6. Bố cục và nội dung của luận án
3.1.3. Không gian các nửa mật độ
• Cho ( , )V F là phân lá k - chiều định hướng được, với mỗi x∈V ta định
nghĩa: { 1 2 } 1 2 : : k : ( ) ( ), k , x Fx v v v F x Ω = ρ Λ → ρ λ = λ ρ ∀ ∈Λ ∀ ∈λ . Ở đây, k x F
Λ là không gian véctơ thực một chiều các k−dạng tuyến tính đan dấu trên Fx (tức là với một bản đồ địa phương của L tại x thì ΛkFx có cơ sở
là { 1 2 }
... k
dx ∧dx ∧ ∧dx ). Ta thấy ngay 1 2
x
trên các hàm là một không gian véctơ phức một chiều. Hơn nữa, họ ( )1 2
x x V
Ω
∈ là một phân thớ vectơ phức một chiều. Ta gọi 1 2
(Ωx )x V∈ là phân thớ các nửa mật độ
trên V.
Với mỗi γ ∈H , giả sử s( )γ =x, r( )γ = y, ta đặt 1 2 1 2 1 2
x y
γ
Ω =Ω ⊗Ω , thì
1 2
γ
Ω là không gian véctơ phức một chiều.
• Bây giờ ta xây dựng không gian các nửa mật độ cho trường hợp H
Hausdorff. Cụ thể, ta đặt:
( 1 2) { 1 2
, : : ( ) |
c
C∞ H Ω = f γ ∈H f γ ∈Ωγ f trơn và supp compactf } là không gian các nửa mật độ trơn có giá compact trên H.
Vì V định hướng nên ( k )
x x V
F
Λ
∈ là phân thớ tầm thường trên V, do đó ( )1 2
x x V
Ω
∈ cũng là một phân thớ tầm thường. Ta chọn một tầm thường hoá ( )1 2
x x V
v V
∈
∈ Ω ≅ ×, tức là cố định một cơ sở cho mỗi 1 2
x
Ω , do đó cũng cố định cơ sở cho mỗi 1 2
, H
γ
Ω γ∈ . Khi đó ta có thể đồng nhất hàm f ∈Cc∞( )H (không gian các hàm trơn trên H có giá compact và nhận giá trị phức) với hàm
( 1 2)
.( ) c ,
f v s ⊗v r ∈C∞ H Ω theo cách như sau: Với γ ∈H ,
( f v s.( ⊗v r ) ( )) γ = f( ).γ (v s ( )γ ⊗v r ( )γ ), trong đó (v s ( )γ ⊗v r ( )γ ) là một cơ sở cố định qua v của 1 2
γ
Ω , nên khi đó ( ) 1 2
( ). ( ) ( )
f γ v s γ ⊗v r γ ∈Ωγ .
• Xét trường hợp H không Hausdorff. Ta dùng cấu trúc đa tạp của H để định nghĩa ( 1 2)
,
c
C∞ H Ω như sau: Với mỗi bản đồ địa phương (U,ϕ) của đa tạp
H ta xét các hàm thực ( )n k c
Hausdorff nên có thể đồng nhất hϕ∈Cc∞( )U với ( 1 2)
,
c
C∞ U Ω như trong trường hợp trên. Do đó, nếu ta định nghĩa Cc∞( )H là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hϕ như thế, thì ta hoàn toàn có thể đồng nhất Cc∞( )H với ( 1 2)
,
c
C∞ H Ω là tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các ( 1 2)
,
c
f ∈C∞ U Ω . Như vậy là ta đã định nghĩa được ( 1 2)
,
c
C∞ H Ω cho cả hai trường hợp Hausdorff và không Hausdorff của H. ( 1 2)
,
c
C∞ H Ω là một không gian véctơ và được gọi là không gian các nửa mật độtrơntrênH.