Cauchy-Schwarz inequality kĩ thuậtsửdụngbấtđẳngthức cauchy-schwarz Chúng ta biết nhiều bấtđẳngthức cổ điển ứng dụng chúng đễ giải toán bấtđẳngthức Mỗi loại chúng có kĩ thuậtsửdụng riêng ta tinh ý phát nhiều lời giải đẹp, độc đáo mà nhiều kĩ thuật chứng minh khác Người làm toán, đặc biệt người đam mê toán bấtđẳngthứcthực thích toán giải phương pháp sửdụngbấtđẳngthức cổ điển Trong chuyên đề xin giới thiệu với bạn kĩ thuật thêm bớt bấtđẳng cauchy-schwarz Một kĩ thuật thật đơn giản thú vị Đầu tiên xin nhắc lại nội dungbấtđẳngthức Cauchy-Schwarz Với hai số thực a1, a2, …, an b1, b2, …, bn ta có bấtđẳng thức: (a12+a22+ …+an2)(b12+b22+ …+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2 Dấu xảy aibj=ajbi với i≠j Ta nhìn bấtđẳngthứcdạng khác sau: Với hai số thực a1, a2, …, an b1, b2, …, bn thoả mãn bi dương ta có: an2 (a1 + a2 + + an ) a12 a22 + + + ≥ b1 b2 bn b1 + b2 + + bn Đẳngthức xảy aibj=ajbi với i≠j Để sửdụng thật tốt bấtđẳngthức bạn phải có nhìn hai chiều với bấtđẳngthức Nói chung bấtđẳng ứng dụng giải toán nhiều hay dễ sửdụngbấtđẳngthứcdạng tắc Bây ta vào xét ví dụ để thấy sức mạnh bấtđẳngthức cauchy-schwarz NguyễnĐức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com Cauchy-Schwarz inequality Ví dụ Ta chứng minh bấtđẳngthức Nettbits ba biến a,b,c số dương Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c c+a a +b Lời giải Lời giải toán đơn giản Sửdụngbấtđẳng Cauchy-Schwarz ta a b c a2 b2 c2 (a + b + c ) 3(ab + bc + ca ) + + = + + ≥ ≥ = b + c c + a a + b ab + ac bc + ab ac + bc 2(ab + bc + ca ) 2(ab + bc + ca ) Đẳngthức xảy a=b=c ♠ Ví dụ a, b, c số dương tuỳ ý Chứng minh bấtđẳngthức bc ca ab a +b+c + + ≤ b + c + 2a c + a + 2b a + b + 2c Lời giải Ta sửdụng nhận xét sau để giải toán trên: bc bc bc 1 bc bc = ≤ ( + )= ( + ) b + c + 2a ( a + b) + ( a + c ) a + b a + c a+b a+c Từ đánh giá ta bc ca ab ac bc a +b+c + + ≤ ∑( + )= b + c + 2a c + a + 2b a + b + 2c a ,b,c a + b a + b Đây điều phải chưúng minh Đẳngthức xảy a=b=c ♠ Lời giải thật thú vị phải không bạn, điều đáng ý cách giải việc phát đẳngthức sau ab ac ∑ (a + b + a + b) = a + b + c a ,b , c Cố gắng tạo đẳngthức cách tách nhóm thích hợp ta có lời giải đẹp Kĩ thuật ứng dụng cho ví dụ sau Ví dụ a,b,c số dương có tổng Chứng minh bấtđẳngthức sau 1 1 + + ≤ 2 2 2 4a + b + c a + 4b + c a + b + 4c 2 NguyễnĐức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com Cauchy-Schwarz inequality Lời giải Sửdụng tư tưởng Ta cố gắng tìm đẳngthức Ta ý đến đẳngthức sau ∑( a ,b , c a2 b2 + )=3 a + b2 a + b2 Ta ý đến đẳngthức sau 4a2+b2+c2=2a2+(a2+b2)+(a2+c2) sửdụngbấtđẳngthức Cauchy-Schwarz ta phân tích sau (a + b + c) a2 b2 c2 = ≤ + + 4a + b + c 2a + ( a + b ) + ( a + c ) 2a a + b a + c Từ phân tích ta a2 b2 c2 9∑ ≤ ∑ + ∑( + 2) = 2 4a + b + c 2a a +b a +c Từ ta điều phải chứng minh Đẳngthức xảy a=b=c=1 ♠ Qua ví dụ ta thấy kĩ thuật tách nhóm để sửdụngbấtđẳng CauchySchwarz thật đơn giản cho lời giải đẹp, vừa hay lại vừa độc đáo Khi phương pháp tách nhóm để đưa đẳngthức không hiệu ta nên sử lí nào? Nói chung việc ước lượng thông qua đẳngthức không quan trọng lắm, miễn sau sửdụngBấtđẳngthức Cauchy-Schwarz ta ước lượng bước Thay cố gắng tìm kiếm đẳngthức ta ước lượng thông qua bấtđẳngthức Ta xem xét ví dụ sau để thấy điều Ví dụ Chứng minh với số thực dương a,b,c ta có bấtđẳng thức: a2 b2 c2 + + ≤ (2a + b)(2a + c) (2b + a )(2b + c) (2c + a)(2c + b) Lời giải Ta ý đến đẳngthức (2a+b)(2a+c)=(2a2+bc)+a(a+b+c)+a(a+b+c) Từ sửdụngBấtđẳng Cauchy-Schwarz ta 1 ≤ + + (2a + b)(2a + c) 2a + bc a (a + b + c) a (a + b + c) ⇒ a2 a2 2a ≤ ( + ) (2a + b)(2a + c) 2a + bc a + b + c Sửdụng ước lượng ta NguyễnĐức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com Cauchy-Schwarz inequality a2 ∑ (2a + b)(2a + c) ≤ (∑ 2a a2 2a a2 + ) = ( + 2) ∑ ∑ + bc a +b+c 2a + bc Cuối ta chứng minh bấtđẳngthức a2 b2 c2 + + ≤ (*) 2a + bc 2b + ca 2c + ab Thật ta có a2 a2 bc ≤ ⇔ + ∑ 2a + bc ∑ 2a + bc ≤ ⇔ ≤ ∑ 2a + bc Nhưng mà theo bấtbấtđẳngthức Cauchy-Schwarz ta có bc (bc) = ∑ 2a + bc ∑ 2a 2bc + (bc)2 ≥ (ab + bc + ca ) =1 ∑ (ab)2 + 2∑ a 2bc Ta điều phải chứng minh Bấtđẳngthức cho minh hoàn toàn Có đẳngthức ♠ a=b=c Ví dụ a,b,c số thực không âm có nhiều số không ta có a2 b2 c2 + + ≤ 2 2 2 3a + (b + c) 3b + (a + c) 3c + (a + b) Lời giải Chú ý đẳngthức xảy điểm (a,b,c)=(t,t,0) (t ∈ R) hoán vị Ta ý đến đẳngthức 3a2+(b+c)2=(2a2+2bc)+(a2+b2+c2) Từ sửdụngbấtđẳng Cauchy-Schwarz ta a2 a2 a2 1 = ≤ ( + ) 2 2 2 3a + (b + c) (2a + 2bc) + (a + b + c ) 2a + 2bc a + b + c Sửdụng ước lượng ta a2 a2 a2 a2 ≤ ( + ( ) ≤ ( ∑ 3a + (b + c)2 ∑ 2a + 2bc ∑ a + b2 + c ∑ 2a + bc + 1) a2 b2 c2 + + ≤1 Cuối ta cần chứng minh 2a + bc 2b + ca 2c + ab Bấtđẳngbấtđẳngthức (*) mà ta chứng minh ♠ Nói chung kĩ thuật tách nhóm thường cho lời giải đẹp gọn gàng Nhưng trường hợp ta không tìm đựoc đẳngthức lẫn bấtNguyễnĐức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com Cauchy-Schwarz inequality đẳngthức ta phải sử lí sao? Trong trường hợp ta phải sửdụng đến kĩ thuật thêm-bớt Ta xem xét ví dụ sau Ví dụ Cho a,b,c độ dài cạnh tam giác Chứng minh a b c + + ≥1 3a − b + c a + 3b − c −a + b + 3c Lời giải Cả tử số mẫu số phân thứcbấtđẳngthức dương áp dụng trực tiếp bấtđẳngthức Cauchy-Schwarz bạn thử trực tiếp thấy bấtđẳngthức đổi chiều Bây ta làm giảm tử số lượng đảm bảo tử số dương (nghĩa dương nhỏ tốt) Với ý 4a-(3a-b+c)=a+b-c>0 Từ ta thấy bớt lượng ¼ thích hợp Viết bấtđẳngthức cho dạng tương đương a b c 1 − )+( − )+( − )≥ 3a − b + c a + 3b − c −a + b + 3c 4 a + b − c −a + b + c a −b +c ⇔ + + ≥1 3a − b + c a + 3b − c − a + b + 3c ( Đến sửdụngbấtđẳngthức Cauchy-Schwarz ta cần chứng minh (a + b + c) ≥ ∑ (a + b − c )(3a − b + c ) Nhưng bấtđẳngthứcđẳngthức Ta có điều phải chứng minh ♠ Hi vọng bạn ứng dụng tốt kĩ thuật thấy vẻ đẹp bấtđẳngthức Cauchy-Schwarz cổ điển Cuối chúc bạn thành công.! NguyễnĐức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com .. .Cauchy- Schwarz inequality Ví dụ Ta chứng minh bất đẳng thức Nettbits ba biến a,b,c số dương Chứng minh rằng: a b c + + ≥ b+c c+a a +b Lời giải Lời giải toán đơn giản Sử dụng bất đẳng Cauchy- Schwarz. .. thức sau 1 1 + + ≤ 2 2 2 4a + b + c a + 4b + c a + b + 4c 2 Nguyễn Đức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com Cauchy- Schwarz inequality Lời giải Sử dụng tư tưởng Ta cố gắng tìm đẳng thức Ta ý đến đẳng... đẳng Cauchy- Schwarz ta 1 ≤ + + (2a + b)(2a + c) 2a + bc a (a + b + c) a (a + b + c) ⇒ a2 a2 2a ≤ ( + ) (2a + b)(2a + c) 2a + bc a + b + c Sử dụng ước lượng ta Nguyễn Đức Lâm, 11 toán Duclam3004@Gmail.com