Đang tải... (xem toàn văn)
Đề tài thu được một số bài học kinh nghiệm: Luôn củng cố và khắc sâu các kiến thức có liên quan. Cần rèn luyện cho học sinh sau khi đọc đề bài phải biết phân tích bài toán để đưa về bài đơn giản hơn và tìm ra các cách giải khác nhau, từ đó nhằm phát huy tư duy, sáng tạo và khái quát hóa bài toán. Động viên các em nỗ lực tìm tòi những lời giải hay, tranh luận với bạn bè giúp nhau cùng tiến bộ. Rèn luyện cách trình bày bài giải một cách chặt chẽ, logic và cẩn thận. Khơi dậy cho các em yêu thích môn toán và say mê học toán hơn.
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ Trong việc dạy học tốn ta ln coi mục đích chủ yếu là hình thành và phát triển tư duy tốn học, tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn. Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng tốn là hết sức cần thiết. Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thơng, đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng, Trung học chun nghiệp những năm gần đây bao giờ cũng có một câu hình tọa độ trong khơng gian, hoặc có những câu hình khơng gian mà khi dùng phương pháp tọa độ để giải thì bài tốn trở nên đơn giản. Vì vậy khi dạy chương phương pháp tọa độ trong khơng gian, bản thân tơi ln trăn trở làm thế nào để khi học chương này học sinh khơng thấy khó, mà phải tự tin làm bài.Với suy nghĩ như vậy khi dạy phần bài tập phương trình đường thẳng trong khơng gian tơi đã chuẩn bị một chun đề xem như một đề tài cải tiến phương pháp dạy học để dạy cho các em: “ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số bài tốn viết phương trình đường thẳng trong khơng gian “. Và trong năm học 2014 2015 Bộ giáo dục lại gộp hai kỳ thi lại một nên việc rèn luyện và tổng hợp cho học sinh kỹ năng giải các dạng tốn là rất cần thiết vì vậy tơi mạnh dạn đưa ra các bài tốn này nhằm giúp học sinh giải quyết các bài tốn tốt hơn PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong đề tài cho phép tơi viết tắt: vtcp ( véc tơ chỉ phương ); vtpt (véc tơ pháp tuyến) Trước hết, u cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ bản về đường thẳng, phương trình của đường thẳng. Muốn viết phương trình đường thẳng cần biết một điểm mà nó đi qua và 1 véc tơ chỉ phương Viết phương trình của đường thẳng Bước 1: Tìm 1 vtcp u (a; b; c) của đường thẳng Bước 2: Tìm điểm M0(x0; y0; z0) thuộc đường thẳng Bước 3: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng: x x0 at Phương trình tham số : y y bt (t R) x z ct Phương trình chính tắc: x x0 a y y0 b z z0 c (abc 0) Chú ý 1)Nếu đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng ( P) : Ax By Cz D ( A2 B C 0) và ( P ) : A x B y C z D (A B2 C2 0 0) Khi đó: Đường thẳng ( d) có 1 vtcp u n1 , n (Trong đó n ; n lần lượt là vtpt của (P) và (P’) ) Muốn tìm một điểm thuộc (d) thì ta cho x = x 0, giải hệ phương trình tìm y, z. (Thường cho x một giá trị ngun và tìm y, z ngun) uuur 2) Đường thẳng (d) qua 2 điểm A, B thì (d) có 1 vtcp là AB 3) Đường thẳng (d) vng góc với mp(P) thì (d) có 1 vtcp là 1 vtpt của (P) 4) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng ( ) thì (d) và ( ) có vtcp cùng phương 5) Hai đường thẳng vng góc thì hai vtcp của chúng vng góc với nhau II.THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ Đứng trước những bài tốn hình học tọa độ khơng gian học sinh thường lúng túng khơng xác định được đường lối, phương pháp giải. Các em cho rằng nhiều dạng tốn như thế thì làm sao nhớ hết các dạng và cách giải các dạng đó, nếu bài tốn khơng thuộc dạng đã gặp thì khơng giải được. Một số học sinh có thói quen khơng tốt là khi đọc đề chưa kỹ đã kêu khó và khơng làm nữa. Số tiết bài tập dành cho loại bài tập này ít, trong sách giáo khoa dạng bài tập này khơng có nhiều, một số tài liệu cũng có nhưng khơng có tính chất hệ thống . Tuy nhiên nó có thể có trong một số đề thi Đại học, cao đẳng, thi học sinh giỏi tỉnh. Với thực trạng đó để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong q trình giải các bài tập nói chung và các bài tốn viết phương trình đường thẳng trong khơng gian nói riêng giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen định hướng lời giải, khai thác tính chất đặc trưng hình học của bài tốn để tìm các cách giải nhằm phát huy được tính tự giác, tích cực của học sinh. Trong khn khổ đề tài này tơi chỉ nêu được một số bài tốn, một số cách giải và một số bài tập III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Bài tốn 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua một điểm và có một véc tơ chỉ phương Cách giải : Biết A(x1; y1;z1) là điểm cho trước, vtcp u (a; b; c) của đường thẳng hoặc là cho trực tiếp, hoặc là cho gián tiếp Nếu cho trực tiếp vtcp u (a; b; c) của đường thẳng thì ta viết được x x0 at Phương trình tham số : y x y0 bt (t z0 ct Phương trình chính tắc: x x0 a y y0 b R) z z0 c (abc 0) Nếu cho gián tiếp véc tơ phương đường thẳng ta tìm vtcp u (a; b; c) của đường thẳng dựa vào các giả thiết của bài tốn. Ví dụ1: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình chính tắc đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;1;0) và vng góc với mặt phẳng (P): x + 2y 2z + 1= 0 Hướng dẫn giải: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là n(1;2; 2) Do đó đường thẳng (d) đi qua điểm M(2;1;0) và nhận n(1;2; 2) làm 1 vtcp có phương trình x y z 2 Ví dụ2 : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho B( 1;2;1) và C( 1;1;3).Viết phương trình tham số của đường thẳng BC Hướng dẫn giải: Đường thẳng BC đi qua B(1;2;1) và nhận BC (0; 1;2) làm 1 chính tắc là : x vtcp. Vây BC có phương trình tham số là : y t z 2t Ví dụ3: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng (d1) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): x + y z +2 = 0 và (P’): 2x – y +5z 1 = 0.Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm M(1;2;2) và song song với đường thẳng (d1) Hướng dẫn giải: Cách 1: Véc tơ chỉ phương của (d) là u n1 , n2 (4; 7; 3) (Trong đó n ;n lần lượt vtpt (P) (P’)) Đường thẳng (d) qua M(1;2;2) nhận u x (4 3) làm 1 vtcp có phương trình là: y z Cách 2 : Gọi A(1;4;1), B(5;11;4) là hai điểm thuộc đường thẳng (d 1).Ta có AB (4; 7; 3) là 1 vtcp của (d). Khi đó (d) có phương trình: x y z Lưu ý: Có nhiều cách để chọn hai điểm thuộc (d1), thơng thường chọn một giá trị x ngun để tìm y ngun và z ngun, mục đích để việc tính tốn dễ dàng hơn. Tuy nhiên trong nhiều bài tốn tìm điểm có tọa độ ngun thuộc đường thẳng (d1) gặp khó khăn dẫn đến mất thời gian, dễ dẫn đến sai lầm. Nên học sinh phải biết lựa chọn cách giải nào cho phù hợp Bài tập: 1. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3; 2; 2) và (P) : 2x – 2y + z – 1= 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A và vng góc với (P) 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm B(1;3;4) và đường thẳng x 2t (d ) : y 3t Viết phương trình tham số, phương trình chính tắc ( nếu có) z 3t của đường thẳng (d) đi qua điểm B và song song với đường thẳng (d1) 3. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(3; 5; 7), B(1;2;3) và C(1;1;2). Viết phương trình tham số của đường thẳng : a, Đi qua hai điểm A và B b, Đi qua trọng tâm G của tam giác ABC và vng góc với mặt phẳng chứa tam giác ABC. Bài tốn 2: Viết phương trình đường góc chung (d) của hai đường thẳng chéo nhau (d1) và (d2) Cách giải : Cách 1: Viết phương trình (d1 ) , (d ) dưới dạng tham số, suy ra toạ độ M (d1 ) theo tham số t, toạ độ của N Giải hệ MN u1 MN u2 (d ) theo tham số t' r r tìm được t, t' ( u1;u2 lần lượt là vtcp của (d1 ) (d ) ), suy ra toạ độ điểm M, N. Từ đó viết được phương trình MN và cũng chính là phương trình của (d) r Cách 2: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp u1 và đi qua A; Đường thẳng (d ) có r 1 vtcp u2 và đi qua B. Gọi (P) là mặt phẳng chứa (d1 ) và (d); Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (d ) và (d), suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Từ đó suy ra được phương trình của đường thẳng (d). Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1 ) : x y 1 z x 2t và (d ) : y t Viết phương trình chính tắc đường vng z góc chung (d) của (d1 ) (d ) Hướng dẫn giải: Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp u (2; 1;1) ; đường thẳng (d ) có 1 vtcp u (2;1;0) Gọi M (2t1 ;1 t1 ; t1 ) (d1 ); N ( 2t ;1 t ;3) (d ) Suy ra MN (2t 2t1 ; t t1 ;5 t1 ) Ta có MN u1 3t 6t1 MN u2 5t 3t1 t1 Khi đó t M(2;0;1); MN ( 1;2;4) Do đó phương trình chính tắc đường vng góc chung (d) là phương trình của đường thẳng MN : x y z Cách 2: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp u (2; 1;1) và đi qua A(0;1;2); Đường thẳng (d ) có 1 vtcp u (2;1;0) và đi qua B(1;1;3); gọi u u1 , u2 ( 1;2;4) Đường vng góc chung (d) của (d1 ) và (d ) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) trong đó: (P) là mặt phẳng chứa (d1 ) và (d) nên (P) đi qua A nhận n1 u , u1 (2;3; 1) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x+3(y1)(z+2) = 0 hay 2x+3yz5=0 (Q) mặt phẳng chứa (d ) và (d) nên (Q) qua B nhận n2 u2 , u ( 4; 8;5) làm 1 vtpt có phương trình là: 4x 8y + 5z – 3 = 0.Vậy tập hợp những điểm nằm trên (d) có tọa độ thỏa mãn hệ: 2x 3y z 5 0 4x y 5z (I) x t x Đặt y = 2t thì hệ (I) trở thành y 2t hay z 4t y Vậy đường thẳng (d) có phương trình chính tắc là: x z y z Bài tập: 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(4;1;4); B(3;3;1); C(1;5;5); D(1;1;1).Hãy viết phương trình tham số đường vng góc chung của hai đường thẳng AC và BD 2. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2) lần x lượt có phương trình là (d1) : y 3 z x ; (d2): y z 3t 2t t Viết phương trình chính tắc đường vng góc chung của chúng. 3.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d1): x y z và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x –2y +z = 0; x – 3z + 5 = 0. Viết phương trình tham số đường vng góc chung của chúng Bài tốn 3: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M vng góc với hai đường thẳng (d1) và (d2) Cách giải : Cách 1: Đường thẳng (d1 ) có 1 vtcp u1 , đường thẳng (d2 ) có 1 vtcp u Chọn u k u1 ,u (k 0) làm 1 vtcp của (d). Suy ra phương trình của (d) Cách 2: Đường thẳng (d) là giao tuyến cưa hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M và vng góc với (d1 ) ; (Q) là mặt phẳng đi qua M và vng góc với (d ) V í d ụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và hai đường thẳng (d1): x y z x ; (d2): 1 y 1 z Viết phương trình chính tắc đường thẳng (d) đi qua M, vng góc với hai đường thẳng (d 1) và (d2). Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d1 )có 1 vtcp u (3;2;1) , (d2 ) có 1 vtcp u (1; 1;1) Chọn u u1 , u phương trình là: (3; 2; 5) làm 1 vtcp của (d). Đường thẳng (d) đi qua M có x y z Giáo viên: u cầu học sinh về tự làm các cách cịn lại Bài tập: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình tham số đường thẳng đi qua điểm N(3;2;4) vng góc với hai đường thẳng có phương trình lần lượt là x y z x và y 2 z Bài tốn 4: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vng góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2) Cách giải : r Cách 1: Tìm véc tơ chỉ phương u của (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d) và (d2) qua t (đường thẳng (d2) viết về dạng tham số), giải phương trình MN u tìm được t. Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và có vtcp MN Cách 2: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vng góc với đường thẳng (d1). Tìm giao điểm N của (P) với (d2), chọn véc tơ k MN (k 0) là 1vtcp của (d). Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng (d) Cách 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vng góc với đường thẳng (d1). Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và chứa đường thẳng (d2). Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) hai đường thẳng (d) và (d') lần lượt có phương trình (d): x 1 y x 2 y z ; (d'): z Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( ) đi qua điểm A vng góc với đường thẳng (d) và cắt đường thẳng (d') Hướng dẫn giải : Cách 1: Đường thẳng (d) có 1 vtcp u (2; 1;1) ; gọi ( ) là mặt phẳng qua A và vng góc với (d) thì ( ) nhận u (2; 1;1) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x – y + z – 3 = 0. Gọi B là giao điểm của (d') và ( ) tọa độ điểm B là nghiệm 2x y z của hệ: x y z 1 x y Đường thẳng ( ) đi qua điểm A nhận z AB(1; 3; 5) làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là: x 1 y z Giáo viên:u cầu học sinh về tự làm các cách cịn lại Bài tập: 1.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(0;1;1) và hai đường thẳng (d1): x y z ; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y – z + 2 = 0; x + 1 = 0. Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm A vng góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2). 2.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;1) và hai đường x thẳng (d1): y x t z ; (d2): y t Viết phương trình tắc z t đường thẳng đi qua M, vng góc với đường thẳng (d1) và cắt đường thẳng (d2). Bài tốn 5: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, vng góc và cắt đường thẳng (d1) Cách giải : r Cách 1 : Tìm véc tơ chỉ phương u của (d1), biểu thị toạ độ giao điểm N của (d) và (d1) qua t.(đường thẳng (d1) viết về dạng tham số). Giải MN u tìm được t, viết phương trình (d) qua M và có 1 vtcp MN Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M và vng góc với (d1).Tìm giao điểm N của (P) với (d1) chọn k MN (k 0) là 1 vtcp của (d) . Từ đó suy ra phương trình của đường thẳng (d) Cách 3 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó (P) qua M và vng góc với đường thẳng (d1); (Q) qua M và chứa (d1). Ví dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(4;2;4) và đường x 2t thẳng (d): y t Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( ) đi qua z 4t A, vng góc và cắt đường thẳng (d) Hướng dẫn giải: Cách1: Gọi M ( 2t;1 t ; 4t ) (d ) giao điểm (d) ( ) thì AM (1 2t ;3 t ; 4t ) ; đường thẳng (d) có 1 vtcp u (2; 1;4) Vì ( ) vng góc (d) nên AM u nhận AM 21t 21 t Với t = 1 thì AM (3;2; 1) do đó ( ) đi qua A (3;2; 1) làm 1 vtcp có phương trình chính tắc là: x y 2 z Cách 2: Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vng góc với (d) thì (P) đi qua A nhận u (2; 1;4) là 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x y + 4z 10 = 0. Gọi M là giao điểm của (d) và (P), tìm được tọa độ của M(1;0;3); (∆) đi qua 2 điểm A, M.Vậy phương trình (∆): x y 2 z Giáo viên:u cầu học sinh về tự làm các cách cịn lại Bài tập: 1, Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng (d) có phương trình: x y 1 z . Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( ) đi qua điểm M cắt và vng góc với đường thẳng (d) 2, Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 5x + y +z + 2 = 0; x – y + 2z + 1 = 0. Vi ết phương trình tham số đường thẳng đi qua điểm M cắt và vng góc với đường thẳng (d) Bài tốn 6: Viết phương trình đường thẳng(d) đi qua M cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) Cách giải: Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d 1); (Q) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1;1;1) và đường thẳng (d1) x y z ; (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y + z 1 = 0; y + 2z 3 = 0. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2). Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d) cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (P) là mặt phẳng đi qua M và chứa (d1), (Q) là mặt phẳng qua M chứa (d2) Đường thẳng (d1) qua N(1;0;3) có vtcp u (2;1; 1) Ta chọn n u ; MN (3; 4;2) là 1 vtpt của (P). Suy ra (P) có phương trình là : 3x 4y + 2z 9 = 0. Tương tự ta tìm được phương trình (Q) là : x + y + z 1 = Tập hợp điểm nằm (d) có tọa độ thỏa mãn hệ: 3x y z x y z 0 x 6t (I) Đặt y = t thì hệ (I) trở thành y t Vậy đường z 7t thẳng (d) có phương trình chính tắc là: x y z Chú ý : Ta có thể lấy hai điểm bất kỳ thỏa mãn hệ (I) và (d) chính là đường thẳng đi qua hai điểm đó. Hoặc lấy một điểm bất kỳ thỏa mãn hệ (I) và 1 vtcp của (d) là tích có hướng của hai véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Bài tập: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(3;2;5) và hai đường x 3t x 2t thẳng (d1); (d2) lần lượt có phương trình: (d1) y 4t ; (d2) y t z 2t z 3t Viết phương trình tham số đường thẳng ( ) đi qua A, cắt cả hai đường thẳng (d1) và (d2). x 2t 2 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1): y 5t z t và (d2) là giao tuyến của hai mặt phẳng : x + y + 2z = 0; x – y +z + 1 = 0. Vi ết phương trình đường thẳng đi qua M(1;1;1;) đồng thời cắt cả (d1) và (d2). Bài tốn 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng (d') Cách giải : Cách 1 : Viết phương trình đường thẳng (d') dưới dạng tham số , suy ra toạ độ giao điểm I của (d) và (d') được biểu thị theo tham số t. Giải phương trình IM n P ( do (d) // mp(P) ) tìm được t. Từ đó suy ra phương trình đường thẳng MI chính là phương trình đường thẳng (d) cần tìm. Cách 2 : Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và chứa (d'); Viết phương trình mặt phẳng (R) qua M và song song với (P). Từ đó đường thẳng (d) là giao tuyến của (Q) và (R) V í d ụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm M(1; 2; 1), mặt phẳng (P): x 2y + 3z 1 = 0.Và đường thẳng (d') là giao tuyến của hai mặt phẳng ( ) : x y z 0; ( ) : x y Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua M, cắt đường thẳng (d'), đồng thời song song với mặt phẳng (P) Hướng dẫn giải: Cách 1: Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là n tuyến của hai mặt phẳng ( ) : x y (1; 2;3) Đường thẳng (d') là giao z 0; ( ) : x y nên tập hợp những điểm nằm trên (d') có tọa độ là nghiệm của hệ x Đặt x = t thì hệ (I) trở thành y z 4x y z x y 0 (I) . t t 3t x Vậy đường thẳng (d') có phương trình tham số là: y z t t 3t gọi N(t;3t;3+3t) là giao điểm của (d) và (d') (t 1;1 t ;3t 4) , (d) // (P) nên MN n MN t MN Đường thẳng (d) qua M nhận x t (1; 1; 1) làm 1 vtcp có phương trình tham số là: y t z t Giáo viên:u cầu học sinh về tự làm các cách cịn lại Bài tập : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(4;2;3), đường thẳng (d): x y z 2 và mặt phẳng (P): 2x + y z +1 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua M, song song với mặt phẳng (P) và cắt đường thẳng (d) 10 Bài tốn 8: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M, nằm trên mặt phẳng (P) và vng góc với đường thẳng (d') Cách giải : Cách 1 : Tìm vtcp u đường thẳng (d'), vtpt n mặt phẳng (P) Vì (d ) (d ) (d ) nên (d) có 1 vtcp v ( p) u , n Từ đó suy ra (d) là đường thẳng qua M và có 1 véc tơ chỉ phương v Cách 2 :Viết phương trình mặt phẳng (Q) qua M và vng góc với đường thẳng (d'). Từ đó suy ra (d) là giao tuyến của (P) và (Q) Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ( ) : x 1 y 2 z và mặt phẳng (P): 2x + z 5 = 0 .Gọi A là giao điểm của ( ) và (P). Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) đi qua điểm A nằm trên (P), và (d) vng góc với đường thẳng ( ) Hướng dẫn giải: Vì A ( ) A(1 t ;2 2t ;3 2t ) Lại có A (P) nên 2(1+t)+3+2t5=0, suy ra t = 0 vậy A(1;2;3). Đường thẳng ( ) có 1 vtcp u (1;2;2) ; (P) có 1 vtpt n (2;0;1) ; Vì (d ) (d ) ( ) nên (d) có 1 vtcp v ( p) (d) là đường thẳng qua A và có 1 vtcp v của đường thẳng (d) là : x y u, n ( 2;3; 4) Vậy (2;3; 4) nên phương trình chính tắc z Bài tập: 1. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + y + z 1 = 0 và đường thẳng (d'): x y z Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trên (P) đi qua giao điểm M của (P) và (d'), vng góc với (d') 2.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x +5y + z + 17 = 0 và đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 3x y + 4z 27 = 0 ; 6x +3y z + 7 = 0. Xác định giao điểm M của (P) và (d), viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M vng góc với (d) và nằm trong (P) Bài tốn 9: Viết phương trình đường thẳng ( ) đi qua M nằm trong mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng (d) biết khoảng cách từ M đến ( ) bằng k (k > 0 ). Cách giải : Đường thẳng (d) có 1 vtcp u ; (P) có 1 vtpt n Vì ( ) nằm trên (P), vng góc với (d) nên ( ) có vtcp u1 u , n Gọi N(a;b;c) là hình chiếu 11 MN vng góc M ( ) từ hệ MN k tìm điểm N Viêt N (P ) phương trình đường thẳng ( ) Ví dụ :Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z + 2= 0 y z .Gọi M là giao điểm của (d) và (P), 1 viết phương trình đường thẳng ( ) nằm trên (P), vng góc với (d) đồng thời và đường thẳng (d ) : x thỏa mãn khoảng cách từ M tới ( ) bằng 42 x y z 1 Hướng dẫn giải :Tọa độ M là nghiệm của hệ: x y z 2 0 x y z vậy M(1;3;0). Đường thẳng (d) có 1 vtcp u (2;1; 1) ; (P) có 1 vtpt n (1;1;1) Vì ( ) nằm trên (P), vng góc với (d) nên ( ) có 1 vtcp u1 u, n N(a;b;c) là hình chiếu vng góc của M trên ( ) khi đó MN mặt khác MN ( x 1) ( y 3) z 42 nên x y z 2 0 x y z 11 ( ) và MN Giải hệ tìm được 2 điểm N . Với N(5;2;5) ta có ( ) : Với N(3;4;5) ta có ( ) : x y ( 2; 3;1) Gọi (a 1; b 3; c) , 42 x y z z Bài tập: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x +y z . Gọi M là giao điểm của (d) và (P), viết phương trình tham số đường thẳng ( ) nằm trên (P), vng góc z+1= 0 và đường thẳng (d ) : x y 1 với (d) và cách M một khoảng bằng Bài tốn 10: Viết phương trình đường thẳng (d) nằm trong mặt phẳng (P) và cắt 2 đường thẳng (d1) và (d2). Cách giải :Tìm giao điểm A của đường thẳng (d1) và (P); Tìm giao điểm B của đường thẳng (d2) và (P). Phương trình của đường thẳng (d) chính là phương trình của đường thẳng AB 12 Ví dụ : Trong khơng gian Oxyz, cho (P): x 2y + z 2 = 0 và hai đường thẳng x ( d1 ) : y x 2t z ; ( d ) : y t Viết phương trình tham số của đường z t thẳng ( ) nằm trong (P) cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2). Hướng dẫn giải: Gọi A và B lần lượt là giao điểm của (d1) và (d2) với (P) thì: Tọa độ điểm A x y z 2 là nghiệm của hệ: x 2y z 2 0 x 2t y t B là nghiệm của hệ: z t x 2y z 2 0 x 10 y 14 vậy A(10;14;20); tọa độ điểm z 20 x y vậy B(9;6;5). Đường thẳng ( ) z x t đi qua B nhận BA(1;8;15) làm 1 vtcp có phương trình là : y 8t z 15t Bài tập: 1. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 4x3y+11z 26 = 0 và hai đường thẳng: (d1 ) : x y z x ; (d ) : y z Viết phương trình đường thẳng ( ) nằm trên (P) đồng thời cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2). 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x+3y 13z+39= x hai đường thẳng: (d1 ) : y x z ; (d ) : y t Viết phương z 2t trình đường thẳng ( ) nằm trên (P) đồng thời cắt cả 2 đường thẳng (d1) và (d2). Bài tốn 11: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vng góc của (d') trên mặt phẳng (P) Cách giải : Cách 1 : Chọn hai điểm A, B là hai điểm phân biệt thuộc (d') . Tìm toạ độ hình chiếu H, K lần lượt của A, B trên mặt phẳng (P). Từ đó suy ra phương trình đường thẳng HK chính là phương trình của (d) . Cách 2 : Đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó (Q) là mặt phẳng chứa (d') và vng góc với (P). 13 *Đặc biệt: + Nếu (d') cắt (P): Tìm giao điểm A của (d') và (P). Lấy B ∈(d') tìm hình chiếu vng góc B’ của B trên (P).Suy ra đường thẳng AB’ chính là (d) + Nếu (d') // (P) : Lấy B ∈(d') tìm hình chiếu vng góc B’ của B trên (P) Đường thẳng (d) là đường thẳng đi qua B’ và song song với (d') x Ví dụ : Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d): y z 4t 3t và mặt phẳng 2t (P): x y + 3z + 8 = 0. Viết phương trình chính tắc hình chiếu vng góc (d') của (d) lên mặt phẳng (P) Hướng dẫn giải : Cách 1: Đường thẳng (d) đi qua điểm A(0;4;1) và có 1 vtcp u (4;3; 2) Mặt phẳng (P) có 1 vtpt là n (1; 1;3) Hình chiếu vng góc của (d) lên mặt phẳng (P) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q). Trong đó (Q) là mặt phẳng chứa (d) và vng góc với (P). (Q) đi qua A nhận n1 u, n 7(1; 2; 1) làm 1 vtpt có phương trình: x 2y z + 7 = 0.Vậy tập hợp những điểm nằm trên (d') có tọa độ thỏa mãn hệ: x y 3z 8 0 (I) Đặt z = t thì hệ (I) trở thành x 2y z x 7t y 4t z t hay x y z x Vậy (d') có phương trình là: y z Giáo viên:u cầu học sinh về tự làm các cách cịn lại. Bài tập: 1. Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0 và đường x thẳng (d): y z t t Viết phương trình tham số hình chiếu vng góc của (d) lên mặt phẳng (P) 2. Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): x y + z + 10 = 0, đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng 2x y + z + 1 = 0 và x + 2y z 3 = 0 . Viết phương trình tham số hình chiếu vng góc của (d) lên mặt phẳng (P) Bài tốn 12: Viết phương trình đường thẳng (d) đối xứng với (d') qua (P) 14 Cách giải : + Nếu (d') và (P) cắt nhau: Tìm giao điểm A của (d') và (P), lấy điểm B trên (d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì đường thẳng AB’ chính là (d) + Nếu (d') // (P): Lấy điểm B trên (d') tìm B’ đối xứng với B qua (P) thì (d) là đường thẳng đi qua B’ và song song với (d’) Chú ý: Có thể lấy 2 điểm A, B bất kỳ phân biệt trên (d') tìm A’, B’ lần lượt đối xứng với A, B qua (P) thì đường thẳng A’B’ chính là (d) Ví dụ: Trong khơng gian Oxyz cho đường thẳng (d1 ) : x y z và (P): x + 3y z + 2 = 0.Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (d1) qua mp (P) Hướng dẫn giải: Gọi A là giao điểm của (d1) và (P) tìm được A(4 ;3;7) lấy z là đường thẳng qua B và vuông 28 15 ; ) ; B’ là góc với (P), gọi H là giao điểm của (d2) và (P) suy ra H ( ; 11 11 11 34 điểm đối xứng của B qua (P) thì H là trung điểm của BB’ B ( ; ; ) 11 11 11 B(2;3;1) ∈(d1), Gọi (d ) : x y 3 Đường thẳng (d) chính là đường thẳng AB’ có phương trình là: x 39 y 15 z 39 Bài tập: Trong khơng gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x + 3y + z 17 = 0. Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đối xứng với đường thẳng (d1) qua mặt phẳng (P) biết: x 2 x b, Đường thẳng (d1 ) : a, Đường thẳng (d1 ) : y 3 y z z Bài tốn 13: Viết phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu song song của (d1) lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu (d 2). (hai đường thẳng (d1) và (d2) phân biệt và khơng song song). Cách giải : Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d1) và song song (hoặc chứa) (d2). Đường thẳng (d) là giao tuyến của (P) và (Q). Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d ) : x y z x ; (d ) : y z Viết phương trình chính tắc của hình chiếu song song của (d1) lên mặt phẳng (P) : x 2y 2z 1 = 0 theo phương chiếu (d2) 15 Hướng dẫn giải: Đường thẳng (d1) có 1 vtcp u M(0;1;0), đường thẳng (d2) có 1 vtcp v (1;2;1) và đi qua điểm (2;2;1) suy ra n u, v (0;1; 2) Gọi (Q) là mặt phẳng chứa (d1) và song song (d2) thì (Q) đi qua điểm M và nhận véc tơ n làm 1 vtpt. Do đó (Q) có phương trình là : y 2z 1 = 0. Đường thẳng (d) là giao tuyến của (P) và (Q) nên giải tìm được (d) có phương trình chính tắc là: x y z Bài tập: 1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d ) : x y z x ; (d ) : 1 y z Viết phương trình tham số của hình chiếu song song của (d1) lên mặt phẳng (P): 3x + y 2z 4 = 0 theo phương chiếu (d2). 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x t x (d1 ) : y 11 2t ; (d ) : z 16 t y z Viết phương trình tham số của hình chiếu song song của (d1) lên mặt phẳng (P): 3x 2y 2z 1 = 0 theo phương chiếu (d2). Bài tốn 14: Viết phương trình đường thẳng (d) song song (d') hoặc vng góc với mặt phẳng (P) đồng thời cắt hai đường thẳng (d1) và (d2). Cách giải : Cách 1: Gọi A,B lần lượt là giao điểm của (d) với (d1) và (d2) suy ra AB , mặt phẳng (P) có 1 vtpt n (hoặc (d') có 1 vtcp n ), do (d ) ( P) (hoặc (d)//(d') ) nên AB và n cùng phương hay AB = k n (k 0) giải tìm được tọa độ A (hoặc B). Khi đó đường thẳng (d ) đi qua A có 1 vtcp n Cách 2; Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d1)và song song với đường thẳng (d') Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng (d2) và song song với đường thẳng (d').Từ đó suy ra phương trình (d) là giao tuyến của (P) và (Q) Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d 1) và (d2) có phương trình lần lượt là x y z x ; 1 y z Viết phương trình 16 tham số đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (P): 3x y + z 1 = 0 đồng thời cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) Hướng dẫn giải :Gọi A(t ;1 2t;1 t ); B(t1 ;2t1 ;2t1 ) lần lượt là giao điểm của (d) với (d1) và (d2) suy ra AB (t1 t ;2t1 2t 1;2t1 t 1) , (P) có 1 vtpt n (3; 1;1) Do (d ) ( P) nên AB và n cùng phương hay t1 t 2t1 2t 1 2t1 t 1 giải 3t 13 14 7 14 14 t khi đó B( ; ; ) Vậy (d )có phương trình là y 13 13 13 13 13 14 z t 13 x tìm được t1 Bài tập: 1.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình tham số đường x y thẳng (d) song song với đường thẳng ( ) : thẳng (d1 ) : x 1 y z x ; (d ) : y 1 z z và cắt hai đường 2.Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng (d1) và (d2) có x t x 2t phương trình lần lượt là (d1 ) : y t ; (d ) : y t Viết phương trình z t z 5t chính tắc của đường thẳng vng góc với mặt phẳng Oxz và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2). Bài tốn 15: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A song song với mặt phẳng ( ) (hoặc nằm trên ( ) ; hoặc vng góc với ( ) ) sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) nhỏ nhất Cách giải : Cách 1:Viết phương trình của (P) đi qua A và song song ( ) Gọi K là hình chiếu vng góc của B trên (P), Gọi H là hình chiếu vng góc của B trên (d). B Ta có BK KH nên BH BK khoảng cách BH nhỏ nhất bằng BK khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K Cách 2: Tìm 1 vtpt n của (P), tính n Tìm 1 vtcp của (d): u n., AB P K (d) A H n, n1 , đường thẳng (d) đi qua A có 1 vtcp u 17 Chú ý: Trong trường hợp đường thẳng (d) nằm trên ( ) thì khơng cần viết (P) V í dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y + z 1= 0 và hai điểm A(1;1;0); B(2;1;1). Trong các đường thẳng đi qua A và song song với (P), viết phương trình tham số đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ B đến (d) nhỏ nhất Hướng dẫn giải : Đường thẳng (d) song song với (P) nên (d) thuộc (Q) đi qua A và song song (P) có phương trình là: x – y + z = 0. Gọi K là hình chiếu vng góc của B trên (Q), đường thẳng BK đi qua B nhận n (1; 1;1) là 1 vtpt x của (Q) làm 1 vtcp có phương trình: y z x y t z t x y z BH x t t t Tọa độ K là nghiệm của hệ t 2/3 y / Gọi H là hình chiếu vng góc của B trên (d) ta có z BK dấu bằng xảy ra khi H trùng K hay đường thẳng (d) đi qua A và K. Đường thẳng (d) đi qua A nhận AK 1;2;1 làm 1 vtcp có phương trình tham x t số là: y 2t z t Bài tập: 1, Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y 2z 3 = 0 và hai điểm A(1;1;1); B(2;1;0). Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P), sao cho khoảng cách từ B đến (d) nhỏ nhất 2, Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(7;8;5) và B(1;2;3). Trong các đường thẳng (d) đi qua B và cắt đường thẳng ( ) : x y 1 z viết phương trình đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ A đến (d) là nhỏ nhất Bài tốn 16: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vng góc với đường thẳng ( ) ( hoặc song song với mặt phẳng ( ) hoặc nằm trên ( ) ) sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng (d) lớn nhất Cách giải : Cách 1: Viết phương trình của mp(P) đi qua A và vng góc với ( ) Gọi K là hình chiếu vng góc của B trên (P), Gọi H là hình B P K 18 (d) A H chiếu vng góc của B trên (d). ( ) Ta thấy BH BA khoảng cách BH lớn nhất bằng AB khi H trùng A hay đường thẳng (d) đi qua A và vng góc (ABK). Cách 2: Đường thẳng (d) đi qua A vng góc với AB và ( ) V í dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng (d ) : x y z và hai điểm A(1;1;0); B(2;1;1). Viết phương trình chính tắc đường thẳng ( ) đi qua A vng góc với (d) sao cho khoảng cách từ B đến ( ) lớn nhất Hướng dẫn giải : Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vng góc với (d) suy ra (P) nhận 1 vtcp của (d) làm 1 vtpt có phương trình là: 2x + y + z – 3 = 0. Gọi H là hình chiếu của B trên (P), đường thẳng BH đi qua B vng góc (P) có phương x 2t trình: y t z t của hệ: x y H là giao điểm của BH và (P) nên tọa độ điểm H là nghiệm 2t t z t 2x y z 1 H (1; ; ) Gọi K là hình chiếu của H trên ( ) suy ra 2 BK ( ) , d ( B; ) BK mà BK AB (không đổi) nên BK lớn nhất bằng AB khi K trùng A. Do đó ( ) là đường thẳng đi qua A và vng góc với (ABH) nên ( ) có 1 vtcp u AB, v ( 1;1;1) ; (trong đó v ) có phương trình chính tắc là : x 1 y 1 HA (0;1; 1) ). Khi đó ( z Bài tập: 1,Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;1;1) và B(2;0;1) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vng góc với đường thẳng x t y t và cách điểm B một khoảng lớn nhất z 2t 2, Trong không gian với hệ Oxyz, cho (d1): x y z và hai điểm A(1; 1; 0); B(2; 1; 1). Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua A và vng góc với (d1) sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng (d) lớn 19 Bài tốn 17: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) và tạo với đường thẳng ( ) góc bé nhất, lớn nhất (đường thẳng ( ) khơng song song hay nằm trên (P)) Cách giải: Vẽ đường thẳng qua A song song với ( ) Trên đường thẳng này lấy điểm B khác A cố định. Hình chiếu vng góc của B trên (d) và (P) theo thứ tự là H và K.Ta có: (d, ) = BAH; sin(d, ) = Vậy (d, ) nhỏ nhất khi và chỉ khi H hay (d) chính là đường thẳng AK Ta thấy 1 vtcp của (d) là v BH AB BK AB B K, d K P n , u ( trong đó u A H n ,u1 ; n là vtpt của (P) và u1 là vtcp của ( ) ). Cịn đường thẳng (d) tạo với ( ) góc lớn nhất bằng 900 và có 1 véc tơ chỉ phương là v n ,u1 Ví dụ: Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + y + z 1= 0; điểm A(1;1;1) và đường thẳng ( ) : x y z Viết phương trình chính tắc đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao cho góc giữa đường thẳng (d) và ( ) là nhỏ nhất Hướng dẫn giải: Gọi (d1) là đường thẳng qua A song song với ( ) ta có (d1): x 1 y z , lấy điểm B(2;3;0) trên (d1). Gọi hình chiếu vng góc của B trên (d) và (P) theo thứ tự là H và K thì góc giữa đường thẳng (d) và ( ) nhỏ ) K , hay (d) chính là đường thẳng AK, giải tìm được K ( ; ; 3 x y z và phương trình (d) là: nhất khi H Bài tập: 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y + z + 1 = 0, điểm A(1;2;1) và đường thẳng ( ) : x y z Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao cho góc giữa đường thẳng (d) và ( ) là nhỏ nhất 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1;1;2) và đường thẳng x y z Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A vng góc 2 với ( ) đồng thời (d) tạo với trục Oz một góc sao cho ( ): a, 45 ; b, nhỏ nhất 20 Bài tốn 18: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A nằm trên (P) sao cho khoảng cách giữa đường thẳng (d) và đường thẳng ( ) lớn (đường thẳng ( ) không song song với (P), không nằm trên (P), không đi qua điểm A). Cách giải: Gọi (d’) là đường thẳng qua A và song song với ( ) và B là giao điểm của ( ) với (P), n là 1 vtpt của (P) .Gọi H là hình chiếu vng góc của B trên mặt phẳng (d’,d). Khoảng cách giữa (d) và ( ) bằng BH. Gọi C là hình chiếu vng góc của B trên (d’).Ta thấy BH BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H C Khi đó đường thẳng (d) đi qua A và có 1 véc tơ chỉ phương u d’ B P n , BC . Chú ý:Có thể chọn 1 vtcp của (d) là u C A H d n , AK , trong đó K là hình chiếu vng góc của A trên ( ) V í dụ : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x y z+2= x 0, điểm A(1;1;1) và đường thẳng ( ) : y 1 z Viết phương trình tham số đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao khoảng cách giữa đường thẳng (d) và ( ) là lớn nhất Hướng dẫn giải: Gọi (d’) là đường thẳng qua A và song song với ( ) phương trình (d’): x 1 y 1 z , tìm được B(1;2;2) là giao điểm của ( ) với (P), n (2; 1; 1) là 1 vtpt của (P). Gọi H là hình chiếu vng góc của B trên mặt phẳng (d’,d), vì ( ) song song với mặt phẳng (d’,d) nên khoảng cách giữa (d) ( ) bằng BH. Gọi C là hình chiếu vng góc của B trên (d’) tìm được C( 5 ; ; ) Ta thấy BH 3 BC , nên BH lớn nhất khi và chỉ khi H đường thẳng (d) đi qua A và có 1 vtcp u x n , BC C Khi đó (1;0;2) t có phương trình tham số là: y . z 2t Bài tập: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x +y +z 1= 0 và điểm A(1;1;1) và đường thẳng ( ) : x y z Viết phương trình 21 chính tắc đường thẳng (d) đi qua A nằm trên (P) sao khoảng cách giữa đường thẳng (d) và ( ) là lớn nhất IV. KIỂM NGHIỆM Trước đây chưa sử dụng đề tài này qua q trình kiểm tra các em tơi thấy các em khơng biết nên làm thế nào, các bài kiểm tra có nhiều em cịn bị điểm kém, điểm khá giỏi ít. Để kiểm tra hiệu quả của đề tài này, sau khi các em được học các dạng bài tốn trên. Tơi thấy các em đã tự tin và giải bài tốn loại này một cách thành thạo, các em đã u thích hơn phần hình học khơng gian đã định hướng và giải quyết tốt hơn các bài tập. Ngồi ra một số em khá giỏi cịn tự tìm tịi thêm một số cách khác, một số bài tổng qt. Tơi đã tiến hành kiểm tra miệng, 15 phút , 1 tiết hoặc 2 tiết trên các lớp thực hiện đề tài này kết quả thu được đáng khích lệ như sau: Năm học 20132014 Lớp Sỹ Điểm dưới 5 Điểm từ 5 đến dưới Điểm 8 đến 10 số Số lượng % Số lượng % Số % lượng 12B 45 8,9 25 55,5 16 35,6 12G 49 0 14 28,6 35 71,4 PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 1. Kết luận Qua q trình thực hiện đề tài này tơi thu được một số bài học kinh nghiệm: Ln củng cố và khắc sâu các kiến thức có liên quan. Cần rèn luyện cho học sinh sau khi đọc đề bài phải biết phân tích bài tốn để đưa về bài đơn giản hơn và tìm ra các cách giải khác nhau, từ đó nhằm phát huy tư duy, sáng tạo và khái qt hóa bài tốn. Động viên các em nỗ lực tìm tịi những lời giải hay, tranh luận với bạn bè giúp nhau cùng tiến bộ. Rèn luyện cách trình bày bài giải một cách chặt chẽ, logic và cẩn thận. Khơi dậy cho các em u thích mơn tốn và say mê học tốn hơn Khi dạy học sinh giải các bài tốn hình học tọa độ khơng gian giáo viên cần xây dựng một hệ thống bài tập từ dễ đến khó để nâng cao khả năng tư duy và kỹ năng làm bài của học sinh. Trong phạm vi đề tài này tơi chỉ mới đưa ra một số bài tốn, một số ví dụ và một số bài tập nên chưa thể đầy đủ, chưa bao qt hết. Rất mong các bạn đồng nghiệp góp ý kiến để có một cách dạy và khai thác hết các dạng bài tập này một cách tốt nhất và hiệu quả cao hơn 2. Đề xuất: 22 Các sáng kiến kinh nghiệm của các thầy, cơ giáo hàng năm lưu trữ ở thư viện để giáo viên và học sinh cùng nghiên cứu và học tập Tơi xin chân thành cảm ơn! Thanh Hóa, ngày 04 tháng 6 năm 2015 Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, khơng sao chép nội dung XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG của người khác Người viết ĐƠN VỊ Mai Thị Quỳnh Hoa Nguyễn Tuấn Anh 23 ... chỉ nêu được? ?một? ?số? ?bài? ?tốn,? ?một? ?số? ?cách? ?giải? ?và? ?một? ?số? ?bài? ?tập III. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Bài? ?tốn 1:? ?Viết? ?phương? ?trình? ?đường? ?thẳng? ?đi qua? ?một? ?điểm và có? ?một? ? véc tơ chỉ? ?phương Cách? ?giải? ?: Biết A(x1; y1;z1) là điểm? ?cho? ?trước, vtcp ... nó có thể có? ?trong? ?một? ?số? ?đề thi Đại? ?học, cao đẳng, thi? ?học? ?sinh? ?giỏi tỉnh. Với thực trạng đó để giúp? ?học? ?sinh? ?định hướng tốt hơn? ?trong? ?q? ?trình? ?giải? ?các? ?bài? ? tập nói chung và các? ?bài? ?tốn? ?viết? ?phương? ?trình? ?đường? ?thẳng? ?trong? ?khơng? ?gian nói riêng giáo viên cần tạo? ?cho? ?học? ?sinh? ?thói quen định hướng lời? ?giải, khai... x – 3z + 5 = 0.? ?Viết? ?phương? ?trình? ?tham? ?số? ?đường? ?vng góc chung của chúng Bài? ?tốn 3:? ?Viết? ?phương? ?trình? ?đường? ?thẳng? ?(d) đi qua M vng góc với hai? ?đường? ?thẳng? ?(d1) và (d2) Cách? ?giải? ?: Cách 1:? ?Đường? ?thẳng? ?(d1 ) có 1 vtcp