GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG

Bài toán Dân cư Giả sử rằng dân số của một thủ đô lớn tương đối cố định, tuy nhiên, mỗi năm 6% người rời khỏi thành phố về ngoại ô và 2% người rời khỏi ngoại ô về thành phố. Nếu ban đầu 30% dân số sống ở thành phố và 70% dân số sống ở ngoại ô, thì sau rất nhiều năm tỉ lệ dân số sống ở thành phố và tỉ lệ dân số sống ở ngoại ô có ổn định (tương đối) không?

Chương GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG _ 5.1 KHÁI NIỆM VECTƠ Ơ RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG Bài toán Dân cư Giả sử dân số thủ đô lớn tương đối cố định, nhiên, năm 6% người rời khỏi thành phố ngoại ô 2% người rời khỏi ngoại ô thành phố Nếu ban đầu 30% dân số sống thành phố 70% dân số sống ngoại ơ, sau nhiều năm tỉ lệ dân số sống thành phố tỉ lệ dân số sống ngoại có ổn định (tương đối) khơng? Giải Nếu năm thứ n-1 có a % dân số sống thành phố (1-a)% dân số sống ngoại ơ, năm thứ n tỉ lệ dân số sống thành phố 0.94a + 0.02(1-a), tỉ lệ dân số sống ngoại ô 0.06a + 0.98(1-a) Ta thấy  0.94a + 0.02(1 − a )  0.94 0.02  a    =      0.06a + 0.98(1 − a )  0.06 0.98 1 − a  Đặt 0.94 0.02 A=   0.06 0.98 xk vectơ có thành phần thứ tỉ lệ dân số sống thành phố thành phần thứ hai tỉ lệ dân số sống ngoại năm thứ k Vì  a   0.94a + 0.02(1 − a )   , xn =   , xn-1 =  1 − a   0.06a + 0.98(1 − a )  nên đẳng thức viết lại xn = Axn-1 Trong năm x1 = (0.30, 0.70), nên x2 = Ax1, x3 = Ax2 = A2x1, x4 = Ax3 = A3x1, , xn = n-1 A x1 Như vậy, muốn tìm xn cần tính An-1x1 Việc khơng dễ, nói chung khó mà tính trực tiếp An-1 Ta chọn hai vectơ v1=(1, 3) v2=(-1, 1) mà tích A với chúng vectơ tỷ lệ tương ứng Av1 = v1, Av2 = 0.92v2 Dễ thấy An-1v1 = v1, An -1v2 = (0.92)n -1v2 Biểu diễn x1 theo v1=(1, 3) v2 x1 = 0.25v1 - 0.05v2 xn = An-1x1 = An-1(0.25v1 - 0.05v2) = 0.25An-1v1 - 0.05An-1v2 = 0.25v1 - 0.05(0.92)n-1v2 Sau nhiều năm (n đủ lớn) 0.05(0.92)n-1 ≈ 0, nên xn ≈ 0.25v1= (0.25, 0.75), hay tỉ lệ dân số sống thành phố tỉ lệ dân số sống ngoại ô ổn định ☺ Bài toán thuộc loại toán cân trạng thái, gặp nhiều tự nhiên Việc giải toán loại liên quan tới khái niệm vectơ riêng giá trị riêng Định nghĩa Cho A ma trận n×n Một vơ hướng λ gọi giá trị riêng A tồn vectơ v khác vectơ-không cho Av = λv Vectơ v gọi vectơ riêng A ứng với λ Trong toán v1=(1, 3) vectơ riêng ứng với giá trị riêng 1, v2=(-1, 1) vectơ riêng ứng với giá trị riêng 0.92 Phương pháp tìm giá trị riêng vectơ riêng Định lý 5.1.1 Cho A ma trận n×n (i) Vơ hướng λ giá trị riêng A λ nghiệm phương trình det(A-tI) = (tức det(A-λI) = 0) (ii) v vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ v nghiệm không tầm thường hệ (A-λI)x = Chứng minh Av = λv viết dạng (A-λI)v = Do đó, λ giá trị riêng A tồn vectơ v khác vectơ- không cho (A-λI)v = 0, hay hệ (A-λI)x = có nghiệm khơng tầm thường Theo Định lý 4.4.1 hệ (A-λI)x = có nghiệm khơng tầm thường r(A-λI) < n, hay det(A-λI) = Như vậy, (i) chứng minh xong Còn (ii) hiển nhiên ☺ Nhận xét Nếu A = (aij) ma trận n×n, a11 − t a12 a 21 a 22 − t det(A - tI) = a n1 an2 a1n a2n a nn − t đa thức bậc n với biến t Đa thức gọi đa thức đặc trưng phương trình det(A-tI) = gọi phương trình đặc trưng ma trận A Nói chung, R ta khơng biết phương trình đặc trưng có nghiệm khơng, có khơng biết tìm cách Trong 5.3 ta xây dựng tập số rộng R để đảm bảo cho phương trình đặc trưng ma trận với phần tử thực có nghiệm tập số Định lý 5.1.1 cho ta Phương pháp tìm giá trị riêng vectơ riêng sau: Bước Tính đa thức đặc trưng det(A-tI) Bước Giải phương trình đặc trưng det(A-tI) = để tìm giá trị riêng Bước Giả sử λ giá trị riêng Ta giải hệ tuyến tính với ma trận hệ số A-λI (a11 − λ) x1 + a12 x + + a1n x n = a 21 x1 + (a 22 − λ) x + + a n x n = a n1 x1 + a n x + + (a nn − λ) x n = Nếu v = (c1, c2, , cn) nghiệm không tầm thường hệ v vectơ riêng ứng với giá trị riêng λ Trong phương pháp này, Bước khó Ví dụ Tìm giá trị riêng thực vectơ riêng thuộc R2 ma trận 0.94 0.02 A=   0.06 0.98 Giải 0.94 − t 0.02 = t2 - 1.92t + 0.92 0.06 0.98 − t det(A-tI) = có hai nghiệm λ1= λ2 = 0.92 Đây hai giá trị riêng A Với λ1= 1, hệ (A-λ1I)x = -0.06x1 + 0.02x2 = 0.06x1 - 0.02x2 = Hệ có nghiệm khơng tầm thường x = t(1, 3) với t∈R\{0} Đây vectơ riêng ứng với λ1 Với λ1= 0.92, hệ (A-λ2I)x = 0.02x1 + 0.02x2 = 0.06x1 + 0.06x2 = Hệ có nghiệm khơng tầm thường x = t(-1, 1) với t∈R\{0} Đây vectơ riêng ứng với λ2.☺ det(A - tI) = Chú ý 1) Từ khẳng định (i) Định lý 5.1.1 suy ra: A có giá trị riêng detA = 2) Ứng với giá trị riêng có vơ số vectơ riêng khác det(A-λI) = kéo theo hệ (A-λI)x = có r(A-λI) < số ẩn (xem Định lý 4.4.1) 3) Một vectơ riêng ứng với giá trị riêng Thật vậy, giả sử ma trận A có vectơ riêng v đồng thời ứng với giá trị riêng λ1 λ2 Từ Av = λ1v Av = λ2v suy (λ1- λ2)v = Do v ≠ 0, nên λ1- λ2 = 0, hay λ1= λ2 Cho đa thức f(x) = b0 + b1x + b2x2 + ⋅⋅⋅ + bmxm Với ma trận vuông A bất kỳ, ta xác định ma trận f(A) b0I + b1A + b2A2 + ⋅⋅⋅ + bmAm Định lý 5.1.2 Cho ma trận A cỡ n×n đa thức f(x) = b0 + b1x + b2x2 + ⋅⋅⋅ + bmxm Giả sử v vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ (i) Nếu A khả nghịch v vectơ riêng A-1 ứng với giá trị riêng λ-1 (ii) v vectơ riêng ma trận f(A) ứng với giá trị riêng f(λ) Chứng minh Nếu A khả nghịch, det(A-0I) = detA ≠ 0, nên λ ≠ Suy tồn λ-1 Nhân hai vế Av = λv với λ-1 A-1 ta có λ-1v = A-1v Theo định nghĩa, suy (i) Với k số nguyên dương, Akv = Ak-1(Av) = Ak-1(λv) = λAk-1v = λAk-2(Av) = λAk-2(λv) = λ2Ak-2v = = λk-1Av = λkv Do đó, f(A)v = (b0I + b1A + b2A2 + ⋅⋅⋅ + bmAm)v = b0v + b1(λv) + b2(λ2v) + ⋅⋅⋅ + bm(λmv) = (b0 + b1λ + b2λ2 + ⋅⋅⋅ + bmλm)v = f(λ)v Theo định nghĩa, suy (ii) ☺ Định nghĩa Số λ gọi nghiệm bội cấp k (k nguyên dương) đa thức p(t), p(t) chia hết cho (t - λ)k, p(t) không chia hết cho (t - λ)k+1 Khi k = 1, thường gọi λ nghiệm đơn Khi k = 2, thường gọi λ nghiệm kép Khi nói đa thức bậc n có n nghiệm ta khơng hiểu nhầm nghiệm đôi khác nhau, mà phải hiểu nghiệm kể số bội Chẳng hạn nói p(t) = (t - 2)3(t -1) có bốn nghiệm, ta phải hiểu nghiệm 2, 2, 2, Như vậy, nói ma trận n×n có n giá trị riêng, ta phải hiểu n nghiệm đa thức đặc trưng tương ứng kể số bội Do việc tìm giá trị riêng ma trận không đơn giản, nên phải tìm cách gián tiếp nhận biết thơng tin chúng Định lý 5.1.3 Nếu A = (aij) ma trận n×n có n giá trị riêng λ1, λ2, , λn, λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λn = a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + ann (Tổng gọi vết A ký hiệu tr(A)) λ1λ2⋅⋅⋅λn = detA Chứng minh Từ Công thức quan trọng suy det(A - tI) có hạng tử chứa tn tn-1 (a11 - t)(a22 - t)⋅⋅⋅(ann - t), hạng tử lại chứa lũy thừa t với bậc không vượt n-2 Khai triển hạng tử ta thấy hệ số tn (-1)n, hệ số tn-1 (-1)n-1(a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + ann) Vì det(A - tI) = (-1)ntn + (-1)n-1(a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + ann)tn-1 + ⋅⋅⋅ Mặt khác, λ1, λ2, ,λn nghiệm đa thức bậc n det(A - tI) với hệ số trước tn (-1)n nên det(A - tI) = (-1)n(t - λ1)(t - λ2)⋅⋅⋅(t - λn) = (-1)ntn + (-1)n-1(λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λn)tn-1 + ⋅⋅⋅ Do (-1)ntn + (-1)n-1(a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + ann)tn-1 + ⋅⋅⋅ = (-1)ntn + (-1)n-1(λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λn)tn-1 + ⋅⋅⋅ So sánh hai vế ta có λ1 + λ2 + ⋅⋅⋅ + λn = a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + ann Trong đẳng thức det(A - tI) = (-1)n(t - λ1)(t - λ2)⋅⋅⋅(t - λn), cho t = ta có detA = (-1)n(- λ1)(- λ2)⋅⋅⋅(- λn) = λ1λ2⋅⋅⋅λn ☺ Ví dụ Ma trận a b  A=   c d  có đa thức đặc trưng a−t b = t2 -(a+d)t + ad - bc = t2 - tr(A)t + detA c d −t Từ suy detA < A có hai giá trị riêng trái dấu det(A - tI) = Ví dụ Cho ma trận 0.94 0.02 A=   0.06 0.98 Tính định thức A2008 - A + 2I Giải Với f(x) = x2008 - x + 2, ta có f(A) = A2008 - A + 2I Do A có hai giá trị riêng λ1= λ2 = 0.92 nên theo Định lý 5.1.2 f(A) có hai giá trị riêng f(1) = f(0.92) = 0.922008 + 1.08 Do Định lý 5.1.2 det(A2008 - A + 2I) = f(1)f(0.92) = 2(0.922008 + 1.08) ☺ 5.2 CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN Trong phần ta xét vấn đề phân tích ma trận A cỡ n×n thành tích có dạng SΛS-1, Λ ma trận đường chéo Ta quan tâm đến vấn đề A = SΛS-1 dễ tính lũy thừa với cấp Ta ký hiệu ma trận đường chéo λ1    λ2  Λ=      λn   diag(λ1, , λn) Định nghĩa Một ma trận vuông A nói chéo hóa tồn ma trận S khả nghịch ma trận đường chéo Λ cho S-1AS = Λ Định lý 5.2.1 Một ma trận A cỡ n×n chéo hóa A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính Chứng minh Giả sử A có n vectơ riêng độc lập tuyến tính v1, v2, ,vn ứng với giá trị riêng λ1, λ2, , λn (một số λj trùng nhau) Ký hiệu S ma trận mà cột thứ j vj (j = 1, , n) Ký hiệu Λ = diag(λ1, , λn) Theo quy tắc nhân ma trận λ1    λ2   = SΛ AS = A[v1 v2 vn] = [Av1 Av2 Avn] = [λ1v1 λ2v2 λnvn] = [v1 v2 vn]     λn   Vì v1, v2, ,vn độc lập tuyến tính, nên r(S) = n (Xem Định lý 4.6.2) Theo Định lý 4.3.1, detS ≠ Suy tồn S-1 Như vậy, S-1AS = Λ Ngược lại, giả sử A chéo hóa được, tức tồn ma trận khả nghịch S ma trận đường chéo Λ = diag(λ1, , λn) cho S-1AS = Λ hay AS = SΛ Nếu v1, v2, ,vn vectơ cột S, theo quy tắc nhân ma trận AS = [Av1 Av2 Avn], SΛ = [λ1v1 λ2v2 λnvn] Vì AS = SΛ nên Avj = λjvj Như vậy, A có n vectơ riêng v1, v2, ,vn S khả nghịch nên detS ≠ Theo Định lý 4.3.1, r(S) = n Suy v1, v2, ,vn độc lập tuyến tính (Xem Định lý 4.6.2) ☺ Ví dụ Xét xem ma trận sau có chéo hóa khơng 1 − 1 A=   1 − 1 Giải det(A - tI) = t2 nên A có giá trị riêng λ1 = λ2 = Hệ (A - 0I)x = x1 - x = x1 - x2 = Hệ có nghiệm tổng quát t(1, 1) với t∈R, nên hai vectơ riêng A phương Suy chúng phụ thuộc tuyến tính Do A khơng chéo hóa ☺ Sau điều kiện đủ để vectơ riêng ma trận độc lập tuyến tính Định lý 5.2.2 Nếu v1, ,vk vectơ riêng ma trận A cỡ n×n ứng với giá trị riêng đơi khác λ1, , λk, v1, ,vk độc lập tuyến tính Chứng minh Ta chứng minh quy nạp theo k Với k = 1, vectơ riêng v1 ≠ 0, nên v1 độc lập tuyến tính Giả sử quy nạp định lý chứng minh cho trường hợp gồm k - vectơ Giả sử x1v1 + ⋅⋅⋅ + xkvk = Nhân A vào hai vế đẳng thức, ta nhận x1Av1 + ⋅⋅⋅ + xkAvk = x1λ1v1 + ⋅⋅⋅ + xkλkvk = Lấy đẳng thức thứ hai trừ λk lần đẳng thức thứ nhất, ta có x1(λ1-λk)v1 + ⋅⋅⋅ + xk-1(λk-1-λk)vk-1 = Theo giả thiết quy nạp, v1, ,vk-1 độc lập tuyến tính, x1(λ1-λk) = ⋅⋅⋅ = xk-1(λk-1-λk)vk-1 = Từ đó, λi - λk ≠ (i = 1, , k - 1), nên x1 = ⋅⋅⋅ = xk-1 = Thay giá trị vào đẳng thức đầu tiên, ta thu xkvk = Vì vectơ riêng vk ≠ 0, nên xk = Tóm lại, x1 = ⋅⋅⋅ = xk-1 = xk = Điều chứng tỏ v1, ,vk độc lập tuyến tính ☺ Hệ 5.2.3 Nếu A ma trận n×n có n giá trị riêng đôi khác λ1, , λn, A chéo hóa Nói rõ hơn, S ma trận có cột j vectơ riêng vj ứng với giá trị riêng λj (j = 1, , n), S khả nghịch S-1AS = diag(λ1, , λn) Chứng minh Do n giá trị riêng λ1, , λn đôi khác nên n vectơ riêng v1, v2, ,vn độc lập tuyến tính Vì theo Định lý 5.2.1 ta có điều phải chứng minh ☺ Chú ý 1) Nếu A ma trận n×n S ma trận khả nghịch cho S-1AS ma trận Λ= diag(λ1, , λn), vectơ cột j S vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λj Ta gọi S ma trận vectơ riêng, Λ ma trận giá trị riêng A Vì Λm = (S-1AS)m = (S-1AS)(S-1AS)(S-1AS)⋅⋅⋅(S-1AS) = S-1A(SS-1)A(SS-1)A⋅⋅⋅ AS = S-1AmS, nên S ma trận vectơ riêng, Λm ma trận giá trị riêng Am 2) Ma trận vectơ riêng S không ứng với giá trị riêng có vơ hạn vectơ riêng, ngồi đổi chỗ cột S ta lại ma trận vectơ riêng 3) Nếu A ma trận n×n có n giá trị riêng khơng đơi khác nhau, A chéo hóa hay khơng tùy thuộc vào có n vectơ riêng độc lập tuyến tính hay khơng 4) Nếu A chéo hóa (S-1AS = Λ ma trận đường chéo), A phân tích thành tích SΛS-1 Ứng dụng giá trị riêng vectơ vào tính lũy thừa ma trận Dễ thấy Λ = diag(λ1, , λn) Λm = diag(λ1m, , λnm) Nếu A = SΛS-1, Am = -1 (SΛS )(SΛS-1)(SΛS-1)⋅⋅⋅(SΛS-1) = SΛ(S-1S)Λ(S-1S)Λ⋅⋅⋅ ΛS-1 = SΛmS-1 Chẳng hạn, tính lũy thừa 0.94 0.02 A=   0.06 0.98 A có hai giá trị riêng khác λ1= λ2 = 0.92, nên A chéo hóa Ta chọn v1 = (1, 3) vectơ riêng ứng với λ1, v2 = (-1, 1) vectơ riêng ứng với λ2  1 1 − 1 Λ=  - ma trận giá trị riêng, S =    - ma trận vectơ riêng 0 0.92 3    1 0.94 0.02 1 − 1 1 S-1AS =  =  = Λ      − 1 0.06 0.98 3  0 0.92 Từ suy A = SΛS-1 Do  -1 1 Am = SΛmS-1 = S  S ☺ n 0 0.92  Ứng dụng giá trị riêng vectơ vào tìm số hạng tổng quát dãy số Dãy Fibonacci (un): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, xác định sau u1 = u2 =  un = un −1 + un − (n ≥ 3) Ta muốn tìm cơng thức tính trực tiếp số hạng dãy Đặt = (un+1, un) (n∈N*) Ta thấy u  u + un −1  1 1  un  1 1 =  n +1  =  n  = 1 0 u  = 1 0 vn-1   n −1     un  un   Ký hiệu 1 1 A=  , 1 0 = Avn-1 Thay n n-1, ta vn-1 = Avn-2 Suy = A2vn-2 Tiếp tục lặp lại nhiều lần, cuối ta có = An-1v1 với v1 = (1, 1) Nếu ta thêm vào vectơ v0 = (1, 0) v1 = Av0, nên = Anv0 Đa thức đặc trưng det(A - tI) = t2 - t - có hai nghiệm phân biệt λ1 = 1+ 1− ≈ 1.618 λ2 = ≈ -0.618 2 Từ hệ   x  0 1 − λ i = ta có vectơ riêng ứng với λi xi =  − λ i   y  0  Ta phân tích v0 theo x1 x2 ta có 1  λ1  λ     −   = (x1 - x2) v0 =   =   λ1 − λ       0 λ i  1   Vì Anxi = λni xi nên n +1 n +1 un +1  1 n   λ1  λ   n n n n = v = A v = (A x A x ) = ( x x ) = λ λ − n 2     u  5   λn1   λn2    n  Từ ta suy n n un = ( λ1 - λ ) ☺ Dãy Fibonacci dãy số kỳ lạ Nó liên quan đến nhiều vấn đề toán học, vật lý, kiến trúc, hội họa, âm nhạc, tự nhiên Chẳng hạn như: * lim (un+1/un) = λ1 ≈ 1.618 Người Hy Lạp gọi λ1 "tỉ lệ vàng" kiến trúc hình có tỉ lệ chiều dài chiều rộng ≈ 1.618 trông đẹp cân đối Điện Parthenon thành Athens có tỉ số chiều cao chiều dài tỉ số vàng! * Số cánh hoa hầu hết hoa số dãy Fibonacci Hoa loa kèn cánh, hoa mao lương vàng cánh, hoa phi yến cánh, hoa cúc vạn thọ 13 cánh, hoa cúc tây 21 cánh, hoa cúc thường có 34 55, 89 cánh Hoa mao lương vàng 5.3 GIỚI THIỆU VỀ SỐ PHỨC Phương trình đặc trưng ma trận với phần tử thực phương trình đại số với hệ số thực Ta biết phương trình đại số vơ nghiệm R R khơng có bậc chẵn số âm Việc cho không khai số âm lúc hợp lý Chẳng hạn, người nợ mảnh đất hình vng rộng 100 m2 Nếu gọi x kích thước hình vng, ta có phương trình x2 = -100 Mảnh đất tồn nên -100 phải khai Để tìm cách khai số âm, trước hết ta nhìn lại trình hình thành tập số Z, Q, R Trừ tập số N, ba tập số đời nhu cầu tìm nghiệm phương trình đại số x +1 = vô nghiệm N Bổ sung thêm số âm vào N ta Z x + = có nghiệm Z 2x +1 = vô nghiệm Z Bổ sung thêm số dạng p/q (p q nguyên, q ≠ 0) vào Z ta Q 2x + = có nghiệm Q x2 - = vô nghiệm Q Bổ sung thêm số dạng a (a ∈Q a không âm) vào Q ta R x2 - = có nghiệm R Cũng vậy, x2 + = khơng có nghiệm R, nên muốn có nghiệm ta phải bổ sung thêm số vào R Ta ký hiệu i nghiệm x2 + = tập số Ta có i2 = -1 Ghép thêm i vào R, ta xét tập hợp gồm tất tổng có dạng a + bi với a b số thực Định nghĩa Nếu a b hai số thực bất kỳ, a + bi gọi số phức Số a gọi phần thực a + bi ký hiệu Re(a + bi) Số b gọi phần ảo a + bi ký hiệu Im(a + bi) Ký hiệu C tập hợp tất số phức Định nghĩa Hai số phức a + bi c + di gọi a = c b = d Ta định nghĩa hai phép toán số phức sau Phép toán cộng: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Phép toán nhân: (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i Trên C hai phép tốn có tính chất tương tự tính chất phép cộng phép nhân R: * Giao hoán, kết hợp, phân phối * Số + 0i thỏa điều kiện (a + bi) + (0 + 0i) = a + bi Như vậy, + 0i đóng vai trò "số khơng" C * (c + di) + ((-c) + (-d)i) = + 0i Gọi (-c) + (-d)i số đối c + di, viết gọn -c - di * Số + 0i thỏa điều kiện (a + bi)(1 + 0i) = a + bi Như vậy, + 0i đóng vai trò "số một" C −d   c * Nếu c + di ≠ + 0i (hay c2 + d2 ≠ 0), (c + di)  + i  = + 0i Như vậy, c + d2  c +d số phức khác + 0i có nghịch đảo Tương tự số thực, ta định nghĩa phép toán trừ qua phép toán cộng phép toán chia qua phép toán nhân: Phép toán trừ: (a + bi) - (c + di) = (a + bi) + (-c - di) = (a - c) + (b - d)i Phép toán chia: Nếu c + di ≠ + 0i, a + bi −d  ac + bd bc − ad  c = (a + bi)  + i + i = 2  c + di c + d c2 + d c +d  c +d Khi thực phép toán số phức có phần ảo 0, ta thấy (a + 0i) + (c + 0i) = (a + c) + 0i (a + 0i) - (c + 0i) = (a - c) + 0i (a + 0i)(c + 0i) = ac + 0i a + 0i a = + 0i (nếu c ≠ 0) c + 0i c Như cộng, trừ, nhân, chia số phức có dạng túy thực cộng, trừ, nhân, chia phần thực, phần ảo Do số phức có phần ảo ta không quan tâm đến phần ảo đồng với phần thực: a + 0i = a Vì R ⊂ C Tuy nhiên C ta không xét quan hệ lớn hay nhỏ Nếu số thực a < 0, (± − )2 = ( − a )2i2 = -a(-1) = a Do C ta khai số âm Vì phương trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm C Chúng ta có khẳng định tổng quát hơn, Định lý đại số Mọi đa thức bậc n > với hệ số phức có n nghiệm phức Vì số thực số phức, nên từ định lý ta suy ra: Mọi đa thức bậc n > với hệ số thực có n nghiệm phức Ví dụ Giải phương trình x2 + x + = Giải ∆ = -3 bậc -3 ± 3i Theo cơng thức lấy nghiệm phương trình bậc 2, ta có nghiệm − − 3i − + 3i 2 Chú ý Bây ta làm việc với ma trận với phần tử phức Đặc biệt, ta làm việc với tập Cn gồm vectơ cột (x1, x2, , xn) với xi ∈C Những định nghĩa định lý ta phát biểu ma trận với phần tử thực khơng gian Rn chuyển sang cho ma trận với phần tử phức Cn Ví dụ Tìm giá trị riêng phức vectơ riêng thuộc Cn ma trận  1 A=    − 0 Giải Đa thức đặc trưng A −x = x2 + −1 − x Đa thức có nghiệm λ1 = -i λ2 = i Với λ1= -i, hệ (A-λ1I)x = ix1 + x2 = -x1 + ix2 = Hệ có nghiệm không tầm thường x = t(i, 1) với t ∈C\{0} Đây vectơ riêng ứng với λ1 Với λ1= i, hệ (A-λ2I)x = -ix1 + x2 = -x1 - ix2 = Hệ có nghiệm không tầm thường x = t(i, -1) với t ∈C\{0} Đây vectơ riêng ứng với λ2.☺ NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN Định nghĩa giá trị riêng vectơ riêng Phương pháp tìm giá trị riêng vectơ riêng Định nghĩa ma trận chéo hóa được, ma trận vectơ riêng, ma trận giá trị riêng Những điều kiện để ma trận chéo hóa Tập số phức C phép toán C Định lý đại số  ... giá trị riêng A tồn vectơ v khác vectơ- không cho Av = λv Vectơ v gọi vectơ riêng A ứng với λ Trong toán v1=(1, 3) vectơ riêng ứng với giá trị riêng 1, v2=(-1, 1) vectơ riêng ứng với giá trị riêng. .. ⋅⋅⋅ + bmxm Giả sử v vectơ riêng A ứng với giá trị riêng λ (i) Nếu A khả nghịch v vectơ riêng A-1 ứng với giá trị riêng λ-1 (ii) v vectơ riêng ma trận f(A) ứng với giá trị riêng f(λ) Chứng minh... trận vectơ riêng, Λm ma trận giá trị riêng Am 2) Ma trận vectơ riêng S không ứng với giá trị riêng có vơ hạn vectơ riêng, ngồi đổi chỗ cột S ta lại ma trận vectơ riêng 3) Nếu A ma trận n×n có n giá