Đề cương ôn tập môn toán lớp 11 (51)

ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP CHƯƠNG MÔN: TOÁN PHẦN ĐẠI SỐ&GIẢI TÍCH LỚP 11 1/ Các công thức tính đạo hàm: Đạo hàm hàm số sơ cấp (C lµ h»ng sè) ( C ) ′ =0 (kx)’=k (k lµ ( x ) ′ =1 h»ng sè ) (n∈ N, n ≥ 2) ( x n )′ =n.xn-1 ′ 1  ÷ =− x x ( x )′ = x / ( sin x ) = cos x Đạo hàm hàm số hợp (U )′ =n.Un-1.U ′ n (x ≠ 0) ′ U′ 1  ÷ =− U U (x>0) ( U) ( = U′ U (U > 0) ( sin U ) / = cos U U / ( cos U ) / = − sin U U / ( cos x ) / = − sin x ( tgx ) / = 12 = + tg x cos x ( cot gx ) / = − 12 = − + cot g x sin x ′ (U ≠ 0) U/ cos U ( cot gU ) / = − 12 U / sin U ( tgU ) = / ) - Các quy tắc tính đạo hàm (Ký hiệu U=U(x), V=V(x)) ( U ± V) ′ = U′ ± V ′ ′  U  U′.V − U.V′  ÷= V2 V ( UV ) ′ (k.U)′ = k.U′ = U′V + UV′ ′ 1  ÷ =− V V   - Đạo hàm hàm số hợp: g(x) = f[U(x)] , g ' x = - Đạo hàm cấp cao hàm số f "(x) = [ f(x)'] ' Đạo hàm cấp : n n-1 Đạo hàm cấp n : f (x) = f(x)  ' (k số) f 'u U x′ 2/ Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Phương pháp:pt tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) điểm M có hoành độ x0 có dạng: y = f’(x0) (x – x0) + f(x0) 3/ Vi phân - Vi phân hàm số nột điểm: df ( x0 ) = f '( x0 ).∆x - Ứng dụng vi phân vào tính gần đúng: f ( x0 + ∆x) ≈ - Vi phân hàm số: df ( x) = f '( x)dx hay dy = y ' dx f ( x0 ) + f '( x0 )∆x BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Dùng định nghĩa tìm đạo hàm hàm số sau: a) y = x3 b) y = 3x + c) d) y = x +1 Bài 2: Tìm đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y = x2 + x ; x0 = ; x b) y = x0 = c) y = y= x −1 ; x +1 x −1 x0 = d) y = - x; x0 = x e) y = x3 - x + 2; x0 = -1 f) y = 2x −1 ; x −1 h) y = 4cos2x + sin3x; x0 = π3 π x0 = i) Cho g) y = x.sinx; x0 = f ( x) = x + , tính f ’’(1) k) Cho y = x cos2x Tính f”(x) π π     l) f ( x ) = sin 3x Tính f ''  − ÷; f '' ( ) ; f ''  ÷  2  18  m) Cho f ( x ) = ( x + 10 ) TÝnh f '' ( ) Bài 3: Tìm đạo hàm hàm số sau: y = x − x + y = 5x (3x − 1) x +3 y = ( x + 5) y = x − y = ( x + 1)( x + 2) ( x + 3) 12 y = 5x − x + x +1 y = ( x + 1) x + x + 19) y= 23) y= a x − b x x 13 y = 16 y = x2 y = ( x + 1)(5 − 3x ) 2x 10 y = x −1 y = 10 x 14 y = x + 6x + x − 2x + 2x + 17 y = 20) y = a + bx3 + x −1 + x + 3x − x + 2x − 2 26) y = 1+ x 1− x 21) y = (a − b ) (x + 2)2 (x + 1)3 (x + 3)4 24) y = (x + x)2 28/ y= x 1+ x2 25) y = x2 − 3x + 30/ y= 1+ x 31/ y= (2x+3)10 1− x (x2- x +1) 32/ y= (x2+3x-2)20 Bài 4: Tìm đạo hàm hàm số sau: y = ( x + 2)( x + 1) y = x (2 x − 1)(3x + 2) 2x − 6x + 11 y = 2x + 15 18) y = 22) 3x - x - x+ 2 y = x2 x2 27) y = x x 29/ y= x 1) y = sin x sin 3x 2) y = (1 + cot x ) x sin x + cos x 6) y = sin x − cos x 7) y = cot (2x + ) + sin x 3) y = cos x sin x 4) y -= − sin x 8) 9) 5) y = sin 10) y -= + cos π x 11) y = (1 + sin 2 x ) 14) y= 5sinx-3cosx 18) y = + tan x y = sin (cos3x) 19) y= 16) x sin x + tan x 20) y= cos x + cot x 3sin3 x 13) y = cos ( x3 ) 12) y = sin p - 3x 15) y = x.cotx y=− 17) y= sin(sinx) y = cot + x sin x x + x sin x 21) y = tan x +1 22) y = + tan x Bài 5: Tìm đạo hàm hàm số sau: ax + b cx + d ax + bx + c ax + bx + c y= mx + nx + p dx + e 3x + − x2 + x − x − 3x + y = y= y= Áp dung: − 2x + 2x − 2x + x + Bài 6: Cho hai hàm số : f ( x) = sin x + cos x g ( x) = cos x Chứng minh f '( x) = g '( x) (∀ x ∈ ℜ ) y= Bài 7: Cho ĐS: a) y= y = x − 3x + x < x >  Tìm x để: b) − a) y’ > c) f(x) = 3cosx + 4sinx + 5x Bài 9: Cho hàm số f(x) = + x Tính : Bài 10: y= x −3 ; x+4 -1)y’’ e) Cho y = sin x + cos x − sin x cos x b) f(x) = f(3) + (x − 3)f '(3) b) ; y’' = - y − cot g x + cot gx + x + + y = 2x − x ; d) Cho y = ; y’ = cotg4x f)Chof(x)= π π f ( ) − 3f ' ( ) = 4 g) Chứng tỏ hàm y = acosx+bsinx thỏa hệ thức y’’ + y = h) Cho hàm số: y= x2 + 2x + sin x − cos x + x d) f(x) = 2x4 – 2x3 – 2y '2 = (y − 1)y" c) Cho hàm số y = b) y’ < < x < 1+ Bài 8: Giải phương trình : f’(x) = biết rằng: a) f(x) = cos x + sin x + x a) rằng: Chứng minh rằng: 2y.y’’ – =y’2 i) Cho hàm số y = cos22x x−3 x+4 y y"+ = ; 2(y’)2 =(y cos x + sin x ; a) Tính y”, y”’ b) Tính giá trị biểu thức: A= y’’’ +16y’ + 16y – Bài 11: Chứng minh a/ f ( x) = Bài 12: f '( x ) > ∀x ∈ ℜ , x − x + x3 − 3x + x − x2 + x Cho hàm số y = (C) x−2 biết: b/ f ( x ) = x + sin x a) Tính đạo hàm hàm số x = b/ Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 = -1 Bài 13: Cho hàm số y = f(x) = x3 – 2x2 (C) a) Tìm f’(x) Giải bất phương trình f’(x) > b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M có hoành độ x0 = c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d: y = - x + Bài 14: Gọi ( C) đồ thị hàm số : y = x3 − x + Viết phương trình tiếp tuyến (C ) a) Tại M (0;2) b) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -3x + 1 c) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = x – Bài 15: Cho đường cong (C): y = a) Tại điểm có hoành độ b) Tại điểm có tung độ x+2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) x−2 c) Biết tiếp tuyến có hệ số góc −4 Bài 16: Tính vi phân hàm số sau: a) y = x − 2x + b) y = sin x c) d) y = x + 6x + y = cos x sin x e) y = (1 + cot x ) Bài 17: Tìm đạo hàm cấp hai hàm số sau: 1) 5) x +1 x−2 y = x sin x y= 2) 6) 2x +1 x + x−2 y = (1 − x ) cos x y= x 3) y = x − 7) y = x.cos2x 4) y = x x2 + 8) y = sin5x.cos2x ĐS: 1) y '' = (x y '' = ( x − 2) 2) y '' = x − 10 x + 30 x + 14 (x + x−2 ) 3) y '' = ( x x2 + (x ) −1 ) 4) x3 + 3x ) +1 x2 + 5) y '' = ( − x ) sin x + x cos x 6) y '' = x sin x + ( x − 3) cos x 7) y’’ = -4sin2x – 4xcos2x 8) y’’ = -29sin5x.cos2x – 20cos5x.sin2x Bài 18: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: a) y= sinx ĐS: a) y ( n ) = ( −1) π  y ( n ) = sin  x + n ÷ 2  n n! ( x + 1) n +1 x +1 b) y = b)