SKKN rèn LUYỆN CHO học SINH PHƯƠNG PHÁP xác ĐỊNH và TÍNH các LOẠI góc TRONG HÌNH học KHÔNG GIAN

Đặc biệt bài toán xác định và tính các loại góc trong hình học không gian lại gây nhiều khó khăn lúng túng cho học sinh THPT.. Tôi xin trình bày một vài suy nghĩ của mình trong việc giải

I PHẦN MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong hoạt động dạy và học của nhà trường, vấn đề tìm tòi đúc kết kinh nghiệm đưa việc giải toán theo hướng tổng quát hóa cho một lớp các bài toán, từ

đó làm rõ nội dung những bài toán ở dạng đặc biệt, giúp cho việc dạy có định hướng cụ thể, logic, người học dễ tiếp thu và có nhiều cơ hội sáng tạo, đó cũng chính là đổi mới phương pháp dạy học

Hinh học không gian là một trong những chủ đề khó của toán phổ thông nhưng lại luôn có mặt trong các kì thi HSG cũng như tuyển sinh đại học Không những thế mà đây là bài toán hay, có nhiều cách giải độc đáo, nếu giải được gây

ra nhiều hứng thú cho người học Đặc biệt bài toán xác định và tính các loại góc trong hình học không gian lại gây nhiều khó khăn lúng túng cho học sinh THPT

- Nhằm giúp các em có thêm kiến thức, phát triển năng lực tư duy sáng tạo và gợi cho các em hướng giải quyết tốt khi gặp loại toán này Tôi xin trình bày một vài suy nghĩ của mình trong việc giải các bài toán tính góc trong hình học không

gian dưới dạng một bài viết nhỏ: “RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH VÀ TÍNH CÁC LOẠI GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN” Hy vọng bài viết này phần nào giúp các em học sinh không lúng túng

khi gặp dạng toán này

1.2 ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI

Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán xác định và tính các loại góc trong không gian Muốn vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh cách vẽ hình, nhận biết các dạng toán

Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng không rườm rà lôgíc phù hợp với mọi đối tượng học sinh THPT, có sáng tạo đổi mới Giới thiệu được các dạng toán cơ bản, đưa ra được giải pháp và một số bài tập minh hoạ

Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh khối

11, 12 hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán Các thầy cô và học sinh có thể sử dụng các bài toán trong đề tài này làm bài toán gốc để đặt và giải quyết các bài tập cụ thể

Trong đề tài này tôi đã đưa ra và giải quyết một số dạng bài toán thường gặp tương ứng các bài tập tự luyện Sau mỗi bài toán tác giả đều có những nhận xét bình luận khắc phục những sai lầm cơ bản giúp bạn đọc có thể chọn ra cho mình những phương pháp giải tối ưu nhất, để có được những lời giải gọn gàng

và sáng sủa nhất

II PHẦN NỘI DUNG

2.1 THỰC TRẠNG CỦA ĐỀ TÀI

Đa số học sinh THPT nhận thức chưa đầy đủ, chưa hệ thống được kiến thức nên khi gặp các bài toán về góc chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi xác định và tính các loại góc cách trong không gian, trong khi đó bài tập loại này có rất nhiều dạng Nhưng bên cạnh đó chương trình hình học 11 lại dành một thời lượng rất ít cho phần này

Qua việc khảo sát kiểm tra định kỳ và việc học tập, làm bài tập hàng ngày nhận thấy đa số học sinh thường bỏ qua hoặc không giải được hoặc trình bày chưa chặt chẻ, thiếu tính lôgíc mà nguyên nhân chủ yếu là:

+ Học sinh thiếu trí tưởng tượng không gian nên hình vẽ bị sai hoặc thiếu trực quan

+ Học sinh chưa xác định được phương pháp tổng quát để xác định và tính các loại góc trong không gian

+ Học sinh chủ quan và ngộ nhận nên đẫn đến kết quả sai

+ Học sinh thiếu thời gian rèn luyện, thời lượng dành cho bài toán về góc trong chương trình hình học 11 là quá ít Hơn nữa nội dung bài học này rơi vào cuối học kì 2 nên giáo viên không có đủ thời gian để luyện tập thêm cho học sinh

2.2 MỘT SỐ GIẢI PHÁP

Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của đồng nghiệp tôi mạnh dạn đưa ra hướng gải quyết các vấn đề trên của học sinh với những giải pháp Đưa ra một số giải pháp giúp học sinh hình thành kĩ năng khi xác định và tính các loại góc trong không gian

2.2.1 Giải pháp 1: Hướng dẫn học sinh xác định và tính góc giữa hai đường thẳng.

Khái niệm:

Góc giữa hai đường thẳng a và b trong

3

a

b

b' a'

không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b

Chú ý: 00  a b, 900

Cách xác định góc giữa hai đường thẳng:

+ Nếu hai đường thẳng a và b vuông góc thì  a b , 900

+ Nếu hai đường thẳng a và b song song hoặc trùng nhau thì  a b , 00

+ Nếu hai đường thẳng a và b không song song, không trùng nhau và

cũng không vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước sau:

Bước 1 Chọn điểm O bất kì trong không gian sao cho từ O có thể xác

định được các đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song hoặc trùng với a và b

Bước 2 Sử dụng các định lý và tính chất của hình học phẳng để tính góc

AOB



 (A  a’ và B  b’)

Bước 3 Kết luận góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc  nếu

00 ≤  ≤ 900 hoặc 180 0  nếu  > 900

Chú ý: Trên đường thẳng a’ nếu ta chọn điểm A (khác O) sao cho ta có

thể xác định được hình chiếu H của A trên đường thẳng b’ thì góc giữa hai đường thẳng a và b chính là góc AOH

Ví dụ 1: Cho tứ diên ABCD Gọi M, N, I lần

lượt là trung điểm BC, AD và AC Biết

2

AB a, St  SB, MN a 5 Tính góc

giữa hai đường thẳng AB và CD

N I

M

C A

Bài giải

Theo tính chất của đường trung bình ta có MI // AB và 1

2

MI  AB a

2

IN  CD a Suy ra góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng góc giữa hai đường thẳng MI

và NI

Trong tam giác MIN ta có

cos

MIN

Do đó MIN 1350

Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 450

Ví dụ 2: (Đề minh họa THPTQG năm 2018)

Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA = OB =

OC Gọi M là trung điểm BC Góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng

Bài giải

Gọi N là trung điểm AC, ta có MN // AB nên góc

giữa hai đường thẳng OM và AB bằng góc giữa

OM và MN

a

MN  AB ,

a

a

ON  AC nên OMN

là tam giác đều Do đó góc giữa hai đường thẳng OM và MN bằng 600

Vậy góc giữa hai đường thẳng OM và AB bằng 600

N

M A

C

B O

2.2.2 Giải pháp 2: Hướng dẫn học sinh xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Khái niệm:

Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P).

+ Trường hợp đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) bằng 90 0

+ Trường hợp đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P).

P P

a'

a a

O A

H

Chú ý: 00 a P,( ) 900

Cách xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

+ Nếu đường thẳng a và mp(P) vuông góc thì a P ,( ) 900

+ Nếu đường thẳng a và mp(P) song song hoặc a (α)) thì a P ,( ) 00

+ Nếu đường thẳng a và mp(P) không song song, a (P), a và mp(P) cũng không vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước sau:

Bước 1 Xác định điểm O=a(P)

Bước 2 Trên đường thẳng a ta chọn

điểm A (khác O) sao cho ta có thể xác định

được hình chiếu H của A trên (P);

Bước 3 Kết luận góc giữa đường

thẳng a và (P) chính là góc AOH

P

a'

a

O A

H

Ví dụ 3

Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC), SA = a và tam giác ABC đều cạnh a a) Tính góc giữa SB và mp(ABC)

b) Gọi  là góc giữa đường thẳng SC và mp(SAB) Tính tan

Bài giải

a) Ta có SA  (ABC) nên AB là hình chiếu của SB

trên (ABC) suy ra góc ABS là góc giữa SB và

(ABC)

Tam giác SAB vuông cân tại A nên ABS 450

Vậy góc giữa SB và (ABC) bằng 450

b) Gọi I là trung điểm của AB, vì (ABC)  (SAB)

theo giao tuyến AB và CI  AB nên CI  (SAB)

Suy ra SC là đường xiên, SI là hình chiếu Do đó CSI

Ta có

2

SI  SA  AI  a   

 

SI



Ví dụ 4 (Đề thi chính thức THPTQG năm 2018)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SB = 2a Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy bằng

Bài giải

Vì SA  (ABCD) nên SB là đường xiên và

AB là hình chiếu

Suy ra góc giữa SB và (ABCD) là góc ABS

AB a ABS

SB a

 ABS 600

I S

B

C A

D

B

A

C S

Ví dụ 5 (Đề minh họa THPTQG 2018)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a Gọi M là trung điểm SD Tang của góc giữa đường thẳng BM và mặt phẳng (ABCD) bằng

A 2

3

2

1 3

Bài giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD và H

là trung điểm OD Ta có MH//SO và

SO  (ABCD) nên MH  (ABCD) Do

đó BM là đường xiên và BH là hình

chiếu Suy ra góc giữa BM và (ABCD)

là góc MBH

a

MH  SO

Trong tam giác vuông HBM: 

2 1 4

tan

3

3 2 4

a MH MBH

2.2.3 Giải pháp 3: Hướng dẫn học sinh xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng.

Khái niệm:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai

đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt

phẳng đó

Chú ý: 00 ( ),( )   900

H O

M

D

B

A

C S

Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng:

+ Nếu hai mp(α)) và mp(β) vuông góc thì ( ),( )   900

+ Nếu hai mp(α)) và mp(β) song song hoặc trùng nhau thì ( ),( )   00

+ Nếu hai mp(α)) và mp(β) không song song, không trùng và cũng không

vuông góc nhau, khi đó ta xác định góc của chúng theo các bước sau:

Bước 1 Xác định giao tuyến

d=(α))(β);

Bước 2 Trên mặt phẳng (α)) ta chọn

điểm A (Ad) sao cho ta có thể xác định

được đồng thời hình chiếu H của A trên (β);

và có thể xác định được hình chiếu O của A lên giao tuyến d;

Bước 3 Kết luận góc giữa hai mặt phẳng (α)) và (β) chính là góc

AOH



Ví dụ 6: (Đề thi THPTQG năm 2018)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc OI sao cho MO = 2MI Khi đó cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng

A 6 85

7 85

17 13

6 13 65

Bài giải

H

E

F

G

M I

O

C

D

B A

N

M O

I

H G

E F

d H.6

(

)

O H

A

Ta có AB//C’D’ nên mp(MAB) cắt mp(MC’D’) theo giao tuyến là đường thẳng

d đi qua M và song song với AB

Gọi E, F, G, H lầ lượt là trung điểm AB, CD, C’D’, A’B’ N là giao điểm của

MG và EH

Ta có AB  (EFGH) nên d  (EFGH) suy ra ME  d và MG  d Do đó góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (MC’D’) là góc giữa hai đường thẳng ME và MG

Đặt AB = a, ta có

6

a

NH   EN  ; 34

6

a

6

a

MN 

Suy ra 

cos

EMN

EM EN

Ví dụ 7: (Đề minh họa THPTQG năm 2018)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB 2 3 và AA’ = 2 Gọi M,

N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, A’C’ và BC Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) bằng

A 6 13

13

17 13

18 13 65

Bài giải

P

N M

C'

B'

A

C

B

A'

O

I P' A'

Gọi P’ là trung điểm của B’C’; I là giao điểm của A’P’ với MN và O là giao điểm của AP’ với PI

Ta có ' '

( ' ') ( )

B C MN









suy ra (AB’C’) cắt (MNP) theo giao tuyến là đường thẳng d đi qua O và song song với B’C’

' ' '

B C AA P P d AA P P

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) là góc giữa hai đường thẳng OP’ và OI

Ta có AA’ = 2; A’P’ = 3  ' 3

2

OI  PI  ; ' 1 ' 13

OP  AP 

cos '

OI OP IP

IOP

OI OP

Cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (AB’C’) và (MNP) bằng 13

65 .

Ví dụ 8: (Đề minh họa THPTQG năm 2019)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ Góc giữa hai mặt phẳng (A’B’CD) và (ABC’D’) bằng:

Bài giải

Ta có:

' ( ' ' )

' ' '

') ( ' ' )

AD A B CD ABC

AD A D

AD A

D A B CD

B















Vậy góc giữa hai mặt phẳng (A’B’CD) và

C' C

D

Ví dụ 9: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với

BA BC a  , SAABC, SA a Gọi E F, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB AC, Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng SEF và  SBC 

Bài giải

Vì

//

EF SEF

BC SBC

EF BC













giao tuyến của SEF và  SBC

là đường thẳng qua S, song song với BC, là St

 

BC AB gt

BC SA vì SA ABC









BC SAB

BC SB

  hay St SB

Tương tự EF SAE  EF SE mà EF St//  St SE.

Vậy SB và SE cùng đi qua S và cùng vuông góc với St nên góc giữa hai mặt phẳng SEF và  SBC bằng góc giữa hai đường thẳng  SB và SE

Ta tính góc BSE

2

a

SE SA  AE  ; SB SA2 AB2 a 2 ;

2

a

BE 

Theo định lí cosin ta có: 

cos

SE SB BE BSE

SE SB

BÀI TẬP LÀM THÊM

Bài tập 1: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam

giác vuông tại A, AB=a, AC a 3 và hình chiếu vuông góc của đỉnh A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng AA', B'C'.

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA=a,

3

SB a và mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN

và tính côsin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.

Bài tập 3: Cho hình chop S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên

SAB là tam giác đều và SC a 2 Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD

a) Chứng minh SH  (ABCD), AC  (SHK)

b) Tính số đo góc giữa SC và mặt phẳng (SHD)

Bài tập 4: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh

2a, điểm A’ cách đều ba điểm A, B, C Cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc  Hãy tìm  biết thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ bằng 2 3a 3

Bài tập 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ với A’.ABC là hình chóp tam

giác đều cạnh AB = a, cạnh bên AA'a 2 Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) Tính tan và thể tích khối chóp A’.BCC’B’

Bài tập 6: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều

bằng a Gọi M là trung điểm của CC’

a) Tính góc giữa hai đường thẳng MB và A’B’

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (MAB) và (ABC)

III PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài:

Trên đây là những giải pháp mà tôi đúc rút được trong suốt quá trình giảng dạy tại trường THPT

Hình học không gian là một nội dung quan trọng trong chương trình môn toán lớp 11 nói riêng và bậc THPT nói chung Nhưng đối với học sinh lại là một mảng tương đối khó, đây cũng là phần nhiều thầy cô giáo quan tâm

Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 11, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng xác định và tính các loại góc trong hình học không gian Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải các bài tập Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể ở các lớp khối 11 sau khi áp dụng sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu

và có kỹ năng giải được cơ bản các dạng toán nói trên

Như vậy tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối Theo tôi khi dạy phần toán hình học không gian giáo viên cần chỉ rõ các dạng toán và cách giải tương ứng để học sinh nắm được bài tốt hơn

Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót

và hạn chế Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung

và góp ý cho tôi Tôi xin chân thành cảm ơn

3.2 Kiến nghị và đề xuất:

- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm

cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề

- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập