Tính mở của ánh xạ đa trị và các định lý hàm ẩn

Tính mở của ánh xạ đa trị và các định lý hàm ẩn Tính mở của ánh xạ đa trị và các định lý hàm ẩn Tính mở của ánh xạ đa trị và các định lý hàm ẩn luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp luận văn tốt nghiệp,luận văn thạc sĩ, luận văn cao học, luận văn đại học, luận án tiến sĩ, đồ án tốt nghiệp

VIỆN KHOA HỌC VÀ CƠNG NGHỆ VIẸT NAM VIỆN TỐN HỌC ■ ■ DƯƠNG THỊ KIM HUYỀN ■ TÍNH MỞ CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ VÀ C ÁC ĐỊNH LÝ HÀM Ẩ n ■ ■ ■ CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG Mà SỐ : 60 46 36 ^uẠN *VAN THẠC ^^1 ^ ^ọ^ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS TSKH NGUYỄN ĐÔNG YEN HÀ NỘI-NẢM 2011 ■ Mục lục Lời mở đầu 1 K iến thức chuẩn bị 1.1 Ánh xạ đa t r ị 1.2 Nguyên lý biến phân E k e la n d 1.3 Nón pháp tuyến,dưới vi phân, đối đạo hàm 1.4 Quy tắc tổng m 11 Các 15 kết tính mở 2.1 Định lý ánh xạ m 2.2 Sự cần thiết tính đ ó n g 20 15 2.3 Trường hợp ánh xạ có tham s ố 22 C ác đ ịn h lý hàm ẩn 26 3.1 Tính nửa liên tục hàm ẩn đa t r ị 26 3.2 Tính metric quy hàm ẩn đa t r ị 28 3.3 Đối đạo hàm hàm ẩn đa t r ị 33 i Luận văn thạc sĩ toán học 3.4 D ương T hị K im H u y ề n Tính giả Lipschitz hàm ẩn đa t r ị 36 K ết luận 38 D ương T Luận văn thạc s ĩ toán học hị K im H u y ề n MỘT SỐ K Ý HIỆU ||rcII chuẩn X V(x) họ lân cận X B ( x , r), D(x, r) hình cầu mở hình cầu đóng tâm bán kính r Sx mặt cầu đơn vị X d(x, Á) s khoảng cách từ X đến A a X X _ X — V —►X f ( x ) —» f ( x ) N £(S, X) tập cếic véctơ e-pháp tuyến s X N (S,X ) nón pháp tuyến Eréchet N (S,x) nón pháp tuyến sỏ df(x) vi phân Eréchet / X df(x) vi phân sở / X Ôq hàm chi tập F : X z=ịY ánh xạ đa trị từ X vào Y DomF miền hữu hiệu F GrF đồ thị F D*F{x, ỹ){-) đối đạo hàm Préchet D*F(x,ỹ)(-) đối đạo hàm Mordukhovich củaF (X, ỹ) s s X X Qc X F (x, ỹ) Luận vần thạc sĩ toán học D ương T hị K im H u y ề n Lời mở đầu Tiếp sau phát triển đạt đến mức độ hồn thiện Giải tích lồi [21], Giải tích khơng trơn [7], Giải tích đa trị [3, 4], lý thuyết tên gọi Giải tích biến phân đời ngày ý Các kết Giải tích biến phân không gian hữu hạn chiều trình bày chuyên khảo R T Rockafellar R J.-B Wets [22] Bộ sách hai tập [17] B s Mordukhovich trình bày nhiều kết sâu sắc Giải tích biến phân phép tính vi phân suy rộng không gian vô hạn chiều, với ứng dụng phong phú Quy hoạch toán học, Lý thuyết toán cân bằng, Điều khiển tối ưu hệ động lực mô tả phương trình tiến hóa, Điều khiển tối ưu hệ động lực mơ tả phương trình đạo hàm riêng, Tối ưu véctơ, Cân kinh tế Các kỹ thuật Giải tích biến phân mối liên hệ với kỹ thuật Giải tích hàm trình bày chun khảo J M Borwein Q J Zhu [6] Tính mở tính chất quan trọng nghiên cứu ấnh xạ đa trị ánh xạ đơn trị Tính chất hữu ích nhiều lĩnh vực lý thuyết tối ưu, ví dụ việc nghiên cứu tồn nghiệm toán bị nhiễu, hay việc chứng minh điều kiện tối ưu cho toán quy họach toán học Luận văn trình bày số kết tính mở ánh D ương T Luận văn thạc s ĩ toán học hị K im H y ề n xạ đa trị định lý hàm ẩn dựa báo [10] hai nhà toán học Rumani M Durea R Strugariu (đã đăng Pacific Journal of Optimization, Vol 6, No 3, 2010, pp 533-549) Những kết hai tác giả phát triển làm sâu sắc thêm định lý hàm ẩn báo G M Lee, N N Tam N D Yen [13] Khả sử dụng cách tiếp cận [10] để phát triển thêm bước kết N D Yen J.-C Yao [23] (sử dụng đối đạo hàm Mordukhovich điểm đồ thị ánh xạ đa trị xét) vấn đề mở Lưu ý kết tương tự kết [10] M Durea trình bày [9] Chương trình bày khái niệm thơng dụng Giải tích đa trị Giải tích biến phân, với số kết kinh điển: Nguyên lý biến phân Ekeland, Quy tắc tổng mờ Chương chứng minh số kết tính mở ánh xạ đa trị, xét riêng trường hợp ánh xạ khơng có tham số ánh xạ có tham số đây, theo cách tiếp cận M Durea R Strugariu [10], khai thác điều kiện quy họ đối đạo hàm Préchet: Ton số c > 0, r > 0, s > cho với (x, y ) € GiF n [B(x, r ) X B(ỹ, s)] với y* € Y*, X* € D*F{x,y)(y*), c\\y*\\ < (1) D*F(x,y)(-) : Y* =r X* ký hiệu đối đạo hàm Préchet ánh xạ đa trị F : X =4 Y hai không gian Asplund X D ương T Luận văn thạc sĩ toán học hị K im H u y ề n Y điểm (X, y) thuộc tập đồ thị GiF-.= { { u , v ) e X x Y ị v e F(u)}, (2) B ( x , r ) ký hiệu hình cầu mở có tâm X bán kính r Điều kiện quy vừa nêu tương tự với điều kiện 'ác giả khác đưa trước [12, 13, 18] số c (1) có liên Ịuan đến khái niệm số Banach (chính độ mở) tốn tuyến tính Chương đề cập đến hàm ẩn đa trị Chúng ta thấy rằng, íới giả thiết thích hợp, hàm ẩn đa trị thừa hưởng tính chất ánh xạ đa trị chứa tham số ban đầu Cụ thể Ĩ1, tính chất bàn tới tính nửa liên tục dưới, h quy mêtric, tính giả Lipschitz (cịn gọi tính t Aubin, tính giống-Lipschitz) Các tính chất ng minh dựa kết trình bày Chương Ig số kết Chương 3, có đánh giá cho ìạo hàm hàm ẩn đa trị (Định lý 3.3) lận văn có kết mới, khẳng định Mục 2.2 ơng 2) nói kết luận định lý ánh xạ mở urea R Strugariu [10, Theorem 3.1] khơng cịn đúng, >ại bỏ giả thiết tính đóng ánh xạ đa trị xét ìn văn hồn thành Viện Tốn học, Viện Khoa Cơng nghệ Việt Nam, hướng dẫn GS TSKH Đông Yên giả chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Đông Yên :ứu sinh thầy giúp đỡ tác giả nhiều n luận văn ;iả xin bày tỏ lòng biết ơn thầy Luận văn thạc sĩ tốn học D n g T h ị K im H u y ề n Y điểm (x, y) thuộc tập đồ thị G i F : = { { u , v ) e X x Y \ v e F(u)}, (2) B(x, r) ký hiệu hình cầu mở có tâm X bán kính r Điều kiện quy vừa nêu tương tự với điều kiện tác giả khác đưa trước [12, 13, 18] số c (1) có liên quan đến khái niệm số Banach (chính độ mở) tốn tử tuyến tính Chương đề cập đến hàm ẩn đa trị Chúng ta thấy rằng, giả thiết thích hợp, hàm ẩn đa trị thừa hưởng số tính chất ánh xạ đa trị chứa tham số ban đầu Cụ thể hơn, tính chất bàn tới tính nửa liên tục dưới, tính quy mêtric, tính giả Lipschitz (cịn gọi t ính chất Aubin, tính giống-Lipschitz) Các tính chất chứng minh dựa kết trình bày Chương Trong số kết Chương 3, cịn có đánh giá cho đối đạo hàm hàm ẩn đa trị (Định lý 3.3) Luận văn có kết mới, khẳng định Mục 2.2 (Chương 2) nói kết luận định lý ánh xạ mở M Durea R Strugariu [10, Theorem 3.1] khơng cịn đúng, loại bỏ giả thiết tính đóng ánh xạ đa trị xét Luận văn hồn thành Viện Tốn học, Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, hướng dẫn GS TSKH Nguyễn Đông Yên Tác giả chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Đông Yên nghiên cứu sinh thầy giúp đỡ tác giả nhiều trình làm luận văn Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn thầy Luận văn thạc s ĩ toán học D ương T hị K im H u y ề n cán cơng nhân viên Viện Tốn học quan tâm giúp đỡ suốt trình học tập nghiên cứu Viện Hà Nội, ngày 29 tháng ũẫm 2011 Tác giả luận văn Dương Thị Kim Huyền Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm Giải tích đa trị Giải tích biến phân, với số kết kinh điển, Nguyên lý biến phân Ekeland, Quy tắc tổng mờ 1.1 Ánh xạ đa trị Cho X Y không gian tôpô Xét ánh xạ đa trị F :X = lY xác định X , nhận giá trị tập tập hợp Y Dồ thị (graph) F cho (2), miền hữu hiệu (effective domain) F cho Dom F := {x £ X I F(x) Ỷ 0}Nếu Ả c X F (Á) := F(x) ảnh tập A qua ánh xạ XÇ.A F Tập F (X ) ký hiệu Im F gọi ảnh (image) D n g T h ị K im H u y ề n Luận văn thạc sĩ toán học Lấy Uo := u n Ư3 ,ỏo := 2~l ap Po := p• Với (p,y) e u X B(ỹ, ốo), (3.2) tồn X e H(p, y ) n B(x, Po) Để chứng m in h ánh xạ đa trị (p,y) =5 H{p,y) n B (x ,p 0) nửa liên tục U q X (ỹ , ổ0), ta phải chứng minh với > nhỏ tùy ý, tồn U' € V(p) ố' > cho với (*/, 2/') e t/' X B(y, ỏ') y') n B(x, Po) n B(x, e) Ỷ 0Thật vậy, ta chọn p € (0, ớ) cho B(x, (3) c £ (x , ớ) c B (í, p) > đủ bé cho B(y, ) c 5(ỹ, ổo)- Lập luận tương tự phần đầu chứng minh định lý, lấy (x , p , y ) thay cho (Ẽ,p,ỹ), ta tìm € V(p),p' G (0,/?) ố' > cho H(p\y') n B(x,p') Ỷ với (p', y') € U' X B(y,ỗr) Vì (?', y') n p') c ¿ ( 7/, ỉ/') n £(x, /?) c tf(p\ y') n ¿(Ẽ, Po) n 0) = H[(p', y') n B(x, Po)] n B(x, 6) Do ta có # (]/, y') n B{x,pữ) n B(x,9) Ỷ với {p',y') e X B(y,S') Chứng minh kết thúc □ Nhận x é t 3.1 Định lý 3.1 mở rộng Định lý 3.1 [13] Để ý rằng, cách tiếp cận cho phép loại bỏ hòan toàn giả thiết (A ) [13] Trong đó, giả thiết (A3) [13] làm yếu 3.2 Tính mêtric quy hàm ẩn đa trị Định lý sau điều kiện đủ cho cho tính mêtric quy hàm ẩn đa trị Đ ịn h lý 3.2 Cho X, Y không gian Apslund F : X X p =t ánh xạ đa trị cho ỹ G F(x,p) Giả sử 28 D ương T Luận văn thạc s ĩ toán học (i) Tồn ư\ e v(p) hị K im H u y ề n cho với p € Ui, GrFp đóng; (ii) F nửa liên tục bên (x,p); (iii) Tồn r, s, c > Ư2 € V(p) cho với p € Ư2 , (x,y) € GrFpn [B(x, r) x B ( ỹ , s )] mọiy* e Y*,x* e D*Fp(x, c\\y*\\ < \\x*\\ Khi đó, khẳng định sau đúng: (a) Với a e (0, c), tồn u G V{p),ô > T > cho với p G u ,y € B(ỹ, ỏ) X € B(x, r), ta có d(x, H(p, y)) < - d(y, F{x,p)) CL (3.3) Suy ra, ỹ = với p e X € B(x, r) ta có d{x, G{p)) < -d(0, F(x,p)) a (b) Ký hiệu Hy { ) := (3.4) Nếu p khơng gian mêtric, v i m ỗ i a € (0 , c ) t n t i 7o > , ¿0 > , To > v l : = + - cho với p e B(p,'Ỵo),y e B(ỹ,ỏo) X € B(x,T0), ta có d{{jp, x), GrHy) < ld((x,p, y), GrF); (3.5) thế, ỹ = ũ với p e B(p, 7o) X € B(x, T0), ta có d((p,x),GiG) < ld((x,pì O)ì GiF) (3.6) Chứng minh (a) Lấy a e (0,c) p € (0,m in (ỉ(^ ĩ 2(ảĩ)> ấ )))- Sử dụng tính chất nửa liên tục bên F (x,p), ta tìm 29 D ương T Luận văn thạc sĩ toán học hị K im H u y ề n Vĩ) € v(p) V > cho F(x,p) n B(ỹ, y ) Ỷ với (x,p) € B(x, u) X u (3.7) Đặt u : = Uo n Ui n Ư2,T := min(ỉ/, ị),ô := Lấy (x ,p ,y ) G t ) x X B (ỹ , ố)) Nếu y G F (x ỉp) (3.3) tầm thường Giả sử 2/ ^ F(x,p) Khi đó, với £ > ta tìm y£ e F (x ,p ) cho ||ye - y || < d(ỉ/,F(x,p)) + e (3.8) Thật vậy, đặt a = d(y,F(x,p)) Ta có a € R+ llỉ/ —y'|| > a với y' € F(x,p) Đặt Q = (Hỉ/ —y'\\,y' € -F(2:,p)} Theo định nghĩa iníimum, với £ > 0, tồn phần tử thuộc Q cho IIy — y'II € [ữ, a + È) Nếu phần tử IIy — y£II, ye € F(x,p) Điều giải thích sau Vì a + £ khơng cận Q nên tồn \\y —ye\\ € ũ cho a < llỉ/ —2/e|| < OL+ £ Do (3.8) Do (3.7) cách chọn y , ta có d(y,F(x,p)) < ap Ta lấy £ > đủ nhỏ để d(ĩ/, F (x ,p )) + £ < ap Từ (3.8) ta có y € B{y£ìd{ F{x,p)) + e) c B{yE,ap) Hơn nữa, B(x, 2"V) c B ( x , r ) B{yE,2~l s) c B(y, 2~1s+ap) c B(ỹ, 2~l s+ap+2~1ap) c B{ỹ,s) Vì ta áp dụng Định lý 2.1 cho {x,y£) e GrFpì với r0 = 2"V, So = 2"1S Po = \ { d ( y , F (x,p)) + e) < p, để suy B(yEì apo) c Fp(B(x, Po)) Ta tìm X € B(x, Po) 30 D n g T h ị K im H u y ề n Luận văn thạc sĩ toán học cho y € Fp(x), hay X e H(j), y ) Suy d(x, H(p, y)) < \\x - x\\ < ~(d(y , F(x,p)) + e) CL Cho E —►0 t£L (3.3) với k := (b) Chứng minh tương tự (a), có số điểm khác biệt q u a n trọ n g Như trên, ta lấy a e (0, c ) v p € (0, m in^ệĩ 4^ ) ) Ta lại sử dụng tính chất nửa liên tục bên F (x,p) tìm lân cận Uo p cho (3.7) với (x,p ) € B(x, v) X Uq Nếu p khơng gian mêtric, ta tìm > cho B(p, ) c Uo n U\ n Ư2 - Lấy ổo := m in (^,|),T o := min(ị,i/, | ) , 7o := ị chọn (x,p,y) e B ( x , t0) X Bịp,To) X B{ỹ, ¿0) Khi ta có d{{x,p,y),GĩF) < \\x-x\\+ d (p ìp) + \\y-ỹ\\ < + + = Y d ( ( x,p, y), GiF) < d ( y , F ( x , p )) < ap Khơng tính tổng qt, giả sử y ị F(x,p) Với £ > đủ nhỏ mà d((x,p, y), GrF) + £ < ịa p , > ta tìm (xE,p£,yE) € GiF thỏa mãn max(||ỉ/e - y ||,d ( p £,p)) < \\y£ - 2/11 + \\xe - x\\ + d(pe,p)) (3.9) 31 Luận văn thạc sĩ toán học D n g T h ị K im H u y ề n < d((x,p, y), GtF) + E Suy Pe€B{p,^ế) c y € B(y£ìd((x,p,y),GiF) + e) c B(ye,ap), (3.10) B{xE, ị ~ lr) c B (x,4-1r + ap) c B(x,2~1r) c ( í ,r ) , £ (ye, 2_1s) c B(ỹ,s) Từ ta áp dụng Định lý 2.1 cho (x E,y£) £ GrFp với r' '■= 4_1r, s' := 2-1s p' := ị(d(x,p,y)GiF) + £ < p thu B(ye,ap') c FpE(B(xe, p')) Từ (3.10) ta có tồn X £ B ( x e, //) cho y € FPe(x), hay (x,p£) € G r# y Do đó, từ (3.9) ta suy d({p,x), GiHy) < \ \ x - x \ \ + d(p£,p) < \ ị x - x e\\ + \\xe - x \ \ + d(p£ìp) < a y),GrF) + e) + d((x,p, y), GrF) + £ Cho £ —►0, ta (3.5) vói l = ị + l □ N h ậ n x é t 3.2 Định lý 3.1 mở rộng Định lý 3.2 [13] Một vài giả thiết làm yếu 32 D n g T h ị K im H u y ề n Luận văn thạc s ĩ toán học 3.3 Đối đạo hàm hàm ẩn đa trị Kết trình bày cơng thức đối đạo hàm G Ta xem cơng thức mở rộng (trong ngôn ngữ khơng gian đối ngẫu tốn tử liên hợp) cơng thức tính đạo hàm hàm ẩn định lý hàm ẩn cổ điển Công thức đưa [12, Proposition 3.8] Đ ịn h lý 3.3 Giả sử tất giả thiết Định lý 3.2 thỏa mẫn với ỹ = p khơng gian Apsỉund Khi đó, tồn > T > cho với (x,£>) € B(p, ) X B (x ,p ) mà X € G(p) X* £ X * , bao hàm thức sau cho đối đạo hàm Frechet : S*G(p,*)(x*) D u {p* e p*|(-x*,í>*) e D 'F ( x , p , 0)(y*)} y '€ Y ‘ (3.11) Hơn nữa, GrF đóng với £ > X* e x*,p* € D*G(p,x)(x*), tồn (x£,p£,y£) e GrF (x*E,p*£,y*£) G X* X p* X Y* cho \\xe - x \ \ < £ , Ibe-p|| cho, với p e B{p, ) X G B ( x , r), bất đẳng thức(3.6) 33 DƯƠNG T h ị K im H u y ề n Luận văn thạc sĩ toán học Chọn X e G(p) n B(x, p) X* e x*,p* e p* cho tồn y* € Y* để ( - x*,p*) € D*F(x,p,0)(y*) Khi ta có e N{G rF,(x,p,0)) = § 0, p > 0,6 > hàm số khả vi Préchet s : B(x, à) X B{p, /3) X £ ( 0, 6) —* R cho Vs(x,p, 0) = s(x, p, 0) = ôGxF(x, p , 0) = 0, s(x,ỹ,p) < ỗGĩF(x,p,ỹ) với (x,p,ỹ) e B ( x , a ) X B(p,/ 3) X B ( 0, 9) Xét hàm số s : B(p,P) X B (x,a) —>R cho s{p,x) := s(x,p, 0) Từ (3.12) ta có Vs(p,x) = \7(p,x)s(x,p, 0) = (p*,-x*), s(p,x) = s{x,p, 0) = = ổGrf(P,z), ? ( p , ĩ ) = s ( ĩ , ỹ , ) < 5G r F ( ĩ , P , ) = ỎGtG ( Ĩ * , x ) với (p ,ĩ) € B(p,/ 3) X B ( x , a ) Suy (p*, —ar*) € ổổGrc(p,z) = ÌV(Grơ, (p ,i)) hay p* € D*G(p,x)(x*)] (3.11) nghiệm 34 (3.12) Luận văn thạc sĩ toán học D n g T h ị K im H u y ề n Để chứng minh khẳng định thứ hai định lý, ta lấy £ > X* € x*,p* € D*G(p,x)(x*) Khi đó, tồn À > cho E ỡ[Àd((.,.),GrG)](p,x) Do (3.6), ta tìm t ', y > cho Ad((ĩ,j5),Grơ) < Ảl(d(x,p,ỹ),GrF + ỊịỹỊỊ) < ỗQrF(x,p,ỹ) + AZ||ỹ|| với (x ,p , ỹ) € B (x , r') X B(p, V) X Y Bây giờ, xét hàm /, g với /, g : B(x, r') X B(p, 7') X Y -> R xác định f{x,p ,y) := ỗGĩF(x,p,ỹ) + Xlịịỹị g{x,p,ỹ) := Xd((x,p), G tG) Sử dụng tính chất f(x,p , 0) = g{x,p, 0) = / < g, ta thu (-x*,p*,0) € dg{x,p, 0) c df{x,p, 0) Vì G rF đóng nên ta áp dụng Quy tắc tổng mờ (Định lý ) c h o v i p h â n F r é c h e t c ủ a / v £ đ ã c h ọ n đ ể c h ỉ r a s ự tồn (x£,pE, y£) € X X p X Y cho Iịi^eiVeiVe) ~ (^ơPíO)!! ^ ^2 ỵQ WỏGTF{x£,p£ìye) - < w (z,p,0)ll < £ d f(x ,p , 0) c dỏGTF{xe,PEiyE)+{Q}x W x ^ D y + e ( D x ‘ 'xDp'XDY')- 35 DƯƠNG T Luận văn thạc sĩ toán học hị K im H u y ề n Từ (3 13) ta có (xE,pE,yE) € GrF tồn (-£*,£*, y*) e N(GtF, (x£,pe,ye)) e D y cho (-* • + x*£,p* - P l -y*£ - \lz*) e e (Dx * X Dp- X D y)Từ suy điều phải chứng minh 3.4 Tính giả Lipschitz hàm ẩn đa trị Định lý sau cho thấy tính chất Lipschitz F chuyển sang cểic hàm ẩn H vk G Đ ịn h lý 3.4 Giả sử tất giả thiết Dịnh lý 3.2 thỏa mẫn Hơn nữa, giả sử F giả Lipschitz ứng với p theo X quanh { x , p , ỹ ) , nghĩa tồn ố , T , L > Uz £ V (p ) cho với P\,P £ ưz ta có F(x,P ) n B(ỹ, ỏz) c F{x,pi) + Ld(pi,p )DY (3.14) Khi đó, với a (0, c) tồn t i ô , f > ũ e v(p) cho với y G B(ỹ, ỗ) P\,P2 € u , H(p ,y) n B ( x , f ) c H(pi,y) + —d(pi,p2) D x , a nghĩa H giả Lipschitz ứng với p theo y e B(ỹ,ỗ) với môđun Nói riêng, ỹ = hàm ẩn G giả Lipschitz với môđun C h ứ n g m inh, cố định a e (0,c), lấy ỏ := min(ố,ố3) ,f := min(r, r3), ũ = u n ưz, với ổ, r u đưa Định lý 3.2 (a) Ta chọn y € B(ỹ,ỗ),pi,p2 e ữ X € B ( x ,f ) n H(p 2,y) Khi 36 Luận văn thạc sĩ toán học D n g T h ị K im H u y ề n đó, (3.14) ta có y € F(x,p2) n B(ỹ, S) c F ( x ìpì) + L(1(p i ,P2)Dy Mặt khéic, từ (3.3) ta có d(x,H(pi,y)) < -d(y,F(x,ì>i)) Qt Vì vậy, d(x,i7(pi,ì/)) < -d (y ,F (x ,p i)) < - d ( p i ,p )a a Từ suy điều phải chứng minh N hân xét 3.3 Kết trê n D mở rộng kết tương ứng [13].' 37 Kết luân Dựa báo M Durea R Strugariu, luận văn trình bày số kết tính mở ánh xạ đa trị định lý ham ân thu từ kết Nội dung luận văn bao gồm: Các khái niệm giải tích đa trị số kết kinh điển; Các kết tính mở ánh xạ đa trị không chứa tham số ánh xạ đa trị chứa tham số; Các định lý hàm ẩn Luận văn có kết mới, khẳng định Mục 2.2 (Chương 2) nói kết luận định lý ánh xạ mở M Durea R Strugariu [10, Theorem 3.1] khơng cịn đúng, loại bỏ giả thiết tính đóng ánh xạ đa trị xét Khả sử dụng cách tiếp cận [10] để phát triển thêm bước kết N D Yen J.-C Yao [23] (sử dụng đối đạo hàm Mordukhovich điểm đồ thị ánh xạ đa trị xét) vấn đề mở 38 Tài liệu tham khảo Tiếng V iệt [1] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học tự nhiên Công nghệ, Hà Nội Tiếng Anh [2] J.-P Aubin (1984), Lipschitz behavior of solutions to con­ vex minimization problems, Math Oper Res 9, pp 87-111 [3] J.-P Aubin and I Ekeland (1984), Applied Nonlinear Anal­ ysis, Wiley, New York [4] J.-P Aubin and H Frankowska (1990), Set-Valued Analysis, Birkhauser, Berlin [5] J M Borwein and D M Zhuang (1988), Verifiable nec­ essary and sufficient conditions for regularity of set-valued and single-valued maps, J Math Anal Appl 134, pp 441459 [6] J M Borwein and Q J Zhu (2005), Techniques of Varia­ tional Analysis, Springer, New York [7] F H Clarke (1990), Optimization and Nonsmooth Analysis, SIAM, Philadelphia 39 Luan van thac si toan hoc D n g T h ị K im H u y ề n [8] A L Dontchev and R T Rockafellar (1996), Characteri­ zations of strong regularity for variational inequalities over polyhedral convex sets, SIAM J Optim 6, pp 1087-1105 [9] M Durea (2010), Openness properties for parametric set­ valued mappings and implicit multifunctions, Nonlinear Anal 72, 571-579 [10] M Durea and R Strugariu (2010), Qualitative results on openness of set-valued mappings and implicit function the­ orems, Pacific J Optim 6, pp 533-549 [11] I Ekeland (1974), On the variational principle, J Math Anal Appl 47 pp 324-353 [12] Y S Ledyaev and Q J Zhu (1999), Implicit multifunction theorems, Set-Valued Anal 7, pp 209-238 [13] G M Lee, N N Tam, and N D Yen (2008), Normal coderivative for multifunctions and implicit function the­ orems, J Math Anal Appl 338, pp 11-22 [14] B S Mordukhovich (1980), Metric approximations and nec­ essary optimality conditions for general classes of extremal problems, Soviet Math Dokl., 22, pp 526-530 [15] B S Mordukhovich (1993), Complete characterization of openess, metric regularity and Lipschitzian properties of multifunctions, Trans Amer Math Soc., 340, pp 1-35 [16] B.S Mordukhovich (1994), Generalized differential calcu­ lus for nonsmooth and set-valued mappings, J Math Anal Appl., 183, pp 250-288 40 LuQ,n v&n thyc si toan hoc D ương T hị K im H u y ề n [17] B S Mordukhovich (2006), Variational Analysis and Gen­ eralized Differentiation Vol I: Basic Theory, Vol II: Ap­ plications, Springer, Berlin [18] H V Ngai and M Thera (2004), Error bounds and implicit multifunction theorem in smooth Banach spaces and appli­ cations to optimization, Set-Valued Anal 12 , pp 195Q223 [19] J.-P Penot (1998), Compactness properties, openness cri­ teria and coderivatives, Set- Valued Anal 6, pp 363-380 [20] S M Robinson (1976), Stability theory for systems of in­ equalities, II Differentiable nonlinear systems, SIAM J Numer Anal 13, pp 497-513 [21] R T Rockafellar (1970), Convex Analysis, Princeton Uni­ versity Press, Princeton, New Jersey [22] R T Rockafellar and R J.-B Wets (1998), Variational Analysis, Springer, Berlin [23] N D Yen and J.-C Yao (2009), Point-based sufficient con­ ditions for metric regularity of implicit multifunctions, Non­ linear Anal., 70, pp 2806-2815 41 ... Chương Các định lý hàm ẩn Sử dụng Định lý 2.3 tính mở cho ánh xạ đa trị có tham số, chương ta đưa kết liên quan đến hàm ẩn đa trị 3.1 Tính nửa liên tuc • hàm ẩn đa tri• Cho ánh xạ đa trị F :... Các kết tính mở Trong chương này, chứng minh số kết tính mở ánh xạ đa trị Các trường hợp ánh xạ khơng có tham số ánh xạ có tham số xét riêng rẽ 2.1 Định lý ánh xạ mở Ta bắt đầu với kết tính mở. .. đa trị số kết kinh điển; Các kết tính mở ánh xạ đa trị không chứa tham số ánh xạ đa trị chứa tham số; Các định lý hàm ẩn Luận văn có kết mới, khẳng định Mục 2.2 (Chương 2) nói kết luận định lý