Đang tải... (xem toàn văn)
Tuy nhiên việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh các bài toán khác trong đa số các trường hợp yêu cầu học sinh phải biết cách biến đổi một cách hợp lý, thậm chí là phải rất t[r]
(1)CHUYÊN ĐỀ: MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Tác giả chuyên đề: Phùng Văn Long
Chức vụ: Giáo viên
Đơn vị công tác: Trường THCS Vĩnh Tường
Huyện Vĩnh Tường-Tỉnh Vĩnh Phúc Đối tượng: Học sinh lớp
Số tiết: 15 tiết
I ĐẶT VẤN ĐỀ
Tốn học mơn học có ý nghĩa đặc biệt với học sinh phổ thơng Nó giúp học sinh phát triển tư logic, phát triển lực trí tuệ hình thành phẩm chất đạo đức, mơn tốn mơn học cơng cụ nên việc học tốt mơn tốn giúp học sinh học tốt mơn học khác Tuy nhiên mơn tốn mơn học mang tính trừu tượng cao nên học sinh thường gặp khó khăn học tốn, song khơng mà tốn học thiếu hấp dẫn người học
Một phận quan trọng hấp dẫn với học sinh giỏi phân môn Bất đẳng thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nhưng phần khó mơn Tốn
Bất đẳng thức vấn đề cổ điển toán học sơ cấp ngày quan tâm phát triển, phần toán học sơ cấp đẹp thú vị nhất, ln hút nhiều quan tâm học sinh, đặc biệt học sinh giỏi, học sinh có khiếu học toán Điểm đặc biệt, ấn tượng bất đẳng thức tốn sơ cấp có nhiều tốn hay khó, chí khó Tuy nhiên khó ở khơng nằm ở gánh nặng về lượng kiến thức mà ở yêu cầu óc quan sát, linh cảm tinh tế sức sáng tạo rời rào người học, người học ln giải bằng kiến thức bản việc hoàn thành chứng minh niềm vui thực
Trong công tác bời dưỡng học sinh giỏi mơn tốn toán bất đẳng thức, giá trị nhỏ nhất, lớn tốn có khả rèn luyện cho học sinh óc phán đốn tư logic, song phần lớn học sinh gặp khó khăn giải dạng toán
Đối với học sinh trung học sở, việc chứng minh bất đẳng thức thường có cơng cụ, học sinh chủ yếu sử dụng định nghĩa bất đẳng thức Cauchy để chứng minh Tuy nhiên việc sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh toán khác đa số trường hợp yêu cầu học sinh phải biết cách biến đổi cách hợp lý, chí phải tinh tế
(2)1 Bất đẳng thức Cauchy
a Cho hai số thực không âm a,b Khi ta có: a+2b≥√ab Dấu “=” xảy khi a=b
b (Dạng tổng quát).Cho n số thực không âm a1, a2, ., an .Khi ta có: a1+a2+ +an
n ≥
n
√a1.a2 an Dấu “=” xảy a1=a2= =an .
Bất đẳng thức gọi bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân hay bất đẳng thức AM-GM (Arithmetic mean- Geometric mean) Chứng minh:
-Với n=2 bất đẳng thức hiển nhiên dấu bằng xảy a1=a2
- Giả sử bất đẳng thức đến n=k, tức ∀a1, a2, , ak≥0 ta có: a1+a2+ +ak
k ≥
k
√a1.a2 ak , dấu bằng xảy a1=a2= =ak
-Xét n=k+1.Với ∀a1, a2, , ak+1≥0 ta có:
Sk+1=a1+a2+ +ak+ak+1
k+1 =
k.a1+a2+ +ak k +ak+1 k+1
(1)
Theo giả thiết quy nạp, suy Sk+1≥k k
√a1 a2 ak+ak+1
k+1 (2) Dấu “=” (2) xảy (theo giả thiết quy nạp) a1=a2= =ak
Đặt a1.a2 ak=αk(k+1) ak+1=β k+1
(2) dạng Sk+1≥k.α k+1
+βk+1
k+1 (3) Từ (3) ta có Sk+1−k+√1a1.a2 ak+1≥k.α
k+1
+βk+1 k+1 −α
kβ (4) Dễ dàng thấy rằng: VP(4)=k.α
k+1
+βk+1− kαkβ −αkβ
k+1 =
1
k+1.[k.α
k.(α − β)− β(αk− βk)]
¿(α − β)
2 k+1 [α
k −1
+αk −2(α+β)+αk −3(α2+αβ+β2)+ +(αk −1+αk −2β+ +βk −1)] Do α , β ≥0 nên suy VP(4)≥0⇒Sk+1≥
k+1
√a1.a2 ak+1 Do bất đẳng thức Cauchy với n=k+1.Theo nguyên lý quy nạp ta suy bất đẳng thức Cauchy ∀n∈N
Dấu bằng xảy {a1=a2= ak
(3)Ví dụ 1.
Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn xyz1 Chứng minh rằng:
3 3 3
1 1 1
3 3
x y y z z x
xy yz zx
Dấu đẳng thức xảy nào?
Giải: Áp dụng BĐT Cauchy, ta có:
3
3 3
1 x y 3xy x y
xy xy
Đẳng thức xảy 1 x y Chứng minh tương tự, ta được:
3
1 y z
yz yz
(Đẳng thức xảy 1 y z)
3
1 z x
zx zx
(Đẳng thức xảy 1 z x) Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
3 3 3
1 1 1
3
x y y z z x
xy yz zx xy yz zx
Đẳng thức xảy x y z 1 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
1 1
3
xy yz zx xyz
Đẳng thức xảy x y z 1 Từ (1) (2), ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy x y z 1
(4)Nhận xét Số chiều BĐT Cauchy phụ thuộc vào số hạng bậc cao nhất. Ví dụ 2. Với số thực dương a, b, c, chứng minh rằng:
3 3 2
a b c ab bc ca Dấu đẳng thức xảy nào?
Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên phải có bậc cao 3, nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm Chẳng hạn, số hạng ab2 ứng với ba số
3, ,3
a b b Cứ vậy, ta thu bất đẳng thức cần chứng minh.
Giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có:
3 3
3 3
3 3
3
3
a b b ab
b c c bc
c a a ca
Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
3 3 2 2
3 3 2
3 a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
Dấu đẳng thức xảy khi:
a b
b c a b c c a
Ví dụ 3. Với số thực khơng âm a, b, c, chứng minh rằng:
2 2 2
a b b c c a abc a b c Dấu đẳng thức xảy nào?
Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2
a b b c ab c b c c a abc c a a b a bc
Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
2 2 2
2 2 2
2 a b b a c a 2abc a b c
a b b c c a abc a b c
Dấu đẳng thức xảy khi:
ab bc
bc ca a b c ca ab
(5)Nhận xét 2. Bậc số hạng cần thêm vào để sử dụng bất đẳng thức Cauchy bằng bậc số hạng cần mô tả.
Ví dụ 4. Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:
3 3
a b c
ab bc ca b c a
Dấu đẳng thức xảy nào?
Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên trái có chứa mẫu, số hạng bên phải khơng chứa mẫu, ta cần khử mẫu bằng cách thêm số hạng vào bên trái bất đẳng thức Bậc số hạng cần mô tả hai, nên bậc số hạng thêm vào hai
Chẳng hạn, số hạng
3
a
b có chứa mẫu b, nên số hạng thêm vào phải chứa nhân tử b Bậc số hạng 2, nên ta cộng thêm vào ab.
3
2
a
ab a
b
Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2
2
a
ab a b
3
2
3
2
2
b
bc b c
c
ca c a
Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
3 3
2 2
2
a b c
ab bc ca a b c
b c a (1)
Dấu đẳng thức xảy :
3
2
3
2
2
3
a
ab
b a b a b
b bc b c b c a b c
c
c a
c a
c ca
a
Lại có, a2 b2 c2 ab bc ca (2)
(6)Từ (1) (2) suy ra:
3 3
3 3
2
a b c
ab bc ca ab bc ca
b c a
a b c
ab bc ca
b c a
Dấu đẳng thức xảy a b c . Ví dụ 5. Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:
3 3
a b c
a b c
bc ca ab
Dấu đẳng thức xảy nào?
Phân tích: Ta thấy số hạng vế bên trái có chứa mẫu, số hạng bên phải khơng chứa mẫu, ta cần khử mẫu bằng cách thêm số hạng vào bên trái bất đẳng thức Bậc số hạng cần mô tả một, nên bậc số hạng thêm vào
Chẳng hạn, số hạng
a
bc có chứa mẫu b, c bậc số hạng thêm vào nên
các số hạng thêm vào b, c:
3
a b c a
bc
Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
a
b c a bc
3
3
3
b
c a b ca
c
a b c ab
Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
3 3 3
2
a b c a b c
a b c a b c a b c
(7)Dấu đẳng thức xảy
3
3
3
a
b c bc
b
c a a b c ca
c
a b ab
Nhận xét Khi bậc khơng số hạng cộng thêm số. Ví dụ 6. Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1, chứng minh
rằng:
3 3
3
a b c
Dấu đẳng thức xảy nào?
Phân tích: Cho a b c thay vào điều kiện ta tính
1
a b c
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa biến thích hợp để mơ tả điều kiện bất đẳng thức cần chứng minh
Chẳng hạn, với số hạng ab điều kiện xác định, ta sử dụng số hạng
3
, , 3
a b
:
3 3
3
1
3
3 3
a b a b ab
Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
3
3
1
3 3
1
3 3
1
3 3
a b ab
b c bc
c a ca
Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
3 3
3 3 3
1
2 3
3
2
2
3
a b c ab bc ca
a b c a b c
(8)Dấu đẳng thức xảy
1
1
3
3
a b b c
a b c c a
ab bc ca
Ví dụ 7. Với số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 4a b c 3abc, chứng minh rằng:
3 3
1 1
8
a b c
Dấu đẳng thức xảy nào?
Phân tích: Biến đổi điều kiện, ta được:
1 1
abbc ca
Cho a b c thay vào điều kiện ta tính a b c 2
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = cộng với số hạng hằng số, số hạng chứa biến thích hợp để mơ tả điều kiện bất đẳng thức cần chứng minh
Chẳng hạn, với số hạng
1
ab điều kiện, ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho
các số dương 3
1 1
, ,
8
a b , ta có:
3
3 3
1 1 1
3
8
a b a b ab
Giải Ta có:
1 1
4
4
a b c abc
ab bc ca
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
1 1
8
a b ab
3
3
1 1
8
1 1
8
b c bc
c a ca
(9)Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
3 3 3
1 1 3 1 1
2
8 8
a b c ab bc ca a b c
Dấu đẳng thức xảy
1 1
2 2
1 1
4
a b c a b c
ab bc ca
Nhận xét 4 Ta cần để ý đến trường hợp đẳng thức xảy với a = b = c bất đẳng thức để thêm hệ số cho thích hợp.
Ví dụ 8. Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:
3 3 1
2
a b c
a b c b bc c ca a ab Dấu đẳng thức xảy nào?
Phân tích: Cho a b c thay vào số hạng bên vế trái BĐT cần chứng minh,
chẳng hạn số hạng
3
a
b b c ta thu 2
a
Mặt khác, số hạng lại có mẫu chứa
nhân tử b b c, Do đó, ta thêm vào số hạng 2,
b bc
sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = 3:
3
3
3
2 4
a b b c a b b c
a
b b c b b c
Dấu đẳng thức xảy khi:
3
3 2
2
a b b c
a b b c
a b c
b b c b c
Ta làm tương tự với số hạng khác thu bất đẳng thức cần chứng minh Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
3
3
2 4
a b b c a b b c
a
b b c b b c
(10)
3
3 2
2
a b b c
a b b c
a b c
b b c b c
Tương tự, ta có:
3
3
3 4
b c c a
b
c c a
c a a b
c
a a b
Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
3 3
3 3
3
2
a b c
a b c a b c
b b c c c a a a b
a b c
a b c
b b c c c a a a b
Dấu đẳng thức xảy a b c
Ví dụ 9. Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:
3 3
2 2
2
2 2
a b c
a b c b c c a a b Dấu đẳng thức xảy nào?
Phân tích: Cho a b c thay vào số hạng bên vế trái BĐT cần chứng
minh, chẳng hạn số hạng
3 2
a
b c ta thu 9 a
Mặt khác, số hạng lại có mẫu
chứa nhân tử b2c Do đó, ta thêm vào số hạng
2
, 27 27
b c b c
sử dụng bất đẳng thức Cauchy với n = 3:
3
3
2
2 2
3
27 27 27 27
2
a b c b c a b c b c a
b c b c
Dấu đẳng thức xảy khi:
3
3
2
2
27
27
a b c
a b c a b c
b c
(11)
3
3
2
2 2
3
27 27 27 27
2
a b c b c a b c b c a
b c b c
Dấu đẳng thức xảy khi:
3
3
2
2
27
27
a b c
a b c a b c
b c
Tương tự, ta có:
3
2
27 27
2
b c a c a b
c a
(Dấu đẳng thức xảy 3b c 2a)
3
2
27 27
2
c a b a b c
a b
(Dấu đẳng thức xảy 3c a 2b) Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
3 3
2 2
3 3
2 2
9
2 2
2
2 2
a b c a b c a b c
b c c a a b
a b c
a b c
b c c a a b
Dấu đẳng thức xảy
3
3
3
a b c
b c a a b c
c a b
Nhận xét Ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với số bất đẳng thức phụ.
Ví dụ 10.Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:
5 5
2 2
2 2
a b c
a b c
bc ca ab
Dấu đẳng thức xảy nào?
Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
5
2 3 2
2
a a
c ab c ab a
bc bc
Dấu đẳng thức xảy khi:
5 2
a
c ab a b c
(12)Tương tự, ta có:
5
2
2
b
a bc b
ca (Dấu đẳng thức xảy khi: a b c )
5
2
2
c
b ca c
ab (Dấu đẳng thức xảy khi: a b c ) Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
5 5
2 2 2
2 2
5 5
2 2 2
2 2
3
a b c
a b c ab bc ca a b c bc ca ab
a b c
a b c a b c ab bc ca bc ca ab
Dấu đẳng thức xảy a b c
Áp dụng bất đẳng thức phụ:
2 2
a b c ab bc ca
(Dấu đẳng thức xảy khi: a b c )
Ta có:
5 5
2 2
2 2
a b c
a b c bc ca ab
Dấu đẳng thức xảy khi: a b c
Ví dụ 11.
Cho x, y, z số dương xy z 1 Chứng minh rằng:
2 2
2 2
1 1
82
x y z
x y z
Giải
Bất đẳng thức phụ 1: với số dương a, b, c, d, ta có: 2 2
2 2
(13)
2
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2
2
2 2
2
a b c d a c b d
a b c d a b c d a b c d ac bd
a b c d ac bd
a c b c a d b d a c b d abcd ad bc
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
2
2 2
2 2
2
1 1 1
1 1
1
x y z x y z
x y z x y z
x y z
x y z
Bất đẳng thức phụ : với số dương a ,b, c, ta có: a b c 1 1
a b c a b c a b c
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
2
2
2 1
1 1 81
2
x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2
2
2
x y z
x y z
Theo giả thiết:
2
1 80
1 80
x y z
x y z x y z
Do đó:
2
2 2
81 80
2 80 82
x y z x y z
x y z x y z x y z
Từ (1), (2), (3) ta có điều phải chứng minh
Ví dụ 12.
Cho x, y, z số dương thỏa mãn
1 1
4
(14)1 1
1 2xy z x2y z xy2z
Giải Áp dụng bất đẳng phụ với số dương x, y:
1 1 1
x y
x y x y x y
Dấu đẳng thức xảy x = y
Ta có:
1 1 1 1
2x y z 2x y z 2x 4y 4z
Dấu đẳng thức xảy khi:
2x y z
x y z y z
Tương tự, ta có:
1 1 1
2 4
x y z x y z
(Dấu đẳng thức xảy khi: x y z )
1 1 1
2 4
x y z x y z
(Dấu đẳng thức xảy khi: x y z ) Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta được:
1 1 1 1
1 2xy z x2y z xy2z 4 x y z
Dấu đẳng thức xảy
3
1 1
4
x y z
x y z x y z
Nhận xét Đặt ẩn phụ trước biến đổi giúp ta đưa số bất đẳng thức các bất đẳng thức đơn giản.
Ví dụ 13.Với số dương a, b, c thỏa mãn abc 1, chứng minh rằng:
2 2
1 1
2
a b c b c a c a b Đẳng thức xảy nào?
Giải Đặt
1 1
, ,
x y z
a b c
(15)Ta có:
2
2
1
1
x x yz x
a b c y z y z
y z
Biến đổi tương tự, ta được: 2 2
1
,
y z
b c a zx c a b xy Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
3
9
1 1
2
1 1
2
x y z
y z z x x y
x y z
y z z x x y
x y z
y z z x x y
Áp dụng bất đẳng thức Ví dụ 1, ta có:
1 1
1 1
2
x y z
x y y z z x x y y z z x
x y y z z x
Do đó, ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy xy y z z x x y z a b c
Ví dụ 14.Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:
3
2
c b
a b c ac ab
b ac
Đẳng thức xảy nào?
Giải Chia cả hai vế cho bc0, ta được:
3
1
c a a
a b
b ac b bc c
Đặt
1
, ,
a x b c
y z
bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
3 3
x y z
xy yz zx y z x
(16)Đẳng thức xảy
1
x y z a
b c
Nhận xét Sử dụng đẳng thức kết hợp với bất đẳng thức Cauchy. Ví dụ 15.Với a, b, c dương, chứng minh rằng:
3 3
2 2 2
3
a b c a b c
a ab b b bc c c ca a
Giải Đặt
3 3
2 2 2
a b c
P
a ab b b bc c c ca a
3 3
2 2 2
b c a
Q
a ab b b bc c c ca a
Ta có:
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
0
a b b c c a
P Q
a ab b b bc c c ca a a b b c c a
a b b c c a
P P Q
a ab b b bc c c ca a
Mặt khác, ta có:
2 2 2
2 3
2 2
3
3
a b ab a b ab a b ab
a b ab a b a b
a b ab a ab b
Chứng minh tương tự, ta được:
3
2
3
2
3
b c b c
b c bc
c a c a
c a ca
Cộng vế với vế bất đẳng thức , ta được:
3 3 3
2 2 2
2
3
a b b c c a a b c
P
a ab b b bc c c ca a a b c
P
(17)Ví dụ 16.Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, chứng minh rằng:
3 3
2 2
2 2 2
4 4
a b c b c a c a b
a b c
a b c b c a c a b
Giải Đặt x2a2b c y , 2b2c a z , 2c2a b
Với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác nên x y z, , dương Ta có:
2 2 2
9 4
4
x y z a b c
y z a b c z x b c a x y c a b
Bất đẳng thức cần chứng minh có dạng:
3 3 2
2
x y x x y z
y z z x x y
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
3
2
3
2
3
2
4 4
x x y z x y z
y y z x y y z
z z x y z x y
Cộng vế với vế bất đẳng thức , ta được:
3
2 2
3 3
2 2
3
2
2
y x xy yz zx
x y z z x x y
x y x xy yz zx
x y z y z z x x y
x y z
Áp dụng bất đẳng thức x2 y2z2 xy yzzx, ta được:
3 3 2
2
x y x x y z
y z z x x y
(18)Ví dụ 17.Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:
2 2
4
3
a b c
a b b c a
Đẳng thức xảy nào?
Giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2
2
2
4
4
4
a
b a b
b
c b c
c
a c a
Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta có:
2 2
2 2
4
4 4
4
3
a b c
b c a a b c
b c a
a b c
a b
b c a
Đẳng thức xảy
2
2
4
2
a b b
a b b
c b c
c
a c c
a a
Ví dụ 18.Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:
3
2
a b c b
a b c a c a b b c Đẳng thức xảy nào?
(19)
3
3
2
3
2
3
2
4
a b c a
a b c a
b c a b
b c a b
c b c c b c
Cộng vế với vế bất đẳng thức trên, ta có:
3
3
3
2 2
2
a b c a
b c a b c b c a c a b b c
a b c b
a b c a c a b b c
Đẳng thức xảy
3
3
2
2
2
2
a b c a
b c a
b c a b
a b c c a b
c b c b c
3 MỘT SỐ KỸ THUẬT TRONG SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 3.1 KỸ THUẬT CAUCHY NGƯỢC DẤU
3.1.1.Ví dụ mở đầu:
Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng: a a2
+ab+b2+ b3 b2
+bc+c2+ c3 c2
+ac+a2≥
a+b+c
(Nguyễn Đức Tấn-“Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số”- NXB giáo dục-Tr 77).
Lời giải:
Chứng minh bất đẳng thức riêng: a a2+ab+b2≥
2a −b
Ta có: a a2
+ab+b2≥ 2a −b
3 ⇔ 3a3≥(2a − b)(a2+ab+b2) ⇔ 3a3≥2a3+2 ab2− a2b − b3−ab2 ⇔ a3
+b3+a2b −ab2≥0
(20)Do đó, ta có: a a2+ab+b2≥
2a −b
3 (1) Tương tự, ta có: b
3 b2+bc+c2≥
2b − c
3 , dấu “=” xảy b=c (2) c3
c2
+ac+a2≥ 2c − a
3 , dấu “=” xảy a=c (3)
Cộng (1),(2),(3) vế với vế ta :
a3 a2
+ab+b2+ b3 b2
+bc+c2+ c3 c2
+ac+a2≥ 2a − b
3 +
2b − c
3 +
2c −a
3 =
a+b+c
3 (ĐPCM)
Dấu “=” xảy ⇔ a=b=c
Nhận xét: Bất đẳng thức chứng minh gọn hay không “tự nhiên” tác giả đưa bất đẳng thức riêng a
3 a2+ab+b2≥
2a −b
3 Ta thấy rằng tìm bất đẳng thức riêng tốn trở nên thật đơn giản, nhiên làm để tìm bất đẳng thức riêng đó, điều ta cần phải giải đáp cho học sinh giúp học sinh tìm bất đẳng thức riêng tương tự
3.1.2 Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.
Ví dụ 27: Cho số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=3. Chứng minh rằng: a
1+b2+ b 1+c2+
c 1+a2≥
3 .
Phân tích: Nếu ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu số ta có: a
1+b2+ b 1+c2+
c 1+a2≤
a 2b+
b 2c+
c 2a=
1 2.(
a b+
b c+
c a)≥
3 ?
Như ta bất đẳng thức đổi chiều, ta khơng có điều phải chứng minh
Tuy nhiên, thử biến đổi chút biểu thức cho ta thấy:
2
2
1 2
Cauchy
a ab ab ab
a a a
b b b
, thật may mắn đến ta bất đẳng thức chiều Làm tương tự cho biểu thức cịn lại rời cộng chúng lại ta điều phải chứng minh
Lời giải:
Ta có:
2
2
1 2
Cauchy
a ab ab ab
a a a
b b b
(21)Tương tự ta có
2
2
1 2
Cauchy
b bc bc bc
b b b
c c c
2
2
1 2
Cauchy
c ca ca ac
c c c
a a a
Cộng bất đẳng thức với vế với vế ta được: a
1+b2+ b 1+c2+
c
1+a2≥(a+b+c)−(
ab+bc+ac
2 )
Mặt khác ta có: ab+bc+ac≤1
3.(a+b+c)
=1 9=3 Từ suy a
1+b2+ b 1+c2+
c
1+a2≥3− 2=
3
Nhận xét: Như ta thấy rằng qua phép biến đổi ta đưa biểu thức mà ta muốn áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu từ biểu thức mang dấu dương thành biểu thức mang dấu âm, từ ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mẫu mà bất đẳng thức chiều Đó kỹ thuật Cauchy ngược dấu
Ví dụ 19: Chứng minh với số thực dương a,b,c ta ln có: a3
a2+b2+ b3 b2+c2+
c3 c2+a2≥
a+b+c Lời giải:
Ta có: a a2
+b2=a − ab2 a2+b2
Cosi a − ab2 ab=a −
b
2 Dấu “=” xảy a=b
Tương tự ta có: b
b2+c2=b − bc2 b2
+c2 Cosi b −
bc2 bc=b −
c
2 Dấu “=” xảy b=c c3
c2+a2=c − ca2 c2+a2
Cosi c − ca2 ac=c −
a
2 Dấu “=” xảy a=c Cộng ba bất đẳng thức vế với vế ta :
a3 a2+b2+
b3 b2+c2+
c3
c2+a2≥(a+b+c)−
a+b+c
2 =
a+b+c Dấu “=” xảy a=b=c
Từ tốn Ví dụ Ví dụ ta có tốn tương tự sau:
Ví dụ 20: Cho a,b,c,d số thực dương có tổng Chứng minh rằng: a
1+b2+ b 1+c2+
c 1+d2+
d
1+a2≥2 .
(22)a+1 b2+1+
b+1 c2+1+
c+1 a2+1≥3 .
Ví dụ 22: Cho a,b,c,d số dương có tổng Chứng minh rằng: a+1
b2 +1+
b+1 c2
+1+ c+1 d2
+1+ d+1 a2
+1≥4
Ví dụ 23: Cho a,b,c,d số thực dương có tổng Chứng minh rằng:
a2 +1+
1 b2
+1+ c2
+1+ d2
+1≥2 .
Ví dụ 24:Chứng minh với số thực dương a,b,c,d ta ln có: a3
a2+b2+ b3 b2+c2+
c3 c2+d2+
d3 d2+a2≥
a+b+c+d
Ví dụ 25: Chứng minh với số thực dương a,b,c,d ta ln có: a4
a3
+2b3+ b4 b3
+2c3+ c4 c3
+2d3+ d4 d3
+2a3≥
a+b+c+d
Ví dụ 26: Chứng minh với số thực dương a,b,c có tổng 3,ta có: a2
a+2b2+ b2 b+2c2+
c2 c+2a2≥1
Ví dụ 27: Cho a,b,c số dương có tổng 3.Chứng minh rằng: a2
a+2b3+ b2 b+2c3+
c2
c+2a3≥1 . Hướng dẫn
Ta có: a
a+2b3=a − ab3 a+2b3≥ a−
2 ab3 √3ab6=a −
2 3⋅b
3 √a2 . Từ ta cần chứng minh: b.√3a2+c.√3b2+a.√3c2≤3 (*) Vì
√a2=√3a.a.1≤2a+1⇒b.√3a2≤ b(2a+1)
Bây trở lại với Ví dụ mở đầu: a3
a2+ab+b2+ b3 b2+bc+c2+
c3 c2+ac+a2≥
a+b+c
3 .
Sử dụng kỹ thuật Cauchy ngược dấu, ta có: a3
a2+ab+b2=a −
ab(a+b)
a2+ab+b2≥ a −
ab(a+b) ab =a −
a+b =
2a − b
3
Như vậy, ta có bất đẳng thức riêng a3 a2+ab+b2≥
2a −b
(23)3.2 KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY. 3.2.1 Điểm rơi đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Ví dụ 28 : Cho a ≥3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a+1
a Phân tích:
Sai lầm thường gặp giải toán là: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho
các số không âm a ,1
a ta có: a+1a≥2√a⋅1a=2 Vậy S=2
Nguyên nhân sai lầm: Min S=2 ⇔a=1
a⇔a=1 mâu thuẫn với giả thiết a ≥3
Tìm lời giải đúng:
Vì bất đẳng thức Cauchy xảy dấu “=” điều kiện số tham gia phải bằng nhau, nên thay cho việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a ,1
a ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số aα ,1
a Khi để bất đẳng thức Cauchy xảy dấu “=” aα=1
a Mặt khác ta nhận thấy S đạt a=3(trong điều kiện a ≥3 ).Do ta có sơ đờ điểm rơi ứng với a=3
⇒{ a α=
3 α α=
1
⇒1 3=
3
α⇒α=9 Từ ta có lời giải sau: Lời giải đúng:
Ta có S=a+1 a=(
a 9+
1 a)+
8a ≥2.√
a 9⋅
1 a+
8 =
10
3 Dấu “=” xảy a=3 Vậy MinS= 103 ⇔a=3
Ví dụ 29: Cho a,b hai số dương có tích bằng 1.Chứng minh rằng a+b+ a+b≥
5 Phân tích:
Ta dự đoán dấu bằng bất đẳng thức cho xảy {aa=.bb=>10⇔a=b=1
(24)Với a=b=1 ta có sơ đờ điểm rơi: { a+b
α = α a+b=
1
⇒2 α=
1
2⇔α=4 Từ ta có lời giải: Lời giải:
Ta có: a+b+ a+b=
a+b +
1 a+b+
3 (a+b) ≥2.√
(a+b) ⋅
1 a+b+
3 2√ab =1+
3 2=
5 Dấu “=” xảy {aa=.bb>0
=1⇔a=b=1 Ví dụ 30: Cho a , b , c ≥0 thỏa mãn: a2
+b2+c2=1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức T= a+b+c+
abc Phân tích:
Sai lầm thường gặp : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm a,b,c
và abc1
ta được: a+b+c+ abc≥4
4
√a.b.c
abc=4 suy minT=4
Nguyên nhân sai lầm: minT=4 ⇔a=b=c=
abc=1⇒a
+b2+c2=3 mâu thuẫn với giả thiết a2+b2+c2=1
Tìm lời giải đúng:
Vì dấu “=” xảy a=b=c=
√3 nên
abc=3√3
Sơ đồ điểm rơi: a=b=c= √3⇒{
a=b=c= √3
α.abc= 3√3
α ⇒
√3= 3√3
α ⇒α=9
Lời giải đúng: Ta có:
a+b+c+
abc=a+b+c+ abc+
8 abc≥4
4
√a.b.c 9abc+
8 9√3 a
2
+b2+c2
= √3+
8
√3=4√3
Dấu “=” xảy a=b=c= √3 Vậy minT= 4√3⇔a=b=c=
(25)3.2.2 Điểm rơi đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Ví dụ 31: Cho a , b , c ≥0 a+b+c=1 Tìm giá trị lớn
S=√3a+b+√3b+c+√3c+a Phân tích:
Sai lầm thường gặp: √3a+b=√3 (a+b) 1≤a+b+2 Tương tự: √3b+c ≤b+c+2
3
√c+a ≤c+a+2 Từ suy ra: S ≤2(a+b+c)+6
3 =
8
3⇒maxS=
Nguyên nhân sai lầm: max S= 38⇔{
a+b=1 b+c=1 c+a=1
⇒a+b+c=3
2 mâu thuẫn với giả thiết a+b+c=1
Tìm lời giải đúng:
Vì S biểu thức đối xứng với a, b, c nên MaxS đạt tại:
{ a=b=c
a+b+c=1⇔a=b=c=
Khi ta có a+b=b+c=c+a=2 Lời giải đúng:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
√a+b=√3
3
√(a+b).2
2 3≤
3
√94
a+b+4 3
Tương tự ta có:
√b+c=√3
3
√(b+c).2
2 3≤
3
√94
b+c+4 3
√a+c=√3
3
√(a+c).2
2 3≤
3
√94
a+c+4 3 Từ suy S ≤√3
4
2 (a+b+c)+4
3 =
3
√18 Dấu “=” xảy a=b=c=1 Vậy MaxS= √318⇔a=b=c=1
3
(26)Phân tích: Do vế trái biểu thức cần chứng minh biểu thức đối xứng với a,b,c nên dấu “=” xảy a=b=c=1
3 Khi ta có: a+b=b+c=c+a= Lời giải:
Từ ta có : √a+b=
√32.√(a+b) 3≤√
3
a+b+2
Tương tự: √b+c=
√32.√(b+c) 3≤√
3
b+c+2
√c+a=
√32.√(c+a) 3≤√
3
c+a+2 suy √a+b+√b+c+√c+a ≤√3
2
2 (a+b+c)+2
2 =√6
Dấu “=” xảy a=b=c=1
3.3 KỸ THUẬT ĐỜNG BẬC TRONG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Ví dụ 33: Chứng minh rằng: a2
b+ b2
c + c2
a ≥ a+b+c∀a , b , c ≥0 Phân tích:
Do cả hai vế biểu thức bậc nên biểu thức cộng thêm phải có bậc Lại có a2
b + b Cosi
2.√a
b b=2a biểu thức bậc 1, từ ta có lời giải sau: Lời giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2 b+ b
Cosi 2.√a2
b b=2a Tương tự ta có: b2
c + c Cosi
2.√b
c c=2b c2
a + a Cosi
2 √c
a a=2c Cộng bất đẳng thức vế với vế ta được: a2
b +b+ b2
c +c+ c2
a +a≥2a+2b+2c hay a2
b + b2
c + c2
a ≥ a+b+c Dấu “=” xảy a=b=c Ví dụ 34: Cho a , b , c>0 a2
(27)a3 b+2c+
b3 c+2a+
c3 a+2b≥
1
Phân tích: Vì vế trái biểu thức có bậc nên ta sử dụng giả thiết a2+b2+c2=1
để đưa bất đẳng thức cho thành bất đẳng thức đồng bậc 2: a3
b+2c+ b3 c+2a+
c3 a+2b≥
a2+b2+c2
3 Khi biểu thức cộng thêm phải biểu thức bậc
Lời giải:
Áp dụng bất dẳng thức Cauchy ta có: 9a3
b+2c+a(b+2c)≥2√ 9a3
b+2c.a.(b+2c)=6a Tương tự ta có: 9b3
c+2a+b(c+2a)≥2√ 9b3
c+2a.b.(c+2a)=6b
9c3
a+2b+c(a+2b)≥2√ 9c3
a+2b.c.(a+2b)=6c Cộng bất đẳng thức vế với vế ta được:
9( a b+2c+
b3 c+2a+
c3
a+2b)+3 (ab+bc+ac)≥6(a
+b2+c2)≥3(a2+b2+c2)+3 (ab+bc+ac) Do (a2+b2+c2)≥.(ab+bc+ac) Suy ra: 9( a
3 b+2c+
b3 c+2a+
c3
a+2b)≥3(a
+b2+c2) Hay
( a3 b+2c+
b3 c+2a+
c3 a+2b)≥
a2+b2+c2
3 =
1
Dấu “=” xảy a=b=c= √3
Mợt số ví dụ có cách giải tương tự Ví dụ 35: Cho a,b,c số dương.Chứng minh rằng:
a) a2 b+c+
b2 c+a+
c2 a+b≥
a+b+c b) a
3 b2+
b3 c2+
c3 a2≥
a2 b +
b2 c +
c2 a Ví dụ 36: Cho 0≤ a ≤3
2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức A=a+ a Ví dụ 37: Cho a ≥2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức S=a+
a2
(28)Ví dụ 39:Cho a , b , c>0 a+b+c ≤3
2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S=a+b+c+1
a+ b+
1 c
Ví dụ 40: Cho Cho a , b , c>0 a+b+c ≤3
2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S=√a2+
b2+√b
+
c2+√c
+
a2 III KẾT LUẬN
Như vậy, việc áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy số lượng lớn toán cần phải áp dụng bất đẳng thức biến dạng kỹ thuật khác Các kỹ thuật làm cho việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy trở lên phong phú đa dạng nhiều Nó giúp giải tốn cách nhanh chóng hiệu quả
Đứng trước toán, đặc biệt toán sử dụng bất đẳng thức Cauchy lượng kiến thức phải sử dụng không nhiều song lại yêu cầu óc quan sát, linh cảm tinh tế sức sáng tạo rời rào để có nhận dạng cách xác có biến đổi hợp lý trước áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Với học giáo viên có phương pháp tiếp cận,một phương pháp giảng dạy khác điều tùy thuộc vào mức độ nhận thức học sinh Với chuyên đề trình độ học sinh khơng giống phương pháp giảng dạy khơng thể nhau.Vì người giáo viên càn phải tìm phương pháp dạy, cách tiếp cận vấn đề cho phù hợp với đối tượng học sinh
Trên chuyên đề nhỏ mà bản thân thấy càn thiết q trình bời dưỡng học sinh giỏi,hy vọng chuyên đề góp phần nang cao chất lượng học sinh giỏi bản thân bạn đồng nghiệp thời gian tới Rất mong đóng góp ý kiến cá đờng nghiệp
Xin chân thành cảm ơn!
Vĩnh tường, ngày 01 tháng năm 2014 Người viết
(29)IV.TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Phương
“Những viên kim cương bất đẳng thức toán học.”NXB Tri Thức-Năm 2009 [2].Nguyễn Đức Tấn
“Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số”-NXB Giáo Dục-Năm 2003 [3].Ngũn Đễ-Ngũn Hồng Lâm
“Các tốn bất đẳng thức hay khó”-NXB Giáo Dục-Năm 2001 [4].Nguyễn Vũ Thanh
“263 toán bất đẳng thức chọn lọc”-NXB Đại Học Quốc Gia TPHCM-Năm 2000 [5].Nguyễn Kim Hùng
“Sáng tạo bất đẳng thức”-NXB Hà Nội –Năm 2010 [6].Trần Tuấn Anh
“Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức”-NXB Tổng hợp TPHCM-Năm 2006 [7].Phan Huy Khải
“10.000 toán sơ cấp- bất dẳng thức”-NXB Hà Nội-Năm 2001 [8].Phan Huy Khải
“Chuyên đề bất đẳng thức chọn lọc cho học sinh phổ thông sở”- NXB Giáo dục-1998
[9].Nguyễn Văn Quí-Nguyễn Tiến Dũng-Nguyễn Việt Hà
“Các dạng Toán bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhấ ”-NXB Đà Nẵng-1998
[10].Titu Andresscu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu
“Old and New Inequality”- Gil publishing House