SKKN một hướng biến đổi để chứng minh và phát triển bất đẳng thức từ bất đẳng thức bunhiacôpski trong bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi vào lớp 10

Phần A LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Bất đẳng thức mảng kiến thức khó tốn học phổ thơng Nhƣng thơng qua tập chứng minh Bất đẳng thức học sinh hiểu kỹ sâu sắc giải biện luận phƣơng trình , bất phƣơng trình , mối liên hệ yếu tố tam giác tìm GTLN GTNN biểu thức Trong trình giải tập , lực suy nghĩ , sáng tạo học sinh đƣợc phát triển đa dạng phong phú tập Bất đẳng thức có cách giải khơng theo qui tắc khn mẫu Nó địi hỏi ngƣời đọc phải có cách suy nghĩ lơgíc sáng tạo biết kết hợp kiến thức cũ với kiến thức cách lơgíc có hệ thống Cũng tốn Bất đẳng thức khơng có cách giải mẫu , khơng theo phƣơng pháp định nên học sinh lúng túng giải toán Bất đẳng thức , học sinh thƣờng không theo hƣớng Do hầu hết học sinh khơng biết làm tốn Bất đẳng thức khơng biết vận dụng Bất đẳng thức để giải loại tập khác Để giúp học sinh giải đƣợc phần khó khăn gặp tốn chứng minh Bất đẳng thức tìm GTLN GTNN biểu thức, tơi xin trình bày sáng kiến kinh nghiệm với đề tài “một hướng biến đổi để chứng minh phát triển Bất Đẳng Thức từ Bất đẳng thức Bunhiacôpski bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10”, với hy vọng sau học sinh sử dụng phƣơng pháp giải đƣợc số toán chứng minh Bất đẳng thức số tốn tìm GTLN GTNN biểu thức theo dạng toán Bất đẳng thức chuyên đề Mặc dù cố gắng song đề tài khó tránh khỏi thiếu sót, mong hội đồng chun mơn góp ý Cẩm Vân , Ngày 12 tháng 08 năm 2019 Trịnh Hồng Dũng Phần B NỘI DUNG I.CƠ SỞ LÍ LUẬN: 1.Định nghĩa bất đẳng thức: Cho số thực a b Các mệnh đề “a > b” , “ a b ”, “a < b”, “ a b ” đƣợc gọi bất đẳng thức 2.Các tính chất: a b b c a c + Nếu c > a > b + Nếu c < a > b +a b 3.Các hệ quả: a + c + + + + + a c a b c d a b a b a b 4.Kết thường dùng: Dấu “=” xảy khi: a1=a2=…=an 6.Bất đẳng thức Bunhiacôpski cho hai n số (a1,a2, a3, , an) ( b1, b2, b3, , bn) ta có : (a Dấu “ =’’ xẩy II.THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ: Giả sử ta có tốn sau: Bài tốn 1: Với Ta biết tốn có nhiều cách giải: b *Cách 1: Dùng phương pháp hàm số * Cách Cộng vào hai vế lượng dùng bất đẳng thức cô – si + Nếu theo cách cố cho học sinh kiến thức hàm số, theo cách không áp dụng cho học sinh khối lớp 8,9 chưa đủ kiến thức để giải + Nếu theo cách cố cho học sinh kiến thức Bất đẳng thức Cô-Si, lời giải thiếu tự nhiên, theo cách phải cộng vào lượng, Chỉ có học sinh giỏi thấy lượng Qua khảo sát học sinh phần bất đẳng thức số lớp trường năm học 2017-2018 thu mẫu thống kê sau: Nếu ta hƣớng dẫn học sinh giải tốn theo hƣớng khác tốn trở nên đơn giản lời giải tự nhiên hơn.Sau tơi trình bày biện pháp để thực điều III.CÁC BIỆN PHÁP TIẾN HÀNH Ta biết BĐT Bunhacôpxki áp dụng cho số thực: a1,a2,…,an b1,b2, … ,bn nhƣ sau: (a1b1 a2b2 Dấu “=” xảy Với b , b , , b n (a a a a 2 b b Từ suy BĐT: a12 b a2 b Dấu “=” xảy khi: Nếu a c a c đặt a Lời giải tốn 1: Áp dụng BĐT (2), ta có: a2 bc c n n Tiếp tục tìm hiểu số toán sau: Bài toán 2: Cho a,b,c ba số thực dƣơng CMR: ( ab ) c Phân tích: + VT tốn tổng phân thức, phân thức tử thức bình phương biểu thức + Dấu BĐT toán chiều với dấu BĐT (2) Áp dụng BĐT (2) ta đƣợc : ( ab ) c Như dùng BĐT(2) lời giải tự nhiên,ít sử dụng đến kiến thức tốn học làm cho học sinh dễ hiểu Bài toán 3: CMR với a,b,c ba số thực dƣơng, ta có: a2 bc Phân tích: + VT tốn tổng phân thức, phân thức tử thức bình phương biểu thức + Dấu BĐT toán chiều với dấu BĐT (2) + Tổng biểu thức mẫu VT biểu thức mẫu VP Áp dụng BĐT (2) ta đƣợc: a2 bc Mà ta biết a Nên suy ra: Tương tự toán 3, cho thêm giả thiết: abc = ta có toán sau: Bài toán 4: Cho a,b,c số thực dƣơng abc = CMR: Lời giải: a2 Ta có b Tương tự tốn 3, cho thêm giả thiết: a+b+c = ta có tốn sau: Bài tốn 5: Cho a,b,c số thực dƣơng có tổng Tìm GTNN biểu thức: Lời giải: a2 bc b2 ca Bài toán 6: Cho a,b,c số thực dƣơng, CMR: a3 b c a Lời giải: Đối với tốn khác , phải biến đổi chút dùng BĐT (2) a3 b3 b c = ab bc ca (đpcm) Bài toán 7: Cho a,b,c số thực dƣơng, CMR: a2 b2 a b dùng Tương tự toán với toán , phải biến đổi chút BĐT (2) Lời giải: a2 c a Ta có: 4(a b 4(a b c)2 a b c (đpcm) c) Bài toán 8: Cho số a, b, c, p, q >0 CMR: a p bq c Lời giải: Ta có: a p bq c 3(ab b cc a ) ( pq ) ( a bb cc a ) Nhận xét: Qua toán trên, ta thấy: Nếu gán a 1,a2,a3 b1,b2,b3 BĐT (2) biến số biến đổi thông qua vài bất đẳng thức ta tốn khác Vậy hướng để sáng tác BĐT Chẳng hạn, gán a BĐT(2) ta tốn sau: Bài toán 9: Cho số a,b,c > CMR: a4 b2(c a) Lời giải: Ta có: (a = b 2(a Nếu gán b BĐT(2) ta toán sau: Bài toán 10: Cho số thực a,b,c >0 CMR: a6 b3(a c) Lời giải: Ta có: a3 ( b = ( ab ( ab = bc ( ab Nếu gán a b3 c(d Bài toán 11: Cho số thực a,b,c,d >0 CMR: a3 b c Bài toán 12: Cho số thực a,b,c >0 cho a d b2 c2 =1 CMR: a3 a 2b Nhận xét: Như theo cách ta sáng tác BĐT khó hơn, nhiều biến giải tốn giá trị nhỏ biểu thức Bài toán 13: Cho số a,b,c > 0CMR: a b b c c c a a b Lời giải: BĐT Mà ( bc Từ suy ( a Những khó khăn học sinh: + Tại phải cộng vào vế cho phân tích thế.(địi hỏi học sinh phải tư duy, bước biến đổi linh hoạt) +Phải CM BĐT (*) suy kết Nếu dùng BĐT (3) kết nào? a Ta có: b Mà c c a2 b2 a Vậy b c ca Bài toán 14: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR a b c a Ta có a b a(b c a ca ) a2 b2 2ab Nhƣ dùng BĐT(3) lời giải tự nhiên,ngắn g Nhận xét: Từ BĐT (3) cách gán a1 ,a2 ,a3 c1 ,c2 thức ta toán Chẳng hạn: - Nếu gán: a1 = c) c 3a b ( b ta bà Bài toán 15: Cho số a,b,c > CMR a bc(c a) Nếu gán a a,b,c >0 abc = ta có tốn sau: Bài toán 16: Cho số a, b, c >0 abc = Tìm GTNN biểu thức P a - Nếu gán: a (a,b,c >0) ta toán: (b Bài toán 17: Cho số a , b, c > CMR: bc a2b a2c Từ toán 17, ta thêm giả thiết: abc = ta có bà Bài tốn 18: Cho số a, b, c > abc = Tìm GTN bc P a b Nếu gán a,b,c >0 a+b+c = ta có toán sau: Bài toán 19: Cho số a, b, c >0 a + b + c = CM a 1b a Bài toán 20: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR: T= 2b Làm tƣơng tự, ta có đƣợc BĐT khác hay IV HIỆU QỦA CỦA ĐỀ TÀI: Qua nhiều năm giảng dạy thấy, dùng BĐT (2) BĐT (3) đề tài học sinh dễ nhận thấy dạng biểu thức cần biến đổi giải đƣợc số toán bất đẳng thức nhƣ toán GTLN,GTNN biểu thức Một số kết thu đƣợc năm học 2018-2019: Lớp 8A 9A Bồi dƣỡng HSG Năm học Kết TÓM LẠI : Bất đẳng thức chuyên đề khó, quan trọng lƣợng tập phong phú, nhƣng gặp bất đẳng thức biểu thức phân sử dụng BĐT (2) (3) tỏ hiệu bỏ qua vài bƣớc biến đổi phức tạp, đồng thời dễ nhận thấy đƣợc biểu thức cần biến đổi Phần C KẾT LUẬN Khi nói Tốn học nhắc đến tính tƣ duy,suy luận logic Chính giảng giải toán giáo viên phải theo quy luật học sinh thấy đƣợc hay, đẹp tốn từ kích thích say mê tim tòi, hứng thú cho học sinh, tạo cho em có tính tự học cao Trong q trình tự học, nghiên cứu tìm tịi qua sách báo tơi đúc kết đƣợc cho hƣớng giải tốn Bất đẳng thức, hai năm học qua giảng dạy theo cách thấy hiệu quả, học sinh chủ động tiếp thu kiến thức có nhiều em giải đƣợc toán dạng Mặc khác, ta hƣớng dẫn cho học sinh biết cách sáng tạo bất đẳng thức mới, hay khó Cần nhấn mạnh cho học sinh biết dạng toán sử dụng đƣợc hai BĐT (2) (3) Với khn khổ đề tài tơi xin trình bày khía cạnh để chứng minh BĐT Rất mong đƣợc hội đồng chun mơn nhà trƣờng góp ý bổ sung để đề tài hồn thiện hơn, có khả triển khai áp dụng bồi dƣỡng HSG ôn thi vào lớp 10 năm đạt kết tốt Xin chân thành cám ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƢỞNG ĐƠN VỊ Cẩm Vân, ngày 12 tháng 08 năm 2019 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung ngƣời khác ( Ký ghi rõ họ tên) Trịnh Hồng Dũng PHỤ LỤC Phần A B C Tài liệu tham khảo: - 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp bồi dƣỡng HSG luyện thi vào lớp 10 Của tác giả Nguyễn Đức Đồng - Nguyễn Văn Vĩnh (NHÀ XUẤT BẢN TRẺ) - Các phƣơng pháp kỹ thuật chứng minh Bất Đẳng Thức - Tác giả Trần Phƣơng (NXB THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ) - Sáng tác Bất Đẳng Thức - Tác giả Phạm Kim Hùng ( NXB TRI THỨC) 10 ... cho học sinh kiến thức Bất đẳng thức Cô-Si, lời giải thi? ??u tự nhiên, theo cách phải cộng vào lượng, Chỉ có học sinh giỏi thấy lượng Qua khảo sát học sinh phần bất đẳng thức số lớp trường năm học. .. số * Cách Cộng vào hai vế lượng dùng bất đẳng thức cô – si + Nếu theo cách cố cho học sinh kiến thức hàm số, theo cách không áp dụng cho học sinh khối lớp 8,9 chưa đủ kiến thức để giải + Nếu theo... đề tài học sinh dễ nhận thấy dạng biểu thức cần biến đổi giải đƣợc số toán bất đẳng thức nhƣ toán GTLN,GTNN biểu thức Một số kết thu đƣợc năm học 2018-2019: Lớp 8A 9A Bồi dƣỡng HSG Năm học Kết