Nhiệt độ suy biến của dao động tử điều hòa

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA VẬT LÝ ====== NGUYỄN THỊ THU HÀ NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO DỘNG TỬ ĐIỀU HÒA Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: PGS.TS NGUYỄN THỊ HÀ LOAN ThS ĐỖ THỊ THU THỦY HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành tốt đề tài này, trƣớc tiên em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy khoa Vật lí, trƣờng Đại học sƣ phạm Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình thực đề tài Đặc biệt, em xin cảm ơn cô NGUYỄN THỊ HÀ LOAN cô ĐỖ THỊ THU THỦY tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hồn thành tốt đề tài khóa luận Mặc dù cố gắng, xong điều kiện thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đƣợc ý kiến đóng góp thầy cô bạn khoa Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hà LỜI CAM ĐOAN Khóa luận em đƣợc hồn thành dƣới hƣớng dẫn tận tình NGUYỄN THỊ HÀ LOAN cô ĐỖ THỊ THU THỦY với cố gắng thân em.Trong trình nghiên cứu thực khóa luận em có tham khảo tài liệu số tác giả ( nêu mục tài liệu tham khảo ) Em xin cam đoan kết nghiên cứu khóa luận trung thực không trùng với đề tài khác Nếu sai em chịu hoàn toàn trách nhiệm Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Nguyễn Thị Thu Hà MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Cấu trúc khóa luận NỘI DUNG CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Hàm phân bố 1.2 Nội 1.3 Nhiệt độ suy biến 10 CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 12 2.1 Biểu diễn tọa độ dao động tử 12 2.2 Biểu diễn số hạt dao động tử 17 CHƢƠNG3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƢỢNG TỬ 26 3.1 Phổ lƣợng dao động tử điều hòa 26 3.2 Nhiệt độ suy biến dao động tử lƣợng tử 27 KẾT LUẬN 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO 36 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Cùng với phát triển tri thức nhân loại, Vật lí học ngày phát triển Các đối tƣợng phạm vi nghiên cứu ngày mở rộng Và để nghiên cứu hệ nhiều hạt, ngƣời ta sử dụng phƣơng pháp vật lí thống kê Vật lí thống kê áp dụng phƣơng pháp thống kê để giải toán liên quan đến hệ chứa số lớn phần tử, có số bậc tự cao đến mức khơng thể giải xác cách theo dõi phần tử, mà phải giả thiết phần tử có tính hỗn loạn tn theo quy luật thống kê Vật lí thống kê cổ điển với hệ hạt vĩ mơ, để giải thích nhiều tính chất hệ hạt vi mô mà vật lý thống kê cổ điển chƣa giải thích đƣợc, ta áp dụng thống kê lƣợng tử Mơ hình lƣợng tử đƣợc áp dụng rộng rãi vật lý đại dao động tử Nó đƣợc coi mơ hình gần phân tử thực, nguyên tử thực hạt thực khác Các mơ hình đƣợc áp dụng cho hạt tự nhƣ cho hạt cấu thành hệ vật lý Một tính chất đặc trƣng hệ lƣợng tử nhiệt độ suy biến Tính chất gì? Và tính chất lại đƣợc nghiên cứu hệ lƣợng tử? Trong viết em muốn làm sáng tỏ vấn đề Vì vậy, em chọn đề tài “NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HỊA” để thực luận văn tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu, trình bày nhiệt độ suy biến dao động tử điều hòa Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu dao động tử điều hòa - Nghiên cứu nhiệt độ suy biến dao động tử điều hòa chất rắn Đối tƣợng nghiên cứu - Tích phân trạng thái dao động tử - Năng lƣợng trung bình dao động tử - Nhiệt độ suy biến dao động tử Phƣơng pháp nghiên cứu - Phƣơng pháp nghiên cứu vật lý thống kê - Phƣơng pháp nghiên cứu vật lý lý thuyết vật lý tốn Cấu trúc khóa luận - Đề tài “Nhiệt độ suy biến dao động tử điều hòa” có kết cấu gồm phần: mở đầu, nội dung kết luận - Phần nội dung đƣợc chia làm chƣơng: CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Hàm phân bố 1.1.1 Phân bố tắc lƣợng tử 1.1.2 Phân bố tắc lớn lƣợng tử 1.1.3 Phân bố Maxwell-Boltzmann lƣợng tử 1.2 Nội hệ 1.3 Nhiệt độ suy biến CHƢƠNG 2: DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA 2.1 Biểu diễn tọa độ dao động tử 2.2 Biểu diễn số hạt dao động tử CHƢƠNG 3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƢỢNG TỬ 3.1 Phổ lƣợng dao động tử điều hòa 3.2 Nhiệt độ suy biến dao động tử lƣợng tử 3.2.1 Nhiệt độ suy biến dao động tử điều hòa 3.2.2 Nhiệt độ suy biến chất rắn NỘI DUNG CHƢƠNG 1: NHỮNG KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1 Hàm phân bố 1.1.1 Phân bố tắc lượng tử Xét hệ đẳng nhiệt, hàm phân bố tắc cổ điển có dạng :  ( q, p )  e  H (q, p) kT (1.1)  lƣợng tự hệ Lƣợng tử hóa  ta có tốn tử thống kê :   Hˆ ˆ  e kT (1.2) Kí hiệu  n (q) hệ hàm riêng toán tử Hamilton Hˆ Ta có : Hˆ  n  E n n suy ( Hˆ ) m n  ( E n ) m n 1 n  m 0 n  m *  n (q) m (q)dq   nm   (1.3) (1.4) Khi yếu tố ma trận chéo ˆ :  nn   n* (q )ˆ  n (q )dq Sử dụng khai triển Taylor hàm mũ ta viết (1.2) dƣới dạng : (1.5)  m 1 H  ˆ  e     m 0 m! kT    kT (1.6) Thay (1.6) vào (1.5), kết hợp với (1.3), (1.4) phép biến đổi Taylor, ta đƣợc : nn  m  H    (q)e kT      n (q )dq kT  m 0 m !   * n      e    kT  m 0 m !  m kT   E   e kT    n  kT  m 0 m !    m  * n (q)( Hˆ ) m n (q)dq  * n (q ) n (q )dq   En   n  En  kT  e    e e kT  e  kT  m 0 m !  m  E kT kT Vậy hàm phân bố thống kê tắc lƣợng tử có dạng :  nn  e   En kT Điều kiện chuẩn hóa hàm phân bố thống kê tắc lƣợng tử :    nn    ( E n )  e n Đại lƣợng Z   e  En kT  kT e n  En kT  kT e Z n đƣợc gọi tổng thống kê hệ Khi ta có : n   kT ln Z Tổng thống kê lấy theo tất trạng thái Z   e  En kT Do n mức lƣợng E n suy biến bội g ( En ) tổng thống kê hệ trở thành : Z   g ( E n )e  En kT n 1.1.2 Phân bố tắc lớn lượng tử Xét hệ đẳng nhiệt có số hạt N thay đổi, hàm phân bố tắc lớn cổ điển có dạng :  ( q, p, N )  e   N  H ( q , p , N ) kT (1.7)  nhiệt động,  hóa học hạt Lƣợng tử hóa  ta có toán tử thống kê : ˆ  e   Nˆ  Hˆ kT (1.8) Vì đo đƣợc đồng thời lƣợng số hạt hệ nên toán tử Hamilton Hˆ toán tử số hạt Nˆ giao hốn với Do tốn tử Hamilton Hˆ tốn tử số hạt Nˆ có chung hệ hàm riêng Kí hiệu  nN (q) hệ hàm riêng chung tốn tử Hˆ Nˆ Ta có : Hˆ  nN  E nN nN Nˆ  nN  N nN Nˆ  nN  N nN 1 1   Hˆ   aˆ  aˆ      Nˆ    2 2   nên véctơ riêng Hˆ ứng với trị riêng E0    1 véctơ riêng Hˆ ứng với trị riêng E1  1    ,…  2 1  n véctơ riêng Hˆ ứng với trị riêng En   n    2  Vậy trạng thái dừng dao động tử điều hòa có lƣợng gián đoạn với giá trị nhau: hiệu số lƣợng hai trạng thái kề luôn lƣợng tử lƣợng  Trạng thái có lƣợng thấp E0 Trạng thái với lƣợng E0   Trạng thái với lƣợng E1    E0   ,… Nếu ta lấy gốc tính lƣợng E0 coi trạng thái không chứa lƣợng tử nào, trạng thái chứa lƣợng tử, trạng thái chứa hai lƣợng tử,… n trạng thái chứa n lƣợng tử Tốn tử Nˆ có trị riêng ngun khơng âm cách đơn vị đƣợc đoán nhận toán tử số lƣợng tử lƣợng Toán tử aˆ tác dụng lên n cho trạng thái tỷ lệ với n  đƣợc đốn nhận toán tử hủy 22  lƣợng Toán tử aˆ tác dụng lên n cho trạng thái tỷ lệ với n  đƣợc đoán nhận toán tử sinh lƣợng Nếu ta tƣởng tƣợng lƣợng tử lƣợng hạt Nˆ tốn tử số hạt, aˆ toán tử hủy hạt, aˆ  toán tử sinh hạt Khi trạng thái n với lƣợng En  n  trạng thái chứa n hạt Đó biểu diễn số hạt dao động tử điều hòa Trong Cơ học lƣợng tử trạng thái dừng dao động tử điều hòa coi tập hợp nhiều hạt, hạt có lƣợng Khái niệm “hạt” đƣa vào tiện, thực chất “giả hạt”, khái niệm quan trọng hữu hiệu nghiên cứu trạng thái kích thích Vật lý mơi trƣờng đơng đặc Cuối cùng, ta tính hệ số tỉ lệ  n ,  n ,  n hệ thức aˆ n   n n  aˆ  n   n n  n   n aˆ  n để cho véctơ trạng thái trực giao chuẩn hóa m n   mn Tứ biểu thức (2.13),(2.14) sử dụng điều kiện trực giao chuẩn hóa ta có n  n aˆ  aˆ n   n n 1 n 1  n ˆ ˆ  1 n n  n aˆ  aˆ n  n aa  n n  n   n n  n  23 Coi  n ,  n số thực, ta rút n  n n  n  Ta có aˆ  n  aˆ  n 1aˆ    aˆ  n 1   aˆ  n  aˆ    1aˆ  n  2   1aˆ  n 3aˆ    1 aˆ  n 3   1  n 1 n  n ! n Và 1 n n  n aˆ n aˆ  n   n n ! hay coi  n thực, ta rút đƣợc n  n! Tóm lại, ta thiết lập đƣợc công thức quan trọng sau Nˆ n  n n aˆ  aˆ n  n n  (n  0) aˆ  n  n  n  (n  0) n  n aˆ n! 24 (2.13) KẾT LUẬN CHƢƠNG Để nghiên cứu hệ dao động tử điều hòa, ta có hai cách biểu diễn biểu diễn tọa độ biểu diễn số hạt Trong biểu diễn số hạt, ta biết thêm khái niệm sinh huỷ hạt nhờ ta đƣa đƣợc cơng thức tính lƣợng đơn giản biểu diễn tọa độ 25 CHƢƠNG 3: NHIỆT ĐỘ SUY BIẾN CỦA HỆ DAO ĐỘNG TỬ LƢỢNG TỬ 3.1 Phổ lƣợng dao động tử điều hòa Để tìm phổ lƣợng dao động tử điều hòa, ta cần giải phƣơng trình hàm riêng, trị riêng toán tử Hamiltonian (2.11) dao động tử điều hòa: Hˆ n  En n   1   aˆ  aˆ   n  En n (3.1)  Thay (2.13) vào (3.1) ta có: 1    aˆ  aˆ   2  1  n  2  aˆ  n  En n! aˆ  n  En n! aˆ  n n! aˆ  n n! Từ ta có cơng thức xác định lƣợng dao động tử điều hòa với tần số  là:  1 En  h  n   n=0,1,2,3… 2  (3.2) Nhƣ ta thu đƣợc “kết lƣợng tử”: lƣợng dao động tử điều hòa lấy trị số gián đoạn xác định Hiệu mức lƣợng số E  h Đại lƣợng E0  h mức “không” lƣợng Năng lƣợng “không” tƣơng ứng với dao động “không” mà ta trừ bỏ đƣợc cách hạ nhiệt độ Nói khác đi, có xuất lƣợng “khơng” nên dao động tử học lƣợng tử trạng thái nghỉ 26 3.2 Nhiệt độ suy biến dao động tử lƣợng tử 3.2.1 Nhiệt độ suy biến dao động tử điều hòa Xét tổng trạng thái hệ lí tƣởng hóa cấu tạo số lớn N dao động tử Ta tìm tổng thống kê (tổng trạng thái) dao động tử hệ Từ công thức (1.7) (3.1), tổng trạng thái dao động tử đƣợc xác định   E   h    h  Z   exp  n   exp    exp  n   2kT  n 0  kT   kT  n 0 (3.3) Vế phải (3.3) có chứa cấp số nhân vô hạn giảm dần Theo cơng thức tính tổng số hạng cấp số nhân vô hạn giảm dần ta đƣợc  h   h  exp  exp    2kT  2kT    Z   h   h   exp   exp    1  kT   kT  Năng lƣợng trung bình dao động tử   E  exp  n   kT   kT Z   n 1 Z T  E  exp   n    kT  n 1 E n   Ở nhiệt độ thấp h kT trung bình  tiến tới h  hay T h  h  exp   1  kT  h  tsb (nhiệt độ suy biến) lƣợng kT h , tức lƣợng mức thấp 27 Còn nhiệt độ cao T tsb lƣợng trung bình dao động tử lớn (so với mức thấp nhất) dao động tử điều hòa bị phá vỡ Hệ đƣợc cấu tạo từ dao động tử phải thay đổi trạng thái (rắn sang lỏng, lỏng sang khí, rắn sang khí) 3.2.2 Nhiệt độ suy biến chất rắn Trong mạng tinh thể chất rắn nguyên tử tƣơng tác với nhau, chúng chuyển động nhƣ dao động tử liên kết Mỗi nguyên tử có bậc tự do, tập hợp N nguyên tử vật rắn tập hợp 3N dao động tử điều hòa lƣợng tử liên kết, với 3N tần số khác nhau, kể từ tần số tần số cực đại D Chuyển động dao động tập thể nguyên tử liên kết tạo thành sóng âm, tức sóng đàn hồi vật rắn Sóng âm vật rắn gồm hai loại: sóng dọc sóng ngang Ta ký hiệu vận tốc truyền sóng dọc Ce , vận tốc truyền sóng ngang Ct Hệ 3N dao động tử điều hòa liên kết đƣợc thay tập hợp 3N dao động chuẩn Nếu vận tốc truyền sóng C, tần số  khoảng ,   d  số lƣợng dao động chuẩn đƣợc xác định theo công thức V2 dN     ( )  d 2 C Do sóng âm vật rắn bao gồm sóng ngang sóng dọc với vận tốc truyền khác nhau; mặt khác sóng ngang lại có khả phân cực nên ta tính số dao động chuẩn khoảng  ,   d  theo công thức: 28 dN    V2      d 2  Ce3 Ct3  dN    3V  d 2 2C (3.4) với  3 3 C Ce Ct Đại lƣợng C có thứ nguyên nhƣ vận tốc truyền sóng Hệ 3N dao động chuẩn có tần số khác nhau, kể từ đến tần số cực đại D Giá trị D đƣợc xác định từ điều kiện:  D dN    3V D  d   3N 2 2C 0 Sau lấy đƣợc tích phân ta đƣợc:   D  C  6 N  V  (3.5) Tần số D gọi tần số Debye, phụ thuộc vào vận tốc truyền sóng âm vật rắn mật độ ngun tử mơi trƣờng Trên sở (3.4) ta viết đƣợc (3.5) dƣới dạng: dN    9N D3 29  d (3.6) Mỗi dao động chuẩn dao động điều hòa lƣợng tử, lƣợng trung bình dao động chuẩn        e  kT (3.7) 1 Năng lƣợng trung bình hệ dao động chuẩn đƣợc tính theo cơng thức: D E      dN   thay biểu thức (3.6),(3.7) vào vế phải công thức ta đƣợc E D 9N    dN    2D2  D  d  9N D2 D 3   d (3.8) e kT  Số hạng thứ (3.8) không phụ thuộc vào T, nên nhiệt dung CV đƣợc tính nhƣ sau E N  CV   T D t  3 D  e kT d 1 Từ ta có  CV  Đặt  kT Nk D3  D      d   kT   1  e kT  kT e   x , ta viết 30  kT  CV  3Nk    D  Đại lƣợng TD   k  kT  x 4e x   ex 1 dx đƣợc gọi nhiệt độ Debye Với kí hiệu ta viết lại biểu thức nhiệt dung nhƣ sau: T  CV  3Nk    TD  TD T  x 4e x   ex 1 dx Ngƣời ta thƣờng viết biểu thức nhiệt dung vật rắn dƣới dạng ngắn gọn: T  CV  3NkD  D  T  D hàm Debye đƣợc xác định nhƣ sau: D       x 4e x  e 1 x dx (3.9) Đối với mol ta có: T  CV mol  3RD  D  T  (3.10) Kết cho ta thấy nhiệt dung mạng tinh thể chất rắn phụ thuộc vào nhiệt độ nhƣ nào, ta xét trƣờng hợp Xét vùng nhiệt độ cao T >>TD 31 Với điều kiện có giá trị nhỏ Ta khảo sát hàm Debye biến số  nhỏ Theo định nghĩa hàm Debye, ta có: D    Nếu  nhỏ ta lấy gần đúng:  D    x  x 4e x  0  e x  12 ex e   1  dx 1 x  x2 x   x dx  Dựa vào kết biểu thức (3.10) xác định (CV)mol ta có: (CV)mol =3R (khi T>>TD) Điều nghĩa vùng nhiệt độ cao, lý thuyết Debye phù hợp với định luật Dulong-Petit Xét vùng nhiệt độ thấp T