Phương pháp quy nạp toán học

Chuyên đề Toán nâng cao lớp PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC -TUẦN 19: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Mở đầu: Phương pháp quy nạp biết đến cách tổng quát hóa vấn đề từ trường hợp cụ thể Phương pháp chứng minh quy nạp phương pháp hữu hiệu hay sử dụng chứng minh toán học Chúng ta xét ví dụ sau đây: Ví dụ 1: “Tìm công thức tính tổng n số tự nhiên lẻ đầu tiên” Chúng ta thử tính toán với số giá trị cụ thể n: Quan sát thấy = 12; = 22; = 32; … Từ ta thử dự đoán công thức cho trường hợp tổng quát: Ta thử tiếp tục tìm hiểu ví dụ sau: Ví dụ 2: “Với số nguyên dương n n2 – n + 41 số nguyên tố” Xét bảng thử giá trị ban đầu đây: Đến thử tiếp nhận thấy có nhiều giá trị n để n2 – n + 41 số nguyên tố Tuy nhiên với n = 41 ta có: 412 – 41 + 41 = 412 lại không số nguyên tố Hình thức phương pháp quy nạp toán học: Giả sử Pn khẳng định phụ thuộc vào số tự nhiên n, giả sử điều kiện sau đúng: - Thầy Hiếu 0987 702 775 Chuyên đề Toán nâng cao lớp PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC -1 P1 Với giá trị k, Pk Pk+1 Khi Pn với giá trị n Từ phát biểu ta thấy: P1 (vì điều kiện 1) P2 đúng, P1 (điều kiện 2) P3 đúng, P2 (điều kiện 2) P4 đúng, P3 (điều kiện 2) … Do trình lặp lại không dừng nên ta Pn cho giá trị n Để dễ dàng hình dung phương pháp quy nạp, ta xem xét trình đổ quân domino dãy domino dài vô hạn Điều kiện 1: tương tự việc quân domino đổ Điều kiện 2: ứng với việc quân domino thứ k đổ quân domino thứ k + đổ theo Quá trình lặp lại vô hạn lần, từ ta có tất quân domino đổ: - Thầy Hiếu 0987 702 775 Chuyên đề Toán nâng cao lớp PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC Bây quay lại trình chứng minh biểu thức ví dụ Pn = + + + … + (2n – 1) = n2 (*) Với n = ta có P1 = 12 => (*) với n = Giả sử (*) đến giá trị n = k, tức là: Pk = + + + … + (2k – 1) = k2 (1) Ta chứng minh (*) với n = k + hay: Pk+1 = + + + … + (2k – 1) + (2k + 1) = (k + 1)2 Vì ta giả sử Pk nên ta có (1), từ ta biến đổi để xuất (2) (1) gọi giả thiết quy nạp Từ suy ra: Pk+1 = + + + … + (2k – 1) + (2k + 1) = k2 + 2k + = (k + 1)2 BÀI TẬP Dạng : Chứng minh biểu thức Bài Chứng minh :     n  n(n  1) ( n  N ) n Bài Hãy tính tổng : Sn = 1       ( 1) (2n  1) Bài Chứng minh rằng: 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n  1)(2n  1) n (n  1)2 Bài Chứng minh rằng: + + + …+ n = 3 3 Bài Chứng minh rằng: 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+ n(n + 1) = n(n  1)(n  2) - Thầy Hiếu 0987 702 775 Chuyên đề Toán nâng cao lớp PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC -Bài Chứng minh rằng: 1.4 + 4.7 + 7.10 + …+ (3n  2)(3n + 1) = n(n + 1)2 Bài Chứng minh rằng: (n + 1)(n + 2)(n + 3) (n + n) =2n 1.3.5 (2n  1) 12 22 32 n2 n(n  1)      Bài Chứng minh rằng: 1.3 3.5 5.7 (2n  1).(2n  1) 2(2n  1) Bài Chứng minh với số tự nhiên n ta có: 1 1 n(n  3)      1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n  1)(n  2) 4(n  1)(n  2) Bài 10 Chứng minh rằng: 1 1     n   n 2 Dạng 2: Phương pháp quy nạp toán chứng minh bất đẳng thức Chứng minh kết luận sau: Bài 2n > n với số tự nhiên n  Bài n! > n2 với số tự nhiên n  Bài 2n < n! với số tự nhiên n  Bài 3n < n! với số tự nhiên n  Bài 3n  2n + với số tự nhiên n  Bài n! < nn với số tự nhiên n  Bài 2n +  2n + với số tự nhiên n  Bài (2n) ! < 22n(n!)2 với số tự nhiên  - Thầy Hiếu 0987 702 775 Chuyên đề Toán nâng cao lớp PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC -TUẦN 20: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC (tiếp) Dạng 3: Chứng minh chia hết Bài Chứng minh với số tự nhiên n ta có: Bn = 11n+2 + 122n+1 chia hết cho 133 Lời giải: Với n = ta có: B0 = 112 + 121 = 133  133 => (*) Giả sử (*) đến giá trị n = k, tức là: Bk = 11k+2 + 122k+1  133 (1) Xét Bk+1 – Bk = 11k+1+2 + 122(k+1)+1 – (11k+2 + 122k+1) = 11k+3 – 11k+2 + 122k+3 – 122k+1 = 10.11k+2 + 143.122k+1 = 10.121.11k + 143.12.144k  10.121.11k + 10.12.11k  10.11k(121+12)  (mod 133) Theo giả thiết quy nạp (1) ta có Bk  133 => Bk+1  133 hay (*) với n = k + Vậy (*) với số tự nhiên n Bài Chứng minh với số tự nhiên lớn phân tích thành tích hay nhiều thừa số nguyên tố Bài Chứng minh rằng: 62n – chia hết cho 35 với n  N Bài Chứng minh 7n+2 + 82n+1 chia hết cho 57 với n  N Bài Chứng minh rằng: 25n+3+5n.3n+2 chia hết cho 17 với n  N Bài Chứng minh rằng: 2n+5.34n + 53n+1 chia hết cho 37 với n  N Bài Chứng minh rằng: 4n + 15n – chia hết cho với n  N Bài Chứng minh rằng: 32n+3 – 24n + 37 chia hết cho 64 với n  N Bài Chứng minh rằng: 56n+5 + 76n + chia hết cho với n  N Bài 10 Chứng minh 32n+2 + 26n+1 chia hết cho 11 với n  N Dạng 4: Quy nạp toán rời rạc Bài Chứng minh với số tự nhiên n khác 0, tồn số gồm n chữ số, n chứa chữ số 2, chia hết cho Lời giải: Ta chứng minh kết toán phương pháp Quy nạp toán học Với n = ta có: A1 =  21 - Thầy Hiếu 0987 702 775 Chuyên đề Toán nâng cao lớp PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC -Với n = ta có số A2 = 12  22 Giả sử kết luận toán đến n = k tức tồn số Ak có k chữ số, gồm chữ số chữ số 2, chia hết cho 2k Đặt Ak = 2k.q Nếu q chẵn => Chọn số Ak+1 = Ak = 2.10k + 2kq chia hết cho 2k+1 Nếu q lẻ => Chọn số Ak+1 = 1Ak = 10k + 2kq = 2k(5k + q) chia hết cho 2k+1 Vậy ta chọn số Ak+1 có k + chữ số, gồm chữ số 2, chia hết cho 2k+1 Phân tích: Ở toán này, cần chứng minh tồn số thỏa mãn tính chất cho trước Khi áp dụng phương pháp quy nạp, lựa chọn khéo léo kết cho bước chứng minh n = k + dựa kết có giả thiết quy nạp n = k Bài Chứng minh với số bưu phí lớn xu trả cách dán tem xu xu Lời giải: Ta chứng minh toán phương pháp quy nạp Dễ thấy = + 5; = + + => bưu phí xu xu trả cách dán tem xu xu Giả sử bưu phí với giá k xu trả cách dán tem xu xu - Nếu cách trả tiền cho k xu, có tem xu, ta thay xu tem xu, ta nhận cách trả tiền cho k + xu thỏa mãn đề - Nếu cách trả tiền cho k xu, tem xu nào, số tem xu không nhỏ Lúc ta thay tem xu tem xu nhận cách trả tiền cho k + xu Vậy trường hợp, ta có cách trả tiền cho k + xu Theo nguyên lý quy nạp, toán chứng minh Bài Chứng minh với số tự nhiên n tìm số gồm n chữ số, gồm chữ số 2, chia hết cho 2n Bài Chứng minh với bưu phí không nhỏ 12 xu, tạo tem xu xu n n * Bài Cho lưới ô vuông x ( n  N ), bị khuyết ô Chứng minh lát lưới ô vuông hình chữ L (xem hình dưới) Bài Hỏi lát lại bàn cờ kích thước n  n (n > 5, n lẻ không chia hết cho 3) miếng hình chữ L hay không? Bài Có cầu thang gồm n bậc Giả sử bước đi lên số bậc (ít bậc, nhiều n bậc) Hỏi có cách để đến bậc thứ n? - Thầy Hiếu 0987 702 775 ... Hiếu 0987 702 775 Chuyên đề Toán nâng cao lớp PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC -TUẦN 20: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC (tiếp) Dạng 3: Chứng minh... N Dạng 4: Quy nạp toán rời rạc Bài Chứng minh với số tự nhiên n khác 0, tồn số gồm n chữ số, n chứa chữ số 2, chia hết cho Lời giải: Ta chứng minh kết toán phương pháp Quy nạp toán học Với n... 0987 702 775 Chuyên đề Toán nâng cao lớp PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC -Với n = ta có số A2 = 12  22 Giả sử kết luận toán đến n = k tức tồn