Phương pháp lặp giải bài toán về độ uốn của bản có giá đỡ

i ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HỒNG THU HỢP PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN VỀ ĐỘ UỐN CỦA BẢN CĨ GIÁ ĐỠ Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 60.46.01.12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2014 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ ii LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, nhận đƣợc động viên đóng góp nhiệt tình từ thầy giáo trƣờng ĐHKH – Đại học Thái Nguyên, xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy cô giáo Đặc biệt gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS Vũ Vinh Quang ngƣời thầy đề xuất hƣớng nghiên cứu, động viên thƣờng xuyên tận tâm bảo nghiêm túc chuyên môn suốt thời gian qua để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn gia đình, bạn bè ngƣời thân động viên khuyến khích giúp đỡ tơi suốt q trình hồn thành luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 08 năm 2014 Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iii MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN i MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian C k (W) 1.1.2 Không gian L p (W) 1.1.3 Không gian W 1, p (W) ( ) 1.1.4 Không gian H W khái niệm vết hàm 1.1.5 Công thức Green, bất đẳng thức Poincare 1.1.6 Không gian Sobolev với số âm H - - (W) H (¶ W) 10 1.2 Phƣơng trình elliptic 11 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu phƣơng trình 12 1.2.2 Phát biểu toán biên 13 1.3 Kiến thức sơ đồ lặp 15 1.3.1 Lƣợc đồ lặp hai lớp 15 Xét toán: 15 1.3.2 Lƣợc đồ dừng, định lý hội tụ phƣơng pháp lặp 16 Chƣơng 18 PHƢƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TỐN SONG ĐIỀU HỊA 18 2.1 Mơ hình tốn song điều hịa 18 2.1.1 Tốn tử song điều hịa 18 2.1.2 Các điều kiện biên phƣơng trình song điều hịa 19 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ iv 2.2 Phƣơng pháp xấp xỉ biên giải tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 20 2.2.1 Phƣơng pháp kết hợp giải tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh 20 2.3 Sơ đồ lặp phƣơng pháp 24 Chƣơng 28 CÁC SƠ ĐỒ LẶP GIẢI BÀI TOÁN VỀ ĐỘ UỐN 28 CỦA BẢN CÓ GIÁ ĐỠ 28 3.1 Mơ hình tốn học 28 3.2 Phƣơng pháp lặp kết hợp giải tốn có giá đỡ 30 3.2.1 Mô tả phƣơng pháp 30 3.2.2 Sơ đồ lặp kết hợp 32 3.2.3 Các ví dụ thử nghiệm 34 3.3 Phƣơng pháp kết hợp giải tốn có hai giá đỡ bên 37 3.3.1 Mô tả phƣơng pháp 37 3.3.2 Các ví dụ thử nghiệm 39 KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 PHẦN PHỤ LỤC 44 Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ MỞ ĐẦU Trong thực tế, nghiên cứu toán học vật lý kỹ thuật cách mơ hình hóa, tốn thƣờng dẫn đến dạng phƣơng trình elliptic cấp dạng phƣơng trình song điều hịa với điều kiện biên khác Khi điều kiện biên toán xét khơng tồn điểm kì dị có nhiều phƣơng pháp tác giả giới để tìm nghiệm gần toán tƣơng ứng nhƣ phƣơng pháp sai phân, phƣơng pháp phần tử hữu hạn… Trong trƣờng hợp điều kiện biên tốn tồn điểm kì dị điểm phân cách loại điều kiện biên hàm đạo hàm, điều thƣờng sảy với mơ hình tốn học vật liệu đàn hồi Khi phƣơng pháp tìm nghiệm thơng thƣờng gặp khó khăn Đối với tốn thuộc dạng này, để tìm nghiệm xấp xỉ ta sử dụng phƣơng pháp tích phân biên hàm kì dị tìm nghiệm dƣới dạng khai triển thơng qua hệ hàm sở Một hƣớng nghiên cứu khác xây dựng sơ đồ lặp dựa tƣ tƣởng chia miền Mục đích luận văn tìm hiểu tốn độ uốn có giá đỡ bên trong, tốn điển hình học Mơ hình tốn học tốn tốn song điều hịa với điều kiện biên kì dị Xây dựng sơ đồ lặp dựa tƣ tƣởng chia miền tìm nghiệm xấp xỉ tốn Đồng thời tiến hành thực nghiệm tính toán để kết luận hội tụ phƣơng pháp lặp Nội dung luận văn gồm chƣơng: Chƣơng 1: Trình bày kết lý thuyết quan trọng không gian Sobolev, bất đẳng thức Green, bất đẳng thức Poincare, phƣơng trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu toán biên, lý thuyết phƣơng pháp lặp tốn tử Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chƣơng 2: Trình bày kiến thức tốn song điều hịa, sở phƣơng pháp lặp kết hợp giải tốn song điều hịa với điều kiện biên hỗn hợp mạnh Chƣơng 3: Nghiên cứu mơ hình tốn độ uốn có giá đỡ, sở phƣơng pháp chia miền phƣơng pháp lặp luận văn đƣa sơ đồ lặp giải toán độ uốn có giá đỡ bên trong, tiến hành thực nghiệm kiểm tra tính đắn phƣơng pháp đƣa Trong luận văn, chƣơng trình thực nghiệm đƣợc lập trình ngơn ngữ Matlab chạy máy tính PC Mặc dù cố gắng xong nội dung luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận đƣợc đóng góp thầy giáo anh chị em bạn bè đồng nghiệp để luận văn đƣợc hồn thiện Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chƣơng này, luận văn trình bày kết lý thuyết quan trọng không gian Sobolev, bất đẳng thức Green, bất đẳng thức Poincare, phƣơng trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu toán biên, lý thuyết phƣơng pháp lặp toán tử Các kết tảng mặt lý thuyết đƣợc sử dụng chƣơng sau luận văn 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian C k (W) Giả sử W miền bị chặn không gian Euclid n chiều ¡ n W bao đóng W Ta kí hiệu C k (W), (k = 0,1, ) tập hàm có đạo hàm đến cấp k kể k W, liên tục W Ta đƣa vào C k (W) chuẩn: u ( C k (W) å = a =k a = a 1, a , , a n max D a u (x ) xỴ W ) đƣợc gọi đa số vectơ với tọa độ nguyên không âm, a = a + a + + a n : a D u= ¶ a + + a n a u a ¶ x 1 ¶ x n n Sự hội tụ theo chuẩn cho hội tụ W hàm tất đạo hàm chúng đến cấp k Rõ ràng tập C k (W) với chuẩn cho khơng gian Banach Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.2 Không gian L p (W) Giả sử W miền ¡ n p số thực dƣơng Ta kí hiệu Lp (W) lớp hàm đo đƣợc f xác định W cho: ị f (x ) p dx < ¥ (*) W Trong L p (W) ta đồng hàm hầu khắp W Nhƣ phần tử L p (W) lớp tƣơng đƣơng hàm đo đƣợc thỏa mãn (*) hai hàm tƣơng đƣơng chúng hầu khắp W Vì : p f (x ) + g (x ) £ nên rõ ràng L p ( f (x ) + g (x ) p ) p pư ỉ Ê 2p ỗỗ f (x ) + g (x ) ÷ ÷ ÷ è ø (W) không gian vectơ Ta đƣa vào L p (W) phiếm hàm đƣợc xác định bởi: p u p íï ü p ïï p ï = ì ị u (x ) dx ý ùù W ùù ợ ỵ 1.1.2.1 nh lý (Bất đẳng thức Hoder) Nếu £ p < ¥ u Ỵ L p (W), v Ỵ Lp (W) uv Ỵ Lp (W) ị | u (x )v (x ) |dx = u p v p' W Trong p ' = p 1 , tức + = , p ' đƣợc gọi số mũ liên hợp p- p p' p Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.2.2 Định lý (Định lý Minkowski) Nếu £ p < ¥ p f +g £ f p + g p 1.1.2.3 Định lý Không gian L p (W) với £ 1.1.3 Không gian W 1, p p < ¥ khơng gian Banach (W) 1.1.3.1 Định nghĩa Cho W miền ¡ n ( ) đƣợc gọi khả tích địa Hàm u x () phƣơng W u x hàm W với x Ỵ W tồn () lân cận w x để u x khả tích W 1.1.3.2 Định nghĩa Cho W miền ¡ n () () Giả sử u x , v x hai hàm khả tích địa phƣơng W cho ta có hệ thức: ịu W () ¶ kj k k k ¶ x 1 ¶ x nn dx = (- 1) ò vj dx W ( ) ( ) j x Ỵ C W , k = k1 + + kn , ki £ i = 1, 2, , n k () () Khi đó, v x đƣợc gọi đạo hàm suy rộng cấp k u x Kí hiệu: v (x ) = Số hóa Trung tâm Học liệu ¶ ku k k ¶ x 11 ¶ x nn http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 1.1.3.3 Định nghĩa Giả sử p số thực, £ p < ¥ , W miền ¡ gian Sobolev W 1, p n Không (W) đƣợc định nghĩa nhƣ sau: ïí ïü ¶u W 1, p (W) = ïì u | u Ỵ Lp (W), Ỵ Lp (W), i = 1, , n ùý ùù ùù ả xi ợ ỵ Trong đạo hàm đạo hàm suy rộng Với p = , ta kí hiệu W 1,2 (W) = H (W), nghĩa là: ïíï ïü ¶u 2 H (W) = ì u | u Ỵ L (W), Ỵ L (W), i = 1, 2, , n ùý ùù ùù ả xi ợ ỵ 1.1.3.4 Bổ đề i) Không gian W (W) không gian Banach với chuẩn 1, p n u W 1, p (W) = u Lp (W) + å i= ¶y ¶ xi Lp (W) £ p < ¥ , dạng chuẩn tƣơng đƣơng với dng sau: ổ u 1,p = ỗỗ u W (W) ố ổả u ảu ữ ỗ ữ ú ẹ u = ỗ v ỗỗả x , , ả x ÷ ÷ è i n ø ii) Khơng gian H 1 p ÷ + Đ u ÷ ữ Lp (W) Lp (W) ứ p p ổn ỗ du ẹ u p = ỗỗỗồ L (W) ỗỗố dx i p ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ p L (W) ÷ ø p (W) khơng gian Hilbert với tích vơ hƣớng: Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 44 PHẦN PHỤ LỤC % Chƣơng trình toán giá đỡ clear all clc teta=0.8;%tham so lap chia mien e=0.25,teta=0.5; e=0.35,teta=0.7;e=0.45,teta=0.8 to=2.7; e=0.3;b=1;cc=0;k1=1/pi^2;k2=4/pi^2; count=-1; epxilon=10^(-4);saiso=10; n=6; N=2^n; M=N; p1=1;p2=M+1;p3=2*M+1;p4=3*M+1;q1=1;q2=N+1;q3=2*N+1; q=0.3;aa=pi;E=0.5;nui=0.3;h=0.5;% GIA TRI CHINH XAC CUA q,E,h??? D=E*h^3/(12*(1-nui^2)); vp=q*aa^4/(pi^4*D); ms=q*aa^4/(10^3*D);% Mau so ve thi ham msx=pi*q*aa^3/(10^3*D);% Mau so ve thi dao ham theo x msy=pi/2*q*aa^3/(10^3*D);% Mau so ve thi dao ham theo y %buoc lap - Gia tri ban dau csi=0,eta=0;phi1=0;phi2=0 for j=0:N; csi(j+1)=0;%khoi tao gia tri lap tren bien chia mien cho bai toan Delta v=f eta(j+1)=0;%khoi tao gia tri lap tren bien chia mien cho bai toan delta u=v end; for i=0:M; phi1(i+1)=0; %Khoi tao cho day lap song dieu hoa tren bien SA (mien 1) phi2(i+1)=0; %Khoi tao day lap song dieu hoa tren bien SB (mien 2) phi3(i+1)=0; %Khoi tao day lap song dieu hoa tren bien SD (mien 2) end; for i=0:2*M; for j=0:N; uluu(i+1,j+1)=0; end; end; thoigian=cputime; while and(countepxilon); % Giai bai toan voi v2 l1=0.5-e;l2=b;M2=M;N2=N;n2=n; h01=l1/M2; h02=l2/N2; x10=e;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M2; for j=0:N2; phi(i+1,j+1)=-vp; % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; b1(j+1)=csi(j+1);%Bien chia mien b2(j+1)=0; Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 45 end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M2; b3(i+1)=phi3(i+1); b4(i+1)=phi2(i+1); end; v2=u1100(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2); % Giai bai toan voi u2 % Gia tri ve phai for i=0:M2; for j=0:N2; phi(i+1,j+1)=-v2(p2+i,q1+j); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N2; b1(j+1)=eta(j+1);%Bien chia mien b2(j+1)=0; end; for j=0:N2; ph02(j+1)=-v2(p2,q1+j); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M2; b3(i+1)=0; b4(i+1)=0; end; u2=u1100(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,M2,N2,n2,p2,p3,q1,q2); % Giai bai toan voi v1 l1=e;l2=b;M1=M;N1=N;n1=n; h1=l1/M1; h2=l2/N1; x10=0;x20=0; % Gia tri ve phai for i=0:M1; for j=0:N1; phi(i+1,j+1)=-vp; % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N1; b1(j+1)=0; b2(j+1)=v2(p2,q1+j); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; b3(i+1)=0; b4(i+1)=phi1(i+1); end; v1=u0010(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,cc,M1,N1,n1,p1,p2,q1,q2); % Giai bai toan voi u1 % Gia tri ve phai for i=0:M1; Số hóa Trung tâm Học liệu http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 46 for j=0:N1; phi(i+1,j+1)=-v1(p1+i,q1+j); % Ham ve phai end; end; % Dieu kien tren canh trai va phai for j=0:N1; b1(j+1)=0; b2(j+1)=u2(p2,q1+j); end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; b3(i+1)=0; b4(i+1)=0; end; u1=u0010(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k1,k2,0,N1,M1,n1,p1,p2,q1,q2); for i=0:2*M; for j=0:N; if i