k lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các md5 phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH DƯƠNG QUANG HÒA K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN LÁ CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH DƯƠNG QUANG HÒA K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN LÁ CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu cá nhân hướng dẫn PGS TS Lê Anh Vũ Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết luận án chưa công bố công trình khác Tác giả Dương Quang Hòa MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích đề tài 11 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 11 Phương pháp nghiên cứu 12 Ý nghĩa khoa học đề tài 12 Bố cục nội dung luận án 13 CHƯƠNG 1: K – QUỸ ĐẠO CỦA CÁC MD(5,4)-NHÓM 15 1.1 Các MD-nhóm MD-đại số 15 1.1.1 Các MD-nhóm MD-đại số 15 1.1.2 Lớp MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán chiều 17 1.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo 21 1.2.1 K-quỹ đạo nhóm Lie 21 1.2.2 Phương pháp mô tả K-quỹ đạo MD(5,4)-nhóm 22 1.3 Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD(5,4)-nhóm 24 CHƯƠNG 2: LỚP MD(5,4)-PHÂN LÁ 45 2.1 Phân 45 2.1.1 Phân bố khả tích đa tạp vi phân 45 2.1.2 Phân 46 2.2 Tôpô phân 48 2.2.1 Không gian phân 48 2.2.2 Kiểu tôpô phân 49 2.3 Phân đo 49 2.4 Phân loại tôpô MD(5,4) – phân liên kết với MD(5,4) – nhóm 50 2.4.1 Các MD(5,4) – phân liên kết với MD(5,4) – nhóm 51 2.4.2 Phân loại tôpô MD(5,4) – phân 52 CHƯƠNG 3: K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC MD(5,4)-PHÂN LÁ 59 3.1 C*-đại số Connes liên kết với phân 59 3.1.1 Holonomy 59 3.1.2 Phỏng nhóm Holonomy phân 61 3.1.3 Không gian nửa mật độ 62 3.1.4 C*-đại số Connes liên kết với phân 64 3.1.5 Tích xiên 65 3.1.6 Các tính chất C ∗ (V , F ) 66 3.2 Phép đặc trưng C*-đại số phương pháp K-hàm tử 69 3.2.1 K-lý thuyết mở rộng C*-đại số 69 3.2.2 KK-nhóm Kasparov 71 3.2.3 Bất biến số C*-đại số 72 3.2.4 Đẳng cấu Thom-Connes tính tự nhiên 74 3.2.5 Hệ bất biến số C*-đại số 75 3.3 K − lý thuyết phân 76 3.4 K-lý thuyết MD(5,4)-phân 78 3.4.1 Mô tả giải tích cấu trúc C*-đại số Connes liên kết với MD(5,4)-phân 78 3.4.2 Đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với MD(5,4)-phân kiểu F2 F3 79 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 97 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO 100 PHỤ LỤC A: CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI SỐ LIE 104 PHỤ LỤC B: CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN C∗-ĐẠI SỐ VÀ ∗ĐỒNG CẤU 105 PHỤ LỤC C: MỘT VÀI KHÁI NIỆM KHÁC 108 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ⊕ : Tổng trực tiếp ⊗,  : Tích tenxơ tích tenxơ ■ : Kết thúc phép chứng minh Ad : Biểu diễn phụ hợp ad : Vi phân biểu diễn phụ hợp AutG : Nhóm tự đẳng cấu tuyến tính G  A = Aρ G : Tích xiên A G tác động ρ ,  : Trường số phức, trường số thực C(X ) : C*-đại số hàm phức liên tục X C0 ( X ) : C*-đại số hàm phức liên tục X triệt tiêu vô ( )  C0  : Đơn vị hoá C*-đại số C0  Cc∞ ( H ) : Không gian hàm trơn H có giá compact, nhận giá trị phức ( ) Cc∞ ( H , Ω1/ ) : Không gian nửa mật độ H C ∗ (V , F ) : C*-đại số Connes liên kết với phân (V , F ) Cc (G, A) : Không gian ánh xạ liên tục có giá compact từ G vào A End(G) : Không gian đồng cấu G exp : Ánh xạ mũ exp Ext ( B, J ) : KK − nhóm Kasparov G = Lie ( G ) : Đại số Lie nhóm Lie G G* ( ) GL ( C ( S ) ) GL1 C ( S ) : Không gian đối ngẫu đại số Lie G : Tập ma trận cấp khả nghịch với phần tử thuộc C ( S ) ( ( : = exp Mat2 C ( S ) )) – thành phần liên thông đường ma trận đơn vị cấp với phần tử thuộc C ( S ) Index A : (Hệ) bất biến số C*-đại số A K i ( A) : K i − nhóm C*-đại số A K : C*-đại số toán tử compact không gian Hilbert vô hạn ( L2 H x , Ω Matn ( A ) ( P2 C ( S ) ) ) chiều tách : Không gian nửa mật độ H x bình phương khả tích : Tập hợp ma trận vuông cấp n với phần tử thuộc A ( ( ( ))) – tập phần tử chiếu (projection) C*- : = P M2 C S2 đại số ma trận vuông cấp với phần tử thuộc C ( S ) Sn : Mặt cầu đơn vị n-chiều TV : Phân thớ tiếp xúc V (V , F ) : Không gian phân V /F : Không gian phân (V , F ) ΩF : Quỹ đạo Kirillov qua F (Ω ) 1/ x x∈V : Phân thớ nửa mật độ V : ΩF ( G ) = {F X | X ∈ G} Λ : Độ đo hoành (đối với phân lá) ( δ , δ1 ) : Cặp đồng cấu nối dãy khớp tuần hoàn thành phần MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Xuất phát điểm vấn đề mà quan tâm toán “Đi tìm lớp C*-đại số có khả đặc trưng phương pháp K-hàm tử” Năm 1943, I Gelfand A Naimark ([13]) đưa khái niệm C*-đại số Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng Toán học Vật lý Tuy nhiên vấn đề mô tả cấu trúc C*-đại số trường hợp tổng quát lại phức tạp toán mở Năm 1975, theo gợi ý A A Kirillov việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn cục) C*-đại số lớp nhóm Lie giải K-hàm tử đồng điều”, Đ N Diệp ([11]) thành công việc sử dụng K-hàm tử đồng điều Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff  ) nhóm phép biến đổi affine đường thẳng thực  Năm 1976, J Rosenberg ([18]) sử dụng phương pháp tương tự để đặc trưng C*-đại số C*(Aff  ) nhóm phép biến đổi affine đường thẳng phức  C*-đại số vài nhóm Lie giải khác Trong công trình này, J Rosenberg gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục C*-đại số K-hàm tử BDF phương pháp Diệp (Diep’s method) Năm 1977, Đ N Diệp ([12]) cải tiến phương pháp để đặc trưng C*-đại số kiểu I mở rộng lặp nhiều tầng Đến lúc này, K-hàm tử BDF dường không thích hợp với việc đặc trưng cấu trúc cho lớp C*-đại số phức tạp Từ đó, cách tự nhiên, nảy sinh hai vấn đề lớn sau: • Vấn đề 1: Tổng quát hóa K-hàm tử BDF theo cách để đặc trưng lớp rộng C*-đại số • Vấn đề 2: Đi tìm khảo sát lớp rộng C*-đại số lớp nhóm Lie mà C*-đại số chúng có khả đặc trưng K-hàm tử mở rộng Năm 1980, G G Kasparov ([14]) nghiên cứu vấn đề thứ thành công việc tổng quát hóa K-hàm tử BDF thành K-song hàm tử toán tử (còn gọi KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều Như áp dụng đầu tiên, Kasparov sử dụng KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*đại số C*(H3) nhóm Heisenberg H3 Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý phương pháp K-hàm tử thường thích hợp với C*-đại số có cấu trúc phổ (tức không gian lớp tương đương unita biểu diễn bất khả quy với tôpô cảm sinh từ tôpô Jacobson) không phức tạp Đối với C*-đại số nhóm, phổ đồng với đối ngẫu unita nhóm (tức không gian lớp tương đương unita biểu diễn unita bất khả quy nhóm) Đặc biệt nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy tập đối ngẫu unita nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian K-quỹ đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) Do đó, việc chọn lớp nhóm Lie có không gian K-quỹ đạo không phức tạp cho phép ta đặc trưng C*-đại số nhóm chúng phương pháp K-hàm tử Dựa ý tưởng đó, năm 1980, Đ N Diệp đề nghị xét lớp C*-đại số MD-nhóm Lớp đơn giản phương diện phân tầng K-quỹ đạo nên nói chung C*-đại số chúng đặc trưng nhờ KK-hàm tử biến số {γ , γ } ; C*-đại số Connes liên kết với MD(5,4)-phân kiểu F3 đặc trưng bất biến số γ (ii) Thông qua việc giải toán trên, thấy rằng, kỹ thuật đặc trưng C*-đại số cách sử dụng đẳng cấu Bott, đẳng cấu ThomConnes, xây dựng mở rộng nhờ vào phức C*-đại số ứng với tập mở bão hòa, thích hợp với C*-đại số Connes liên kết với MD-phân mà cho phân thớ cho tác động nhóm Lie  n – vốn đối tượng quen thuộc lớp MD-phân Do vậy, hy vọng áp dụng kỹ thuật C*-đại số Connes liên kết với MD5phân lại 96 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Trong luận án, ta giải xong toán nghiên cứu K-lý thuyết không gian MD(5,4)-phân lá, đồng thời đặc trưng cấu trúc C*-đại số Connes liên kết với phân phương pháp K-hàm tử Chúng hy vọng rằng, sở kết ban đầu này, ta cải tiến để giải trọn vẹn toán tương tự toàn lớp MD5 Hơn nữa, hy vọng kỹ thuật dùng việc nghiên cứu lớp MD(5,4) ích cho trường hợp MD5 lại mà hữu dụng cho trường hợp MDn tổng quát, đương nhiên với cải tiến thích hợp Một điều quan trọng là, kết luận án Định lí 1.3.1, 2.4.2, 3.4.3, 3.4.4 tất MD(5,4)-nhóm liên thông (không thiết đơn liên) bất khả phân Cụ thể, G MD(5,4)-nhóm liên thông bất khả phân tranh K-quỹ đạo G hoàn toàn trùng khớp với tranh K-quỹ đạo phủ  (do Bổ đề 1.2.1, 1.2.3 Mệnh đề 1.2.2 đối đơn liên G với MD(5,4)-nhóm liên thông, việc tính toán Ω F ( G ) phụ thuộc  ) Tiếp theo, họ K-quỹ đạo chiều cực đại vào đại số Lie chung G G  Do G lập thành MD(5,4)-phân phủ đơn liên G đó, kết liên quan đến MD(5,4)-phân C*-đại số Connes liên kết với chúng không thay đổi Từ kết đạt luận án, cách tự nhiên, chúng gợi ý cho ta hướng mở cần nghiên cứu sau:  Nghiên cứu toán tương tự toàn lớp MD5 xa lớp MDn với số chiều n tuỳ ý 97  Xây dựng lượng tử hóa biến dạng K-quỹ đạo tất MD(5,4)-nhóm xét  Thay đổi hướng tiếp cận toán phân loại lớp MD-đại số MDnhóm tương ứng Cụ thể, thay phân loại chúng dựa theo số chiều đại số Lie (như thấy luận án, Mệnh đề 1.1.5), mô kỹ thuật phương pháp Arnal, Cahen Ludwig ([4]), cố định số chiều cực đại K-quỹ đạo để phân loại Do hạn chế trình độ, thời gian nhiều mặt khác, luận án dừng lại khuôn khổ định Chúng nhận thức rằng, chắn nhiều vấn đề đáng quan tâm khác mà chưa nhìn thấy Rất mong quý độc giả quan tâm dẫn Sau cùng, có nhiều cố gắng việc soạn thảo, sai sót tránh khỏi, tác giả xin chân thành lắng nghe cảm ơn quý độc giả đã, đóng góp ý kiến cho luận án Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 02 năm 2014 Tác giả 98 DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA TÁC GIẢ A Các công trình công bố kết luận án Lê Anh Vũ, Dương Quang Hòa (2007), “Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm liên thông đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có Ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, N0 12 (46), 16 – 28 Vu L.A., Hoa D.Q (2009), “The topology of foliations formed by the generic K-orbits of a subclass of the indecomposable MD5-groups”, Science in China, series A: Mathemmatics, 52 (2), 351 – 360 Vu L.A., Hoa D.Q (2010), “K-theory of the leaf space of foliations formed by the generic K-orbits of some indecomposable MD5-groups”, Vietnam Journal of Mathematics, 38 (2), 249 – 259 Vu L.A., Hoa D.Q (2011), “The structure of Connes’ C* Algebras associated to a Subclass of MD5-Groups”, Scientific Journal of University of Pedagogy of Ho Chi Minh City, N0 27(61), 15 – 23 Vu L.A., Hoa D.Q., Tuan N.A (2014), “K-theory for the Leaf Space of Foliations Formed by the Generic K-orbits of a Class of Solvable Real Lie Groups”, (preprint – to appear in Southeast Asian Bulletin of Mathematics) B Các công trình liên quan đến luận án Lê Anh Vũ, Nguyễn Anh Tuấn, Dương Quang Hoà (2013), “Phân loại tôpô phân liên kết với MD5-đại số có Ideal dẫn xuất giao hoán 3chiều”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, N0 43(77), 50 – 57 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Đào Văn Trà (1984), Báo cáo hội thảo khoa học Viện toán lần thứ 12, 29.11.1984 – 1.12.1984, Hà Nội Lê Anh Vũ (1990), Không gian phân tạo K − quĩ đạo chiều cực đại lớp nhóm Lie MD , Luận án Tiến sĩ Toán học, Viện Toán học Việt Nam Lê Anh Vũ, Dương Quang Hoà (2007), “Bức tranh hình học K-quỹ đạo MD5-nhóm liên thông đơn liên mà MD5-đại số tương ứng có Ideal dẫn xuất giao hoán bốn chiều”, Tạp chí Khoa học Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, N0 12(46), 16-28 Tiếng Anh Arnal D., Cahen M., Ludwig J (1995), “Lie Groups whose Coadjoint orbits are of Dimension Smaller or Equal to Two”, Kluwer Academic Publishers, Netherlands, 33, 183 – 186 Atiyah M.F (1976), K-theory, Benjamin, New York Brown L.G., Douglas R.G., Fillmore P.A (1977), “Extension of C*-algebra and K-homology”, Ann of Math, 105, 265 – 324 Connes A (1981), “An Analogue of the Thom Isomorphism for Crossed Products of a C*–algebra by an Action of  ”, Adv In Math., 39, 31 – 55 Connes A (1982), “A Survey of Foliations and Operator Algebras”, Proc Sympos Pure Mathematics, 38, 521 – 628 100 Connes A (1994), Noncommutative Geometry, Published by Academic Press Limited, London 10 Diep D.N (1999), Method of Noncommutative Geometry for Group C*algebras Reseach Notes in Mathematics Series, Vol 416 Cambridge: Chapman and Hall-CRC Press 11 Diep D.N (1975), “Structure of the group C*-algebra of the group of affine transformations of the line”, Funktsional Anal I Prilozhen, (1), 63 – 64 (in Russian) 12 Diep D.N (1978), “The structure of C*-algebras of type I”, Vestnik Moskov Uni., No 2, 81 – 87 13 Gelfand I., Naimark A (1943), “On the imbedding of normed rings into the ring of operators in Hilbert space”, Mat sb., 12, 197 – 213 14 Kasparov G.G (1980), “The operator K-functor and extensions of C*algebras” Izv.Akad Nauk SSSR, Ser Mat 44, 571 – 636 (in Russian) 15 Kirillov A.A (1976), Elements of the Theory of Representations, Springer – Verlag Pub., Berlin – Heidenberg – New York 16 Rordam M., Larsen F., Laustsen N (2000), An Introduction to K –Theory for C*–Algebras, Cambridge University Press, United Kingdom 17 Rosenberg J and Schochet C (1981), “The classification of extensions of C*-algebras”, Bull A.M.S, Vol 4, 105 – 110 18 Rosenberg J (1976), “The C*-algebras of some real p-adic solvable groups”, Pacific J Math, 65 (1), 175 – 192 19 Rosenberg J (1982), “Homological invariants of extension of C*-algebras”, Proc Sympos Pure Math., 38, AMS Providence R.I., 35 – 75 101 20 Tamura I (2006), Topology of foliations: An Introduction, American Mathematical Society, Volume 97 21 Taylor J.L (1975), "Banach Algebras and Topology", Academic Press in Algebras and Analysis, New York, 118 – 186 22 Torpe A.M (1985), “K-theory for the Leaf Space of Foliations by Reeb Component”, J Func Anal, 61, 15 – 71 23 Vu L.A (1990), "On the structure of the C*-Algebra of the Foliation formed by the K-Orbits of maximal dimendion of the Real Diamond Group", Journal of Operator theory, 24, 227 – 238 24 Vu L.A., Shum K.P (2008), “Classification of 5-dimensional MD-algebra having commutative derived ideals”, Advances in Algebra and Combinatorics, Singapore: World Scientific co, 353 – 371 25 Vu L.A., Thanh D.M (2006), “The Geometry of K-orbits of a Subclass of MD5-Groups and Foliations Formed by Their Generic K-orbits”, Contributions in Mathematics and Applications (Proceedings of the International Conference in Mathematics and Applications, December 2005, Bangkok, Thailand), pp – 16, Bangkok, Thailand 26 Vu L.A., Hoa D.Q (2009), “The topology of foliations formed by the generic K-orbits of a subclass of the indecomposable MD5-groups”, Science in China, series A: Mathemmatics, 52 (2), 351 – 360 27 Vu L.A., Hoa D.Q (2010), “K-theory of the leaf space of foliations formed by the generic K-orbits of some indecomposable MD5-groups”, Vietnam Journal of Mathematics, 38 (2), 249 – 259 102 28 Vu L.A., Hoa D.Q (2011), “The structure of Connes’ C*–Algebras associated to a Subclass of MD5-Groups”, Scientific Journal of University of Pedagogy of Ho Chi Minh City, N0 27 (61), 15 – 23 29 Vu L.A., Hoa D.Q., Tuan N.A (2014), “K-theory for the Leaf Space of Foliations Formed by the Generic K-orbits of a Class of Solvable Real Lie Groups”, (preprint – to appear in Southeast Asian Bulletin of Mathematics) 30 Vu L.A., Hieu H.V., Nghia T.T.H (2011), “Classification of 5-Dimensional MD-algebras Having Non-commutative Derived Ideals”, East-West Journal of Mathematics, Volume 13, No 2, pp 115 – 129 Tiếng Pháp 31 Bourbaki N (1972), Groupes et Algébres de Lie, Ch.I-III, Hermann, 156, Boulevard Saint-Germain, Paris VI 32 Dixmier J (1969), Les C*-algèbres et leurs reprénsentations, GauthierVillars, Paris 33 Reeb G (1952), Sur certains propriétés topologiques de variétés feuilletées, Actualité Sci.Indust.1183, Hermann, Paris 34 Saito M (1957), “Sur certains groupes de Lie resolubles”, Sci Papers of the College of General Education, Univ of Tokyo, 7, 1–11, 157 – 168 35 Son V.M., Viet H.H (1984), “Sur la structure des C*-algebres d’une classe de groupes de Lie”, J Operator Theory, 11, 77 – 90 103 PHỤ LỤC A: CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠI SỐ LIE Các Ideal dẫn xuất Cho G đại số Lie • Ideal dẫn xuất thứ (hay đơn giản ideal dẫn xuất) G, ký hiệu [ G , G ] hay G1 , ideal G sinh tất phần tử [ x, y ] , với cặp x, y ∈ G • Ideal dẫn xuất G1 gọi ideal dẫn xuất thứ G, ký hiệu G2 Như vậy, G =  G1 , G1  • Giả sử ideal dẫn xuất thứ ( n − 1) G, ký hiệu G ( n−1) , định nghĩa, n > Khi đó, ideal dẫn xuất  G n −1 , G n −1  G ( n−1) gọi ideal dẫn xuất thứ n G, ký hiệu G n Đại số Lie giải Theo định nghĩa trên, ta dãy giảm dần ideal dẫn xuất G sau: G ⊃ G1 ⊃ G ⊃ ⊃ G n ⊃ Đại số Lie G gọi giải tồn số nguyên dương n cho G n = {0} Đại số Lie khả phân bất khả phân 104 Cho G đại số Lie • Ta nói G phân tích hay khả phân G biểu diễn thành tổng trực tiếp hai đại số không tầm thường G • Trong trường hợp ngược lại, ta nói G không phân tích hay bất khả phân PHỤ LỤC B: CÁC KHÁI NIỆM LIÊN QUAN ĐẾN C∗-ĐẠI SỐ VÀ ∗-ĐỒNG CẤU Các khái niệm C∗-đại số • Đại số A gọi ∗-đại số hay đại số đối hợp A có ánh xạ *: A → A , a  a* , gọi phép đối hợp, thỏa mãn điều kiện sau: (α a + β b ) * =α a* + β b* , ( ab ) * = b* a * , (a ) * * = a, ∀a, b ∈ A; ∀α , β ∈  Phần tử a* gọi đối hợp a • ∗-đại số A trang bị chuẩn cho A trở thành đại số Banach thỏa mãn điều kiện C∗: a*a = a , ∀a ∈ A 105 gọi C∗-đại số Khi phép nhân A có đơn vị, ta bảo A C∗-đại số có đơn vị • Một C∗-đại số gọi tách chứa tập trù mật, đếm • Cho A C∗-đại số, ( I , ≤ ) tập thứ tự Một đơn vị xấp xỉ A họ {ui }i∈I ∈ A cho: i) ui ≤ 1, ∀i ∈ I , ii) ui x − x → 0; xui − x → i tăng, ∀x ∈ A Khi A tách chọn I =  • Cho A, B C∗-đại số Ký hiệu A⊗B tích tenxơ đại số chúng  Với phép nhân ( a1 ⊗ b1 )( a2 ⊗ b2 )= (a ⊗ b) * ( a1a2 ⊗ b1b2 ) phép đối hợp =a* ⊗ b* A ⊗ B có cấu trúc tự nhiên ∗-đại số Nói chung, có nhiều cách để trang bị C∗-chuẩn cho ∗-đại số A ⊗ B để thu C∗-đại số Nhưng với C∗-đại số B, A ⊗ B có C∗-chuẩn A gọi C∗-đại số hạch  A • Cho A C∗-đại số Trên tập= {( a, α ) : a ∈ A, α ∈ } với phép cộng phép nhân vô hướng theo thành phần, ta định nghĩa phép nhân phép đối hợp sau: ( a, α )( b, β ) = ( ab + β a + α b, αβ ) , ( a, α ) * • Khi A với chuẩn: 106 ( ) = a* , α , a, b ∈ A; α , β ∈  = ( a, α ) A : sup x∈ A, x A ≤1 ax + α x A trở thành C∗-đại số có đơn vị với phần tử đơn vị ( 0,1) A gọi đơn vị hóa C∗-đại số A Các khái niệm ∗-đồng cấu Cho C∗-đại số A, B ánh xạ ϕ : A → B • Ta gọi ϕ ∗-đồng cấu bị chặn, tuyến tính, nhân tính bảo toàn đối hợp, tức với ∀x, y ∈ A , α , β ∈  thì: ϕ (α x + β y )= αϕ ( x ) + βϕ ( y ) , ϕ ( xy )= ϕ ( x ) ϕ ( y ) , ϕ ( x* )= ϕ ( x ) * Dễ thấy, ϕ ∗-đồng cấu ϕ ( a ) ≤ a với a ∈ A • Một ∗-đồng cấu đơn ánh đẳng cự, tức ϕ ( a ) = a với a ∈ A Một ∗-đồng cấu đồng thời song ánh gọi ∗đẳng cấu • Một ∗-đồng cấu π : A → B ( H ) ( B ( H ) C∗-đại số toán tử tuyến tính bị chặn không gian Hilbert H) gọi biểu diễn A không gian Hilbert H • Biểu diễn π : A → B ( H ) gọi trung thành π đơn ánh gọi không suy biến không tồn ξ ∈ H cho π ( x )(ξ ) = với x ∈ A • Gọi A, B tích xiên của A, B với nhóm Lie G Khi ∗-đồng cấu ϕ : A → B gọi G-đẳng biến ϕ giao hoán với tác động nhóm Lie G Tức ϕ= ( g.x ) g.ϕ ( x ) , ∀g ∈ G 107 PHỤ LỤC C: MỘT VÀI KHÁI NIỆM KHÁC Tích tenxơ Với [u ] ∈ Ki ( A) [ v ] ∈ K j ( B ) , ta xác định phần tử K i + j ( A ⊗ B ) , ký hiệu [u ] ⊠ [ v ] , gọi tích tenxơ [u ] [ v ] , cho bởi:  [u ⊗ v ]  s1−1 si ([u ]) [ v ] [u ][v=] :   −1 ( s1  s0 ) s1 ([u ])  s1 ([ v ]) ( , ) ( i= j= ,= i 1,= j ) , i= j= đó, s0 : K ( A) → K1 ( SA) s1 : K1 ( A) → K ( SA) đẳng cấu nối dãy khớp tuần hoàn 6–thành phần cảm sinh từ dãy khớp : → SA → CA → A → với { } CA = f ∈ C ([ 0,1] , A ) : f ( ) = , { } SA = f ∈ C ([ 0,1] , A ) : f ( ) = f (1) = Đại số đa nhân tử - Đại số đa nhân tử • Cho A C*-đại số, cặp toán tử liên tục T1 , T2 : A → A gọi cặp đa nhận tử nếu: xT1= ( y ) T2 ( x ) y, ∀x, y ∈ A 108 • Gọi M ( A) tập hợp tất cặp đa nhân tử Trên M ( A) trang bị phép toán theo điểm, M ( A) trở thành đại số Ta trang bị tôpô cho M ( A) sinh họ nửa chuẩn: { (T , T ) a } = T1 ( a ) + T2 ( a ) / a ∈ A Khi đó, M ( A) trở thành đại số định chuẩn gọi đại số đa nhân tử A • Phép đối hợp M ( A) định nghĩa cách tự nhiên: (T1 , T2 ) = (T1 , T2 ) • Nếu có nhóm Lie G tác động liên tục A, có tác động cảm sinh G lên M ( A) sau: = g (T1 , T2 )( a ) ( g (T ( g a )) , g (T ( g a ))) , ∀a ∈ A −1 −1 Tác động liên tục Rõ ràng A nhúng vào M ( A) ideal phép nhúng: i : A → M ( A ) ; i ( a ) := ( la ; Ra ) la , Ra phép nhân trái, phải với a Khi O ( A) = M ( A) i ( A) gọi đại số đa nhân tử A Phần tử Bott ( ) ta xét Xét C∗-đại số C0 (  ) , đồng  với  , M C ( ) phần tử: 109 p( z) =  zz z   , + z z  z  1 0 q( z) =  , 0 0 z ∈ 2 ≡  Nhớ lại rằng, nhóm cyclic K (  ) ≅  sinh phần tử [1] Trong trường hợp này, đẳng cấu Bott β  : K (  ) → K1 ( S  ) = K ( S 2 ) ≅ K ( C0 (  ) ) ánh xạ phần tử sinh [1] K (  ) ≅  thành phần tử sinh [ p ] − [ q ] [ p ] − [ q ] gọi phần tử Bott 110 ( ) K C0 (  ) Phần tử sinh [...]... đề tài K- lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5- phân lá của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS TS Lê Anh Vũ 2 Mục đích của đề tài Mục đích chính của đề tài là “Nghiên cứu K- lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5- phân lá được tạo thành từ họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của một lớp con các MD5- nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K- hàm tử”... phân lá đo được theo nghĩa của A Connes ([8]) Các phân lá này được gọi là các MD -phân lá liên k t với các MDnhóm đã xét Đối với một phân lá (V , F ) tùy ý, một trong những bài toán quan trọng của “tôpô phân lá là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của phân lá đó Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá V 9 F thường có tôpô không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K- lý. .. được xét 3 Nghiên cứu K- lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4) -phân lá và đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K- hàm tử 3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5- phân lá được tạo thành từ họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của các MD5- nhóm tương 11 ứng Cụ thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K- quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm... số của các phân lá có thích hợp với phương pháp K- hàm tử hay không? ” Đáng chú ý, năm 1985, A M Torpe ([22]) đã dùng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2 chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S3 K t hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K- lý thuyết đối với không gian lá của các MD -phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các. .. K- lý thuyết đối với không gian các lá (theo nghĩa thông thường) Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A Connes ([8]) đã đề ra ý ( F ) bởi C (V , F ) , mà từ đó Connes định nghĩa: K (V ) K= = ( C (V , F ) ) , ( i 0,1) F tưởng là thay C0 V * * i i Như vậy, để nghiên cứu K- lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay vắn tắt là K- lý thuyết đối với. .. [2] của L A Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp 5 Ý nghĩa khoa học của đề tài Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp Khàm tử (Vấn đề 2), đó chính là lớp các C*-đại số Connes liên k t với các MDphân lá Ngoài ra, các k t quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể hiện, minh họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu 12 K- lý thuyết đối với không. .. đạo của Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các Kquỹ đạo đã được L A Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm  Tiếp theo, chúng tôi dùng một số k thuật của lý thuyết tôpô phân lá  Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các k thuật cơ bản của K- lý thuyết đối với C*-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C*-đại số của phân lá bằng các KK-hàm tử đã được nêu ra trong tài liệu [22] của A... đối với phân lá) , ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*đại số Connes C * (V , F ) liên k t với phân lá (hay vắn tắt là C*-đại số của phân lá) K từ công trình [8] của A Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá và K- lý thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 của thế k trước... định lí phân loại các MD5- đại số có ideal dẫn xuất giao hoán của L A Vũ và K P Shum, chúng tôi mô tả K- quỹ đạo của lớp con các MD(5,4)-nhóm, tức là các MD5- nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân mà MD5- đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4 chiều 2 Phân loại tôpô trên các MD(5,4) -phân lá tương ứng, tức là các MD -phân lá được tạo thành từ họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)nhóm... cùng với các k t quả có trước của Đ N Diệp và J Rosenberg, việc nghiên cứu lớp con các MD -đại số và MD -nhóm xem như đã được giải quyết triệt để Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn là bài toán mở Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K- quỹ đạo đối với lớp các MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K- quỹ đạo chiều cực đại của nó tạo thành một phân ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH DƯƠNG QUANG HÒA K-LÝ THUYẾT ĐỐI VỚI KHÔNG GIAN LÁ CỦA MỘT LỚP CÁC MD5-PHÂN LÁ Chuyên ngành: Hình học Tôpô Mã số: 62 46 01 05 LUẬN ÁN TIẾN SĨ... ([8]) Các phân gọi MD-phân liên kết với MDnhóm xét Đối với phân (V , F ) tùy ý, toán quan trọng “tôpô phân lá nghiên cứu không gian (hay vắn tắt không gian lá) phân Tuy nhiên, đáng tiếc không gian. .. khác tôpô phân việc xét không gian phân Không gian (hay vắn tắt không gian lá) V F phân (V , F ) không gian thương không gian tôpô V thu điểm → B không gian Nếu phân (V , F ) cho phân thớ p :