Chứng minh bất đẳng thức đại số bằng phương pháp lượng giác hóa

Sáng kiến này trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số bằng lượng giác hóa. Với phương pháp này, chúng ta có thể chứng minh một số bất đẳng thức một cách hiệu quả hơn bằng cách thay đổi hình thức của bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số trở thành bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác.

1 MỤC LỤC CHƯƠNG I CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 7CHƯƠNG II MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC .5 9CHƯƠNG III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ .6 10 BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC 11 12 13 14 15 16 17 I DẠNG 1: SỬ DỤNG HỆ THỨC SIN2X + COS2X = II.DẠNG 2: SỬ DỤNG ĐÁNH GIÁ III DẠNG 3: SỬ DỤNG CÔNG THỨC 11 IV DẠNG 4: SỬ DỤNG CÔNG THỨC SIN2T = 14 14 V DẠNG 5: ĐỔI BIẾN SỐ ĐỐI VỚI BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC 15 VI MỘT SỐ VÍ DỤ ĐẶC SẮC 17 18KẾT LUẬN 22 19 TRONG TỒN BỘ ĐỀ TÀI CHÚNG TƠI ĐÃ HỆ THỐNG LẠI MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ CÓ 20THỂ DÙNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC ĐỂ CHỨNG MINH CHÚNG TƠI ĐÃ PHÂN LOẠI CHÚNG 21THEO TỪNG DẠNG, TRÌNH BÀY CỤ THỂ PHƯƠNG PHÁP ĐỂ CHỨNG MINH VÀ CÓ NHỮNG VÍ DỤ MINH 22HỌA KÈM THEO MỖI PHƯƠNG PHÁP NHỮNG VÍ DỤ ĐĨ ĐƯỢC SẮP XẾP TỪ ĐƠN GIẢN ĐẾN PHỨC 23TẠP VỚI LỜI GIẢI KHÁ CHI TIẾT, ĐA DẠNG, BAO QUÁT MỌI KHÍA CẠNH LÍ THUYẾT VÀ DỄ HIỂU, CÓ 24THỂ GIÚP BẠN ĐỌC NẮM BẮT NHANH VÀ HIỆU QUẢ PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC TRONG CHỨNG 25MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ SAU KHI ĐỌC ĐỀ TÀI, BẠN ĐỌC SẼ CÓ THÊM MỘT PHƯƠNG PHÁP 26MỚI ĐỂ CHỨNG MINH MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ MỘT CÁCH HIỆU QUẢ HƠN 22 27 TUY NHIÊN VÌ TRONG THỜI GIAN NGẮN VÀ KIẾN THỨC CHƯA SÂU RỘNG NÊN CĨ NHỮNG BÀI 28TỐN BẤT ĐẲNG THỨC DÙNG LƯỢNG GIÁC HĨA ĐỂ CHỨNG MINH NHƯNG KHƠNG THEO MỘT 29PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ CỤ THỂ NÀO MÀ DỰA VÀO NHỮNG TÍNH CHẤT ĐẶC BIỆT CỦA CÁC 30HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ NHỮNG YẾU TỐ TRONG BÀI TOÁN ĐỂ CHỨNG MINH KHƠNG ĐƯỢC 31CHÚNG TƠI TRÌNH BÀY CỤ THỂ VÀ CHI TIẾT TRONG ĐỀ TÀI NÀY CHÚNG TÔI RẤT MONG NHẬN 32ĐƯỢC SỰ ĐÓNG GÓP, NHẬN XÉT CỦA BẠN ĐỌC VỀ NỘI DUNG ĐỀ TÀI .22 33TÀI LIỆU THAM KHẢO 23 34 LỜI  NÓI  ĐẦU Như  chúng ta đã biết, bất đẳng thức đại số  đóng vai trị rất to lớn trong  4tốn học. Tuy nhiên, để  vận dụng chúng trong q trình giải quyết một số  vấn   5đề  của tốn học thì việc chứng minh tính đúng đắn của chúng là vơ cùng quan   6trọng 3   Hiện nay, có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức đại số  8như   dụng     bất   đẳng   thức   quen   thuộc     bất   đẳng   thức   Cauchy,   9Bunhiacopski,…, hay vận dụng định lí về  dấu tam thức bậc hai, khảo sát hàm   10số,… Trong đề tài này, chúng tơi xin trình bày một cách nhìn khác về bất đẳng   12thức đại số, đó là cách nhìn dưới góc độ lượng giác. Phương pháp này được gọi  13là phương pháp lượng giác hóa. Với phương pháp này, chúng ta có thể  chứng  14minh một số bất đẳng thức một cách hiệu quả hơn bằng cách thay đổi hình thức   15của bài tốn chứng minh bất đẳng thức đại số trở thành bài tốn chứng minh bất   16đẳng thức lượng giác 11 17 Đề tài được chia làm 3 chương:  18 Chương I:  Một số tính chất cơ bản của hàm lượng giác 19 Chương II: Mối tương quan giữa các biểu thức đại số và biểu thức 20 21 22                        lượng giác Chương III: Chứng minh bất đẳng thức đại số bằng phương pháp                          lượng giác   23 24       Và một số bài tập tự luyện Việc sai sót và hạn chế trong q trình thực hiện đề tài là điều khơng thể  2tránh khỏi. Vì vậy, chúng tơi rất mong nhận được sự  phản hồi và góp ý chân   3thành của độc giả. Xin chân thành cảm ơn Qui Nhơn, ngày 6 tháng 11 năm 2009 5                                                                                       Nhóm thực hiện đề tài 1      CH    ƯƠ    NG I         MỘT  SỐ  TÍNH  CHẤT  CƠ  BẢN      2                             CỦA  HÀM  LƯỢNG  GIÁC  4     I. M    ộ    t s    ố     công th    ứ    c l    ượ    ng giác c    ơ     b    ả    n   1. sin2x + cos2x = 1 2. tanx.cotx = 1 ,  x ≠   , k  3. 1 + tan2x =    , x ≠   + kπ, k  4. 1 + cot2x =    , x ≠ kπ, k  5.  sin2x =  10 6. sinx =   ;     cos2x =   ;   cosx =    ;    tanx =    ,  với t = tan    11    II. Tính ch    ấ    t     12 1. Hàm số y = sinx và y = cosx xác định với mọi x  13                  ,   x   14                  ,  15 2. Nếu x   [­1;1] thì tồn tại a  và   x    sao cho x = sina và tồn tại b  sao  16cho  17     x = cosb 18 3. Nếu x   [0;1] thì tồn tại a    19     x = cosb 20 4. Với mỗi số thực x, có một số a    21 5. Với mọi x, y thỏa x2 + y2 = 1 thì tồn tại a   [0;2π] sao cho x = cosa và y = sina  sao cho x = sina và tồn tại b    sao cho   sao cho x = tana 1 2 CH ƯƠ    NG II             MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC 3         BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC 5     Việc lượng giác hóa được tiến hành thơng qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến  6tham gia trong biểu thức, mà việc nắm bắt các dấu hiệu đó thơng qua miền giá trị và  7các cơng thức lượng giác thơng dụng. Sau đây chúng tơi xin đưa ra một số biểu thức  8đại số và biểu thức lượng giác tương ứng Biểu thức đại số x2 + y2 x2 – y2 2x2 – 1 1 – 2x2 4x3 – 3x 3x – 4x3 Biểu thức lượng giác  tương ứng sin2t + cos2t cos2t – sin2t 2cos2t – 1 1 – 2sin2t 4cos3t – 3cost 3sint – 4sin3t 1 + x2 1 + tan2t x2 – 1 Công thức lượng giác sin2t + cos2t = 1 cos2t – sin2t = cos2t 2cos2t – 1 = cos2t 1 – 2sin2t = cos2t 4cos3t – 3cost = cos3t 3sint – 4sin3t = sin3t 1 + tan2t =  1  2 CH ƯƠ    NG III         CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 3                         BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC Dựa vào mối tương quan giữa bất đẳng thức đại số và bất đẳng thức lượng  6giác, chúng tơi xin trình bày một số hướng lượng giác hóa trong chứng minh bất đẳng  7thức đại số nhằm giúp độc giả có thể định hướng được phương pháp chứng minh bất  8đẳng thức đại số hiệu quả hơn 9 I. D ạ    ng 1    : Sử dụng hệ thức sin 2x + cos 2x = 1 101. Phương pháp 11 a. Nếu bài tốn có x2 + y2 = 1 thì ta đặt x = sinu và y = cosu, với u [0;2π] 12 b. Nếu bài tốn có x2 + y2 = r2 (r > 0) thì ta đặt x = rsinu và y = rcosu, với u [0;2π] 13 c. Nếu hai biến tham gia có ràng buộc a2x2 + b2y2 = c2, a, b, c > 0, ta đặt  14          x =  sinu và y =  cosu , u [0;2π] 152. Ví dụ minh họa  16Ví dụ 1 (Đề thi đại học năm 1972 – Khối A) 17Cho 4 số thực u, v, x, y sao cho u2 + v2 = x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng  18                           ≤ u(y – x) + v(x + y) ≤  19Nhìn vào giả thiết “4 số thực u, v, x, y” rồi lại “u2 + v2 = x2 + y2 = 1”, chúng ta liên  20tưởng rất nhanh đến bất đẳng thức lượng giác “lợi hại” : sin2A + cos2A = 1. Và nảy ra  21ý định chuyển bài tốn này qua lượng giác 22Cách 1: Đặt u = cosα, v = sinα với α [0;2π] 23                    x = cosβ, y = sinβ với β [0;2π] 1Khi đó  P = u(y – x) + v(x + y) = cosα(sinβ – cosβ) + sinα(cosβ + sinβ) 2                 = (sinαcosβ + cosαsinβ) – (cosαcosβ – sinαsinβ) 3                 = sin(α + β) – cos(α + β) =  4Vì    sin  nên  5  Vẫn với ý nghĩ đưa về lượng giác nhưng ta tiến thêm một bước. Nhìn trong P ta thấy  6u và v đứng riêng lẻ, ta đặt chúng dưới dạng lượng giác một cách riêng lẻ, cịn x và y  7đứng với nhau, có sự “gắn bó” hơn bởi các dấu + và ­ . Ta nảy ra ý nghĩ: cứ để sự  8“gắn bó” ấy mà chuyển qua lượng giác 9Nếu ta đặt    và    ta có ngay sin2α + cos2α = 1 10Cách 2: Đặt  u = cosβ, v = sinβ với β [0;2π] 11                       ,  12Ta cần chứng minh    với α [0;2π]  ≤ u(y – x) + v(x + y) ≤    13                      Hay   14Chuyển qua lượng giác ta phải chứng minh 15                         ­1 ≤ cosβsinα + sinβcosα  ≤ 1 16                     ­ 1 ≤ sin(α + β) ≤ 1 (hiển nhiên) 17Vậy đẳng thức đã được chứng minh 18Ví dụ 2 [2] Cho a2 + b2 – 2a – 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng 19       A =   ≤ 2 20Nhận xét: Nhiều bài tốn ta chưa thấy ngay yếu tố để chuyển về dạng lượng giác,  21cần qua một q trình biến đổi và đặt ẩn phụ thích hợp mới có thể chuyển về dạng  22lượng giác thuận lợi cho q trình giải 23Ta có     a2 + b2 – 2a – 4b + 4 = 0 1           (a – 1)2 + (b – 2)2 = 1 2Đặt  a – 1 = sint  và  b – 2 = cost, với t [0;2π] 3Khi đó  A =   =  4                 = 2   = 2    ≤ 2 5Ví dụ 3 [8] Cho a, b thỏa mãn  6Chứng minh rằng   a  + b2 + 2(b – a) ≥ ­ 1  7Nhận xét: Khác với các ví dụ trên, để giải quyết ví dụ này ta cần biến đổi bất đẳng  8thức cần chứng minh về dạng lượng giác quen thuộc 9       a2 + b2 + 2(b – a) ≥ ­ 1    (a – 1)2 + (b + 1)2   1 10Từ đó hình thành nên cách đặt     với R ≥ 0 11            12Ta có     13           14           15          1 = R 16Suy ra   (a – 1)2 + (b + 1)2 = R2 ≥ 1  17            a2 + b2 + 2(b – a) ≥ ­ 1  18Ví dụ 4[3] Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh  19                                (1) 20Nhận xét:   x + y =  21Từ đó ta nảy ra cách đặt   và    với t 1Khi đó,(1) trở thành:  +  + ( 3Ta có:         + +( 5Vì 0≤ và 1+  (đpcm) 7 II.D ạ    ng 2    : Sử dụng đánh giá  81.Phương pháp: 9     a) Nếu biến x tham gia có điều kiện  1 thì đặt  10         hoặc  11     b) Nếu biến x tham gia có điều kiện  m (m≥0) thì đặt    12 13         hoặc  142.Ví dụ minh họa 15Ví dụ 1[1] Chứng minh rằng  16Chứng minh  17Vì 18       19 20  nên đặt x = cost, với  =   Khi đó   1Ví dụ 2 [7] Chứng minh rằng A= 2Chứng minh  3Vì   nên  4Từ đó, đặt a – 2 = cost 5Ta có  A =  6               =  7Ví dụ 3 [2]  Cho   Chứng minh   (1) 8Chứng minh   ≤ 1 (1) 10            (2) 11Theo giả thiết,ta có   Đặt  12(2) trở thành   13                    sinv.cosu + sinu.cosv ≤ 1 14                    sin(u+v) ≤ 1 (hiển nhiên) 15Ví dụ 4 [4] Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn a = c 16                  Chứng minh rằng  17Chứng minh 18 Điều kiện dể a, b xác định là ­1 ≤ d ≤ 1, ­1 ≤ c ≤ 1 19  20Đặt  ≤ 1,  ≤ 1 với 0 ≤ u, v ≤ ,với 0 ≤ u, v ≤  1Khi đó, ta có   và  ≤ 1 (hiển nhiên)    3 III. D ạ    ng 3    : Sử dụng cơng thức  41. Phương pháp: a) Nếu x  và biểu thức cần chứng minh có chứa (1+     với t ( b) Nếu x     với t ( ) c) Nếu   hoặc bài tốn có chứa biểu thức   thì đặt x = tant, )  và biểu thức cần chứng minh có chứa ( 10     với t [0, \{ } 11 d) Nếu  12     với t [0, \{ }  hoặc bài tốn có chứa biểu thức  +  thì đặt x = mtant,  thì đặt x =   thì đặt x =  132.Ví dụ minh họa 14Ví dụ 1 [8] Chứng minh rằng  A= 15Chứng minh: Đặt a = ≤ 2,   với t [0, \{ } 16Ta có A= 17             = 2 18Ví dụ 2 [2] Chứng minh rằng  19         ,  (1)   1Chứng minh: 2Đặt a = tanu, b = tanv, c = tanw, với –  3Ta có  4                                =  5(1) trở thành: 7Ta có  8                                ≤  9Do đó, 10                              (đpcm) 11Ví dụ 3 [8] Chứng minh rằng  12Chứng minh  13 (1) 14            (2) 15Đặt  16(2) trở thành    cosu.cosv + tanu.tanv.cosu.cosv 17                    cosu.cosv + sinu.sinv  1 18                    cos(u ­ v) ≤ 1 (hiển nhiên) 19Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u = v    1Ví dụ 4 [3] Cho các số thực x,y khơng đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng 2                                    3Chứng minh 4 + Nếu y = 0 thì (1) đúng 5 + Nếu   thì (1)    (2) 6     Đặt  7    (2) trở thành  8                       9                        1 (hiển nhiên) 10Ví dụ 5[9] Cho a,b,c>0 thỏa mãn  11                  Chứng minh rằng   12Chứng minh 13Ta có   14Đặt   = =  ; 0