6. Bố cục và nội dung của luận án
2.3.Phân lá đo được
Có những ví dụ cho thấy, mặc dù đa tạp phân lá là compact nhưng bản thân các lá có thể compact hoặc không. Do đó, khó có thể nói gì về các tính chất toàn cục của lá không compact L từ những thông tin địa phương được cho bởi phân bố xác định phân lá. Trong khi đó, nếu lá L compact, nhiều kết quả của hình học vi phân cho phép chuyển thông tin địa phương của phân thớ tiếp xúc sang các bất biến toàn cục của L (xem [8, p. 523]). Vì vậy, khi nghiên cứu tôpô phân lá, một trong những điều người ta quan tâm là tìm cách “đếm số lượng” các lá compact, không compact trong không gian phân lá. Để làm được điều này thì cần phải trang bị cho không gian các lá một độ đo thích hợp. Năm 1982, A. Connes đã đưa ra khái niệm độ đo hoành ([8]) đặc biệt thích hợp với không gian các lá của phân lá mà ngay sau đây ta sẽ giới thiệu.
Giả sử (V F, ) là một phân lá. Đa tạp con N của V được gọi là hoành nếu
( )
, p
p N T V
∀ ∈ chẻ ra thành tổng trực tiếp Tp( )N ⊕Fp. Khi đó hiển nhiên dimN =co dimF . Hơn nữa, có thể chọn một bản đồ phân lá (U,ϕ) quanh mỗi
điểm p∈N sao cho các tấm của U tương ứng 1 – 1 với các điểm của N∩U , tức là mỗi tấm trong Ucắt Ntại một điểm duy nhất.
Tập con Borel B của đa tạp phân lá V được gọi là tập hoành Borel nếu
B∩L đếm được, với mỗi lá Lcủa phân lá.
Một chú ý quan trọng là mỗi tập hoành Borel đều là hợp đếm được của các tập hoành Borel B có kiểu như sau: tồn tại đơn ánh ψ :B→N từ B vào đa tạp con hoành Nnào đó sao cho ψ( )x thuộc cùng lá chứa x, với mỗi x∈B.
Định nghĩa 2.3.1. Một độ đo hoành Λ đối với phân lá (V F, ) là một ánh xạ σ-cộng tính BΛ( )B từ họ các tập con hoành Borel của V đến [0,+∞]
sao cho các tiên đề sau đây thỏa mãn:
(i) Nếu ψ :B1→B2 là song ánh Borel và ψ( )x thuộc lá chứa x (∀ ∈x B1)
thì
( )B1 ( )B2
Λ = Λ (tính đẳng biến Borel).
(ii) Λ( )K < +∞ nếu Klà tập con compact của một đa tạp con hoành. Phân lá (V F, ) đã trang bị một độ đo hoành được gọi là phân lá đo được.
2.4. Phân loại tôpô các MD(5,4) – phân lá liên kết với các MD(5,4) – nhóm
Trong mục này, ta sẽ chỉ ra sự hình thành của lớp các MD(5,4)-phân lá, đồng thời cho ra một sự phân loại tôpô trên lớp các MD(5,4)-phân lá được xét.