Giá trị riêng và vecto riêng

- Khái niệm, phương pháp tìm giá trị riêng và vecto riêng của một ma trận. + Ứng với một giá trị riêng có vô số vectơ riêng khác nhau. + Một vectơ riêng chỉ ứng với duy nhất một giá trị riêng. - Chéo hóa một ma trận. - Lũy thừa của ma trận.

$ 7 GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VECTƠ RIÊNG

7.1 ¡ KHÁI NIỆM VECTƠ RIÊNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG

ĐỊNH NGHĨA 7.1.1 Cho A là một ma trận n ×n Nếu tồn

tại vô hướng λ và vectơ v ≠ 0

sao cho Av = λv thì λ được gọi

là một giá trị riêngcủa A, vectơ

v được gọi là một vectơ riêng

của A ứng với λ

Phương pháp tìm giá trị riêng và vectơ riêng của A: Bước 1 Giải p.t đặc trưng det(A - λI) = 0, tìm các giá trị riêng λ1, λ2,

Bước 2 Giải hệ (A-λi I)x =0 Nghiệm không tầm thường

x = xi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng λi

VD7.1.1 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của A = 2 1

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

Chú ý

VD7.1.2 Tìm giá trị riêng phức và vectơ riêng thuộc Cn

của ma trận

A =

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡

− 1 0

1 0

Chú ý:

1) Ứng với một giá trị riêng có vô số vectơ riêng khác nhau

2) Một vectơ riêng chỉ ứng với duy nhất một giá trị riêng

Định lý 7.1.1 Cho f(x) = b0 + b1x + ⋅⋅⋅ + b m x m và ma trận A

cỡ n × n có vectơ riêng v ứng với giá trị riêng λ

(i) Nếu A khả nghịch thì A-1 có vectơ riêng v ứng với giá

trị riêng λ-1

(ii) Ma trận f(A) có vectơ riêng v ứng với giá trị riêng f(λ)

VD7.1.3 Tìm giá trị riêng và vectơ riêng của A10 - 3A + 2I

nếu A = 2 1

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

Định lý 7.1.2 Nếu A = (a ij ) là ma trận n ×n có n giá trị riêng

λ 1 , λ 2 , , λn, thì

λ 1 + λ 2 + ⋅⋅⋅ + λn = a11 + a22 + ⋅⋅⋅ + a nn

= tr(A) ( gọi là vết của A)

λ 1 λ 2 ⋅⋅⋅λn = detA

VD7.1.4 Tính định thức của A10 - 3A + 2I nếu

A = 2 1

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

7.2 ¡ CHÉO HÓA MỘT MA TRẬN

Ký hiệu ma trận đường chéo

Λ =

λ1

λ2

!

λn

⎡

⎣

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥ = diag(λ1, , λn)

Định nghĩa 7.2.1 Một ma trận vuông A được nói là

chéo hóa được nếu tồn tại ma trận S khả nghịch và ma trận đường chéo Λ sao cho S-1A S = Λ

VD7.2.1 Xét xem ma trận sau có chéo hóa được không

a) A = 1 1

2 2

⎡

⎣

⎦

⎥ b) B = ⎡ 1 1 −1 −1

⎣

⎦

⎥ c) C = ⎡ 2 1 0 2

⎣

⎦

⎥

n giá trị riêng

λ1, ,λn đôi

một khác

nhau

n vectơ riêng

v1, ,v n độc lập tuyến tính

An×n chéo hóa được

Chú ý

1) Λ = diag(λ1, , λn) là ma trận giá trị riêng ,

S =[ v1, ,v n] là ma trận vectơ riêng,

2) Ma trận vectơ riêng S không duy nhất

3) Nếu S-1A S = Λ, thì A = SΛS-1

ỨNG DỤNG: TÍNH LŨY THỪA CỦA MỘT MA TRẬN

VD7.2.2 Tính A10 biết rằng A = 1 2

⎡

⎣

⎢

⎢

⎤

⎦

⎥

⎥

Nếu S-1AS = Λ thì S-1A m S =Λm

Khi đó A m = S Λm S-1

NHỮNG Ý CHÍNH

1 Giá trị riêng và vectơ riêng của một ma trận

2 Ma trận chéo hóa được

&