KHAI TRIỂN TIỆM CẬN CÁC TÍCH PHÂN KỲ DỊ

Header Page of 89 B GIO DC V O TO TRNG I HC LT TRN GIA LC KHAI TRIN TIM CN CC TCH PHN K D LUN N TIN S NGNH TON HC Lt 2014 Footer Page of 89 Header Page of 89 Bễ GIAO DUC VA AO TAO TRNG AI HOC A LAT TRN GIA LễC KHAI TRIN TIM CN CAC TCH PHN K D Chuyờn ngnh: Toỏn Gii Tớch Mó s: 62.46.01.01 TOM TT LUN AN TIN S TOAN HOC NGI HNG DN KHOA HOC GS TSKH Lờ Dng Trỏng TS Trnh c Ti Lt - 2014 Footer Page of 89 Header Page of 89 LI CAM OAN Lun ỏn ny c vit bi chớnh tụi, cỏc kt qu liờn quan n lun ỏn l ca tụi hoc ca tụi lm vic chung vi GS.TSKH Lờ Dng Trỏng, PGS.TSKH H Huy Vui, TS Trnh c Ti Cỏc kt qu khỏc c s dng vit lun ỏn u c trớch dn y Cỏc kt qu ca tụi hoc ca tụi lm vic chung vi cỏc nh toỏn hc trờn l mi v cha cụng b bt k cụng trỡnh ca khỏc PGS.TSKH H Huy Vui, TS Trnh c Ti ó ng ý cho tụi s dng cỏc kt qu nghiờn cu chung ca tụi vi h vit lun ỏn ny Lun ỏn ny c vit v hon thnh ti Vin Toỏn hc v Trng i hc Lt, di s hng dn khoa hc ca GS.TSKH Lờ Dng Trỏng, PGS.TSKH H Huy Vui v TS Trnh c Ti; ó c ba nh Toỏn hc trờn c, gúp ý v sa cha Lt, ngy 01 thỏng 08 nm 2014 Trn Gia Lc Footer Page of 89 i Header Page of 89 LI CM N Trc tiờn tụi by t lũng bit n c PGS.TSKH Nguyn Hu c, ngi ó dy v hng dn tụi lm lun Thc s, ó dn dt tụi n vi lý thuyt k d, ó khuyn khớch ng viờn tụi tip tc lm nghiờn cu sinh v dnh cho tụi s quan tõm sõu sc c bit, ụng ó gii thiu tụi theo hc v lm vic vi GS.TSKH Lờ Dng Trỏng hon thnh lun ỏn ny Lun ỏn ny c hon thnh di s hng dn khoa hc ca GS.TSKH Lờ Dng Trỏng Thy ó t cỏc bi toỏn mt cỏch tng minh giỳp tụi nhanh chúng nh hng nghiờn cu ca mỡnh Dự bn rn vi cụng vic v gp v sc khe, nhng Thy kiờn trỡ theo dừi v ng viờn tụi lm vic, ó dnh cho tụi mt s quan tõm c bit, ó xut cỏc hng nghiờn cu v a cỏc cõu hi xỏc ỏng, giỳp tụi t tin vt qua nhng khú khn hon thnh lun ỏn Qua kin thc uyờn bỏc v s hng dn ca Thy, tụi ó bit v hiu rừ giỏ tr ca mt s lnh vc Toỏn hc Tụi xin by t lũng kớnh trng v bit n n Thy Tụi xin trõn trng cm n TS Trnh c Ti ó dnh cho tụi nhng bui seminar v nhng ln trao i b ớch, giỳp tụi vt qua s b ng ban u gii quyt bi toỏn ca GS Lờ Dng Trỏng t cho tụi, ó c v cú nhng ý kin xỏc ỏng giỳp tụi chnh sa lun ỏn ny Lun ỏn ny khụng th hon thnh nu khụng cú s giỳp v hng dn khoa hc ca PGS.TSKH H Huy Vui T cui nm 2008, thy ó quan tõm ng viờn, khuyn khớch v nhn ni dnh thi gian dy v hng dn tụi vt qua nhng khú khn ban u c cỏc cụng trỡnh ca B Malgrange liờn quan n cỏc bi toỏn m GS Lờ Dng Trỏng t cho tụi c bit t nm 2011, Thy ó t bi toỏn tỡm tim cn th tớch v tim cn s im nguyờn ca mt na i s cho tụi, kiờn trỡ hng dn tụi gii quyt bi toỏn ú hon thnh lun ỏn ny Tụi xin by t lũng kớnh trng v bit n n Thy Tụi trõn trng cm n PGS.TS T Lờ Li, PGS.TS Phm Tin Sn, TS Nguyờn Sn v nhúm seminar lý thuyt kỡ d ca Khoa Toỏn - i hc Lt ó dnh cho tụi nhng bui seminar b ớch, sn sng chia s kin thc, ó quan tõm Footer Page of 89 ii Header Page of 89 h tr vt cht v tinh thn cho tụi quỏ trỡnh nghiờn cu Tụi xin cm n Ban giỏm hiu Trng i hc Lt, Phũng o To i hc v Sau i hc, Phũng NCKH-HTQT, Khoa Sau i hc, Khoa Toỏn Tin hc ca trng i hc Lt; Ban giỏm hiu Trng Cao ng S phm Lt ó to iu kin thun li cho tụi sut quỏ trỡnh lm nghiờn cu sinh ti Trng i hc Lt Tụi trõn trng cm n Vin Toỏn hc, Phũng Hỡnh hc v Tụpụ, nhúm seminar k d ca Vin Toỏn hc ó h tr vt cht v iu kin lm vic thun li cho tụi nhng ln tụi n Vin Toỏn hc hc v nghiờn cu di s hng dn ca PGS TSKH H Huy Vui Tt nhiờn lun ỏn ny khụng th hon thnh nu khụng cú s hu thun, cm thụng, chia s v ng viờn ca gia ỡnh tụi sut thi gian tụi lm nghiờn cu sinh Li cm n cui cựng ny tụi xin dnh cho gia ỡnh thõn yờu ca tụi Lt, 09 thỏng 08 nm 2014 Trn Gia Lc Footer Page of 89 iii Header Page of 89 Mc lc LI CAM OAN i Li cm n ii Mc lc iv Danh sỏch hỡnh v vii Danh sỏch cỏc ký hiu viii Túm tt xii M u Cỏc Hi ngh v Seminar cú bỏo cỏo kt qu ca lun ỏn Cỏc cụng trỡnh ca tỏc gi lin quan n lun ỏn Tng quan v tớch phõn k d dao ng 1.1 M u 1.2 Phng phỏp pha dng 1.2.1 Trng hp hm pha khụng cú im k d supp(f ) 1.2.2 Trng hp hm pha cú k d khụng suy bin 1.3 Tớch phõn dao ng trng hp mt chiu 1.3.1 a phng húa 1.3.2 ỏnh giỏ tớch phõn dao ng mt chiu 1.3.3 Tim cn 1.4 Tớch phõn dao ng trng hp nhiu chiu 1.5 Trng hp hm pha l a thc 1.6 a din Newton v tớch phõn dao ng 1.6.1 Ch s dao ng v ch s k d 1.6.2 a din Newton 1.6.3 a din Newton v ỏnh giỏ tớch phõn dao ng 1.7 Tớch phõn dao ng ph thuc tham s Footer Page of 89 iv 7 10 11 13 13 14 17 18 21 24 25 26 28 29 Header Page of 89 MC LC 1.8 Tim 1.8.1 1.8.2 1.8.3 cn th tớch Dng Gelfand-Leray Th tớch ca di mc Tớch phõn kiu Laplace a 2.1 2.2 2.3 2.4 thc Bernstein-Sato v hm gamma suy rng n o ca mt kỡ d cụ lp a thc Bernstein-Sato a thc Bernstein-Sato v thỏc trin gii tớch ca hm f s Hm gamma suy rng 2.4.1 Kho sỏt gi thuyt 2.4.1 bng cỏch s dng tớnh cht ca hm gamma 2.4.2 Mt iu kin cho phng trỡnh hm (2.3) 2.5 Hm gamma ng vi f (t) = tk 2.5.1 Tớnh cht ca tk 2.5.2 Khai trin tim cn ca tk 2.5.3 Quan h gia tk v k 2.6 Hm zeta v hm beta suy rng 2.6.1 Hm f beta v hm f zeta 2.6.2 Cỏc hm tk beta v tk zeta 2.7 Phng trỡnh hm ca f vi f l a thc bc hai Tim cn s im nguyờn v tim cn th tớch ca s 3.1 M u 3.2 Phỏt biu cỏc kt qu 3.3 Cỏc chng minh 3.3.1 Chng minh nh lý 3.2.1 3.3.2 Chng minh nh lý 3.2.2 3.3.3 Chng minh nh lý 3.2.3 3.4 Cỏc vớ d KT LUN A Cỏc A.1 A.2 A.3 Footer Page of 89 30 30 31 31 33 33 35 40 42 44 45 46 47 50 51 53 54 55 56 cỏc na i 58 58 60 64 66 73 76 79 85 khỏi nim c bn 87 Khụng gian Lp 87 Khụng gian L 88 Cỏc ký hiu , , o , v O 88 v Header Page of 89 MC LC A.4 Tp na i s 88 A.5 a thc monic 89 B M u v ng iu n hỡnh v ng iu k d B.1 Nhúm ng iu n hỡnh B.1.1 n hỡnh B.1.2 Phc n hỡnh B.1.3 Hng ca phc n hỡnh B.1.4 Nhúm cỏc dõy chuyn p chiu B.1.5 Cỏc s Betti v c trng Euler B.2 ng iu kỡ d B.2.1 Quan h gia ng iu n hỡnh v ng iu kỡ d Cỏc thut ng 99 Ti liu tham kho Footer Page of 89 90 90 90 91 92 93 96 96 98 101 vi Header Page of 89 Danh sỏch hỡnh v 1.1 1.2 a din Newton ca K 26 (a) a din Newton ca , (b) Lc Newton ca 27 2.1 Phõn th Milnor 34 3.1 (a) - a din Newton ca f cựng (a) - a din Newton ca g cựng (b) - a din Newton ca f ti vụ 60 (b) - a din Newton ca g ti vụ 61 Cỏc n hỡnh Cỏc phc n hỡnh Khụng l phc n hỡnh Tam giỏc phõn ca bng Mă obius n hỡnh chiu nh hng n hỡnh chiu nh hng Cỏc n hỡnh chun Cỏc n hỡnh k d 3.2 B.1 B.2 B.3 B.4 B.5 B.6 B.7 B.8 Footer Page of 89 vii 91 91 91 92 93 94 97 97 Header Page 10 of 89 Danh sỏch cỏc ký hiu Cỏc chun v khụng gian Lp f Lp L chun Lp 87 Rd | f (x) |p dx p - chun Lp ca f 87 chun L 88 f L chun L ca f 88 f C N () max x ||N | D f (x) | 10 | a |, chun ca a thc P (x) = P 0 - phộp bin i Laplace ca f 47 Rn ei(x) f (x)dx Footer Page 10 of 89 phộp bin i Fourier ca f 30 (x)f+s dx 40 tớch phõn dao ng loi I viii Header Page 106 of 89 Ph lc B M u v ng iu n hỡnh v ng iu k d Hỡnh B.1: Cỏc n hỡnh B.1.2 Phc n hỡnh nh ngha B.1.3 Mt phc n hỡnh l mt h K hu hn cỏc n hỡnh no ú khụng gian Euclide Rn tha cỏc iu kin sau : (i) Nu thuc K thỡ mi mt ca cng thuc K (ii) Giao ca hai n hỡnh tựy ý ca K hoc bng rng, hoc l mt mt chung ca hai n hỡnh ú Cỏc nh ca cỏc cỏc n hỡnh ca K cng gi l cỏc nh ca K Chiu ca K l s chiu cc i ca cỏc n hỡnh thuc K Hp ca tt c cỏc n hỡnh ca K vi tụpụ cm sinh t Rn l mt khụng gian tụpụ ca Rn , kớ hiu l |K| v gi l mt a din ng vi K Vớ d B.1.3 Hỡnh B.2 l cỏc phc n hỡnh v hỡnh B.3 khụng l cỏc phc n hỡnh Hỡnh B.2: Cỏc phc n hỡnh Hỡnh B.3: Khụng l phc n hỡnh nh ngha B.1.4 Cho X l mt khụng gian tụpụ Nu tn ti mt phc n hỡnh K cho a din |K| tng ng ca nú ng phụi vi X thỡ X c gi l mt khụng gian tam giỏc phõn v phc K c gi l mt tam giỏc phõn ca X Footer Page 106 of 89 91 Header Page 107 of 89 Ph lc B M u v ng iu n hỡnh v ng iu k d nh ngha B.1.5 (i) Mt phc n hỡnh L c gi l phc n hỡnh ca phc n hỡnh K nu mi n hỡnh ca L u l n hỡnh ca K (ii) Bao úng ca mt k-n hỡnh k , kớ hiu l Cl(k ), l mt phc cha k v tt c cỏc mt ca nú Cho phc n hỡnh K v r l mt s nguyờn tha r dimK Kớ hiu Kr = { K : dim r} Khi ú Kr l mt phc n hỡnh ca K nh ngha B.1.6 Kr c gi l r-khung ca K Vớ d B.1.4 (i) Xột phc chiu = [v0 v1 v2 v3 ] 2-khung ca bao úng ca l phc K m cỏc n hỡnh ca nú l cỏc mt riờng ca |K| l biờn ca mt t din, ú nú ng phụi vi mt cu chiu S = (x1 , x2 , x3 ) R3 : x2i = i=1 Vy S l tam giỏc phõn c, vi K l mt tam giỏc phõn (ii) Hỡnh B.4 cho mt tam giỏc phõn ca bng Mă obius, bng cỏch cho nh cú nhón a0 ng nht vi nhau, hai nh cú nhón a3 ng nht vi nhau, cỏc im tng ng ca on thng [a0 a3 ] ng nht vi Hỡnh B.4: Tam giỏc phõn ca bng Mă obius B.1.3 Hng ca phc n hỡnh nh ngha B.1.7 Mt n-n hỡnh nh hng, n 1, l mt n-n hỡnh n = [v0 , v1 , , ] m trờn ú ó chn mt th t ca cỏc nh Lp tng ng cỏc phộp th chn ca th t ó chn xỏc nh n hỡnh nh hng dng +n , v lp Footer Page 107 of 89 92 Header Page 108 of 89 Ph lc B M u v ng iu n hỡnh v ng iu k d tng ng cỏc phộp th l xỏc nh mt n hỡnh nh hng õm n Ta qui c 0-n hỡnh [v0 ] nh hng dng Phc n hỡnh nh hng l phc n hỡnh m cỏc n hỡnh ca nú u c gỏn mt hng Nu cỏc nh v0 , , vp ca mt phc K l cỏc nh ca mt p-n hỡnh p , ú kớ hiu +[v0 , , vp ] ch lp cỏc phộp th chn ca th t v0 , , vp v [v0 , , vp ] ch lp cỏc phộp th l Nu ta mun lp cỏc phộp th chn ca th t ny xỏc nh mt n hỡnh nh hng dng thỡ ta cú th vit +p = [v0 , , vp ] hoc + p = +[v0 , , vp ] Vớ d B.1.5 Trong 2-n hỡnh = [v0 , v1 , v2 ] vi th t v0 < v1 < v2 thỡ [v0 , v1 , v2 ], [v1 , v2 , v0 ], v [v2 , v0 , v1 ] c kớ hiu chung l +2 , cũn [v0 , v2 , v1 ], [v2 , v1 , v0 ], v [v1 , v2 , v0 ] c kớ hiu chung l (hỡnh B.5) Hỡnh B.5: n hỡnh chiu nh hng B.1.4 Nhúm cỏc dõy chuyn p chiu Cho K l mt phc n hỡnh Mt dõy chuyn p chiu ca K l mt tng hỡnh thc n p , ú p l n hỡnh p chiu phc n hỡnh K Kớ hiu Cp (K) l tt c cỏc dõy chuyn p chiu ca K Vi hai dõy chuyn p chiu cp = nh ngha: cp + d p = n p , dp = m p tựy ý ca Cp (K), ta (n + m )p Khi ú Cp (K) cựng vi phộp cng c nh ngha trờn l mt nhúm Vớ d B.1.6 Cho K l mt n hỡnh chiu (hỡnh B.6) Dõy chuyn 0-chiu l tng hỡnh thc: n0 v0 + n1 v1 + n2 v2 + n3 v3 , ni Z, i = 0, 1, 2, Footer Page 108 of 89 93 Header Page 109 of 89 Ph lc B M u v ng iu n hỡnh v ng iu k d Hỡnh B.6: n hỡnh chiu nh hng Dõy chuyn 1-chiu l tng hỡnh thc: n01 [v0 , v1 ]+n02 [v0 , v2 ]+n03 [v0 , v3 ]+n12 [v1 , v2 ]+n13 [v1 , v3 ]+n23 [v2 , v3 ] , nij Z nh ngha B.1.8 nh x p : Cp (K) Cp1 (K) xỏc nh nh sau gi l mt ng cu biờn Nu p = [v0 , , vp ] l mt n hỡnh p chiu ca K thỡ (1)i [v0 , , vi1 , vi , vi+1 , , vp ], p p = i ú ký hiu vi cú ngha l nh vi khụng xut hin [v0 , , vp ] Nu = n p l mt dõy chuyn p chiu thỡ p = n p p p1 p Mnh B.1.1 Hp Cp (X) Cp1 (X) Cp2 (X) l ng cu zero Tc l p1 p = Vớ d B.1.7 Cho = [v0 , v1 , v2 ] Ta cú : 2 = [v1 , v2 ] [v0 , v2 ] + [v0 , v1 ] 2 = [v1 , v2 ] [v0 , v2 ] + [v0 , v1 ] = (v2 v1 ) (v2 v0 ) + (v1 v0 ) = Nhn xột B.1.1 (i) T mnh trờn ta cú mt dóy cỏc ng cu ca cỏc nhúm Abel n+1 n1 n 0 Cn (X) Cn1 (X) ã ã ã C0 (X) 0, vi n n+1 = 0, vi mi n Dóy nh trờn gi l phc dõy chuyn (ii) T n n+1 = ta suy Imn+1 Kern Footer Page 109 of 89 94 Header Page 110 of 89 Ph lc B M u v ng iu n hỡnh v ng iu k d Vi mi p, t Zp = Kerp = Cp (X) : p = D thy Zp (X) l mt nhúm ca Cp (X) Mi phn t ca Zp (X) c gi l mt p-chu trỡnh Kớ hiu : Bp (X) = Imp+1 = Cp (X) : Cp+1 (X) cho = p+1 Ta cú Bp (X) l mt nhúm ca Cp (X) Do p p+1 = nờn Bp (X) Zp (X) Kớ hiu Zp (X) Hp (X) = , Bp (X) Hp (X) c gi l nhúm ng iu n hỡnh p chiu ca X Vớ d B.1.8 (Tớnh nhúm ng iu ca S ) Ta cú: 0 C2 (S ) C1 (S ) C0 (S ) Tớnh H0 (S ) Ta cú Z0 (S ) = Ker0 = = 3i=0 ni vi : 3i=0 ni vi = = C0 (S ) Mt khỏc [v0 , v1 ] = v1 v0 Im1 = B0 (S ) Suy v1 = v0 mod B0 (S ), hay [v0 ] = [v1 ] Lý lun tng t ta cú : [v0 ] = [v1 ] = [v2 ] = [v3 ] Vy Z0 (S ) H0 (S ) = = n[v0 ] : n Z Z B0 (S ) Tớnh H1 (S ) Tớnh toỏn tng t ta cú H1 (S ) = Tớnh H2 (S ) Do B2 (S ) = nờn H2 (S ) = Z2 (S ) Vi c2 C2 (S ), gi s c2 = n1 [v0 , v1 , v2 ] + n2 [v0 , v1 , v3 ] + n3 [v0 , v2 , v3 ] + n4 [v1 , v2 , v3 ] Khi ú c2 = n1 [v0 , v1 , v2 ] + n2 [v0 , v1 , v3 ] + n3 [v0 , v2 , v3 ] + n4 [v1 , v2 , v3 ] = (n1 n2 )[v0 , v1 ] + (n1 n3 )[v0 , v2 ] + (n2 + n3 )[v0 , v3 ] (n1 n4 )[v1 , v2 ] + (n2 + n4 )[v1 , v3 ] + (n3 n4 )[v2 , v3 ] Footer Page 110 of 89 95 Header Page 111 of 89 Ph lc B M u v ng iu n hỡnh v ng iu k d Ta cú c2 Z2 (S ) c2 = Suy n1 n2 = 0, n1 n3 = 0, n2 + n3 = 0, n1 n4 = 0, n2 + n4 = 0, n3 + n4 = 0, ú n = n1 = n3 , n2 = n4 = n Khi ú c2 = n[v0 , v1 , v2 ] n[v0 , v1 , v3 ] + n[v0 , v2 , v3 ] n[v1 , v2 , v3 ] := n Vy H2 (S ) = Z2 (S ) = n : n Z Z B.1.5 Cỏc s Betti v c trng Euler nh ngha B.1.9 S bk := rankHk (X) c gi l s Betti th k ca X Vớ d B.1.9 Cho X = S , ta cú H0 (S ) = Z ú b0 = 1, H1 (S ) = suy b1 = 0, H2 (S ) = Z suy b2 = Cho X l mt phc n hỡnh n chiu v Ck (X) l nhúm cỏc dõy chuyn k chiu Kớ hiu ak = rankCk (X) Khi ú ak l s cỏc n hỡnh k chiu ca phc n hỡnh X nh ngha B.1.10 S Euler ca X, kớ hiu l (X), c xỏc nh bi (X) = nk=0 (1)k ak S Euler cũn c gi l c trng Euler nh lý B.1.1 (nh lý Euler-Poincarộ) Cho X l mt phc n hỡnh nh hng n-chiu Khi ú n n (1)k ak = k=0 B.2 (1)k bk k=0 ng iu kỡ d Ta gi mt n hỡnh n chiu chun n Rn+1 l mt n hỡnh n chiu vi cỏc nh l (1, 0, , 1), (0, 1, , 0), , (0, 0, , 1) Tc l n n = n (x0 , , xn ) R : xi 0, vi mi i ; xi = i=1 nh ngha B.2.1 Mt khụng gian tụpụ X l ỏnh x liờn tc : n X Footer Page 111 of 89 96 Header Page 112 of 89 Ph lc B M u v ng iu n hỡnh v ng iu k d Hỡnh B.7: Cỏc n hỡnh chun Trong mt phc n hỡnh K, mt n hỡnh n chiu cú th c xem nh l mt nh ca n ỏnh liờn tc n K Mt tam giỏc phõn ca khụng gian tụpụ X cú th c xem nh mt danh sỏch cỏc n ỏnh liờn tc t cỏc n hỡnh chun vo X õy ta ch cn xột ỏnh x liờn tc, cú th l n ỏnh hoc khụng n ỏnh Do vy cú th khụng bo ton tụpụ ca n Chng hn nh hỡnh B.8 cho ta nh ca ỏnh x khỏc t n R2 , khụng ỏnh x no chỳng l ng phụi Hỡnh B.8: Cỏc n hỡnh k d nh ngha B.2.2 Mt dõy chuyn kỡ d n chiu l tng hỡnh thc hu hn vi ni Z v i : n X liờn tc ni i , i Kớ hiu Cn (X) l cỏc dõy chuyn kỡ d n chiu nh x n : Cn (X) Cn1 (X) c xỏc nh bi (1)i n () = i [v0 ,ããã ,vi ,ããã ,vn ] , c gi l ỏnh x biờn Nhn xột B.2.1 Trong cụng thc trờn, ta ng nht [v0 , ã ã ã , vi , ã ã ã , ] vi n1 cho th t ca cỏc nh c bo ton, ú c xem nh mt [v0 ,ããã ,vi ,ããã ,vn ] n1 ỏnh x liờn tc X, núi cỏch khỏc nú l mt n hỡnh k d (n-1) chiu Mnh B.2.1 n1 n = Footer Page 112 of 89 97 Header Page 113 of 89 Ph lc B M u v ng iu n hỡnh v ng iu k d Kớ hiu Zn (X) = kern , v gi l nhúm cỏc chu trỡnh k d n chiu, Bn (X) = Imn+1 , v gi l cỏc biờn n chiu ca X Ta nh ngha Hn (X) = Zn (X) Bn (X) v gi l nhúm ng iu k d n chiu ca X, hay l nhúm cỏc lp tng ng ca cỏc chu trỡnh k d n chiu, vi quan h tng ng c xỏc nh nh sau , Zn (X) : = n+1 nh ngha B.2.3 Khụng gian tụpụ X c gi khụng gian liờn thụng ng nu vi mi x0 , x1 X, tn ti mt ỏnh x liờn tc : [0, 1] X cho (0) = x0 , (1) = x1 Mnh B.2.2 Nu X , l cỏc thnh phn liờn thụng ng ca X thỡ Hn (X) = Hn (X ) Mnh B.2.3 Nu X l khụng gian liờn thụng ng v khỏc rng thỡ H0 (X) = Z H qu B.2.1 k H0 (X) = Z ã ã ã Z, vi k l s thnh phn liờn thụng ng ca X Mnh B.2.4 Nu X l khụng gian ch gm mt im, ký hiu X = {}, thỡ Hn (X) = nu n > 0, Z nu n = B.2.1 Quan h gia ng iu n hỡnh v ng iu kỡ d nh lý B.2.1 Nu X l khụng gian tụpụ ng phụi vi phc n hỡnh K, thỡ vi mi i 0, nhúm ng iu kỡ d Hi (X) ng cu vi nhúm ng iu n hỡnh Hi (K) T nh lý trờn ta cú (i) Hn (X) l mt bt bin tụpụ (ii) Ta cú (X) = dimC0 (X) dimC1 (X) + ã ã ã , ú c trng Euler ph thuc vo tam giam giỏc phõn Trong ú b0 b1 + b2 + ã ã ã = rankH0 (X) rankH1 (X) + rankH2 (X) + ã ã ã , khụng ph thuc vo tam giỏc phõn T nh lý Euler-Poincarộ ta suy c trng Euler l mt bt bin tụpụ Footer Page 113 of 89 98 Header Page 114 of 89 Cỏc thut ng giỏ ca hm f , 11 nh lý n o, 36 ỏnh giỏ ca Varchenko, 29 ng cu biờn, 95 c trng Euler, 97 n hỡnh, 91 n hỡnh kỡ d, 98 ng chộo ca gúc ta dng ca Rn , 63 a din Newton, 27 ca ỏnh x a thc f , 61 ca ỏnh x a thc f ti vụ cựng, 61 a din y , 64 a thc Bernstein-Sato, 37 monic, 24, 90 iu kin Mikhailov-Gindikin, 63 im k d, 10 khụng suy bin, 12 giỏ tr chớnh, hng s Euler, 50 hm f beta, 55 f zeta, 55 kgamma, 52 tk beta, 56 tk zeta, 56 biờn , 10 gamma ng vi f , 43 Gelfand-Leray, 31 phõn b, 10 pha, 10 zeta Hurwitz, 55 zeta Riemann, 54 ht nhõn dao ng, k d dng i s, b Morse, 12 b Van der Corput, 15 b Riemann-Lebesgue, 15 k d dng logarit, khong cỏch Newton, 29 lc Newton, 28 ch s dao ng, 26 k d, 27 chui tim cn ca hm Gelfand-Leray, 31 ca hm th tớch, 32 mt ca n hỡnh, 91 nguyờn lý pha dng, 11 nhúm ng iu n hỡnh, 96 ng iu k d, 99 dõy chuyn p chiu, 94 dng Gelfand-Leray, 31 Footer Page 114 of 89 phc n hỡnh, 92 99 Header Page 115 of 89 CC THUT NG phộp bin i tớch phõn dao ng, loi I, 9, 10, 14, 19 loi II, di mc, 15, 20, 23 na i s, 90 tam giỏc phõn, 93 toỏn t vi phõn, 36 liờn hp, 42 Hilbert, Laplace, 48 phõn th Milnor, 34 phng phỏp pha dng, 10 s Betti th k, 97 s Milnor, 35 Footer Page 115 of 89 100 Header Page 116 of 89 Ti liu tham kho [AGZV88] V I Arnold, S M Gusein-Zade, and A N Varchenko Singularities of Differentiable Maps Vol II Boston - Basel - Berlin: Birkhă auser, 1988 [Arn73] V I Arnold Remarks on the stationary phase method and Coxeter numders In: Uspekhi Mat Nauk 28.5 (173) (1973), pp 1744 [Bar02] Barvinok A course in convexity American Mathematical Society, 2002 [Bar04] E.W Barnes On the theory of the multiple gamma functions In: Trans Cambridge Phil Soc 19.1 (1904), pp 374425 [Bar99] E.W Barnes The theory of G-function In: Quat J Math 31.1 (1899), p 264 [Ber72] I.N Bernstein The analytic continuation of generalized functions with respect to a parameter In: Funkts Analyz 6.4 (1972), pp 2640 [BG69] I.N Bernstein and S.I Gelfand Meromorphic property of the function P In: Funk Anal Pri 3.1 (1969), pp 8485 [Bjo79] J E Bjork Rings of Differential Operators Amsterdam: North Holland, 1979 [Bon75] Jean-Michel Bony Polyn omes de Bernstein et monodromie In: S eminaire N Bourbaki 459 (1975), pp 77110 [Bro83] A Brondsted An Introduction to Convex Polytopes Springer - Verlag, 1983 [CCW99] A Carbery, M Christ, and J Wright Multidimensional Van Der Corput and Sublevel Set Estimates In: Journal of The American Mathematical Society 12.4 (1999), pp 9811015 [Cor34] J.G Van Der Corput Zur methode der stationă aren phase In: Compositio Math (1934), pp 1538 [Cro05] Martin D Crossley Essential Topology Springer, 2005 [Cro78] Fred H Croom Basic Concepts of Algebraic Topology Springer-Verlag, 1978 [DB07] L Debnath and D Bhatta Integral Transforms and Their Applications Boca Raton - London - New York: Chapman & Hall/CRC, 2007 Footer Page 116 of 89 101 Header Page 117 of 89 TI LIU THAM KHO [DNS05] J Denef, J Nicase, and P Sagos Oscillating Integrals and Newton polyhedra In: J Anal Math 95 (2005), pp 147172 [DP07] R Dớaz and E Pariguan On hypergeometric functions and Pochhammer k-symbol In: Divulgaciones Matemỏticas 15.2 (2007), pp 179 192 [Dun84] Dinh Dung Number of Integral Points in a Certain Set and the Approximation of Functions of Several Variables In: Matematicheskie Zemarki 36.4 (1984), pp 479491 [Erd56] A Erd elyi Asymptotic expansions New York: Dover Publications, Inc., 1956 [Fed71] M.V Fedoryuk The stationary phase method and pseudodifferential operators In: Russ Math Surv 26.1 (1971), pp 65115 [Fed77] M.V Fedoryuk The saddle-point method (by Russian) Moscow: Nauka, 1977 [Fed89] M.V Fedoryuk Analysis I Integral Representations and Asymptotic Methods , Part II: Asymptotic methods in Analysis Berlin: SpringerVerlag, 1989, pp 83191 [Gin74] S.G Gindikin Energy estimates connected with the Newton polyhedron In: Trans Moscow Math Soc 31 (1974), pp 193246 [Gra10] M Granger Bernstein-Sato polynomials and functional equations In: Algebraic approach to differential equations Edited by Lờ Dung Trang World Scientic publishing company (2010), pp 225291 [Gre10] M Greenblatt Oscillatory integral decay, sublevel set growth, and the Newton polyhedron In: Math Ann 346.4 (2010), pp 857895 [Gre11] M Greenblatt Resolution of singularities in two dimensions and the stability of integrals In: Advances in Mathematics 226 (2011), pp 1772 1802 [Gre12] M Greenblatt Stability of oscillatory integral asymptotics in two dimensions In: J Geom Anal (2012) [Gru03] B Grunbaum Convex polytopes Springer, 2003 [GS94] A Grigis and J Sjă ostrand Microlocal analysis for differential operators An introduction Cambridge University Press, 1994 Footer Page 117 of 89 102 Header Page 118 of 89 TI LIU THAM KHO [GV92] S Gindikin and L R Volevich The Method of Newtons Polyhedron in the Theory of Partial Differential Equations Kluwer Academic Publichers, 1992 [Kar09] A I Karol Newton Polyhedra, Asymptotics of Volumes, and Asymptotics of Exponential Integrals In: Amer Math Soc Transl 228.2 (2009), pp 1330 [Kar86a] V.N Karpushkin A theorem concerning uniform estimates of oscillatory integrals when the phase is a function of two variables In: J.Soviet Math 35 (1986), pp 28092826 [Kar86b] V.N Karpushkin Uniform estimates of oscillatory integrals with parabolic or hyperbolic phases In: J.Soviet Math 33 (1986), pp 11591188 [Kar98] V.N Karpushkin Uniform estimates for volumes In: Tr Mat Inst Stelova 221 (1998), pp 225231 [Kas76] M Kashiwara B-functions and holonomic system In: Invent Math 38 (1976), pp 3353 [Kou76] A.G Kouchnirenko Poly` edres de Newton et nombres de Milnor In: Invent math 32.1 (1976), pp 131 [Kow10] Micheal W Kowalski A Comparative Study of Oscillatory Integral, and Sub-Level Set, Operator Norm Estimates PhD thesis University of Edinburgh, 2010 [Loc11] Tran Gia Loc Bernstein-Sato polynomial and the generalized Gamma functions (Vietnamese) In: Jour Sci University of Dalat 01 (2011), pp 2331 [LT12] Tran Gia Loc and Trinh Duc Tai The generalized Gamma functions In: Acta Mathematica Vietnamica 37.02 (2012), pp 219230 [Mal74a] B Malgrange Int egrales asymptotiques et monodromie In: Annales scientifiques de lE.N.S 7.3 (1974), pp 405430 [Mal74b] B Malgrange Sur les polyn omes de I.N Bernstein In: Uspekhi Mat Nauk 29.4 (1974), pp 8188 [Man09] M Mansour Determining the k-generalized gamma function k (x) by functional equations In: Int J Contemp Math Sciences 4.21 (2009), pp 10371042 [Mas72] V.P Maslov Th eorie des perturbations et m ethodes asymptotiques Dunod - Paris, 1972 Footer Page 118 of 89 103 Header Page 119 of 89 TI LIU THAM KHO [Mas76] V.P Maslov Operator methods Mir Publishers - Moscow, 1976 [MF81] V.P Maslov and M.V Fedoryuk Semi-classical approximation in quantum mechanics Nauka - Moscow, 1981 [Mil63] J Milnor Morse Theory New Jersey: Princeton University Press, 1963 [Mil68] J Milnor Singular points of complex hypersurfaces In: Anal of Math stud 61 (1968) [Mur74] J D Murray Asymptotic analysis Oxford: Clarendon Press, 1974 [Par07] Ioannis Parissis Oscillatory Integrals with Polynomial Phase PhD thesis Department of Mathematics, University of Crete, 2007 [Pos19] E.L Post The Generalized Gamma Functions In: Ann Math 20.3 (1919), pp 202217 [PS92] D H Phong and E M Stein Oscillatory Integrals with Polynomial Phases In: Invent math 110.1 (1992), pp 3962 [PS97] D H Phong and E M Stein The Newton polyhedron and oscillatory integral operators In: Acta Math 179 (1997), pp 105152 [PSS01] D H Phong, E M Stein, and J A Sturm Multilinear level set operators, oscillatory integral operators, and Newton polyhedra In: Math Ann 319 (2001), pp 573596 [PSS99] D H Phong, E M Stein, and J.A Sturm On the growth and stability of real analytic functions In: Amer.J.Math 121 (1999), pp 519554 [Rai60] E.D Rainville Special Functions The Macmillan Company, 1960 [RS05] O Robert and P Sargos A General Bound for Oscillatory Integrals with a Polynomial Phase of Degree k In: Math Res Lett (2005), pp 531537 [See98] A Seeger Radon transforms and finite type conditions In: J of the AMS 11.4 (1998), pp 869897 [Sin04] E.V Sinitskaya Newtons Polyhedron and Weyls Formula for the spectrum of the Schră odinger operator with polynomial potential In: Journal of Mathematical Sciences 124.3 (2004), pp 50365053 [Ste93] Elias M Stein Harmonic Analysis : Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals Princeton, New Jersey: Princeton University Press, 1993 Footer Page 119 of 89 104 Header Page 120 of 89 TI LIU THAM KHO [TM83] Lờ Dung Trang and Z Mebkhout Introduction to linear differential systems In: Proccedings of symposia in Pure Mathematics 40 (1983), part [TR76] Lờ Dung Trang and C.P Ramanujam The invariance of Milnors number implies the invariance of the topological type In: American Journal of Mathematics 98 (1976), pp 6778 [Var76] A.N Varchenko Newton polyhedra and estimation of oscillatory integrals In: Functional Anal Math 10.3 (1976), pp 175196 [Vas77] V A Vassiliev The asymptotics of exponential integrals, Newton diagram, and classification of minimal points In: Func Anal Math 11 (1977), pp 163172 [Vas79] V A Vassiliev Asymptotic behavior of exponential integrals in the complex exponent In: Funkt Anal Prilozh 18.4 (1979), pp 239247 [Vig79] M.F Vignộras L ộquation fonctionalie de la fonction zeta de selberg de groupe modulaire PSL(2,Z) In: Asterisque 61 (1979), pp 235249 [VL14] Ha Huy Vui and Tran Gia Loc On the volume and the number of lattice points of some semialgebraic sets In: (2014), (Submitted) [Wat22] G N Watson A Treatise on the Theory of Bessel Functions London: Cambridge University Press, 1922 [Won01] R Wong Asymptotic Approximations of Integrals Society for Industrial and Applied Mathematics Philadelphia: SIAM, 2001 [Zie95] G.M Ziegler Lectures on Polytopes Springer, 1995 Footer Page 120 of 89 105 ... • Các phương pháp địa phương hóa, đánh giá tiệm cận thường dùng lý thuyết tích phân kỳ dị • Sử dụng đa diện Newton để khảo sát dáng điệu tiệm cận tích phân dao động, tiệm cận thể tích tiệm cận. .. điệu tích phân, mặt khác nhiều nghiên cứu điểm kỳ dị tìm thấy ứng dụng trực tiếp vào khai triển tiệm cận tích phân dao động Footer Page 23 of 89 Header Page 24 of 89 Chương Tổng quan tích phân kỳ. .. giải tích Một ví dụ cổ điển tích phân kỳ dị phép biến đổi Hilbert Hf (x) = π +∞ −∞ f (t) dt , x−t −∞ < x < +∞ , f ∈ L2 (R) Biểu thức dấu tích phân có kỳ dị t = x Tuy nhiên, ta xét tích phân theo