Phương pháp lặp giải bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TỐN HỌC THÁI NGUN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên1 http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ MAI PHƯƠNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ELLIPTIC VỚI HỆ SỐ GIÁN ĐOẠN LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG Mã số: 60.46.36 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ VINH QUANG THÁI NGUYÊN - NĂM 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên2 http://www.lrc-tnu.edu.vn i Mục lục Mở đầu 1 Các kiến thức 1.1 Các kiến thức không gian hàm 1.1.1 Không gian C k (Ω) 1.1.2 Không gian LP (Ω) 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) 1.1.4 Khái niệm biên liên tục Lipschitz Định lý nhúng 1.1.5 Khái niệm vết hàm 1.1.6 Không gian Sobolev với số âm H −1 (Ω) H −1/2 (∂Ω) 10 1.2 1.3 Lý thuyết phương trình elliptic 12 1.2.1 Khái niệm nghiệm yếu phương trình 1.2.2 Phát biểu toán biên 13 1.2.3 Sự tồn nghiệm yếu 14 Phương pháp lặp sơ đồ lặp 17 1.3.1 12 Phương pháp lặp giải phương trình tốn tử 17 Phương pháp chia miền giải phương trình elliptic cấp 20 2.1 Giới thiệu phương pháp chia miền 20 2.2 Phương pháp hiệu chỉnh hàm 24 2.3 Phương pháp hiệu chỉnh đạo hàm 27 Bài toán biên elliptic với hệ số gián đoạn 3.1 31 Đặt vấn đề 31 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun3 http://www.lrc-tnu.edu.vn ii 3.2 Mơ hình thứ 32 3.3 Mơ hình thứ hai 34 3.4 Các sơ đồ lặp dựa chia miền 37 3.5 Một số kết thực nghiệm 40 Kết luận 51 Phụ lục 74 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên4 http://www.lrc-tnu.edu.vn iii Các ký hiệu L Rn Ω ∂Ω C k (Ω) L2 (Ω) W 1,p (Ω) H 1/2 (∂Ω) H01 (Ω) H −1 (∂Ω) H −1/2 (∂Ω) V (.)V Cγ (Ω) CΩ E Tốn tử elliptic Khơng gian Euclide n chiều Miền giới nội không gian Rn Biên trơn Lipschitz Không gian hàm có đạo hàm cấp k liên tục Khơng gian hàm đo bình phương khả tích Không gian Sobolev với số p Không gian Sobolev với số 1/2 Khơng gian hàm có vết không ∂Ω Không gian đối ngẫu với H01 (Ω) Không gian đối ngẫu với H 1/2 (∂Ω) Chuẩn xác định khơng gian V Tích vơ hướng xác định không gian V Hằng số vết Hằng số Poincare Ma trận đơn vị Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên5 http://www.lrc-tnu.edu.vn Mở đầu Khi nghiên cứu toán học vật lý kỹ thuật, qua việc mô hình hóa, tốn thường dẫn đến dạng phương trình elliptic cấp hai với hệ điều kiện biên khác Trong trường hợp môi trường xét tốn thực tế mơi trường đồng ta thường nhận dạng phương trình elliptic với hệ số hàm liên tục Đối với dạng phương trình này, có nhiều phương pháp tác giả giới tìm nghiệm gần tốn tương ứng phương pháp sai phân, phương pháp phần tử hữu hạn với tư tưởng chuyển toán vi phân tốn sai phân khơng gian hữu hạn chiều từ xác định nghiệm xấp xỉ thuật toán sở giải hệ đại số tuyến tính Tuy nhiên trường hợp mơi trường xét môi trường không đồng ta gặp tốn biên elliptic với hệ số hàm số gián đoạn miền xét Bài tốn thường gặp mơ hình truyền dẫn nhiệt, khuyếch tán tĩnh điện môi trường phân lớp không đồng Năm 2006, tác giả Z.Muradoglu Seyidmamedo Ebsu Ozbilge mô tả mô hình tốn biên elliptic với hệ số gián đoạn qua mặt phân cách môi trường không đồng đưa phương pháp sai phân lưới không Việc tìm nghiệm xấp xỉ tốn biên elliptic với hệ số gián đoạn xác định việc xây dựng sơ đồ lặp sở lý thuyết chia miền Nội dung luận văn mơ tả mơ hình tốn học toán biên elliptic với hệ số gián đoạn môi trường không hai mô hình, mối quan hệ hai mơ hình bản, khái niệm nghiệm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên6 http://www.lrc-tnu.edu.vn yếu toán xây dựng sơ đồ lặp xác định nghiệm gần toán tư tưởng chia miền Tiến hành thực nghiệm tính tốn so sánh với phương pháp sai phân lưới không Luận văn viết gồm chương với nội dung sau: Chương 1: Trình bày số kiến thức không gian hàm đặc biệt không gian Sobolev, bất đẳng thức quan trọng, khái niệm nghiệm yếu, lý thuyết sơ đồ lặp hai lớp định lý hội tụ sơ đồ lặp Các kiến thức sở để trình bày nội dung quan trọng chương Chương 2: Luận văn đưa sơ đồ chia miền dựa hai tư tưởng hiệu chỉnh hàm hiệu chỉnh đạo hàm biên phân cách toán biên elliptic với hệ số liên tục với việc chứng minh hội tụ sơ đồ lặp Các kết tác giả công bố năm trước Đây sơ đồ lặp quan trọng làm sở cho việc mở rộng kết tương ứng trường hợp hệ số gián đoạn Chương 3: Luận văn đưa mơ hình tốn học toán biên elliptic với hệ số gián đoạn môi trường không đồng nhất, mối quan hệ mơ hình, khái niệm nghiệm yếu tốn với hệ số gián đoạn Trên sở kết chương mơ hình tốn elliptic với hệ số gián đoạn đưa ra, luận văn đề xuất hai sơ đồ lặp chia miền tư tưởng hiệu chỉnh giá trị hàm đạo hàm biên phân cách để chuyển tốn miền khơng đồng hai toán miền đồng Tiến hành tính tốn thử nghiệm ví dụ cụ thể, từ so sánh tốc độ độ xác hai sơ đồ lặp so sánh kết với phương pháp sai phân lưới không tác giả đưa tài liệu [1] Từ đưa kết luận tính hữu hiệu phương pháp chia miền Các kết số luận văn lập trình mơi trường Matlab version 7.0 Mặc dù cố gắng song nội dung luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến Thầy Cơ bạn đồng nghiệp để luận văn thêm hồn thiện Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên7 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình làm luận văn Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy Cô, bạn bè, đồng nghiệp gia đình ln giúp đỡ, động viên, khích lệ tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Tác giả Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên8 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các kiến thức Trong chương này, trình bày kết lý thuyết quan trọng khơng gian Sobolev, phương trình elliptic với khái niệm nghiệm yếu định lý tồn nghiệm, bất đẳng thức Poincare, lý thuyết phương pháp lặp giải phương trình tốn tử Những kiến thức sở kết tham khảo từ tài liệu [ 2, 3, 4, 10, 11, 12] 1.1 1.1.1 Các kiến thức không gian hàm Không gian C k (Ω) Giả sử Ω miền bị chặn không gian Euclid n chiều Rn Ω bao đóng Ω Ta ký hiệu C k (Ω)(k = 0, 1, 2, ) tập hàm có đạo hàm đến cấp k kể k Ω, liên tục Ω Ta đưa vào C k (Ω) chuẩn max|Dα u(x)|, ||u||C k (Ω) = |α|=k (1.1) x∈Ω α = (α1 , , αn ) gọi đa số vectơ với tọa độ nguyên không âm, |α| = α1 + + αn , Dα u = ∂ α1 + +αn u ∂xα1 ∂xαnn Sự hội tụ theo chuẩn hội tụ Ω hàm tất đạo hàm chúng đến cấp k kể k Rõ ràng tập C k (Ω) với chuẩn (1.1) không gian Banach Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên9 http://www.lrc-tnu.edu.vn 1.1.2 Không gian LP (Ω) Giả sử Ω miền Rn p số thực dương Ta ký hiệu LP (Ω) lớp hàm đo f xác định Ω cho |f (x)|p dx < ∞ (1.2) Ω Trong LP (Ω) ta đồng hàm hầu khắp Ω Như phần tử LP (Ω) lớp tương đương hàm đo thỏa mãn (1.2) hai hàm tương đương chúng hầu khắp Ω Vì |f (x) + g(x)|p ≤ (|f (x) + g(x)|)p ≤ 2p (|f (x)|p + |g(x)|p ) nên rõ ràng LP (Ω) không gian vectơ Ta đưa vào LP (Ω) phiếm hàm ||.||p xác định |u(x)|p dx}1/p ||u||p = { (1.3) Ω Định lí 1.1 (Bất đẳng thức Hoder) Nếu < p < ∞ u ∈ LP (Ω), v ∈ LP (Ω) uv ∈ LP (Ω) |u(x)v(x)|dx ≤ ||u||p ||v||p (1.4) Ω p = p/(p − 1), tức 1/p + 1/p = 1, p gọi số mũ liên hợp p Định lí 1.2 (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu < p < ∞ ||f + g||p ≤ ||f ||p + ||g||p (1.5) Định lí 1.3 Không gian LP (Ω) với ≤ p ≤ ∞ không gian Banach 1.1.3 Không gian W 1,p (Ω) Định nghĩa 1.1 Cho Ω miền Rn Hàm u(x) gọi khả tích địa phương Ω u(x) hàm Ω với x0 ∈ Ω Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên10 http://www.lrc-tnu.edu.vn 60 for j=0:N1; x2=x20+j*h2; b1(j+1)=u1(x10,x2); b2(j+1)=g(j+1)/k11; end; % Dieu kien tren canh duoi va tren for i=0:M1; x1=x10+i*h1; b3(i+1)=u1(x1,x20); b4(i+1)=u1(x1,x20+l2); end; uu1=u0100(phi,b1,b2,b3,b4,l1,l2,k11,k21,cc,M1,N1,n1,p1,p2,q1,q2); saiso1=0; for j=0:N1; for i=0:M1; if saiso1