SKKN một số DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG gặp

SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP I/ PHẦN MỞ ĐẦU I.1) Lý chọn đề tài Bài tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian tốn quan trọng mơn hình học giải tích Các tốn thường có đề thi mơn Tốn kỳ thi vào Đại học Cao đẳng tất năm Đây toán mà đa số học sinh gặp nhiều khó khăn việc tìm cách giải, học sinh nhiều khơng giải tốn này, trình độ em hồn tồn giải Từ nguyên nhân kinh nghiệm giảng dạy thân, hệ thống lại số dạng tốn viết phương trình đường thẳng không gian thường gặp, nhằm giúp em học sinh giải toán cách dễ dàng I.2) Mục tiêu, nhiệm vụ đề tài Nhằm giúp em học sinh giải toán viết phương trình đường thẳng khơng gian, góp phần nâng cao chất lượng làm thi cử I.3)Đối tượng nghiên cứu: học sinh lớp 12 I.4) Giới hạn phạm vi nghiên cứu: học sinh trường THPT thành phố Buôn Ma Thuột, tỉnh Đăk Lăk I.5) Phương pháp nghiên cứu: tìm hiểu nghiên cứu tài liệu dạng tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian, tổng hợp kết kiểm tra 15 phút, 45 phút, đề thi Đại học qua nhiều năm, … II/ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SƯ PHẠM ỨNG DỤNG II.1) Cơ sở lý luận Qua trình dạy toán cấp THPT với đề tài “MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP”, việc tìm cách để giải tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian vấn đề khơng q khó Tơi hy vọng đề tài giúp ích cho em học sinh lớp 12 việc giải toán viết phương trình đường thẳng khơng gian, giúp em có phương pháp giải định toán Từ em hứng thú, tích cực học tập hơn, đạt kết cao kỳ thi II.2) Thực trạng a)Thuận lợi- khó khăn Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP Học tốn tìm cách giải tốn vấn đề khó khăn nhiều học sinh có kiến thức chưa vững Trong tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian tốn quan trọng chương trình lớp 12 Nhận mối liên hệ đường thẳng mặt phẳng không gian, bắt tay vào viết phương trình đường thẳng, học sinh thường xuyên lúng túng Do kết làm không cao b) Thành công- hạn chế Việc tìm cách giải thực tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian học sinh khơng q khó khăn Tuy nhiên học sinh lúng túng, nhiều học sinh thụ động, dù nhận biết giải toán theo phương pháp nào, gồm bước trình bày lại có nhiều thiếu sót c) Các nguyên nhân, yếu tố tác động Với kinh nghiệm giảng dạy nhận thấy nhiều học sinh ngại học toán giải toán viết phương trình đường thẳng khơng gian Trong học em tỏ mệt mỏi, lười suy nghĩ Nếu em không nắm số dạng tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian thường gặp làm kiểm tra phần này, thi tốt nghiệp THPT thi Đại học, Cao đẳng, em dễ dàng bỏ qua toán này, kết số học sinh đạt điểm cao mơn Tốn không nhiều III/ NỘI DUNG III.1) Mục tiêu Giúp học sinh có tư liệu có ích, cải tiến phương pháp học tốn nói chung phương pháp giải tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian nói riêng III.2) Nội dung “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP” A Kiến thức Trước giới thiệu dạng tốn viết phương trình đường thẳng thường gặp, tơi xin đề cập đến phần kiến thức phương trình đường thẳng khơng gian Đây khơng phải phương pháp đặc biệt ,mà kiến thức học sinh phải biết muốn viết phương trình đường thẳng Đường thẳng không gian cho dạng sau  Phương trình dạng tham số Đường thẳng qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  với vectơ phương  x  x0  at   u   a; b; c  có dạng :  y  y0  bt  t     z  z  ct  Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP (Mỗi giá trị t cho ta giá trị tương ứng x, y, z tọa độ điểm M thuộc đường thẳng)  Phương trình dạng tắc: Đường thẳng qua điểm M  x0 ; y0 ; z0  với vectơ phương  x  x0 y  y0 z  z0 ; với điều kiện abc  u   a; b; c  có dạng :   a b c B Các yếu tố để đường thẳng xác định - Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt - Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đường thẳng gọi giao tuyến hai mặt phẳng - Qua điểm nằm ngồi đường thẳng, có đường thẳng song song với đường thẳng - Nếu đường thẳng song song với mặt phẳng song song với đường thẳng mặt phẳng - Qua điểm cho trước, có đường thẳng vng góc với mặt phẳng cho trước - Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba C Một số dạng tốn thường gặp Khi nắm vững phần lý thuyết em xác định rõ nhiệm vụ gặp tốn viết phương trình đường thẳng, từ vận dụng linh hoạt phương pháp giải toán đề nghị qua toán sau Để tiện cho việc trình bày, tơi sử dụng số từ viết tắt ký hiệu sau: - VTPT: vectơ pháp tuyến - VTCP: vectơ phương - PTTS: phương trình tham số - PTCT: phương trình tắc  - Vectơ u để vectơ phương đường thẳng  - Vectơ n để vectơ pháp tuyến mặt phẳng Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP BÀI TỐN 1: Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M thỏa mãn số yếu tố *Cách giải - Tìm VTCP theo yêu cầu đề bài, cần lưu ý dạng sau: (1)    qua A;B u  AB (3)    / / d  u  ud (5)       a    u    ua , nP    / /  P    (2)  (P)  u  nP (4)   a     u  ua , ub     b  - Viết phương trình  qua điểm M có VTCP u dạng PTTS PTCT Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình tham số phương trình tắc (nếu có) đường thẳng  qua hai điểm A(1;2;3),B(3;5;7) Giải  -  qua hai điểm A B nên có vectơ phương AB   2;3;  -  x   2t  Vậy phương trình tham số  :  y   3t  z   4t  - Phương trình tắc  là: x 1 y  z    Ví dụ 2: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B- 2007) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A 1; 4; 2 , B  1; 2; 4 Gọi G trọng tâm tam giác OAB Viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (OAB) G Giải   4 2 1 4 ; ; - Dễ thấy: G(0;2;2) OA, OB      12; 6;6   4 1 1   - Vectơ pháp tuyến n (OAB) xác định sau:    n  OA n   2; 1;1  Chọn     n  OB - Đường thẳng d   OAB  nên vectơ phương d  n   2; 1;1 Mà G(0;2;2) d nên phương trình d là: x y 2 z 3   1 Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP Ví dụ 3: (Đề Cao đẳng khối A, B, D năm 2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A 1;1;0  , B  0;2;1 trọng tâm G  0; 2; 1 Viết phương trình đường thẳng  qua điểm C vng góc với mặt phẳng (ABC) Giải Ta có: - G trọng tâm tam giác ABC  C  1;3; 4  -   AB   1;1;1 , AC   2; 2; 4  - Đường thẳng  vng góc với mặt phẳng (ABC) nên có VTCP     u phương với  AB, AC    6; 6;0 Chọn u  1;1;0 - Đường thẳng  qua điểm C nên phương trình đường thẳng  x  1  t   : y  3 t  z  4  Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(-2;1;0) mặt phẳng  P  : x  y  2z   Viết phương trình đường thẳng  qua A vng góc với  P  Giải  - Mặt phẳng  P  có VTPT n  1; 2; 2  -     P    nhận n làm VTCP - Đường thẳng  qua A(-2;1;0) nên  có phương trình tham số là:  x  2  t   y   2t  z  2t  Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình  x   2t  đường thẳng  qua A(1;2;3) song song với đường thẳng d :  y  3  t  z  2t  Giải  - Đường thẳng d có VTCP u   2;1;  -   / /d   nhận u làm VTCP - Đường thẳng  qua A(1;2;3) nên  có phương trình tham số là:  x   2t  y  2t  z   2t  Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  qua A(1;1;1) vng góc với hai đường thẳng x   t x  y 1 z   b :  y  2t a:   2  z  3t   Giải   - Đường thẳng a b có VTCP a   2;1; 2 ; b   1; 2;3 - Vì  vng góc với hai đường thẳng a b nên ta có:     u  a     VTCP   a, b    1; 8;5 u  b - Đường thẳng  qua A(1;1;1) nên  có phương trình tắc là: x 1 y 1 z 1   1 8 Ví dụ 7: (Đề Đại học khối B năm 2013) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, Cho điểm A 1; 1;1 , B  1;2;3  đường thẳng  : x 1 y  z  Viết phương trình đường thẳng   2 qua A, vng góc với hai đường thẳng AB  Giải   - Ta có AB   2;3;  , VTCP  u   2;1;3    - Đường thẳng vng góc với AB , có VTCP v   AB, u   Suy v   7; 2;  - Đường thẳng qua A, vng góc với hai đường thẳng AB  có phương trình là: x 1 y  z 1   Ví dụ 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz a/ Viết phương trình đường thẳng  song song với mặt phẳng  P  : x  y  z+1  , qua điểm M 1,1,1 vng góc với đường thẳng d: x 3 y z 2   3 b/ Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng   : 3x  y  5z   , qua điểm thuộc Oy vng góc với đường thẳng a : x 1 y z    5 3 Giải  a) Mặt phẳng   có VTPT n  1;1; 1 ; đường thẳng d có VTCP  u   3;1;  Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP  - Gọi v VTCP đường thẳng  Vì  song song với mặt phẳng  P  vng góc với đường thẳng d nên ta có:     v  n     VTCP   n, u    3;1;  v  u - Đường thẳng  qua M 1,1,1 nên  có phương trình tắc là: x 1 y 1 z 1   b) - Gọi A giao điểm   Oy Thế x  z  , ta y  A(0;1;0) - Vì d nằm   qua điểm thuộc trục Oy nên d qua A   - Lại có VTPT   n   3;1; 5 VTCP a a   3; 5; 3   nên VTCP d là: n, a   2 14;3;9  - Do phương trình d là: x y 1 z   14 Bài tập áp dụng: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Viết phương trình tham số phương trình tắc (nếu có) đường thẳng  qua hai điểm a) A(1;-2;3), B(3;0;0) b) M( 0;2;-1), N(2;3;6) Viết phương trình đường thẳng  qua M vng góc với   trường hợp sau: a) M 1;0; 1 ;   : 2x  y  z   b) M  2;1;0 ;   : x  y  2z   Viết phương trình đường thẳng  qua M song song với đường thẳng d trường hợp sau: a)  x   2t  M  4;3;1 ; d :  y  3t  z   2t  b) M  2;0; 3 ; d : x 1 y  z   4 Viết phương trình đường thẳng d qua A(3;1;0) vng góc với trục Ox đường thẳng a : x  13 y  z    1 Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP Viết phương trình đường thẳng d nằm mặt phẳng   : 3x  y  5z   0, cắt trục Oy vng góc với đường thẳng a: x 1 y z   BÀI TỐN 2: Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M , cắt vng góc với đường thẳng d cho trước *Cách giải - Viết phương trình mp  P  qua M vng góc với d - Tìm tọa độ A  d   P  - Dễ thấy  qua M A, từ suy phương trình  Ví dụ : (Đề thi tuyển sinh Đại học khối B- 2004) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A  4; 2;4  đường  x  3  2t  thẳng d :  y   t Viết phương trình đường thẳng  qua điểm A,  z  1  4t  cắt vng góc với d Giải - Gọi  P  mặt phẳng qua A vng góc với d    P  qua A(-4;-2;4) có VTPT n  ud   2; 1; 4  Phương trình  P  :  x  4  1 y     z     2x  y  4z  10  - Gọi H  d   P   Tọa độ H thỏa: -  x  3  2t  y  1 t   H  1;0;3  z    t  2x  y  4z  10   Ta có: AH   3; 2; 1 - Dễ thấy  qua A(-4;-2;4) H nên phương trình : Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP x4 y2 z4   1 Ta giải tốn dạng theo cách sau: * Cách giải - Viết PTTS đường thẳng d - Gọi H    d  tọa độ H theo tham số t   - Ta có MH  d  MH ud  Từ suy giá trị tham số phương trình đường thẳng  Với ví dụ trên, ta giải sau  - Gọi H    d  H  3  2t;1  t; 1  4t   AH  1  2t;3  t; 5  4t  - Đường thẳng d có VTCP  ud   2; 1;    AH  d  AH ud   1  2t   13  t    5  4t    t 1   AH   3; 2; 1   : x4 y2 z4   1 Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng qua điểm A(3;2;1) vng góc với đường thẳng x y z3   cắt đường thẳng BÀI TỐN 3: Viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng (P), cắt vng góc với đường thẳng d cho trước *Cách giải   - VTCP d ud , VTPT (P) n - Tìm giao điểm M  d   P     - VTCP  u  ud , n   -  qua M có VTCP u Từ suy phương trình Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Bn Ma Thuột Trang SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP Ví dụ: (Đề tuyển sinh Đại học khối D-2009) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho đường thẳng x2 y2 z mặt phẳng  P  : x  y  3z     1 1 Viết phương trình đường thẳng d nằm (P), vng góc với  cắt  Giải  x  2  t  - Phương trình tham số :  y   t  z  t  - Gọi M  x; y; z      P  Vì d   P   cắt d nên Md Vậy tọa độ M nghiệm hệ  x  2  t y  t  phương trình:   M  3;1;1  z  t  x  y  3z    - Mặt phẳng (P) có VTPT n  1; 2; 3 ; đường thẳng  có vectơ   phương u Gọi u vectơ phương d Ta có:  d          u  u , n    1; 2;1   d  n - Vậy d có phương trình là: x  y 1 z 1   1 Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng  : x 1 y z    1 mặt phẳng  P  : x  y   Viết phương trình đường thẳng d nằm (P), vng góc với  cắt  BÀI TỐN 4: Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M, cắt đường thẳng d’ vng góc với đường thẳng d cho trước Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 10 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP x  1 t x  y  t     y   A 1;0;0    z  4t z   y  2z   - Gọi B     P   Tọa độ điểm B thỏa mãn: x   t x   y   2t     y  2  B  5; 2;1  z  z   y  2z    - Đường thẳng cần tìm qua A B nhận vectơ AB   4; 2;1 làm VTCP nên có phương trình x 1 y z   2 Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng   : x  z  , cắt hai đường thẳng x   t x2 y 5 z  b :  y   2t a:   1 z   Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  nằm mặt phẳng   : x  2y+1  , cắt hai đường thẳng x 1 y z 1 x  y 1 z d :     1 2  x   2t  Đs:  :  y  1  t  z  1  4t  d1 : BÀI TỐN 8: Viết phương trình đường thẳng  vng góc với mặt phẳng  P  , cắt hai đường thẳng a, b cho trước * Cách giải Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Bn Ma Thuột Trang 19 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP  - Vì đường thẳng  vng góc với mặt phẳng (P) nên nhận VTPT nP (P) làm VTCP - Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa hai đường thẳng a  Mặt    phẳng (Q) qua điểm M thuộc a có VTPT nQ  ua , nP  - Tìm B  b   Q   - Đường thẳng  qua B nhận nP làm VTCP, từ suy phương trình Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P  : x  y  3z   cắt x  t  x   2t   hai đường thẳng d1 :  y  4  t d :  y  3  t z   t  z   5t   Giải  - Mặt phẳng  P  có VTPT nP  1; 2; 3 ; đường thẳng d1 có VTCP   u1  1;1; 1 ; đường thẳng d có VTCP u2   2;1; 5  - Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P  nên nhận nP làm VTCP - Gọi  Q  mặt phẳng chứa hai đường thẳng d d1 có VTPT     3 3 1   ; ; nQ Ta có: nQ   nP , u1      1; 2; 1  1 1 1  M  0; 4;3  d1  M   Q  Phương trình mặt phẳng  Q  : 1 x     y    1 z  3   x  y  z   - Gọi B  d2   Q  , tọa độ B nghiệm hệ phương trình -  x   2t  x  3  y  3  t     y  1  B  3; 1; 6    z   5t  z  6   x  y  z    Đường thẳng d qua B nhận nP trình làm VTCP nên có phương x  y 1 z    3 Ta giải toán dạng cách sau: * Cách giải Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 20 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP - Viết phương trình mặt phẳng   chứa đường thẳng a vng       góc với mặt phẳng  P  Mặt phẳng   có VTPT n   nP , ua  - Viết phương trình mặt phẳng    chứa đường thẳng b vng góc với mặt phẳng  P  Mặt phẳng    có VTPT n   nP , ub  - Tìm giao điểm M         - Từ viết phương trình  qua M có VTCP nP Với ví dụ 1, ta có lời giải sau:  - Mặt phẳng  P  có VTPT n  1; 2; 3 ; đường thẳng d1 có VTCP -   u1  1;1; 1 d có VTCP u2   2;1; 5  Vì d   P   VTCP d n  1; 2; 3 - Gọi  R  mặt phẳng chứa  d1 vng góc với (P) Suy  3 3 1  ; ;   1; 2; 1   1 1   VTPT  R  nR   Mặt khác,  R  lại qua điểm M1  0; 4;3  d1 nên có phương trình: x   y     z  3   x  y  z   - Gọi  Q  mặt phẳng chứa  d vuông góc với (P) Suy  3 3 1  ; ;    7;11;5  5 5 2  VTPT  Q  nQ   Mặt khác,  Q  lại qua điểm M 1; 3;   d2 nên có phương trình: 7  x  1  11 y  3   z  4   7x  11y  5z  20  - Do d   R    Q  15   M   ;0;   có tọa độ thỏa mãn hệ phương trình 2  x  y  z   nên M  d  7x  11y  5z  20  - Điểm  x    t  Suy phương trình đường thẳng cần tìm d :  y  2t  15  z    3t  *Cách giải - Giả sử PTTS hai đường thẳng a,b là:  x  x1  at  x  x2  a ' s   a :  y  y1  bt , b :  y  y2  b ' s  z  z  ct z  z  c ' s   - Lấy M  a  M  x1  at; y1  bt; z1  ct , N  b  N  x2  a' s; y2  b' s; z2  c' s Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Bn Ma Thuột Trang 21 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP  Suy ra: MN   x2  a ' s  x1  at; y2  b ' s  y1  bt; z2  c ' s  z1  ct  -    t  d   P   MN  k n, k   *    Tọa độ M, MN  s   Đường thẳng d qua M nhận MN làm VTCP, từ suy phương trình d Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, lập phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng  P  : x  y  z   đồng thời cắt  x  1  t x 1 y  z  hai đường thẳng d1 :   d :  y  1 , với t   1  z  t  Giải -  x   2s  PTTS d1 :  y  1  s z  s  M  d1  M 1  2s; 1  s; s  ;  MN   t  2s  2; s; t  s  - Lấy - N  d2  N  1  t ; 1; t  Suy  t     1 2 * d   P   MN  k n, k    t  2s   s  t  s    M  ; ;  5 5  s  2     2  MN    ;  ;    5 5 y z 5 5 Suy d : 1 x - Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba mặt phẳng:  P  : 2x  y  z   0, Q  : x  y  2z   0,  R  : x  y  3z   đường thẳng 1 : x  y 1 z   Gọi  giao tuyến (P) (Q) Viết phương 2 trình đường thẳng d vng góc với (R) cắt hai đường thẳng 1 ,  Đs: d : 23 1 z y 12  12  3 x BÀI TỐN 9: Viết phương trình đường thẳng  hình chiếu đường thẳng d lên mặt phẳng  P  cho trước Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 22 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP *Có khả sau    Nếu d   P  (tức VTCP u d song song với VTPT n  P  ) Khi hình chiếu d lên mặt phẳng  P  điểm (cụ thể hình chiếu điểm d  P  Khi tốn quy tìm hình chiếu điểm mặt phẳng    Nếu d / /  P  ( tức VTCP u d vng góc với VTPT n  P  ) Khi đó, hình chiếu d lên mặt phẳng (P) đường thẳng d’ song song với d - VTCP d’ VTCP d - Tìm điểm M’ d’ cách: + Viết phương trình đường thẳng  qua điểm M d vng góc với mặt phẳng (P) + Gọi M '    ( P) Tìm tọa độ điểm M’  - Đường thẳng d’ qua M’ có VTCP ud Từ suy phương trình d’  Nếu d khơng vng góc khơng song song với  P  , ta thực theo cách trình bày sau - Cách + Chọn hai điểm A; B d ; sau tìm hình chiếu A’; B’ lên  P  cách viết đường thẳng qua A, B vng góc với  P  ; sau tìm giao điểm A’; B’ - + Kết luận A’B’ Cách + Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa d  Q    P  +  hình chiếu d lên mặt phẳng  P      P    Q  Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng  giao tuyến hai mặt phẳng   : x  y  z   0,    : 2x  y  z   mặt phẳng  P  : 3x  y  z  15  a) Viết phương trình mặt phẳng  Q  chứa   Q    P  b) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng  lên mặt phẳng  P  Giải a) Đường thẳng  giao tuyến      nên có VTCP Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 23 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP   1 1 1 1  u  ; ;    4;1;5  ; A  1;0;6  thuộc   1 2  -  x  1  4t  Phương trình đường thẳng :  y  t  z   5t   Mặt phẳng  P  có VTPT nP   3; 2; 1 - Gọi  Q  mặt phẳng chứa   Q    P  , VTPT  Q  là:    nQ  u, nP    9;11;5  Mặt phẳng  Q  qua A  1;0;6  có VTPT nQ   9;11;5 nên có phương trình  x  1  11y   z     9x  11y  5z  21  b) Gọi d hình chiếu vng góc đường thẳng  lên mặt phẳng  x   t   P  thì: d   P   Q   Phương trình d :  y  24t  27 z   51t  Ví dụ 2: (Đề dự bị 1- Đại học khối A năm 2006) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có A  0;0;0  , B  2;0;0  , C  0;2;0  , A '  0;0;2  a) Chứng minh A’C vng góc với BC’ Viết phương trình mặt phẳng (ABC’) b) Viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng B’C’ mặt phẳng (ABC’) Giải a) A  0;0;0 , B  2;0;0 , C  0;2;0  , A '  0;0;2   C '  0;2;2      Ta có: A ' C   0;2; 2  , BC '   2;2;2   A ' C.BC '      A ' C  BC '  A ' C  BC '  A ' C   ABC ' Ta có:   A ' C  AB  Suy (ABC’) qua A(0;0;0) có VTPT A ' C   0; 2; 2  nên có phương trình  ABC ' :  x     y     z     y  z    b) Ta có B ' C '  BC   2; 2;0  Gọi   mặt phẳng chứa B’C’ vng góc với (ABC’)   VTPT   là: n phương với vectơ     B ' C ', A ' C    4; 4; 4  Chọn n  1;1;1    Phương trình   :1 x  0  1 y  2  1 z     x  y  z   Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 24 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP Hình chiếu d B’C’ lên (ABC’) giao tuyến   với (ABC’)  x   2t   Phương trình d :  y  t z  t  Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng d : x 1 y  z lên mặt phẳng   2  Oxy  x  t  Đs:  :  y   2t ( hình chiếu d  Oxy  ) z   tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A  3;4;1 , B  1; 2;5 , C 1;7;1 , D 1;4;2  Viết phương trình hình chiếu Trong khơng gian với hệ vng góc đường thẳng AD lên mặt phẳng  ABC  Đs:  ABC  : 3x  y  6z  23  Mặt phẳng chứa AD vng góc với (ABC)  P  : 2x 15 y  4z  50  d   ABC    P  hình chiếu vng góc đường thẳng AD lên mặt phẳng  ABC  BÀI TOÁN 10: Viết phương trình đường thẳng  qua A  P  ,  P  vng góc với đường thẳng d cho trước *Cách giải    - Tính VTCP u  ud , nP  - Kết luận Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 25 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng x   P  : x  y  z   đường thẳng  :  y  1 z  t  a) Tìm giao điểm A   P  b) Viết phương trình đường thẳng ’ qua A, ’ nằm  P  đồng thời ’ Giải a) Tọa độ giao điểm   P  nghiệm hệ phương trình: x  x   y  1     y  1 Vậy A 1; 1;1  z  t  z    x  y  z   b) Gọi  Q  mặt phẳng qua A  Q      Suy  Q  qua A 1; 1;1  Q  có VTPT n  a   0;0;1 Phương trình  Q  :  x  1   y  1  1 z 1   z 1  Dễ thấy  '   P    Q  x  t  Từ suy phương trình đường thẳng ’ phải tìm là:  y  t z   Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A 1; 2; 1 , B  2;1;1 , C  0;1;  đường thẳng d : x 1 y  z  Lập   1 phương trình đường thẳng  qua trực tâm tam giác ABC, nằm mặt phẳng (ABC) vng góc với đường thẳng d Giải     - Ta có AB  1; 1;  , AC   1; 1;3   AB, AC    1; 5; 2   Phương trình mặt phẳng  ABC  : x  y  2z   - Gọi trực tâm ABC    BH AC  a  b  2c  a       H  a; b; c  : CH AB   a  b  3c   b   H  2;1;1  H  ABC   a  5b  2c  c      ABC  vng góc       u  nABC nên     u   nABC , ud   12; 2; 11  u  ud x  y 1 z 1   Phương trình đường thẳng  : 12 11 - Do - Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột với d Trang 26 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ  P  : x  y  z   , đường thẳng d: độ tọa Oxyz, cho mặt phẳng x  y 1 z  Viết phương trình   1 đường thẳng  nằm (P), qua giao điểm d (P), đồng thời vng góc với d  x  1  t  Đs:  :  y  t z   t  BÀI TOÁN 11: Viết phương trình đường thẳng  đường vng góc chung hai đường thẳng a b chéo *Cách giải    - Đường thẳng  có VTCP u  ua , ub  Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa a  Mặt phẳng (P) có VTPT - Tìm B  b   P  - Đường thẳng  qua B có VTCP u  ua , ub  Từ suy phương trình đường vng góc chung  -    n  ua , u  qua điểm a    Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng  x  1  2t x y 1 z   d :  y   t d1 :   1 z   a) Chứng minh d1 d chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung d1 d Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 27 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP Giải  a) + d1 qua M(0;1;-2), có VTCP u1   2; 1;1  + d qua N(-1;1;3), có VTCP u2   2;1;0     + u1 , u2    1; 2;  , MN   1;0;5    + u1 , u2  MN  21   d1 d chéo b) + Gọi  đường vng góc chung d1 d   có VTCP    u  u1 , u2    1; 2;  + Gọi (P) mặt phẳng chứa d1  (P) có VTPT    n  u1 , u    6; 9;3 +M(0;1;-2) d1 M(P) Phương trình mặt phẳng  P  : 6( x  0)  9( y 1)  3( z  2)   2x  y  z   + Gọi B  d2   P   Tọa độ B nghiệm hệ phương trình  x  1  2t x   y  1 t     y   B 1; 2;3  z   z   2x  y  z    + Đường thẳng  qua B nhận vectơ u làm VTCP nên có phương trình:  : x 1 y  z    1 Ta giải tốn với cách giải sau: *Cách giải -   AB  a Giả sử AB đường vng góc chung a,b nên    AB  b      Gọi ua , ub tương ứng VTCP a,b  u  ua , ub  VTCP - AB Gọi  P  mặt phẳng xác định AB a ,  Q  mặt phẳng - xác định AB b , AB   P    Q  Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 28 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP Cách giải trình bày cho phương trình đường vng góc chung, khơng cho trực tiếp tọa độ chân đường vng góc chung Ta giải tốn dựa vào việc tính tọa độ hai chân đường vng góc chung, từ quy tốn viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng a b chéo thành toán quen thuộc: viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cho trước Với cách giải ta thực sau: - Giả sử phương trình tương ứng dạng tham số a b là:  x  x1  at  x  x2  a ' s   a :  y  y1  bt , b :  y  y2  b ' s  z  z  ct z  z  c ' s   - - Gọi A,B tương ứng chân đường vng góc chung a b tọa độ A  x1  at; y1  bt; z1  ct  , B  x2  a ' s; y2  b ' s; z2  c ' s  Từ A,B là:  AB   x2  x1  a ' s  at; y2  y1  b ' s  bt ; z2  z1  c ' s  ct       AB  a   AB  ua   a; b; c      Vì   nên ta có hệ phương trình sau để xác định t AB  b AB  u  a '; b '; c '      b   a  x2  x1  a ' s  at   b  y2  y1  b ' s  bt   c  z2  z1  c ' s  ct     a '  x2  x1  a ' s  at   b '  y2  y1  b ' s  bt   c '  z2  z1  c ' s  ct   s: - Giải hệ ta suy t s, A,B hồn tồn xác định Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x  y 1 z  x2 y2 z d2 :     1 2 a) Chứng minh d1 d hai đường thẳng chéo b) Viết phương trình đường vng góc chung chúng Giải  a) Đường thẳng d1 qua M1  1;1;  có VTCP u1   2;3;1 ; đường  thẳng d qua M  2; 2;0  có VTCP u2  1;5; 2  Khi đó:     1 2   u  u1 , u2    ; ;    11;5;7  , M1M   3; 3; 2   2 2 1     Suy u1 , u2  M1M  33  15  14  62  Vậy d1 d hai đường thẳng chéo b) Gọi  đường vng góc chung d1 d , suy VTCP   u   11;5;7  Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 29 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP - Gọi  P  mặt phẳng chứa  d1 Suy  P  có VTPT    nP  u1 , u   16; 25; 43 qua điểm M1  1;1; 2 d1 nên  P  có phương trình: 16  x  1  25  y  1  43  z  2   16x  25 y  43z  45  - Gọi  Q  mặt phẳng chứa  d Suy  Q  có VTPT    phương với vectơ u2 , u    45;15;60   nQ   3;1;  qua điểm M  2; 2;0 nên có phương trình: d2 Q   x     y     z     3x  y  4z      P    Q  nên điểm M  x; y; z  thuộc  khi tọa độ 16x  25 y  43z  45  3x  y  4z   thỏa mãn hệ phương trình:  - 145   x  91  11t  71  Từ suy phương trình tham số :  y   5t 91   z  7t   Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: D1 : x 2 y 3 z  x 1 y  z    ; D2 :   5 2 1 Tìm phương trình tắc đường vng góc chung d D1 D2 Tìm tọa độ giao điểm H,K d với D1 , D2 Giải  x   2t  x 2 y 3 z   D1 :     y   3t ; D1 có VTCP a   2;3; 5 5  z  4  5t   x  1  3t '  x 1 y  z   D2 :     y   2t ' ; D2 có VTCP b   3; 2; 1 2 1 z   t '  H  D1  H   2t ;3  3t; 4  5t  K  D2  K  1  3t ';  2t ';  t '   HK   3  3t ' 2t ;1  2t ' 3t ;8  t ' 5t  HK đường vng góc chung nên:        HK  D1  HK  a  HK a            HK  D2  HK  b  HK b     5t ' 38t  43  t  1 2  3  3t ' 2t   1  2t ' 3t   8  t ' 5t      14t ' 5t  19  t '   3  3  3t ' 2t   1  2t ' 3t   8  t ' 5t   Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 30 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP  Vậy H  0;0;1 , K  2; 2;3 , HK   2; 2; 2 Và phương trình tắc đường vng góc chung HK là: x y z 1   2 Bài tập áp dụng Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng: x  1 t x    d1 :  y  ; d :  y   2t '  z  5  t  z   3t '   a) Chứng minh d1 d hai đường thẳng chéo b) Gọi đường vng góc chung d1 d MN  M  d1 , N  d2  Tìm tọa độ M,N viết phương trình tham số đường thẳng MN  x   4t  Đs: M  4;0; 2  , N  0;6;2  ; MN :  y  6t  z  2  4t  Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 31 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP III/ PHẦN KIẾN NGHỊ, KẾT LUẬN III.1)Kiến nghị * Đối với ban giám hiệu trường: -Thường xuyên tổ chức, triển khai chuyên đề toán học cho giáo viên học sinh -Tạo điều kiện thuận lợi thời gian cho giáo viên mở rộng kiến thức, nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ * Đối với giáo viên: quan tâm thực đến chất lượng học tập học sinh, đồng nghĩa với chăm lo cho thành dạy học III.2) Kết luận Tơi sử dụng đề tài “MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP” để dạy cho em học sinh lớp 12 trường THPT nơi công tác nhận thấy:  Khi học sinh nắm nội dung phương pháp giải tốn, em tích cực hứng thú học tập Từ khuyến khích em học sinh tư duy, tìm tòi cách giải hay cho toán khắc sâu kiến thức  Sau nắm phương pháp, học sinh không bị lệ thuộc vào cách giải nào, khơng bị tính sáng tạo học sinh Trên kinh nghiệm ỏi thân rút trình giảng dạy thơng qua số tài liệu tham khảo nên tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Vì mong nhận đóng góp ý kiến trân thành đồng nghiệp, tổ chuyên môn hội đồng xét duyệt để sáng kiến kinh nghiệm tơi hồn chỉnh áp dụng có hiệu cao q trình giảng dạy kiến thức giải tốn viết phương trình đường thẳng không gian Tôi xin chân thành cảm ơn! Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 32 SKKN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN THƯỜNG GẶP TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đồn Quỳnh (2008 tổng chủ biên), Hình học 12, NXB Giáo dục [2] Trần Văn Hạo (2008 tổng chủ biên), Sách giáo viên Hình học 12, NXB Giáo dục [3] Phan Huy Khải (2008), Trọng tâm kiến thức tập Hình học 12, NXB Giáo dục [4] Lê Quang Ánh (1997), 360 tốn chọn lọc Hình học giải tích, NXB Giáo dục [5] Phan Lưu Biên, Trần Thành Minh, Trần quang Nghĩa (2008), Giải toán câu hỏi trắc nghiệm hình học 12, NXB Giáo dục Giáo viên: Trần Thị Thu Thủy_Trường THPT Buôn Ma Thuột Trang 33 ... Trang SKKN: MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng  qua A(1;1;1) vng góc với hai đường. .. phương trình đường thẳng khơng gian nói riêng III.2) Nội dung “MỘT SỐ DẠNG TOÁN VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN THƯỜNG GẶP” A Kiến thức Trước giới thiệu dạng tốn viết phương trình đường. .. ngại học toán giải toán viết phương trình đường thẳng khơng gian Trong học em tỏ mệt mỏi, lười suy nghĩ Nếu em không nắm số dạng tốn viết phương trình đường thẳng khơng gian thường gặp làm kiểm