6. Bố cục và nội dung của luận án
3.2.3. Bất biến chỉ số của C*-đại số
Trở lại xét mở rộng (3.1):
0→ J i→ A µ→ →B 0.
Như đã nói ở trên, (3.1) xác định một phần tử γ nào đó (duy nhất) của Ext(B J, ).
Định nghĩa 3.2.1 ([2, Định nghĩa 2.4.1]). Phần tử γ ∈Ext(B J, ) được gọi làbất biến chỉ số của C*-đại số Avà được ký hiệu là Index A .
Như vậy, Index A xác định “kiểu ổn định” của (mở rộng) A.
( ) ( ) ( ) 0 0 0 K J →K A →K B ( ) ( ) ( ) 1 1 1 K B ←K A ←K J
Theo Định lí hệ số phổ dụng của Rosenberg và Schochet ([17]), ta có dãy khớp ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 , , , , , 0
Ext K B K J Ext K B K J Ext B J Hom K B K J Hom K B K J σ σ → ⊕ → → → ⊕ → (3.4) trong dãy khớp này, đồng cấu σ chuyển γ =Index A thành cặp (δ δ0, 1) của (3.2). Còn 1 ( )
Ext − −, là hàm tử mở rộng thông thường (trong đại số đồng điều).
Nhận xét 3.2.2. Đồng cấu σ trong dãy khớp (3.4) được gọi là ánh xạ chỉ số ([19]).
• Khi mở rộng (3.1) có K Bi( ) là các nhóm abel tự do (mà điều này luôn thỏa mãn đối với các mở rộng được xét trong các nghiên cứu sau này của ta), các nhóm 1 ( ( ) ( )) ( )
Ext K B K Ji , i =0 0,1i= . Nhờ (3.4) ta có đẳng cấu
( ) ( 0( ) ( )1 ) ( 1( ) 0( ))
:Ext B J, Hom K B ,K J Hom K B ,K J
σ ≅→ ⊕ ,
trong đó σ(Index ,A) (= δ δ0 1).
Bởi vậy, nhờ đẳng cấu σ, ta có thể đồng nhất Index A với cặp (δ δ0, 1) các đồng cấu nối của dãy khớp K-lý thuyết (3.2) liên kết với mở rộng (3.1). Nói cách khác, chính cặp (δ δ0, 1) xác định kiểu ổn định của C*-đại số A (như là một mở rộng của B bởi J). Đặc biệt, khi mở rộng (3.1) là hấp thụ, chính (δ δ0, 1) sẽ đặc trưng duy nhất A(sai kém một tương đương unita).