Phương pháp tọa độ trong Toán học

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Ngô Hoàng Toàn Lớp YD-K38 Đại Học Y Dược Cần Thơ Email:ngohoangtoan@gmail.com Khi giải toán, điều quan trọng ta tìm kết mà tìm cách giải hay,phù hợp với đặc thù Như nhà toán học Euler nói thư gởi nhà toán học Gôn-Bach việc tìm nghiệm tự nhiên phương trình 4xy - x - y  z ;4 xy  x   z sau :” Thú thật không ngờ ông lại có cách chứng minh dễ dàng đẹp mắt Từ đó, tin phần lớn định lý Fermat chứng minh cách tương tự cảm ơn ông cho biết cách chứng minh đẹp đẽ này.” Chính viết chuyên đề với mục đích tìm cách giải đẹp cho loại phương trình đại số phương trình vô tỷ Phương pháp tọa độ, vectơ cách thức vận dụng hình học giải tích mặt phẳng với hai đối tượng thường dùng tọa độ điểm vectơ sau dùng công thức phương pháp tính toán biết để giải Sau kiến thức vận dụng :   Tích vô hướng: Cho a  ( x1 ; y1 ) , b  ( x2 ; y2 )  ab  x1 x2  y1 y2  a  x12  y12 Khi giải phương trình f ( x)  g ( x) Ta biến đổi f ( x) thành vế trái, g ( x) thành vế phải ứng với:    ab  a b     a  b  a b     a  b  a b Hoặc biến đổi vế, giả sử f ( x) dạng BĐT xét dấu “=”    ab  a b     a  b  a b     a  b  a b      dấu “=” xảy a  kb (k  0)       dấu “=” xảy b  a , b ngược hướng Nếu dùng hình học giải tích ta ý kiến thức đường tròn, đường thẳng… (tham khảo thêm SGK Hình học 10 nâng cao ) Sau số ví dụ : http://k2pi.net Page PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 1) Giải phương trình: ĐK:  x  x  18 x  36 x  x3   x Phân tích: ta chưa thể xác định tọa điểm ta ý đến    ab  a b ta xét vectơ có tọa độ (1;1) Trở lại toán Gọi VT  f ( x) , VP  g ( x) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn vectơ:   a  1;1 , b  x  18 x ; 36 x  x   Ta có: a  , b  2x    a b  6x  ab  x  18 x  36 x  x    mà f ( x)  ab  a b  x   g ( x)   x  x  x Suy f ( x)  x  g ( x)   Dấu “=” xảy a, b phương  x  x  18 x 36 x  x    1  x2    9( x  3)   x  (l )   x  ( n) Vậy S  3  Nhận xét: Thật phương pháp xét vectơ a  (1;1) cách lợi dụng tính ưu việt BĐT B-C-S sau: ĐK:  x  Ta có:  x  1(9 x3  18 x )  1(36 x  x )  (1  1)(9 x  18 x  36 x  x )  x x  18 x  36 x  x  x  (l )   x  (n) Dấu “=” xảy Ta giải toán nhiều cách khác http://k2pi.net Page PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 2) Giải phương trình: ĐK:   x   2x   2x   2x  2x  1 2x  2x Phân tích: Lần toán thấy khó giải VP không dạng tọa độ  A  x; y  hay a  ( x; y ) ta thấy: Ta có : VP  ( BĐT Cauchy) (1) Xét VT : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn   u  (1;1)  u    v  1 2x; 1 2x  v       VT   x   x  uv  u v  (2) Từ (1), (2)  VT   VP Dấu “=” xảy x  Vậy S  0 Ta tổng quát toán không gian Oxyz Ta xét ví dụ sau: 3) Giải phương trình: sin x   sin x  sin x  sin x  Trong không gian Oxyz chọn   u  sin x;1;  sin x  u    v  1;  sin   x ;sin x   v     VT  sin x   sin x  sin x  sin x  uv  u v   VP Dấu “=” xảu sin x  sin x   sin x  sin x sin x     sin x   x   k 2 (k  Z ) sin x    Vậy S    k 2 k  Z  2  http://k2pi.net Page PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 4) Giải phương trình: 2 16 32 2 x 2 x  x  x  x  10  x  x    2 (1) 2 5 2 5 (Cải biên đề thi Olympic toán khu vực miền Trung Tây Nguyên) Phân tích: Bài toán khó đặt ẩn phụ hay đánh giá, ta phát giá trị x Nếu ta đưa khỏi ta cụm tổng bình phương 2 2 2 1 16    4 8    2  x    x        x  4    x         2 (1)  2  5 5 5      Trong mặt phẳng Oxy chọn:  a   x;    16  bx ;  5   c    x;    8 d    x;  5 5 Ta có:   ac    bd  Ta có:     a  c  ac     b  d  bd          a  b  c  d  a c  b d  4 4    2  VP Dấu “=” xảy x  Vậy S  2  VT    Nhận xét: Nếu toán có nhiều ẩn ta giải theo hướng Ta xét ví dụ: http://k2pi.net Page PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 phương 5) Giải 2b  6b   2b  10 13 13 ab  a  a  4a   13 9 trình: (1) 2   2  (1)  b   b  3   b  a    b  a    a     a   13   3  Trong mặt phẳng Oxy chọn      M  a; a  ; N  b; b   MN   a  b; a  b           A  0;3 ; B  2;   NA   b; b  3 , MB    a;  a  , AB   2; 3    Ta có: 2     VT  AN  NM  MB  AB  13  VP  Dấu “=” xảy AB cp AN cp NM 18  a , b 13  18   ;   13   Vậy S   Kết Luận: Qua chuyên đề có nhiều hiểu biết công cụ vectơ không dùng hình học mà đại số.Chính mong nhận ý kiến bạn chuyên đề phương pháp khác mà chưa đề cập Tài liệu tham khảo: [1] Chuyên đề nâng cao Đại số Giải Tích THPT-Phạm Quốc Phong-NXB Đại học Sư Phạm -2005 [2] Dùng hình học giải tích để giải phương trình ,bất phương trình,hệ phương trình,bất đẳng thức-Trần Đình Thì-NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội-2008 http://k2pi.net Page ... giải toán nhiều cách khác http://k2pi.net Page PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 2) Giải phương trình: ĐK:   x   2x   2x   2x  2x  1 2x  2x Phân tích: Lần toán thấy...PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 1) Giải phương trình: ĐK:  x  x  18 x  36 x  x3   x Phân tích: ta chưa thể xác định tọa điểm ta ý đến   ... http://k2pi.net Page PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ, VECTƠ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 2012 4) Giải phương trình: 2 16 32 2 x 2 x  x  x  x  10  x  x    2 (1) 2 5 2 5 (Cải biên đề thi Olympic toán khu vực miền