chuyên đề các ứng dụng của định lý viét

Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu ĐỊNH LÝ VIET ý tởng khai thác Hệ thức Viét(sgk) đL Viét Thuận Đảo ứng dụng Pt bậc 2; loại toán đại số Mặt phẳng toạ độ hình học Sè häc Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu C¸c ứng dụng định lý viét Phần I: sở xuất phát Phần II: nội dung - phơng pháp A lý thuyết (Kiến thức mở rộng) B Các ứng dụng định lý viét * ứng dụng * ứng dụng khác Phần III: biện pháp thực Phần IV: kết - học kinh nghiệm PhầnV: kết luận Cap2sondong @gmail.com Su tm v gii thiu Phần i: sở xuất phát Định lý toán học mệnh đề Vì kiến thức có giá trị phơng diện suy luận ứng dụng chơng trình toán nói chung nh chơng trình toán THCS nói riêng Trong môn Đại số lớp THCS có định lý nói rõ mối quan hệ nghiệm số phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) với hệ số Đó định lý nhà toán học tiếng ngời Pháp Prăng xoa Vi-ét (F Viete) (1540- 1603) tìm đợc mang tên ông: Định lý Vi-vét Do đặc thù đặc biệt định lý (gồm định lý thuận đảo) nên có giá trị đặc biệt nêu lên đợc nhiều ứng dụng quan trọng toán liên quan đến phơng trình bậc hai nh: - Tìm tổng tích nghiệm phơng trình bậc hai có nghiệm - Biết nghiệm phơng trình bËc hai suy nghiƯm - NhÈm nghiƯm cđa phơng trình bậc hai (khi có nghiệm) trờng hợp - Tìm hai số biết tổng tích chúng - Lập phơng trình bậc hai ẩn biết hai nghiệm cho trớc Vì định lý Vi-ét ứng dụng có vai trò chìa khoá quan trọng mở hớng giải cho nhiều toán có liên quan đến nghiệm phơng trình bậc hai, ba cách phong phú, đa dạng nh: Chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị; quan hệ đờng thẳng parabol mặt phẳng Đề các; tính giá trị biểu thức bậc cao nghiệm số Việc dạy định lý Vi-ét nêu ứng dụng chơng trình đại có ý nghĩa đặc biệt chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc nghiệm số phơng trình bậc 2; nêu đợc quan hệ định tính, định lợng nghiệm số với hệ số phơng trình bậc Có thể nói: Các nghiệm số phơng trình bậc dới lăng kính địmh lý Vi-ét ánh lên sắc màu rực rỡ Những ứng dụng phong phú định lý Vi-ét góp phần làm giàu,(đa dạng, phong phú) dạng tập phơng trình bậc (phơng trình qui bậc hai); toán có liên quan đến nghiệm số phơng trình bậc 2; kỹ thuật giải phơng trình; hệ phơng trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán gây đợc hứng thú giải tập cho HS, hình thành cho HS nh÷ng ý t−ëng phong phó, trau dåi t− óc sáng tạo cho em giải toán có liên quanđến phơng trình bậc hai Phơng trình bậc hai định lý Vi-ét thông qua hệ thức nghiệm số đợc gắn kết với nh hình với bóng để tạo toán, ứng dụng phong phú đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ Những ứng dụng phong phú định lý Vi-ét thuận, đảo làm giàu t duy, kĩ giải toán cho HS cuối cấp Giúp em nhìn nhận toán mối liên hệ sinh động dới mắt động ràng buộc biến số tham số; biến, phần giúp HS nâng cao chất lợng học tập môn toán Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo ứng dụng phong phú Đại số, Hình học, Số học có tính tất yếu tuân theo quy luật biện chứng môn khoa học nào, đồng thời hình thành cho ngời dạy, ngời học phong cách nghiên cứu toán học phạm vi định tạo điều kiện đổi phơng pháp dạy học cách hiệu Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét ứng dụng nó, ngời dạy ngời học phần nhiều sơ sài nh cha khai thác triệt để định lý đảo; Cap2sondong @gmail.com Su tm v gii thiu kết từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác ứng dụng phong phú vào thể loại tập hạn chế Với lý nên đề xuất vấn đề: Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét ứng dụng phong phú nhiều phơng tiện Đại số, Hình học, Số học Phần ii: Nội dung phơng pháp a lý thuyết: Định lý Viet thuận: Nếu phơng tr×nh ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiƯm x1, x2 th× S = x1 + x = −b a P = x1 x2 = c a    (a ≠ vµ ∆ ≥ ) ⇒   * HƯ qu¶: −b   x + x = a      x x = c   a PT bËc 2: ax2 + bx + c = (*) - NÕu a + b + c = th× (*) cã nghiƯm lµ x1 = 1, nghiƯm lµ x2 = - NÕu a - b + c = th× (*) cã nghiƯm lµ x1 = - 1; nghiƯm x2 = c a c a Định lý ®¶o: x + x = S NÕu cã số x1, x2 thoả mãn chúng nghiƯm sè cđa ph−¬ng x x = P trình: t2 - st + p = (Điều kiện ∃ sè x1, x2 lµ s2 - 4p ≥ 0) Chó ý: * Tr−íc ¸p dơng hƯ thøc Viet cần tìm điều kiện để phơng trình có nghiÖm a ≠ ⇔   ∆ ≥ ( ∆' ≥ ) *a+b+c=0⇔x=1;a-b+c=0⇔x=-1 Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu x + y = S * NÕu cã: x = α ; y = β lµ nghiƯm hệ phơng trình , xy = P nghiệm phơng trình: t2 - st + p = Các ứng dụng (thờng dùng): a Kiểm tra nghiệm phơng trình bậc b Tính nhẩm nghiệm phơng trình bậc c Biến nghiệm suy nghiƯm d T×m sè biÕt tỉng tích e Lập phơng trình bậc biết nghiệm Một số kết thu đợc từ định lý Viet: a Phân tích ax2 + bx + c = (*) (a 0) thành nhân tử: Khi (*) cã ∆ ≥ ⇔ ∃ x1, x2 / x1 + x2 = c −b ; x1 x2 = th× a a c  b ax2 + bx + c = a  x + x +  = a x − ( x + x )x + x x a a  [ ] = a(x2 - x1x - x2x + x1x2) = a(x - x1) (x - x2) b Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: * Từ: S = x1 + x2 ; P = x1 x2 - Nếu S = x1 + x2 (không đổi) P = x1 x2 thay đổi S2 Do S - 4P ≥ ⇔ P ≤ S2 −b S = P= ⇔ x1 = x = 2a S2 S ⇒ maxP = ⇔ x1 = x2 = (V× x2 - Sx + P = cã nghiÖm kÐp) ⇒ KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn sè b»ng - NÕu x1 > 0; x2 > x1 x2 = P (Không đổi) Còn S = x1 + x2 (thay ®ỉi) ( )( ) Do: S2 - 4P ≥ ⇔ S − P S + P ≥ ⇔ S - P ≥ ; S = P ⇔ x1 = x2 = P ⇒ KL: sè d−¬ng cã tính không đổi tổng nhỏ chúng Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu c Xét dấu nghiệm phơng trình ax + bx + c = (*) (a ≠ 0) −b c  ;P =  S = a a  - Điều kiện cho (*) có nghiệm trái dấu P < ∆ ≥ - §iỊu kiƯn cho (*) cã nghiƯm cïng dÊu lµ  P > - Điều kiện để (*) có nghiệm dơng là: P > S >  ∆ ≥  - §iỊu kiện để (*) có nghiệm âm là: P > S <  ∆ = - Điều kiện để (*) có nghiệm kép dơng là: S > = - Điều kiện để (*) có nghiệm kép âm là: S < x + y = f( m ) d Điều kiện tham số để hệ phơng trình:  cã nghiÖm x.y = g ( m ) nhÊt lµ: f2(m) - 4g(m) = (ChÝnh lµ điều kiện để phơng trình bậc t2 - f(m)t + g(m)) = cã nghiƯm kÐp) b c¸c øng dụng định lý viet: i tìm số biết tổng tích chúng: Phơng pháp: Dựa vào định lý đảo định lý Viet: u + v = S NÕu sè u vµ v cã  u v nghiệm phơng trình: u.v = P t2 - St + P = (1) Nh việc tìm số quy việc giải phơng trình (Tìm nghiệm phơng trình số cần tìm) Chú ý: Nếu S2 - 4P tồn số Nếu S - 4P < không tồn số Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu VÝ dô: a Tìm cạnh hình chữ nhật có chu vi 6a; Diện tích 2a2 * Gọi cạnh hình chữ nhật u v (u > 0; v > 0) 2 u + v = a   uv = a Ta cã: u + v = 3a  vu = 2a ⇔ Do (3a)2 - 2a2 = a2 > nên u, v nghiệm phơng trình bậc t2 - 3at + 2a2 = giải đợc t1 = a ; t2 = 2a Vậy độ dài cạnh hình chữ nhật a 2a x 12 + x 22 = 13 b Tìm phơng trình bËc nhËn x1; x=2 lµ nghiƯm vµ  (*) x x =  x + x = (x + x ) − x x = 13  BiÕn ®ỉi hƯ (*) ta cã:  ⇔  x + x = −5  x x = x x = x + x    x x = ⇔  x +x     x x = = x1 , x2 nghiệm phơng trình: x2 - 5x + = = − ⇒ x1 , x2 nghiệm phơng trình: x2 + 5x + = 3 x + y = c Giải hệ phơng trình: xy = 27 (1) (2 ) x + y = (Ta quy vỊ t×m x, y /  ) xy = P Tõ (1) cã x + y = ⇔ x + y + 33 xy ( ) x + y = 64 ⇔ x + y = 28 x + y = 28 VËy hÖ (1) (2) cã d¹ng  282 - 27 > nên x, y nghiệm xy = 27 phơng trình: t2 - 28t + 27 = Giải đợc t1 = ; t2 = 27 HÖ cã nghiÖm: x = x = 27  ;  y = 27 y = 5−x 5−x . x +  = (§/K: x -1) d Giải phơng trình: x x +1  x +1 Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu 5−x 5−x   ; v = x + =6 x +1 x +1 Đặt: u = x u+v=5 (§/K: x ≠ -1) u + v = (2) Từ (1) (2) ta quy tìm u, v cho:  u.v = Do 25 - 24 > Nên u, v nghiệm phơng trình t2 - 5t + = t1 = 3; t2 = u = u = Từ có: v = v =  x − x + = Phơng trình ®· cho ⇔   x − x + = giải đợc x1 = 1; x2 = (TM) x e Cho phơng trình: x2 +ax + b = cã nghiƯm lµ x d; phơng trình x + cx + d = cã nghiƯm lµ a vµ b TÝnh a, b, c, d biÕt r»ng chóng ®Ịu ≠ Giải: áp dụng định lý Viet vào phơng trình cho có: Từ c+d=-a (1) c.d=b (2) a+b=-c (3) a.b=d (4) (1) ⇒ a + c = - d  ⇒b =d (3) ⇒ a + c = - b  Tõ (2) ⇒ c =1 (V× b = d ≠ 0) Tõ (4) ⇒ a = (Chia vÕ cho b = d ≠ 0) Thay a = c = vµo (1) ⇒ d = - ⇒ b = - VËy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2) ii tính giá trị biểu thức đối xứng nghiƯm: BiĨu thøc ®èi xøng cđa nghiƯm: BiĨu thức f(x1, x2) gọi đối xứng với x1, x2 nếu: f(x1 , x2) = f(x2, x1) (Nếu đổi chỗ (vị trí) x1 x2 biểu thức không thay ®ỉi) - NÕu f(x1, x2) ®èi xøng th× f(x1, x2) biểu diễn qua biểu thức đối xøng lµ S = x1 + x2; P = x1 x2 - Biểu thức đối xứng nghiệm x1, x2 phơng trình bậc ax2 + bx + c = biểu thức có giá trị không thay đổi hán vị x1 x2 Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu Ta cã thÓ biểu thị đợc biểu thức đối xứng nghiƯm x1, x2 theo S vµ P VÝ dơ: x 12 + x 22 = (x + x ) − x x = S − P x 13 + x 32 = (x + x ) − x x (x + x ) = S − 3SP ( x 14 + x 24 = x 12 + x 22 ) − x 12 x 22 = ( S − P ) − P x + x2 1 S + = = x1 x2 P x 1x 1 x 12 + x 22 S2 − 2P + = = x 12 x2 x 12 x 22 P2 C¸c vÝ dơ: a Bài toán 1: Cho phơng trình bậc 2: ax2 + bx + c = (*) (a ≠ 0) n n Cã nghiƯm lµ x1, x2 Chøng minh r»ng: Víi S n = x + x Th× a Sn + + b Sn + + c Sn = Gi¶i:  ax 12 + bx + c = Do x1, x2 lµ nghiƯm (*) ⇒   ax + bx + c = ax 1n x 12 + bx 1n x + cx 1n = ax 1n + + bx 1n +1 + cx 1n = ⇒  n ⇒  n+2 ax x + bx 2n x + cx 2n = ax + bx 2n +1 + cx 2n = ( n +2 ⇒ a x ) ( ) ( ) + x 2n + + b x 1n +1 + x 2n +1 + c x 1n + x 2n = hay: a Sn + + b Sn + + c Sn = b Bài toán 2: Cho phơng trình x2 + 5x + = Gọi x1, x2 nghiệm Hãy tính giá trị biểu thức: x 12 + x 22 ; x 13 + x 32 ; x 14 + x 24 ; ; x 17 + x 72 ; x12 x 32 + x13 x 22 ; x − x Gi¶i: Tr−íc hết kiểm tra phơng trình cho nghiệm hay không ∆ = 25 - = 17 > ⇒ Phơng trình có nghiệm x1 x2 Suy ra: 2 • x + x = S − P = 21 3 • x1 + x = S(S − 3P ) = −95 Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu 4 2 2 • x + x = (S − P ) − P = 441 − = 433 ( )( ) 7 3 4 3 • x + x = x + x x + x − x x (x + x ) = - 95 433 - (- 5) = 3 2 2 • x x + x x = x x (x + x ) = P S = − 20 (x − x )2 • x1 − x = = (x + x )2 − 4x x = S − P = 17 * Chó ý: Ta cã thĨ më réng cho bµi toán yêu cầu tính giá trị x 1n + + x 2n + = S n + ; Sn + ; Sn b»ng c¸ch áp dụng kết Bài toán Sn +2 = - b Sn + - cSn 7 Ví dụ: Cho x1, x2 nghiệm phơng trình: x2 - 2x - = TÝnh x + x Ta cã: ∆’ = > nªn phơng trình có nghiệm x1, x2 2 S1 = ⇒ S = x + x = ( x + x ) − x x = S3 = - bS2 - cS1 = 16 + = 20 S4 = - bS3 - cS2 = = 56 S5 = - bS4 - cS3 = 152 = S6 = - bS5 - cS4 = 416 S7 = - bS6 - cS5 =1136 c Bài toán 3: (Học sinh giỏi Quảng Ninh năm 2002) Gọi a, b nghiệm phơng tr×nh: 30x2 - 3x = 2002 ( ) ( 30 a 2002 + b 2002 − a 2001 + b 2001 Rót gän (TÝnh) M = a 2000 + b 2000 ) * Nhận thấy phơng trình cho: 30x2 - 3x - 2002 = cã ∆ > ⇒ x1 = a ; x2 = b ⇒ Sn = an + bn áp dụng công thức thuộc Bài toán 1: A Sn + + B Sn + + C Sn = Theo đầu ta có: Sn = a2000 + b2000 Sn + = a2001 + b2001 Sn +2 = a2002 + b2002 ⇒ 30 Sn + - 3Sn + - 2002Sn = ⇒ 30 Sn +2 - 3Sn + = 2002Sn Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm gii thiu Dùng định lý Viet ta xét dấu nghiệm phơng trình ax2 + bx + c = (a 0) dựa kết quả: * Nếu p = c < phơng trình có nghiƯm tr¸i dÊu x1 < < x2 a * Nếu phơng trình có nghiÖm cïng dÊu p > ∆ ≥ * Nếu p > phơng trình có nghiƯm d−¬ng < x1 ≤ x2 s >  ∆ ≥  * NÕu p > phơng trình có nghiệm âm: x1 x2 < s <  C¸c vÝ dụ: a Cho phơng trình: mx2 - 2(3 - m)x + m - = (1) Xác định m để phơng trình: - Có nghiệm âm - Có nghiệm đối Giải: Xét trờng hợp: * TH1: Víi m =0 ta cã: (1) ⇔ - 6x - = ⇔ x = −2 lµ nghiệm âm phơng trình * TH2: Víi m ≠ ®ã ®Ĩ (1) cã ®óng nghiệm âm cần điều kiện là: f ( ) = vµS < x < = x  x < ≤ x  ⇔ x < < x ⇔  p < ⇔  x = x <  x = x < −b <  ∆ = 2a Vậy m (0; 4] m =  m =  0 < m <  m =  th× phơng trình có nghiệm âm b Cho phơng trình: 2x2 - (m - 1)x + m2 - 4m + = (1) * Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm * Xác định dấu c¸c nghiƯm x1, x2 (x1 ≤ x2) víi c¸c gi¸ trị tìm đợc m Cap2sondong @gmail.com Su tm v gii thiu Giải: * Vì (1) phơng trình bËc Èn x tham sè m cã nghiÖm sè ⇔ ∆’ ≥ ⇔ (m - 1)2 - (m2 - 4m + 3) ≥ ⇔ - m2 + 6m - ≥ ⇔ m2 - 6m + ≤ ⇔ (m - 1) (m - 5) ≤ ⇔ ≤ m ≤ m − 4m + * Theo hÖ thøc Viet cã: P = x1x2 = S = x1 + x = m - - XÐt dÊu cña P = x1.x2 Ta cã: m2 - 4m + = ⇔ m = hc m = m x1x2 + - + NÕu m = p = s = ⇒ x1 = x2 = NÕu m = th× p = ; s > ⇒ = x1 < x2 NÕu < m ≤ th× p > ; s > ⇒ < x1 < x2 NÕu < m < th× p < ⇒ x1 < < x2 c Tìm giá trị m để phơng trình: (m - 1)x2 + 2x + m = (1) có nghiệm không âm * Giải: * NÕu m = ⇒ x = −1 < vËy m = (lo¹i) * NÕu m ≠ (1) phơng trình bậc = - m2 + m + ⇒ cã nghiÖm ⇔ ∆’ ≥ ⇔ m2 - m - ≤ ⇔ * XÐt S = 1− 1+ ≤m≤ 2 cã tr−êng hỵp: 1− m - NÕu m < ⇒ S > ⇒ (1) cã Ýt nhÊt nghiƯm d−¬ng - NÕu m > ⇒ S < ta ch−a kÕt luận mà phải xét: P = m m > m −1 ⇒ P > kÕt hỵp víi S < (1) có nghiệm âm nên loại m > * Kết luận: Giá trị m cần tìm là: m < Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu * C¸ch gi¶i 2: XÐt P = m m −1 - (1) cã nghiÖm x = ⇔ P = ⇔ m = (1) - (1) cã nghiƯm tr¸i dÊu ⇔ P < ⇔ < m < (2) 1 − 1+ ≤m≤   ∆' ≥ m <  - (1) cã nghiƯm d−¬ng ⇔ P > ⇔   m >  A >  m <   ⇔ 1− ≤m vµ x1.x2 = P (không đổi) S = x1 + x2 (thay ®ỉi) v× S2 - 4P ≥ ⇔ (S - P ) (S + P ) ≥ ⇔ S - P ≥ ⇔ S ≥ P ⇒> Min S = P ⇔ x1 = x2 = P * VËy: NÕu sè d−¬ng có tích không đổi tổng nhỏ chúng Tìm cực trị biến số hệ điều kiện ràng buộc a Ví dụ 1: Cho a, b, c số thực thoả mãn điều kiÖn: Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu a > a c   = T×m GTNN cđa a (Xác định b, c a min) b a a + b + c = abc bc = a * Giải: Từ giả thiết toán ta có: b + c = abc − a = a a Theo Viet: b, c nghiệm phơng tr×nh bËc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 = ⇒ ∆ = (a3 - a)2 - 4a2 ≥ ⇔ a2 [(a2 - 1)2 - 4] ≥ ⇔ (a2 - 3) (a2 + 1) ≥ ⇔ a2 - ≥ ⇔ a2 ≥ ⇒a≥ (a > 0) ⇒ a = VËy: amin = t¹i b = c = t¹i b = c = 3 * toán vai trò a, b, c nh nên yêu cầu tìm của1 biến a, b, c Mặt khác, toán ta dựa vào điều kiện tồn hệ thức Viet S2 - 4P (Điều kiện có nghiệm phơng trình bậc 2) từ suy GTNN iii toán chứng minh bất đẳng thức: * Liên quan tới nghiệm phơng trình bậc ta cã thĨ sư dơng hƯ thøc Viet ®Ĩ chứng minh bất đẳng thức có chứa nghiệm phơng trình bậc cho Hoặc chứng minh bất đẳng thức có hệ điều kiện ràng buộc cho trớc Ví dụ 1: Cho phơng trình: mx2 - (m + 2)x + = (1) (m lµ tham sè) a Chøng minh r»ng (1) cã nghiƯm víi mäi m b Gi¶ sư (1) cã nghiƯm lµ a vµ b ( m + ) Chøng minh r»ng: (ma - 1)2 + (mb + 1)2 Giải: a Với m = (1) trë thµnh - 2x + = ⇔ x = (Phơng trình có nghiệm với m = 0) Với m 0: (1) phơng tr×nh bËc cã ∆ = (m + 2)2- 4m = m2+ > ∀m ⇒ (1) cã nghiÖm víi ∀m ≠ Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu * VËy (1) cã nghiƯm víi ∀m b Mn phơng trình cho (1) có nghiệm a, b m Do a, b nghiệm cđa (1) nªn theo Viet ta cã: a+b= m+2 m §Ỉt: X = am - 1; Y = bm + ⇒ X + Y = m(a + b) ⇒ X + Y = m(m + 2) : m = m + Chứng minh đợc: (X2 + Y2) ≥ (X + Y)2 víi mäi X, Y ⇒ X2 + Y2 ≥ (X + Y)2 / ∀X, Y Thay: X + Y = m + ta cã: X2 + Y2 ≥ (m + 2)2 /2 Hay (am - 1)2 + (bm - 1)2 ≥ (m + 2)2 /2 x + y + z = VÝ dơ 2: Cho x, y, z tho¶ m·n  (*) xy + yz + xz = Chøng minh r»ng: ≤ x, y, z ≤ y + z = − x Gi¶i: Tõ hƯ (*) ta cã:  yz = − x(y + z ) = − x(5 − x) y + z = − x ⇔   yz = x − x + Theo Viet: y z lµ nghiệm phơng trình: t2 - (5 - x)t + (x2 - 5x + 8) = Vì phơng trình trªn cã nghiƯm ⇒ ∆ ≥ ⇔ (5 - x)2 - (x2 - 5x + 8)≥ ⇔ - 3x2 + 10x - ≥ ⇔ 3x2 - 10x + ≤ ⇔ ≤ x Bằng cách chứng minh tơng tự ta cã: ≤ y, z ≤ * ë toán ta dựa vào điều kiện tồn số y z điều kiện phơng trình (*) có nghiệm số hay S2 - 4P ≥ Tõ ®ã suy bất đẳng thức cần chứng minh Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu C¸c biƯn ph¸p thùc hiƯn X©y dùng hƯ thøc Vi-Ðt - Sau häc xong công thức nghiệm PT bậc tổng quát GV hớng dẫn HS tìm mối quan hệ nghiệm số với hệ số thông qua biểu thøc: x1 + x2 = ?; x1 x2 = ? Từ đây, gợi ý HS tìm tòi thêm mối liên hệ khác để khẳng định giá trị hệ thức Yêu cầu HS lập mệnh đề đảo định lý gợi ý cách chứng minh MĐ: Nếu có x1 + x2 = b c x1 x2 = x1; x2 nghiệm PT bËc 2: a a ax2 + bx + c = (a ≠ 0) H−íng dÉn: f(x) = ax2 + bx + c = a (x2 + b c x + ) = … = a (x – x1)(x – a a x2) Vì a nên f(x) = ⇔ x = x1 hc x = x2 ⇒ kết luận Vận dụng định lý đảo định lý Vi-ét vào toán tìm số biết tổng vµ tÝch cđa chóng: a + b = S; a b = P (S2 – 4P ≥ 0) ⇒ a, b lµ nghiƯm cđa PT bËc 2: x2 – sx + p = L−u ý: Tr−íc hÕt xÐt s2 4p để khẳng định có tồn a b hay không tồn a b Tuy nhiên có số x1; x2 nghiệm hƯ PT: x1 + x2 = s vµ x1x2 = p khẳng định đợc x1 x2 nghiƯm cđa PT: t2 – st + p = Tiến hành thờng xuyên việc nhẩm nghiệm 1phơng trình bậc2 trờng hợp: a+b+c= 0; a-b+c=0 Từ hình thành thói quen quan sát hệ số 1pt bậc2 tiến hành nhẩm nghiệm có; Xây dựng cho học sinh ý thức giải 1pt bậc2 đủ cách Nhẩm nghiệm trớc sử dụng công thức tổng quát; Tạo thói quen sử dụng ht Vi-ét để kiểm tra nghiƯm pt bËc X©y dùng hƯ thèng bµi tËp cã øng dơng Vi-Ðt sau häc xong Hệ thức Vi-ét ứng dụng Gồm toán: - Không phải phơng trình bậc mà tính tổng, tích nghiệm; tính giá trị biểu thức đối xứng nghiệm Không đối xứng nghiÖm Cap2sondong @gmail.com Sưu tầm giới thiệu - Cho trớc nghiệm số phơng trình bậc Tìm nghiệm lại tham số - Tìm sè biÕt tỉng vµ tÝch cđa chóng - LËp mét phơng trình bậc biết nghiệm cho trớc; hai nghiƯm cã liªn quan tíi nghiƯm cđa phơng trình cho - Tìm hệ thức liên hệ nghiệm phơng trình bậc không phụ thuộc tham số - Tìm điều kiện tham số (tìm tham số) cho nghiệm phơng trình bậc cho thoả mãn hệ thức (1 điều kiện cho trớc) - Tìm điều kiện tham số để nghiệm phơng trình bậc cho trớc dấu, trái dấu, dơng, âm Đa hệ thức Viet vào giải số phơng trình, hệ phơng trình Không mẫu mực nh phơng trình, hệ phơng trình vô tỷ Ví dụ: Giải phơng trình: x( 5− x 5− x ).( x + )=6 x +1 x +1 (1) Sưu tầm giới thiệu Cap2sondong @gmail.com x + y y = +1 x xy Gi¶i hệ phơng trình: (2) x xy + y xy = 78 Từ ý thức cho HS thấy đợc có phơng trình, hệ phơng trình chuyển vận dụng ứng dụng Định lý Viet Nh (1) đa tìm A vàB cho: A.B = A+B=5 ë (2) chØ x > ; y > điều kiện hệ có nghiệm råi chun hƯ vỊ d¹ng (x + y) + (− xy ) = (x + y)(- xy ) = 78 Đề xuất cho HS toán tìm cực trị biểu thức đại số có ứng dơng hƯ thøc Viet nh−: - Khai th¸c: S2 – 4p trờng hợp S thay đổi P không thay đổi, S hông đổi; P thay đổi Từ liên hệ với bất đẳng thức Côsi ứng dụng bất đẳng thức - Đa hệ thức Viet vào toán tìm cực trị biến hệ điều kiện ràng buộc nh: x+y+z=5 Tìm cùc trÞ cđa x, y, z biÕt r»ng: xy + yz + xz = 8 Cho HS lµm quen với việc sử dụng hệ thức Viet vào toán chứng minh bất đẳng thức: Ví dụ: Cho phơng trình: x2 – 2m2x + 2m2 –2 = (| m| >1) a Chứng minh rằng: Phơng trình có nghiệm phân biệt b Giả sử: x1, x2 nghiệm phơng trình cho x1 > x2, chøng minh: + x1 x1 + x1 + < + x2 x2 + x2 + øng dơng hƯ thøc Vi Ðt mỈt phẳng toạ độ hình học a Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho đờng thẳng (d) : 2x- y = a2 vµ parabol (p): y= a x2 (a > 0) Tìm a để (d) cắt (p) điểm phân biệt A B Chứng minh rằng: Khi A B nằm bên phải trục tung * toán cần giúp cho học sinh pt hoành độ giao điểm : a x2 = 2x – a2 ⇔ a x2-2x + a2 = (*) có 2nghiệm phân biệt = –a3> ⇔ a Ta cã:  a  x1 x = a > Sưu tầm giới thiệu ⇒ x1 > vµ x2 > ⇒ A vµ B nằm bên phải trục tung b Cho ABC (B = 900); ®−êng cao BH = 3cm; AC = 7cm TÝnh AB, BC * đặt vấn đề tìm AB, BC thông qua tìm AH, HC hỗ trợ Vi-ét hữu hiệu AH + HC =   AH HC = = ⇒ AH.HC lµ nghiƯm PT: x2 – 7x + = Sau dễ dàng tìm đợc AB.AC nhờ hệ thức tam giác vuông A B H C Mặt khác, trực tiếp tính AB, BC nhê vµo Pitago vµ øng dơng cđa Viet nh− sau: AB2 + BC2 = AC ⇔ (AB + BC)2 – 2AB BC = AC2 ⇔ (AB = BC)2 = 49 + 2AC BH = 49 + 42 = 91 ⇒ AB + BC = 91 kÕt hỵp với AB BC = 21 ta tìm AB BC thông qua tìm nghiệm phơng trình: x2 - 91 x + 21 = (chính toán tìm sè cã tỉng lµ S vµ tÝch lµP) 10 Sư dơng hƯ thøc Viet ë bµi tËp sè häc: Ví dụ: Tìm số nguyên a để phơng trình sau có nghiệm nguyên a) x2 (a + 5)x +5a + = (1) b) x2 + ax + 198 = a (2) H−íng dÉn: Gäi x1,x2∈ Z lµ nghiƯm (1) theo Viet ta cã: a  x1 + x = a +   x1 x = 5a + (*) 5 x1 + x = 5a + 25  x1 x = 5a + Tõ ®ã (*) ⇔  ⇒ (x1 – 5)(x2 – 5) = = = = - 1.(-2) = (-2).(-1) ⇒ a = hc a =  x1 + x = −a  x1 x = 198 − a b Ta cã:  ⇒ x1 + x2 – x1 x2 = -198 Sưu tầm giới thiệu Cap2sondong @gmail.com ⇔ (x1 – 1) (x2 1) = 199 Do 199 số nguyên tố nªn: (x1 – 1)(x2- 1) = 1.199 = 199.1 = -1.(-199) = -199.(-1) ⇒ a = 198 hc a = -2 11 Gây động nghiên cứu cho HS thông qua việc đặt vấn đề: Ta dự đoán xem với phơng trình bậc 3: ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) (*) cã nghiÖm: x1; x2; x3 nghiệm có liên hệ víi c¸c hƯ sè a, b, c, d nh− thÕ ? sau GV giới thiệu định lý Viet mở rộng cho phơng trình bậc Nếu phơng trình bËc (*) cã nghiƯm x1, x2, x3 th× ta có hệ thức sau nghiệm: x1 + x + x = −b a x1x2 + x1x3 + x2x3 = x1x2x3 = c a −d a (Định lý không yêu cầu chứng minh đợc học chơng trình toán cấp 3) 12 Thờng xuyên nhấn mạnh việc tìm điều kiện cho mộtphơng trình bậc hai có nghiệm số trớc áp dụng hệ thức Vi-ét toán phơng trình bậc hai có liên quan tới quan hệ nghiệm số; đặc biệt phơng trình bậc hai chứa tham số Kết học kinh nghiệm A Kết quả: Qua trắc nghiệm khảo sát đối t−ỵng HS, sau cung cÊp cho HS néi dung kiến thức kỹ ứng dụng Viet, kết bớc đầu thu đợc: -100% số HS biết kiểm tra nghiệm phơng trình bậc hệ thức Viet - 98% số HS thành thạo nhẩm nghiệm phơng trình bậc2 trờng hợp: a + b + c = ; a – b + c = - 80% sè HS biÕt nhÈm nghiƯm ph−¬ng trình bậc định lý Viet đảo: x1 + x = s   x1, x2 l… nghiÖm phơng trình bậc x1 x = p - 100% sè HS biÕt t×m sè biÕt tỉng, tích lập phơng trình bậc biết nghiệm cho trớc - 85% số HS tính đợc giá trị biểu thức đối xứng nghiệm phơng tr×nh bËc cho tr−íc - 80% sè HS t×m đợc hệ thức liên hệ nghiệm số không phụ thuộc tham số - 85% số HS tìm đợc ®iỊu kiƯn cđa tham sè ®Ĩ nghiƯm liªn hƯ víi bëi mét hƯ thøc (®iỊu kiƯn cho tr−íc) - 90% số HS xét dấu đợc nghiệm số phơng trình bậc HS tìm đợc điều kiện tham số để nghiệm phơng trình bậc cã dÊu cho tr−íc Sưu tầm giới thiệu Cap2sondong @gmail.com - 85% sè HS sư dơng hƯ thức Viet vào tìm phơng trình đờng thẳng qua A (xA, yA); B (xB,yB) thuéc parab«n y = mx2 (m 0) Lập phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với parabôn (p) M(xM, yM) - 90% số HS vận dụng hệ thức Viet vào tìm cực trị trờng hợp: a) S = x1 + x2 (không ®æi) P thay ®æi, P = x1 x2 b) P= x1 x2(không đổi) S thay đổi - 80% số HS biết tìm cực trị biến hệ ®iỊu kiƯn rµng bc - 90% sè HS vËn dơng đợc hệ thức Viet ứng dụng vào tập chứng minh bất đẳng thức - 85% số HS biết vận dụng hệ thức Viet vào giải toán hình học - 90% số HS vận dụng đợc hệ thức Viet vào giải toán có liên quan đến số học Bài học kinh nghiệm Xây dựng mối quan hệ nghiệm số phơng trình bậc hai tỉng qu¸t (khi cã nghiƯm sè) Víi c¸c hƯ số a, b, c từ hình thành hệ thức Vi-ét đến phát biểu đợc nội dung định lý Vi-ét công việc có ý nghĩa vô quan trọng việc dạy toán theo hớng đổi phơng pháp giảng dạy sở kiến tạo kiến thức sinh động phong phú Từ định lý Vi-ét (thuận) nêu đợc ứng dụng quan trọng nh tìm tổng tích nghiệm số (không giải phơng trình) Càng làm tăng thêm giá trị sử dụng định lý toán học nh ý nghĩa định lý với toán có liên quan Việc thiết lập mệnh đề đảo định lý Vi-ét chứng minh mệnh đề tạo định lý đảo có nhiều ứng dụng vào tập - Tìm số biết tổng tích - Lập phơng trình biết hai nghiệm - Nhẩm nghiệm phơng trình Nêu hệ thống ứng dụng định lý Vi-ét vào toán có ý nghĩa thiết thực rèn luyện kĩ vận dụng hệ thức vào suy luận cấp độ t cao nh: Tìm hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc tham số Thờng xuyên động viên HS có thói quen giải phơng trình bậc hai, trớc tiên sử dụng Vi-ét Tạo cho HS động hình, (tập quán), giải nhanh (hợp lí) toán có phơng trình Đặc biệt thói quen tính nhẩm trờng hợp nêu Thờng xuyên cảnh giác cho HS trớc sử dụng hệ thức Vi-ét tìm điều kiện để phơng trình bậc hai có nghiệm số (hoặc điều kiện để có hai số) hoạt động có ý nghÜa vËn dơng kiÕn thøc suy ln vµ rèn luyện tính cẩn thận, chặt chẽ giải toán cho HS RÌn lun tÝnh linh ho¹t vËn dụng hệ thức Vi-ét vào toán nh: Bất đẳng thức, cực trị, giải phơng trình, hệ phơng trình Đã làm phong phú đa dạng hoá tập có liên quan, tăng thêm ý nghĩa phong phú định lý Vi-ét Ghi nhớ cho HS kinh nghiệm giải toán phơng trình bậc hai nhớ đến việc vận dụng hệ thức Vi-ét cách linh hoạt Cap2sondong @gmail.com Su tm v gii thiu Khai thác triệt để, sâu sắc, phong phú định lý toán học nói chung, định lý Vi-ét nói riêng phơng diện ứng dụng vào tập tạo hệ thống tËp phong phó, hÊp dÉn HS gióp cho viƯc rÌn luyện kĩ em đợc vững kết kuận Với ứng dụng phong phú, đa dạng Định lý Viet có vị trí quan trọng chơng trình đại số giá trị sư dơng cđa nã vÉn cßn cã ý nghÜa víi lớp Cũng nh việc mở rộng với phơng trình bậc Định lý giá trị phơng diện thực hành định lợng mà có giá trị định tính cách phong phú cho nghiệm số phơng trình bậc 2 Khai thác ứng dụng định lý Viet thuận đảo vào toán đại số lớp 9, làm phong phú đa dạng tập phơng trình bậc 2, bậc Giúp cho ngời học rèn luyện thao tác t đặc biệt khả suy luận tính linh hoạt trình học tập môn toán Cung cấp cho HS c¸ch cã hƯ thèng c¸c néi dung phơng pháp hệ thức Viet ứng dụng phong phú giúp HS hiểu sâu mối quan hệ nghiệm số với hệ số pt bậc 2, bậc Từ hình thành HS thói quen học định lý, thấy rõ vai trò định lý toán học chơng trình toán giúp cho em rèn luyện đợc phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt độc đáo suy nghĩ Nêu đợc giải pháp giải loại toán ứng dụng định lý Viet Giúp HS có đợc phơng hớng giải vấn đề có sở lý luận X©y dùng cho HS niỊm tin häc tËp chống t tởng ngại khó, sợ toán, giúp em hăng say học tập, hứng thú tìm tòi mới, hay trình học troán Bớc đầu hình thành HS thói quen, kỹ làm toán, học toán có phơng pháp Trang bị cho HS phơng pháp thực hành toán học cách phong phú, đa dạng Chuẩn bị cho HS tiền đề để tiếp thu kiến thức phơng pháp lớp sau Góp phần quan trọng vào thời kỳ đổi phơng pháp giáo dục Đó là: việc tìm chân lý toán học không dừng chân lý mà quan trọng phải thấy đợc giá trị chân lý đó, nhằm nâng cao chất lợng dạy học theo hớng phát huy tích cực HS Trên ứng dụng phong phú định lý toán học (định lý Vi-ét) đợc xây dựng cách có hệ thống sở lý luận, bớc đầu đợc thực nghiệm cho kết định việc bồi dỡng HS giỏi phần giúp ngời học hình thành đợc Angôrít giải toán ứng dụng vào tập định lý Vi-ét góp phần phát huy đợc tính tích cực chủ động học toán, phẩm chất trí tuệ (t duy) tạo đà cho HS đổi cách học giai đoạn Tuy nhiên hạn chế cá nhân nên sáng kiến kinh nghiệm nói không tránh khỏi hạn chế thiếu sót Vì kính mong quan tâm hội đồng giám định sáng kiến kinh nghiệm cấp góp ý chân thành cho sáng kiến kinh nghiệm đợc hoàn mỹ Tôi xin chân thành cảm ơn! Tác giả Cap2sondong @gmail.com Su tm v gii thiệu Ngun Ngäc Th¸i ... giới thiệu C¸c øng dơng định lý viét Phần I: sở xuất phát Phần II: nội dung - phơng pháp A lý thuyết (Kiến thức mở rộng) B Các ứng dụng định lý viét * ứng dụng * ứng dụng khác Phần III: biện... tăng thêm giá trị sử dụng định lý toán học nh ý nghĩa định lý với toán có liên quan Việc thiết lập mệnh đề đảo định lý Vi-ét chứng minh mệnh đề tạo định lý đảo có nhiều ứng dụng vào tập - Tìm số... Su tm v gii thiu kết từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác ứng dụng phong phú vào thể loại tập hạn chế Với lý nên đề xuất vấn đề: Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét ứng dụng phong phú nhiều phơng