Các ứng dụng của định lí Viet

ý tởng khai thác Hệ thức Viét(sgk) đL Viét Đảo Thuận ứng dụng Pt bậc 2; 3 và các loại toán đại số Mặt phẳng toạ độ và hình học Số học Các ứng dụng của định lý viét Phần I: cơ sở xuất phát. Phần II: nội dung - phơng pháp. A. lý thuyết (Kiến thức cơ bản và mở rộng). B. Các ứng dụng của định lý viét. * các ứng dụng cơ bản. * các ứng dụng khác. Phần III: các biện pháp thực hiện. Phần IV: kết quả - bài học kinh nghiệm. PhầnV: kết luận Phần i: cơ sở xuất phát 1. Định lý toán học là mệnh đề đúng. Vì thế nó là kiến thức cơ bản có giá trị về phơng diện suy luận và ứng dụng trong chơng trình toán nói chung cũng nh chơng trình toán THCS nói riêng. 2. Trong môn Đại số lớp 9 ở THCS có một định lý đã nói rõ mối quan hệ giữa các nghiệm số của một phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) với các hệ số của nó. Đó là định lý do nhà toán học nổi tiếng ngời Pháp Prăng xoa Vi-ét (F. Viete) (1540- 1603) tìm ra đợc mang tên ông: Định lý Vi-vét. Do đặc thù đặc biệt của định lý (gồm định lý thuận và đảo) nên nó có giá trị đặc biệt là nêu lên đợc nhiều ứng dụng quan trọng trong các bài toán liên quan đến ph- ơng trình bậc hai nh: - Tìm tổng và tích các nghiệm của một phơng trình bậc hai khi có nghiệm. - Biết một nghiệm của phơng trình bậc hai suy ra nghiệm kia. - Nhẩm nghiệm của một phơng trình bậc hai (khi có nghiệm) trong các trờng hợp. - Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng. - Lập một phơng trình bậc hai một ẩn biết hai nghiệm cho trớc Vì thế định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó có vai trò một chìa khoá quan trọng mở ra hớng giải quyết cho nhiều bài toán có liên quan đến nghiệm của phơng trình bậc hai, ba một cách phong phú, đa dạng nh: Chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị; quan hệ giữa đờng thẳng và parabol trong mặt phẳng Đề các; tính giá trị các biểu thức bậc cao của các nghiệm số 3. Việc dạy định lý Vi-ét và nêu ra các ứng dụng của nó trong chơng trình đại 9 có ý nghĩa đặc biệt ở chỗ là: làm cho HS hiểu sâu sắc hơn về các nghiệm số của một phơng trình bậc 2; nêu đợc quan hệ định tính, định lợng của các nghiệm số với các hệ số của phơng trình bậc 2. Có thể nói: Các nghiệm số của phơng trình bậc 2 dới lăng kính của địmh lý Vi-ét đã ánh lên các sắc màu rực rỡ. 4. Những ứng dụng phong phú của định lý Vi-ét đã góp phần làm giàu,(đa dạng, phong phú) các dạng bài tập về phơng trình bậc 2 (phơng trình qui về bậc hai); các bài toán có liên quan đến nghiệm số của phơng trình bậc 2; những kỹ thuật giải phơng trình; hệ phơng trình độc đáo nhờ hệ thức Vi-ét. 5. Việc vận dụng hệ thức Vi-ét vào giải toán đã gây đợc hứng thú giải bài tập cho HS, hình thành cho HS những ý tởng phong phú, trau dồi t duy và óc sáng tạo cho các em khi giải các bài toán có liên quanđến phơng trình bậc hai. 6. Phơng trình bậc hai và định lý Vi-ét thông qua hệ thức giữa các nghiệm số đợc gắn kết với nhau nh hình với bóng để tạo ra những bài toán, những ứng dụng phong phú và đa dạng từ Đại số, Số học, Hình học hấp dẫn kì lạ. 7. Những ứng dụng cơ bản và phong phú của định lý Vi-ét thuận, đảo đã làm giàu t duy, kĩ năng giải toán cho HS cuối cấp. Giúp các em nhìn nhận các bài toán trong mối liên hệ sinh động dới con mắt động của sự ràng buộc giữa biến số và tham số; giữa hằng và biến, phần nào giúp HS nâng cao chất lợng học tập môn toán. 8. Việc khai thác định lý Vi-ét thuận, đảo và các ứng dụng phong phú của nó trong Đại số, Hình học, Số học có tính tất yếu tuân theo quy luật biện chứng của bất kì một môn khoa học nào, đồng thời hình thành cho ngời dạy, ngời học một phong cách nghiên cứu toán học ở một phạm vi nhất định tạo điều kiện đổi mới phơng pháp dạy học một cách hiệu quả. 9. Thực tế việc khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng của nó, của ngời dạy và ngời học phần nào còn nhiều sơ sài nh cha khai thác triệt để định lý đảo; các kết quả từ định lý Vi-ét, đặc biệt khai thác các ứng dụng phong phú vào các thể loại bài tập còn hạn chế. Với lý do trên nên tôi đề xuất một vấn đề: Nghiên cứu khai thác định lý Vi-ét và các ứng dụng phong phú của nó trên nhiều phơng tiện Đại số, Hình học, Số học. Phần ii: Nội dung phơng pháp a. lý thuyết: 1. Định lý Viet thuận: Nếu phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (a 0) có 2 nghiệm x 1 , x 2 thì S = x 1 + x 2 = a b P = x 1 . x 2 = a c * Hệ quả: PT bậc 2: ax 2 + bx + c = 0(*) - Nếu a + b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x 1 = 1, nghiệm kia là x 2 = a c - Nếu a - b + c = 0 thì (*) có 1 nghiệm là x 1 = - 1; nghiệm kia là x 2 = a c 2. Định lý đảo: Nếu có 2 số x 1 , x 2 thoả mãn = =+ Px.x Sxx 21 21 thì chúng là nghiệm số của phơng trình: t 2 - st + p = 0 (Điều kiện 2 số x 1 , x 2 là s 2 - 4p 0) Chú ý: * Trớc khi áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phơng trình có 2 nghiệm )0'(0 0a * a + b + c = 0 x = 1 ; a - b + c = 0 x = - 1 ( ) = =+ a c x.x a b xx 0và0a 21 21 * Nếu có: x = ; y = là nghiệm hệ phơng trình = =+ Pxy Syx thì , là nghiệm phơng trình: t 2 - st + p = 0 3. Các ứng dụng cơ bản (thờng dùng): a. Kiểm tra nghiệm phơng trình bậc 2. b. Tính nhẩm nghiệm của phơng trình bậc 2. c. Biến 1 nghiệm suy ra nghiệm kia d. Tìm 2 số biết tổng và tích. e. Lập 1 phơng trình bậc 2 biết 2 nghiệm 4. Một số kết quả thu đợc từ định lý Viet: a. Phân tích ax 2 + bx + c = 0 (*) (a 0) thành nhân tử: Khi (*) có 0 x 1 , x 2 / x 1 + x 2 = a b ; x 1 . x 2 = a c thì ax 2 + bx + c = [ ] 2121 22 xxx)xx(xa a c x a b xa ++= ++ = a(x 2 - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 ) = a(x - x 1 ) (x - x 2 ) b. Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất: * Từ: S = x 1 + x 2 ; P = x 1 . x 2 - Nếu S = x 1 + x 2 (không đổi) còn P = x 1 . x 2 thay đổi. Do S 2 - 4P 0 P 4 S 2 P = 4 S 2 x 1 = x 2 = 2 S a2 b = maxP = 4 S 2 x 1 = x 2 = 2 S (Vì x 2 - Sx + P = 0 có nghiệm kép) KL: Hai số có tổng không đổi tích lớn nhất 2 số bằng nhau. - Nếu x 1 > 0; x 2 > 0 và x 1 x 2 = P (Không đổi) Còn S = x 1 + x 2 (thay đổi) Do: S 2 - 4P 0 ( )( ) 0P2SP2S + S - P2 0 ; S = P2 x 1 = x 2 = P KL: 2 số dơng có tính không đổi tổng nhỏ nhất khi chúng bằng nhau. c. Xét dấu các nghiệm của phơng trình ax 2 + bx + c = 0 (*) (a 0) = = a c P; a b S - Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm trái dấu là P < 0 - Điều kiện cho (*) có 2 nghiệm cùng dấu là > 0P 0 - Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng dơng là: > > 0S 0P 0 - Điều kiện để (*) có 2 nghiệm cùng âm là: < > 0S 0P 0 - Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép dơng là: > = 0S 0 - Điều kiện để (*) có 1 nghiệm kép âm là: < = 0S 0 d. Điều kiện của tham số để hệ phơng trình: = =+ )m( )m( gy.x fyx có 1 nghiệm duy nhất là: f 2 (m) - 4g (m) = 0 (Chính là điều kiện để phơng trình bậc 2 t 2 - f (m) t + g (m) ) = 0 có nghiệm kép) b. các ứng dụng của định lý viet: i. tìm 2 số biết tổng và tích của chúng: 1. Phơng pháp: Dựa vào định lý đảo của định lý Viet: Nếu 2 số u và v có = =+ Pv.u Svu thì u và v là nghiệm của phơng trình: t 2 - St + P = 0 (1) Nh vậy việc tìm 2 số quy về việc giải 1 phơng trình (Tìm nghiệm của phơng trình đó 2 số cần tìm). Chú ý: Nếu S 2 - 4P 0 thì tồn tại 2 số. Nếu S - 4P < 0 không tồn tại 2 số. 2. Ví dụ: a. Tìm 2 cạnh 1 hình chữ nhật có chu vi là 6a; Diện tích là 2a 2 . * Gọi 2 cạnh hình chữ nhật là u và v (u > 0; v > 0). Ta có: = =+ 2 a2uv a6v2u2 = =+ 2 a2vu a3vu Do (3a) 2 - 4 . 2a 2 = a 2 > 0 nên u, v là nghiệm của phơng trình bậc 2. t 2 - 3at + 2a 2 = 0 giải đợc t 1 = a ; t 2 = 2a Vậy độ dài 2 cạnh hình chữ nhật là a và 2a. b. Tìm phơng trình bậc 2 nhận x 1 ; x=2 là nghiệm và = =+ 6xx 13xx 21 2 2 2 1 (*) Biến đổi hệ (*) ta có: = =+ 6xx 13xx2)xx( 21 21 2 21 = =+ =+ 6xx 5xx 5xx 21 21 21 = =+ = =+ 6x.x 5xx 6x.x 5xx 21 21 21 21 c. Giải hệ phơng trình: = =+ )2(27xy )1(4yx 3 3 x 1 , x 2 là nghiệm phơng trình: x 2 - 5x + 6 = 0 x 1 , x 2 là nghiệm phơng trình: x 2 + 5x + 6 = 0 (Ta quy về tìm x, y / = =+ Pxy 5yx ) Từ (1) có ( ) 28yx64yxxy3yx4yx 3 3 33 3 =+=+++=+ Vậy hệ (1) (2) có dạng = =+ 27xy 28yx do 28 2 - 4 . 27 > 0 nên x, y là nghiệm của phơng trình: t 2 - 28t + 27 = 0. Giải đợc t 1 = 1 ; t 2 = 27. Hệ có 2 nghiệm: = = 27y 1x ; = = 1y 27x d. Giải phơng trình: 6 1x x5 x. 1x x5 x = + + + (Đ/K: x -1) Đặt: + = 1x x5 xu ; v = 6 1x x5 x = + + (Đ/K: x -1) u + v = 5 (2) Từ (1) và (2) ta quy về tìm u, v sao cho: = =+ 6v.u 5vu Do 25 - 24 > 0. Nên u, v là nghiệm phơng trình t 2 - 5t + 6 = 0 t 1 = 3; t 2 = 2. Từ đó có: = = 2v 3u 1 1 hoặc = = 3v 2u 2 2 . Phơng trình đã cho =+ =+ 1x 02x3x 03x2x 2 2 giải đợc x 1 = 1; x 2 = 2 (TM) e. Cho phơng trình: x 2 +ax + b = 0 có 2 nghiệm là x và d; phơng trình x 2 + cx + d = 0 có 2 nghiệm là a và b. Tính a, b, c, d biết rằng chúng đều 0. Giải: áp dụng định lý Viet vào 2 phơng trình đã cho có: c + d = - a (1) c . d = b (2) a + b = - c (3) a . b = d (4) Từ (1) a + c = - d db = (3) a + c = - b Từ (2) c =1 (Vì b = d 0) Từ (4) a = 1 (Chia 2 vế cho b = d 0) Thay a = c = 1 vào (1) d = - 2 b = - 2 Vậy (a, b, c, d) = (1; - 2; 1; - 2) ii. tính giá trị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm: 1. Biểu thức đối xứng của 2 nghiệm: Biểu thức f(x 1 , x 2 ) gọi là đối xứng với x 1 , x 2 nếu: f(x 1 , x 2 ) = f(x 2 , x 1 ) (Nếu đổi chỗ (vị trí) x 1 và x 2 thì biểu thức không thay đổi). - Nếu f(x 1 , x 2 ) đối xứng thì f(x 1 , x 2 ) luôn có thể biểu diễn qua 2 biểu thức đối xứng là S = x 1 + x 2 ; P = x 1 . x 2 . - Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 , x 2 của phơng trình bậc 2 ax 2 + bx + c = 0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi hán vị x 1 và x 2 . Ta có thể biểu thị đợc các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x 1 , x 2 theo S và P. Ví dụ: ( ) P2Sxx2xxxx 2 21 2 21 2 2 2 1 =+=+ ( ) ( ) SP3Sxxxx3xxxx 3 2121 3 21 3 2 3 1 =++=+ ( ) 2222 2 2 1 2 2 2 2 1 4 2 4 1 P2)P2S(xx2xxxx =+=+ P S xx xx x 1 x 1 21 21 21 = + =+ 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 P P2S xx xx x 1 x 1 = + =+ . . . 2. Các ví dụ: a. Bài toán 1: Cho phơng trình bậc 2: ax 2 + bx + c = 0 (*) (a 0) Có 2 nghiệm là x 1 , x 2 . Chứng minh rằng: Với n 2 n 1n xxS += Thì a . S n + 2 + b . S n + 1 + c . S n = 0 Giải: Do x 1 , x 2 là nghiệm (*) =++ =++ 0cbxax 0cbxax 2 2 2 1 2 1 =++ =++ 0cxx.bxx.ax 0cxx.bxx.ax n 22 n 2 2 2 n 2 n 11 n 1 2 1 n 1 =++ =++ ++ ++ 0cxbxax 0cxbxax n 2 1n 2 2n 2 n 1 1n 1 2n 1 ( ) ( ) ( ) 0xxcxxbxx.a n 2 n 1 1n 2 1n 1 2n 2 2n 1 =+++++ ++++ hay: a . S n + 2 + b . S n + 1 + c . S n = 0 b. Bài toán 2: Cho phơng trình x 2 + 5x + 2 = 0 Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm. Hãy tính giá trị các biểu thức: 2 2 2 1 xx + ; 3 2 3 1 xx + ; 4 2 4 1 xx + ; . . . ; 7 2 7 1 xx + ; 2 2 3 1 3 2 2 1 xxxx + ; 21 xx Giải: Trớc hết kiểm tra phơng trình đã cho nghiệm hay không. = 25 - 8 = 17 > 0 Phơng trình có 2 nghiệm x 1 x 2 Suy ra: 21P2Sxx 22 2 2 1 ==+ 95)P3S(Sxx 23 2 3 1 ==+ 4338441P2)P2S(xx 2224 2 4 1 ===+ ( )( ) ( ) 21 3 2 3 1 4 2 4 1 3 2 3 1 7 2 7 1 xxx.xxxxxxx +++=+ = - 95 . 433 - 8 . (- 5) = ( ) 20S.Pxxxxxxxx 2 21 2 2 2 1 2 2 3 1 3 2 2 1 ==+=+ ( ) ( ) 17P4Sxx4xxxxxx 2 21 2 21 2 2121 ==+== * Chú ý: Ta có thể mở rộng cho bài toán trên yêu cầu tính giá trị của 2n 2n 2 2n 1 Sxx + ++ =+ ; S n + 1 ; S n bằng cách áp dụng kết quả Bài toán 1. S n +2 = - b S n + 1 - cS n Ví dụ: Cho x 1 , x 2 là nghiệm phơng trình: x 2 - 2x - 2 = 0 Tính 7 2 7 1 xx + Ta có: = 3 > 0 nên phơng trình có 2 nghiệm x 1 , x 2 . S 1 = 2 8x.x2)xx(xxS 21 2 22 2 2 2 12 =+=+= S 3 = - bS 2 - cS 1 = 16 + 4 = 20 S 4 = - bS 3 - cS 2 = = 56 S 5 = - bS 4 - cS 3 = 152 = [...]... 2 Khai thác các ứng dụng của định lý Viet thuận và đảo vào các bài toán đại số lớp 9, đã làm phong phú và đa dạng các bài tập về phơng trình bậc 2, bậc 3 Giúp cho ngời học rèn luyện các thao tác t duy đặc biệt là khả năng suy luận 7 tính linh hoạt trong quá trình học tập môn toán 3 Cung cấp cho HS 1 cách có hệ thống các nội dung và phơng pháp của hệ thức Viet và các ứng dụng phong phú của nó đã giúp... trị của chân lý đó, nhằm nâng cao chất lợng dạy và học theo hớng phát huy tích cực của HS 7 Trên đây là các ứng dụng phong phú của một định lý toán học (định lý Vi-ét) đợc xây dựng một cách có hệ thống và cơ sở lý luận, bớc đầu đã đợc thực nghiệm và cho kết quả nhất định nhất là việc bồi dỡng HS khá giỏi phần nào đã giúp ngời học hình thành đợc Angôrít giải toán ở các ứng dụng vào các bài tập của định. .. rèn luyện kĩ năng của các em đợc vững chắc hơn kết kuận 1 Với các ứng dụng phong phú, đa dạng Định lý Viet đã có 1 vị trí quan trọng trong chơng trình đại số 9 và giá trị sử dụng của nó vẫn còn có ý nghĩa với các lớp trên Cũng nh việc mở rộng nó với phơng trình bậc 3 Định lý này không chỉ có giá trị về phơng diện thực hành định lợng mà nó còn có giá trị định tính 1 cách phong phú cho các nghiệm số cả... (thuận) nêu ra đợc các ứng dụng quan trọng nh tìm tổng và tích các nghiệm số (không giải phơng trình) Càng làm tăng thêm giá trị sử dụng của một định lý toán học cũng nh ý nghĩa của định lý với những bài toán có liên quan 3 Việc thiết lập mệnh đề đảo của định lý Vi-ét và chứng minh mệnh đề này đúng đã tạo ra một định lý đảo có nhiều ứng dụng vào các bài tập - Tìm 2 số biết tổng và tích - Lập một phơng trình... trò của a, b, c nh nhau nên có thể yêu cầu tìm min của1 trong các biến a, b, c Mặt khác, trong bài toán trên ta đã dựa vào điều kiện tồn tại của hệ thức Viet là S2 - 4P 0 (Điều kiện có nghiệm của phơng trình bậc 2) từ đó suy ra GTNN iii bài toán chứng minh bất đẳng thức: * Liên quan tới nghiệm của 1 phơng trình bậc 2 ta có thể sử dụng hệ thức Viet để chứng minh bất đẳng thức có chứa các nghiệm của. .. trị của 1 biểu thức đại số có ứng dụng hệ thức Viet nh: - Khai thác: S2 4p 0 trong các trờng hợp S thay đổi P không thay đổi, S hông đổi; P thay đổi Từ đó liên hệ với bất đẳng thức Côsi và ứng dụng của bất đẳng thức này - Đa hệ thức Viet vào bài toán tìm cực trị của các biến trong hệ điều kiện ràng buộc nh: x+y+z=5 Tìm cực trị của x, y, z biết rằng: xy + yz + xz = 8 8 Cho HS làm quen với việc sử dụng. .. hiểu sâu mối quan hệ giữa nghiệm số với các hệ số của 1 pt bậc 2, bậc 3 Từ đó hình thành ở HS 1 thói quen học định lý, thấy rõ vai trò của các định lý toán học trong chơng trình toán giúp cho các em rèn luyện đợc các phẩm chất trí tuệ: Độc lập, sáng tạo, mềm dẻo, linh hoạt và độc đáo trong suy nghĩ 4 Nêu ra đợc các giải pháp giải từng loại toán ứng dụng định lý Viet Giúp HS có đợc phơng hớng giải quyết... HS vận dụng hệ thức Viet vào tìm cực trị ở các trờng hợp: a) S = x1 + x2 (không đổi) P thay đổi, P = x1 x2 b) P= x1 x2(không đổi) S thay đổi - 80% số HS biết tìm cực trị của biến trong hệ điều kiện ràng buộc - 90% số HS vận dụng đợc hệ thức Viet và ứng dụng vào bài tập chứng minh bất đẳng thức - 85% số HS biết vận dụng hệ thức Viet vào giải bài toán hình học - 90% số HS vận dụng đợc hệ thức Viet vào... phơng trình bậc 2 nhận các số x1; x2 là các nghiệm dựa trên cơ sở (Định lý Viet) Nếu x1 + x2 = S ; x1.x2 =p thì x1, x2 là nghiệm của phơng trình x2 - Sx + P = 0 (S2 - 4P 0) * Các ví dụ: 1 Gọi , là các nghiệm của phơng trình: 3x2 + 7x + 4 = 0 không phải phơng trình hãy thành lập phơng trình bậc 2 với hệ số bằng số mà các nghiệm của nó là: 1 và 1 7 + = 3 * Giải: Theo định lý Viet ta có: . = 4... phú và đa dạng hoá các bài tập có liên quan, càng tăng thêm ý nghĩa phong phú của định lý Vi-ét 8 Ghi nhớ cho HS kinh nghiệm giải các bài toán về phơng trình bậc hai luôn nhớ đến việc vận dụng hệ thức Vi-ét một cách linh hoạt 9 Khai thác triệt để, sâu sắc, phong phú một định lý toán học nói chung, định lý Vi-ét nói riêng về phơng diện ứng dụng vào các bài tập đã tạo ra một hệ thống các bài tập phong . (Kiến thức cơ bản và mở rộng). B. Các ứng dụng của định lý viét. * các ứng dụng cơ bản. * các ứng dụng khác. Phần III: các biện pháp thực hiện. Phần IV:. có nghiệm kép) b. các ứng dụng của định lý viet: i. tìm 2 số biết tổng và tích của chúng: 1. Phơng pháp: Dựa vào định lý đảo của định lý Viet: Nếu 2 số u