Tính liên thông đỉnh, liên thông cạnh và các tính chất về bậc của đồ thị vô hướng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TÍNH LIÊN THƠNG ĐỈNH, LIÊN THƠNG CẠNH VÀ CÁC TÍNH CHẤT VỀ BẬC CỦA ĐỒ THỊ VƠ HƯỚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ PHƯƠNG TÍNH LIÊN THƠNG ĐỈNH, LIÊN THƠNG CẠNH VÀ CÁC TÍNH CHẤT VỀ BẬC CỦA ĐỒ THỊ VƠ HƯỚNG Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS TRẦN VŨ THIỆU THÁI NGUYÊN, 5/2018 iii Mục lục Danh mục ký hiệu Danh mục hình vẽ Mở đầu KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 KHÁI NIỆM ĐỒ THỊ 1.1.1 Định nghĩa ký hiệu 1.1.2 Phép toán đồ thị 11 1.1.3 Đồ thị đẳng cấu 12 1.1.4 Bậc đỉnh đồ thị 13 1.2 ĐƯỜNG ĐI VÀ CHU TRÌNH 14 1.3 TÍNH LIÊN THƠNG CỦA ĐỒ THỊ 17 1.4 MỘT SỐ DẠNG ĐỒ THỊ ĐẶC BIỆT 20 1.4.1 Đồ thị rỗng đồ thị không 20 1.4.2 Rừng 20 1.4.3 Đồ thị đầy đủ 21 1.4.4 Đồ thị vòng, đồ thị đường đồ thị bánh xe 21 1.4.5 Đồ thị (đồ thị qui) 22 1.4.6 Đồ thị hai phần 23 1.4.7 Phần bù đơn đồ thị 23 iv LIÊN THÔNG ĐỈNH VÀ LIÊN THÔNG CẠNH CỦA ĐỒ THỊ 25 2.1 LIÊN THÔNG CẤP k GIỮA HAI ĐỈNH 25 2.2 ĐỒ THỊ k - LIÊN THÔNG 30 2.3 ĐỈNH KHỚP 32 2.4 LIÊN THÔNG CẠNH CẤP GIỮA HAI ĐỈNH 34 CÁC TÍNH CHẤT VỀ BẬC CỦA ĐỒ THỊ 39 3.1 DI CHUYỂN TRÊN ĐỒ THỊ 39 3.2 ĐỒ THỊ ĐỒNG BẬC 40 3.3 BÁN NHÂN TỬ 42 3.4 TẬP HỢP TƯƠNG THÍCH LỚN NHẤT 43 Kết luận 49 Tài liệu tham khảo 50 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU N Tập số tự nhiên {1, 2, 3, } Z(Z+ ) Tập số nguyên (Tập số nguyên không âm) Q(Q+ ) Tập số hữu tỉ (Tập số hữu tỉ không âm) R(R+ ) Tập số thực (Tập số thực không âm) X⊂Y X tập thực tập Y X⊆Y X tập (có thể bằng) tập Y X ∪Y Hợp hai tập hợp X Y X ∩Y Giao hai tập hợp X Y X \Y Hiệu tập hợp X tập hợp Y X Hiệu đối xứng hai tập hợp X Y Y G Đồ thị (vô hướng có hướng) G Đồ thị bù đồ thị G ∅ Đồ thị rỗng V (G), E(G) Tập đỉnh tập cạnh đồ thị G u = (i, j) Cạnh (hay cung) từ đỉnh i tới đỉnh j G[X] Đồ thị G cảm sinh X ⊆ V (G) G−v Đồ thị G cảm sinh V (G) \ {v} G−e Đồ thị nhận từ G bỏ cạnh e khỏi G G|e Đồ thị nhận từ G cách co cạnh e thành đỉnh G+e Đồ thị nhận từ G thêm cạnh e vào G G+H Tổng hai đồ thị G H N (v) Tập đỉnh kề với đỉnh v đồ thị N (U ) Tập đỉnh V \ U kề với đỉnh thuộc U ⊂ V E(X, Y ) Tập tất cạnh xy đồ thị cho x ∈ X, y ∈ Y d(v) Bậc đỉnh v d(G) Bậc trung bình đồ thị G δ(G) Bậc nhỏ đỉnh đồ thị G (G) Bậc lớn đỉnh đồ thị G Kn Đồ thị đầy đủ n đỉnh Km,n Đồ thị hai phần đầy đủ, phần có m n đỉnh P[x,y] Một đoạn đường P từ x tới y dist(u, v) Độ dài đường ngắn từ u tới v µ Dây chuyền hay chu trình đồ thị DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ Hình 1.1 Sơ đồ khu phố Hình 1.2 Sơ đồ mạch điện Hình 1.3 Đồ thị: đỉnh, cạnh Hình 1.4 Đồ thị với đỉnh cạnh Hình 1.5 Cạnh kép đa đồ thị Hình 1.6 Khuyên đa đồ thị Hình 1.7 Đồ thị có hướng Hình 1.8 Đa đồ thị khơng liên thơng Hình 1.9 Đồ thị G, cạnh e đồ thị G − e G \ e tương ứng Hình 1.10 Các đồ thị đẳng cấu với đồ thị Hình 1.3 Hình 1.11 Dây cung xy, vòng nhỏ = 4, vòng lớn = Hình 1.12 Đường dài [a0 , a1 , , ak ] đỉnh kề ak Hình 1.13 Các đỉnh khớp cầu e1 , e2 , e3 đồ thị Hình 1.14 Đồ thị G1 , G2 hợp G1 ∪ G2 Hình 1.15 Đồ thị khơng liên thơng Hình 1.16 Ví dụ rừng Hình 1.17 Đồ thị đầy đủ K4 K5 Hình 1.18 Đồ thị vòng C6 , đồ thị đường P6 đồ thị bánh xe W6 Hình 1.19 Đồ thị Petersen (chính qui bậc 3) Hình 1.20 Đồ thị hai phần Hình 1.21 Đồ thị hai phần đầy đủ: K1,3 , K2,3 , K3,3 , K4,3 Hình 1.22 Phần bù đơn đồ thị G Hình 2.1 Đường đậm, đường yếu Hình 2.2 Khơng có đường yếu từ a tới b Hình 2.3 Đặt trạm kiểm soát thuyền bè từ vùng núi biển Hình 2.4 Tìm đường bắt đầu u tận v Hình 2.5 Tìm chu trình sơ cấp qua u v Hình 2.6 Số liên thông đỉnh κ(G) số liên thông cạnh (G) Hình 2.7 Bản đồ giao thơng Hình 2.8 Đồ thị tương ứng Hình 3.1 Đường xen kẽ chu trình xen kẽ Hình 3.2 Bán nhân tử chu trình Haminton Hình 3.3 Ví dụ 3.2 Mở đầu Các sơ đồ giao thông, sơ đồ mạng lưới thông tin hay sơ đồ tổ chức quan, trường học quen thuộc với nhiều người Đó hình ảnh sinh động cụ thể khái niệm toán học trừu tượng khái niệm đồ thị (graph) Tuy nhiên, phải nhấn mạnh khái niệm đồ thị khác khơng có liên quan tới khái niệm đồ thị hàm số biết từ bậc phổ thơng Có thể hiểu đơn giản "đồ thị" cấu trúc tốn học rời rạc, bao gồm hai yếu tố đỉnh cạnh với mối quan hệ chúng Đồ thị mơ hình tốn học cho nhiều vấn đề lý thuyết thực tiễn đa dạng Lý thuyết đồ thị đề cập tới nhiều vấn đề tốn có ý nghĩa thực tiễn thiết thực, nhiều phương pháp xử lý thuật toán giải độc đáo hiệu quả, giúp ích cho phát triển tư tốn học nói chung khả vận dụng sống thường ngày nói riêng Trong số đáng ý tốn giao thơng, liên lạc Ta xét tốn cụ thể sau: Trong mạng giao thông, hai địa điểm a b mạng liên thông có đường nối liền hai địa điểm Đương nhiên, số đường nối a với b nhiều mức độ liên thơng cao Chẳng hạn hai thành phố có nhiều đường giao thơng với liên lạc thuận tiện Nhận xét đơn giản đưa đến vấn đề quan trọng lý luận thực tiễn: "đánh giá tính liên thơng đồ thị" Để nâng cao khả tư tốn học tìm hiểu thêm vấn đề toán học đại, gần với ứng dụng, tơi chọn đề tài "Tính liên thơng đỉnh, liên thơng cạnh tính chất bậc đồ thị vơ hướng" Luận văn có mục đích tìm hiểu trình bày kiến thức đồ thị kết lý thuyết, định lý liên quan đến tính liên thơng, tính chất bậc đồ thị vơ hướng số ví dụ ứng dụng cụ thể Nội dung luận văn tham khảo chủ yếu từ tài liệu [1] - [6] trình bày ba chương Cụ thể sau Chương "Kiến thức chuẩn bị" nhắc lại số khái niệm đồ thị: đỉnh cạnh, đồ thị vô hướng, đồ thị có hướng, đồ thị đẳng cấu, đồ thị con, bậc đỉnh tính chất, đường chu trình, đồ thị liên thơng khơng liên thơng, thành phần liên thông Một số đồ thị đặc biệt: rừng cây, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị đều, đồ thị bù, Chương "Liên thơng đỉnh liên thơng cạnh đồ thị" trình bày khái niệm tính liên thơng đỉnh, tính liên thông cạnh đồ thị định lý điều kiện để đồ thị k-liên thông đỉnh hay l-liên thơng cạnh Nêu số ví dụ ứng dụng Chương "Các tính chất bậc đồ thị" trình bày số kết bậc đồ thị phép biến đổi bảo toàn bậc đỉnh, đồ thị đồng bậc tính chất, bán nhân tử (đồ thị với đỉnh có bậc hai) chu trình Hamilton đồ thị Các kết tạo sở xây dựng thuật tốn tìm tập hợp tương thích lớn nhất, ví dụ ứng dụng Do thời gian có hạn nên luận văn chủ yếu dừng lại việc tìm hiểu, tập hợp tài liệu, xếp trình bày kết nghiên cứu có theo chủ đề đặt Trong trình viết luận văn soạn thảo, văn chắn không tránh khỏi có sai sót định Tác giả luận văn mong nhận góp ý thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng 36 κ(G) ≤ (G) ≤ δ(G) thế, số liên thơng (đỉnh) đồ thị cao đòi hỏi bậc nhỏ đỉnh phải lớn Ngược lại, bậc nhỏ lớn không đảm bảo số liên thông (đỉnh) phải cao, kể số liên thơng cạnh cao Tuy nhiên điều kéo theo tồn tai đồ thị có số liên thơng (đỉnh) cao Định lý 2.8 (Mader, 1972) Mọi đồ thị mà bậc trung bình ≥ 4k có đồ thị k - liên thông Chứng minh Với k ∈ {0, 1}, kết luận hiển nhiên Với k ≥ xét đồ thị G = (V, E) với số đỉnh n = |V | số cạnh m = |E| Bằng suy luận quy nạp dễ dàng chứng minh kết mạnh G có đồ thị k liên thông (i) n ≥ 2k − (ii) m ≥ (2k − 3)(n − k + 1) + (Kết luận thực mạnh hơn, cụ thể (i) (ii) suy từ giả thiết d(G) ≥ 4k: (i) n > (G) ≥ d(G) ≥ 4k (ii) m = d(G)n ≥ 2kn.) Ta chứng minh quy nạp theo n Nếu n = 2k−1 k = (n+1) m ≥ n(n−1) theo (ii) Như G = Kn ⊇ Kk+1 kết luận Bây giả sử n ≥ 2k Nếu v đỉnh mà d(v) ≤ 2k − 3, ta áp dụng giả thiết quy nạp đồ thị G − v kết luận chứng minh Vì ta giả thiết δ(G) ≥ 2k − Nếu G k - liên thơng khơng phải chứng minh Vì ta giả thiết G khơng liên thơng, tức có dạng G = G1 ∪ G2 với |V (G1) ∩ V (G2)| < k |V (G1)|, |V (G2)| < n Do cạnh G nằm G1 G2 nên G khơng có cạnh thuộc G1 − G2 G2 − G1 Do đỉnh đồ thị có δ(G) ≥ 2k −2 đỉnh láng giềng (đỉnh kề) nên ta có |V (G1)|, |V (G2)| ≥ 2k − Nhưng ta đồ thị G1 , G2 phải 37 thỏa mãn giả thiết quy nạp (và lúc kết thúc chứng minh): khơng thỏa mãn |E(Gi )| ≤ (2k − 3)(|V (Gi )| − k + 1) với i = 1, m ≤ |E(G1)| + |E(G2)| ≤ (2k − 3)(|V (G1)| + |V (G2)| − 2k + 2) ≤ (2k − 3)(n − k + 1)(do|V (G1) ∩ V (G2)| ≤ k − 1) trái với (ii) Ta chứng minh định lý sau đây, tương tự định lý Whitney Định lý 2.9 Một đồ thị với số cạnh ≥ phải rút tối thiểu - liên thông cạnh cạnh đủ phá vỡ liên thơng Chú ý khái niệm kết áp dụng cho đa đồ thị Tuy nhiên, mở rộng khái niệm liên thông đỉnh cho đa đồ thị khơng đưa tới điểm mới, khảo sát tính liên thơng đỉnh đa đồ thị gộp nhiều cạnh nối cặp đỉnh thành cạnh nhất: rõ ràng số liên thông đỉnh không thay đổi (trái lại, số liên thơng cạnh giảm) Ứng dụng Trong chiến tranh, có người ta cần phá hủy số đường giao thông để cô lập hay nhiều vùng khu vực Vấn đề đặt cần phá hủy đường giao thường để đạt mục đích? Nếu ta vẽ đa đồ thị G mà đỉnh vùng nói cạnh đường giao thông (cầu, hầm, đường xe lửa, v.v ) nối liền vùng với nhau, vấn đề qui lại tìm số liên thơng cạnh đa đồ thị G Chẳng hạn, đồ giao thơng vẽ Hình 2.7, cần phá hủy cầu c − e, d − g, a − g khu vực tách thành hai vùng không liên lạc với (Hình 2.8) 38 Kết luận chương Chương trình bày khái niệm liên thông đỉnh, liên thông cạnh đồ thị định lý điều kiện để đồ thị k-liên thông đỉnh hay -liên thông cạnh Nêu số ví dụ ứng dụng 39 Chương CÁC TÍNH CHẤT VỀ BẬC CỦA ĐỒ THỊ Chương trình bày số tính chất bậc đỉnh đồ thị dựa phép di chuyển bảo toàn bậc đỉnh, khái niệm bán nhân tử, tập hợp tương thích lớn số ứng dụng Nội dung chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [2], [4] [5] 3.1 DI CHUYỂN TRÊN ĐỒ THỊ Mục đề cập tới số tính chất bậc đỉnh đồ thị dùng cách tiếp cận mới, dựa phương pháp biến đổi bảo toàn bậc đỉnh, gọi phép di chuyển đồ thị Cho đồ thị vô hướng G = (A, U ), A tập đỉnh U tập cạnh đồ thị Ta gọi đồ thị bù G đồ thị G = (A, U ) với U = A × A − U nói cụ thể (a, b) ∈ U (a, b) ∈ / U Sau cạnh G gọi "cạnh đậm", cạnh G "cạnh nhạt" Một đường µ = [u1 , u2 , , uk ] gọi đường xen kẽ G (hay U ) hai cạnh liên tiếp µ có cạnh đậm cạnh nhạt (Hình 3.1) Một đường xen kẽ, khép kín chẵn (nghĩa có số chẵn cạnh) gọi chu trình xen kẽ (Hình 3.1) 40 Giả sử µ đường xen kẽ G Khi đó, ta đổi cạnh đậm µ thành nhạt ngược lại (tức loại khỏi U cạnh đậm µ thêm vào U cạnh nhạt µ) ta đồ thị G1 = (A, U1 ), bậc đỉnh cũ, trừ bậc đầu mút µ tăng hay giảm Phép biến đổi gọi di chuyển đồ thị G (hay tập hợp U ) µ Khi µ chu trình xen kẽ rõ ràng phép di chuyển µ bảo tồn bậc đỉnh, nghĩa khơng làm thay đổi số cạnh liên thuộc đỉnh Chính nhờ bảo tồn mà phép di chuyển tiện lợi cho mục đích nghiên cứu ta chương 3.2 ĐỒ THỊ ĐỒNG BẬC Hai đồ thị G = (A, U ) G = (A, U ) chung tập hợp đỉnh gọi đồng bậc bậc đỉnh G bậc G Theo phép di chuyển chu trình xen kẽ biến G thành đồ thị G1 đồng bậc Ngược lại, cho trước hai đồ thị đồng bậc G G , biến G thành G qua số hữu hạn di chuyển khơng? Sau ta giải đáp vấn đề Cho hai đồ thị G = (A, U ) G = (A, U ) chung tập hợp đỉnh Ta nói đường µ = [u1 , u2 , , uk ] đường phân biệt cho G G (hay cho U U ) đường cạnh G 41 không thuộc G xen kẽ với cạnh G không thuộc G, nhau: u1 ∈ U − U , u2 ∈ U − U, u3 ∈ U − U , v.v Một đường phân biệt, khép kín chẵn, gọi chu trình phân biệt Đương nhiên đường (chu trình) phân biệt cho G G xen kẽ G (và G ) Bổ đề 3.1 Hai đồ thị đồng bậc G = G phải có chu trình đơn giản, phân biệt Chứng minh Vì G = G nên phải có cạnh u1 = (ai1 , ai2 ) ∈ U −U Nhưng theo giả thiết số cạnh G liên thuộc ai2 số cạnh G liên thuộc đỉnh ấy, có cạnh u1 ∈ U − U phải có cạnh u2 = (ai2 , ai3 ) ∈ U − U , theo lập luận phải có cạnh u3 = (ai3 , ai4 ) ∈ U − U , v.v Vì số cạnh hai đồ thị hữu hạn, nên tiếp tục q trình trên, có lúc ta gặp cạnh uis +1 trùng với cạnh uik qua Lúc µ = [aik , aik +1 , , ais ] cho ta chu trình đơn giản, phân biệt cho G G Định lý 3.1 Nếu hai đồ thị G = (A, U ) G = (A, U ) đồng bậc G suy từ G số hữu hạn di chuyển chu trình đơn giản đơi khơng có cạnh chung Chứng minh Gọi q số cạnh G không thuộc G Dĩ nhiên ta cần xét q > Theo bổ đề trên, có chu trình phân biệt µ cho G G : thực di chuyển µ cho G ta đồ thị G1 , số cạnh không thuộc G q1 ≤ q − Nếu q1 > ta lại tìm chu trình phân biệt µ2 cho G1 G , rõ ràng µ2 chu trình phân biệt G G , µ2 khơng có cạnh chung với µ1 Khi thực di chuyển µ2 cho G1 ta đồ thị G2 , số cạnh khơng thuộc G q2 ≤ q1 − 1, v.v Vì số cạnh hữu hạn nên đến lúc ta đồ thị Gh với qh = Dĩ nhiên Gh trùng hoàn toàn với G 42 Hệ 3.1 Nếu hai đồ thị G = (A, U ) G = (A, U ) đồng bậc, u ∈ U − U , có tồn chu trình đơn giản, phân biệt µ qua cạnh u Chứng minh Giả sử µ1 , µ2 , µk chu trình đơn giản, phân biệt mà phép di chuyển tương ứng biến G thành G Dĩ nhiên tất chu trình đơn giản phân biệt, số phải có chu trình (và mà thơi) qua u, khơng phép di chuyển nói khơng thể làm cho G trùng với G 3.3 BÁN NHÂN TỬ Một đồ thị phận F = (A, V ) đồ thị cho trước G = (A, U ), V ⊂ U gọi bán nhân tử G, đỉnh a ∈ A có bậc F Một bán nhân tử gồm hay nhiều chu trình sơ cấp rời (Hình 3.2 a) Nếu gồm chu trình sơ cấp ta gọi chu trình Haminton (Hamilton) Nói cách khác, chu trình Haminton đồ thị G chu trình G, qua đỉnh G vừa lần (Hình 3.2 b) Ví dụ 3.1 Một nhân viên bưu điện hàng ngày phải đến mở hòm thư địa điểm b, c, d, (Hình 3.2 b), để lấy thư đưa sở bưu điện a Hãy tìm hành trình ngắn mà nên theo? 43 Đương nhiên, cần phải tìm hành trình ngắn được, xuất phát từ a qua đỉnh b, c, d, vừa lần để cuối trở a Như vấn đề tìm chu trình Haminton ngắn đồ thị G Bài tốn nêu ví dụ thường gọi toán người du lịch, chưa có cách giải hiệu quả, nhiều nhà toán học ý nghiên cứu Đó tốn tiếng khó tốn ứng dụng Dựa vào Định lý 3.1 hệ ta tìm dễ dàng bán nhân tử (nếu có) đồ thị G cho trước theo cách sau đây: xuất phát từ đỉnh (mỗi đỉnh qua lần), tới đỉnh e mà khơng có cạnh dẫn tới đỉnh (nghĩa đỉnh chưa qua) ta thêm vào đồ thị cạnh "giả" để tiếp tục Như cuối ta vẽ chu trình H qua đỉnh vừa lần có số cạnh "giả" thêm vào Gọi u cạnh giả Nếu G có bán nhân tử bán nhân tử H có bậc đỉnh nên theo Hệ 3.1, ta tìm chu trình qua cạnh giả u, cạnh "thật" (cạnh thuộc G) xen kẽ với cạnh "giả" Thực di chuyển chu trình này, ta bán nhân tử H1 , số cạnh giả giảm bớt so với H Lặp lại phép toán nhiều lần, ta bỏ dần cạnh giả cuối thu bán nhân tử khơng có cạnh giả, tức bán nhân tử G Nếu q trình đó, lúc ta gặp cạnh giả mà khơng có chu trình xen kẽ (gồm cạnh thật cạnh giả xen kẽ nhau) qua nó, tức G khơng có bán nhân tử ta khơng cần tiếp tục 3.4 TẬP HỢP TƯƠNG THÍCH LỚN NHẤT Cho đồ thị G = (A, U ) ứng với đỉnh a ∈ A cho số tự nhiên γ(a), bé hay bậc a G Ta nói tập hợp 44 W ⊂ U , hay đồ thị phận (A, W ) tương thích với hàm γ(a) bậc đỉnh a ∈ A đồ thị (A, W ) tw (a) ≤ γ(a) Ta ký hiệu |W | số phần tử tập hợp W Nếu khơng có tập hợp tương thích W với |W | > |W | W gọi tập hợp tương thích lớn đồ thị (A, W ) gọi đồ thị phận tương thích lớn Giả sử ta có hai tập hợp tương thích W W Một đường phân biệt µ = [u1 , u2 , , uk ] cho hai tập hợp W W , theo định nghĩa đường cạnh thuộc W − W xen kẽ với cạnh thuộc W − W Đường phân biệt gọi đầy đủ đơn giản (không qua cạnh hai lần trở lên) không chứa đường đơn giản phân biệt khác Một đường µ xen kẽ W gọi sửa cho W phép di chuyển tập hợp W µ cho ta tập hợp W1 tương thích Bổ đề 3.2 Một đường phân biệt, đầy đủ µ = [u1 , u2 , , uk ] cho hai tập hợp tương thích W W sửa cho W (và cho W ) Chứng minh Nếu µ có chứa chu trình phân biệt rõ ràng di chuyển chu trình khơng ảnh hưởng đến tính tương thích, thực trước di chuyển chu trình (nếu có), ta coi µ khơng chứa chu trình phân biệt Cho a điểm gốc µ, giả sử u1 ∈ W − W Gọi Wa (Wa ) tập hợp phần tử W (W ) liên thuộc a, µa tập hợp phần tử µ liên thuộc a(µa ⊂ W có phần tử tùy theo a = b a = b) Ta thấy Wa ⊂ Wa − µa có cạnh u ∈ Wa − (Wa − µa ) thêm u vào µ ta đường phân biệt chứa µ, trái với giả thiết tính đầy đủ µ Vậy trường hợp này, sau di chuyển, bậc a W , dù có tăng, ≤ bậc a W ≤ γ(a) Còn u1 ∈ W − W sau di chuyển bậc a W giảm (nếu a = b) (a = b) Đằng di chuyển khơng hại đến tính tương thích 45 a Tại điểm cuối b µ tình hình tương tự, đỉnh khác bậc khơng thay đổi Vậy µ sửa cho W Định lý 3.2 Nếu W W hai tập hợp tương thích khác W suy từ W số hữu hạn di chuyển đường phân biệt Chứng minh Gọi E tập hợp tất đường đơn giản, phân biệt cho W W Rõ ràng E khác rỗng, theo giả thiết W = W , tức phải có cạnh u ∈ (W − W ) ∪ (W − W ) Cạnh tự đường phân biệt cho W W Vả lại E dĩ nhiên hữu hạn, phải có đường µ ∈ E, khơng chứa đường µ ∈ E khác, nghĩa phải có đường µ đầy đủ Theo bổ đề trên, µ sửa cho W , tức di chuyển W µ ta tập hợp tương thích W1 Nếu W1 = W ta lặp lại cách cho W1 tập hợp tương thích W2 , v.v Gọi qi (i = 0, 1, 2, ) số cạnh thuộc (Wi − W ) ∪ (W − Wi ) (với qui ước W0 = W ) rõ ràng qi+1 < qi Do sau số hữu hạn h phép di chuyển ta tập hợp Wh với qh = 0, tức Wh = W Hệ 3.2 Nếu W W hai tập hợp tương thích lớn W suy từ W số hữu hạn di chuyển đường phân biệt chẵn Chứng minh Cho µ = [u1 , u2 , , uk ] đường phân biệt đầy đủ cho W W Nếu µ gồm số lẻ cạnh số cạnh thuộc W µ < số cạnh thuộc W µ, ngược lại; hai trường hợp khơng thể xảy ra, chẳng hạn xảy trường hợp thứ di chuyển W µ cho ta tập hợp tương thích W1 với |W1 | = |W | + 1, trái với tính lớn W Vậy µ phải gồm số chẵn cạnh Sau di chuyển W µ ta tập hợp W1 với |W1 | = |W |, 46 nghĩa W1 tập hợp tương thích lớn nhất, lý luận lặp lại cho W1 W , v.v Thành thử đường nói Định lý 3.2 xem chẵn Định lý 3.3 (Berge-Norman-Rabin) Một tập hợp tương thích W lớn khơng có đường xen kẽ sửa được, với hai cạnh mút nhạt Chứng minh Phần "chỉ khi" rõ ràng, có đường µ di chuyển W µ ta tập hợp tương thích lớn W Để chứng minh phần ngược lại, ta xét tập hợp tương thích W với điều kiện nêu trên, cho W tập hợp tương thích lớn Theo Định lý 3.2, W suy từ W di chuyển đường phân biệt cho W W , tức đường xen kẽ W Nhưng đường xen kẽ đó, có số lẻ cạnh theo giả thiết, hai cạnh mút phải cạnh đậm, di chuyển đường khơng thể làm tăng số cạnh đậm Do Wh tập hợp thu di chuyển cuối (Wh = W ) |Wh | ≤ |W |, chứng tỏ |W | = |W |, nghĩa W tập hợp tương thích lớn Do Định lý 3.3 ta suy thuật toán sau đây: xuất phát từ tập hợp tương thích W , ta kiểm tra xem có đường xen kẽ, sửa với hai cạnh mút nhạt hay không? Nếu có di chuyển W đường Khi khơng đường có tập hợp tương thích lớn Để phát đường trên, làm sau: cạnh nhạt liên thuộc đỉnh "chưa no" (nghĩa đỉnh mà tw (a) < γ(a)), theo đường xen kẽ (đi theo cạnh đánh dấu cạnh mũi tên); lúc không tiếp tục dừng lại xem đường thu có đủ điều kiện cần thiết khơng 47 Nếu đường chưa có điều kiện cần thiết quay lại điểm rẽ (quay lại đến đâu xóa mũi tên đến đó), theo hướng khác, v.v Đến dùng hết đường phát xuất từ đỉnh chưa no chuyển qua đỉnh chưa no khác lặp lại trình trên, v.v Ứng dụng Cho đồ thị G = (A, U ) Một tập hợp V ⊂ U gọi phủ G đỉnh a ∈ A đầu mút cho cạnh V Rõ ràng V phủ W = U − V tập hợp tương thích với hàm γ(a) = ρ(a) − 1, ρ(a) bậc a G Một phủ nhỏ phủ có phần tử Dĩ nhiên V phủ nhỏ W = U − V tập hợp tương thích lớn với hàm γ(a) Ví dụ 3.2 Trong tòa nhà cần mắc số đèn để soi sáng chỗ đông người vào: a, b, c, d, e, f, g (Hình 3.3) Một đèn mắc hành lang (a, f ) soi sáng hai nơi a, f , v.v Cần mắc đèn để soi sáng nơi đông người vào? Vấn đề qui lại tìm phủ nhỏ đồ thị hình 3.2 Ta thấy cần mắc đèn hành lang vẽ nét đậm Kết luận chương Chương trình bày số tính chất bậc 48 đỉnh đồ thị, dựa phép di chuyển bảo toàn bậc đỉnh khái niệm bán nhân tử, tập hợp tương thích lớn số ứng dụng 49 Kết luận Luận văn tìm hiểu giới thiệu kiến thức đồ thị kết lý thuyết, định lý liên quan đến tính liên thơng đỉnh cạnh, tính chất bậc đồ thị vơ hướng số ví dụ ứng dụng Luận văn trình bày nội dung cụ thể sau Khái niêm đồ thị: đỉnh cạnh, đồ thị vơ hướng, đồ thị có hướng, bậc đỉnh tính chất, đường chu trình, đồ thị liên thông, không liên thông số đồ thị đặc biệt thường gặp Liên thông đỉnh, liên thông cạnh đồ thị định lý điều kiện để đồ thị k-liên thông đỉnh hay -liên thông cạnh Một số ví dụ ứng dụng Phép biến đổi bảo toàn bậc đỉnh đồ thị Đồ thị đồng bậc tính chất, bán nhân tử (đồ thị đỉnh có bậc hai) chu trình Hamilton Thuật tốn tìm tập hợp tương thích lớn nhất, ví dụ ứng dụng 50 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Trần Vũ Thiệu Bùi Thế Tâm (1998), Các phương pháp tối ưu hoá, Nhà xuất Giao thơng vận tải [2] Hồng Tuỵ (1964), Đồ thị hữu hạn ứng dụng vận trù học, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật Tiếng Anh [3] J M Aldous, R J Wilson (2004), Graphs and Applications - An Introductory Approach, Springer [4] J A Bondy, U S R Murty (2008), Graph Theory, Springer [5] R Diestel (2016), Graph Theory, Electronic Edition, Springer-Verlag, New York [6] R J Wilson (1998), Introduction to Graph Theory, Fourth Edition, Addison Wesley Longman Limited ... thị: đỉnh cạnh, đồ thị vô hướng, đồ thị có hướng, đồ thị đẳng cấu, đồ thị con, bậc đỉnh tính chất, đường chu trình, đồ thị liên thông không liên thông, thành phần liên thông Một số đồ thị đặc biệt:... dạng đồ thị đặc biệt: rừng cây, đồ thị hình sao, đồ thị vòng, đồ thị bánh xe, đồ thị đầy đủ, đồ thị hai phần, đồ thị hai phần đầy đủ, đồ thị đều, 25 Chương LIÊN THÔNG ĐỈNH VÀ LIÊN THÔNG CẠNH CỦA... đỉnh đồ thị G có bậc k G gọi đồ thị bậc k hay đồ thị k - quy (k - regular) Đồ thị bậc gọi đồ thị lập phương (cubic) Dễ dàng chứng minh tính chất sau bậc đỉnh đồ thị: a) Trong đồ thị vô hướng,