6. Bố cục và nội dung của luận án
3.2.2. KK-nhóm Kasparov
• Giả sử J, B là các C*-đại số cho trước, J có đơn vị xấp xỉ, còn Blà hạch và tách được. Xét các mở rộng C*-đại số dạng
0→ ⊗ J K i→ A µ→ →B 0 (3.3)
Lưu ý rằng có một song ánh giữa các mở rộng (3.1) và (3.3). Mỗi mở rộng (3.3) lại tương ứng 1 – 1 với một đồng cấu:
ϕ:B→O(J⊗K)
từ B vào đại số đa nhân tử ngoài trên J⊗K mà được gọi là bất biến Busby của mở rộng (3.3) ([19, Section 2]). Ta sẽ đồng nhất mở rộng (3.3) với A cũng như với bất biến Busby ϕ của nó.
• Hai mở rộng ϕ ϕ1, 2 dạng (3.3) gọi là tương đương unita nếu có một toán tử unita u∈M J( ⊗K) (đại số đa nhân tử trên J⊗K ) sao cho với mỗi x∈B:
( ) ( )
2 x u. u. 1 x
ϕ = ϕ với u=u mod( J⊗K ).
Tổng ϕ ϕ1⊕ 2 của các mở rộng ϕ ϕ1, 2 dạng (3.3) được định nghĩa như tổng trực tiếp. Ta ký hiệu:
* Ext B J( , ): tập các lớp tương đương unita của các mở rộng dạng (3.3) * Sxt B J( , ): tập các lớp tương đương unita của các mở rộng chẻ ra dạng (3.3). Cả hai tập này lập thành nhóm với phép cộng và Sxt B J( , ) là chuẩn tắc trong Ext B J( , ).
Khi đó KK-nhóm Ext(B J, ) của Kasparov được định nghĩa bởi
( ) ( , ) ( ) Ext , , xt B J B J Sxt B J =E .
Như vậy mỗi mở rộng (3.3) (hoặc (3.1)) luôn xác định một phần tử duy nhất trong KK-nhóm Ext(B J, ).
• Mở rộng ϕ gọi là hấp thụ nếu nó tương đương unita với tất cả các mở rộng dạng ϕ ϕ⊕ 0, ở đó ϕ0 là một mở rộng chẻ ra bất kì. Ký hiệu Exta(B J, ) là tập các lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ.
Mặc dù mỗi mở rộng ϕ xác định một phần tử duy nhất của Ext(B J, ), nhưng chiều ngược lại là không đúng. Mỗi phần tử của Ext(B J, ) không đủ xác định một mở rộng ϕ mà chỉ xác định duy nhất một lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ, tức là một phần tử của Exta(B J, ). Nói rõ hơn, ta có:
( ) ( )
Exta B J, ≅Ext B J, .
Tuy nhiên, với mỗi mở rộng ϕ (dạng (3.3) hoặc (3.1)), có duy nhất một mở rộng hấp thụ ϕ1 sao cho ϕ ϕ⊕ 1 lại hấp thụ. Bởi vậy, một phần tử của KK- nhóm Ext(B J, ) chỉ xác định cái gọi là “kiểu ổn định”của mở rộng ϕ.