Các phép toán cộng và nhân với vô hướng đã được sử dụng trong nhiều bộ môn khác nhau của toán học: Trong hình học có phép cộng hai vectơ hình học và phép nhân một vectơ hình học với một vô hướng. Trong lý thuyết ma trận có phép cộng hai ma trận và phép nhân một ma trận với một vô hướng. Trong giải tích có phép cộng hai hàm số và phép nhân một hàm số với một vô hướng ... Tuy nhiên, dù trong bộ môn nào thì những phép toán này cũng tuân theo một tập hợp như nhau các luật số học. Chẳng hạn như trong hình học, hai phép toán vectơ trên tập vectơ hình học V tuân theo các luật số học sau đây: V1. v + u = u + v đối với mọi v, u trong V (luật giao hoán) V2. v + (u + w) = (v + u) + w đối với mọi v, u, w trong V (luật kết hợp) V3. Tồn tại phần tử 0 trong V sao cho v + 0 = v đối với mọi v trong V V4. Đối với mỗi v trong V tồn tại phần tử v trong V sao cho v + (v) = 0 V5. 1v = v đối với mọi v trong V V6. (ab)v = a(bv) đối với mọi số thực a, b và mọi v trong V (luật kết hợp) V7. a(v + u) = av + au đối với mọi số thực a và mọi v, u trong V (luật phân phối phải) V8. (a + b)v = av + bv đối với mọi số thực a, b và mọi v trong V (luật phân phối trái)
Trang 1C hương 4 KHÔNG GIAN VECTƠ
VÀ KHÔNG GIAN CON _
4.1 KHÔNG GIAN VECTƠ
Các phép toán cộng và nhân với vô hướng đã được sử dụng trong nhiều bộ môn khác nhau của toán học: Trong hình học có phép cộng hai vectơ hình học và phép nhân một vectơ hình học với một vô hướng Trong lý thuyết ma trận có phép cộng hai ma trận và phép nhân một ma trận với một vô hướng Trong giải tích có phép cộng hai hàm số và phép nhân một hàm số với một vô hướng Tuy nhiên, dù trong bộ môn nào thì những phép toán này cũng tuân theo một tập hợp như nhau các
luật số học Chẳng hạn như trong hình học, hai phép toán vectơ trên tập vectơ hình học V tuân theo
các luật số học sau đây:
V1 v + u = u + v đối với mọi v, u trong V (luật giao hoán)
V2 v + (u + w) = (v + u) + w đối với mọi v, u, w trong V (luật kết hợp)
V3 Tồn tại phần tử 0 trong V sao cho v + 0 = v đối với mọi v trong V
V4 Đối với mỗi v trong V tồn tại phần tử -v trong V sao cho v + (-v) = 0
V5 1v = v đối với mọi v trong V
V6 (ab)v = a(bv) đối với mọi số thực a, b và mọi v trong V (luật kết hợp)
V7 a(v + u) = av + au đối với mọi số thực a và mọi v, u trong V (luật phân phối phải)
V8 (a + b)v = av + bv đối với mọi số thực a, b và mọi v trong V (luật phân phối trái)
Vì lý do ấy, đã xuất hiện một lý thuyết chung cho các hệ thống toán học chứa phép cộng và phép nhân với vô hướng mà được áp dụng cho nhiều bộ môn của toán học Đó là Lý thuyết không gian vectơ hay Lý thuyết không gian tuyến tính Ở đây, lý thuyết này sẽ cho phép ta hiểu rõ hơn về tập nghiệm của hệ phương trình tuyến tính
Định nghĩa Một không gian vectơ V trên R là một tập hợp không rỗng có hai phép toán:
* Phép cộng vectơ cho tương ứng mỗi cặp phần tử v, u thuộc V với duy nhất một phần tử thuộc
V, được ký hiệu là v + u Phép cộng này thỏa mãn các điều kiện V1 đến V4,
* Phép nhân với vô hướng cho tương ứng mỗi số thực c và phần tử u thuộc V với duy nhất
một phần tử thuộc V, được ký hiệu là cu Phép nhân này thỏa mãn các điều kiện V5 đến V8
Các phần tử của V được gọi là những vectơ mà không nhất thiết là vectơ hình học và ký hiệu
bởi các chữ cái in đậm không viết hoa: v, u, w, Gọi 0 là vectơ-không, gọi -v là vectơ đối của vectơ v Mỗi số thực là một vô hướng và được ký hiệu bởi các chữ cái không in đậm, không viết
Trang 2hoa:a, b, c Không gian vectơ trong định nghĩa này thường được gọi là không gian vectơ thực để nhắc nhở rằng tập hợp các vô hướng là tập số thực Phép cộng một vectơ với vectơ đối của một vectơ được gọi là phép trừ:
u - v := u + (-v)
Một thành phần quan trọng của định nghĩa là "tính chất đóng" của hai phép toán Tính chất
này có thể tóm tắt như sau
Đ1 Nếu v∈V và a là một số thực thì av∈V
Đ2 Nếu v và u thuộc V, thì v + u∈V
Để thấy tầm quan trọng của tính chất đóng, ta xét ví dụ sau đây Cho
V = {(x, 1) | x là số thực bất kỳ}
với phép cộng và phép nhân với vô hướng quen thuộc (3, 1) và (5, 1) thuộc V, nhưng tổng
(3, 1) + (5, 1) = (8, 2)
không thuộc V Phép toán + không phải là phép toán trên V do không tuân theo tính chất Đ2 Vì vậy V với hai phép toán đã nói không phải là không gian vectơ
Ví dụ
1) Tất nhiên tập những vectơ hình học là một không gian vectơ thực
2) Rn với hai phép toán quen thuộc (cộng hai vectơ theo từng thành phần và nhân một vectơ với một
vô hướng theo từng thành phần) là một không gian vectơ thực
3) Ký hiệu M(m×n, R) là tập hợp tất cả những ma trận cỡ m×n với các phần tử thực Với phép cộng
ma trận và phép nhân ma trận với số đã nói M(m×n, R) là một không gian vectơ thực
4) Ký hiệu F(U) là tập tất cả những hàm số thực xác định trên U Trên F(U) có hai phép toán sau
Phép cộng: với f và g thuộc F(U) xác định f + g là hàm số mà (f + g)(x) = f(x) + g(x) ∀x∈U Phép nhân với vô hướng: với số thực a và với f thuộc F(U) xác định af là hàm số mà (af )(x)
= af(x) ∀x∈U
Với hai phép toán này F(U) là một không gian vectơ thực Vectơ-không của F(U) là hàm số mà
nhận giá trị 0 tại mỗi x∈U
Định lý 4.1.1 Đối với không gian vectơ V
1) Vectơ-không là duy nhất
2) Với mọi vectơ u, vectơ đối của u là duy nhất
3) Nếu u + w = v + w, thì u = v (luật giản ước)
Nếu u + w = v, thì u = v - w (luật chuyển vế)
4) 0u = 0 và x0 = 0
5) Nếu xu = 0 thì hoặc x = 0 hoặc u = 0
6) (-x)u = x(-u) = -(xu) Đặc biệt (-1)u = -u
Trang 3Chứng minh Giả sử 01 và 02 là các vectơ-không trong V Theo V3, 01 = 01 + 02 Theo V1, 01 =
02 + 01 Lại theo V3, 02 + 01 = 02 Suy ra 01= 02
Giả sử v1 và v2 là hai vectơ đối của u Theo V3, v1 = v1 + 0 = v1 + (u + v2) Theo V2, V1 và V3, v1 + (u + v2) = (v1 + u ) + v2 = (u+ v1) + v2 = 0 + v2 = v2 + 0 = v2 Suy ra v1 = v2
Cộng -w vào hai vế của u + w = v + w và u + w = v ta thu được điều phải chứng minh
Theo V8, 0u = (0+0)u = 0u + 0u Từ đó theo luật chuyển vế 0u = 0
Theo V7, x0 = x(0 + 0) = x0 + x0 Từ đó theo luật chuyển vế x0 = 0
Nếu x ≠ 0, thì tồn tại x-1 Từ xu = 0 suy ra x-1(xu) = x-10 Theo V6 và 4), (x-1x )u = 0 hay 1.u =
0 Do V5, u = 0
Do V8 và 4), xu + (-x)u = (x+(-x))u = 0u = 0, nên (-x)u = -(xu)
Do V7 và 4, xu + x(-u)= x(u + (-u)) = x0 = 0, nên x(-u) = -(xu) ☺
4.2 KHÔNG GIAN CON
Khi có một không gian vectơ V, ta thường tạo được không gian vectơ nữa bằng cách lấy một tập con W của V và sử dụng những phép toán của V
Ví dụ 1 Cho không gian R3 Chọn một mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O(0, 0, 0) và ký hiệu W là tập
tất cả các vectơ có gốc là O mà nằm trên mặt phẳng này Dễ kiểm tra rằng chính W cũng là một
không gian vectơ Khi ta cộng hai vectơ trong W, tổng của chúng thuộc W Khi ta nhân một vectơ trong W với vô hướng ta được một vectơ vẫn nằm trong W W không phải là R2 bởi vì các vectơ
trong nó có ba thành phần Có thể xem như W chính là mặt phẳng đã chọn thì mặt phẳng này là một
không gian vectơ nằm trong R3
Ví dụ này minh họa một trong các khái niệm cơ bản nhất của đại số tuyến tính Đó là khái
niệm không gian con
ịnh nghnh nghnh nghĩaĩaĩa Nếu W là một tập con không rỗng của không gian vectơ thực V và W thỏa mãn các
điều kiện sau:
(i) cv thuộc W với mọi v thuộc W và với mọi vô hướng c
(ii) v + u thuộc W với mọi v và u thuộc W
thì W được gọi là một không gian con của V
Chú ý
(1) Tất cả những phép toán trên W đều là trên V, nên đương nhiên W cũng thỏa mãn tám điều kiện
trong định nghĩa không gian vectơ Vì vậy W cũng là một không gian vectơ
(2) Mọi không gian con V đều chứa vectơ-không của W
(3) Các điều kiện (i) và (ii) nói lên rằng W đóng đối với hai phép toán Có thể gộp hai điều kiện này
lại thành một điều kiện: Nếu v và u là những vectơ bất kỳ trong W, x và y là các vô hướng bất kỳ, thì xv + yu thuộc W
(4) Đối với không gian vectơ V có thể kiểm tra rằng Z = {0} và V chính là hai không gian con của
V Gọi Z là không gian-không
Ví dụ 2 Dưới đây liệt kê toàn bộ những không gian con của R3
* Đường thẳng bất kỳ đi qua O(0, 0, 0)
* Mặt phẳng bất kỳ đi qua O(0, 0, 0)
* Chính không gian R3
* Z = {0 = (0 0 0)}
Trang 4Ví dụ 3 Cho W = {(x1, x2)| x2 = 2x1} W là một tập con của R2 Nếu (a, 2a), (b, 2b) là hai phần tử
bất kỳ của W và x, y là hai vô hướng tùy ý, thì
x (a, 2a) + y(b, 2b) = (xa, x2a) + (yb, y2b) = (xa+yb, 2(xa+yb))
cũng là một phần tử của W Do đó W là một không gian con của R2
Ví dụ 4 Cho W = {(x, 1) | x là số thực bất kỳ} W là một tập con của R2, nhưng W không đóng đối
với phép cộng của R2, nên W không phải là không gian con của R2
Ví dụ 5 Theo định nghĩa, dễ thấy tập tất cả các ma trận tam giác trên cỡ n×n, tập tất cả các ma trận
tam giác dưới cỡ n×n, tập tất cả các ma trận đường chéo cỡ n×n là những không gian con của không
gian vectơ M(n×n, R)
Ví dụ 6 Cho Pn là tập tất cả những đa thức với hệ số thực có bậc không vượt quá n, C(R) là tập tất
cả những hàm số liên tục trên R Rõ ràng chúng là những không gian con của F(R) (F(R) gồm các
hàm số xác định trên R) Tuy nhiên tập tất cả các đa thức bậc n (n > 0) không phải là không gian con của F(R) vì tổng của hai đa thức bậc n có thể là đa thức có bậc nhỏ hơn n
Bốn không gian con chủ yếu liên quan đến một ma trận
Định nghĩa Cho A là ma trận m×n, có các vectơ cột c j (j = 1, , n) Ta gọi tập hợp tất cả những
tổ hợp tuyến tính của các vectơ cột c j (j = 1, , n)
C (A) ={ x1c1 + x2c2 + ⋅⋅⋅ + x n c n | x j ∈R }
là không gian cột của A
Trong Chương 1 ta đã định nghĩa phép nhân một ma trận A = (a ij ) có cỡ m×n với một vectơ x
= (x1, x2, , x n)
Ax =
+ + +
+ + +
+ + +
n mn m
m
n n
n n
x a x
a x
a
x a x
a x
a
x a x
a x
a
L M L L
2 2 1
1
2 2
22 1
21
1 2
12 1
11
= x1
1
21 11
m
a
a a
M + x2
2
22 12
m
a
a a
M + ⋅⋅⋅ + x n
mn
n n
a
a a
M 2 1
= x1 c1 + x2c2 + ⋅⋅⋅ + xn c n
Vì vậy, ta cũng có thể hiểu C(A) như tập hợp tất cả những vectơ có dạng Ax với x ∈R n
Ví dụ 7
Ax =
2 1 3 3 0 2 4
1
x
x
chính là x1
2 4
1 + x2
3 3
0
C (A) là một mặt phẳng trong R3 với cặp vectơ chỉ phương là c1 = (1, 4, 2) và c2 = (0, 3, 3) Nếu
vectơ b thuộc mặt phẳng này thì nó là một tổ hợp của hai vectơ cột của A và (x1, x2) là một nghiệm của Ax = b
Trang 5Nhận xét Tìm nghiệm của Ax = b chính là biểu thị b như một tổ hợp tuyến tính của các vectơ
cột của A Ax = b có nghiệm khi và chỉ khi b thuộc C(A) Khi b thuộc C(A), nó là một tổ hợp tuyến
tính của các vectơ cột của A Những hệ số trong một tổ hợp cho ta một nghiệm x của Ax = b
Định lý 4.2.1 Nếu A là ma trận m×n, thì C(A) là một không gian con của R m
Chứng minh Nếu v và u là những vectơ bất kỳ trong C(A), thì tồn tại x và y thuộc Rn sao cho v =
Ax , u = Ay Với t và s là các vô hướng bất kỳ, thì tv + su = tAx + sAy = A(tx +sy), nên tv + su thuộc
C (A) Do đó C(A) là một không gian con
Ví dụ 8 Hãy mô tả các không gian cột (là những không gian con của R2) của
A =
1 0
0 1
B =
4 2
2 1
C =
4
3 0 0
2 1
Giải Mỗi vectơ (x1, x2) của R2 đều biểu diễn qua hai cột của A như sau
2
1
x
x
= x1
0
1
+ x2
1
0
Do đó C(A) = R2
C (B) gồm tất cả các vectơ có dạng
x1
2
1
+ x2
4
2
= (x1 + 2x2)
2
1
Do đó C(B) là đường thẳng với vectơ chỉ phương (1, 2)
Do Cx = b có nghiệm với mọi b ∈ R2, nên C(C) = R2
Định nghĩa Tập nghiệm của Ax= 0 được gọi là không gian nghiệm của A và được ký hiệu là
N (A)
Ta thấy ngay một nghiệm của Ax = 0 là x = (0, , 0) (gọi là nghiệm tầm thường), nên N(A)
không phải là tập rỗng
Định lý 4.2.2 Nếu A là ma trận m×n, thì N(A) là một không gian con của R n
Chứng minh Với mọi v và u thuộc N(A), với mọi vô hướng a và b, thì A(av + bu) = aAv + bAu =
a0 +b0 = 0, nên av + bu cũng thuộc N(A) ☺
Nhận xét v = 0 là nghiệm của Ax = b khi và chỉ khi b = 0 Nếu b ≠ 0, thì tập nghiệm của Ax = b
không phải là không gian con vì một không gian con phải chứa vectơ-không
Trang 6Ví dụ 9 Xét phương trình x + 2y + 3z = 0 Phương trình này xác định một mặt phẳng đi qua gốc tọa
độ Mặt phẳng này là không gian con của R3 Đó chính là N(A) với A = [1 2 3]
Tập nghiệm của x + 2y + 3z = 6 cũng là một mặt phẳng, nhưng không phải là không gian con
Ví dụ 10 Hãy mô tả không gian nghiệm của
A =
6 3
2 1 Giải Áp dụng phép khử đối với Ax = 0:
= +
= +
0 6 3
0 2 2 1
2 1
x x
x x
→→
=
= +
0 0
0
2 2
x
Thực chất chỉ có một phương trình Các nghiệm của Ax = 0 có dạng (-2x2, x2) = x2(-2, 1) Ký hiệu
s = (-2, 1), ta có
N (A) = { x2 s | x2 ∈ R }
Về mặt hình học, N(A) là đường thẳng x1 + 2x2 = 0 với vectơ chỉ phương là s = (-2, 1)
Định nghĩa Cho A là ma trận thực Ta gọi tập hợp C(AT) là không gian hàng của A , N (AT) là
Nhận xét
1) Nếu A là ma trận thực m×n, có các vectơ hàng là h1, , h m, thì
C(AT) = { y1 h1+ y2h2 + ⋅⋅⋅ + ym h m | y j ∈R }
hay C(AT) gồm tất cả những vectơ có dạng ATy với y ∈R m
2) N(AT) là tập nghiệm của ATy = 0 Chuyển vị hai vế của phương trình này ta có yTA = 0T (Vectơ y nằm phía bên trái A, nên N(AT) được gọi là không gian nghiệm bên trái của A).
Định lý 4.2.3 Nếu A là ma trận m×n, thì C(AT) là một không gian con của Rn và N(AT) là một không gian con của Rm
Chứng minh của định lý này là tương tự như chứng minh của Định lý 1 và 2
NHỮNG Ý CHÍNH TRONG BÀI GIẢNG TUẦN 4
1. Định nghĩa không gian vectơ thực
2. Định nghĩa không gian con
3. Bốn không gian con chủ yếu liên quan đến một ma trận A: C(A), N(A), C(AT), N(AT) Mối
quan hệ giữa sự có nghiệm của Ax = b và không gian C(A)