Một mặt phẳng đi qua trọng tâm tam giác SAB và song song với mặt đáy 4 ABCD chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, tính thể tích V của phần chứa điểm S ... Gọi H là trung điểm AB.[r]
(1)TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NHẬN DIỆN KHỐI ĐA DIỆN Chuyên đề DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM Hình đa diện là hình tạo số hữu hạn các đa giác thỏa mãn hai tính chất: Hai đa giác phân biệt có thể không có điểm chung, có đỉnh chung, có cạnh chung Cạnh Mỗi cạnh đa giác nào là cạnh chung đúng hai đa giác Đỉnh Mặt Mỗi đa giác gọi là mặt hình đa diện Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là phần không gian giới hạn hình đa diện, kể hình đa diện đó Khối đa diện lồi: Khối đa diện (H ) gọi là khối đa diện lồi đoạn thẳng nối hai điểm bất kì (H ) luôn luôn thuộc (H ) Khối đa diện là khối đa diện lồi có tính chất sau đây: Mỗi mặt nó là đa giác p cạnh Mỗi đỉnh nó là đỉnh chung đúng q mặt Khối đa diện gọi là khối đa diện loại {p;q} Định lí: Chỉ có năm loại khối đa diện Đó là loại {3;3}, {4;3}, {3;4}, {5; 3} và {3;5} Tứ diện đều Đa diện cạnh a Lập phương 12 mặt Bát diện Đỉnh Cạnh Mặt Thể tích V 2a 12 20 mặt BK mặt cầu ngoại tiếp R a R a R a 2 Tứ diện {3;3} Lập phương {4;3} 12 Bát diện {3; 4} 12 Mười hai mặt {5; 3} 20 30 12 V 15 a R 15 a Hai mươi mặt {3;5} 12 30 20 V 15 5 a 12 R 10 20 a V V a3 V 2a 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (2) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Phép đối xứng qua mặt phẳng Định nghĩa Phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) là phép biến hình, biến điểm thuộc (P ) thành chính nó và biến điểm M không thuộc (P ) thành điểm M cho (P ) là mặt phẳng trung trực đoạn thẳng MM Nếu phép đối xứng qua mặt phẳng (P ) biến hình thành chính nó thì (P ) gọi là mặt phẳng đối xứng hình Mặt phẳng đối xứng số hình thường gặp Hình hộp chữ nhật có kích thức khác nhau: có mặt phẳng đối xứng Hình lăng trụ tam giác đều: có mặt phẳng đối xứng Hình chóp tam giác (cạnh bên và cạnh đáy không bằng): có mặt phẳng đối xứng Tứ diện đều: có mặt phẳng đối xứng Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (3) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Hình chóp tam giác đều: có mặt phẳng đối xứng Hình bát diện đều: có mặt phẳng đối xứng Hình lập phương: có mặt phẳng đối xứng Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (4) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng Nhận dạng khối đa diện Câu (Đề Tham Khảo 2017) Hình đa diện hình vẽ có bao nhiêu mặt? A 12 B 11 C D 10 Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Hình đa diện sau có bao nhiêu cạnh? A 15 B 12 C 20 D 16 Câu (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Hình chóp ngũ giác có bao nhiêu mặt? A Bảy B Sáu C Năm D Mười Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Trong khối đa diện, mệnh đề nào sau đây đúng? A Hai cạnh có ít điểm chung B Ba mặt bất kì có ít đỉnh chung C Hai mặt bất kì có ít điểm chung D Mỗi đỉnh là đỉnh chung ít ba mặt Câu (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Tồn hình đa diện có số đỉnh và số mặt B Số đỉnh và số mặt hình đa diện luôn C Tồn hình đa diện có số cạnh và số mặt D Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Hình nào sau đây không phải là hình đa diện? A Hình lăng trụ B Hình chóp C Hình lập phương D Hình vuông Câu (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho các mệnh đề sau: I/ Số cạnh khối đa diện lồi luôn lớn II/ Số mặt khối đa diện lồi luôn lớn III/ Số đỉnh khối đa diện lồi luôn lớn Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A II và III B I và II C Chỉ I D Chỉ II Câu (Nhân Chính Hà Nội Năm 2019) Cho khối đa diện Khẳng định nào sau đây là sai? A Số đỉnh khối lập phương B Số mặt khối tứ diện C Khối bát diện là loại 4;3 D Số cạnh khối bát diện 12 Câu (THPT Nghĩa Hưng Nam Định 2019) Có tất bao nhiêu khối đa diện A B C D Câu 10 (THPT Phan Đăng Lưu - Huế -2018) Số cạnh hình 12 mặt là: A 20 B 30 C 16 D 12 Câu 11 (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2018) Hình nào đây không phải là hình đa diện? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (5) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Hình B Hình C Hình D Hình Câu 12 (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - 2018) Khối đa diện loại 3;5 là khối A Hai mươi mặt B Tám mặt C Lập phương D Tứ diện Câu 13 (THPT Lương Thế Vinh - HN - 2018) Hình vẽ bên có bao nhiêu mặt A B C D 10 Câu 14 (THPT Chuyên LHP – 2017) Biết H là đa diện loại 3;5 với số đỉnh và số cạnh là a và b Tính a b A a b 18 B a b 8 C a b 18 D a b 10 Câu 15 (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Gọi n là số hình đa diện bốn hình trên Tìm n A n B n C n D n Câu 16 (SGD Bình Dương - 2018) Khối đa diện loại 4;3 là: A Khối tứ diện B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối hộp chữ nhật Câu 17 (Chuyên Tuyên Quang – 2017) Khối đa diện nào sau đây có mặt không phải là tam giác ? A Tám mặt B Tứ diện C Mười hai mặt D Hai mươi mặt Câu 18 (THPT Đô Lương - Nghệ An – 2018) Số hình đa diện lồi các hình đây là A B C D Câu 19 (THPT Thanh Miện - Hải Dương - 2018) Cho khối đa diện loại 3; 4 Tổng các góc phẳng đỉnh khối đa diện A 324 B 360 C 180 D 240 Câu 20 (Chuyên Hưng Yên– 2017) Hình nào đây không phải là khối đa diện? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (6) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A C B D Câu 21 (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018) Hình nào đây không phải là hình đa diện? A B C D Câu 22 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh 2018) Khối đa diện 12 mặt có số đỉnh và số cạnh là A 30 và 20 B 12 và 20 C 20 và 30 D 12 và 30 Câu 23 (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018) Khối hai mươi mặt thuộc loại nào sau đây? A 3; 4 B 4;3 C 3;5 D 5;3 Câu 24 (THPT Kim Liên - HN - 2018) Khối đa diện có mười hai mặt có số đỉnh, số cạnh, số mặt là: A 30 , 20 , 12 B 20 , 12 , 30 C 12 , 30 , 20 D 20 , 30 , 12 Câu 25 (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - 2018) Trong các hình đây hình nào không phải đa diện lồi? A Hình (IV) B Hình (III) C Hình (II) D Hình (I) Câu 26 (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - 2018) Hình đa diện bên có bao nhiêu mặt? A B 11 C 12 D 10 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (7) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 27 (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất bao nhiêu cạnh? A 33 B 31 C 30 D 22 Câu 28 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Trong các hình đây, hình nào là hình đa diện? A Hình B Hình C Hình D Hình Câu 29 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho đa giác 16 đỉnh, Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông có ba đỉnh là ba đỉnh đa giác đó? A 560 B 112 C 121 D 128 Câu 30 (Đề Bộ Giáo Dục) Hình đa diện nào đây không có tâm đối xứng? A Tứ diện B Bát diện C Hình lập phương D Lăng trụ lục giác Dạng Tính chất đối xứng khối đa diện Câu 31 (Mã 123 2017) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi khác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Câu 32 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Hình tứ diện có bao nhiêu trục đối xứng? A B C D Câu 33 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Câu 34 (SGD Bình Dương - 2018) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi khác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Câu 35 (Chuyên Quốc Học Huế -2018) Hình tứ diện có tất bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 36 (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Hình nào sau đây không có trục đối xứng? A Hình hộp xiên B Tam giác C Hình tròn D Đường thẳng Câu 37 (Chuyên KHTN- 2017) Biết hình đa diện H có mặt là tam giác Hãy mệnh đề nào đây là đúng? A Không tồn hình H nào có mặt phẳng đối xứng B Có tồn hình H có đúng mặt đối xứng C Không tồn hình H nào có đúng đỉnh D Có tồn hình H có hai tâm đối xứng phân biệt Câu 38 (Chuyên Thái Bình - 2018) Hình chóp tứ giác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 39 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Hình đa diện nào đây không có tâm đối xứng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (8) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Hình bát diện đều B Hình tứ diện C Hình lập phương D Hình lăng trụ tứ giác Câu 40 (Chuyên Hạ Long - QNinh - 2018) Hình nào nào đây không có trục đối xứng? A Tam giác cân B Hình thang cân C Hình elip D Hình bình hành Câu 41 (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An- 2018) Hình lăng trụ tam giác có tất các cạnh có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 42 (Vĩnh Phúc - 2018) Khối bát diện có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Câu 43 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối lập phương ABCD ABC D phép đối xứng qua mặt phẳng ABC D biến khối tứ diện BCDD thành khối tứ diện nào sau đây? A BCAD B BBAD C BBC A D BCDA Dạng Phân chia, lắp ghép khối đa diện Câu 44 (Mã 110 2017) Mặt phẳng ABC chia khối lăng trụ ABC ABC thành các khối đa diện nào? A Hai khối chóp tứ giác B Hai khối chóp tam giác C Một khối chóp tam giác và khối chóp ngũ giác D Một khối chóp tam giác và khối chóp tứ giác Câu 45 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cắt khối trụ ABC A ' B ' C ' các mặt phẳng AB ' C ' và ABC ' ta khối đa diện nào? A Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác B Ba khối tứ diện C Một khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác D Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác Câu 46 (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - 2018) Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm A và B , điểm N nằm C và D Bằng hai mặt phẳng CDM và ABN , ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện nào sau đây? A NACB , BCMN , ABND , MBND C MANC , BCMN , AMND , MBND B MANC , BCDN , AMND , ABND D ABCN , ABND , AMND , MBND Câu 47 (THPT An Lão 2017) Cắt khối trụ ABC ABC các mặt phẳng ABC và ABC ta khối đa diện nào? A Một khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác C Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác B Ba khối tứ diện D Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác Câu 48 (THPT Ngô Quyền- 2017) Cắt khối lăng trụ MNP.M N P các mặt phẳng MN P và MNP ta khối đa diện nào? A Ba khối tứ diện B Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác C Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác D Một khối tứ diện và khối chóp tứ giác Câu 49 (THPT Yên Định - Thanh Hóa 2018) Có thể chia khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích mà các đỉnh tứ diện là đỉnh hình lập phương? A B C D Câu 50 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho đa giác có 2018 đỉnh Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là các đỉnh đa giác đã cho ? 4 2 A C2018 B C1009 C C2018 D C1009 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (9) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 NHẬN DẠNG KHỐI ĐA DIỆN Chuyên đề DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH Câu (Đề Tham Khảo 2017) Hình đa diện hình vẽ có bao nhiêu mặt? A 12 B 11 C Lời giải D 10 Chọn B Đếm đáy hình chóp có mặt tam giác và mặt tứ giác và mặt ngũ giác Vậy có 11 mặt Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Hình đa diện sau có bao nhiêu cạnh? A 15 B 12 C 20 Lời giải D 16 Chọn D Lý thuyết Câu (Chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai 2019) Hình chóp ngũ giác có bao nhiêu mặt? A Bảy B Sáu C Năm D Mười Lời giải Hình chóp ngũ giác có năm mặt bên và mặt đáy, nên số mặt nó là sáu mặt Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (10) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Trong khối đa diện, mệnh đề nào sau đây đúng? A Hai cạnh có ít điểm chung B Ba mặt bất kì có ít đỉnh chung C Hai mặt bất kì có ít điểm chung D Mỗi đỉnh là đỉnh chung ít ba mặt Lời giải Chọn D Theo tính chất khối đa diện sgk hình học 12 Câu (Chuyên Lương Văn Chánh Phú Yên 2019) Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A Tồn hình đa diện có số đỉnh và số mặt B Số đỉnh và số mặt hình đa diện luôn C Tồn hình đa diện có số cạnh và số mặt D Tồn hình đa diện có số cạnh số đỉnh Lời giải Hình tứ diện có số đỉnh số mặt và bốn Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Hình nào sau đây không phải là hình đa diện? A Hình lăng trụ B Hình chóp C Hình lập phương D Hình vuông Lời giải Chọn D Câu (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho các mệnh đề sau: I/ Số cạnh khối đa diện lồi luôn lớn II/ Số mặt khối đa diện lồi luôn lớn III/ Số đỉnh khối đa diện lồi luôn lớn Trong các mệnh đề trên, mệnh đề nào là mệnh đề đúng? A II và III B I và II C Chỉ I Lời giải Mệnh đề II sai vì khối tứ diện là khối đa diện lồi có số mặt nhỏ Mệnh đề III sai vì khối tứ diện là khối đa diện lồi có đỉnh D Chỉ II Câu (Nhân Chính Hà Nội Năm 2019) Cho khối đa diện Khẳng định nào sau đây là sai? A Số đỉnh khối lập phương B Số mặt khối tứ diện C Khối bát diện là loại 4;3 D Số cạnh khối bát diện 12 Lời giải Chọn C Khối bát diện là loại 3; 4 Câu (THPT Nghĩa Hưng Nam Định 2019) Có tất bao nhiêu khối đa diện A B C D Lời giải Chọn B Có tất khối đa diện là: Khối tứ diện đều, khối lập phương, khối bát diện (hay khối tám mặt đều), khối mười hai mặt và khối hai mươi mặt Câu 10 (THPT Phan Đăng Lưu - Huế -2018) Số cạnh hình 12 mặt là: A 20 B 30 C 16 D 12 Lời giải Chọn B Ta có số cạnh hình mười hai mặt là 30 Câu 11 (THPT Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2018) Hình nào đây không phải là hình đa diện? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (11) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Hình B Hình C Hình Lời giải D Hình Chọn A Có cạnh là cạnh chung mặt Câu 12 (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - 2018) Khối đa diện loại 3;5 là khối A Hai mươi mặt B Tám mặt C Lập phương D Tứ diện Lời giải Chọn A Theo SGK Hình học 12 trang 17 thì khối đa diện loại 3;5 là khối hai mươi mặt Câu 13 (THPT Lương Thế Vinh - HN - 2018) Hình vẽ bên có bao nhiêu mặt A B C Lời giải D 10 Chọn B Từ hình vẽ suy có mặt Câu 14 (THPT Chuyên LHP – 2017) Biết H là đa diện loại 3;5 với số đỉnh và số cạnh là a và b Tính a b A a b 18 B a b 8 C a b 18 Lời giải D a b 10 Chọn C Đa diện loại 3;5 là khối hai mươi mặt với số đỉnh a 12 và số cạnh b 30 Do đó a b 18 Câu 15 (THPT Can Lộc - Hà Tĩnh - 2018) Gọi n là số hình đa diện bốn hình trên Tìm n A n B n C n D n Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (12) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn A Số hình đa diện là vì hình đầu tiên không phải hình đa diện Câu 16 (SGD Bình Dương - 2018) Khối đa diện loại 4;3 là: A Khối tứ diện B Khối lập phương C Khối bát diện D Khối hộp chữ nhật Lời giải Chọn B Theo định nghĩa khối đa diện loại 4;3 là khối có: Mỗi mặt là đa giác có cạnh (hình vuông), đỉnh là đỉnh chung đúng mặt Vậy nó là khối lập phương Theo bảng tóm tắt năm loại khối đa diện Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt 3;3 Tứ diện 4 4;3 3; 4 5;3 3;5 Lập phương 12 Bát diện 12 Mười hai mặt 20 30 12 Hai mươi mặt 12 30 20 Câu 17 (Chuyên Tuyên Quang – 2017) Khối đa diện nào sau đây có mặt không phải là tam giác ? A Tám mặt B Tứ diện C Mười hai mặt D Hai mươi mặt Lời giải Chọn C Hình khối 12 mặt Câu 18 (THPT Đô Lương - Nghệ An – 2018) Số hình đa diện lồi các hình đây là A B C Lời giải D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (13) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B Quan sát bốn hình trên ta thấy có hình thứ tư từ trái qua là hình đa diện lồi vì lấy hai điểm nào thì đoạn thẳng nối hai điểm đó nằm khối đa diện Vậy có đa diện lồi Câu 19 (THPT Thanh Miện - Hải Dương - 2018) Cho khối đa diện loại 3; 4 Tổng các góc phẳng đỉnh khối đa diện A 324 B 360 C 180 Lời giải D 240 Chọn D Khối đa diện loại 3; 4 là khối bát diện đều, mặt là tam giác và đỉnh có tam giác nên tổng các góc đỉnh 240 Câu 20 (Chuyên Hưng Yên– 2017) Hình nào đây không phải là khối đa diện? A C B D Lời giải Chọn D Câu 21 (THPT Xuân Trường - Nam Định - 2018) Hình nào đây không phải là hình đa diện? A B C Lời giải D Chọn A Câu 22 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh 2018) Khối đa diện 12 mặt có số đỉnh và số cạnh là A 30 và 20 B 12 và 20 C 20 và 30 D 12 và 30 Lời giải Chọn C Câu 23 (THPT Lê Quý Đôn - Hải Phòng - 2018) Khối hai mươi mặt thuộc loại nào sau đây? A 3; 4 B 4;3 C 3;5 D 5;3 Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (14) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khối hai mươi mặt có các mặt là tam giác nên thuộc loại 3;5 Câu 24 (THPT Kim Liên - HN - 2018) Khối đa diện có mười hai mặt có số đỉnh, số cạnh, số mặt là: A 30 , 20 , 12 B 20 , 12 , 30 C 12 , 30 , 20 D 20 , 30 , 12 Lời giải Chọn D Câu 25 (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - 2018) Trong các hình đây hình nào không phải đa diện lồi? A Hình (IV) B Hình (III) C Hình (II) Lời giải D Hình (I) Chọn A N M Ta có đường nối hai điểm MN không thuộc hình IV nên đây không phải là đa diện lồi Câu 26 (THPT Chuyên Hạ Long - QNinh - 2018) Hình đa diện bên có bao nhiêu mặt? Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (15) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A B 11 C 12 Lời giải D 10 Chọn D Hình đa diện bên có 10 mặt Câu 27 (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Một hình lăng trụ có đúng 11 cạnh bên thì hình lăng trụ đó có tất bao nhiêu cạnh? A 33 B 31 C 30 D 22 Lời giải Chọn A Hình lăng trụ có 11 cạnh thì đáy có 11 cạnh bên Vậy hình lăng trụ có 33 cạnh Câu 28 (THPT Bạch Đằng Quảng Ninh 2019) Trong các hình đây, hình nào là hình đa diện? A Hình B Hình C Hình D Hình Lời giải Hình 1, Hình 2, Hình không phải hình đa diện vì nó vi phạm tính chất: “ cạnh là cạnh chung đúng hai mặt” Câu 29 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho đa giác 16 đỉnh, Hỏi có bao nhiêu tam giác vuông có ba đỉnh là ba đỉnh đa giác đó? A 560 B 112 C 121 D 128 Lời giải Ta có đa giác có 16 đỉnh nên có đường chéo qua tâm Ứng với đường chéo qua tâm có 14 tam giác vuông Vậy có 8.14 112 tam giác Câu 30 (Đề Bộ Giáo Dục) Hình đa diện nào đây không có tâm đối xứng? Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (16) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Tứ diện B Bát diện C Hình lập phương Lời giải D Lăng trụ lục giác Chọn A Dễ dàng thấy hình bát diện đều, hình lập phương và hình lăng trục lục giác có tâm đối xứng Còn tứ diện không có tâm đối xứng Dạng Tính chất đối xứng khối đa diện Câu 31 (Mã 123 2017) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi khác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Lời giải Chọn C Xét hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có ba kích thước đôi khác Khi đó có mặt phẳng đối xứng là MNOP , QRST , UVWX Câu 32 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Hình tứ diện có bao nhiêu trục đối xứng? A B C D Lời giải Chọn C Gọi S là tập hợp các đỉnh khối tứ diện ABCD Giả sử d là trục đối xứng tứ diện đã cho, phép đối xứng trục d biến S thành chính S nên d phải là trung trực ít đoạn thẳng nối hai đỉnh tứ diện Vậy tứ diện có trục đối xứng là các đường thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (17) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 33 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Một hình hộp đứng có đáy là hình thoi (không phải là hình vuông) có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Lời giải Hình hộp đứng có đáy là hình thoi có mặt phẳng đối xứng đó bao gồm mặt phẳng chứa cặp đường chéo song song mặt đáy và mặt phẳng cắt ngang trung điểm chiều cao hình hộp Cụ thể, theo hình vẽ trên là: BDEH , ACGF , IJKL Câu 34 (SGD Bình Dương - 2018) Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi khác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng Lời giải Chọn C Câu 35 (Chuyên Quốc Học Huế -2018) Hình tứ diện có tất bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Lời giải Chọn A Hình tứ diện có tất mặt phẳng đối xứng Câu 36 (THPT Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Hình nào sau đây không có trục đối xứng? A Hình hộp xiên B Tam giác C Hình tròn D Đường thẳng Lời giải Chọn A d2 d1 d3 d4 dn d2 d3 d d1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (18) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đường tròn có vô số trục đối xứng, các trục này qua tâm đường tròn Đường thẳng có trục đối xứng trùng với nó Tam giác có trục đối xứng, các trục này qua trọng tâm tam giác Hình hộp xiên không có trục đối xứng Câu 37 (Chuyên KHTN- 2017) Biết hình đa diện H có mặt là tam giác Hãy mệnh đề nào đây là đúng? A Không tồn hình H nào có mặt phẳng đối xứng B Có tồn hình H có đúng mặt đối xứng C Không tồn hình H nào có đúng đỉnh D Có tồn hình H có hai tâm đối xứng phân biệt Lời giải Chọn B Luôn tồn hình đa diện H có mặt phẳng đối xứng và có đúng đỉnh, H không có tâm đối xứng Câu 38 (Chuyên Thái Bình - 2018) Hình chóp tứ giác có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Lời giải Chọn D Đó là các mặt phẳng SAC , SBD , SHJ , SGI với G , H , I , J là các trung điểm các cạnh AB, CB, CD , AD (hình vẽ bên dưới) S J A G I O B H D C Câu 39 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Hình đa diện nào đây không có tâm đối xứng? A Hình bát diện B Hình tứ diện C Hình lập phương D Hình lăng trụ tứ giác Lời giải Chọn B Ta có phép đối xứng tâm I biến hình H thành chính nó Khi đó hình H có tâm đối xứng là I suy hình lăng trụ tứ giác đều, hình bát diện và hình lập phương là các hình đa diện có tâm đối xứng Câu 40 (Chuyên Hạ Long - QNinh - 2018) Hình nào nào đây không có trục đối xứng? A Tam giác cân B Hình thang cân C Hình elip D Hình bình hành Lời giải Chọn D Câu 41 (THPT Đặng Thúc Hứa-Nghệ An- 2018) Hình lăng trụ tam giác có tất các cạnh có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Lời giải Chọn A Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (19) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Có mặt phẳng đối xứng hình vẽ sau Câu 42 (Vĩnh Phúc - 2018) Khối bát diện có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng? A B C D Lời giải Chọn C Hình bát diện ABCDEF có mặt phẳng đối xứng: mặt phẳng ABCD , BEDF , AECF và mặt phẳng mà mặt phẳng là trung trực hai cạnh song song Câu 43 (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối lập phương ABCD ABC D phép đối xứng qua mặt phẳng ABC D biến khối tứ diện BCDD thành khối tứ diện nào sau đây? A BCAD B BBAD C BBC A D BCDA Lời giải Phép đối xứng qua mặt phẳng ABC D biến các điểm BB C B D A D D Nên phép đối xứng qua mặt phẳng ABC D biến khối tứ diện BCDD thành khối tứ diện BBAD Dạng Phân chia, lắp ghép khối đa diện Câu 44 (Mã 110 2017) Mặt phẳng ABC chia khối lăng trụ ABC ABC thành các khối đa diện nào? A Hai khối chóp tứ giác B Hai khối chóp tam giác C Một khối chóp tam giác và khối chóp ngũ giác D Một khối chóp tam giác và khối chóp tứ giác Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (20) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn D Mặt phẳng ABC chia khối lăng trụ ABC ABC thành hai khối chóp Chóp tam giác: A ABC và chóp tứ giác: A.BB C C Câu 45 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cắt khối trụ ABC A ' B ' C ' các mặt phẳng AB ' C ' và ABC ' ta khối đa diện nào? A Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác B Ba khối tứ diện C Một khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác D Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác Lời giải Chọn B Ba khối tứ diện là AA’B’C’ , ABB’C’ , ABCC’ Câu 46 (THPT Đoàn Thượng - Hải Phòng - 2018) Cho khối tứ diện ABCD Lấy điểm M nằm A và B , điểm N nằm C và D Bằng hai mặt phẳng CDM và ABN , ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện nào sau đây? A NACB , BCMN , ABND , MBND C MANC , BCMN , AMND , MBND B MANC , BCDN , AMND , ABND D ABCN , ABND , AMND , MBND Lời giải Chọn C A M B D N C Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (21) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bằng hai mặt phẳng CDM và ABN , ta chia khối tứ diện đó thành bốn khối tứ diện: MANC , BCMN , AMND , MBND Câu 47 (THPT An Lão 2017) Cắt khối trụ ABC ABC các mặt phẳng ABC và ABC ta khối đa diện nào? A Một khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác C Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác B Ba khối tứ diện D Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác Lời giải Chọn B Ta có ba khối tứ diện là A ABC; B ABC; C ABC Câu 48 (THPT Ngô Quyền- 2017) Cắt khối lăng trụ MNP.M N P các mặt phẳng MN P và MNP ta khối đa diện nào? A Ba khối tứ diện B Hai khối tứ diện và khối chóp tứ giác C Hai khối tứ diện và hai khối chóp tứ giác D Một khối tứ diện và khối chóp tứ giác Lời giải Chọn A M N P N' M' P' Cắt khối lăng trụ MNP.M N P các mặt phẳng MN P và MNP ta ba khối tứ diện là P.MNP; P.MNN ; M MNP Câu 49 (THPT Yên Định - Thanh Hóa 2018) Có thể chia khối lập phương thành bao nhiêu khối tứ diện có thể tích mà các đỉnh tứ diện là đỉnh hình lập phương? A B C D Lời giải Chọn D + Ta chia khối lập phương thành hai khối lăng trụ đứng; + Ứng với khối lăng trụ đứng ta có thể chia thành ba khối tứ diện mà các đỉnh tứ diện là đỉnh hình lập phương Vậy có tất là khối tứ diện có thể tích Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (22) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 50 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho đa giác có 2018 đỉnh Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật có đỉnh là các đỉnh đa giác đã cho ? 4 2 B C1009 C C2018 D C1009 A C2018 Lời giải Số đường chéo qua tâm đa giác 2018 đỉnh là : 1009 Cứ hai đường chéo qua tâm tạo thành hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật có đỉnh là các đỉnh đa giác đã cho là : C1009 HẾT Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (23) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Chuyên đề 10 DẠNG CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ 1 Thể tớch khối chúp Vchóp Sđ áy chiều cao Sđ á y d đỉnh; mặt phẳng đáy 3 Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô Sđ ¸y chiÒu cao Thể tích khối lập phương V a Thể tích khối hộp chữ nhật V abc c a b Tỉ số thể tích Cho khối chóp S ABC , trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lấy các điểm A, B , C khác S Khi đó ta luôn có tỉ số thể tích: a S A SA SB SC C VS ABC SA SB SC B Ngoài cách tính thể tích trên, ta còn phương pháp chia nhỏ C A khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính toán Sau đó cộng lại B Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp Đáy là đa giác (hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông) Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Các mặt bên là tam giác cân và Góc các cạnh bên và mặt đáy Góc các mặt bên và mặt đáy VS AB C Tứ diện và bát diện đều: Tứ diện là hình chóp có tất các mặt là tam giác Bát diện là hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh nó là đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt là các tam giác và Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm các mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (24) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP S a) Hình chóp có cạnh bên Ví dụ: Hình chóp S ABC có cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tức hình chóp là độ dài cạnh bên SA (ABC ) thì chiều cao hình vuông góc với đáy chóp là SA C A B b) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc với đáy Ví dụ: Hình chóp S ABCD có bên (SAB ) vuông góc với phẳng đáy (ABCD ) thì chiều hình chóp là SH là chiều SAB mặt mặt cao cao S A D H B c) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là giao tuyến hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) thì chiều cao hình chóp là SA S D A B d) Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm đáy Đối với hình chóp đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G tam giác C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có tâm đa giác đáy là giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO S A D O B C DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC và đặt AB c, BC a, CA b và a b c : nửa chu vi Gọi R , r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p S ABC 1 a.ha b.hb c.hc 2 1 ab sinC bc sin A 2 abc p.r 4R p(p a )(p b)(p c), A ac sin B c r b (Héron) B H a R Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C (25) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Stam gi¸c vu«ng (tích hai cạnh góc vuông) (c¹nh huyÒn)2 Stam gi¸c vu«ng c©n (c¹nh)2 c¹nh Chiều cao tam giác Stam giác Shình chữ nhật dài rộng và Shình vuông (cạnh)2 (đáy lớn đáy bé) (chiều cao) TÝch hai ®êng chÐo TÝch ®êng chÐo S Tø gi¸c cã ®êng chÐo vu«ng gãc S h×nh thoi 2 S h×nh thang HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ABC vuông A, có AH là đường cao, AM là trung tuyến Khi đó: BC AB AC (Pitago), AH BC AB.AC A AB BH BC và AC CH CB 1 và AH HB HC 2 AH AB AC BC 2AM 1 S ABC AB AC AH BC 2 M B H C Hệ thức lượng tam giác thường ABC đặt Cho và a b c (nửa chu vi) Gọi R, r là bán kính đường tròn AB c, BC a, CA b, p ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c A Định lý hàm sin: 2R sin A sin B sin C 2 b c a 2 c b a b c 2bc cos A cos A 2bc a c2 b2 2 a B Định lý hàm cos: b a c 2ac cos B cos B C 2ac M 2 a b c c a b 2ab cos C cos C 2ab 2 AM AB AC BC BA2 BC AC 2 Công thức trung tuyến: BN CA2 CB AB 2 CK A M N MN BC AM AN MN k AB AC BC Định lý Thales: S AM AMN k B C S AB ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (26) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng Cạnh bên vuông góc với đáy Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h Thể tích khối chóp đã cho B 12 C 36 D A Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h Thể tích khối chóp đã cho bằng: A B C D 12 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h Thể tích khối chóp đã cho A B 12 C D (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B 6a và chiều cao h 2a Thể tích khối chóp đã cho bằng: A 2a B 4a C 6a D 12a3 Câu Câu (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Tính thể tích V khối chóp S ABCD 2a 2a 2a A V B V C V 2a3 D V Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA , AB , BC 10 và CA Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V 32 B V 192 C V 40 D V 24 Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a Tính thể tích khối chóp S ABCD 2a 2a 2a A B C 2a D Câu (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a3 a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích khối chóp đó Tính cạnh bên SA a a B C a D 2a A Câu (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Biết SA ABC và SA a Tính thể tích khối chóp S ABC A Câu 10 B a3 C a3 D 3a (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng ABC , SC a Thể tích khối chóp S ABC A Câu 11 a a3 3 B a3 12 C a3 D a3 12 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ABC biết đáy ABC là tam giác vuông B và AD 10, AB 10, BC 24 Tính thể tích tứ diện ABCD A V 1200 B V 960 C V 400 D V Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1300 (27) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 12 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC Biết SA a , tam giác ABC là tam giác vuông cân A , AB 2a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 B V A V Câu 13 2a D V 2a3 (Chuyên KHTN 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông B , AB a, AC 2a, SA ABC và SA a Thể tích khối chóp đã cho A Câu 14 C V a3 B a3 C a3 D 2a3 (Sở Cần Thơ 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3a và AD 4a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a Thể tích khối chóp S ABCD A 2a Câu 15 B 12 2a C 2a (Sở Cần Thơ 2019) Thể tích khối chóp có diện tích đáy A B C D 2a 3 và chiều cao là D Câu 16 (Sở Nam Định 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B , độ dài cạnh AB BC a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 A V B V C V a D V Câu 17 (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC là tam giác vuông cân A , SA AB a , SA vuông góc với mặt phẳng ABC Thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 C a3 D 3a3 Câu 18 (Nguyễn Khuyến HCM-2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đôi vuông góc và OA OB OC a Khi đó thể tích tứ diện OABC là a3 a3 a3 a3 B C D A 12 Câu 19 (THPT Minh Khai - 2019) Cho hình chóp S ABC có diện tích đáy là a2 , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a a3 a3 a3 A a3 B C D Câu 20 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Thể tích khối chóp S ABCD 2a3 2a3 2a3 A V 2a B V C V D V Câu 21 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ABC , SA 3a Thể tích V khối chóp S ABCD là: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (28) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A V a3 Câu 22 C V a3 D V 2a (THPT Hàm Rồng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SA ABCD và SA a Thể tích khối chóp S.ABCD là: A Câu 23 B V 3a a3 12 B a 3 C a3 D a3 (THPT Cộng Hiền - 2019) Khẳng định nào sau đây là sai? A Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V Bh B Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V Bh C Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kính thước nó D Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V 3Bh Câu 24 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông B Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết SA AB 2a , BC 3a Tính thể tích S ABC là B 4a C 2a D a A 3a Câu 25 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 4a , BC a , cạnh bên SD 2a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S ABCD B 3a C a D a3 A 6a 3 Câu 26 (Sở Điện Biên - 2019) Tính thể tích khối chóp S ABC có SA là đường cao, đáy là tam giác BAC vuông cân A ; SA AB a a3 a3 a3 2a A V B V C V D V Dạng Mặt bên vuông góc với đáy Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B và AB 2a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 2a 3 A V B V C V D V 12 Câu (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác SAC vuông S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 A V B V C V D V 12 12 12 (SGD Nam Định 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD Thể tích Câu khối chóp S ABCD là A 4a 3 Câu B a3 C a3 D 4a 3 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SA 2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD a 15 a 15 2a B V C V D V A V a 12 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (29) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông C , tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp Biết AB a 3; AC a a3 a3 a3 a3 B C D 2 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp S.ABCD A Câu a3 B a3 A Câu Câu Câu a3 D (Chuyên ĐH Vinh 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , a , tam giác SAC vuông S và nằm mặt phẳng vuông góc với ABCD Tính SA theo a thể tích V khối chóp S ABCD 6a 6a 6a 2a A V B V C V D V 12 120 Tam giác SAB Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân A , AB AC a , BAC là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tich V khối chóp S.ABC a3 a3 A V B V 2a3 C V a D V Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAB cân S và nằm 4a mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD Gọi là góc SC và mặt đáy, tính tan A tan Câu 10 a3 C B tan C tan D tan (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A Hình chiếu S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H BC , AB a , AC a , SB a Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B 2 Dạng Thể tích khối chóp a3 C a3 D Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Thể tích khối chóp tứ giác có tất các cạnh a là a3 a3 a3 A B C a D Câu (Mã 104 2017) Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp S.ABC 11a 11a 13a 11a A V B V C V D V 12 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (30) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 450 Thể tích khối chóp đó là a3 a3 a3 a3 A B C D 12 36 12 36 Câu (Dề Tham Khảo 2019) Cho khối chóp tứ giác có tất các cạnh 2a Thể tích khối chóp đã cho 8a 2a 2a 2a A B C D 3 3 (Mã 123 2017) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp đã cho Câu A V Câu 2a B V 14a3 C V 2a3 D V 14a3 (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy 2a cạnh bên a Thể tích khối chóp đã cho A 5a B 3a C 5a D 3a Câu (THPT Lương Tài Số 2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 600 Tính thể tích V khối chóp S.ABC? A V 9a B V 2a C V 3a D V 6a3 Câu (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , góc hợp cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp đã cho a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Câu (Chuyên Nguyễn Du ĐăkLăk) Cho hình chóp S ABCD có chiều cao a và độ dài cạnh bên a Thể tích khối chóp S ABCD bằng: A Câu 10 B 10a C 8a3 D 8a3 (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Xét khối chóp tam giác cạnh đáy a , cạnh bên lần chiều cao tam giác đáy Tính thể tích khối chóp A Câu 11 10a3 a3 B a3 18 C a3 (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối tứ diện có cạnh A B 2 C D D a3 Câu 12 Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp đã cho 14a3 14a3 2a 2a A V B V C V D V 2 Câu 13 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối SBCD a3 a3 a3 a3 B C D 12 12 Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có cạnh đáy là a , các mặt bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp đó A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (31) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a3 A a3 B 12 a3 C D a3 90 , tính thể tích V Câu 15 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Biết ASC khối chóp đó A V a3 B V a3 C V a3 a3 12 D V Câu 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp S ABCD là a3 a3 a3 a3 B C D A 6 12 Câu 17 (Trường THPT Thăng Long 2019) Hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy là a và mặt bên tạo với đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 B C D A 24 12 Câu 18 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho khối chóp có đáy hình thoi cạnh a a 0 các cạnh bên và cùng tạo với đáy góc 45 Thể tích khối chóp đã cho 3a3 3 a a B 2a3 C D A 2 Câu 19 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tính thể tích khối tứ diện có tất các cạnh a 3 A a B C D 6a a a 12 12 Câu 20 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp là a3 A a3 B a3 C a3 D Câu 21 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 2a , cạnh bên tạo với đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABC là 2a 3 a3 a3 A B C D a 3 Câu 22 (SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp đã cho A V a B V 7a3 C V 4a D V 7a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (32) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 23 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Kim tự tháp Kê - ốp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp này là khối chóp tứ giác có chiều cao là 147 m , cạnh đáy là 230 m Thể tích nó là B 2952100 m C 2529100 m D 2591200 m A 2592100 m Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (33) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Chuyên đề 10 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ 1 Thể tớch khối chúp Vchóp Sđ áy chiều cao Sđ á y d đỉnh; mặt phẳng đáy 3 Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô Sđ ¸y chiÒu cao Thể tích khối lập phương V a Thể tích khối hộp chữ nhật V abc c a a b Tỉ số thể tích Cho khối chóp S ABC , trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lấy các điểm A, B , C khác S Khi đó ta luôn có tỉ số thể SA SB SC VS ABC SA SB SC Ngoài cách tính thể tích trên, ta còn phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính toán Sau đó cộng lại Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp Đáy là đa giác (hình chóp tam giác có đáy là tam giác hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông) Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Các mặt bên là tam giác cân và Góc các cạnh bên và mặt đáy Góc các mặt bên và mặt đáy tích: VS AB C S A C B C A B đều, Tứ diện và bát diện đều: Tứ diện là hình chóp có tất các mặt là tam giác Bát diện là hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh nó là đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt là các tam giác và Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm các mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (34) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP S a) Hình chóp có cạnh Ví dụ: Hình chóp S ABC có cạnh bên bên vuông góc với đáy: SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tức Chiều cao hình chóp là SA (ABC ) thì chiều cao hình độ dài cạnh bên vuông góc chóp là SA C A với đáy B b) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc với đáy c) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là giao tuyến hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy d) Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm đáy Đối với hình chóp đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G tam giác Ví dụ: Hình chóp S ABCD có bên (SAB ) vuông góc với phẳng đáy (ABCD ) thì chiều hình chóp là SH là chiều SAB mặt mặt cao cao S A D H B C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) thì chiều cao hình chóp là SA S D A B C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có tâm đa giác đáy là giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO S A D O B C DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC và đặt AB c, BC a, CA b và a b c : nửa chu vi Gọi R , r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p S ABC 1 a.ha b.hb c.hc 2 1 ab sinC bc sin A 2 abc p.r 4R p(p a )(p b)(p c), A ac sin B c r b (Héron) B H a R Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C (35) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Stam gi¸c vu«ng (tích hai cạnh góc vuông) (c¹nh huyÒn)2 Stam gi¸c vu«ng c©n (c¹nh)2 c¹nh Chiều cao tam giác Stam giác Shình chữ nhật dài rộng và Shình vuông (cạnh)2 (đáy lớn đáy bé) (chiều cao) TÝch hai ®êng chÐo TÝch ®êng chÐo S Tø gi¸c cã ®êng chÐo vu«ng gãc S h×nh thoi 2 S h×nh thang HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ABC vuông A, có AH là đường cao, AM là trung tuyến Khi đó: BC AB AC (Pitago), AH BC AB.AC AB BH BC và AC CH CB A 1 và AH HB HC AH AB AC BC 2AM 1 S ABC AB AC AH BC 2 Hệ thức lượng tam giác thường M B H C ABC đặt Cho và a b c (nửa chu vi) AB c, BC a, CA b, p Gọi R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c 2R Định lý hàm sin: sin A sin B sin C A 2 c a b 2 a b c 2bc cos A cos A 2bc c b a c2 b2 2 Định lý hàm cos: b a c 2ac cos B cos B 2ac a C a b2 c2 B 2 M a b ab cos C cos C c 2ab 2 AM AB AC BC 2 BA BC AC Công thức trung tuyến: BN CA2 CB AB 2 CK A AM AN MN k MN BC AB AC BC M N Định lý Thales: S AMN AM k AB S ABC B C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (36) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng Cạnh bên vuông góc với đáy Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A Câu a3 B a3 a Tính thể tích khối chóp đã cho 3a a3 C D (Mã 110 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V khối chóp S ABCD 3a3 a3 C V a3 D V 3 (Mã 123 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng SAB góc 300 Tính thể tích khối chóp S ABCD A V 3a Câu A Câu 2a3 B V B 2a3 C 6a3 D 2a (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân C , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, biết AB 4a, SB 6a Thể tích khối chóp S ABC là V Tỷ số A Câu Câu 80 40 C 20 D 80 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác vuông ACB 60 , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy góc B , AB a , Tính thể tích V khối chóp S ABC 45 a3 a a3 a3 A V B V C V D V 18 12 (Lương Thế Vinh Hà Nội Năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a và AD 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABCD biết góc hai mặt phẳng SBD và ABCD 600 A V Câu B a3 là 3V a3 15 15 B V a3 15 C V 4a3 15 15 D V a3 15 (Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hình chóp S ABCD có AB 3, BC 3 , góc BCD 90 , SA và SA vuông góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD BAD 66 , tính cotang góc mặt phẳng SBD và mặt đáy Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (37) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 20 273 A 819 Câu B 273 C 20 91 9 91 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ABC Mặt phẳng SBC cách A khoảng a và hợp với mặt phẳng ABC góc 300 Thể tích khối chóp S ABC 8a 8a B A Câu D C 3a3 12 D 4a Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S ABCD biết SC a A VS ABCD a B VS ABCD a3 C VS ABCD a3 D VS ABCD a3 Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông C , AB 2a , AC a và SA vuông góc với mặt phẳng ABC Biết góc hai mặt phẳng SAB và SBC 60 Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B 12 C a3 D a3 120 , biết Câu 11 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân A với BC 2a , BAC SA ( ABC ) và mặt ( SBC ) hợp với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S ABC A a3 B a C a3 D a3 Câu 12 (Bạc Liêu – Ninh Bình) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a , a AD 2a ; SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến SCD Tính thể tích khối chóp theo a 15 15 5 B C D A a a a a 45 15 15 45 Câu 13 (Cụm liên trường Hải Phòng- 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD , góc hai mặt phẳng SBD và ABCD 600 Gọi M , N là trung điểm SB , SC Tính thể tích khối chóp S ADNM a3 a3 3a a3 B V C V D V 16 24 16 Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , a Tính thể tích V SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD khối chóp đã cho a3 3a a3 A V B V a C V D V A V Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB góc 30 Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V 3a3 B V 3a3 C V 6a3 18 D V 6a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (38) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 16 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc BAD 1200 , AB a Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy Góc SBC và mặt phẳng đáy là 600 Tính thể tích V chóp S ABCD A V 2a 15 15 B V a3 12 C V a3 D V a 13 12 Dạng Mặt bên vuông góc với đáy Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy; góc SC và mặt phẳng đáy 45o Tính thể tích khối chóp S ABCD bằng: a3 a3 a3 a3 A B C D 24 12 Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng SCD tạo với đáy góc 30 Thể tích khối chóp S ABCD là? A Câu a3 B a3 C a3 36 D 5a 3 36 (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng đáy Biết a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD 3 B h a C h D h a a thể tích khối chóp S ABCD A h Câu 4 a (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD A h a 4 a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD B h a C h a D h a 3 Câu (Gia Bình 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết khoảng cách hai đường thẳng SA và BD 21 Hãy cho biết cạnh đáy bao nhiêu? A 21 B 21 C D Câu (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B , BC AD a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, góc 15 SC và mặt phẳng ABCD cho tan Tính thể tích khối chóp S ACD theo a a3 a3 a3 a3 A VS ACD B VS ACD C VS ACD D VS ACD 6 Câu (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật; AB a; AD 2a Tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (39) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 đường thẳng SC và mp ABCD 45 Gọi M là trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến SAC A d Câu a 1513 89 B d 2a 1315 89 C d a 1315 89 D d 2a 1513 89 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A Hình chiếu S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H BC , AB a , AC a , SB a Thể tích khối chóp S ABC A Câu a3 B a3 C a3 D a3 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông S Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD cho HA 3HD Biết SA 2a và SC tạo với đáy góc 30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD 6a 3 B V C V 2a3 A V 6a Câu 10 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông A và D , AB AD a , CD 2a Hình chiếu đỉnh S lên mặt ABCD trùng với trung điểm BD Biết thể tích tứ diện SBCD A Câu 11 6a D V a B a a3 Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng SBC là? C a D a (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm cạnh AD ; gọi M là trung điểm CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABM a 15 a 15 a 15 a 15 A B C D 12 Câu 12 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S trên đáy là điểm H trên cạnh AC cho AH AC ; mặt phẳng SBC tạo o với đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABC là? a3 a3 a3 a3 A B C D 12 48 36 24 Câu 13 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và có AB a , BC a Mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 a3 B V A V 12 C V 2a D V a3 Câu 14 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và có AB a , BC a Mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A V B V 12 C V a3 D V a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (40) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B , BC AD a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy; góc 15 SC và mặt phẳng ABCD cho tan Tính thể tích khối chóp S.ACD theo a a3 a3 a3 a3 A VS ACD B VS ACD C VS ACD D VS ACD 6 Câu 16 (Chuyên - Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cân A , AB AC a , BAC 120 Tam giác SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 A V B V a3 C V D V 2a3 Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác cạnh 2a và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) Góc mặt phẳng (SBC ) và mặt phẳng ( ABCD) là 30 Thể tích khối chóp S ABCD là: A Câu 18 2a 3 B a3 C 4a 3 D 2a 3 (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên 300 , SA 2a Tính thể tích V SAB nằm mặt phẳng vuông góc với ABCD , SAB khối chóp S ABCD 3a A V B V a C V a3 D V a3 Câu 19 Cho hình chóp S ABC có AB a, BC a 3, ABC 600 Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ABC là điểm thuộc cạnh BC Góc đường thẳng SA và mặt phẳng ABC là 450 Giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 B C A 12 D a3 Dạng Thể tích khối chóp Câu (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , góc mặt bên và mặt đáy 600 Thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 A V B V C V D V 2 6 Câu (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , tâm đáy là O Gọi M và N là trung điểm SA và BC Biết góc đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD A Câu a 10 B a 30 C a 30 D a 10 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Nếu hình chóp tứ giác có cạnh đáy và có diện tích xung quanh thì có thể tích A B C D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (41) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Cho hình chóp S ABC có SA a Gọi D , E là trung điểm SA, SC Tính thể tích khối chóp S ABC theo a , biết BD vuông góc với AE a 21 a3 a3 a 21 B C D A 54 12 27 27 Câu Cho hình chóp S ABCD có cạnh AB a , góc đường thẳng SA và mặt phẳng ABC Câu 45 Thể tích khối chóp S.ABCD là a3 a3 a3 a3 B C D A 6 (HKI-NK HCM-2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD độ dài cạnh đáy là a Biết mặt SB phẳng P qua A và vuông góc với SC , cắt cạnh SB B với Tính thể tích khối SB chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 A B C D Câu (Sở Quảng Trị2019) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy 2a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 45 Thể tích khối chóp đó là 4a a3 a3 A B C D a Câu (THPT Trần Phú - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , khoảng cách hai đường thẳng SA và CD 3a Thể tích khối chóp đã cho bằng: 8a 3 A a 3 B 6a 3 C 12a D (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC , cạnh AB a và cạnh bên hợp với đáy góc 45 Thể tích V khối chóp là a3 a3 a3 a3 A V B V C V D V 12 Câu Câu 10 Cho khối chóp tứ giác có tất các cạnh 2a Thể tích khối chóp đã cho bằng: 8a3 2a 2a 2a B C D A 3 3 Dạng Thể tích khối chóp khác Câu (Đề Minh Họa 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi vuông góc với nhau; AB 6a , AC a và AD 4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , CD , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 A V 7a3 B V 14a3 C V D V a a CÂU (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a Gọi I là trung điểm BC , hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn IA 2 IH , góc SC và mặt phẳng ABC 60 Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B Câu C a 15 D a 15 12 (Sở Yên Bái - 2020) Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác cạnh 3a , SCB 900 , góc (SAB ) và (SCB) 600 Thể tích khối chóp S ABC SAB Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (42) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu Câu Câu 2a 24 C D 2a (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S ABC có các cạnh SA BC ; SB AC ; SC AB Tính thể tích khối chóp S ABC 390 B 390 390 12 C 390 D Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA SB a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a Thể tích khối chóp đã cho a3 B a3 C a3 D a3 60, SO ( ABCD) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB a, BAD và mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích khối chóp đã cho A Câu 2a SAB 300 Tính thể tích Cho hình chóp S ABC có AB AC , BC , SA , SAC khối chóp S ABC A B C D A Câu B Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Thể tích tứ diện SGCD 2 A B C D 36 36 18 A Câu 2a 3a B 3a 24 C 3a 48 3a 12 D Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , khoảng cách từ điểm A đến mặt a 15 a 15 phẳng ( SBC ) là , khoảng cách SA và BC là Biết hình chiếu S lên mặt 5 phẳng ( ABC ) nằm tam giác ABC , tính thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 C a3 D a3 60 , SO ABCD và Câu 10 Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB a , BAD mặt phẳng SCD tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V 3a 24 B V 3a 48 C V 3a 12 D V 3a 60 , gọi I là giao điểm AC Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh x , BAD và BD Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABCD) là H cho H là trung điểm BI Góc SC và ( ABCD) 45 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V 39 x 12 B V 39 x 36 C V 39 x3 24 D V 39 x3 48 SAC 30º Tính thể tích Câu 12 Cho hình chóp S ABC có AB AC , BC , SA , SAB khối chóp S ABC A VS ABC B VS ABC C VS ABC D VS ABC 12 S ABC Câu 13 Cho hình chóp có SA a, AB a , AC a 0 BAC 90 , CAS 120 Thể tích khối chóp S ABC Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ Góc 600 , SAB (43) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a3 A Câu 14 a3 B a3 C D a3 (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S ABC có AB cm, BC 8cm , AC 9cm Các mặt bên tạo với đáy góc 30 Tính thể tích khối chóp S ABC Biết hình chiếu vuông góc S trên ABC thuộc miền tam giác ABC A 20 cm3 B 20 cm C 63 cm3 D 72 cm Câu 15 Cho hình chóp S ABC có các mặt bên SAB , SAC , SBC tạo với đáy các góc và 60 Biết AB 13a , AC 14 a , BC 15a , tính thể tích V khối chóp S ABC A V 28 3a B V 112 3a C V 84 3a D 84a Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC , AC ; ABC là tam giác vuông cân B Tính thể tích V khối chóp S ABC 16 16 A V 16 B V C V 16 D V 3 Câu 17 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC biết SA SB SC a , 60 và ASB 120 , BSC ASC 90 Thể tích khối chóp S ABC là a a3 a3 a3 B C D A 12 Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác 15 cạnh , biết khoảng cách từ A đến SBC là , từ B đến SCA là , từ C đến SAB là 10 30 và hình chiếu vuông góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối 20 chóp VS ABC 1 1 B C D A 36 48 12 24 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (44) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Chuyên đề 10 DẠNG CÂU HỎI DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ 1 Thể tớch khối chúp Vchóp Sđ áy chiều cao Sđ á y d đỉnh; mặt phẳng đáy 3 Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô Sđ ¸y chiÒu cao Thể tích khối lập phương V a Thể tích khối hộp chữ nhật V abc c a b Tỉ số thể tích Cho khối chóp S ABC , trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lấy các điểm A, B , C khác S Khi đó ta luôn có tỉ số thể tích: a S A SA SB SC C VS ABC SA SB SC B Ngoài cách tính thể tích trên, ta còn phương pháp chia nhỏ C A khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính toán Sau đó cộng lại B Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp Đáy là đa giác (hình chóp tam giác có đáy là tam giác đều, hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông) Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Các mặt bên là tam giác cân và Góc các cạnh bên và mặt đáy Góc các mặt bên và mặt đáy VS AB C Tứ diện và bát diện đều: Tứ diện là hình chóp có tất các mặt là tam giác Bát diện là hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh nó là đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt là các tam giác và Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm các mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (45) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP S a) Hình chóp có cạnh bên Ví dụ: Hình chóp S ABC có cạnh bên vuông góc với đáy: Chiều cao SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tức hình chóp là độ dài cạnh bên SA (ABC ) thì chiều cao hình vuông góc với đáy chóp là SA C A B b) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc với đáy Ví dụ: Hình chóp S ABCD có bên (SAB ) vuông góc với phẳng đáy (ABCD ) thì chiều hình chóp là SH là chiều SAB mặt mặt cao cao S A D H B c) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là giao tuyến hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) thì chiều cao hình chóp là SA S D A B d) Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm đáy Đối với hình chóp đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G tam giác C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có tâm đa giác đáy là giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO S A D O B C DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC và đặt AB c, BC a, CA b và a b c : nửa chu vi Gọi R , r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p S ABC 1 a.ha b.hb c.hc 2 1 ab sinC bc sin A 2 abc p.r 4R p(p a )(p b)(p c), A ac sin B c r b (Héron) B H a R Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C (46) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Stam gi¸c vu«ng (tích hai cạnh góc vuông) (c¹nh huyÒn)2 Stam gi¸c vu«ng c©n (c¹nh)2 c¹nh Chiều cao tam giác Stam giác Shình chữ nhật dài rộng và Shình vuông (cạnh)2 (đáy lớn đáy bé) (chiều cao) TÝch hai ®êng chÐo TÝch ®êng chÐo S Tø gi¸c cã ®êng chÐo vu«ng gãc S h×nh thoi 2 S h×nh thang HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ABC vuông A, có AH là đường cao, AM là trung tuyến Khi đó: BC AB AC (Pitago), AH BC AB.AC A AB BH BC và AC CH CB 1 và AH HB HC 2 AH AB AC BC 2AM 1 S ABC AB AC AH BC 2 M B H C Hệ thức lượng tam giác thường ABC đặt Cho và a b c (nửa chu vi) Gọi R, r là bán kính đường tròn AB c, BC a, CA b, p ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c A Định lý hàm sin: 2R sin A sin B sin C 2 b c a 2 c b a b c 2bc cos A cos A 2bc a c2 b2 2 a B Định lý hàm cos: b a c 2ac cos B cos B C 2ac M 2 a b c c a b 2ab cos C cos C 2ab 2 AM AB AC BC BA2 BC AC 2 Công thức trung tuyến: BN CA2 CB AB 2 CK A M N MN BC AM AN MN k AB AC BC Định lý Thales: S AM AMN k B C S AB ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (47) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng Cạnh bên vuông góc với đáy Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h Thể tích khối chóp đã cho A B 12 C 36 D Lời giải Chọn D 1 Ta có công thức thể tích khối chóp V B.h 3.4 3 Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h Thể tích khối chóp đã cho bằng: A B C D 12 Lời giải Chọn C Thể tích khối chóp V Bh Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h Thể tích khối chóp đã cho A B 12 C D Lời giải Chọn C 1 Thể tích khối chóp đã cho là V Bh 3.2 3 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối chóp có diện tích đáy B 6a và chiều cao h 2a Thể tích khối chóp đã cho bằng: A 2a B 4a C 6a D 12a3 Lời giải Chọn B 1 V B.h 6a 2a 4a 3 Câu Câu (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Tính thể tích V khối chóp S ABCD 2a 2a 2a A V B V C V 2a3 D V Lời giải Chọn D Ta có SA ABCD SA là đường cao hình chóp 1 a3 Thể tích khối chóp S ABCD : V SA.S ABCD a 2.a 3 Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA , AB , BC 10 và CA Tính thể tích V khối chóp S.ABC Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (48) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A V 32 B V 192 C V 40 Lời giải D V 24 Chọn A Ta có BC AB2 AC suy ABC vuông A SABC 24 , V SABC SA 32 Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA 2a Tính thể tích khối chóp S ABCD 2a 2a 2a A B C 2a D Lời giải Chọn D 2a Ta có S ABCD a VS ABCD SA.S ABCD 3 Câu (THPT Đoàn Thượng - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a3 a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và thể tích khối chóp đó Tính cạnh bên SA a a A B C a D 2a Lời giải 3V VS ABC SABC SA SA S ABC S ABC a3 a a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (49) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Biết SA ABC và SA a Tính thể tích khối chóp S ABC A a B a3 a3 Lời giải C D 3a Chọn C Ta có SA là đường cao hình chóp Tam giác ABC cạnh a nên S ABC a2 a2 a3 Vậy thể tích cần tìm là: VS ABC a 4 Câu 10 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a Cạnh bên SC vuông góc với mặt phẳng ABC , SC a Thể tích khối chóp S ABC A a3 3 B a3 12 a3 Lời giải C D a3 12 Chọn D S ABC Câu 11 a2 a2 a3 VS ABC a 4 12 (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng ABC biết đáy ABC là tam giác vuông B và AD 10, AB 10, BC 24 Tính thể tích tứ diện ABCD A V 1200 B V 960 C V 400 D V Lời giải Chọn C Ta có VABCD AD AB.BC 10.10.24 400 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 1300 (50) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 12 (THPT Hùng Vương Bình Phước 2019) Cho hình chóp S ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABC Biết SA a , tam giác ABC là tam giác vuông cân A , AB 2a Tính theo a thể tích V khối chóp S ABC 2a a3 a3 B V C V D V 2a A V Lời giải 1 Diện tích tam giác ABC vuông cân A là: S ABC AB AC 2a.2a 2a 2 2a Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC SA.S ABC a.2a 3 Câu 13 (Chuyên KHTN 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông B , AB a, AC 2a, SA ABC và SA a Thể tích khối chóp đã cho A a3 B a3 a3 Lời giải C D 2a Ta có BC AC AB 3a BC a 1 1 a3 Vậy VS ABC SABC SA AB.BC.SA a.a 3.a 3 6 Câu 14 (Sở Cần Thơ 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB 3a và AD 4a Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ABCD và SA a Thể tích khối chóp S.ABCD A 2a B 12 2a 2a Lời giải C D 2a Chọn A Diện tích đáy hình chữ nhật là S AB AD 3a a 12 a (đvdt) 1 Thể tích hình chóp có đáy hình chữ nhật là V Sh 12a a 2a 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (51) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 15 (Sở Cần Thơ 2019) Thể tích khối chóp có diện tích đáy A B Lời giải C 3 và chiều cao là D Chọn B 1 Thể tich khối chóp là V chiều cao diện tích đáy 3 Câu 16 (Sở Nam Định 2019) Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B , độ dài cạnh AB BC a , cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA 2a Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 A V B V C V a3 D V Lời giải Chọn A 1 a3 Ta có: VS ABC SA S ABC 2a a 3 Câu 17 (Bạc Liêu – Ninh Bình 2019) Cho hình chóp S ABC , có đáy ABC là tam giác vuông cân A , SA AB a , SA vuông góc với mặt phẳng ABC Thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 a3 Lời giải C D Chọn B a3 Thể tích khối chóp S ABC : VS ABC SA.S ABC Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a3 (52) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 18 (Nguyễn Khuyến HCM-2019) Cho tứ diện OABC có OA, OB , OC đôi vuông góc và OA OB OC a Khi đó thể tích tứ diện OABC là a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Lời giải Chọn B 1 a3 Ta có: V SOBC OA OB.OC.OA 3 Câu 19 (THPT Minh Khai - 2019) Cho hình chóp S.ABC có diện tích đáy là a , cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a a3 a3 a3 A a3 B C D Lời giải Chọn B a3 Áp dụng công thức V Bh ta có V 3 Câu 20 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a , cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Thể tích khối chóp S ABCD 2a3 2a3 2a3 A V 2a3 B V C V D V Lời giải Chọn D 1 a3 VS ABCD SA.S ABCD a 2.a 3 Câu 21 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA ABC , SA 3a Thể tích V khối chóp S ABCD là: A V a B V 3a3 C V a3 Lời giải D V 2a Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (53) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 S 3a A a B a D C Diện tích đáy ABCD là S ABCD a Vì SA ABC nên chiều cao khối chóp là SA 3a 1 Vậy thể tích khối chóp S ABCD là: V S ABCD SA a 3a a 3 Câu 22 (THPT Hàm Rồng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Biết SA ABCD và SA a Thể tích khối chóp S.ABCD là: A a3 12 B a 3 a3 Lời giải C D a3 Chọn C Khối chóp S ABCD có chiều cao h a và diện tích đáy B a a3 Nên có thể tích V a a 3 Câu 23 (THPT Cộng Hiền - 2019) Khẳng định nào sau đây là sai? A Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V Bh B Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là V Bh C Thể tích khối hộp chữ nhật tích ba kính thước nó D Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là V 3Bh Lời giải Chọn D Theo công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ và khối hộp chữ nhật ta thấy các khẳng định đúng là A, B, C; khẳng định sai là D Câu 24 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông B Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Biết SA AB 2a , BC 3a Tính thể tích S ABC là B 4a C 2a D a A 3a Lời giải Chọn C Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (54) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 V AB.BC.SA 2a Câu 25 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB 4a , BC a , cạnh bên SD 2a và SD vuông góc với mặt phẳng đáy Thể tích khối chóp S ABCD A 6a B 3a C a D a 3 Lời giải Chọn C Theo đề, ta có thể tích hình chóp S ABCD là V S ABCD SD ABCD là hình chữ nhật nên S ABCD AB.BC 4a2 Vậy VS ABCD a 2 a a 3 Câu 26 (Sở Điện Biên - 2019) Tính thể tích khối chóp S ABC có SA là đường cao, đáy là tam giác BAC vuông cân A ; SA AB a a3 a3 2a a3 A V B V C V D V Lời giải Chọn B 1 1 a3 Ta có: VS ABC SA.S ABC SA AB.BC a.a.a 3 6 Dạng Mặt bên vuông góc với đáy Câu (THPT Lương Thế Vinh Hà 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân B và AB 2a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 2a 3 A V B V C V D V 12 Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (55) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi H là trung điểm AB suy SH a AB 2a BC 2a S ABC 2a 2a 2 1 2a 3 VS ABC S ABC SH 2a a 3 Câu (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , tam giác SAC vuông S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, cạnh bên SA tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 A V B V C V D V 12 12 12 Lời giải Kẻ SH AC , H AC H suy SH ABCD AC 2a , tam giác SAC vuông S , góc SAC 60 nên SA a, SC a 3, SH a a3 a 3 (SGD Nam Định 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABCD Thể tích Thể tích hình chóp là V Câu a khối chóp S ABCD là A 4a 3 B a3 a3 Lời giải C D 4a 3 Chọn D Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (56) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H là trung điểm AB , ta có SH AB Mà SAB ABCD theo giao tuyến là đường thẳng AB nên SH ABCD 1 4a 3 2a Thể tích khối chóp S ABCD V S ABCD SH 2a 3 Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, SA 2a Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD a3 15 a3 15 2a A V 2a B V C V D V 12 Lời giải Chọn C Gọi H là trung điểm AB Theo đề, tam giác SAB cân S nên suy SH AB Mặt khác, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên suy SH ABCD Xét tam giác SHA vuông H a 2 a 15 SH SA AH 2a 2 2 Diện tích hình vuông là S ABCD a a3 15 Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là V SH S ABCD Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông C , tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Tính theo a thể tích khối chóp Biết AB a 3; AC a A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn B Trong mặt phẳng SAB Gọi H là trung điểm AB SAB SH AB Ta có: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (57) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 SAB ABC AB SH ABC SAB ABC 3a SAB AB a SH SH AB ABC là tam giác vuông cân C AB AC BC BC 3a a a a3 3a a 2.a 2 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD Tính thể tích khối chóp S ABCD VS ABC Câu a3 A a3 B a3 C Lời giải D a3 Chọn B Hình vẽ minh họa Gọi H là trung điểm AB thì SH AB và SH a SAB ABCD Ta có SAB ABCD AB SH ABCD Suy SH là đường cao hình chóp SH AB Diện tích đáy S ABCD a a a3 Vậy thể tích khối chóp S ABCD là VABCD SH S ABCD a 3 Câu (Chuyên ĐH Vinh 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , a , tam giác SAC vuông S và nằm mặt phẳng vuông góc với ABCD Tính SA theo a thể tích V khối chóp S ABCD 6a 6a 6a 2a B V C V D V A V 12 Lời giải Chọn A Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên AC Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (58) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a Ta có SO AC suy SAO là tam giác 2 a SH a a3 Vậy V a 12 Câu 120 Tam giác SAB Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân A , AB AC a , BAC là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tich V khối chóp S.ABC a3 a3 A V B V 2a3 C V a D V Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm AB , ta có SH AB và SH a SAB ABC Khi đó SAB ABC AB SH ABC SH AB a3 a Thể tích khối chóp V SH SABC a sin120 3 2 a3 Vậy V Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAB cân S và nằm 4a mặt phẳng vuông góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD Gọi là góc SC và mặt đáy, tính tan A tan B tan C tan D tan Lời giải Chọn D Dựng SH AB , SAB ABCD theo giao tuyến AB nên SH ABCD SCH Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (59) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 4a SH a Ta có VS ABCD SH S ABCD SH 4a 3 Do SAB cân S nên H là trung điểm AB HC BH BC a SH a tan tan SCH HC a 5 Câu 10 (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A Hình chiếu S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H BC , AB a , AC a , SB a Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B 2 a3 C Lời giải Xét tam giác ABC vuông A có: BC a3 D AB AC a a 2a H là trung điểm BC nên BH a Xét tam giác SBH vuông H có: SH SB HB a a2 a 1 AB AC a 2 1 a3 Thể tích khối chóp S ABC là: V SH S ABC a .a 3 Dạng Thể tích khối chóp Diện tích đáy ABC là: S ABC Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Thể tích khối chóp tứ giác có tất các cạnh a là a3 a3 a3 A B C a D Lời giải S A B H D C Giả sử khối chóp tứ giác đã cho là S ABCD Khi đó ABCD là hình vuông cạnh a và SA SB SC SD a Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (60) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H là tâm hình vuông ABCD thì SH ABCD nên SH là chiều cao khối chóp S ABCD Tính SH : Xét tam giác ABC vuông B ta có: AC AB BC a a a a AC Nhận thấy AC SA2 SC nên tam giác SAC vuông S Suy SH 2 Diện tích đáy khối chóp S ABCD là S ABCD a 2 a a3 a Vậy thể tích khối chóp S ABCD là: V S ABCD SH Câu (Mã 104 2017) Cho khối chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a và cạnh bên 2a Tính thể tích V khối chóp S.ABC 11a 11a 13a 11a A V B V C V D V 12 12 Lời giải Chọn D Do đáy là tam giác nên gọi I là trung điểm cạnh BC , đó AI là đường cao tam giác a2 a 2a a đáy Theo định lý Pitago ta có AI a , và AO AI 3.2 Trong tam giác SOA vuông O ta có SO 4a a2 11a 3 11a3 1 a 11a Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V a 2 12 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp tam giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 450 Thể tích khối chóp đó là a3 a3 a3 a3 B D A C 12 36 12 36 Lời giải Chọn B 45 + SA; ABC SAO Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (61) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a 3 a a a3 3 12 + SO AO.tan 45 + V SO.S ABC Câu Câu (Dề Tham Khảo 2019) Cho khối chóp tứ giác có tất các cạnh 2a Thể tích khối chóp đã cho 8a 2a3 2a 2a A B C D 3 3 Lời giải Chọn D Gọi hình chóp tứ giác có tất các cạnh 2a là S ABCD và I tâm đáy ta có: SA SC BA BC DA DC SAC BAC DBC SAC; BAC; DAC vuông S , B, D 1 I là trung điểm AC suy SI AC 2a a 2 1 2a VS ABCD S ABCD SI 2a a 3 (Mã 123 2017) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp đã cho A V 2a3 B V 14a3 C V 2a3 D V Lời giải Chọn D a 2 a 14 Chiều cao khối chóp: SI SA AI a 2 1 a 14 14a3 a Thể tích khối chóp: V SI SABCD 3 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 14a3 (62) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Liên Trường Thpt Tp Vinh Nghệ An 2019) Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy 2a cạnh bên a Thể tích khối chóp đã cho A 5a 5a Lời giải B 3a C D 3a Ta có S ABCD 4a ; SO SB OB 5a 2a a Vậy VS ABCD SO.S Câu ABCD a 3.4a 3a 3 (THPT Lương Tài Số 2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 600 Tính thể tích V khối chóp S.ABC? B V 2a3 C V 3a3 D V 6a3 A V 9a Lời giải Chọn D Diện tích đáy là: S ABCD AB a 6a SDO 600 Góc cạnh bên SB và mặt đáy ABCD là SD , ABCD SDO 1 BD AB a a 2 Xét tam giác vuông SOD : SO DO.tan SDO a 3.tan 600 3a 1 Vậy VS ABCD SO.S ABCD 3a.6a 6a3 3 ABCD là hình vuông suy DO Câu (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có độ dài cạnh đáy a , góc hợp cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp đã cho a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Lời giải Gọi H là tâm tam giác ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (63) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a 60 Theo đề bài ta có: SB, ABC SBH Khi đó SH ABC , BH Xét SBH vuông H Có SH BH tan 60 a a a a3 Thể tích VS ABC SH S ABC a 3 12 Câu (Chuyên Nguyễn Du ĐăkLăk) Cho hình chóp S ABCD có chiều cao a và độ dài cạnh bên a Thể tích khối chóp S ABCD bằng: 10a3 A 10a B 8a3 C Lời giải 8a3 D Chọn D Gọi O AC BD thì SO a Tam giác SOA vuông O và SA a nên OA SA2 SO2 2a AC BD 4a AC.BD 4a.4a 8a3 a Thể tích khối chóp S ABCD V SO 3 Câu 10 (Thi thử Lômônôxốp - Hà Nội 2019) Xét khối chóp tam giác cạnh đáy a , cạnh bên lần chiều cao tam giác đáy Tính thể tích khối chóp A a3 B a3 18 a3 Lời giải C D a3 Chọn C Gọi H là trọng tâm tam giác ABC SH ABC Gọi M là trung điểm cạnh BC AM BC , AM a SA a Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (64) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Xét tam giác SAH vuông H SH SA AH a 3 2 a 3 2a 3 1 a 2a a Ta có: VS ABC S ABC SH 3 Câu 11 (SP Đồng Nai - 2019) Thể tích khối tứ diện có cạnh A B 2 C Lời giải D Chọn A Có BCD cạnh BE 3 BH ABH vuông H AH AB BH 32 3 1 3 S BCD BE.CD 2 1 9 VABCD AH S BCD 3 4 Câu 12 Cho khối chóp tứ giác có cạnh đáy a , cạnh bên gấp hai lần cạnh đáy Tính thể tích V khối chóp đã cho 14a 14a 2a 2a A V B V C V D V 2 Lời giải Chọn A Gọi O là tâm hình vuông ABCD , ta có: SO ABCD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (65) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a 2 a 14 Trong tam giác SOC vuông O có: SO SC OC 2a 2 a 14 a3 14 a Thể tích khối chóp S ABCD là: V SO.S ABCD 3 Câu 13 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khối SBCD a3 a3 a3 a3 B C D A 12 12 Lời giải Chọn B Gọi O AC BD Do hình chóp S.ABCD nên SO ABCD suy OA là hình chiếu 600 vuông góc SA trên mp ABCD SA, ABCD SA, OA SAO a2 a a 3 ; S BCD 2 2 1 a a a Từ đó, VSBCD SO.S BCD 3 2 12 Câu 14 Cho khối chóp S ABCD có cạnh đáy là a , các mặt bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối chóp đó a3 a3 a3 a3 A B C D 12 Lời giải Chọn C Ta có SO AO.tan 600 60 Gọi M là trung điểm BC , Góc mặt bên SBC và mặt phẳng ABCD là góc SMO Xét SOM có OM a a 3 2 Nên VS ABCD C a , SMO 60 thì SO OM tan SMO a3 (đvtt) Đáp án chọn là SO.S ABCD Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (66) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 90 , tính thể tích V Câu 15 Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Biết ASC khối chóp đó A V a3 B V a3 C V a3 D V a3 12 Lời giải Chọn C S D C H A B Ta có: S ABCD a Gọi H là tâm hình vuông ABCD Tam giác ASC là tam giác vuông, H là trung điểm AC nên SH Vậy VS ABCD AC a 2 1 a a3 S ABCD SH a 3 Câu 16 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp S ABCD là a3 a3 a3 a3 A B C D 6 12 Lời giải Chọn A 60 Gọi O là tâm đáy thì SO ( ABCD ) Suy SDB DB a 2 a a3 Thể tích khối chóp S ABCD là V S ABCD SO a 3 SDB nên SO Câu 17 (Trường THPT Thăng Long 2019) Hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy là a và mặt bên tạo với đáy góc 45 Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A B C D 24 12 Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (67) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi G là tâm tam giác ABC và M là trung điểm BC 45 Theo giả thiết góc mặt bên và đáy 45 suy SMG a a và GM AM SG tan 45 SG SG GM a Xét tam giác SGM có tan SMG GM GM 1 a a a Vậy thể tích khối chóp S.ABC là VS ABC S ABC SG 3 24 Tam giác ABC cạnh a nên AM Câu 18 (THPT Quỳnh Lưu- Nghệ An- 2019) Cho khối chóp có đáy hình thoi cạnh a a 0 các cạnh bên và cùng tạo với đáy góc 45 Thể tích khối chóp đã cho 3a3 3 a a B 2a3 C D A 2 Lời giải Chọn A Ta có hình vẽ đây Xét khối chóp trên ta thấy hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng đáy trùng với tâm hình thoi ABCD Mặt khác SA SB SC SD và góc hợp các cạnh bên 45 nên ta có các tam giác vuông cân O nhau: SOA SOB SOC SOD Suy hình thoi ABCD là hình vuông diện tích đáy S ABCD a a BD 2 a 2 a3 a Suy thể tích khối chóp VS ABCD SO.S ABCD 3 Câu 19 (Chuyên Quang Trung- Bình Phước 2019) Tính thể tích khối tứ diện có tất các cạnh a Chiều cao hình chóp trên là: SO OD Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (68) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A a 3 B a 12 C a 12 Lời giải D 6a Chọn B a a a AH AB BH BH 3 a Do đáy BCD là tam giác cạnh a S BCD a2 a Vậy thể tích tứ diện là VABCD a 12 Gọi M là trung điểm CD Ta có BM Câu 20 (Hậu Lộc 2-Thanh Hóa -2019) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy a , góc cạnh bên và mặt đáy 60 Thể tích khối chóp là A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn A Giả sử hình chóp tứ giác là S ABCD Gọi O là giao điểm BD và AC 60 , AC a OA a Ta có SO ABCD , SAO 2 a S Khi đó SO AO.tan SAO , ABCD a a3 Thể tích khối chóp là V SO.S ABCD Câu 21 Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh đáy 2a , cạnh bên tạo với đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABC là Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (69) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 2a 3 B a3 a3 Lời giải C D a 3 Chọn A 60 □ Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC thì SO ( ABC ) Suy SAO 2a , SH AO.tan 60 2a □ AO 2a 3 □ Diện tích ABC là S ABC 2a a2 2a 3 □ Thể tích khối chóp S ABC là V S ABC SO 3 Câu 22 (SGD Điện Biên - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên 3a Tính thể tích V khối chóp đã cho A V a B V 7a C V 4a D V 7a Lời giải Chọn D Diện tích đáy S ABCD 2a 4a S ABCD là hình chóp tứ giác nên SO ABCD h SO SA2 AO 9a 2a a 4a Vậy VS ABCD Sh 3 Câu 23 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Kim tự tháp Kê - ốp Ai Cập xây dựng vào khoảng 2500 năm trước Công nguyên Kim tự tháp này là khối chóp tứ giác có chiều cao là 147 m , cạnh đáy là 230 m Thể tích nó là B 2952100 m C 2529100 m D 2591200 m A 2592100 m Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (70) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A Gọi khối chóp tứ giác là S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 230 m ; chiều cao SH 147 m 1 Thể tích nó là: VS ABCD S ABCD SH 2302 147 2592100 3 Vậy thể tích Kim tự tháp là 2592100 m Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (71) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI CHÓP Chuyên đề 10 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ 1 Thể tớch khối chúp Vchóp Sđ áy chiều cao Sđ á y d đỉnh; mặt phẳng đáy 3 Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô Sđ ¸y chiÒu cao Thể tích khối lập phương V a Thể tích khối hộp chữ nhật V abc c a a b Tỉ số thể tích Cho khối chóp S ABC , trên các đoạn thẳng SA, SB, SC lấy các điểm A, B , C khác S Khi đó ta luôn có tỉ số thể SA SB SC VS ABC SA SB SC Ngoài cách tính thể tích trên, ta còn phương pháp chia nhỏ khối đa diện thành đa diện nhỏ mà dễ dàng tính toán Sau đó cộng lại Ta thường dùng tỉ số thể tích điểm chia đoạn theo tỉ lệ Tính chất hình chóp Đáy là đa giác (hình chóp tam giác có đáy là tam giác hình chóp tứ giác có đáy là hình vuông) Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Các mặt bên là tam giác cân và Góc các cạnh bên và mặt đáy Góc các mặt bên và mặt đáy tích: VS AB C S A C B C A B đều, Tứ diện và bát diện đều: Tứ diện là hình chóp có tất các mặt là tam giác Bát diện là hình gồm hai hình chóp tứ giác ghép trùng khít hai đáy với Mỗi đỉnh nó là đỉnh chung bốn tam giác Tám mặt là các tam giác và Nếu nối trung điểm hình tứ diện tâm các mặt hình lập phương ta thu hình bát diện Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (72) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác XÁC ĐỊNH CHIỀU CAO THƯỜNG GẶP S a) Hình chóp có cạnh Ví dụ: Hình chóp S ABC có cạnh bên bên vuông góc với đáy: SA vuông góc với mặt phẳng đáy, tức Chiều cao hình chóp là SA (ABC ) thì chiều cao hình độ dài cạnh bên vuông góc chóp là SA C A với đáy B b) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là chiều cao tam giác chứa mặt bên vuông góc với đáy c) Hình chóp có mặt bên vuông góc với mặt đáy: Chiều cao hình chóp là giao tuyến hai mặt bên cùng vuông góc với mặt phẳng đáy d) Hình chóp đều: Chiều cao hình chóp là đoạn thẳng nối đỉnh và tâm đáy Đối với hình chóp đáy là tam giác thì tâm là trọng tâm G tam giác Ví dụ: Hình chóp S ABCD có bên (SAB ) vuông góc với phẳng đáy (ABCD ) thì chiều hình chóp là SH là chiều SAB mặt mặt cao cao S A D H B C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có hai mặt bên (SAB ) và (SAD ) cùng vuông góc với mặt đáy (ABCD) thì chiều cao hình chóp là SA S D A B C Ví dụ: Hình chóp S ABCD có tâm đa giác đáy là giao điểm hai đường chéo hình vuông ABCD thì có đường cao là SO S A D O B C DIỆN TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP Diện tích tam giác thường: Cho tam giác ABC và đặt AB c, BC a, CA b và a b c : nửa chu vi Gọi R , r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: p S ABC 1 a.ha b.hb c.hc 2 1 ab sinC bc sin A 2 abc p.r 4R p(p a )(p b)(p c), A ac sin B c r b (Héron) B H a R Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ C (73) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Stam gi¸c vu«ng (tích hai cạnh góc vuông) (c¹nh huyÒn)2 Stam gi¸c vu«ng c©n (c¹nh)2 c¹nh Chiều cao tam giác Stam giác Shình chữ nhật dài rộng và Shình vuông (cạnh)2 (đáy lớn đáy bé) (chiều cao) TÝch hai ®êng chÐo TÝch ®êng chÐo S Tø gi¸c cã ®êng chÐo vu«ng gãc S h×nh thoi 2 S h×nh thang HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông Cho ABC vuông A, có AH là đường cao, AM là trung tuyến Khi đó: BC AB AC (Pitago), AH BC AB.AC AB BH BC và AC CH CB A 1 và AH HB HC AH AB AC BC 2AM 1 S ABC AB AC AH BC 2 Hệ thức lượng tam giác thường M B H C ABC đặt Cho và a b c (nửa chu vi) AB c, BC a, CA b, p Gọi R, r là bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC Khi đó: a b c 2R Định lý hàm sin: sin A sin B sin C A 2 c a b 2 a b c 2bc cos A cos A 2bc c b a c2 b2 2 Định lý hàm cos: b a c 2ac cos B cos B 2ac a C a b2 c2 B 2 M a b ab cos C cos C c 2ab 2 AM AB AC BC 2 BA BC AC Công thức trung tuyến: BN CA2 CB AB 2 CK A AM AN MN k MN BC AB AC BC M N Định lý Thales: S AMN AM k AB S ABC B C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (74) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng Cạnh bên vuông góc với đáy Câu (Mã 105 2017) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy và a Tính thể tích khối chóp đã cho 3a a3 C D Lời giải khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC A a3 B a3 Chọn A Ta có BC AB , BC SA BC AH Kẻ AH SB AH SBC Suy d A; SBC AH a Tam giác SAB vuông A có: 1 SA a 2 AH SA AB2 a3 Vậy VSABCD SA.SABCD 3 Câu (Mã 110 2017) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và mặt phẳng SBC tạo với đáy góc 60o Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V 3a B V 3a3 C V a a3 D V Lời giải Chọn.C Ta có S ABCD 3a Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (75) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SBC ABCD BC SB; AB SBA Vì BC SB SBC SBC , ABCD BC AB ABCD 60o Vậy SBA Xét tam giác vuông SAB có: tan 60o SA SA AB.tan 60o a AB 1 Vậy VS ABCD S ABCD SA a 3.a a 3 Câu (Mã 123 2017) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SC tạo với mặt phẳng SAB góc 300 Tính thể tích khối chóp S ABCD A 2a3 2a3 B C a3 2a D Lời giải Chọn B +) Do ABCD là hình vuông cạnh a nên: SABCD a2 30 +) Chứng minh BC SAB góc SC và (SAB) là CSB tan 300 +) Đặt SA x SB x a2 Tam giác SBC vuông B nên tan CSA BC SB Ta được: SB BC x a a x a 2a3 Vậy VSABCD SA.SABCD a 2.a (Đvtt) 3 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân C , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy, biết AB 4a, SB 6a Thể tích khối chóp S ABC là V Tỷ số A 80 B 40 20 Lời giải C D a3 là 3V 80 Chọn B Ta có: + ABC vuông cân C , AB 4a suy AC BC 2a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (76) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AC BC 4a + SA ABC SA AB ABC vuông A Do đó: S ABC SA SB AB + Khối chóp S ABC 2 6a 4a 2a có SA ABC 8a V S ABC SA 4a 2a 3 3 a a Vậy tỷ số: 3V 3.8a 40 Câu (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho hình chóp tam giác S ABC có đáy ABC là tam giác vuông ACB 60 , cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SB hợp với mặt đáy góc B , AB a , 45 Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 a3 a3 A V B V C V D V 18 12 Lời giải Chọn A ACB 60 BC ABC là tam giác vuông B , AB a , SB, ABC SB, AB 45 Câu AB a tan 60 nên tam giác SAB vuông cân S SA AB a a3 1 VS ABC S ABC SA BA.BC.SA a.a a 3 18 (Lương Thế Vinh Hà Nội Năm 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB a và AD 2a , cạnh bên SA vuông góc với đáy Tính thể tích V khối chóp S ABCD biết góc hai mặt phẳng SBD và ABCD 600 A V a3 15 15 B V a3 15 C V 4a3 15 15 D V Lời giải Chọn C Kẻ AE BD 60 SBD , ABCD SEA Xét ABD vuông A AE AD AB 2a 2a a AD AB Xét SAE vuông A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 15 (77) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2a 15 2a SA AE.tan 600 3 5 Khi đó thể tích S ABCD 1 2a 15 4a 15 V SA.S ABCD 2a 3 15 Câu (Hoàng Hoa Thám 2019) Cho hình chóp S ABCD có AB 3, BC 3 , góc BCD 90 , SA và SA vuông góc với đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD BAD 66 , tính cotang góc mặt phẳng SBD và mặt đáy A 20 273 819 B 91 273 20 Lời giải C D 91 1 Có: VS ABCD SA.S ABCD 66 9.S ABCD S ABCD 44 3 1 Suy AB AD BC.CD 44 AD 3CD 44 (1) 2 Áp dụng định lí Pitago tam giác vuông ABD; BCD , ta có: AB AD BD BC CD CD AD 48 (2) AD Từ (1) và (2) suy AD 47 47 44 không thỏa mãn từ (1) ta có: AD AD AD Trong tam giác ABD , dựng AH BD lại có SA BD BD SH Vậy góc SBD và đáy là góc SHA Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (78) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dễ tính BD 91, AH Câu AB AD 20 273 AH 20 273 , cot SHA BD 91 SA 819 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình - 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA ABC Mặt phẳng SBC cách A khoảng a và hợp với mặt phẳng ABC góc 300 Thể tích khối chóp S ABC 8a 8a B A 3a 12 Lời giải D C 4a 300 Gọi I là trung điểm sủa BC suy góc mp SBC và mp ABC là SIA H là hình chiếu vuông góc A trên SI suy d A, SBC AH a AH 2a Xét tam giác AHI vuông H suy AI sin 300 Giả sử tam giác ABC có cạnh x , mà AI là đường cao suy 2a x 4a x 4a 4a Diện tích tam giác ABC là S ABC 3 2a Xét tam giác SAI vuông A suy SA AI tan 300 Vậy VS ABC Câu 4a 2a 8a3 S ABC SA 3 Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết SC a A VS ABCD a B VS ABCD a3 C VS ABCD a3 D VS ABCD Lời giải Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 (79) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vì hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy Mà SAB SAD SA nên SA ABCD Ta có: AC a ; SA SC AC a 3 a a 1 a3 Thể tích khối chóp S ABCD là: VS ABCD SA.S ABCD a.a 3 Câu 10 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông C , AB 2a , AC a và SA vuông góc với mặt phẳng ABC Biết góc hai mặt phẳng SAB và SBC 60 Tính thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B 12 a3 Lời giải C D a3 Chọn B Trong ABC kẻ CH AB CH SAB CH SB1 BC AB AC a , BH BA BC , a 3a , CH BC BH BH 2 Trong SAB kẻ HK SB CK SB Từ 1 , HK SB 60 Góc hai mặt phẳng SAB và SBC là CKH a , BK BH HK a a SA AB 2a SAB ∽ HKB g.g nên SA HK BK a 2 Trong vuông CKH có HK CH cot 60 a3 a 1 a 3.a Thể tích hình chóp S ABC là V SA.S ABC 2 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (80) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 120 , biết Câu 11 Cho khối chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cân A với BC 2a , BAC SA ( ABC ) và mặt ( SBC ) hợp với đáy góc 45 Tính thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn C Gọi I là trung điểm BC + Do ABC cân A nên BC AI + Mặt khác SA ( ABC ) BC SA Suy BC SI 45 Do đó góc ( SBC ) và đáy chính là góc SIA 60 , suy IA Xét AIB vuông I có IB a , IAB IB a tan 60 a a , SIA 45 nên SAI vuông cân A , đó SA IA 3 1 a3 Thể tích khối chóp S ABC là V SABC SA BC AI SA 3 SAI vuông A có IA Câu 12 (Bạc Liêu – Ninh Bình) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a , a AD 2a ; SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến SCD Tính thể tích khối chóp theo a 15 15 5 A B C D a a a a 45 15 15 45 Lời giải Chọn A Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm A trên đường thẳng SD Ta có AH SD a AH SCD AH d A, SCD Suy AH AH CD Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (81) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SAD vuông A có đường cao AH nên 2a 15 1 1 1 15 2 2 SA 2 2 15 AH SA AD SA AH AD 4a 2a 15 15 Vậy V AB AD.SA a.2a a 15 45 Câu 13 (Cụm liên trường Hải Phòng- 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy ABCD , góc hai mặt phẳng SBD và ABCD 600 Gọi M , N là trung điểm SB , SC Tính thể tích khối chóp S ADNM A V a3 16 B V a3 24 C V 3a 16 D V a3 Lời giải Chọn A Gọi O AC BD 600 AO BD SO BD Nên góc SBD và ABCD là góc SOA 1 1 VS ADN VS ADC VS ABCD và VS AMN VS ABC VS ABCD 2 VS ADMN VS ADN VS AMN VS ABCD a3 a tan 600 a V SA AO.tan SOA S SA S ABCD ABCD 2 a3 a3 VS ADMN 16 Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho khối chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , a Tính thể tích V SA vuông góc với đáy và khoảng cách từ C đến mặt phẳng SBD khối chóp đã cho a3 3a a3 B V a C V D V A V Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (82) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi O AC BD , gọi H là hình chiếu A lên SO Vì O là trung điểm AC nên d C, SBD d A, SBD Ta có: BD AC; BD SA BD SAC SBD SAC ; SO SAC SBD AH SO AH SBD AH d A, SBD d C , SBD Ta có: AO a 3 a 1 SA a AH SA2 AO a3 S ABCD SA 3 Trong tam giác SAO : VSABCD Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SD tạo với mặt phẳng SAB góc 30 Tính thể tích V khối chóp S.ABCD A V 3a3 B V 3a3 C V 6a 18 D V 6a3 Lời giải Chọn B Ta có hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh, SA vuông góc với mặt đáy nên DA AB và 30 DA SA Suy DA SAB Vậy góc SD và mặt phẳng SAB là DSA Ta có SA AD.cot 30 a 1 3 V SA.S ABCD a 3.a a 3 Câu 16 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi, góc BAD 1200 , AB a Hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy Góc SBC và mặt phẳng đáy là 600 Tính thể tích V chóp S ABCD A V 2a 15 15 B V a3 12 C V a3 D V Lời giải Chọn C Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a 13 12 (83) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vì hai mặt phẳng SAB và SAD cùng vuông góc với đáy nên SA mp ABCD Ta có tam giác ABC cạnh a , gọi I là trung điểm BC đó: AI a 600 Và góc SBC và mặt phẳng đáy là SIA SA SA AI tan 60 SA 3a tan SIA AI a2 1 a a Ta có diện tích đáy ABCD là: S ABCD 2S ABC AI BC 2 2 Xét tam giác SAI ta có: 1 3a a a 3 Thể tích chóp S ABCD là: V SA.S ABCD 3 2 Dạng Mặt bên vuông góc với đáy Câu (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy; góc SC và mặt phẳng đáy 45o Tính thể tích khối chóp S ABCD bằng: a3 a3 a3 a3 B C D A 12 24 Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm AB , SAB cân S SH AB SAB ABCD SAB ABCD AB SH ABCD SH SAB ; SH AB 45o SHC vuông cân H SC; ABCD SCH Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (84) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a2 a SH HC BC BH a ; S ABCD AB a 2 2 a a3 VS ABCD S ABCD SH a 3 Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa -2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, tam giác SAB là tam giác cạnh a và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt phẳng SCD tạo với đáy góc 30 Thể tích khối chóp S ABCD là? A a3 B a3 a3 36 Lời giải C D 5a 3 36 Chọn A Gọi H , K là trung điểm AB và CD 30 SCD , ABCD SKH Suy SH ABCD và SH a 3a : tan 30 a 3a a 3 a 2 Xét SHK vuông H , có HK Vậy VS ABCD SH S ABCD Câu (THPT Nguyễn Khuyến 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng đáy Biết a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD 3 B h a C h D h a a Lời giải thể tích khối chóp S ABCD A h a Chọn A Gọi H là trung điểm AD Nên SH AD SAD ABCD SAD ABCD AD SH ABCD AD SH Ta có: S ABCD 2a SH 3V 4a 3 2a S ABCD 2a Gọi I là hình chiếu H lên SD d B; SCD d A; SCD 2d H ; SCD IH Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (85) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mà IH SH HD SH HD SD SH HD Vậy d B; SCD Câu a 2a 2a a 2 a a (Đề Minh Họa 2017) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S và mặt bên SAD vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S ABCD A h a 4 a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng SCD B h a C h a D h a 3 Lời giải Chọn C Gọi I là trung điểm AD Tam giác SAD cân S SI AD SI AD SI ABCD Ta có SAD ABCD SI là đường cao hình chóp Theo giả thiết VS ABCD SI S ABCD a3 SI 2a SI 2a 3 Vì AB song song với SCD d B, SCD d A, SCD 2d I , SCD Gọi H là hình chiếu vuông góc I lên SD SI DC IH SD IH DC Ta có IH SCD d I , SCD IH Mặt khác ID DC IH DC 1 1 2a Xét tam giác SID vuông I : IH IH SI ID 4a 2a d B, SCD d A, SCD 2d I , SCD a Câu (Gia Bình 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông và tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Biết khoảng cách hai đường thẳng SA và BD 21 Hãy cho biết cạnh đáy bao nhiêu? A 21 B 21 C D Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (86) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Giả sử AB a Gọi H là trung điểm AB SH AB SH ABCD Ta có SA.BD SH HA BA BC HA.BA a 1 a 2 cos SA, BD a cos SA, BD sin SA, BD 2 1a 3 3 VSABCD SH AB AD a a VSABD a 3 12 Câu 3 3 SA.BD.d SA,BD sin SA, BD a a.a 21 a a7 12 12 (THPT Minh Khai Hà Tĩnh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B , BC AD a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy, góc 15 SC và mặt phẳng ABCD cho tan Tính thể tích khối chóp S ACD theo a a3 a3 a3 a3 A VS ACD B VS ACD C VS ACD D VS ACD 6 Lời giải Gọi H là trung điểm AB , từ giả thiết ta có: SH ABCD , SC , ABCD SCH Đặt AB x , ta có: HC BH BC x2 a , SH HC tan x2 15 a2 x x2 15 x Vậy ta có: a2 xa AD BC AB 3a ; S S a ; V a3 SH S ACD ABCD S ACD ACD 2 Mặt khác SH S ABCD Câu (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật; AB a; AD 2a Tam giác SAB cân S và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Góc đường thẳng SC và mp ABCD 45 Gọi M là trung điểm SD Tính theo a khoảng cách d từ điểm M đến SAC A d a 1513 89 B d 2a 1315 89 C d a 1315 89 D d Lời giải Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2a 1513 89 (87) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H là trung điểm đoạn AB SH ABCD Xét BCH vuông B , có: CH 4a a a 17 a 17 a 34 ; SC 2 17a a Xét SAH vuông H , có: SA a 4 Xét SHC vuông cân H , có: SH Xét ABC vuông B , có: AC a 4a a S SAC 89 a a 17 a 17 Ta có: VS ABCD V SH S ABCD ; VS ACD V 3 a 17 89 a 1513 VS ACM VS ACD a d d Mà VS MAC d S SAC 12 12 89 Câu (Sở Bắc Giang 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông A Hình chiếu S lên mặt phẳng ABC là trung điểm H BC , AB a , AC a , SB a Thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 a3 Lời giải C D Xét tam giác ABC vuông A có: BC AB AC a a a3 2a H là trung điểm BC nên BH a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (88) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét tam giác SBH vuông H có: SH SB HB a a2 a 1 AB AC a 2 1 a3 Thể tích khối chóp S ABC là: V SH S ABC a .a 3 Diện tích đáy ABC là: S ABC Câu (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác vuông S Hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng đáy là điểm H thuộc cạnh AD cho HA 3HD Biết SA 2a và SC tạo với đáy góc 30 Tính theo a thể tích V khối chóp S ABCD 6a A V 6a3 B V C V 2a3 Lời giải D V 6a SH HD.HA 3HD2 SH 3HD SH tan SDH SA SA DH Có: SD 2a DA SD SA2 4a SD SA tan SDH SD DH DA a Tam giác SHC có tan SCH SH SH SH tan 30 HC 3a HC HC tan 30 Tam giác DHC có DC DH HC 2a 1 6a V SH AD DC a a 2 a Vậy S ABCD 3 Câu 10 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình thang vuông A và D , AB AD a , CD 2a Hình chiếu đỉnh S lên mặt ABCD trùng với trung điểm BD Biết thể tích tứ diện SBCD A a B a a3 Khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng SBC là? a Lời giải C D a Chọn D Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (89) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi M là trung điểm CD thì ta có ABMD là hình vuông cạnh a đó BC BD a CD 4a BC BD đó tam giác BCD vuông cân B Gọi H là trung điểm BD thì SH ABCD a3 1 a SH BD.BC SH 2a Khi đó VS BCD Hạ HI SB Vì ABMD là hình vuông nên H là trung điểm AM và ta có AMCB là hình bình hành đó AH //BC d A; SBC d H ; SBC HI Khi đó Câu 11 a a 1 hay d A; SBC HI 2 4 HI SH HB 6a a 3a (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là vuông cạnh a , hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng ABCD trùng với trung điểm cạnh AD; gọi M là trung điểm CD; cạnh bên SB hợp với đáy góc 60 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABM a 15 a 15 a 15 a 15 A B C D 12 Lời giải Chọn D 1 S ABCD a 2 Gọi I là hình chiếu vuông góc S trên mặt phẳng ABCD Ta có S ABM IB a a IA AB a 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (90) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có IB là hình chiếu vuông góc SB lên mp ABCD SB , ABC D SB , IB 60 Ta có SI IB tan 60 VS ABM SI S ABM Câu 12 a 15 a 15 a a 15 2 12 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc S trên đáy là điểm H trên cạnh AC cho AH AC ; mặt phẳng SBC tạo o với đáy góc 60 Thể tích khối chóp S ABC là? a3 a3 a3 a3 A B C D 12 48 36 24 Lời giải Gọi M là trung điểm BC CN CH N CM : HN //AM Mà CM CA ABC nên AM BC HN BC BC SHN 60o SBC ; ABC SN ; HN SNH Nên a a HN AM a sin 60o a SHN vuông H có SH HN sin SNH 1 a a a VS ABC SH S ABC 3 4 48 Do ABC nên AM Câu 13 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và có AB a , BC a Mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC a3 a3 A V B V 12 C V 2a D V Lời giải Chọn B Gọi H là trung điểm cạnh AB Do SAB nên SH AB SAB ABC SAB ABC AB SH ABC SH SAB , SH AB Vậy SH là chiều cao khối chóp S ABC ABC vuông A , ta có: AC BC AB a 3 a2 a 1 a2 a , SH AB AC a.a 2 2 1 a 2 a a3 Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC S ABC SH 3 2 12 S ABC Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 (91) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A và có AB a , BC a Mặt bên SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ABC Tính theo a thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A V B V 12 C V a3 D V a3 Lời giải Chọn A S C A H B Xét tam giác ABC vuông A , ta có: AC BC AB a 3 a 2 a a2 1 Diện tích tam giác ABC là: S ABC AB AC a.a 2 Gọi H là trung điểm đoạn AB thì SH AB Vì SAB ABC và SAB ABC AB nên SH ABC Suy SH là chiều cao khối chóp S ABC a.sin 60 a Tam giác SAH vuông H nên SH SA.sin SAH 2 a a a Thể tích khối chóp S ABC là: V S ABC SH 2 12 Câu 15 (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông A và B , BC AD a Tam giác SAB và nằm mặt phẳng vuông góc với đáy; góc 15 SC và mặt phẳng ABCD cho tan Tính thể tích khối chóp S ACD theo a a3 a3 a3 a3 A VS ACD B VS ACD C VS ACD D VS ACD 6 Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (92) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đặt AB x , gọi M , N là trung điểm AB , AD Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy nên SM chính là đường cao x x x2 CM a hình chóp S.ABCD và BM , SM 2 Góc SC và mặt phẳng ABCD cho tan 15 suy SM 15 3 3 x2 SM CM x a x a CM 5 5 Dễ thấy ABCN là hình vuông nên CN a S ACD AD.CN a 2 1 a a a Vậy VS ACD SM SACD 3 Câu 16 (Chuyên - Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cân A , AB AC a , BAC 120 Tam giác SAB là tam giác và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính thể tích V khối chóp S ABC a3 a3 A V B V a3 C V D V 2a3 Lời giải Chọn A Gọi H là trung điểm đoạn AB SH AB ( vì tam giác SAB là tam giác đều) SAB ABC SAB ABC AB SH ABC SH SAB ; SH AB Nhận thấy SAB là tam giác cạnh a SH S ABC a a2 AB AC.sin120 1 a a2 a3 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là: VS ABC SH S ABC 3 Câu 17 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên SAD là tam giác cạnh 2a và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD) Góc mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( ABCD) là 30 Thể tích khối chóp S ABCD là: A 2a 3 B a3 4a 3 Lời giải C D 2a 3 Chọn D Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (93) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 S B A 30° I M C D + Trong tam giác SAD gọi I là trung điểm AD SI AD SI ( ABCD) + Gọi M là trung điểm BC BC IM (1) Mặt khác SI ( ABCD) BC SI (2) Từ (1), (2) suy BC SM 30 + Vậy, góc mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng ( ABCD) chính là góc SMI SI 3a (vì tam giác SAD là tam giác cạnh 2a nên + Xét tam giác vuông SIM có IM tan 30 SI a ) 1 Vậy, thể tích khối chóp S ABCD là V S ABCD SI AD.BC.SI 2a 3 3 Câu 18 (Chuyên Nguyễn Huệ- 2019)Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , mặt bên 300 , SA 2a Tính thể tích V SAB nằm mặt phẳng vuông góc với ABCD , SAB khối chóp S ABCD 3a A V B V a C V a3 D V a3 Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu vuông góc S lên cạnh AB Do SAB ABCD và SAB ABCD AB nên SH ABCD Xét tam giác SAH vuông H ta có: sin SAB SH SH sin 300.SA a SA Mặt khác: S ABCD AD a 1 a3 V S a a a Nên S ABCD ABCD 3 Câu 19 Cho hình chóp S ABC có AB a, BC a 3, ABC 600 Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ABC là điểm thuộc cạnh BC Góc đường thẳng SA và mặt phẳng ABC là 450 Giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (94) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A a3 B a3 a3 12 Lời giải C D a3 Chọn B +Gọi H là hình chiếu S lên mặt phẳng ABC , H BC 450 SHA vuông cân SH HA SA, ( ABC ) SAH + 1 + VS ABC S ABC SH AH AB.BC sin ABC 3 a2 AH a a 3.sin 600 AH + Vmin AH AH BC H AH a a a2 a3 + sin ABH AH a.sin 60 Vmin AB 2 Dạng Thể tích khối chóp Câu (Chuyên Trần Phú Hải Phòng 2019) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , góc mặt bên và mặt đáy 600 Thể tích V khối chóp S ABCD a3 a3 a3 a3 A V B V C V D V 2 6 Lời giải Gọi O là tâm đáy, gọi M là trung điểm BC SO BC 600 Ta có nên SOM BC , suy SCD , ABCD SM , OM SMO OM BC a a BC , SO OM tan 600 2 1 a a3 a Thể tích khối chóp S ABCD là VS ABCD SO.S ABCD 3 Có OM Câu (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a , tâm đáy là O Gọi M và N là trung điểm SA và BC Biết góc đường thẳng MN và mặt phẳng ABCD 600 Tính thể tích khối chóp S ABCD A a 10 B a 30 a 30 Lời giải C D a 10 Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (95) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H là trung điểm AO Khi đó góc MN và ABCD là MNH Ta có HN CN CH 2CN CH cos 450 Suy MH HN tan 600 Do đó SO 2MH Câu a 10 a 10 a 30 3 4 a 30 (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Nếu hình chóp tứ giác có cạnh đáy và có diện tích xung quanh thì có thể tích A B 4 Lời giải C D Chọn A Xét hình chóp S ABCD hình vẽ Kẻ OE BC E là trung điểm BC và BC SOE Do đó BC SE Xét SOE vuông O , ta có SE SO OE SE SO Mặt khác S xq SSBC .SE.BC SO 1.2 SO x 1 VS ABCD SO.S ABCD 2.22 (đvtt) 3 Câu Cho hình chóp S ABC có SA a Gọi D , E là trung điểm SA, SC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a , biết BD vuông góc với AE a 21 a3 a3 a 21 A B C D 54 12 27 27 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (96) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn A S F E D C A B Gọi F là trung điểm SE BD DF ; gọi AB x AS AC SC 2a x a a x Ta có BE BD AE 4 2 a x a 2a 2 BS BE SE 2 9a x BF 4 16 BD BF BD DF BF 2 2 9a x a 2x 9a x 5a 10 x 4a x x a 16 4 Gọi H là hình chiếu S lên ABC đó H là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC 2 x 3 a SH SA AH a 3 2 x2 a2 1 a a a 21 Vậy VS ABC SH SABC 3 54 Hoặc sử dụng công thức tính thể tích chóp tam giác ABC có cạnh bên a , cạnh đáy x Tam giác ABC có cạnh là x SABC VS ABC Câu 2a x 3a x 12 2 3a 12 2a 3 a 21 54 Cho hình chóp S ABCD có cạnh AB a , góc đường thẳng SA và mặt phẳng ABC 45 Thể tích khối chóp S ABCD là a3 a3 A B a3 Lời giải C D a3 Chọn B S A 450 B H D a C Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (97) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vì S ABCD là hình chóp nên đáy ABCD là hình vuông và chân đường cao H trùng với tâm hình vuông ABCD Diện tích đáy khối chóp S.ABCD là S ABCD a Nhận thấy HA là hình chiếu vuông góc SA trên ABC Vì Suy SAH 45 SA, ABC SA, HA SAH a 45 nên là tam giác vuông cân H Suy Tam giác SHA vuông H và có SAH a SH HA a a3 Thể tích khối chóp S ABCD là: V S ABCD SH a (HKI-NK HCM-2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD độ dài cạnh đáy là a Biết mặt SB phẳng P qua A và vuông góc với SC , cắt cạnh SB B với Tính thể tích khối SB chóp S.ABCD a3 a3 a3 a3 A B C D Lời giải Chọn A Xét tam giác ABC vuông B , ta có: AC AB BC a Suy HA Câu Ta có: BD AC BD SAC BD SC BD SO Mà P SC P // BD SG SB SO SB Suy G là trọng tâm SAC C là trung điểm SC Nên SAC là tam giác cạnh AC a SO a a 2 1 a a VSABCD S ABCD SO a 3 Trong SAC , gọi G AC SO GB // BD Câu (Sở Quảng Trị2019) Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy 2a và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 45 Thể tích khối chóp đó là 4a a3 a3 A B C D 2a Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (98) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn A Dựng hình chóp tứ giác S ABCD thỏa mãn các điều kiện đề bài với O AC BD 45 Theo giả thiết ta có AB 2a , SA tạo với mặt phẳng ABCD góc 45 suy SAO ABCD là hình vuông cạnh 2a nên tính AC 2a OA a 45 suy SO OA a Tam giác SOA vuông cân O vì có SO OA, SAO 1 4a Vậy thể tích khối chóp là V S ABCD SO 4a a 3 Câu (THPT Trần Phú - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy 2a , khoảng cách hai đường thẳng SA và CD 3a Thể tích khối chóp đã cho bằng: 8a 3 A a 3 B 6a 3 C 12a D Lời giải Chọn C Gọi O AC BD CD // AB Ta có d CD, SA d CD, SAB d D, SAB d O, SAB AB SAB S OK AB 3a Kẻ OH SAB OH d O, SAB OH SK H 1 Xét SOK : SO 3a OH SO OK Vậy thể tích khối chóp S ABCD : V S ABCD SO 12 a (Kiểm tra lực - ĐH - Quốc Tế - 2019) Cho hình chóp tam giác S.ABC , cạnh AB a và cạnh bên hợp với đáy góc 45 Thể tích V khối chóp là a3 a3 a3 a3 A V B V C V D V 12 Lời giải Chọn A A K B O D Câu C Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Vì S.ABC là hình chóp tam giác nên SO ABC Do S ABC là hình chóp tam giác nên các cạnh bên tạo với mặt đáy các góc Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (99) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Theo Góc cạnh SC với đáy là góc hai đường thẳng SC và OC hay chính là góc SCO 45 SOC vuông cân O bài ta có SCO a a Tam giác ABC cạnh a nên CO SO 3 a2 Diện tích đáy: S ABC 1 a a a3 Thể tích khối chóp V S ABC SO 3 12 Câu 10 Cho khối chóp tứ giác có tất các cạnh 2a Thể tích khối chóp đã cho bằng: 8a3 2a 2a 2a A B C D 3 3 Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình vuông ABCD , ta có SO ABCD Xét tam giác SOA vuông O có SA 2a, AO Suy SO SA2 AO 2a a 1 AC 2a a 2 a 1 4a 2 Vậy VS ABCD SO.S ABCD a 2a 3 Dạng Thể tích khối chóp khác Câu (Đề Minh Họa 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi vuông góc với nhau; AB 6a , AC a và AD 4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , CD , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 a A V 7a3 B V 14a3 C V D V a 3 Lời giải Chọn A Ta có VABCD 1 AB AD AC 6a.7 a.4a 28a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 (100) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta nhận thấy SMNP Câu 1 SMNPD S BCD VAMNP VABCD 7a3 4 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a Gọi I là trung điểm BC , hình chiếu vuông góc đỉnh S lên mặt phẳng ABC là điểm H thỏa mãn IA 2 IH , góc SC và mặt phẳng ABC 60 Thể tích khối chóp S ABC a3 a3 A B a 15 Lời giải C D a 15 12 Chọn C 1 AB AC a 2.a a 2 a BC a, IA a , IH S ABC a2 5a a a2 HC 4 SH SH HC tan SCH a a 15 tan SCH HC 2 1 a 15 a 15 Vậy VS ABC SH S ABC a 3 Tam giác HIC vuông I ta có HC HI IC Câu (Sở Yên Bái - 2020) Cho hình chóp S ABC có ABC là tam giác cạnh 3a , 900 , góc (SAB ) và (SCB ) 600 Thể tích khối chóp S ABC SAB SCB A 2a B 2a C 2a 24 D 2a Lời giải Chọn D Trong mặt phẳng (ABC ) lấy D nằm trên đường trung trực AC cho SD (ABC ) và BAD 900 SAB SCB 900 BCD Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (101) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BC 2a CD a OB Dựng AM SB , SAB SCB CM SB ((SAB ),(SCB )) (AM ,CM ) Gọi O AC BD BD OC 3a BC vô lí vì tam giác MBC vuông M + Nếu AMC 600 MC sin300 1200 MC OC SC 3a SB 3a + Nếu AMC 2 sin600 SD SB BD Câu a 1 9a a 9a 3 VS ABC S ABC SD 3 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Thể tích tứ diện SGCD 2 A B C D 36 36 18 Lời giải Chọn A Gọi O là tâm hình vuông ABCD , M là trung điểm BC Vì S ABCD là hình chóp tứ giác nên SO ABCD VSGCD SG suy VSGCD VSMCD (1) VSMCD SM Mặt khác: Hình chóp S ABCD và S MCD có chung đường cao SO và S MCD 1 S BCD S ABCD nên VSMCD VS ABCD (2) Từ (1) và (2) suy ra: VSGCD VS ABCD Mặt khác SO SA AO Vậy VSGCD Câu 1 2 , VS ABCD SO.S ABCD 3 36 SAB 300 Tính thể tích Cho hình chóp S ABC có AB AC , BC , SA , SAC khối chóp S ABC A B C D Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 (102) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: SC SA2 AC SA AC.cos SAC SC 48 16 2.4 3.4 SC SB SA2 AB SA AB.cos SAB SB Gọi M , N là trung điểm các cạnh BC, SA Ta có: SBC cân S , ABC cân A SM BC BC SAM AM BC Kẻ SH AM Mà BC SAM BC SH Vậy, SH ABC Ta có, SM SC MC 15 AM Nên SAM cân M MN SA Ta có: MN AM AN ; MN SA SH AM SH SABC Câu MN SA 15 ; AM 1 15 AM BC 15 Do đó: VS ABC SH S ABC 15 3 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S ABC có các cạnh SA BC ; SB AC ; SC AB Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 B 390 C 390 12 390 D Lời giải Chọn A Áp dụng công thức thể tích khối tứ diện gần đều: 390 VS ABC a b c a b c a b c 12 Câu Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a , SA SB a Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( SCD) a Thể tích khối chóp đã cho A a3 B a3 C a3 D a3 Lời giải Chọn D Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (103) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi I và J là trung điểm AB và CD theo đề bài ta có: SA SB a nên hình chiếu H S lên đáy nằm trên đường thẳng IJ Dễ thấy CD ( SIJ) Suy d A, ( SCD) d I , ( SCD) d I , SJ a Tam giác SAB vuông cân S nên SI a suy SI d I , SJ a SI ( SCD) a 2a a a Trong tam giác vuông SIJ ta có: SH IJ SI SJ SH SI SJ IJ 2a 1 a 3a Thể tích khối chóp S ABCD là: V S ABCD AH 4a 3 Câu 60, SO ( ABCD) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB a, BAD và mặt phẳng ( SCD ) tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Thể tích khối chóp đã cho A 3a B 3a 24 3a 48 Lời giải C D 3a 12 Chọn A 60 nên BD a, AC a Từ giả thiết hình thoi ABCD có AB a, BAD Dựng OK CD, ( K CD ) Ta có SO ( ABCD ) SO CD và OK CD nên CD SOK CD SK 60 Do đó góc mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD ) là góc SKO 90) có Trong tam giác vuông OCD, (COD OK 1 1 16 2 2 2 OK OC OD 3a a a 2 a a tan 60 3a 90) có SO OK tan SKO Trong tam giác vuông SOK ,( SOK 4 AC.BD a 3.a 3a Diện tích hình thoi ABCD là: S ABCD 2 1 3a 3a 3a3 V S SO Vậy S ABCD ABCD 3 Câu Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , khoảng cách từ điểm A đến mặt a 15 a 15 phẳng ( SBC ) là , khoảng cách SA và BC là Biết hình chiếu S lên mặt 5 phẳng ( ABC ) nằm tam giác ABC , tính thể tích khối chóp S.ABC A a3 B a3 C a3 D a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 (104) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn D Dựng hình bình hành ABCD Gọi O là hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABCD ) Dựng đường thẳng d qua O , vuông góc với BC và cắt BC , AD H , M Khi đó AD , BC ( SHM ) Trong SHM , dựng HK SM ( K SM ) và MN SH ( N SH ) Ta có MN SH và MN BC nên MN ( SBC ) Vì MN d ( M , ( SBC )) d ( A, ( SBC )) a 15 a 15 Do SHM có hai đường cao MN HK nên cân S Suy O là trung điểm MH a a Ta có MH d ( AD, BC ) d ( A, BC ) (do ABC đều, cạnh a ) Suy MO Xét hai tam giác đồng dạng MKH và MOS , ta có a a 15 KH MK MO.KH a SO 2 SO MO MK a a 15 Do BC / / SAD nên d ( BC , SA) d ( BC , ( SAD )) d ( H , ( SAD )) HK Suy HK 1 a a a3 Vậy thể tích khối chóp S.ABC là V SO SABC 3 60 , SO ABCD và Câu 10 Hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , AB a , BAD mặt phẳng SCD tạo với mặt đáy góc 60 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V 3a 24 B V 3a 48 C V 3a 12 D V 3a Lời giải Chọn D 60 , nên tam giác BCD cạnh a Do ABCD là hình thoi tâm O , AB a , BAD Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (105) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có S ABCD a AB AD.sin BAD Gọi E là trung điểm CD và I là trung điểm ED BE OI CD Nên góc mặt phẳng 3a SO OI tan 60 SCD a a , OI BE BE CD nên 2 và mặt đáy là góc , suy SIO 60 SIO 1 a 3a a 3 Vậy thể tích V khối chóp S ABCD là V S ABCD SO 3 60 , gọi I là giao điểm AC Câu 11 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh x , BAD và BD Hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng ( ABCD) là H cho H là trung điểm BI Góc SC và ( ABCD) 45 Tính thể tích V khối chóp S ABCD A V 39 x 12 B V 39 x 36 C V 39 x 24 D V 39 x3 48 Lời giải Chọn C Tam giác ABD cạnh x BD x IH x Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC : AC x x x.x.cos120 x IC Xét tam giác IHC vuông I : HC IH IC x x 3x x 13 16 4 SC , ABCD 45 nên tam giác SHC vuông cân Do tam giác SHC vuông H , có SCH H Suy ra: HC SH x 13 1 x 13 x3 39 Vậy thể tích khối chóp S ABCD : VS ABCD AC.BD.SH x 3.x 24 SAC 30º Tính thể tích Câu 12 Cho hình chóp S ABC có AB AC , BC , SA , SAB khối chóp S ABC A VS ABC B VS ABC C VS ABC D VS ABC 12 Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 (106) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M là trung điểm cạnh BC Vì ABC cân A (do AB AC ) nên AM BC AM AC MC 15 ; SABC AM BC 15 SAB SAC c g c nên SB SC Gọi H là hình chiếu vuông góc điểm S trên mặt phẳng ABC suy H AM Áp dụng định lí cosin cho SAB , ta có: SB SA2 AB SA AB.cos 30 16 SB SMB vuông M nên SM SB MB 15 2 SM AM SA Áp dụng định lí cosin cho SAM , ta có cos SMA 2.SM AM 1 cos SMA sin SMA 15 15 SH SM sin SMA 5 1 15 Vậy VS ABC SABC SH 15 3 Cách 2: Áp dụng định lí cosin cho ABC , ta có AB AC BC cos A AB AC abc Sử dụng công thức V 1 cos cos cos cos cos cos 7 AB AC.SA V 1 cos 30 cos 30 cos 30.cos 30 8 S ABC Câu 13 Cho hình chóp có Góc SA a, AB a , AC a 900 , C BAC AS 1200 Thể tích khối chóp S.ABC a3 a3 a3 a3 A B C D 3 Lời giải Chọn B Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 600 , SAB (107) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lấy trên cạnh AB ; AC các điểm M ; P cho AS AM AP a Ta có: SM a ; MP a ; SP a SMP vuông M Do AS AM AP a Hình chiếu A trên đáy SMP là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SMP , là H 1 a2 Ta có: SSMP SM MP a.a 2 2 a SP a a3 VASMP SSMP AH AH SA a 12 2 Ta lại có: Câu 14 VA.SBC AB AC a3 a3 VS ABC VA.SBC 6.VA.SMP VA.SMP AM AP 12 (THPT Minh Khai - lần 1) Cho hình chóp S ABC có AB 7cm, BC 8cm, AC 9cm Các mặt bên tạo với đáy góc 30 Tính thể tích khối chóp S ABC Biết hình chiếu vuông góc S trên ABC thuộc miền tam giác ABC A 20 cm3 B 20 cm 63 cm3 Lời giải C D 72 cm Chọn A Ta có p AB BC AC 12 cm Diện tích tam giác ABC là S p p AB p AC p BC 12 cm2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 (108) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi H là hình chiếu vuông góc S trên ABC Gọi K , N , M là hình chiếu vuông góc H trên AB, BC , CA SNH SMH 30 Theo bài ta có SKH Ta có SKH SNH SMH vì SHN SHM 90 , SHK SH chung, SNH SMH 30 SKH Suy KH NH MH Vậy H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC S Khi đó KH NH MH ABC cm p SH HK tan 30 15 cm 1 15 20 cm3 Thể tích khối chóp S ABC là V SH SABC 12 3 3 Câu 15 Cho hình chóp S ABC có các mặt bên SAB , SAC , SBC tạo với đáy các góc và 60 Biết AB 13a , AC 14a , BC 15a , tính thể tích V khối chóp S ABC A V 28 3a B V 112 3a C V 84 3a Lời giải D 84a Chọn B Gọi H là hình chiếu S trên mặt phẳng ABC Gọi M , N , K là hình chiếu H trên các cạnh BC, AC, AB Khi đó,ta có các tam giác SHK , SHM , SHN HM HN HK r ,với r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC AB BC CA 13 14 15 21 2 p p AB p BC p AC 21. 21 13 21 14 21 15 84 Ta có nửa chu vi tam giác ABC là p Ta có: S ABC S ABC 84 HM p 21 60 SH r.tan 60 Ta lại có: SBC , ABC SMH Mà S ABC pr r VS ABC 84.4 112 Câu 16 Cho hình chóp S ABC có SA SB SC , AC ; ABC là tam giác vuông cân B Tính Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (109) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 thể tích V khối chóp S ABC 16 A V 16 B V C V 16 D V 16 Lời giải Chọn D Gọi H là hình chiếu S trên mặt phẳng ( ABC ) Do SA SB SC nên SHA SHB SHC (cạnh huyền-cạnh góc vuông) HA HB HC H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Tam giác ABC vuông cân B nên H là trung điểm AC Suy HA HC AC SH SA2 HA2 2 AC 2 Ta có: BA BC 1 16 Vậy VS ABC S ABC SH 2 2 3 Câu 17 (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC biết SA SB SC a , 60 và ASB 120 , BSC ASC 90 Thể tích khối chóp S ABC là a a3 a3 a3 A B C D 12 Lời giải 60 suy tam giác BSC BC a Ta có SB SC a , BSC Lại có SA SC a , ASC 90 suy tam giác ASC vuông cân S AC a Mặt khác, SA SB a , ASB 120 , áp dụng định lí cosin cho tam giác ASB , ta được: AB SA2 SB 2SA.SB.cos ASB 3a AB a Xét tam giác ABC có BC AC a 2a 3a AB suy tam giác ABC vuông C a2 Vậy diện tích tam giác ABC là: SABC AC.BC 2 Gọi O là trung điểm cạnh AB suy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 (110) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Mà SA SB SC SO ABC 3a a Xét tam giác vuông ASO vuông O có SO SA AO a 2 a 2 a a3 Vậy thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC SABC SO 3 2 12 Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác 15 , từ B đến SCA là , từ C đến SAB là cạnh , biết khoảng cách từ A đến SBC là 10 30 và hình chiếu vuông góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối 20 chóp VS ABC 1 1 B C D A 36 48 12 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P là hình chiếu H lên các cạnh AC , BC , AB h Đặt SH h VS ABC h 12 2S 6VS ABC h 30 : h 10 Ta có AP SAB S SAB AB 20 d C ; SAB Tương tự, tính HM h, HN h PH SP SH 3h Ta có S ABC S HAB S HAC S HBC Vậy VS ABC 3 HP HM HN 3h h 12 3 12 12 48 HẾT Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (111) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Chuyên đề 11 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM DẠNG THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô Sđ ¸y chiÒu cao Thể tích khối lập phương V a Thể tích khối hộp chữ nhật V abc c a b a Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác Câu (Mã 101 - 2019) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là A Bh B Bh C Bh D 3Bh 3 Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lập phương có cạnh Thể tích khối lập phương đã cho A 216 B 18 C 36 D 72 Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Thể tích khối lập phương cạnh A B C D Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp chữ nhật có kích thước 3;4;5 Thể tích khối hộp đã cho bằng? A 10 B 20 C 12 D 60 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2; 4; Thể tích khối Câu hộp đã cho A 16 B 12 C 48 D (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C D Câu Câu (Mã 103 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều khối lăng trụ đã cho 16 a A 16a3 B 4a3 C D (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều khối lăng trụ đã cho A a3 B a3 C 2a3 D 3 cao 4a Thể tích a cao 2a Thể tích 4a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (112) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy a , khoảng cách hai đáy lăng trụ a Tính thể tích V khối lăng trụ A V 3a Câu 10 B V a C V a3 D V 3a (Mã 102 -2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC AB C có đáy là tam giác cạnh a và AA 2a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 11 3a 3a C 3a3 D 3a (Đề Minh Họa 2017) Tính thể tích V khối lập phương ABCD ABC D , biết AC a A V a3 Câu 12 B B V 6a C V 3a D V a 3 (SGD Nam Định) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có BC 3a , đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC a Tính thể tích V khối lăng trụ đứng ABC ABC A V 2a B V 2a3 C V 2a D V a3 Câu 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C có đáy ABC là tam giác vuông A , biết AB a , AC 2a và A B 3a Tính thể tích khối lăng trụ ABC AB C A Câu 14 2a3 B 5a3 C 5a3 D 2a (Gia Lai 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a , AB a (tham khảo hình vẽ) Tính theo a thể tích V khối lăng trụ đã cho A V a3 B V 2a3 C V a 10 D V Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2a (113) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 15 Lăng trụ tam giác có độ dài tất các cạnh Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: A Câu 16 27 C D 27 (Đề Tham Khảo 2019) Thể tích khối lập phương cạnh 2a A 8a3 Câu 17 B B 2a3 C a3 D 6a3 (Mã 104 2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy là tam giác cạnh a và AA ' 2a (minh họa hình vẽ bên dưới) Thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 18 6a B 6a C 6a D 6a 12 (Đề Tham Khảo 2017) Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh a a3 a3 a3 a3 B V C V D V 12 (Mã 110 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có BB a , đáy ABC là tam giác vuông A V Câu 19 cân B và AC a Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V Câu 20 a3 B V a3 C V a D V a3 (Mã 103 2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh 2a và AA ' 3a (minh họa hình vẽ bên) C' A' B' C A B Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a C 3a D 3a Câu 21 (Mã 101 -2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a và AA ' 3a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (114) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 C' A' B' C A B A Câu 22 a3 B a3 C 3a D 3a (THPT Việt Đức Hà Nội Năm 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C có đáy là tam giác vuông cân B , AB a và AB a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là A a3 B a3 C a3 D a3 2 Câu 23 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , A ' B tạo với mặt phẳng đáy góc 60 o Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 3a B a3 C 3a D 3a3 Câu 24 Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' , đáy là hình thang vuông A và D , có AB 2CD, AD CD a 2, AA ' a Thể tích khối lăng trụ đã cho A 12a Câu 25 B 6a D 4a (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC ABC biết AA a; AB 3a; AC 4a và AB AC A 12a Câu 26 C 2a B 4a C 24a D 8a (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABC D có đáy là hình thoi, biết AA 4a, AC 2a, BD a Thể tích V khối lăng trụ là A V 8a C V a B V 2a D V 4a3 Câu 27 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Cho hình hộp đứng có mặt là hình vuông cạnh a và mặt có diện tích là 3a Thể tích khối hộp là A a B 3a C 2a D 4a Câu 28 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho khối hộp chữ nhật ABCD AB C D , biết AB a ; BC a ; AC a 21 Tính thể tích V khối hộp đó? A 4a Câu 29 B 16a C a D 8a (THPT Thăng Long 2019) Hình lập phương có độ dài đường chéo thì có thể tích là A 2 B 54 C 24 D Câu 30 Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có AA a , AB 3a , AC 5a Thể tích khối hộp đã cho là A 5a B 4a C 12a D 15a Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (115) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 31 (HKI-NK HCM-2019) Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài 3a , đáy là hình thoi cạnh a và có góc 60 Khi đó thể tích khối hộp là 3a 3 a3 a3 3a3 B C D 2 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C có BB a , đáy ABC là tam A Câu 32 giác vuông cân B, AC a Tính thể tích lăng trụ A Câu 33 a3 B a3 C a3 D a3 (THPT Trần Phú 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D , có ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh AC 2a Thể tích khối lăng trụ ABC AB C A 4a B 3a C 2a D a Câu 34 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân A với BC a và mặt bên AA ' B ' B là hình vuông Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' a a 3 a a D 12 Câu 35 (Thăng Long-Hà Nội 2019) Cho khối đa diện (kích thước hình vẽ bên) tạo ba hình chữ nhật và hai tam giác A B C Tính thể tích khối đa diện đã cho A 48cm3 Câu 36 B 192cm C 32cm D 96cm3 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh a Thể tích khối lăng trụ đó A a3 B a3 C a3 D a3 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (116) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 37 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB 2a, AA a Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 3a B a3 C 3a D a Câu 38 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AB a, AA ' a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ A 3a3 Câu 39 B a3 C 3a3 D a3 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lăng trụ đứng ABCD ABC D có đáy là hình thoi cạnh a , BD a và AA 4a (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a C 3a3 D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a3 (117) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Chuyên đề 11 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Thể tích khối lăng trụ đứng Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân A , BC a 2, A ' B tạo với đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ 3a A Câu B 3a C 3a3 D a3 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC ABC có đáy là tam giác vuông A Cho AC AB 2a , góc AC và mặt phẳng ABC 30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A Câu 2a 3 B a3 C 5a 3 D 4a 3 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA BC a , biết A ' B tạo với mặt phẳng ABC góc 600 Thể tích khối lăng trụ đã cho A 2a Câu B a3 C a3 D a3 (SGD Nam Định) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông A , ACB 30 , biết góc B ' C và mặt phẳng ACC ' A ' thỏa mãn sin Cho khoảng cách hai đường thẳng A ' B và CC ' a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V a Câu B V 3a C V a 3 D V 2a 3 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB a , góc đường thẳng A ' C và mặt phẳng ABC 45 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A Câu a3 B a3 C a3 12 D a3 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB 4a , góc đường thẳng AC và mặt phẳng ABC 45o Thể tích khối lăng trụ ABC ABC a3 a3 a3 D B C 16a 3 (Mã 104 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác cân với 120 Mặt phẳng ( ABC ) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V AB AC a , BAC khối lăng trụ đã cho 3a 9a 3a a3 B V C V D V A V 8 A Câu Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (118) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) cho lăng trụ ABC ABC Biết góc ABC và ABC là 30 , tam giác ABC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A Câu C 3 B D (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có diện tích a2 Mặt phẳng A ' BC hợp với mặt phẳng đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' đáy A Câu 10 3a 3 B a3 C 5a 3 12 3a D (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy a và AB vuông góc với BC Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V a3 B V a3 C V a3 D V 7a Câu 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a và A ' BC hợp với mặt đáy ABC góc 30 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V a3 B V a3 12 C V a3 24 D V 3a3 Câu 12 Cho lăng trụ đứng ABC AB C có đáy ABC là tam giác vuông A và AB a , AC a , mặt phẳng ABC tạo với đáy góc 30 Thể tích khối lăng trụ ABC AB C A a3 12 B a3 C 3 a3 a3 D Câu 13 Cho hình lăng trụ đứng, có đáy ABC là tam giác vuông cân A , AB a , góc mp AB ' C ' và mp ABC 600 Thể tích khối lăng trụ B 3a A 3a3 C a 3a D Câu 14 Cho hình lăng trụ ABC A B C Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC a , góc hai mặt phẳng ABC và BCC B với cos Tính thể tích khối lăng trụ ABC AB C A V Câu 15 3a B V 3a C V a3 D V 3a (THPT Minh Khai - 2019) Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC có AB a , đường thẳng A ' B vuông góc với đường thẳng BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a A a3 3 B a C 3a3 D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 9a (119) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 16 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy a 2a Thể tích khối lăng trụ đã cho 19 Khoảng cách từ điểm A ' đến mặt phẳng AB ' C ' là A a3 B a3 C a3 D 3a Câu 17 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018)Cho lăng trụ đứng ABC ABC đáy là tam giác vuông cân B , AC a , biết góc ABC và đáy 60 Tính thể tích V khối lăng trụ A V Câu 18 a3 B V a3 C V a3 D V a3 (Liên Trường - Nghệ An 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có góc hai mặt phẳng ABC và ABC 60 , cạnh AB a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC A V Câu 19 3 a 3 a C V 3 a D V 3a (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy là a a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ABC Thể tích khối lăng trụ bằng: 2a A 12 Câu 20 B V 2a B 16 3a C 16 3a3 D 48 (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương - 2018) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC là tam 120 , mặt phẳng ( ABC ) tạo với đáy góc 60 Tính thể giác cân với AB AC a, BAC tích khối lăng trụ đã cho 3a3 3a 3a 9a B V C D V 8 8 (THPT Yên Lạc - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC có cạnh đáy a Đường thẳng AB tạo với mặt phẳng BCC B góc 30 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC theo a A V Câu 21 A 3a B a3 C a3 12 D a3 Câu 22 (THPT Xuân Hòa - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC , biết đáy ABC là tam giác a cạnh a Khoảng cách từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A Câu 23 3a B 3a 28 C 3a D 3a3 16 (THPT Hoàng Mai - Nghệ An - 2018) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy a , góc AC và mặt phẳng đáy 60 Tính diện tích xung quanh S xp hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đỉnh là trọng tâm tam giác ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (120) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 B' A' C' B A C A S xq a 333 36 B S xq a 333 C S xq a 111 D S xq a 111 36 Dạng Thể tích khối lăng trụ xiên Câu (Sở Bình Phước 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC có tất các cạnh a , các cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A Câu a3 24 B 3a C a3 D a3 (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Cho lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , biết AA AB AC a Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC ? a3 a3 3a a3 B C D 4 4 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A Câu A, AC 2 , biết góc AC và ABC 600 và AC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC A V Câu B V 16 C V 3 D (Gia Bình 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , góc cạnh bên và mặt đáy 30 Hình chiếu A ' lên ABC là trung điểm I BC Tính thể tích khối lăng trụ A Câu a3 B a 13 12 C a3 D a3 (Nguyễn Khuyến 2019) Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác cạnh , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Khi đó thể tích khối lăng trụ là: A Câu Câu B 27 C 27 D 60 , (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hình hộp ABCD ABCD có các cạnh 2a Biết BAD AAB AAD 120 Tính thể tích V khối hộp ABCD.ABC D A 2a3 B 2a3 C 8a3 D 2a3 (SGD Gia Lai 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác cạnh Hình chiếu vuống góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh BC Góc tạo Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (121) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 cạnh bên A A với đáy 450 (hình vẽ bên) Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C A V Câu 24 B V C V D V Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , hình chiếu A xuống ABC là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết AA hợp với đáy ABC góc 60 , thể tích khối lăng trụ là A Câu a3 B 3a 3 C a3 12 D a3 36 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy là tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên a Mặt phẳng BCC B vuông góc với đáy và BBC 30 Thể tích khối chóp ACC B là: A Câu 10 a3 B a3 12 C a3 18 D a3 (Đề thử nghiệm 2017) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A , cạnh AC 2 Biết AC tạo với mặt phẳng ABC góc 60 và AC Tính thể tích V khối đa diện ABCB C A V B V 16 C V 3 D V 16 3 Câu 11 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 8a và khoảng cách từ điểm A đến các đường thẳng BB, CC 2a và a Biết góc hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ACC′A′) 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A Câu 12 16 3a3 3 B 3a C 24 3a D 16 3a (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A trên ABC là trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng AC và mặt phẳng đáy 600 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 2a B 3a C 3a D 3a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (122) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 13 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho lăng trụ ABC A1 B1C1 có diện tích mặt bên ABB1 A1 , khoảng cách cạnh CC1 đến mặt phẳng ABB1 A1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A1 B1C1 A 12 Câu 14 B 18 C 24 D (chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho khối lăng trụ ABC ABC , tam giác ABC có diện tích và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ABC Thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 15 B C D (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 2019) Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác cạnh 3, cạnh bên và tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Khi đó thể tích khối lăng trụ là? A Câu 16 27 B C 27 D (Sở Hà Nội 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông B , đường cao BH Biết A ' H ABC và AB 1, AC 2, AA ' Thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 17 21 12 B C 21 D (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 30 Hình chiếu A ' xuống ABC là trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A Câu 18 a3 B a3 C a3 24 D a3 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC 60 Chân đường cao hạ từ B trùng với tâm O đáy ABCD ; góc mặt phẳng BBC C với đáy 60 Thể tích lăng trụ bằng: A 3a 3 B 2a 3 C 3a D 3a Câu 19 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC A BC có đáy là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc điểm A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA’ và BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 20 a3 3 B a3 24 C a3 D a3 12 (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C có AA 2a , tam giác ABC vuông 60 , góc cạnh bên BB và mặt đáy ABC 60 Hình chiếu vuông C và BAC góc B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối tứ diện A ABC theo a A 9a 208 B 3a 26 C 9a 26 D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 27a 208 (123) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 21 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu điểm A ' trên mặt phẳng ABC trùng vào trọng tâm G tam giác ABC Biết tam giác A ' BB ' có diện tích 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A Câu 22 6a B 3a C 3a D 3a 3 (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC 2a Hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng ABC là trung điểm H cạnh AB và AA a Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V Câu 23 a3 B V a3 C V 2a 2 D V a3 (THPT Trần Phú 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh 2a , cạnh bên AA 2a Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ABC là trung điểm BC Thể tích khối lăng trụ đã cho là A a 3 B 2a 3 C 3a3 D 2a Câu 24 Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , AA 3a Biết hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh BC Tính thể tích V khối lăng trụ đó theo a A V a Câu 25 B V 2a 3 C V 3a D V a (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a, AA 2a, hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H cạnh BC Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A Câu 26 B a 14 C a3 D a3 (SGD Hưng Yên) Cho lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , độ dài cạnh 2a bên , hình chiếu đỉnh A trên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối lăng trụ ABC ABC bằng: A Câu 27 a3 14 a3 36 B a3 C a3 12 D a3 24 (SGD Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a , 3a AA ' Biết hình chiếu vuông góc A ' lên ABC là trung điểm BC Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' là A a3 B 3a3 C a3 D 2a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (124) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 28 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A ' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết khoảng cách BC và AA ' A a3 36 B a3 a Thể tích khối chóp B ' ABC bằng: C a3 18 D a3 12 Câu 29 (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ACBD là hình thoi cạnh a , biết A ABC là hình chóp và AD hợp với mặt đáy góc 45 Thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D là : a3 a3 C a 3 D 12 Câu 30 (Chuyên Long An - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết A a3 B khoảng cách hai đường AA và BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC A V Câu 31 a3 B V a3 24 C V a3 12 D V a3 (Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA và BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC A V Câu 32 a3 B V a3 C V a3 24 D V a3 12 (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và ABC 120 Góc cạnh bên AA và mặt đáy 60 Đỉnh A cách các điểm A , B , D Tính theo a thể tích V khối lăng trụ đã cho A V 3a B V a3 C V a3 D V a3 Câu 33 (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông A , AB a , AC a Hình chiếu vuông góc đỉnh A lên ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm M cho CM 2MA Biết a khoảng cách hai đường thẳng AM và BC Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V a3 B V a C V 3a D V Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 2a 3 (125) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Chuyên đề 11 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM DẠNG THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ ĐỨNG Thể tích khối lăng trụ Vl¨ng trô Sđ ¸y chiÒu cao Thể tích khối lập phương V a Thể tích khối hộp chữ nhật V abc c b a a Hình lăng trụ đứng và hình lăng trụ đều: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có các cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy Do đó các mặt bên hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật và nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy Hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác Câu (Mã 101 - 2019) Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là A Bh B Bh C Bh D 3Bh 3 Lời giải Chọn A Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và có chiều cao h là: V B.h Câu (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lập phương có cạnh Thể tích khối lập phương đã cho A 216 B 18 C 36 D 72 Lời giải Chọn A Thể tích khối lập phương có cạnh là V 63 216 Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Thể tích khối lập phương cạnh A B C D Lời giải Chọn B Thể tích khối lập phương cạnh a là V a Vậy thể tích khối lập phương cạnh là: V 23 Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp chữ nhật có kích thước 3;4;5 Thể tích khối hộp đã cho bằng? A 10 B 20 C 12 Lời giải D 60 Chọn D Thể tích khối hộp đã cho V 3.4.5 60 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho khối hộp hình chữ nhật có ba kích thước 2; 4; Thể tích khối hộp đã cho Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (126) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 16 Câu B 12 C 48 Lời giải D Chọn C Thể tích khối hộp đã cho 2.4.6 48 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C D Lời giải Chọn D Thể tích khối lăng trụ là V B.h 3.2 Câu (Mã 103 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 4a Thể tích khối lăng trụ đã cho 16 a A 16a3 B 4a3 C D a 3 Lời giải Chọn B V Sday h a 4a 4a Câu (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao 2a Thể tích khối lăng trụ đã cho A a B a C 2a3 D 4a3 3 Lời giải Chọn C Ta có: Vlangtru Sday h a 2a 2a Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho khối lăng trụ có diện tích đáy a , khoảng cách hai đáy lăng trụ a Tính thể tích V khối lăng trụ A V 3a B V a C V a3 D V 3a Lời giải Chọn A Thể tích khối lăng trụ là V B.h a 3.a 3a Câu 10 (Mã 102 -2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC AB C có đáy là tam giác cạnh a và AA 2a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a C 3a D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a (127) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A a2 Do khối lăng trụ ABC A B C là lăng trụ đứng nên đường cao lăng trụ là AA 2a Tam giác ABC cạnh a nên SABC Thể tích khối lăng trụ là V AA.SABC 2a Câu 11 a2 3a3 (Đề Minh Họa 2017) Tính thể tích V khối lập phương ABCD ABCD , biết AC a A V a B V 6a C V 3a D V a3 Lời giải Chọn A Giả sử khối lập phương có cạnh x; x Xét tam giác A ' B ' C ' vuông cân B ' ta có: A ' C '2 A ' B '2 B ' C '2 x x x A ' C ' x Xét tam giác A ' AC ' vuông A ' ta có AC '2 A ' A2 A ' C '2 3a x x x a Thể tích khối lập phương ABCD ABC D là V a3 Câu 12 (SGD Nam Định) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có BC 3a , đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC a Tính thể tích V khối lăng trụ đứng ABC ABC A V 2a B V 2a3 C V 2a D V a3 Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (128) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC a BC AC BBC vuông B BB BC AC a a 2 BC 9a a 2a 1 2a V BB S ABC 2a a 3 Vậy thể tích khối lăng trụ đứng ABC ABC là V 2a Câu 13 Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C có đáy ABC là tam giác vuông A , biết AB a , AC 2a và A B 3a Tính thể tích khối lăng trụ ABC AB C A 2a3 B 5a3 C 5a3 D 2a Lời giải Chọn D A' C' B' 3a 2a A C a B + Diện tích đáy là S ABC 1 AB AC a.2a a 2 + Tam giác ABA vuông A nên có AA AB2 AB2 3a a 2a + Thể tích cần tính là: V S ABC AA a 2a 2a Câu 14 (Gia Lai 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD A B C D có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , AD a , AB a (tham khảo hình vẽ) Tính theo a thể tích V khối lăng trụ đã cho Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (129) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A V a3 B V 2a3 C V a 10 D V 2a Lời giải Chọn B S ABCD AB AD a.a a 2 Trong tam giác ABB , BB AB AB a a 2 2a Vậy V BB .S ABCD 2a.a 2 2a Câu 15 Lăng trụ tam giác có độ dài tất các cạnh Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: A 27 B Lời giải C D 27 Chọn A Đáy hình lăng trụ là tam giác cạnh nên S 32 4 Chiều cao hình lăng trụ h Thể tích V S h Câu 16 27 4 (Đề Tham Khảo 2019) Thể tích khối lập phương cạnh 2a A 8a3 B 2a3 C a3 Lời giải D 6a3 Chọn A Thể tích khối lập phương cạnh 2a bằng: V 2a 8a Câu 17 (Mã 104 2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy là tam giác cạnh a và AA ' 2a (minh họa hình vẽ bên dưới) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (130) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Thể tích khối lăng trụ đã cho A 6a B 6a C 6a D 6a 12 Lời giải Chọn B a2 Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là Ta có: SABC VABC ABC SABC AA Câu 18 a2 a3 a 4 (Đề Tham Khảo 2017) Thể tích khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh a A V a3 12 B V a3 C V a3 D V a3 Lời giải Chọn C h a a3 V h S a S Câu 19 (Mã 110 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có BB a , đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC a Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V a3 B V a3 C V a3 D V Lời giải Chọn B Tam giác ABC vuông cân B AB BC AC a Suy ra: S ABC a 2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 (131) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi đó: VABC ABC Câu 20 a3 S ABC BB a a 2 (Mã 103 2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh 2a và AA ' 3a (minh họa hình vẽ bên) C' A' B' C A B Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a C 3a Lời giải 3a D Chọn B Khối lăng trụ đã cho có đáy là tam giác có diện tích là là lăng trụ đứng) nên có thể tích là (2a ) và chiều cao là AA ' 3a (do (2a ) 3a 3a Câu 21 (Mã 101 -2019) Cho khối lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a và AA ' 3a (minh họa hình vẽ bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho C' A' B' C A B A a3 B a3 3a Lời giải C D 3a Chọn C Ta có S ABC a2 ; AA ' a Từ đó suy V a 3.a Câu 22 3a3 4 (THPT Việt Đức Hà Nội Năm 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C có đáy là tam giác vuông cân B , AB a và AB a Thể tích khối lăng trụ ABC AB C là A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (132) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D C' A' B' a A C a B Ta có AA AB AB a , S ABC Thể tích khối lăng trụ là V AA.S ABC a2 AB 2 a3 Câu 23 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , A ' B tạo với mặt phẳng đáy góc 60 o Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 3a B a3 3a Lời giải C D 3a3 Chọn C Đáy là tam giác cạnh a , có diện tích: SABC a2 A ' BA A ' B, ABC 60o , suy ra: AA ' AB tan 60o a Vì AA ' ABC Vậy thể tích khối lăng trụ: VABC A ' B 'C ' SABC AA ' a2 3a a 4 Câu 24 Cho hình lăng trụ đứng ABCD A ' B ' C ' D ' , đáy là hình thang vuông A và D , có AB 2CD, AD CD a 2, AA ' a Thể tích khối lăng trụ đã cho A 12a B 6a C 2a Lời giải D 4a Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (133) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A' B' 2a C' D' A B a D C a Diện tích hình thang ABCD là: AB CD AD 2CD CD AD 3CD AD 3.a 2.a 3a 2 2 Thể tích khối lăng trụ đã cho: V S ABCD AA 3a a 6a S ABCD Câu 25 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Tính thể tích khối lăng trụ đứng ABC ABC biết AA 2a; AB 3a; AC 4a và AB AC A 12a B 4a C 24a Lời giải D 8a Chọn A 1 AB AC 3a.4a 6a 2 Vậy VABC ABC AA.S ABC 12a3 Ta có: S ABC Câu 26 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD ABC D có đáy là hình thoi, biết AA 4a, AC 2a, BD a Thể tích V khối lăng trụ là A V 8a3 B V 2a3 C V a3 Lời giải D V 4a Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (134) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 Thể tích V khối lăng trụ là: V S ABCD AA AC.BD AA 2a.a.4a 4a 2 Câu 27 (THPT Phan Bội Châu - Nghệ An 2019) Cho hình hộp đứng có mặt là hình vuông cạnh a và mặt có diện tích là 3a Thể tích khối hộp là A a B 3a C 2a D 4a Lời giải Chọn B Giả sử mặt ABB' A' là hình vuông cạnh a , mặt ABCD có diện tích 3a Do đó chiều cao h AA' a , diện tích đáy là B S ABCD 3a Suy thể tích khối hộp đó là V 3a a 3a Câu 28 (Chuyên Bắc Giang 2019) Cho khối hộp chữ nhật ABCD AB C D , AB a ; BC a ; AC a 21 Tính thể tích V khối hộp đó? A 4a B 16a a Lời giải C D 8a Chọn D Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ biết (135) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 Xét tam giác vuông ABC , ta có: AC AB BC a Xét tam giác vuông ACC , ta có: CC AC2 AC 4a Vậy thể tích khối hộp hộp chữ nhật ABCD AB C D là: V a 2a 4a 8a3 Câu 29 (THPT Thăng Long 2019) Hình lập phương có độ dài đường chéo thì có thể tích là A 2 C 24 Lời giải B 54 D Chọn C Gọi cạnh hình lập phương là a a 0 đường chéo hình lập phương là a Theo bài ta có: a a Vậy thể tích khối lập phương là: V 24 Câu 30 Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có AA a , AB 3a, AC 5a Thể tích khối hộp đã cho là A 5a B 4a C 12a D 15a Lời giải Chọn C Xét ABC vuông B , ta có: BC AC AB 5a 3a 4a S ABCD AB BC 3a 4a 12a VABCD ABC D S ABCD AA 12 a a 12a Câu 31 (HKI-NK HCM-2019) Cho hình hộp đứng có cạnh bên độ dài 3a , đáy là hình thoi cạnh a và có góc 60 Khi đó thể tích khối hộp là A 3a 3 B a3 a3 Lời giải C D 3a3 Chọn D Ta có chiều cao h 3a Hình thoi cạnh a và có góc 60 có diện tích S Thể tích khối hộp là V S h a2 a2 3a 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (136) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 32 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có BB a , đáy ABC là tam giác vuông cân B, AC a Tính thể tích lăng trụ A a3 B a3 C a3 D a3 Lời giải Chọn D Trong ABC : AC AB BC AB a AB BC a Thể tích khối lăng trụ ABC ABC là: VABC ABC S ABC BB Câu 33 a3 AB.BC.BB 2 (THPT Trần Phú 2019) Cho hình lăng trụ đứng ABCD AB C D , có ABCD là hình vuông cạnh 2a , cạnh AC 2a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C A 4a B 3a C 2a Lời giải D a Chọn A Ta có: AC AB AD AA AA a AA a Thể tích khối lăng trụ ABC AB C là 1 VABC AB C AB AD AA 2a.2a.2a 4a 2 Câu 34 Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân A với BC a và mặt bên AA ' B ' B là hình vuông Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A a B a C a D a 12 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (137) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A A B C a A' B' C' Tam giác ABC vuông cân A AB a2 BC a SABC AB2 2 Mặt bên AA ' B ' B là hình vuông AA ' AB Vậy VABC A ' B ' C " AA '.SABC Câu 35 a a a2 a3 (Thăng Long-Hà Nội 2019) Cho khối đa diện (kích thước hình vẽ bên) tạo ba hình chữ nhật và hai tam giác Tính thể tích khối đa diện đã cho A 48cm3 B 192cm C 32cm D 96cm3 Lời giải Chọn D Từ giả thiết, suy khối đa diện là khối lăng trụ đứng có đáy là tam giác và các mặt bên là hình chữ nhật Thể tích khối đa diện là V 6.4.8 96 cm3 Câu 36 (Thi thử cụm Vũng Tàu - 2019) Cho khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh a Thể tích khối lăng trụ đó a3 A a3 B a3 C Lời giải a3 D 12 Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (138) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Diện tích đáy S Câu 37 a2 a2 a3 a , chiều cao h a Khi đó V 4 (SP Đồng Nai - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB 2a, AA a Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 3a B a3 3a Lời giải D a C Chọn A Thể tích khối lăng trụ ABC ABC : V AA.S ABC a 2a 3a Câu 38 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có AB a, AA ' a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A’B’C’ A 3a3 B a3 3a3 Lời giải C D a3 Chọn A Lăng trụ ABC A’B’C’ là lăng trụ nên ABC là tam giác và AA ' ABC • AA ' ABC chiều cao lăng trụ là: h AA ' a • ABC là tam giác có AB 2a ABC diện tích là: Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (139) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 S ABC AB 2a a2 3 Thể tích khối lăng trụ là: VS ABC h.SABC a 3.a 3a Câu 39 (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho khối lăng trụ đứng ABCD ABC D có đáy là hình thoi cạnh a , BD a và AA 4a (minh họa hình bên) Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3a B 3a 3a3 Lời giải C D 3a3 Chọn A Gọi I AC BD Ta có: AC BD, BI BD a Xét tam giác vuông BAI vuông I : 2 a 3 3a a a AI BA BI a AI AC a a 4 2 2 1a a2 a Diện tích hình bình hành ABCD : S ABCD 2SABC BI AC 2 2 Vậy: VABCD ABCD S ABCD AA a2 4a 3a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (140) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ Chuyên đề 11 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Thể tích khối lăng trụ đứng Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân A , BC a 2, A ' B tạo với đáy góc 60 Thể tích khối lăng trụ A 3a B 3a 3a3 Lời giải C D a3 Chọn A 2 ABC là tam giác vuông cân A , BC a AB AC a S ABC a.a a ' B ' 600 A ' B tạo với đáy góc 600 BA BB ' v BA ' B ' : tan BA 'B' BB ' A ' B ' a A'B ' 3a Thể tích khối lăng trụ ABC.A ' B ' C ' là: VABC A ' B 'C ' BB '.SABC a a 2 Câu (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh 2019) Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC ABC có đáy là tam giác vuông A Cho AC AB 2a , góc AC và mặt phẳng ABC 30 Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 2a 3 B a3 5a 3 Lời giải C D 4a 3 Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (141) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Diện tích tam giác ABC : S ABC AB AC 2a Hình chiếu vuông góc AC lên ABC là AC AC Góc AC và mặt phẳng ABC là góc tạo đường thẳng AC và AC hay C AC 30 Theo bài có C Xét tam giác C CA vuông C có CC AC tan 30 2a Thể tích khối lăng trụ ABC ABC là VABC ABC CC .S ABC Câu 2a 4a 3 2a 3 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân B với BA BC a , biết A ' B tạo với mặt phẳng ABC góc 600 Thể tích khối lăng trụ đã cho A 2a B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn C A ' BA 60 A ' A AB.tan 600 a Góc đường thẳng A ' B và mặt phẳng ABC là Có S ABC Câu a2 a3 BA.BC VABC A ' B 'C ' S ABC A ' A 2 (SGD Nam Định) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông A , ACB 30 , biết góc B ' C và mặt phẳng ACC ' A ' thỏa mãn sin Cho khoảng cách hai đường thẳng A ' B và CC ' a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (142) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A V a 3a B V C V a 3 D V 2a 3 Lời giải Chọn D * Ta có: CC //AA CC // AABB Mà A ' B AA ' B ' B , nên d CC '; A ' B d CC '; AA ' B ' B C ' A ' a * Ta có: AC A ' C ' a ; AB A ' B ' a ; Diện tích đáy là B dt ABC * Dễ thấy A ' B ' a2 ACC ' A ' Góc B ' C và mặt phẳng ACC ' A ' là B ' CA ' sin A' B ' B ' C 2a B 'C CC ' B ' C B ' C '2 20a 4a 4a * Thể tích lăng trụ là V B.h với h CC ' V Câu a2 4a 2a 3 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có AB a , góc đường thẳng A ' C và mặt phẳng ABC 45 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A a3 B a3 a3 12 Lời giải C D a3 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (143) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Có: A 'C , ABC A 'CA 45 Xét tam giác A ' AC vuông A, ta có: tan A 'CA AA ' AA ' a AC Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' là: V AA '.S ABC a Câu a a3 4 (Kinh Môn - Hải Dương 2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có AB 4a , góc đường thẳng AC và mặt phẳng ABC 45o Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A a3 B a3 C 16 a 3 D a3 Lời giải Chọn C A' C' B' C 45 4a 4a A 4a B ABC ABC là lăng trụ tam giác ABC ABC là lăng trụ đứng và đáy là tam giác Ta có: AA ABC AC , ABC ACA 45o AAC vuông cân A AA AC 4a S ABC Câu AB 4a 4a VABC A ' B ' C ' AA.S ABC 4a.4a 16a 3 (Mã 104 2017) Cho khối lăng trụ đứng ABC.ABC có đáy ABC là tam giác cân với 120 Mặt phẳng ( ABC ) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích V AB AC a , BAC khối lăng trụ đã cho Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (144) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3a A V 9a B V a3 C V Lời giải D V 3a Chọn A Gọi H là trung điểm BC , đó góc mp ABC và đáy là góc AHA 60 Ta có SABC a2 AC AB.sin120 BC BC AB AC AB AC.cos120 a a 2.a.a AA AH tan 60 Vậy V S ACB AA Câu 2S 1 a a AH ABC BC a 3a (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) cho lăng trụ ABC ABC Biết góc ABC và ABC là 30 , tam giác ABC có diện tích Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A C 3 Lời giải B D Chọn A C' A' B' A C 30° x M B Đặt AB x, x , gọi M là trung điểm BC ABC ABC BC Ta có AM BC AMA 30 ABC , ABC AM BC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (145) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét AAM , có AM S ABC AM x x cos30 AM BC x 16 x Suy AA AM tan 30 16 ; S ABC 4 Vậy VABC ABC AA.S ABC 2.4 Câu (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có diện tích a2 Mặt phẳng A ' BC hợp với mặt phẳng đáy góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' đáy A 3a 3 B a3 C 5a 3 12 D 3a Lời giải Chọn A Vì đáy ABC là tam giác có diện tích a2 cạnh đáy a BC AM Gọi M trung điểm BC , ta có BC A ' M BC AA ' A ' M , AM A ' MA 600 Từ đó ta có A ' BC , ABC Xét A ' AM ta có AA ' AM tan 600 3a Thể tích lăng trụ ABC A ' B ' C ' là VABC A ' B 'C ' AA '.S ABC Câu 10 3a 3 (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy a và AB vuông góc với BC Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V a3 B V a3 C V a3 D V Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 7a3 (146) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn B Đặt x BA , y BC , z BB , theo giả thiết AB BC nên AB.BC z x y z z y z x y x.z z x y a a2 z x y cos60o z 2 Vậy VABC A ' B 'C ' 6a AB AC.sin 60o.BB Câu 11 Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a và A ' BC hợp với mặt đáy ABC góc 30 Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A V a3 B V a3 12 C V a3 24 D V 3a3 Lời giải Chọn A Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên BC Suy AH BC A ' H BC Mà ABC A ' BC BC Góc A ' BC và ABC góc AH ; A ' H AHA ' 30 Ta có: ABC là tam giác cạnh a nên AH a a , A ' A AH tan 30 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (147) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' là V A ' A SABC a a2 a3 Câu 12 Cho lăng trụ đứng ABC AB C có đáy ABC là tam giác vuông A và AB a , AC a , mặt phẳng ABC tạo với đáy góc 30 Thể tích khối lăng trụ ABC AB C A a3 12 B a3 3 a3 Lời giải C D a3 Chọn D * Xác định góc mặt phẳng ABC và mặt phẳng đáy: Trong mặt phẳng ABC , dựng AH BC với H nằm trên cạnh BC Theo định lý ba đường vuông góc, ta có: AH BC Vậy AHA 30 ABC ; ABC * Xét tam giác ABC có: 1 1 a AH 2 AH AB AC a 3a Diện tích B tam giác ABC là: B AB AC a 2 * Xét tam giác AHA vuông A , ta có: AA AH tan 30 a2 a ABC AB C V B h 2 a Thể tích khối lăng trụ a3 Câu 13 Cho hình lăng trụ đứng, có đáy ABC là tam giác vuông cân A , AB a , góc mp AB ' C ' và mp ABC 600 Thể tích khối lăng trụ A 3a B 3a C a Lời giải D Chọn D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a (148) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi I là trung điểm cạnh B ' C ' Ta có góc mp AB ' C ' và mp ABC góc mp AB ' C ' và mp A ' B ' C ' Ta có B ' C ' AB ' C ' A ' B ' C ' Vì ABC là tam giác vuông cân A nên hai mặt bên ABB ' A ' và ACC ' A ' là hai hình chữ nhật nhau, đó AC ' AB ' AB ' C ' là tam giác cân A AI B ' C ' Vì A ' B ' C ' là tam giác vuông cân A ' nên A ' I B ' C ' Như góc mp AB ' C ' và mp ABC AIA ' 600 BC a AA ' A ' I tan 600 a 2 VABC A ' B 'C ' AA '.S ABC a a a 3 Ta có A ' I Câu 14 Cho hình lăng trụ ABC AB C Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC a , góc hai mặt phẳng ABC và BCC B với cos Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C A V 3a3 B V 3a C V a3 D V 3a Lời giải Chọn B A' C' B' E K y α a A C M x B Gọi M , N là trung điểm AB và BC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (149) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AB CC AB MCC ABC MCC Do AB CM Kẻ CK vuông góc với CM K thì ta CK ABC , đó CK d C ; ABC a Đặt BC x, CC y, x 0, y 0 , ta được: CM x 1 1 1 2 CM CC CK 3x y a , EC KC Kẻ CE BC E , ta KEC sin Lại có a 1 12 a 12 11 1 11 2 2 2 x y CE 12a a Thể tích khối lăng trụ ABC AB C là: Giải 1 , 2 ta x 2a, y V y Câu 15 x a a 3 2a 4 (THPT Minh Khai - 2019) Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC có AB a , đường thẳng A ' B vuông góc với đường thẳng BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho theo a a3 A 3 B a 3a3 C Lời giải 9a3 D Chọn A Dựng hình hộp ABCD ABCD đó tứ giác ABCD là hình thoi Đặt AB x AD x 120 áp dụng định lý côsin ta có: Tam giác ABD có góc BAD BD AB AD AB AD cos BAD x x x.x.cos120 3x Ta có: A ' B a AD a Ta có: AD //BC AB AD ABD vuông A BD A ' B AD x 12 a x 4a x a Chiều cao hình trụ AA2 AB AB a a 2a AA a Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (150) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VABC ABC Câu 16 1 6a AA.SABC a .2a.2a 3 2 (Chuyên Lam Sơn Thanh Hóa 2019) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có cạnh đáy a 2a Thể tích khối lăng trụ đã cho 19 Khoảng cách từ điểm A ' đến mặt phẳng AB ' C ' là A a3 B a3 a3 Lời giải C D 3a Chọn C Gọi M là trung điểm B ' C ' AA ' B ' C ' B ' C ' AA ' M AB ' C ' AA ' M theo giao tuyến AM Ta có A ' M B 'C ' Kẻ A ' H AM mặt phẳng AA ' M , suy A ' H AB ' C ' 2a 19 1 1 1 A ' A 2a Ta có 2 2 2 A' H A' A A' M A' A A' H A'M 4a Vậy khoảng cách từ A ' đến mặt phẳng AB ' C ' là A ' H Vậy thể tích khối lăng trụ là V AA '.S A ' B ' C ' 2a a2 a3 Câu 17 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018)Cho lăng trụ đứng ABC ABC đáy là tam giác vuông cân B , AC a , biết góc ABC và đáy 60 Tính thể tích V khối lăng trụ A V a3 B V a3 C V a3 D V a3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (151) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tam giác ABC vuông cân B , AC a AB BC a SABC a2 Góc ABC và đáy là góc ABA 60 AA AB.tan 60 a VABC ABC SABC AA Câu 18 a2 a3 a 2 (Liên Trường - Nghệ An 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có góc hai mặt phẳng ABC và ABC 60 , cạnh AB a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC A V 3 a B V 3 a C V 3 a D V 3a Lời giải Gọi M là trung điểm BC suy AM BC 1 BC AM Ta có BC AM BC AA Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (152) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Mặt khác ABC ABC BC 3 ABC ; ABC AMA 60 Từ 1 , , 3 suy Vì tam giác ABC nên SABC Ta có AA AM tan 60 Vậy VABC ABC Câu 19 a2 a và AM 3a AA.SABC 3a a 3a 3 (THPT Triệu Thị Trinh - 2018) Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy là a a và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ABC Thể tích khối lăng trụ bằng: A 2a 12 B 2a 16 3a 16 Lời giải C D 3a3 48 Gọi I là trung điểm BC và H là hình chiếu vuông góc A trên AI Khi đó ta có: a d A, ABC AH Trong tam giác vuông AAI ta có: 1 1 1 1 4 2 2 2 2 2 2 AH AA AI AA AH AI a 3a 3a a a 3 2 Suy ra: AA a Thể tích khối lăng trụ là: V SABC AA Câu 20 a a 3a 4 16 (THPT Tứ Kỳ - Hải Dương - 2018) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC là tam 120 , mặt phẳng ( ABC ) tạo với đáy góc 60 Tính thể giác cân với AB AC a, BAC tích khối lăng trụ đã cho A V 3a B V 9a C 3a3 D V 3a Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (153) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 IB 60 ABC , ABC B Hạ BI AC Khi đó ta có a BI AC 120 B AI 60 Do đó sin 60 BI Vì B BA IB Suy tan B a 3a BB BB BB 3 tan 60 2 BI BI a2 1 a Mặt khác SABC AI BC a 2 Vậy thể tích khối chóp là V B.h Câu 21 a a3 3a (THPT Yên Lạc - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC có cạnh đáy a Đường thẳng AB tạo với mặt phẳng BCC B góc 30 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC theo a A 3a B a3 a3 12 Lời giải C D a3 Gọi M là trung điểm cạnh BC Do ABC ABC là hình lăng trụ tam giác nên ta có ABM 30 AM BCC B AB, BCC B Xét tam giác vuông ABM ta có tan 30 AM AM 3a AB AB AB tan 30 Xét tam giác vuông BBM ta có BB BM BM 9a a a 4 Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (154) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC là VABC ABC a3 AB AC.sin 60.BB Câu 22 (THPT Xuân Hòa - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC , biết đáy ABC là tam giác a cạnh a Khoảng cách từ tâm O tam giác ABC đến mặt phẳng ABC Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 3a B 3a 28 3a Lời giải C D 3a3 16 a2 Chiều cao là h d ABC ; ABC AA Diện tích đáy là B SABC Do tam giác ABC là tam giác nên O là trọng tâm tam giác ABC Gọi I là trung điểm BC , H là hình chiếu vuông góc A lên AI ta có AH ABC d A; ABC AH d O; ABC d A; ABC d A; ABC AH a IO a d O; ABC AH 3 IA Xét tam giác AAI vuông A ta có: 3a3 1 1 1 a a VABC ABC AA h 16 AH AA2 AI AA2 AH AI 2 2 Câu 23 (THPT Hoàng Mai - Nghệ An - 2018) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có cạnh đáy a , góc AC và mặt phẳng đáy 60 Tính diện tích xung quanh S xp hình nón có đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và đỉnh là trọng tâm tam giác AB C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (155) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 B' A' C' B A C A S xq a 333 36 B S xq a 333 C S xq a 111 D S xq a 111 36 Lời giải B' A' G' C' B A G M C Ta có AC ; ABC ACA 60 suy AA AC.tan 60 3a Có r GM 3a 111a 1 3a AM a và l GM GG GM 3a 36 3 Vậy S xp rl 111 a 333 a a 6 36 Dạng Thể tích khối lăng trụ xiên Câu (Sở Bình Phước 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC có tất các cạnh a , các cạnh bên tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A a3 24 B 3a a3 Lời giải C D a3 Chọn B Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (156) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 AAH 60 Kẻ AH ABC AA, ABC Xét AHA : sin 60 AH a AH AA.sin 60 AA Thể tích khối lăng trụ ABC ABC : V S ABC AH Câu a a 3a (THPT Thăng Long - Hà Nội - 2018) Cho lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , biết AA AB AC a Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC ? A 3a B a3 a3 Lời giải C D a3 Gọi H là trọng tâm tam giác ABC Theo giả thiết ta có ABC là tam giác cạnh a và AA AB AC a nên A ABC là tứ diện cạnh a AH ABC hay AH là đường cao khối chóp A ABC Xét tam giác vuông AHA ta có AH AA2 AH Diện tích tam giác ABC là S ABC a2 a.a.sin 60 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC là VABC ABC Câu a a2 a a3 4 (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A, AC 2 , biết góc AC và ABC 600 và AC Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (157) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A V B V 16 C V 3 D Lời giải Gọi H là hình chiếu C lên mặt phẳng ABC , đó CH là đường cao AH 600 AC , ABC C Xét tam giác vuông ACH ta có C H C A.sin 600 Khi đó VABC ABC Sd C H 2 Câu (Gia Bình 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , góc cạnh bên và mặt đáy 30 Hình chiếu A ' lên ABC là trung điểm I BC Tính thể tích khối lăng trụ A a3 B a 13 12 a3 Lời giải C D a3 Chọn C Ta có A ' I ABC AI là hình chiếu vuông góc AA ' lên ABC AA ', ABC AA ', AI A ' AI 300 Nên Ta có AI a a a2 A ' I AI tan 300 , S ABC 2 Vậy VABC A' B ' C ' a a a3 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (158) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Nguyễn Khuyến 2019) Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác cạnh , cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 Khi đó thể tích khối lăng trụ là: A B 27 27 Lời giải C D Chọn B Gọi H là hình chiếu A lên mặt đáy Suy góc AAH 30 AH sin 30 AH AA.sin 30 AA Khi đó: VABC ABC 32 Câu 27 3 4 60 , (Chuyên Bến Tre - 2020) Cho hình hộp ABCD.ABCD có các cạnh 2a Biết BAD AAB AAD 120 Tính thể tích V khối hộp ABCD ABCD A 2a3 B 2a3 C 8a3 Lời giải D 2a3 Chọn A Từ giả thuyết ta có các tam giác ABD , AAD và AAB là các tam giác AA AB AD nên hình chiếu H A trên mặt phẳng ABCD là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD 3 AH 2a a 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (159) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AH AA2 AH a 4a a.2 2a (SGD Gia Lai 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác cạnh Hình chiếu vuống góc A lên mặt phẳng ABC trùng với trung điểm H cạnh BC Góc tạo Thể tích khối hộp ABCD ABCD : V AH S ABCD Câu cạnh bên AA với đáy 450 (hình vẽ bên) Tính thể tích V khối lăng trụ ABC A B C 24 A V B V C V D V Lời giải Chọn D Thể tích khối lăng trụ ABC A B C : V ABC AB C S ABC A H Ta có S ABC AH A H tan 450 AH AH AH Vậy thể tích khối lăng trụ ABC A B C bằng: VABC ABC S ABC A H 3 Câu Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , hình chiếu A xuống ABC là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Biết AA hợp với đáy ABC góc 60 , thể tích khối lăng trụ là A a3 B 3a3 a3 12 Lời giải C D a3 36 Chọn A Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (160) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi M là trung điểm cạnh BC Khi đó AM a a và AO AM 3 Do AO ABC điểm O nên AO là hình chiếu vuông góc AA xuống ABC Suy góc đường thẳng AA và ABC là góc AAO , suy AAO 60 Xét AAO vuông O ta có AO AO.tan 60 Vậy thể tích khối lăng trụ là V AO SABC a Câu a 3a a a3 4 (THPT Ngô Quyền - Ba Vì - Hải Phòng 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy là tam giác cạnh a Độ dài cạnh bên a Mặt phẳng BCC B vuông góc với đáy và BBC 30 Thể tích khối chóp ACC B là: A a3 B a3 12 a3 18 Lời giải C D a3 A' C' B' A B H C Chọn D Ta có BCC B ABC (gt) BBH BBC 30 Hạ BH BC BH ABC và Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (161) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy chiều cao lăng trụ ABC ABC là: h BH BB.sin 30 2a Diện tích đáy là Sđáy a2 Thể tích khối lăng trụ là: VLT Sđáy h a2 a3 2a a3 Thể tích khối chóp A.CC B là: V VLT Câu 10 (Đề thử nghiệm 2017) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân A , cạnh AC 2 Biết AC tạo với mặt phẳng ABC góc 60 và AC Tính thể tích V khối đa diện ABCBC A V B V 16 C V 3 D V 16 3 Lời giải Chọn D 23 600 Phân tích: Tính thể tích khối đa diện ABCBC thể tích khối lăng trụ ABC ABC trừ thể tích khối chóp A.ABC 60 Giả sử đường cao lăng trụ là CH Khi đó góc AC mặt phẳng ABC là góc CAH Ta có: sin 60 C H C H 3; S ABC ; V ABC AB C C H S ABC 2 AC 8 1 8 16 VA ABC CH SABC VABC ABC ; VABBCC VABC ABC VA ABC 3 3 Câu 11 (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 8a và khoảng cách từ điểm A đến các đường thẳng BB, CC 2a và a Biết góc hai mặt phẳng (ABB′A′) và (ACC′A′) 60 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 16 3a3 3 B 3a C 24 3a D 16 3a Lời giải Chọn D Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (162) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H , K là hình chiếu vuông góc A trên BB, CC Ta có HA BB , KA CC AA AHK đó AHK 60 Khi đó HK AK AH AK AH cos 60 12a AK HK AH Suy tam giác AH K vuông H Gọi H , K là hình chiếu vuông góc A trên BB, CC Ta có VA.BCKH VA.B 'C ' K H Khi đó VABC ABC VAHK AH K AA.S AHK 16 3a Câu 12 (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A trên ABC là trung điểm cạnh AB , góc đường thẳng AC và mặt phẳng đáy 600 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 2a B 3a 3a Lời giải C D 3a Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng ABC Ta có: AH ABC HC là hình chiếu vuông góc AC lên mặt phẳng ABC AC , ABC AC , HC ACH 600 CH a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (163) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét tam giác vuông AHC , ta có: AH CH tan 600 a 3a a2 , S ABC 3 2 Vậy thể tích khối lăng trụ ABC ABC là: VABC ABC S ABC AH Câu 13 a 3a 3a (Hội trường chuyên ĐBSH - 2019) Cho lăng trụ ABC A1B1C1 có diện tích mặt bên ABB1 A1 , khoảng cách cạnh CC1 đến mặt phẳng ABB1 A1 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A1B1C1 A 12 B 18 C 24 Lời giải D Chọn A 1 Ta có: VC ABB1 A1 d C , ABB1 A1 S ABB1 A1 4.6 (đvtt) 3 VC ABB1 A1 VABC A1B1C1 VC C1B1 A1 VABC A1B1C1 VABC A1B1C1 VABC A1B1C1 3 3 VABC A1B1C1 VC ABB1 A1 12 (đvtt) 2 Câu 14 (chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho khối lăng trụ ABC ABC , tam giác ABC có diện tích và khoảng cách từ A đến mặt phẳng ABC Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C Lời giải D Chọn C Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (164) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H là hình chiếu vuông góc A' trên mp ABC suy A'H là chiều cao lăng trụ Xét khối chóp A.A' BC có diện tích đáy B S A' BC , chiều cao h d A, A' BC suy thể 1 tích khối chóp A.A' BC là VA.A' BC Bh 1.2 3 VA.A' BC VA' ABC S ABC A'H Mặt khác 3 VABC A' B' C' 3VA.A' BC VABC A' B' C' S ABC A'H * Cách khác Ta thấy lăng trụ ABC.A' B' C' chia thành ba khối chóp có thể thích là A' ABC, A' BCB', A' B' C ' C 1 2 Mà VA' ABC VA.A' BC Bh 1.2 suy VABC A' B' C' 3VA.A' BC 3 3 Câu 15 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa – 2019) Một khối lăng trụ tam giác có đáy là tam giác cạnh 3, cạnh bên và tạo với mặt phẳng đáy góc 60 Khi đó thể tích khối lăng trụ là? A 27 B 27 Lời giải C D Chọn C Gọi H là hình chiếu vuông góc C xuống mp ABC , đó góc hợp CC và CH Theo đề bài: C CH 60 C H C C.sin 60 mp ABC là C 3 Lại có ABC cạnh nên S ABC Do đó VABC ABC S ABC C H Câu 16 4 27 Chọn 4 C (Sở Hà Nội 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông B , đường cao BH Biết A ' H ABC và AB 1, AC 2, AA ' Thể tích khối lăng trụ đã cho A 21 12 B C 21 D Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (165) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tam giác ABC vuông B có AB 1; AC nên BC 22 Độ dài đường cao BH : BH AB.BC 3 : 3 Suy AH AC 2 Khi đó độ dài đường cao A ' H hình lăng trụ : A ' H AA '2 AH Thể tích khối lăng trụ đã cho : V Câu 17 1 21 AB.BC A ' H 2 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , góc cạnh bên và mặt phẳng đáy 300 Hình chiếu A ' xuống ABC là trung điểm BC Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A a3 B a3 a3 24 Lời giải C D a3 Chọn A Gọi H là trung điểm BC suy A ' H ABC ' AH 300 Ta có A ' A, ABC A ' A, AH A Ta có AH a a2 a S Ta có A ' H AH tan 30 và ABC Vậy V A ' H S ABC a3 Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (166) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 18 (THPT Việt Đức Hà Nội 2019) Cho hình lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABC 60 Chân đường cao hạ từ B trùng với tâm O đáy ABCD ; góc mặt phẳng BBC C với đáy 60 Thể tích lăng trụ bằng: A 3a 3 B 2a 3 3a Lời giải C D 3a Chọn D ABC 60 nên ABC là tam giác OH BC ABCD là hình thoi nên AB BC Lại có HO 60 Góc mặt phẳng BBC C với đáy đó là B a 1 1 4 16 OH 2 3a a OH OB OC 3a a 3a 4 Theo giả thiết, BO là đường cao lăng trụ ABCD ABC D Ta có a 3a HO BO OH tan B tan 60 4 VABCD ABC D Sday h a 3a 3a 3 Câu 19 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC A BC có đáy là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc điểm A’ lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA’ và BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ đã cho A a3 3 B a3 24 a3 Lời giải C D a3 12 Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (167) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 BC AM BC AA ' BC A 'G Kẻ MH AA ' H , suy MH là đoạn vuông góc chung hai đường thẳng AA’ và BC Tam giác MHA vuông H có AH AM AH a A ' G GA MH GA a A'G Tam giác A ' GA đồng dạng tam giác MHA nên MH HA HA Ta có Thể tích khối lăng trụ là V S ABC A ' G Câu 20 a3 12 (Toán Học Tuổi Trẻ 2019) Cho hình lăng trụ ABC AB C có AA 2a , tam giác ABC vuông 60 , góc cạnh bên BB và mặt đáy ABC 60 Hình chiếu vuông C và BAC góc B lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối tứ diện A ABC theo a A 9a 208 B 3a 26 9a 26 Lời giải C D 27a 208 Ta có a 3a BG BB cos 60 2a a BI BG 2 B G BB sin 60 2a Đặt AC x x 0 CI x; BC AC tan 60 x Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (168) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Khi đó 3a 2 3a 13 1 3a 13 3a 13 9a x x x SABC AC.BC .2 3 26 2 26 26 26 9a 9a a Vậy VA ABC 26 26 Câu 21 (THPT Thiệu Hóa – Thanh Hóa 2019) Cho lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a Hình chiếu điểm A ' trên mặt phẳng ABC trùng vào trọng tâm G tam giác ABC Biết tam giác A ' BB ' có diện tích 2a Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' A 6a B 3a 3a Lời giải C D 3a 3 Chọn B AB CM + Ta có AB ACM AB AM AB AM Nên SAAB 2a2 4a AM AB AM 3 a Do ABC cạnh a nên GM CM + Trong AGM vuông G ta có AG AM GM Vậy VABC ABC AG.dt ABC Câu 22 a 21 a 21 a 3a3 (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hình lăng trụ ABC A B C có đáy ABC là tam giác vuông cân B và AC 2a Hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng ABC là trung điểm H cạnh AB và AA a Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A V a3 B V a3 C V 2a 2 D V a3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 (169) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn B Tam giác ABC vuông cân B cạnh AC 2a nên suy AB a , có diện tích đáy 1 SABC AB a a 2 H là hình chiếu vuông góc A trên mặt phẳng ABC nên AH là chiều cao khối lăng trụ Thể tích là V A ' H SABC H là trung điểm cạnh AB AH Suy V A ' H SABC Câu 23 a 2a a A H AA AH 2a a a3 a 2 (THPT Trần Phú 2019) Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh 2a , cạnh bên AA 2a Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ABC là trung điểm BC Thể tích khối lăng trụ đã cho là A a 3 B 2a 3 C 3a3 Lời giải D 2a Chọn A Gọi H là hình chiếu A ' trên mặt phẳng ABC , suy H là trung điểm BC Tam giác ABC cạnh 2a , suy AH a Đường cao hình lăng trụ: h A ' H 4a 3a a 1 Vậy thể tích lăng trụ: V SABC h AH BC A ' H a 3.2a.a a 3 2 Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (170) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 24 Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , AA 3a Biết hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh BC Tính thể tích V khối lăng trụ đó theo a A V a 3 B V 2a C V 3a D V a Lời giải Chọn C Gọi M là trung điểm BC Theo bài ABC là tam giác cạnh a nên: AM a a2 ; S ABC Hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng ABC là trung điểm M cạnh BC nên có: AM ABC ; AM BC Xét tam giác AMA vuông M : AM a 3a a AA AM 2 2 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC là: VABC ABC AM S ABC Câu 25 a a 3a 4 (Ngô Quyền - Hải Phòng 2019) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy là tam giác vuông cân đỉnh A, AB a, AA 2a, hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ABC là trung điểm H cạnh BC Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A a3 14 B a3 14 a3 Lời giải C D a3 Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 (171) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A' 2a B' A C a H B Tam giác ABC vuông cân A BC a 2; AH a BC 2 AH ABC AH AH Trong tam giác AAH vuông H ta có: AH AA2 AH 4a Vậy VABC ABC AH S ABC a Câu 26 2a 14 a 14 a3 14 a.a 2 (SGD Hưng Yên) Cho lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác cạnh a , độ dài cạnh 2a bên , hình chiếu đỉnh A trên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Thể tích khối lăng trụ ABC ABC bằng: A a3 36 B a3 a3 12 Lời giải C D a3 24 Chọn C Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có: 2 a a2 a 2a a AG AI AG ; AG AA2 AG 3 V B.h a2 a a3 12 Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (172) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 27 (SGD Bắc Ninh 2019) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cạnh a , 3a AA ' Biết hình chiếu vuông góc A ' lên ABC là trung điểm BC Thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' là A a3 B 3a3 a3 Lời giải C D 2a Chọn B a a2 SABC Gọi H là trung điểm BC , vì tam giác ABC nên ta có AH Theo đề: A ' H ABC A ' H AH Trong tam giác vuông A ' AH có Câu 28 A ' H A ' A2 AH 9a 3a a 4 Suy VABC A ' B 'C ' B.h a a 3a (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a , hình chiếu vuông góc A ' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm G tam giác ABC Biết khoảng cách BC và AA ' A a3 36 B a3 a Thể tích khối chóp B ' ABC bằng: a3 18 Lời giải C D a3 12 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 (173) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M là trung điểm BC , MH AA ' H Ta có BC AA ' M BC HM Do đó HM d AA ', BC a a HM HAM 300 , AG sin HAM AM 2 a a A ' G AG.tan 300 , S ABC AM BC AM a3 VB ' ABC A ' G.S ABC 36 Câu 29 (TT Diệu Hiền - Cần Thơ - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ACBD là hình thoi cạnh a , biết A ABC là hình chóp và AD hợp với mặt đáy góc 45 Thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D là : A a3 B a3 12 C a 3 D a3 Lời giải Ta có AD, ABCD ADG 45 Ta giác ABC cạnh a nên BG a 2a , DB a , DG BG 3 Tam giác ADG vuông cân G nên AG DG VABCD ABC D S ABCD AG Câu 30 2a 2a a.a a3 (Chuyên Long An - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường AA và BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC A V a3 B V a3 24 C V a3 12 D V Lời giải Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 (174) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Vì AG ABC và tam giác ABC nên AABC là hình chóp Kẻ EF AA và BC AAE nên d AA, BC EF a Đặt AG h a 3 Ta có AA h Tam giác AAG đồng dạng với tam giác EAF nên 2 a 3 a AA AG AG a a AG.EA AA.FE h h h EA FA FE a a a3 Thể tích V khối lăng trụ ABC A B C là V AG.S ABC 12 Câu 31 (Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy là tam giác cạnh a Hình chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA và BC a Tính thể tích V khối lăng trụ ABC ABC A V a3 B V a3 C V a3 24 D V a3 12 Lời giải Gọi M là trung điểm BC Vẽ MH AA H BC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 (175) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có AM BC , AG BC BC AAG BC MH d AA, BC MH AH AM MH 3a 3a 3a 16 MH AG AG MH AG Ta có tan GAH AH AG AH Vậy V S ABC AG Câu 32 a a a 3a a a a3 12 (THPT Hà Huy Tập - Hà Tĩnh - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O và ABC 120 Góc cạnh bên AA và mặt đáy 60 Đỉnh A cách các điểm A , B , D Tính theo a thể tích V khối lăng trụ đã cho A V 3a B V a3 C V a3 D V a 3 Lời giải 60 nên ABD là tam giác Ta có tam giác ABD cân A và BAD Gọi H là trọng tâm tam giác ABD Vì A cách A , B , D nên AH là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Do đó AH ABD Suy góc AA và đáy ABCD là góc AAH 60 Ta có AH a 3a AO Do đó AH AH tan 60 2 Ngoài S ABCD 2S ABD a2 a2 Thể tích khối lăng trụ ABCD ABC D là V S ABCD AH a 3a 3a 3 2 Câu 33 (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông A , AB a , AC a Hình chiếu vuông góc đỉnh A lên ABC trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trên cạnh AC lấy điểm M cho CM 2MA Biết a khoảng cách hai đường thẳng AM và BC Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (176) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A V a 3 B V a C V 3a D V 2a 3 Lời giải Kẻ MN // BC , N AB HK MN , HI AK d AM ; BC d BC; AMN d H ; AMN HI HI a 2 AT 1 a Tam giác ABC vuông A HK AT 2 AT AB AC 3a 3 1 1 2 AH a Tam giác AHK vuông H 2 AH HI HK a a a Kẻ AT // HK , AT MN P HK PT a3 Vậy thể tích khối lăng trụ đã cho là: V AH S ABC a .a.a 2 HẾT Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 (177) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC và , hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ABC là trung điểm M BC và AM Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C D 3 Câu (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và CC ' và , hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') là trung điểm M B ' C ' và A ' M Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C D Câu (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' là , khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' là 1; Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' là trung điểm M B ' C ' , A ' M A Câu B 15 Thể tích khối lăng trụ đã cho 15 15 C D 3 (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC và , hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ABC là trung điểm M BC và AM Thể tích khối lăng trụ đã cho A Câu 5 B C D 15 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy là tam giác vuông 120 Gọi M là trung điểm cạnh BB (tham 90 , BAA A , AB , AC Góc CAA khảo hình vẽ) Biết CM vuông góc với AB , tính thể tích khối lăng trụ đã cho 33 A V Câu 15 B V 33 33 C V D V 33 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C , AB 2a và góc tạo hai mặt phẳng ABC và ABC 60 Gọi M , N lần Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (178) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 lượt là trung điểm AC và BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ 3a 6a 6a 3a3 A B C D 24 24 Câu Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA Gọi D , E là trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD AE 21 21 21 21 A B C D 27 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông BC nhọn Mặt phẳng ABC 600 Biết tứ giác BCCB là hình thoi có B A , cạnh BC 2a và BCCB vuông góc với ABC và mặt phẳng ABBA tạo với ABC góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 7a3 B a3 C 7a3 D 7a3 21 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy là tam giác Mặt phẳng ABC tạo với đáy góc 300 và tam giác ABC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A 64 B C 16 D Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông A, AB a, BC a Hình chiếu vuông góc đỉnh A’ lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh H cạnh AC Góc hai mặt phẳng BCB ' C ' và ABC 600 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: 3a3 3a3 3a3 a3 A B C D 8 16 Câu 11 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Góc hai mặt phẳng SBC và SCD , với cos A Câu 12 Câu 13 Thể tích khối chóp đã cho a3 B a C 2a D 2a (Sở Ninh Bình) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB , AD , AC và mặt phẳng AAC C vuông góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng AAC C , AABB tạo với góc ABCD ABC D là A V 12 B V có tan C V Thể tích khối lăng trụ D V 10 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông BC nhọn Biết A , cạnh BC 2a và ABC 60 Biết tứ giác BCC B là hình thoi có B BCCB vuông góc với ABC và ABBA tạo với ABC góc 45 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC a3 3a3 6a a3 A B C D 7 7 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (179) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc điểm A' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA' và BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ đó a3 A 12 Câu 15 a3 B a3 C a3 D 24 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC và tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực BC các góc 300 và 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: a3 a3 a3 A VS ABC B VS ABC C VS ABC D VS ABC a3 Câu 16 ABCD (Chu Văn An Hà Nội 2019) Cho tứ diện có BC BD AC AD 1, ACD BCD và ABD ABC Thể tích tứ diện ABCD 3 2 A B C D 27 27 27 Câu 17 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) Thể tích khối chóp S ABCD 10 A 3a3 B 9a3 C 4a D 12a3 Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác 15 cạnh , biết khoảng cách từ A đến SBC là , từ B đến SCA là , từ C đến SAB là 10 30 và hình chiếu vuông góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích khối 20 chóp VS ABC 1 1 A B C D 36 48 12 24 Câu 19 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a SCB 900 Gọi M là trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng MBC SAB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC 3a 3a 3a A V B V C V 12 Câu 20 D V 3a 12 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có các cạnh SA BC ; SB AC ; SC AB Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 12 B 390 C 390 D 390 60 , Câu 21 Cho hình chóp S ABC có ASB CSB ASC 90 , SA SB a , SC 3a Tính thể tích khối chóp S ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (180) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A a3 B a3 18 C a3 12 a3 D Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh 2a Gọi M là trung điểm cạnh SA , SCB 90 , biết khoảng cách từ A đến MBC 6a Thể tích khối chóp SAB 21 S ABC 10a 3 8a 39 4a 13 A B C D 2a 3 3 Câu 23 (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a 90 Gọi M là trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) SAB SCB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC 3a 3a 3a 3a A V B V C V D V 12 12 Câu 24 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD BC , AC BD , AB CD Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C 2047 12 2470 12 D CBD 90; AB a; AC a 5; Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB ABC 135 Biết góc hai mặt phẳng ABD , BCD 30 Thể tích tứ diện ABCD là A a3 B a3 C a3 a3 D Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC AB C Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC a , góc hai mặt phẳng ABC và BCC B với cos lăng trụ ABC A B C 3a A V Câu 27 B V 3a C V a3 CCDD A Tính thể tích khối D V 3a BBC C và mặt phẳng 60 , Tính thể tích khối hộp đã cho B C D 3 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 6, AD , AC và mặt phẳng AAC C vuông góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng AAC C , AABB tạo với góc thỏa mãn tan ABCD ABC D bằng? A V B V 12 Câu 29 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD ABC D có AB vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD Góc AA với mặt phẳng ABCD 45 Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và DD ' Góc mặt phẳng Câu 28 C V 10 Thể tích khối lăng trụ D V (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC a Góc mặt phẳng AB C và mặt phẳng BCC B 60 Tính thể tích V khối đa diện AB CAC Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (181) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A a 3 B 3a 3 C a 3 D a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (182) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 12 MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÓ THỂ TÍCH KHỐI CHÓP - LĂNG TRỤ TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 101 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC và , hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ABC là trung điểm M BC và AM Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C D 3 Lời giải Chọn A Cắt lăng trụ mặt phẳng qua A và vuông góc với AA ta thiết diện là tam giác AB1C1 có các cạnh AB1 ; AC1 ; B1C1 Suy tam giác AB1C1 vuông A và trung tuyến AH tam giác đó Gọi giao điểm AM và AH là T ; AH MH AM A 60 AA Do đó MA A cos MA H 30 Suy MA Thể tích khối lăng trụ ABC ABC thể tích khối lăng trụ AB1C1 AB2C2 và Ta có: AM V AA.S AB1C1 Câu (Mã 103 -2018) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' , khoảng cách từ C đến đường thẳng BB ' 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và CC ' và , hình Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (183) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ( A ' B ' C ') là trung điểm M B ' C ' và A ' M Thể tích khối lăng trụ đã cho A 3 B C D Lời giải Chọn D Gọi A1 , A2 là hình chiếu A trên BB ' , CC ' Theo đề AA1 1; AA2 3; A1 A2 Do AA12 AA2 A1 A2 nên tam giác AA1 A2 vuông A Gọi H là trung điểm A1 A2 thì AH A1 A2 Lại có MH BB ' MH ( AA1 A2 ) MH AH suy MH AM AH nên cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) cos( MH , AM ) cos HMA Suy S ABC S AA1 A2 cos(( ABC ), ( AA1 A2 )) MH AM Thể tích lăng trụ là V AM S ABC Nhận xét Ý tưởng câu này là dùng diện tích hình chiếu S ' S cos Câu (Mã 102 2018) Cho khối lăng trụ ABC A'B'C' , khoảng cách từ C đến BB ' là , khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' là 1; Hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng A ' B ' C ' là trung điểm M B ' C ' , A ' M 15 Thể tích khối lăng trụ đã cho A B C 15 D Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 15 (184) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chọn C Kẻ AI BB ' , AK CC ' ( hình vẽ ) Khoảng cách từ A đến BB ' và CC ' là 1; AI , AK Gọi F là trung điểm BC A ' M Ta có 15 15 AF 3 AI BB ' BB ' AIK BB ' IK BB ' AK Vì CC ' BB ' d (C, BB ') d ( K , BB ') IK AIK vuông A Gọi E là trung điểm IK EF BB ' EF AIK EF AE Lại có AM ABC Do đó góc hai mặt phẳng ABC và AIK là góc EF và 30 AE FAE Ta có cos FAE AM góc AME FAE AF 15 Hình chiếu vuông góc tam giác ABC lên mặt phẳng AIK là AIK nên ta có: 1 S S ABC S AIK S ABC cos EAF ABC 15 AF AM AM AMF Xét AMF vuông A : tan AM 3 Vậy VABC A ' B 'C ' 2 15 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (185) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Mã 104 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC Khoảng cách từ C đến đường thẳng BB , khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB và CC và , hình chiếu vuông góc A lên mặt phẳng ABC là trung điểm M BC và AM Thể tích khối lăng trụ đã cho A B 15 C D 15 Lời giải Chọn D Gọi J , K là hình chiếu vuông góc A lên BB và CC , H là hình chiếu vuông góc C lên BB Ta có AJ BB 1 2 BB AJK BB JK JK //CH AK CC AK BB Từ 1 và suy JK CH Xét AJK có JK AJ AK suy AJK vuông A Gọi N là trung điểm BC , xét tam giác vuông ANF ta có: Gọi F là trung điểm JK đó ta có AF JF FK AF 60 ( AN AM vì AN //AM và AN AM ) cos NAF NAF AN S 1 Vậy ta có SAJK AJ AK 1.2 SAJK SABC cos 60 SABC AJK cos 60 2 15 Xét tam giác AMA vuông M ta có MAA AMF 30 hay AM AM tan 30 Vậy thể tích khối lăng trụ là V AM S ABC Câu 15 15 3 (Chuyên Hưng Yên - 2020) Cho hình lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy là tam giác vuông 120 Gọi M là trung điểm cạnh BB 90 , BAA A , AB , AC Góc CAA (tham khảo hình vẽ) Biết CM vuông góc với AB , tính thể tích khối lăng trụ đã cho Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (186) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 33 A V B V 33 33 C V D V 33 Lời giải Chọn C Do AC AB , AC AA nên AC ABBA Mà AB ABBA nên AC AB Có AB AC , AB CM nên AB AMC AB AM Đặt AA x x Ta có AB AB AA và AM AB BM AB AA 1 Suy AB AM AB AA AB AA AB AA2 AB AA 2 1 22 x 2.x.cos120 x x AB AA2 AB AA.cos BAA 2 2 2 33 1 Do AB AM nên AB AM x x x 2 33 33 sin120 Lại có S ABB A AB AA.sin BAA (đvdt) 2 33 33 1 Do AC ABBA nên VC ABBA AC.S ABB A (đvtt) 3 2 Mà VC AB C VABC AB C VC ABB A VABC AB C VC AB C VABC AB C 3 3 33 33 Vậy VABC AB C VC ABB A (đvtt) 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (187) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C , AB 2a và góc tạo hai mặt phẳng ABC và ABC 60 Gọi M , N là trung điểm AC và BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ A 3a 24 B 6a C 6a 24 D 3a3 Lời giải Chọn A Gọi I là trung điểm AB , suy AB CIC nên góc C AB và IC 60 CI , C I , suy C AB IC tan 60 a Tam giác C IC vuông C nên C C CI tan C Diện tích tam giác ABC là S ABC AB CI a Thể tích khối lăng trụ là V CC S ABC a a a 3 Trong ACC A , kéo dài AM cắt CC O Suy C M là đường trung bình OAC , đó OC 2CC 2a 1 1 Thể tích khối chóp VO ACN S ACN OC S ABC 2CC V 3 1 1 Thể tích khối chóp VO.C ME SC ME OC S ABC OC V 3 24 1 7 3a3 Do đó VC EM CAN VO ACN VO.C ME V V V a3 24 24 24 24 Vậy phần thể tích nhỏ là VC EM CAN 3a3 24 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ ABC là góc (188) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên Bắc Ninh - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có SA Gọi D , E là trung điểm cạnh SA , SC Thể tích khối chóp S ABC biết BD AE A 21 B 21 C 21 D 21 27 Lời giải Chọn D Gọi O là tâm tam giác ABC Do S ABC là hình chóp nên ta có SO ABC Ta có AE SE SA SC SA ; BD SD SB SA SB 2 ASC BSC ASB Đật BD AE BD AE SA SB SC SA 2 1 SASC SA SB.SC SA.SB 2 Áp dụng định lý hàm số côsin tam giác SAC , ta có: cos cos cos cos AC SA2 SC 2SA.SC.cos Diện tích tam giác ABC là S ABC AC 3 2 2 AO ; SO SA2 AO 3 3 1 21 Thể tích khối chóp S.ABC là V SO.S ABC 3 3 27 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (189) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông BC nhọn Mặt A , cạnh BC 2a và ABC 600 Biết tứ giác BCCB là hình thoi có B phẳng BCCB vuông góc với ABC và mặt phẳng ABBA tạo với ABC góc 450 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 7a3 B 7a3 7a3 C D 7a3 21 Lời giải Chọn B B' C' A' B H C K A BCC B ABC Có Do đó BCCB kẻ BH vuông góc với BC H BCC B ABC BC thì BH ABC hay BH là chiều cao hình lăng trụ Trong ABC kẻ HK vuông góc với AB K Khi đó AB BHK ABBA ABC AB Ta có BHK AB BHK ABBA BK , BHK ABC KH Góc ABBA và ABC chính là góc B K và KH KH là góc nhọn Do đó B KH 45 BHK vuông H nên B KH 45 BHK vuông cân H BH KH BHK vuông H có B Xét hai tam giác vuông B BH và BKH , ta có BH tan B BH KH sin ABC sin 60 BH BH BH 1 21 BH cos B BH sin B 1 BB tan BBH 1 BH BB Ta có S ABC 21 2a 21 (vì BCCB là hình thoi có cạnh BC 2a ) 7 1 AB AC BC cos 600 2 Vậy VABC ABC BH S ABC 1 a2 BC.sin 600 2a .2a 2 2 2a 21 a 3 a 7 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (190) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy là tam giác Mặt phẳng ABC tạo với đáy góc 300 và tam giác ABC có diện tích Tính thể tích V khối lăng trụ đã cho A 64 B C 16 Lời giải D Chọn D Gọi I là trung điểm cạnh BC Vì ABC ABC là lăng trụ đứng có đáy là tam giác nên ABC ABC là khối lăng trụ Do đó ta có: AB AC Suy tam giác ABC cân A AI BC Mặt khác: tam giác ABC AI BC Suy BC AIA Vậy góc mặt phẳng ABC và mặt đáy góc AIA 300 Ta có: tam giác ABC là hình chiếu tam giác ABC trên mặt đáy nên S ABC S ABC cos 8.cos 300 Đặt AB x S ABC x2 x 4 x AA AI tan AIA Suy ra: VABC ABC AA.S ABC 2.4 Ta có: AI Câu 10 (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông A, AB a , BC 2a Hình chiếu vuông góc đỉnh A’ lên mặt phẳng ABC là trung điểm cạnh H cạnh AC Góc hai mặt phẳng BCB ' C ' và ABC 600 Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (191) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 3a3 B 3a C 3a3 D a3 16 Lời giải Chọn C Ta có BC a Từ H kẻ HI vuông góc với BC HI HC AB.HC a HI AB BC BC Gọi K là trung điểm A’C’ từ K kẻ KM vuông góc với B’C’ Ta có HIC BAC nên Tứ giác KMIH là hình bình hành nên KM IH a Gọi N là điểm trên B’C’ cho M là trung điểm C’ N A ' N KM a Do A ' H ABC nên A ' NIH ABC Mà A ' N HI nên HIN là góc tù Suy HIN 1200 A ' NI 600 Gọi H ’ là hình chiếu I lên A’ N suy H ’ là trung điểm A’ N 3a A ' H IH ' NH ' tan 60 V A ' H S ABC Câu 11 3a a 3 3a (Sở Phú Thọ - 2020) Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB a , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA a Góc hai mặt phẳng SBC và SCD , với cos A a3 3 Thể tích khối chóp đã cho B a3 C 2a D 2a Lời giải Chọn A Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (192) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đặt AD m , m Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, gốc tọa độ trùng với A , tia Ox, Oy , Oz trùng với các tia AB, AD, AS Khi đó tọa độ các điểm là: B a;0;0 ; D 0; m;0 ; C a; m;0 ; S 0;0; a SB a;0; a ; BC 0; m; SB, BC ma;0; ma SD 0; m; a ; DC a; 0;0 SD, DC 0; a; ma Véc tơ pháp tuyến mặt phẳng SBC là SB, BC ma; 0; ma , mặt phẳng SCD là SD, DC 0; a ; ma Theo giả thiết: cos m2 a 2 a a m ma 3m a m m a 1 a3 Thể tích khối chóp S ABCD V SA.S ABCD a.a.a 3 Câu 12 (Sở Ninh Bình) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB , AD , AC và mặt phẳng AAC C vuông góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng AAC C , AABB tạo với góc có tan ABCD ABC D là A V 12 B V C V Lời giải Thể tích khối lăng trụ D V 10 Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (193) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M là trung điểm AA Kẻ AH vuông góc với AC H , BK vuông góc với AC K , KN vuông góc với AA N Do AAC C ABCD suy AH ABCD và BK AAC C BK AA AA BKN AA NB suy AAC C , AABB KNB Ta có: ABCD là hình chữ nhật với AB , AD suy BD AC Suy ACA cân C Suy CM AA KN // CM AK AN NK AC AM MC Xét ABC vuông B có BK là đường cao suy BK AB AK AC AK BA.BC và AC AB 2 AC KB KN Xét NKB vuông K có tan tan KNB KN 4 Xét ANK vuông N có KN , AK suy AN 3 AM AA 2 AM MC CM 2 Ta lại có: AH AC CM AA AH CM AA 2.2 AC 3 Suy thể tích khối lăng trụ cần tìm là: V AH AB AD Câu 13 (Đô Lương - Nghệ An - 2020) Cho hình lăng trụ ABC ABC có đáy ABC là tam giác BC nhọn vuông A , cạnh BC 2a và ABC 60 Biết tứ giác BCC B là hình thoi có B Biết BCCB vuông góc với ABC và ABBA tạo với ABC góc 45 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC A a3 B 3a3 C 6a D a3 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (194) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn B BC là góc nhọn nên H Gọi H là chân đường cao hạ từ B tam giác BBC Do góc B thuộc cạnh BC BCCB vuông góc với ABC suy BH là đường cao lăng trụ ABC ABC BCCB là hình thoi suy BB BC 2a Tam giác ABC vuông A , cạnh BC 2a và ABC 60 suy AB a , AC a Gọi K là hình chiếu H lên AB , tam giác ABC là tam giác vuông A nên BK BH BH BK HK //AC BA BC Khi đó mặt phẳng BHK vuông góc với AB nên góc hai mặt phẳng ABC là góc ABBA và KH 45 BK h , với BH h KH Theo giả thiết, B B 2 Xét tam giác vuông BBH có BH BH BB hay h 4BK 4a 1 2 Xét tam giác vuông BBK : BK BK BB hay 2h BK 4a 2 Từ 1 và ta có h 3a Vậy thể tích khối lăng trụ ABC ABC V S ABC h Câu 14 3a3 AB.BC.h (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Cho lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có đáy là tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc điểm A' lên mặt phẳng ABC trùng với trọng tâm tam giác ABC Biết khoảng cách hai đường thẳng AA' và BC a Tính theo a thể tích khối lăng trụ đó a3 A 12 a3 B a3 C a3 D 24 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (195) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 + Gọi M là trung điểm BC , H là trọng tâm tam giác ABC A ' H ABC + AM BC AH BC BC AA' M + Trong tam giác AA' M , kẻ M N A A ' N A MN BC M vì BC AA' M c a MN là đoạn vuông góc chung AA' và BC MN + Tam giác AA' M có S AA ' M b a B 1 A ' H AM MN A A ' 2 M C A ' H AM MN AA ' A ' H AM MN A ' H AH A' H MN A ' H AH AM 2 a 3 a A' H 3 a 2 a 3 A' H 2 a 3 a A ' H A ' H A ' H 2 a a2 a3 12 Vậy thể tích khối lăng trụ VABC A' B 'C ' A ' H SABC Câu 15 (Bỉm Sơn - Thanh Hóa - 2019) Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng ABC và tam giác ABC cân A Cạnh bên SB tạo với mặt phẳng đáy, mặt phẳng trung trực BC các góc 300 và 450 , khoảng cách từ S đến cạnh BC a Thể tích khối chóp S ABC bằng: A VS ABC a3 B VS ABC a3 C VS ABC a3 D VS ABC a3 Lời giải Chọn C Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (196) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 + Lấy M là trung điểm BC , tam giác ABC cân A AM BC SA BC BC SAM trung điểm M SAM là mặt phẳng trung trực cạnh BC 450 Góc SB và mặt phẳng SAM = góc SB và SM = BSM 300 Góc SB và mặt phẳng ABC = góc SB và AB = SBA BC SAM BC SM khoảng cách từ S đến cạnh BC SM a + Tam giác vuông cân SBM có BM a , SB a BC BM 2a Tam giác vuông SAB có sin 30 SA a a ; AB SA a SB 2 Tam giác vuông ABM có AM a 6 a 2 AB BM a 2 1 a a a3 2a Vậy thể tích khối chóp S ABC là VS ABC SA.SABC 3 2 Câu 16 (Chu Văn An - Hà Nội - 2019) Cho tứ diện ABCD có BC BD AC AD 1, ACD BCD và ABD ABC Thể tích tứ diện ABCD A B 27 C 27 D 2 27 Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (197) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi H , K là trung điểm cạnh CD , AB Đặt AH x, x ACD và BCD cân A và D nên AH và BH là hai đường cao tương ứng ACD BCD ACD BCD CD AH BCD ACD AH CD Do đó AH BH 1 ACD BCD c.c.c đó AH BH (2 đường cao tương ứng) (2) Từ (1), (2) suy AHB vuông cân H AB AH x (3) Chứng minh tương tự ta CKD vuông cân K CD 2.HD CK AD AH x 2 Mặt khác, ACD cân A có CK là đường cao nên: AB AK AC CK 1 x (4) Từ (3), (4) ta có: x 1 x x x 1 x2 x 3 x 0 CD 2.HD AH VABCD 3 1 6 3 AH S BCD 3 3 27 Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (198) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 17 (Chuyên Đại học Vinh - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có SA a 11 , cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) Thể tích khối chóp S ABCD 10 A 3a3 B 9a3 C 4a3 Lời giải D 12a3 Chọn C Gọi H là tâm hình vuông ABCD nên SH ( ABCD) Đặt m HA , n SH Do tam giác SAH vuông H nên m2 n2 11a2 Xây dựng hệ trục tọa độ sau: H (0;0;0) , B(m ;0;0) , D(m ;0;0) , C (0; m ;0) , S (0;0; n) x y z Khi đó phương trình mặt phẳng (SBC) là: hay véctơ pháp tuyến mặt phẳng m m n (SBC) là n1 (n; n; m) x y z hay véctơ pháp tuyến mặt Khi đó phương trình mặt phẳng (SCD) là: m m n phẳng (SBC) là n2 (n; n; m) 1 | n1 n2 | hay Do cosin góc hợp hai mặt phẳng ( SBC ) và ( SCD) nên 10 10 | n1 | | n2 | m2 mà n 11a m 2 2n m 10 Vậy m2 m2 m 2a m a SH 3a n m 10 22a m 10 m HA a nên AB 2a , Chiều cao hình chóp là SH 3a Diện tích hình vuông là S ABCD a 1 Thể tích khối chóp S ABCD là: V S ABCD SH 4a 3a 4a3 3 Câu 18 (THPT Lương Thế Vinh Hà Nội 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh , biết khoảng cách từ A đến SBC là 15 , từ B đến SCA là , từ C đến SAB 10 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (199) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 30 và hình chiếu vuông góc S xuống đáy nằm tam giác ABC Tính thể tích 20 khối chóp VS ABC là A 36 B 48 C 12 D 24 Lời giải Chọn B Gọi M , N , P là hình chiếu H lên các cạnh AC , BC , AB h Đặt SH h VS ABC h 12 Ta có AP S SAB 6VS ABC h 30 S SAB : h 10 AB 20 d C; SAB Tương tự, tính HM 2h, HN h PH SP SH 3h Ta có S ABC S HAB S HAC S HBC Vậy VS ABC Câu 19 3 HP HM HN 3h h 12 3 12 12 48 (Cụm Liên Trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a SCB 900 Gọi M là trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng MBC SAB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V 3a 12 B V 3a C V 3a 3 D V Lời giải Chọn B Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a 12 (200) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SCB 900 S , A, B, C cùng thuộc mặt cầu đường kính SB Vì SAB Gọi D là trung điểm BC , I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có OI ABC Gọi H là điểm đối xứng với B qua O SH ABC (vì OI là đường trung bình SHB ) Gọi BM AI J , ta có J trọng tâm SAB Trong AID , kẻ JN / / IO Khi đó, vì BC JND nên JND MBC Kẻ NE JD , ta có NE MBC Do đó d N ; MBC NE d A, MBC AD AD AD AD d N , MBC ND AD AN AD AO AD AD 10a Suy ra, d N , MBC d A, MBC 21 1 10 a Xét JND có nên NJ OI NJ 5a SH 10a 2 NE ND NJ Ta có 1 a 3a Vậy VSABC SH S ABC 10a 3 Câu 20 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp S ABC có các cạnh SA BC ; SB AC ; SC AB Tính thể tích khối chóp S ABC A 390 12 B 390 C 390 D 390 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (201) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 + Dựng hình chóp S A ' B ' C ' cho A là trung điểm B ' C ' , B là trung điểm A ' C ' , C là trung điểm A ' B ' + Khi đó SB AC BA ' BC ' nên SA ' C ' vuông S và SA '2 SC '2 2.SB 64 (1) SA '2 SB '2 80 (2) + Tương tự SB ' C ' , SA ' B ' vuông S và SB ' SC ' 36 (3) + Từ 1 ; ; 3 ta suy SC ' 10 ; SB ' 26 ; SA ' 54 390 1 + Ta tính VS A ' B 'C ' SC ' .SA '.SB ' 390 và VS ABC VS A ' B 'C ' (đvtt) 4 60 , ASB CSB Câu 21 Cho hình chóp S ABC có ASC 90 , SA SB a , SC 3a Tính thể tích khối chóp S ABC A a3 B a3 18 C a3 12 D a3 Lời giải Chọn A Cách 1: Gọi M là điểm nằm trên SC cho SM SC a Ta có: Tam giác SAM vuông S AM SA2 SM a Tam giác SBM là tam giác có độ dài cạnh SM SB BM a Tam giác SAB là tam giác có độ dài cạnh SA SB AB a Vậy AB BM AM Tam giác ABM là tam giác vuông B Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (202) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ABM ASM SI IB a IB2 SI SB2 Tam giác SIB vuông I SI IB SI ABM SI là đường cao khối chóp SABM SI AM 1 a3 Thể tích khối chóp S ABM là VS ABM SABM SI AB.BM SI ( đvtt ) 12 Mà VS ABM SM a3 VS ABC 3.VS ABM VS ABC SC abc cos cos cos cos cos cos ASC ; BSC Trong đó a SA ; b SB ; c SC ; ASB ; Cách 2: Ta có VS ABC VS ABC a.a.3a a3 ( đvtt ) cos 60 cos 60 cos 90 cos 60.cos 60.cos 90 Câu 22 Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác cạnh 2a Gọi M là trung điểm cạnh SA , SCB 90 , biết khoảng cách từ A đến MBC 6a Thể tích khối chóp SAB 21 S ABC A 10a 3 B 8a 39 4a 13 C D a 3 Lời giải Chọn A S M H J E A N I C O D B Vì SAB SCB 90 S , A, B , C cùng thuộc mặt cầu đường kính SB Gọi D là trung điểm BC , I là trung điểm SB và O là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , ta có OI ABC Gọi H là điểm đối xứng với B qua O SH ABC (vì OI là đường trung bình SHB ) Gọi BM AI J , ta có J trọng tâm SAB Trong AID , kẻ JN // IO Khi đó, vì BC JND nên JND MBC Kẻ NE JD , ta có NE MBC Do đó d N ; MBC NE Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (203) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 d A, MBC AD AD AD AD d N , MBC ND AD AN AD AO AD AD 10a Suy ra, d N , MBC d A, MBC 21 Ta có Xét JND có 1 10 a 5a 10a nên NJ OI NJ SH NE ND NJ 3 Vậy VSABC Câu 23 1 10a 2a 10 3a SH S ABC 3 (Cụm liên trường Hải Phòng 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác cạnh a 90 Gọi M là trung điểm SA Khoảng cách từ A đến mặt phẳng ( MBC ) SAB SCB 6a Tính thể tích V khối chóp S ABC A V 3a 12 B V 3a C V 3a D V 3a 12 Lời giải Chọn B Gọi I là trung điểm SB SCB 90 nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Do SAB Gọi O là tâm đáy ABC OI ( ABC ) Gọi H là hình chiếu S lên mặt phẳng ABC Ta có AB ( SAH ) AB AH Tương tự, BC CH Suy H thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , có tâm là O nên O là trung điểm BH Do đó, SH 2OI Gọi N là trung điểm BC IN // SC nên BC IN BC AIN (*) Gọi G là trọng tâm tam giác SAB và K là hình chiếu G lên mặt phẳng ABC K AO và GK // OI AK AO AN KN AN 9 10a d K , MBC d A, MBC 21 (*) 10a Kẻ KE GN KE BC KE MBC d K , MBC KE 21 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (204) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Tam giác GKN vuông K có 1 10a GK SH 2OI 3GK 10a 2 KE GK KN a2 5a 3 Vậy thể tích khối chóp S ABC là V 10a Câu 24 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AD BC , AC BD , AB CD Tính thể tích khối tứ diện ABCD A 2740 12 B 2474 12 C 2047 12 D 2470 12 Lời giải Chọn D Dựng tứ diện D ABC cho A , B , C là trung điểm BC , AC , AB Theo cách dựng và theo bài có: AC BC BD Xét tam giác DAC có: BD là đường trung tuyến và AB BC BD DAC vuông D Chứng minh tương tự ta có: DBC , DAB vuông D Khi đó tứ diện D ABC có các cạnh DA , DB , DC đôi vuông góc với 1 Ta có: VABCD VD ABC DA.DB.DC 24 DA 38 DA2 DB2 48 DA2 38 Theo bài ta có: DA2 DC 2 64 DB2 10 DB 10 DB2 DC 2 36 DC 2 26 DC 26 Vậy VABCD 1 2470 DA.DB.DC 38 10 26 24 24 12 CBD 90; AB a; AC a 5; Câu 25 Cho tứ diện ABCD có DAB ABC 135 Biết góc hai mặt phẳng ABD , BCD 30 Thể tích tứ diện ABCD là A a3 B a3 C a3 D a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (205) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn C Gọi H thuộc mặt phẳng ABC và DH ABC BA DA BC BD BA AH Tương tự BC BH Ta có BA DH BC DH 90 ABC 135; CBH Tam giác ABH có AB a; ABH 45 suy ABH vuông cân A AH AB a Áp dụng định lý côsin ta có BC a 1 a2 Diện tích tam giác ABC : S ABC BA.BC.sin ABC a.a 2 2 Kẻ HE , HF vuông góc với DA , DB Suy HE ABD , HF BCD nên góc hai mặt phẳng ABD , BCD góc EHF Tam giác EHF vuông E , ta có HE a.DH a DH Mặt khác: cos EHF , HF DH a 2a DH HE DH 2a DH a HF 2.DH 2a a3 Thể tích tứ diện ABCD là VABCD DH SABC Câu 26 Cho hình lăng trụ ABC AB C Biết khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng ABC a , góc hai mặt phẳng ABC và BCC B với cos Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C A V 3a B V 3a C V a3 D V Lời giải Chọn B Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a (206) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A' C' B' E K y α a A C M x B Gọi M , N là trung điểm AB và BC AB CC AB MCC ABC MCC Do AB CM Kẻ CK vuông góc với CM K thì ta CK ABC , đó CK d C ; ABC a Đặt BC x, CC y, x 0, y 0 , ta được: CM x 1 1 1 2 CM CC CK 3x y a , EC KC Kẻ CE BC E , ta KEC sin Lại có a 1 12 a 12 11 1 11 2 2 2 x y CE 12a a Thể tích khối lăng trụ ABC A B C là: Giải 1 , 2 ta x 2a, y V y Câu 27 x a 4a 3 a 4 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình hộp ABCD ABC D có AB vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD Góc AA với mặt phẳng ABCD 450 Khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB ' và DD ' Góc mặt phẳng BBC C và mặt phẳng CCDD A 60 , Tính thể tích khối hộp đã cho B C Lời giải D 3 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (207) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 BA 450 Ta có AB ABCD AA, ABCD AAB B Vì d A, BB d A, BB AH ( H là hình chiếu A lên BB ) Suy ta có A' B ' A' H và A ' B A ' B ' tan BB ' A ' sin BB ' A Gán hệ trục tọa độ gốc A với điểm B Oz , B Oy và mặt phẳng ABC D Oxy Ta có tọa độ các điểm A 0, 0, , B 0, 0, , B 0, 2, Ta có D Oxy , giả sử D a, b, ; a C a , b 2, Chọn n BB ' C ' C b, a, a và n DD' C ' C 1, 0, Vì góc mặt phẳng BBC C và mặt phẳng CC DD 60 Ta có cos 600 b b 2a b a xa Mặt khác ta có đường thằng DD có phương trình y b t Vì khoảng cách từ A đến z t đường thẳng DD Ta có: AD, u DD ' b 2a d A, DD0 d A, DD b 2a b u DD ' Trường hợp 1: D 3, 2,0 VABCD A' B 'C ' D ' A ' B.S A' B 'C ' D ' A ' B ', A ' D ' D 3, 2,0 V A ' B S Trường hợp ABCD A ' B ' C ' D ' A' B 'C ' D ' A ' B ', A ' D ' Câu 28 (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho lăng trụ ABCD ABC D có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB 6, AD , AC và mặt phẳng AACC vuông góc với mặt đáy Biết hai mặt phẳng AAC C , AABB tạo với góc thỏa mãn tan trụ ABCD ABC D bằng? A V B V 12 C V 10 Lời giải Thể tích khối lăng D V Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (208) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H là hình chiếu B lên ACCA , BH ACCA AC AB BC ; BH AB.BC = AC ; HC BC BH ; AH AC HC Kẻ HK AA, K AA , AA BH vì BH ACCA nên AA BK ; BKH vuông H ABBA ; ACCA BKH BH KH ; AK AH AK KH KH Gọi M là trung điểm AA Tam giác ACA cân C ' , AC AC AC 3 tan BKH CM AA KH / / CM AK AC AC.KH ACM ∽ AHK AM AA ; CM 2 AH AH S ACC ' A ' CM AA d A; AC AC d A; AC VABCD ABCD d A;AC SABCD = Câu 29 (Cụm Trường Chuyên - Đbsh - 2018) Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC a Góc mặt phẳng BCC B A a 3 ABC và mặt phẳng 60 Tính thể tích V khối đa diện ABCAC B 3a 3 C a3 D a3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (209) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khối đa diện ABCAC là hình chóp B ACC A có AB ACC A Từ giả thiết tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC a ta suy AB AC a Gọi M là trung điểm BC , suy AM BC và AM a AM BC Ta có AM BCC B AM BC (1) AM BB Gọi H là hình chiếu vuông góc M lên BC , suy MH BC (2) Từ (1) và (2) ta suy BC AMH Từ đó suy góc mặt phẳng ABC và mặt phẳng BCC B là góc AH và MH Mà tam giác AMH vuông H nên AHM 60 MH AM cot 60 a a 2 a MH Tam giác BBC đồng dạng với tam giác MHC nên suy sin HCM MC a tan MCH sin MCH 1 1 tan MCH 2 a a BB BC.tan MCH 1 VABCAC VB ACC A BA AC AA a 3.a 3.a a 3 3 HẾT Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (210) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TỈ SỐ THỂ TÍCH Chuyên đề 13 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcò Vmíi B Cắt đáy Vcò Giao cò IA Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) S Vcò đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện tích, đó ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Công thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác VS MNP SM SN SP VS ABC SA SB SC Công thức trên áp dụng cho hình chóp tam giác, đó nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt Nếu A1 B1C1 D1 ABCD và VS A1 B1C1 D1 SA1 SB1 SC1 SD1 k3 k thì SA SB SC SD VS ABCD Kết đúng trường hợp đáy là n − giác Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (211) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5 V V Ví dụ: V A ' B ' BC V 2V ; VA' B ' ABC 3 B Mặt phẳng cắt các cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 và V là thể tích phần trên, phần và lăng trụ Giả sử AM CN BP m, n, p AA ' CC ' BB ' mn p V Khi đó: V2 Khi M A ', N C thì AM CN 1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V là thể tích khối hộp, V là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V (hai đường chéo hai mặt phẳng song song) V (trường hợp còn lại) V V V V , V A'C' D' D B Mặt phẳng cắt các cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM x xy DD ' V V2 BP y BB ' Ví dụ: VA ' C ' BD Dạng Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P là trung điểm SA, SB, SC Tỉ số thể tích VS ABC VS MNP Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (212) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 12 Câu B C (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K là trung điểm các cạnh MN ; MP ; MQ Tỉ số thể tích A Câu B C VMNPQ D 16 B C D Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC Tính tỉ số thể tích khối chóp S MNP và S ABC A Câu VMIJK (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD Gọi A , B , C , D theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S ABC D và S ABCD A Câu D B C 16 D (SGD Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S ABC có thể tích V Gọi B, C là trung điểm AB, AC Tính theo V thể tích khối chóp S ABC A V B V C V 12 D V Câu (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S ABCD , gọi I , J , K , H là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 B C D Câu Cho hình chóp S ABC , trên các tia SA , SB , SC lấy các điểm A ' , B ' , C ' Gọi V1 , V2 là thể tích khối chóp S ABC và S A ' B ' C ' Khẳng định nào sau đây là đúng? A V1 SA SB ' SC V SB SC V SA SB B C V2 SA ' SB SC ' V2 SB ' SC ' V2 SA ' SB ' D V1 SA SB SC V2 SA ' SB ' SC ' Câu (Gia Lai 2019) Cho khối chóp SABC có thể tích 5a Trên các cạnh SB , SC lấy các điểm M và N cho SM 3MB , SN NC (tham khảo hình vẽ) Tính thể tích V khối chóp AMNCB 3 A V a B V a C V a D V 2a3 Câu Nếu hình chóp tứ giác có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên lần thì thể tích nó tăng lên bao nhiêu lần? A lần B lần C lần D lần Câu 10 Trên ba cạnh OA, OB, OC khối chóp O ABC lấy các điểm A, B, C cho 2OA OA, 4OB OB và 3OC OC Tỉ số thể tích hai khối chóp O ABC và O ABC là A 12 B 24 C 32 Câu 11 Cho khối chóp SAB.C , M là trung điểm SA Tỉ số thể tích A B C D 16 VM ABC VS ABC D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (213) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 12 (THPT Hoa Lư A - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB cho AE 3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V V V V V A B C D Câu 13 (Chuyên Vinh - 2018) Cho khối chóp S ABCD có thể tích V Các điểm A , B , C tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SB , SC Thể tích khối chóp S ABC V V V V A B C D 16 Câu 14 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Trên các cạnh AB , AC lần a 2a lượt lấy các điểm B ', C ' cho AB ' , AC ' Tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D và khối tứ diện ABCD là 1 1 A B C D Dạng Tỉ số khối lăng trụ Câu Câu (Sở Nam Định - 2019) Cho khối lăng trụ ABC.ABC có thể tích V Tính thể tích khối đa diện BAAC C 3V 2V V V A B C D 4 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho lăng trụ ABC ABC , M là trung điểm CC Mặt phẳng ABM chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A B V1 V2 C D Câu Khối lăng trụ ABC ABC có thể tích Mặt phẳng ABC chia khối lăng trụ thành Câu khối chóp tam giác và khối chóp tứ giác có thể tích là A và B và C và D và Cho khối lăng trụ tam giác ABC AB C có thể tích V Gọi M là trung điểm cạnh CC Mặt phẳng MAB chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k Tìm k ? A B C D Câu (THPT Thăng Long 2019) Một khối lăng trụ tứ giác có thể tích là Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao khối lăng trụ này hai lần thì khối lăng trụ có thể tích là: A B C 16 D Câu Biết khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có thể tích V Nếu tăng cạnh hình hộp đó lên gấp hai lần thì thể tích khối hộp là: A 8V B 4V C 2V D 16V Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có M là trung điểm AA Tỉ số thể tích Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ VM ABC VABC ABC (214) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Câu 1 1 A B C D 12 (HKI-NK HCM-2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có thể tích là V Gọi M là trung điểm cạnh AA Khi đó thể tích khối chóp M BCCB là V V V 2V B C D A (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ ABC ABC Biết diện tích mặt bên ABBA 15, khoảng cách từ điểm C đến ABBA Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC A 30 Câu 10 B 45 C 60 D 90 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho khối lăng trụ ABC ABC có thể tích V Tính thể tích khối đa diện ABCBC 3V 2V V V B C D A 4 Câu 11 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có I là giao điểm AC và BD Gọi V1 và V2 là thể tích các khối ABCD A ' B ' C ' D ' và I A ' B ' C ' Tính tỉ số A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 V1 V2 D V1 V2 HẾT Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (215) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 13 TỈ SỐ THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM LÝ THUYẾT CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcò Vmíi B Cắt đáy Vcò Giao cò IA Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) S Vcò đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện tích, đó ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Công thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (216) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VS MNP SM SN SP VS ABC SA SB SC Công thức trên áp dụng cho hình chóp tam giác, đó nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt VS A1B1C1D1 SA SB SC SD Nếu A1 B1C1 D1 ABCD và k thì k3 SA SB SC SD VS ABCD Kết đúng trường hợp đáy là n − giác Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5 V V Ví dụ: V A ' B ' BC V 2V ; VA' B ' ABC 3 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (217) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B Mặt phẳng cắt các cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 và V là thể tích phần trên, phần và lăng trụ Giả sử AM CN BP m, n, p AA ' CC ' BB ' mn p V Khi đó: V2 Khi M A ', N C thì AM CN 1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V là thể tích khối hộp, V là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V (hai đường chéo hai mặt phẳng song song) V (trường hợp còn lại) V V V V , V A'C ' D' D B Mặt phẳng cắt các cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) Ví dụ: VA ' C ' BD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (218) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 DM x xy DD ' V V2 BP y BB ' Dạng Tỉ số thể tích khối chóp – khối lăng trụ Câu (HSG 12-Sở Nam Định-2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M , N là trung điểm AB, CD Gọi V1 , V2 là thể tích MNBC và MNDA Tính tỉ lệ A Câu B C V1 V2 V D (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi V M và N là trung điểm các cạnh SA, SC , mặt phẳng ( BMN ) cắt cạnh SD P Tỉ số SBMPN VSABCD : V A SBMPN VSABCD 16 B VSBMPN VSABCD C VSBMPN VSABCD 12 D VSBMPN VSABCD Câu Cho tứ diện ABCD Gọi B , C là trung điểm AB và CD Khi đó tỷ số thể tích khối đa diện ABC D và khối tứ diện ABCD 1 1 A B C D Câu Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm SA, SC Mặt phẳng ( BMN ) cắt SD P Tỉ số A Câu VS BMPN VS ABCD 16 B VS BMPN bằng: VS ABCD VS BMPN VS ABCD C VS BMPN VS ABCD 12 D VS BMPN VS ABCD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K , M là trung điểm các đoạn thẳng SA , SB , ( ) là mặt phẳng qua K song song với AC và AM Mặt phẳng ( ) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A V1 V2 25 B V1 V2 11 V1 V2 C V1 V2 17 D V1 V2 23 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (219) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hình chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng P qua A và vuông góc với SC cắt SB , SC , SD B , C , D Biết C là trung điểm SC Gọi V1 , V2 là thể tích hai khối chóp S ABC D và S ABCD Tính tỷ số A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 V2 V1 V2 Câu Cho hình chóp S ABCD Gọi A, B , C , D theo thứ tự là trung điểm SA, SB, SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D và S ABCD 1 1 A B C D 16 Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình SM hành, trên cạnh SA lấy điểm M và đặt x Giá trị x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp SA đã cho thành hai phần có thể tích là: A x Câu B x 1 C x D x 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng MNI chia khối chọp S ABCD IA lần phần còn lại Tính tỉ số k ? 13 IS C D thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích A B 90o , ASC 120o Mặt phẳng Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có SA 6, SB 2, SC 4, AB 10, SBC P qua B và trung điểm N SC đồng thời vuông góc với SAC cắt SA M Tính tỉ số thể tích k A k Câu 11 VS BMN VS ABC B k C k D k (Đề tham khảo 2017) Cho khối tứ diện có thể tích V Gọi V là thể tích khối đa diện V có các đỉnh là các trung điểm các cạnh khối tứ diện đã cho, tính tỉ số V V V V V A B C D V V V V Câu 12 Cho tứ diện ABCD , trên các cạnh BC, BD, AC lấy các điểm M , N , P cho BN , AC AP Mặt phẳng MNP chia khối tứ diện ABCD thành hai khối V đa diện có thể tích là V1 , V2 , đó khối đa diện chứa cạnh CD có thể tích là V2 Tính tỉ số V2 BC 3BM , BD A V1 26 V2 19 B V1 26 V2 13 C V1 15 V2 19 D V1 V2 19 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (220) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 13 Cho tứ diện ABCD Xét điểm M trên cạnh AB , điểm N trên cạnh BC , điểm P trên cạnh MB NB PC 3, 4, Gọi V1 ,V2 theo thứ tự là thể tích các khối tứ diện MA NC PD V MNBD và NPAC Tỉ số V2 CD cho A Câu 14 B D (SGD Điện Biên - 2019) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N là hai điểm SM SN nằm trên hai cạnh SC, SD cho , , biết G là trọng tâm tam giác SAB Tỉ số thể SC ND V m tích G MND , m, n là các số nguyên dương và m, n Giá trị m n bằng: VS ABCD n A 17 Câu 15 C B 19 C 21 D (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm SA, SB Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là (số bé chia số lớn) 3 A B C D Câu 16 Cho hình chóp S ABCD Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC , SD Gọi V1 , V2 là thể tích hai khối chóp S.MNPQ và S ABCD Tỉ số A Câu 17 16 B C D V1 V2 (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Cho hình chóp S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB cho MA SM , SN NB , là mặt phẳng qua MN và song song với SC Mặt phẳng chia khối chóp S ABC thành hai khối đa diện H1 và H với H1 là khối đa diện chứa điểm S , H là khối đa diện chứa điểm A Gọi V1 và V2 là thể tích H1 và H Tính tỉ số A Câu 18 V1 V2 B C D (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 60 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Góc hai mặt phẳng SBD và a , BAD ABCD 45 Gọi M là điểm đối xứng C qua B và N là trung điểm SC Mặt phẳng MND chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1 , khối đa diện còn lại có thể tích V2 (tham khảo hình vẽ bên) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (221) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Tính tỉ số A Câu 19 V1 V2 V1 12 V2 B V1 V2 C V1 V2 D (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Mặt phẳng qua A , B và trung điểm M SC Mặt phẳng chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích là V1 , V2 với V1 V2 Tính A Câu 20 V1 V2 V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 V2 V1 V2 (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018) Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt phẳng P chứa cạnh BC cắt cạnh AD E Biết góc hai mặt phẳng P và BCD có số đo là thỏa mãn tan Tính tỉ số A Câu 21 Gọi thể tích hai tứ diện ABCE và tứ diện BCDE là V1 và V2 V1 V2 B C D (Thpt Tứ Kỳ - Hải Dương - 2018) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng P chứa AM và song song BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD Tỉ số A Câu 22 V2 V1 V2 là: V1 B V2 V1 C V2 V1 D V2 V1 (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên SM SN , Mặt phẳng qua MN và cạnh SB hình chóp tam giác S ABC cho MA NB song song với SC chia khối chóp thành phần Gọi V1 là thể tích khối đa diện chứa A , V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A V1 V2 B V1 V2 V1 ? V2 C V1 V2 D V1 V2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (222) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 23 (Chuyên KHTN - 2018) Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng qua trọng tâm các tam giác SAB, SAC , SAD chia khối chóp thành hai phần có thể tích là V1 và V2 V1 V2 Tính tỉ lệ V1 V2 A 27 B 16 81 C 19 16 75 D Câu 24 Cho lăng trụ ABC ABC Trên các cạnh AA, BB lấy các điểm E, F cho AA kAE, BB kBF Mặt phẳng C EF chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối chóp C ABFE có thể tích V1 và khối đa diện ABCEFC có thể tích V2 Biết V1 , tìm k V2 A k B k C k D k Câu 25 Cho khối đa diện hình vẽ bên Trong đó ABC A ' B ' C ' là khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh 1, S.ABC là khối chóp tam giác có cạnh bên SA Mặt phẳng SA ' B ' chia khối đa diện đã cho thành hai phần Gọi V1 là thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A , V2 là thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh A Mệnh đề nào sau đây đúng? A 72V1 5V2 B 3V1 V2 C 24V1 5V2 D 4V1 5V2 Câu 26 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC Gọi M , N , P, Q là các điểm thuộc AA , AM BN CN CQ , , , Gọi V1 , V2 là thể tích AA ' BB ' CC ' CB V khối tứ diện MNPQ và ABC ABC Tính tỷ số V2 AA , BB , CC , BC thỏa mãn A Câu 27 V1 11 V2 30 B V1 11 V2 45 C V1 19 V2 45 D V1 22 V2 45 (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Cho hình lăng trụ VABC ABC Gọi M , N , P là các điểm thuộc các cạnh AA , BB , CC cho AM 2MA , NB NB , PC PC Gọi V1 , V2 là thể tích hai khối đa diện ABCMNP và ABC MNP Tính tỉ số A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 V2 V1 V2 Dạng Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (223) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu (Đề minh họa lần 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi vuông góc với nhau; AB 6a , AC a và AD 4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , CD , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 A V a B V 14a3 C V a D V 7a3 Câu (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S ABCD , gọi I , J , K , H là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 B C D Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Mặt bên tạo với đáy góc 600 Gọi K là hình chiếu vuông góc O trên SD Tính theo a thể tích khối tứ diện DKAC A V Câu 4a 3 15 B V 4a 3 C V 2a 3 15 D V a 3 (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho khối chóp S ABCD có thể tích 32 Gọi M , N , P , Q là trung điểm SA , SB , SC , SD Thể tích khối chóp S MNPQ A 16 B C D Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi Gọi D là trung điểm SD , mặt phẳng chứa BD và song song với AC cắt các cạnh SA , SC A và C Biết thể tích khối chóp S ABC D , tính thể tích V khối chóp S ABCD A V B V C V D V 2 Câu Cho tứ diện ABCD có thể tích Gọi M , N , P là trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD Tính thể tích tứ diện AMNP A B 27 Câu C D 27 (Sở Cần Thơ - 2019) Cho khối chóp S.ABCD có thể tích 18, đáy ABCD là hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SD cho SM 2MD Mặt phẳng ABM cắt đường thẳng SC N Thể tích khối chóp S ABNM A B 10 C 12 D Câu Cho khối lăng trụ ABC ABC Điểm M thuộc cạnh AB cho AB AM Đường thẳng BM cắt đường thẳng AA F , và đường thẳng CF cắt đường thẳng AC G , Tính tỉ số thể tích khối chóp FAMG và thể tích khối đa diện lồi GMBC CB 1 A B C D 11 27 22 28 Câu (Sở GD Nam Định 2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V , hai điểm M và P là trung điểm AB, CD ; điểm N thuộc đoạn AD cho AD AN Tính thể tích tứ diện BMNP A V B V 12 C V D V Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (224) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 10 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình 2019)Cho hình chóp S.ABCD có thể tích 48 và ABCD là hình thoi Các điểm M , N , P , Q là các điểm trên các đoạn SA , SB , SC , SD thỏa mãn SA 2SM , SB 3SN , SC 4SP , SD 5SQ Tính thể tích khối đa diện S MNPQ A B C D 5 5 Câu 11 Cho khối chóp S ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi M là trung điểm SB , N là điểm trên đoạn SC cho NS NC Thể tích khối chóp A.BCNM A a 11 18 B a 11 24 C a 11 36 D a 11 16 60 , Câu 12 Cho hình chóp S ABC có SA 2a , SB 3a , SC 4a và ASB BSC ASC 90 Tính thể tích V khối chóp S ABC A V Câu 13 2a B V 2a3 C V 4a D V a3 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hình chóp S ABCD, có đáy và cạnh bên a Gọi M , N là trung điểm các cạnh SB , SD Mặt phẳng ( AMN ) chia khối chóp thành hai phần có thể tích V1 ,V2 với V1 V2 Ta có V2 A a3 18 B 5a3 C 8a3 15 D a3 Câu 14 Cho tứ diện ABCD có AB 1; AC 2; AD và BAC CAD DAB 60 Tính thể tích V khối tứ diện ABCD A V B V C V D V 12 Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân B , AC a SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA a Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Một mặt phẳng qua hai điểm A , G và song song với BC cắt SB , SC B và C Thể tích khối chóp S ABC bằng: A 2a 27 B a3 C 4a 27 D 2a Câu 16 Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác với tất các cạnh và a Người ta cưa viên đá đó theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói trên a2 A Câu 17 a2 B a2 C D 2a (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC , AD vuông góc với đôi và AB 3a, AC a, AD a Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh BC , CD , BD Tính thể tích khối đa diện AMNP A 12a3 Câu 18 B 3a3 C 2a3 D a3 (HKI-Chuyên Long An-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích Gọi M , N Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (225) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SM SN k Tìm giá trị k để thể tích khối chóp là các điểm trên cạnh SB và SD cho SB SD S AMN A k B k C k D k Câu 19 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích V Lấy điểm A trên cạnh SA cho SA ' SA Mặt phẳng qua A và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính theo V thể tích khối chóp S.A’B’C’D’? V V V V A B C D 81 27 Câu 20 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi vuông góc với Gọi G1 , G2 , G3 và G4 là trọng tâm các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD Biết AB 6a, AC 9a , AD 12 a Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 A 4a3 Câu 21 B a3 C 108a3 D 36a3 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân B , AC a , SA ABC , SA a Gọi G là trọng tâm tam giác SBC , mặt phẳng qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần Gọi V là thể tích khối đa diện không chứa đỉnh S Tính V 4a 4a 5a 2a A B C D 27 54 Câu 22 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi E, F , G là trung điểm BC, BD, CD và M , N , P, Q là trọng tâm ABC, ABD, ACD, BCD Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo V A V B V C 2V D V 27 Câu 23 (THPT QG 2017) Cho tứ diện ABCD có thể tích 12 và G là trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp A.GBC A V B V 4 C V D V Câu 24 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng ( M N E ) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, đó khối chứa điểm A có thể tích V Tính V 13 a A 216 2a3 B 216 2a3 C 18 11 a D 216 Câu 25 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V 12 Gọi M , N trung điểm SA, SB; P là điểm thuộc cạnh SC cho PS PC Mặt phẳng MNP cắt cạnh SD Q Tính thể tích khối chóp S.MNPQ A 18 B C D 12 25 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (226) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 26 (CHUYÊN Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2019)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Thể tích khối tứ diện SGCD A 36 B C 36 D 18 Câu 27 Cho khối chóp S ABCD có thể tích 1, đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AD và AD 3BC Gọi M là trung điểm cạnh SA, N là điểm thuộc cạnh CD cho ND NC Mặt phẳng BMN cắt cạnh SD P Thể tích khối chóp A.MBNP A Câu 28 B 12 C 16 D 32 (THPT Ninh Bình-Bạc Liêu-2019) Cho hình hộp ABCD ABC D có thể tích V Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh AB , AC , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP V V A V B C D V 48 48 Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 Trên cạnh SB , SD lấy các điểm M , N cho SM MB , SD 3SN Mặt phẳng AMN cắt SC P Tính thể tích V khối tứ diện SMNP A V Câu 30 B V C V D V CBD 90 ; Ninh 2019) Cho tứ diện có ABCD DAB AB a; AC a 5; ABC 135 Biết góc hai mặt phẳng ABD , BCD 30 Thể (Sở Bắc tích tứ diện ABCD là a3 A Câu 31 a3 B a3 C a3 D (Sở Hà Nam - 2019) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SB N là điểm thuộc cạnh SC cho SN 2CN , P là điểm thuộc cạnh SD cho SP 3DP Mặt phẳng MNP cắt SA Q Biết khối chóp SMNPQ có thể tích Khối đa diện ABCD.QMNP có thể tích A Câu 32 B 17 C D 14 (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho hình chóp S ABC có SA ABC , tam giác ABC đều, AB a , góc SB và mặt phẳng ABC 60 Gọi M , N là trung điểm SA , SB Tính thể tích khối chóp S MNC A a3 B a3 C a3 12 D a3 16 Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA a , SA vuông góc với đáy, mặt phẳng SBC tạo với đáy góc cho tan Gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích khối tứ diện SOGC A a3 36 B a3 C a3 12 D a3 24 Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (227) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 34 Cho khối hộp ABCD ABC D có thể tích V Lấy điểm M MA MA Thể tích khối chóp M ABC A V B V C V 18 thuộc cạnh AA cho D V Câu 35 Cho hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' có thể tích là V Gọi M là trung điểm BB ' , điểm N thuộc cạnh CC ' cho CN 2C ' N Tính thể tích khối chóp A.BCMN theo V 7V 7V V 5V A VA.BCMN B VA.BCMN C VA.BCMN D VA BCMN 12 18 18 Câu 36 (Chuyên Quang Trung - 2018) CSA 60, Cho khối chóp S ABC có ASB BSC SA a, SB 2a, SC 4a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a A Câu 37 8a 2a C 4a D a3 CSA 60 và (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Cho khối chóp S ABC có góc ASB BSC SA , SB , SC Thể tích khối chóp S ABC A 2 Câu 38 B B C D (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 Gọi M , N , P , Q là trọng tâm các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD Tính theo V thể tích khối tứ diện MNPQ A 2017 B 4034 81 C 8068 27 D 2017 27 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD cho SN ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 A V a B V a C V a D V a 12 36 Câu 40 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA 2a Gọi B; D là hình chiếu vuông góc A trên Câu 39 các cạnh SB, SD Mặt phẳng ABD cắt cạnh SC C Tính thể tích khối chóp S AB C D 2a a3 16a a3 B C D 45 Câu 41 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh Trên các cạnh AB và CD lấy các điểm M và N cho MA MB và NC 2 ND Mặt phẳng P chứa A MN và song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V Tính V A V Câu 42 18 B V 11 216 C V 216 D V 108 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy là hình bình hành có thể tích V Lấy điểm B , D là trung điểm cạnh SB và SD Mặt phẳng qua ABD cắt cạnh SC C Khi đó thể tích khối chóp S ABC D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (228) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu 43 V B 2V C V3 D V (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC B , D , C Thể tích khối chóp S ABC D là: A V Câu 44 2a 3 B V 2a C V a3 D V 2a 3 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V Gọi M , N , P , Q là trung điểm AC , AD , BD , BC Thể tích khối chóp AMNPQ là V V V B C (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Cho hình đa diện hình vẽ A Câu 45 D V CSD DSA BSD 60 Thể tích khối Biết SA , SB , SC , SD và ASB BSC đa diện S ABCD là A B C 30 D 10 Câu 46 (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB , N thuộc cạnh SD cho SN ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 A V a3 B V a3 C V a3 D V a 36 12 Câu 47 (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có thể tích 2110 Biết AM MA , DN ND , CP 2C P hình vẽ Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (229) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Câu 48 5275 B 8440 C 7385 18 D 5275 12 (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích V Gọi E là điểm trên cạnh SC cho EC ES Gọi là mặt phẳng chứa AE và song song với BD , cắt SB, SD hai điểm M , N Tính theo V thể tích khối chóp S AMEN 3V V A B Câu 49 C 3V 16 D V (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có thể tích 2110 Biết AM MA ; DN ND ; CP PC Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ D A C B N P M C D A 7385 18 A 5275 B 12 B 8440 C D 5275 Câu 50 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC có thể tích 2018 Gọi M là trung điểm AA ; N , P là các điểm nằm trên các cạnh BB , CC cho BN 2BN , CP 3C P Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP 32288 40360 4036 23207 A B C D 27 27 18 Câu 51 (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC có thể tích 6a Các AM BN CP , điểm M , N , P thuộc các cạnh AA , BB , CC cho AA BB CC Tính thể tích V đa diện ABC.MNP 11 11 11 A V a3 B V a C V a D V a 27 16 18 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (230) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 TỈ SỐ THỂ TÍCH Chuyên đề 13 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH TRUNG BÌNH MỨC 5-6 ĐIỂM PHƯƠNG PHÁP CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcò Vmíi B Cắt đáy Vcò Giao cò IA Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) S Vcò đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện tích, đó ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Công thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác VS MNP SM SN SP VS ABC SA SB SC Công thức trên áp dụng cho hình chóp tam giác, đó nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt Nếu A1 B1C1 D1 ABCD và VS A1 B1C1 D1 SA1 SB1 SC1 SD1 k3 k thì SA SB SC SD VS ABCD Kết đúng trường hợp đáy là n − giác Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (231) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5 V V Ví dụ: V A ' B ' BC V 2V ; VA' B ' ABC 3 B Mặt phẳng cắt các cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 và V là thể tích phần trên, phần và lăng trụ Giả sử AM CN BP m, n, p AA ' CC ' BB ' mn p V Khi đó: V2 Khi M A ', N C thì AM CN 1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V là thể tích khối hộp, V là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V (hai đường chéo hai mặt phẳng song song) V (trường hợp còn lại) V V V V , V A'C' D' D B Mặt phẳng cắt các cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) DM x xy DD ' V V2 BP y BB ' Ví dụ: VA ' C ' BD Dạng Tỉ số thể tích khối chóp tam giác Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P là trung điểm SA, SB, SC Tỉ số thể tích VS ABC VS MNP Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (232) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 12 Ta có Câu B C Lời giải D VS ABC SA SB SC 2.2.2 , suy đáp án C VS MNP SM SN SP (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện MNPQ Gọi I ; J ; K là trung điểm các cạnh MN ; MP ; MQ Tỉ số thể tích A B VMIJK VMNPQ Lời giải C D Chọn D Ta có: Câu VM IJK VM NPQ MI MJ MK 1 1 MN MP MQ 2 (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD Gọi A , B , C , D theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S.ABC D và S ABCD A 16 B C D Lời giải Chọn C Ta có Và VS.BDC SB SD SC V S BDC VS BDC SB SD SC VS ABCD 16 Suy Câu VS ABD SA SB SD V S ABD VS ABD SA SB SD VS ABCD 16 VS ABD VS.BDC V 1 1 S ABC D VS ABCD VS ABCD 16 16 VS ABCD Cho hình chóp S ABC Gọi M , N , P theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC Tính tỉ số thể tích khối chóp S MNP và S ABC A B C 16 D Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (233) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn B Ta có Câu VS MNP SM SN SP VS ABC SA SB SC (SGD Hưng Yên 2019) Cho khối chóp S ABC có thể tích V Gọi B, C là trung điểm AB, AC Tính theo V thể tích khối chóp S ABC A V B V V 12 Lời giải C D V Chọn D Ta có tỷ số thể tích Câu VA.SBC AB AC 1 1 Do đó VA.SBC VA.SBC hay VS ABC V VA.SBC AB AC 2 4 (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S.ABCD , gọi I , J , K , H là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 B C D Lời giải Chọn B Ta có: VS ABC SA SB SC VS ABC 8VS IJK VS IJK SI SJ SK VS ACD SA SC SD VS ACD 8VS IKH VS IKH SI SK SH Do đó: VS ABCD 8VS IJKH Câu Cho hình chóp S ABC , trên các tia SA , SB , SC lấy các điểm A ' , B ' , C ' Gọi V1 , V2 là thể tích khối chóp S ABC và S A ' B ' C ' Khẳng định nào sau đây là đúng? A V1 V SA SB ' SC SB SC B V2 SA ' SB SC ' V2 SB ' SC ' C V1 SA SB V2 SA ' SB ' D V1 SA SB SC V2 SA ' SB ' SC ' Lời giải Chọn D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (234) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Theo công thức tỉ số thể tích ta có Câu V1 SA SB SC V2 SA ' SB ' SC ' (Gia Lai 2019) Cho khối chóp SABC có thể tích 5a Trên các cạnh SB , SC lấy các điểm M và N cho SM 3MB , SN NC (tham khảo hình vẽ) Tính thể tích V khối chóp AMNCB 3 A V a3 B V a C V a3 D V 2a3 Lời giải Chọn D Gọi V1 là thể tích khối chóp SAMN và Vo là thể tích khối chóp SABC Theo công thức tỷ lệ thể tích ta có: V1 SM SN Vo SB SC 5 V là thể tích khối chóp AMNCB ta có V V1 V0 2 Vậy V V0 5a 2a3 5 Câu Nếu hình chóp tứ giác có chiều cao và cạnh đáy cùng tăng lên lần thì thể tích nó tăng lên bao nhiêu lần? A lần B lần C lần D lần Lời giải Chọn D h a Gọi h , a là chiều cao và cạnh đáy hình chóp tứ giác Thể tích khối chóp tứ giác là V a h Khi tăng chiều cao và cạnh đáy lên lần thì ta khối chóp tứ giác có thể tích là 1 V 2a 2h a h 8V 3 Vậy thể tích khối chóp tăng lên lần Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (235) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 10 Trên ba cạnh OA, OB, OC khối chóp O ABC lấy các điểm A, B, C cho 2OA OA, 4OB OB và 3OC OC Tỉ số thể tích hai khối chóp O ABC và O ABC là 1 1 A B C D 12 24 32 16 Lời giải Chọn B VO A ' BC OA OB OC 1 1 VO ABC OA OB OC 24 Câu 11 Cho khối chóp SAB.C , M là trung điểm SA Tỉ số thể tích A B C VM ABC VS ABC D Lời giải Chọn B Ta có Câu 12 VS MBC SM VM ABC VS ABC SA VS ABC (THPT Hoa Lư A - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V và điểm E trên cạnh AB cho AE 3EB Tính thể tích khối tứ diện EBCD theo V V V V V A B C D Lời giải A E B D C VB ECD BE AC AD 1 VB.ECD VE BCD V VA BCD BA AC AD 4 Câu 13 (Chuyên Vinh - 2018) Cho khối chóp S ABCD có thể tích V Các điểm A , B , C tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SB , SC Thể tích khối chóp S ABC V V V V A B C D 16 Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (236) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 V SA SB SC V VS ABC Ta có S ABC VS ABC SA SB SC 8 Câu 14 (THPT Cao Bá Quát - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh a Trên các cạnh AB , AC lần a 2a lượt lấy các điểm B ', C ' cho AB ' , AC ' Tỉ số thể tích khối tứ diện AB ' C ' D và khối tứ diện ABCD là 1 1 A B C D Lời giải Ta có: VAB 'C ' D AB ' AC ' VABCD AB AC A B' C' B C D Dạng Tỉ số khối lăng trụ Câu (Sở Nam Định - 2019) Cho khối lăng trụ ABC.ABC có thể tích V Tính thể tích khối đa diện BAAC C 3V 2V V V A B C D 4 Lời giải Chọn B Mặt phẳng BAC chia khối lăng trụ ABC.ABC thành hai khối: B AACC và B ABC VB AACC VABC ABC VB ABC Khối chóp B ABC và khối lăng trụ có chung đáy và chung chiều cao VB ABC V 2V VBAAC C V V 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (237) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho lăng trụ ABC ABC , M là trung điểm CC Mặt phẳng ABM chia khối lăng trụ thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A B V1 V2 Lời giải C D V1 là thể tích khối lăng trụ chứa đỉnh C tức là V1 VM ABC S ABC MC V2 là thể tích khối đa diện còn lại V2 VABC ABC V1 S ABC CC S ABC CC S ABC CC 6 Khi đó ta có tỉ số 1 S MC S ABC CC V1 ABC 5 V2 S ABC CC S ABC CC 6 Câu Khối lăng trụ ABC ABC có thể tích Mặt phẳng ABC chia khối lăng trụ thành khối chóp tam giác và khối chóp tứ giác có thể tích là A và B và C và D và Lời giải Chọn A +) Thể tích khôi lăng trụ là: VABC ABC d B, ABC S ABC +) Thể tích khối chóp tam giác B ABC là: 1 VB ABC d B, ABC S ABC VABC ABC 3 Vậy thể tích khối chóp tứ giác B ACC A là: VB ACC A VABC ABC VB ABC Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (238) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu Cho khối lăng trụ tam giác ABC AB C có thể tích V Gọi M là trung điểm cạnh CC Mặt phẳng MAB chia khối lăng trụ thành hai phần có tỉ số k Tìm k ? A B Lời giải C D Chọn C Ta có V d C, ABC S ABC 1 Khi đó VM ABC d M , ABC S ABC d C , ABC S ABC V VABM ABC V 6 V Vậy k M ABC VABM ABC Câu (THPT Thăng Long 2019) Một khối lăng trụ tứ giác có thể tích là Nếu gấp đôi các cạnh đáy đồng thời giảm chiều cao khối lăng trụ này hai lần thì khối lăng trụ có thể tích là: A B C 16 D Lời giải Chọn A Giả sử khối lăng trụ tứ giác có độ dài cạnh đáy là a và chiều cao là h Khi đó thể tích khối lăng trụ tứ giác tính công thức V B.h a h Nếu gấp đôi các cạnh đáy thì diện tích đáy B ' 4a2 Giảm chiều cao hai lần nên chiều cao h h h ' Vì thể tích khối lăng trụ là: V B '.h ' 4a 2a h 2 Câu Biết khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có thể tích V Nếu tăng cạnh hình hộp đó lên gấp hai lần thì thể tích khối hộp là: A 8V B 4V C 2V D 16V Lời giải Chọn A Ta có tăng cạnh khối hộp lên hai lần thì ta khối hộp đồng dạng với khối hộp cũ theo tỉ số Do đó thể tích khối hộp V 8V Câu Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có M là trung điểm AA Tỉ số thể tích A B 12 Lời giải C D VM ABC VABC ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (239) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A' Chọn A C' B' Ta có: VABC ABC AA.S ABC M 1 1 AM S ABC AA.S ABC VABC ABC 3 V M ABC VABC ABC VM ABC A C B Câu (HKI-NK HCM-2019) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có thể tích là V Gọi M là trung điểm cạnh AA Khi đó thể tích khối chóp M BCCB là V 2V V V A B C D 3 Lời giải Chọn B Vì AA // BBCC nên d M , BBC C d A, BBC C suy VM BBC C VA.BBC C Mà VA.BBC C VABC ABC VAABC V V V 3 Vậy VM BBC C V Câu (THPT Hoàng Hoa Thám - Hưng Yên 2019) Cho lăng trụ ABC ABC Biết diện tích mặt bên ABBA 15, khoảng cách từ điểm C đến ABBA Tính thể tích khối lăng trụ ABC.ABC A 30 B 45 C 60 Lời giải D 90 Chọn B 1 Ta có VC ABBA d C; ABBA S ABBA 6.15 30 3 Mà VC ABBA VABC ABC VABC ABC VC ABBA 45 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (240) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 10 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho khối lăng trụ ABC ABC có thể tích V Tính thể tích khối đa diện ABCBC V V 3V 2V A B C D 4 Lời giải Chọn D Gọi chiều cao lăng trụ là h , S ABC S ABC S Khi đó V S h 1 Ta có VA ABC S h V VABCBC V 3 Câu 11 Cho hình hộp ABCD A ' B ' C ' D ' có I là giao điểm AC và BD Gọi V1 và V là thể tích các khối ABCD A ' B ' C ' D ' và I A ' B ' C ' Tính tỉ số A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 V1 V2 D V1 V2 Lời giải Chọn A C B I A D B' C' A' D' Ta có: V1 AA '.S A ' B ' C ' D ' V 1 1 V2 d I ; A ' B ' C ' S A ' B 'C ' d A; A ' B ' C ' S A ' B ' C 'D' AA '.S A ' B 'C ' D ' V1 3 6 V2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (241) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 13 TỈ SỐ THỂ TÍCH VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ – GIỎI MỨC 7-8-9-10 ĐIỂM LÝ THUYẾT CHUNG Kỹ thuật chuyển đỉnh A Song song đáy Vcò Vmíi B Cắt đáy Vcò Giao cò IA Vmíi Giao míi IB Kỹ thuật chuyển đáy (đường cao không đổi) S Vcò đÊy Vmíi SđÊy míi - Để kỹ thuật chuyển đáy thuận lợi, ta nên chọn hai đáy có cùng công thức tính diện tích, đó ta dễ dàng so sánh tỉ số - Cả hai kỹ thuật nhằm mục đích chuyển đa diện ban đầu đa diện khác dễ tính thể tích Tỉ số diện tích hai tam giác SOMN OM.ON SAPQ OP.OQ Tỉ số thể tích khối chóp A Công thức tỉ số thể tích hình chóp tam giác Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (242) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VS MNP SM SN SP VS ABC SA SB SC Công thức trên áp dụng cho hình chóp tam giác, đó nhiều trường hợp ta cần hoạt phân chia hình chóp đã cho thành nhiều hình chóp tam giác khác áp dụng B Một số trường hợp đặc biệt VS A1B1C1D1 SA SB SC SD Nếu A1 B1C1 D1 ABCD và k thì k3 SA SB SC SD VS ABCD Kết đúng trường hợp đáy là n − giác Tỉ số thể tích khối lăng trụ A Lăng trụ tam giác Gọi V là thể tích khối lăng trụ, V là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ, V 5 là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh lăng trụ Khi đó: V V 5 V V Ví dụ: V A ' B ' BC V 2V ; VA' B ' ABC 3 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (243) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B Mặt phẳng cắt các cạnh bên lăng trụ tam giác Gọi V1 , V2 và V là thể tích phần trên, phần và lăng trụ Giả sử AM CN BP m, n, p AA ' CC ' BB ' mn p V Khi đó: V2 Khi M A ', N C thì AM CN 1, 0 AA ' CC ' Khối hộp A Tỉ số thể tích khối hộp Gọi V là thể tích khối hộp, V là thể tích khối chóp tạo thành từ đỉnh khối hộp Khi đó: V (hai đường chéo hai mặt phẳng song song) V (trường hợp còn lại) V V V V , V A'C ' D' D B Mặt phẳng cắt các cạnh hình hộp (chỉ quan tâm tới hai cạnh đối nhau) Ví dụ: VA ' C ' BD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (244) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 DM x xy DD ' V V2 BP y BB ' Câu (HSG 12-Sở Nam Định-2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V với M , N là trung điểm AB, CD Gọi V1 , V2 là thể tích MNBC và MNDA Tính tỉ lệ A B Lời giải C D V1 V2 V Chọn B Vì M , N là trung điểm AB, CD nên ta có: d A, MCD d B, MCD ; d C, NAB d D, NAB , đó: V V V ; V1 VMNBC VC.MNB VD.MNB B.MCD ; 2 V V V2 VMNAD VD.MNA VC.MNA A.MCD V V V1 V2 4 V V VA.MCD VB.MCD Câu (THPT Thuận Thành - Bắc Ninh) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi V M và N là trung điểm các cạnh SA, SC , mặt phẳng ( BMN ) cắt cạnh SD P Tỉ số SBMPN VSABCD : Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (245) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 V A SBMPN VSABCD 16 V B SBMPN VSABCD V C SBMPN VSABCD 12 D VSBMPN VSABCD Lời giải Chọn B Dựng SO MN I , SI SD P , OE / / BP ; Khi đó: I là tung điểm MN , SO nên SP SI DE DO ; SE SO DP DP SP SD V SP SM 1 1 SMPB SD SA VSABCD 12 Vậy: SP PE ED VSMPB VSADB VSNPB SP SN 1 V SNPB VSCDB SD SC VSABCD 12 VSBMPN VSBMP VSBPN Câu VSMPNB 1 VSABCD 12 12 Cho tứ diện ABCD Gọi B , C là trung điểm AB và CD Khi đó tỷ số thể tích khối đa diện ABC D và khối tứ diện ABCD 1 1 A B C D Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (246) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: S d B , DC A VABCD VBAC D DC A VABCD VBACD S DCA d B , DCA Câu DC .DA.sin ADC d B , DC A 1 DC.DA.sin ADC d B , DCA 2 Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm SA, SC Mặt phẳng ( BMN ) cắt SD P Tỉ số A VS BMPN VS ABCD 16 B VS BMPN bằng: VS ABCD VS BMPN VS ABCD C VS BMPN VS ABCD 12 D VS BMPN VS ABCD Lời giải Chọn B SM SN SA SC Cách 1: Áp dụng định lý Menelaus cho SOD ta PS BD IO PS PS SP có : 1 1 PD BO IS PD PD SD Cách 2: Kẻ OH // BP , ta có O là trung điểm BD nên H là trung điểm PD Ta có OH // IP mà I là trung điểm SO nên P là trung điểm SH Ta có M , N là trung điểm SA, SC nên Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (247) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SP Suy SP PH HD SD Theo công thức tỉ số thể tích ta có : Câu VS BMPN 2VS BMP SM SP 1 VS ABCD 2VS BAD SA SD Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K , M là trung điểm các đoạn thẳng SA , SB , ( ) là mặt phẳng qua K song song với AC và AM Mặt phẳng ( ) chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện Gọi V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A V1 V2 25 B V1 V2 11 V1 V2 C V1 V2 17 D V1 V2 23 Lời giải Chọn D Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD ; I , H là trung điểm SC , SM Do ( ) / / ( ACM ) nên ( ) cắt ( SAD ), ( SBD ), ( SCD ) KL, HP , IJ cùng song song với OM Ta có VA.KQL VA.SBD VB HQP VB.SAC BH BQ BP 3 27 27 27 27 Suy VB HQP VB SAC V V BS BA BC 2 16 16 16 32 AK AQ AL 1 1 1 1 VA KQL VA.SBD V V 8 16 AS AB AD 2 V 16 27 1 23 Do đó V2 V V V1 V 32 16 16 32 32 Tương tự: VC.IPJ Vậy tỉ số Câu V1 V2 23 (THPT Hai Bà Trưng - Huế - 2019) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Mặt phẳng P qua A và vuông góc với SC cắt SB , SC , SD B, C , D Biết C là trung điểm SC Gọi V1, V2 là thể tích hai khối chóp S ABC D và S ABCD Tính tỷ số A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 V2 V1 V2 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (248) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D Ta có V2 2.VS ABC 2.VS ACD Gọi O AC BD , J SO AC Vì C là trung điểm SC nên J là trọng tâm SAC Vì BD SAC BD SC mà P qua A và vuông góc với SC nên P // BD Trong SBD qua J kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD B , D Ta có SB SD SJ SB SD SO Khi đó Câu V1 VS ABC VS ACD SA SB SC SA SD SC 1 V2 2VS ABC 2VS ACD SA SB SC SA SD SC 3 Cho hình chóp S.ABCD Gọi A, B , C , D theo thứ tự là trung điểm SA, SB , SC , SD Tính tỉ số thể tích hai khối chóp S A B C D và S.ABCD 1 1 A B C D 16 Lời giải Chọn C Ta có: VS ABC SA SB SC VS AD C SA SD SC ; VS ABC SA SB SC VS ADC SA SD SC Mà VS ABCD VS ABC VS ACD , suy VS AB C D VS ABC VS AC D VS ABC VS ACD VS ABCD VS ABCD VS ABCD Câu (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình SM hành, trên cạnh SA lấy điểm M và đặt x Giá trị x để mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp SA đã cho thành hai phần có thể tích là: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (249) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A x B x 1 C x D x 1 Lời giải Chọn B Ta có: BC / / SAD SM SN SAD BMC MN / / BC x SA SD BC BMC VS MBC 2VS MBC SM x VS ABC V SA VS MCN 2VS MCN SM SN x2 VS ACD V SA SD VS MCN VS MBC 2VS MBCN VS MBCN x x 2 x x xx 1 V V V Mặt phẳng ( MBC ) chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích Từ 1 và ta có: x x x Câu VS MNBC V 2 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC Điểm I thuộc đoạn SA Biết mặt phẳng MNI chia khối chọp S.ABCD IA lần phần còn lại Tính tỉ số k ? 13 IS C D thành hai phần, phần chứa đỉnh S có thể tích A B Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (250) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Mặt phẳng MNI cắt khối chóp theo thiết diện hình Đặt VS ABCD V Ta có S APM S BMN d I , ABCD d S , ABCD 1 S S ABC S ABCD APM S ABCD IA k SA k VI APM SAPM d I , ABCD k k VI APM V VS ABCD S ABCD d S , ABCD k 1 k 1 Do MN / / AC IK / / AC IK / / ABCD d I ; ABCD d K ; ABCD Mà S APM S NCQ VI APM VK NCQ k V k 1 Kẻ IH / / SD ( H SD ) hình Ta có : IH AH AI k SD AD AS k IH PH PA AH PA AH 2k 3k ED PD PD PD PD AD 3 k 1 k 1 d E , ABCD ED 3k ED IH ID 3k : d S , ABCD SD 3k SD SD ED 3k S PQD S ABCD V 27 k 27 k E PQD VE PQD V VS ABCD 24k 24k VEIKAMNCD 13 13 V VE PDC VI APM VK NQC V 20 20 27 k k k 13 V V V V 3k 1 k 1 k 1 20 27 k k 13 k 3k 1 k 90o , ASC 120o Mặt phẳng Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có SA 6, SB 2, SC 4, AB 10, SBC P qua B và trung điểm N SC đồng thời vuông góc với SAC cắt SA M Tính tỉ số thể tích k A k VS BMN VS ABC B k C k D k Lời giải Chọn C Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (251) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 S 2 M B D H E N 10 A C o, Ta có: ASB 90o • SA2 SB 62 22 40 AB2 • SBC vuông B BN SC SN NB SB SNB Gọi D là điểm thuộc cạnh SA cho SD , ta có: DB 22 22 DN 22 22 2.2.2.cos120o 12 NB DB2 NB2 DN DNB vuông B • Gọi H, E là trung điểm DN, NB, ta có: NB SE NB SHE NB SH +) NB HE SH DN SH DNB SDN DNB D M SM +) SH NB V SM SN 2 k S BMN VS ABC SA SC 6 Câu 11 (Đề tham khảo 2017) Cho khối tứ diện có thể tích V Gọi V là thể tích khối đa diện V có các đỉnh là các trung điểm các cạnh khối tứ diện đã cho, tính tỉ số V V V V V A B C D V V V V Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (252) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Q P E B F D N M C Cách Đặc biệt hóa tứ diện cho là tứ diện cạnh a Hình đa diện cần tính có cách a cắt góc tứ diện, góc là tứ diện có cạnh V V Do đó thể tích phần cắt bỏ là V 1 (Vì với tứ diện cạnh giảm nửa thì thể tích giảm ) 2 V V Vậy V V Cách Khối đa diện là hai khối chóp tứ giác (giống nhau) có cùng đáy là hình bình hành úp lại 1 Suy ra: V 2VN MEPF 4.VN MEP 4.VP.MNE V V (Do chiều cao giảm nửa, cạnh đáy giảm nửa nên diện tích giảm ) V ' V VA.QEP VB.QMF VC.MNE VD.NPF Cách Ta có V V VA.QEP VB.QMF VC MNE VD.NPF 1 1 1 1 1 1 1 1 V V V V 2 2 2 2 2 2 Câu 12 Cho tứ diện ABCD , trên các cạnh BC, BD, AC lấy các điểm M , N , P cho BN , AC AP Mặt phẳng MNP chia khối tứ diện ABCD thành hai khối V đa diện có thể tích là V1 ,V2 , đó khối đa diện chứa cạnh CD có thể tích là V2 Tính tỉ số V2 BC 3BM , BD A V1 26 V2 19 B V1 26 V2 13 C V1 15 V2 19 D V1 V2 19 Lời giải Chọn A Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (253) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Áp dụng định lí Me-ne-la-uyt ta có : MB ND GC GC 1 4 MC NB GD GD GC FD PA FD 1 GD FA PC FA VDCPMNF VCPMF VCMNF VCNFD và d F , CPM SCPM VCPMF 4 VABCD d D, ABC S ABC 15 d F , CNM SCNM VCNMF 2 VABCD 3 45 d A, CBD SCBD d C , FND S FND VCNDF VABCD d C , ABD S ABD 15 V 4 19 V 45 19 26 VABCD 15 45 15 45 V2 19 19 Câu 13 Cho tứ diện ABCD Xét điểm M trên cạnh AB , điểm N trên cạnh BC , điểm P trên cạnh MB NB PC 3, 4, Gọi V1 ,V2 theo thứ tự là thể tích các khối tứ diện MA NC PD V MNBD và NPAC Tỉ số V2 CD cho A B C D Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (254) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 V1 h1.S1 với h1 d M ; BCD ; S1 SNBD V2 h2 S2 với h2 d A; BCD ; S2 SCNP V1 h1.S1 5 V2 h2 S2 Vì Câu 14 h1 3 S 20 và S1 SBCD ; S2 SBCD SBCD h2 5 25 S2 (SGD Điện Biên - 2019) Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M, N là hai điểm SM SN nằm trên hai cạnh SC, SD cho , , biết G là trọng tâm tam giác SAB Tỉ số thể SC ND V m tích G MND , m, n là các số nguyên dương và m, n Giá trị m n bằng: VS ABCD n A 17 B 19 C 21 D Lời giải Chọn B S M N G D A E B C Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (255) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 + S DMN S SMD S SCD + Gọi E là trung điểm AB 2 d G , DMN d E, DMN d A, DMN d A, SCD 3 VG MND S DMN d G , DMN 1 1 S SCD d A, SCD VS ACD VS ABCD 18 VG MND m n 19 VS ABCD 18 Câu 15 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm SA, SB Mặt phẳng MNCD chia hình chóp đã cho thành hai phần Tỉ số thể tích hai phần là (số bé chia số lớn) 3 A B Lời giải C D Chọn A M N B A D C Gọi thể tích khối chóp S ABCD là V , đó thể tích khối chóp S ABC và S ACD là VS ABC VS ACD V 1 1 VS MNC SM SN SC 1 Ta có , đó VS MNC VS ABC V V 4 VS ABC SA SB SC 2 Ta có VS MCD SM SC SD 1 1 1 1.1 , đó VS MCD VS ACD V V 2 VS ACD SA SC SD 2 1 3 Từ đó VS MNCD VS MNC VS MCD V V V , đó VMNABCD V V V 8 8 V Vậy S MNCD V : V VMNABCD 8 Câu 16 Cho hình chóp S ABCD Gọi M , N , P , Q theo thứ tự là trung điểm SA , SB , SC , SD Gọi V1 , V2 là thể tích hai khối chóp S.MNPQ và S ABCD Tỉ số V1 V2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (256) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 16 B Lời giải C D Chọn B S N M Q A P B D Ta có: VS MNQ VS ABD VS NPQ SN SP SQ SM SN SQ 1 VS MNQ VS ABD ; VS NPQ VS BCD SA SB SD 8 VS BCD SB SC SD 8 Suy ra: V1 VS MNPQ VS MNQ VS NPQ Câu 17 C 1 VS ABD VBCD VS ABCD V2 V1 8 V2 (Hồng Quang - Hải Dương - 2018) Cho hình chóp S ABC , M và N là các điểm thuộc các cạnh SA và SB cho MA SM , SN NB , là mặt phẳng qua MN và song song với SC Mặt phẳng chia khối chóp S ABC thành hai khối đa diện H1 và H với H1 là khối đa diện chứa điểm S , H là khối đa diện chứa điểm A Gọi V1 và V2 là thể tích H1 và H Tính tỉ số A V1 V2 B Lời giải C D Kí hiệu V là thể tích khối tứ diện SABC Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (257) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi P , Q là giao điểm với các đường thẳng BC , AC Ta có NP // MQ // SC Khi chia khối H1 mặt phẳng QNC , ta hai khối chóp N SMQC và N QPC Ta có VN SMQC VB ASC d N , SAC d B, SAC Do đó VN QPC VS ABC Do đó Câu 18 VN SMQC VB ASC d N , SAC S SMQC d B, SAC S SAC S SMQC NS S AMQ AM AQ AM ; BS S ASC S ASC AS AC AS 10 27 d N , QPC SQPC NB CQ CP SB CA CB 3 27 d S , ABC S ABC V1 V V1 VN SMQC VN QPC 10 5V1 4V2 V1 V2 V2 V VB ASC VS ABC 27 27 (THPT Trần Phú - Đà Nẵng - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 60 và SA vuông góc với mặt phẳng ABCD Góc hai mặt phẳng SBD và a , BAD ABCD 45 Gọi M là điểm đối xứng C qua B và N là trung điểm SC Mặt phẳng MND chia khối chóp S ABCD thành hai khối đa diện, đó khối đa diện chứa đỉnh S có thể tích V1 , khối đa diện còn lại có thể tích V2 (tham khảo hình vẽ bên) Tính tỉ số A V1 V2 V1 12 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 V2 Lời giải Goi O AC BD 45 Khi đó góc hai mặt phẳng SBD và ABCD 45 SOA BAD AO a a a SA AO.tan 45 2 a a a3 Thể tích khối chóp S ABCD bằng: V SA.2SABD 4 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (258) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a3 Thể tích khối chóp N MCD thể tích khối chóp N ABCD bằng: V V 16 1 a a a3 Thể tích khối chóp KMIB bằng: V SA.S MBI 3 96 Khi đó: V2 V V Vậy Câu 19 a a 2a a 2a 7a ; V1 V V2 16 96 96 96 96 V1 V2 (THPT Nguyễn Thị Minh Khai - Hà Tĩnh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Mặt phẳng qua A , B và trung điểm M SC Mặt phẳng chia khối chóp đã cho thành hai phần có thể tích là V1 , V2 với V1 V2 Tính A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 V2 V1 V2 Lời giải AB SCD MN // AB // CD Ta có AB // CD cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang ABMN Khi đó ABMN chia hình chóp thành hai đa diện là S ABMN và ABCDNM có thể tích là V1 và V2 Lại có VSABM 1 VSABM VSABC VSABCD VSABC VSAMN 1 VSAMN VSABC VSABCD VSACD Mà V1 VSABM VSAMN VSABCD và V2 VSABCD VSABMN VSABCD 8 Vậy V1 V2 Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (259) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 20 (THPT Kinh Môn - Hải Dương - 2018) Cho tứ diện ABCD cạnh a Mặt phẳng P chứa cạnh BC cắt cạnh AD E Biết góc hai mặt phẳng P và BCD có số đo là thỏa mãn tan Tính tỉ số A Gọi thể tích hai tứ diện ABCE và tứ diện BCDE là V1 và V2 V1 V2 B C D Lời giải Gọi H , I là hình chiếu vuông góc A , E trên mặt phẳng BCD Khi đó H , I DM với M là trung điểm BC Ta tính AH a a a , DH , MH 3 Khi đó tan EI Ta có góc P với BCD P , BCD EMD MI a x DE AH x EI DE EI DI AD a Gọi DE x AD AH DH a x DE.DH x 3 DI AD a Khi đó MI DM DI a x x 5 EI Vậy tan x a MI a x Khi đó: VDBCE DE V ABCE VABCD AD VBCDE Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (260) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 21 (Thpt Tứ Kỳ - Hải Dương - 2018) Cho khối chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC , mặt phẳng P chứa AM và song song BD chia khối chóp thành hai khối đa diện, đặt V1 là thể tích khối đa diện có chứa đỉnh S và V2 là thể tích khối đa diện có chứa đáy ABCD Tỉ số A V2 V1 V2 là: V1 B V2 V1 C V2 V1 D V2 V1 Lời giải Đặt VS ABCD V Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Gọi I là giao điểm SO và AM Do P //BD nên P cắt mặt phẳng SBD theo giao tuyến NP qua I và song song với BD ; N SB; P SD Xét tam giác SAC có I là giao điểm hai trung tuyến nên I là trọng tâm Ta có VS APN SP.SN 2 4 VS APN VS ADB V V VS ADB SD.SB 3 9 9 Tương tự VS PMN SP.SM SN 2 2 1 = VS PMN VS DCB V V VS DCB SD.SC.SB 3 9 9 V Từ đó V1 VS APN VS PMN V Do đó V1 Câu 22 (THPT Lý Thái Tổ - Bắc Ninh - 2018) Cho điểm M nằm trên cạnh SA , điểm N nằm trên SM SN , Mặt phẳng qua MN và cạnh SB hình chóp tam giác S ABC cho MA NB song song với SC chia khối chóp thành phần Gọi V1 là thể tích khối đa diện chứa A , V2 là thể tích khối đa diện còn lại Tính tỉ số A V1 V2 B V1 V2 V1 ? V2 C V1 V2 D V1 V2 Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (261) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải - Trong mặt phẳng SAC dựng MP song song với SC cắt AC P Trong mặt phẳng SBC dựng NQ song song với SC cắt BC Q Gọi D là giao điểm MN và PQ Dựng ME song song với AB cắt SB E (như hình vẽ) SE SM 1 SN NE NB SB - Ta thấy: SB SA 3 Suy N là trung điểm BE và DM , đồng thời DB ME DB DN AB , DA DM DQ DN DP DM - Nhận thấy: V1 VD AMP VD BNQ Do NQ / / MP VD BNQ VD AMP 15 15 DB DN DQ 1 1 VD BNQ VD AMP V1 VD AMP VM ADP 16 16 16 DA DM DP 2 16 - Do NQ / / SC d N ; DB QB QB NB 1 d Q; DB d C; AB CB SB 3 d C ; AB CB 1 1 SQDB d Q; DB DB d C; AB AB SCAB S ADP S ABC 2 3 9 Và d M ; ADP d S ; ABC 1 16 VM ADP d M ; ADP S ADP d S ; ABC S ABC VS ABC 3 27 15 16 V1 VS ABC VS ABC V2 VS ABC V1 VS ABC 16 27 9 V Vậy V2 Câu 23 (Chuyên KHTN - 2018) Cho khối chóp tứ giác S ABCD Mặt phẳng qua trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD chia khối chóp thành hai phần có thể tích là V1 và V2 V1 V2 Tính tỉ lệ V1 V2 A 27 B 16 81 C 19 D 16 75 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (262) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Cách Gọi G1 , G2 , G3 là trọng tâm các tam giác SAB , SAC , SAD Ta có G1G2G3 || ABCD Gọi G1G2G3 cắt SA, SB , SC , SD theo thứ tự A, B, C , D , ta có S ABCD đồng 8 V1 27 dạng với S ABCD theo tỉ số k suy VS ABC D VS ABCD 27 V2 19 27 Cách VS ABCD VS ABC VS ACD VS A ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' 8 VS A ' B 'C ' VS ABC VS ABC SA SB SC 27 27 VS A 'C'D' SA ' SC ' SD ' 8 VS A 'C'D' VS ACD VS ACD SA SC SD 27 27 VS A ' B 'C ' D ' VS A ' B 'C ' VS A 'C'D' 8 V 27 VS ABCD 27 V2 19 27 Câu 24 Cho lăng trụ ABC ABC Trên các cạnh AA, BB lấy các điểm E, F cho AA kAE, BB kBF Mặt phẳng C EF chia khối lăng trụ đã cho thành hai khối đa diện bao gồm khối chóp C ABFE có thể tích V1 và khối đa diện ABCEFC có thể tích V2 Biết V1 , tìm k V2 A k B k C k Lời giải D k Chọn B Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (263) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: AA kAE BB kBF S ABFE VC ABFE VC ABBA S ABBA k ; k 2 VC ABBA VABC ABC VC ABFE VABC ABC VABCEFC 1 VABC ABC 3k 3k VC ABFE 14 3k 1 k VABCEFC 3k 3k 1 3k Câu 25 Cho khối đa diện hình vẽ bên Trong đó ABC A ' B ' C ' là khối lăng trụ tam giác có tất các cạnh 1, S ABC là khối chóp tam giác có cạnh bên SA Mặt phẳng SA ' B ' chia khối đa diện đã cho thành hai phần Gọi V1 là thể tích phần khối đa diện chứa đỉnh A , V2 là thể tích phần khối đa diện không chứa đỉnh A Mệnh đề nào sau đây đúng? A 72V1 5V2 B 3V1 V2 C 24V1 5V2 D 4V1 5V2 Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (264) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dựng thiết diện SMA ' B ' N tạo mặt phẳng SA ' B ' và khối đa diện đã cho hình vẽ 2 3 SG SC GC ; GD G ' D ' CD GK G ' D ' ; 3 24 2 DK GD GK 3 3 ; MN 24 Gọi V là thể tích toàn khối đa diện: V VABC A ' B 'C ' VS A ' B 'C ' 1 1 3 18 1 3 VB ' ABNM BB '.S ABNM 1 3 192 1 1 VB ' AA ' M d B;( ACC ' A ').S AA ' M 3 2 48 1 1 3 VS ABNM SG.S ABNM 1 3 576 V1 3 5 5 => V2 V V1 192 48 576 72 18 72 24 Suy 3V1 V2 Câu 26 Cho khối lăng trụ đứng tam giác ABC.ABC Gọi M , N , P, Q là các điểm thuộc AA , AM BN CN CQ , , , Gọi V1 , V2 là thể tích AA , BB , CC , BC thỏa mãn AA ' BB ' CC ' CB V khối tứ diện MNPQ và ABC ABC Tính tỷ số V2 A V1 11 V2 30 B V1 11 V2 45 C V1 19 V2 45 D V1 22 V2 45 Lời giải Chọn B Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (265) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SC PQ SC BC S BNQ S BBC C Q C P 3 SCPQ SCBBC C B C C 20 40 BQ BN S BNQ SCBBC BC BB 15 15 S NPCB SCBBC Suy ra, BN CP BB CC S NPQ SC BBC 1 11 1 S NPCB SCBBC 24 24 SC QP S BNQ SCPNB S BBC C 11 1 40 15 24 30 Mặt khác AM // CC nên d A, BBC C d M , ( BBC C ) 11 11 VA BBCC VABC ABC 30 30 V 11 Vậy V2 45 VM NPQ Câu 27 (Chuyên Ngữ - Hà Nội - 2018) Cho hình lăng trụ VABC ABC Gọi M , N , P là các điểm thuộc các cạnh AA , BB , CC cho AM 2MA , NB NB , PC PC Gọi V1 , V2 là thể tích hai khối đa diện ABCMNP và ABC MNP Tính tỉ số A V1 V2 B V1 V2 C V1 V2 D V1 V2 V1 V2 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (266) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi V là thể tích khối lăng trụ ABC ABC Ta có V1 VM ABC VM BCPN 1 2 VM ABC S ABC d M , ABC S ABC d A, ABC V 3 1 1 VM ABC S ABC d M , ABC S ABC d M , ABC V 3 Do BCC B là hình bình hành và NB NB , PC PC nên S BC PN S BCPN Suy VM BC PN VM BCPN , Từ đó V VM ABC VM BCPN VM ABC VM BCPN V V VM BCPN V VM BCPN VM BCPN V 9 18 V 1 Như V1 V V V V2 V Bởi vậy: V2 18 2 Dạng Ứng dụng tỉ số thể tích để tính thể tích Câu (Đề minh họa lần 2017) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC và AD đôi vuông góc với nhau; AB 6a , AC a và AD 4a Gọi M , N , P tương ứng là trung điểm các cạnh BC , C D , DB Tính thể tích V tứ diện AMNP 28 A V a B V 14a3 C V a D V 7a3 Lời giải Chọn D 1 AB AD AC 6a.7 a.4a 28a 3 1 Ta nhận thấy S MNP S MNPD S BCD VAMNP VABCD a 4 Ta có VABCD Câu (THPT Thăng Long 2019) Cho hình chóp S.ABCD , gọi I , J , K , H là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD Tính thể tích khối chóp S.ABCD biết thể tích khối chóp S IJKH A 16 B C D Lời giải Chọn B Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (267) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có: VS ABC SA SB SC VS ABC 8VS IJK VS IJK SI SJ SK VS ACD SA SC SD VS ACD 8VS IKH VS IKH SI SK SH Do đó: VS ABCD 8VS IJKH Câu Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a Mặt bên tạo với đáy góc 600 Gọi K là hình chiếu vuông góc O trên SD Tính theo a thể tích khối tứ diện DKAC A V 4a 3 15 B V 4a 3 C V 2a 3 15 D V a 3 Lời giải Chọn A + Gọi E là trung điểm AB , O là tâm hình vuông ABCD OE AB SO AB AB SOE SEO 600 góc mặt bên SAB và mặt đáy ABCD là SEO v SEO : tan 600 SO SO OE.tan 60 a OE a SO SK + v SOD có đường cao OK SO SK SD 2 SD SD 3a 2a KD SD d K , ABCD KD 2 2a d K , ABCD SO 5 d S , ABCD SD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (268) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 1 2a 2a 4a 3 d K , ABCD .SACD 3 15 Vậy VDKAC Câu (Chuyên - KHTN - Hà Nội - 2019) Cho khối chóp S ABCD có thể tích 32 Gọi M , N , P , Q là trung điểm SA , SB , SC , SD Thể tích khối chóp S MNPQ A 16 B C Lời giải D Chọn C Ta có VS MNP SM SN SP VS MNP VS ABC VS ABC SA SB SC VS MPQ VS ACD SM SP SQ VS MPQ VS ACD SA SC SD Do đó VS MNPQ VS MNP VS MPQ 1 VS ABC VS ACD VS ABCD 8 Vậy VS MNPQ Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi Gọi D là trung điểm SD , mặt phẳng chứa BD và song song với AC cắt các cạnh SA , SC A và C Biết thể tích khối chóp S ABCD , tính thể tích V khối chóp S ABCD A V B V C V D V 2 Lời giải Chọn D Gọi O là tâm hình bình hành đáy và I SO BD Mặt phẳng nói đến qua I và song song AC nên cắt SAC theo giao tuyến là đường thẳng AC qua I và song song AC (với A SA , C SC ) I là trọng tâm tam giác SBD nên SA SC SI SA SC SO Ta có : Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (269) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VS ABD SA SD 1 VS ABD V V SA SD 3 S ABD VS ABC D VS ABD VS BCD V VS BC D SC SD V V S BC D VS BCD SC SD 3 V 3VS ABCD Câu Cho tứ diện ABCD có thể tích Gọi M , N , P là trọng tâm tam giác ABC , ACD , ABD Tính thể tích tứ diện AMNP A B 27 Lời giải C D 27 Chọn D Gọi E , F , G là trung điểm BC , CD và DB Ta có S EFG 1 S BCD VA.GEF VA.BCD 4 VAMNP AM AN AP 2 8 VAMNP VAEFG VAEFG AE AF AG 3 27 27 27 Câu (Sở Cần Thơ - 2019) Cho khối chóp S.ABCD có thể tích 18, đáy ABCD là hình bình hành Điểm M thuộc cạnh SD cho SM 2MD Mặt phẳng ABM cắt đường thẳng SC N Thể tích khối chóp S ABNM A B 10 C 12 Lời giải D Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 (270) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Mặt phẳng MAB và mặt phẳng SCD có chung điểm M và chứa hai đường thẳng song song AB và CD nên MN // AB // CD Vì ABCD là hình bình hành nên VS ABD VS BDC VS ABCD Ta có: VM ABD d M ; ABD MD VM ABD VS ABM VS ABD SD d S ; ABD VS BMN VB.SMN SM SN 2 VS BMN VS BDC VB.SDC SD.SC 3 VS ABNM VS ABM VS BMN 10 Chú ý: Có thể áp dụng công thức tỉ số tích và tính sau: Ta có: VS ABM SM 2 VS ABM VS ABD VS ABD SD 3 VS BMN SM SN 2 4 VS BMN VS BDC VS BDC SD SC 3 9 VS ABNM VS ABM VS BMN 10 Câu Cho khối lăng trụ ABC ABC Điểm M thuộc cạnh AB cho AB AM Đường thẳng BM cắt đường thẳng AA F , và đường thẳng CF cắt đường thẳng AC G , Tính tỉ số thể tích khối chóp FAMG và thể tích khối đa diện lồi GMBC CB 1 A B C D 11 27 22 28 Lời giải Chọn D Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (271) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 GM AM 1 S AMG S ABC C B AB Gọi h là chiều cao lăng trụ ABC ABC , V là thể tích khối lăng trụ ABC ABC Ta có V S ABC h Ta có GM // C B h S ABC S AMG S ABC S AMG 13 h 1 13 S ABC S ABC S ABC S ABC S ABC h V 3 9 27 27 14 VGMBCCB V VAMG ABC V 27 Mặt khác ta có FG GM FA FG FM VFAGM FA FG FM VFACB FA FC FB 27 FC CB FA FC FB VAMG ABC 1 1 VFACB VAMG ABC VFAGM VFAGM VAMG ABC V 27 27 26 54 V Vậy FAGM VAMG ABC 28 VFAGM Câu (Sở GD Nam Định 2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V , hai điểm M và P là trung điểm AB, CD ; điểm N thuộc đoạn AD cho AD AN Tính thể tích tứ diện BMNP A V B V 12 C V D V Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 (272) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A N M D B P C Ta có: MB AB AD 1 , AN d N , AB d D, AB SNMB SDAB 3 CD d P, MNB d C , ABD 2 1 1 VP.MNB d P, MNB SMNB d C , ABD SABD V 3 12 DP Câu 10 (Nguyễn Huệ- Ninh Bình 2019)Cho hình chóp S.ABCD có thể tích 48 và ABCD là hình thoi Các điểm M , N , P , Q là các điểm trên các đoạn SA , SB , SC , SD thỏa mãn SA 2SM , SB 3SN , SC 4SP , SD SQ Tính thể tích khối đa diện S MNPQ A B C D 5 5 Lời giải Chọn D Ta có ABCD là hình thoi nên S ACD S ABC Suy VS ACD VS ABC VS ABCD 24 VS MPQ SM SP SQ 1 * VS MPQ VS ACD SA SC SD * VS MNP SM SN SP 1 VSMNP VS ABC SA SB SC Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (273) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy VS MNPQ VS MPQ VS MNP Câu 11 Cho khối chóp S.ABC có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Gọi M là trung điểm SB , N là điểm trên đoạn SC cho NS NC Thể tích khối chóp A.BCNM A a 11 18 Chọn B a 11 24 a 11 36 Lời giải C D a 11 16 A Gọi O là trọng tâm tam giác ABC Khi đó BO 2a a BI 3 Khối chóp S ABC và O là trọng tâm tam giác ABC lên SO ABC SO OB SOB vuông O SO SB OB 4a 3a a 33 1 a 33 a a 11 VS ABC SO.S ABC a 3 2 12 V SM SN 1 Ta có S AMN VS AMN VS ABC VS ABC SB SC 3 2 a 11 a 11 VA.BCNM VS ABC VS AMN VS ABC VS ABC VS ABC 3 12 18 Câu 12 Cho hình chóp S ABC có SA 2a , SB 3a , SC 4a và ASB BSC 60 , ASC 90 Tính thể tích V khối chóp S.ABC A V 2a B V 2a3 C V 4a D V a3 Lời giải Chọn B Trên SA , SB , SC lấy các điểm A , B , C cho SA SB SC a , suy ra: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 (274) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VS AB C VS ABC SA SB SC 1 1 VS ABC 24VS AB C SA SB SC 24 (vì SA 2a SA , SB 3a 3SB , SC 4a SC ) 60 và SA SB a suy hai tam giác SA B , SB C và Theo giả thiết ASB BSC AB B C a ASC 90 và SA SC a nên tam giác A SC ' vuông cân S , đó AC a Gọi H là trung điểm AC thì SH a và SH A C 1 Tam giác A ' B C cân B nên trung tuyến, là đường cao B H Xét tam giác SHB có SH HB a 2a 2 a a suy SH HB 2 4 Từ 1 , 2 suy SH AB C , nên SH là chiều cao khối chóp S ABC Thể tích khối chóp S ABC là: 1 a a a a3 VS AB C SH SAB C A C B H a 3 2 12 12 Suy VS ABC 24VS AB C 24 Câu 13 a3 2a 12 (THPT Cẩm Bình Hà Tỉnh 2019) Cho hình chóp S ABCD, có đáy và cạnh bên a Gọi M , N là trung điểm các cạnh SB , SD Mặt phẳng ( AMN ) chia khối chóp thành hai phần có thể tích V1 ,V2 với V1 V2 Ta có V2 A a3 18 B 5a3 8a3 15 Lời giải C D a3 Chọn B Gọi O AC BD, I SO MN , P AI SC Khi đó I là trung điểm SO Gọi Q là trung điểm CP IP / / OQ P là trung điểm SQ SP PQ QC Ta có VS AMP SM SP 1 VS AMPN 1 V1 VS ABCD , V2 VS ABCD (vì V1 V2 ) 6 VS ABC SB SC VS ABCD Mặt khác SO SA2 AO2 2a a a 5 Do đó V2 a.2a a Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (275) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 Cho tứ diện ABCD có AB 1; AC 2; AD và BAC CAD DAB 60 Tính thể tích V khối tứ diện ABCD A V B V C V D V 12 Lời giải Chọn A Do AB AC AD nên chọn E AC , AE 1, F AD , AF CAD DAB 60 (giả thiết) Ta có BAC Suy tứ diện ABEF là tứ diện cạnh Ta có VABEF Mặt khác ta có Từ đó VABCD 12 VABCD AB AC AD 1.2.3 6 VABEF AB AE AF 1.1.1 nên chọn đáp án A Câu 15 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân B , AC a SA vuông góc với mặt phẳng ABC và SA a Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Một mặt phẳng qua hai điểm A , G và song song với BC cắt SB , SC B và C Thể tích khối chóp S ABC bằng: A 2a 27 B a3 4a 27 Lời giải C D 2a Chọn A S N a B' G A B C' M a C Gọi M , N là trung điểm đoạn thẳng BC , SB Khi đó, G SM CN Đặt BA BC x Theo định lý Pitago tam giác ABC vuông B , ta có: AC BA2 BC a x2 x2 x a x a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 (276) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a2 Diện tích tam giác ABC là: S ABC BA.BC 2 1 a2 a3 Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC S ABC SA a 3 Mặt phẳng qua A , G song song với BC cắt SB , SC B , C nên B C // BC Khi đó SB SC SG SB SC SM SA SB SC 2 V Ta lại có: S ABC SA SB SC 3 VS ABC ta có 4 a 2a Suy ra, VS ABC VS ABC 9 27 Câu 16 Một viên đá có dạng khối chóp tứ giác với tất các cạnh và a Người ta cưa viên đá đó theo mặt phẳng song song với mặt đáy khối chóp để chia viên đá thành hai phần có thể tích Tính diện tích thiết diện viên đá bị cưa mặt phẳng nói trên A a2 B a2 a2 Lời giải C D 2a Chọn C Gọi khối chóp tứ giác là S ABCD có tất các cạnh a Vì mặt phẳng cắt hình khối chóp song song với đáy nên thiết diện tạo mặt cắt và khối chóp là hình vuông AB C D Giả sử SA SA SB SC SD AB k , ta có k ( định lí Talet ) SA SA SB SC SD AB 1 Theo giả thiết VS ABC D VS ABCD 2VS ABC 2.VS ABC 2 V 1 VS ABC VS ABC S ABC VS ABC 2 Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (277) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SA SB SC 1 AB k k SA SB SC 2 AB 2 AB Câu 17 a a2 a S AB C D 3 3 2 (THPT Yên Dũng 2-Bắc Giang) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB , AC , AD vuông góc với đôi và AB 3a , AC 6a , AD a Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh BC , CD , BD Tính thể tích khối đa diện AMNP A 12a3 B 3a3 C 2a3 Lời giải D a3 Chọn B Ta có: VD APN DP DN VB APM BP BM VC AMN CM CN VD ABC DB DC ; VB ACD BD BC ; VC ABD CB CD 11 11 Mà VAMNP VABCD VDAPN VBAPM VCAMN VABCD AB AC AD 3a.6a.4a 3a 46 46 Câu 18 (HKI-Chuyên Long An-2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có thể tích Gọi M , N SM SN k Tìm giá trị k để thể tích khối chóp là các điểm trên cạnh SB và SD cho SB SD S AMN A k B k C k D k Lời giải Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 (278) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vì đáy ABCD là hình thoi nên S ABD S CBD VS ABD VS ABCD V SA SM SN VS AMN k , Có VS AMN Mặt khác S AMN VS ABD SA SB SD 2 (do k 0) Vậy k Suy k k 4 Câu 19 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích V Lấy điểm A trên cạnh SA cho SA ' SA Mặt phẳng qua A và song song với đáy hình chóp cắt các cạnh SB, SC, SD B’, C’, D’ Tính theo V thể tích khối chóp S.A’B’C’D’? V V V V A B C D 81 27 Lời giải Chọn C Ta có: VS ABC VS ACD V SA ' SB ' SC ' VS ABCD ; S A ' B ' C ' VS ABC SA SB SC 27 VS A 'D'C ' SA ' SD ' SC ' 1 ; VS A ' B ' C 'D' VS A ' B 'C ' VS A 'C 'D' VS ABCD 27 VS ADC SA SD SC 27 Câu 20 (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương) Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi vuông góc với Gọi G1, G2 , G3 và G4 là trọng tâm các tam giác ABC, ABD, ACD và BCD Biết AB 6a, AC 9a , AD 12 a Tính theo a thể tích khối tứ diện G1G2G3G4 Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (279) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 4a3 B a3 C 108a3 D 36a3 Lời giải Chọn A G1G2G3 đồng dạng với ACD theo tỉ số S G1G2G3 Câu 21 và nằm hai mặt phẳng song song 1 S ABD 6a G3G4 / / AB và G3G4 AB 2a VG1G2G3G4 G3G4 SG1G2G3 4a 3 (Chuyên - Vĩnh Phúc - 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân B , AC a , SA ABC , SA a Gọi G là trọng tâm tam giác SBC , mặt phẳng qua AG và song song với BC chia khối chóp thành hai phần Gọi V là thể tích khối đa diện không chứa đỉnh S Tính V A 4a B 4a 27 5a 54 Lời giải C D 2a Chọn C S N a B' G A B C' M a C Trong mặt phẳng SBC kẻ đường thẳng qua G song song với BC , cắt SB , SC B , C Khi đó mặt phẳng trùng với mặt phẳng ABC Gọi M , N là trung điểm đoạn thẳng BC , SB Đặt BA BC x Theo định lý Pitago tam giác ABC vuông B , ta có: AC BA2 BC a x x x2 a2 x a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 39 (280) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 a2 Diện tích tam giác ABC là: S ABC BA.BC 2 1 a2 a3 Thể tích khối chóp S ABC là: VS ABC S ABC SA a 3 SB SC SG Ta lại có: SB SC SM SA SB SC 2 V Suy ra: S ABC SA SB SC 3 VS ABC 4 a 2a Vì thế, VS ABC VS ABC 27 Vậy V VS ABC VS ABC Câu 22 a 2a 5a 27 54 (Chuyên Lam Sơn 2019) Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi E, F , G là trung điểm BC, BD, CD và M , N , P, Q là trọng tâm ABC, ABD, ACD, BCD Tính thể tích khối tứ diện MNPQ theo V A V B V C 2V D V 27 Lời giải Chọn D Ta có ΔMNP ΔEFG và ΔEFG ΔDCB và MN EF EF DC Do đó ΔMNP ΔDCB và MN DC SΔMNP 1 SΔMNP SΔBCD S ΔBCD 9 Mặt khác d Q, MNP d A, BCD Suy VMNPQ V 27 Trang 40 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (281) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 23 (THPT QG 2017) Cho tứ diện ABCD có thể tích 12 và G là trọng tâm tam giác BCD Tính thể tích V khối chóp A.GBC B V A V 4 C V D V Lời giải Chọn B A B D G C Cách 1: Phân tích: tứ diện ABCD và khối chóp AGBC có cùng đường cao là khoảng cách từ A đến mặt phẳng BCD Do G là trọng tâm tam giác BCD nên ta có SBGC SBGD SCGD SBCD 3SBGC (xem phần chứng minh) Áp dụng công thức thể tích hình chóp ta có: VABCD h.S BCD h.S VABCD BCD S BCD 1 V A.GBC V ABCD 12 1 3 VA.GBC h.SGBC SGBC VA.GBC h.S GBC Chứng minh: Đặt DN h; BC a +) MF // ND MF CM 1 h MF DN MF DN CD 2 +) GE // MF GE BG 2 h h GE MF MF BM 3 3 1 S BCD DN BC +) S BCD 3S GBC 1h S GBC GE BC a 23 +) Chứng minh tương tự có SBCD 3SGBD 3SGCD SBGC SBGD SCGD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 41 (282) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Cách 2: Ta có d G; ABC d D; ABC GI 1 d G; ABC d D; ABC DI 3 3 Nên VG ABC d G ; ABC S ABC VDABC Câu 24 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB , BC và E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng ( M N E ) chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, đó khối chứa điểm A có thể tích V Tính V A 13 a 216 B 2a3 216 2a3 18 Lời giải C D 11 a 216 Chọn D Tính thể tích T có khối tứ diện ABCD Gọi F là trung điểm BC và H trọng tâm tam giác BCD Ta có BF a a và BH BF suy BH AB2 BH a 3 Thể tích tứ diện ABCD là T 1 a a3 AH.SBCD a 3 12 Gọi diện tích mặt tứ diện là S Gọi P là giao điểm NE và CD , tương tự cho Q Ta thấy P, Q là trọng tâm các tam giác BEC và BEA nên PD DC , QD AD Sử dụng công thức tỉ số thể tích ta có: Trang 42 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (283) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 V B ACE V 1 T nên VB.ACE 2T ; E.BMN nên V E BMN 2T V B ACD VE BAC 4 Nên V E AMNC V E ABC V B EMN 2T T T Tương tự: V E DPQ V E DCA nên V E DPQ T Nên V ACPQ T T T 9 9 11 11a3 Suy V VE AMNC VE ACPQ T T T 18 216 Câu 25 Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V 12 Gọi M , N trung điểm SA, SB; P là điểm thuộc cạnh SC cho PS PC Mặt phẳng MNP cắt cạnh SD Q Tính thể tích khối chóp S.MNPQ A 18 B C D 12 25 Lời giải Chọn B Ta có PQ / / CD Khi đó ta có: VSMPQ VSACD VSMNP SM SN SP 1 1 VSMNP V VSABC SA SB SC 2 12 2 VSMPQ V 3 9 Vậy VS MNPQ Câu 26 SQ SP SD SC 7 V 36 (CHUYÊN Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình 2019)Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Thể tích khối tứ diện SGCD A 36 B C 36 D 18 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 43 (284) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi O AC BD SO ABCD , I là trung điểm cạnh BC OC 2 SO SC OC VS ABCD SO.S ABCD 2 VS DCI VS ABCD 24 VS DCG SD SC SG 2 2 VS DCG VS DCI VS DCI SD SC SI 3 24 36 Câu 27 Cho khối chóp S ABCD có thể tích 1, đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy lớn là AD và AD 3BC Gọi M là trung điểm cạnh SA, N là điểm thuộc cạnh CD cho ND NC Mặt phẳng BMN cắt cạnh SD P Thể tích khối chóp A.MBNP A B 12 C 16 D 32 Lời giải Chọn A Đặt V VS ABCD Gọi I là giao điểm BN với AD , suy P là giao điểm MI với SD BC DI và ND NC DI 3BC D là trung điểm AI Do đó P là trọng tâm tam giác SAI SP SD 1 1 S BCN S BCD S ABCD S ABCD ; S ADN S NID 9S BCN S ABCD 4 16 16 3 S ABN S ABCD S BCN S ADN S ABCD Suy VS ABN V ; VS ADN V 8 16 Trang 44 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (285) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VS MBN VS MNP 1 VS ABN VA.BMN VS ABN V ; 2 16 1 VS ANP VA.MNP VS ANP VS AND V 2 16 3 Do đó VA.MBNP VA.BMN VA.MNP V 8 Câu 28 (THPT Ninh Bình-Bạc Liêu-2019) Cho hình hộp ABCD ABC D có thể tích V Gọi M , N , P là trung điểm các cạnh AB , AC , BB Tính thể tích khối tứ diện CMNP V V A V B C D V 48 48 Lời giải Chọn C Gọi G CM BD , I PN BD , O AC BD Dễ thấy BP là đường trung bình INO 2 và G là trọng tâm ABC nên BG BO BI 3 VN CMP NP 1 VCMNP VN CMI VN CMI NI 2 Đặt S S ABCD và h là chiều cao khối hộp ABCD ABC D Ta có 5 S BMC d B, MC MC BG SIMC SBMC S S 2 S IMC d I , MC MC IG 1 5 Mà VN IMC SIMC d N , ABCD S.h V 3 24 Vậy VCMNP VN CMI V 48 Câu 29 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích 48 Trên cạnh SB , SD lấy các điểm M , N cho SM MB , SD 3SN Mặt phẳng AMN cắt SC P Tính thể tích V khối tứ diện SMNP A V B V C V D V Lời giải Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 45 (286) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có SB SD SA SC SC SC 1 SM SN SA SP SP SP VS MNP VS MNP SP SM SN 1 1 1 VS MNP VS ABCD VS ABCD VS BCD SC SB SD 48 48 Câu 30 CBD 90 ; ABCD Ninh 2019) Cho tứ diện có DAB AB a; AC a 5; ABC 135 Biết góc hai mặt phẳng ABD , BCD 30 Thể (Sở Bắc tích tứ diện ABCD là A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn D Vẽ AH BCD , H BCD Vẽ HK // BC , K BD , có BD BC HK BD , mà AH BD BD AHK BD AK Nên ABD , BCD AKH 30 Vẽ HM // BD , M BD , có BC BD HM BC , mà AH BC 135 BC AM , có góc ABC Suy ABM 45 (nên B M và C ) ABM 45 ΔAMB vuông M có AB a 2 Tứ giác BKHM là hình chữ nhật, nên BM HK HK a 2a AKH 30 , nên AH , AK AH ΔAHK vuông H có 6 Suy ΔAMB vuông cân B AM MB Trang 46 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (287) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 ΔBAD vuông A có AK là đường cao nên 2 AK AB AD 1 1 2 AD a và BD AB AD a 2 2a a AD AD 2a Có BC CM BM , CM CA2 AM 5a BC Có V 3a a a 2 a a3 1 a 3.a AH S BCD AH BD.BC 6 6 Vậy V Câu 31 a 9a 2 a3 (Sở Hà Nam - 2019) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SB N là điểm thuộc cạnh SC cho SN 2CN , P là điểm thuộc cạnh SD cho SP 3DP Mặt phẳng MNP cắt SA Q Biết khối chóp SMNPQ có thể tích Khối đa diện ABCD.QMNP có thể tích A B 17 C D 14 Lời giải Chọn B SA SC SB SD (Tham khảo bài tập 73 trang 64 SBT Hình 11 nâng cao) SQ SN SM SP SQ Do đó ta có SA 11 VSMNQ SM SN SQ VSMNQ VSABCD Ta có VSBCA SB SC SA 11 11 Ta có Tương tự: VSQPN 22 VSABCD Do đó VSMNQ VSQPN VSABCD VSABCD 22 22 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 47 (288) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Vậy VABCD.QMNP Câu 32 17 (THPT Thăng Long-Hà Nội- 2019) Cho hình chóp S ABC có SA ABC , tam giác ABC đều, AB a , góc SB và mặt phẳng ABC 60 Gọi M , N là trung điểm SA , SB Tính thể tích khối chóp S MNC A a3 B a3 C a3 12 D a3 16 Lời giải Chọn D Ta có: SA ABC AB là hình chiếu SB lên mặt phẳng ABC 60 SB, ABC SB, AB SBA a.tan 60 a SA AB tan SBA 1 a2 a3 VS ABC S ABC SA a 3 4 VS MNC SM SN SC 1 VS ABC SA SB SC 2 1 a3 a3 VS MNC VS ABC 4 16 Câu 33 Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy là hình vuông tâm O , SA a , SA vuông góc với đáy, mặt phẳng SBC tạo với đáy góc cho tan Gọi G là trọng tâm tam giác SCD Tính thể tích khối tứ diện SOGC a3 A 36 a3 B a3 C 12 Lời giải a3 D 24 Chọn A Trang 48 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (289) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BC AB BC SB Ta có: BC SA SBC ( ABCD) BC SBC ; ABCD AB; SB SBA BC AB Như BC SB SA a 6 AB a AB AB Gọi I là trung điểm CD , trọng tâm G tam giác SCD , G thuộc SI Trong tam giác SAB vuông A , tan 1 1 a a a3 Có VS OCI SA.SOIC SA .IO.IC a 3 2 24 Khi đó: VSOGC SG 2 a a3 VSOGC VSOIC VSOIC SI 3 24 36 Câu 34 Cho khối hộp ABCD ABC D có thể tích V Lấy điểm M MA MA Thể tích khối chóp M ABC A V B V V 18 Lời giải C thuộc cạnh AA cho D V Chọn B Thể tích hình hộp là V B h Gọi diện tích tam giác ABC là B , ta có: B B Gọi AH là đường cao hạ từ A xuống mặt phẳng đáy: AH ABCD H , đặt h AH Dựng MK MA 2 gt h h AH AA 3 1 V Gọi V là thể tích hình chóp M ABC , ta có: V B h B h B h 3 9 MK ABCD K , ta có MK // AH và có tỉ số Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 49 (290) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 35 Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có thể tích là V Gọi M là trung điểm BB ' , điểm N thuộc cạnh CC ' cho CN 2C ' N Tính thể tích khối chóp A.BCMN theo V 7V 7V V 5V A VA BCMN B VA BCMN C VA BCMN D VA.BCMN 12 18 18 Lời giải Chọn B Cách 1: 1 Ta có: VB ' BAC d ( B ', ( ABC )).SABC V 3 V BM 1 1 V Theo công thức tỷ số thể tích: B.MAC VB MAC VB B ' AC V VB B ' AC BB ' 2 Ta có: BB ' BM 3 NC BM NC BM d (C , BB ') SBMC SNMC NC.d ( M , CC ') S BCNM V 7 A BCNM SBMC 3 VA BMC 7 V 7V Vậy: VA BCNM VA.BMC 3 18 Cách 2: Gọi h, k là độ dài đường cao hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' và hình chóp A.BCMN , S là diện tích tam giác ABC Trang 50 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (291) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 h độ dài đường cao hình chóp M ABC là: h hS (1) VMABC S h hS Mặt khác: VMABC S k SBCM k SBCM 3 4 Ta có SMNC SBCM (vì tam giác MNC và BCM có cùng chiều cao và CN BM ) 3 1 4 hS 2hS VAMNC k SMNC k SBCM k SBCM (2) 3 9 hS 2hS hS 7V Từ (1) và (2) ta có: VA BCMN VMABC VAMNC 18 18 Câu 36 (Chuyên Quang Trung - 2018) CSA 60, Cho khối chóp S ABC có ASB BSC SA a, SB 2a, SC 4a Tính thể tích khối chóp S ABC theo a A 8a B 2a 4a Lời giải C D a3 SM SB Lấy M SB, N SC thoả mãn: SM SN SA a SN SC CSA 600 S AMN là khối tứ diện cạnh a Theo giả thiết: ASB BSC Do đó: VS AMN Mặt khác : Câu 37 a3 12 VS AMN SM SN 1 2a VS ABC 8VS AMN VS ABC SB SC CSA 60 và (Chuyên Lê Hồng Phong 2018) Cho khối chóp S.ABC có góc ASB BSC SA , SB , SC Thể tích khối chóp S ABC Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 51 (292) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 2 B D C Lời giải S C A O M B C B SB và C trên SC cho SC SC Khi đó SA SB SC S ABC là khối tứ diện Gọi B trên SB cho SB Ta có: AM 2 AO AM 3 Nên SO SA2 AO và S ABC 2 Khi đó VS ABC S ABC SO 3 V SA SB SC Mà ta lại có: S ABC VS ABC 3VS ABC 2 VS ABC SA SB SC Cách khác: SA.SB.SC cos CSB 2cos cosCSB 2 VS ABC cos ASB cos BSC ASB.cos.BSC Câu 38 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2017 Gọi M , N , P , Q là trọng tâm các tam giác ABC , ABD , ACD , BCD Tính theo V thể tích khối tứ diện MNPQ A 2017 B 4034 81 8068 27 Lời giải C D 2017 27 A N P M B D F E Q G C Trang 52 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (293) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 VAEFG S EFG 1 VAEFG VABCD VABCD S BCD 4 ( Do E , F , G là trung điểm BC, BD, CD ) VAMNP SM SN SP 8 VAMNP VAEFG VABCD VABCD 27 27 27 VAEFG SE SE SG 27 Do mặt phẳng MNP // BCD nên VQMNP VAMNP 1 VQMNP VAMNP 2 2017 VQMNP VABCD VABCD 27 27 27 Câu 39 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD cho SN ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 A V a3 B V a C V a3 D V a3 12 36 Lời giải a3 Cách Ta có VS ABCD SA.S ABCD 3 1 a3 VNDAC NH S DAC a a 3 18 1 a a3 VMABC MK S ABC a 3 12 a3 d A, SMN S SMN 18 1 a a3 Suy VNSAM NL.S SAM a a 3 2 18 1 a3 Mặt khác VC SMN d C , SMN S SMN d A, SMN S SMN 3 18 Vậy VACMN VS ABCD VNSAM VNADC VMABC VSCMN a3 a a3 a a 3 a 18 18 12 18 12 S M L A N B O K H D C Cách Gọi O là giao điểm AC và BD a3 Ta có VS ABCD SA.S ABCD Vì OM //SD nên SD // AMC 3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 53 (294) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Do đó d N ; AMC d D; AMC d B; AMC a3 VACMN VN MAC VD.MAC VB.MAC VM BAC VS ABCD 12 1 (do d M ; ABC d S ; ABC và SABC S ABCD ) 2 Câu 40 (Chuyên Quốc Học Huế - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA 2a Gọi B; D là hình chiếu vuông góc A trên các cạnh SB, SD Mặt phẳng ABD cắt cạnh SC C Tính thể tích khối chóp S ABC D A a3 B 16a 45 Ta có VS ABC D 2VS ABC 1 mà a3 Lời giải C D 2a VSABC SB SC * VSABC SB SC SAC vuông A nên SC SA2 AC 2a a 6a suy SC a Ta có BC SAB BC AB và SB AB suy AB SBC nên AB BC Tương tự AD SC Từ đó suy SC ABD ABC D nên SC AC Mà SC .SC SA2 suy SC SA2 4a 2 Ta có SC SC 6a SB SA2 SA2 4a 2 SB SB SA AB 4a a VSABC 8 8 Từ * suy VSABC VSABC VSABCD VSABCD mà VSABC 15 15 15 30 2a VSABCD S ABCD SA 3 2a 8a Suy VSABC 30 45 Từ 1 suy VS ABC D 2VS ABC 16a 45 Trang 54 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (295) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 41 (Kim Liên - Hà Nội - 2018) Cho tứ diện ABCD có cạnh Trên các cạnh AB và CD lấy các điểm M và N cho MA MB và NC 2 ND Mặt phẳng P chứa MN và song song với AC chia khối tứ diện ABCD thành hai khối đa diện, đó khối đa diện chứa đỉnh A có thể tích là V Tính V A V 18 B V 11 216 C V 216 D V 108 Lời giải Từ N kẻ NP //AC , N AD M kẻ MQ //AC , Q BC Mặt phẳng P là MPNQ AH S ABCD 12 VAMPC VMQNC VMPNC Ta có VABCD V VACMPNQ AM AP VABCD VABCD VABCD AB AD 3 1 CQ CN 11 VAQNC VABCD VABCD VABCD 2 CB CD 22 2 2 AM 11 VMPCD VMACD VABCD VABCD VABCD 3 3 AB 32 Ta có VAMPC VMQNC VMPNC 11 11 1 1 Vậy V VABCD V VABCD 18 216 3 9 Câu 42 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2018) Cho hình chóp tứ giác S ABCD đáy là hình bình hành có thể tích V Lấy điểm B , D là trung điểm cạnh SB và SD Mặt phẳng qua ABD cắt cạnh SC C Khi đó thể tích khối chóp S ABCD A V B 2V V3 Lời giải C D V Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 55 (296) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi O là giao điểm hai đường chéo AC và BD thì SO BD H Khi đó H là trung điểm SO và C AH SO Trong mặt phẳng SAC : Ta kẻ d //AC và AC cắt d K Khi đó áp dụng tính đồng dạng OH OA SK SK SC SC SK OA ; SH SK AC AC CC SC V SA SB SD 1 V VS ABCD nên ta có S ABD VS ABD V và VS ABD SA SB SD 2 các tam giác ta có: Vì VS ABD VS BCD VS BC D SB SC SD SC SC V VS BC D VS BCD SB SC SD SC SC SC V V SC V Suy VS ABC D VS ABD VS BC D V 1 SC 8 SC Câu 43 (Toán Học Tuổi Trẻ - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với đáy, SA a Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB , SD , SC B , D , C Thể tích khối chóp S ABC D là: A V 2a 3 B V 2a C V a3 D V 2a 3 Lời giải S C' D' B' D A O B C a3 Ta có: VS ABCD a a 3 Ta có AD SDC AD SD ; AB SBC AB SB Do SC ABD SC AC Tam giác S AC vuông cân A nên C là trung điểm SC SB SA2 2a 2 SB SB 3a SB SC SD SC SB SC 1 SB SC SD SC SB SC 3 Trong tam giác vuông SAB ta có VSABC D VS ABCD VS ABC VS AC D VS ABCD Vậy VSABC D Câu 44 a3 (Chuyên Thái Bình - 2018) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích là V Gọi M , N , P , Q là trung điểm AC , AD , BD , BC Thể tích khối chóp AMNPQ là A V B V C V D V Trang 56 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (297) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Ta có VAMNPQ 2VAPMQ (do MNPQ là hình thoi), AB // MQ VAPMQ VBPMQ Mặt khác P là trung điểm BD nên d P, ABC d D, ABC , đồng thời 1 1 S ABC VBPMQ d P, ABC S BQM d D, ABC S ABC 1 V V d D, ABC S ABC VAMNPQ 8 Câu 45 (Phan Đình Phùng - Hà Tĩnh - 2018) Cho hình đa diện hình vẽ S BQM CSD DSA BSD 60 Thể tích khối Biết SA , SB , SC , SD và ASB BSC đa diện S ABCD là A C 30 D 10 Lời giải Trên SA , SB , SC lấy các điểm A , B , C cho SA SB SC SD Ta có AB BC C D DA Khi đó hình chóp S ABD và hình chóp S CBD là các hình chóp tam giác có tất các cạnh VS ABD VS C BD B 23 2 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 (298) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Mặt khác VS ABD SA SB SD 2 9 3 , nên VS ABD VS ABD VS ABD SA SB SD 2 VS CBD SC SB SD 2 , nên VS CBD 3VS C BD 2 VS CBD SC SB SD Thể tích khối đa diện S ABCD là V VS ABD VS CBD 2 Câu 46 (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA a và SA vuông góc với đáy Gọi M là trung điểm SB , N thuộc cạnh SD cho SN ND Tính thể tích V khối tứ diện ACMN 1 1 A V a3 B V a3 C V a3 D V a 36 12 Lời giải Cách 1: Phân rã hình: a3 Thể tích khối chóp S ABCD là: V a 3 Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (299) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 2 1 Thể tích tứ diện SMNC là: VSMNC VS BDC V V 3 2 1 Thể tích tứ diện NACD là: VNADC V V 1 Thể tích tứ diện MABC là: VMABC V V 2 2 1 Thể tích tứ diện SAMN là: VSAMN VS BDC V V 3 2 Mặt khác ta có: VSMNC VNACD VMABC VSAMN VAMNC VS ABCD 1 a3 1 Suy VAMNC V VSMNC VNACD VMABC VSAMN V V V V V V 6 12 6 Câu 47 (THPT Thạch Thanh - Thanh Hóa - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có thể tích 2110 Biết AM MA , DN ND , CP 2C P hình vẽ Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ A 5275 B 8440 7385 18 Lời giải C D 5275 12 Gọi Q là giao điểm mặt phẳng MNP với BB AM C P DN BQ x, y, z, t Khi đó x y z t AA CC DD BB VABD.MQN x z t VABD.MQN x z t VABD ABD VABC D ABCD Giả sử Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 (300) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VC BD.PQN VC BD.CBD VC BD.PQN y z t y z t VABC D ABCD VMNPQ ADC B VABCD ADC B x y VMNPQ ADC B AM C P 1 VABCD ADC B AA CC 12 5275 VMNPQ ADC B VABCD ADC B 12 Câu 48 (Chuyên Thăng Long - Đà Lạt - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có thể tích V Gọi E là điểm trên cạnh SC cho EC ES Gọi là mặt phẳng chứa AE và song song với BD , cắt SB, SD hai điểm M , N Tính theo V thể tích khối chóp S AMEN 3V V A B C 3V 16 D V Lời giải Gọi G là giao điểm AE và SO Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác SOC ta có: AC GO ES GO 1 1 AO GS EC GS SG SM SN SO SB SD V V V 1 1 1 Ta có: S AMEN S AME S AEN V 2VS ABC 2VS ACD 2 2 Vậy VS AMEN V Câu 49 (Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ - 2018) Cho khối hộp chữ nhật ABCD ABC D có thể tích 2110 Biết AM MA ; DN 3ND ; CP PC Mặt phẳng MNP chia khối hộp đã cho thành hai khối đa diện Thể tích khối đa diện nhỏ Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (301) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 D A C B N P M C D A B 8440 C Lời giải A 5275 B 12 7385 18 D A D 5275 C B N P M Q D Ta có: VMNPQ ABC D VABCD ABC D Vnho VMNPQ ABC D Câu 50 B A AM C P 1 AA C C 12 5 5275 VABCD ABC D 2110 12 12 (Chuyên Bắc Ninh - 2018) Cho khối lăng trụ ABC ABC có thể tích 2018 Gọi M là trung điểm AA ; N , P là các điểm nằm trên các cạnh BB , CC cho BN 2BN , CP 3C P Tính thể tích khối đa diện ABC.MNP 32288 40360 4036 23207 A B C D 27 27 18 Lời giải Ta có Câu 51 C VABC MNP AM BN CP 23 23207 Vậy VABC MNP 18 VABC ABC AA BB CC 36 (Quảng Xương - Thanh Hóa - 2018) Cho hình lăng trụ ABC ABC có thể tích 6a Các AM BN CP , điểm M , N , P thuộc các cạnh AA , BB , CC cho AA BB CC Tính thể tích V đa diện ABC.MNP Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 (302) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A V 11 a 27 B V a 16 C V 11 a D V Lời giải Lấy điểm Q AA cho PQ //AC Ta có MQ AQ AM AA Dễ thấy VABC MNP VABC ABC , VM QNP VABC ABC 12 11 11 Vậy V VABC MNP VM QNP V a 18 HẾT Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 11 a 18 (303) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 14 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DIỆN KHÁC TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình hộp ABCD ABCD có chiều cao và diện tích đáy Gọi M , N , P và Q là tâm các mặt bên ABBA, BCCB, CDDC và DAAD Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, D, M , N , P và Q A 27 Câu B 30 C 18 D 36 (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a và O là tâm đáy Gọi M , N , P , Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA và S ' là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S '.MNPQ 20 14a3 A 81 Câu 40 14a3 B 81 10 14a3 C 81 14a3 D (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB, SBC , SCD, SDA và S là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S .MNPQ A Câu 40 10a 81 B 10 10a 81 C 20 10 a3 81 D 10a (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD, SDA và S là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S .MNPQ A Câu 6a B 40 6a 81 C 10 6a 81 D 20 6a 81 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD, SDA và S là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S MNPQ 2a 20 2a 40 2a 10 2a B C D 81 81 81 (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 4a , cạnh bên A Câu 3a và O là tâm đáy Gọi M , N , P , Q là hình chiếu vuông góc O lên các mặt phẳng ( SAB) , (SBC ) , (SCD) và ( SDA) Thể tích khối chóp O.MNPQ A Câu 4a3 B 64a 81 C 128a 81 D 2a3 3a O O và là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc trên các mặt (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên phẳng SAB , SBC , SCD và SDA Thể tích khối chóp O.MNPQ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (304) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu a3 48 B 2a 81 C a3 81 a3 96 D 3a và O là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc O trên các mặt phẳng ( SAB) , ( SBC ) , Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 3a , cạnh bên ( SCD ) và ( SAD) Thể tích khối chóp O.MNPQ A Câu 9a 16 B 2a C 9a 32 a3 D (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên a và O là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc O lên các mặt phẳng SAB , SBC , SCD và SDA Thể tích khối chóp O MNPQ bằng: A 8a 81 B a3 C a3 12 D 16 a 81 Câu 10 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh , nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Gọi S là điểm đối xứng B qua đường thẳng DE Thể tích khối đa diện ABCDSEF 11 A B C D 12 Câu 11 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC ABC có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABBA, ACC A và BCC B Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A Câu 12 B C 20 D 14 (Mã 103 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC ABC có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N , P là tâm các mặt bên ABBA, ACC A, BCC B Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A Câu 13 B 10 C D 12 (Mã 102 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' và BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M , N , P A Câu 14 40 B 16 C 28 D 12 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' và BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A 30 Câu 15 B 36 C 27 D 21 (Chuyên Hạ Long -2019) thể tích bát diện cạnh a là a 6a3 B 6a C a D a3 Lời giải Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (305) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có khối bát diện cạnh a tạo từ khối chóp tứ giác có cạnh đáy và cạnh bên a Chiều cao khối chóp là: h Thể tích khối chóp: Vchop a 6 a a 2 a a3 a (đvtt) 2 Vậy thể tích khối bát diện là: V 2Vchop a (đvtt) Câu 16 Cho hình lập phương có cạnh a Tính theo a thể tích khối bát diện có các đỉnh là tâm các mặt hình lập phương 1 A a3 B a3 C D a a 12 Câu 17 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCDABC D Khoảng cách AB và BC là 2a 2a a , BC và AB là , AC và BD là Thể tích 5 khối hộp đó là A 8a Câu 18 B 4a3 C 2a3 D a3 (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB a, BC 2a , AC ' 3a Điểm N thuộc cạnh BB ' cho BN NB ' , điểm M thuộc cạnh DD ' cho D ' M MD Mặt phẳng A ' MN chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm C ' A 4a B a Câu 19 C 2a D 3a (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a , góc đường thẳng SA và mặt phẳng ABC 60 Gọi A , B , C tương ứng là các điểm đối xứng A , B , C qua S Thể tích V khối bát diện có các mặt ABC , ABC , ABC , BCA , CAB , ABC , BAC , CAB là A V Câu 20 3a3 B V 3a C V 3a D V 3a (Chuyên KHTN - 2020) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R, S là tâm các mặt hình lập phương Thể tích khối bát diện tạo sáu đỉnh M , N , P, Q, R, S Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (306) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu 21 a3 24 B a3 C a3 12 D a3 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có M , N , P là trung điểm các cạnh BC , C ' D ', DD ' (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối hộp 144 , thể tích khối tứ diện AMNP A 15 Câu 22 B 24 C 20 D 18 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho khối chóp S ABCD có chiều cao và đáy là hình bình hành có diện tích 10 Gọi M , N , P và Q là trọng tâm các mặt bên SAB , SBC , SCD và SDA Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm M , N , P , Q , B và D là A Câu 23 C 30 D B 3 C D a3 B a 3 C a3 D a3 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có đáy ABCD là 60 Gọi I, J là tâm các mặt bên hình thoi tâm O, cạnh a và BAC a , AA 2a và góc hai mặt phẳng 60 Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ ABBA, CDDC Biết AI A Câu 26 25 (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất các cạnh bằnga Gọi S là điểm đối xứng A qua BC ' Thể tích khối đa diện ABCSB ' C ' là A Câu 25 50 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có AA ' , đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam giác cạnh Gọi M , N , P là trung điểm B ' C ' , C ' D ' , DD ' và Q thuộc cạnh BC cho QC 3QB Tính thể tích tứ diện MNPQ A 3 Câu 24 B 3a3 64 B 3a 48 C 3a 32 D ABBA , ABC D 3a 192 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA a M , K tương ứng là trọng tâm tam giác SAB, SCD ; N là trung điểm BC Thể tích khối tứ diện SMNK m a với m, n , m, n Giá trị m n n bằng: Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (307) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 B 12 A 28 C 19 D 32 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABCD AB C D có đáy là hình thoi có 120 Gọi M , N , K là trung điểm cạnh AB, BC , BD Thể tích khối da cạnh 4a , AA 8a , BAD Câu 27 diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , K là: A 12 a Câu 28 B 28 3 a C 16 a D 40 3 a (Chuyên Sơn La - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M là điểm đối xứng C qua D, N là trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần (như hình vẽ bên) Tỉ số thể tích hai phần VSABFEN VBFDCNE A Câu 29 B C D (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD M , N , P Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP A Câu 30 32 B 64 2 C 108 D 125 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB , SA SB SC 12 Gọi M , N , E là trung điểm AC , BC , AB Trên cạnh BF Thể tích khối tứ diện MNEF SB lấy điểm F cho BS Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (308) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu 31 34 B 34 C 34 D 16 34 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V Gọi G1 ,G , G3 , G4 là trọng tâm bốn mặt tứ diện ABCD Thể tích khối tứ diện G1 G G3G4 là: A Câu 32 V 12 B V C V 27 D V 18 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hình lập phương ABCD AB C D có thể tích V Gọi M là điểm thuộc cạnh BB cho BM MB Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc với AC cắt các cạnh DD, DC , BC N , P, Q Gọi V1 là thể tích khối đa diện CPQMNC Tính tỷ số V1 V A Câu 33 31 162 B 35 162 C 34 162 D 13 162 (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho tứ diện ABCD có thể tích 18 Gọi A1 là trọng tâm tam giác BCD ; P là mặt phẳng qua A cho góc P và mặt phẳng BCD 600 Các đường thẳng qua B; C; D song song với AA1 cắt P B1; C1; D1 Thể tích khối tứ diện A1B1C1D1 bằng? A 12 Câu 34 B 18 D 12 C (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên a Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD cho tổng Q MA MB MC MD MS nhỏ Gọi V1 là thể tích khối chóp S.ABCD và V2 là thể tích khối chóp M ACD Tỉ số A Câu 35 11 140 B 22 35 V2 V1 C 11 70 D 11 35 (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp tam giác S ABC có cạnh bên tạo với đường cao góc 30 o , O là trọng tâm tam giác ABC Một hình chóp thứ hai O A ' B ' C ' có S là tâm tam giác A ' B ' C ' và cạnh bên hình chóp O A ' B ' C ' tạo với đường cao góc 60 o cho cạnh bên SA, SB , SC cắt các cạnh bên OA ', OB ', OC ' Gọi V1 là phần thể tích phần chung hai khối chóp S ABC và O A ' B ' C ', V2 là thể tích khối chóp S ABC Tỉ số A Câu 36 16 B C 27 64 D V1 bằng: V2 64 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh a , tâm đáy là O Gọi M , N tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SC Gọi E là giao điểm SD và mặt phẳng BMN Tính thể tích V khối chóp O.BMEN A V a3 18 B V a3 24 C V a3 12 D V Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a3 36 (309) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 37 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a Mặt bên tạo với đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa AB và tạo với đáy góc 300 và cắt SC, SD M và N Tính thể tích V khối chóp S.ABMN theo a A V Câu 38 a3 B V 5a3 48 C V a3 D V a3 16 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có chiều cao và diện tích đáy 11 Gọi M là trung điểm AA, N là điểm trên cạnh BB cho BN 3BN và P là điểm trên cạnh CC cho 6CP 5C P Mặt phẳng MNP cắt cạnh DD Q Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B , C , D , M , N , P và Q A Câu 39 88 B 42 C 44 D 220 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD và có diện tích 27 (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB và song song với mặt đáy ABCD chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, tính thể tích V phần chứa điểm S A V Câu 40 B V 24 C V 36 D V 12 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hai hình chóp tam giác có cùng chiều cao Biết đỉnh hình chóp này trùng với tâm đáy hình chóp kia, cạnh bên hình chóp này cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên có độ dài a hình chóp thứ tạo với đường cao góc 300 , cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc 450 Tính thể tích phần chung hai hình chóp đã cho? a3 A Câu 41 64 2 a B 32 a3 C 64 27 a D 64 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích 12a ; khoảng cách từ S tới mặt phẳng ABCD 4a Gọi L là trọng tâm tam giác ACD ; gọi T và V là trung điểm các cạnh SB và SC Mặt phẳng LTV chia hình chóp thành hai khối đa diện, hãy tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S A Câu 42 20a B 8a C 28a D 32a3 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có thể tích Gọi M là trung điểm SA và N là điểm đối xứng của A qua D Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi ( H ) là khối đa diện có chứa đỉnh Thể tích khối đa diện ( H ) A Câu 43 12 B C 12 D (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi M , N , P , Q , R là trung điểm các cạnh AB , AD, AC , DC , BD và G là trọng tâm tam giác ABC (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG theo V Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (310) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A Câu 44 V B V C V 2V D (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho lăng trụ ABC ABC có thể tích Gọi M , N và P là các điểm nằm trên cạnh AB , BC và BC cho M là trung điểm AB , BN BC và BC Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB E và đường thẳng EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi AQPCAMNC ' BP A 23 B 23 C 59 12 D 19 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (311) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DIỆN KHÁC Chuyên đề 14 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Đề Tham Khảo 2020 Lần 2) Cho hình hộp ABCD ABCD có chiều cao và diện tích đáy Gọi M , N , P và Q là tâm các mặt bên ABBA, BCCB, CDDC và DAAD Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, D, M , N , P và Q A 27 B 30 C 18 Lời giải D 36 Chọn B Ta có VABCD ABC D 9.8 72 Gọi I , J , K , L là trung điểm các cạnh AA, BB, CC, DD suy VABCD IJKL 36 Do hình chóp A.MIQ đồng dạng với hình chóp A.BAD theo tỉ số nên 1 VA.MQI VA.BAD 8 2 VABCD.MNPQ VABCD.IJKL 4VA.MIQ 36 30 Câu (Mã 101 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a và O là tâm đáy Gọi M , N , P , Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD , SDA và S ' là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S '.MNPQ A 20 14a3 81 Chọn B 40 14a3 81 10 14a3 81 Lời giải C D 14a3 A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (312) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi G1 , G2 , G3 , G4 là trọng tâm SAB, SBC, SCD, SDA E, F , G, H là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA 4 8a Ta có S MNPQ SG1G2G3G4 S EFGH EG.HF 9 d S , MNPQ d S , ABCD d O, MNPQ d S , ABCD 2d O, G1G2G3G4 d S , ABCD d S , ABCD 5a 14 d S , ABCD 5a 14 8a 20a3 14 Vậy VS.MNPQ 81 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB, SBC , SCD, SDA và S là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S .MNPQ A 40 10 a3 81 B 10 10 a3 81 20 10 a 81 Lời giải C D Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 10 a3 (313) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta gọi G1 , G2 , G3 , G4 là trọng tâm tam giác SAB, SBC , SCD, SDA thì Câu d S , MNPQ 5 d O, MNPQ VS .MNPQ VO.MNPQ 8VO.G1G2G3G4 2 10VS G1G2G3G4 10 20 a 10 10 10a3 VS ABCD a 27 27 81 (Mã 103 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên 2a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB , SBC , SCD, SDA và S là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S .MNPQ A 6a B 40 6a 81 10 6a 81 Lời giải C D 20 6a 81 Chọn D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (314) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 5a Ta có: S K S O OK SO SO , SMNPQ S ABCD a 9 Vậy: VS .MNPQ Câu 20 6a 81 (Mã 104 - 2020 Lần 1) Cho hình chóp S ABCD có tất các cạnh a và O là tâm đáy Gọi M , N , P, Q là các điểm đối xứng với O qua trọng tâm các tam giác SAB, SBC , SCD, SDA và S là điểm đối xứng với S qua O Thể tích khối chóp S MNPQ A 2a B 20 2a 81 40 2a 81 Lời giải C D 10 2a 81 Chọn B a 2 Gọi G, K là trọng tâm tam giác SAB và tam giác SCD Ta có SO Suy MP 2GK 4 a , tương tự NQ a 3 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (315) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 S MNPQ a Ta có MNPQ // ABCD d M , ABCD 2d G , ABCD d MNPQ , ABCD d S , MNPQ S O a SO 3 a a 5a 5a 8a 20 2a VS MNPQ 81 Câu (Mã 102 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 4a , cạnh bên 3a và O là tâm đáy Gọi M , N , P , Q là hình chiếu vuông góc O lên các mặt phẳng ( SAB) , (SBC ) , (SCD) và ( SDA) Thể tích khối chóp O.MNPQ A 4a3 B 64a 81 128a 81 Lời giải C D 2a3 Chọn D Gọi E , F , G, H là trung điểm AB, BC , CD và DA Gọi M , N , P, Q hình chiếu vuông góc O lên các đường thẳng SE , SF , SG, SH ta suy M , N , P, Q hình chiếu vuông góc O mặt phẳng ( SAB), ( SBC ),( SCD) và ( SDA) Ta có EFGH là hình vuông và S EFGH Các độ dài SO SA2 1 S ABCD suy VS EFGH VS ABCD 2 1 AC (2a 3) (4a 2) 2a và SE SO OE 2a 4 Trong tam giác vuông SOE ta có SM SO SN SP SQ suy SE SE SF SG SH Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (316) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Xét hai hình chóp S EFGH và O.MNPQ ta có hai đường cao OO và SO tương ứng tỷ lệ S MNPQ MN 2 OO , đồng thời diện tích đáy S EFGH EF SO Do Câu VO.MNPQ VS EFGH 1 1 hay VO MNPQ VS EFGH VS ABCD 2a.(4a ) a 16 16 3 3a và O là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc O trên các mặt (Mã 103 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a , cạnh bên phẳng SAB , SBC , SCD và SDA Thể tích khối chóp O.MNPQ A a3 48 B 2a 81 a3 81 Lời giải C D a3 96 Chọn D Gọi M , N , P, Q là trung điểm các cạnh AB, BC , CD, DA Ta có AB OM và AB SO nên AB SOM Suy SAB SOM theo giao tuyến SM Theo giả thiết ta có OM SAB nên OM SM , đó M là hình chiếu vuông góc O trên SM Tương tự vậy: N , P, Q là hình chiếu vuông góc O trên SN , SP, SQ 3a 2a a OM 4 Suy tam giác SOM vuông cân O nên M là trung điểm SM Từ đó dễ chứng minh MNPQ là hình vuông có tâm I thuộc SO và nằm mặt phẳng Ta có SO SA2 AO song song với ABCD , với I là trung điểm SO a Suy OI OS Do đó MN 1 2a M N AC 4 Thể tích khối chóp O.MNPQ 1 a2 a a3 S MNPQ OI MN OI 3 96 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (317) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 3a Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 3a , cạnh bên và O là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc O trên các mặt phẳng ( SAB ) , ( SBC ) , ( SCD ) và ( SAD ) Thể tích khối chóp O.MNPQ A 9a 16 B 2a C 9a 32 D a3 Lời giải Chọn C Gọi E , F , G , H là giao điểm SM với AB , SN với BC , SP với CD , SQ với DA thì E , F , G , H là trung điểm AB , BC , CD, DA thì 9a SP SP.SG SO Ta có P là trung điểm SG SG SG SG 9a 2 2 Chứng minh tương tự ta có M , N , Q là trung điểm AB, BC , DA Khi đó d(O, ( MNPQ )) S MNPQ 1 9a S EFGH S ABCD 8 Vậy VO.MNPQ Câu 3a SO 3a 9a 9a 32 (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy 2a , cạnh bên a và O là tâm đáy Gọi M , N , P và Q là hình chiếu vuông góc O lên các mặt phẳng SAB , SBC , SCD và SDA Thể tích khối chóp O MNPQ bằng: A 8a 81 B a3 a3 12 Lời giải C D 16 a 81 Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (318) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi I , J , E và F là trung điểm AB , BC , CD và DA SIA vuông I SI SA2 AI 3a a a SOI vuông O SO SI OI 2a a a SOI vuông cân O M là trung điểm SI MN là đường trung bình SIJ MN 1 1 a IJ AC 2a 2 2 a a2 S MNPQ MN Gọi H MP SO H là trung điểm SO a d O, MNPQ SH SO 2 1 a a2 a3 VO.MNPQ SH S MNPQ 3 2 12 Câu 10 (Đề Tham Khảo 2018) Cho hình vuông ABCD và ABEF có cạnh , nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với Gọi S là điểm đối xứng B qua đường thẳng DE Thể tích khối đa diện ABCDSEF 11 A B C D 12 Lời giải Chọn D Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (319) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Ta có:ADF.BCE là hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cân Dựa vào hình vẽ ta có: VABCDSEF VADF BCE VS CDFE VADF BCE VB.CDFE 2VADF BCE VBADE VADF BCE AB.S BCE Câu 11 1 1 ;VBADE AD.S ABE V ABCDSEF 6 (Mã đề 104 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC ABC có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABBA, ACC A và BCC B Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A B 20 Lời giải C D 14 Chọn B 42 16 Gọi thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P là V1 Thể tích khối lăng trụ ABC ABC là V Ta có: V1 VAMNCB VBMNP VBNPC Dễ thấy VAABC V và VAMNCB VAABC nên VAMNCB V 4 1 VBABC V và VBMNP VBABC nên VBMNP V 24 1 VABCB VABCC V và VBNPC VBABC nên VBNPC V 12 Vậy V1 VAMNCB VBMNP VBNPC V Câu 12 (Mã 103 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC ABC có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N , P là tâm các mặt bên ABBA, ACC A, BCC B Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A B 10 C Lời giải D 12 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (320) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A' C' B' N D F M P E C A B Gọi DEF là thiết diện lăng trụ cắt mặt phẳng MNP Dễ chứng minh DEF / / ABC và D, E , F là trung điểm các đoạn thẳng AA, BB, CC suy VABC DEF VABC ABC 12 Ta có VABCPNM VABC DEF VADMN VBMPE VCPMF Mặt khác VADMN VBMPE VCPMF Câu 13 VABC DEF VABCPNM VABC DEF 12 (Mã 102 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' và BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C, M , N , P A 40 B 16 28 Lời giải C D 12 Chọn D Ta có: VABC A ' B 'C ' 1 32 3; VC ' ABC VABC A ' B ' C ' ; VA.BC ' B ' VABC A ' B 'C ' 3 Khối đa diện cần tìm V VC ABPN VP AMN VP ABM Ta có VC ABPN VC ' ABC VABC A' B ' C ' 4 Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (321) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Ta có VPAMN VABC ' B ' VABC A' B ' C ' 24 1 Ta có VPABM VABC ' B ' VABC A ' B 'C ' 12 1 Vậy thể tích khối cần tìm V VABC A ' B 'C ' VABC A ' B 'C ' VABC A ' B 'C ' VABC A ' B ' C ' 12 24 12 Câu 14 (Mã đề 101 - BGD - 2019) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có chiều cao và đáy là tam giác cạnh Gọi M , N và P là tâm các mặt bên ABB ' A ', ACC ' A ' và BCC ' B ' Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , P A 30 B 36 C 27 Lời giải D 21 Chọn C Gọi h là chiều cao hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' Vì ABC có độ dài cạnh nên SABC 62 9 Thể tích lặng trụ ABC A ' B ' C ' là V h S ABC 8.9 72 Gọi E là trung điểm cạnh AA ' Thể tích khối chóp A.EMN là VA EMN 1 1 d A, EMN SEMN h SABC V 3 24 Thể tích khổi đa diện ABCMNP là: 1 VABCMNP V 3VA.EMN V V V 27 2 24 Câu 15 (Chuyên Hạ Long -2019) thể tích bát diện cạnh a là a 6a3 B 6a C a D a3 Lời giải Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (322) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có khối bát diện cạnh a tạo từ khối chóp tứ giác có cạnh đáy và cạnh bên a Chiều cao khối chóp là: h Thể tích khối chóp: Vchop a 6 a a 2 a a3 a (đvtt) 2 Vậy thể tích khối bát diện là: V 2Vchop a (đvtt) Câu 16 Cho hình lập phương có cạnh a Tính theo a thể tích khối bát diện có các đỉnh là tâm các mặt hình lập phương 1 A a3 B a3 C D a a 12 Lời giải Chọn B Giả sử hình lập phương ABCD ABC D có cạnh a và tâm các mặt là P , Q , R , S , O, O hình vẽ Ta có PQ là đường trung bình tam giác B CD cạnh a nên PQ Do đó S PQRS PQ a và OO a Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ a (323) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 1 Vậy thể tích bát diện cần tìm là V S PQRS OO a (đvtt) Câu 17 (THPT Yên Khánh - Ninh Bình 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCDABC D Khoảng cách AB và BC là 2a 2a a , BC và AB là , AC và BD là Thể tích 5 khối hộp đó là A 8a B 4a3 C 2a3 Lời giải D a3 Đặt AB x , AD y , AA z Gọi H là hình chiếu vuông góc B trên B C , ta có BH là đoạn vuông góc chung AB và B C nên d AB, BC BH 2a 1 (1) BH z y 4a Gọi I là hình chiếu vuông góc B trên AB , ta có BI là đoạn vuông góc chung BC và 1 AB nên d BC , AB BI (2) BI x z 4a Gọi M là trung điểm DD , O là giao điểm AC và BD , ta có mặt phẳng ACM chứa AC và song song với BD nên d AC , BD d BD, ACM d D, ACM Gọi J là hình chiếu vuông góc D trên AC , K là hình chiếu vuông góc D trên MJ , ta 1 có d D , ACM d D, ACM DK (3) DK x y z a Từ (1), (2) và (3) ta có z 2a x y a z 2a Thể tích khối hộp là V xyz 2a3 Câu 18 (THPT Ngô Gia Tự Vĩnh Phúc 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có AB a, BC 2a , AC ' 3a Điểm N thuộc cạnh BB ' cho BN NB ' , điểm M thuộc cạnh DD ' cho D ' M MD Mặt phẳng A ' MN chia hình hộp chữ nhật làm hai phần, tính thể tích phần chứa điểm C ' A 4a B a C 2a Lời giải D 3a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (324) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn C Nhận xét: B ' NDM là hình bình hành B ' N DM , B ' N //DM MN B ' D O là trung điểm đoạn nên O là trung điểm đường chéo A ' C Vậy thiết diện tạo mặt A ' MN và hình chóp là hình bình hành A ' NCM Ta có: C ' A2 B ' B BA2 BC B ' B 2a Cách 1: Thể tích phần chứa C ' là 1 V VA ' B ' C ' CN VA '.C ' CMD A ' B '.S B ' C ' CN A ' D '.SC ' D ' MC 3 2a 4a 2a 2a 1 a.2a 2a.a 2a 3 Cách 2: Áp dụng công thức tính nhanh Gọi thể tích phần chứa C ' là V ' B'N D'M V' 1 Ta có: B ' B D ' D V ' 4a 2a VABCD A ' B ' C ' D ' 2 Cách 3: Nhận xét nhanh đa diện chứa C ' đối xứng với đa diện không chứa C ' qua O nên thể tích hai phần này nhau, suy V ' VABCD A ' B ' C ' D ' 2a Câu 19 (Sở Thanh Hóa 2019) Cho hình chóp S ABC có đáy cạnh a , góc đường thẳng SA và mặt phẳng ABC 60 Gọi A , B , C tương ứng là các điểm đối xứng A , B , C qua S Thể tích V khối bát diện có các mặt ABC , ABC , ABC , BCA , CAB , ABC , BAC , CAB là A V 3a3 B V 3a C V 3a3 D V Lời giải Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 3a3 (325) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi D , D theo thứ tự là đỉnh thứ tư hình thoi ABCD , ABCD Thể tích bát diện cần tìm: 1 V VABCD.C DAB VBC DA VBACD VABCD.C DAB VABCD.CDAB VABCD.C DAB 6 2 VABCD.C DAB SO.2SABC (*) 3 Ta có: SABC a2 60 SO OA.tan 60 a a , ABC SAO Ta có: SA a 2a 3 Do đó: V a Câu 20 (Chuyên KHTN - 2020) Cho hình lập phương ABCD A ' B ' C ' D ' có cạnh a Gọi M , N , P, Q, R, S là tâm các mặt hình lập phương Thể tích khối bát diện tạo sáu đỉnh M , N , P, Q, R, S A a3 24 B a3 a3 12 Lời giải C D a3 Chọn D Ta có: dễ thấy MNPQRS là bát giác nên V VR.MNPQ VS MNPQ 2VR.MNPQ Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (326) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dễ thấy: RO a Lại có hình chóp R.MNPQ có tất các cạnh nên: MR OR a 2 a3 2VR.MNPQ .MN OR Câu 21 (Chuyên Lam Sơn - 2020) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có M , N , P là trung điểm các cạnh BC , C ' D ', DD ' (tham khảo hình vẽ) Biết thể tích khối hộp 144 , thể tích khối tứ diện AMNP A 15 B 24 C 20 Lời giải D 18 Chọn A NP CD E Đặt DC 2d , BC 2r S EMA S ECBA S EMC S ABM 5dr dr dr dr 2 1 5 VNEAM S EMA d ( N , ( EMA)) S EMA CC ' 4dr.CC ' VABCD A ' B 'C ' D ' 30 3 24 24 VNPAM VNEAM 15 Câu 22 (Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên - 2020) Cho khối chóp S ABCD có chiều cao và đáy là hình bình hành có diện tích 10 Gọi M , N , P và Q là trọng tâm các mặt bên SAB , SBC , SCD và SDA Thể tích khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm M , N , P , Q , B và D là A B 50 C 30 D 25 Lời giải Chọn B Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (327) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Theo tính chất trọng tâm tam giác, ta có các đường thẳng BM , DQ, SA đồng quy trung điểm E SA Tương tự, các đường thẳng BN , DP , SC đồng quy trung điểm F SC Ta phân chia khối đa diện lồi có đỉnh là các điểm M , N , P , Q , B và D thành khối chóp B.MNPQ và khối tứ diện BDPQ Cũng theo tính chất trọng tâm, ta có mặt phẳng MNPQ song song với mặt phẳng ABCD và 4 S XYZT S ABCD S ABCD (trong đó X , Y , Z , T là trung điểm 9 AB, BC , CD, DA ) S MNPQ Hơn nữa, d B, MNPQ d X , MNPQ 1 d S , MNPQ d S , ABCD d S , ABCD 2 3 2 Do đó, VB.MNPQ VS ABCD VS ABCD 1 27 Lại có 4 VBDPQ VBDEF S DPQ S DEF 9 2VODEF d B, DEF 2d O, DEF 1 VSACD SOEF S SAC 4 1 VS ABCD = VS ABCD 9 đó, O là tâm hình bình hành ABCD 50 1 1 Từ 1 và 2 , ta VMNPQBD VS ABCD 9.10 (đvtt) 27 27 Câu 23 (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình hộp đứng ABCD A ' B ' C ' D ' có AA ' , đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam giác cạnh Gọi M , N , P là trung điểm B ' C ' , C ' D ' , DD ' và Q thuộc cạnh BC cho QC 3QB Tính thể tích tứ diện MNPQ A 3 B 3 Lời giải C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (328) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn D Gọi O và O ' là tâm đáy ABCD và A ' B ' C ' D ' ABC cạnh , O là trung điểm BC OB , OC Gắn hệ trục tọa độ Oxyz , tia Ox trùng tia OC , tia Oy trùng tia OB , tia Oz trùng tia OO ' Khi đó: C 2;0;0 , B 0; 3; , B ' 0; 3; , C ' 2;0; , D 0; 2 3;0 , D ' 0; 2 3; N là trung điểm C ' D ' N 1; 3; P là trung điểm DD ' P 0; 2 3;1 M là trung điểm B ' C ' M 1; 3; x x Q Q 3 Q thuộc cạnh BC cho QC 3QB CQ CB yQ yQ 4 zQ zQ 1 3 Suy Q ; ;0 2 Ta có: VMNPQ MN , MP MQ MN 0; 2 3; , MP 1; 3 3; 1 MN , MP 3;0; 2 MQ ; ; 2 2 VMNPQ Câu 24 3 1 2 2 2 2 (Chuyên Lào Cai - 2020) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có tất các cạnh bằnga Gọi S là điểm đối xứng A qua BC ' Thể tích khối đa diện ABCSB ' C ' là Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (329) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A a 3 B a 3 C a a3 D Lời giải Chọn A Chia khối đa diện ABCSB ' C ' thành khối là khối chóp A.BCC ' B ' và khối chóp S.BCC ' B ' VABCSB 'C ' VABCC ' B ' VS BCC ' B ' Gọi M là trung điểm BC AM BC a AM BCC ' B ' Tam giác ABC AM AM BB ' Thể tích khối chóp A.BCC ' B ' là: Ta có: 1 a a3 VA.BCC ' B ' AM S BCC ' B ' a 3 Thể tích khối chóp S.BCC ' B ' là: d S ; BCC ' B ' S BCC ' B ' VS BCC ' B ' VA BCC ' B ' d A; BCC ' B ' S BCC ' B ' d S ; BCC ' B ' SI d A; BCC ' B ' AI VS BCC ' B ' VA BCC ' B ' Câu 25 a3 a 3 a 3 a3 VABCSB 'C ' VA BCC ' B ' VS BCC ' B ' 6 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có đáy ABCD là 60 Gọi I, J là tâm các mặt bên hình thoi tâm O, cạnh a và BAC a , AA 2a và góc hai mặt phẳng 60 Tính theo a thể tích khối tứ diện AOIJ ABBA, CDDC Biết AI A 3a 64 B 3a3 48 C 3a3 32 D ABBA , ABCD 3a3 192 Lời giải Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (330) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có AI AA2 AB AB AB AA2 AB AI 3a AB a Do AB AB AA2 nên tam giác AAB vuông B S AAB a2 a2 Theo đề góc hai mặt phẳng ABBA , ABC D 60 , nên suy Tam giác ABC cạnh a nên S ABC VAABC 2S AAB S ABC sin 60 a 3 AB 1 1 1 a3 VAOIJ d O; IAJ S IAJ d B; BAD S BAD VBABD VAABC 3 2 4 32 Bổ sung: Công thức tính nhanh thể tích tứ diện theo góc hai mặt phẳng Cho tứ diện ABCD có diện tích tam giác ABC S1 , diện tích tam giác BCD là S và góc hai mặt phẳng (ABC) và (DBC) là Khi đó ta có: VABCD 2S1S2 sin 3BC Chứng minh: Gọi H là hình chiếu A lên (BCD), kẻ HI BC I thì AIBC và AIH ; AH AI sin ABC ; DBC AI ; HI VABCD Câu 26 1 2S ABC 2S S sin AH S DBC AI sin .S2 sin .S2 3 BC 3BC (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình chóp S ABCD đáy là hình vuông cạnh a , SA vuông góc với mặt phẳng ABCD , SA a M , K tương ứng là trọng tâm tam giác SAB, SCD ; N là Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (331) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 m trung điểm BC Thể tích khối tứ diện SMNK a3 với m, n , m, n Giá trị m n n bằng: A 28 B 12 C 19 D 32 Lời giải Chọn A a3 Ta có: VS ABCD SA.S ABCD 3 Gọi I là trung điểm AB , J là trung điểm CD Ta có: SMN đồng dạng với SIJ theo tỉ số 2 Do đó VSMNK VP.SMN VP.SIJ VP.SIJ 3 Mặt khác SPIJ 1 a3 S ABCD Do đo VP.SIJ VS PIJ VS ABCD 12 4 a3 a Nên VSMNK 12 27 Vậy m 1, n 27 m n 28 Câu 27 (Chuyên Quang Trung - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABCD AB C D có đáy là hình thoi có 120 Gọi M , N , K là trung điểm cạnh AB, BC , BD Thể cạnh 4a , AA 8a , BAD tích khối da diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B, C , M , N , K là: A 12 a B 28 3 a C 16 a D 40 3 a Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (332) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AC , MNCA là hình thang VK MNCA VB.MNCA MN / / AC ; MN VMNKABC DK cắt (B’AC) B’, d K ; ( MNCA) B'K 1 VK MNCA VD.MNCA B'D d D;( MNCA) 2 Mà: VB.MNCA VD.MNCA nên ta có: VMNKABC VB.MNCA VB.MNCA VB.MNCA 2 3 3 Mặt khác: SMNCA S B ' AC VB.MNCA VB B ' AC VB ' ABC VABCD A ' B 'C ' D ' 3a 4 4 3 VMNKABC VB.MNCA a 12 a 2 Câu 28 (Chuyên Sơn La - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc 60 Gọi M là điểm đối xứng C qua D, N là trung điểm SC Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp S ABCD thành hai phần (như hình vẽ bên) Tỉ số thể tích hai phần VSABFEN VBFDCNE A B C D Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (333) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Lời giải Chọn A Ta có N là trung điểm SO , D là trung điểm CM nên E là trọng tâm tam giác SCM Ký hiệu h, S ,V tương ứng là chiều cao, diện tích đáy và thể tích khối chóp S ABCD ta có h V S BCM S VN BCM S 2 V ME MD MF 1 V V Khi đó M EDF VM EDF VM NCB MN MC MB 2 6 12 Như VBFDCNE Câu 29 V V 5V 7V V VSABFEN SABFEN 12 12 12 VBFDCNE (Chuyên Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông cạnh 2 Cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh SB , SC , SD M , N , P Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP A 32 B 64 2 108 Lời giải C D 125 Chọn A SA BC Ta có: BC SAB BC MA AB BC Lại có MA SC MA SBC MA MC 1 2 3 Tương tự: AP PC Mặt khác AN NC Gọi I là trung điểm AC , từ 1 2 3 ta có IN IM IC IP IA Mặt cầu ngoại tiếp CMNP là mặt cầu tâm I , bán kính IA AC IA 2 2 2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (334) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 32 Thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP là: V 23 3 Câu 30 (Chuyên Thái Nguyên - 2020) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh B , AB , SA SB SC 12 Gọi M , N , E là trung điểm AC , BC , AB Trên cạnh BF Thể tích khối tứ diện MNEF SB lấy điểm F cho BS A 34 B 34 34 Lời giải C D 16 34 Chọn C Vì SA SB SC nên hình chiếu S lên ABC là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC , suy SM ABC Từ AB AC Tam giác SAM vuông M nên SM SA2 AM 12 2 34 1 1 16 34 Thể tích VS ABC S ABC SM AB SM 42 34 3 3 Suy thể tích 1 1 32 34 34 VMNEF S MNE d F , MNE S ABC SM VS ABC 3 12 12 Câu 31 (Đại Học Hà Tĩnh - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có thể tích V Gọi G1 ,G , G3 , G4 là trọng tâm bốn mặt tứ diện ABCD Thể tích khối tứ diện G1 G G3G4 là: A V 12 B V V 27 Lời giải C D V 18 Chọn C Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (335) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi H , E, F là trung điểm BD, BC, CD AG4 AG3 G3G4 / / HE 1 AE AH AG3 AG2 G2G3 / / HF 2 Tương tự AF AH Ta có Từ 1 , 2 G4 G2G3 / / DBC d G1; G2G3G4 d G ; BCD d A; BCD G G AG2 Tam giác G G3G4 đồng dạng tam giác HEF là HF AF 1 2 S G2G3G4 S HEF S ABC S ABC 9 Thể tích khối tứ diện G1 G G3G4 là: 1 1 V V d G1; G2G3G4 SG2G3G4 d A; BCD S ABC VABCD 3 27 27 Câu 32 (Sở Hà Tĩnh - 2020) Cho hình lập phương ABCD AB C D có thể tích V Gọi M là điểm thuộc cạnh BB cho BM MB Mặt phẳng ( ) qua M và vuông góc với AC cắt các cạnh DD, DC , BC N , P , Q Gọi V1 là thể tích khối đa diện CPQMNC Tính tỷ số V1 V A 31 162 B 35 162 34 162 Lời giải C D 13 162 Chọn B Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (336) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Theo giả thiết ( ) DD N , ( ) CD P, ( ) BC Q Từ tính chất hình lập phương ta có ( ACC ) BD suy BD AC đó BD //( ) , từ đây ta suy MN //BD; PQ //BD ta có DN ND AB BC Ta xác định vị trí P, Q sau: Ta có BC ( ABC ) BC AC vì BC BC ( )//BC đó MQ //B C , ta BQ 2QC , và theo trên PQ //BD ta lại có DP 2PC Vậy các điểm M , N , P , Q hoàn toàn xác định Gọi S là điểm trên cạnh CC thỏa mãn CS 2SC và R là điểm trên đường thẳng CC thỏa mãn MBCR là hình bình hành Khi đó ta có R nằm trên mặt phẳng ( ) và ( MNS )//( ABC D) Đặt V0 VRCPQ ;V2 VC MSN đó V1 VRMNS VC MSN VRCPQ Đặt cạnh hình lập phương là AB 3x ta có V (3x)3 27 x V SN SM SR x3 3 x3 RMNS x x V1 35 đó 3x V 27 x 162 VC MSN SM SN SC x3 VRCPQ CP.CQ.CR Vậy Câu 33 V1 35 V 162 (Sở Bắc Ninh - 2020) Cho tứ diện ABCD có thể tích 18 Gọi A1 là trọng tâm tam giác BCD ; P là mặt phẳng qua A cho góc P và mặt phẳng BCD 600 Các đường thẳng qua B; C; D song song với AA1 cắt P B1; C1; D1 Thể tích khối tứ diện A1B1C1D1 bằng? A 12 B 18 C Lời giải D 12 Chọn B Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (337) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 C1 B1 A D1 D A1 B C Từ giả thiết A1 là trọng tâm tam giác BCD nên ta suy A là trọng tâm tam giác B1C1D1 Do đó VA.BCD 3VA A1BC 3VB AA1C và VA1 B1C1D1 3VA1 AB1C1 3VB1 AA1C1 d B ; AA CC d B1 ; AA1CC1 Mặt khác quan hệ song song nên 1 VB AA1C VB1 AA1C1 S AA1C S AA1C1 Vậy nên VA1 B1C1D1 VA BCD 18 Câu 34 (Sở Bình Phước - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên a Xét điểm M thay đổi trên mặt phẳng SCD cho tổng Q MA MB MC MD MS nhỏ Gọi V1 là thể tích khối chóp S.ABCD và 2 2 V2 là thể tích khối chóp M ACD Tỉ số A 11 140 B 22 35 V2 V1 11 70 Lời giải C D 11 35 Chọn C Gọi O là tâm hình vuông ABCD và I là điểm trên đoạn thẳng SO cho IO IS Ta có: Q MO OA MO OB MO OC MO OD MS Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (338) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 MO MS 4OA2 MI IO MI IS 4OA2 5MI IO IS 4OA2 Vì IO IS 4OA const nên Q nhỏ MI nhỏ M là hình chiếu I trên (SCD ) Gọi E là trung điểm CD , H là hình chiếu O trên (SCD ) M , H SE a a 3a , SE , SH 2 12a 11a SM SI Vì ME SE SM SM SH SO 5 10 d M ,( ABCD ).S ACD d M ,( ABCD ) ME 11 V 11 11 Ta có 23 V1 35 70 d S ,( ABCD ) SE 35 d S ,( ABCD ).S ABCD Ta có SO Câu 35 (Hậu Lộc - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh bên tạo với đường cao góc 30 o , O là trọng tâm tam giác ABC Một hình chóp thứ hai O A ' B ' C ' có S là tâm tam giác A ' B ' C ' và cạnh bên hình chóp O A ' B ' C ' tạo với đường cao góc 60 o cho cạnh bên SA, SB , SC cắt các cạnh bên OA ', OB ', OC ' Gọi V1 là phần thể tích phần chung hai khối chóp S ABC và O A ' B ' C ', V2 là thể tích khối chóp S.ABC Tỉ số A 16 B 27 64 Lời giải C D 64 Chọn A Gọi E OA ' SA; F OB ' SB ; G OC ' SC Theo hình vẽ thể tích V1 VSEFGO ;V2 VS ABC Đặt SO x Do S ABC là hình chóp và O là tâm tam giác ABC nên SO ABC Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ V1 bằng: V2 (339) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do O A ' B ' C ' là hình chóp và S là tâm tam giác A ' B ' C ' nên OS A ' B ' C ' Từ đó ta có ABC / / A ' B ' C ' OA / / SA ' và SO OA; OS SA ' ASO 30o ; A ' OS 60o Ta có theo kiện bài toán ta có Ta có SE x x SE OE SO 2 SO 2x SA SA SO OA ' x OA ' OA SA x OA SA 2 SA ' SA ' x SO Ta có: OA AB OA x 3 A ' B ' SA ' A ' B ' SA ' x Ta có: AB x x3 V2 VS ABC x 12 VO A ' B 'C ' x x3 3 x 4 Ta có: VS EFG VS ABC x SE SF SG SE SA SB SC SA x 3 27 27 x3 VS EFG 64 12 64 VO.EFG VO A ' B ' C ' x OE OF OG OE 1 x3 3 V V O EFG O A ' B ' C ' OA ' OB ' OC ' OA ' x 64 64 64 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 29 (340) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 3x3 3x V 364 64 V2 x 16 12 V1 VS EFG VO.EFG Câu 36 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất các cạnh a , tâm đáy là O Gọi M , N tương ứng là trung điểm các cạnh SA , SC Gọi E là giao điểm SD và mặt phẳng BMN Tính thể tích V khối chóp O.BMEN A V a3 18 B V a3 24 C V a3 12 D V a3 36 Lời giải Chọn D Gọi K MN SO , đó BK cắt SD E Kẻ OO / / BE Do MN là đường trung bình SAC nên K là trung điểm SO Suy VO.BMEN VS BMEN Ta có: VS BME SM SE SE V SN SE SE và S BNE VS BAD SA SD SD VS BCD SC SD SD SE Suy VS BMEN VS BME VS BNE VS ABCD SD Vì OO / / BE O là trung điểm ED Mặt khác: KE / / OO E là trung điểm SO Do đó SE EO OD SE SD Suy VS BMEN VS ABCD Ta có: S ABCD a 2 a 2 a BD Xét SOA vuông O có: SO SA OA SA a 2 a3 Do đó: VS ABCD S ABCD SO a a3 Vậy VS BMEN 6 36 Trang 30 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (341) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 37 (Lê Lai - Thanh Hóa - 2020) Cho hình chóp S ABCD có cạnh đáy a Mặt bên tạo với AB M 60o 30o SC , SD đáy góc Mặt phẳng P chứa và tạo với đáy góc và cắt và N V S ABMN a Tính thể tích khối chóp theo A V a3 B V 5a3 48 C V a3 D V a3 16 Lời giải Chọn D Gọi AC BD O SO ABCD (vì S ABCD là hình chóp đều) Gọi I , J là hình chiếu vuông góc O trên DC , AB và gọi SO P E SDC , ABCD SOI 60o và P , ABCD EJO 30 o SJI JE là phân giác góc SJI F là trung điểm SI 1 (với Khi đó tam giác SIJ Mà E JO 30o JE SI F ) Mặt khác CD //AB CD // P CD //MN Từ 1 và suy MN là đường trung bình tam giác SBC SM SN SC SD 1 VS ABM SM VS ABM VS ABC VS ABCD V SC 2 S ABC Khi đó ta có 1 VS AMN SM SN V VS ACD VS ABCD S AMN VS ACD SC SD 2 4 1 VS ABMN VS ABM VS AMN VS ABCD VS ABCD VS ABCD * 8 Tam giác SIJ cạnh a SO a 1 a a3 VS ABCD SO.S ABCD a 3 2* a3 a3 Thay * vào * ta VS ABMN 16 Câu 38 (Nguyễn Huệ - Phú Yên - 2020) Cho hình hộp ABCD ABC D có chiều cao và diện tích đáy 11 Gọi M là trung điểm AA, N là điểm trên cạnh BB cho BN 3BN và P là điểm trên cạnh CC cho 6CP 5C P Mặt phẳng MNP cắt cạnh DD Q Thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm A, B , C , D , M , N , P và Q A 88 B 42 C 44 D 220 Lời giải Chọn B Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 31 (342) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AM BN CP Cho hình lăng trụ hình vẽ, VABC MNP VABC ABC AA BB CC Chứng minh: VABC MNP VN ACB VN ACPM VN ACB VN ACPM VB ACC A BN BN VB ' ACB VABC ABC BB BB S ACPM CP AM CP AM S ACC A AA CC AA CP AM VN ACPM VABC ABC CC AA Từ đó ta suy điều phải chứng minh Bây ta áp dụng vào giải bài toán ADDA // BCC B Ta có: MQ MNP ADDA NP //MQ , tương tự ta có MN //PQ Do đó MNPQ là NP MNP BCC B hình bình hành Ta có OI là đường trung bình hai hình thang 2OI MA PC DQ NB AMPC và MA PC BN DQ AA CC BB DD Trang 32 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ BNQD suy (343) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dựa vào hình vẽ ta chia khối lăng trụ làm hai phần cắt mặt phẳng BDDB Do đó VADB ADB VBDC BDC 44 VABCD MNPQ VABD.MNQ VBCD NPQ MA BN DQ CP BN DQ VABD ABD VBCD.BC D AA BB DD CC BB DD MA BN DQ CP BN DQ VABC ABC AA BB DD CC BB DD MA CP VABC ABC 3.2 AA CC MA CP VABC ABC AA CC 1 88 42 11 Câu 39 (Nguyễn Trãi - Thái Bình - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên SAB là tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD và có diện tích 27 (đvdt) Một mặt phẳng qua trọng tâm tam giác SAB và song song với mặt đáy ABCD chia khối chóp S.ABCD thành hai phần, tính thể tích V phần chứa điểm S A V B V 24 C V 36 D V 12 Lời giải Chọn D Gọi H là trung điểm AB Do SAB và SAB ABCD nên SH ABCD AB 27 AB 3 3 AB 3 SH 4 2 2 1 81 (đvtt) VS ABCD S ABCD SH AB SH 3 3 2 Gọi G là trọng tâm tam giác SAB , qua G kẻ đường thẳng song song với AB , cắt SA và SB M , N Qua N kẻ đường thẳng song song với BC cắt SC P , qua M kẻ đường Ta có SSAB thẳng song song với AD cắt SD Q Suy MNPQ là mặt phẳng qua G và song song với ABCD Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 33 (344) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Khi đó SM SN SP SQ SG SA SB SC SD SH 3 V SM SN SP 8 Có S MNP VS MNP VS ABC VS ABCD VS ABCD VS ABC SA SB SC 27 27 27 27 Có VS MPQ VS ACD SM SP SQ 8 VS MPQ VS ACD VS ABCD VS ABCD SA SC SD 27 27 27 27 Vậy VS MNPQ VS MNP VS MPQ Câu 40 4 8 81 VS ABCD VS ABCD VS ABCD 12 (đvtt) 27 27 27 27 (Tiên Du - Bắc Ninh - 2020) Cho hai hình chóp tam giác có cùng chiều cao Biết đỉnh hình chóp này trùng với tâm đáy hình chóp kia, cạnh bên hình chóp này cắt cạnh bên hình chóp Cạnh bên có độ dài a hình chóp thứ tạo với đường cao góc 300 , cạnh bên hình chóp thứ hai tạo với đường cao góc 450 Tính thể tích phần chung hai hình chóp đã cho? a3 A 64 B 2 a 32 a3 C 64 27 a D 64 Lời giải Chọn C B' D' A α C' M P H N B β D A' C Hai hình chóp A.BCD và A.BC D là hai hình chóp đều, có chung đường cao AA , A là tâm tam giác BC D và A là tâm tam giác BCD ; AAB Ta có: BCD // BC D ; AB AC AD a ; BAA Do AB cắt AB M nên AB // AB Gọi N là giao điểm AC và AC ; P là giao điểm AD và AD Tương tự ta có: AC // AC , AD // AD Từ đó suy các cạnh BCD và B C D song song với đôi Trang 34 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (345) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 MB AB MA AB MB NC NC AC MN // BC Ta có: NA AC MA NA AB AC ; AB AC Tương tự ta có: NP // CD và MP // BD Suy ra: MNP là tam giác Gọi H là giao điểm OO và MNP , H là tâm tam giác MNP Trong tam giác AAD có: AA AD.cos a.cos 1 Đặt x MH Hai tam giác AHM và tam giác AHM vuông H cho: AH MH cot x.cot AA x cot cot 2 AH MH cot x.cot Từ 1 và 2 suy ra: a.cos x cot cot x a.cos cot cot Tam giác MNP có cạnh MN x nên: S MNP MN 3 x 3 a cos 4 cot cot 2 Phần chung hai hình chóp A.BCD và A.BC D là hai hình chóp đỉnh A và A có chung mặt đáy là tam giác MNP Do đó thể tích nó là: 1 a 3.cos3 V SMNP AH AH S MNP AA 3 cot cot Với 30 và 45 thì V 32 Câu 41 a3 9a 64 1 (Lương Thế Vinh - Hà Nội - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành có diện tích 12a ; khoảng cách từ S tới mặt phẳng ABCD 4a Gọi L là trọng tâm tam giác ACD ; gọi T và V là trung điểm các cạnh SB và SC Mặt phẳng LTV chia hình chóp thành hai khối đa diện, hãy tính thể tích khối đa diện chứa đỉnh S A 20a B 8a 28a Lời giải C D 32a3 Chọn C Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 35 (346) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 V VS ABCD 12a 4a 16a3 Mặt phẳng LTV cắt AB, CD M và N cho MN / / BC / /TV Đặt V VS ADNMTV VS ABMN VS TVMN Ta có : VS ADNM V Xét khối chóp S.MNCB có đáy là hình bình hành : SM SN SB SC a 1; b 1; c 2; d 2 SM SN ST SV V abcd Khi đó S TVMN VS TVMN V V VS MNBC 4abcd 1 7 28 Do đó V V V V 16a a3 12 12 Câu 42 (Thanh Chương - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích Gọi M là trung điểm SA và N là điểm đối xứng của A qua D Mặt phẳng ( BMN ) chia khối chóp thành hai khối đa diện Gọi ( H ) là khối đa diện có chứa đỉnh Thể tích khối đa diện ( H ) A 12 B 12 Lời giải C D Chọn A Gọi O là tâm hình vuông ABCD ta có SO là chiều cao hình chóp Trong mặt phẳng ( SAD ) gọi I là giao điểm MN và SD ta suy I là trọng tâm tam SI NI SD NM Trong mặt phẳng ( ABCD ) gọi J là giao điểm BN và CD ta suy J là trung điểm giác SAN đó CD và BN 1 SO suy VMABN VS ABCD (1) 2 VABM DJI (2) Ta có S ABN S ABCD và d ( M , ( ABCD)) Từ giả thiết ta có V( H ) VS ABCD Xét khối chóp N ABM áp dụng công thức tính tỷ số thể tích ta có VNDJI 5 NI ND NJ 1 VNDJI VNABM VABM DJI VNABM VMABN (3) 6 VNABM NM NA NB 6 Từ (1), (2) và (3) ta có thể tích ( H ) là Trang 36 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (347) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 V( H ) VS ABCD VS ABCD 12 Vậy thể tích khối đa diện ( H ) 12 Câu 43 (Tiên Lãng - Hải Phòng - 2020) Cho tứ diện ABCD có thể tích V Gọi M , N , P , Q , R là trung điểm các cạnh AB , AD, AC , DC , BD và G là trọng tâm tam giác ABC (như hình vẽ) Tính thể tích khối đa diện lồi MNPQRG theo V A V B V V Lời giải C D 2V Chọn C Ta có VMNPQRG VG.MPQR VN MPQR VG.MPQR VB.MPQR VB PQR 3 2 VP BQR VA.BQR 3 1 VA BCD V 12 VN MPQR 2VN MPR 2.VP.MNR 1 VC MNR VC ABD V 1 V Vậy VMNPQRG V V 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 37 (348) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 44 (Trần Phú - Quảng Ninh - 2020) Cho lăng trụ ABC ABC có thể tích Gọi M , N và P là các điểm nằm trên cạnh AB , BC và BC cho M là trung điểm AB , BN BC và BC Đường thẳng NP cắt đường thẳng BB E và đường thẳng EM cắt đường thẳng AB Q Thể tích khối đa diện lồi AQPCAMNC ' BP A 23 B 23 59 12 Lời giải C D 19 Chọn C BP EB EQ EP EB EM EN BN 3 Suy d E , ABC d B, ABC S B N BM Mà ta lại có BMN S ABC BC BA Ta có Và VE MBN d E , MBN S MBN VABC ABC 16 Ta lại có VE QPB VE MNB EQ EP EB EB EM EN EB EB 27 26 VE MBN 27 26 59 VABC ABC VBQP BMN 27 12 Suy VBQP.BMN VE MBN VEBQP Vậy VAQPCAMNC HẾT Trang 38 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (349) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN Chuyên đề 15 Câu DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM (Mã 102 2018) Ông A dự định sử dụng hết 6, 7m kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 1, 23m3 B 2, 48m3 C 1, 57m D 1,11m3 Câu (Mã 104 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5, m kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng phần trăm)?: A 1, 40 m3 B 1, 01 m3 C 1, 51 m D 1,17 m3 Câu (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Người ta cần xây dựng bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích là 125m Đáy bể bơi là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Tính chiều rộng đáy bể bơi để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu (kết làm tròn đến hai chữ số thập phân)? A 3,12 m B 3,82m C 3, 62m D 3, 42m Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Người ta muốn thiết kế bể cá kính không có nắp với thể tích 72 dm , chiều cao là 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị dm ) hình vẽ Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày các kính và không ảnh hưởng đến thể tích bể Câu Câu A a 24 dm ; b 24 dm B a 6dm ; b 4dm C a dm ; b dm D a 4dm ; b 6dm (Mã 110 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x 14 B x C x D x (Sở Vĩnh Phúc 2019) Xét khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân A , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Gọi là góc hai mặt phẳng SBC và ABC , giá trị cos thể tích khối chóp S ABC nhỏ là B C D 3 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB x , AD Biết góc đường thẳng AC và mặt phẳng ABBA 30 Tìm giá trị lớn Vmax A Câu thể tích khối hộp ABCD ABC D A Vmax 3 B Vmax C Vmax D Vmax Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (350) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Nhân ngày quốc tế Phụ nữ – năm 2019 Ông A đã mua tặng vợ món quà và đặt nó hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và không nắp Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị nó, ông định mạ vàng hộp, biết độ dày lớp mạ trên điểm hộp là không đổi và Gọi chiều cao và cạnh đáy hộp là h và x Để lượng vàng trên hộp là nhỏ thì giá trị h và x là? A h , x Câu B h , x C h , x D h , x (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB BC CD DA và AC , BD thay đổi Giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD 3 B C D 27 27 9 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp SABC có SA x, SB y , AB AC SB SC A Câu 10 Thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn tổng x y A Câu 11 B C D (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có tổng diện tích tất các mặt là 36, độ dài đường chéo AC ' Hỏi thể tích khối hộp lớn là bao nhiêu? A Câu 12 B 6 C 24 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có SC x D 16 x a , các cạnh còn lại a Biết thể tích khối chóp S ABCD lớn và x a m n m, n * Mệnh đề nào sau đây đúng? A m 2n 10 B m n 30 C 2n2 3m 15 D 4m n 20 Câu 13 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho tứ diện ABCD có AB x , CD y , tất các cạnh còn lại Khi thể tích tứ diện ABCD là lớn tính xy 16 A B C 3 Câu 14 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V Điểm D P là trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB M và N Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AMPN Giá trị lớn V1 V thuộc khoảng nào sau đây? 1 5 A 0; Câu 15 1 1 3 B ; 1 1 3 2 C ; 1 2 D ;1 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong thi làm đồ dùng học tập trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác cách lấy mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh 5cm (tham khảo hình vẽ) Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (351) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Cắt mảnh tôn theo các tam giác cân AEB , BFC , CGD , DHA và sau đó gò các tam giác AEH , BEF , CFG , DGH cho bốn đỉnh A , B , C , D trùng tạo thành khối chóp tứ giác Thể tích lớn khối chóp tứ giác tạo thành A Câu 16 10 B 10 C 10 D 10 Cho khối lập phương ABCD ABC D cạnh a Các điểm M , N di động trên các tia AC, BD cho AM BN a Thể tích khối tứ diện AMNB có giá trị lớn là a3 a3 a3 a3 B C D 12 12 Câu 17 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG V cắt các cạnh SB, SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số S AMN là? VS ABC A Câu 18 (Chuyên Biên Hòa hành Hai điểm M , N AB AD cho 3 AM AN A 1 C D Hà Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình thuộc các đoạn thẳng AB và AD ( M và N không trùng với A ) B Kí hiệu V , V1 là thể tích các khối chóp S ABCD và S.MBCDN Tìm giá trị lớn tỉ số V1 V 13 11 B C D 16 12 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành A Câu 19 và có thể tích là V Gọi P là trung điểm SC Mặt phẳng chứa AP và cắt hai cạnh SD , SB M và N Gọi V là thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ tỉ V số V A B C D 3 Câu 20 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C , AB 2a và góc tạo hai mặt phẳng ABC và ABC 60 Gọi M , N là trung điểm AC và BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ A 3a 24 B 6a C 6a 24 D 3a3 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (352) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 21 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhôm đó bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x (cm), gập nhôm lại để cái hộp không nắp( tham khảo hình vẽ bên) Tìm x để hộp nhận có thể tích lớn (giả thiết bề dày tôn không đáng kể) A x B x C x D x Câu 22 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S.ABC có thể tích Mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt phẳng (ABC) cắt các cạnh SA, SB, SC M, N, P Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (ABC) M’, N’, P’ Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M’N’P’ 1 A B C D 27 Câu 23 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với ABCD A lấy điểm S di động không trùng với A Hình chiếu vuông góc A lên SB, SD H , K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK a3 a3 a3 a3 B C D 32 16 12 (Sở Hưng Yên - 2020) Khối chóp có đáy là hình bình hành, cạnh đáy a và các cạnh A Câu 24 bên a Thể tích khối chóp có giá trị lớn là 7a3 a D 12 Câu 25 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC , BD thỏa mãn AC BD 16 và các cạnh còn lại Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A 6a A Câu 26 32 B 8a B 16 C C 16 D 32 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S ABC , đáy là tam giác ABC có AB BC , AC BC , hình chiếu S lên ABC là trung điểm O cạnh AC Khoảng cách từ A đến SBC Mặt phẳng SBC hợp với mặt phẳng ABC góc thay đổi Biết giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC a , đó a, b * , a là số nguyên tố b Tổng a b A B C D Câu 27 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Gọi là góc hai mặt phẳng SBC và ABC , tính cos để thể tích khối chóp S ABC nhỏ Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (353) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A cos B cos C cos D cos 3 Câu 28 (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , y và vuông góc với mặt đáy ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M và x a Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S ABCM , biết x y a cạnh bên SA y đặt AM x a3 a3 a3 a3 B C D Câu 29 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung điểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt các cạnh SB , SD M và N Gọi V1 , V theo thứ tự là thể tích khối chóp S AMKN và khối chóp S.ABCD Giá trị nhỏ tỉ A Câu 30 số V1 V2 A B C D (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi là góc BC và mặt phẳng ABC Khi sin đạt giá trị lớn nhất, tính thể tích khối lăng trụ đã cho? A 6a B 3a 4 C 12a 4 D 27 a Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (354) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Chuyên đề 15 BÀI TOÁN CỰC TRỊ THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN DẠNG TOÁN DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Câu (Mã 102 2018) Ông A dự định sử dụng hết 6, 7m kính để làm bể cá kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A 1, 23m3 B 2, 48m3 C 1, 57m D 1,11m3 Lời giải Chọn C Gọi x là chiều rộng, ta có chiều dài là 2x Do diện tích đáy và các mặt bên là 6, 7m nên có chiều cao h ta có h nên x 6, x , 6x 6, Thể tích bể cá là V x 6, 6, x x 6, x và V x 0 x 3 Bảng biến thiên Bể cá có dung tích lớn 1, 57m Câu (Mã 104 2018) Ông A dự định sử dụng hết 5, m kính để làm bể cá có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể) Bể cá có dung tích lớn bao nhiêu (kết làm tròn đến hàng phần trăm)?: A 1, 40 m3 B 1, 01 m3 C 1, 51 m D 1,17 m3 Lời giải Chọn D Gọi x, x, h là chiều rộng, dài, cao bể cá Ta có x xh xh 5,5 h Thể tích bể cá V x 5,5 5,5 x ( Điều kiện x ) 6x 5, x (5, x x ) 6x 5,5 V / (5,5 x ) V / x Lập BBT suy Vmax Câu 11 33 1,17 m3 54 (THPT Lê Quy Đôn Điện Biên 2019) Người ta cần xây dựng bể bơi có dạng hình hộp chữ nhật có thể tích là 125m Đáy bể bơi là hình chữ nhật có chiều dài gấp ba lần chiều rộng Tính Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang (355) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 chiều rộng đáy bể bơi để thi công tiết kiệm nguyên vật liệu (kết làm tròn đến hai chữ số thập phân)? A 3,12 m B 3,82m C 3, 62m D 3, 42m Lời giải Chọn B Gọi chiều rộng hình hộp là a suy chiều dài là 3a , chiều cao là h V a.3a.h 3a h h V 125 2 3a 3a Diện tích thi công Stc a.3a a.h 3a.h 3a 2ah 6ah 3a 2a Áp dụng BĐT Cosi ta có 3a 125 125 1000 6a 3a 3a 3a 3a 1000 500 500 500 500 750000 3a 3 3a 3a 3a 3a 3a 3a 500 500 500 9a3 500 a 3, 82 3a 3a Ghi chú: Chúng ta có thể dung Phương pháp hàm số để tìm bài toán Diện tích thi công nhỏ 3a Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Người ta muốn thiết kế bể cá kính không có nắp với thể tích 72 dm , chiều cao là 3dm Một vách ngăn (cùng kính) giữa, chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước a, b (đơn vị dm ) hình vẽ Tính a, b để bể cá tốn ít nguyên liệu (tính kính giữa), coi bề dày các kính và không ảnh hưởng đến thể tích bể A a 24 dm ; b 24 dm B a dm ; b 4dm C a dm ; b dm D a dm ; b 6dm Lời giải 72 24 Thể tích bế cá: V 3ab 72dm3 b , với a, b 3a a Diện tích kính để làm bể cá hình vẽ: S 3.3a 2.3b ab 9a 144 144 24 24 9a 24 9a 24 S 96 a a a a a 144 a 4b6 a Vậy để bể cá tốn ít nguyên liệu thì a 4dm ; b 6dm S 96 9a Câu (Mã 110 2017) Xét khối tứ diện ABCD có cạnh AB x và các cạnh còn lại Tìm x để thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A x 14 B x C x Lời giải D x Chọn B Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (356) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi M , N là trung điểm CD và AB CD MB CD MN CD MAB CD MA CD AB Tam giác MAB cân M nên MN AB 1 VABCD AB.CD.d AB, CD sin AB, CD x.2 3.MN sin 90 6 Ta có 2 3 x 36 x x 3 x.2 32 x 36 x 6 2 Dấu " " xảy x 36 x x Câu (Sở Vĩnh Phúc 2019) Xét khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân A , SA vuông góc với mặt phẳng đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Gọi là góc hai mặt phẳng SBC và ABC , giá trị cos thể tích khối chóp S ABC nhỏ là A B 3 Lời giải C D Đặt SA h, AB AC a Ta có d A; SBC AH 3; 1 1 1 1 2 3 a2h 2 AH SA AB AC a a h ah SBC , ABC SMA Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (357) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 VS ABC a h Thể tích nhỏ a h SM a cos Câu AM a 2 SM a 3 (Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có AB x , AD Biết góc đường thẳng AC và mặt phẳng ABBA 30 Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối hộp ABCD ABC D A Vmax Ta có 3 B Vmax C Vmax Lời giải D Vmax BC BB CB ABBA AB là hình chiếu vuông góc AC trên mặt phẳng BC AB ABBA góc đường thẳng C (vì AC và mặt phẳng ABBA là góc AB, AC BA C nhọn BAC vuông B ) Vậy BA C 30 BA BC Ta có AB ; AA AB AB x tan 30 tan BA C VABCD ABC D AB AD AA x x x2 3 x2 Dấu xảy x x x x x (vì x ) Vậy Vmax Câu (THPT Quỳnh Lưu Nghệ An 2019) Nhân ngày quốc tế Phụ nữ – năm 2019 Ông A đã mua tặng vợ món quà và đặt nó hộp chữ nhật có thể tích là 32 (đvtt) có đáy là hình vuông và không nắp Để món quà trở nên đặc biệt và xứng tầm với giá trị nó, ông định mạ vàng hộp, biết độ dày lớp mạ trên điểm hộp là không đổi và Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (358) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Gọi chiều cao và cạnh đáy hộp là h và x Để lượng vàng trên hộp là nhỏ thì giá trị h và x là? A h , x ,x B h C h , x D h , x Lời giải 32 x2 32 256 Phần mạ vàng hộp: S x xh x x 2x x x Cách Ta có thể tích hộp: V x h 32 (đvtt), với x, h Suy h 128 128 128 128 256 x2 3 x2 96 (BĐT AM-GM) x x x x x 128 Đẳng thức xảy 2x hay x , đó h x Cách 256 Xét hàm số f x x với x x Ta có 2x Ta có f x x 256 x3 256 , f x x3 256 x ; f 96 2 x x BBT x f x f x 96 Dựa vào BBT ta thấy hàm số đạt GTNN x , đó h Vậy phương án A đúng Câu (THPT Lê Văn Thịnh Bắc Ninh 2019) Xét tứ diện ABCD có các cạnh AB BC CD DA và AC , BD thay đổi Giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD A 27 B 27 Lời giải C D Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (359) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi M , N là trung điểm BD , AC Đặt BD x , AC y x, y 0 Ta có CM BD, AM BD BD AMC Ta có MA MC x , MN x y , S AMC VABCD 1 2 DB.S AMC x y x y x y x2 y 3 3 VABCD x y2 x2 y2 27 Dấu đẳng thức xảy x y 27 Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD là Câu 10 1 MN AC y x y 2 27 (Chuyên Vĩnh Phúc 2019) Cho hình chóp SABC có SA x, SB y , AB AC SB SC Thể tích khối chóp SABC đạt giá trị lớn tổng x y A B Lời giải D C Chọn C Gọi M , N là trung điểm SA, BC và đặt a x, 2b y BC AN , BC SN BC SAN VSABC VBSAN VCSAN 2VBSAN BC.S SAN AB AC BC b MN AN MA2 b a 2 S SAN SA.NM a a b 2 AN VSABC 1 a2 b2 a2 b2 2ab a b V SABC 4a 2b a b 9 V SABC 243 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (360) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dấu xảy a b a b a b x y x y 3 Câu 11 2 (THPT Minh Châu Hưng Yên 2019) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A ' B ' C ' D ' có tổng diện tích tất các mặt là 36, độ dài đường chéo AC ' Hỏi thể tích khối hộp lớn là bao nhiêu? B 6 A C 24 Lời giải D 16 Chọn A +) Gọi độ dài AB a, AD b và AA c Ta có tổng diện tích tất các mặt là 36 nên 2ab 2bc 2ca 36 ab bc ca 18 1 Do độ dài đường chéo AC ' nên a2 b2 c 36 +) Thể tích khối hộp là V abc Ta có a b c a2 b2 c ab bc ca 72 a b c Từ 1 ab 18 c a b 18 c c c2 2c 18 Nên V abc c3 2c2 18c f c , c 0;6 c Ta có f c 3c 12 2c 18 c Lập bảng biến thiên ta Max V f 0;6 Câu 12 2 8 (Chuyên Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABCD có SC x x a , các cạnh còn lại a Biết thể tích khối chóp S ABCD lớn và x Mệnh đề nào sau đây đúng? A m 2n 10 B m n 30 C 2n 3m 15 Lời giải a m n m, n * D 4m n2 20 S x a a a I A D a O B a C Gọi I là trung điểm SC , O AC BD BI SC BD SC Ta có DI SC Mà ABCD là hình thoi nên BD AC Khi đó, BD SAC VS ABCD 2VS ABC 2VB.SAC AO AB BO AB BI OI AB SB SI OI x2 a2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (361) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AC AO x a SA2 SC SAC vuông S BO AB AO 3a x 1 3a x ax 3a x VS ABCD 2VB.SAC BO SA SC a x Ta có x 3a x x 3a x x 3a x 3a 2 VS ABCD a a Dấu “=” xảy x 3a x x Vậy, thể tích khối chóp S ABCD lớn và x a m 6; n 2 m 2n 10 Câu 13 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho tứ diện ABCD có AB x , CD y , tất các cạnh còn lại Khi thể tích tứ diện ABCD là lớn tính xy 16 A B C 3 D Lời giải Gọi M , N là trung điểm AB, CD Tam giác ADB, CAB là hai tam giác cân cạnh đáy AB nên DM AB và CM AB Suy AB MCD 1 x VABCD VB MCD VA MCD BM SMCD AM SMCD SMCD 3 Tam giác ABC ABD c.c.c nên CM DM MN CD 1 1 x2 y2 SMCD CD.MN y MC CN y BC BM CN y 2 2 4 y 16 x y xy xy VABCD 16 x y 16 xy xy xy 16 xy 12 12 12 3 xy xy 16 xy 16 12 12 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (362) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x y x y Dấu xảy 16 xy 16 xy xy 16 Vậy thể tích ABCD đạt giá trị lớn xy Câu 14 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và có thể tích V Điểm P là trung điểm SC , mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB M và N Gọi V1 là thể tích khối chóp S.AMPN Giá trị lớn V1 V thuộc khoảng nào sau đây? 1 5 A 0; 1 1 3 B ; 1 1 3 2 C ; 1 2 D ;1 Lời giải Gọi O AC BD , G AP SO, suy G là trọng tâm tam giác SAC Gọi P là mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SD và SB M và N P SBD MN Dễ thấy: P SAC AP MN , AP , SO đồng quy hay SBD SAC SO SM SN Đặt: x x 1 và y y 1 SD SB V1 VS AMP VS ANP V VS ADC VS ABP Từ tỷ lệ: M , N , G thẳng hàng SA SM SP SA SN SP x y SA SD SC SA SB SC S SMN S SMG S SNG SM SN SM SG SN SG SM SN S SBD S SDO S SBO SD SB SD SO SB SO SD SB x y Lại có: x 1 y 1 xy x y 3 V Từ đó suy ra: x y hay x y Vậy lớn V xy Câu 15 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong thi làm đồ dùng học tập trường phát động, bạn An nhờ bố làm hình chóp tứ giác cách lấy mảnh tôn hình vuông ABCD có cạnh 5cm (tham khảo hình vẽ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang (363) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 AEB, BFC , CGD , DHA và sau đó gò các tam giác AEH , BEF , CFG , DGH cho bốn đỉnh A, B, C, D trùng tạo thành khối chóp tứ giác Cắt mảnh tôn theo các tam giác cân Thể tích lớn khối chóp tứ giác tạo thành A 10 B 10 10 C D 10 Lời giải Gọi K là trung điểm AD, đặt HK x, x 2 5 5 Ta có EF FG GH HE x ; HD x 2 2 2 5 5 Suy SO SH OH HD OH x x 2 2 5 Ta có V x 2 2 2 2 2 5 5 5 x x x 5x 2 x 5 5 V 2 x x x , V 5x x Bảng biến thiên Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (364) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dựa vào bảng biến thiên, ta có Vmax Câu 16 10 x Cho khối lập phương ABCD ABC D cạnh a Các điểm M , N di động trên các tia AC, BD cho AM BN a Thể tích khối tứ diện AMNB có giá trị lớn là A a3 12 B a3 C a3 D a3 12 Lời giải Chọn A Ta có VABMN d N , ABM SABM 3 AM BD, ABM Do ACBD là tứ diện nên sin , sin B Suy VABMN 1 a D, ABM AB AM sin B AM AM BN BN sin B a AM BN a3 6 12 Vậy VABMN max Câu 17 a3 12 (Sở Bắc Ninh 2019) Cho tứ diện SABC có G là trọng tâm tứ diện, mặt phẳng quay quanh AG V cắt các cạnh SB, SC M , N Giá trị nhỏ tỉ số S AMN là? VS ABC A B Lời giải C D Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 11 (365) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi E , F , G là trung điểm BC , SA, EF suy G là trọng tâm tứ diện SABC Điểm I là giao điểm AG và SE Qua I dựng đường thẳng cắt các cạnh SB, SC M , N Suy AMN là mặt phẳng quay quanh AG thỏa mãn yêu cầu bài toán Kẻ GK // SE , K SA suy K là trung điểm FS KG AK KG SI Mà SI AS SE SE Cách 1: Kẻ BP // MN , CQ // MN ; P, Q SE Ta có: SM SI SN SI ; SB SP SC SQ BEP CEQ E là trung điểm PQ SP SQ 2SE (đúng trường hợp P Q E ) VS AMN SA SM SN SI SI AM GM SI SI SI 2 VS ABC SA SB SC SP SQ SP SQ SE SE Dấu " " xảy và SP SQ SE Hay P Q E MN // BC Ta có: Cách 2: Ta chứng minh SB SC SM SN Thật vậy, qua I kẻ các đường thẳng song song SB, SC cắt SC , SB tương ứng D, L Trang 12 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (366) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SB DB 3 NI SB 3NI IQ DI SB IQ Ta có: , 1 IQ SM NM SM NM IQ NI SM NM SC LC 3 MI SC 3MI SC IP IP LI Lại có: , 2 IP MI IP SN MN SN MN SN MN Từ 1 và ta có: SB SC MI NI 3 SM SN NM MN SB SC Suy x y ;y SM SN V SA SM SN AM GM Ta có: S AMN VS ABC SA SB SC xy x y Dấu " " xảy và x y MN // BC Cách 3: SB SC x; y , với x , y Đặt SM SN x y Ta có SI SE ( SB SC ) ( xSM ySN ) SM SN 3 3 x y Do I , M , N thẳng hàng nên x y 3 V SM SN 1 1 Ta có S AMN VS ABC SB SC x y xy ( x y ) VS AMN Vậy đạt giá trị nhỏ x y , hay MN qua I và song song với BC VS ABC Đặt x Câu 18 (Chuyên Biên Hòa - Hà Nam - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Hai điểm M , N thuộc các đoạn thẳng AB và AD ( M và N không trùng với A ) AB AD cho 3 Kí hiệu V , V1 là thể tích các khối chóp S ABCD và AM AN V S.MBCDN Tìm giá trị lớn tỉ số V 13 11 A B C D 16 12 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 13 (367) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có: VSADB AD AB 2.VSADB AD AB VSANM AN AM VSANM AN AM AD AB V1 AN AM AD AB AD AB V AN AM AN AM x 3x AD AB V Đặt x 2 x, x Khi đó 1 AN AM V x 3x 3x x V AD AB V V1 V V1 AN AM V ,1 x 3x x 6x 6x 4 13 Ta có: f x f x x f 2 16 3x x 3x2 8x Đặt f x Bảng biến thiên hàm số y f x Dựa vào bảng biến thiên ta hàm số đạt giá trị lớn là 13 x 16 V1 13 là V 16 (Chuyên ĐH Vinh - Nghệ An -2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Vậy giá trị lớn tỉ số Câu 19 và có thể tích là V Gọi P là trung điểm SC Mặt phẳng chứa AP và cắt hai cạnh SD , SB M và N Gọi V là thể tích khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ tỉ V số V A B C D 3 Lời giải Chọn B Trang 14 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (368) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Do qua A , P , M , N nên bốn điểm này đồng phẳng Áp dụng công thức VS AMNP a b c d SA SC SD SB a, c, d, b thỏa mãn với VS ABCD 4.a.b.c.d SA SP SM SN ac bd SA SC SD SB 1, và đặt d 0, b 0 SA SP SM SN V 1 b d Khi đó: với b d b d V 4.1.2.b.d V 1 b d V 1 V Vậy ta có: V 4.1.2.b.d V 4.2.b.d V 4bd Theo đề bài ta có: b d Theo bất đẳng thức bản: bd V 3 suy V 4bd bd V Vậy có giá trị nhỏ V Dấu “=” xảy b d b d Câu 20 (Chuyên KHTN - 2020) Cho khối lăng trụ đứng ABC ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân C , AB 2a và góc tạo hai mặt phẳng ABC và ABC 60 Gọi M , N là trung điểm AC và BC Mặt phẳng AMN chia khối lăng trụ thành hai phần Thể tích phần nhỏ A 3a 24 B 6a 6a 24 Lời giải C D 3a3 Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 15 (369) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Gọi I là trung điểm AB , suy AB CIC nên góc C AB và ABC là góc CI , C I , IC 60 suy C AB IC tan 60 a Tam giác C IC vuông C nên C C CI tan C Diện tích tam giác ABC là S ABC AB CI a Thể tích khối lăng trụ là V CC S ABC a a a 3 Trong ACC A , kéo dài AM cắt CC O Suy C M là đường trung bình OAC , đó OC 2CC 2a 1 1 Thể tích khối chóp VO ACN S ACN OC S ABC 2CC V 3 1 1 Thể tích khối chóp VO.C ME SC ME OC S ABC OC V 3 24 1 7 3a3 Do đó VC EM CAN VO ACN VO.C ME V V V a3 24 24 24 24 Vậy phần thể tích nhỏ là VCEM CAN Câu 21 3a 24 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho nhôm hình vuông cạnh 12 cm Người ta cắt bốn góc nhôm đó bốn hình vuông nhau, hình vuông có cạnh x (cm), gập nhôm lại để cái hộp không nắp( tham khảo hình vẽ bên) Tìm x để hộp nhận có thể tích lớn (giả thiết bề dày tôn không đáng kể) Trang 16 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (370) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A x B x C x Lời giải D x Chọn A Hình hộp có đáy là hình vuông cạnh 12 2x , chiều cao x x Điều kiện x 12 –2x 2 Thể tích khối hộp là V 12 x x x x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương x x x 6 x 6 x 2x x x x 43 x x 2.43 V 128 (hằng số) Dấu xảy x 2x x Vây thể tích khối hộp lớn x Câu 22 (Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S.ABC có thể tích Mặt phẳng (Q) thay đổi song song với mặt phẳng (ABC) cắt các cạnh SA, SB, SC M, N, P Qua M, N, P kẻ các đường thẳng song song với cắt mặt phẳng (ABC) M’, N’, P’ Tính giá trị lớn thể tích khối lăng trụ MNP.M’N’P’ 1 A B C D 27 Lời giải Chọn A Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 17 (371) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 SM SN SP x x 1 x SA SB SC S MNP NM NP.sin MNP NM NP x2 S ABC BA BC BA.BC.sin ABC S MNP x S ABC Gọi Gọi chiều cao hình chóp là SH , chiều cao lăng trụ là MH : MH AM x MH ' 1 x SH SH AS VS ABC SH S ABC SH SABC 3 VMNP.M ' N ' P ' MH '.SMNP 1 x SH x SABC x 1 x SH SABC = x 1 x Xét hàm số: f x 3x 3x3 với x 0;1 x (loai ) f ' x 6x 9x f ' x x Bảng biến thiên: x f'(x) + - f(x) Vậy: maxVMNP M ' N ' P ' Trang 18 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (372) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 23 (Chuyên Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình vuông ABCD cạnh a Trên đường thẳng vuông góc với ABCD A lấy điểm S di động không trùng với A Hình chiếu vuông góc A lên SB, SD H , K Tìm giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK A a3 32 B a3 a3 16 Lời giải C D a3 12 Chọn C Cách 1: a2 x Ta có VS ABD S ABD SA Lại có VS AHK SH SK SA VS ABD SB SD SB VS AHK x4 x a 2 .VS ABD 2 x4 SA SD x a a x5 x2 a2 Gọi O AC BD, G SO HK , I AG SC BC AB Ta có BC SAB BC AH , AH SAB BC SA AH SB Lại có AH SBC AH SC AH BC Chứng minh tương tự ta có AK SC SC AK Vì SC AHK , AI AHK SC AI SC AH Xét tam giác SAC vuông A , đặt SA x và có AC a , AI SC IC AC 2a 2a CI SI IS AS x2 x2 1 2a 2a a4 x3 VACHK S AHK CI S AHK SI VS AHK 3 x x x a 2 Ta lại có x a 2 x2 x2 x2 a2 3 AM GM 16 x 3a x3 3 (Dấu “=” xảy 2 3 x a 16a và x a ) Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 19 (373) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy VACHK a4 3 a3 VACHK 16a 16 Vậy giá trị lớn thể tích khối tứ diện ACHK a3 x SA a 16 Cách 2: a2 x a2 x VS ABD VS ABCD Gọi O AC BD O là trung điểm AC d A, HOK d C , HOK Đặt SA x, x VS ABCD VAHOK VCHOK VACHK 2VAHOK Xét tam giác SAB vuông A, có AH SB Tương tự tam giác SAD ta có Lại có SH SA2 x2 SB SB x a2 SK x2 SD x a VS AHK SH SK x4 x4 a x5 V V S AHK S ABD 2 VS ABD SB SD x a 2 x2 a2 x2 a2 Mặt khác d H , ABCD d S , ABCD Mà S ABO BH a2 a2 x d H , ABCD BS x a x2 a a2 1 a4 x S ABD VH ABO S ABO d H , ABO 12 x a Tương tự, ta có VK ADO a4 x 12 x a a x a x5 a4 x VACHK 2VAOHK VS ABD VS AHK VHABO VKADO 6 x a 2 x a VACHK a4 x3 x a 2 Xét hàm số f x Ta có f x x3 x2 a2 x 3a x x2 a2 trên khoảng 0; ; f x x a Trang 20 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (374) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Bảng biến thiên Quan sát bảng biến thiên, ta thấy f x đạt giá trị lớn x a 3 a 3 a a 3 a Vậy giá trị lớn VACHK Câu 24 2 a3 SA a 16 (Sở Hưng Yên - 2020) Khối chóp có đáy là hình bình hành, cạnh đáy a và các cạnh bên a Thể tích khối chóp có giá trị lớn là A 6a a Lời giải B 8a C D 7a3 12 Chọn D Gọi AC BD O SO AC SO ABCD Ta có SA SB SC SD a SO BD O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình bình hành ABCD ABCD là hình chữ nhật Không tính tổng quát, giả sử AD a và đặt AB x, x OA x a2 x2 a2 SO 7a x Xét SOA vuông O , ta có SO SA OA 2a 2 Lại có S ABCD a.x nên VS ABCD 2 1 S ABCD SO a.x a x Dấu “=” xảy và x AM GM 2 a x 7a x 7a3 12 a 14 Vậy thể tích lớn khối chóp đã cho là 7a 12 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 21 (375) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 25 (Kim Liên - Hà Nội - 2020) Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC , BD thỏa mãn AC BD 16 và các cạnh còn lại Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn A 32 B 16 C 16 D 32 Lời giải Chọn B Gọi I , K là trung điểm AC , BD Ta có: AC IB , AC ID AC BID VABCD 2.VABID VABID 1 1 AI S IBD AC IK BD (Do IB ID nên tam giác IBD cân I ) 3 2 BD 16 AC ; AC IK IB2 ID2 BD2 BD2 AC BD2 ID2 AD2 32 IK 2 4 4 2 AC.4 16 AC AC 16 AC , AC 12 Đặt t AC , (0 t 4) VABCD Xét f (t ) t 16 t , (0 t 4) Ta có: 16 Tìm giá trị lớn thể tích, ta có thể dùng cách khác sau: Áp dụng BĐT Cauchy cho số: AC và 16 AC Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn là Ta có: AC 16 AC AC 16 AC AC 16 AC Đẳng thức xảy AC 16 AC AC 2 Trang 22 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (376) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Vậy thể tích khối tứ diện cần tìm đạt giá trị lớn là Câu 26 16 (Liên trường Nghệ An - 2020) Cho hình chóp S ABC , đáy là tam giác ABC có AB BC , AC BC , hình chiếu S lên ABC là trung điểm O cạnh AC Khoảng cách từ A đến SBC Mặt phẳng SBC hợp với mặt phẳng ABC góc thay đổi Biết giá trị nhỏ thể tích khối chóp S ABC Tổng a b A B C a , đó a, b * , a là số nguyên tố b D Lời giải Áp dụng định lý Hê-rông tam giác ABC ta diện tích S ABC BC Từ O kẻ OI BC I , suy góc tạo SBC và ABC là SIO Từ O kẻ OH SI H thì d A, SBC 2d O, SBC OH OH OH sin sin OH Tam giác SOI vuông O nên SO OI tan tan sin cos Mà diện tích 2S S ABC BC 2OI d A, BC ABC BC OI BC S ABC OI BC sin 1 1 Thể tích khối chóp là V S ABC SO 3 sin cos Tam giác OHI vuông H nên OI Xét hàm số f x 1 x x x x trên 0;1 , f x 3x , f x x Bảng biến thiên Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 23 (377) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Suy f x , x 0;1 1 1 V cos cos 3 Vậy a 3, b a b Do đó 1 cos x cos x Câu 27 (Lý Nhân Tông - Bắc Ninh - 2020) Xét khối chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân A , SA vuông góc với đáy, khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC Gọi là góc hai mặt phẳng SBC và ABC , tính cos để thể tích khối chóp S ABC nhỏ A cos B cos C cos Lời giải D cos Chọn A Gọi H là trung điểm BC AH BC (vì tam giác ABC vuông cân A ) AH BC cmt BC SAH BC SH Ta có SA BC SA ABC ABC SBC BC Ta có AH BC ABC , SBC AH , SH SHA SH BC Kẻ AK SH , với K SH AK SH gt AK SBC d A , SBC AK Ta có AK BC BC SAH AK Tam giác SHK vuông K có AH sin sin Trang 24 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (378) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 AK Tam giác SAK vuông K có SA sin 90 cos Tam giác ABC vuông cân A có H là trung điểm BC BC AH và sin BC 2 sin 1 6 Vậy S ABC AB AC 2 sin sin sin 1 9 VS ABC S ABC SA 3 sin cos 1 cos cos AB AC Xét hàm số y 1 cos cos với 0; 2 Đặt t cos t 0;1 y 1 t t t t 0;1 t Suy y 3t 0;1 t 3 Ta có y , y 1 , y 3 cos (Yên Lạc - Vĩnh Phúc - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , Vậy để thể tích khối chóp nhỏ thì 1 cos cos lớn Câu 28 y và vuông góc với mặt đáy ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M và x a Tính thể tích lớn Vmax khối chóp S ABCM , biết x y a cạnh bên SA y đặt AM x A a3 B a3 a3 Lời giải C D a3 Chọn C 1 AM BC AB x a a 2 1 a Vậy thể tích khối chóp S ABCM là V SA.S ABCM y ax a xy ay 3 Ta có: S ABCM Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 25 (379) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 V2 a2 36 2 y x a V a2 x2 x a 36 a Xét hàm số f x a x x a trên khoảng 0;a 2 Ta có: f x 2 x x a a x x a x a a x f x x a (Vì x ) Bảng biến thiên a2 a 27a a Từ bảng biến thiên suy ra: max f x f a a 0;a 16 2 a2 a 27a a 3 max f x 36 0; a 36 16 Câu 29 (Kìm Thành - Hải Dương - 2020) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trung điểm SC Mặt phẳng chứa AK cắt các cạnh SB , SD M và N Gọi V1 , V theo thứ tự là thể tích khối chóp S AMKN và khối chóp S ABCD Giá trị nhỏ tỉ Vậy Vmax số V1 V2 A B Lời giải C D Chọn C Giả sử x SM SN , y SB SD 1 Ta có ABCD là hình bình hành nên VS ABC VS ACD VS ABCD V 2 SM SK SK SN 1 1 VS AMKN VS AMK VS AKN VS ABC VS ACD x V y V V x y SB SC SC SD 2 2 V1 x y V Trang 26 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (380) TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 SM SN SK SM SN VS ABD VS ABC Mặt khác, VS AMKN VS AMN VS KMN SB SD SC SB SD 1 3xy V 3xy V1 xy.V xy V V 1 2 V Do đó x y xy x y 3xy 4 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 3xy x y xy xy xy V 3 Do đó xy V 4 x y xy Dấu " " xảy x y x y V1 là V Vậy giá trị nhỏ Câu 30 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2020) Cho lăng trụ tam giác ABC ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi là góc BC và mặt phẳng ABC Khi sin đạt giá trị lớn nhất, tính thể tích khối lăng trụ đã cho? A 6a 12a Lời giải 3a B 4 C D 27a Chọn D Đặt AA' x x Gọi h d A, A' BC d C ' , A'BC Dựng AM BC , AE A' M h d A, A' BC Khi đó ta có h a 3x x 3a d C ' , A' BC AE A' A.MA A' A2 AM và BC ' a x Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 27 (381) NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Ta có sin h BC ' a 3x x 3a x a a x2 3a2 x2 a2 x2 x 3a x a Ta có sin lớn nhỏ x2 x 3a x a 3a Mà x2 a 4a x Dấu x x 3a x2 x a4 a 27 a3 , đó thể tích khối lăng trụ 4 HẾT Trang 28 Fanpage Nguyễn Bảo Vương https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ (382)