KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ KHÔNG GIAN CON

Các phép toán cộng và nhân với vô hướng đã được sử dụng trong nhiều bộ môn khác nhau của toán học: Trong hình học có phép cộng hai vectơ hình học và phép nhân một vectơ hình học với một vô hướng. Trong lý thuyết ma trận có phép cộng hai ma trận và phép nhân một ma trận với một vô hướng. Trong giải tích có phép cộng hai hàm số và phép nhân một hàm số với một vô hướng ... Tuy nhiên, dù trong bộ môn nào thì những phép toán này cũng tuân theo một tập hợp như nhau các luật số học. Chẳng hạn như trong hình học, hai phép toán vectơ trên tập vectơ hình học V tuân theo các luật số học sau đây: V1. v + u = u + v đối với mọi v, u trong V (luật giao hoán) V2. v + (u + w) = (v + u) + w đối với mọi v, u, w trong V (luật kết hợp) V3. Tồn tại phần tử 0 trong V sao cho v + 0 = v đối với mọi v trong V V4. Đối với mỗi v trong V tồn tại phần tử v trong V sao cho v + (v) = 0 V5. 1v = v đối với mọi v trong V V6. (ab)v = a(bv) đối với mọi số thực a, b và mọi v trong V (luật kết hợp) V7. a(v + u) = av + au đối với mọi số thực a và mọi v, u trong V (luật phân phối phải) V8. (a + b)v = av + bv đối với mọi số thực a, b và mọi v trong V (luật phân phối trái)

Chương KHÔNG GIAN VECTƠ VÀ KHÔNG GIAN CON _ 4.1 KHÔNG GIAN VECTƠ Các phép tốn cộng nhân với vơ hướng sử dụng nhiều môn khác tốn học: Trong hình học có phép cộng hai vectơ hình học phép nhân vectơ hình học với vơ hướng Trong lý thuyết ma trận có phép cộng hai ma trận phép nhân ma trận với vơ hướng Trong giải tích có phép cộng hai hàm số phép nhân hàm số với vô hướng Tuy nhiên, dù môn phép tốn tn theo tập hợp luật số học Chẳng hạn hình học, hai phép tốn vectơ tập vectơ hình học V tuân theo luật số học sau đây: V1 v + u = u + v v, u V (luật giao hoán) V2 v + (u + w) = (v + u) + w v, u, w V (luật kết hợp) V3 Tồn phần tử V cho v + = v v V V4 Đối với v V tồn phần tử -v V cho v + (-v) = V5 1v = v v V V6 (ab)v = a(bv) số thực a, b v V (luật kết hợp) V7 a(v + u) = av + au số thực a v, u V (luật phân phối phải) V8 (a + b)v = av + bv số thực a, b v V (luật phân phối trái) Vì lý ấy, xuất lý thuyết chung cho hệ thống toán học chứa phép cộng phép nhân với vô hướng mà áp dụng cho nhiều mơn tốn học Đó Lý thuyết không gian vectơ hay Lý thuyết không gian tuyến tính Ở đây, lý thuyết cho phép ta hiểu rõ tập nghiệm hệ phương trình tuyến tính Định nghĩa Một khơng gian vectơ V R tập hợp khơng rỗng có hai phép toán: * Phép cộng vectơ cho tương ứng cặp phần tử v, u thuộc V với phần tử thuộc V, ký hiệu v + u Phép cộng thỏa mãn điều kiện V1 đến V4, * Phép nhân với vô hướng cho tương ứng số thực c phần tử u thuộc V với phần tử thuộc V, ký hiệu cu Phép nhân thỏa mãn điều kiện V5 đến V8 Các phần tử V gọi vectơ mà không thiết vectơ hình học ký hiệu chữ in đậm không viết hoa: v, u, w, Gọi vectơ-không, gọi -v vectơ đối vectơ v Mỗi số thực vô hướng ký hiệu chữ không in đậm, không viết hoa:a, b, c Không gian vectơ định nghĩa thường gọi không gian vectơ thực để nhắc nhở tập hợp vô hướng tập số thực Phép cộng vectơ với vectơ đối vectơ gọi phép trừ: u - v := u + (-v) Một thành phần quan trọng định nghĩa "tính chất đóng" hai phép tốn Tính chất tóm tắt sau Đ1 Nếu v∈V a số thực av∈V Đ2 Nếu v u thuộc V, v + u∈V Để thấy tầm quan trọng tính chất đóng, ta xét ví dụ sau Cho V = {(x, 1) | x số thực bất kỳ} với phép cộng phép nhân với vô hướng quen thuộc (3, 1) (5, 1) thuộc V, tổng (3, 1) + (5, 1) = (8, 2) không thuộc V Phép tốn + khơng phải phép tốn V khơng tn theo tính chất Đ2 Vì V với hai phép tốn nói khơng phải khơng gian vectơ Ví dụ 1) Tất nhiên tập vectơ hình học khơng gian vectơ thực 2) Rn với hai phép toán quen thuộc (cộng hai vectơ theo thành phần nhân vectơ với vô hướng theo thành phần) không gian vectơ thực 3) Ký hiệu M(m×n, R) tập hợp tất ma trận cỡ m×n với phần tử thực Với phép cộng ma trận phép nhân ma trận với số nói M(m×n, R) khơng gian vectơ thực 4) Ký hiệu F(U) tập tất hàm số thực xác định U Trên F(U) có hai phép tốn sau Phép cộng: với f g thuộc F(U) xác định f + g hàm số mà (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀x∈U Phép nhân với vô hướng: với số thực a với f thuộc F(U) xác định af hàm số mà (af )(x) = af(x) ∀x∈U Với hai phép tốn F(U) khơng gian vectơ thực Vectơ-khơng F(U) hàm số mà nhận giá trị x∈U Định lý 4.1.1 Đối với không gian vectơ V 1) Vectơ-không 2) Với vectơ u, vectơ đối u 3) Nếu u + w = v + w, u = v (luật giản ước) Nếu u + w = v, u = v - w (luật chuyển vế) 4) 0u = x0 = 5) Nếu xu = x = u = 6) (-x)u = x(-u) = -(xu) Đặc biệt (-1)u = -u Chứng minh Giả sử 01 02 vectơ-không V Theo V3, 01 = 01 + 02 Theo V1, 01 = 02 + 01 Lại theo V3, 02 + 01 = 02 Suy 01= 02 Giả sử v1 v2 hai vectơ đối u Theo V3, v1 = v1 + = v1 + (u + v2) Theo V2, V1 V3, v1 + (u + v2) = (v1 + u) + v2 = (u+ v1) + v2 = + v2 = v2 + = v2 Suy v1 = v2 Cộng -w vào hai vế u + w = v + w u + w = v ta thu điều phải chứng minh Theo V8, 0u = (0+0)u = 0u + 0u Từ theo luật chuyển vế 0u = Theo V7, x0 = x(0 + 0) = x0 + x0 Từ theo luật chuyển vế x0 = Nếu x ≠ 0, tồn x-1 Từ xu = suy x-1(xu) = x-10 Theo V6 4), (x-1x)u = hay 1.u = Do V5, u = Do V8 4), xu + (-x)u = (x+(-x))u = 0u = 0, nên (-x)u = -(xu) Do V7 4, xu + x(-u)= x(u + (-u)) = x0 = 0, nên x(-u) = -(xu) 4.2 ☺ KHƠNG GIAN CON Khi có không gian vectơ V, ta thường tạo không gian vectơ cách lấy tập W V sử dụng phép toán V Ví dụ Cho khơng gian R3 Chọn mặt phẳng qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) ký hiệu W tập tất vectơ có gốc O mà nằm mặt phẳng Dễ kiểm tra W khơng gian vectơ Khi ta cộng hai vectơ W, tổng chúng thuộc W Khi ta nhân vectơ W với vô hướng ta vectơ nằm W W khơng phải R2 vectơ có ba thành phần Có thể xem W mặt phẳng chọn mặt phẳng khơng gian vectơ nằm R3 Ví dụ minh họa khái niệm đại số tuyến tính Đó khái niệm không gian ịnh nh ngh nghĩa ĩa Nếu W tập không rỗng không gian vectơ thực V W thỏa mãn điều kiện sau: (i) cv thuộc W với v thuộc W với vô hướng c (ii) v + u thuộc W với v u thuộc W W gọi không gian V Chú ý (1) Tất phép toán W V, nên đương nhiên W thỏa mãn tám điều kiện định nghĩa không gian vectơ Vì W khơng gian vectơ (2) Mọi không gian V chứa vectơ-không W (3) Các điều kiện (i) (ii) nói lên W đóng hai phép tốn Có thể gộp hai điều kiện lại thành điều kiện: Nếu v u vectơ W, x y vơ hướng bất kỳ, xv + yu thuộc W (4) Đối với không gian vectơ V kiểm tra Z = {0} V hai khơng gian V Gọi Z khơng gian-khơng Ví dụ Dưới liệt kê tồn khơng gian R3 * Đường thẳng qua O(0, 0, 0) * Mặt phẳng qua O(0, 0, 0) * Chính khơng gian R3 * Z = {0 = (0 0)} Ví dụ Cho W = {(x1, x2)| x2 = 2x1} W tập R2 Nếu (a, 2a), (b, 2b) hai phần tử W x, y hai vô hướng tùy ý, x(a, 2a) + y(b, 2b) = (xa, x2a) + (yb, y2b) = (xa+yb, 2(xa+yb)) phần tử W Do W khơng gian R2 Ví dụ Cho W = {(x, 1) | x số thực bất kỳ} W tập R2, W không đóng phép cộng R2, nên W khơng phải khơng gian R2 Ví dụ Theo định nghĩa, dễ thấy tập tất ma trận tam giác cỡ n×n, tập tất ma trận tam giác cỡ n×n, tập tất ma trận đường chéo cỡ n×n khơng gian khơng gian vectơ M(n×n, R) Ví dụ Cho Pn tập tất đa thức với hệ số thực có bậc khơng vượt q n, C(R) tập tất hàm số liên tục R Rõ ràng chúng không gian F(R) (F(R) gồm hàm số xác định R) Tuy nhiên tập tất đa thức bậc n (n > 0) không gian F(R) tổng hai đa thức bậc n đa thức có bậc nhỏ n Bốn không gian chủ yếu liên quan đến ma trận Định nghĩa Cho A ma trận m×n, có vectơ cột cj (j = 1, , n) Ta gọi tập hợp tất tổ hợp tuyến tính vectơ cột cj (j = 1, , n) C(A) ={ x1c1 + x2c2 + ⋅⋅⋅ + xncn | xj ∈R } không gian cột A Trong Chương ta định nghĩa phép nhân ma trận A = (aij) có cỡ m×n với vectơ x = (x1, x2, , xn)  a11 x1 + a12 x2 + L + a1n xn   a11   a12   a1n   a x + a x +L + a x  a  a  a  21  22  21 22 2n n     = x1 + x2 + ⋅⋅⋅ + xn  n  = x1c1 + x2c2 + ⋅⋅⋅ + xncn Ax =    M   M   M  M         a m1 x1 + a m x2 + L + a mn xn  a m1  a m  amn  Vì vậy, ta hiểu C(A) tập hợp tất vectơ có dạng Ax với x ∈Rn Ví dụ 1  1  0  x1      Ax = 4 3   x1 + x2 3     x 2 3   2 3 C(A) mặt phẳng R3 với cặp vectơ phương c1 = (1, 4, 2) c2 = (0, 3, 3) Nếu vectơ b thuộc mặt phẳng tổ hợp hai vectơ cột A (x1, x2) nghiệm Ax = b Nhận xét Tìm nghiệm Ax = b biểu thị b tổ hợp tuyến tính vectơ cột A Ax = b có nghiệm b thuộc C(A) Khi b thuộc C(A), tổ hợp tuyến tính vectơ cột A Những hệ số tổ hợp cho ta nghiệm x Ax = b Định lý 4.2.1 Nếu A ma trận m×n, C(A) khơng gian Rm Chứng minh Nếu v u vectơ C(A), tồn x y thuộc Rn cho v = Ax, u = Ay Với t s vơ hướng bất kỳ, tv + su = tAx + sAy = A(tx +sy), nên tv + su thuộc C(A) Do C(A) khơng gian Ví dụ Hãy mơ tả không gian cột (là không gian R2) 1 0 A=   0 1 1 2 B=   2 4 1 3 C=   0 4 Giải Mỗi vectơ (x1, x2) R2 biểu diễn qua hai cột A sau  x1  1 0  x  = x1 0 + x2 1  2     Do C(A) = R C(B) gồm tất vectơ có dạng 1  2 1  x1   + x2   = (x1 + 2x2)   2 4 2 Do C(B) đường thẳng với vectơ phương (1, 2) Do Cx = b có nghiệm với b ∈ R2, nên C(C) = R2 Định nghĩa Tập nghiệm Ax= gọi không gian nghiệm A ký hiệu N(A) Ta thấy nghiệm Ax = x = (0, , 0) (gọi nghiệm tầm thường), nên N(A) tập rỗng Định lý 4.2.2 Nếu A ma trận m×n, N(A) khơng gian Rn Chứng minh Với v u thuộc N(A), với vô hướng a b, A(av + bu) = aAv + bAu = a0+b0 = 0, nên av + bu thuộc N(A) ☺ Nhận xét v = nghiệm Ax = b b = Nếu b ≠ 0, tập nghiệm Ax = b khơng phải khơng gian khơng gian phải chứa vectơ-khơng Ví dụ Xét phương trình x + 2y + 3z = Phương trình xác định mặt phẳng qua gốc tọa độ Mặt phẳng khơng gian R3 Đó N(A) với A = [1 3] Tập nghiệm x + 2y + 3z = mặt phẳng, không gian Ví dụ 10 Hãy mơ tả khơng gian nghiệm 1 2 A=   3 6 Giải Áp dụng phép khử Ax = 0:  x1 + x2 =  3 x1 + x2 = →  x1 + x2 =  0=0  Thực chất có phương trình Các nghiệm Ax = có dạng (-2x2, x2) = x2(-2, 1) Ký hiệu s = (-2, 1), ta có N(A) = { x2s | x2 ∈ R } Về mặt hình học, N(A) đường thẳng x1 + 2x2 = với vectơ phương s = (-2, 1) Định nghĩa Cho A ma trận thực Ta gọi tập hợp C(AT) không gian hàng A, N(AT) không gian nghiệm bên trái A Nhận xét 1) Nếu A ma trận thực m×n, có vectơ hàng h1, , hm, C(AT) = { y1h1+ y2h2 + ⋅⋅⋅ + ymhm | yj ∈R } hay C(AT) gồm tất vectơ có dạng ATy với y ∈Rm 2) N(AT) tập nghiệm ATy = Chuyển vị hai vế phương trình ta có yTA = 0T (Vectơ y nằm phía bên trái A, nên N(AT) gọi không gian nghiệm bên trái A) Định lý 4.2.3 Nếu A ma trận m×n, C(AT) không gian Rn N(AT) không gian Rm Chứng minh định lý tương tự chứng minh Định lý NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN Định nghĩa không gian vectơ thực Định nghĩa không gian Bốn không gian chủ yếu liên quan đến ma trận A: C(A), N(A), C(AT), N(AT) Mối quan hệ có nghiệm Ax = b không gian C(A)  ... ∀x∈U Với hai phép toán F(U) không gian vectơ thực Vectơ -không F(U) hàm số mà nhận giá trị x∈U Định lý 4.1.1 Đối với không gian vectơ V 1) Vectơ -không 2) Với vectơ u, vectơ đối u 3) Nếu u + w =... gian vectơ Ví dụ 1) Tất nhiên tập vectơ hình học không gian vectơ thực 2) Rn với hai phép toán quen thuộc (cộng hai vectơ theo thành phần nhân vectơ với vô hướng theo thành phần) không gian vectơ. .. thuộc W W gọi không gian V Chú ý (1) Tất phép toán W V, nên đương nhiên W thỏa mãn tám điều kiện định nghĩa khơng gian vectơ Vì W không gian vectơ (2) Mọi không gian V chứa vectơ -không W (3) Các