SKKN rèn LUYỆN CHO học SINH PHƯƠNG PHÁP xác ĐỊNH và TÍNH các LOẠI góc TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN

I PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong hoạt động dạy học nhà trường, vấn đề tìm tịi đúc kết kinh nghiệm đưa việc giải tốn theo hướng tổng qt hóa cho lớp tốn, từ làm rõ nội dung tốn dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu có nhiều hội sáng tạo, đổi phương pháp dạy học Hinh học không gian chủ đề khó tốn phổ thơng lại ln có mặt kì thi HSG tuyển sinh đại học Không mà tốn hay, có nhiều cách giải độc đáo, giải gây nhiều hứng thú cho người học Đặc biệt toán xác định tính loại góc hình học khơng gian lại gây nhiều khó khăn lúng túng cho học sinh THPT - Nhằm giúp em có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo gợi cho em hướng giải tốt gặp loại tốn Tơi xin trình bày vài suy nghĩ việc giải tốn tính góc hình học khơng gian dạng viết nhỏ: “RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH CÁC LOẠI GĨC TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN” Hy vọng viết phần giúp em học sinh khơng lúng túng gặp dạng tốn 1.2 ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI Xuất phát từ lý chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực tốt nhiệm vụ nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư logic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp tốn xác định tính loại góc khơng gian Muốn người giáo viên phải hướng cho học sinh cách vẽ hình, nhận biết dạng toán Yêu cầu sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng khơng rườm rà lơgíc phù hợp với đối tượng học sinh THPT, có sáng tạo đổi Giới thiệu dạng toán bản, đưa giải pháp số tập minh hoạ Đề tài sử dụng để giảng dạy bồi dưỡng cho em học sinh khối 11, 12 hệ THPT làm tài liệu tham khảo cho thầy giảng dạy mơn Tốn Các thầy học sinh sử dụng toán đề tài làm toán gốc để đặt giải tập cụ thể Trong đề tài đưa giải số dạng toán thường gặp tương ứng tập tự luyện Sau toán tác giả có nhận xét bình luận khắc phục sai lầm giúp bạn đọc chọn cho phương pháp giải tối ưu nhất, để có lời giải gọn gàng sáng sủa II PHẦN NỘI DUNG 2.1 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI Đa số học sinh THPT nhận thức chưa đầy đủ, chưa hệ thống kiến thức nên gặp tốn góc chưa phân loại định hình cách giải, lúng túng xác định tính loại góc cách khơng gian, tập loại có nhiều dạng Nhưng bên cạnh chương trình hình học 11 lại dành thời lượng cho phần Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ việc học tập, làm tập hàng ngày nhận thấy đa số học sinh thường bỏ qua không giải trình bày chưa chặt chẻ, thiếu tính lơgíc mà nguyên nhân chủ yếu là: + Học sinh thiếu trí tưởng tượng khơng gian nên hình vẽ bị sai thiếu trực quan + Học sinh chưa xác định phương pháp tổng quát để xác định tính loại góc khơng gian + Học sinh chủ quan ngộ nhận nên đẫn đến kết sai + Học sinh thiếu thời gian rèn luyện, thời lượng dành cho tốn góc chương trình hình học 11 Hơn nội dung học rơi vào cuối học kì nên giáo viên khơng có đủ thời gian để luyện tập thêm cho học sinh 2.2 MỘT SỐ GIẢI PHÁP Qua nghiên cứu trao đổi đúc rút kinh nghiệm từ thực tế ý kiến đồng nghiệp mạnh dạn đưa hướng gải vấn đề học sinh với giải pháp Đưa số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ xác định tính loại góc khơng gian 2.2.1 Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh xác định tính góc hai đường thẳng Khái niệm: Góc hai đường thẳng a b không gian góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song (hoặc trùng) với a b ( ) 0 Chú ý: ≤ a¶, b ≤ 90 Cách xác định góc hai đường thẳng: ( ) + Nếu hai đường thẳng a b vng góc a¶, b = 90 ( ) + Nếu hai đường thẳng a b song song trùng a¶, b = + Nếu hai đường thẳng a b không song song, không trùng khơng vng góc nhau, ta xác định góc chúng theo bước sau: Bước Chọn điểm O khơng gian cho từ O xác định đường thẳng a’ b’ song song trùng với a b Bước Sử dụng định lý tính chất hình học phẳng để tính góc α = ·AOB (A ∈ a’ B ∈ b’) Bước Kết luận góc hai đường thẳng a b góc α 00 ≤ α ≤ 900 1800 − α α > 900 Chú ý: Trên đường thẳng a’ ta chọn điểm A (khác O) cho ta xác định hình chiếu H A đường thẳng b’ góc hai đường thẳng a b góc ·AOH Ví dụ 1: Cho tứ diên ABCD Gọi M, N, I trung điểm BC, AD AC Biết AB = 2a , St ⊥ SB , MN = a Tính góc hai đường thẳng AB CD Bài giải Theo tính chất đường trung bình ta có MI // AB MI = AB = a IN // CD IN = CD = a Suy góc hai đường thẳng AB CD góc hai đường thẳng MI NI Trong tam giác MIN ta có IM + IN − MN 2a + a − 5a 2 · cos MIN = = =− IM IN 2a 2a · Do MIN = 1350 Vậy góc hai đường thẳng AB CD 450 Ví dụ 2: (Đề minh họa THPTQG năm 2018) Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc với OA = OB = OC Gọi M trung điểm BC Góc hai đường thẳng OM AB A 900 B 300 C 600 D 450 Bài giải Gọi N trung điểm AC, ta có MN // AB nên góc hai đường thẳng OM AB góc OM MN Tam giác AMN có MN = a , AB = 2 a a , ON = AC = nên OMN OM = BC = 2 2 tam giác Do góc hai đường thẳng OM MN 600 Vậy góc hai đường thẳng OM AB 600 2.2.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh xác định tính góc đường thẳng mặt phẳng Khái niệm: Cho đường thẳng a mặt phẳng (P) + Trường hợp đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (P) 900 + Trường hợp đường thẳng a không vng góc với mặt phẳng (P) góc a hình chiếu a’ (P) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (P) ( ) 0 Chú ý: ≤ a· ,( P) ≤ 90 Cách xác định góc đường thẳng mặt phẳng: ( ) + Nếu đường thẳng a mp(P) vng góc a· ,( P ) = 90 ( ) + Nếu đường thẳng a mp(P) song song a ⊂(α) a· ,( P ) = + Nếu đường thẳng a mp(P) không song song, a ⊄(P), a mp(P) không vng góc nhau, ta xác định góc chúng theo bước sau: Bước Xác định điểm O=a∩(P) Bước Trên đường thẳng a ta chọn điểm A (khác O) cho ta xác định hình chiếu H A (P); Bước Kết luận góc đường thẳng a (P) góc ϕ = ·AOH Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a tam giác ABC cạnh a a) Tính góc SB mp(ABC) b) Gọi ϕ góc đường thẳng SC mp(SAB) Tính tanϕ Bài giải a) Ta có SA ⊥ (ABC) nên AB hình chiếu SB (ABC) suy góc ·ABS góc SB (ABC) Tam giác SAB vng cân A nên ·ABS = 450 Vậy góc SB (ABC) 450 b) Gọi I trung điểm AB, (ABC) ⊥ (SAB) theo giao tuyến AB CI ⊥ AB nên CI ⊥ (SAB) · Suy SC đường xiên, SI hình chiếu Do ϕ = CSI CI a a a a = : = Ta có SI = SA + AI = a +  ÷ = ⇒tan ϕ = SI 2 2 2 Ví dụ (Đề thi thức THPTQG năm 2018) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy SB = 2a Góc đường thẳng SB mặt phẳng đáy A 600 B 900 C 300 Bài giải Vì SA ⊥ (ABCD) nên SB đường xiên AB hình chiếu Suy góc SB (ABCD) góc ·ABS Ta có cos ·ABS = AB a = = SB 2a ⇒ ·ABS = 600 D 450 Ví dụ (Đề minh họa THPTQG 2018) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD Tang góc đường thẳng BM mặt phẳng (ABCD) A 2 B 3 C D Bài giải Gọi O giao điểm AC BD H trung điểm OD Ta có MH//SO SO ⊥ (ABCD) nên MH ⊥ (ABCD) Do BM đường xiên BH hình chiếu Suy góc BM (ABCD) · góc MBH a Ta có MH = SO = a MH · = = = (ycbt) Trong tam giác vuông HBM: tan MBH BM 3a 2.2.3 Giải pháp 3: Hướng dẫn học sinh xác định tính góc hai mặt phẳng Khái niệm: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng ( ) 0 Chú ý: ≤ (·α ),( β ) ≤ 90 St ⊥ SB Cách xác định góc hai mặt phẳng: ( ) + Nếu hai mp(α) mp(β) vng góc (·α ),( β ) = 90 ( ) + Nếu hai mp(α) mp(β) song song trùng (·α ),( β ) = + Nếu hai mp(α) mp(β) không song song, không trùng không vng góc nhau, ta xác định góc chúng theo bước sau: Bước Xác định giao tuyến A d=(α)∩(β); Bước Trên mặt phẳng (α) ta chọn điểm A (A∉d) cho ta xác định d O H (β H.6 α) đồng thời hình chiếu H A (β); xác định hình chiếu O A lên giao tuyến d; Bước Kết luận góc hai mặt phẳng (α) (β) góc ϕ = ·AOH Ví dụ 6: (Đề thi THPTQG năm 2018) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O Gọi I tâm hình vng A’B’C’D’ M điểm thuộc OI cho MO = 2MI Khi cosin góc tạo hai mặt phẳng (MC’D’) (MAB) A 85 85 B 85 85 C Bài giải 17 13 65 D 13 65 Ta có AB//C’D’ nên mp(MAB) cắt mp(MC’D’) theo giao tuyến đường thẳng d qua M song song với AB Gọi E, F, G, H lầ lượt trung điểm AB, CD, C’D’, A’B’ N giao điểm MG EH Ta có AB ⊥ (EFGH) nên d ⊥ (EFGH) suy ME ⊥ d MG ⊥ d Do góc hai mặt phẳng (MAB) (MC’D’) góc hai đường thẳng ME MG Đặt AB = a, ta có MI = a a 2a a 34 a 10 ⇒ NH = ⇒ EN = ; ME = ; MN = 3 6 EM + MN − EN 85 · Suy cos EMN = = EM EN 85 Ví dụ 7: (Đề minh họa THPTQG năm 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = AA’ = Gọi M, N, P trung điểm cạnh A’B’, A’C’ BC Cosin góc tạo hai mặt phẳng (AB’C’) (MNP) A 13 65 B 13 65 C Bài giải 10 17 13 65 D 18 13 65 Gọi P’ trung điểm B’C’; I giao điểm A’P’ với MN O giao điểm AP’ với PI  B ' C ' PMN Ta có  suy (AB’C’) cắt (MNP) theo giao tuyến O ∈ ( AB ' C ') ∩ ( MNP ) đường thẳng d qua O song song với B’C’ B 'C ' ⊥ A ' P '  d ⊥ OP ' ⇒ B ' C ' ⊥ ( AA ' P ' P ) ⇒ d ⊥ ( AA ' P ' P ) ⇒  Ta có   B ' C ' ⊥ AA '  d ⊥ OI Vậy góc hai mặt phẳng (AB’C’) (MNP) góc hai đường thẳng OP’ OI Ta có AA’ = 2; A’P’ = ⇒IP ' = 13 ; OI = PI = ; OP ' = AP ' = 3 OI + OP '2 − IP '2 13 · cos IOP ' = =− 2OI OP ' 65 Cosin góc tạo hai mặt phẳng (AB’C’) (MNP) 13 65 Ví dụ 8: (Đề minh họa THPTQG năm 2019) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Góc hai mặt phẳng (A’B’CD) (ABC’D’) bằng: A 300 B 600 C 450 Bài giải Ta có:  AD’ ⊥ A’D ⇒ AD ' ⊥ ( A ' B ' CD)  AD ' ⊥ A ' B '  ⇒ ( ABC ' D ') ⊥ ( A ' B ' CD) Vậy góc hai mặt phẳng (A’B’CD) (ABC’D’) 900 11 D 900 Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân với BA = BC = a , SA ⊥ ( ABC ) , SA = a Gọi E , F trung điểm cạnh AB, AC Tính cosin góc hai mặt phẳng ( SEF ) ( SBC ) Bài giải  EF ⊂ ( SEF )  Vì  BC ⊂ ( SBC ) ⇒ giao tuyến ( SEF ) ( SBC )  EF // BC  đường thẳng qua S , song song với BC , St  BC ⊥ AB   BC ⊥ SA ( gt ) ( SA ⊥ ( ABC ) ) ⇒ BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ SB hay St ⊥ SB Tương tự EF ⊥ ( SAE ) ⇒ EF ⊥ SE mà EF // St ⇒ St ⊥ SE Vậy SB SE qua S vng góc với St nên góc hai mặt phẳng ( SEF ) ( SBC ) góc hai đường thẳng SB SE · Ta tính góc BSE Có SE = SA2 + AE = a a ; SB = SA2 + AB = a ; BE = 2 · = Theo định lí cosin ta có: cos BSE SE + SB − BE = 2.SE.SB 10 12 BÀI TẬP LÀM THÊM Bài tập 1: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB=a, AC = a hình chiếu vng góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cơsin góc hai đường thẳng AA', B'C' Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA=a, SB = a mặt phẳng (SAB) vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN tính cơsin góc hai đường thẳng SM, DN Bài tập 3: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC = a Gọi H, K trung điểm cạnh AB AD a) Chứng minh SH ⊥ (ABCD), AC ⊥ (SHK) b) Tính số đo góc SC mặt phẳng (SHD) Bài tập 4: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh 2a, điểm A’ cách ba điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy góc α Hãy tìm α biết thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ 3a Bài tập 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC hình chóp tam giác cạnh AB = a, cạnh bên AA ' = a Gọi α góc hai mặt phẳng (ABC) (A’BC) Tính tanα thể tích khối chóp A’.BCC’B’ Bài tập 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a Gọi M trung điểm CC’ a) Tính góc hai đường thẳng MB A’B’ b) Tính góc hai mặt phẳng (MAB) (ABC) 13 III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng đề tài: Trên giải pháp mà đúc rút suốt trình giảng dạy trường THPT Hình học khơng gian nội dung quan trọng chương trình mơn tốn lớp 11 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng học sinh lại mảng tương đối khó, phần nhiều thầy giáo quan tâm Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 11, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả xác định tính loại góc hình học khơng gian Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên có kỹ giải tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 11 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số học sinh hiểu có kỹ giải dạng tốn nói Như tơi thấy phương pháp có hiệu tương đối Theo tơi dạy phần tốn hình học không gian giáo viên cần rõ dạng toán cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tôi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho Tôi xin chân thành cảm ơn 3.2 Kiến nghị đề xuất: - Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ 14 - Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề - Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa hình học 11 nâng cao - Nhà xuất giáo dục + Sách hướng dẫn giảng dạy - Nhà xuất giáo dục + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Toán nâng cao hình học 11 - Phan Huy Khải + Các đề thi đại học, đề thi THPTQG, đề minh họa năm trước   16 MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN I 1.1 1.2 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI PHẦN II NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 2.2 PHẦN III THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI MỘT SỐ GIẢI PHÁP KẾT LUẬN 3.1 Ý NGHĨA, PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI 3.2 KIẾN NGHỊ TÀI LIỆU THAM KHẢO - 17 Trang Trang Trang Trang Trang Trang Trang 14 Trang 14 Trang 14 Trang 16 ... chủ yếu là: + Học sinh thiếu trí tưởng tượng khơng gian nên hình vẽ bị sai thiếu trực quan + Học sinh chưa xác định phương pháp tổng qt để xác định tính loại góc không gian + Học sinh chủ quan... + Học sinh thiếu thời gian rèn luyện, thời lượng dành cho tốn góc chương trình hình học 11 Hơn nội dung học rơi vào cuối học kì nên giáo viên khơng có đủ thời gian để luyện tập thêm cho học sinh. .. nghiệm năm học giảng dạy lớp 11, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả xác định tính loại góc hình học khơng gian Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung