K-lý thuyết và mở rộng các C*-đại số

Một phần của tài liệu k lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các md5 phân lá (Trang 71)

6. Bố cục và nội dung của luận án

3.2.1. K-lý thuyết và mở rộng các C*-đại số

Thông thường, để đặc trưng một C*-đại số A nào đó (đặc biệt là bằng phương pháp K-hàm tử), ta sẽ tìm cách nhúng Avào một mở rộng dạng

0→ J i→ A µ→ →B 0 (3.1) với J là một ideal (đã biết) đóng trong A, còn B A

J

≅ cũng là một C*-đại số đã biết.

Các mở rộng dạng (3.1) có liên quan mật thiết với K-lý thuyết. K-lý thuyết đại số là một lý thuyết đồng điều suy rộng. Giả sử Alà một C*-đại số có đơn vị.

Khi đó K0( )A được định nghĩa là bao nhóm Grothendieck của vị nhóm các lớp đẳng cấu các A-môđun xạ ảnh hữu hạn sinh. Trường hợp A không có đơn vị ta đặt K0( )A =ker{K0( )AK0( ) =}, trong đó A là đại số thu được từ A bằng cách thêm phần tử đơn vị. Khi n>0, ta đặt

( ) 0( 0( ))

n n

K A =K AC  .

Các K-nhóm có tính ổn định: K Ai( )≅K Ai( ⊗K) (K vẫn là ký hiệu chỉ C*- đại số các toán tử compact). Đồng thời chúng cũng có tính tuần hoàn Bott:

( ) 2( )

n n

K AK + A .

Bởi vậy, thực chất ta chỉ cần xét hai nhóm K0( )A , K1( )A . Hơn nữa K0, K1 còn là các hàm tử đồng điều suy rộng.

Mở rộng (3.1) sinh ra một dãy khớp tuần hoàn 6 thành phần (còn gọi là dãy khớp K-lý thuyết) của các K-nhóm:

( ) ( ) ( ) 0 0 0 K J →K A →K B (3.2) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 K B ←K A ←K J

Các mũi tên thẳng đứng δ δ0, 1 gọi là các đồng cấu nối của (3.2). Việc xác định cặp (δ δ0, 1) cho phép ta tính các nhóm K0( )AK1( )A . Thật ra, ta còn thu được nhiều thông tin hơn trong phép tính cặp (δ δ0, 1), cụ thể là cặp này xác định cho ta cái gọi là “kiểu ổn định” ([22]) của các C*-đại số được xét, một khái niệm mà ta sẽ làm rõ ngay dưới đây. Mọi việc bắt đầu từ sự kiện là: dãy khớp (3.1) xác định một phần tử trong KK-nhóm Ext(B J, ) của Kasparov ([14]).

Một phần của tài liệu k lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các md5 phân lá (Trang 71)

Tải bản đầy đủ (PDF)

(112 trang)