ' CC ' BB ' mn p V Khi đó: V2  Khi M  A ', N  C thì AM CN  1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V là thể tích khối hộp, V  là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V  (hai đường chéo hai mặt phẳng song song)  V  (trường hợp còn lại)  V V V V , V A'C ' D' D  B Mặt phẳng cắt các cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) Ví dụ: VA ' C ' BD  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (244) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 DM   x xy  DD ' V   V2  BP  y  BB ' Câu (HSG 12-Sở Nam Định-2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M , N là trung điểm AB, CD Gọi V1 , V2 là thể tích MNBC và MNDA Tính tỉ lệ A B Lời giải C D V1  V2 V Chọn B Vì M , N là trung điểm AB, CD nên ta có: d  A,  MCD    d  B,  MCD   ; d  C,  NAB    d  D,  NAB   , đó: V V V ; V1  VMNBC  VC.MNB  VD.MNB  B.MCD  ; 2 V V V2  VMNAD  VD.MNA  VC.MNA  A.MCD  V V  V1  V2 4    V V VA.MCD  VB.MCD  Câu (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi V M và N là trung điểm các cạnh SA, SC , mặt phẳng ( BMN ) cắt cạnh SD P Tỉ số SBMPN VSABCD : Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (245) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 V A SBMPN  VSABCD 16 V B SBMPN  VSABCD V C SBMPN  VSABCD 12 D VSBMPN  VSABCD Lời giải Chọn B Dựng SO  MN   I  , SI  SD   P , OE / / BP ; Khi đó: I là tung điểm MN , SO nên SP SI DE DO   ;   SE SO DP DP SP  SD V SP SM 1 1     SMPB  SD SA VSABCD 12 Vậy: SP  PE  ED  VSMPB VSADB VSNPB SP SN 1 V     SNPB  VSCDB SD SC VSABCD 12 VSBMPN  VSBMP  VSBPN  Câu VSMPNB 1    VSABCD 12 12 Cho tứ diện ABCD Gọi B , C  là trung điểm AB và CD Khi đó tỷ số thể tích khối đa diện ABC D và khối tứ diện ABCD 1 1 A B C D Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (246) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: S d B , DC A  VABCD VBAC D DC A      VABCD VBACD S DCA d  B ,  DCA   Câu DC .DA.sin  ADC  d  B ,  DC A  1   DC.DA.sin  ADC d  B ,  DCA   2 Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm SA, SC Mặt phẳng ( BMN ) cắt SD P Tỉ số A VS BMPN  VS ABCD 16 B VS BMPN bằng: VS ABCD VS BMPN  VS ABCD C VS BMPN  VS ABCD 12 D VS BMPN  VS ABCD Lời giải Chọn B SM SN   SA SC Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus cho SOD ta PS BD IO PS PS SP có :   1  1      PD BO IS PD PD SD Cách 2: Kẻ OH // BP , ta có O là trung điểm BD nên H là trung điểm PD Ta có OH // IP mà I là trung điểm SO nên P là trung điểm SH Ta có M , N là trung điểm SA, SC nên Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (247) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SP Suy SP  PH  HD   SD Theo công thức tỉ số thể tích ta có : Câu VS BMPN 2VS BMP SM SP 1       VS ABCD 2VS BAD SA SD Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K , M là trung điểm các đoạn thẳng SA , SB , ( ) là mặt phẳng qua K song song với AC và AM Mặt phẳng ( ) chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A V1  V2 25 B V1  V2 11 V1 V2 C V1  V2 17 D V1  V2 23 Lời giải Chọn D Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD ; I , H là trung điểm SC , SM Do ( ) / / ( ACM ) nên ( ) cắt ( SAD ), ( SBD ), ( SCD ) KL, HP , IJ cùng song song với OM Ta có VA.KQL VA.SBD VB HQP VB.SAC   BH BQ BP 3 27 27 27 27   Suy VB HQP  VB SAC  V  V BS BA BC 2 16 16 16 32 AK AQ AL 1 1 1 1    VA KQL  VA.SBD  V  V 8 16 AS AB AD 2 V 16  27 1 23 Do đó V2     V  V  V1  V  32 16 16  32 32 Tương tự:  VC.IPJ  Vậy tỉ số Câu V1  V2 23 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng  P  qua A và vuông góc với SC cắt SB , SC , SD B, C , D  Biết C  là trung điểm SC Gọi V1, V2 là thể tích hai khối chóp S ABC D và S ABCD Tính tỷ số A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1 V2 V1  V2 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (248) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D Ta có V2  2.VS ABC  2.VS ACD Gọi O  AC  BD , J  SO  AC  Vì C  là trung điểm SC nên J là trọng tâm SAC Vì BD   SAC   BD  SC mà  P  qua A và vuông góc với SC nên  P  // BD Trong  SBD  qua J kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD B , D  Ta có SB SD SJ    SB SD SO Khi đó Câu V1 VS ABC VS ACD  SA SB SC SA SD SC  1         V2 2VS ABC 2VS ACD  SA SB SC SA SD SC  3 Cho hình chóp S.ABCD Gọi A, B , C , D  theo thứ tự là trung điểm SA, SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D  và S.ABCD 1 1 A B C D 16 Lời giải Chọn C Ta có: VS ABC  SA SB  SC  VS AD C  SA SD  SC    ;   VS ABC SA SB SC VS ADC SA SD SC Mà VS ABCD  VS ABC  VS ACD , suy VS AB C D VS ABC   VS AC D VS ABC  VS ACD     VS ABCD VS ABCD VS ABCD Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình SM hành, trên cạnh SA lấy điểm M và đặt  x Giá trị x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp SA đã cho thành hai phần có thể tích là: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (249) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A x  B x  1 C x  D x  1 Lời giải Chọn B Ta có:  BC / /  SAD  SM SN   SAD    BMC   MN / / BC    x  SA SD  BC   BMC  VS MBC 2VS MBC SM   x VS ABC V SA VS MCN 2VS MCN SM SN    x2 VS ACD V SA SD VS MCN  VS MBC  2VS MBCN VS MBCN x  x 2   x x   xx   1 V V V Mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích Từ 1 và   ta có:  x  x  x  Câu VS MNBC  V  2 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng  MNI  chia khối chọp S.ABCD IA lần phần còn lại Tính tỉ số k  ? 13 IS C D thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích A B Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (250) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Mặt phẳng  MNI  cắt khối chóp theo thiết diện hình Đặt VS ABCD  V Ta có S APM  S BMN  d  I ,  ABCD   d  S ,  ABCD     1 S S ABC  S ABCD  APM  S ABCD IA k  SA k  VI APM SAPM d  I ,  ABCD   k k    VI APM  V VS ABCD S ABCD d  S ,  ABCD    k  1  k  1 Do MN / / AC  IK / / AC  IK / /  ABCD   d  I ;  ABCD    d  K ;  ABCD   Mà S APM  S NCQ  VI APM  VK NCQ  k V  k  1 Kẻ IH / / SD ( H  SD ) hình Ta có : IH AH AI k    SD AD AS k  IH PH PA AH PA AH 2k 3k          ED PD PD PD PD AD 3  k  1  k  1  d  E ,  ABCD   ED 3k ED IH ID 3k     :  d  S ,  ABCD   SD 3k  SD SD ED 3k  S PQD S ABCD  V 27 k 27 k  E PQD   VE PQD  V VS ABCD 24k  24k  VEIKAMNCD  13 13 V  VE PDC  VI APM  VK NQC  V 20 20  27 k k k 13 V V V V  3k  1  k  1  k  1 20  27 k k 13   k  3k  1 k    90o ,  ASC  120o Mặt phẳng Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có SA  6, SB  2, SC  4, AB  10, SBC  P qua B và trung điểm N SC đồng thời vuông góc với  SAC  cắt SA M Tính tỉ số thể tích k  A k  VS BMN VS ABC B k  C k  D k  Lời giải Chọn C Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (251) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 S 2 M B D H E N 10 A C o, Ta có: ASB  90o • SA2  SB  62  22  40  AB2   • SBC vuông B  BN  SC   SN  NB  SB   SNB Gọi D là điểm thuộc cạnh SA cho SD  , ta có: DB  22  22  DN  22  22  2.2.2.cos120o  12 NB   DB2  NB2  DN  DNB vuông B • Gọi H, E là trung điểm DN, NB, ta có:  NB  SE  NB   SHE   NB  SH +)   NB  HE SH  DN  SH   DNB    SDN    DNB   D  M  SM  +)  SH  NB V SM SN 2  k  S BMN    VS ABC SA SC 6 Câu 11 (Đề tham khảo 2017) Cho khối tứ diện có thể tích V Gọi V  là thể tích khối đa diện V có các đỉnh là các trung điểm các cạnh khối tứ diện đã cho, tính tỉ số V V V V V     A B C D V V V V Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (252) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Q P E B F D N M C Cách Đặc biệt hóa tứ diện cho là tứ diện cạnh a Hình đa diện cần tính có cách a cắt góc tứ diện, góc là tứ diện có cạnh V V Do đó thể tích phần cắt bỏ là V    1 (Vì với tứ diện cạnh giảm nửa thì thể tích giảm    ) 2 V V Vậy V     V Cách Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có cùng đáy là hình bình hành úp lại 1 Suy ra: V   2VN MEPF  4.VN MEP  4.VP.MNE  V  V (Do chiều cao giảm nửa, cạnh đáy giảm nửa nên diện tích giảm ) V ' V  VA.QEP  VB.QMF  VC.MNE  VD.NPF Cách Ta có  V V VA.QEP VB.QMF VC MNE VD.NPF 1 1 1 1 1 1  1     1     V V V V 2 2 2 2 2 2 Câu 12 Cho tứ diện ABCD , trên các cạnh BC, BD, AC lấy các điểm M , N , P cho BN , AC  AP Mặt phẳng  MNP  chia khối tứ diện ABCD thành hai khối V đa diện có thể tích là V1 ,V2 , đó khối đa diện chứa cạnh CD có thể tích là V2 Tính tỉ số V2 BC  3BM , BD  A V1 26  V2 19 B V1 26  V2 13 C V1 15  V2 19 D V1  V2 19 Lời giải Chọn A Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (253) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Áp dụng định lí Me-ne-la-uyt ta có : MB ND GC GC 1 4 MC NB GD GD GC FD PA FD 1  GD FA PC FA VDCPMNF  VCPMF  VCMNF  VCNFD và d F , CPM   SCPM VCPMF   4    VABCD d  D,  ABC   S ABC 15 d F , CNM   SCNM VCNMF   2    VABCD 3 45 d  A,  CBD   SCBD d C , FND   S FND VCNDF      VABCD d  C ,  ABD   S ABD 15 V 4 19 V 45  19 26         VABCD 15 45 15 45 V2 19 19 Câu 13 Cho tứ diện ABCD Xét điểm M trên cạnh AB , điểm N trên cạnh BC , điểm P trên cạnh MB NB PC  3,  4,  Gọi V1 ,V2 theo thứ tự là thể tích các khối tứ diện MA NC PD V MNBD và NPAC Tỉ số V2 CD cho A B C D Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (254) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 V1  h1.S1 với h1  d  M ;  BCD   ; S1  SNBD V2  h2 S2 với h2  d  A;  BCD   ; S2  SCNP V1 h1.S1  5 V2 h2 S2 Vì Câu 14 h1 3 S 20  và S1  SBCD ; S2  SBCD  SBCD   h2 5 25 S2 (SGD Điện Biên - 2019) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N là hai điểm SM SN nằm trên hai cạnh SC, SD cho  ,  , biết G là trọng tâm tam giác SAB Tỉ số thể SC ND V m tích G MND  , m, n là các số nguyên dương và  m, n   Giá trị m  n bằng: VS ABCD n A 17 B 19 C 21 D Lời giải Chọn B S M N G D A E B C Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (255) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 + S DMN  S SMD  S SCD + Gọi E là trung điểm AB 2  d G , DMN   d  E, DMN    d  A, DMN    d  A, SCD  3  VG MND  S DMN d G , DMN  1 1  S SCD d  A, SCD   VS ACD  VS ABCD 18 VG MND    m  n  19 VS ABCD 18 Câu 15 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm SA, SB Mặt phẳng  MNCD  chia hình chóp đã cho thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là (số bé chia số lớn) 3 A B Lời giải C D Chọn A M N B A D C Gọi thể tích khối chóp S ABCD là V , đó thể tích khối chóp S ABC và S ACD là VS ABC  VS ACD  V 1 1 VS MNC SM SN SC 1 Ta có    , đó VS MNC  VS ABC  V  V 4 VS ABC SA SB SC 2 Ta có VS MCD SM SC SD 1 1 1   1.1  , đó VS MCD  VS ACD  V  V 2 VS ACD SA SC SD 2 1 3 Từ đó VS MNCD  VS MNC  VS MCD  V  V  V , đó VMNABCD  V  V  V 8 8 V Vậy S MNCD  V : V  VMNABCD 8 Câu 16 Cho hình chóp S ABCD Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC , SD Gọi V1 , V2 là thể tích hai khối chóp S.MNPQ và S ABCD Tỉ số V1 V2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (256) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 16 B Lời giải C D Chọn B S N M Q A P B D Ta có: VS MNQ VS ABD  VS NPQ SN SP SQ SM SN SQ 1   VS MNQ  VS ABD ;    VS NPQ  VS BCD SA SB SD 8 VS BCD SB SC SD 8 Suy ra: V1  VS MNPQ  VS MNQ  VS NPQ  Câu 17 C 1 VS ABD  VBCD   VS ABCD  V2  V1  8 V2 (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Cho hình chóp S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB cho MA  SM , SN  NB ,   là mặt phẳng qua MN và song song với SC Mặt phẳng   chia khối chóp S ABC thành hai khối đa diện  H1  và  H  với  H1  là khối đa diện chứa điểm S ,  H  là khối đa diện chứa điểm A Gọi V1 và V2 là thể tích  H1  và  H  Tính tỉ số A V1 V2 B Lời giải C D Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (257) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi P , Q là giao điểm   với các đường thẳng BC , AC Ta có NP // MQ // SC Khi chia khối  H1  mặt phẳng  QNC  , ta hai khối chóp N SMQC và N QPC Ta có VN SMQC VB ASC d  N ,  SAC   d  B,  SAC   Do đó VN QPC VS ABC Do đó Câu 18 VN SMQC VB ASC   d  N ,  SAC   S SMQC  d  B,  SAC   S SAC  S SMQC NS S AMQ AM AQ  AM   ;       BS S ASC S ASC AS AC  AS   10   27 d  N ,  QPC   SQPC NB  CQ CP              SB  CA CB   3  27 d  S ,  ABC   S ABC V1 V V1 VN SMQC VN QPC 10   5V1  4V2         V1  V2 V2 V VB ASC VS ABC 27 27 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh   60 và SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  Góc hai mặt phẳng  SBD  và a , BAD  ABCD  45 Gọi M là điểm đối xứng C qua B và N là trung điểm SC Mặt phẳng  MND  chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1 , khối đa diện còn lại có thể tích V2 (tham khảo hình vẽ bên) Tính tỉ số A V1 V2 V1 12  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 Lời giải Goi O  AC  BD   45 Khi đó góc hai mặt phẳng  SBD  và  ABCD  45  SOA BAD  AO  a a a  SA  AO.tan 45   2 a a a3 Thể tích khối chóp S ABCD bằng: V  SA.2SABD   4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (258) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a3 Thể tích khối chóp N MCD thể tích khối chóp N ABCD bằng: V   V  16 1 a a a3  Thể tích khối chóp KMIB bằng: V   SA.S  MBI  3 96 Khi đó: V2  V   V   Vậy Câu 19 a a 2a a 2a 7a     ; V1  V  V2  16 96 96 96 96 V1  V2 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Mặt phẳng   qua A , B và trung điểm M SC Mặt phẳng   chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích là V1 , V2 với V1  V2 Tính A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1 V2 V1  V2 Lời giải  AB         SCD   MN // AB // CD Ta có   AB // CD    cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang ABMN Khi đó  ABMN  chia hình chóp thành hai đa diện là S ABMN và ABCDNM có thể tích là V1 và V2 Lại có  VSABM 1   VSABM  VSABC  VSABCD VSABC  VSAMN 1   VSAMN  VSABC  VSABCD VSACD Mà V1  VSABM  VSAMN  VSABCD và V2  VSABCD  VSABMN  VSABCD 8 Vậy V1  V2 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (259) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 20 (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018) Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt phẳng  P  chứa cạnh BC cắt cạnh AD E Biết góc hai mặt phẳng  P  và  BCD  có số đo là  thỏa mãn tan   Tính tỉ số A Gọi thể tích hai tứ diện ABCE và tứ diện BCDE là V1 và V2 V1 V2 B C D Lời giải Gọi H , I là hình chiếu vuông góc A , E trên mặt phẳng  BCD  Khi đó H , I  DM với M là trung điểm BC Ta tính AH  a a a , DH  , MH  3    Khi đó tan   EI  Ta có góc  P  với  BCD     P  ,  BCD    EMD MI  a x  DE AH x   EI  DE EI DI  AD a  Gọi DE  x    AD AH DH a  x  DE.DH x 3  DI  AD  a   Khi đó MI  DM  DI  a x  x 5 EI Vậy tan       x a MI a x  Khi đó: VDBCE DE V    ABCE  VABCD AD VBCDE Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (260) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 21 (Thpt Tứ Kỳ - Hải Dương - 2018) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng  P  chứa AM và song song BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD Tỉ số A V2  V1 V2 là: V1 B V2  V1 C V2  V1 D V2  V1 Lời giải Đặt VS ABCD  V Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Gọi I là giao điểm SO và AM Do  P  //BD nên  P  cắt mặt phẳng  SBD  theo giao tuyến NP qua I và song song với BD ;  N  SB; P  SD  Xét tam giác SAC có I là giao điểm hai trung tuyến nên I là trọng tâm Ta có VS APN SP.SN 2 4     VS APN  VS ADB  V  V VS ADB SD.SB 3 9 9 Tương tự VS PMN SP.SM SN 2 2 1  =   VS PMN  VS DCB  V  V VS DCB SD.SC.SB 3 9 9 V Từ đó V1  VS APN  VS PMN  V Do đó  V1 Câu 22 (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên SM SN  ,  Mặt phẳng   qua MN và cạnh SB hình chóp tam giác S ABC cho MA NB song song với SC chia khối chóp thành phần Gọi V1 là thể tích khối đa diện chứa A , V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 V1 ? V2 C V1  V2 D V1  V2 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (261) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải - Trong mặt phẳng  SAC  dựng MP song song với SC cắt AC P Trong mặt phẳng  SBC  dựng NQ song song với SC cắt BC Q Gọi D là giao điểm MN và PQ Dựng ME song song với AB cắt SB E (như hình vẽ) SE SM 1    SN  NE  NB  SB - Ta thấy: SB SA 3 Suy N là trung điểm BE và DM , đồng thời DB  ME  DB DN AB   ,  DA DM DQ DN   DP DM - Nhận thấy: V1  VD AMP  VD BNQ Do NQ / / MP  VD BNQ VD AMP  15 15 DB DN DQ 1 1  VD BNQ  VD AMP  V1  VD AMP  VM ADP   16 16 16 DA DM DP 2 16 - Do NQ / / SC  d  N ; DB  QB QB NB 1       d  Q; DB   d  C; AB  CB SB 3 d  C ; AB  CB 1 1  SQDB  d  Q; DB  DB  d  C; AB  AB  SCAB  S ADP  S ABC 2 3 9 Và d  M ;  ADP    d  S ;  ABC   1 16  VM ADP  d  M ;  ADP   S ADP  d  S ;  ABC   S ABC  VS ABC 3 27 15 16  V1  VS ABC  VS ABC  V2  VS ABC  V1  VS ABC 16 27 9 V Vậy  V2 Câu 23 (Chuyên KHTN - 2018) Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia khối chóp thành hai phần có thể tích là V1 và V2 V1  V2  Tính tỉ lệ V1 V2 A 27 B 16 81 C 19 D 16 75 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (262) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Cách Gọi G1 , G2 , G3 là trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD Ta có  G1G2G3  ||  ABCD  Gọi  G1G2G3  cắt SA, SB , SC , SD theo thứ tự A, B, C , D , ta có S ABCD đồng 8 V1 27  dạng với S ABCD theo tỉ số k  suy VS ABC D  VS ABCD   27 V2  19 27 Cách VS ABCD  VS ABC  VS ACD VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC '   8      VS A ' B 'C '  VS ABC VS ABC SA SB SC   27 27 VS A 'C'D' SA ' SC ' SD '   8      VS A 'C'D'  VS ACD VS ACD SA SC SD   27 27 VS A ' B 'C ' D '  VS A ' B 'C '  VS A 'C'D'  8 V 27  VS ABCD   27 V2  19 27 Câu 24 Cho lăng trụ ABC ABC  Trên các cạnh AA, BB lấy các điểm E, F cho AA  kAE, BB  kBF Mặt phẳng  C EF  chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối chóp C  ABFE có thể tích V1 và khối đa diện ABCEFC  có thể tích V2 Biết V1  , tìm k V2 A k  B k  C k  Lời giải D k  Chọn B Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (263) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: AA  kAE BB  kBF S ABFE  VC  ABFE VC  ABBA S ABBA k  ; k 2   VC  ABBA  VABC ABC   VC  ABFE  VABC ABC   VABCEFC   1   VABC ABC  3k  3k  VC  ABFE 14    3k    1    k   VABCEFC   3k  3k  1    3k  Câu 25 Cho khối đa diện hình vẽ bên Trong đó ABC A ' B ' C ' là khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh 1, S ABC là khối chóp tam giác có cạnh bên SA  Mặt phẳng  SA ' B ' chia khối đa diện đã cho thành hai phần Gọi V1 là thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A , V2 là thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh A Mệnh đề nào sau đây đúng? A 72V1  5V2 B 3V1  V2 C 24V1  5V2 D 4V1  5V2 Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (264) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dựng thiết diện SMA ' B ' N tạo mặt phẳng  SA ' B ' và khối đa diện đã cho hình vẽ  2   3 SG  SC  GC       ; GD  G ' D '  CD  GK  G ' D '  ;     3 24 2 DK  GD  GK  3 3   ; MN  24 Gọi V là thể tích toàn khối đa diện: V  VABC A ' B 'C ' VS A ' B 'C '  1 1  3 18 1  3 VB ' ABNM  BB '.S ABNM  1    3   192 1 1 VB ' AA ' M  d  B;( ACC ' A ').S AA ' M   3 2 48 1 1  3 VS ABNM  SG.S ABNM  1    3   576 V1  3 5 5      => V2  V V1  192 48 576 72 18 72 24 Suy 3V1  V2 Câu 26 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC Gọi M , N , P, Q là các điểm thuộc AA , AM BN CN CQ  ,  ,  ,  Gọi V1 , V2 là thể tích AA , BB , CC  , BC thỏa mãn AA ' BB ' CC ' CB V khối tứ diện MNPQ và ABC ABC  Tính tỷ số V2 A V1 11  V2 30 B V1 11  V2 45 C V1 19  V2 45 D V1 22  V2 45 Lời giải Chọn B Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (265) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SC PQ SC BC S BNQ S BBC   C Q C P 3  SCPQ  SCBBC   C B C C 20 40  BQ BN  S BNQ  SCBBC   BC  BB 15 15 S NPCB SCBBC Suy ra,  BN CP       BB CC   S NPQ SC BBC  1 11 1  S NPCB  SCBBC      24 24 SC QP  S BNQ  SCPNB S BBC C   11  1       40 15 24  30 Mặt khác AM // CC  nên d  A,  BBC C    d  M , ( BBC C )  11 11 VA BBCC  VABC ABC 30 30 V 11 Vậy  V2 45 VM NPQ  Câu 27 (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Cho hình lăng trụ VABC ABC  Gọi M , N , P là các điểm thuộc các cạnh AA , BB , CC  cho AM  2MA , NB  NB , PC  PC  Gọi V1 , V2 là thể tích hai khối đa diện ABCMNP và ABC MNP Tính tỉ số A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1 V2 V1  V2 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (266) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC ABC  Ta có V1  VM ABC  VM BCPN 1 2 VM ABC  S ABC d  M ,  ABC    S ABC d  A,  ABC    V 3 1 1 VM ABC   S ABC  d  M ,  ABC     S ABC d  M ,  ABC     V 3 Do BCC B là hình bình hành và NB  NB , PC  PC  nên S BC PN  S BCPN Suy VM BC PN  VM BCPN , Từ đó V  VM ABC  VM BCPN  VM ABC   VM BCPN  V  V  VM BCPN  V  VM BCPN  VM BCPN  V 9 18 V 1 Như V1  V  V  V  V2  V Bởi vậy:  V2 18 2 Dạng Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích Câu (Đề minh họa lần 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi vuông góc với nhau; AB  6a , AC  a và AD  4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , C D , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 A V  a B V  14a3 C V  a D V  7a3 Lời giải Chọn D 1 AB AD AC  6a.7 a.4a  28a 3 1 Ta nhận thấy S MNP  S MNPD  S BCD  VAMNP  VABCD  a 4 Ta có VABCD  Câu (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S.ABCD , gọi I , J , K , H là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 B C D Lời giải Chọn B Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (267) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: VS ABC SA SB SC    VS ABC  8VS IJK VS IJK SI SJ SK VS ACD SA SC SD    VS ACD  8VS IKH VS IKH SI SK SH Do đó: VS ABCD  8VS IJKH  Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Mặt bên tạo với đáy góc 600 Gọi K là hình chiếu vuông góc O trên SD Tính theo a thể tích khối tứ diện DKAC A V  4a 3 15 B V  4a 3 C V  2a 3 15 D V  a 3 Lời giải Chọn A + Gọi E là trung điểm AB , O là tâm hình vuông ABCD  OE  AB SO  AB  AB   SOE    SEO   600  góc mặt bên  SAB và mặt đáy  ABCD là SEO v SEO : tan 600  SO  SO  OE.tan 60  a OE   a SO SK + v SOD có đường cao OK  SO  SK SD     2 SD SD 3a  2a KD   SD d  K ,  ABCD  KD 2 2a    d  K ,  ABCD   SO  5 d  S ,  ABCD  SD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (268) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 2a 2a  4a 3  d  K ,  ABCD .SACD   3 15 Vậy VDKAC Câu (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho khối chóp S ABCD có thể tích 32 Gọi M , N , P , Q là trung điểm SA , SB , SC , SD Thể tích khối chóp S MNPQ A 16 B C Lời giải D Chọn C Ta có VS MNP SM SN SP    VS MNP  VS ABC VS ABC SA SB SC VS MPQ VS ACD  SM SP SQ   VS MPQ  VS ACD SA SC SD Do đó VS MNPQ  VS MNP  VS MPQ  1 VS ABC  VS ACD   VS ABCD  8 Vậy VS MNPQ  Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi Gọi D  là trung điểm SD , mặt phẳng chứa BD  và song song với AC cắt các cạnh SA , SC A  và C  Biết thể tích khối chóp S ABCD , tính thể tích V khối chóp S ABCD A V  B V  C V  D V  2 Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình bình hành đáy và  I   SO  BD Mặt phẳng nói đến qua I và song song AC nên cắt  SAC  theo giao tuyến là đường thẳng AC  qua I và song song AC (với A  SA , C   SC ) I là trọng tâm tam giác SBD nên SA SC  SI    SA SC SO Ta có : Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (269) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VS ABD SA SD 1     VS ABD  V V  SA SD 3  S ABD    VS ABC D  VS ABD  VS BCD  V  VS BC D  SC  SD   V    V S BC D   VS BCD SC SD 3  V  3VS ABCD  Câu Cho tứ diện ABCD có thể tích Gọi M , N , P là trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD Tính thể tích tứ diện AMNP A B 27 Lời giải C D 27 Chọn D Gọi E , F , G là trung điểm BC , CD và DB Ta có S EFG  1 S BCD  VA.GEF  VA.BCD  4 VAMNP AM AN AP 2 8     VAMNP  VAEFG  VAEFG AE AF AG 3 27 27 27 Câu (Sở Cần Thơ - 2019) Cho khối chóp S.ABCD có thể tích 18, đáy ABCD là hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SD cho SM  2MD Mặt phẳng  ABM  cắt đường thẳng SC N Thể tích khối chóp S ABNM A B 10 C 12 Lời giải D Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 (270) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Mặt phẳng  MAB  và mặt phẳng  SCD  có chung điểm M và chứa hai đường thẳng song song AB và CD nên MN // AB // CD Vì ABCD là hình bình hành nên VS ABD  VS BDC  VS ABCD  Ta có:  VM ABD d  M ;  ABD   MD     VM ABD   VS ABM  VS ABD SD d  S ;  ABD    VS BMN VB.SMN SM SN 2      VS BMN  VS BDC VB.SDC SD.SC 3  VS ABNM  VS ABM  VS BMN    10  Chú ý: Có thể áp dụng công thức tỉ số tích và tính sau: Ta có:  VS ABM SM 2    VS ABM  VS ABD  VS ABD SD 3  VS BMN SM SN 2 4     VS BMN  VS BDC  VS BDC SD SC 3 9  VS ABNM  VS ABM  VS BMN    10 Câu Cho khối lăng trụ ABC ABC  Điểm M thuộc cạnh AB cho AB  AM Đường thẳng BM cắt đường thẳng AA F , và đường thẳng CF cắt đường thẳng AC  G , Tính tỉ số thể tích khối chóp FAMG và thể tích khối đa diện lồi GMBC CB 1 A B C D 11 27 22 28 Lời giải Chọn D Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (271) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 GM AM 1    S AMG  S ABC C B AB Gọi h là chiều cao lăng trụ ABC ABC  , V là thể tích khối lăng trụ ABC ABC  Ta có V  S ABC h Ta có GM // C B  h S ABC  S AMG  S ABC S AMG  13 h 1 13   S ABC  S ABC  S ABC S ABC   S ABC h  V 3 9 27  27 14  VGMBCCB  V  VAMG ABC  V 27 Mặt khác ta có FG GM FA FG FM VFAGM FA FG FM          VFACB FA FC FB 27 FC CB FA FC FB VAMG ABC    1 1 VFACB  VAMG ABC  VFAGM   VFAGM  VAMG ABC  V 27 27 26 54 V Vậy FAGM  VAMG ABC 28  VFAGM  Câu (Sở GD Nam Định 2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V , hai điểm M và P là trung điểm AB, CD ; điểm N thuộc đoạn AD cho AD  AN Tính thể tích tứ diện BMNP A V B V 12 C V D V Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 (272) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A N M D B P C Ta có: MB  AB AD 1 , AN   d  N , AB   d  D, AB   SNMB  SDAB 3 CD  d  P,  MNB    d  C ,  ABD   2 1 1  VP.MNB  d  P,  MNB   SMNB  d  C ,  ABD   SABD  V 3 12 DP  Câu 10 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình 2019)Cho hình chóp S.ABCD có thể tích 48 và ABCD là hình thoi Các điểm M , N , P , Q là các điểm trên các đoạn SA , SB , SC , SD thỏa mãn SA  2SM , SB  3SN , SC  4SP , SD  SQ Tính thể tích khối đa diện S MNPQ A B C D 5 5 Lời giải Chọn D Ta có ABCD là hình thoi nên S ACD  S ABC Suy VS ACD  VS ABC  VS ABCD  24 VS MPQ SM SP SQ 1 *    VS MPQ  VS ACD SA SC SD * VS MNP SM SN SP 1    VSMNP  VS ABC SA SB SC Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (273) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy VS MNPQ  VS MPQ  VS MNP  Câu 11 Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi M là trung điểm SB , N là điểm trên đoạn SC cho NS  NC Thể tích khối chóp A.BCNM A a 11 18 Chọn B a 11 24 a 11 36 Lời giải C D a 11 16 A Gọi O là trọng tâm tam giác ABC Khi đó BO  2a a BI   3 Khối chóp S ABC và O là trọng tâm tam giác ABC lên SO   ABC   SO  OB  SOB vuông O  SO  SB  OB  4a  3a a 33  1 a 33 a a 11  VS ABC  SO.S ABC  a  3 2 12 V SM SN 1 Ta có S AMN     VS AMN  VS ABC VS ABC SB SC 3 2 a 11 a 11 VA.BCNM  VS ABC  VS AMN  VS ABC  VS ABC  VS ABC   3 12 18    Câu 12 Cho hình chóp S ABC có SA  2a , SB  3a , SC  4a và ASB  BSC  60 , ASC  90 Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V  2a B V  2a3 C V  4a D V  a3 Lời giải Chọn B Trên SA , SB , SC lấy các điểm A , B , C  cho SA  SB   SC   a , suy ra: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 (274) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VS AB C  VS ABC  SA SB  SC  1 1    VS ABC  24VS AB C  SA SB SC 24 (vì SA  2a  SA , SB  3a  3SB  , SC  4a  SC  )   60 và SA  SB   a suy hai tam giác SA B  , SB C  và Theo giả thiết  ASB  BSC AB   B C   a  ASC  90 và SA  SC   a nên tam giác A SC ' vuông cân S , đó AC   a Gọi H là trung điểm AC  thì SH  a và SH  A C  1 Tam giác A ' B C  cân B nên trung tuyến, là đường cao B H  Xét tam giác SHB  có SH  HB   a 2a 2 a   a suy SH  HB  2 4 Từ 1 , 2 suy SH   AB C  , nên SH là chiều cao khối chóp S ABC  Thể tích khối chóp S ABC  là: 1 a a a a3 VS AB C   SH SAB C   A C B H  a  3 2 12 12 Suy VS ABC  24VS AB C   24 Câu 13 a3  2a 12 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hình chóp S ABCD, có đáy và cạnh bên a Gọi M , N là trung điểm các cạnh SB , SD Mặt phẳng ( AMN ) chia khối chóp thành hai phần có thể tích V1 ,V2 với V1  V2 Ta có V2 A a3 18 B 5a3 8a3 15 Lời giải C D a3 Chọn B Gọi O  AC  BD, I  SO  MN , P  AI  SC Khi đó I là trung điểm SO Gọi Q là trung điểm CP  IP / / OQ  P là trung điểm SQ  SP  PQ  QC Ta có VS AMP SM SP 1 VS AMPN 1       V1  VS ABCD , V2  VS ABCD (vì V1  V2 ) 6 VS ABC SB SC VS ABCD Mặt khác SO  SA2  AO2  2a  a  a 5 Do đó V2  a.2a  a Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (275) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021    Câu 14 Cho tứ diện ABCD có AB  1; AC  2; AD  và BAC  CAD  DAB  60 Tính thể tích V khối tứ diện ABCD A V  B V  C V  D V  12 Lời giải Chọn A Do AB  AC  AD nên chọn E  AC , AE  1, F  AD , AF    CAD   DAB   60 (giả thiết) Ta có BAC Suy tứ diện ABEF là tứ diện cạnh Ta có VABEF  Mặt khác ta có Từ đó VABCD  12 VABCD AB AC AD 1.2.3   6 VABEF AB AE AF 1.1.1 nên chọn đáp án A Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân B , AC  a SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  và SA  a Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Một mặt phẳng qua hai điểm A , G và song song với BC cắt SB , SC B  và C  Thể tích khối chóp S ABC bằng: A 2a 27 B a3 4a 27 Lời giải C D 2a Chọn A S N a B' G A B C' M a C Gọi M , N là trung điểm đoạn thẳng BC , SB Khi đó, G  SM  CN Đặt BA  BC  x  Theo định lý Pitago tam giác ABC vuông B , ta có:  AC  BA2  BC  a   x2  x2  x  a  x  a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 (276) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a2 Diện tích tam giác ABC là: S ABC  BA.BC  2 1 a2 a3 Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC  S ABC SA  a  3 Mặt phẳng qua A , G song song với BC cắt SB , SC B  , C nên B C  // BC Khi đó SB SC  SG    SB SC SM SA SB SC  2 V   Ta lại có: S ABC   SA SB SC 3 VS ABC ta có 4 a 2a Suy ra, VS ABC   VS ABC   9 27 Câu 16 Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác với tất các cạnh và a Người ta cưa viên đá đó theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói trên A a2 B a2 a2 Lời giải C D 2a Chọn C Gọi khối chóp tứ giác là S ABCD có tất các cạnh a Vì mặt phẳng cắt hình khối chóp song song với đáy nên thiết diện tạo mặt cắt và khối chóp là hình vuông AB C D  Giả sử SA SA SB  SC  SD  AB   k , ta có      k ( định lí Talet ) SA SA SB SC SD AB 1 Theo giả thiết VS ABC D  VS ABCD  2VS ABC   2.VS ABC 2 V 1  VS ABC   VS ABC  S ABC   VS ABC 2 Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (277) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SA SB SC  1 AB     k    k    SA SB SC 2 AB 2  AB  Câu 17 a a2  a   S   AB C D  3  3  2 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC , AD vuông góc với đôi và AB  3a , AC  6a , AD  a Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh BC , CD , BD Tính thể tích khối đa diện AMNP A 12a3 B 3a3 C 2a3 Lời giải D a3 Chọn B Ta có: VD APN DP DN VB APM BP BM VC AMN CM CN       VD ABC DB DC ; VB ACD BD BC ; VC ABD CB CD 11  11  Mà VAMNP  VABCD  VDAPN  VBAPM  VCAMN  VABCD   AB AC AD    3a.6a.4a   3a 46  46  Câu 18 (HKI-Chuyên Long An-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích Gọi M , N SM SN   k Tìm giá trị k để thể tích khối chóp là các điểm trên cạnh SB và SD cho SB SD S AMN A k  B k  C k  D k  Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 (278) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vì đáy ABCD là hình thoi nên S ABD  S CBD  VS ABD  VS ABCD  V SA SM SN  VS AMN  k , Có VS AMN  Mặt khác S AMN  VS ABD SA SB SD 2 (do k  0) Vậy k  Suy k   k  4 Câu 19 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích V Lấy điểm A trên cạnh SA cho SA '  SA Mặt phẳng qua A và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính theo V thể tích khối chóp S.A’B’C’D’? V V V V A B C D 81 27 Lời giải Chọn C Ta có: VS ABC  VS ACD V SA ' SB ' SC '    VS ABCD ; S A ' B ' C '     VS ABC SA SB SC   27 VS A 'D'C ' SA ' SD ' SC '   1 ; VS A ' B ' C 'D'  VS A ' B 'C '  VS A 'C 'D'  VS ABCD     27 VS ADC SA SD SC   27 Câu 20 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi vuông góc với Gọi G1, G2 , G3 và G4 là trọng tâm các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD Biết AB  6a, AC  9a , AD  12 a Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (279) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 4a3 B a3 C 108a3 D 36a3 Lời giải Chọn A G1G2G3 đồng dạng với ACD theo tỉ số S G1G2G3  Câu 21 và nằm hai mặt phẳng song song 1 S ABD  6a G3G4 / / AB và G3G4  AB  2a VG1G2G3G4  G3G4 SG1G2G3  4a 3 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân B , AC  a , SA   ABC  , SA  a Gọi G là trọng tâm tam giác SBC , mặt phẳng   qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần Gọi V là thể tích khối đa diện không chứa đỉnh S Tính V A 4a B 4a 27 5a 54 Lời giải C D 2a Chọn C S N a B' G A B C' M a C Trong mặt phẳng  SBC  kẻ đường thẳng qua G song song với BC , cắt SB , SC B , C Khi đó mặt phẳng   trùng với mặt phẳng  ABC   Gọi M , N là trung điểm đoạn thẳng BC , SB Đặt BA  BC  x  Theo định lý Pitago tam giác ABC vuông B , ta có:  AC  BA2  BC  a   x  x  x2  a2  x  a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 (280) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a2 Diện tích tam giác ABC là: S ABC  BA.BC  2 1 a2 a3 Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC  S ABC SA  a  3 SB SC  SG    Ta lại có: SB SC SM SA SB SC  2 V   Suy ra: S ABC   SA SB SC 3 VS ABC 4 a 2a Vì thế, VS ABC   VS ABC   27 Vậy V  VS ABC  VS ABC   Câu 22 a 2a 5a   27 54 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi E, F , G là trung điểm BC, BD, CD và M , N , P, Q là trọng tâm ABC, ABD, ACD, BCD Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo V A V B V C 2V D V 27 Lời giải Chọn D Ta có ΔMNP  ΔEFG và ΔEFG  ΔDCB và MN  EF EF  DC Do đó ΔMNP  ΔDCB và MN  DC SΔMNP 1   SΔMNP  SΔBCD S ΔBCD 9 Mặt khác d  Q,  MNP    d  A,  BCD   Suy VMNPQ  V 27 Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (281) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 23 (THPT QG 2017) Cho tứ diện ABCD có thể tích 12 và G là trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp A.GBC B V A V  4 C V  D V  Lời giải Chọn B A B D G C Cách 1: Phân tích: tứ diện ABCD và khối chóp AGBC có cùng đường cao là khoảng cách từ A đến mặt phẳng  BCD Do G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có SBGC  SBGD  SCGD  SBCD  3SBGC (xem phần chứng minh) Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có:  VABCD  h.S BCD  h.S  VABCD BCD S BCD 1     V A.GBC  V ABCD  12   1 3 VA.GBC h.SGBC SGBC VA.GBC  h.S GBC    Chứng minh: Đặt DN  h; BC  a +) MF // ND  MF CM 1 h    MF  DN  MF  DN CD 2 +) GE // MF  GE BG 2 h h    GE  MF   MF BM 3 3 1 S BCD DN BC +)     S BCD  3S GBC 1h S GBC GE BC a 23 +) Chứng minh tương tự có SBCD  3SGBD  3SGCD SBGC  SBGD  SCGD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 (282) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Cách 2: Ta có d  G;  ABC   d  D;  ABC    GI 1   d  G;  ABC    d  D;  ABC   DI 3 3 Nên VG ABC  d  G ;  ABC   S ABC  VDABC  Câu 24 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng ( M N E ) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, đó khối chứa điểm A có thể tích V Tính V A 13 a 216 B 2a3 216 2a3 18 Lời giải C D 11 a 216 Chọn D Tính thể tích T có khối tứ diện ABCD Gọi F là trung điểm BC và H trọng tâm tam giác BCD Ta có BF  a a và BH  BF  suy BH  AB2  BH  a 3 Thể tích tứ diện ABCD là T  1 a a3 AH.SBCD  a  3 12 Gọi diện tích mặt tứ diện là S Gọi P là giao điểm NE và CD , tương tự cho Q Ta thấy P, Q là trọng tâm các tam giác BEC và BEA nên PD  DC , QD  AD Sử dụng công thức tỉ số thể tích ta có: Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (283) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 V B ACE V 1 T  nên VB.ACE  2T ; E.BMN  nên V E BMN  2T  V B ACD VE BAC 4 Nên V E AMNC  V E ABC  V B EMN  2T  T  T Tương tự: V E DPQ V E DCA  nên V E DPQ  T Nên V ACPQ  T  T  T 9 9 11 11a3 Suy V  VE AMNC  VE ACPQ  T  T  T  18 216 Câu 25 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V  12 Gọi M , N trung điểm SA, SB; P là điểm thuộc cạnh SC cho PS  PC Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh SD Q Tính thể tích khối chóp S.MNPQ A 18 B C D 12 25 Lời giải Chọn B Ta có PQ / / CD  Khi đó ta có: VSMPQ VSACD VSMNP SM SN SP 1 1     VSMNP  V VSABC SA SB SC 2 12 2    VSMPQ  V 3 9 Vậy VS MNPQ  Câu 26 SQ SP   SD SC 7 V 36 (CHUYÊN Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2019)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Thể tích khối tứ diện SGCD A 36 B C 36 D 18 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 (284) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi O  AC  BD  SO   ABCD  , I là trung điểm cạnh BC OC  2  SO  SC  OC   VS ABCD  SO.S ABCD  2 VS DCI  VS ABCD  24 VS DCG SD SC SG 2 2    VS DCG  VS DCI   VS DCI SD SC SI 3 24 36 Câu 27 Cho khối chóp S ABCD có thể tích 1, đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AD và AD  3BC Gọi M là trung điểm cạnh SA, N là điểm thuộc cạnh CD cho ND  NC Mặt phẳng  BMN  cắt cạnh SD P Thể tích khối chóp A.MBNP A B 12 C 16 D 32 Lời giải Chọn A Đặt V  VS ABCD  Gọi I là giao điểm BN với AD , suy P là giao điểm MI với SD BC  DI và ND  NC  DI  3BC  D là trung điểm AI Do đó P là trọng tâm tam giác SAI  SP  SD 1 1 S BCN  S BCD  S ABCD  S ABCD ; S ADN  S NID  9S BCN  S ABCD 4 16 16 3 S ABN  S ABCD  S BCN  S ADN  S ABCD Suy VS ABN  V ; VS ADN  V 8 16 Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (285) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VS MBN VS MNP 1  VS ABN  VA.BMN  VS ABN  V ; 2 16 1  VS ANP  VA.MNP  VS ANP  VS AND  V 2 16 3 Do đó VA.MBNP  VA.BMN  VA.MNP  V  8 Câu 28 (THPT Ninh Bình-Bạc Liêu-2019) Cho hình hộp ABCD ABC D có thể tích V Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh AB , AC  , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP V V A V B C D V 48 48 Lời giải Chọn C Gọi G  CM  BD , I  PN  BD , O  AC  BD Dễ thấy BP là đường trung bình INO 2 và G là trọng tâm ABC nên BG  BO  BI 3 VN CMP NP 1    VCMNP  VN CMI VN CMI NI 2 Đặt S  S ABCD và h là chiều cao khối hộp ABCD ABC D Ta có 5 S BMC d  B, MC  MC BG     SIMC  SBMC  S  S 2 S IMC d  I , MC  MC IG 1 5 Mà VN IMC  SIMC d  N ,  ABCD    S.h  V 3 24 Vậy VCMNP  VN CMI  V 48 Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 Trên cạnh SB , SD lấy các điểm M , N cho SM  MB , SD  3SN Mặt phẳng  AMN  cắt SC P Tính thể tích V khối tứ diện SMNP A V  B V  C V  D V  Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 (286) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có SB SD SA SC SC SC       1   SM SN SA SP SP SP VS MNP VS MNP SP SM SN 1 1 1      VS MNP  VS ABCD  VS ABCD VS BCD SC SB SD 48 48 Câu 30   CBD   90 ; ABCD Ninh 2019) Cho tứ diện có DAB AB  a; AC  a 5;  ABC  135 Biết góc hai mặt phẳng  ABD  ,  BCD  30 Thể (Sở Bắc tích tứ diện ABCD là A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn D Vẽ AH   BCD  , H   BCD  Vẽ HK // BC , K  BD , có BD  BC  HK  BD , mà AH  BD  BD   AHK   BD  AK Nên  ABD  ,  BCD    AKH  30   Vẽ HM // BD , M  BD , có BC  BD  HM  BC , mà AH  BC   135  BC  AM , có góc ABC Suy  ABM  45 (nên B M và C ) ABM  45 ΔAMB vuông M có  AB a  2 Tứ giác BKHM là hình chữ nhật, nên BM  HK HK a 2a AKH  30 , nên AH   , AK  AH  ΔAHK vuông H có  6 Suy ΔAMB vuông cân B  AM  MB  Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (287) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 ΔBAD vuông A có AK là đường cao nên   2 AK AB AD 1 1   2    AD  a và BD  AB  AD  a 2 2a a AD AD 2a Có BC  CM  BM , CM  CA2  AM  5a   BC  Có V  3a a  a 2 a a3 1 a 3.a  AH S BCD  AH BD.BC  6 6 Vậy V  Câu 31 a 9a  2 a3 (Sở Hà Nam - 2019) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SB N là điểm thuộc cạnh SC cho SN  2CN , P là điểm thuộc cạnh SD cho SP  3DP Mặt phẳng  MNP  cắt SA Q Biết khối chóp SMNPQ có thể tích Khối đa diện ABCD.QMNP có thể tích A B 17 C D 14 Lời giải Chọn B SA SC SB SD    (Tham khảo bài tập 73 trang 64 SBT Hình 11 nâng cao) SQ SN SM SP SQ Do đó ta có  SA 11 VSMNQ SM SN SQ    VSMNQ  VSABCD Ta có VSBCA SB SC SA 11 11 Ta có Tương tự: VSQPN  22 VSABCD Do đó VSMNQ  VSQPN  VSABCD  VSABCD  22 22 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 (288) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy VABCD.QMNP  Câu 32 17 (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho hình chóp S ABC có SA   ABC  , tam giác ABC đều, AB  a , góc SB và mặt phẳng  ABC  60 Gọi M , N là trung điểm SA , SB Tính thể tích khối chóp S MNC A a3 B a3 C a3 12 D a3 16 Lời giải Chọn D Ta có: SA   ABC   AB là hình chiếu SB lên mặt phẳng  ABC    60   SB,  ABC     SB, AB   SBA   a.tan 60  a SA  AB tan SBA 1 a2 a3 VS ABC  S ABC SA  a  3 4 VS MNC SM SN SC 1    VS ABC SA SB SC 2 1 a3 a3  VS MNC  VS ABC   4 16 Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA  a , SA vuông góc với đáy, mặt phẳng  SBC  tạo với đáy góc  cho tan   Gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích khối tứ diện SOGC a3 A 36 a3 B a3 C 12 Lời giải a3 D 24 Chọn A Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (289) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  BC  AB  BC  SB Ta có:   BC  SA  SBC   ( ABCD)  BC       SBC  ;  ABCD    AB; SB  SBA BC  AB Như   BC  SB      SA a  6  AB  a AB AB Gọi I là trung điểm CD , trọng tâm G tam giác SCD , G thuộc SI Trong tam giác SAB vuông A , tan   1 1 a a a3 Có VS OCI  SA.SOIC  SA .IO.IC  a  3 2 24 Khi đó: VSOGC SG 2 a a3    VSOGC  VSOIC   VSOIC SI 3 24 36 Câu 34 Cho khối hộp ABCD ABC D có thể tích V Lấy điểm M MA  MA Thể tích khối chóp M ABC A V B V V 18 Lời giải C thuộc cạnh AA cho D V Chọn B Thể tích hình hộp là V  B h Gọi diện tích tam giác ABC là B  , ta có: B  B Gọi AH là đường cao hạ từ A  xuống mặt phẳng đáy: AH   ABCD  H , đặt h  AH Dựng MK MA 2    gt   h  h AH AA 3 1 V Gọi V là thể tích hình chóp M ABC , ta có: V   B h  B h  B h  3 9 MK   ABCD  K , ta có MK // AH và có tỉ số Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 (290) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 35 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có thể tích là V Gọi M là trung điểm BB ' , điểm N thuộc cạnh CC ' cho CN  2C ' N Tính thể tích khối chóp A.BCMN theo V 7V 7V V 5V A VA BCMN  B VA BCMN  C VA BCMN  D VA.BCMN  12 18 18 Lời giải Chọn B Cách 1: 1 Ta có: VB ' BAC  d ( B ', ( ABC )).SABC  V 3 V BM 1 1 V Theo công thức tỷ số thể tích: B.MAC    VB MAC  VB B ' AC  V  VB B ' AC BB ' 2 Ta có: BB '  BM  3 NC  BM  NC BM d (C , BB ') SBMC    SNMC NC.d ( M , CC ') S BCNM V 7      A BCNM  SBMC 3 VA BMC 7 V 7V Vậy: VA BCNM  VA.BMC   3 18 Cách 2: Gọi h, k là độ dài đường cao hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' và hình chóp A.BCMN , S là diện tích tam giác ABC Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (291) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 h  độ dài đường cao hình chóp M ABC là: h hS (1) VMABC  S  h hS Mặt khác: VMABC  S  k SBCM  k SBCM  3 4 Ta có SMNC  SBCM (vì tam giác MNC và BCM có cùng chiều cao và CN  BM ) 3 1 4 hS 2hS VAMNC  k SMNC  k SBCM  k SBCM   (2) 3 9 hS 2hS hS 7V Từ (1) và (2) ta có: VA BCMN  VMABC  VAMNC     18 18 Câu 36 (Chuyên Quang Trung - 2018)   CSA   60, Cho khối chóp S ABC có  ASB  BSC SA  a, SB  2a, SC  4a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a A 8a B 2a 4a Lời giải C D a3  SM  SB  Lấy M  SB, N  SC thoả mãn: SM  SN  SA  a    SN   SC   CSA   600  S AMN là khối tứ diện cạnh a Theo giả thiết:  ASB  BSC Do đó: VS AMN  Mặt khác : Câu 37 a3 12 VS AMN SM SN 1 2a     VS ABC  8VS AMN  VS ABC SB SC   CSA   60 và (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Cho khối chóp S.ABC có góc  ASB  BSC SA  , SB  , SC  Thể tích khối chóp S ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 (292) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 2 B D C Lời giải S C A O M B C B SB và C  trên SC cho SC   SC Khi đó SA  SB  SC   S ABC  là khối tứ diện Gọi B trên SB cho SB  Ta có: AM  2   AO  AM  3 Nên SO  SA2  AO  và S ABC  2 Khi đó VS ABC   S ABC  SO  3 V SA SB SC Mà ta lại có: S ABC    VS ABC  3VS ABC   2 VS ABC  SA SB SC  Cách khác: SA.SB.SC   cos CSB   2cos   cosCSB  2 VS ABC   cos  ASB  cos BSC ASB.cos.BSC Câu 38 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 Gọi M , N , P , Q là trọng tâm các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD Tính theo V thể tích khối tứ diện MNPQ A 2017 B 4034 81 8068 27 Lời giải C D 2017 27 A N P M B D F E Q G C Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (293) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VAEFG S EFG 1    VAEFG  VABCD VABCD S BCD 4 ( Do E , F , G là trung điểm BC, BD, CD ) VAMNP SM SN SP 8    VAMNP  VAEFG  VABCD  VABCD 27 27 27 VAEFG SE SE SG 27 Do mặt phẳng  MNP  //  BCD  nên VQMNP VAMNP  1  VQMNP  VAMNP 2 2017 VQMNP  VABCD  VABCD  27 27 27 Câu 39 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  a và SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD cho SN  ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 A V  a3 B V  a C V  a3 D V  a3 12 36 Lời giải a3 Cách Ta có VS ABCD  SA.S ABCD  3 1   a3 VNDAC  NH S DAC  a  a   3   18 1 a   a3 VMABC  MK S ABC   a   3   12 a3 d  A,  SMN   S SMN  18 1  a  a3 Suy VNSAM  NL.S SAM  a  a   3  2  18 1 a3 Mặt khác VC SMN  d  C ,  SMN   S SMN  d  A,  SMN   S SMN  3 18 Vậy VACMN  VS ABCD  VNSAM  VNADC  VMABC  VSCMN a3 a a3 a a 3       a 18 18 12 18 12 S M L A N B O K H D C Cách Gọi O là giao điểm AC và BD a3 Ta có VS ABCD  SA.S ABCD  Vì OM //SD nên SD //  AMC  3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 (294) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do đó d  N ;  AMC    d  D;  AMC    d  B;  AMC   a3  VACMN  VN MAC  VD.MAC  VB.MAC  VM BAC  VS ABCD  12 1 (do d  M ;  ABC    d  S ;  ABC   và SABC  S ABCD ) 2 Câu 40 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA  2a Gọi B; D là hình chiếu vuông góc A trên các cạnh SB, SD Mặt phẳng  ABD  cắt cạnh SC C  Tính thể tích khối chóp S ABC D A a3 B 16a 45 Ta có VS ABC D  2VS ABC  1 mà a3 Lời giải C D 2a VSABC  SB SC   * VSABC SB SC  SAC vuông A nên SC  SA2  AC   2a   a   6a suy SC  a Ta có BC   SAB   BC  AB và SB  AB suy AB   SBC  nên AB  BC Tương tự AD  SC Từ đó suy SC   ABD    ABC D  nên SC  AC  Mà SC .SC  SA2 suy SC  SA2 4a 2    Ta có SC SC 6a SB SA2 SA2 4a     2 SB SB SA  AB 4a  a VSABC  8 8  Từ *  suy VSABC   VSABC  VSABCD  VSABCD mà VSABC 15 15 15 30 2a VSABCD  S ABCD SA  3 2a 8a Suy VSABC    30 45 Từ 1 suy VS ABC D  2VS ABC   16a 45 Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (295) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 41 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh Trên các cạnh AB và CD      lấy các điểm M và N cho MA  MB  và NC  2 ND Mặt phẳng  P  chứa MN và song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V Tính V A V  18 B V  11 216 C V  216 D V  108 Lời giải Từ N kẻ NP //AC , N  AD M kẻ MQ //AC , Q  BC Mặt phẳng  P  là MPNQ AH S ABCD  12  VAMPC  VMQNC  VMPNC Ta có VABCD  V  VACMPNQ AM AP VABCD  VABCD  VABCD AB AD 3 1 CQ CN 11  VAQNC  VABCD  VABCD  VABCD 2 CB CD 22 2 2 AM 11  VMPCD  VMACD  VABCD  VABCD  VABCD 3 3 AB 32 Ta có VAMPC  VMQNC VMPNC 11 11 1 1 Vậy V     VABCD  V  VABCD  18 216 3 9 Câu 42 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy là hình bình hành có thể tích V Lấy điểm B  , D là trung điểm cạnh SB và SD Mặt phẳng qua  ABD cắt cạnh SC C Khi đó thể tích khối chóp S ABCD A V B 2V V3 Lời giải C D V Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 (296) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD thì SO  BD  H Khi đó H là trung điểm SO và C  AH  SO Trong mặt phẳng  SAC  : Ta kẻ  d  //AC và AC  cắt  d  K Khi đó áp dụng tính đồng dạng OH OA SK SK SC  SC     SK  OA   ;     SH SK AC AC CC  SC V SA SB SD 1 V  VS ABCD  nên ta có S ABD      VS ABD  V và VS ABD SA SB SD 2 các tam giác ta có: Vì VS ABD  VS BCD VS BC D SB SC  SD SC  SC  V       VS BC D   VS BCD SB SC SD SC SC SC  V V  SC   V Suy VS ABC D  VS ABD  VS BC D  V    1   SC 8  SC  Câu 43 (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA  a Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC B , D , C  Thể tích khối chóp S ABC D là: A V  2a 3 B V  2a C V  a3 D V  2a 3 Lời giải S C' D' B' D A O B C a3 Ta có: VS ABCD  a a  3 Ta có AD   SDC   AD  SD ; AB   SBC   AB  SB Do SC   ABD   SC  AC  Tam giác S AC vuông cân A nên C  là trung điểm SC SB SA2 2a 2    SB SB 3a  SB SC  SD SC   SB SC  1        SB SC SD SC  SB SC 3 Trong tam giác vuông SAB ta có VSABC D VS ABCD  VS ABC   VS AC D VS ABCD Vậy VSABC D  Câu 44 a3 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V Gọi M , N , P , Q là trung điểm AC , AD , BD , BC Thể tích khối chóp AMNPQ là A V B V C V D V Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (297) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Ta có VAMNPQ  2VAPMQ (do MNPQ là hình thoi), AB // MQ  VAPMQ  VBPMQ Mặt khác P là trung điểm BD nên d  P,  ABC    d  D,  ABC   , đồng thời 1 1 S ABC  VBPMQ  d  P,  ABC   S BQM  d  D,  ABC   S ABC 1 V V  d  D,  ABC   S ABC   VAMNPQ  8 Câu 45 (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Cho hình đa diện hình vẽ S BQM    CSD   DSA   BSD   60 Thể tích khối Biết SA  , SB  , SC  , SD  và  ASB  BSC đa diện S ABCD là A C 30 D 10 Lời giải Trên SA , SB , SC lấy các điểm A , B , C  cho SA  SB  SC   SD  Ta có AB  BC   C D  DA  Khi đó hình chóp S ABD và hình chóp S CBD là các hình chóp tam giác có tất các cạnh VS ABD  VS C BD  B 23 2  12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 (298) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Mặt khác VS ABD SA SB SD 2 9  3   , nên VS ABD  VS ABD    VS ABD SA SB SD 2 VS CBD SC SB SD 2    , nên VS CBD  3VS C BD  2 VS CBD SC  SB SD Thể tích khối đa diện S ABCD là V  VS ABD  VS CBD   2  Câu 46 (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA  a và SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB , N thuộc cạnh SD cho SN  ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 A V  a3 B V  a3 C V  a3 D V  a 36 12 Lời giải Cách 1: Phân rã hình: a3 Thể tích khối chóp S ABCD là: V   a  3 Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (299) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 1 Thể tích tứ diện SMNC là: VSMNC   VS BDC    V  V 3 2 1 Thể tích tứ diện NACD là: VNADC   V  V 1 Thể tích tứ diện MABC là: VMABC   V  V 2 2 1 Thể tích tứ diện SAMN là: VSAMN   VS BDC    V  V 3 2 Mặt khác ta có: VSMNC  VNACD  VMABC  VSAMN  VAMNC  VS ABCD 1  a3 1 Suy VAMNC  V  VSMNC  VNACD  VMABC  VSAMN   V   V  V  V  V   V  6  12 6 Câu 47 (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có thể tích 2110 Biết AM  MA , DN  ND , CP  2C P hình vẽ Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ A 5275 B 8440 7385 18 Lời giải C D 5275 12 Gọi Q là giao điểm mặt phẳng  MNP  với BB AM C P DN BQ x,  y,  z,  t Khi đó x  y  z  t AA CC  DD BB VABD.MQN x  z  t VABD.MQN x z t    VABD ABD VABC D ABCD Giả sử Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 (300) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VC BD.PQN VC BD.CBD   VC BD.PQN y z t y z t   VABC D ABCD VMNPQ ADC B VABCD ADC B   x  y VMNPQ ADC B  AM C P   1         VABCD ADC B  AA CC     12 5275  VMNPQ ADC B  VABCD ADC B  12 Câu 48 (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích V Gọi E là điểm trên cạnh SC cho EC  ES Gọi   là mặt phẳng chứa AE và song song với BD ,   cắt SB, SD hai điểm M , N Tính theo V thể tích khối chóp S AMEN 3V V A B C 3V 16 D V Lời giải Gọi G là giao điểm AE và SO Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta có: AC GO ES GO 1 1 AO GS EC GS SG SM SN     SO SB SD V V V 1 1 1 Ta có: S AMEN  S AME  S AEN    V 2VS ABC 2VS ACD 2 2  Vậy VS AMEN  V Câu 49 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D  có thể tích 2110 Biết AM  MA ; DN  3ND ; CP  PC  Mặt phẳng  MNP  chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (301) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 D A C B N P M C D A B 8440 C Lời giải A 5275 B 12 7385 18 D A D 5275 C B N P M Q D Ta có: VMNPQ ABC D VABCD ABC D Vnho  VMNPQ ABC D  Câu 50 B A  AM C P   1          AA C C    12 5 5275 VABCD ABC D   2110  12 12 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC có thể tích 2018 Gọi M là trung điểm AA ; N , P là các điểm nằm trên các cạnh BB , CC  cho BN  2BN , CP  3C P Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP 32288 40360 4036 23207 A B C D 27 27 18 Lời giải Ta có Câu 51 C VABC MNP  AM BN CP  23 23207      Vậy VABC MNP   18 VABC ABC   AA BB CC   36 (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC  có thể tích 6a Các AM BN CP  ,   điểm M , N , P thuộc các cạnh AA , BB , CC  cho AA BB CC  Tính thể tích V  đa diện ABC.MNP Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 (302) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A V   11 a 27 B V   a 16 C V   11 a D V   Lời giải Lấy điểm Q  AA cho PQ //AC Ta có MQ  AQ  AM  AA Dễ thấy VABC MNP  VABC ABC , VM QNP  VABC ABC  12 11 11 Vậy V   VABC MNP  VM QNP  V  a 18 HẾT Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 11 a 18 (303) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 14 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DIỆN KHÁC TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình hộp ABCD ABCD có chiều cao và diện tích đáy Gọi M , N , P và Q là tâm các mặt bên ABBA, BCCB, CDDC và DAAD  Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, D, M , N , P và Q A 27 Câu B 30 C 18 D 36 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a và O là tâm đáy Gọi M , N , P , Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA và S ' là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S '.MNPQ 20 14a3 A 81 Câu 40 14a3 B 81 10 14a3 C 81 14a3 D (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB, SBC , SCD, SDA và S  là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S .MNPQ A Câu 40 10a 81 B 10 10a 81 C 20 10 a3 81 D 10a (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD, SDA và S  là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S .MNPQ A Câu 6a B 40 6a 81 C 10 6a 81 D 20 6a 81 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD, SDA và S  là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S MNPQ 2a 20 2a 40 2a 10 2a B C D 81 81 81 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 4a , cạnh bên A Câu 3a và O là tâm đáy Gọi M , N , P , Q là hình chiếu vuông góc O lên các mặt phẳng ( SAB) , (SBC ) , (SCD) và ( SDA) Thể tích khối chóp O.MNPQ A Câu 4a3 B 64a 81 C 128a 81 D 2a3 3a O O và là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc trên các mặt (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCD  và  SDA  Thể tích khối chóp O.MNPQ Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (304) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu a3 48 B 2a 81 C a3 81 a3 96 D 3a và O là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc O trên các mặt phẳng ( SAB) , ( SBC ) , Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 3a , cạnh bên ( SCD ) và ( SAD) Thể tích khối chóp O.MNPQ A Câu 9a 16 B 2a C 9a 32 a3 D (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên a và O là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc O lên các mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCD  và  SDA  Thể tích khối chóp O MNPQ bằng: A 8a 81 B a3 C a3 12 D 16 a 81 Câu 10 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh , nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Gọi S là điểm đối xứng B qua đường thẳng DE Thể tích khối đa diện ABCDSEF 11 A B C D 12 Câu 11 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC ABC  có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABBA, ACC A và BCC B Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A Câu 12 B C 20 D 14 (Mã 103 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC ABC  có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N , P là tâm các mặt bên ABBA, ACC A, BCC B Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A Câu 13 B 10 C D 12 (Mã 102 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' và BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M , N , P A Câu 14 40 B 16 C 28 D 12 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' và BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A 30 Câu 15 B 36 C 27 D 21 (Chuyên Hạ Long -2019) thể tích bát diện cạnh a là a 6a3 B 6a C a D a3 Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (305) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có khối bát diện cạnh a tạo từ khối chóp tứ giác có cạnh đáy và cạnh bên a  Chiều cao khối chóp là: h  Thể tích khối chóp: Vchop  a 6 a a       2 a a3 a  (đvtt) 2   Vậy thể tích khối bát diện là: V  2Vchop  a (đvtt) Câu 16 Cho hình lập phương có cạnh a Tính theo a thể tích khối bát diện có các đỉnh là tâm các mặt hình lập phương 1 A a3 B a3 C D a a 12 Câu 17 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCDABC D Khoảng cách AB và BC là 2a 2a a , BC và AB là , AC và BD là Thể tích 5 khối hộp đó là A 8a Câu 18 B 4a3 C 2a3 D a3 (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  a, BC  2a , AC '  3a Điểm N thuộc cạnh BB ' cho BN  NB ' , điểm M thuộc cạnh DD ' cho D ' M  MD Mặt phẳng  A ' MN  chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm C ' A 4a B a Câu 19 C 2a D 3a (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a , góc đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  60 Gọi A , B , C tương ứng là các điểm đối xứng A , B , C qua S Thể tích V khối bát diện có các mặt ABC , ABC , ABC , BCA , CAB , ABC , BAC , CAB là A V  Câu 20 3a3 B V  3a C V  3a D V  3a (Chuyên KHTN - 2020) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R, S là tâm các mặt hình lập phương Thể tích khối bát diện tạo sáu đỉnh M , N , P, Q, R, S Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (306) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu 21 a3 24 B a3 C a3 12 D a3 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có M , N , P là trung điểm các cạnh BC , C ' D ', DD ' (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối hộp 144 , thể tích khối tứ diện AMNP A 15 Câu 22 B 24 C 20 D 18 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho khối chóp S ABCD có chiều cao và đáy là hình bình hành có diện tích 10 Gọi M , N , P và Q là trọng tâm các mặt bên SAB , SBC , SCD và SDA Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm M , N , P , Q , B và D là A Câu 23 C 30 D B 3 C D a3 B a 3 C a3 D a3 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có đáy ABCD là   60 Gọi I, J là tâm các mặt bên hình thoi tâm O, cạnh a và BAC a , AA  2a và góc hai mặt phẳng 60 Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ ABBA, CDDC  Biết AI  A Câu 26 25 (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất các cạnh bằnga Gọi S là điểm đối xứng A qua BC ' Thể tích khối đa diện ABCSB ' C ' là A Câu 25 50 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có AA '  , đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam giác cạnh Gọi M , N , P là trung điểm B ' C ' , C ' D ' , DD ' và Q thuộc cạnh BC cho QC  3QB Tính thể tích tứ diện MNPQ A 3 Câu 24 B 3a3 64 B 3a 48 C 3a 32 D  ABBA ,  ABC D 3a 192 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a M , K tương ứng là trọng tâm tam giác SAB, SCD ; N là trung điểm BC Thể tích khối tứ diện SMNK m a với m, n  ,  m, n   Giá trị m  n n bằng: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (307) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B 12 A 28 C 19 D 32 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABCD AB C D có đáy là hình thoi có   120 Gọi M , N , K là trung điểm cạnh AB, BC , BD Thể tích khối da cạnh 4a , AA  8a , BAD Câu 27 diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , K là: A 12 a Câu 28 B 28 3 a C 16 a D 40 3 a (Chuyên Sơn La - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp  với đáy góc 60 Gọi M là điểm đối xứng C qua D, N là trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần (như hình vẽ bên) Tỉ số thể tích hai phần VSABFEN VBFDCNE A Câu 29 B C D (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  Mặt phẳng   qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD M , N , P Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP A Câu 30 32 B 64 2 C 108 D 125 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB  , SA  SB  SC  12 Gọi M , N , E là trung điểm AC , BC , AB Trên cạnh BF  Thể tích khối tứ diện MNEF SB lấy điểm F cho BS Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (308) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu 31 34 B 34 C 34 D 16 34 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V Gọi G1 ,G , G3 , G4 là trọng tâm bốn mặt tứ diện ABCD Thể tích khối tứ diện G1 G G3G4 là: A Câu 32 V 12 B V C V 27 D V 18 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hình lập phương ABCD AB C D  có thể tích V Gọi M là điểm thuộc cạnh BB cho BM  MB  Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc với AC  cắt các cạnh DD, DC , BC N , P, Q Gọi V1 là thể tích khối đa diện CPQMNC  Tính tỷ số V1 V A Câu 33 31 162 B 35 162 C 34 162 D 13 162 (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho tứ diện ABCD có thể tích 18 Gọi A1 là trọng tâm tam giác BCD ;  P  là mặt phẳng qua A cho góc  P  và mặt phẳng  BCD  600 Các đường thẳng qua B; C; D song song với AA1 cắt  P  B1; C1; D1 Thể tích khối tứ diện A1B1C1D1 bằng? A 12 Câu 34 B 18 D 12 C (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên a Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD  cho tổng Q  MA  MB  MC  MD  MS nhỏ Gọi V1 là thể tích khối chóp S.ABCD và V2 là thể tích khối chóp M ACD Tỉ số A Câu 35 11 140 B 22 35 V2 V1 C 11 70 D 11 35 (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên tạo với đường cao góc 30 o , O là trọng tâm tam giác ABC Một hình chóp thứ hai O A ' B ' C ' có S là tâm tam giác A ' B ' C ' và cạnh bên hình chóp O A ' B ' C ' tạo với đường cao góc 60 o cho cạnh bên SA, SB , SC cắt các cạnh bên OA ', OB ', OC ' Gọi V1 là phần thể tích phần chung hai khối chóp S ABC và O A ' B ' C ', V2 là thể tích khối chóp S ABC Tỉ số A Câu 36 16 B C 27 64 D V1 bằng: V2 64 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh a , tâm đáy là O Gọi M , N tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SC Gọi E là giao điểm SD và mặt phẳng  BMN  Tính thể tích V khối chóp O.BMEN A V  a3 18 B V  a3 24 C V  a3 12 D V  Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 36 (309) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 37 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a Mặt bên tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa AB và tạo với đáy góc 300 và cắt SC, SD M và N Tính thể tích V khối chóp S.ABMN theo a A V  Câu 38 a3 B V  5a3 48 C V  a3 D V  a3 16 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có chiều cao và diện tích đáy 11 Gọi M là trung điểm AA, N là điểm trên cạnh BB  cho BN  3BN và P là điểm trên cạnh CC  cho 6CP  5C P Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh DD  Q Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B , C , D , M , N , P và Q A Câu 39 88 B 42 C 44 D 220 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên  SAB  là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy  ABCD  và có diện tích 27 (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB và song song với mặt đáy  ABCD  chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, tính thể tích V phần chứa điểm S A V  Câu 40 B V  24 C V  36 D V  12 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hai hình chóp tam giác có cùng chiều cao Biết đỉnh hình chóp này trùng với tâm đáy hình chóp kia, cạnh bên hình chóp này cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên có độ dài a hình chóp thứ tạo với đường cao góc 300 , cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc 450 Tính thể tích phần chung hai hình chóp đã cho?    a3 A Câu 41 64 2   a B 32    a3 C 64   27  a D 64 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích 12a ; khoảng cách từ S tới mặt phẳng  ABCD  4a Gọi L là trọng tâm tam giác ACD ; gọi T và V là trung điểm các cạnh SB và SC Mặt phẳng  LTV  chia hình chóp thành hai khối đa diện, hãy tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S A Câu 42 20a B 8a C 28a D 32a3 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể tích Gọi M là trung điểm SA và N là điểm đối xứng của A qua D Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi ( H ) là khối đa diện có chứa đỉnh Thể tích khối đa diện ( H ) A Câu 43 12 B C 12 D (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi M , N , P , Q , R là trung điểm các cạnh AB , AD, AC , DC , BD và G là trọng tâm tam giác ABC (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG theo V Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (310) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu 44 V B V C V 2V D (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho lăng trụ ABC ABC  có thể tích Gọi M , N và P là các điểm nằm trên cạnh AB , BC  và BC cho M là trung điểm AB , BN  BC  và BC Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB E và đường thẳng EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi AQPCAMNC ' BP  A 23 B 23 C 59 12 D 19 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (311) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DIỆN KHÁC Chuyên đề 14 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình hộp ABCD ABCD có chiều cao và diện tích đáy Gọi M , N , P và Q là tâm các mặt bên ABBA, BCCB, CDDC và DAAD  Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, D, M , N , P và Q A 27 B 30 C 18 Lời giải D 36 Chọn B Ta có VABCD ABC D  9.8  72 Gọi I , J , K , L là trung điểm các cạnh AA, BB, CC, DD suy VABCD IJKL  36 Do hình chóp A.MIQ đồng dạng với hình chóp A.BAD theo tỉ số nên 1 VA.MQI  VA.BAD   8 2 VABCD.MNPQ  VABCD.IJKL  4VA.MIQ  36   30 Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a và O là tâm đáy Gọi M , N , P , Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA và S ' là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S '.MNPQ A 20 14a3 81 Chọn B 40 14a3 81 10 14a3 81 Lời giải C D 14a3 A Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (312) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi G1 , G2 , G3 , G4 là trọng tâm SAB, SBC, SCD, SDA E, F , G, H là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA 4 8a Ta có S MNPQ  SG1G2G3G4  S EFGH  EG.HF  9 d  S ,  MNPQ    d  S ,  ABCD    d  O,  MNPQ    d  S ,  ABCD    2d  O,  G1G2G3G4    d  S ,  ABCD    d  S ,  ABCD   5a 14  d  S ,  ABCD    5a 14 8a 20a3 14   Vậy VS.MNPQ   81 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB, SBC , SCD, SDA và S  là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S .MNPQ A 40 10 a3 81 B 10 10 a3 81 20 10 a 81 Lời giải C D Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 10 a3 (313) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta gọi G1 , G2 , G3 , G4 là trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCD, SDA thì Câu d  S ,  MNPQ    5 d  O,  MNPQ    VS .MNPQ  VO.MNPQ  8VO.G1G2G3G4 2  10VS G1G2G3G4  10 20 a 10 10 10a3 VS ABCD  a  27 27 81 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD, SDA và S  là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S .MNPQ A 6a B 40 6a 81 10 6a 81 Lời giải C D 20 6a 81 Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (314) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 5a Ta có: S K  S O  OK  SO  SO   , SMNPQ    S ABCD  a 9 Vậy: VS .MNPQ  Câu 20 6a  81 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có tất các cạnh a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB, SBC , SCD, SDA và S  là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S MNPQ A 2a B 20 2a 81 40 2a 81 Lời giải C D 10 2a 81 Chọn B a 2 Gọi G, K là trọng tâm tam giác SAB và tam giác SCD Ta có SO  Suy MP  2GK  4 a , tương tự NQ  a 3 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (315) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  S MNPQ  a Ta có  MNPQ  //  ABCD  d  M ,  ABCD    2d  G ,  ABCD     d   MNPQ  ,  ABCD     d  S ,  MNPQ    S O  a SO  3 a a 5a  5a 8a 20 2a  VS MNPQ   81 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 4a , cạnh bên 3a và O là tâm đáy Gọi M , N , P , Q là hình chiếu vuông góc O lên các mặt phẳng ( SAB) , (SBC ) , (SCD) và ( SDA) Thể tích khối chóp O.MNPQ A 4a3 B 64a 81 128a 81 Lời giải C D 2a3 Chọn D Gọi E , F , G, H là trung điểm AB, BC , CD và DA Gọi M , N , P, Q hình chiếu vuông góc O lên các đường thẳng SE , SF , SG, SH ta suy M , N , P, Q hình chiếu vuông góc O mặt phẳng ( SAB), ( SBC ),( SCD) và ( SDA) Ta có EFGH là hình vuông và S EFGH  Các độ dài SO  SA2  1 S ABCD suy VS EFGH  VS ABCD 2 1 AC  (2a 3)  (4a 2)  2a và SE  SO  OE  2a 4 Trong tam giác vuông SOE ta có SM SO SN SP SQ   suy    SE SE SF SG SH Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (316) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét hai hình chóp S EFGH và O.MNPQ ta có hai đường cao OO và SO tương ứng tỷ lệ S MNPQ  MN 2 OO   , đồng thời diện tích đáy   S EFGH  EF  SO Do Câu VO.MNPQ VS EFGH  1 1 hay VO MNPQ  VS EFGH  VS ABCD  2a.(4a )  a 16 16 3 3a và O là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc O trên các mặt (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCD  và  SDA  Thể tích khối chóp O.MNPQ A a3 48 B 2a 81 a3 81 Lời giải C D a3 96 Chọn D Gọi M , N , P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC , CD, DA Ta có AB  OM  và AB  SO nên AB   SOM   Suy  SAB    SOM   theo giao tuyến SM  Theo giả thiết ta có OM   SAB  nên OM  SM  , đó M là hình chiếu vuông góc O trên SM  Tương tự vậy: N , P, Q là hình chiếu vuông góc O trên SN , SP, SQ 3a 2a a    OM  4  Suy tam giác SOM vuông cân O nên M là trung điểm SM  Từ đó dễ chứng minh MNPQ là hình vuông có tâm I thuộc SO và nằm mặt phẳng Ta có SO  SA2  AO  song song với  ABCD  , với I là trung điểm SO a Suy OI  OS  Do đó MN  1 2a M N   AC  4 Thể tích khối chóp O.MNPQ 1 a2 a a3 S MNPQ OI  MN OI   3 96 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (317) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 3a Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 3a , cạnh bên và O là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc O trên các mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SCD ) và ( SAD ) Thể tích khối chóp O.MNPQ A 9a 16 B 2a C 9a 32 D a3 Lời giải Chọn C Gọi E , F , G , H là giao điểm SM với AB , SN với BC , SP với CD , SQ với DA thì E , F , G , H là trung điểm AB , BC , CD, DA thì 9a SP SP.SG SO Ta có      P là trung điểm SG SG SG SG 9a 2 2 Chứng minh tương tự ta có M , N , Q là trung điểm AB, BC , DA Khi đó d(O, ( MNPQ ))  S MNPQ  1 9a S EFGH  S ABCD  8 Vậy VO.MNPQ  Câu 3a SO  3a 9a 9a    32 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên a và O là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc O lên các mặt phẳng  SAB  ,  SBC  ,  SCD  và  SDA  Thể tích khối chóp O MNPQ bằng: A 8a 81 B a3 a3 12 Lời giải C D 16 a 81 Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (318) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi I , J , E và F là trung điểm AB , BC , CD và DA SIA vuông I  SI  SA2  AI  3a  a  a SOI vuông O  SO  SI  OI  2a  a  a  SOI vuông cân O  M là trung điểm SI MN là đường trung bình SIJ  MN  1 1 a IJ  AC  2a  2 2  a  a2 S MNPQ  MN       Gọi H  MP  SO  H là trung điểm SO a  d  O,  MNPQ    SH  SO  2 1 a a2 a3 VO.MNPQ  SH S MNPQ   3 2 12 Câu 10 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh , nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Gọi S là điểm đối xứng B qua đường thẳng DE Thể tích khối đa diện ABCDSEF 11 A B C D 12 Lời giải Chọn D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (319) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có:ADF.BCE là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân Dựa vào hình vẽ ta có: VABCDSEF  VADF BCE  VS CDFE  VADF BCE  VB.CDFE  2VADF BCE  VBADE VADF BCE  AB.S BCE  Câu 11 1 1 ;VBADE  AD.S ABE   V ABCDSEF    6 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC ABC  có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABBA, ACC A và BCC B Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A B 20 Lời giải C D 14 Chọn B 42  16 Gọi thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P là V1 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC  là V  Ta có: V1  VAMNCB  VBMNP  VBNPC Dễ thấy VAABC  V và VAMNCB  VAABC nên VAMNCB  V 4 1 VBABC   V và VBMNP  VBABC  nên VBMNP  V 24 1 VABCB  VABCC   V và VBNPC  VBABC nên VBNPC  V 12 Vậy V1  VAMNCB  VBMNP  VBNPC  V  Câu 12 (Mã 103 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC ABC  có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N , P là tâm các mặt bên ABBA, ACC A, BCC B Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A B 10 C Lời giải D 12 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (320) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A' C' B' N D F M P E C A B Gọi DEF là thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng  MNP  Dễ chứng minh  DEF  / /  ABC  và D, E , F là trung điểm các đoạn thẳng AA, BB, CC  suy VABC DEF  VABC ABC   12 Ta có VABCPNM  VABC DEF  VADMN  VBMPE  VCPMF Mặt khác VADMN  VBMPE  VCPMF  Câu 13 VABC DEF  VABCPNM  VABC DEF  12 (Mã 102 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' và BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M , N , P A 40 B 16 28 Lời giải C D 12 Chọn D Ta có: VABC A ' B 'C '  1  32 3; VC ' ABC  VABC A ' B ' C ' ; VA.BC ' B '  VABC A ' B 'C ' 3 Khối đa diện cần tìm V  VC ABPN  VP AMN  VP ABM Ta có VC ABPN  VC ' ABC  VABC A' B ' C ' 4 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (321) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Ta có VPAMN  VABC ' B '  VABC A' B ' C ' 24 1 Ta có VPABM  VABC ' B '  VABC A ' B 'C ' 12 1 Vậy thể tích khối cần tìm V  VABC A ' B 'C '  VABC A ' B 'C '  VABC A ' B 'C '  VABC A ' B ' C '  12 24 12 Câu 14 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' và BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A 30 B 36 C 27 Lời giải D 21 Chọn C Gọi h là chiều cao hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' Vì ABC có độ dài cạnh nên SABC  62 9 Thể tích lặng trụ ABC A ' B ' C ' là V  h S ABC  8.9  72 Gọi E là trung điểm cạnh AA ' Thể tích khối chóp A.EMN là VA EMN  1 1 d  A,  EMN   SEMN  h SABC  V 3 24 Thể tích khổi đa diện ABCMNP là: 1 VABCMNP  V  3VA.EMN  V  V  V  27 2 24 Câu 15 (Chuyên Hạ Long -2019) thể tích bát diện cạnh a là a 6a3 B 6a C a D a3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (322) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có khối bát diện cạnh a tạo từ khối chóp tứ giác có cạnh đáy và cạnh bên a  Chiều cao khối chóp là: h  Thể tích khối chóp: Vchop  a 6 a a       2 a a3 a  (đvtt) 2   Vậy thể tích khối bát diện là: V  2Vchop  a (đvtt) Câu 16 Cho hình lập phương có cạnh a Tính theo a thể tích khối bát diện có các đỉnh là tâm các mặt hình lập phương 1 A a3 B a3 C D a a 12 Lời giải Chọn B Giả sử hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a và tâm các mặt là P , Q , R , S , O, O hình vẽ Ta có PQ là đường trung bình tam giác B CD  cạnh a nên PQ  Do đó S PQRS  PQ  a và OO   a Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a (323) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Vậy thể tích bát diện cần tìm là V  S PQRS OO  a (đvtt) Câu 17 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCDABC D Khoảng cách AB và BC là 2a 2a a , BC và AB là , AC và BD là Thể tích 5 khối hộp đó là A 8a B 4a3 C 2a3 Lời giải D a3 Đặt AB  x , AD  y , AA  z Gọi H là hình chiếu vuông góc B trên B C , ta có BH là đoạn vuông góc chung AB và B C nên d  AB, BC   BH  2a 1     (1) BH z y 4a Gọi I là hình chiếu vuông góc B trên AB , ta có BI là đoạn vuông góc chung BC và 1 AB nên d  BC , AB   BI     (2) BI x z 4a Gọi M là trung điểm DD , O là giao điểm AC và BD , ta có mặt phẳng  ACM  chứa AC và song song với BD nên d  AC , BD  d  BD, ACM   d  D,  ACM  Gọi J là hình chiếu vuông góc D trên AC , K là hình chiếu vuông góc D trên MJ , ta 1 có d  D ,  ACM   d  D,  ACM   DK      (3) DK x y z a Từ (1), (2) và (3) ta có   z  2a  x  y  a z 2a Thể tích khối hộp là V  xyz  2a3 Câu 18 (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB  a, BC  2a , AC '  3a Điểm N thuộc cạnh BB ' cho BN  NB ' , điểm M thuộc cạnh DD ' cho D ' M  MD Mặt phẳng  A ' MN  chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm C ' A 4a B a C 2a Lời giải D 3a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (324) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn C Nhận xét: B ' NDM là hình bình hành  B ' N  DM , B ' N //DM   MN  B ' D  O là trung điểm đoạn nên O là trung điểm đường chéo A ' C Vậy thiết diện tạo mặt  A ' MN  và hình chóp là hình bình hành A ' NCM Ta có: C ' A2  B ' B  BA2  BC  B ' B  2a Cách 1: Thể tích phần chứa C ' là 1 V  VA ' B ' C ' CN  VA '.C ' CMD  A ' B '.S B ' C ' CN  A ' D '.SC ' D ' MC 3 2a 4a  2a  2a 1  a.2a  2a.a  2a 3 Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh Gọi thể tích phần chứa C ' là V ' B'N D'M  V' 1 Ta có:  B ' B D ' D   V '  4a  2a VABCD A ' B ' C ' D ' 2 Cách 3: Nhận xét nhanh đa diện chứa C ' đối xứng với đa diện không chứa C ' qua O nên thể tích hai phần này nhau, suy V '  VABCD A ' B ' C ' D '  2a Câu 19 (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a , góc đường thẳng SA và mặt phẳng  ABC  60 Gọi A , B , C tương ứng là các điểm đối xứng A , B , C qua S Thể tích V khối bát diện có các mặt ABC , ABC , ABC , BCA , CAB , ABC , BAC , CAB là A V  3a3 B V  3a C V  3a3 D V  Lời giải Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a3 (325) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi D , D theo thứ tự là đỉnh thứ tư hình thoi ABCD , ABCD Thể tích bát diện cần tìm: 1 V  VABCD.C DAB  VBC DA  VBACD  VABCD.C DAB  VABCD.CDAB  VABCD.C DAB 6 2  VABCD.C DAB  SO.2SABC (*) 3 Ta có: SABC  a2    60  SO  OA.tan 60  a  a ,  ABC   SAO Ta có: SA   a 2a 3  Do đó: V  a Câu 20 (Chuyên KHTN - 2020) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R, S là tâm các mặt hình lập phương Thể tích khối bát diện tạo sáu đỉnh M , N , P, Q, R, S A a3 24 B a3 a3 12 Lời giải C D a3 Chọn D Ta có: dễ thấy MNPQRS là bát giác nên V  VR.MNPQ  VS MNPQ  2VR.MNPQ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (326) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dễ thấy: RO  a Lại có hình chóp R.MNPQ có tất các cạnh nên: MR  OR  a 2 a3  2VR.MNPQ  .MN OR  Câu 21 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có M , N , P là trung điểm các cạnh BC , C ' D ', DD ' (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối hộp 144 , thể tích khối tứ diện AMNP A 15 B 24 C 20 Lời giải D 18 Chọn A NP  CD  E Đặt DC  2d , BC  2r S EMA  S ECBA  S EMC  S ABM  5dr  dr  dr  dr 2 1 5 VNEAM  S EMA d ( N , ( EMA))  S EMA CC '  4dr.CC '  VABCD A ' B 'C ' D '  30 3 24 24 VNPAM  VNEAM  15 Câu 22 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho khối chóp S ABCD có chiều cao và đáy là hình bình hành có diện tích 10 Gọi M , N , P và Q là trọng tâm các mặt bên SAB , SBC , SCD và SDA Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm M , N , P , Q , B và D là A B 50 C 30 D 25 Lời giải Chọn B Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (327) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có các đường thẳng BM , DQ, SA đồng quy trung điểm E SA Tương tự, các đường thẳng BN , DP , SC đồng quy trung điểm F SC Ta phân chia khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm M , N , P , Q , B và D thành khối chóp B.MNPQ và khối tứ diện BDPQ Cũng theo tính chất trọng tâm, ta có mặt phẳng  MNPQ  song song với mặt phẳng  ABCD  và 4 S XYZT  S ABCD  S ABCD (trong đó X , Y , Z , T là trung điểm 9 AB, BC , CD, DA ) S MNPQ  Hơn nữa, d  B,  MNPQ    d  X ,  MNPQ    1 d  S ,  MNPQ    d  S ,  ABCD    d  S ,  ABCD   2 3 2 Do đó, VB.MNPQ  VS ABCD  VS ABCD 1 27 Lại có 4   VBDPQ  VBDEF  S DPQ  S DEF  9    2VODEF d  B,  DEF    2d O,  DEF   1    VSACD  SOEF  S SAC  4   1  VS ABCD = VS ABCD   9 đó, O là tâm hình bình hành ABCD 50  1  1 Từ 1 và  2 , ta VMNPQBD     VS ABCD     9.10  (đvtt)  27   27   Câu 23  (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có AA '  , đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam giác cạnh Gọi M , N , P là trung điểm B ' C ' , C ' D ' , DD ' và Q thuộc cạnh BC cho QC  3QB Tính thể tích tứ diện MNPQ A 3 B 3 Lời giải C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (328) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D Gọi O và O ' là tâm đáy ABCD và A ' B ' C ' D ' ABC cạnh , O là trung điểm BC  OB  , OC  Gắn hệ trục tọa độ Oxyz , tia Ox trùng tia OC , tia Oy trùng tia OB , tia Oz trùng tia OO '        Khi đó: C  2;0;0  , B 0; 3; , B ' 0; 3; , C '  2;0;  , D 0; 2 3;0 , D ' 0; 2 3;    N là trung điểm C ' D '  N 1;  3;  P là trung điểm DD '  P  0; 2 3;1 M là trung điểm B ' C '  M 1; 3;   x  x    Q     Q     3   Q thuộc cạnh BC cho QC  3QB  CQ  CB   yQ      yQ  4    zQ     zQ         1 3  Suy Q  ; ;0  2      Ta có: VMNPQ   MN , MP  MQ     MN  0; 2 3; , MP  1; 3 3; 1   MN , MP   3;0; 2    MQ    ; ; 2   2    VMNPQ  Câu 24       3  1      2  2   2  2   (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất các cạnh bằnga Gọi S là điểm đối xứng A qua BC ' Thể tích khối đa diện ABCSB ' C ' là Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (329) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A a 3 B a 3 C a a3 D Lời giải Chọn A Chia khối đa diện ABCSB ' C ' thành khối là khối chóp A.BCC ' B ' và khối chóp S.BCC ' B ' VABCSB 'C '  VABCC ' B '  VS BCC ' B ' Gọi M là trung điểm BC AM  BC  a   AM   BCC ' B ' Tam giác ABC  AM  AM  BB ' Thể tích khối chóp A.BCC ' B ' là: Ta có: 1 a a3 VA.BCC ' B '  AM S BCC ' B '  a  3 Thể tích khối chóp S.BCC ' B ' là: d S ; BCC ' B '  S BCC ' B ' VS BCC ' B '    VA BCC ' B ' d A; BCC ' B ' S   BCC ' B '   d  S ;  BCC ' B '  SI    d  A;  BCC ' B '  AI  VS BCC ' B '  VA BCC ' B ' Câu 25 a3 a 3 a 3 a3   VABCSB 'C '  VA BCC ' B '  VS BCC ' B '    6 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có đáy ABCD là   60 Gọi I, J là tâm các mặt bên hình thoi tâm O, cạnh a và BAC a , AA  2a và góc hai mặt phẳng 60 Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ ABBA, CDDC  Biết AI  A 3a 64 B 3a3 48 C 3a3 32 D  ABBA ,  ABCD 3a3 192 Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (330) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có AI  AA2  AB AB   AB   AA2  AB   AI  3a  AB  a Do AB  AB  AA2 nên tam giác AAB vuông B  S AAB  a2 a2 Theo đề góc hai mặt phẳng  ABBA  ,  ABC D  60 , nên suy Tam giác ABC cạnh a nên S ABC  VAABC  2S AAB S ABC sin 60 a 3  AB 1 1 1 a3 VAOIJ  d  O;  IAJ   S IAJ  d  B;  BAD   S BAD  VBABD  VAABC  3 2 4 32 Bổ sung: Công thức tính nhanh thể tích tứ diện theo góc hai mặt phẳng Cho tứ diện ABCD có diện tích tam giác ABC S1 , diện tích tam giác BCD là S và góc hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) là  Khi đó ta có: VABCD  2S1S2 sin  3BC Chứng minh: Gọi H là hình chiếu A lên (BCD), kẻ HI BC I thì AIBC và AIH   ; AH  AI sin    ABC  ;  DBC     AI ; HI    VABCD  Câu 26 1 2S ABC 2S S sin  AH S DBC  AI sin .S2  sin .S2  3 BC 3BC (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , SA  a M , K tương ứng là trọng tâm tam giác SAB, SCD ; N là Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (331) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 m trung điểm BC Thể tích khối tứ diện SMNK a3 với m, n  ,  m, n   Giá trị m  n n bằng: A 28 B 12 C 19 D 32 Lời giải Chọn A a3 Ta có: VS ABCD  SA.S ABCD  3 Gọi I là trung điểm AB , J là trung điểm CD Ta có: SMN đồng dạng với SIJ theo tỉ số 2 Do đó VSMNK  VP.SMN    VP.SIJ  VP.SIJ 3 Mặt khác SPIJ  1 a3 S ABCD Do đo VP.SIJ  VS PIJ  VS ABCD  12 4 a3 a Nên VSMNK   12 27 Vậy m  1, n  27  m  n  28 Câu 27 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABCD AB C D có đáy là hình thoi có   120 Gọi M , N , K là trung điểm cạnh AB, BC , BD Thể cạnh 4a , AA  8a , BAD tích khối da diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , K là: A 12 a B 28 3 a C 16 a D 40 3 a Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (332) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AC , MNCA là hình thang  VK MNCA  VB.MNCA MN / / AC ; MN  VMNKABC DK cắt (B’AC) B’, d  K ; ( MNCA)  B'K 1     VK MNCA  VD.MNCA B'D d  D;( MNCA)  2 Mà: VB.MNCA  VD.MNCA nên ta có: VMNKABC  VB.MNCA  VB.MNCA  VB.MNCA 2 3 3 Mặt khác: SMNCA  S B ' AC  VB.MNCA  VB B ' AC  VB ' ABC  VABCD A ' B 'C ' D '  3a 4 4 3 VMNKABC  VB.MNCA  a  12 a 2 Câu 28 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp  với đáy góc 60 Gọi M là điểm đối xứng C qua D, N là trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần (như hình vẽ bên) Tỉ số thể tích hai phần VSABFEN VBFDCNE A B C D Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (333) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A Ta có N là trung điểm SO , D là trung điểm CM nên E là trọng tâm tam giác SCM Ký hiệu h, S ,V tương ứng là chiều cao, diện tích đáy và thể tích khối chóp S ABCD ta có h V S BCM  S  VN BCM  S  2 V ME MD MF 1 V V Khi đó M EDF     VM EDF   VM NCB MN MC MB 2 6 12 Như VBFDCNE  Câu 29 V V 5V 7V V    VSABFEN   SABFEN  12 12 12 VBFDCNE (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  Mặt phẳng   qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD M , N , P Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP A 32 B 64 2 108 Lời giải C D 125 Chọn A  SA  BC Ta có:   BC   SAB   BC  MA  AB  BC Lại có MA  SC  MA   SBC   MA  MC 1  2  3 Tương tự: AP  PC Mặt khác AN  NC Gọi I là trung điểm AC , từ 1  2  3 ta có IN  IM  IC  IP   IA Mặt cầu ngoại tiếp CMNP là mặt cầu tâm I , bán kính IA AC IA   2   2  2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (334) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 32 Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là: V   23  3 Câu 30 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB  , SA  SB  SC  12 Gọi M , N , E là trung điểm AC , BC , AB Trên cạnh BF  Thể tích khối tứ diện MNEF SB lấy điểm F cho BS A 34 B 34 34 Lời giải C D 16 34 Chọn C Vì SA  SB  SC nên hình chiếu S lên  ABC  là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , suy SM   ABC  Từ AB   AC   Tam giác SAM vuông M nên SM  SA2  AM  12  2   34 1 1 16 34 Thể tích VS ABC   S ABC  SM    AB  SM    42  34  3 3 Suy thể tích 1 1 32 34 34 VMNEF   S MNE  d  F ,  MNE      S ABC   SM   VS ABC    3 12 12 Câu 31 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V Gọi G1 ,G , G3 , G4 là trọng tâm bốn mặt tứ diện ABCD Thể tích khối tứ diện G1 G G3G4 là: A V 12 B V V 27 Lời giải C D V 18 Chọn C Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (335) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H , E, F là trung điểm BD, BC, CD AG4 AG3    G3G4 / / HE 1 AE AH AG3 AG2    G2G3 / / HF  2 Tương tự AF AH Ta có   Từ 1 ,  2  G4 G2G3 / /  DBC   d  G1;  G2G3G4    d  G ;  BCD    d  A;  BCD   G G AG2  Tam giác G G3G4 đồng dạng tam giác HEF là  HF AF 1 2 S G2G3G4    S HEF  S ABC  S ABC 9   Thể tích khối tứ diện G1 G G3G4 là: 1 1 V V  d  G1;  G2G3G4   SG2G3G4  d  A;  BCD   S ABC  VABCD  3 27 27 Câu 32 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hình lập phương ABCD AB C D  có thể tích V Gọi M là điểm thuộc cạnh BB cho BM  MB  Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc với AC  cắt các cạnh DD, DC , BC N , P , Q Gọi V1 là thể tích khối đa diện CPQMNC  Tính tỷ số V1 V A 31 162 B 35 162 34 162 Lời giải C D 13 162 Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (336) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Theo giả thiết ( )  DD  N , ( )  CD  P, ( )  BC  Q Từ tính chất hình lập phương ta có ( ACC )  BD suy BD  AC  đó BD //( ) , từ đây ta suy MN //BD; PQ //BD ta có DN  ND  AB  BC Ta xác định vị trí P, Q sau: Ta có   BC  ( ABC )  BC  AC  vì  BC   BC ( )//BC đó MQ //B C , ta BQ  2QC , và theo trên PQ //BD ta lại có DP  2PC Vậy các điểm M , N , P , Q hoàn toàn xác định Gọi S là điểm trên cạnh CC  thỏa mãn CS  2SC  và R là điểm trên đường thẳng CC  thỏa mãn MBCR là hình bình hành Khi đó ta có R nằm trên mặt phẳng ( ) và ( MNS )//( ABC D) Đặt V0  VRCPQ ;V2  VC MSN đó V1  VRMNS  VC MSN  VRCPQ Đặt cạnh hình lập phương là AB  3x ta có V  (3x)3  27 x  V SN SM SR  x3 3 x3 RMNS   x  x  V1   35 đó   3x V 27 x 162 VC MSN  SM SN SC     x3 VRCPQ  CP.CQ.CR  Vậy Câu 33 V1 35  V 162 (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho tứ diện ABCD có thể tích 18 Gọi A1 là trọng tâm tam giác BCD ;  P  là mặt phẳng qua A cho góc  P  và mặt phẳng  BCD  600 Các đường thẳng qua B; C; D song song với AA1 cắt  P  B1; C1; D1 Thể tích khối tứ diện A1B1C1D1 bằng? A 12 B 18 C Lời giải D 12 Chọn B Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (337) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C1 B1 A D1 D A1 B C Từ giả thiết A1 là trọng tâm tam giác BCD nên ta suy A là trọng tâm tam giác B1C1D1 Do đó VA.BCD  3VA A1BC  3VB AA1C và VA1 B1C1D1  3VA1 AB1C1  3VB1 AA1C1  d  B ; AA CC   d  B1 ; AA1CC1  Mặt khác quan hệ song song nên   1   VB AA1C  VB1 AA1C1  S AA1C  S AA1C1 Vậy nên VA1 B1C1D1  VA BCD  18 Câu 34 (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên a Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD  cho tổng Q  MA  MB  MC  MD  MS nhỏ Gọi V1 là thể tích khối chóp S.ABCD và 2 2 V2 là thể tích khối chóp M ACD Tỉ số A 11 140 B 22 35 V2 V1 11 70 Lời giải C D 11 35 Chọn C    Gọi O là tâm hình vuông ABCD và I là điểm trên đoạn thẳng SO cho IO  IS           Ta có: Q  MO  OA  MO  OB  MO  OC  MO  OD  MS         Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (338) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489        MO  MS  4OA2  MI  IO  MI  IS  4OA2  5MI  IO  IS  4OA2     Vì IO  IS  4OA  const nên Q nhỏ  MI nhỏ  M là hình chiếu I trên (SCD ) Gọi E là trung điểm CD , H là hình chiếu O trên (SCD )  M , H  SE a a 3a , SE  , SH  2 12a 11a SM SI Vì  ME  SE  SM     SM  SH SO 5 10 d  M ,( ABCD ).S ACD d  M ,( ABCD )  ME 11 V 11 11 Ta có      23 V1 35 70 d S ,( ABCD )  SE 35 d S ,( ABCD ).S ABCD Ta có SO  Câu 35 (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên tạo với đường cao góc 30 o , O là trọng tâm tam giác ABC Một hình chóp thứ hai O A ' B ' C ' có S là tâm tam giác A ' B ' C ' và cạnh bên hình chóp O A ' B ' C ' tạo với đường cao góc 60 o cho cạnh bên SA, SB , SC cắt các cạnh bên OA ', OB ', OC ' Gọi V1 là phần thể tích phần chung hai khối chóp S ABC và O A ' B ' C ', V2 là thể tích khối chóp S.ABC Tỉ số A 16 B 27 64 Lời giải C D 64 Chọn A Gọi E  OA ' SA; F  OB ' SB ; G  OC ' SC Theo hình vẽ thể tích V1  VSEFGO ;V2  VS ABC Đặt SO  x Do S ABC là hình chóp và O là tâm tam giác ABC nên SO   ABC  Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ V1 bằng: V2 (339) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do O A ' B ' C ' là hình chóp và S là tâm tam giác A ' B ' C ' nên OS   A ' B ' C ' Từ đó ta có  ABC  / /  A ' B ' C '  OA / / SA ' và SO  OA; OS  SA ' ASO  30o ;  A ' OS  60o Ta có theo kiện bài toán ta có  Ta có SE x x   SE   OE  SO 2 SO 2x   SA  SA SO   OA '  x OA ' OA SA x   OA   SA 2 SA '   SA '  x SO Ta có:  OA  AB  OA  x 3 A ' B '  SA '  A ' B '  SA '  x Ta có: AB x x3 V2  VS ABC  x  12 VO A ' B 'C '  x  x3 3  x  4 Ta có: VS EFG VS ABC  x SE SF SG  SE       SA SB SC  SA   x   3   27 27 x3    VS EFG  64 12  64   VO.EFG VO A ' B ' C '  x  OE OF OG  OE    1 x3 3      V  V    O EFG O A ' B ' C '  OA ' OB ' OC '  OA '   x  64 64 64   Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 (340) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3x3 3x V    364  64 V2 x 16 12 V1  VS EFG  VO.EFG Câu 36 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh a , tâm đáy là O Gọi M , N tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SC Gọi E là giao điểm SD và mặt phẳng  BMN  Tính thể tích V khối chóp O.BMEN A V  a3 18 B V  a3 24 C V  a3 12 D V  a3 36 Lời giải Chọn D Gọi K  MN  SO , đó BK cắt SD E Kẻ OO / / BE Do MN là đường trung bình SAC nên K là trung điểm SO Suy VO.BMEN  VS BMEN Ta có: VS BME SM SE SE V SN SE SE    và S BNE  VS BAD SA SD SD VS BCD SC SD SD SE Suy VS BMEN  VS BME  VS BNE  VS ABCD SD Vì OO / / BE  O là trung điểm ED Mặt khác: KE / / OO  E là trung điểm SO Do đó SE  EO  OD  SE  SD Suy VS BMEN  VS ABCD Ta có: S ABCD  a 2 a 2 a  BD  Xét SOA vuông O có: SO  SA  OA  SA       a       2 a3 Do đó: VS ABCD  S ABCD SO  a a3  Vậy VS BMEN  6 36 Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (341) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 37 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a Mặt bên tạo với AB M 60o 30o SC , SD đáy góc Mặt phẳng  P  chứa và tạo với đáy góc và cắt và N V S ABMN a Tính thể tích khối chóp theo A V  a3 B V  5a3 48 C V  a3 D V  a3 16 Lời giải Chọn D Gọi AC  BD  O  SO   ABCD  (vì S ABCD là hình chóp đều) Gọi I , J là hình chiếu vuông góc O trên DC , AB và gọi SO   P    E    SDC  ,  ABCD    SOI  60o và   P  ,  ABCD    EJO  30 o SJI  JE là phân giác góc SJI  F là trung điểm SI 1 (với Khi đó tam giác SIJ Mà E JO  30o  JE  SI   F  ) Mặt khác CD //AB  CD //  P   CD //MN   Từ 1 và   suy MN là đường trung bình tam giác SBC  SM SN   SC SD 1 VS ABM SM    VS ABM  VS ABC  VS ABCD V SC 2  S ABC Khi đó ta có  1 VS AMN  SM SN    V VS ACD  VS ABCD S AMN   VS ACD SC SD 2 4 1  VS ABMN  VS ABM  VS AMN  VS ABCD  VS ABCD  VS ABCD * 8 Tam giác SIJ cạnh a  SO  a 1 a a3  VS ABCD  SO.S ABCD  a  3  2* a3 a3  Thay  * vào * ta VS ABMN  16 Câu 38 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có chiều cao và diện tích đáy 11 Gọi M là trung điểm AA, N là điểm trên cạnh BB  cho BN  3BN và P là điểm trên cạnh CC  cho 6CP  5C P Mặt phẳng  MNP  cắt cạnh DD  Q Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B , C , D , M , N , P và Q A 88 B 42 C 44 D 220 Lời giải Chọn B Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 (342) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  AM BN CP  Cho hình lăng trụ hình vẽ, VABC MNP      VABC ABC   AA BB CC   Chứng minh: VABC MNP  VN ACB  VN ACPM VN ACB  VN ACPM VB ACC A BN BN VB ' ACB  VABC ABC  BB  BB S ACPM  CP  AM   CP AM        S ACC A AA  CC  AA   CP AM   VN ACPM     VABC ABC   CC  AA  Từ đó ta suy điều phải chứng minh Bây ta áp dụng vào giải bài toán  ADDA //  BCC B   Ta có:  MQ   MNP    ADDA   NP //MQ , tương tự ta có MN //PQ Do đó MNPQ là   NP   MNP    BCC B  hình bình hành Ta có OI là đường trung bình hai hình thang 2OI  MA  PC  DQ  NB  AMPC và MA PC BN DQ    AA CC  BB DD  Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ BNQD suy (343) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dựa vào hình vẽ ta chia khối lăng trụ làm hai phần cắt mặt phẳng  BDDB  Do đó VADB ADB  VBDC  BDC  44 VABCD MNPQ  VABD.MNQ  VBCD NPQ  MA BN DQ   CP BN DQ      VABD ABD       VBCD.BC D  AA BB DD   CC  BB DD   MA BN DQ CP BN DQ          VABC ABC   AA BB DD CC  BB DD     MA CP      VABC ABC  3.2   AA CC     MA CP      VABC ABC   AA CC   1      88  42  11  Câu 39 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên  SAB  là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy  ABCD  và có diện tích 27 (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB và song song với mặt đáy  ABCD  chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, tính thể tích V phần chứa điểm S A V  B V  24 C V  36 D V  12 Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm AB Do SAB và  SAB    ABCD  nên SH   ABCD  AB 27 AB 3 3     AB  3  SH  4 2 2 1 81 (đvtt)  VS ABCD  S ABCD SH  AB SH  3  3 2 Gọi G là trọng tâm tam giác SAB , qua G kẻ đường thẳng song song với AB , cắt SA và SB M , N Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC P , qua M kẻ đường Ta có SSAB    thẳng song song với AD cắt SD Q Suy  MNPQ  là mặt phẳng qua G và song song với  ABCD  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 (344) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khi đó SM SN SP SQ SG      SA SB SC SD SH 3 V SM SN SP   8 Có S MNP      VS MNP  VS ABC  VS ABCD  VS ABCD VS ABC SA SB SC   27 27 27 27 Có VS MPQ VS ACD  SM SP SQ   8     VS MPQ  VS ACD  VS ABCD  VS ABCD SA SC SD   27 27 27 27 Vậy VS MNPQ  VS MNP  VS MPQ  Câu 40 4 8 81 VS ABCD  VS ABCD  VS ABCD   12 (đvtt) 27 27 27 27 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hai hình chóp tam giác có cùng chiều cao Biết đỉnh hình chóp này trùng với tâm đáy hình chóp kia, cạnh bên hình chóp này cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên có độ dài a hình chóp thứ tạo với đường cao góc 300 , cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc 450 Tính thể tích phần chung hai hình chóp đã cho?    a3 A 64 B 2   a 32    a3 C 64   27  a D 64 Lời giải Chọn C B' D' A α C' M P H N B β D A' C Hai hình chóp A.BCD và A.BC D là hai hình chóp đều, có chung đường cao AA , A là tâm tam giác BC D và A là tâm tam giác BCD    ;  AAB   Ta có:  BCD  //  BC D  ; AB  AC  AD  a ; BAA Do AB cắt AB M nên AB // AB Gọi N là giao điểm AC và AC  ; P là giao điểm AD và AD Tương tự ta có: AC  // AC , AD // AD Từ đó suy các cạnh BCD và B C D  song song với đôi Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (345) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  MB AB  MA  AB  MB NC  NC AC   MN // BC Ta có:     NA AC MA NA   AB  AC  ; AB  AC   Tương tự ta có: NP // CD và MP // BD Suy ra: MNP là tam giác Gọi H là giao điểm OO và  MNP  , H là tâm tam giác MNP Trong tam giác AAD có: AA  AD.cos   a.cos  1 Đặt x  MH Hai tam giác AHM và tam giác AHM vuông H cho:  AH  MH cot   x.cot   AA  x  cot   cot    2   AH  MH cot   x.cot  Từ 1 và  2 suy ra: a.cos   x  cot   cot    x  a.cos  cot   cot  Tam giác MNP có cạnh MN  x nên: S MNP  MN 3 x 3 a cos    4  cot   cot  2 Phần chung hai hình chóp A.BCD và A.BC D là hai hình chóp đỉnh A và A có chung mặt đáy là tam giác MNP Do đó thể tích nó là: 1 a 3.cos3  V  SMNP  AH  AH   S MNP AA  3  cot   cot   Với   30 và   45 thì V  32 Câu 41     a3 9a   64 1 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích 12a ; khoảng cách từ S tới mặt phẳng  ABCD  4a Gọi L là trọng tâm tam giác ACD ; gọi T và V là trung điểm các cạnh SB và SC Mặt phẳng  LTV  chia hình chóp thành hai khối đa diện, hãy tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S A 20a B 8a 28a Lời giải C D 32a3 Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 (346) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 V  VS ABCD  12a 4a  16a3 Mặt phẳng  LTV  cắt AB, CD M và N cho MN / / BC / /TV Đặt V   VS ADNMTV  VS ABMN  VS TVMN Ta có : VS ADNM  V Xét khối chóp S.MNCB có đáy là hình bình hành : SM SN SB SC a  1; b   1; c   2; d  2 SM SN ST SV V abcd Khi đó S TVMN    VS TVMN  V  V VS MNBC 4abcd 1 7 28 Do đó V   V  V  V  16a  a3 12 12 Câu 42 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích Gọi M là trung điểm SA và N là điểm đối xứng của A qua D Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi ( H ) là khối đa diện có chứa đỉnh Thể tích khối đa diện ( H ) A 12 B 12 Lời giải C D Chọn A Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có SO là chiều cao hình chóp Trong mặt phẳng ( SAD ) gọi I là giao điểm MN và SD ta suy I là trọng tâm tam SI NI   SD NM Trong mặt phẳng ( ABCD ) gọi J là giao điểm BN và CD ta suy J là trung điểm giác SAN đó CD và BN 1 SO suy VMABN  VS ABCD (1) 2  VABM DJI (2) Ta có S ABN  S ABCD và d ( M , ( ABCD))  Từ giả thiết ta có V( H )  VS ABCD Xét khối chóp N ABM áp dụng công thức tính tỷ số thể tích ta có VNDJI 5 NI ND NJ 1    VNDJI  VNABM VABM DJI  VNABM  VMABN (3) 6 VNABM NM NA NB 6 Từ (1), (2) và (3) ta có thể tích ( H ) là Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (347) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 V( H )  VS ABCD  VS ABCD  12 Vậy thể tích khối đa diện ( H ) 12 Câu 43 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi M , N , P , Q , R là trung điểm các cạnh AB , AD, AC , DC , BD và G là trọng tâm tam giác ABC (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG theo V A V B V V Lời giải C D 2V Chọn C Ta có VMNPQRG  VG.MPQR  VN MPQR VG.MPQR  VB.MPQR  VB PQR 3 2  VP BQR  VA.BQR 3 1  VA BCD  V 12 VN MPQR  2VN MPR  2.VP.MNR 1  VC MNR  VC ABD  V 1 V Vậy VMNPQRG  V  V  12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 (348) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 44 (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho lăng trụ ABC ABC  có thể tích Gọi M , N và P là các điểm nằm trên cạnh AB , BC  và BC cho M là trung điểm AB , BN  BC  và BC Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB E và đường thẳng EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi AQPCAMNC ' BP  A 23 B 23 59 12 Lời giải C D 19 Chọn C BP EB EQ EP     EB EM EN BN 3 Suy d  E ,  ABC     d  B,  ABC     S B N BM  Mà ta lại có BMN  S ABC  BC  BA Ta có Và VE MBN  d  E ,  MBN   S MBN  VABC ABC   16 Ta lại có VE QPB VE MNB  EQ EP EB  EB     EM EN EB  EB  27 26 VE MBN 27 26 59  VABC ABC   VBQP BMN    27 12 Suy VBQP.BMN  VE MBN  VEBQP  Vậy VAQPCAMNC  HẾT Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (349) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Chuyên đề 15 Câu DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM (Mã 102 2018) Ông A dự định sử dụng hết 6, 7m kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 1, 23m3 B 2, 48m3 C 1, 57m D 1,11m3 Câu (Mã 104 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5, m kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng phần trăm)?: A 1, 40 m3 B 1, 01 m3 C 1, 51 m D 1,17 m3 Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Người ta cần xây dựng bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích là 125m Đáy bể bơi là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Tính chiều rộng đáy bể bơi để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu (kết làm tròn đến hai chữ số thập phân)? A 3,12 m B 3,82m C 3, 62m D 3, 42m Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Người ta muốn thiết kế bể cá kính không có nắp với thể tích 72 dm , chiều cao là 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị dm ) hình vẽ Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày các kính và không ảnh hưởng đến thể tích bể Câu Câu A a  24 dm ; b  24 dm B a  6dm ; b  4dm C a  dm ; b  dm D a  4dm ; b  6dm (Mã 110 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB  x và các cạnh còn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x  14 B x  C x  D x  (Sở Vĩnh Phúc 2019) Xét khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân A , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Gọi  là góc hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  , giá trị cos  thể tích khối chóp S ABC nhỏ là B C D 3 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  x , AD  Biết góc đường thẳng AC và mặt phẳng  ABBA  30 Tìm giá trị lớn Vmax A Câu thể tích khối hộp ABCD ABC D  A Vmax  3 B Vmax  C Vmax  D Vmax  Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (350) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Nhân ngày quốc tế Phụ nữ – năm 2019 Ông A đã mua tặng vợ món quà và đặt nó hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và không nắp Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị nó, ông định mạ vàng hộp, biết độ dày lớp mạ trên điểm hộp là không đổi và Gọi chiều cao và cạnh đáy hộp là h và x Để lượng vàng trên hộp là nhỏ thì giá trị h và x là? A h  , x  Câu B h  , x  C h  , x  D h  , x  (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB  BC  CD  DA  và AC , BD thay đổi Giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD 3 B C D 27 27 9 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp SABC có SA  x, SB  y , AB  AC  SB  SC  A Câu 10 Thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn tổng x  y A Câu 11 B C D (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có tổng diện tích tất các mặt là 36, độ dài đường chéo AC ' Hỏi thể tích khối hộp lớn là bao nhiêu? A Câu 12 B 6 C 24 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có SC  x D 16   x  a  , các cạnh còn lại a Biết thể tích khối chóp S ABCD lớn và x  a m n  m, n    * Mệnh đề nào sau đây đúng? A m  2n  10 B m  n  30 C 2n2  3m  15 D 4m  n  20 Câu 13 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho tứ diện ABCD có AB  x , CD  y , tất các cạnh còn lại Khi thể tích tứ diện ABCD là lớn tính xy 16 A B C 3 Câu 14 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V Điểm D P là trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB M và N Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AMPN Giá trị lớn V1 V thuộc khoảng nào sau đây?   1 5 A  0;  Câu 15 1 1  3 B  ;  1 1 3 2 C  ;  1  2  D  ;1  (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong thi làm đồ dùng học tập trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác cách lấy mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh 5cm (tham khảo hình vẽ) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (351) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Cắt mảnh tôn theo các tam giác cân AEB , BFC , CGD , DHA và sau đó gò các tam giác AEH , BEF , CFG , DGH cho bốn đỉnh A , B , C , D trùng tạo thành khối chóp tứ giác Thể tích lớn khối chóp tứ giác tạo thành A Câu 16 10 B 10 C 10 D 10 Cho khối lập phương ABCD ABC D  cạnh a Các điểm M , N di động trên các tia AC, BD cho AM  BN  a Thể tích khối tứ diện AMNB  có giá trị lớn là a3 a3 a3 a3 B C D 12 12 Câu 17 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG V cắt các cạnh SB, SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số S AMN là? VS ABC A Câu 18 (Chuyên Biên Hòa hành Hai điểm M , N AB AD cho 3 AM AN A 1 C D Hà Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình thuộc các đoạn thẳng AB và AD ( M và N không trùng với A ) B  Kí hiệu V , V1 là thể tích các khối chóp S ABCD và S.MBCDN Tìm giá trị lớn tỉ số V1 V 13 11 B C D 16 12 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành A Câu 19 và có thể tích là V Gọi P là trung điểm SC Mặt phẳng   chứa AP và cắt hai cạnh SD , SB M và N Gọi V  là thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ tỉ V số V A B C D 3 Câu 20 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân C , AB  2a và góc tạo hai mặt phẳng  ABC   và  ABC  60 Gọi M , N là trung điểm AC  và BC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ A 3a 24 B 6a C 6a 24 D 3a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (352) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 21 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhôm đó bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x (cm), gập nhôm lại để cái hộp không nắp( tham khảo hình vẽ bên) Tìm x để hộp nhận có thể tích lớn (giả thiết bề dày tôn không đáng kể) A x  B x  C x  D x  Câu 22 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S.ABC có thể tích Mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt phẳng (ABC) cắt các cạnh SA, SB, SC M, N, P Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (ABC) M’, N’, P’ Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M’N’P’ 1 A B C D 27 Câu 23 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với  ABCD  A lấy điểm S di động không trùng với A Hình chiếu vuông góc A lên SB, SD H , K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK a3 a3 a3 a3 B C D 32 16 12 (Sở Hưng Yên - 2020) Khối chóp có đáy là hình bình hành, cạnh đáy a và các cạnh A Câu 24 bên a Thể tích khối chóp có giá trị lớn là 7a3 a D 12 Câu 25 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC , BD thỏa mãn AC  BD  16 và các cạnh còn lại Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A 6a A Câu 26 32 B 8a B 16 C C 16 D 32 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S ABC , đáy là tam giác ABC có AB  BC , AC  BC , hình chiếu S lên  ABC  là trung điểm O cạnh AC Khoảng cách từ A đến  SBC  Mặt phẳng  SBC  hợp với mặt phẳng  ABC  góc  thay đổi Biết giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC a , đó a, b  * , a là số nguyên tố b Tổng a  b A B C D Câu 27 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Gọi  là góc hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  , tính cos  để thể tích khối chóp S ABC nhỏ Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (353) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A cos   B cos   C cos   D cos   3 Câu 28 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,  y   và vuông góc với mặt đáy  ABCD  Trên cạnh AD lấy điểm M và   x  a  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S ABCM , biết x  y  a cạnh bên SA  y đặt AM  x a3 a3 a3 a3 B C D Câu 29 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung điểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt các cạnh SB , SD M và N Gọi V1 , V theo thứ tự là thể tích khối chóp S AMKN và khối chóp S.ABCD Giá trị nhỏ tỉ A Câu 30 số V1 V2 A B C D (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có độ dài cạnh đáy a Gọi  là góc BC  và mặt phẳng  ABC  Khi sin  đạt giá trị lớn nhất, tính thể tích khối lăng trụ đã cho? A 6a B 3a 4 C 12a 4 D 27 a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (354) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 15 BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 102 2018) Ông A dự định sử dụng hết 6, 7m kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 1, 23m3 B 2, 48m3 C 1, 57m D 1,11m3 Lời giải Chọn C Gọi x là chiều rộng, ta có chiều dài là 2x Do diện tích đáy và các mặt bên là 6, 7m nên có chiều cao h  ta có h  nên x  6,  x , 6x 6, Thể tích bể cá là V  x   6, 6, x  x 6,  x và V   x   0  x 3 Bảng biến thiên Bể cá có dung tích lớn 1, 57m Câu (Mã 104 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5, m kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng phần trăm)?: A 1, 40 m3 B 1, 01 m3 C 1, 51 m D 1,17 m3 Lời giải Chọn D Gọi x, x, h là chiều rộng, dài, cao bể cá Ta có x   xh  xh   5,5  h  Thể tích bể cá V  x 5,5 5,5  x ( Điều kiện  x  ) 6x 5,  x  (5, x  x ) 6x 5,5 V /  (5,5  x ) V /   x  Lập BBT suy Vmax  Câu 11 33  1,17 m3 54 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Người ta cần xây dựng bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích là 125m Đáy bể bơi là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Tính Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (355) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 chiều rộng đáy bể bơi để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu (kết làm tròn đến hai chữ số thập phân)? A 3,12 m B 3,82m C 3, 62m D 3, 42m Lời giải Chọn B Gọi chiều rộng hình hộp là a suy chiều dài là 3a , chiều cao là h V  a.3a.h  3a h  h  V 125  2 3a 3a Diện tích thi công Stc  a.3a   a.h    3a.h   3a  2ah  6ah  3a  2a Áp dụng BĐT Cosi ta có 3a  125 125 1000  6a  3a  3a 3a 3a 1000 500 500 500 500 750000  3a    3 3a  3a 3a 3a 3a 3a 500 500 500   9a3  500  a   3, 82 3a 3a Ghi chú: Chúng ta có thể dung Phương pháp hàm số để tìm bài toán Diện tích thi công nhỏ 3a  Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Người ta muốn thiết kế bể cá kính không có nắp với thể tích 72 dm , chiều cao là 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị dm ) hình vẽ Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày các kính và không ảnh hưởng đến thể tích bể A a  24 dm ; b  24 dm B a  dm ; b  4dm C a  dm ; b  dm D a  dm ; b  6dm Lời giải 72 24  Thể tích bế cá: V  3ab  72dm3  b  , với a, b  3a a Diện tích kính để làm bể cá hình vẽ: S  3.3a  2.3b  ab  9a  144 144 24 24  9a   24  9a  24  S  96  a a a a a 144  a 4b6 a Vậy để bể cá tốn ít nguyên liệu thì a  4dm ; b  6dm S  96  9a  Câu (Mã 110 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB  x và các cạnh còn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x  14 B x  C x  Lời giải D x  Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (356) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi M , N là trung điểm CD và AB CD  MB  CD  MN   CD   MAB    CD  MA  CD  AB Tam giác MAB cân M nên MN  AB 1 VABCD  AB.CD.d  AB, CD  sin  AB, CD   x.2 3.MN sin 90 6 Ta có  2 3  x   36  x    x  3 x.2 32     x 36  x   6  2   Dấu "  " xảy  x  36  x  x  Câu (Sở Vĩnh Phúc 2019) Xét khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân A , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Gọi  là góc hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  , giá trị cos  thể tích khối chóp S ABC nhỏ là A B 3 Lời giải C D Đặt SA  h, AB  AC  a Ta có d  A;  SBC    AH  3; 1 1 1 1  2       3  a2h  2 AH SA AB AC a a h ah    SBC  ,  ABC    SMA  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (357) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VS ABC  a h  Thể tích nhỏ a  h  SM  a  cos  Câu AM a 2   SM a 3 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB  x , AD  Biết góc đường thẳng AC và mặt phẳng  ABBA  30 Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối hộp ABCD ABC D A Vmax  Ta có 3 B Vmax  C Vmax  Lời giải D Vmax  BC  BB   CB   ABBA   AB là hình chiếu vuông góc AC trên mặt phẳng BC  AB   ABBA   góc đường thẳng  C (vì AC và mặt phẳng  ABBA  là góc  AB, AC   BA   C nhọn BAC vuông B ) Vậy BA C  30 BA BC Ta có AB    ; AA  AB  AB   x  tan 30   tan BA C VABCD ABC D  AB AD AA  x  x  x2  3  x2  Dấu  xảy  x   x  x   x  x   (vì x  ) Vậy Vmax  Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Nhân ngày quốc tế Phụ nữ – năm 2019 Ông A đã mua tặng vợ món quà và đặt nó hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và không nắp Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị nó, ông định mạ vàng hộp, biết độ dày lớp mạ trên điểm hộp là không đổi và Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (358) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi chiều cao và cạnh đáy hộp là h và x Để lượng vàng trên hộp là nhỏ thì giá trị h và x là? A h  , x  ,x  B h  C h  , x  D h  , x  Lời giải 32 x2 32 256 Phần mạ vàng hộp: S  x  xh  x  x  2x  x x Cách Ta có thể tích hộp: V  x h  32 (đvtt), với x, h  Suy h  128 128 128 128 256  x2    3 x2  96 (BĐT AM-GM) x x x x x 128 Đẳng thức xảy 2x  hay x  , đó h  x Cách 256 Xét hàm số f  x   x  với x  x Ta có 2x  Ta có f   x   x  256 x3  256  , f   x    x3  256  x  ; f    96 2 x x BBT x  f  x f  x     96 Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN x  , đó h  Vậy phương án A đúng Câu (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB  BC  CD  DA  và AC , BD thay đổi Giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD A 27 B 27 Lời giải C D Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (359) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M , N là trung điểm BD , AC Đặt BD  x , AC  y  x, y  0 Ta có CM  BD, AM  BD  BD   AMC  Ta có MA  MC   x , MN   x  y , S AMC  VABCD 1 2  DB.S AMC  x y  x  y  x y  x2  y  3 3   VABCD   x  y2   x2  y2  27 Dấu đẳng thức xảy x  y  27 Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD là Câu 10 1 MN AC  y  x  y 2 27 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp SABC có SA  x, SB  y , AB  AC  SB  SC  Thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn tổng x  y A B Lời giải D C Chọn C Gọi M , N là trung điểm SA, BC và đặt a  x, 2b  y BC  AN , BC  SN  BC   SAN  VSABC  VBSAN  VCSAN  2VBSAN  BC.S SAN AB  AC BC    b  MN  AN  MA2   b  a 2  S SAN  SA.NM  a  a  b 2 AN   VSABC 1  a2  b2   a2  b2   2ab  a  b  V SABC  4a 2b  a  b    9    V SABC    243 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (360) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dấu xảy  a  b   a  b  a  b  x y  x y  3 Câu 11 2 (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có tổng diện tích tất các mặt là 36, độ dài đường chéo AC ' Hỏi thể tích khối hộp lớn là bao nhiêu? B 6 A C 24 Lời giải D 16 Chọn A +) Gọi độ dài AB  a, AD  b và AA   c Ta có tổng diện tích tất các mặt là 36 nên 2ab  2bc  2ca  36  ab  bc  ca  18 1 Do độ dài đường chéo AC ' nên a2  b2  c  36   +) Thể tích khối hộp là V  abc Ta có  a  b  c   a2  b2  c   ab  bc  ca   72  a  b  c    Từ 1  ab  18  c  a  b   18  c  c  c2  2c  18  Nên V  abc  c3  2c2  18c  f  c  , c  0;6  c  Ta có f   c   3c  12 2c  18    c  Lập bảng biến thiên ta Max V  f 0;6  Câu 12  2 8 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có SC  x   x  a  , các cạnh còn lại a Biết thể tích khối chóp S ABCD lớn và x  Mệnh đề nào sau đây đúng? A m  2n  10 B m  n  30 C 2n  3m  15 Lời giải a m n  m, n    * D 4m  n2  20 S x a a a I A D a O B a C Gọi I là trung điểm SC , O  AC  BD  BI  SC  BD  SC Ta có   DI  SC Mà ABCD là hình thoi nên BD  AC Khi đó, BD   SAC  VS ABCD  2VS ABC  2VB.SAC AO  AB  BO  AB   BI  OI   AB   SB  SI   OI  x2  a2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (361) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  AC  AO  x  a  SA2  SC   SAC vuông S BO  AB  AO  3a  x 1 3a  x ax 3a  x  VS ABCD  2VB.SAC   BO  SA  SC  a x    Ta có x 3a  x  x 3a  x  x   3a  x   3a 2  VS ABCD  a a Dấu “=” xảy  x  3a  x  x  Vậy, thể tích khối chóp S ABCD lớn và x  a  m  6; n  2  m  2n  10 Câu 13 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho tứ diện ABCD có AB  x , CD  y , tất các cạnh còn lại Khi thể tích tứ diện ABCD là lớn tính xy 16 A B C 3 D Lời giải Gọi M , N là trung điểm AB, CD Tam giác ADB, CAB là hai tam giác cân cạnh đáy AB nên DM  AB và CM  AB Suy AB   MCD  1 x VABCD  VB MCD  VA MCD  BM SMCD  AM SMCD  SMCD 3 Tam giác ABC  ABD  c.c.c  nên CM  DM  MN  CD 1 1 x2 y2 SMCD  CD.MN  y MC  CN  y  BC  BM   CN  y   2 2 4  y 16   x  y  xy xy VABCD  16   x  y   16  xy  xy xy 16  xy  12 12 12 3  xy  xy  16  xy    16        12   12   Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (362) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x  y x  y   Dấu xảy  16  xy  16  xy  xy  16 Vậy thể tích ABCD đạt giá trị lớn xy  Câu 14 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V Điểm P là trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB M và N Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AMPN Giá trị lớn V1 V thuộc khoảng nào sau đây?   1 5 A  0;  1 1  3 B  ;  1 1 3 2 C  ;  1  2  D  ;1  Lời giải Gọi O  AC  BD , G  AP  SO, suy G là trọng tâm tam giác SAC Gọi  P  là mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB M và N  P    SBD   MN  Dễ thấy:  P    SAC   AP  MN , AP , SO đồng quy hay   SBD    SAC   SO SM SN Đặt: x    x  1 và y    y  1 SD SB  V1  VS AMP VS ANP    V  VS ADC VS ABP Từ tỷ lệ: M , N , G thẳng hàng   SA SM SP SA SN SP       x  y   SA SD SC SA SB SC  S SMN  S SMG S SNG  SM SN  SM SG SN SG   SM SN           S SBD  S SDO S SBO  SD SB  SD SO SB SO   SD SB     x  y  Lại có:  x  1 y  1   xy   x  y    3 V Từ đó suy ra:   x  y    hay x  y  Vậy lớn V  xy  Câu 15 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong thi làm đồ dùng học tập trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác cách lấy mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh 5cm (tham khảo hình vẽ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (363) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AEB, BFC , CGD , DHA và sau đó gò các tam giác AEH , BEF , CFG , DGH cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng tạo thành khối chóp tứ giác Cắt mảnh tôn theo các tam giác cân Thể tích lớn khối chóp tứ giác tạo thành A 10 B 10 10 C D 10 Lời giải Gọi K là trung điểm AD, đặt HK  x,  x  2 5  5 Ta có EF  FG  GH  HE    x  ; HD     x 2  2 2 5 5  Suy SO  SH  OH  HD  OH     x    x   2 2  5  Ta có V    x  2  2 2 2 2 5 5 5      x    x     x  5x 2        x    5  5   V   2   x  x    x  , V         5x  x   Bảng biến thiên Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (364) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dựa vào bảng biến thiên, ta có Vmax  Câu 16 10 x  Cho khối lập phương ABCD ABC D  cạnh a Các điểm M , N di động trên các tia AC, BD cho AM  BN  a Thể tích khối tứ diện AMNB  có giá trị lớn là A a3 12 B a3 C a3 D a3 12 Lời giải Chọn A Ta có VABMN  d  N ,  ABM   SABM 3  AM  BD,  ABM   Do ACBD là tứ diện nên sin  , sin B  Suy VABMN   1 a   D,  ABM  AB AM sin B AM  AM BN BN sin B    a  AM  BN  a3     6  12 Vậy VABMN  max  Câu 17 a3 12 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG V cắt các cạnh SB, SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số S AMN là? VS ABC A B Lời giải C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (365) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi E , F , G là trung điểm BC , SA, EF suy G là trọng tâm tứ diện SABC Điểm I là giao điểm AG và SE Qua I dựng đường thẳng cắt các cạnh SB, SC M , N Suy  AMN  là mặt phẳng quay quanh AG thỏa mãn yêu cầu bài toán Kẻ GK // SE ,  K  SA suy K là trung điểm FS KG AK KG SI   Mà    SI AS SE SE Cách 1: Kẻ BP // MN , CQ // MN ;  P, Q  SE   Ta có: SM SI SN SI  ;  SB SP SC SQ  BEP  CEQ  E là trung điểm PQ  SP  SQ  2SE (đúng trường hợp P  Q  E ) VS AMN SA SM SN SI SI AM GM SI SI  SI         2 VS ABC SA SB SC SP SQ  SP  SQ  SE  SE  Dấu "  " xảy và SP  SQ  SE Hay P  Q  E  MN // BC Ta có: Cách 2: Ta chứng minh SB SC   SM SN Thật vậy, qua I kẻ các đường thẳng song song SB, SC cắt SC , SB tương ứng D, L Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (366) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SB DB    3 NI SB 3NI IQ DI  SB IQ    Ta có: , 1  IQ SM NM SM NM IQ NI   SM NM  SC LC    3 MI SC 3MI  SC IP IP LI Lại có:    ,  2  IP MI  IP SN MN SN MN  SN MN  Từ 1 và   ta có: SB SC MI   NI   3    SM SN  NM MN  SB SC Suy x  y  ;y SM SN V SA SM SN AM GM    Ta có: S AMN  VS ABC SA SB SC xy  x  y Dấu "  " xảy và x  y   MN // BC Cách 3: SB SC  x;  y , với x  , y  Đặt SM SN       x  y  Ta có SI  SE  ( SB  SC )  ( xSM  ySN )  SM  SN 3 3 x y Do I , M , N thẳng hàng nên    x  y  3 V SM SN 1 1     Ta có S AMN  VS ABC SB SC x y xy ( x  y ) VS AMN Vậy đạt giá trị nhỏ x  y , hay MN qua I và song song với BC VS ABC Đặt x  Câu 18 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Hai điểm M , N thuộc các đoạn thẳng AB và AD ( M và N không trùng với A ) AB AD cho 3  Kí hiệu V , V1 là thể tích các khối chóp S ABCD và AM AN V S.MBCDN Tìm giá trị lớn tỉ số V 13 11 A B C D 16 12 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (367) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: VSADB AD AB 2.VSADB AD AB    VSANM AN AM VSANM AN AM AD AB V1 AN AM    AD AB AD AB V AN AM AN AM x   3x   AD AB V Đặt x  2   x,   x   Khi đó  1 AN AM V x   3x  3x  x V AD AB V  V1     V  V1 AN AM V ,1  x   3x  x 6x  6x  4 13 Ta có: f   x     f  x       x   f    2   16  3x  x   3x2  8x  Đặt f  x    Bảng biến thiên hàm số y  f  x  Dựa vào bảng biến thiên ta hàm số đạt giá trị lớn là 13 x  16 V1 13 là V 16 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Vậy giá trị lớn tỉ số Câu 19 và có thể tích là V Gọi P là trung điểm SC Mặt phẳng   chứa AP và cắt hai cạnh SD , SB M và N Gọi V  là thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ tỉ V số V A B C D 3 Lời giải Chọn B Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (368) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do   qua A , P , M , N nên bốn điểm này đồng phẳng Áp dụng công thức VS AMNP a  b  c  d SA SC SD SB   a, c, d,  b thỏa mãn với VS ABCD 4.a.b.c.d SA SP SM SN ac bd SA SC SD SB 1,  và đặt  d  0, b 0 SA SP SM SN V  1  b  d  Khi đó: với   b  d  b  d  V 4.1.2.b.d V  1  b  d V  1  V      Vậy ta có: V 4.1.2.b.d V 4.2.b.d V 4bd Theo đề bài ta có: b  d  Theo bất đẳng thức bản: bd   V 3      suy V 4bd bd V Vậy có giá trị nhỏ V Dấu “=” xảy b  d  b  d  Câu 20 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy ABC là tam giác vuông cân C , AB  2a và góc tạo hai mặt phẳng  ABC   và  ABC  60 Gọi M , N là trung điểm AC  và BC Mặt phẳng  AMN  chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ A 3a 24 B 6a 6a 24 Lời giải C D 3a3 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (369) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi I là trung điểm AB , suy AB   CIC   nên góc  C AB  và  ABC  là góc  CI , C I  ,  IC  60 suy C AB  IC   tan 60  a Tam giác C IC vuông C nên C C  CI  tan C Diện tích tam giác ABC là S ABC   AB  CI  a Thể tích khối lăng trụ là V  CC   S ABC  a  a  a 3 Trong  ACC A  , kéo dài AM cắt CC  O Suy C M là đường trung bình OAC , đó OC  2CC   2a 1 1 Thể tích khối chóp VO ACN   S ACN  OC    S ABC  2CC   V 3 1 1 Thể tích khối chóp VO.C ME   SC ME  OC    S ABC   OC   V 3 24 1 7 3a3 Do đó VC EM CAN  VO ACN  VO.C ME  V  V  V   a3  24 24 24 24 Vậy phần thể tích nhỏ là VCEM CAN  Câu 21 3a 24 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhôm đó bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x (cm), gập nhôm lại để cái hộp không nắp( tham khảo hình vẽ bên) Tìm x để hộp nhận có thể tích lớn (giả thiết bề dày tôn không đáng kể) Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (370) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A x  B x  C x  Lời giải D x  Chọn A Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh 12  2x , chiều cao x x Điều kiện  x  12 –2x 2 Thể tích khối hộp là V  12  x  x    x  x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương   x   x  x  6  x  6  x  2x    x   x  x  43    x  x  2.43  V  128 (hằng số) Dấu  xảy   x  2x  x  Vây thể tích khối hộp lớn x  Câu 22 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S.ABC có thể tích Mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt phẳng (ABC) cắt các cạnh SA, SB, SC M, N, P Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (ABC) M’, N’, P’ Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M’N’P’ 1 A B C D 27 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (371) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 SM SN SP  x   x  1  x SA SB SC  S MNP NM NP.sin MNP NM NP     x2 S ABC BA BC BA.BC.sin  ABC  S MNP  x S ABC Gọi Gọi chiều cao hình chóp là SH , chiều cao lăng trụ là MH  : MH  AM    x  MH '  1  x  SH SH AS  VS ABC  SH S ABC   SH SABC  3   VMNP.M ' N ' P '  MH '.SMNP  1  x  SH x SABC  x 1  x  SH SABC = x 1  x  Xét hàm số: f  x   3x  3x3 với x   0;1  x  (loai )  f '  x   6x  9x  f '  x     x   Bảng biến thiên: x f'(x) + - f(x) Vậy: maxVMNP M ' N ' P '  Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (372) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 23 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với  ABCD  A lấy điểm S di động không trùng với A Hình chiếu vuông góc A lên SB, SD H , K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK A a3 32 B a3 a3 16 Lời giải C D a3 12 Chọn C Cách 1: a2 x Ta có VS ABD  S ABD SA  Lại có VS AHK SH SK  SA     VS ABD SB SD  SB   VS AHK  x4 x a 2  .VS ABD  2 x4  SA      SD   x  a  a x5  x2  a2  Gọi O  AC  BD, G  SO  HK , I  AG  SC  BC  AB Ta có   BC   SAB   BC  AH ,  AH   SAB    BC  SA  AH  SB Lại có   AH   SBC   AH  SC  AH  BC Chứng minh tương tự ta có AK  SC  SC  AK Vì   SC   AHK  , AI   AHK   SC  AI  SC  AH Xét tam giác SAC vuông A , đặt SA  x  và có AC  a , AI  SC  IC  AC  2a 2a    CI  SI  IS  AS  x2 x2 1 2a 2a a4 x3  VACHK  S AHK CI  S AHK SI  VS AHK  3 x x  x  a 2 Ta lại có  x  a 2   x2 x2 x2       a2   3  AM  GM  16 x 3a x3 3   (Dấu “=” xảy 2 3  x  a  16a và x  a ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (373) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy VACHK  a4 3 a3  VACHK  16a 16 Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK a3 x  SA  a 16 Cách 2: a2 x a2 x  VS ABD  VS ABCD  Gọi O  AC  BD  O là trung điểm AC  d  A,  HOK    d  C ,  HOK   Đặt SA  x, x   VS ABCD   VAHOK  VCHOK  VACHK  2VAHOK Xét tam giác SAB vuông A, có AH  SB  Tương tự tam giác SAD ta có Lại có SH SA2 x2   SB SB x  a2 SK x2  SD x  a VS AHK SH SK x4 x4 a x5    V  V  S AHK S ABD 2 VS ABD SB SD  x  a 2  x2  a2   x2  a2  Mặt khác d  H ,  ABCD   d  S ,  ABCD   Mà S ABO   BH a2 a2 x   d H , ABCD      BS x  a x2  a a2 1 a4 x S ABD   VH ABO  S ABO d  H ,  ABO    12 x  a Tương tự, ta có VK ADO a4 x  12 x  a   a x a x5 a4 x   VACHK  2VAOHK  VS ABD  VS AHK  VHABO  VKADO       6  x  a 2 x  a     VACHK  a4 x3  x  a 2 Xét hàm số f  x   Ta có f   x   x3  x2  a2  x  3a  x   x2  a2  trên khoảng  0;   ; f  x   x  a Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (374) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bảng biến thiên Quan sát bảng biến thiên, ta thấy f  x  đạt giá trị lớn x  a 3 a 3 a  a 3  a    Vậy giá trị lớn VACHK Câu 24  2 a3 SA  a 16 (Sở Hưng Yên - 2020) Khối chóp có đáy là hình bình hành, cạnh đáy a và các cạnh bên a Thể tích khối chóp có giá trị lớn là A 6a a Lời giải B 8a C D 7a3 12 Chọn D Gọi AC  BD  O SO  AC  SO   ABCD  Ta có SA  SB  SC  SD  a   SO  BD  O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình bình hành ABCD  ABCD là hình chữ nhật Không tính tổng quát, giả sử AD  a và đặt AB  x,  x    OA  x  a2 x2  a2  SO  7a  x Xét SOA vuông O , ta có SO  SA  OA  2a  2 Lại có S ABCD  a.x nên VS ABCD 2 1  S ABCD SO  a.x a  x Dấu “=” xảy và x  AM GM  2 a x   7a  x  7a3  12 a 14 Vậy thể tích lớn khối chóp đã cho là 7a 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (375) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 25 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC , BD thỏa mãn AC  BD  16 và các cạnh còn lại Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A 32 B 16 C 16 D 32 Lời giải Chọn B Gọi I , K là trung điểm AC , BD Ta có: AC  IB , AC  ID  AC   BID   VABCD  2.VABID VABID  1 1 AI S IBD  AC IK BD (Do IB  ID nên tam giác IBD cân I ) 3 2 BD  16  AC ;  AC  IK  IB2  ID2 BD2 BD2 AC BD2   ID2   AD2    32  IK  2 4 4 2 AC.4 16  AC  AC 16  AC ,   AC   12 Đặt t  AC , (0  t  4) VABCD  Xét f (t )  t 16  t , (0  t  4) Ta có: 16 Tìm giá trị lớn thể tích, ta có thể dùng cách khác sau: Áp dụng BĐT Cauchy cho số: AC và 16  AC Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn là Ta có: AC  16  AC  AC 16  AC   AC 16  AC  Đẳng thức xảy  AC  16  AC  AC  2 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (376) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn là Câu 26 16 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S ABC , đáy là tam giác ABC có AB  BC , AC  BC , hình chiếu S lên  ABC  là trung điểm O cạnh AC Khoảng cách từ A đến  SBC  Mặt phẳng  SBC  hợp với mặt phẳng  ABC  góc  thay đổi Biết giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC Tổng a  b A B C a , đó a, b  * , a là số nguyên tố b D Lời giải Áp dụng định lý Hê-rông tam giác ABC ta diện tích S ABC  BC   Từ O kẻ OI  BC I , suy góc tạo  SBC  và  ABC  là SIO Từ O kẻ OH  SI H thì d  A,  SBC    2d  O,  SBC    OH  OH  OH  sin  sin  OH Tam giác SOI vuông O nên SO  OI  tan    tan   sin  cos  Mà diện tích 2S S ABC  BC  2OI  d  A, BC   ABC  BC  OI  BC  S ABC  OI  BC sin  1 1 Thể tích khối chóp là V  S ABC  SO    3 sin  cos  Tam giác OHI vuông H nên OI  Xét hàm số f  x   1  x  x   x  x trên  0;1 , f   x   3x  , f   x    x  Bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (377) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy f  x   , x   0;1 1 1 V        cos  cos  3 Vậy a  3, b   a  b  Do đó 1  cos x  cos x  Câu 27 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng  SBC  Gọi  là góc hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  , tính cos  để thể tích khối chóp S ABC nhỏ A cos   B cos   C cos   Lời giải D cos   Chọn A Gọi H là trung điểm BC  AH  BC (vì tam giác ABC vuông cân A )  AH  BC  cmt   BC   SAH   BC  SH Ta có  SA  BC SA  ABC       ABC    SBC   BC     Ta có  AH  BC    ABC  ,  SBC     AH , SH   SHA  SH  BC  Kẻ AK  SH , với K  SH  AK  SH  gt   AK   SBC   d  A ,  SBC    AK  Ta có   AK  BC  BC   SAH   AK Tam giác SHK vuông K có AH   sin  sin  Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (378) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 AK  Tam giác SAK vuông K có SA  sin  90    cos  Tam giác ABC vuông cân A có H là trung điểm BC  BC  AH  và sin  BC  2 sin  1 6 Vậy S ABC  AB AC   2 sin  sin  sin  1 9 VS ABC  S ABC SA   3 sin  cos  1  cos   cos  AB  AC    Xét hàm số y  1  cos   cos  với   0;   2 Đặt t  cos   t   0;1  y  1  t  t  t  t    0;1 t  Suy y    3t       0;1 t     3 Ta có y    , y 1  , y       3 cos   (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , Vậy để thể tích khối chóp nhỏ thì 1  cos   cos  lớn Câu 28  y   và vuông góc với mặt đáy  ABCD  Trên cạnh AD lấy điểm M và   x  a  Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S ABCM , biết x  y  a cạnh bên SA  y đặt AM  x A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn C 1  AM  BC  AB   x  a  a 2 1 a Vậy thể tích khối chóp S ABCM là V  SA.S ABCM  y  ax  a    xy  ay  3 Ta có: S ABCM  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (379) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 V2  a2 36 2 y  x  a   V   a2  x2   x  a  36 a Xét hàm số f  x    a  x   x  a  trên khoảng  0;a  2 Ta có: f   x   2 x  x  a    a  x   x  a    x  a   a  x  f  x   x  a (Vì x  ) Bảng biến thiên a2   a 27a a   Từ bảng biến thiên suy ra: max f  x   f     a     a    0;a   16 2   a2 a 27a a 3 max f  x    36  0; a  36 16 Câu 29 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung điểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt các cạnh SB , SD M và N Gọi V1 , V theo thứ tự là thể tích khối chóp S AMKN và khối chóp S ABCD Giá trị nhỏ tỉ Vậy Vmax  số V1 V2 A B Lời giải C D Chọn C Giả sử x  SM SN , y SB SD 1 Ta có ABCD là hình bình hành nên VS ABC  VS ACD  VS ABCD  V 2 SM SK SK SN 1 1 VS AMKN  VS AMK  VS AKN  VS ABC  VS ACD  x V  y V  V  x  y  SB SC SC SD 2 2 V1    x  y V Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (380) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SM SN SK SM SN VS ABD  VS ABC Mặt khác, VS AMKN  VS AMN  VS KMN  SB SD SC SB SD 1 3xy V 3xy  V1  xy.V  xy V  V  1 2 V Do đó  x  y   xy  x  y  3xy 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 3xy  x  y  xy  xy   xy  V 3 Do đó  xy   V 4  x  y  xy Dấu "  " xảy  x y x  y V1 là V Vậy giá trị nhỏ Câu 30 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC  có độ dài cạnh đáy a Gọi  là góc BC  và mặt phẳng  ABC  Khi sin  đạt giá trị lớn nhất, tính thể tích khối lăng trụ đã cho? A 6a 12a Lời giải 3a B 4 C D 27a Chọn D Đặt AA'  x  x     Gọi h  d A, A' BC   d C ' ,  A'BC    Dựng AM  BC , AE  A' M  h  d A, A' BC Khi đó ta có h  a 3x x  3a     d C ' , A' BC   AE  A' A.MA A' A2  AM và BC '  a  x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (381) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có sin   h BC '  a 3x x  3a x  a  a  x2  3a2  x2  a2  x2 x  3a  x  a   Ta có sin  lớn nhỏ x2 x  3a  x  a   3a Mà  x2   a  4a x Dấu x  x 3a x2  x  a4  a 27 a3 , đó thể tích khối lăng trụ 4 HẾT Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (382)

Ngày đăng: 14/06/2021, 14:32

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w